六年级数学-不规则图形面积计算

不规则图形面积计算（1）

我们曾经学过的三角形、长方形、正方形、平行四边形、梯形、菱形、圆和扇形等图形，一般称为基本图形或规则图形. 我们的面积及周长都有相应的公式直接计算. 如下表：

实际问题中，有些图形不是以基本图形的形状出现，而是由一些基本图形组合、拼凑成的，它们的面积及周长无法应用公式直接计算. 一般我们称这样的图形为不规则图形。

那么，不规则图形的面积及周长怎样去计算呢？我们可以针对这些图形通过

实施割补、剪拼等方法将它们转化为基本图形的和、差关系，问题就能解决了、例题与方法指导

例1 如右图，甲、乙两图形都是正方形，它们的边长分别是10 厘米和

12厘米. 求阴影部分的面积。

思路导航：阴影部分的面积等于甲、乙两个正方形面积之和减去三个“空白”

三角形（△ ABG、△BDE、△ EFG）的面积之和。

例 2 如右图，正方形 ABCD 的边长为 6 厘米，△ ABE 、△ ADF 与四边形 AECF 的面积 彼此相等，求三角形 AEF 的面积 .

1

∴四边形

AECF 的面积与△ ABE 、△ ADF 的面积都等于正方形 ABCD 的 。

3

在△ ABE 中，因为 AB=6.所以 BE=4，同理 DF=4，因此 CE=CF=2， ∴△ ECF 的面积为 2×2÷ 2=2。

所以 S △ AEF=S 四边形 AECF-S △ECF=12-2=10（平方厘米）。

例 3 两块等腰直角三角形的三角板，直角边分别是 10 厘米和 6 厘米。如右图那样

在等腰直角三角形 ABC 中 ∵AB=10

∵EF=BF=AB-AF=10-6=4，

∴阴影部分面积 =S △ ABG-S △ BEF=25-8=17（平方厘米）。

例 4 如右图， A 为△ CDE 的 DE 边上中点， BC=CD ，若△ ABC （阴影部分）面积为 5

平方厘米 .

求△ ABD 及△ ACE 的面积 .

思路导航：

取 BD 中点 F ，连结 AF.因为△ ADF 、△ ABF 和△ ABC 等底、等高，

所以它们的面积相等，都等于 5 平方厘米 .

∴△ ACD 的面积等于 15 平方厘米，△ ABD 的面积等于 10 平方厘米。 又由于△ ACE 与△ ACD 等底、等高，所以△ ACE 的面积是 15 平方厘米。

思路导航：

∵△ ABE 、△ ADF 与四边形 AECF 的面积彼此相等，

重合 . 求重合部分（阴影部分）的面积。

思路导航：

C

、巩固训练

1. 如右图，在正方形ABCD中，三角形ABE的面积是8 平方厘米，它是三角形DEC的面积的4，

求正方形ABCD的面积。

2. 如右图，已知：S△ ABC=1，AE=ED,BD=2 BC.求阴影部分的面积。

3

5. 如右图，四边形ABCD和DEFG都是平行四边形，证明它们的面积相等

4 如右图，梯形ABCD的面积是45平方米，高6米，△ AED的面积是5平方米，BC=10

米，求阴影部分面积

.

3. 如右图，正方形ABCD的边长是4 厘米，CG=3厘米，矩形DEFG的长DG为5 厘米，

求它的宽DE

等于多少厘米？

D

不规则图形面积计算（2）

不规则图形的另外一种情况，就是由圆、扇形、弓形与三角形、正方形、长方形等规则图形组合而成的，这是一类更为复杂的不规则图形，为了计算它的面积，常常要变动图形的位置或对图形进行适当的分割、拼补、旋转等手段使之转化为规则图形的和、差关系，同时还常要和“ 容斥原理”（即：集合A 与集合B 之间有：S A∪B＝S A＋S b-S A∩B）合并使用才能解决。

、例题与方法指导

例1 . 如右图，在一个正方形内，以正方形的三条边为直径向内作三个半圆部分的面积。

解法1：把上图靠下边的半圆换成（面积与它相等）右边的半圆，得到右图. 这时，右图中阴影部分与不含阴影部分的大小形状完全一样，因此它们的面积相等. 所以上图中阴影部分的面

积等于正方形面积的一半。

解法2：将上半个“弧边三角形” 从中间切开，分别补贴在下半圆的上侧边上，如右图所示阴影部分的面积是正方形面积的一半。

解法3：将下面的半圆从中间切开，分别贴补在上面弧边三角形的两侧，如右图所示. 阴影部分的面积是正方形的一半.

例2. 如右图，正方形ABCD的边长为4厘米，分别以B、D为圆心以4 厘米为半径在

正方形内画圆，求阴影部分面积。

.求阴影解：由容斥原理S 阴影＝S 扇形ACB＋S 扇形ACD-S 正方形ABCD

例3 如右图，矩形ABCD中，AB＝6厘米，BC＝4厘米，扇形ABE半径AE＝6 厘米，扇形CBF 的半CB=4厘米，求阴影部分的面积。

例4. 如右图，直角三角形ABC中，AB是圆的直径，且AB＝20 厘米，如果阴影（Ⅰ）的面积比阴影（Ⅱ）的面积大7 平方厘米，求BC长。

分析已知阴影（Ⅰ）比阴影（Ⅱ）的面积大7 平方厘米，就是半圆面积比三角形

ABC面积大7平方厘米；又知半圆直径AB＝20 厘米，可以求出圆面积. 半圆面积减去7 平方

厘米，就可求出三角形ABC的面积，进而求出三角形的底BC的长.

二、巩固训练

1. 如右图，两个正方形边长分别是10 厘米和6 厘米，求阴影部分的面积。

分析阴影部分的面积，等于底为16、高为6 的直角三角形面积与图中（I ）的面积之差。1

而（I ）的面积等于边长为6的正方形的面积减去以6为半径的圆的面积。

4

2. 如右图，将直径AB为3 的半圆绕A 逆时针旋转60°，此时AB到达AC的位置，求阴影部分的面积（取π =3）.