概率论复习重点与习题

n
n
X , Y 不相关 ⇔ EXY = EXEY .
2）会求随机变量函数的数学期望； ）会求随机变量函数的数学期望； 是连续函数， 设 Y =g( X ), g( x ) 是连续函数，
则 EY = ∑ pk g( xk )
∞
EY = ∫ g( x) f ( x)dx
则 EZ = ∑g( xi , y j ) pij
+∞
−∞
∫
f X ( x) fY (z − x)dx
−∞
∫
f X (z − y) fY ( y)dy
（3）极值分布
F(n ) ( x ) = P {X (n ) ≤ x} = Π Fi ( x )
n
F(1) ( x ) = P {X (1) ≤ x} = 1 − Π1[1 − Fi ( x ) ] i=
P{X = k} = C p (1− p)
k n k
n−k
( k = 0，1，L n ) ，
7）掌握泊松分布； ）掌握泊松分布；
P{X = k} =
λ
k
k!
e−λ
( k = 0，1， 2，L)
8）掌握均匀分布: ）掌握均匀分布
X ~ U [a , b]
1 a≤ x≤b f (x) = b − a 0 其它
P{( X,Y) ∈G} = ∫∫ f ( x, y)dxdy.
G
3）掌握二维均匀分布的定义及性质； ）掌握二维均匀分布的定义及性质；
A
G D
1 f ( x， y ) = A 0
( x， y ) ∈ D ( x， y ) ∉ D
y
B P{( X,Y) ∈G} = ∫∫ f ( x, y)dxdy = . A G
x
( 2)
∫
∞
−∞
−∞
f ( x )dx = 1;
x2 x1
(3) P{x1 < X ≤ x2 } = F( x2 ) − F( x1 ) = ∫ f ( x)dx;
(4) F ′( x ) = f ( x ).
5）理解贝努里试验，掌握两点分布及其概率背景； ）理解贝努里试验，掌握两点分布及其概率背景； X ~ b ( 1, p ), 6）掌握二项分布的概率背景，即会把实际问题中 ）掌握二项分布的概率背景， 服从二项分布的随机变量构设出来， 服从二项分布的随机变量构设出来，运用有关公式 求概率. 求概率 若 X 表示 重贝努里试验中成功出现的次数， 表示n重贝努里试验中成功出现的次数 重贝努里试验中成功出现的次数， 则 X ~ b ( n , p ),
4）会求边缘分布率和边缘概率密度； ）会求边缘分布率和边缘概率密度；
B
x
pi. = P{ = xi } = ∑ pij X
p. j = P{ = y j } = ∑ pij Y
i j
∫ f ( x， y )dy +∞ fY ( y) = ∫ f ( x， y)dx
−∞
f X (x ) =
+∞
−∞
Y X x1
i =1
主要参考习题 P84:2,9,15,18,22,36
第四章主要内容及要求： 第四章主要内容及要求：
1）熟练掌握期望定义和性质； ）熟练掌握期望定义和性质；
EX = ∑xk pk
i =1
∞
EX = ∫ xf ( x)dx
−∞
∞
E ( ∑ a i X i ) = ∑ a i EX i
i =1 i =1
µ X ~ N ( ， σ ):
2
f (x ) =
1 2π σ
−
(x − µ )2
2σ 2
e
(− ∞ < x < +∞ )
X ~ N(0 1) : ，
ϕ (x ) =
1 2π e
x2 − 2
(− ∞ < x < +∞ )
Φ ( − x ) = 1 − Φ (x )
σ b- µ a−µ P{a < X < b} = Φ( ) −Φ( ).
n
i =1
7）掌握正态分布的性质： ）掌握正态分布的性质：
相互独立， 如果随机变量 X 1， X 2， L， X n 相互独立，
X i ~ N µ i， σ
n
(
2 i
)
令： Z = ∑ai Xi，
n n 2 2 则 Z ~ N ∑ai µi， ∑ai σ i i =1 i=1
(6) P(B − A) = P(B) − P( AB)
3）熟练运用条件概率的定义，乘法公式，全概公 ）熟练运用条件概率的定义，乘法公式， 事件的独立性及性质求概率. 式，事件的独立性及性质求概率 P( AB) (1) P(AB) = ; P(B)
(2) P( AB) = P( A)P(B A);
主要参考习题 P25:3,5,9,14,19,24,30,36
第二章主要内容及要求： 第二章主要内容及要求：
1）掌握随机变量分布函数的定义及性质: ）掌握随机变量分布函数的定义及性质
F( x) = P{X ≤ x}
F (x) 是一个单调不减右连续的函数；0 ≤ F( x) ≤ 1; 是一个单调不减右连续的函数； 单调不减右连续的函数
n k=1
(3) P(B) = ∑P( Ak )P(B Ak );
P( A )P(B | A ) P( A B) k k k = (4) P( A | B) = , k n P(B) ∑ P( Aj )P(B | Aj ) j =1
(5) P( AB) = P( A) P(B).
P ( AB ) = P ( A)P (B ) （6） P (BC ) = P (B )P (C ) A ,B,C 相互独立 P ( AC ) = P ( A)P (C ) P( ABC) = P( A)P(B)P(C)
A ⊂ B, A U B,
A I B = AB , A− B = A− AB = AB, A I B = ∅ , − A I B = ∅; A U B = S .
U A α = I Aα , I A α = U A α α α α α
α α α α
2）掌握概率的定义及性质，会求常用的古典概型 ）掌握概率的定义及性质， 概率； 中的 概率； ,则 是两两互不相容事件 (1) 若 1 , A2 ,L A P( A U A2 UL = P( A ) + P( A2) +L ) 1 1
6）会求二维随机变量函数的分布： ）会求二维随机变量函数的分布： （1）一般情形
再求随机变量函数 Z = g ( X ， Y )的密度函数 ′ f Z (z ) = F Z (z )，
（2）和的分布
先求随机变量函数 Z = g ( X， Y )的分布函=
+∞
f Z (z) =
2 2
不相关， 若 X,Y 不相关， D(aX + bY) = a DX + b DY. 则
2 2
4）掌握契比雪夫不等式 ）
P {| X − EX |≥ ε } ≤ DX / ε 2 ;
5）熟记两点分布、二项分布、泊松分布、均匀分布、 ）熟记两点分布、二项分布、泊松分布、均匀分布、 正态分布、指数分布的期望值和方差值. 正态分布、指数分布的期望值和方差值 6）掌握协方差和相关系数的定义，不相关的定义及 ）掌握协方差和相关系数的定义， 独立与不相关的关系； 独立与不相关的关系； COV( X, Y ) = E( X – EX )( Y-EY ) = E XY –EX EY
i , j=1
k=1 ∞
X 若 Z = g(∞ ,Y)
EZ =
∞ ∞
−∞
−∞ −∞
∫ ∫ g(x, y) f (x, y)dxdy
3）熟练掌握方差的定义和性质； ）熟练掌握方差的定义和性质；
DX = E( X − EX)2 = EX 2 − (EX )2
D( cX ) = c 2 DX
D(aX + bY ) = a DX + b DY + 2abE ( X − EX )(Y − EY ) = a 2 DX + b 2 DY + 2abCOV ( X , Y )
X
P
⑴
x1 p1
x2 p2
L ， xn L ， pn
L L
对任意的自然数 n，有 p n ≥ 0; ，
⑵
∑p
n
n
= 1.
3）会求离散型随机变量的分布函数； ）会求离散型随机变量的分布函数； X -1 pk 1
4
2
1 2
3
1 4
1
1 1 , x ≤ −1 4 4 -1 0 3 F( x) = , - 1 < x ≤ 2 4 1, 2 < x ≤ 3
(2) 若 1 , A2 ,L, An是两两互不相容事件 ,则 A P( A U A2 ULU An) 1 = P( A ) + P( A2) +L+ P( An) 1
(3) A ⊂ B ⇒ P(B − A) = P(B) − P( A)
(4) P( A) = 1 − P( A) (5) P( AU B) = P( A) + P(B) − P( AB)
《概率论与数理统计》课程总结 概率论与数理统计》 第一章主要内容及要求： 第一章主要内容及要求：
1）熟练掌握事件的关系与运算法则：包含、交、 ）熟练掌握事件的关系与运算法则：包含、 并、差、互不相容、对立等关系和德摩根定律.会 互不相容、对立等关系和德摩根定律 会 用事件的关系表示随机事件. 用事件的关系表示随机事件
FX ( x) = P{X ≤ x} = Φ(