第6章 静力学与动力学
机器人学_第六讲 静力学与动力学
J
l1 sin1 l2 sin(1 2 )
l1
cos1
l2
cos(1
2
)
l2 sin(1 2 )
l2
cos(1
2
)
JT
l1 sin1 l2 sin(1 2 )
l2 sin(1 2 )
l1 cos1 l2 cos(1 2 )
l2 cos(1 2 )
J T (q)F
Y0
l1 sin1 l2 sin(1 2 )
1 90 2 90
1 l1Fx l2Fy 2 l2Fy
-90
l1 τ2
l2
Y0
τ1
90
X0
Fy F Fx
第六讲 2 动力学分析
机器人动力学是研究机器人的运动和作用力之间的关系。
机器人动力学的用途：
/projects/leglab/ robots/robots.html
相应满足静力平衡条件的关节驱动力矩
J T (q)F
2，已知关节驱动力，确定机器人手部对外界环境的作用力或
负荷的质量。
F J T (q)1
第六讲 1 静力学分析-机器人的静力计算
例，下图所示的二自由度平面关节机器人，已知手部端点力
F=[Fx,Fy]T,求相应于端点力F的关节力矩（忽略关节摩擦）。
m2 gl1(1 c1) m2 gp2 (1 c12 )
Ep Epi ,i 1,2
第六讲
2 动力学分析- 二自由度平面关节机器人的动力学方程
Y0
X0
l1
p1
θ1
m1
l2
m2
θ2
p2
5 系统动力学方程
L Ek Ep
Fi
6第六章伯努利方程及其应用
0 ，质量力有势(3) f U ，兰姆方程为： 假设流动为定常(2) t
左边是标量场的梯度，标量梯度在某一方向的 投影，等于标量在该方向的方向导数。等式反 映了四个向量的平衡关系，他们投影到某一方 向仍然是平衡的。在流场中做任意曲线L，将上式在曲线的微元弧线 (切线)上投影，有： V2 1 p U ( ) (V )l l 2 l l
第一节 伯努利定理
在流体静力学中，我们曾引入过压力函数的概念，现在在推导伯 努利方程之前，我们先对压力函数的性质在作进一步的分析。
一、压力函数分析
在流体静力学中，对于密度仅是压力 的函数的正压流体，引入了压力函数：
我们考察流场中的任意一条曲线L，规定线上的某点o为原点，因 此曲线L上的任意一点能用该点到o弧长 l 表示,而dl 表示曲线弧的微 元长度。显然，在曲线L上，密度和压力是弧长 l 的函数，并且在不 同的曲线L上，其函数也是不同的，这样速度和压力就可表示为：
第二节
伯努利方程的应用
在应用伯努利方程时，要注意它的应用条件，在确认求解问题符 合方程的应用条件后，关键就是要正确的选取计算点或计算截面，即 公式中的的①、②位置，选取的一般原则：１、包含未知数的截面； ２、包含已知数最多的截面。必要时，伯努利方程可以与连续方程联 立，以求解两个未知数。
一、容器小孔出流问题
常见的正压场有：
1、不可压缩流场：
2、完全气体等温流场：
3、完全气体的绝热等熵流场 ：
在现实问题中最常见的是第一种和第三种流场。比如对于液体，一般 就可以视为不可压缩流场。对于气体，当流速较低时，今后会讨论到， 也可以视为不可压缩流场；而当流速较高时，由于其导热系数小，又 可以视为绝热流场。
动力学与静力学的比较分析
轨道交通系 统
优化列车行驶速 度，增强运输效
率
飞行器设计
预测飞行器飞行 轨迹，提高飞行
效率
静力学在工程中的应用
建筑物结构 设计
确保建筑物稳定 性和安全性
机械设计
优化机械结构设 计，提高工作效
率
桥梁支撑结 构分析
分析桥梁结构应 力，延长使用寿
命
工程实例分享
通过分享具体工程实 例，展示动力学与静 力学在实际工程项目 中的应用。例如，高 楼建筑结构设计中的 静力学分析可以确保 大楼稳定性，而动力 学分析则可以优化建 筑物的结构设计，实 现更高效的使用。运 动器械设计中的动力 学分析可以提高器械 的运动效率，静力学
动力学与静力学的应用
01 工程
研究机械运动、飞行器设计
02 物理
研究物体受力情况
03 航空航天
设计飞行器结构
动力学与静力学的学习意义
解决实际工程问题
培养工程师能力
通过学习动力学与静力学， 可以更好地理解物体在不 同状态下的受力情况，有 助于解决实际工程问题。
掌握动力学与静力学的知 识，有利于培养工程师的 分析问题、解决问题的能 力。
● 05
第5章 动力学与静力学在工 程中的应用
动力学在工程中的应用
动力学在工程中扮演着至关重要的角色，它涉及 机械运动分析、飞行器设计、轨道交通系统等广 泛领域。通过动力学分析，工程师可以预测物体 的运动轨迹、速度变化等情况，为工程设计提供 重要参考。
动力学在工程中的应用
机械运动分 析
通过分析物体的 运动规律，优化
● 06
第六章 总结与展望
动力学与静力学 的比较分析
在工程学中，动力学 和静力学是两个重要 的力学领域。动力学 研究物体的运动规律 和相互作用力，而静 力学则研究物体的平 衡状态和受力情况。 比较分析二者的特点 和作用有助于更好地 理解力学领域的知识。
理论力学
物体运动的改变除与作用力有关外，还与本身的惯性有关。对于质点，惯性的量度是其质量。对于刚体，除 其总质量外，惯性还与质量在体内的分布状况有关，即与质心位置及惯性矩、惯性积有关。刚体对于三个互相垂 直的坐标轴的各惯性矩及惯性积组成刚体对该坐标系的惯性张量。
理论力学从变分法出发，最早由拉格朗日《分析力学》作为开端，引出拉格朗日力学体系、哈密顿力学体系、 哈密顿-雅克比理论等，是理论物理学的基础学科。哈密顿方法是量子力学中的正则量子化的起点，拉格朗日方法 是量子力学中路径积分量子化的起点。
发展简史
发展简史
力学是最古老的科学之一，它是社会生产和科学实践长期发展的产物。随着古代建筑技术的发展，简单机械 的应用，静力学逐渐发展完善。公元前5—前 4世纪，在中国的《墨经》中已有关于水力学的叙述。古希腊的数 学家阿基米德（公元前 3世纪）提出了杠杆平衡公式（限于平行力）及重心公式，奠定了静力学基础。荷兰学者 S.斯蒂文（16世纪）解决了非平行力情况下的杠杆问题，发现了力的平行四边形法则。他还提出了著名的“黄金 定则”，是虚位移原理的萌芽。这一原理的现代提法是瑞士学者约翰·伯努利于1717年提出的。
理论力学建立科学抽象的力学模型（如质点、刚体等）。静力学和动力学都联系运动的物理原因——力，合 称为动理学。有些文献把kinetics和dynamics看成同义词而混用，两者都可译为动力学，或把其中之一译为运动 力学。此外，把运动学和动力学合并起来，将理论力学分成静力学和动力学两部分。
理论力学依据一些基本概念和反映理想物体运动基本规律的公理、定律作为研究的出发点。例如，静力学可 由五条静力学公理演绎而成；动力学是以牛顿运动定律、万有引力定律为研究基础的。理论力学的另一特点是广 泛采用数学工具，进行数学演绎，从而导出各种以数学形式表达的普遍定理和结论 。
刚体的静力学与动力学
刚体的静力学与动力学刚体是物理学中的重要概念之一，它是指一类在力的作用下没有形变的物体。
刚体的运动可以通过静力学和动力学来描述。
本文将对刚体的静力学和动力学进行探讨。
一、刚体的静力学静力学研究的是物体在力的作用下处于静止状态的力学性质和规律。
对于刚体的静力学分析，我们需要了解以下几个基本概念和定律。
1. 力矩力矩是刚体静力学中的重要概念，它描述了力对刚体产生转动的效应。
力矩等于力乘以作用点到旋转轴的距离，可以用以下公式表示：M = F × d其中，M表示力矩，F表示力的大小，d表示作用点到旋转轴的距离。
2. 杠杆原理杠杆原理是刚体静力学中的基本原理之一，它描述了力矩的平衡条件。
根据杠杆原理，如果一个杠杆系统在平衡状态下，力矩的总和为零：ΣM = 0即所有力矩的代数和等于零。
3. 平衡条件在刚体的静力学中，平衡条件是指物体在力的作用下保持平衡的条件。
根据平衡条件，刚体在平衡状态下，必须满足以下两个条件：(1) 力的合力为零，即ΣF = 0；(2) 力矩的总和为零，即ΣM = 0。
二、刚体的动力学动力学研究的是物体在力的作用下的运动学性质和规律。
对于刚体的动力学分析，我们需要了解以下几个基本概念和定律。
1. 动量和角动量动量是刚体动力学中的重要概念，它描述了物体的运动状态。
对于一个刚体，其动量等于质量乘以速度，可以用以下公式表示：p = mv其中，p表示动量，m表示质量，v表示速度。
角动量是刚体动力学中与转动相关的物理量，对于一个刚体，其角动量等于惯性矩乘以角速度，可以用以下公式表示：L = Iω其中，L表示角动量，I表示惯性矩，ω表示角速度。
2. 牛顿第二定律牛顿第二定律是刚体动力学的基本定律之一，它描述了力对物体的加速度产生的影响。
对于一个刚体，其受力等于质量乘以加速度，可以用以下公式表示：F = ma其中，F表示力，m表示质量，a表示加速度。
3. 动力学定律刚体的动力学定律包括动量定理和角动量定理。
工程力学(动力学、静力学、运动学)
r LO
=
r MO
(mivri
)
=
rri × mivri
LOz = J zω
二、动力学普遍定理
1、物理量
（4）转动惯量 ① 定义
∑ J zz = rii22mii
ii
Jz
=
mρ
2 z
回转半径
z
ri
vi
mi
ω
mO
y
x
二、动力学普遍定理
1、物理量
② 简单形体的转动惯量
● 均质细圆环 JCC = mr 22
[例 题]
两重物的质量均为m，分别系在两软绳上。此两绳又分别绕在半 径各为r与2r并固结一起的两圆轮上。两圆轮构成之鼓轮的的质量亦
为m，对轴O的回转半径为ρ0。两重物中一铅垂悬挂，一置于光滑平 面上。当系统在左重物重力作用下运动时，鼓轮的角加速度α为：
（A）
α
=
5r
2
2
g+rρ02（B）
α = 2gr 3r 2 + ρ02
置作用于物块的约束力FN大小的关系为：
y
（A）FN1 = FN0 = FN2 = W （B） FN1 > FN0 = W > FN2 （C） FN1 < FN0 = W < FN2
A
a1
0 a
2
（D） FN1 = FN2 < FN0 = W
答案：C
一、质点动力学
[例 题]
r F
已知：以上抛的小球质量为m，受空气阻力
牛顿第二定律（力与加速度之间的关系定律）
∑ m ar =
r Fii
ii
牛顿第三定律（作用与反作用定律）
理论力学知识点总结
理论力学知识点总结理论力学是一门研究物体机械运动一般规律的学科，它是许多工程技术领域的基础。
以下是对理论力学一些重要知识点的总结。
一、静力学静力学主要研究物体在力系作用下的平衡问题。
1、力的基本概念力是物体之间的相互作用，具有大小、方向和作用点三个要素。
力的表示方法包括矢量表示和解析表示。
2、约束与约束力约束是限制物体运动的条件，约束力则是约束对物体的作用力。
常见的约束类型有柔索约束、光滑接触面约束、光滑圆柱铰链约束等，每种约束对应的约束力具有特定的方向和特点。
3、受力分析对物体进行受力分析是解决静力学问题的关键步骤。
要明确研究对象，画出其隔离体，逐个分析作用在物体上的力，包括主动力和约束力，并画出受力图。
4、力系的简化力系可以通过平移和合成等方法进行简化，得到一个合力或合力偶。
力的平移定理指出，力可以平移到另一点，但必须附加一个力偶。
5、平面力系的平衡方程平面任意力系的平衡方程有三个：∑Fx ＝ 0，∑Fy ＝ 0，∑Mo(F) ＝0。
对于平面汇交力系和平面力偶系，平衡方程分别有所简化。
6、空间力系的平衡方程空间力系的平衡方程数量增多，需要考虑三个方向的力平衡和三个方向的力矩平衡。
二、运动学运动学研究物体的运动而不考虑引起运动的力。
1、点的运动学描述点的运动可以使用矢量法、直角坐标法和自然法。
在自然法中，引入了弧坐标、切向加速度和法向加速度的概念。
2、刚体的基本运动刚体的基本运动包括平动和定轴转动。
平动时，刚体上各点的运动轨迹相同、速度和加速度相同；定轴转动时，刚体上各点的角速度和角加速度相同。
3、点的合成运动点的合成运动是指一个动点相对于两个不同参考系的运动。
通过选取合适的动点、动系和定系，运用速度合成定理和加速度合成定理来求解问题。
4、刚体的平面运动刚体平面运动可以分解为随基点的平动和绕基点的转动。
平面运动刚体上各点的速度可以用基点法、速度投影定理和瞬心法求解，加速度则可以用基点法求解。
三、动力学动力学研究物体的运动与作用力之间的关系。
理论力学公式集锦
第一章 静力学力对点之矩 力对轴之矩 力偶对空间任意点O 主矢 主矩 平行力系中心物体的重心连续物体,比重为γ =γ (x ,y ,z )力系平衡的充分必要条件:R = ∑F i = 0 M O = ∑m O (F i ) =0 第二章 运动学基础 1、自然法(弧坐标法)运动方程 速度 加速度2、 极坐标法运动方程 速度 加速度角速度矢量、角加速度矢量定轴转动刚体内点的速度与加速度泊松(Poisson)公式()F r F m ⨯=O ()kF r F ⋅⨯=)(xy xy z m ()()()F m F m F F m '+='o o o ,()F r F r r ⨯=⨯-=B A ∑=i F R ()∑=i O O F m M 0≡⋅R M O WW x x iiC ∑∆=WW y y iiC∑∆=WW z z iiC∑∆=⎰⎰=vvC dvxdvx γγ⎰⎰=vvC dvydvy γγ⎰⎰=vvC dvzdvz γγ)(t s s =d d d d d d r rv s s t t s ==⋅=τn τn τa n a a v s +=+=τρ2()t ρρ=()t ϕϕ=()ϕρρϕρρρe e e dtd dt r d v+===()()22a e eρϕρρϕρϕρϕ=-++d d ωk k tϕω=＝k k ωεεϕ===22d d d d t t 22ωεωτR Rv a R R v a n ===== b ωb⨯=第三章 刚体复杂运动运动学 基点法速度投影定理 加速度分析第四章 点的合成运动 矢量的绝对导数与相对导数 速度合成定理 加速度合成定理第五章 质点动力学质点动力学基本方程(牛顿第二定律)非惯性系的动力学基本方程 相对静止与相对平衡 相对运动动能定理第六章 动力学普遍定理 质点系的动量质点系的动量定理 质心运动定理变质量质点的动力学基本方程 动量矩 定轴转动刚体 平面运动刚体质点的动量矩定理 r ωv v '⨯+=A B BAA v v +=βαcos cosB A v v =()r ωωr εa a '⨯⨯+'⨯+=A M nMAMA A M a a a a ++=τA dtAd dt A d ⨯+=ω~er v v v+=a a a a r e K=++2K ra ωv =⨯r e km =++a F Q Q 0=+e Q F 0=++k e Q Q F QeF r r A A T T +=-0r Q r F '⋅+'⋅=d d dT e r Ci i m m v v K ==∑()e i r d dm mdt dtv F v ()o cr o c m L L L v ()z z i i L M m v =∑z I ω∑=2i i z r m I )(c c c c c z o x y yx m I L L -+==ωc c c o v m r v m L⨯=)(()()o o dm m dt=⨯+⨯=L v v v r F M F ()()i e z z I M εF ()()e Ar A A e d dtL M M Q =+质点系相对动点的动量矩定理 力的功质点系的动能 平面运动刚体的动能 质点系的动能定理势 能机械能守恒定律第七章 转动惯量与惯量张量 转动惯量转动惯量的平行轴定理2112F r M i iM A d =⋅⎰∑=+=n i ir i c v m mv T 1222121222121ωc c I mv T +=2Md I Ιz z+='2d L MI r m=⎰()⎰⎰ + + = ⋅ = 0M M z y x M M dz F dy F dx F d U r F 22 1 1 U T U T + = +。
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机器人研究所
7
第1节 机器人静力学
1. 连杆的受力和平衡方程
对于转动关节i，除了绕转轴的扭矩外，其余各方向 的力和力矩都有机械构件承受，因此关节力矩应为
i i mi i Z i
对于移动关节，关节力矩为
i i fi i Zi
16:31
机器人研究所
8
第1节 机器人静力学
{0}中表示 0 f3
0 0 f3 3 R 3 f3
c12 0 式中，旋转变换矩阵为 3 R s12
16:31
s12 c12
机器人研究所
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第1节 机器人静力学
1. 连杆的受力和平衡方程
例题1：2自由度平面机器人末端对外施加的作 用力为F3，求各关节驱动力矩。 解：
机器人研究所
10
第1节 机器人静力学
1. 连杆的受力和平衡方程
例题1：2自由度平面机器人末端对外施加的作 用力为F3，求各关节驱动力矩。 解：
1 2 M1 21 R 2 M 2 1 P 1 f1
c2 s2 0
s2 c2 0
0 0 l1 c2 f x s2 f y 0 0 0 s2 f x c2 f y 1 0 0 l2 f y
第1节 机器人静力学
2. 等效力和力雅可比
虚功原理：末端广义力矢量所作的虚功与关节 力矩矢量所作的虚功相等。 虚位移：满足机械系统的几何约束条件的无限 小位移。
关节力矩所作的虚功之和为：
W τ T q 1 q1 2 q2 n qn
16:31
机器人研究所
16:31
机器人研究所
17
第1节 机器人静力学
2. 等效力和力雅可比
τ T q F T J q
τT FT J
τ JT F
上式表明：不考虑关节之间的摩擦力，在外力F 的作用下，操作臂平衡的条件是关节力矩满足 上式。
16:31
机器人研究所
18
第1节 机器人静力学
3. 静力和速度映射的对偶关系
16
第1节 机器人静力学
2. 等效力和力雅可比
末端广义力所作的虚功为：
W F T D f x d x f y d y f z d z mx x my y mz z
根据虚功原理，两部分虚功相等：
τ T q F T D
再由微分运动关系
D J q
写成矩 阵形式
1 l1s2 f l2 y
机器人研究所
12
16:31
第1节 机器人静力学
1. 连杆的受力和平衡方程
例题1：2自由度平面机器人末端对外施加的作 用力为F3，求各关节驱动力矩。 解：将外力在坐标系{3}中的表示 3 f3转换到坐标系
16:31
机器人研究所
25
第1节 机器人静力学
4. 力和力矩的坐标变换
上式两边求转置
A Af BR A A A S p m B0 B R
0 Bf B A B R m
16:31
机器人研究所
26
第1节 机器人静力学
4. 力和力矩的坐标变换
16:31
雅可比矩 阵
机器人研究所
14
第1节 机器人静力学
2. 等效力和力雅可比
作用在机器人操作臂末端的广义力矢量
f F fx m fy fz mx my mz
T
n个关节驱动力或力矩矢量（关节力矩矢量）
τ 1 2
n
T
16:31
机器人研究所
15
如果忽略连杆自身重量，上式可写成
i fi i fi 1 i i i 1 i M M P fi 1 i 1 i i
16:31
机器人研究所
6
第1节 机器人静力学
1. 连杆的受力和平衡方程
将 fi 、 M i 表示在坐标系{i+1}中
i fi i fi 1 i i i 1 i M M P fi 1 i 1 i i
16:31
机器人研究所
22
第1节 机器人静力学
4. 力和力矩的坐标变换
假设6维广义力矢量
f F m
下面推导广义力矢量在不同坐标系中描述的关 系
A
F BF
16:31
机器人研究所
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第1节 机器人静力学
4. 力和力矩的坐标变换
广义力矢量作用下对于坐标系{A}的虚位移(微分 运动矢量) AD，在坐标系{B}内的虚位移为BD， 有如下关系
d R S pT 0 R d T S S δ TR 0 δ
S S T S S T T
{S}传感器坐标系
根据对偶性得出静力的关系
T f SR T T T S p m S0 S R T
第六章 静力学与动力学
第1节 机器人静力学
第2节 机器人动力学
第六章 静力学与动力学
第1节 机器人静力学
第2节 机器人动力学
第1节 机器人静力学
机器人与外界接触会有力和力矩的作用，如灵 巧手抓取物体时；工业机器人搬运货物时。 需要判断各关节的驱动力与末端的作用外力之 间的关系。
16:31
机器人研究所
作力的集合；这时末端操作力完全由操作臂机构本身承 受。
16:31
机器人研究所
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第1节 机器人静力学
3. 静力和速度映射的对偶关系
q V n
J
X V m
速度
X J q q
N J
X 0
RJ
JT
F V m
τ V n
静力
τ J T q F
τ 0
T d RT T δ 0 R S p d T R δ
T
B T AR A D 0 B T A R S B pA0 B D B T AR
B B B R S p A A0 A R A B D D B AR 0
3
第1节 机器人静力学
1. 连杆的受力和平衡方程
机器人是由连杆和关节（低副机构）组成，这 里将机器人的连杆当成刚体； 以其中一个连杆为对象对其进行静力分析，连 杆 i 及其相邻连杆之间的作用力和作用力矩关系
如下图。
16:31
机器人研究所
4
第1节 机器人静力学
1. 连杆的受力和平衡方程
关节i zi
16:31
机器人研究所
24
第1节 机器人静力学
4. 力和力矩的坐标变换
广义力矢量在坐标系 {A}和{B}中分别用A F 和 B F 表示，他们所作的虚功相等
A
F T AD BF T B D
将 BD 带入，
B B B R S p A A0 A R A T B T F F B AR 0
X J q q
τ J T q F
由力雅可比和运动雅可比之间的关系可知操作 臂的静力传递关系和速度传递关系紧密相关。
16:31
机器人研究所
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第1节 机器人静力学
3. 静力和速度映射的对偶关系
τ V n
τ 0
JT
F V m
RJ T
N J T
R( J T ) ：代表操作力能平衡的所有关节力矩矢量的集合； N ( J T ) ：代表不需要任何关节驱动力矩而能承受的所有末端操
RJ T
16:31
N J T
机器人研究所
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第1节 机器人静力学
3. 静力和速度映射的对偶关系
不能由关节运动产生的末端运动方向正是不需关节 力矩平衡的末端操作力的方向。反之，当外力作用
方向沿着末端操作器能够运动的方向时，外力完全
可以由关节力矩来平衡。 运动学和静力学存在对偶性，可以用来阐明运动和 力的传递关系和物理意义。
1 l1s1 l2 s12 τ 2 l2 s12 l1c1 l2c12 0 f3 l2c12
力雅可比与速 度雅可比是转 置的关系！
力雅可比矩阵 T J
l1 sin 1 l2 sin 1 2 l2 sin 1 2 J l cos l cos l cos 1 2 1 2 2 1 2 1
例题2：腕力传感器测出
手腕上的六维广义力SF， 计算工具顶端的作用力TF
{S}传感器坐标系
解：令坐标系{T}到{S}的
齐次变换矩阵为
T T SR ST 0 T
PS 0 1
{T}工具坐标系
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机器人研究所
27
第1节 机器人静力学
4. 力和力矩的坐标变换
微分运动的传递关系为
16:31
0 0 l1s2 f x l1c2 f y l2 f y
机器人研究所
11
第1节 机器人静力学
1. 连杆的受力和平衡方程
例题1：2自由度平面机器人末端对外施加的作 用力为F3，求各关节驱动力矩。 解：
1 l1s2 f x l1c2 f y l2 f y 2 l2 f y
16:31
i 1 i
P ：表示坐标系{i+1}的原点相对于坐标系{i}的表示。
机器人研究所
5
第1节 机器人静力学
1. 连杆的受力和平衡方程