固定收益证券的利率风险分析
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n
金额久期
定义：金额久期是市场利率变化1个百分点（100个基点） 导致债券价格变化的金额。
dollar
n t Ct (t V (Ct )) t t 1 (1 y ) t 1 n
经济含义
市场利率变化1%，将导致债券价格变化的金额为 dollar / 100
久期
金额久期
Macaulay 久期
修正久期 有效久期 关键利率久期 组合久期
与债券的简单久 期认识有所区别
பைடு நூலகம்
金额久期
Ct P Ct d t t ( 1 y ) t 1 t 1 t t C t dP dyt t 1 t 1 (1 yt )
全价法
主要采用情形分析法 债券收益率波动对价格的影响
利率变化幅度越大，对价格的影响也越大 即使利率上涨或下跌的绝对数字一样，对债券 价格影响的幅度也不同，即利率的上涨或下跌 对价格影响是不对称的
全价法
例：5年期6%债券，当前价格为1042.65美元，如果利率上、下波动50和100个基点
n t Ct dP t 1 dy 2 ( 1 y / 2 ) t 1 n
t Ct t t 1 2 (1 y / 2) D P dP 1 D dy P 1 y / 2
n
经济含义（倍数而不是期限）
例5
period cash flow PV$1@4.5% PV 1 3 0.9569 2.871 2 3 0.9157 2.747 3 3 0.8763 2.629 4 3 0.8386 2.561 5 3 0.8025 2.407 6 3 0.7679 2.304 7 3 0.7348 2.204 8 3 0.7032 2.109 9 3 0.6729 2.019 10 103 0.6439 66.325 Price 88.131 金额久期=765.9, 内涵? t(PV) 2.871 5.494 7.887 10.063 12.037 13.822 15.431 16.876 18.168 663.246 765.895
基点价值（Price Value of a Basis Point）
目前的到期收益率为9%。到期收益率增加1个基点，为 9.01% ，债券新的价格
4.5 104.5 P 99.9604 t 10 ) 1.04505 t 1 (1 4.505
基点价值 = $100 - $99.9604 = $0.0396
Macaulay 久期 = 765.895/88.13= 8.69(半年) = 4.35 years? 含 义 4.35 倍
修正久期
DM DM D (annual ) 1 y D ( sem iannual ) 1 y / 2
dP DM dy P
含义?
有效久期
P P P P Deffective /P y y 2 y P
嵌回售期权债券
P’ 价格
无期权债券 P’’ 价格
Y*
市场要求收益率
图7-4：嵌回售权债券的价格－收益曲线
基点价值（Price Value of a Basis Point）
定义：基点价值是要求的到期收益率变动一个基点所
对应的债券价格的变化额。
例1：期限5年，票面利率9%（半年支付），价格为 100。求该债券的基点价值。
t(PV)
9.2161 16.9343 23.2693 28.3446 32.2881 35.2282 37.2906 38.5955 39.2568 39.3788 39.0572 38.3782 37.4182 36.2433 34.9117 33.4725 31.9677 30.4310 28.8906 301.0648 911.63 911.63
测度的内涵
金额久期：市场利率变化1%，导致债券价格金额的变化（金额久
PV
9.2161 8.4672 7.7564 7.0862 6.4576 5.8714 5.3272 4.8244 4.3619 3.9379 3.5507 3.1982 2.8783 2.5888 2.3274 2.0920 1.8805 1.6906 1.5206 15.0532 100.0866
第四讲 固定收益证券的利率风险分析
债券投资的风险 债券价格的波动特征及测算 久期（持续期） 凸率（凸性）
久期与凸率的应用
债券价格的波动特征及测算 市场层面和微观层面
负向关系
的理论认识
利率与债券价格的关系 利率风险与其他因素之间的关系
债券期限与利率风险 票面利率与利率风险 “+” “-” “-” “重订日间隔-”
变化幅度 （基点）
100.00 33.82 32.67 31.57 30.50 29.47 28.47 27.51 26.58 25.68 733.73 1,000.00 -4.09% -50.00 34.06 33.15 32.26 31.40 30.56 29.74 28.95 28.17 27.42 789.08 1,064.80 2.12% -100.00 34.15 33.31 32.50 31.71 30.93 30.18 29.44 28.73 28.03 808.54 1,087.52 4.30%
有效久期
有效久期存在的意义
有些证券的现金流量是不确定 (例如MBS)，而久
期的定义是债券价格相对于市场利率的敏感性。
由于现金流量不确定，因此无法使用标准的久期 公式。
理解久期的差异
久期的适用性
金额久期适用于市场收益曲线非水平时，当然水平时也可以 Macaulay(比率) 久期适用于市场收益曲线水平时 有效久期适用于现金流不确定时
例6： 票面利率为9%，期限 20 的非含权债券，价格 134.67，到期收益率6%。让到期收益率上升或下降 20 个 基点，债券价格将分别为 137.59 和131.84，因此
P P 137.59 131.84 Deffective 10.66 2 y P 2 0.002134.67
图1：债券价格与市场要求收益率的正凸率关系
16
债券价格波动特征
P2 P2-Po
Po P0-P1 P1
Y2
Yo
Y1
图2：债券－收益曲线凸率为负的情形
债券价格波动特征
价格 C’’ 无期权债券 C’ 赎回期权债券
C
y*
市场要求收益率
图3：嵌赎回期权债券的价格与市场要求收益的关系
债券价格波动特征
价 格 价 格 P 价格
10 1 4.5 104.5 100 t 32 t 1 (1 y / 2) (1 y / 2)10 y 8.992%
价格波动的收益率价值 = 9% - 8.992% = 0.008%,
影响价格-利率敏感性的主要因素
偿还期
偿还期越长，债券价格相对利率的敏感性越大，但随着偿还 期的延长，敏感性增大的速度在下降。
债券价格波动特征
债券价格与市场要求收益率
1,400
债券价格的波动
方向与市场要求
1,200
收益率相反
1,000
债券价格
P2
800
对幅度相同、方 向相反的收益率
P2-Po
600
Po Po-P1 P1
变化，债券价格 上升的幅度大于
400
200
Y2
Yo
Y1
价格下跌的幅度
19 22
1
4
7
10
13
市场要求收益率 %
10
价格波动的收益率价值
（Yield Value of a Price Change）
定义：价格波动的收益率价值，是指债券价格发生一定金 额变化（通常是1/32 of $1）所对应的到期收益率变化的幅
度。（用来间接衡量债券的流动性）
例2：期限5年，票面利率9%（半年支付）， 收益率为 9% (b.e.b.)，对应价格为$100。
discount fct 1 0.9216 0.8467 0.7756 0.7086 0.6458 0.5871 0.5327 0.4824 0.4362 0.3938 0.3551 0.3198 0.2878 0.2589 0.2327 0.2092 0.1880 0.1691 0.1521 0.1368
表1：债券收益率波动对价格的影响（5年期债券）
期限 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 债券价值 债券价格变化幅度 现金流 35 35 35 35 35 35 35 35 35 1035
初始利率
6.00 33.98 32.99 32.03 31.10 30.19 29.31 28.46 27.63 26.82 770.14 1,042.65 0 50.00 33.90 32.83 31.80 30.80 29.83 28.89 27.98 27.10 26.25 751.69 1,021.06 -2.07%
票面利率
票面利率越低，债券价格相对利率的敏感性越大
收益曲线
市场利率水平越低，债券价格相对利率的敏感性越大。
例3： 4个债券，每个债券的到期收益率为9% (b.e.b)， 半年支付。价格分别为$100、$100、$84.175、 $63.1968。
例3
new yld 6 8 8.9 9.01 9.5 10 12 BP change -300 -100 -10 1 50 100 300 9% 5yr 12.80 4.06 0.40 -0.04 -1.95 -3.86 -11.04 9% 20yr 34.67 9.90 0.93 -0.09 -4.44 -8.58 -22.57 5% 5yr 11.56 3.66 0.36 -0.04 -1.76 -3.48 -9.93 5% 20yr 25.25 7.11 0.66 -0.07 -3.16 -6.09 -15.86
金额久期
例4: 20年债券，面值100，票面利率10%，每年支
付1次。
term yield% 0 1 8.5056 2 8.6753 3 8.8377 4 8.9927 5 9.1404 6 9.2807 7 9.4136 8 9.5391 9 9.657 10 9.7675 11 9.8705 12 9.9659 13 10.0537 14 10.134 15 10.2067 16 10.2718 17 10.3292 18 10.379 19 10.4212 20 10.4557 total 金额久期
Macaulay(比率) 久期
Ct P t ( 1 y ) t 1 dP n t Ct dy t 1 (1 y ) t 1 t Ct t ( 1 y ) D t 1 P dP 1 D dy P 1 y
n n
Macaulay 久期
Ct P t ( 1 y / 2 ) t 1
嵌入期权与利率风险
收益曲线与利率风险 基点价值 价格波动的收益率价值 浮动利率债券的利率风险
债券的利率风险
衡量思路：当利率出现波动时，测量债券价格的变化 幅度 方法： 全价法：假定利率以一定的幅度变化后，重新计 算债券的价格，并分析债券价格的利率波动前后的 价格变化。 久期法
例3
40 30 20 10 0 -10 -20 -30
9% 9% 5% 5% 1 2 3 4 5 6 7
5yr 20yr 5yr 20yr
久期
久期包含了关于债券到期收益率、票面利率和到期时 间的信息。 久期是债券或者是债券组合在一个时点上的特征，久 期与时俱进。 久期是大多数避险策略中的重要内容。
n n n
金额久期
如果到期收益曲线是水平的，并且平行移动
y0,1 y0,2 y0,3 y0,t y0,n
Ct P t ( 1 y ) t 1 t C t dP dy t 1 t 1 (1 y )
n n
1 1 y
t C t dy t t 1 (1 y )
金额久期
定义：金额久期是市场利率变化1个百分点（100个基点） 导致债券价格变化的金额。
dollar
n t Ct (t V (Ct )) t t 1 (1 y ) t 1 n
经济含义
市场利率变化1%，将导致债券价格变化的金额为 dollar / 100
久期
金额久期
Macaulay 久期
修正久期 有效久期 关键利率久期 组合久期
与债券的简单久 期认识有所区别
பைடு நூலகம்
金额久期
Ct P Ct d t t ( 1 y ) t 1 t 1 t t C t dP dyt t 1 t 1 (1 yt )
全价法
主要采用情形分析法 债券收益率波动对价格的影响
利率变化幅度越大，对价格的影响也越大 即使利率上涨或下跌的绝对数字一样，对债券 价格影响的幅度也不同，即利率的上涨或下跌 对价格影响是不对称的
全价法
例：5年期6%债券，当前价格为1042.65美元，如果利率上、下波动50和100个基点
n t Ct dP t 1 dy 2 ( 1 y / 2 ) t 1 n
t Ct t t 1 2 (1 y / 2) D P dP 1 D dy P 1 y / 2
n
经济含义（倍数而不是期限）
例5
period cash flow PV$1@4.5% PV 1 3 0.9569 2.871 2 3 0.9157 2.747 3 3 0.8763 2.629 4 3 0.8386 2.561 5 3 0.8025 2.407 6 3 0.7679 2.304 7 3 0.7348 2.204 8 3 0.7032 2.109 9 3 0.6729 2.019 10 103 0.6439 66.325 Price 88.131 金额久期=765.9, 内涵? t(PV) 2.871 5.494 7.887 10.063 12.037 13.822 15.431 16.876 18.168 663.246 765.895
基点价值（Price Value of a Basis Point）
目前的到期收益率为9%。到期收益率增加1个基点，为 9.01% ，债券新的价格
4.5 104.5 P 99.9604 t 10 ) 1.04505 t 1 (1 4.505
基点价值 = $100 - $99.9604 = $0.0396
Macaulay 久期 = 765.895/88.13= 8.69(半年) = 4.35 years? 含 义 4.35 倍
修正久期
DM DM D (annual ) 1 y D ( sem iannual ) 1 y / 2
dP DM dy P
含义?
有效久期
P P P P Deffective /P y y 2 y P
嵌回售期权债券
P’ 价格
无期权债券 P’’ 价格
Y*
市场要求收益率
图7-4：嵌回售权债券的价格－收益曲线
基点价值（Price Value of a Basis Point）
定义：基点价值是要求的到期收益率变动一个基点所
对应的债券价格的变化额。
例1：期限5年，票面利率9%（半年支付），价格为 100。求该债券的基点价值。
t(PV)
9.2161 16.9343 23.2693 28.3446 32.2881 35.2282 37.2906 38.5955 39.2568 39.3788 39.0572 38.3782 37.4182 36.2433 34.9117 33.4725 31.9677 30.4310 28.8906 301.0648 911.63 911.63
测度的内涵
金额久期：市场利率变化1%，导致债券价格金额的变化（金额久
PV
9.2161 8.4672 7.7564 7.0862 6.4576 5.8714 5.3272 4.8244 4.3619 3.9379 3.5507 3.1982 2.8783 2.5888 2.3274 2.0920 1.8805 1.6906 1.5206 15.0532 100.0866
第四讲 固定收益证券的利率风险分析
债券投资的风险 债券价格的波动特征及测算 久期（持续期） 凸率（凸性）
久期与凸率的应用
债券价格的波动特征及测算 市场层面和微观层面
负向关系
的理论认识
利率与债券价格的关系 利率风险与其他因素之间的关系
债券期限与利率风险 票面利率与利率风险 “+” “-” “-” “重订日间隔-”
变化幅度 （基点）
100.00 33.82 32.67 31.57 30.50 29.47 28.47 27.51 26.58 25.68 733.73 1,000.00 -4.09% -50.00 34.06 33.15 32.26 31.40 30.56 29.74 28.95 28.17 27.42 789.08 1,064.80 2.12% -100.00 34.15 33.31 32.50 31.71 30.93 30.18 29.44 28.73 28.03 808.54 1,087.52 4.30%
有效久期
有效久期存在的意义
有些证券的现金流量是不确定 (例如MBS)，而久
期的定义是债券价格相对于市场利率的敏感性。
由于现金流量不确定，因此无法使用标准的久期 公式。
理解久期的差异
久期的适用性
金额久期适用于市场收益曲线非水平时，当然水平时也可以 Macaulay(比率) 久期适用于市场收益曲线水平时 有效久期适用于现金流不确定时
例6： 票面利率为9%，期限 20 的非含权债券，价格 134.67，到期收益率6%。让到期收益率上升或下降 20 个 基点，债券价格将分别为 137.59 和131.84，因此
P P 137.59 131.84 Deffective 10.66 2 y P 2 0.002134.67
图1：债券价格与市场要求收益率的正凸率关系
16
债券价格波动特征
P2 P2-Po
Po P0-P1 P1
Y2
Yo
Y1
图2：债券－收益曲线凸率为负的情形
债券价格波动特征
价格 C’’ 无期权债券 C’ 赎回期权债券
C
y*
市场要求收益率
图3：嵌赎回期权债券的价格与市场要求收益的关系
债券价格波动特征
价 格 价 格 P 价格
10 1 4.5 104.5 100 t 32 t 1 (1 y / 2) (1 y / 2)10 y 8.992%
价格波动的收益率价值 = 9% - 8.992% = 0.008%,
影响价格-利率敏感性的主要因素
偿还期
偿还期越长，债券价格相对利率的敏感性越大，但随着偿还 期的延长，敏感性增大的速度在下降。
债券价格波动特征
债券价格与市场要求收益率
1,400
债券价格的波动
方向与市场要求
1,200
收益率相反
1,000
债券价格
P2
800
对幅度相同、方 向相反的收益率
P2-Po
600
Po Po-P1 P1
变化，债券价格 上升的幅度大于
400
200
Y2
Yo
Y1
价格下跌的幅度
19 22
1
4
7
10
13
市场要求收益率 %
10
价格波动的收益率价值
（Yield Value of a Price Change）
定义：价格波动的收益率价值，是指债券价格发生一定金 额变化（通常是1/32 of $1）所对应的到期收益率变化的幅
度。（用来间接衡量债券的流动性）
例2：期限5年，票面利率9%（半年支付）， 收益率为 9% (b.e.b.)，对应价格为$100。
discount fct 1 0.9216 0.8467 0.7756 0.7086 0.6458 0.5871 0.5327 0.4824 0.4362 0.3938 0.3551 0.3198 0.2878 0.2589 0.2327 0.2092 0.1880 0.1691 0.1521 0.1368
表1：债券收益率波动对价格的影响（5年期债券）
期限 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 债券价值 债券价格变化幅度 现金流 35 35 35 35 35 35 35 35 35 1035
初始利率
6.00 33.98 32.99 32.03 31.10 30.19 29.31 28.46 27.63 26.82 770.14 1,042.65 0 50.00 33.90 32.83 31.80 30.80 29.83 28.89 27.98 27.10 26.25 751.69 1,021.06 -2.07%
票面利率
票面利率越低，债券价格相对利率的敏感性越大
收益曲线
市场利率水平越低，债券价格相对利率的敏感性越大。
例3： 4个债券，每个债券的到期收益率为9% (b.e.b)， 半年支付。价格分别为$100、$100、$84.175、 $63.1968。
例3
new yld 6 8 8.9 9.01 9.5 10 12 BP change -300 -100 -10 1 50 100 300 9% 5yr 12.80 4.06 0.40 -0.04 -1.95 -3.86 -11.04 9% 20yr 34.67 9.90 0.93 -0.09 -4.44 -8.58 -22.57 5% 5yr 11.56 3.66 0.36 -0.04 -1.76 -3.48 -9.93 5% 20yr 25.25 7.11 0.66 -0.07 -3.16 -6.09 -15.86
金额久期
例4: 20年债券，面值100，票面利率10%，每年支
付1次。
term yield% 0 1 8.5056 2 8.6753 3 8.8377 4 8.9927 5 9.1404 6 9.2807 7 9.4136 8 9.5391 9 9.657 10 9.7675 11 9.8705 12 9.9659 13 10.0537 14 10.134 15 10.2067 16 10.2718 17 10.3292 18 10.379 19 10.4212 20 10.4557 total 金额久期
Macaulay(比率) 久期
Ct P t ( 1 y ) t 1 dP n t Ct dy t 1 (1 y ) t 1 t Ct t ( 1 y ) D t 1 P dP 1 D dy P 1 y
n n
Macaulay 久期
Ct P t ( 1 y / 2 ) t 1
嵌入期权与利率风险
收益曲线与利率风险 基点价值 价格波动的收益率价值 浮动利率债券的利率风险
债券的利率风险
衡量思路：当利率出现波动时，测量债券价格的变化 幅度 方法： 全价法：假定利率以一定的幅度变化后，重新计 算债券的价格，并分析债券价格的利率波动前后的 价格变化。 久期法
例3
40 30 20 10 0 -10 -20 -30
9% 9% 5% 5% 1 2 3 4 5 6 7
5yr 20yr 5yr 20yr
久期
久期包含了关于债券到期收益率、票面利率和到期时 间的信息。 久期是债券或者是债券组合在一个时点上的特征，久 期与时俱进。 久期是大多数避险策略中的重要内容。
n n n
金额久期
如果到期收益曲线是水平的，并且平行移动
y0,1 y0,2 y0,3 y0,t y0,n
Ct P t ( 1 y ) t 1 t C t dP dy t 1 t 1 (1 y )
n n
1 1 y
t C t dy t t 1 (1 y )