最优化方法课程实验资料报告材料

项目一 一维搜索算法（一）[实验目的]编写加步探索法、对分法、Newton 法的程序。

[实验准备]1．掌握一维收搜索中搜索区间的加步探索法的思想及迭代步骤； 2．掌握对分法的思想及迭代步骤； 3．掌握Newton 法的思想及迭代步骤。

[实验容及步骤] 编程解决以下问题：1．用加步探索法确定一维最优化问题的搜索区间，要求选取．加步探索法算法的计算步骤： (1)选取初始点，计算．给出初始步长，加步系数，令。

(2) 比较目标函数值．令k k k h t t +=+1，计算 )(11++=k k t ϕϕ，若k k ϕϕ<+1，转(3)，否则转(4)。

(3) 加大探索步长．令，同时，令，转(2)。

(4) 反向探索．若，转换探索方向，令，转（2）。

否则，停止迭代，令。

12)(min 30+-=≥t t t t ϕ2,1,000===αh t ])0[)(0[max 00t t t ，或，∈⊂∞+∈)(00t ϕϕ=0>h 1α>0=k k k h h α=+1,k t t =,1+=k k t t 1k k =+0=k ,k k h h -=1+=k t t 11min{}max{}k k a t t b t t ++==，，，加步探索法算法的计算框图程序清单加步探索法算法程序见附录1实验结果运行结果为：2．用对分法求解，)2()(min +=t t t ϕ已知初始单谷区间，要求按精度，分别计算．对分法迭代的计算步骤：(1)确定初始搜索区间],[b a ，要求。

(2) 计算],[b a 的中点)(21b ac +=． (3) 若0)(<'c ϕ，则c a = ，转(4)；若0)(='c ϕ，则c t =*，转(5)；若0)(>'c ϕ，则c b = ，转(4)．(4) 若ε<-||b a ，则)(21*b a t +=，转(5)；否则转(2)． (5) 打印*t ，结束对分法的计算框图程序清单对分法程序见附录2]5,3[],[-=b a 3.0=ε001.0=ε'()0'()0a b ϕϕ<>，实验结果运行结果为：3．用Newton 法求解，已知初始单谷区间，要求精度．Newton 法的计算步骤(1) 确定初始搜索区间],[b a ，要求 (2) 选定0t (3) 计算(4) 若 ε≥-||0t t ，则t t =0，转（3）；否则转（5）． (5) 打印 ，结束．Newton 法的计算框图12)(min 3+-=t t t ϕ]1,0[],[=b a 01.0=ε'()0'()0a b ϕϕ<>，000'()/"()t t t t ϕϕ=-()t t ϕ，程序清单Newton法程序见附录3实验结果运行结果为：项目二一维搜索算法（二）[实验目的]编写黄金分割法、抛物线插值法的程序。

[实验准备]1．掌握黄金分割法的思想及迭代步骤； 2．掌握抛物线插值法的思想及迭代步骤。

[实验容及步骤]编程解决以下问题： 1．用黄金分割法求解，已知初始单谷区间，要求精度．黄金分割法迭代步骤：(1) 确定)(t ϕ的初始搜索区间][b a ，． (2) 计算)(382.02a b a t -+= (3) 计算)(618.01a b a t -+= (4) 若ε<-||21t t ，则打印221*t t t +=，结束；否则转(5)． (5) 判别是否满足21ϕϕ≤：若满足，则置12122ϕϕ===，，t t t a 然后转(3)；否则，置)()(22221211t a b t t t t b ϕϕβαϕϕ=-+====，，，，然后转(4)． 黄金分割法的计算框图：)2()(min +=t t t ϕ]5,3[],[-=b a 001.0=ε程序清单黄金分割法程序见附录4 实验结果运行结果为：2．用抛物线插值法求解，已知初始单谷区间．抛物线插值法的计算步骤：（1） )()(0t t ϕϕ<，所以相对0t 来说t 是好点，故划掉区间],[20t t ，保留],[01t t 为新区间，故置)()(0202t t t t ϕϕ==，，)()(00t t t t ϕϕ==，，1t 保持不变；（2） )()(0t t ϕϕ>，所以相对t 来说0t 是好点，故划掉区间],[1t t ，保留],[2t t 为新区间，故置)()(11t t t t ϕϕ==，，0t 与2t 保持不变；程序清单抛物线插值法程序见附录5实验结果运行结果为：3728)(min 23+--=x x x x f 001.0]20[][==ε，，，b a项目三 常用无约束最优化方法（一）[实验目的]编写最速下降法、Newton 法（修正Newton 法）的程序。

[实验准备]1．掌握最速下降法的思想及迭代步骤。

2．掌握Newton 法的思想及迭代步骤； 3．掌握修正Newton 法的思想及迭代步骤。

[实验容及步骤]编程解决以下问题： 1．用最速下降法求．最速下降法计算步骤 （1）0,0)(,)0(=>k X 令精度容许误差取初始点ε（2）)()()(k k X f p -∇=计算（3）0)()(4,,?否则转取若是迭代终止检验k k X X p=≤*ε（4）))(()(min :)()()()(0一维搜索求最优步长k k k k k k p X f p Xf λλλλ+=+≥)()()1(2,1:,转令令+=+=+k k p X X k k k k λ最速下降法的计算框图22120min ()25[22]0.01T f X x x X ε=+==，，，程序清单最速下降法程序见附录6实验结果运行结果为：2．用Newton 法求，初始点．Newton 法的计算步骤 （1）给定初始点(0)x，及精度0ε>，令0k =；（2）若()()k f X ε∇≤，停止，极小点为()k x ，否则转步骤（3）；（3）计算12()()k f X -⎡⎤∇⎣⎦，令1()()()()()k k k s H X f X -⎡⎤=-∇⎣⎦；令(1)()()k k k x x s +=+，1k k =+，转步骤（2）。

程序清单Newton 法程序见附录7实验结果 运行结果为：22121212min ()60104f X x x x x x x =--++-0[00]0.01TX ε==，，3．用修正Newton 求，初始点．修正Newton 的计算步骤 （1）给定初始点(0)x，及精度0ε>，令0k =；（2）若()()k f X ε∇≤，停止，极小点为()k x ，否则转步骤（3）；（3）计算12()()k f X -⎡⎤∇⎣⎦，令1()()()()()k k k sH Xf X -⎡⎤=-∇⎣⎦；（4）用一维搜索法求α，使得()()()()()()min ()k k k k k f X S f X S ααα≥+=+，令(1)()()()k k k k X X S α+=+，1k k =+，转步骤（2）。

程序清单修正Newton 程序见附录8实验结果运行结果为：221212min ()4(1)2(1)10f X x x x x =++-+++0[00]0.01TX ε==，，项目四 常用无约束最优化方法（二）实验目的编写共轭梯度法、变尺度法（DFP 法和BFGS 法）程序。

实验准备1．掌握共轭方向法的思路及迭代过程； 2．掌握共轭梯度法的思想及迭代步骤； 3．掌握DFP 法和BFGS 法的思想及迭代步骤。

实验容及步骤编程解决以下问题：1．用共轭梯度法求得，取初始点，．共轭梯度法算法步骤)4min(2221x x +T X ]11[0，=01.0=ε（1） 给定初始点(0)x ，及精度0ε>；（2） 若(0)()f x ε∇≤，停止，极小值点为(0)x ，否则转步骤（3）；（3） 取(0)(0)()pf x =-∇，且置0k =；（4） 用一维搜索法求k t ，使得()()()()()()min k k k k k t f x t p f x tp ≥+=+，令，(1)()()k k k k x x t p +=+，转步骤5；（5） 若(1)()k f x ε+∇≤，停止，极小值点为(1)k x+，否则转步骤（6）；（6） 若1k n +=，令(0)()n xx =，转步骤（3），否则转步骤（7）；（7） 令(1)(1)()()k k k k pf x p λ++=-∇+，2(1)2()()()k k k f x f x λ+∇=∇，置1k k =+，转步骤（4）。

程序清单共轭梯度法程序见附录9实验结果运行结果为：2．用共轭梯度法求，自定初始点，．程序清单共轭梯度法程序见附录9实验结果运行结果为：3．用DFP 法求，初始点．221212min ()2f X x x x x =+-01.0=ε2212min ()4(5)(6)f X x x =-+-01.0]98[0==ε，，T XDFP法的具体迭代步骤如下：（1）给定初始点，迭代精度，维数n（2）置0→k，单位矩阵I→，计算。

（3）计算搜索方向（4）进行一维搜索求，使得迭代新点（5）检验是否满足迭代终止条件‖‖≤？若满足，停止迭代，输出最优解,；否则进行下一步。

（6）检查迭代次数，若k=n，则置，转向步骤(2)；若k<n，则进行下一步。

（7）计算：。

然后，置k+1→k，转向步骤（3）。

DFP法的计算框图程序清单DFP法程序见附录10实验结果运行结果为：项目五常用约束最优化方法[实验目的]编写外点罚函数法、外点罚函数法的程序。

[实验准备]1．掌握外点罚函数法的思想及迭代步骤； 2．掌握点罚函数法的思想及迭代步骤。

[实验容及步骤]编程解决以下问题： 1．用外点罚函数法编程计算精度．外点法的计算步骤：（1）给定初始点x (0)，初始罚因子)1(λ，放大系数c>1；允许误差e>0,设置k=1；（2）以x(k-1)作为搜索初始点，求解无约束规划问题)()(m in x P x f λ+，令x (k)为所求极小点。

（3）当e xP k <)()(λ，则停止计算，得到点x (k)；否则，令)()1(k k c λλ=+，返回（2）执行。

程序清单外点罚函数法程序见附录11实验结果⎩⎨⎧=-+=≥=+-=，，，01)(0ln )(..)(min 2112121x x X h x X g t s x x X f 510-=ε实验结果为运行结果为：2．用点罚函数法编程计算初始点取为，初始障碍因子取，缩小系数取．点罚步骤：（1） 给定初始点S x∈)0(，允许误差e>0，障碍参数)1(γ，缩小系数)1,0(∈b ，置k=1；（2） 以)1(-k x为初始点，求解下列规划问题：Sx t s x B x f k ∈+..)()(min )(γ，令)(k x 为所求极小点⎩⎨⎧≥≥-⎥⎦⎤⎢⎣⎡++．，，001..)1(31min 21231x x t s x x TX ]43[0，=101=u 1.0=c（3） 如果e x B k k <)()()(γ，则停止计算，得到结果)(k x ，（4） 否则令)()1(k k b γγ=+，置k=k+1，返回（2）。