数据库关系运算
数据库关系运算理论(1)
9
基本表
查询表
视图
10
(4)关系的规范化性质
列是同质的， ①列是同质的，即每一列中的分量是同一类型的数 来自同一个域。 据，来自同一个域。 不同的列可出自同一个域， ②不同的列可出自同一个域，称其中的每一列为一 个属性， 个属性，不同的属性要给予不同的属性名 ③列的顺序无所谓，即列的顺序可以任意交换。 列的顺序无所谓，即列的顺序可以任意交换。 任意两个元组不能完全相同。 ④任意两个元组不能完全相同。 行的顺序无所谓，即行的顺序可以任意交换。 ⑤行的顺序无所谓，即行的顺序可以任意交换。 分量必须取原子值， ⑥分量必须取原子值，即每个分量必须是不可再分 的数据项。 的数据项。
2)笛卡尔积：给定一组域D 2)笛卡尔积：给定一组域D1，D2，…Dn，这些域中 笛卡尔积 D 可以有相同的。笛卡尔积表示为： 可以有相同的。笛卡尔积表示为： D1╳D2 ╳ … Dn={(d1,d2,…dn)|di∈Di,i=1,2 …n} d n} 其中每一个元素(d 其中每一个元素(d1,d2,…dn)叫做一个n元组， 元素 d 叫做一个n元组， 简称为元组 元素中的每一个值d 叫做一个分量 元组。 分量。 简称为元组。元素中的每一个值di叫做一个分量。
一张二维表。 （1）数据结构：一张二维表。现实世界的实体 以及实体间的联系均用关系（二维表）表示。 以及实体间的联系均用关系（二维表）表示。 关系操作包括 操作。 （2）关系操作包括：查询和更新操作。 关系操作包括：查询和更新操作 查询操作包括：选择、投影、连接、 查询操作包括：选择、投影、连接、 操作。 除、并、交、差等操作。 更新操作包括：增加、删除、修改操作。 更新操作包括：增加、删除、修改操作。 操作 特点： 对象和 都是集合 关系操作的特点 操作对象 结果都是 关系操作的特点：操作对象和结果都是集合
关系数据库的检索操作的三种基本运算
关系数据库的检索操作的三种基本运算
1.选择：选择运算是指从关系中选出满足指定条件的元组，即数据行。
例如，从一个学生表中选择出所有年龄大于18岁的学生，可以使用如下的SQL语句：
SELECT * FROM students WHERE age > 18;
2. 投影：投影运算是指从关系中选取一部分属性，生成一个新的关系。
例如，从一个学生表中选取学生的姓名和性别，可以使用如下的SQL语句：
SELECT name, gender FROM students;
3. 连接：连接运算是指将两个关系合并成一个新的关系。
常见的连接方式包括内连接、外连接和交叉连接。
例如，将一个学生表和一个课程表进行内连接，可以使用如下的SQL语句：
SELECT * FROM students INNER JOIN courses ON students.id = courses.student_id;
以上三种基本运算是关系数据库中进行检索操作的基础，掌握它们对于进行高效的数据库查询操作非常重要。
- 1 -。
数据库关系运算
第3章 关系运算及关系系统
除法的性质：
（1） R÷S的结果属性是由属于R但不属于S的所有属性
构成的。
（2） R÷S的任一元组都是R中某元组的一部分。 （3） R（X，Y）÷S（Y，Z）≡R（X，Y）÷πY（S）
或构造临时关系T={P2，P4}， 再求
πE＃， P＃（EP）÷T
第3章 关系运算及关系系统
⑧ 检索参与全部项目职工姓名。
πEN（（（πE＃， P＃（EP））÷πP＃（P）） πE＃， P＃（EP）÷πP＃（σE＃=′E3′（EP）） E）
⑨ 检索参与项目包含职工E3参与项目的职工号，
或参与项目不包含职工E3所参与项目的职工号及姓名。
第3章 关系运算及关系系统
R÷S=πX（R）－πX（（πX（R）×S）－R）
（4） R÷S的计算过程如下：
① T=πX（R）;
② W=（T×S）－R;
③ V=πX（W）;
④ R÷S=T－V。
【例3.3】 给定关系R和S， 求R÷S。
第3章 关系运算及关系系统
图3.5 除法操作举例
第3章 关系运算及关系系统
然连接。 为了保留更多信息， 还有外连接、 半连接、 外部并-----扩充的关系代数运算。
第3章 关系运算及关系系统
1． 外连接（Outer join） 两个关系 R和 S 作自然连接时， 两个关系
公共属性上值不相等的元组无法进入连接后的
新关系， 造成R和S中部分元组值被舍弃。 有时希望这些该舍弃的元组继续保留在新关系 中-----外连接。
图3.7
S
SC运算结果
数据库专门关系运算-除
学生姓名
--------
张三
而RS÷S的意义是“选修了所有课程的学生”，楼主自己理解理解吧，其实很简单的。
至于楼主给出的例题，关系S中的属性D实际上是没用的（因为作为被除方的R关系中没有这个属性），那么S的属性只保留A和C，其元组有<a,c> <d,f> <b,d>；
为了方便把R的属性按B、A、C的顺序排列，其元组有<b,a,c> <a,b,d><d,c,e> <f,d,g>；
赵四的象集为（教师和课程集合）：{(t6,c6)}
S在(教师、课程)上的投影为{(t1,c2), (t2,c3), (t2,c1)}。
所以，R÷S = {张会}（就是说只有张会一个学生选择了关系S中的教师和课程集合）
R的元组有<张三>、<李四>、<王五>，S的元组有<语文>、<数学>；
那么RS中的元组<张三，语文>就意味着R的元组<张三>与S中的元组<语文>有关系；元组<张三，数学>意味着R的元组<张三>与S中的元组<数学>有关系；
这样，R中的<张三>与S中所有元组都有联系，所以它是RS÷S的结果之一，也是这个例子中唯一的结果（楼主可以自己分析<李四>和<王五>）。
关系R:
学生名
--------
பைடு நூலகம்张三
李四
王五
关系S：
课程名
------
语文
数学
关系RS：
学生名课程名
--------------
数据库关系代数运算例题
数据库关系代数运算例题
下面是一个关系代数运算的例题：
已知有两个关系表格R和S，分别包含以下字段：
R(A, B, C)
S(C, D)
问题1: 求R和S的笛卡尔积。
解答1: 笛卡尔积可以利用关系代数的乘积运算来表示。
乘积运算使用 ×符号表示，即 R × S。
问题2: 求R和S的并集。
解答2: 并集可以利用关系代数的并运算来表示。
并运算使用∪符号表示，即 R ∪ S。
问题3: 求R和S的交集。
解答3: 交集可以利用关系代数的交运算来表示。
交运算使用∩ 符号表示，即R ∩ S。
问题4: 求R和S的差集。
解答4: 差集可以利用关系代数的差运算来表示。
差运算使用 - 符号表示，即 R - S。
问题5: 求R关于字段A的投影。
解答5: 投影可以利用关系代数的投影运算来表示。
投影运算使用π 符号表示，即π(A)(R)。
问题6: 求R关于字段A的选择条件为A=1的选择。
解答6: 选择可以利用关系代数的选择运算来表示。
选择运算使用σ 符号表示，即σ(A=1)(R)。
问题7: 求R和S的连接条件为R.C=S.C的自然连接。
解答7: 自然连接可以利用关系代数的连接运算来表示。
连接运算使用⨝符号表示，并在连接条件上加上等式。
即 R ⨝(R.C=S.C) S。
数据库——关系运算
3.1 集合运算 刘鹤年编写
（属于R而且也属于S）
第3章 关系代数
喜欢跳舞的学生关系R
Sname
Sex
李敬
女
高全英
女
吴秋娟
女
穆金华
男
张欣欣
女
王婷
女
喜欢唱歌的学生关系S 刘鹤年编写
Sname
Sex
赵成刚
男
张峰
男
吴秋娟
女
穆金华
男
孙政先
男
王婷
女
吕文昆
男
孙炜
女
既喜欢跳舞也喜欢唱歌的学生R∩S
Sname
Sex
有相同的域。
则关系R和S的交，将产生一个包含所有既属于R
也属于S的元组的新关系。记作：R∩S。
由于R∩S =R–(R-S),或者R∩S =S–(S-R),
所以R∩S 运算是一个复合运算。
第3章 关系代数
3.1.3 交运算（续）
交操作的示意图，如图3-3所示。
刘鹤年编写
第3章 关系代数
3.1.3 交运算(续)
李敬
16020010 C语言程序设计
李敬
16020011 图像处理
李敬
16020012 网页设计
第3章 关系代数
3.2 特殊的关系运算
3.2 特殊的关系运算 刘鹤年编写
关系数据库是用数学方法处理数据的，关系 间可以进行各种运算，以支持对数据库的各种操 作。我们介绍其中最基本的三种运算：
选择（Selection）
从一组集合的笛卡尔积中，抽取能反映现实世界的， 具有实际意义的子集。该子集即为一个关系。
D1×D2×…×Dn的子集叫做在域D1×D2×…×Dn 上的关系，表示为:
数据库关系代数
数据库关系代数关系代数是关系数据库系统查询语⾔的理论基础⼀、关系代数的9种操作：关系代数中包括了：并、交、差、乘、选择、投影、联接、除、⾃然联接等操作。
五个基本操作：并(∪)、差(-)、笛卡尔积(×)、投影(σ)、选择(π)四个组合操作：交(∩)、联接(等值联接)、⾃然联接(R S)、除法(÷)注2：等值连接表⽰先做笛卡尔积(×)之后，对相应列进⾏选择或等值关联后的结果(仅筛选⾏、不筛选列)注2：⾃然连接表⽰两个关系中若有相同名称的属性，则⾃动作为关联条件，且仅列出⼀列⼆、关系代数表达式：由关系代数运算经有限次复合⽽成的式⼦称为关系代数表达式。
这种表达式的运算结果仍然是⼀个关系。
可以⽤关系代数表达式表⽰对数据库的查询和更新操作。
三、举例说明：设教学数据库中有3个关系：学⽣关系S(SNO, SNAME,AGE,SEX)学习关系SC(SNO,CNO,GRADE)课程关系C(CNO,CNAME,TEACHER)(1) 检索学习课程号为C2的学⽣学号与成绩------------------------------------SELECT SNO,GRADEFROM SCWHERE CNO='C2'------------------------------------π SNO, GRADE (σ CNO='C2' (SC))************************************(2) 检索学习课程号为C2的学⽣学号与姓名------------------------------------SELECT SC.SNO,S.SNAMEFROM SC,SWHERE SC.SNO=S.SNOAND /doc/4100a9c158f5f61fb73666f5.html O='C2'------------------------------------π SNO,SNAME (σ CNO='C2' (S SC))此查询涉及S和SC，先进⾏⾃然连接，然后再执⾏选择投影操作。
数据库系统-关系代数
数据库系统-关系代数
关系代数是一种抽象的查询语言，是关系数据操纵语言的一种传统表达方式，它是利用对关系的运算来表达查询的。
任何运算都是将一定的运算符作用于一定的运算对象上，得到预期的运算结果。
关系代数的运算对象是关系，运算结果亦为关系。
在关系代数中，有5种基本运算，它们是并（U）、差（—）、投影、选择、笛卡尔积（X），其他运算如交、连接和除，均可通过这5种基本运算来表达。
1. 并运算：结果为二者元组之和去除重复行。
2. 交运算：结果为二者重复行。
3. 差运算：前者去除二者重复行。
4. 笛卡尔积：从数学角度理解，就是将集合A和集合B中所有有序对元素集合。
在数据库系统中，表示得是对两个关系R 和S进行操作，产生的关系中元组个数为两个关系中元组个数之积。
5. 投影：关系R上的投影是从R中选择出若干属性列组成新的关系。
6. 选择：选择又称为限制（Restriction）。
7. 自然连接：结果列数为二者属性列数之和减去重复列，行数为二者同名属性列其值相同时的结果元组。
此外，关系代数还有许多等价表示，如常考的关系代数是笛
卡尔积、选择、投影组合与自然连接的等价表示等。
数据库中的关系代数与关系演算
数据库中的关系代数与关系演算数据库涵盖的范围广泛，其运用的逻辑学与数学原理也十分严谨。
数据库中的关系代数与关系演算两个部分，是数据库分析与设计的重要内容。
本文将讨论它们的定义、方法及应用。
一、关系代数1.1 定义关系代数是一种数学形式，是一种用来描述数据库系统中数据操作的一种标准化语言。
关系代数理论分为两部分：关系代数和关系演算。
关系代数关注的是数据在层次结构中的使用。
1.2 方法关系代数的操作一般基于及定理。
关系代数的符号及运算有选择（selection）、投影（projection）、并（union）、差（difference）、乘积（product）、联接（join）以及除（division）等符号。
通过这些操作符，可以对单个关系进行处理。
一个关系实例可以看做是一个记录的集合，而这些记录也叫作元组。
1.3 应用关系代数的应用可以用于Web数据挖掘，企业数据分析，以及管理信息系统等方面。
在大多数的数据库软件中，关系代数已经内置在了SQL语言之中。
二、关系演算2.1 定义关系演算是关系完备性理论的一种重要语言，指对关系上的操作以及使用代数符号表示的过程。
关系演算是由图灵等科学家提出的一种用来处理关系数据的操作。
这种操作是从一个关系中提取出需要的信息来处理数据的。
2.2 方法关系演算有两种基本形式，分别是元组关系演算和域关系演算。
元组关系演算是指通过运算符来生成新的元组。
而域关系演算则是指通过运算符来生成新的属性值。
2.3 应用关系演算的应用包含多个方面，如关系数据库的设计，数据库查询语言的设计等。
在关系数据库中，使用关系演算的方法可以实现对数据的查询和管理，保证数据的一致性。
在现代信息技术中，关系演算也逐渐开始应用于生产及服务领域。
三、关系代数与关系演算的联系与区别关系代数和关系演算是两个相互补充、相互影响的部分。
它们的相同点在于都是面向关系的运算，都是关系数据库的理论基础。
而它们不同的地方则是，关系代数强调的是关系运算，即加、减、交、差等运算。
数据库的关系运算
数据库的关系运算数据库的关系运算是指对关系型数据库中的关系进行操作和处理的一种方式。
关系运算包括集合运算和关系运算两大类，通过这些运算可以对数据库中的数据进行查询、插入、更新和删除等操作，实现数据的管理和处理。
一、集合运算1. 并运算：并运算是指将两个关系中的元组合并成一个新的关系。
并运算使用符号"∪"表示，它的结果是两个关系中所有元组的集合。
例如，有关系R和S，R={a, b, c}，S={c, d, e}，则R∪S={a, b, c, d, e}。
2. 交运算：交运算是指找出两个关系中共有的元组，形成一个新的关系。
交运算使用符号"∩"表示，它的结果是两个关系中共有元组的集合。
例如，有关系R和S，R={a, b, c}，S={c, d, e}，则R∩S={c}。
3. 差运算：差运算是指从一个关系中删除另一个关系中的所有元组，形成一个新的关系。
差运算使用符号"-"表示，它的结果是从第一个关系中去除与第二个关系中相同元组后的集合。
例如，有关系R和S，R={a, b, c}，S={c, d, e}，则R-S={a, b}。
4. 笛卡尔积运算：笛卡尔积运算是指将两个关系中的元组按照所有可能的组合方式进行组合，形成一个新的关系。
笛卡尔积运算使用符号"×"表示，它的结果是两个关系中元组的所有组合。
例如，有关系R和S，R={a, b}，S={c, d}，则R×S={(a, c), (a, d), (b, c), (b, d)}。
二、关系运算1. 选择运算：选择运算是指从一个关系中选择满足指定条件的元组，形成一个新的关系。
选择运算使用符号"σ"表示，它的结果是满足条件的元组的集合。
例如，有关系R，R={a, b, c}，选择条件为a=b，则σ(a=b)(R)={a, b}。
2. 投影运算：投影运算是指从一个关系中选择指定的属性，形成一个新的关系。
自考数据库系统原理 第四章 关系运算 课后习题答案
自考数据库系统原理第四章关系运算课后习题答案2009-09-15 10:454.1 名词解释(1)关系模型：用二维表格结构表示实体集，外键表示实体间联系的数据模型称为关系模型。
(2)关系模式：关系模式实际上就是记录类型。
它的定义包括：模式名，属性名，值域名以及模式的主键。
关系模式不涉及到物理存储方面拿枋觯 鼋鍪嵌允 萏匦缘拿枋觥?(3)关系实例：元组的集合称为关系和实例，一个关系即一张二维表格。
(4)属性：实体的一个特征。
在关系模型中，字段称为属性。
(5)域：在关系中，每一个属性都有一个取值范围，称为属性的值域，简称域。
(6)元组：在关系中，记录称为元组。
元组对应表中的一行；表示一个实体。
(7)超键：在关系中能唯一标识元组的属性集称为关系模式的超键。
(8)候选键：不含有多余属性的超键称为候选键。
(9)主键：用户选作元组标识的一个候选键为主键。
（单独出现，要先解释“候选键”）(10)外键：某个关系的主键相应的属性在另一关系中出现，此时该主键在就是另一关系的外键，如有两个关系S和SC,其中S#是关系S的主键，相应的属性S#在关系SC中也出现，此时S#就是关系SC的外键。
(11)实体完整性规则：这条规则要求关系中元组在组成主键的属性上不能有空值。
如果出现空值，那么主键值就起不了唯一标识元组的作用。
(12)参照完整性规则：这条规则要求“不引用不存在的实体”。
其形式定义如下：如果属性集K是关系模式R1的主键，K也是关系模式R2的外键，那么R2的关系中， K的取值只允许有两种可能，或者为空值，或者等于R1关系中某个主键值。
这条规则在使用时有三点应注意： 1)外键和相应的主键可以不同名，只要定义在相同值域上即可。
2)R1和R2也可以是同一个关系模式，表示了属性之间的联系。
3)外键值是否允许空应视具体问题而定。
(13)过程性语言：在编程时必须给出获得结果的操作步骤，即“干什么”和“怎么干”。
如Pascal和C语言等。
数据库基础-第二章 关系数据模型与关系运算
2.2 关系代数
数据查询基本运算
❖1．关系属性的指定——投影运算 这个操作是对一个关系进行垂直分割，消去某些列，并 重新安排列的顺序。
i1,i2,,in(R) {t | t ti1,ti2,,tin t1,t2,,tk R}
例子2-3
❖2．关系元组选定——选择运算 选择操作是根据某些条件对关系做水平分割，即选取符合 条件的元组。
R S {t | t R t S}
式中“－”为差运算符，t为元组变量，结果R-S为一个新的与R、S兼
容的关系，该关系是由属于R而且不属于S的元组构成的集合，即 在R中减去与S中相同的那些元组。
关系 R
A
B
C
a1
b1
c1
a1
b2
c2
a2
b2
c1
关系 R∪S
A
B
C
a1
b1
c1
a1
b2
c2
a2
b2 c2
a1
b2
c2
a2
b2
c1
图 2.9 关系 R 和关系 S 及其交运算
2.2 关系代数
2.除法运算
设关系R和S的元数分别为r和s（设r>s>0），那么R÷S是一个（r-s）元的 元组的集合。（R÷S）是满足下列条件的最大关系：其中每个元组t与S中 每个元组u组成的新元组<t，u>必在关系R中。
S# (S) S# (SC)
例2-7 在关系C中增加一门新课程（C13, ML, C3， null）： 如果令这门新课程元组所构成的关系为R，则有： R=（C13，ML，C3,null），这时结果为：C∪R。
学生关系：S (S# ，Sn， Sex，Sa ，Sd) ； 课程关系：C (C# ，Cn ，P#，Tn) ； 选课关系：SC (S#， C# ，G)，
数据库关系代数
并、差、笛卡儿积、投影、选择是关系代数的5种基本的运算,其他运算，即交、连接、除都可以通过基本的运算推导运算出。
1、并，设有两个关系R和S，它们具有相同的结构，R和S的并是由属于R或属于S的元组组成的集合；2、差，R和S的差是由属于R但不属于S的元组组成的集合；3、笛卡尔积，两个集合X和Y的笛卡尓积，又称直积，表示为X 与Y相乘，第一个对象是X的成员而第二个对象是Y的所有可能有序对的其中一个成员；4、选择，从关系中找出满足给定条件的那些元组称为选择；其中的条件是以逻辑表达式给出的，值为真的元组将被选取；5、投影，从关系模式中挑选若干属性组成新的关系称为投影。
数据库系统（二）--关系型数据库之关系代数关系型数据库-关系操作集合1、基本的关系操作关系模型中常用的关系操作包括查询(Query)操作和插入(Insert)、删除(Delete)、修改(Update)操作两大部分。
查询操作分为：选择、投影、连接、除、并、差、交、笛卡尔积等；五种基本操作：选择、投影、并、差、笛卡尔积；关系操作的特点是集合操作方式，即操作的对象和结果都是集合、这种操作方式也称为一次一集合的方式。
2、关系数据语言的分类关系操作是通过关系语言来实现的。
关系语言的特点是高度非过程化，即：（1）用户不必请求数据库管理员为其建立特殊的存取路径，存取路径的选择由 DBMS 的优化机制来完成；（2）用户也不必求助于循环和递归来完成数据的重复操作。
关系操作的能力可以用两种方式来表示：代数方式和逻辑方式。
关系代数、元组关系演算和域关系演算均是抽象的查询语言。
结构化查询语言SQL充分体现了关系数据语言的特点和优点，是关于数据库的标准语言。
关系数据语言可以分为三类：关系代数语言、关系演算语言以及兼具两者双重特点的语言。
三类语言的共同特点是语言具有完备的表达能力，是非过程化的集合操作语言，功能强，能够独立使用也可以嵌入高级语言中使用。
3、关系代数操作包含三大要素：操作对象、操作符、操作结果。
数据库关系的基本运算包括
数据库关系的基本运算包括全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：数据库关系的基本运算是数据库领域中非常重要的概念，它们用于对关系数据库中的数据进行操作和管理。
在数据库系统中，通常会涉及到如下基本运算：选择、投影、连接、除法和关系代数运算。
本文将逐一介绍这些基本运算，帮助读者了解数据库关系的基本运算方式及其作用。
1. 选择（Selection）：选择是一种基本运算，它用于从关系中选择满足特定条件的元组。
在数据库操作中，选择运算通常用来过滤数据，只保留符合特定条件的数据记录。
如果要从员工表中选择所有工资大于50000的员工信息，就可以使用选择运算来实现。
选择运算可以通过使用条件表达式来实现，其中条件表达式指定要保留的元组的条件。
4. 除法（Division）：除法是一种基本运算，它用于在两个关系之间进行除法操作。
在数据库操作中，除法运算通常用于计算两个关系之间的差异或共同属性。
如果要从员工表和项目表中获取参与所有项目的员工信息，就可以使用除法运算来实现。
除法运算可以通过指定相同属性值来实现，其中相同属性值表示两个关系之间的关联关系。
5. 关系代数运算：关系代数是一种抽象的数学语言，用于描述关系数据库中的基本运算。
在数据库操作中，关系代数运算包括并、交、差、并补、交补和选择等操作。
这些关系代数运算用于对关系操作进行组合和转换，以实现对关系数据库中数据的操作和管理。
第二篇示例：数据库关系的基本运算是数据库管理系统中的核心操作，它们用于处理数据库中的数据关系，从而实现对数据的查询、修改、删除等操作。
数据库关系的基本运算主要包括：选择操作、投影操作、连接操作、除法操作、并集操作、交集操作和差集操作。
本文将分别对这些基本运算进行介绍和详细解释。
选择操作是数据库关系中最基本的操作之一，它用于从数据库中选择满足指定条件的元组。
选择操作的语法通常为Select <列名> From <表名> Where <条件>。
关系数据库的关系运算
关系数据库的关系运算指的是对关系数据库中的关系进行操作和处理的一系列运算。
常见的关系运算包括：
选择（Selection）：从关系中选择满足指定条件的元组。
例如，选择年龄大于等于18岁的人员信息。
投影（Projection）：从关系中选择指定的属性列。
例如，选择人员信息中的姓名和年龄两个属性列。
连接（Join）：通过共同属性将两个关系连接起来。
常见的连接有内连接（Inner Join）、左连接（Left Join）、右连接（Right Join）和全连接（Full Join）等。
除（Division）：用于求两个关系之间的商集，即包含一个关系中所有的元组，但不包含另一个关系中的元组。
并（Union）：将两个关系中的元组合并成一个关系，要求两个关系具有相同的属性集。
差（Difference）：求两个关系之间的差集，即包含在一个关系中但不包含在另一个关系中的元组。
交（Intersection）：求两个关系之间的交集，即同时存在于两个关系中的元组。
这些关系运算可以用来实现复杂的查询和数据处理操作，是关系型数据库管理系统（RDBMS）中的基本操作。
通过组合和嵌套这些运算，可以进行更复杂的数据查询和处理。
数据库系统2-6：关系运算的等价性
数据库系统2-6：关系运算的等价性经过安全约束以后，关系代数、元组演算、域演算三类关系运算的表达能力是等价的，它们之间可以相互转换。
下面三个定律是它们相互转换的根据。
定理1：若E是一个由五种基本关系代数运算经过有限次组合而成的关系代数表达式，则必定存在与之等价的安全的元组演算表达式。
证明略。
定理2：对于每一个安全的元组关系演算表达式，都有存在与之等价的安全的域关系演算表达式。
证明略。
引理1：若j是任一域演算公式，则存在一个表示一元关系DOM(j)的关系代数表达式。
引理2：若j是任一域演算公式，则存在一个没有ù及"运算的域演算公式j′，如果j 是安全的，则j′也是安全的。
证明略。
定理3：对于每个安全的域关系演算表达式，都存在着与之等价的关系代数表达式。
证明略。
例如把域演算安全表达式{xyz|R1(xyz) ù("u)(?R2(yxu))}变换成一个等价的关系代数表达式，其中R1、R2为关系变量。
解：⑴先消去表达式中的ù、"运算。
R1(xyz) ù("u)(?R2(yxu))= ?（? R1(xyz) ú ($u)( R2(yxu))令DOM (j)=E=Π1（R1）∪Π2（R1）∪Π3（R1）∪Π1（R2）∪Π2（R2）∪Π3（R2）⑵令E1=E3-R1，它等价于：（DOM (j)）3∩{xyz|? R1(xyz)}，再令E2=Π1，2（R2），它等价于：（DOM (j)）2∩{yx|($u) R2(yxu)}⑶令?1=E1，?2=Π2，1，3(E2 XE)，于是得?1∪ ?2等价于：（DOM (j)）3∩{xyz|? R1(xyz) ú ($u) R2(yxu)}从而E3-[ ?1∪ ?2]= E3-?1-?2= E3-E1-Π2，1，3(E2 XE)= R1-Π2，1，3(Π1，2 (R2 )XE)为所求的关系代数表达式。
数据库关系代数连接符号
数据库关系代数连接符号数据库的关系代数是一种描述数据操作的概念，是基于关系运算集合的。
它主要包括数据的选择、投影、并、差、笛卡尔积和连接等运算。
连接是其中的一个重要运算，可以用连接将几个表的数据连接起来，以实现更加复杂的数据处理。
连接运算有不同的符号，分别代表不同的连接方式，下面将对连接符号进行详细介绍。
1. 等值连接等值连接是最常用的连接方式之一，它使用等于符号=来连接两个表。
等值连接返回的结果是两个表中相等的数据行。
例如，表A包含字段Name和ID，表B包含字段ID和Age，以ID为连接条件，可以使用以下等值连接语句：SELECT * FROM A JOIN B ON A.ID = B.ID。
结果将返回Name、ID和Age三个字段的数据。
2. 自然连接自然连接是一种特殊的等值连接，它只要求连接条件中表的某些列相等即可，不必指明具体的连接条件，这种连接方式可以自动识别表中相同的列进行连接。
例如，表A包含字段ID和Name，表B包含字段ID和Age，自然连接可以使用以下语句：SELECT * FROM A NATURAL JOIN B。
结果将返回ID、Name和Age三个字段的数据，其连接条件为ID相等。
3. 左连接左连接也叫左外连接，它表示保留左表中的所有行，同时返回右表中匹配的行，如果右表中未匹配，则返回空值。
例如，表A包含字段ID和Name，表B包含字段ID和Age，以ID为连接条件，可以使用以下左连接语句：SELECT * FROM A LEFT JOIN B ON A.ID = B.ID。
结果将返回A表中的所有数据行，如果B表中存在匹配的行，则返回Age字段的数据，否则返回null。
4. 右连接右连接也叫右外连接，它表示保留右表中的所有行，同时返回左表中匹配的行，如果左表中未匹配，则返回空值。
例如，表A包含字段ID和Name，表B包含字段ID和Age，以ID为连接条件，可以使用以下右连接语句：SELECT * FROM A RIGHT JOIN B ON A.ID = B.ID。
数据库原理关系运算习题答案
数据库系统原理第四章关系运算课后习题答案4.1 名词解释(1) 关系模型：用二维表格结构表示实体集，外键表示实体间联系的数据模型称为关系模型。
(2) 关系模式：关系模式实际上就是记录类型。
它的定义包括：模式名，属性名，值域名以及模式的主键。
关系模式不涉及到物理存储方面的描述，仅仅是对数据特性的描述。
(3) 关系实例：元组的集合称为关系和实例，一个关系即一张二维表格。
(4) 属性：实体的一个特征。
在关系模型中，字段称为属性。
(5) 域：在关系中，每一个属性都有一个取值范围，称为属性的值域，简称域。
(6) 元组：在关系中，记录称为元组。
元组对应表中的一行；表示一个实体。
(7) 超键：在关系中能唯一标识元组的属性集称为关系模式的超键。
(8) 候选键：不含有多余属性的超键称为候选键。
(9) 主键：用户选作元组标识的一个候选键为主键。
( 单独出现，要先解释“候选键”)(10) 外键：某个关系的主键相应的属性在另一关系中出现，此时该主键在就是另一关系的外键，如有两个关系S和SC,其中S#是关系S的主键，相应的属性S#在关系SC中也出现，此时S#就是关系SC的外键。
(11) 实体完整性规则：这条规则要求关系中元组在组成主键的属性上不能有空值。
如果出现空值，那么主键值就起不了唯一标识元组的作用。
(12) 参照完整性规则：这条规则要求“不引用不存在的实体”。
其形式定义如下：如果属性集K是关系模式R1的主键，K也是关系模式R2的外键，那么R2 的关系中，K的取值只允许有两种可能，或者为空值，或者等于R1关系中某个主键值。
这条规则在使用时有三点应注意：1)外键和相应的主键可以不同名，只要定义在相同值域上即可。
2)R1和R2也可以是同一个关系模式，表示了属性之间的联系。
3)外键值是否允许空应视具体问题而定。
(13) 过程性语言：在编程时必须给出获得结果的操作步骤，即“干什么”和“怎么干”。
如Pascal和C语言等。
(14) 非过程性语言：编程时只须指出需要什么信息，不必给出具体的操作步骤。
数据库之关系运算
已知教室关系表(ClassRoom)如下，确定其元数、基数、候选键、 主属性和非主属性。
crNo CR001 CR002 crBuildingName 科教楼 科教楼 crRoomNo 101 102 crNumberOfSeat 60 45
CR003
CR004 CR005 CR006 CR007
stuNo S001 S002 S003 S004 S005 stuName 白玉芬 唐嘉芝 刘健鹏 田 洋 申一雅 stuSex 女 女 男 他 无 stuAge 19 18 21 19 -20 只能为正整 数
只能为'男'或' 女'
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关系完整性
思考
已知班级表和教室表如下，班级表的主键为班级编号，教室表的主 键为教室编号，判断它们是否违反实体完整性约束和参照完整性约 束，说明理由。
S003
S004 S005
刘健鹏
田 洋 申一雅
男
男 男
21
19 18
Page 3
关系数据结构
属性(Attribute)
关系中的列称为属性
stuNo S001 S002 S003 S004 S005
stuName 白玉芬 唐嘉芝 刘健鹏 田 洋 申一雅
stuSex 女 女 男 男 男
stuAge 19 18 21 19 18
102 103
201
45 45
120
2009-3-1
CR002 CR004
CR004
科教楼
2009-3-16
CR005
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关系运算
关系代数
关系代数是以关系为运算对象的一组高级运算，它以集合代 数运算方法对关系进行数据操作
关系数据库的检索操作的三种基本运算
关系数据库的检索操作的三种基本运算
关系数据库的三种基本检索运算包括选择运算、投影运算和连接
运算。
其中，选择运算是指在关系数据库中，使用指定条件筛选出符合
条件的元组，从而得到一个新的关系。
投影运算则是通过选择出指定
的属性，将一个关系的元组去除非指定的属性，从而得到一个新的关系。
连接运算一般分为自然连接、内连接、左连接、右连接和全连接，它们可以将两个关系按照某一个相同的属性连接在一起，形成一个新
的关系。
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孙政先
王婷 吕文昆 孙炜
男
女 男 女
张欣欣
王婷
女
女
喜欢跳舞但是不喜欢唱歌的学生R-S
Sname
Sex
李敬
高全英 张欣欣
女
女 女
第3章 关系代数
3.1 集合运算 刘鹤年编写
3.1.3
交运算
设：关系R与关系S有相同的属性，并且对应属性
有相同的域。 则关系R和S的交，将产生一个包含所有既属于R 也属于S的元组的新关系。记作：R∩S。 由于R∩S =R–(R-S),或者R∩S =S–(S-R),
刘鹤年编写 这个表是我们 要的关系吗？
刘逸
刘逸 刘逸
计算机
计算机 机械
刘琛
王敏 李勇
刘逸
刘逸
机械
机械
刘琛
王敏
第3章 关系代数
关于关系的数学描述
刘鹤年编写
关系模型的数学基础是关系代数。关系代数是由一组 以关系作为运算对象的特定的运算所组成的。用户通过这组 运算，对一个或多个关系不断地进行“组合”与“分割”从 而得到所需要的数据。 从一组集合的笛卡尔积中，抽取能反映现实世界的， 具有实际意义的子集。该子集即为一个关系。 D1×D2×…×Dn的子集叫做在域D1×D2×…×Dn 上的关系，表示为:
域的积
关系的形式化定义：
笛卡尔积 或其子集
第3章 关系代数
笛卡尔积示例
D1=导师集合Supervisor={张清枚，刘逸}
D2=专业集合Speciality={计算机，机械} D3=研究生集合Postgraduate={李勇，刘琛，王敏}
D1×D2×D3={
刘鹤年编写
三个域
(张清枚，计算机，李勇), (张清枚，计算机，刘琛),(张清枚，计算机，王敏), (张清枚，机械，李勇), (张清枚，机械，刘琛), (张清枚，机械，王敏), (刘逸，计算机，李勇), (刘逸，计算机，刘琛), (刘逸，计算机，王敏), (刘逸，机械，李勇), (刘逸，机械，刘琛), (刘逸，机械，王敏) }
R(D1×D2×…×Dn)
N是关系的目或度。
第3章 关系代数
刘鹤年编写
关系代数运算的三个要素: 运算对象：关系 运算结果：关系 运算符：四类。集合运算符、关系运算符、 算术比较符和逻辑运算符。 关系代数运算分： 传统的集合运算： 并、差、交、广义笛卡尔积 专门的关系运算： 选择、投影、连接、除
第3章 关系代数
第3章 关系代数
3.1 集合运算 刘鹤年编写
3.1.2
差运算(续)
差操作的示意图如下：
第3章 关系代数
3.1 集合运算 刘鹤年编写
3.1.2
差运算(续)
（R中有，S中没有的元组）
第3章 关系代数
喜欢跳舞的学生关系R Sname 李敬 高全英 吴秋娟 穆金华 Sex 女 女 女 男 喜欢唱歌的学生关系S 刘鹤年编写 Sname Sex 赵成刚 张峰 吴秋娟 穆金华 男 男 女 男
第3章 关系代数
喜欢跳舞的学生关系R Sname 李敬 Sex 刘鹤年编写 女 女 女 男
喜欢跳舞或喜欢唱歌的学生关系R∪S
高全英 吴秋娟 穆金华
Sname 李敬 高全英
Sex 女
张欣欣
王婷 喜欢唱歌的学生关系S Sname 赵成刚 张峰 吴秋娟 穆金华 孙政先 王婷 吕文昆 孙炜
女
女 Sex 男 男 女 男 男 女 男 女
第3章 关系代数
3.1 集合运算
3.1.1
并运算
刘鹤年编写
设：关系R与关系S有相同的属性，并且对应属性 有相同的域。 则关系R和S的并将产生一个包含R、S中所有不同 元组的新关系。记作：R∪S。 并操作的示意图如下：
第3章 关系代数
3.1 集合运算 刘鹤年编写
3.1.1 并运算（续） 在实际运用中，并运算可实现插入新元组的操作。
第3章 关系代数
关系模型概述
关系数据结构
数据结构 数 据 模 型 关系模型
刘鹤年编写
二维表
选择、投影、连接 增加、删除、修改等
关系操作集合
数据操作
实体完整性约束
数据的约束条件 关系完整性约束 参照完整性约束 用户定义的完整性 约束
第3章 关系代数 数字、 字符及 其子集。
刘鹤年编写
关系的数据库结构 和形式化定义 – 域(Domain) – 笛卡尔积(Cartesian Pdoduct) – 关系(Relation)
3.1 集合运算 刘鹤年编写
3.1 集合运算
传统的集合运算包含并、差、交、广义笛卡尔积等。 其运算是从关系的水平方向（表中的行）来进行的。 关系代数运算符 运算符 集 合 运 算 符 ∪ ∩ × 含义 并 差 交 笛卡尔积 运算符 ＞ 比 较 ≥ 运 ＜ 算 ≤ 符 ＝ <> 含义 大于 大于等于 小于 小于等于 等于 不等于
吴秋娟
穆金华 张欣欣
女
男 女
王婷
赵成刚 张峰 孙政先 吕文昆 孙炜
女
男 男 男 男 女
第3章 关系代数
3.1 集合运算 刘鹤年编写
3.1.2
差运算
设：关系R与关系S有相同的属性，并且对应属性有
相同的域。 则关系R和S的差，将产生一个包含所有属于R但不 属于S的元组新关系。记作：R-S。 差运算是有序的：R-S不等于S-R。
D1×D2×D3的基数M = 2 ×2×3 = 12（共有12个元组）
第3章 关系代数
上例的运算结果
Supervisor 张清枚 张清枚 张清枚 张清枚 张清枚 张清枚 刘逸 Speciality 计算机 计算机 计算机 机械 机械 机械 计算机
Postgraduate 李勇 刘琛 王敏 李勇 刘琛 王敏 李勇
所以R∩S 运算是一个复合运算。
第3章 关系代数
3.1.3
交运算（续）
刘鹤年编写
交操作的示意图，如图3-3所示。
第3章 关系代数
3.1 集合运算 刘鹤年编写
3.1.3
交运算(续)
（属于R而且也属于S）
第3章 关系代数
刘鹤年编写
本章要点
并、 差、交、 笛卡尔积运算 投影、选择和连接运算
从第9张PPT开始 讲述每个运算的 规则。是重点。
第3章 关系代数
关系模型概述
刘鹤年编写
关系模型是以关系代数为理论基础的；关系模 型的理论的奠基人是IBM公司的E. F. Codd。 目前国际著名的关系数据库有：DB2，Oracle， SQL Server等。在我国，东软集团有限公司的 OpenBase、人大金仓的Kingbase ES、武汉达 梦公司的DM4和中国航天科技集团公司OSCAR 已经成为我国的支柱型关系数据库产品。 关系数据库系统是支持关系模型的数据库系统。