最优化方法练习题答案修改建议版本删减版

练习题一

1、建立优化模型应考虑哪些要素? 答:决策变量、目标函数与约束条件。

2、讨论优化模型最优解的存在性、迭代算法的收敛性及停止准则。

答:针对一般优化模型()()min ()

..

0,1,2, 0,1,,i j f x s t g x i m h x j p

≥===L L ,讨论解的可行域D ,若存在一点*X D ∈,对于X D ∀∈ 均有*()()f X f X ≤则称*X 为优化模型最优解,最优解存在;迭代算法的收敛性就是指迭代所得到的序列(1)(2)(),,,K X X X L L ,满足(1)()()()K K f X f X +≤,则迭代法收敛;收敛的停止准则有

(1)()k k x x ε+-<,

(1)()

()

k k k x x x ε+-<,()()(1)()k k f x f x ε+-<,

()()()

(1)()()k k k f x f x f x ε+-<,()()k f x ε∇<等等。

练习题二

1、某公司瞧中了例

2、1中厂家所拥有的3种资源R 1、R 2、与R 3,欲出价收购(可能用于生产附加值更高的产品)。如果您就是该公司的决策者,对这3种资源的收购报价就是多少？(该问题称为例2、1的对偶问题)。

解:确定决策变量 对3种资源报价123,,y y y 作为本问题的决策变量。

确定目标函数 问题的目标很清楚——“收购价最小”。

确定约束条件 资源的报价至少应该高于原生产产品的利润,这样原厂家才可能卖。 因此有如下线性规划问题:123min 170100150w y y y =++

123123123

5210

..23518,,0y y y s t y y y y y y ++≥⎧⎪++≥⎨⎪≥⎩ *2、研究线性规划的对偶理论与方法(包括对偶规划模型形式、对偶理论与对偶单纯形法)。 答:略。

3、用单纯形法求解下列线性规划问题:

(1)⎪⎪

⎩⎪⎪⎨

⎧≥≤+-≤++≤-++-=0

,,4322

2..min

321313213213

21x x x x x x x x x x x t s x x x z ; (2)⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=≥=++=+-=+-+-=)5,,2,1(052222..4min 53243232132Λi x x x x x x x x x x t s x x z i

解:(1)引入松弛变量x 4,x 5,x 6

123456min 0*0*0*z x x x x x x =-++++

1234123

2 =22 5 =3..1

3 6=41,2,3,4,5,60

x x x x x x x x s t x x x x x x x x x +-+⎧⎪+++⎪

⎨-++⎪⎪≥⎩

因检验数σ2<0,故确定x 2为换入非基变量,以x 2的系数列的正分量对应去除常数列,最小比值所在行对应的基变量x 4作为换出的基变量。

因检验数σ3<0,故确定x 3为换入非基变量,以x 3的系数列的正分量对应去除常数列,最小比值所在行对应的基变量x 5作为换出的基变量。

因检验数σj >0,表明已求得最优解:*(0,8/3,1/3,0,0,11/3)X =,去除添加的松弛变量,原问题的最优解为:*(0,8/3,1/3)X =。

(2)根据题意选取x 1,x 4,x 5,为基变量:

⎪⎪⎩⎪⎪⎨

⎧=≥=++=+-=+-+-=)

5,,2,1(052222..4min

5324323

213

2Λi x x x x x x x x x x t s x x z i

因检验数σ2<0最小,故确定x 2为换入非基变量,以x 2的系数列的正分量对应去除常数列,最小比值所在行对应的基变量x 4作为换出的基变量。

因检验数σ3<0最小,故确定x 3为换入非基变量,以x 1的系数列的正分量对应去除常数列,最小比值所在行对应的基变量x 5作为换出的基变量。

因检验数σj >0,表明已求得最优解:*(9,4,1,0,0)X =。

8、某地区有A 、B 、C 三个化肥厂,供应本地甲、乙、丙、丁四个产粮区。已知各化肥厂可供应化肥的数量与各产粮区对化肥的需要量,以及各厂到各区每吨化肥的运价如表2-28所示。试制定一个使总运费最少的化肥调拨方案。

表2- 1

解:设A 、B 、C 三个化肥厂为A 1、A 2、A 3,甲、乙、丙、丁四个产粮区为B 1、B 2、B 3、B 4;c ij 为由A i 运化肥至B j 的运价,单位就是元/吨;x ij 为由A i 运往B j 的化肥数量(i=1,2,3;j=1,2,3,4)单位就是吨;z 表示总运费,单位为元,依题意问题的数学模型为:

3

4

11min ij ij i j z c x ===∑∑

112131122232

13233314243411121314

2122232431323334663..3

787

x x x x x x x x x s t x x x x x x x x x x x x x x x ++=⎧⎪++=⎪⎪++=⎪

++=⎨⎪+++=⎪⎪+++=⎪

+++=⎩ 该题可以用单纯形法或matlab 自带工具箱命令(linprog)求解。

*9、求解下列不平衡运输问题(各数据表中,方框内的数字为单位价格ij c ,框外右侧的一列数为各发点的供应量i a ,框底下一行数就是各收点的需求量j b ):

(1) 5 1 7 10 要求收点3的需求必须正好满足。 6 4 6 80 3 2 5 15 75 20 50

(2) 5 1 0 20 要求收点1的需求必须由发点4供应。 3 2 4 10 7 5 2 15 9 6 0 15 5 10 15 解答略。

练习题三

1、用0、618法求解问题

12)(min 30

+-=≥t t t t ϕ