最新七年级下北师大版认识三角形-三角形的中线、角平分线高线培优试题

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北师大版数学七年级下4.1.3三角形中线、角平分线

初中数学试卷金戈铁骑整理制作三角形的中线、角均分线根基训练1. 假定 AD是△ ABC的中线 , 那么以下结论中错误的选项是()A.AB=BCB.BD=DC均分 BC D.BC=2DC2. 三角形一边上的中线把原三角形必定分红两个()A. 形状同样的三角形B. 面积相等的三角形C. 直角三角形D.周长相等的三角形3.如图, BD是△ ABC的中线 ,AB=5,BC=3,△ABD和△ BCD的周长的差是()D.不可以确立4. 如图, 在△ ABC中,D,E 分别为 BC,AD 的中点 , 且 S△ABC=4, 那么 S 暗影为()C. D.5.三角形的三条中线交于一点 , 那么以下结论 : ①这一点在三角形的内部 ;②这一点有可能在三角形的外面 ; ③这一点是三角形的重心 . 其中正确的结论有.( 填序号 )6.有一质地平均的三角形铁片 , 假定阿龙想用木棒撑住此铁片 , 那么支撑点应设在该三角形的处最适合 .7.以下说法中正确的选项是 ()A.三角形的角均分线和中线都是线段B.三角形的角均分线和中线都是射线C.三角形的角均分线是射线 , 而中线是线段D.三角形的角均分线是线段 , 而中线是射线8. 如图,∠1=∠2,∠ 3=∠4,以下结论错误的选项是()是△ ABC的角均分线是△ BCD的角均分线C. ∠3= ∠ACB是△ ABC的角均分线9. 如图,BD 均分∠ ABC,CD均分∠ ACB,假定∠ A=50°, 那么∠ D等于 ()°°°°提高训练10.如图 ,AD 是∠ CAB的均分线 ,DE∥AB,DF∥AC,EF交 AD于点 O.请问 :(1)DO 是∠ EDF的均分线吗 ?给出结论并说明原因 .(2) 假定将 DO是∠ EDF的均分线与 AD是∠ CAB的均分线 ,DE∥AB,DF∥AC中的任一条件互换 , 所得结论正确吗 ?假定正确 , 请选择一个说明原因 .11.如图 , 网格小正方形的边长都为 1, 在△ ABC 中, 试分别画出三条边上的中线 , 而后研究三条中线的地点及与其相关的线段之间的关系 , 你发现了什么风趣的结论?12. 如图 ,在△ABC中,BC 边上的高是; 在△ BCE中,BE 边上的高.是; 在△ ACD中,AC 边上的高是13. 过△ ABC的极点 A, 作 BC边上的高 , 以下作法正确的选项是 ()14.如图 , △ABC的面积为 16, 点 D是 BC边上一点 ,且 BD=BC,点 G是 AB上一点 , 点 H在△ ABC内部 , 且四边形 BDHG是平行四边形 , 那么图中暗影局部的面积是 ()15.假如一个三角形的三条高的交点正是三角形的一个极点, 那么这个三角形是 ()A. 锐角三角形B. 钝角三角形C. 直角三角形D.都有可能16. 不必定在三角形内部的线段是()A. 三角形的角均分线B. 三角形的中线C. 三角形的高D.以上都不对()17. 以下说法中正确的选项是A.三角形的三条高都在三角形内B.直角三角形只有一条高C.锐角三角形的三条高都在三角形内D.三角形每一边上的高都小于其余两边18.以下结论 : ①三角形的角均分线、中线、高都是线段 ; ②直角三角形只有一条高 ; ③三角形的中线可能在三角形外面 ; ④三角形的高都在三角形内部 .此中正确的有 ()A.1 个B.2 个C.3 个D.4 个19. 如图 , 在△ ABC 中 ,AD⊥ BC,BE⊥ AC,垂足分别为 D,E, 假定BC=10,AC=8,BE= , 求 AD的长 .20. AD是△ ABC的高 , ∠BAD=72°, ∠CAD=21°, 求∠ BAC的度数 .21.如图 , 在△ ABC中,AB=AC=4,P 是 BC 边上任一点 ,PD⊥AB,PE⊥AC,D,E为垂足 . 假定△ ABC的面积为 6, 问:PD+PE的值可否确立 ?假定能确立 , 值是多少 ?请说明原因 .参照答案1.【答案】 A2.【答案】 B3.【答案】 A解：依据中线的定义 ,得 AD=CD, 因此两三角形的周长之差就是AB 与BC 之差.4.【答案】 B解：由于 AD 是△ABC 的中线 ,因此 S△ACD = S△ABC =2.又由于 CE 是△ACD的中线 ,因此 S 暗影 = S△ACD =1.应选 B.5.【答案】①③6.【答案】重心7.【答案】 A8.【答案】 D解：射线 CE 是∠BCA 的均分线 ,但线段 CE 不是△ABC 的角均分线 , 它不过△ABC 角均分线的一局部 .9.【答案】 C解：∠°∠CBD-∠° (∠ABC+∠D=180 -BCD=180 -ACB)=180°-°×(180 °-50 °)=115 °.-=180 -10.解:(1)DO 是∠EDF 的均分线 .原因 :由于 AD 是∠CAB 的均分线 ,因此∠EAD= ∠FAD.由于 DE∥AB,DF ∥AC,因此∠EDA= ∠FAD,∠FDA= ∠EAD.因此∠EDA= ∠FDA.因此 DO 是∠EDF 的均分线 .(2)正确 .假定和 DE∥AB 互换 .原因 :由于 DF∥AC,因此∠FDA= ∠EAD.由于 AD 是∠CAB 的均分线 ,因此∠EAD= ∠FAD.因此∠FAD=∠FDA.又由于 DO 是∠EDF 的均分线 ,因此∠EDA= ∠FDA. 因此∠EDA= ∠FAD.因此 DE∥AB.(答案不独一 )11.解:所画中线以下列图.发现的结论为 :①三条中线交于一点;②在同一条中线上 ,中线的交点与边中点所连线段的长度等于它与对应极点所连线段的长度的一半.12.【答案】 AF;CE;CD13.【答案】 A14.【答案】 B解：设△ABC 底边 BC 上的高为 h,△AGH 底边 GH 上的高为 h1,△CGH底边 GH 上的高为 h2,那么有 h=h1+h2.S△ABC= BC·h=16,S 暗影 =S△AGH +S△CGH = GH·h1+ GH·h2= GH·(h1+h2)= GH·h.由于四边形 BDHG 是平行四边形 ,且 BD= BC,因此 GH=BD= BC,因此 S 暗影 = ×= S△ABC =4.应选 B.15.【答案】 C 16.【答案】 C 17.【答案】 C18.【答案】 A19.解 :由于AD ⊥BC,BE ⊥ AC, 因此S△ABC = ·BC·AD=·AC·BE.因此BC·AD=AC· BE. 又由于BC=10,AC=8,BE= , 因此10AD=8×. 因此AD=6.8.20.解:当高 AD 在△ABC 的内部时 ,如图①,∠BAC= ∠BAD+ ∠CAD=93°; 当高 AD 在△ABC 的外面时 ,如图②,∠BAC= ∠BAD- ∠CAD=51 °.21.解:PD+PE 的值能确立 ,且 PD+PE=3.原因 :如图 ,连结 AP.由图可得 S△ABC =S△ABP +S△ACP.由于 PD⊥AB,PE⊥AC,AB=AC=4, △ABC 的面积为 6,因此 6= ×4×PD+ ×4×PE=2(PD+PE).因此 PD+PE=3.。

七年级数学下册三角形认识三角形三角形的中线、角平分线练习北师大版(2)

三角形的中线、角平分线1如图所示，在△ ABC中, AD平分/ BAC且与BC相交于点D / B= 40°,/ BAD= 30°,则/C的度数是（）A . 70°B . 80°C . 100 °D . 110 °2.在厶ABC中, AC= 5cm,人。

是厶ABC的中线，若△ ABD的周长比△ ADC勺周长大2cm,则BA= ______ .3•如图，在△ ABC中, E是BC上的一点，EG 2BE点D是AC的中点，设△ ABC △ ADF和△ BEF的面积分别为& ABC, &ADF和& BEF,且S^ABC^—12，则ADF—BEF= _________ .4•任意画一个锐角三角形、一个直角三角形、一个钝角三角形，然后画出经过每个三角形中最大角的顶点的角平分线、中线. 观察这三个图形，说出所画的角平分线、中线在三角形的内部还是外部.5.如图所示，已知/ XO= 90 °，点A, B分别在射线OX OY上移动.BE是/ABY的平分线,BE 的反向延长线与/ OAB勺平分线相交于点C,则/ ACB的大小是否变化？如果保持不变, 请说明原因；如果随点A，B的移动而发生变化，求出变化范围.6.如图，已知AD>^ ABC的角平分线，/ CEB=0°,Z BAC= 60°, / BCE= 40°,求/ ADB 的度数. 参考答案/ CDB90°, CE是/ ACB的角平分线, 求/ DCE的度数.1.B2.7cm3.4. 两者都在三角形的内部.15. 解：作/ ABO的平分线交AC于点D,则/ BDA= 180° -( / DAB£DBA = 180° -- ( / OAB+2/OBA = 135°，由BD, BE分别是/ OBA和/ YBA的平分线，可知BDLCB所以/ ACB=ZBDA/ DBC= 135° -90 ° = 45°.可见/ ACB的大小始终为45°.6. 解：T 人。

北师大版七年级数学下册第四章三角形4.1.3：三角形的中线、角平分线、高线同步练习(包含答案)

北师大版七年级数学下册第四章三角形4.1.3：三角形的中线、角平分线、高线同步练习一、选择题1.如图，若AD是△ABC的中线，则下列结论错误的是(A)A.AD平分∠BACB.BD＝DCC.AD平分BCD.BC＝2DC2.如图，BD＝DE＝EF＝FC，则△AEC中EC边上的中线是(C)A.ADB.AEC.AFD.无法确定2.在△ABC中，画出边AC上的高，下面四幅图中画法正确的是(C)A B C D4.三角形的角平分线是(B)A.射线B.线段C.直线D.以上都有可能5.如图，在△ABC中，D，E分别是BC，AD的中点，则图中与△ABE的面积相等的三角形有(B)A.2个B.3个C.4个D.5个6.三角形的高所在直线的交点一定在外部的是(B)A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.有一个角是60°的三角形7.下列说法正确的是(C)A.三角形的角平分线、中线和高都在三角形内B.直角三角形只有一条高C.三角形的高至少有一条在三角形内D.三角形的高是直线，角平分线是射线，中线是线段8.如图，AC⊥BC，CD⊥AB，DE⊥BC，垂足分别为C，D，E，则下列说法不正确的是( C )A.AC是△ABC的高B.DE是△BCD的高C.DE是△ABE的高D.AD是△ACD的高9.如图，D，E分别是△ABC的边AC，BC的中点，那么下列说法中不正确的是( D )A.△DEC中∠C的对边是DEB.BD是△ABC的中线C.AD＝DC，BE＝ECD.DE是△ABC的中线10. 如图，在△ABC中，AD是△ABC的高，∠B＝40°，∠CAD＝20°，则∠BAC的度数为(B)A.20°B.30°C.50°D.60°二、填空题11.如图，已知△ABC的面积是36 cm2，则阴影部分的面积是12cm2.12.三角形的三条中线相交于一点，这个点一定在三角形的内部，这个点叫做三角形的重心.13.如图，AD是△ABC的一条中线.若△ABD的面积为3，则△ACD的面积为3.14.如图，如果∠1＝∠2＝∠3，则AM为△ABN的角平分线，AN为△AMC的角平分线.15.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC且与BC相交于点D，∠B＝40°，∠BAD＝30°，则∠C的度数是80°.16.如图，已知BD是△ABC的中线，AB＝5，BC＝3，△ABD和△BCD的周长的差是2.17.如图，在△ABC中，BD和CE是△ABC的两条角平分线.若∠A＝52°，则∠1＋∠2的度数为64°.18.如图，在△ABC中，E是BC上的一点，EC＝2BE，点D是AC的中点.设△ABC，△ADF，△BEF的面积分别为S△ABC ，S△ADF，S△BEF，且S△ABC＝12，则S△ADF－S△BEF＝2.三、解答题19.如图，在△ABC中，∠B＝40°，∠C＝60°，AD⊥BC于点D，AE是∠BAC的平分线.(1)求∠DAE的度数；(2)指出AD是哪几个三角形的高.解：(1)因为AD⊥BC，所以∠ADB＝∠ADC＝90°.因为∠B＝40°，∠C＝60°，所以∠BAC＝180°－(∠B＋∠C)＝80°，∠DAC＝90°－∠C＝30°.因为AE是∠BAC的平分线，所以∠CAE＝40°.所以∠DAE＝40°－30°＝10°.(2)AD是△ABE，△ABD，△ABC，△AED，△AEC，△ADC的高.20.如图，在△ABC中，AC＝6，BC＝8，AD是BC边上的高，AD＝5，BE是AC边上的高，求BE的长.解：因为S△ABC ＝12AC·BE，S△ABC＝12BC·AD，所以AC·BE＝BC·AD.所以BE＝406＝203.21.如图，在锐角△ABC中，CD，BE分别是AB，AC边上的高，CD，BE交于点P，∠A＝50°，求∠BPC的度数.解：因为CD，BE分别是AB，AC边上的高，所以∠ADC＝∠AEB＝90°.因为∠A＝50°，所以∠ABE＝∠ACD＝40°.所以∠PBC＋∠PCB＝180°－∠A－∠ABE－∠ACD＝50°.所以∠BPC＝180°－(∠PBC＋∠PCB)＝130°.22.如图，在△ABC中，BD是角平分线，点E，F，G分别在边AB，BC，AC上，连接DE，GF，且满足GF∥BD，∠1＝∠2.若∠AED＝70°，求∠2的度数.解：因为FG∥BD，所以∠2＝∠DBC.因为∠1＝∠2，所以∠1＝∠DBC.所以DE∥BC.所以∠AED＝∠ABC＝70°. 因为BD平分∠ABC，所以∠2＝∠DBC＝12∠ABC＝35°.。

北师大版七年级(下)数学4.1.3认识三角形——中线、角平分线同步检测

北师大版七年级（下)数学4.1.3认识三角形——中线、角平分线同步检测学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．三角形的下列线段中，能将三角形的面积分成相等两部分的一定是（） A ．角平分线 B ．中线 C ．高 D ．一条边的垂直平分线 2．如图AD 是△ABC 的中线，那么BD=（）A ．ADB ．AC C ．BCD ．CD 3．如图，△ABC 中，D 、E 分别是 BC 、AD 的中点，若△ABC 的面积是 18，则△ABE 的面积是（）A ．9B ．4.5C ．6D ．44．三角形的三条线交点，叫做三角形的重心（）A ．高B ．中C ．角平分D ．无法确定 5．如图，△ABC 中，BD 是 ∠ ABC 的角平分线，DE ∥ BC ，交AB 于 E ，∠A=60º， ∠BDC=95º，则∠BED 的度数是（）A ．35°B ．70°C ．110°D ．130° 6．如图，AD 是ABC ∆的中线，CE 是ACD ∆的中线，DF 是CDE ∆的中线，若2DEF S ∆=，则ABC S ∆等于（）A ．16B ．14C ．12D ．107．如图，若12∠=∠，34∠=∠，则下列结论中错误的是（）A ．AD 是ABC ∆的角平分线B ．CE 是ABC ∆的角平分线 C ．13ACB 2∠=∠ D ．CE 是ACD ∆的角平分线 8．在△ABC 中，∠B=67°，∠C=33°，AD 是△BAC 的角平分线，则∠CAD 的度数为（）A ．40°B ．45°C ．59°D ．55°二、填空题9．如图，AD 是ABC V 的边BC 上的中线，点E 在AD 上，2AE DE =，若ABE △的面积是4，则ABC V 的面积是__________．10．如图，在ABC ∆中，已知点D 、E 、F 分别为BC 、AD 、CE 的中点，且216cm ABC S ∆=，则BEF S ∆=______2cm ．11．在△ABC 中，D 是中点，△ADC 的面积是3，则△ABC 的面积是____．12．如图所示，DE ∥BF ，∠D ＝53°，∠B ＝30°，DC 平分∠BCE ，则∠DCE 的度数为_____．13．如图，已知AC 是BAE ∠的平分线，40B ∠=︒，70E ∠=︒，则ACE ∠=______°．14．如图，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝6，BC ＝4，P 是△ABC 的重心，连结BP ，CP ，则△BPC 的面积为_____．15．已知AD 是△ABC 的中线，△ABD 和△ACD 的周长之差为3，AB =6，则AC =____．三、解答题16．如图，已知∠A ＝65°，∠ABD ＝∠DCE ＝30°，且CE 平分∠ACB ．求∠BEC 及∠ABC ．17．如图:在ABC ∆中（AC AB >），2AC BC =，BC 边上的中线AD 把ABC ∆的周长分成60cm 和40cm 两部分，求边AC 和AB 的长.18．如图，AD 为△ABC 的中线，BE 为△ABD 的中线．（1）∠ABE =15°，∠BED =55°，求∠BAD 的度数；（2）若△ABC 的面积为20，BD =2.5，求△BDE 中BD 边上的高．19．如图所示，在△ABC 中，已知AD ⊥BC ，∠B=64°，∠C=56°，（1）求∠BAD 和∠DAC 的度数；（2）若DE 平分∠ADB ，求∠AED 的度数．20．如图，已知△ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，点F 在CD 上．（1）若∠AED=∠ACB, ∠DEF= ∠B ，求证：EF//AB ；（2）若D 、E 、F 分别是AB 、AC 、CD 的中点，连接BF ，若四边形 BDEF 的面积为6，试求△ABC 的面积．21．如图，AE 平分BAC ∠，BF 平分ABC ∠，（1）若100BAC ABC ∠+∠=︒，则1ABF ∠+∠的度数是_______.（2）填空，完成推理.因为AE 平分BAC ∠，BF 平分ABC ∠，所以112BAC ∠=∠，12ABF ABC ∠=∠. 所以112ABF ∠+∠=（__________+____________）. 因为100BAC ABC ∠+∠=︒,所以1ABF ∠+∠=____________.（3）若α=∠C ，求ADB ∠的度数参考答案1．B【解析】【分析】中线将三角形的面积平分，根据这个性质可得答案【详解】中线将三角形的面积平分，下面进行简单证明，如下图，AD 是△ABC 的中线，过点A 作BC 的垂线，交BC 于点E∵AE ⊥BC，∴AE 是△ABD 和△ADC 分别以BD 、DC 为底的高12ABD S BD AE =⨯⨯V ，12ACD S CD AE =⨯⨯V ∵AD 是△ABC 的中线，∴BD=DC∴ABD ACD S S =V V∴△ABC 的中线AD 将△ABC 的面积平分故选：B【点睛】本题考查中线的性质，同时我们也要注意角平分线的性质：角平分线上的点到夹角两边的距离相等.2．D【解析】【分析】根据三角形中线的定义、线段的中点定义即可得．【详解】AD Q 是ABC V 的中线∴点D 是线段BC 的中点BD CD ∴=故选：D．【点睛】本题考查了三角形中线的定义、线段的中点定义，熟记相关定义是解题关键．3．B【解析】【分析】根据三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分，求出面积比，即可求出△ABE的面积. 【详解】∵AD是BC上的中线，S△ABC，∴S△ABD=S△ACD=12∵BE是△ABD中AD边上的中线，S△ABD，∴S△ABE=S△BED=12SΔABC，∴S△ABE=14∵△ABC的面积是18，×18=4.5.∴S△ABE=14故选B.【点睛】本题考查的是三角形的中线的性质，三角形一边上的中线把原三角形分成的两个三角形的面积相等.4．B【解析】【分析】根据三角形的重心定义即可得．【详解】三角形的重心是三角形的三条中线的交点故选：B．【点睛】本题考查了三角形的重心定义，熟记定义是解题关键．另外常考点是三角形的内心、外心、垂心的概念，需加以区分．5．C【解析】【分析】由三角形的外角性质得出∠ABD=35°，由角平分线的定义求出∠ABC=2∠ABD=70°，再由平行线的性质得∠BED+∠ABC=180°，即可得出结果．【详解】∵∠BDC=∠A+∠ABD ，∴∠ABD=95°−60°=35°，∵BD 是∠ABC 的角平分线，∴∠ABC=2∠ABD=70°，∵DE ∥BC ，∴∠BED+∠ABC=180°，∴∠BED=180°−70°=110°．故选C ．【点睛】本题主要考查三角形的外角性质，平行线的性质以及角平分线的定义，掌握三角形的外角的性质定理，是解题的关键．6．A【解析】【分析】根据三角形的中线将三角形分成面积相等的两个三角形即可解答．【详解】解：∵DF 是CDE ∆的中线，2DEF S ∆=，∴24DEC DEF S S ∆∆==，又∵CE 是ACD ∆的中线，∴28ADC DEC S S ∆∆==，又∵AD 是ABC ∆的中线，∴126ABC ADC S S ∆∆==，故答案为：A ．【点睛】本题考查了三角形的中线的性质，解题的关键是熟知三角形的中线将三角形分成面积相等的两个三角形．7．B【解析】【分析】根据角平分线的定义即可得出答案.【详解】∵∠1=∠2∴AD 是△ABC 的角平分线，故A 正确；∵∠3=∠4∴CE 是△ACD 的角平分线，∠3=12∠ACB ，故B 和C 正确；故答案选择B.【点睛】本题考查的是角平分线，属于基础题型，需要熟练掌握角平分线的判定与性质.8．A【解析】试题解析：∵∠B=67°，∠C=33°， ∴∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-67°-33°=80°， ∵AD 是△ABC 的角平分线，∴∠CAD=12∠BAC=12×80°=40°，故选A ．9．12【解析】【分析】根据△ABD与△ABE是同高的两个三角形，求出△ABD的面积；再根据三角形的中线平分三角形的面积即可．【详解】解：∵AE＝2DE，∴AD＝3DE，∵△ABD与△ABE是同高的两个三角形，∴S△ABE：S△ABD＝AE：AD＝2DE：3DE＝2：3．又∵△ABE的面积是4，∴S△ABD＝6．∵AD是△ABC的边BC上的中线，∴S△ADC＝S△ABD＝6，∴S△ABC＝S△ADC＋S△ABD＝6＋6＝12．故答案为：12．【点睛】本题考查了三角形的面积．中线能把三角形的面积平分，利用这个结论就可以求出三角形△ABC的面积．10．4【解析】【分析】利用三角形的中线的性质即可解决问题；【详解】∵点D，E，F，分别为BC、AD、CE的中点，且S△ABC=16，∴S△ABD=S△ADC=8，S△BDE=S△DEC=4，∴S△BEC=8，∴S阴=12•S△BEC=4，故答案为4．【点睛】此题考查三角形的中线的性质，解题的关键是理解三角形的中线把三角形分成面积相等的两个三角形．11．6．【解析】【分析】根据三角形中线的性质，即可求解．【详解】∵在△ABC中，D是中点，△ADC的面积是3，∴△ABC的面积＝2S△ADC＝6．故答案为：6．【点睛】本题主要考查三角形中线的性质，掌握三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分，是解题的关键．12．23°．【解析】【分析】根据平行线的性质求出∠FAC＝∠D，根据三角形外角的性质可得∠ACB，再根据角平分线定义即可求解．【详解】解：∵DE∥BF，∠D＝53°，∴∠FAC＝∠D＝53°，∵∠B＝30°，∴∠ACB＝23°，∵DC平分∠BCE，∴∠DCE＝23°．故答案为：23°．【点睛】本题考查了平行线的性质、三角形外角的性质、角平分线定义，熟练掌握相关知识是解题得关键13．75【解析】【分析】根据三角形的内角和定理求出∠BAE的度数，再根据AC是△BAE的角平分线，求出∠BAC的度数，即可求出∠ACE的度数．【详解】∵∠B=40°，∠E=70°，∴∠BAE=180°-40°-70°=70°，∵AC为∠BAE角平分线，∴∠BAC=∠EAC=12∠BAE=35°，∠ACE=∠B+∠BAC=40°+35°=75°．∴故答案为：75．【点睛】本题主要考查了三角形的内角和定理、三角形外角的性质及角平分线的性质，解答的关键是熟记三角形的内角和定理．14．4【解析】【分析】△ABC的面积S＝12AB×BC＝1642⨯⨯＝12，延长BP交AC于点E，则E是AC的中点，且BP＝23BE，即可求解．【详解】解：△ABC的面积S＝12AB×BC＝1642⨯⨯＝12，延长BP交AC于点E，则E是AC的中点，且BP＝23BE，（证明见备注）△BEC的面积＝12S＝6，BP＝23 BE，则△BPC的面积＝23△BEC的面积＝4，故答案为：4．备注：重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1，例：已知：△ABC，E、F是AB，AC的中点．EC、FB交于G．求证：EG＝12CG 证明：过E作EH∥BF交AC于H．∵AE＝BE，EH∥BF，∴AH＝HF＝12 AF，又∵AF＝CF，∴HF＝12 CF，∴HF：CF＝12，∵EH∥BF，∴EG：CG＝HF：CF＝12，∴EG＝12 CG．【点睛】此题考查了重心的概念和性质：三角形的重心是三角形三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍．15．3或9【解析】【分析】根据三角形中线的定义可得BD=CD，然后根据三角形的周长公式列式计算求出两三角形周长的差等于AB AC，分类讨论AB和AC的大小，即可得到AC的值；【详解】解：∵AD 是△ABC 的中线，∴BD=DC ，∵△ABD 与△ACD 的周长之差=()()AB AD BD AC AD BD ++-++=AB AC -， ∵△ABD 和△ACD 的周长之差为3，∴AB 与AC 的差为3cm ，若AB ＞AC ，则AC=AB-3=6-3=3；若AB ＜AC ，则AC=AB+3=6+3=9；故答案为：3或9.【点睛】本题考查了三角形的中线，求出两三角形周长的差等于AB AC -是解题的关键. 16．∠ABC =55°，∠BEC =125°【解析】【分析】由∠BDC=∠A+∠ABD 可以得到∠BDC ，又知∠BEC=∠BDC+∠DCE ，故得到∠BEC 的度数，要求∠ABC ，则要求∠ACB ，利∠ABC=180°-∠A-∠ACB 得到答案．【详解】∵∠BDC=∠A+∠ABD ，∴∠BDC=65°+30°=95° ∵∠BEC=∠BDC+∠DCE ，∴∠BEC=95°+30°=125° 又∵CE 平分∠ACB ，∴∠ACB=2∠DCE=60°∴∠ABC=180°-∠A-∠ACB=180°-65°-60°=55°．故答案为125°、55°．【点睛】此题考查角平分线的性质，解题关键在于掌握其定义．17．48AC cm =，28AB cm =【解析】【分析】先根据AD 是BC 边上的中线得出BD=CD ，设BD=CD=x ，AB=y ，则AC=4x ，再根据AC+CD=60，AB+BD=40，即可得出x 和y 的值．【详解】∵AD 是BC 边上的中线，2AC BC =，∴BD CD =，设BD CD x ==，AB y =，则4AC x =，∵AC AB >，∴60AC CD +=，40AB BD +=，即460x x +=，40x y +=，解得：12x =，28y =，即448AC x cm ==，28AB cm =．【点睛】本题考查了三角形的中线，利用数形结合的方法，用列方程求线段的长度是常用的方法，需要掌握好．18．（1）40︒；（2）4【解析】【分析】（1）利用三角形外角的性质即可求得；（2）三角形的中线将三角形的面积等分成两份，从而求出BDE ∆的面积，即可求得BD 边上的高．【详解】（1）∵15BED ABE BAD ABE ∠=∠+∠∠=︒，，55BED ∠=︒，∴551540BAD BED ABE ∠=∠-∠=︒-︒=︒；（2）如下图所示，过E 点作EF ⊥BC 于F ，∵AD 为ABC ∆的中线， ∴12ABD ACD ABC S S S ∆∆∆==， ∵BE 为ABD ∆的中线， ∴12ABE BED ABD S S S ∆∆∆==， ∵20ABC S ∆=， ∴152BED S BD EF ∆=⋅=， ∵BD =2.5，∴EF =4，∴BDE ∆中BD 边上的高为4.【点睛】本题主要考查了三角形外角以及三角形中线的性质，熟练掌握三角形中线的性质是解决本题的关键.19．（1）34°（2）109°【解析】【分析】（1）在Rt △BAD 和Rt △BAD 中，根据直角三角形的两个锐角互余分别求解即可得；（2）由DE 平分∠ADB ，AD ⊥BC 求得∠BDE=45°，再根据三角形外角的性质求解即可.【详解】（1）∵AD ⊥BC ，∴在Rt △BAD 中，∠BAD+∠B=90°，又∵∠B=64°，∴∠BAD=26°； ∴在Rt △BAD 中，∠DAC+∠C=90°，又∵∠C=56°，∴∠DAC=34°；（2）∵AD ⊥BC ，DE 平分∠ADB ，∴∠BDE=45°，在△BED 中，∠B=64°，∴∠B+∠BDE=109°，∵∠AED=∠B+∠BDE，∴∠AED=109°．【点睛】本题考查了直角三角形的性质、角平分线的定义、三角形外角的性质，熟练掌握直角三角形的两个锐角互余以及三角形外角的性质是解题的关键.20．（1）详见解析；（2）16【解析】【分析】（1）根据平行线性质证出∠ADE＝∠DEF，可得EF∥AB；（2）根据三角形中线把三角形面积平分性质求解.【详解】（1）证明：∵∠AED＝∠ACB，∴DE∥BC．∴∠ADE＝∠B．又∵∠DEF＝∠B，∴∠ADE＝∠DEF，∴EF∥AB．（2）解：∵点F 是DC的中点，∴设S△DEF＝S△CEF＝x，∵点E是AC的中点，∴S△ADE＝S△CDE＝2x，∵点D是AB的中点，∴S△BDC＝4x，S△BDF＝2x，∴S四边形BDEF＝3x．∵S 四边形BDEF＝6，∴3x＝6，∴x＝2，∴S△ABC＝8x＝16．【点睛】考核知识点：平行线判定和性质；三角形中线.理解定理内容是关键.21．（1）见解析；（2）50°；（3）BAC∠，ABC∠，50︒【解析】【分析】（1）根据题意画出角平分线即可；（2）根据角平分线的性质可得112ABF∠+∠=（∠BAC+∠ABC），即可求出结果；（3）根据推理步骤，补全所缺内容即可. 【详解】（1）如图.（2）50°. （3）因为AE 平分BAC ∠，BF 平分ABC ∠，所以112BAC ∠=∠，12ABF ABC ∠=∠. 所以112ABF ∠+∠=（____BAC ∠______+______ABC ∠______）. 因为100BAC ABC ∠+∠=︒,所以1ABF ∠+∠=_____50︒_______.【点睛】本题主要考查角平分线的性质，角的度数的计算，关键在于运用数形结合的思想推出112ABF ∠+∠=（∠BAC+∠ABC ）.。

北师大版2019-2020年七年级数学下册同步分层练 1 第3课时三角形的中线、角平分线、高(含答案)

第3课时三角形的中线、角平分线、高1．如图，AE是△ABC的中线，已知EC＝4，DE＝2，则BD的长为(A)A．2 B．3 C．4 D．62．如图，在△ABC中，AD为BC边上的中线，若AB＝5 cm，AC＝3 cm，则△ABD的周长比△ACD的周长多(D)A．5 cm B．3 cm C．8 cm D．2 cm3．三角形的三条中线的交点的位置为(A)A．一定在三角形内B．一定在三角形外C．可能在三角形内，也可能在三角形外D．可能在三角形的一条边上4．三角形的重心是(A)A．三角形三条边上中线的交点B．三角形三条边上高线的交点C．三角形三条内角平分线的交点D．以上说法都不对5．三角形一边上的中线把原三角形分成两个(B)A．形状相同的三角形B．面积相等的三角形C．直角三角形D．周长相等的三角形6．如图，在△ABC中，D，E，F是BC边上的三点，且∠1＝∠2＝∠3＝∠4，AE是哪个三角形的角平分线(D)A．△ABE B．△ADFC．△ABC D．△ABC，△ADF7．如图，(1)AD是△ABC的角平分线，则∠BAD＝∠DAC＝12∠BAC；(2)AE是△ABC的中线，则BE＝EC＝12BC .8.如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，若∠1＝30°，∠2＝20°，则∠B＝ 50° .9．如图，D是△ABC中BC上的一点，DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于点F，且∠ADE＝∠ADF，AD是△ABC的角平分线吗？说明理由．解：AD是△ABC的角平分线．理由：因为DE∥AC，DF∥AB，所以∠ADE＝∠DAF，∠ADF＝∠EAD.又因为∠ADE＝∠ADF，所以∠DAF＝∠EAD，所以AD是△ABC的角平分线．10．(2019·北京石景山区二模)如图，在△ABC中，AB边上的高画法正确的是(B)11．三角形的高、中线、角平分线都是(B)A．直线B．线段C．射线D．以上情况都有12．如果一个三角形的三条高的交点恰好是这个三角形的一个顶点，那么这个三角形是(B)A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不能确定13.如图．(1)在△ABC中，BC边上的高是AD；(2)在△AEC中，CE边上的高是AE；(3)在△BCF中，BC边上的高是BF .14．如图，AD⊥BC于点D，那么图中以AD为高的三角形有(D)A．3个 B．4个 C．5个 D．6个15．如图，CD，CE，CF分别是△ABC的高、角平分线、中线，则下列各式中错误的是(C)A．AB＝2BF B．∠ACE＝12∠ACBC．AE＝BE D．CD⊥BE16．下列说法中，正确的个数是(A)①三角形的三条角平分线、三条中线、三条高都在三角形内部；②直角三角形只有一条高；③三角形的三条角平分线、三条中线、三条高分别交于一点．A．0 B．1 C．2 D．317．如图．(1)在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，则AD是BC边上的高，∠ADB＝∠ADC＝90°；(2)若AE平分∠BAC，交BC于点E，则AE叫△BAC的角平分线，∠BAE＝∠CAE＝12∠BAC，AH叫△BAF的角平分线；(3)若AF＝FC，则△ABC的中线是BF；(4)若BG＝GH＝HF，则AG是△BAH的中线，AH是△AGF的中线．18．(1)如图1，点D，E，F分别是BC，AB，AC的中点，若△ABC的面积为16，则△ABD 的面积是 8 ，△EBD的面积是 4 ；(2)如图2，点D，E，F分别是BC，AD，EC的中点，若△ABC的面积为16，求△BEF的面积是多少．解：(2)因为E是AD的中点，所以S△BCE ＝12S△ABC＝8.因为F是CE的中点，所以S△BEF ＝12S△BCE＝12×8＝4.19．如图，在△ABC 中，AD ⊥BC 于点D ，AE 平分∠BAC . (1)若∠C ＝70°，∠B ＝40°，求∠DAE 的度数； (2)若∠C －∠B ＝30°，则∠DAE ＝ 15° ；(3)若∠C －∠B ＝α(∠C ＞∠B )，求∠DAE 的度数(用含α的式子表示)．解：(1)因为∠C ＝70°，∠B ＝40°，AD ⊥BC ，所以∠BAC ＝180°－40°－70°＝70°，∠CAD ＝20°.因为AE 平分∠BAC ，所以∠EAC ＝12∠BAC ＝35°. 所以∠DAE ＝∠EAC －∠CAD ＝35°－20°＝15°.(3)因为∠B ＋∠C ＋∠BAC ＝180°，所以∠BAC ＝180°－∠B －∠C .因为AE 平分∠BAC ，所以∠BAE ＝12∠BAC ＝12(180°－∠B －∠C )＝90°－12(∠B ＋∠C )．因为AD ⊥BC ，所以∠ADE ＝90°，所以∠BAD ＝90°－∠B ，所以∠DAE ＝∠BAD －∠BAE ＝90°－∠B －⎣⎢⎡⎦⎥⎤90°－12（∠B ＋∠C ）＝12(∠C －∠B )．因为∠C －∠B ＝α，所以∠DAE ＝12α.20．已知：如图1，线段AB ，CD 相交于点O ，连接AD ，CB .如图2，在图1的条件下，∠DAB 和∠BCD 的平分线AP 和CP 相交于点P ，并且与CD ，AB 分别相交于M ，N .试解答下列问题：(1)在图1中，请直接写出∠A ，∠B ，∠C ，∠D 之间的数量关系 ∠A ＋∠D ＝∠B ＋∠C ； (2)在图2中，若∠D ＝40°，∠B ＝30°，试求∠P 的度数；(写出解答过程)(3)如果图2中，∠D 和∠B 为任意值，其他条件不变，试写出∠P 与∠D ，∠B 之间的数量关系．(直接写出结论即可)解：(2)由(1)得，∠1＋∠D＝∠3＋∠P，∠2＋∠P＝∠4＋∠B，所以∠1－∠3＝∠P－∠D，∠2－∠4＝∠B－∠P.又因为AP，CP分别平分∠DAB和∠BCD，所以∠1＝∠2，∠3＝∠4，所以∠P－∠D＝∠B－∠P，2∠P＝∠B＋∠D，所以∠P＝(40°＋30°)÷2＝35°.(3)2∠P＝∠B＋∠D.。

【教育资料】2018 北师大版数学七年级下册 4.1 认识三角形三角形的中线、角平分线和高同步课时检测题

2019 北师大版数学七年级下册第四章三角形 4.1 认识三角形三角形的中线、角平分线和高同步课时检测题1．若AD 是△ABC 的中线，则下列结论错误的是( )A ．AD 平分∠BACB ．BD ＝DC C ．AD 平分BCD ．BC ＝2DC 2．如图，已知BD 是△ABC 的中线，AB ＝5，BC ＝3，△ABD 和△BCD 的周长的差是( )A ．2B ．3C ．6D ．不能确定3．如图，已知点D 是△ABC 中AC 边上的一点，线段BD 将△ABC 分为面积相等的两部分，则线段BD 是△ABC 的一条( )A ．角平分线B ．中线C ．高线D ．边的垂直平分线 4．如图，在△ABC 中，∠B ＝67°，∠C ＝33°，AD 是△ABC 的角平分线，则∠CAD 的度数为( )A ．40°B ．45°C ．50°D ．55°5．如图，在△ABC 中，BD 是∠ABC 的角平分线，已知∠ABC ＝80°，则∠DBC ＝ .6．下面四个图形中，线段AD 是△ABC 的高的是( )7．三角形的三条高所在直线的交点一定在( )A ．三角形的内部B ．三角形的外部C ．三角形的内部或外部D ．三角形的内部、外部或顶点8. 如图，△ABC 的角平分线AD 、中线BE 相交于点O ，则①AO 是△ABE 的角平分线；②BO 是△ABD 的中线；③DE 是△ADC 的中线；④ED 是△EBC 的角平分线.4个结论中正确的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个9. 如图，AD 是△ABC 的中线，DH ⊥AB 于点H ，DG ⊥AC 于点G ，AB ＝7cm ，AC ＝6cm ，DH ＝3cm ，则DG 的长是( )A ．4cmB ．3cm C.72cm D ．无法判断 10. 在三角形中，一个内角的与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线．三角形的三条角平分线11．从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作，顶点和之间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高．三角形三条高所在的直线，这点叫做三角形的垂心．12．如图所示，在△ABC中，已知点D、E、F分别为边BC、AD、CE的中点，且S△ABC＝4cm2，则阴影部分的面积等于cm2.13．如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，若∠1＝30°，∠2＝20°，则∠B＝.14. 如图，AD是△ABC的高，AE是△ABC的角平分线，AF是△ABC的中线，图中相等的角有，相等的线段有.15. 如图所示，E是△ABC中AB边上的一点，AD是△ABC的高，已知AD＝10，CE＝9，AB＝12，∠B＝65°，∠BCE＝25°，求BC的长．16. 在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC交BC于点E.(1)∠B＝30°，∠C＝70°，求∠EAD的大小；(2)若∠B＜∠C，则2∠EAD与∠C－∠B是否相等？若相等，请说明理由．17. 如图①，AD、AE分别是△ABC中BC边上的高和中线，已知AD＝5cm，EC＝2cm.(1)求△ABE和△AEC的面积，并比较大小；(2)通过(1)的解答你能发现什么规律？请说明理由；(3)根据(2)中的结论，解决下面的问题：如图②，CD是△ABC的中线，DE是△ACD的中线，EF是△ADE的中线，若△AEF的面积为1cm2，求△ABC的面积．参考答案：1---4 AABA5. 40°6. D7. D8. B9. C10. 平分线相交于一点11. 垂线垂足相交于一点12. 113. 50°14. BAE ＝∠CAE ，∠ADB ＝∠ADC BF ＝CF15. 10.816. 解：(1)∵∠B ＝30°，∠C ＝70°，∴∠BAC ＝80°，∵AE 是角平分线，∴∠EAC ＝12∠BAC ＝40°，∵AD 是高，∠C ＝70°，∴∠DAC ＝90°－∠C ＝20°，∴∠EAD ＝∠EAC －∠DAC ＝20°； (2)由(1)知，∠EAD ＝∠EAC －∠DAC ＝12∠BAC －(90°－∠C )①，把∠BAC ＝180°－∠B －∠C 代入①，得∠EAD ＝12∠C －12∠B ，∴2∠EAD ＝∠C －∠B.17. 解：(1)S △ABE ＝5cm 2，S △AEC ＝5cm 2，S △ABE ＝S △AEC ；(2)由三角形中线分得的两个三角形面积相等，理由：等底同高的两个三角形面积相等；(3)S△ABC＝8cm2.。

七年级数学三角形的三线(中线、角平分线、高线)(北师版)(基础)(含答案)

三角形的三线（中线、角平分线、高线）（北师版）（基础）一、单选题(共10道，每道10分)1.如图所示，D，E分别是△ABC的边AC，BC的中点，则下列说法不正确的是( )A.DE是△BCD的中线B.BD是△ABC的中线C.AD=DC，BE=ECD.DE是△ABC的中线答案：D解题思路：在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段，叫做这个三角形的中线．D选项中，DE不是连接△ABC的顶点与它对边中点的线段，因此D选项错误．故选D．试题难度：三颗星知识点：三角形的中线2.如图，△ABC的两条中线AM，BN相交于点O，已知△ABO的面积为4，△BOM的面积为2，则四边形MCNO的面积为( )A.4B.3C.4.5D.3.5答案：A解题思路：如图，∵△ABO和△BOM的面积分别为4和2∴S△ABM =6∵AM，BN是△ABC的两条中线∴S△ABM=S△BCN=S△ABC∴S△BCN=6∴S四边形MCNO=S△BCN-S△BOM =4故选A．试题难度：三颗星知识点：等分点转移面积3.已知：如图，△ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC，∠BDC=75°，则∠A的度数为( )A.25°B.30°C.40°D.20°答案：C解题思路：如图，题中有角平分线，因此可以考虑设元，设∠ABD=α，则∠C=∠ABC=2α．在△BCD中，由三角形内角和定理可知α+2α+75°=180°，解得α=35°，因此∠C=∠ABC=70°，所以∠A=180°-70°-70°=40°．故选C．试题难度：三颗星知识点：三角形内角和定理4.如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，设∠DCB=α，∠DBC=β，若∠A=40°，则下列说法错误的是( )A. B.C. D.答案：D解题思路：如图，在△BCD中，∠DCB=α，∠DBC=β，则∠D=180°-α-β，因此A选项正确；因为BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，则∠ABC=2β，∠ACB=2α，则∠A=180°-2α-2β，因此B选项正确；由∠D=180°-α-β可得α+β=180°-∠D，由∠A=180°-2α-2β，可得α+β=90°-∠A，因此180°-∠D=90°-∠A，整理得∠D=90°+∠A，因此C选项正确；把∠A=40°代入∠D=90°+∠A，得∠D=110°，因此D选项错误．故选D．试题难度：三颗星知识点：三角形内角和定理5.如图，∠BAD的平分线AE与∠BCD的平分线CE交于点E，∠ADC=40°，∠AEC=35°，则∠ABC 的度数为( )A.30°B.35°C.37.5°D.40°答案：A解题思路：如图，由AD与CE交于点M，得∠ADC+α=∠AEC+β，变形得2∠ADC+2α=2∠AEC+2β，由AD与BC交于点G，得∠ADC+2α=∠ABC+2β，将上述两式消去α和β，可得∠ABC=2∠AEC-∠ADC因为∠ADC=40°，∠AEC=35°，则∠ABC=30°．故选A．试题难度：三颗星知识点：三角形内角和定理6.下列说法正确的是( )A.三角形的三条角平分线有可能在三角形内，也可能在三角形外B.三角形三条高都在三角形内C.三角形的三条高交于一点D.三角形三条中线相交于一点答案：D解题思路：三角形的三条角平分线都在三角形的内部，A选项错误；锐角三角形的三条高都在三角形的内部，直角三角形两条高在直角边上，钝角三角形有两条高在三角形的外部，B选项错误；三角形的三条高所在的直线交于一点，C选项错误；D选项正确，故选D．试题难度：三颗星知识点：三角形的中线7.如图，在△ABC中，AD⊥BC交BC的延长线于D，BE⊥AC交AC的延长线于E，过点C作CF⊥BC交AB于F，下列说法错误的是( )A.FC是△ABC中BC边上的高B.FC是△BCF中BC边上的高C.BE是△ABC中AC边上的高D.BE是△ABE中AE边上的高答案：A解题思路：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线．在△ABC中，过点A向它的对边BC所在直线作垂线，得到高为AD，A选项错误；在△BCF中，过点F向它的对边BC所在直线作垂线，得到高为CF，B选项正确；在△ABC中，过点B向它的对边AC所在直线作垂线，得到高为BE，C选项正确；在△ABE中，过点B向它的对边AE所在直线作垂线，得到高为BE，D选项正确．故选A．试题难度：三颗星知识点：三角形的高8.如图，AB⊥BD于B，AC⊥CD于C，AC与BD交于点E，若AE=5，DE=3，CD=，则AB=( )A.6B.C.3D.答案：C解题思路：如图，因为AB⊥BD，AC⊥CD，所以AB是△ADE的边DE上的高，CD是△ADE的边AE上的高，，把AE=5，DE=3，CD=代入，得到AB=3．故选C．试题难度：三颗星知识点：等积公式9.如图，在△ABC中，AB=20cm，AC=12cm，点D在BC边上，过点D作DE⊥AB于E，DF⊥AC 于F，若DE=5cm，△ABC的面积为122cm2，则DF的长为( )A.9cmB.10cmC.11cmD.12cm答案：D解题思路：如图，连接AD，则△ABC被分成△ABD和△ACD两部分，cm故选D．试题难度：三颗星知识点：等积公式10.如图，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，若AB=6，BC=10，则AC：AD=( )A.5：4B.4：5C.5：3D.3：5答案：C解题思路：如图，在△ABC中，∠BAC=90°，所以AB可以看作是AC边上的高，因为AD⊥BC，所以AD可以看作是BC边上的高，所以，把AB=6，BC=10代入，得到AC:AD=5:3．故选C．试题难度：三颗星知识点：等积公式。

北师大版七年级(下)数学4.1.4认识三角形——高线同步检测

北师大版七年级（下)数学4.1.4认识三角形——高线同步检测学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．画△ABC 的BC 边上的高，正确的是（）A ．B ．C ．D ．2．三角形的重心是（）A ．三角形三条边上中线的交点B ．三角形三条边上高线的交点C ．三角形三条边垂直平分线的交点D ．三角形三条内角平行线的交点3．如图，AE 是△ABC 的角平分线，AD ⊥BC 于点D .若∠BAC ＝128°，∠C ＝36°，则∠DAE 的度数是( )A ．10°B ．12°C ．15°D ．18° 4．如果一个三角形的一个顶点是它的三条高的交点，那么这个三角形是（） A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．等边三角形 5．如图ABC V 中，AE BC ，则图中以线段AE 为高的三角形有（）6．下列说法中，正确的个数是（）①三角形的中线、角平分线、高都是线段；②三角形的三条角平分线、三条中线、三条高都在三角形内部；③直角三角形只有一条高；④三角形的三条角平分线、三条中线、三条高分别交于一点．A．1B．2C．3D．47．能够把三角形的面积分成相等的两部分的线段是（）A．三角形的角平分线B．三角形的高C．三角形的中线D．三角形的中位线8．如图所示，AC⊥BC于C，CD⊥AB于D，图中可以作为三角形“高”的线段有（）A．1条B．2条C．3条D．5条二、填空题9．如图，△ABC中，∠ACB>90°，AD⊥BC，BE⊥AC，CF⊥AB，垂足分别为D、E、F，△ABC边AC上的高是______.10．如图，在线段AD，AE，AF中，△ABC的高是线段________.11．如图，在△ABC 中，AD、AE 分别是边BC 上中线和高，AE＝2cm，S△ABD ＝1.5cm2，则DC 的长是______cm．12．如图，H 若是ABC ∆三条高AD ，BE ，CF 的交点，则BHA ∆中边BH 上的高是__________________.（用已知的字母表示）13．如图，在△ABC 中，已知∠ABC=66°，∠ACB=54°，BE 是AC 上的高，CF 是AB 上的高，H 是BE 和CF 的交点，∠EHF 的度数是_____．14．如图，在△ABC 中，∠B = 60°，∠C = 40°，AE 平分∠BAC ，AD ⊥BC ，垂足为点D ，那么∠DAE =______度．三、解答题15．方格纸中每个小正方形的边长均为1，点A B C ，，在小正方形的顶点上．（1）画出ABC V 中边BC 上的高AD ；（2）画出ABC V 中边AC 上的中线BE ；（3）求出ABE △的面积．16．在△ABC 中，已知∠ABC =60°，∠ACB =50°，BE 是AC 上的高，CF 是AB 上的高，H 是BE 和CF 的交点．求∠ABE 、∠ACF 和∠BHC 的度数．17．如图，AD 为△ABC 的高，BE 为△ABC 的角平分线，若∠EBA=30°，∠AEB=80°．求∠CAD 的度数．18．如图，已知，AD、AE分别为△ABC的中线和高，AB=13，AC=5．（1）△ABD和△ACD的周长相差多少？（2）△ABD和△ACD的面积有什么关系，请说明理由．19．如图，△ABC中，∠ACB＞90°，AE平分∠BAC，AD⊥BC交BC的延长线于点D．（1）若∠B＝30°，∠ACB＝100°，求∠EAD的度数；（2）若∠B＝α，∠ACB＝β，试用含α、β的式子表示∠EAD．20．如图，△ABC中，∠C=90°，AC=12，BC=9，AB=15，若动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒3个单位，设运动的时间为t秒．（1）当t=时，CP把△ABC的面积分成相等的两部分；=. （2）当t=5时，CP把△ABC分成的两部分面积之比是S:SV VAPC BPC（3）若△BPC的面积为18，试求t的值.参考答案1．C【解析】【分析】三角形的高即从三角形的顶点向对边引垂线，顶点和垂足间的线段．根据三角形高的定义即可判断．【详解】解：根据高的定义，△ABC的BC边上的高过点A并且与BC边垂直．∴正确的画法是C．故选：C．【点睛】本题考查三角形的高的概念，关键是能够正确作三角形一边上的高．2．A【解析】【详解】三角形的重心是三条中线的交点，故选A．3．A【解析】【分析】根据角平分线定义求出∠EAC=64°,根据垂线定义求出∠CAD=54°,相减即可求解.【详解】解：∵AE平分∠BAC, ∠BAC＝128°，∴∠EAC=64°,∵AD⊥BC,∠C＝36°，∴∠CAD=54°,∴∠DAE=∠EAC-∠DAC =64°-54°=10°,故选A.【点睛】本题考查了角平分线的定义,垂线的定义,属于简单题,表示出∠EAD=∠EAC-∠DAC是解题关键.4．B【解析】【分析】根据直角三角形的判定方法，对选项进行一一分析，排除错误答案．【详解】解：A 、锐角三角形，三条高线交点在三角形内，故错误；B 、因为直角三角形的直角所在的顶点正好是三条高线的交点，所以可以得出这个三角形是直角三角形，故正确；C 、钝角三角形，三条高线不会交于一个顶点，故错误；D 、等边三角形，三条高线交点在三角形内，故错误．故选B ．【点睛】主要考查学生对直角三角形的性质的理解及掌握．5．D【解析】【分析】由三角形高的定义可知：线段BC 上有几条线段就有几个以AE 为高的三角形．【详解】解：以AE 为高的三角形有：ABD ∆，ABE ∆，ABC ∆，ADE ∆，ADC ∆，AEC ∆共六个．故选：D ．【点睛】本题考查了三角形高的定义，按照顺序去找三角形是解题关键．6．A【解析】【分析】根据三角形的三条中线都在三角形内部；三角形的三条角平分线都在三角形内部；三角形三条高可以在内部，也可以在外部，直角三角形有两条高在边上．【详解】①三角形的中线、角平分线、高都是线段，故正确；②钝角三角形的高有两条在三角形外部，故错误；③直角三角形有两条直角边和直角到对边的垂线段共三条高，故错误；④三角形的三条角平分线、三条中线分别交于一点是正确的，三条高线所在的直线一定交于一点，高线指的是线段，故错误．所以正确的有1 个．故选：A．【点睛】本题考查了对三角形的中线、角平分线、高的正确理解，解题的关键是熟练掌握这些性质. 7．C【解析】【分析】根据三角形中线的定义判断即可.【详解】解：因为三角形的中线把三角形的面积分成相等的两部分，此时两三角形等底同高故选：C．【点睛】此题考查的是三角形的中线，掌握三角形的中线的定义是解决此题的关键.8．D【解析】【分析】根据三角形的高的定义：三角形的顶点到对边的垂直距离．得到可以作为三角形的高的条数．【详解】解：可以作为△ACD的高的有AD，CD共2条，可以作为△ABC的高的有AC，CD，BC共3条，可以作为△BCD的高的有BD，CD共2条，故可以作为三角形“高”的线段有5条故选：D．【点睛】本题考查了三角形的高线，是基础题，熟记三角形高的定义是解题的关键．9．BE【解析】【分析】根据三角形的高线的定义解答即可．【详解】根据图形，BE是△ABC中AC边上的高．故答案为：BE【点睛】本题考查了三角形的高线的定义，准确识图并熟记高线的定义是解题的关键．10．AF【解析】【分析】从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．【详解】∵AF⊥BC于F，∴AF是△ABC的高线，故答案为：AF．【点睛】本题主要考查了三角形的高线，锐角三角形的三条高在三角形内部，相交于三角形内一点，直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部，它们的交点是直角顶点；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部，三条高所在直线相交于三角形外一点．11．1.5【解析】【分析】根据三角形面积公式求出BD，然后根据中线定义得到CD的长．【详解】∵S△ABD=1.5，∴12BD•AE=1.5，即12BD×2=1.5，∴BD=1.5，∵AD为中线，∴CD=BD=1.5（cm）．故答案为1.5．【点睛】此题主要考查了三角形的面积以及三角形中线以及高线的性质，本题中正确的计算是解题的关键．12．AE【解析】【分析】根据三角形高的定义，即可得到答案.【详解】∆三条高AD，BE，CF的交点，∵H若是ABC∴BE⊥AE，∆中，边BH上的高是AE.∴在BHA故答案是：AE.【点睛】本题主要考查三角形各边上的高的定义，理解三角形某条边上的高是“过这条边的对角顶点并垂直这条边的垂线段”，是解题的关键.13．120°．【解析】【分析】先根据三角形内角和定理求出∠A的度数，再根据CF是AB上的高得出∠ACF的度数，再由三角形外角的性质即可得出结论．【详解】∵∠ABC=66°，∠ACB=54°，∴∠A=60°，∵CF是AB上的高，∴在△ACF中，∠ACF=180°﹣∠AFC﹣∠A=30°，在△CEH中，∠ACF=30°，∠CEH=90°，∴∠EHF=∠ACF+∠CEH=30°+90°=120°．故答案为:120°．【点睛】考查三角形的内角和定理、三角形的高以及三角形外角的性质，熟练掌握三角形的外角的性质是解题的关键.14．10【解析】【分析】本题考查的是三角形内角和定理和角平分的定义，根据三角形内角和是180°，角平分线平分角的度数解答即可【详解】因为，在△ABC中，∠B = 60°，∠C = 40°，所以∠BAC=180°-60°-40°=80°，因为AE 平分∠BAC，所以∠BAE=∠CAE=40°，又因为在△ACD中，AD⊥BC，∠C=40°，所以∠CAD=50°，所以∠DAE=∠CAD-∠CAE=50°-40°=10°【点睛】本题的关键是掌握三角形内角和是180度15．（1）见解析；（2）见解析；（3）4．【解析】【分析】（1）根据三角形高线的定义画出图形即可；（2）根据三角形中线的定义画出图形即可；（3）根据三角形的面积公式计算即可．【详解】解：（1）如图所示，线段AD即为所求；（2）如图所示，线段BE即为所求；（3）S△ABC=12BC•AD=12×4×4=8．∴△ABE的面积=12S△ABC=4，故答案为：4．【点睛】此题考查基本作图，根据题意利用网格画出符合题意的图形是解题关键．16．∠ABE=20°；∠ACF=20°；∠BHC=110°．【解析】【分析】先利用三角形内角和求得∠A的度数，则在直角△ABE和直角△ACF中利用三角形内角和即可求得∠ABE和∠ACF的度数；再根据角的和差关系求出∠EBC和∠BCH的度数，然后在△BCH中利用三角形内角和即可求出∠BHC的度数.【详解】解：∵BE是AC上的高，∴∠AEB=90°．∵∠ABC=60°，∠ACB=50°，∴∠A=180°﹣60°﹣50°=70°，∴∠ABE=180°﹣90°﹣70°=20°．∵CF是AB上的高，∴∠AFC=90°，∴∠ACF=180°﹣90°﹣70°=20°．∵∠ABE=20°，∴∠EBC=∠ABC﹣∠ABE=60°﹣20°=40°．∵∠ACF=20°，∠ACB=50°，∴∠BCH=30°，∴∠BHC=180°﹣40°﹣30°=110°．【点睛】本题考查了三角形的高和三角形的内角和定理，解题的关键是理清图中角之间的关系，熟练掌握三角形的内角和定理.17．40°【解析】【分析】根据角平分线定义求出∠CBE=∠EBA=30°，根据三角形外角性质求出∠C，即可求出答案．【详解】∵BE为△ABC的角平分线，∴∠CBE=∠EBA=30°，∵∠AEB=∠CBE+∠C，∴∠C=80°-30°=50°，∵AD为△ABC的高，∴∠ADC=90°，∴∠CAD=90°-∠C=40°．【点睛】本题考查了三角形内角和定理和三角形外角性质，能灵活运用三角形内角和定理求出角的度数是解此题的关键．18．（1）△ABD和△ACD的周长相差是8；（2）△ABD和△ACD的面积相等．理由见解析．【解析】【分析】（1）分别表示出△ABD与△ACD的周长，由AD是BC的中线，可得它们的差＝AB−AC；（2）三角形的中线把三角形分成面积相等的两个三角形，据此答题即可．【详解】（1）△ABD的周长是AB、BD、AD三边的和△ACD的周长是AC、CD、AD三边的和因为AD为△ABC的中线∴BD=DC所以△ABD和△ACD的周长差就是AB与AC的差故△ABD和△ACD的周长相差是8；（2）因为AD为△ABC的中线∴BD=DC所以△ABD和△ACD是等底同高的三角形故△ABD和△ACD的面积相等．【点睛】本题主要考查了三角形的中线，高的概念和性质，三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分是解答此题的关键．19．（1）35︒，（2）1122βα-．【解析】【分析】（1）根据垂直的定义得到∠D ＝90°，根据邻补角的定义得到∠ACD 18010080=︒-︒=︒，根据三角形的内角和得到∠BAC ＝50°，根据角平分线的定义得到∠CAE 12=∠BAC ＝25°，于是得到结论；（2）根据垂直的定义得到∠D ＝90°，得到∠ACD ＝180β︒-，求得∠BAC 180αβ=︒--，根据角平分线的定义得到∠CAE 12=∠BAC 190()2αβ=︒-+，根据角的和差即可得到结论．【详解】解：（1）∵AD ⊥BC ， ∴∠D ＝90°，∵∠ACB ＝100°， ∴∠ACD 18010080=︒-︒=︒，∴∠CAD ＝908010︒-︒=︒， ∵∠B ＝30°，∴∠BAD 903060=︒-︒=︒， ∴∠BAC ＝50°，∵AE 平分∠BAC ， ∴∠CAE 12=∠BAC ＝25°， ∴∠EAD ＝∠CAE+∠CAD ＝35°；（2）∵AD ⊥BC ， ∴∠D ＝90°，∵∠ACB ＝β， ∴∠ACD ＝180β︒-，∴∠CAD 9090ACD β=︒-∠=-︒，∵∠B ＝α， ∴∠BAD ＝90α︒-，∴∠BAC 90(90)180αβαβ=︒---︒=︒--，∵AE 平分∠BAC ， ∴∠CAE 12=∠BAC 190()2αβ=︒-+， ∴∠EAD ＝∠CAE+∠CAD ＝11190()90222αβββα︒-++-︒=-．【点睛】本题考查了三角形的内角和，角平分线的定义，正确的识别图形是解题的关键．20．（1）6.5秒；（2）1：4；（3）t ＝43秒或223秒. 【解析】【分析】（1）根据中线的性质可知，点P在AB中点时，CP把△ABC的面积分成相等的两部分，列出方程求解即可；（2）求出当t＝5时，AP与BP的长，再根据等高的三角形面积比等于底边的比求解即可；（3）分两种情况：①P在AC上；②P在AB上，分别根据三角形面积公式建立关于t的方程，求解可得.【详解】解：（1）当点P在AB中点时，CP把△ABC的面积分成相等的两部分，此时CA＋AP＝12＋7.5＝19.5，∴3t＝19.5，解得t＝6.5，故当t＝6.5秒时，CP把△ABC的面积分成相等的两部分；（2）∵5×3＝15，∴AP＝15−12＝3，BP＝15−3＝12，则S△APC：S△BPC＝3：12＝1：4；（3）分两种情况：①当P在AC上时，∵△BPC的面积为18，∴12×9×CP＝18，∴CP＝4，∴3t＝4，t＝43；②当P在AB上时，∵△BPC的面积为18，△ABC的面积为191254 2创=，∴△BPC的面积是△ABC面积的13，∴3t＝12＋15×23，解得：t＝223，故t＝43秒或223秒时，△BPC的面积为18．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，三角形中线的性质，三角形的周长与面积等知识，难度适中．运用数形结合思想与分类讨论的思想是解题的关键．。

北师大版七年级数学下册三角形综合培优测试卷【含答案】

北师大版七年级数学下册三角形综合培优测试卷一、选择题1．下列说法错误的是( )　A．全等三角形的对应边相等B．全等三角形的对应角相等　C．全等三角形的周长相等D．全等三角形的高相等△ABC≌△CDA BC=DA2．如图，，并且，那么下列结论错误的是( )∠1=∠2AC=CA AB=AD∠B=∠D　A．B．C．D．AB∥DE，AC∥DF，AC=DF△ABC≌△DEF3．如图，，下列条件中不能判断的是() AB=DE∠B=∠E EF=BC EF∥BC　A．B．C．D．3cm，4cm，6cm，8cm3cm4cm4．长为的木条各两根，小明与小刚分别取了和的两根，要使两人所拿的三根木条组成的两个三角形全等，则他俩取的第三根木条应为() 6cmA．一个人取的木条，一个人取的木条6cmB．两人都取的木条8cmC．两人都取的木条D．B、C两种取法都可以△ABC AB=AC AD，BE，CF O5．中，，三条高相交于，那么图中全等的三角形有()　A．5对B．6对C．7对D．8对6．下列说法中，正确的有( )①三角对应相等的两个三角形全等；②三边对应相等的两个三角形全等；③两角、一边相等的两个三角形全等；④两边、一角对应相等的两个三角形全等．　A．1个B．2个C．3个D．4个△ABC∠ABC=45°，AC=4，H AD BE BH 7．如图，已知中，是高和的交点，则线段的长度为( )64235　A．B．C．D．ABC AD AB=4，AC=3△ABD△ADC8．如图，中，是它的角平分线，，那么与的面积比是( )1:13:44:3　A．B．C．D．不能确定△ABC∠C=90°，AC=BC，AD∠CAB DE⊥AB E9．如图，中，是的平分线，于．已知AC=6cm BD+DE，则的和为( )5cm6cm7cm8cm　A．B．C．D．P∠AOB CD⊥OP F OA、OB CD10．已知是平分线上一点，于，并分别交于，则CD P∠AOB_____点到两边距离之和．( )A．小于B．大于C．等于D．不能确定11．下列说法正确的是()A．全等三角形是指形状相同的两个三角形 C．全等三角形的周长和面积分别相等 C．全等三角形是指面积相等的两个三角形 D．所有的等边三角形都是全等三角形△ABE≌△ACF AB=5，AE=2EC12．如图：若，且，则的长为() 235 2.5A． B． C． D．△ABC AB=AC，∠BAD=∠CAD13．如图：在中，，则下列结论：△ABD≌△ACD∠B=∠C①，②，BD=CD AD⊥BC③，④。

4.1认识三角形(3)三角形的中线、角平分线++课件+2023-2024学年北师大版数学七年级下册

所以∠DAC=∠BAD= ∠BAC=34°.

在△ABD中,∠B+∠ADB+∠BAD=180°,
所以∠ADB=180°-∠B-∠BAD=180°-36°-34°=110°.
如图,在△ABC中,∠ABC和∠ACB的平分线交于点F,DE过点
F且平行于BC.∠DBF与∠DFB的大小有什么关系?说明理由.
A.30°
B.40°
C.50°
D.60°
6.(2023·云浮新兴县期中)如图,BD是△ABC的中线,CE是△DBC
的中线.若△ABC的面积是12,则△EBC的面积是( D )
A.8
B.6
C.4
D.3
7.如图,在△ABC中,∠A=40°,∠B=72°,CE是△ABC的角平分
74
线,CD⊥AB于点D,DF⊥CE于点F,则∠CDF=________°.
7.如图,在△ABC中(AB>AC),AD是△ABC的中线,AE是△ACD
的中线.
(1)若DE=4,求BC的长;
解:因为AE是△ACD的中线,所以DC=2DE=8.
因为AD是△ABC的中线,所以BC=2DC=16.
(2)若△ABC的周长为37,BC=12且△ABD与△ACD的周长差为3,
求AC的长.
8.如图,在△ABC中,BO,CO分别是∠ABC,∠ACB的平分线.
(1)若∠A=50°,求∠BOC的度数.
解:因为∠A=50°,
所以∠ABC+∠ACB=180°-∠A=130°.
因为BO,CO分别是∠ABC,∠ACB的平分线,
所以∠OBC=

∠, ∠

=

∠ACB.

所以∠OBC+∠OCB= (∠ABC+∠ACB)=65°.

初中数学三角形的高、中线和角平分线同步练习题5套(含答案)

三角形的高、中线和角平分线同步练习题5套（含答案）（一）1．填空题：(1)从三角形一个顶点向它的对边画______，以______和______为端点的线段叫做三角形这边上的高．如图，若CD 是△ABC 中AB 边上的高，则∠ADC ______∠BDC ＝______，C 点到对边AB 的距离是______的长．(2)连结三角形的一个顶点和它______的______叫做三角形这边上的中线．如右图，若BE 是△ABC 中AC 边上的中线，则AE ______.______21EC (3)三角形一个角的______与这个角的对边相交，以这个角的______和______为端点的线段叫做三角形的角平分线．一个角的平分线与三角形的角平分线的区别是________________________________ ______________________________________．如图，若AD 是△ABC 的角平分线，则∠BAD ______∠CAD ＝21______或∠BAC ＝2______＝2______． 2．已知：△GEF ，分别画出此三角形的高GH ，中线EM ，角平分线FN ．3．(1)分别画出△ABC 的三条高AD 、BE 、CF ．(∠A 为锐角) (∠A 为直角) (∠A 为钝角)(2)这三条高AD 、BE 、CF 所在的直线有怎样的位置关系?4．(1)分别画出△ABC 的三条中线AD 、BE 、CF ．(2)这三条中线AD 、BE 、CF 有怎样的位置关系?(3)设中线AD与BE相交于M点，分别量一量线段BM和ME、线段AM和MD的长，从中你能发现什么结论?5．(1)分别画出△ABC的三条角平分线AD、BE、CF.(2)这三条角平分线AD、BE、CF有怎样的位置关系?(3)设△ABC的角平分线BE、CF交于N点，请量一量点N到△ABC三边的距离，从中你能发现什么结论?（一）参考答案1．(1)垂线，顶点、垂足，＝，90°，高CD的长．(2)所对的边的中点、线段，＝，AC(3)平分线，顶点、交点，一个角的平分线是射线，而三角形的角平分线是线段．＝，∠BAC，∠BAD，∠DAC2．略．3．(1)略，(2)三条高所在直线交于一点．4．(1)略，(2)三条中线交于一点，(3)BM＝2ME．5．(1)略，(2)三条角平分线交于一点，(3)点N到△ABC三边的距离相等．三角形的高、中线与角平分线（二）一.选择题:1.△ABC中，AB=AC=4，BC=a,则a的取值范围是( )A.a＞0 B.0＜a＜4 C.4＜a＜8 D.0＜a＜82.△ABC中，CA=CB，D为BA中点，P为直线CD上的任一点，那么PA与PB的大小关系是( ) A.PA ＞PB B.PA＜PB C.PA=PB D.不能确定3.△ABC中，AB=7，AC=5，则中线AD之长的范围是( )A.5＜AD＜7B.1＜AD＜6C.2＜AD＜12D.2＜AD＜54.△ABC中，AB=13，BC=10，BC边上中线AP=12，则AB，AC关系为( )A.AB＞ACB.AB=ACC.AB＜ACD.无法确定5.三条线段a,b,c长度均为整数且a=3,b=5.则以a,b,c为边的三角形共有( )A.4个B.5个C.6个D.7个6.一个三角形中，下列说法正确的是( )A.至少有一个内角不小于90°B.至少一个内角不大于30°C. 至少一个内角不小于60°D. 至少一个内角不大于45°7.△ABC中，∠A=40°,高BD和CE交于O，则∠COD为( )A.40°或140°B. 50°或130°C. 40°D. 50°8.已知，如图1，△ABC中，∠B＝∠DAC，则∠BAC和∠ADC的关系是( )A.∠BAC＜∠ADCB.∠BAC＝∠ADCC.∠BAC＞∠ADCD.不能确定9.在△ABC中，已知∠A＋∠C＝2∠B，∠C－∠A＝80°，则∠C的度数是( )A.60°B.80°C.100°D.120°10.如图2，∠B＝∠C，则∠ADC与∠AEB的关系是( )A.∠ADC＞∠AEBB.∠ADC＝∠AEBC.∠ADC＜∠AEBD.不能确定二、填空题:1.△ABC中，∠A-∠B=10°,2∠C-3∠B=25°,则∠A= .2.等腰三角形周长为21cm,一中线将周长分成的两部分差为3cm,则这个三角形三边长为________.3.点A、B关于直线l对称，点C、D也关于l对称，AC、BD交于O，则O点在上.4.△ABC周长为36，AB=AC,AD⊥BC于D，△ABD周长为30cm,则AD= .5.等腰三角形一腰上的高与另一腰夹角为45°,则顶角为 .6.三角形三边的长为15、20、25，则三条高的比为 .7.若三角形三边长为3、2a-1、8，则a的取值范围是 .8.如果等腰三角形两外角比为1∶4则顶角为 . 9.等腰三角形两边比为1∶2,周长为50，则腰长为 . 10.等腰三角形底边长为20，腰上的高为16.则腰长为 . 三、解答题:1.△ABC 中AB=AC ，D 在AC 上，且AD=BD=BC.求△ABC 的三内角度数.2.如图，AC=BD ，AD ⊥AC ，BD ⊥BC ，求证AD=BC.3.CD 为Rt △ABC 斜边的中线 V ，DE ⊥AC 于E ，BC=1，AC=3.求△CED 的周长.4. 如图，AD 为△ABC 的中线，∠ADB 的平分线交AB 于E ，∠ADC 的平分线交AC 于E,求证BE+CF ＞EF.5.△A BC 中，AD ⊥BC 交边BC 于D.(1)若∠A=90° 求证：AD+BC ＞AB+AC(2)若∠A ＞90°,(1)中的结论仍然成立吗？若不成立，请举反例，若成立，请给出证明 6.如图，将一张长方形纸片沿EF 折叠后,点D 、C 分别落在点D ′、C ′的位置,ED ′ 的延长线与BC 交于点G ，若∠EFG ＝50°，求∠1、∠2的度数.（二）参考答案一、选择：DCBBB CABCB 二、填空：(1).55° (2).(8,8,5)或(6,6,9) (3).l (4).12 (5).45°或135° (6).20∶15∶12 (7).3＜a ＜6 (8).140° (9).20 (10).350三.解答：1.设∠A=x AD=DB=BCAB=AC ∴∠ABD=x ∠BDC=2x ∠ABC=∠C=2x ∠DBC=x ∴5x=180° x=36° ∴∠A=36°∠C=72° ∠ABC=72°2.连DC ，∠DAC=∠DBC=90° AC=BD DC=DC ∴Rt △DAC ≌△CBD (HL) ∴AD=BC.3.∵∠ACB=90° BC=1 AC=3 ∴AB=2 ∠A=∠ACD=30°C D=1 DE=21CE=23 周长为2334.延长ED 至G ，使ED=DG ，连GC ，GF DE 平分∠BDA ，DF 平分∠ADC ∴∠EDF=90°,ED=DG ∴EF=FG ，△BED ≌△CGD ∴BE=GC ；GC+CF ＞GF.∴BE+CF ＞EF.5.(1)∵∠A=90°∴AB2+AC2=BC2AB ·AC=AD ·BC.(AB+AC)2=AB2+AC2+2AB ·AC=BC2+2AD ·BC ＜BC2+2AD ·BC+AD2=(BC+AD)2∴AD+BC ＞AB+AC. (2)若∠A ＞90°,上述结论仍成立.证∵∠A ＞90°,作AE ⊥AB 交BC 于E ，则AD 为Rt △BAE 斜边上的高由(1)∴AD+BE ＞AB+AE ① 在△AE C 中 AE+EC ＞AC ②；①+② AD+BE+EC+AE ＞AB+AC+AE ∴AD+BC ＞AB+AC 6、80°，100°三角形的高、中线与角平分线（三）一、选择题1.一定在三角形内部的线段是( )A.锐角三角形的三条高、三条角平分线、三条中线B.钝角三角形的三条高、三条中线、一条角平分线C.任意三角形的一条中线、两条角平分线、三条高D.直角三角形的三条高、三条角平分线、三条中线2.如图,△ABC 中,点E 是BC 上的一点,EC=2BE,BD 是边AC 上的中线,若S △ABC =12,则S △ADF -S △BEF =( ) A.1 B.2 C.3 D.4 二、填空题3.空调外机安装在墙壁上时,一般都会按如图所示的方法固定在墙壁上,这种方法应用的数学知识是三角形的 .4.如图所示,∠BAD=45°,AE=4 cm.(1)如果AD 是△ABC 的角平分线,那么∠DAC= ;(2)如果AE=CE,那么线段BE 是△ABC 的 ,AC 的长为 ; (3)如果AF 是△ABC 的高,那么图中以AF 为高的三角形有个.5.如图,在△ABC中,AD是△ABC边BC上的中线,CE是△ACD边AD上的中线,F是EC的中点.若S△BFC=1,则S△ABC= .三、解答题6.如图,已知AD、AE分别是△ABC的高和中线,AB=9 cm,AC=12 cm,BC=15 cm,∠BAC=90°.试求:(1)△ABE的面积;(2)AD的长度;(3)△A CE与△ABE的周长的差.7.在△ABC中,AB=AC,AC边上的中线BD把△ABC的周长分为24和18两部分,求三角形的三边长.（三）参考答案1.答案 A A项,锐角三角形的三条高、三条角平分线、三条中线一定在三角形内部,故本选项正确;B项,钝角三角形的三条高有两条在三角形的外部,故本选项错误;C项,任意三角形的一条中线、两条角平分线都在三角形内部,但三条高不一定都在三角形内部,故本选项错误;D项,直角三角形的三条高有两条是直角边,不在三角形内部,故本选项错误.故选A.2.答案B∵S△ABC=12,EC=2BE,点D是AC的中点,∴S△ABE=S△ABC=4,S△ABD=S△ABC=6,∴S△ADF-S△BEF=S△ABD-S△ABE=6-4=2.故选B.3.答案稳定性解析题中方法应用的数学知识是三角形的稳定性.4.答案(1)45°(2)中线;8 cm (3)6解析(1)∵AD是△ABC的角平分线,∴∠DAC=∠BAD=45°.(2)∵AE=CE,∴线段BE是△ABC的中线,AC=2AE=2×4=8(cm).(3)以AF为高的三角形有△ABD、△ABF、△ABC、△ADF、△ADC、△AFC,共6个. 5.答案 4解析如图,连接BE.∵点D、E分别为BC、AD的中点,∴S△ABD=S△ACD=S△ABC,S△BDE=S△ABD=S△ABC,S△CDE=S△ACD=S△ABC,∴S△BCE=S△BDE+S△CDE=S△ABC+S△ABC=S△ABC,∵点F是CE的中点,∴S△BEF=S△BFC=S△BCE=×S△ABC=S△ABC,∵S△BFC=1,∴S△ABC=4.6.解析(1)∵△ABC是直角三角形,∠BAC=90°,AB=9 cm,AC=12 cm,∴S△ABC=AB·AC=×9×12=54(cm2).∵AE是边BC上的中线,∴BE=EC,∴BE·AD=EC·AD,即S△ABE=S△AEC,∴S△ABE=S△ABC=27 cm2.∴△ABE的面积是27 cm2. (2)∵∠BAC=90°,AD是边BC上的高,∴AB·AC=BC·AD,∴AD===(cm),即AD的长度为 cm.(3)∵AE为BC边上的中线,∴BE=CE,∴△ACE的周长-△ABE的周长=AC+AE+CE-(AB+BE+AE)=AC-AB=12-9=3(cm),即△ACE与△ABE的周长的差是3 cm.7.解析如图,设AB=AC=a,BC=b,则有或解得或这时三角形的三边长分别为16,16,10或12,12,18,它们都能构成三角形.所以三角形的三边长分别为16,16,10或12,12,18.三角形的高、中线与角平分线（四）一、选择题1、已知三角形的两边分别为4和9，则此三角形的第三边可能是（）A． 4 B． 5 C．9 D． 132、下列长度的三根木棒首尾相接，不能做成三角形框架的是( )A．5 cm、7 cm、2 cm B．7 cm、13 cm、10 cmC．5 cm、7 cm、11 cm D．5 cm、10 cm、13 cm3、如图，已知BE，CF分别为△ABC的两条高，BE和CF相交于点H，若∠BAC=50°，则∠BHC为（）A．115°B．120°C．125°D．130°4、下列长度的三条线段，不能组成三角形的是（）A．2、3、4 B．1、2、3 C．3、4、5 D．4、5、65、若△ABC内一点O到三角形三条边的距离相等，则O为△ABC（）的交点．A．角平分线B．高线C．中线D．边的中垂线6、如图，在△ABC中，BD、BE分别是高和角平分线，点F在CA的延长线上，FH⊥BE交BD于G，交BC于H，下列结论：①∠DBE=∠F；②2∠BEF=∠BAF+∠C；③∠F=（∠BAC﹣∠C）；④∠BGH=∠ABE+∠C其中正确的是（）A．①②③B．①③④C．①②④D．①②③④7、下列各组数可能是一个三角形的边长的是（）A．1，2，4 B．4，5，9 C．4，6，8 D．5，5，118、如图，CD，CE，CF分别是△ABC的高、角平分线、中线，则下列各式中错误的是（）A．AB=2BF B．∠ACE=∠ACB C．AE=BE D．CD⊥BE9、一个三角形中直角的个数最多有（）Ａ．3Ｂ．1Ｃ．2Ｄ．010、下列图形不具有稳定性的是（）11、下列各组中的三条线段能组成三角形的是（）Ａ．3，4，8 Ｂ．5，6，11Ｃ．5，6，10 Ｄ．4，4，812、如图所示，其中三角形的个数是（）Ａ．2个Ｂ．3个Ｃ．4个Ｄ．5个13、下列图形不具有稳定性的是（）A．正方形B．等腰三角形C．直角三角形D．钝角三角形14、如图，AC⊥BC，CD⊥AB，DE⊥BC，分别交BC，AB，BC于点C，D，E，则下列说法中不正确的是（）A．AC是△ABC和△ABE的高B．DE，DC都是△BCD的高C．DE是△DBE和△ABE的高D．AD，CD都是△ACD的高二、填空题15、在△ABC是AB＝5，AC＝3，BC边的中线的取值范围是。

4.1 认识三角形-第3课时北师大版数学七年级下册素养提升练习(含解析)

第四章　三角形1　认识三角形第三课时　三角形的中线、角平分线和高线基础过关全练知识点7　三角形的中线和重心23.如图,AD是△ABC的一条中线,若BD=3,则BC的值是( )A.6B.3C.9D.不能确定24.如图所示的网格由边长相同的小正方形组成,点A,B,C,D,E,F,G均在小正方形的顶点上,则△ABC的重心是( )A.点GB.点DC.点ED.点F25.如图,已知BD是△ABC的中线,AB=5,BC=3,则△ABD和△BCD的周长差是( )A.2B.3C.6D.不能确定知识点8　三角形的角平分线26.一个钝角三角形的三条角平分线所在的直线一定交于一点,这个交点一定在( )A.三角形内部B.三角形的一边上C.三角形外部D.三角形的某个顶点上27.如图,D是△ABC中BC边上的一点,DE∥AC交AB于点E,DF∥AB 交AC于点F,且∠ADE=∠ADF,AD是△ABC的角平分线吗?说明理由.知识点9　三角形的高28.(2023黑龙江哈尔滨香坊期中)如图,四个图形中,线段BE是△ABC 的高的是( )29.如图,若∠CBD=∠E=∠F=90°,则线段是△ABC中BC边上的高.30.在△ABC中,∠ACB是钝角,AD是BC边上的高,若AD=2,BD=3,CD=1,则△ABC的面积等于 .31.【新独家原创】如图,AD、AE分别是△ABC的角平分线和高,∠C=71°,∠DAE=10°.(1)求∠BAD的度数;(2)求∠B的度数.能力提升全练32.【新考法】(2023福建中考,3,★☆☆)若某三角形的三边长分别为3,4,m,则m的值可以是( )A.1B.5C.7D.933.【分类讨论思想】(2023重庆沙坪坝期中,8,★★☆)等腰三角形的两条边长分别为15和7,则它的周长等于( )A.22B.29C.37D.29或3734.(2023湖北宜昌中考,8,★★☆)如图,小颖按如下方式操作直尺和含30°角的三角尺,依次画出了直线a,b,c.如果∠1=70°,则∠2的度数为( )A.110°B.70°C.40°D.30°35.(2023河北石家庄八中阶段测试,15,★★★)若a,b,c是△ABC的三边长,化简:|a+b-c|-|a-c-b|= .36.【中线等分面积法】(2023广东深圳期中,16,★★★)如图所示,把△ABC的三边BA、CB和AC分别向外延长一倍,得到的点为A'、B'、C',连接A'B',B'C',A'C'.若△ABC的面积是5,则△A'B'C'的面积是 .37.【一题多解】(2023河北保定一中分校阶段测试,15,★★★)如图,△ABC中,点D、E、F分别在三边上,E是AC的中点,AD、BE、CF 交于点G,BD=2DC,S△GEC=3,S△GDC=4,则△ABC的面积是 .38.(2022江苏泰州二中月考,24,★★☆)如图,在△BCD中,BC=4,BD=5.(1)求CD的取值范围;(2)若AE∥BD,∠A=55°,∠BDE=125°,求∠C的度数.素养探究全练39.【新考向·规律探究题】【几何直观】(1)如图1,图中共有个三角形;如图2,若增加一条线,则图中共有个三角形;(2)如图3,若增加到10条线,请你求出图中三角形的个数.答案全解全析基础过关全练23.A　∵AD是△ABC的一条中线,BD=3,∴BC=2BD=2×3=6.24.B　取BC的中点N,取AC的中点M,连接AN,BM,如图所示,则AN与BM的交点为D,故点D是△ABC的重心,故选B.25.A　∵BD是△ABC的中线,∴AD=CD,∴△ABD和△BCD的周长差是(AB+BD+AD)-(BC+BD+CD)=AB-BC=5-3=2.故选A.26.A　27.　解析　AD是△ABC的角平分线.理由:∵DE∥AC,DF∥AB,∴∠ADE=∠DAF,∠ADF=∠EAD,又∵∠ADE=∠ADF,∴∠DAF=∠EAD,又∵∠DAF+∠EAD=∠BAC,∴AD是△ABC的角平分线.28.C　A.线段BE不是△ABC的高,不符合题意;B.线段BE 不是△ABC 的高,不符合题意;C.线段BE 是△ABC 的高,符合题意;D.线段BE 不是△ABC 的高,不符合题意.故选C.29.　答案　AE30.　答案　2解析　如图.∵BD=3,CD=1,∴BC=BD-CD=2,又∵AD 是BC 边上的高,AD=2,∴△ABC 的面积=12BC·AD=12×2×2=2.31.　解析　(1)∵AE 是△ABC 的高,∴∠AEC=90°,∴∠CAE=90°-∠C=90°-71°=19°,∵∠DAE=10°,∴∠DAC=10°+19°=29°.∵AD 是△ABC 的角平分线,∴∠BAD=∠DAC=29°.(2)∵∠BAD=∠DAC=29°,∴∠BAC=29°+29°=58°,∴∠B=180°-∠BAC-∠C=180°-58°-71°=51°.能力提升全练32.B 由题意,得4-3<m<4+3,即1<m<7,故m 的值可以是5,故选B.33.C 当7是腰长时,7+7<15,不能组成三角形,舍去;当15是腰长时,15+7>15,能组成三角形,此时三角形的周长是7+15×2=37.故选C.34.C　如图,由题意得∠4=30°,b∥c,∴∠3=∠1=70°,∵∠3=180°-(180°-∠4-∠5),∴∠3=∠4+∠5=70°,∴∠5=40°,∴∠2=∠5=40°,故选C.35.　答案　2a-2c解析　本题把绝对值和三角形三边关系结合在一起考查,体现了代数和几何知识的综合运用.∵a,b,c是△ABC的三边长,∴a+b>c,b+c>a,∴a+b-c>0,a-c-b<0,∴|a+b-c|-|a-c-b|=a+b-c-(c+b-a)=a+b-c-c-b+a=2a-2c.36.　答案　35解析　如图,连接AB'、BC'、CA',由题意得AB=AA',BC=BB',AC=CC',∴△AA'B'的面积=△ABB'的面积=△ABC的面积=△BCC'的面积=△AA'C的面积=△BB'C'的面积=△A'C'C的面积=5,∴△A'B'C'的面积=5×7=35.方法解读　中线等分面积法:根据等底同高,可知三角形的中线把原三角形分成面积相等的两部分,本题先作出三条辅助线,即中线AB'、BC'、CA',等分对应三角形的面积,再求总面积即可.37.　答案　30解析　解法一:∵BD=2DC,∴S△GDB=2S△GDC.∵S△GEC=3,S△GDC=4,∴S△BCE=S△GDB+S△GDC+S△GEC=8+4+3=15.∵E是AC的中点,∴S△BAE=S△BCE,∴S△ABC=2S△BCE=2×15=30.故答案为30.解法二:∵BD=2DC,∴S△ABD=2S△ACD,∴S△ABC=3S△ACD,∵E是AC的中点,∴S△AGE=S△CGE,又∵S△GEC=3,S△GDC=4,∴S△ACD=S△AGE+S△CGE+S△CGD=3+3+4=10,∴S△ABC=3S△ACD=3×10=30.38.　解析　(1)在△BCD中,BD-BC<CD<BD+BC,∵BC=4,BD=5,∴5-4<CD<5+4,即1<CD<9.(2)∵AE∥BD,∠BDE=125°,∴∠AEC=180°-∠BDE=55°,又∵∠A+∠C+∠AEC=180°,∠A=55°,∴∠C=70°.素养探究全练39.　解析　(1)10;24.(2)增加1条线,三角形的个数为10+10×1+4×1;增加2条线,三角形的个数为10+10×2+4×(2+1);增加3条线,三角形的个数为10+10×3+4×(3+2+1);增加n条线,三角形的个数为10+10n+4×(n+n-1+n-2+…+1),所以增加10条线,三角形的个数为10+10×10+4×(10+9+8+…+1)=330.。

北师版七年级下册数学期末提分练案 4.2.2 三角形的高、中线、角平分线应用的十种常见题型课件

∠B－∠C＝40°，也能得出∠DAE的度数，你认为能吗？若能，请你写出求解过程；若不能，请说明理由．解：能．
因为∠B＋∠C＋∠BAC＝180°，所以∠BAC＝180°－∠B－∠C. 因为AE平分∠BAC，所以∠BAE＝12∠BAC＝12(180°－∠B－∠C)＝90°－12(∠B＋∠C)．
期末提分练案
期末提分练案 10．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，AE平分∠BAC，
∠B＝70°，∠C＝30°. (1)求∠BAE的度数．
解：因为∠B＋∠C＋∠BAC＝180°，所以∠BAC＝180°－∠B－∠C＝180°－70°－30° ＝80°. 因为AE平分∠BAC，所以∠BAE＝ 12∠BAC＝40°.
因为AD⊥BC，所以∠ADB＝90°.
所以∠B＋∠BAD＝90°.
所以∠BAD＝90°－∠B.
所以∠DAE＝∠BAE－∠BAD＝90°－ 1 (∠B＋∠C)－(90°
－∠B)＝
1 2
(∠B－∠C)．
2
因为∠B－∠C＝40°，
所以∠DAE＝ 12×40°＝20°.
期末提分练案
6．如图，△ABC的周长是21 cm，AB＝AC，中线BD分 △ABC为两个三角形，且△ABD的周长比△BCD的周长大6 cm.求AB，BC的长．
期末提分练案
解：因为BD是△ABC的中线，所以AD＝CD＝ 1AC. 2
因为△ABD的周长比△BCD的周长大6 cm，所以(AB＋AD＋BD)－(BD＋CD＋BC)＝AB－BC＝6 cm. 所以AB＝BC＋6 cm.① 因为△ABC的周长是21 cm，AB＝AC，所以2AB＋BC＝21 cm.② 将①代入②，可得BC＝3 cm. 所以AB＝9 cm.
期末提分练案