简单的线性规划问题-教学设计

简单的线性规划问题（第1课时）

湖北省公安县第二中学袁泽军

教材：人教A版数学必修5第三章第3.3.2节第87页

教学目标：

1.了解线性规划的意义，了解线性约束条件、线性目标函数、线性规划问题、可行解、

可行域、最优解等基本概念．

2.掌握线性规划问题的图解法，会借助几何直观解决简单线性规划问题．

3.充分借助信息技术，经历探索线性规划最优解的过程，体会线性规划的基本思想，

逐步建立数形结合的思想，初步发展学生识图、读图和画图的能力．

教学重点：线性规划问题的图解法

教学难点：如何寻找线性规划问题的最优解

教学方法：启发引导探究式教学方法

教学手段：多媒体辅助教学

教学过程：

一、复习引入导出新课

〖问题〗

某工厂生产甲、乙两种产品．已知生产甲种产品1t需耗A种矿石10t、B种矿石5t、煤4t；生产乙种产品1t需耗A种矿石4t、B种矿石4t、煤9t；每1t甲种产品的利润是600元，每1t乙种产品的利润是1 000元．现库存的A种矿石有300t、B种矿石有200t、煤有360t．问甲、乙两种产品各生产多少吨时，能使利润总额达到最大？

（1）列出二维表格表示图中的数据信息．

（2）用不等式表示上述问题中的不等关系．

设生产甲、乙两种产品分别为xt、yt，则：

⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥≥≤+≤+≤+.

0,0,36094,20045,300410y x y x y x y x

（3）画出上述不等式组表示的平面区域．（线定界，点定域）

（4）如果用z （元）表示利润总额，你能用x 、y 表示z 吗？（z ＝600x ＋1 000y ．）

（5）如何求z 的最大值呢？（引入新课）

二、师生互动 概括总结

（1）引导学生探索线性目标函数z 何时取得最大值．

将目标函数z ＝600x ＋1 000y 变形为z x y 001.06.0+-=，它表示一组斜率为－0.6的平行直线，0.001z 为y 轴上的截距，当截距0.001z 最大时，目标函数z 取得最大值．故只需作出z x y 001.06.0+-=的一个初始位置x y 6.0-=，再将这条直线上述平面区域内平移，容易知道在点⎪⎭

⎫ ⎝⎛291000,29360处（大约在点（12.4，34.4）处）取得最大值，此时29

1216000max =z ≈41931（元）． （2）指导学生阅读自学线性规划相关概念（教材第99页最后一段：约束条件、线性约束条件、目标函数、线性目标函数、线性规划问题、可行域、可行解、最优解等）．

（3）借助几何画板直观理解最优解及求解线性规划问题的过程．

（4）求解线性规划问题的主要步骤概括：

○

设——设立未知数 ○

列——列出线性约束条件及线性目标函数 ○

画——画出可行域 ○

移——平行移动目标函数表示的直线 ○

求——求出目标函数的最值及最优解 ○

答——回答题目的结论 （5）学法指导：代数问题用几何图形求解，体现了什么数学思想方法？（数形结合）

三、整合技术 如虎添翼

（1）用计算机中的Excel 解决线性规划问题．

（2）用专门的软件求解线性规划问题．借助“简单线性规划解题系统”（江西省景德镇市教研所严剑老师开发）求解线性规划问题，让学生看到现代技术的功能．

四、深入探究 拓展思维

〖问题变式〗

（1）在〖问题〗中，若每1t 甲种产品的利润是1 000元，每1t 乙种产品的利润是600元，问甲、乙两种产品各生产多少吨时，能使利润总额达到最大？

（2）在〖问题〗中，若每1t 甲种产品的利润是1 000元，每1t 乙种产品的利润是800元，问甲、乙两种产品各生产多少吨时，能使利润总额达到最大？

（3）在〖问题〗的数学模型中，若将线性目标函数改为y x z 1000600-=，则线性规划问题的最优解是多少？

（线性约束条件不变，但目标函数发生了变化，引导学生观察最优解的变化．）

五、回顾反思 课堂小结

1. 本节课我们学到了哪些知识？（线性规划问题有关的概念；线性规划问题的图解法

及解题步骤；线性目标函数和线性约束条件的改变对最优解的影响；计算机在求解线性规划问题中的辅助作用．）

2. 在求解线性规划问题过程中，运用了什么数学思想方法？（数形结合的思想方法）

六、布置作业 拓展延伸

1. 教材第91页练习第2题，第93页习题3.3A 组第3题

2.思考题：

（1）（规划迟到引起的焦虑）假若A君和B君互订以下的约会协议：（1）双方必须在约会时间过后的30分钟内到达约会地点；（2）若一方到达时不见对方，最多只会等候10分钟．若x、y（分钟）分别表示A和B在约会时间后到达约会地点所需的时间，焦虑指标I＝2x＋3y表示两人共同承担的焦虑，问x、y分别为多少时，两人承担的焦虑最大？

（2）如果不用图解法，你能求出线性规划问题的最优解吗？

附：教学设计几点简要说明

1.本节课的重点是用图解法求解线性规划问题，难点是如何寻找线性规划问题的最优

解．因此，我想借助一个简单的例子作为载体，让学生理解求解线性规划问题的步骤及要点．简单的含义有两层：一是可行域最好为封闭的图形；二是不涉及到整数解问题．教材中所有的例习题均不符合这个要求，我只好撇开教材另外取材．一开始，我选取了“规划焦虑”（选自上海远东出版社出版、罗浩源编著的《生活中的数学》第49页）作为引例，但其中的焦虑指标不好理解，而且不适合后面教学的继续使用．最终，我将它作为课后思考（因为有趣），而选取了一个普通的产品安排问题作为引例和贯穿整个课堂的母例（因为恰当）．

2.高中阶段所研究的线性规划问题仅限于二元线性规划问题，多元线性规划问题便无

法用图解法求解了．较为复杂的线性规划问题常常需要工具、软件的辅助．本节课我充分借助现代信息技术整合课堂教学（用几何画板动态演示目标函数值的变化过程，用Excel解决线性规划问题，用专门的软件求解线性规划问题），目的是让学生增强用现代信息技术的意识，培养学生初步的用现代信息技术的能力．

3.线性规划问题的最优解因线性约束条件的不同而不变，随线性目标函数的改变而改

变，因此，我设计了一组变式问题，在线性约束条件相同的情况下改变线性目标函数，看最优解的求解过程究竟发生了哪些变化．从而让学生了解求解线性规划问题最优解应注意的两个关键点：一是随着线性目标函数的直线从原点向右上方平移，其函数值是逐渐变大还是逐渐变小；二是线性目标函数何时取得最大值或最小值，尤其要注意其斜率与边界直线的斜率之间的关系．

4.新课程改革要求教师的教学方式和学生的学习方式也要发生相应的变革．课标指出：

“丰富学生的学习方式、改进学生的学习方法是高中数学课程追求的基本理念．学生的数学学习活动不应只限于对概念、结论和技能的记忆、模仿和接受，……，阅读自学等都是学习数学的重要方式．”课标还指出：“在高中数学教学中，教师的讲授仍然是重要的教学方式之一，但要注意的是必须关注学生的主体参与、师生互动．”

因此，我采用启发引导探究式教学方法，在教学中努力启迪学生思维、引导学生思考、指导学生阅读，让学生养成良好的学习习惯和一点终生有用的学习方法．