从辩证法的角度看代数学

无处不在的代数学

摘要：抽象思维是我们辨证认识世界的一个重要工具，而代数是我们运用抽象思维的一种方法。本文首先简单介绍代数的发展历史，即代数的研究对象从原来的数和数的结构拓展到任何事物和事物之间的结构，从而产生无处不在的代数学的思想。为了更鲜明地阐述观点，本文接着从认识世界事物的属性和联系两方面展示了代数在认识世界过程中的重要性。本文还以认识对称现象为具体例子，综合论证了上述的观点。最后，笔者还认真反思以代数思维看世界的缺陷。

关键词：代数，认识，物质属性，物质联系

数学是一门科学，其重要性是不容置疑的。代数是我们运用抽象思维的一种方法。现在我主要想浅谈抽象思维是我们辨证认识世界的一个重要工具。以下仅是我结合自身所学专业及日常思考所得的结论，若有不恰当的地方，望指正。

代数源于生活，又反作用于生活。数学中的代数最初主要研究的是数，以及数所衍生出来的对象，如代数方程的求根。初等代数主要研究的就是数与数的运算。中学数学虽然有所谓的代数式的概念，但这些概念本质上代表的仍然是数。高等代数引入行列式，矩阵等概念，但还是离不开数。数的一个基本特征是可以进行加法，乘法等运算。这些运算的共同特点是：对于两个数，通过某个法则，可唯一求得第三个数[1]。但代数研究的范围不仅仅局限于数，它的研究对象可以为各种各样的事物及事物之间的作用和联系。因为将某类事物抽象化后，即可以用字母（a，b，c，……）代替，它们具有类似数的特征。通过对它们的结构和性质进行研究，并且应用它们解决其他数学问题和其他实际的问题，如抽象编程中需要相关的抽象代数的知识，我们将代数的研究领域大大扩充了。它所研究的已经不再仅仅是数，而是具有某种运算的代数系统。

在认识世界的过程中，我们常常要对某类物质加以比较，希望通过物质之间的联系去了解认识这一类物质。另一方面，我们也常常要把某类物质进行细分，以便对各个特殊种类进行研究，或对其中特殊种类加以讨论，从而了解整类物质的性质。如，在水果中，苹果和香蕉之间就有苹果比香蕉甜，或苹果不比香蕉甜，或其他情况。同时，根据一个水果是否是苹果，我们可以将水果分成苹果或非苹

果两类。针对苹果，我们能分析苹果的内部特征，如，形状，大小，数量，味道，营养价值，……通过一系列的认识活动，我们就能较好地掌握水果的基本性质。在这个过程里，我们能将其抽象成代数学的内容。首先，我们将具有某类具有共同性质的事物放在一起，构成一个集合，再定义这个集合中的元素的联系，即法则，这样建立起一个代数系统。这个系统可以很简单，也可以很复杂。如，一个苹果加上两个苹果等于三个苹果，两个苹果加上一个苹果等于三个苹果。转化为代数语言就是：1+2=3,2+1=3，从而1+2=2+1。通过定义以苹果为元素的集合的数量法则，我们就能认识清楚苹果数量的性质。当我们认识了苹果的数量关系后，我们就会自然想认识其大小关系，或其他关系。经过一系列的认识活动，我们就能弄清苹果的基本特征。但，认识活动不会停止，我们为了进一步认识苹果，我们会使用一些先进的科技，如化学方法，物理技术，认识苹果的成分，再将其成分代数化，就能研究其成分之间的相互关系。从这里能看出，认识事物的过程是分阶段的，且认识事物的活动是无止境的；而代数在这个认识活动中起着抽象认识和升华认识的作用。有了以上的认识，我将进一步展示一些应用代数思维的认识过程和生活现象。

中国古代劳动人民将世界万物分为金、木、水、火、土五大类，其中木生火、火生土、土生金、金生水、水生木、木克土、土克水、水克火、火克金、金克木。这是形而上学的唯物主义。在这里，我仅讨论其哲学上的认识论，即认识事物的逻辑思维。事物的本质属性不仅只有金、木、水、火、土五大类，它们具有许许多多的属性，那是无限的，或是可数，或是不可数的。从而我们能看到古代劳动人民认识事物是存在局限的。但我们不能就此完全否定他们的认识成果，因为他们的认识过程是非常值得我们借鉴的。认识事物的过程是分阶段的，且认识事物的活动是无止境的。祖辈们为我们开创了有限的认识，我们应该运用已有的知识，更进一步认识事物。现在我尝试将金、木、水、火、土进一步抽象成集合中的元素，其构成一个集合A={a，b，c，d，e，}，其中a→金、b→木、c→水、d→火、e→土。定义集合A上的运算法则(A,*)：

* a b c d e

a a a c d a

b

a b b d b c

c b c c e d

d d c d

e e a b e e e

即a*a=a ，a*b=a ，a*c=c ，……这样定义的运算法则是与“木生火、火生土、土生金、金生水、水生木、木克土、土克水、水克火、火克金、金克木”法则是一致的。经过这一简单的抽象转化，我们发现，假设事物的基本属性仅为五类，那么我们就能清晰认识事物之间的相互作用了。假设事物的本质属性是有限的，则建立集合},,{21n a a a A 和A 的代数结构，这样能同样认识事物之间的相互联系。假设事物的本质属性是无穷的，此时建立起相应的代数结构就困难多了，但一旦建起将大大帮助人们认识世界。

认识世界，我们除了认识世界物质的属性，还关注事物之间的联系。如，早上起床，我们是首先穿袜子再穿鞋。这是一件很简单的事情，但当将其抽象后，我们发现这是一个关于顺序的代数系统，只是这个系统很简单而已。关于序的系统是一个常见的代数系统。如，排队，候车，安排日程，……这些都是关于序的代数系统。换句话说，以时间作为变量的的日常生活过程都可以抽象成关于序的代数系统。当我们想认识这些过程时，根据其元素之间的相互制约的关系，确定其运行法则，就能轻松解决问题。通过这里我们也很认识到生活在人的世界里，就应该遵守人类生存的法则。

在认识世界的过程中，认识事物的属性和联系是两个重要的方面。事物的属性和联系，大部分是一些抽象的概念。于是，我们要明确，研究抽象的概念时，我们的理想目标是什么。那就是对所有的物质的属性与联系作同构分类。这在事实上则意味着寻找两个物质属性与联系上的一一对应关系。换句话说，当我们能清楚认识某样事物的属性与联系后，我们就能通过这类事物去认识其他事物的属性与联系，而其中的桥梁是这两类事物的结构是相对应的。为了更好地说明这个观点，我们以“对称现象”作为例子进一步讨论。自然界和人类社会中都充满了对称的现象。叶子可以千奇百怪的，但叶子本身就是对称的；花儿可以是各种各样的，但它们本身就是完美的对称；动物也可以是截然不同的，但它们本身就是