互感与理想变压器

M Lab L1 L2 L
2
第六章 互感与理想变压器
4.4.3 耦合电感的去耦等效
一、耦合电感的串联等效
图6.2-1 互感线圈顺接串联
第六章 互感与理想变压器
由所设电压、电流参考方向及互感线圈上电压、电流关系，得
di di di di u u1 u2 L1 M L2 M dt dt dt dt di ( L1 L2 2 M ) dt di Lab dt
di2 di2 di2 di1 di2 d (i1 i2 ) u2 L2 M M M ( L2 M ) M dt dt dt dt dt dt
第六章 互感与理想变压器
以上讨论了耦合电感的两种主要的去耦等效方法，
它们适用于任何变动电压、电流情况，当然也可用于正弦
稳态交流电路。应再次明确，无论是互感串联二端子等效 还是T型去耦多端子等效，都是对端子以外的电压、 电流、 功率来说的，其等效电感参数不但与两耦合线圈的自感系 数、互感系数有关，而且还与同名端的位置有关。
式中
Lab L1 L2 2M
第六章 互感与理想变压器
图4.2-2 互感线圈反接串联
Lab L1 L2 2M
第六章 互感与理想变压器
4.2.2 耦合电感的T型等效
1. 同名端为共端的T型去耦等效
同名端为共端的T型去耦等效 di1 di2 u1 L1 M dt dt
di2 di1 u2 L2 M dt dt
电压uac(t)及开路电压ude(t)。
图4.1-8 例4.1-1用图
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解 由于第2个线圈开路，其电流为零，所以R2上电压 为零，L2上自感电压为零，L2上仅有电流i1在其上产生的
互感电压。这一电压也就是d , e开路时的电压。根据i1的
参考方向及同名端位置，可知
di1 (t ) ude (t ) M dt
di1 d (i1 i2 ) ( L1 M ) M dt dt di2 di2 di2 di1 u2 L2 M M M dt dt dt dt
di2 d (i1 i2 ) ( L2 M ) M dt dt
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di1 di1 di1 di2 di1 d (i1 i2 ) u1 L1 M M M ( L1 M ) M dt dt dt dt dt dt
解
di1 di2 u1 L1 M dt dt di2 di1 u2 L2 M dt dt
di1 di2 u1 L1 M dt dt di2 di1 u2 L2 M dt dt
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例4.4.1求a、b端等效电感Lab di di u1 L1 1 M 2 dt dt di2 di1 u 2 L2 M dt dt
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di1 di2 u1 L1 M dt dt di2 di1 u2 L2 M dt dt
di1 di1 di1 di2 u1 L1 M M M dt dt dt dt di1 d (i1 i2 ) ( L1 M ) M dt dt
di2 di2 di2 di1 u2 L2 M M M dt dt dt dt di2 d (i1 i2 ) ( L2 M ) M dt dt
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第四章 互感与理想变压器
4.4 耦合电感元件
4.5 耦合电感的去耦等效 4.3 含互感电路的相量法分析 4.4 理想变压器 4.5 实际变压器模型
第六章 互感与理想变压器
4.4 耦合电感元件
4.4.1 耦合电感的基本概念
Li N Li
11线圈自磁通 1
图 4.2-7 例4.2-3用图
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解
U sm 200 Im 2 36.9 A 8 j5 j 2 // j 2 1036.9
I Lm
j2 1 I m 2 36.9 1 36.9 A j2 j2 2
10V ude (t ) 10V 0
第六章 互感与理想变压器
例4.4-2 图 4.1-9所示互感线圈模型电路，同名端位置 及各线圈电压、电流的参考方向均标示在图上，试列写出
该互感线圈的电压、电流关系式(指微分关系)。
图 4.1-9 例4.1-2用图
第六章 互感与理想变压器
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在1≤t≤2s时
i1 (t ) 10t 20A
uab (t ) R1i1 (t ) 10 ( 10t 20) 100t 200 V di1 d ubc (t ) L1 5 ( 10t 20) 50 V dt dt uac (t ) uab (t ) ubc (t ) 100t 150 V di1 d ( 10t 20) udc (t ) M 1 10 V dt dt
di1 di2 u1 L1 M dt dt di2 di1 u2 L2 M dt dt
图 4.1-6 磁通相消情况互感线圈
第六章 互感与理想变压器
图4.1-7 互感线圈同名端的测定
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例 4.1-1 图 4.1-8(a) 所 示 电 路 ， 已 知 R1=10Ω ， L1=5H, L2=2H, M=1H，i1(t)波形如图6.1-8(b)所示。试求电流源两端
d 1 di1 di2 u1 L1 M dt dt dt d 2 di2 di1 u2 L2 M dt dt dt
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图 4.1-4 磁通相消的耦合电感
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1 11 12 2 22 21
d 1 di1 di2 u1 L1 M dt dt dt d 2 di2 di1 u2 L2 M dt dt dt
M12 M 21
M L1L2
第六章 互感与理想变压器
证明：
φ12≤φ22, φ21≤φ11， 所以
M M 12 M 21
2
12 21
i2
N112 N 221 i1 i2 i1
N111 N 222 L1L2 i1 i2
M L1L2
M k L1L2
k M L1L2
例4.2-2 如图4.2-6(a)所示正弦稳态电路中含有互感线圈， 已知us(t)=2cos(2t+45°) V，L1=L2=1.5H, M=0.5 H，负载电阻
RL=1Ω。求RL上吸收的平均功率PL。
图4.2-6 含有互感的正弦稳态电路
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解
U sm 245 Im 2 20 A 1 (1 j 2) //[ j1 ( j 2)] j 2 45 2
di2 u2 L dt
di2 di2 di1 L L2 M dt dt dt
di2 M di1 dt L2 L dt
di1 di2 di1 M 2 di1 M 2 di1 u1 L1 M L1 ( L1 ) dt dt dt L2 L dt L2 L dt
I Lm j1 j 2 j1 2 20 2 135 A Im 1 j 2 j1 j 2 1 j1
1 2 1 2 PL I Lm RL 2 1 2W 2 2
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例 4.2-3 图 4.2-7(a) 所 示 正 弦 稳 态 电 路 ， 已 知 L1=7H, L2=4H, M=2H，R=8Ω, us(t)=20 cost V，求电流i2(t)。
11线圈自磁链 1
22线圈2 自磁通
22线圈2 自磁链
图 4.1-1耦合电感元件
第六章 互感与理想变压器
12 N112磁通2与线圈1的交链 21 N 221磁通1与线圈2的交链
21 M 21i1 互感磁通链 12 M 12i2 互感自通链
M12 M 21 称为互感系数
当电流分别从两线圈各自的某端同时流入(或流出)时，若
两者产生的磁通相助，则这两端称为两互感线圈的同名端， 用标志“·”或“*”表示。
第六章 互感与理想变压器
di1 di2 u1 L1 M dt dt di2 di1 u2 L2 M dt dt
图4.1-5 互感线圈的同名端
第六章 互感与理想变压器
感的电感串、并联关系，由(b)图可得
Leq M ( L1 M ) //( L2 M ) ( L1 M )(L2 M ) L1L2 M 2 M L1 L2 2 M L1 L2 2 M
L1L2 M Leq L1 L2 2 M
2
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di1 di1 di1 di2 di1 d (i1 i2 ) u1 L1 M M M ( L1 M ) M dt dt dt dt dt dt
di2 di2 di2 di1 di2 d (i1 i2 ) u2 L2 M M M ( L2 M ) M dt dt dt dt dt dt
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2. 异名端为共端的T型去耦等效
异名端为共端的T型去耦等效
di1 di2 u1 L1 M dt dt di2 di1 u2 L2 M dt dt
第六章 互感与理想变压器
di1 di2 u1 L1 M dt dt di2 di1 u2 L2 M dt dt di1 di1 di1 di2 u1 L1 M M M dt dt dt dt
作业题：4.11、4.12、4.15
第六章 互感与理想变压器
例4.2-1 图4.2-5(a)为互感线圈的并联，其中a,c端为同名 端，求端子1、 2间的等效电感Leq。
图4.2-5 互感线圈并联
第六章 互感与理想变压器
解 应用互感T型去耦等效，将(a)图等效为(b)图(要特别注
意等效端子，将(a), (b)图中相应的端子都标上)。应用无互
di1 (t ) ubc (t ) L1 dt
di1 (t ) uac (t ) uab (t ) ubc (t ) R1i1 (t ) L1 dt
第六章 互感与理想变压器
在0≤t≤1 s时
i1(t ) 10t A
(由给出的i1(t)波形写出)
uab (t ) R1i1 (t ) 10 10t 100t V di1 d ubc (t ) L1 5 (10t ) 50 V dt dt uac (t ) uab (t ) ubc (t ) 100t 50 V di1 d (10t ) ude (t ) M 1 10 V dt dt
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在t≥2s时
i1 (t ) 0
uab 0, ubc 0, uac 0, ude 0
100t 50V uac (t ) 100t 150 V 0
0 t 1s 1 t 2s 其余 0 t 1s 1 t 2s 其余
第六章 互感与理想变压器
图 4.1-2 耦合系数k与线圈相互位置的关系
第六章 互感与理想变压器
4.4.2 耦合电感线圈上的电压、电流关系
图 4.1-3 磁通相助的耦合电感
第六章 互感与理想变压器
1 11 12 L1i1 Mi2 2 22 21 L2i2 Mi1
i2 (t ) cos(t 36.9) A
第六章 互感与理想变压器
4.3 含互感电路的相量法分析