实数知识点、典型例题及练习题单元复习(供参考)
实数知识点及典型例题
实数知识点及典型例题一、实数知识点。
（一）实数的分类。
1. 有理数。
- 整数：正整数、0、负整数统称为整数。
例如：5，0，-3。
- 分数：正分数、负分数统称为分数。
分数都可以表示为有限小数或无限循环小数。
例如：(1)/(2)=0.5，(1)/(3)=0.333·s。
- 有理数：整数和分数统称为有理数。
2. 无理数。
- 无理数是无限不循环小数。
例如：√(2)，π，0.1010010001·s（每两个1之间依次多一个0）。
3. 实数。
- 有理数和无理数统称为实数。
（二）实数的相关概念。
1. 数轴。
- 规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。
- 实数与数轴上的点是一一对应的关系。
2. 相反数。
- 只有符号不同的两个数叫做互为相反数。
a的相反数是-a，0的相反数是0。
例如：3与-3互为相反数。
- 若a、b互为相反数，则a + b=0。
3. 绝对值。
- 数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作| a|。
- 当a≥slant0时，| a|=a；当a < 0时，| a|=-a。
例如：| 5| = 5，| -3|=3。
4. 倒数。
- 乘积为1的两个数互为倒数。
a(a≠0)的倒数是(1)/(a)。
例如：2的倒数是(1)/(2)。
（三）实数的运算。
1. 运算法则。
- 加法法则：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；异号两数相加，绝对值相等时和为0，绝对值不等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；一个数同0相加，仍得这个数。
- 减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数。
- 乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数同0相乘都得0。
- 除法法则：除以一个数等于乘以这个数的倒数（除数不为0）。
2. 运算律。
- 加法交换律：a + b=b + a。
- 加法结合律：(a + b)+c=a+(b + c)。
- 乘法交换律：ab = ba。
(完整版)实数知识点及例题
实数习题集【知识要点】1．实数分类：2．相反数：互为相反数b a ,0=+b a 4．倒数：互为倒数没有倒数.b a ,0;1=ab 5．平方根，立方根：±.==x ，a x a x 记作的平方根叫做数则数若,2a 若a x ，a x a x 33,==记作的立方根叫做数则数6．数轴的概念与画法.实数与数轴上的点一一对应；利用数形结合的思想及数轴比较实数大小的方法.【课前热身】1、36的平方根是 ；的算术平方根是 ；162、8的立方根是 ；＝ ；327-3、的相反数是 ；绝对值等于的数是37-34、的倒数的平方是 ，2的立方根的倒数的立方是。
5、的绝对值是 ，的绝对值是 。
211-6、9的平方根的绝对值的相反数是 。
7的相反数是 ，的相反数的绝对值是。
+-8的相反数之和的倒数的平方为 。
--+【典型例题】例1、把下列各数分别填入相应的集合里：2,3.0,10,1010010001.0,125,722,0,1223π---∙- 有理数集合：｛ ｝；无理数集合：｛ ｝；负实数集合：｛ ｝；例2、比较数的大小（1）（2）2332与6756--与例3．化简：实数有理数无理数整数（包括正整数，零，负整数）分数（包括正分数，负整数）正无理数负无理数)0(>a 3．绝对值：=a a0a -)0(=a )0(<a（1）233221-+-+-（2+例4．已知是实数，且有，求的值.b a ,0)2(132=+++-b a b a ,例5 若|2x+1|与互为相反数，则－xy 的平方根的值是多少？x y 481+总结：若几个非负数的和为零，则每个非负数都为零，这个性质在代数式求值中经常被使用．例6．已知为有理数，且，求的平方根b a ,3)323(2b a +=-b a +例7. 已知实数x 、y 、z 在数轴上的对应点如图试化简：。
x zx y y z x z x z ---++++-【课堂练习】1．无限小数包括无限循环小数和 ，其中 是有理数， 是无理数.2．如果，则是一个 数，的整数部分是 .102=x x x 3．的平方根是 ，立方根是 .644．的相反数是 ，绝对值是 .51-5．若 .==x x 则66．当时，有意义；_______x 32-x 7．当时，有意义；_______x x -118．若一个正数的平方根是和，则，这个正数是 ；12-a 2+-a ____=a 9．当时，化简;10≤≤x __________12=-+x x 10．的位置如图所示，则下列各式中有意义的是（ ）.b a , A 、B 、C 、D 、b a +b a -ab ab -11．全体小数所在的集合是（ ）.A 、分数集合B 、有理数集合C 、无理数集合D 、实数集合12．等式成立的条件是（ ）.1112-=+⋅-x x x A 、B 、C 、D 、1≥x 1-≥x 11≤≤-x 11≥-≤或x 13．若，则等于（ ）.64611)23(3=-+x x A 、B 、C、D 、214141-49-14．计算：（1） （221--4-（3（4） 24+-+-++81214150232-+-ab15．若，求的值.054=-++-y x x xy16．设a 、b 是有理数，且满足，求的值(21a +=-b a17．若，求的值。
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a a a a 2x x 1- x1、平方根实数知识点总结平方根、算数平方根和立方根 （3—10 分）如果一个数的平方等于 a ，那么这个数就叫做 a 的平方根（或二次方跟）。
一个数有两个平方根，他们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。
正数 a 的平方根记做“ ± ”。
2、算术平方根正数 a 的正的平方根叫做 a 的算术平方根，记作“ ”。
正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。
a （ a ≥ 0）≥ 0= a =3、立方根- a （ a <0）；注意 的双重非负性：a ≥ 0如果一个数的立方等于 a ，那么这个数就叫做 a 的立方根（或 a 的三次方根）。
一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零。
注意： 3 - a = -3 a ，这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。
实数（平方根）单元习题练习思维启动如图是一块由两个正方形并排放在一起而成的硬纸板，请你用两刀把它裁成四块，然后拼成一个正方形，拼后的正方形边长为多少？综合探究探究一 由平方根和算术平方根的意义确定字母的取值范围 1.中被开方数为，根号下的被开方数必须是 才有意义，因此可列出不等式，x 的取值范围是．2. + 有意义，需要列出不等式组为． x 的取值范围a 2⎩是 ．x3.x 的取值范围是 x +1答案：1． 2x ，非负数， 2x ≥ 0 ， x ≥ 0 ．⎧1- x ≥ 0,2． ⎨x ≥ 0. 3． x > -1 ．0 ≤ x ≤ 1． 探究二 根据非负数性质求未知数的值已知 x 、 y 3(y - 2)2= 0 ．1 3(y - 2)2+ 3(y - 2)2= 0 ，你能得到什么结论？．2．由 1，你能求出 x - y 的值吗？．答案：1．∵3(y - 2)2= 0 ．≥ 0 ， 3(y - 2)2≥ 0 ， 3(y - 2)2= 0 = 0 ，2．由 1 得， x -1 = 0 ， x = 1 ； y - 2 = 0 ， y = 2 ．∴ x - y = 1- 2 = -1． 探究三 平方根与简单的一元二次方程 1．由 x 2 -196 = 0 可得 ， 2．据 1 得， x 是 196 的，所以 x =．3．由 1，2 的启示，请你试着求等式16 (x + 2)2- 81 = 0 中的 x 值．．答案：1． x 2 = 196 ． 2．平方根， x = ±14 ．2 2 81 9 1 173．由16 (x + 2)-81 = 0 ，得(x + 2)=，∴ x + 2 =±16 4，∴x =或-．4 4探究四由平方根的意义确定字母的值3a - 22 和2a - 3 都是m 的平方根，求a 和m 的值．1.当3a - 22 与2a - 3 相等时，求a 和m 的值．．2.当3a - 22 与2a - 3 互为相反数时，求a 和m 的值．．3.讨论总结：m 的值为．答案：1．3a - 22 = 2a - 3 ，得a = 19 ，3a - 22 = 3⨯19 - 22 = 35 ，2a - 3 = 35 ，m = 352 = 1225 ．2．3a - 22 + 2a - 3 = 0 ，得a = 5 ，3a - 22 = 3⨯ 5 - 22 =-7 ，2a-3=2⨯5-3=7，m=(-7)2= 72= 49 ．3．m 的值为 1225 或49．探究五利用被开方数非负性求未知数的值已知x 、y 都是有理数，且y =+ 3 ，求y x+1 的平方根．1.表示x - 3 的，则x 的范围是．2.表示x - 3 的，则x 的范围是． 3．由1，2，得x =，y =． 4．讨论总结：y x+1 的平方根是多少？．答案：1．算术平方根，x ≥ 3 ．2．算术平方根，x ≤3．3．x = 3 ，y = 3 ．4．∵ y x+1 = 34 = 81，∴ y x+1 的平方根为±9 ．探究六算术平方根与绝对值相综合题已知2009 -a +=aa - 2010 a - 2010 a - 20092 +15 a - 20092 +15 a - 2010 a - 2010 1. 由式子可以得出 a 的取值范围是什么？．2. 由 1，你能将等式 2009 - a + = a 中的绝对值去掉吗？．3. 由 2，你能求出 a - 20092 的值吗？．4. 讨论总结：求的值．．答案：1．∵ a - 2010 ≥ 0 ，∴ a ≥ 2010 ．2．原式变形为 a - 2009 + = a = 2009 ．3． a - 2010 = 20092 ， a - 20092 = 2010 ．4． a - 20092 +15 = 2010 +15 = 2025 ，∴ = 45 ． 探究七 平方根的实际应用一个开口的长方体盒子，是从一块正方形的马口铁的每个角剪掉一个 36cm 2的正方形后，再把它的边折起来做成的，如图，量得这个盒子的容积是 150cm 2，求原正方形的边长是多少？1. 由题意可知剪掉正方形的边长为cm ．2. 设原正方形的边长为 x cm ，请你用x 表示盒子的容积．．3. 由 1，2 的分析，请你列出方程，并解答，求原正方形的边长．．答案：1．6．2． 6 (x - 6)2．3． 6 (x - 6)2= 150 ， (x - 6)2= 25 ， x - 6 = ±5 ．∴ x = 11 或 x = 1 （舍去）．即原25 121 25 121x 2 4 - y 29 - a 29 - a x - 4 a + b a +1 5正方形的边长为 11cm ．随堂反馈251．的平方根的数学表达式是（ ）121A ． = ±B ．11= - 5 C ． 11=5D ． ± = ± 511112．9 的算术平方根是（ ）A ． -3B ．3C ． ±3D ．813. 当 x = -5 时，的值是（）A ．5B ． -5C ． ±5D ．254. 正方形 M 的面积是正方形 N 的面积的 64 倍，那么正方形 M 的边长是正方形 N 的边长的（ ）A ．4 倍B ．8 倍C ．16 倍D ．2 倍5．一个数的算术平方根是它的本身，则这个数是． 6.= - ，则 xy 的算术平方根为．7. 代数式-5的最大值为．8. 已知 a ， b+ b - 3a -1 = 0 ，求b 2 - 5a 的平方根．9. 如果 a的最大值及此时 a 的值．10. 已知2a -1 的平方根为±3 ， 3a + b -1的平方根为±4 ，求 a + 2b 的平方根．参考答案25 121 25 121a +1 a +1 29 - a 7 79 352(-4)229 - a 9 9 (- 2)2⎩ ⎩1．D 2．B 3．A 4．B 5．0，1 6．4 7． -58．∵ ≥ 0 ， b - 3a -1 ≥ 0 ，+ b - 3a -1 = 0 ，∴ 29 - a ≤ 29 ， ≤ 5 ．因此 的最大值为 5，此时 a 的值为 4．⎧2a -1 = 9,∴ = 0 ， a = -1 ；b - 3a -1 = 0 ， b - 3a -1 = 0 ，10．由题意，得⎨3a + b -1 = ⎧a = 5,⎨b = 2. 解得16. ∴ b = -2 ．∴ b 2 - 5a = 9 ， b 2 - 5a 的平方根为±3 ． 9．∵ a 为正数，∴ a + 2b = 9 ， a + 2b 的平方根为± 3．平方根跟踪练习（一）一、选择题1. 下列各式中无意义的是（）A. - B ． C. 12. 的算术平方根是（）D ． -41 111 A.B ．C ．16823. 下列运算正确的是（）D ． ±2A ． -3 = 3B ． -3 = -3C ． = ±D ． = -3二、填空题4. 若一个正方形的面积为 13，则正方形的边长为.5. 小明房间的面积为 10.8 米 2，房间地面恰好由 120 块相同的正方形地砖铺成，每块地砖的边长是.6. 计算：⑴=;⑵ =;⑶ =;⑷－ =;⑸ ( 3)2 = .7. 若下列各式有意义，在后面的横线上写出 x 的取值范围：a +1 - 7(- 7)2x2 4 25 4 25 0.9 b -3 24 25 4 25 179⑴ ⑵8．若 a - 2 + = 0 ，则a 2 -b = ．9. 一个正方形的面积扩大为原来的 4 倍，它的边长变为原来的倍，面积扩大为原来的 9 倍，它的边长变为原来的倍，面积扩大为原来的 n 倍，它的边长变为原来的倍.10.的算数平方根是它本身.三、解答题11. 求下列各数的算术平方根:⑴169⑵0.0256⑶124 25⑷ (- 2)212. 要种一块面积为 615.44 m 2 的圆形草地以美化家庭，它的半径应是多少米？（π 取3.14）平方根跟踪练习（二）一、选择题1. 下列说法中不正确的是（）A. - 是 2 的平方根B. 是 2 的平方根C.2 的平方根是 12.的平方根是（） D.2 的算术平方根是 41 111A.B.C.16 8 2423. “ 的平方根是± ”，用数学式子可以表示为（）D. ±225A.= ± 55B. ±= ± 2C. = 25 5D. - = - 2 54. 下列各式中，正确的个数是（）= ±42① = 0.3 ; ② ③ - 3 3 ;的平方根是－3; 5 - x222(- 5)216 (-9)21- a a -1 0.0004(- 0.1)20.81 0.04225713④ 的算术平方根是－5; ⑤ ± 是1 的平方根.6 36A.1 个B.2 个C.3 个D.4 个5.若 a 是(- 4)2的平方根，b 的一个平方根是 2，则代数式 a ＋b 的值为（）A.8B.0C.8 或 0D.4 或－4 二、填空题6. 如果某数的一个平方根是-6，那么这个数为．7. 如果正数m 的平方根为 x + 1和x - 3 ，则m 的值是． 8.的算术平方根是， 的平方根是.9. 若b =+ + 4 ，则ab 的平方根是.三、解答题10. 求下列各式的值:⑴ ⑵ - ⑶ ±⑷ - ⑸ - ⑹一、选择题 1．C ． 2．C ．3．A ． 二、填空题4．5．0.96．3；5；2；－4；3跟踪练习一答案7．x≥0；x≤58．19．2；3；10.0 和 1 三、解答题711．13；0.16； ；2512．14跟踪练习二答案12 1 4412 - 40213n一、选择题1．C2．D3．B4．A5.C二、填空题6．367．48.23 或-39．2 或-2三、解答题7 10．⑴15⑵-0.02⑶2⑷-0.1⑸0.7⑹9“”“”At the end, Xiao Bian gives you a passage. Minand once said, "people who learn to learn are very happy people.". In every wonderful life, learning is an eternal theme. As a professional clerical and teaching position, I understand the importance of continuous learning, "life is diligent, nothing can be gained", only continuous learning can achieve better self. Only by constantly learning and mastering the latest relevant knowledge, can employees from all walks of life keep up with the pace of enterprise development and innovate to meet the needs of the market. This document is also edited by my studio professionals, there may be errors in the document, if there are errors, please correct, thank you!。
初二(下)实数的知识点与练习题
第十三章 实数知识要点一： 1．实数的性质（1）实数范围内仍然适用在有理数范围内定义的一些概念（如倒数，相反数）；（2）两实数的大小关系：正数大于0，0大于负数；两个正实数，绝对值大的实数大；两个负实数，绝对值大的实数反而小；（3）在实数范围内，加、减、乘、除（除数不为零）、乘方五种运算是畅通无阻的，但是开方运算要注意，正实数和零总能进行开方运算，而负实数只能开奇次方，不能开偶次方；（4）有理数范围内的运算律和运算顺序在实数范围内仍然相同． 2．实数与数轴的关系每一个实数都可以用数轴上的一个点表示；反之，数轴上每一个点都表示一个实数，即数轴上的点与实数是一一对应关系．3．实数的分类（1）按实数的定义分类：⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧无限不循环小数负无理数正无理数无理数数有限小数或无限循环小负分数正分数分数负整数零正整数整数有理数实数 （2）按实数的正负分类：⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧负无理数负分数负整数负有理数负实数负数）零（既不是正数也不是正无理数正分数正整数正有理数正实数实数4．实数的大小比较两实数的大小关系如下：正实数都大于0，负实数都小于0，正数大于一切负数；两个正实数，绝对值大的实数较大；两个负实数，绝对值大的实数反而小．实数和数轴上的点一一对应，在数轴上表示的两个实数，右边的数总大于左边的数．【典型例题】2-1C B A 例1若a 为实数,下列代数式中,一定是负数的是( ) A. －a 2 B. －( a +1)2 C.－2a D.－(a -+1)分析：本题主要考查负数和非负数的概念,同时涉及考查字母表示数这个知识点.由于a 为实数, a 2、( a +1)2、2a 均为非负数，∴－a 2≤0，－( a +1)2≤0，－2a ≤0．而0既不是正数也不是负数，是介于正数与负数之间的中性数．因此，A 、B 、C 不一定是负数．又依据绝对值的概念及性质知－(a -+1)﹤0．故选D例2 实数a 在数轴上的位置如图所示, 化简:2)2(1-+-a a =分析：这里考查了数形结合的数学思想,要去掉绝对值符号,必须清楚绝对值符号内的数是正还是负.由数轴可知:1﹤a ﹤2,于是,22)2(,112a a a a a -=-=--=-所以, 2)2(1-+-a a =a －1+2－a =1.例3 如图所示,数轴上A 、B 两点分别表示实数1，5，点B 关于点A 的对称点为C ，则点C 所表示的实数为（ ） A. 5－2 B. 2－5 C.5－3 D.3－5分析：这道题也考查了数形结合的数学思想,同时又考查了对称的性质．B 、C 两点关于点A 对称，因而B 、C 两点到点A 的距离是相同的，点B 到点A 的距离是5－1，所以点C 到点A 的距离也是5－1，设点C 到点O 的距离为a ，所以a +1=5－1，即a =5－2．又因为点C 所表示的实数为负数，所以点C 所表示的实数为2－5．例4 已知a 、b 是有理数，且满足（a －2）2+3-b =0，则a b 的值为分析：因为（a －2）2+3-b =0，所以a －2=0，b －3=0。
实数知识点总结及习题练习
实数知识点总结平方根、算数平方根和立方根（3— 10 分）1、平方根假如一个数的平方等于a，那么这个数就叫做 a 的平方根（或二次方跟）。
一个数有两个平方根，他们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。
正数 a 的平方根记做“ a ”。
2、算术平方根正数 a 的正的平方根叫做 a 的算术平方根，记作“ a ”。
正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。
a （ a0）a0a2a；注意 a 的两重非负性：- a（a <0）a03、立方根假如一个数的立方等于a，那么这个数就叫做 a 的立方根（或 a 的三次方根）。
一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零。
注意：3a 3 a，这说明三次根号内的负号能够移到根号外面。
实数（平方根）单元习题练习思想启动如图是一块由两个正方形并排放在一同而成的硬纸板，请你用两刀把它裁成四块，而后拼成一个正方形，拼后的正方形边长为多少？综合研究研究一由平方根和算术平方根的意义确立字母的取值范围1．2x中被开方数为___________ ，根号下的被开方数一定是_____________ 才存心义，所以可列出不等式______________，x的取值范围是______________．2．要使 1 x x 存心义，需要列出不等式组为________________ ．x 的取值范围是______________ ．3．若x 存心义，则 x 的取值范围是 ______________ ．x1答案： 1． 2x ，非负数， 2x 0 ， x 0 ．1 x 0,1．2．0 xx 0.3． x 1 ．研究二依据非负数性质求未知数的值已知 x 、 y 为实数，且x 1 3 y220 ．1．因为x 1 ， 3 y 2 22都是非负数，联合已知x 1 3 y 2 0 ，你能获得什么结论？_________________________________________________________________________ ．2．由 1，你能求出 x y 的值吗？_________________________________________________________________________ ．答案： 1 ．∵x1 0 ， 320 ， x 1 3 y 22x 1 0 ，y 20 ，∴20 ．3 y 2．由 1 得，x 1 0 ，x 1； y 2 0 ， y 2 ．∴ x y 1 2 1．2研究三 平方根与简单的一元二次方程1．由 x 2196 0 可得 _______________ ，2．据 1 得， x 是 196 的 _______________，所以 x______________ ．281 0 中的 x 值．3．由 1， 2 的启迪，请你试着求等式 16 x 2_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ ．答案： 1． x 2 196 ．2．平方根， x 14 ．3．由 16 x 22281 9 1 17 81 0 ，得 x2，∴ x 2，∴ x或．16444研究四 由平方根的意义确立字母的值3a 22 和 2a 3都是m的平方根，求a和m的值．1．当3a 22与 2a 3 相等时，求a和m的值．______________________________________________________________________ ．2．当3a22 与 2a 3 互为相反数时，求 a 和 m 的值．_____________________________________________________________________ ．3．议论总结：m 的值为____________．答案： 1 ．3a22 2a 3 ，得 a 19 ， 3a 22 3 19 22 35 ， 2a 335 ，m 3521225 ．2．3a 22 2a 3 0，得a 5 ，3a 22 3 5 227， 2a 32537，249 ．m7723．m的值为 1225 或 49．研究五利用被开方数非负性求未知数的值已知 x 、y都是有理数，且 yx3 3 x 3 ，求 y x 1的平方根．1．x 3 表示x 3 的_________________，则x的范围是______________．2．3x 表示x 3 的_________________，则x的范围是______________．．由，，得 x______________，y_______________．3124．议论总结：y x 1的平方根是多少？_________________________________________________________________ ．答案： 1．算术平方根，x 3 ．2．算术平方根，x 3．．x 3， y3．34．∵y x 13481，∴ y x 1的平方根为9．研究六算术平方根与绝对值相综合题已知 2009a a2010 a ，求 a 20092 15 的值．1．由式子a2010能够得出 a 的取值范围是什么？________________________________________________________________________ ．2．由 1，你能将等式2009 a a 2010 a 中的绝对值去掉吗？_______________________________________________________________________ ．3．由 2，你能求出a20092的值吗？_______________________________________________________________________ ．4．议论总结：求 a 2009215 的值．_______________________________________________________________________ ．答案： 1．∵a2010 0，∴a 2010 ．2．原式变形为a 2009a2010 a ，即 a 20102009 ．3．a201020092， a200922010 ．4．a2009215 2010152025 ，∴a2009215 45．研究七平方根的实质应用一个张口的长方体盒子，是从一块正方形的马口铁的每个角剪掉一个36cm2的正方形后，再把它的边折起来做成的，如图，量得这个盒子的容积是150cm2，求原正方形的边长是多少？1．由题意可知剪掉正方形的边长为______________cm．2．设原正方形的边长为x cm，请你用 x表示盒子的容积．________________________________ ．3．由 1， 2 的剖析，请你列出方程，并解答，求原正方形的边长．_________________________________________________________________________ ．答案： 1． 6．22．6 x6．225．∴ x 11或 x 1 （舍去）．即原正3．6 x 6150 ， x 625 ， x 6方形的边长为11cm．随堂反应1．25的平方根的数学表达式是（ ）121A ．25 5 25 5 25 512111B ．11C ．11121121 2． 9 的算术平方根是（ ）A ． 3B ． 3C ． 33．当 x 5 时， x 2 的值是（）A ． 5B ． 5C ． 525 5 D ．12111D ． 81D ． 254．正方形 M 的面积是正方形 N 的面积的 64 倍，那么正方形 M 的边长是正方形 N 的边长的（）A ．4 倍B ．8 倍C ．16 倍D ．2 倍5．一个数的算术平方根是它的自己，则这个数是 ______________．6．若x 44 y ，则 xy 的算术平方根为 ______________ ．7．代数式5a b 的最大值为 ______________ ．8．已知 a ， b 知足a 1b 3a 1 0 ，求 b 2 5a 的平方根．9．假如 a 为正数， 29 a 为整数，求 29 a 的最大值及此时 a 的值．10．已知 2a 1 的平方根为 3 ， 3a b 1的平方根为 4 ，求 a 2b 的平方根．参照答案1．D 2 ．B 3 ．A 4 ．B 5 ．0，1 6 ．4 7 ． 58 ． ∵ a10 ，b 3a 10 ，a 1b 3a 10 ，为4．∴ a 1 0，a 1 ；b 3a 10 ，10．由题意，得2a19,3a b解得1 16.b 3a 10 ，a 5,∴ b 2 ．∴b25a 9 ， b25a 的 b 2.平方根为3．∴ a 2b 9， a2b 的平方根为3．9．∵a为正数，∴ 29a29，29 a 5 ．所以29 a 的最大值为5，此时a的值平方根追踪练习（一）一、选择题1．以下各式中无心义的是（）A．7B．7 C.7D．722.1的算术平方根是（）4A．1B．1C．1D．1 168223.以下运算正确的选项是（）A． 3 3B．33C．93D．93二、填空题4.若一个正方形的面积为 13，则正方形的边长为 ___________.5.小明房间的面积为 10.8 米2，房间地面恰巧由120 块同样的正方形地砖铺成，每块地砖的边长是 _________.6.计算：⑴9 =_________;⑵52___________; ⑶22________;23)2.⑷－ 4 =_______;⑸(_______7．若以下各式存心义，在后边的横线上写出 x 的取值范围：⑴x________⑵5x_______8．若a 2 b 3 0 ，则a2b_________．9．一个正方形的面积扩大为本来的 4 倍，它的边长变成本来的倍， 面积扩大为本来的 9 倍，它的边长变成本来的倍，面积扩大为本来的 n 倍，它的边长变成本来的_______倍 .10._______ 的算数平方根是它自己 . 三、解答题11．求以下各数的算术平方根 :⑴ 169⑵ 0.0256⑶124⑷ 2 22512. 要种一块面积为 615.44 m 2 的圆形草地以美化家庭， 它的半径应是多少米？（π取 3.14 ）平方根追踪练习（二）一、选择题1．以下说法中不正确的选项是（）A.2是 2的平方根B.2是 2的平方根C.2 的平方根是 2D.2 的算术平方根是22． 1的平方根是（）4A.1B.1C.1D.1 168223．“ 4 的平方根是2”，用数学式子能够表示为（）2554 2 4 2 4 2 D.4 2A.5B.5C.52552525254．以下各式中，正确的个数是（）①0.9 0.3 ; ② 174 ③32 的平方根是－ 3;93 ;④52的算术平方根是－ 5; ⑤ 7 是113的平方根 .6 36A.1 个B.2 个C.3 个D.4 个 5. 若 a 是4 2 的平方根， b 的一个平方根是2，则代数式 a ＋ b 的值为（）A.8B.0C.8或 0D.4或－ 4二、填空题6. 假如某数的一个平方根是 -6 ，那么这个数为 ________．7. 假如正数 m 的平方根为 x1和 x 3 ，则 m 的值是．8． 162的平方根是 .的算术平方根是， 9 9．若 b1 aa 14 ，则 a b 的平方根是 .三、解答题10．求以下各式的值 :⑴ 225⑷0.1 2一、选择题 1． C ．2． C ．3． A ．二、填空题4． 135． 0.96． 3； 5； 2；－ 4； 3⑵0.0004⑶1214⑸⑹412 402追踪练习一答案7． x ≥ 0； x ≤ 58． 19． 2； 3； n 10.0 和 1 三、解答题11． 13； 0.16 ； 7； 2512． 14追踪练习二答案一、选择题1． C 2． D 3． B 4． A5.C二、填空题6． 36 7． 48.23 或 -3 9．2 或-2三、解答题10．⑴ 15⑵-0.02 ⑶7 2⑷-0.1 ⑸0.7 ⑹9。
(完整版)实数知识点和练习
第六章实数知识网络：考点一、实数的概念及分类1、实数的分类2、无理数在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一点，归纳起来有四类,7等；（1）开方开不尽的数，如32π+8等；（2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如3（3）有特定结构的数，如0.1010010001…等；（4）某些三角函数，如sin60o等（这类在初三会出现）是有理数，而不是无判断一个数是否是无理数，不能只看形式，要看运算结果，如0,16理数。
3、有理数与无理数的区别（1）有理数指的是有限小数和无限循环小数，而无理数则是无限不循环小数；（2）所有的有理数都能写成分数的形式（整数可以看成是分母为1的分数），而无理数则不能写成分数形式。
考点二、平方根、算术平方根、立方根1、概念、定义（1）如果一个正数x的平方等于a，即，那么这个正数x叫做a的算术平方根。
（2）如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根（或二次方跟）。
如果，那么x叫做a的平方根。
（3）如果一个数的立方等于a，那么这个数就叫做a 的立方根（或a 的三次方根）。
如果，那么x叫做a的立方根。
2、运算名称（1）求一个正数a 的平方根的运算，叫做开平方。
平方与开平方互为逆运算。
（2）求一个数的立方根的运算，叫做开立方。
开立方和立方互为逆运算。
3、运算符号（1）正数a 的算术平方根，记作“a ”。
（2）a(a ≥0)的平方根的符号表达为。
（3）一个数a 的立方根，用表示，其中a 是被开方数，3是根指数。
4、运算公式4、开方规律小结（1）若a ≥0，则a 的平方根是a ±，a 的算术平方根a ；正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方根；0的平方根和算术平方根都是0；负数没有平方根。
实数都有立方根，一个数的立方根有且只有一个，并且它的符号与被开方数的符号相同。
正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0。
（2）若a<0，则a 没有平方根和算术平方根；若a 为任意实数，则a 的立方根是。
《第6章实数》知识清单含例题+期末专题复习试卷(含答案).doc
2018年七年级数学下册实数知识清单+经典例题+专题复习试卷1、 定义：如果一个正数X 的平方等于a,即工=。
那么，这正数x 叫做a 的算术平方根。
记作氐 读作“根号屮。
a 叫做被开 算术平方根*方数，规定0的算术平方根还是0o2、 性质:双重非员性(a h 0,需X 0 )。
负数没有算术平方根。
'3、J 产=\a\ (a是任意数力(7^)2 =a (B 是非员数)。
1、定义：如果一个数X 的平方等于4即乂2 =4。
那么，这个X叫做a 的平方根。
记作土需，读作“正、员根号屮。
a 叫做被幵 方数。
规定0的算术平方根还是0o2、 性质：(1)正数有两个平方根，它们互为相反数。
(2) 0的平方根是0。
员数没有平方根。
3、 未知数次数是两次的方程，结果一般都有两个值。
72^1.414, 73^1.732,少恐2.236, J7俎26461、走义：如果一个数x 的立方等于匕 即x 3 =a o 那么，这个x 叫做a 的立方根。
记作砺，读作“三次根号护。
a 叫做被开方数。
2、性质：(1)正数的立方根是正数，员数的立方根是员数，0的立方根是0。
(2)1卜a 取任意数(3) (佝=° J分数(有理数和分数是相同的概念)rI 无限循环小数'1、开方开不尽的方根无理数无限不循环小数彳2、圆周率兀以及含有兀、3、具有特定结构的数(0.010010001……)有理数』r 正整数员整数(可以看成分母是1的分数)正实数o员实数有限小数平方根立方根【经典例题1】1、下列说法错误的是（）4、若 a 2=4, b 2=9,且 ab<0,B. ±55、 设边长为3的正方形的对角线长为a.下列关于a 的四种说法： ®a 是无理数； ②a 可以用数轴上的一个点來表示；③3<a<4； ④a 是18的算术平方根.其中，所有正确说法的序号是 （ ）A.①④B.②③C.①②④D.①③④ 6、 已知实数x 、y 满足心- l+|y+3|=0,则x+y 的值为（ ） A. -2B. 2C.4D. -4【经典例题3】7、 一个自然数的算术平方根为a,则和这个自然数相邻的下一个自然数是（ ）A. a+1B. a 2+lC.寸/+1Va+1f x 二 2f inx+ny=88、 已知■是二元一次方程组｛、的解，则加・n 的算术平方根为（ ）\ y=l[nx - iny^lA. ±2B. V2C. 2D. 49、 有一个数值转换器，原理如下：A. 5是25的算术平方根 C. （-4）2的平方根是一4 2、下列各式中，正确的是（）B. 1是1的一个平方根 D. 0的平方根与算术平方根都是0B.-佇二 _ 3C.寸(±3严二 ±3D.佇二 ±33、716的平方根是（A. ±2【经典例题2】B. 2C. — 2D. 16C. 5A. 2B. 8当输入的x=64时，输出的y 等于（）【经典例题4】10、平方等于16的数是________ ;立方等于本身的数是_______________________ •11、一个数的立方根是4,这个数的平方根是______________ ,12、若一2x ra_n y2与3x7^是同类项，则m-3n的立方根是_____________ .【经典例题5】13、求x 的值：25(X+1)2=16；14、求y 的值：(2y-3) 2 - 64=0；15、计算:^4-23-|-2|X(-7+5) 16、计算：舗一血+ 乂-3)' -磁-2【经典例题6】17、已知实数a, b在数轴上的位置如图所示，化简：寸(fl) 4-1)并|a・b|. -------- ------- 1---------------- 1 ----- >・ 1^0 b 118、阅读理解7 >^<75 <79* 即2<V5<3» A1<V5-1<2-・••厉_1的整数部分为1,小数部分为厉_2・解决问题：己知a是JI7-3的整数部分，D是的小数部分，求(-a)"+(b + 4)2的平方根.参考答案1、c；2、B3、A4、B5、C6、A7、B8、C9、D10、±4, 0, ±111、&-812、213、x = -0. 2, x=-l. 8；14、y=5. 5 或y= - 2. 5；15、10 ；16、-2；17、解：由数轴上点的位置关系，得-l<a<0<b<l.原式二a+1+2 - 2b - b+a=2a - 3b+3.18、由题意，得幺=1，i = T17-4 所以（一幺尸 + 0+4）2 = （-1尸 + （何_4+4）2 = 16 即+ @ + 4）2的平方根为±牛2018年 七年级数学下册 实数 期末复习试卷一、选择题:1、下列语句中正确的是（C. 9的算术平方根是±3D. 9的算术平方根是3设边长为3的正方形的对角线长为a.下列关于a 的I 川种说法: ①a 是无理数; ②a 可以用数轴上的一个点來表示; @3<a<4；④a 是18的算术平方根.其中，所有正确说法的序号是（) A.①④B.②③C.①②④ D.①③④7、负的算术平方根是（ ）A. ±6B. 6C. ±A /6D. V68、下列各数中,3. 14159,-饭,0.3131131113- （2016春•潮州期末）下列各式表示正确的是9、己知实数x 、y 满足Jx=l+1 y+31二0,则x+y 的值为（）10、若正数a 的算术平方根比它本身大，则（ ）A.・9的平方根是・3B. 9的平方根是3 2、下列结论正确的是（A- -{(-6)2二-6 B.(~{5)2二9 C. 7(~16) 2=± 16 D.-(2,16 ^25A- 4、 下列关于祈的说法中，错误的是（ 灵是8的算术平方根 B. 2＜品＜3 下列各组数中互为相反数的一组是（)C. 78= ±2^2D.灵是无理数A. ■⑵与寻PB.・4与・{(-4)2C.D. P 与法5^如果际〒二2. 872, ^3700 =28.72,则勺0・023厂（A. 0. 2872B. 28. 72C. 2. 872D. 0.02872 6、 B. ±725=5A. - 2B. 2C. 4（ ）lk •估计— 1在（）A. 0〜1之间•B. 1〜2之间C. 2〜3之间D. 3〜4之间12、实数纸b在数轴上对应点的位置如图，则|a-b| -肯的结果是（）•••Aa b0A. 2a - bB. b - 2aC. bD. - b二、填空题：13、（-9）2的算术平方根是_.14、如图，在数轴上点A和点B之间的整数是_________ .15^ 己知（x - 1） 2二3,则x= _ .16、如杲丽二1.732, A/30 =5.477,那么0. 0003的平方根是________ .17、若3、b互为相反数，c、d互为负倒数，则石匸尹+畅= _______________ •18、已知a, b为两个连续的整数，且a<V8<b,则a+b二____________ .三、解答题：19、求x 的值：9（3x - 2尸二64. 20、求x 的值：（5- 3x?=—4921、计算：7132-12222、计算：（亦尸+旷爾一加2一炉.23、已知x・1的平方根为±2, 3x+y・1的平方根为±4,求3x+5y的算术平方根.24、已知2a-l的平方根是±3, 3a+b_9的立方根是2, c是妬的整数部分，求a + 2D+f的值•25、阅读下面的文字，解答问题：大家知道迈是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此迈的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用屁-1来表示典的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理的，因为近的整数部分是1,将这个数减去其整数部分，差就是小数部分.又例如：・・・2'<7<3,即2<听<3,・••听的整数部分为2,小数部分为听・2.请解答：(1)Vio的整数部分是__________ ,小数部分是 _________ .(2)如果衍的小数部分为a, 荷的整数部分为b,求a+br/^的值；(3)己知：x是3+^5的整数部分，y是其小数部分，请直接写出X- y的值的相反数.26、若实数a, b, c 在数轴上所对应点分别为A, B, C, a 为2的算术平方根，b 二3, C 点是A 点关 于B点的对称点，（1） 求数轴上AB 两点之间的距离； （2） 求c 点对应的数；27、已知字母a 、b 满足亦二+的_21 1 1 1~ab @ + 1)@ + 1)@+2)@ + 2)… @ + 2011)@ + 2001)第X 页共1（）页（3） 3的整数部分为x, c 的小数部分为y,求2x^+2》的值（结果保留带根号的形式）的值.1、 D2、 A3、 C4、 C5、 A6、 C7、 D8、 C9、 A 10、 11、 12、 C 13、 9.14、 答案为：2. 15、 答案为：土近+1. 16、 ±0.01732. 17、 -118、 答案为：5.149 19、 开平方得：3 (3x-2)二±8 解得：Xi=—, x 2= - -T .9920、§或兰7 2116 T -10； 23、5 24、a=5, b 二2, c 二7, a + 2&+u 二 16・(2) V4<5<9,・・・2<任<3,即沪旋 ・2, V36<37<49, A6<V37<7,即 b 二6,贝lj a+b ・ 丽二4；(3) 根据题意得：x=5, y=3+{^ - 5二- 2,・；x - y=7 - 其相反数是A /5 - 7.26、(1) 3; (2) 6；72 ⑶尸2—屈.21、参考答案21、22、25、 解: (1) V10的整数部分是3,小数部分是V10- 3；故答案为：3； V10- 3；•解;、「7/o,丑-1~ o且-f 二o'弋鳥解得伫°b十@H"賊斗3化X昭十• • •十莎丽莎和 -丄丄亠」一-2 +A3十3*卩十・・・十二卜亍+土一土+》* +・・•十二 /_ Zo/27。
八上实数全章节题型分类知识点+例题+练习分类全面
三.开平方开平方的概念：求一个非负数的平方根的运算，叫做开平方.开平方与平方是互逆运算，可以通过平方运算来求一个数的平方根或算术平方根，以及检验一个数是不是另一个数的平方根或算术平方根.开平方运算的性质：1.当被开方数扩大（或缩小）二倍，它的算术平方根相应地扩大（或缩小）n倍（「：）.2.平方根和算术平方根与被开方数之间的关系：（1）若二丁，则,'=-；；好叫.吟。
）（2）不管.；为何值，总有一八,；注意二者之间的区别及联系.题模一平方根例 1.1.1、士3 是 9 的（）A、平方根B、相反数C、绝对值D、算术平方根例1.1.2、仪的平方根是（）A、2B、±2C、22D、土 <2例1.1.3、若2a-1和a-5是一个正数m的两个平方根，则a=, m=.练习：1.的平方根为（）C、二三D、二述2.若二二二，：=、户，则（）A 、8 C 、8 或-2 3.4耳的平方根为（）C 、二二例1.2.5、若也工T 有意义，则x 的取值范围是练习：1 . J8T 的算术平方根是B 、二三 D 、2 或-B 、2D 、二尤4.已知一个正数的平方根是3x-2和5x+6, 题模二算术平方根例1.2.1、4的算术平方根是（ ）A 、2 C 、±2例1.2.2、29的算术平方根是 例1.2.3、下列说法正确的是（ ）A 、4的算术平方根是2 C 、V 同的平方根是2例1.2.4、一个自然数的算术平方根为a ， A 、a+1则这个数是. B 、-2 D 、五B 、0和1的相反数都是它本身D -—、-是分数则和这个自然数相邻的下一个自然数是（ ）B 、a 2+1 D 、知识点二：立方根知识精讲一•立方根立方根的定义及表示方法：如果一个数的立方等于「那么这个数叫做•;的立方根；若；：=•、则；就叫做・；的立方根，一个数•、的立方根可用符号表“石”，其中“3”叫做根指数，不能省略.立方根的特点：1.任意一个数都有立方根；2.正数立方根是正值；3.负数的立方根是负值；4.0的立方根是0二.开立方开立方的概念：求一个数的立方根的运算.开立方与立方是互逆运算，可以通过立方运算来求一个数的立方根，以及检验一个数是不是另一个数的立方根.开立方运算的性质：1.当被开方数（大于0）扩大（或缩小）：:倍，它的立方根相应地扩大（或缩小）：倍.易错点：1.平方根“F”其实省略了根指数“二”，即：H也可以表示为F,而立方根“盗” 的根指数“3”不能省略.2.立方根等于本身的数有“二［”和“0” .3.两个数互为相反数，则它们的立方根也互为相反数.题模一立方根例2.1.1、27的立方根是.q -例2.1.2、7的立方根是.64例2.1.3、一五的立方根是. 例2.1.4、9的立方根是. 例2.1.5、下列说法正确的是（ ）A 、16的算术平方根是-4B 、25的平方根是5C 、1的立方根是二1D 、-27的立方根是-3练习：1 .如果一个实数的平方根与它的立方根相等，则这个数是（） A 、0 B 、正整数 C 、0 和 1D 、12 .下列说法正确的是（）题模二开立方例2.2.1、求符合下列各条件中的x 的值. x* -1 = 0 -x 1 -1 = 0（1） -（2）-例2.2.2、已知343的立方根是7,那么343000的立方根是A 、如果一个数的立方根是这个数的本身，那么 这个数一定是零 B 、 一个数的立方根不是正数就是负数 C 、负数没有立方根D 、一个数的立方根与这个数同号，零的立方根 是零例2.2.3、已知与互为相反数，求.例2.2.4、已知“:是4的算术平方根，丁三是8的立方根，求;「「的平方根练习：1.下列各式中，正确的是（）A、二忑=二二C、石一D、-# = 32.正确的个数是（）①]”二一"②止〜与③0=二；④==-二A、B、C、D、3.若，则k的取值范围为（A、士B、C、＜ =-D、二为任意数4.求符合下列各条件中的x的值.(2)「3 —(1) J一一二5.如果，求―的值知识点三：实数知识精讲一.无理数无理数的概念：无理数是无限不循环小数；常见的无理数有：无限不循环小数（例如.）, 开方开不尽的数.二.实数的概念及分类：实数的概念：有理数和无理数统称为实数.实数的性质：£1.有理数都可以写成有限小数或循环小数的形式，都可以表示成分数-二的形式;2.任何两个有理数的和、差、积、商还是有理数；3.两个无理数的和、差、积、商不一定是无理数.实数的分类■:正整数-整数。
实数知识点汇总及经典练习题(20211112205044)
第二章实数知识点汇总及经典练习题一,知识点概括1.实数的分类（ 1）按实数的定义分类：自然数(0, 1,2,3)整数2,3)负整数 ( 1,有理数12整数、有限小数、无穷循环小数)正分数( ,3) (实数分数小数2()1 ,2)负分数 (23无理数正有理数负有理数( 无穷不循环小数)（ 2）按实数的正负分类：正整数正有理数正实数正分数正无理数实数零（既不是正数也不是负数）负整数负有理数负实数负分数负无理数2．实数与数轴的关系每一个实数都能够用数轴上的一个点表示；反之，数轴上每一个点都表示一个实数，即数轴上的点与实数是一一对应关系．实数的运算（1）有理数的运算定律在实数范围内都合用，此中常用的运算定律有加法互换律、乘法互换律、加法联合律、乘法分派律、乘法联合律。
（2）在实数范围内进行运算的次序：先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减。
运算中有括号的，先算括号内的，同一级运算从左到右挨次进行。
3、实数的大小比较常用方法：数轴表示法、作差法、平方法、估值法。
（1）在数轴上表示两个数的点，右侧的点表示的数大，左侧的点表示的数小。
（2）正数大于零，负数小于零；两个正数，绝对值大的较大；两个负数，绝对值大的较小。
（3）设 a，b 是随意两实数，若 a-b>0,则 a>b;若 a-b=0,则 a=b;若 a-b<0,则 a<b。
二、数轴（1）规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。
（2）数轴的三因素为原点、正方向和单位长度。
数轴上的点与实数一一对应，全部的有理数都能够用数轴上的点表示，但数轴上的点所表示的不都是有理数。
三、相反数、倒数、绝对值1、只有符号不一样的两个实数，此中一个叫做另一个的相反数。
零的相反数是零。
若实数b 互为相反数，则a+b=0。
2、1 除以一个非零实数的商叫这个实数的倒数。
零没有倒数。
若实数a、b互为倒数，则a、ab=1。
3、从数轴上看，一个实数的绝对值是表示这个数的点走开原点距离。
初一实数所有知识点总结和常考题练习含答案解析
初一实数所有知识点总结和常考题知识点：一、实数的概念及分类1、实数的分类 正有理数 有理数 零 有限小数和无限循环小数实数 负有理数正无理数无理数 无限不循环小数负无理数整数包括正整数、零、负整数;正整数又叫自然数;正整数、零、负整数、正分数、负分数统称为有理数;2、无理数在理解无理数时,要抓住“无限不循环”这一时之,归纳起来有四类：1开方开不尽的数,如32,7等；2有特定意义的数,如圆周率π,或化简后含有π的数,如3π+8等； 3有特定结构的数,如0.1010010001…等；二、实数的倒数、相反数和绝对值1、相反数实数与它的相反数时一对数只有符号不同的两个数叫做互为相反数,零的相反数是零,从数轴上看,互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称,如果a 与b 互为相反数,则有a+b=0,a=—b,反之亦成立;2、绝对值一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离,|a|≥0;零的绝对值时它本身,也可看成它的相反数,若|a|=a,则a ≥0；若|a|=-a,则a ≤0;正数大于零,负数小于零,正数大于一切负数,两个负数,绝对值大的反而小;3、倒数如果a 与b 互为倒数,则有ab=1,反之亦成立;倒数等于本身的数是1和-1;零没有倒数;4. 实数与数轴上点的关系：每一个无理数都可以用数轴上的一个点表示出来,数轴上的点有些表示有理数,有些表示无理数,实数与数轴上的点就是一一对应的,即每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来,数轴上的每一个点都是表示一个实数;三、平方根、算数平方根和立方根1、平方根1平方根的定义：如果一个数x 的平方等于a,那么这个数x 就叫做a 的平方根．即：如果a x 2,那么x 叫做a 的平方根．2开平方的定义：求一个数的平方根的运算,叫做开平方．开平方运算的被开方数必须是非负数才有意义;3平方与开平方互为逆运算：±3的平方等于9,9的平方根是±34一个正数有两个平方根,即正数进行开平方运算有两个结果；一个负数没有平方根,即负数不能进行开平方运算5符号：正数a 的正的平方根可用a 表示,a 也是a 的算术平方根；正数a 的负的平方根可用-a 表示．6a x =2 <—> a x ±=a 是x 的平方 x 的平方是ax 是a 的平方根 a 的平方根是x2、算术平方根1算术平方根的定义： 一般地,如果一个正数x 的平方等于a,即a x =2,那么这个正数x 叫做a 的算术平方根．a a”,a叫做被开方数．规定：0的算术平方根是0.也就是,在等式a x =2 x≥0中,规定a x =; 2a 的结果有两种情况：当a 是完全平方数时,a 是一个有限数；当a 不是一个完全平方数时,a 是一个无限不循环小数;3当被开方数扩大时,它的算术平方根也扩大；当被开方数缩小时与它的算术平方根也缩小;4夹值法及估计一个无理数的大小5a x =2 x≥0 <—> a x =a 是x 的平方 x 的平方是ax 是a 的算术平方根 a 的算术平方根是x6正数和零的算术平方根都只有一个,零的算术平方根是零; a a ≥0 0≥a==a a 2 ；注意a 的双重非负性：-a a <0 a ≥07平方根和算术平方根两者既有区别又有联系：区别在于正数的平方根有两个,而它的算术平方根只有一个；联系在于正数的正平方根就是它的算术平方根,而正数的负平方根是它的算术平方根的相反数;3、立方根1立方根的定义：如果一个数x 的立方等于a ,这个数叫做a 的立方根也叫做三次方根,即如果3x a =,那么x 叫做a 的立方根2一个数a 的立方根,读作：“三次根号a ”,其中a 叫被开方数,3叫根指数,不能省略,若省略表示平方;3 一个正数有一个正的立方根；0有一个立方根,是它本身；一个负数有一个负的立方根；任何数都有唯一的立方根;4利用开立方和立方互为逆运算关系,求一个数的立方根,就可以利用这种互逆关系,检验其正确性,求负数的立方根,可以先求出这个负数的绝对值的立方根,再取其相反数,即)0a =>;5a x =3 <—> 3a x =a 是x 的立方 x 的立方是ax 是a 的立方根 a 的立方根是x 633a a -=-,这说明三次根号内的负号可以移到根号外面;四、科学记数法和近似数1、有效数字一个近似数四舍五入到哪一位,就说它精确到哪一位,这时,从左边第一个不是零的数字起到右边精确的数位止的所有数字,都叫做这个数的有效数字;2、科学记数法把一个数写做na 10⨯±的形式,其中101<≤a ,n 是整数,这种记数法叫做科学记数法;五、实数大小的比较1、数轴规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴画数轴时,要注意三要素缺一不可; 解题时要真正掌握数形结合的思想,理解实数与数轴的点是一一对应的,并能灵活运用;2、实数大小比较的几种常用方法1数轴比较：在数轴上表示的两个数,右边的数总比左边的数大;2求差比较：设a 、b 是实数, ,0b a b a >⇔>-,0b a b a =⇔=-b a b a <⇔<-03求商比较法：设a 、b 是两正实数,;1;1;1b a ba b a b a b a b a <⇔<=⇔=>⇔> 4绝对值比较法：设a 、b 是两负实数,则b a b a <⇔>;5平方法：设a 、b 是两负实数,则b a b a <⇔>22;六、实数的运算1、加法交换律 a b b a +=+2、加法结合律 )()(c b a c b a ++=++3、乘法交换律 ba ab =4、乘法结合律 )()(bc a c ab =5、乘法对加法的分配律 ac ab c b a +=+)(6、实数混合运算时,对于运算顺序有什么规定实数混合运算时,将运算分为三级,加减为一级运算,乘除为二能为运算,乘方为三级运算;同级运算时,从左到右依次进行；不是同级的混合运算,先算乘方,再算乘除,而后才算加减；运算中如有括号时,先做括号内的运算,按小括号、中括号、大括号的顺序进行;7、有理数除法运算法则就什么两有理数除法运算法则可用两种方式来表述：第一,除以一个不等于零的数,等于乘以这个数的倒数；第二,两数相除,同号得正,异号得负,并把绝对值相除;零除以任何一个不为零的数,商都是零;8、什么叫有理数的乘方 幂 底数 指数相同因数相乘积的运算叫乘方,乘方的结果叫幂,相同因数的个数叫指数,这个因数叫底数;记作: a n9、有理数乘方运算的法则是什么负数的奇次幂是负数,负数的偶次幂是正数;正数的任何次幂都是正数;零的任何正整数幂都是零;10、加括号和去括号时各项的符号的变化规律是什么去加括号时如果括号外的因数是正数,去加括号后式子各项的符号与原括号内的式子相应各项的符号相同；括号外的因数是负数去加括号后式子各项的符号与原括号内式子相应各项的符号相反;常考题：一．选择题共13小题1．9的平方根为A ．3B ．﹣3C ．±3D ．2．的算术平方根是A ．2B ．±2C ．D ．±3．下列各组数中,互为相反数的一组是A ．﹣2与B ．﹣2与C ．﹣2与﹣D ．|﹣2|与24．如图,数轴上A,B 两点分别对应实数a,b,则下列结论正确的是A ．a+b ＞0B ．ab ＞0C ．a ﹣b ＞0D ．|a|﹣|b|＞05．估算﹣2的值A ．在1到2之间B ．在2到3之间C ．在3到4之间D ．在4到5之间6．估计的值A ．在3到4之间B ．在4到5之间C ．在5到6之间D ．在6到7之间7．估计+3的值A．在5和6之间B．在6和7之间C．在7和8之间D．在8和9之间8．一个正方形的面积是15,估计它的边长大小在A．2与3之间B．3与4之间C．4与5之间D．5与6之间9．如图,在数轴上表示实数的点可能是A．点P B．点Q C．点M D．点N10．数轴上表示1,的对应点分别为A,B,点B关于点A的对称点为C,则点C 所表示的数是A．﹣1 B．1﹣C．2﹣D．﹣211．下列说法不正确的是A．1的平方根是±1 B．﹣1的立方根是﹣1C．是2的平方根D．﹣3是的平方根12．下列各数中,3.14159,,0.131131113…相邻两个3之间1的个数逐次加1个,﹣π,,,无理数的个数有A．1个B．2个C．3个D．4个13．实数a,b,c在数轴上对应的点如图所示,则下列式子中正确的是A．ac＞bc B．|a﹣b|=a﹣b C．﹣a＜﹣b＜c D．﹣a﹣c＞﹣b﹣c二．填空题共13小题14．的平方根是．15．﹣8的立方根是．16．的算术平方根是．17．﹣2= ．18．已知a、b为两个连续的整数,且,则a+b= ．19．已知一个正数的平方根是3x﹣2和5x+6,则这个数是．20．若实数a、b满足|a+2|,则= ．21．比较大小：﹣3﹣2．22．= ．23．5﹣的小数部分是．24．比较大小：填“＞”“＜”“=”．25．若x,y为实数,且,则x+y2010的值为．26．若将三个数表示在数轴上,其中能被如图所示的墨迹覆盖的数是．三．解答题共14小题27．计算：﹣22+﹣3×2﹣．28．计算：﹣22+|﹣1|﹣．29．求值：+2+﹣12015．30．阅读下面的文字,解答问题：大家知道是无理数,而无理数是无限不循环小数,因此的小数部分我们不可能全部地写出来,于是小明用来表示的小数部分,你同意小明的表示方法吗事实上,小明的表示方法是有道理,因为的整数部分是1,将这个数减去其整数部分,差就是小数部分．又例如：∵,即,∴的整数部分为2,小数部分为．请解答：1如果的小数部分为a,的整数部分为b,求的值；2已知：,其中x是整数,且0＜y＜1,求x﹣y的相反数．31．已知：x﹣2的平方根是±2,2x+y+7的立方根是3,求x2+y2的算术平方根．32．已知,a、b互为倒数,c、d互为相反数,求的值．33．设2+的整数部分和小数部分分别是x、y,试求x、y的值与x﹣1的算术平方根．34．计算：﹣22﹣3﹣5﹣+2×﹣335．1有这样一个问题：与下列哪些数相乘,结果是有理数A、；B、；C、；D、；E、0,问题的答案是只需填字母：；2如果一个数与相乘的结果是有理数,则这个数的一般形式是什么用代数式表示．36．求值：已知y=x2﹣5,且y的算术平方根是2,求x的值．37．画一条数轴,把﹣1,,2各数和它们的相反数在数轴上表示出来,并比较它们的大小,用“＜”号连接．38．求x的值：14x2=25；2x﹣0.73=0.027．39．已知2a﹣1的平方根是±3,3a+b﹣1的算术平方根是4,求12a+2b的立方根．40．已知M=是m+3的算术平方根,N=是n﹣2的立方根,试求M ﹣N的值．初一实数所有知识点总结和常考题提高难题压轴题练习含答案解析参考答案与试题解析一．选择题共13小题1．2017•武汉模拟9的平方根为A．3 B．﹣3 C．±3 D．分析根据平方根的定义求解即可,注意一个正数的平方根有两个．解答解：9的平方根有：=±3．故选C．点评此题考查了平方根的知识,属于基础题,解答本题关键是掌握一个正数的平方根有两个,且互为相反数．2．2015•日照的算术平方根是A．2 B．±2 C．D．±分析先求得的值,再继续求所求数的算术平方根即可．解答解：∵=2,而2的算术平方根是,∴的算术平方根是,故选：C．点评此题主要考查了算术平方根的定义,解题时应先明确是求哪个数的算术平方根,否则容易出现选A的错误．3．2002•杭州下列各组数中,互为相反数的一组是A．﹣2与B．﹣2与C．﹣2与﹣D．|﹣2|与2分析根据相反数的概念、性质及根式的性质化简即可判定选择项．解答解：A、=2,﹣2与2互为相反数,故选项正确；B、=﹣2,﹣2与﹣2不互为相反数,故选项错误；C、﹣2与不互为相反数,故选项错误；D、|﹣2|=2,2与2不互为相反数,故选项错误．故选A．点评本题考查的是相反数的概念,只有符号不同的两个数叫互为相反数．如果两数互为相反数,它们的和为0．4．2009•江苏如图,数轴上A,B两点分别对应实数a,b,则下列结论正确的是A．a+b＞0 B．ab＞0 C．a﹣b＞0 D．|a|﹣|b|＞0分析本题要先观察a,b在数轴上的位置,得b＜﹣1＜0＜a＜1,然后对四个选项逐一分析．解答解：A、∵b＜﹣1＜0＜a＜1,∴|b|＞|a|,∴a+b＜0,故选项A错误；B、∵b＜﹣1＜0＜a＜1,∴ab＜0,故选项B错误；C、∵b＜﹣1＜0＜a＜1,∴a﹣b＞0,故选项C正确；D、∵b＜﹣1＜0＜a＜1,∴|a|﹣|b|＜0,故选项D错误．故选：C．点评本题考查了实数与数轴的对应关系,数轴上右边的数总是大于左边的数．5．2015•新疆估算﹣2的值A．在1到2之间B．在2到3之间C．在3到4之间D．在4到5之间分析先估计的整数部分,然后即可判断﹣2的近似值．解答解：∵5＜＜6,∴3＜﹣2＜4．故选C．点评此题主要考查了无理数的估算能力,现实生活中经常需要估算,估算应是我们具备的数学能力,“夹逼法”是估算的一般方法,也是常用方法．6．2014•营口估计的值A．在3到4之间B．在4到5之间C．在5到6之间D．在6到7之间分析应先找到所求的无理数在哪两个和它接近的整数之间,然后判断出所求的无理数的范围．解答解：∵5＜＜6,∴在5到6之间．故选：C．点评此题主要考查了估算无理数的那就,“夹逼法”是估算的一般方法,也是常用方法．7．2006•沈阳估计+3的值A．在5和6之间B．在6和7之间C．在7和8之间D．在8和9之间分析先估计的整数部分,然后即可判断+3的近似值．解答解：∵42=16,52=25,所以,所以+3在7到8之间．故选：C．点评此题主要考查了估算无理数的大小的能力,理解无理数性质,估算其数值．现实生活中经常需要估算,估算应是我们具备的数学能力,“夹逼法”是估算的一般方法,也是常用方法．8．2012•义乌市一个正方形的面积是15,估计它的边长大小在A．2与3之间B．3与4之间C．4与5之间D．5与6之间分析先根据正方形的面积是15计算出其边长,在估算出该数的大小即可．解答解：∵一个正方形的面积是15,∴该正方形的边长为,∵9＜15＜16,∴3＜＜4．故选B．点评本题考查的是估算无理数的大小及正方形的性质,根据题意估算出的取值范围是解答此题的关键．9．2008•遵义如图,在数轴上表示实数的点可能是A．点P B．点Q C．点M D．点N分析先对进行估算,再确定是在哪两个相邻的整数之间,然后确定对应的点即可解决问题．解答解：∵≈3.87,∴3＜＜4,∴对应的点是M．故选C点评本题考查实数与数轴上的点的对应关系,应先看这个无理数在哪两个有理数之间,进而求解．10．2006•西岗区数轴上表示1,的对应点分别为A,B,点B关于点A的对称点为C,则点C所表示的数是A．﹣1 B．1﹣C．2﹣D．﹣2分析首先根据数轴上表示1,的对应点分别为A,B可以求出线段AB的长度,然后由AB=AC利用两点间的距离公式便可解答．解答解：∵数轴上表示1,的对应点分别为A,B,∴AB=﹣1,∵点B关于点A的对称点为C,∴AC=AB．∴点C的坐标为：1﹣﹣1=2﹣．故选：C．点评本题考查的知识点为：求数轴上两点间的距离就让右边的数减去左边的数．知道两点间的距离,求较小的数,就用较大的数减去两点间的距离．11．2012秋•安新县期末下列说法不正确的是A．1的平方根是±1 B．﹣1的立方根是﹣1C．是2的平方根D．﹣3是的平方根分析A、根据平方根的定义即可判定；B、根据立方根的定义即可判定；C、根据平方根的定义即可判定；D、根据平方根的定义即可判定．解答解：A、1的平方根是±1,故A选项正确；B、﹣1的立方根是﹣1,故B选项正确；C、是2的平方根,故C选项正确；D、=3,3的平方根是±,故D选项错误．故选：D．点评本题考查了平方根的定义．注意一个正数有两个平方根,它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．12．2013•安顺下列各数中,3.14159,,0.131131113…相邻两个3之间1的个数逐次加1个,﹣π,,,无理数的个数有A．1个B．2个C．3个D．4个分析无限不循环小数为无理数,由此可得出无理数的个数．解答解：由定义可知无理数有：0.131131113…,﹣π,共两个．故选：B．点评此题主要考查了无理数的定义,其中初中范围内学习的无理数有：π,2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…,等有这样规律的数．13．2015•枣庄实数a,b,c在数轴上对应的点如图所示,则下列式子中正确的是A．ac＞bc B．|a﹣b|=a﹣b C．﹣a＜﹣b＜c D．﹣a﹣c＞﹣b﹣c分析先根据各点在数轴上的位置比较出其大小,再对各选项进行分析即可．解答解：∵由图可知,a＜b＜0＜c,∴A、ac＜bc,故A选项错误；B、∵a＜b,∴a﹣b＜0,∴|a﹣b|=b﹣a,故B选项错误；C、∵a＜b＜0,∴﹣a＞﹣b,故C选项错误；D、∵﹣a＞﹣b,c＞0,∴﹣a﹣c＞﹣b﹣c,故D选项正确．故选：D．点评本题考查的是实数与数轴,熟知数轴上各点与实数是一一对应关系是解答此题的关键．二．填空题共13小题14．2015•庆阳的平方根是±2 ．分析根据平方根的定义,求数a的平方根,也就是求一个数x,使得x2=a,则x就是a的平方根,由此即可解决问题．解答解：的平方根是±2．故答案为：±2点评本题考查了平方根的定义．注意一个正数有两个平方根,它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．15．2015•茂名﹣8的立方根是﹣2 ．分析利用立方根的定义即可求解．解答解：∵﹣23=﹣8,∴﹣8的立方根是﹣2．故答案为：﹣2．点评本题主要考查了平方根和立方根的概念．如果一个数x的立方等于a,即x 的三次方等于ax3=a,那么这个数x就叫做a的立方根,也叫做三次方根．读作“三次根号a”其中,a叫做被开方数,3叫做根指数．16．2009•峨边县模拟的算术平方根是 3 ．分析首先根据算术平方根的定义求出的值,然后即可求出其算术平方根．解答解：∵=9,又∵±32=9,∴9的平方根是±3,∴9的算术平方根是3．即的算术平方根是3．故答案为：3．点评此题主要考查了算术平方根的定义,解题的关键是知道,实际上这个题是求9的算术平方根是3．注意这里的双重概念．17．2009•江苏﹣2= ﹣3 ．分析直接根据平方的定义求解即可．解答解：∵2=3,∴﹣2=﹣3．点评本题考查了数的平方运算,是基本的计算能力．18．2012•枣庄已知a、b为两个连续的整数,且,则a+b= 11 ．分析根据无理数的性质,得出接近无理数的整数,即可得出a,b的值,即可得出答案．解答解：∵,a、b为两个连续的整数,∴＜＜,∴a=5,b=6,∴a+b=11．故答案为：11．点评此题主要考查了无理数的大小,得出比较无理数的方法是解决问题的关键．19．2009•凉山州已知一个正数的平方根是3x﹣2和5x+6,则这个数是．分析由于一个非负数的平方根有2个,它们互为相反数．依此列出方程求解即可．解答解：根据题意可知：3x﹣2+5x+6=0,解得x=﹣,所以3x﹣2=﹣,5x+6=,∴2=故答案为：．点评本题主要考查了平方根的逆运算,平时注意训练逆向思维．20．2013•东莞市若实数a、b满足|a+2|,则= 1 ．分析根据非负数的性质列出方程求出a、b的值,代入所求代数式计算即可．解答解：根据题意得：,解得：,则原式==1．故答案是：1．点评本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时,这几个非负数都为0．21．2014•射阳县三模比较大小：﹣3＜﹣2．分析先把两数平方,再根据实数比较大小的方法即可比较大小．解答解：∵32=18,22=12,∴﹣3＜﹣2．故答案为：＜．点评此题主要考查了实数的大小的比较,实数大小比较法则：1正数大于0,0大于负数,正数大于负数；2两个负数,绝对值大的反而小．22．2013•南平= 3 ．分析33=27,根据立方根的定义即可求出结果．解答解：∵33=27,∴；故答案为：3．点评本题考查了立方根的定义；掌握开立方和立方互为逆运算是解题的关键．23．2014•辽阳5﹣的小数部分是2﹣．分析根据1＜＜2,不等式的性质3,可得﹣的取值范围,再根据不等式的性质1,可得答案．解答解：由1＜＜2,得﹣2＜﹣＜﹣1．不等式的两边都加5,得5﹣2＜5﹣＜5﹣1,即3＜5﹣＜4,5﹣的小数部分是5﹣﹣3=2﹣,故答案为：2﹣．点评本题考查了估算无理数的大小,利用了不等式的性质：不等式的两边都乘以或除以同一个负数,不等号的方向改变,不等式的两边都加同一个数,不等号的方向不变．24．2014•岳麓区校级自主招生比较大小：＞填“＞”“＜”“=”．分析因为分母相同所以比较分子的大小即可,可以估算的整数部分,然后根据整数部分即可解决问题．解答解：∵﹣1＞1,∴＞．故填空结果为：＞．点评此题主要考查了实数的大小的比较,比较两个实数的大小,可以采用作差法、取近似值法、比较n次方的方法等．当分母相同时比较分子的大小即可．25．2010•成都若x,y为实数,且,则x+y2010的值为 1 ．分析先根据非负数的性质列出方程组,求出x、y的值,然后代入x+y2010中求解即可．解答解：由题意,得：x+2=0,y﹣3=0,解得x=﹣2,y=3；因此x+y2010=1．故答案为：1．点评本题考查了非负数的性质：有限个非负数的和为零,那么每一个加数也必为零．26．2010•河南若将三个数表示在数轴上,其中能被如图所示的墨迹覆盖的数是．分析首先利用估算的方法分别得到﹣,,前后的整数即它们分别在那两个整数之间,从而可判断出被覆盖的数．解答解：∵﹣2＜﹣＜﹣1,2＜＜3,3＜＜4,且墨迹覆盖的范围是1﹣3,∴能被墨迹覆盖的数是．点评本题考查了实数与数轴的对应关系,以及估算无理数大小的能力．三．解答题共14小题27．2014•钦州计算：﹣22+﹣3×2﹣．分析原式第一项利用乘方的意义化简,第二项利用异号两数相乘的法则计算,最后一项利用平方根定义化简,计算即可得到结果．解答解：原式=4﹣6﹣3=﹣5．点评此题考查了实数的运算,熟练掌握运算法则是解本题的关键．28．2015•乌鲁木齐计算：﹣22+|﹣1|﹣．分析原式第一项利用乘方的意义化简,第二项利用绝对值的代数意义化简,最后一项利用立方根定义计算即可得到结果．解答解：原式=4+﹣1﹣3=．点评此题考查了实数的运算,熟练掌握运算法则是解本题的关键．29．2015•大庆求值：+2+﹣12015．分析原式第一项利用算术平方根定义计算,第二项利用乘方的意义化简,第三项利用乘方的意义化简,计算即可得到结果．解答解：原式=+﹣1=﹣．点评此题考查了实数的运算,熟练掌握运算法则是解本题的关键．30．2014春•嘉祥县期末阅读下面的文字,解答问题：大家知道是无理数,而无理数是无限不循环小数,因此的小数部分我们不可能全部地写出来,于是小明用来表示的小数部分,你同意小明的表示方法吗事实上,小明的表示方法是有道理,因为的整数部分是1,将这个数减去其整数部分,差就是小数部分．又例如：∵,即,∴的整数部分为2,小数部分为．请解答：1如果的小数部分为a,的整数部分为b,求的值；2已知：,其中x是整数,且0＜y＜1,求x﹣y的相反数．分析1先估计、的近似值,然后判断的小数部分a,的整数部分b,最后将a、b的值代入并求值；2先估计的近似值,然后判断的整数部分并求得x、y的值,最后求x﹣y的相反数．解答解：∵4＜5＜9,∴2＜＜3,∴的小数部分a=﹣2 ①∵9＜13＜16,∴3＜＜4,∴的整数部分为b=3 ②把①②代入,得﹣2+3=1,即．2∵1＜3＜9,∴1＜＜3,∴的整数部分是1、小数部分是,∴10+=10+1+=11+,又∵,∴11+=x+y,又∵x是整数,且0＜y＜1,∴x=11,y=；∴x﹣y=11﹣=12﹣,∴x﹣y的相反数y﹣x=﹣x﹣y=．点评此题主要考查了估算无理数的大小,注意首先估算无理数的值,再根据不等式的性质进行计算．现实生活中经常需要估算,估算应是我们具备的数学能力,“夹逼法”是估算的一般方法,也是常用方法．31．2015秋•偃师市期中已知：x﹣2的平方根是±2,2x+y+7的立方根是3,求x2+y2的算术平方根．分析根据平方根、立方根的定义和已知条件可知x﹣2=4,2x+y+7=27,列方程解出x、y,最后代入代数式求解即可．解答解：∵x﹣2的平方根是±2,∴x﹣2=4,∴x=6,∵2x+y+7的立方根是3∴2x+y+7=27把x的值代入解得：y=8,∴x2+y2的算术平方根为10．点评本题主要考查了平方根、立方根的概念,难易程度适中．32．2013秋•滨湖区校级期末已知,a、b互为倒数,c、d互为相反数,求的值．分析由a、b互为倒数可得ab=1,由c、d互为相反数可得c+d=0,然后将以上两个代数式整体代入所求代数式求值即可．解答解：依题意得,ab=1,c+d=0；∴==﹣1+0+1=0．点评本题主要考查实数的运算,解题关键是运用整体代入法求代数式的值,涉及到倒数、相反数的定义,要求学生灵活掌握各知识点．33．2015秋•吉安校级期末设2+的整数部分和小数部分分别是x、y,试求x、y的值与x﹣1的算术平方根．分析先找到介于哪两个整数之间,从而找到整数部分,小数部分让原数减去整数部分,然后代入求值即可．解答解：因为4＜6＜9,所以2＜＜3,即的整数部分是2,所以2+的整数部分是4,小数部分是2+﹣4=﹣2,即x=4,y=﹣2,所以==．点评此题主要考查了无理数的估算能力,解题关键是估算出整数部分后,然后即可得到小数部分．34．2009•江西计算：﹣22﹣3﹣5﹣+2×﹣3分析根据实数的运算顺序计算即可求解．注意实数混合运算的顺序：先算乘方、开方,再算乘除,最后算加减,遇有括号,先算括号内的．解答解：原式=4﹣﹣2﹣2﹣6=﹣2．点评此题主要考查了实数的运算,解题要注意实数的混合运算顺序．35．2009•佛山1有这样一个问题：与下列哪些数相乘,结果是有理数A、；B、；C、；D、；E、0,问题的答案是只需填字母：A、D、E ；2如果一个数与相乘的结果是有理数,则这个数的一般形式是什么用代数式表示．分析1根据实数的乘法法则和有理数、无理数的定义即可求解；2根据1的结果可以得到规律．解答解：1A、D、E；2设这个数为x,则x•=aa为有理数,所以x=a为有理数．点评此题主要考查了实数的运算,也考查了有理数、无理数的定义,文字阅读比较多,解题时要注意审题,正确理解题意．36．2010秋•西盟县期末求值：已知y=x2﹣5,且y的算术平方根是2,求x的值．分析由于被开方数应等于它算术平方根的平方．那么由此可求得y,然后即可求出x．解答解：∵y的算术平方根是2,∴∴y=4；又∵y=x2﹣5∴4=x2﹣5∴x2=9∴x=±3．点评此题主要考查了平方根的性质：被开方数应等于它算术平方根的平方．正数的平方根有2个．。
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【最新整理，下载后即可编辑】实数习题集【知识要点】1．实数分类：2．相反数：b a, 0=+b a4．倒数：b a ,0;1=ab 没有倒数.5．平方根，立方根：==x ，a x a x 记作的平方根叫做数则数若,2±a . 若a x ，a x a x 33,==记作的立方根叫做数则数6．数轴的概念与画法.实数与数轴上的点一一对应；利用数形结合的思想及数轴比较实数大小的方法. 【课前热身】1、36的平方根是 ；16的算术平方根是 ；2、8的立方根是 ；327-＝ ；3、37-的相反数是 ；绝对值等于3的数是4、的倒数的平方是 ，2的立方根的倒数的立方是 。
5、2-的绝对值是 ，11-的绝对值是 。
6、9的平方根的绝对值的相反数是 。
7的相反数是 ，-的相反数的绝对值是 。
实数有理数 无理数整数（包括正整数，零，负整数）分数（包括正分数，负整数） 正无理数 负无理数)0(>a 3．绝对值： =aaa -)0(=a)0(<a8+ 。
【典型例题】例1、把下列各数分别填入相应的集合里：2,3.0,10,1010010001.0,125,722,0,1223π---•-有理数集合：｛ ｝； 无理数集合：｛ ｝； 负实数集合：｛ ｝； 例2、比较数的大小 （1）2332与 （2）6756--与例3．化简： （1）233221-+-+-（2例4．已知b a ,是实数，且有0)2(132=+++-b a ，求b a ,的值.例5 若|2x+1|与x y 481+互为相反数，则－xy 的平方根的值是多少？总结：若几个非负数的和为零，则每个非负数都为零，这个性质在代数式求值中经常被使用．例6．已知b a ,为有理数，且3)323(2b a +=-，求b a +的平方根例7. 已知实数x 、y 、z 在数轴上的对应点如图 试化简：x z x y y z x z x z---++++-。
【课堂练习】1．无限小数包括无限循环小数和 ，其中 是有理数， 是无理数.2．如果102=x ，则x 是一个 数，x 的整数部分是 . 3．64的平方根是 ，立方根是 . 4．51-的相反数是 ，绝对值是 . 5．若==x x 则6 . 6．当_______x 时，32-x 有意义； 7．当_______x 时，x-11有意义；8．若一个正数的平方根是12-a 和2+-a ，则____=a ，这个正数是 ； 9．当10≤≤x 时，化简__________12=-+x x ;10．b a ,的位置如图所示，则下列各式中有意义的是（ ）. A 、b a +B 、b a -C 、abD 、a b -11．全体小数所在的集合是（ ）.0 y x za boA 、分数集合B 、有理数集合C 、无理数集合D 、实数集合12．等式1112-=+⋅-x x x 成立的条件是（ ）. A 、1≥x B 、1-≥x C 、11≤≤-xD 、11≥-≤或x13．若64611)23(3=-+x ，则x 等于（ ）.A 、21 B 、41C 、41-D 、49-14．计算： （1）21--（2）34+（324++-++（4）81214150232-+-15．若054=-++-y x x ，求xy 的值.16．设a、b是有理数，且满足(2a+=-，求b a的值117．若m++=，求2000410-的值。
(完整word版)初一数学七下实数所有知识点总结和常考题型练习题,文档
实数知识点一、实数的倒数、相反数和绝对值1、相反数只有符号不同样的两个数叫做互为相反数〔零的相反数是零〕，从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，若是 a 与 b 互为相反数，那么有 a+b=0， a=— b，反之亦成立。
2、绝对值一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离，|a| ≥0。
零的绝对值时它自己，也可看作它的相反数，假设 |a|=a ，那么 a≥ 0；假设 |a|=-a ，那么 a≤ 0。
正数大于零，负数小于零，正数大于所有负数，两个负数，绝对值大的反而小。
3、倒数若是 a 与 b 互为倒数，那么有ab=1，反之亦成立。
倒数等于自己的数是 1 和 -1 。
零没有倒数。
二、平方根、算数平方根和立方根1、平方根若是一个数的平方等于a，那么这个数就叫做 a 的平方根〔或二次方跟〕。
一个数有两个平方根，他们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。
正数 a 的平方根记做“ a 〞。
2、算术平方根正数 a 的正的平方根叫做 a 的算术平方根，记作“ a 〞。
正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。
a 〔 a0〕a0a 2a；注意 a 的双重非负性：- a〔a <0〕a03、立方根若是一个数的立方等于a，那么这个数就叫做 a 的立方根〔或 a 的三次方根〕。
一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零。
注意：3a 3 a，这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。
三、科学记数法和近似数1、有效数字一个近似数四舍五入到哪一位，就说它精确到哪一位，这时，从左边第一个不是零的数字起到右边精确的数位止的所有数字，都叫做这个数的有效数字。
2、科学记数法把一个数写做 a 10n的形式，其中1a10 ，n是整数，这种记数法叫做科学记数法。
四、实数大小的比较1、数轴规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴〔画数轴时，要注意上述规定的三要素缺一不可以〕。
2、实数大小比较的几种常用方法（1〕数轴比较：在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。
实数知识点与经典例题
七年级下实数知识点总结及经典例题讲解第一部分 知识点总结考点一、实数的概念及分类 3分1、实数的分类正有理数有理数 零 有限小数和无限循环小数实数 负有理数正无理数无理数 无限不循环小数负无理数整数包括正整数、零、负整数;正整数又叫自然数;正整数、零、负整数、正分数、负分数统称为有理数;2、无理数无理数有三个条件：1是小数；2是无限小数；3不循环.在理解无理数时,要抓住“无限不循环”这一点,归纳起来有四类： 1开方开不尽的数,如32,7等；2有特定意义的数,如圆周率π,或化简后含有π的数,如3π+8等； 3有特定结构的数,如…等；考点二、实数的倒数、相反数和绝对值1、相反数实数与它的相反数是一对数只有符号不同的两个数叫做互为相反数,零的相反数是零,从数轴上看,互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称,如果a 与b 互为相反数,则有a+b=0,a=-b,反之亦成立;2、绝对值一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离,|a|≥0;零的绝对值是它本身,若|a|=a,则a ≥0；若|a|=-a,则a ≤0;正数大于零,负数小于零,正数大于一切负数,两个负数,绝对值大的反而小;3、倒数如果a 与b 互为倒数,则有ab=1,反之亦成立;倒数等于本身的数是1和-1;零没有倒数;考点三、平方根、算数平方根和立方根1、平方根如果一个数的平方等于a,那么这个数就叫做a 的平方根或二次方跟;一个数有两个平方根,它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根; 正数a 的平方根记做“a ”;2、算术平方根正数a 的正的平方根叫做a 的算术平方根,记作“a ”;正数和零的算术平方根都只有一个,零的算术平方根是零;a a ≥00≥a==a a 2 -a a <0 ；注意a 的双重非负性： a ≥03、立方根如果一个数的立方等于a,那么这个数就叫做a 的立方根或a 的三次方根; 一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零;注意：33a a -=-,这说明三次根号内的负号可以移到根号外面;4、n 次方根若一个数的n 次方等于a ,那么这个数叫做a 的n 次方根,表示a 的n 次方根, 读作“n 次根号a ”,a 叫做被开方数,n 叫做根指数;求一个数的n 次方根的运算叫做开 n 次方;要点：① 正数的偶次方根有两个,它们互为相反数,正数的奇次方根只有一个；② 零的任何次方根是零；③ 负数没有偶次方根,只有奇次方根,且只有一个;考点四、科学记数法和近似数1、有效数字一个近似数四舍五入到哪一位,就说它精确到哪一位,这时,从左边第一个不是零的数字起到右边精确的数位止的所有数字,都叫做这个数的有效数字;2、科学记数法把一个数写做n a 10⨯±的形式,其中101<≤a ,n 是整数,这种记数法叫做科学记数法;考点五、实数大小的比较1、数轴规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴画数轴时,要注意上述规定的三要素缺一不可;解题时要真正掌握数形结合的思想,理解实数与数轴的点是一一对应的,并能灵活运用;在数轴上,如果点A 、点B 所对应的数分别是a 、b ,那么A 、B 两点的距离为： AB =||b a -;2、实数大小比较的几种常用方法1数轴比较：在数轴上表示的两个数,右边的数总比左边的数大;2求差比较：设a 、b 是实数,,0b a b a >⇔>-,0b a b a =⇔=-b a b a <⇔<-03求商比较法：设a 、b 是两正实数,;1;1;1b a ba b a b a b a b a <⇔<=⇔=>⇔> 4绝对值比较法：设a 、b 是两负实数,则b a b a <⇔>;5平方法：设a 、b 是两负实数,则b a b a <⇔>22;考点六、实数的运算 做题的基础,分值相当大1、加法交换律 a b b a +=+2、加法结合律 )()(c b a c b a ++=++3、乘法交换律 ba ab =4、乘法结合律 )()(bc a c ab =5、乘法对加法的分配律 ac ab c b a +=+)(6、实数混合运算时,对于运算顺序规定实数混合运算时,将运算分为三级,加减为一级运算,乘除为二级运算,乘方为三级运算;同级运算时,从左到右依次进行；不是同级的混合运算,先算乘方,再算乘除,而后才算加减；运算中如有括号时,先做括号内的运算,按小括号、中括号、大括号的顺序进行;7、有理数除法运算法则除以一个不等于零的数,等于乘以这个数的倒数；两数相除,同号得正,异号得负,并把绝对值相除;零除以任何一个不为零的数,商都是零;8、什么叫有理数的乘方幂底数指数相同因数相乘的积的运算叫乘方,乘方的结果叫幂,相同因数的个数叫指数,这个因数叫底数;记作: a n9、有理数乘方运算的法则是什么负数的奇次幂是负数,负数的偶次幂是正数;正数的任何次幂都是正数;零的任何正整数幂都是零;10、分数指数幂()()00m m n na a a a -=≥=>几点说明：1上式中m 、n 为正整数,n>12当m 与n 互素时,如果n 为奇数,那么分数指数幂中的底数a 可为负数 3整数指数幂和分数指数幂统称为有理数指数幂有理数指数幂运算性质：设为0,0.,a b p q >>有理数,那么1;p q p q p q p q a a a a a a +-=÷=； ,2()p q pq a a =； 3();()p p p p p p a a ab a b b b == 第二部分 经典题型 例1 填空： 1254的平方根是 ,81的算术平方根是 ； 2 的平方等于169,169的算术平方根是 . 3若||a a =-,则a ；若||1a a =-,则a ；若|5|5a a -=-,则a ; 4若2x >,则2____x -= 35-的绝对值等于 ． 3.14____-=π．5把20492用四舍五入法保留两个有效数字的近似值为A20000 B 42.010⨯ C 42.110⨯ D 42.0510⨯例2 已知16)2(2=x ,y 是2)5(-的正的平方根,求代数式yx x y x x-++的值.例3 将下列实数按从小到大的顺序排列,并用“＜”连接.π,5-,52-,0,12-π.例4 数a 、b 在数轴上的位置如图所示：化简：222)()1()1(b a b a ---++例7 已知a 是7的整数部分,b 是7的小数部分,求b －7a 的值例8 在实数中,绝对值等于它本身的数有 ．个 个 个 D.无数个例9 一组数22,16,27,2,14.3,31--π 这几个数中,无理数的个数是 A. 2 B. 3 C. 4 D. 5例10 下列说法中,不正确的是 ．A. 3是2)3(-的算术平方根B. ±3是2)3(-的平方根C. －3是2)3(-的算术平方根D.－3是3)3(-的立方根例11 下列运算正确的是 ； A 、任何数都有平方根 ； B 、－9的立方根是－3 ；C 、0的算术平方根是0 ；D 、8的立方根是±3;例12 16的平方根是 ； A 、4 ； B 、±4 ； C 、2 ； D 、±2 例13 2是___的平方根；1－2的相反数是 ；若x 的立方根是41-,则x ＝ 例14 计算: _____________)4()3(22=-+-ππ例15 将下列各数由小到大重新排成一列,并用“＜”号连接起来：－π, 0, 23, －,例16 计算 14×25 ； 2 3064.0- 3 22513-例17 化简 1 25863--- 297125.01692163-+÷⨯-3 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-÷⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛6561213232b a b a4 )3()6)(2(656131212132b a b a b a -÷-例18 设y x ,为实数,且已知021=-++y x ,求yx ．例19 实数,a b 在数轴上对应的点如图,化简：||||||||||a b b a b a a ++-+--实数的整数部分与小数部分在化简与计算中,常常出现确定一个实数的整数部分与小数部分问题,应先判断已知实数的取值范围,从而确定其整数部分,然后再确定其小数部分．实数小数部分一定要为正数,所以正、负实数的整数部分与小数部分确定方法存在区别： ⑴对于正实数,即实数＞0时,整数部分直接取与其最接近的两个整数中最小的正整数,小数部分=原数－整数部分．如实数,在整数9—10之间,则整数部分为9,小数部分为=．⑵对于负实数,即实数＜0时,整数部分则取与其最接近的两个整数中最小的负整数,小数部分=原数－整数部分．如实数,在整数-10—-9之间,则整数部分为-10,小数部分为-10=．例1．已知+1的整数部分为a ,小数部分为b ,求a 、b 的值． 解：∵2＜＜3 ∴3＜+1＜4 ∴a=3,b=+1－3=－2例2．若x 、y 分别是8－的整数部分与小数部分,求2xy －y 2的值． 解：∵3＜＜4 ∴4＜8－＜5 ∴x=4,y=8－－4=4－ 2xy －y 2=y2x －y=4－4+=5 例3．已知的整数部分为a ,小数部分为b ,求a 2+b 2的值． 解：∵==+1 又2＜＜3 ∴3＜+1＜4 ∴a=3,b=+1－3=－2∴a 2+b 2=32+－22=18－4例4．设x=, a 是x 的小数部分,b 是-x 的小数部分．则a 3+b 3+3ab= ． 解：由x==+1 而1＜＜2 ∴2＜+1＜3 ∴x 的整数部分为2,小数部分a=+1-2=-1 又∵-x=－－1 ∴-3＜－－1＜-2∴－x的整数部分为－3,小数部分b=－－1――3=2－∴a+b=1 ∴a3+b3+3ab=a+ba2-ab+b2+3ab= a2+2ab+b2=a+b2=1。
实数【9个考点知识梳理+题型解题方法+专题过关】
专题02 实数【9个考点知识梳理+题型解题方法+专题训练】考点一：算术平方根算术平方根的定义：一个正数x 的平方等于a ，即()02＞x a x =，则x 是a 的算术平方根。
表示为a 。
算术平方根的性质：①算术平方根的双重非负性：算术平方根本身大于等于0，算术平方根的被开方数也大于等于0。
即a ≥0，a ≥0。
非负性的应用：几个非负数的和等于0，则这几个非负数分别等于0。
即若0...=+++m b a ，则====m b a ...0。
②一个正数的算术平方根的平方等于这个数本身。
即()=2a a 。
③一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。
再根据这个数的正负去绝对值符号。
即=2a a 。
④规定0的算术平方根是0。
⑤算术平方根等于它本身的数有0和1。
算术平方根的估算：利用夹逼法对算术平方根进行估算。
【考试题型1】求一个数的算术平方根【解题方法】根据定义以及表示方法求一个数的算术平方根。
注意这个数本身是算术平方根时要先计算出它的值在求它的算术平方根。
例题讲解：1．（2022春•汶上县期中）9的算术平方根是（ ）A ．﹣3B ．3C ．±3D ．81【分析】首先根据算术平方根的定义求出，然后再求出它的算术平方根即可解决问题．【解答】解：∵＝3，∴9的算术平方根是3．故选：B ．（2022春•哈巴河县期中）16的算术平方根是（ ）A ．4B ．2C ．±4D ．±2【分析】利用算术平方根的意义解答即可．【解答】解：∵＝4，4的算术平方根为2，∴的算术平方根是2，故选：B ．【考试题型2】算术平方根的非负性【解题方法】根据几个非负数的和等于0，则这几个非负数分别等于0进行求解。
注意非负数还有绝对值，偶次方。
例题讲解：2．（2022春•镜湖区校级期中）若01=++-y x x ，则x +y 的值为（ ）A ．﹣1B ．0C ．1D ．2【分析】根据二次根式的定义可知被开方数必须为非负数，由此得到x ﹣1＝0，x +y ＝0，然后即可求解．【解答】解：∵，∴x ﹣1＝0，x +y ＝0，所以x +y ＝0．故选：B ．【考试题型3】算术平方根的性质【解题方法】根据一个算的算术平方根的平方等于这个本事，一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值，在根据绝对值求解。
实数知识点总结及典型例题练习
实数知识点总结考点一、实数的概念及分类(3分)1、实数的分类｛正有理数r有理数零有限小数和无限循环小数负有理数实数｛正无理数｝无理数无限不循环小数负无理数Y 整数包括正整数、零、负整数。
匚正整数又叫自然数。
正整数、零、负整数、正分数、负分数统称为有理数。
2、无理数在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一点，归纳起来有四类:(1)开方开不尽的数，如万,迈等；(2)有特定意义的数，如圆周率心或化简后含有7T的数，如扌+8 等；(3)有特定结构的数，如0.1010010001…等;(4)某些三角函数，如sin6()“等(这类在初三会出现)考点二、实数的倒数、相反数和绝对值1、相反数实数与它的相反数是一对数(只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零)，从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a与b互为相反数，则有a+b=0, a二b,反之亦成立。
2、绝对值一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离，|a|A0。
零的绝对值是它本身，若|a|=a,则Q0；若|a|二a,则a<0。
正数大于零, 负数小于零，正数大于一切负数，两个负数，绝对值大的反而小。
3、倒数如果a与b互为倒数，则有ab=l,反之亦成立。
倒数等于本身的数是1和・1。
零没有倒数。
考点三、平方根、算数平方根和立方根1、平方根如果一个数的平方等于心那么这个数就叫做巾的平方根(或二次方跟)。
一个数有两个平方根，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。
正数a的平方根记做“土蘇”。
2、算术平方根正数a的正的平方根叫做a的算术平方根，记作“亦”。
正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。
a ( a >0) > 0、庐=|询=_ -a ( a <0) ;注意需的双重非负性Ya >03、立方根如果一个数的立方等于a,那么这个数就叫做a的立方根（或a的三次方根）。
一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零。
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第二章 实数知识点：1．一般的，如果一个________的平方等于a ，即______，那么这个______叫做a 的算术平方根．a 的算术平方根记为______，a 叫做______． 规定：0的算术平方根是______．2．一般的，如果______，那么这个数叫做a 的平方根．这就是说，如果______，那么x 叫做a 的平方根，a 的平方根记为______．3．求一个数a 的______的运算，叫做开平方．4．一个正数有______个平方根，它们______；0的平方根是______；负数______．5. 一般的，如果______，那么这个数叫做a 的立方根或三次方根。
这就是说，如果______，那么x 叫做a 的立方根，a 的立方根记为________．6．求一个数a 的______的运算，叫做开立方．7．正数的立方根是______数；负数的立方根是______数；0的立方根是______． 8．一般的，=-3a ______．9. ______叫无理数，______统称实数． 10．______与数轴上的点一一对应．类型一．有关概念的识别例1．下面几个数：0.23 ，1.010010001…，，3π，，，其中，无理数的个数有（）A、1B、2C、3D、4解析：本题主要考察对无理数概念的理解和应用，其中，1.010010001…，3π，是无理数故选C举一反三：【变式1】下列说法中正确的是（）A、的平方根是±3B、1的立方根是±1C、=± 1 D、是5的平方根的相反数【变式2】如图，以数轴的单位长线段为边做一个正方形，以数轴的原点为圆心，正方形对角线长为半径画弧，交数轴正半轴于点A，则点A表示的数是（）A、1B、 1.4C、D、【变式3】类型二．计算类型题例2．设，则下列结论正确的是（）A. B.C. D.举一反三：【变式1】1）1.25的算术平方根是__________；平方根是__________.2）-27立方根是__________. 3）___________，___________，___________.【变式2】求下列各式中的（1）（2）（3）类型三．数形结合例3. 点A在数轴上表示的数为，点B在数轴上表示的数为，则A，B两点的距离为______解析：在数轴上找到A、B两点，举一反三：【变式1】如图，数轴上表示1，的对应点分别为A，B，点B关于点A的对称点为C，则点C表示的数是（）．A．－ 1 B．1－C．2－D．－2类型四．实数非负性的应用例4．已知(x-6)2++|y+2z|=0，求(x-y)3-z3的值。
实数全章知识点+例题+练习
第二章 实数实数主要知识点【无理数】（1）无限不循环小数叫做无理数；它必须满足“无限”以及“不循环”这两个条件。
在初中阶段，无理数的表现形式主要包含下列几种：（1）特殊意义的数，如：圆周率π以及含有π的一些数，如：2-π，3π等；（2）开方开不尽的数，如:39,5,2等；（3）特殊结构的数：如：2.010 010 001 000 01…（两个1之间依次多1个0）等。
应当要注意的是：带根号的数不一定是无理数，如：9等；无理数也不一定带根号，如：π（2）有理数与无理数的区别：（1）有理数指的是有限小数和无限循环小数，而无理数则是无限不循环小数；（2）所有的有理数都能写成分数的形式（整数可以看成是分母为1的分数），而无理数则不能写成分数形式。
练习：（1）下列各数：①3.141、②0.33333……、③75-、④π、⑤252.±、⑥32-、⑦0.3030003000003……（相邻两个3之间0的个数逐次增加2）、其中是有理数的有＿＿＿＿＿；是无理数的有＿＿＿＿＿＿。
（填序号） （2）有五个数:0.125125…,0.1010010001…,-π,4,32其中无理数有 ( )个A 2B 3C 4D 5【平方根】如果一个数x 的平方等于a ，那么，这个数x 就叫做a 的平方根；也即，当)0(2≥=a a x 时，我们称x 是a 的平方根，记做：)0(≥±=a a x 。
因此：1.当a=0时，它的平方根只有一个，也就是0本身；2.当a ＞0时，也就是a 为正数时，它有两个平方根，且它们是互为相反数，通常记做：a x ±=。
3.当a ＜0时，也即a 为负数时，它不存在平方根。
练习：（1） 的平方是64，所以64的平方根是 ； （2） 的平方根是它本身。
【算术平方根】（1）如果一个正数x 的平方等于a ，即a x =2，那么，这个正数x 就叫做a 的算术平方根，记为：“a ”，读作，“根号a”，其中，a 称为被开方数。
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第六章《实数》知识点总结及典型例题练习题
一、平方根
1.平方根的含义
如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根。
即x2 a，x叫做a的平方根。
2.平方根的性质与表示
⑴表示：正数a的平方根用,a表示，..a叫做正平方根，也称为算术平方根,
、• a叫做a的负平方根。
⑵一个正数有两个平方根：■, a （根指数2省略）
0有一个平方根，为0,记作.0 0，负数没有平方根
⑶平方与开平方互为逆运算
开平方：求一个数a的平方根的运算。
Ja2e
a
刁==
a0\Q a
( a 0)
a a0
⑷Ja的双重非负性:a0 且Ja 0（应用较广）
例：Jx 4 v4x y 得知x 4, y0 \
⑸如果正数的小数点向右或者向左移动两位，它的正的平方根的小数点就相应
地向右或向左移动一位。
区分：4的平方根为_________ 打的平方根为___________ 44______ 4开平方
后，得_______
3.计算ja的方法非完全平方类47=47
精确到某位小数
*若a b 0,则. b
二、立方根和开立方
1.立方根的定义
如果一个数的立方等于a，呢么这个数叫做a的立方根，记作3 a
2.立方根的性质
任何实数都有唯一确定的立方根。
正数的立方根是一个正数。
负数的立方根
是一个负数。
0
的立方根是0 . \
3. 开立方与立方
开立方：求一个数的立方根的运算。
Va a 3 a3a 目—a 3 a （a取任何数）
这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。
* 0的平方根和立方根都是0本身。
三、推广：n次方根
1 .如果一个数的n次方（n是大于1的整数）等于a，这个数就叫做a的n次方根。
当n为奇数时，这个数叫做a的奇次方根。
当n为偶数时，这个数叫做a的偶次方根。
2.正数的偶次方根有两个。
n a 0的偶次方根为0。
n 0 0 负数没有偶次方根。
正数的奇次方根为正。
0的奇次方根为0。
负数的奇次方根为负。
___ 1 2
例1 .已知实数a、b、c 满足，2|a-1|+ J2b+(c —) =0,,求a+b+c 的值.
2
6. -5的相反数是，绝对值是，倒数是
例2.若y .x 1 .. 1 x 1，求x, y 的值。
例3.若3 2a 1和31 3b互为相反数，求-的值。
b
跟踪练习：
1. y -.2 X x 2 x25，求y x的平方根和算术平方根。
3.若 ' x 1 I y 2 I 0，求x+y 的值。
实战演练：一、填空
2
1 •如果X 16，那么X ------------------ ；9.
0.0144
32；0
10.比较大小:
2
12 .若9x4，则x=
14.如果x 4 (y 6)
，若
（x
0，那么
3.14 n,
1)3 64
，则x=
15 .若a、
b
互为相反数，c、
d
互为倒数，则
5）2的平方根是_________
选择题
1.与数轴上的点---- 对应的是（
21
.
A.实数
B. 正数
C. 有理数
D. 整数
2 . 144的平方根是_______ , 64的立方根是_________ ;
5•要切一面积为16平方米的正方形钢板，它的边长是 ___________________ 米; 2
.
A.
C
.
3.
A.
F列说法正确的是（).
（-5 ）是52的算术平方根
2是-4的算术平方根
16的平方根是
.64的立方根是如果•. x 1有意义，则x可以取的最小整数为（).
4 •若X 1 y 2 z 0 则x+2y+z= (
A. 6
5 一组数1,3.14, , .27 ,
3 2 尿 2 J2 V 343 13丄这几个数中，无理数，，，246
的个数是( )A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
7•—个自然数的算术平方根是x,把么下一个与他它相邻的自然数的算术平方根是)A. x2 B. X 1 C. X 1 D. . X2 1
8.若一个数的平方根是则这个数的立方根是(
A. 2
B.
C. 2
D. 4
四、实数
1. 实数：有理数和无理数统称为实数
实数的分类：
①按属性分类：
打I fEKft
②按符号分类
分敛IE分散
Tift
+埠萨•.卜.7点
I負无鳏负工农.V无戰
2. 实数和数轴上的点的对应关系：
实数和数轴上的点 --- 对应，即每一个实数都可以用数轴上的一个点表示.
数轴上的每一个点都可以表示一个实数.
在数轴上表示无理数通常有两种情况：
思考：
(1)- a2一定是负数吗？一a 一定是正数吗？
(2)大家都知道.广是一个无理数，那么—1在哪两个整数之间？
(3)-. 15 的整数部分为a,小数部分为b,贝U a= _______________ , b= ____________
(4)判断下面的语句对不对？并说明判断的理由。
①无限小数都是无理数；
②无理数都是无限小数；
③带根号的数都是无理数；
④有理数都是实数，实数不都是有理数；
⑤实数都是无理数，无理数都是实数；
⑥实数的绝对值都是非负实数；
⑦有理数都可以表示成分数的形式。
3.实数大小比较的方法
一、平方法：比较—和•、3的大小
2 /
二、移动因式法：比较2 3和3 2的大小
■ 2的画法：画边长为1的正方形的对角线V5 1
三、求差法：比较------- 和1的大小
2
练习:
、比较下列各组数的大小:
②.15和34
5 1.当x= 时，3 5x 2有意义;
2.若x416，则x=;若3n81，则n=
.7 和—2.45练习: 平方根
1.36 的平方根是
2.平方数是它本身的数是
3.当x= 时,
4.下列各式中，正确的是（
(A) ( 2)2 2(B)(
10.若1 v x v 3,
练习：立方根
16的算术平方根是3)2
化简■■ x 3 2
）;平方数是它的相反数的数是
（1有意义;
4.若n为正整数，则
A.-1
B. 1
5.求x的值：（2x
3
6. (1)
9 (C) 39 3 (D) (2) 31 0.973
3.若vx 2，贝y x=若364
2n -11等于（
C.
1)3 8
3-------
7 .
—1
8
D.2n+1
⑵ 4.49
1
、土一
2
316
⑶
3 8
；(10)22 12
(3) 3-343 . 0.25?3( 6)。