第6章 静力学与动力学
机器人学_第六讲 静力学与动力学
J
l1 sin1 l2 sin(1 2 )
l1
cos1
l2
cos(1
2
)
l2 sin(1 2 )
l2
cos(1
2
)
JT
l1 sin1 l2 sin(1 2 )
l2 sin(1 2 )
l1 cos1 l2 cos(1 2 )
l2 cos(1 2 )
J T (q)F
Y0
l1 sin1 l2 sin(1 2 )
1 90 2 90
1 l1Fx l2Fy 2 l2Fy
-90
l1 τ2
l2
Y0
τ1
90
X0
Fy F Fx
第六讲 2 动力学分析
机器人动力学是研究机器人的运动和作用力之间的关系。
机器人动力学的用途：
/projects/leglab/ robots/robots.html
相应满足静力平衡条件的关节驱动力矩
J T (q)F
2，已知关节驱动力，确定机器人手部对外界环境的作用力或
负荷的质量。
F J T (q)1
第六讲 1 静力学分析-机器人的静力计算
例，下图所示的二自由度平面关节机器人，已知手部端点力
F=[Fx,Fy]T,求相应于端点力F的关节力矩（忽略关节摩擦）。
m2 gl1(1 c1) m2 gp2 (1 c12 )
Ep Epi ,i 1,2
第六讲
2 动力学分析- 二自由度平面关节机器人的动力学方程
Y0
X0
l1
p1
θ1
m1
l2
m2
θ2
p2
5 系统动力学方程
L Ek Ep
Fi
6第六章伯努利方程及其应用
0 ，质量力有势(3) f U ，兰姆方程为： 假设流动为定常(2) t
左边是标量场的梯度，标量梯度在某一方向的 投影，等于标量在该方向的方向导数。等式反 映了四个向量的平衡关系，他们投影到某一方 向仍然是平衡的。在流场中做任意曲线L，将上式在曲线的微元弧线 (切线)上投影，有： V2 1 p U ( ) (V )l l 2 l l
第一节 伯努利定理
在流体静力学中，我们曾引入过压力函数的概念，现在在推导伯 努利方程之前，我们先对压力函数的性质在作进一步的分析。
一、压力函数分析
在流体静力学中，对于密度仅是压力 的函数的正压流体，引入了压力函数：
我们考察流场中的任意一条曲线L，规定线上的某点o为原点，因 此曲线L上的任意一点能用该点到o弧长 l 表示,而dl 表示曲线弧的微 元长度。显然，在曲线L上，密度和压力是弧长 l 的函数，并且在不 同的曲线L上，其函数也是不同的，这样速度和压力就可表示为：
第二节
伯努利方程的应用
在应用伯努利方程时，要注意它的应用条件，在确认求解问题符 合方程的应用条件后，关键就是要正确的选取计算点或计算截面，即 公式中的的①、②位置，选取的一般原则：１、包含未知数的截面； ２、包含已知数最多的截面。必要时，伯努利方程可以与连续方程联 立，以求解两个未知数。
一、容器小孔出流问题
常见的正压场有：
1、不可压缩流场：
2、完全气体等温流场：
3、完全气体的绝热等熵流场 ：
在现实问题中最常见的是第一种和第三种流场。比如对于液体，一般 就可以视为不可压缩流场。对于气体，当流速较低时，今后会讨论到， 也可以视为不可压缩流场；而当流速较高时，由于其导热系数小，又 可以视为绝热流场。
动力学与静力学的比较分析
轨道交通系 统
优化列车行驶速 度，增强运输效
率
飞行器设计
预测飞行器飞行 轨迹，提高飞行
效率
静力学在工程中的应用
建筑物结构 设计
确保建筑物稳定 性和安全性
机械设计
优化机械结构设 计，提高工作效
率
桥梁支撑结 构分析
分析桥梁结构应 力，延长使用寿
命
工程实例分享
通过分享具体工程实 例，展示动力学与静 力学在实际工程项目 中的应用。例如，高 楼建筑结构设计中的 静力学分析可以确保 大楼稳定性，而动力 学分析则可以优化建 筑物的结构设计，实 现更高效的使用。运 动器械设计中的动力 学分析可以提高器械 的运动效率，静力学
动力学与静力学的应用
01 工程
研究机械运动、飞行器设计
02 物理
研究物体受力情况
03 航空航天
设计飞行器结构
动力学与静力学的学习意义
解决实际工程问题
培养工程师能力
通过学习动力学与静力学， 可以更好地理解物体在不 同状态下的受力情况，有 助于解决实际工程问题。
掌握动力学与静力学的知 识，有利于培养工程师的 分析问题、解决问题的能 力。
● 05
第5章 动力学与静力学在工 程中的应用
动力学在工程中的应用
动力学在工程中扮演着至关重要的角色，它涉及 机械运动分析、飞行器设计、轨道交通系统等广 泛领域。通过动力学分析，工程师可以预测物体 的运动轨迹、速度变化等情况，为工程设计提供 重要参考。
动力学在工程中的应用
机械运动分 析
通过分析物体的 运动规律，优化
● 06
第六章 总结与展望
动力学与静力学 的比较分析
在工程学中，动力学 和静力学是两个重要 的力学领域。动力学 研究物体的运动规律 和相互作用力，而静 力学则研究物体的平 衡状态和受力情况。 比较分析二者的特点 和作用有助于更好地 理解力学领域的知识。
理论力学
物体运动的改变除与作用力有关外，还与本身的惯性有关。对于质点，惯性的量度是其质量。对于刚体，除 其总质量外，惯性还与质量在体内的分布状况有关，即与质心位置及惯性矩、惯性积有关。刚体对于三个互相垂 直的坐标轴的各惯性矩及惯性积组成刚体对该坐标系的惯性张量。
理论力学从变分法出发，最早由拉格朗日《分析力学》作为开端，引出拉格朗日力学体系、哈密顿力学体系、 哈密顿-雅克比理论等，是理论物理学的基础学科。哈密顿方法是量子力学中的正则量子化的起点，拉格朗日方法 是量子力学中路径积分量子化的起点。
发展简史
发展简史
力学是最古老的科学之一，它是社会生产和科学实践长期发展的产物。随着古代建筑技术的发展，简单机械 的应用，静力学逐渐发展完善。公元前5—前 4世纪，在中国的《墨经》中已有关于水力学的叙述。古希腊的数 学家阿基米德（公元前 3世纪）提出了杠杆平衡公式（限于平行力）及重心公式，奠定了静力学基础。荷兰学者 S.斯蒂文（16世纪）解决了非平行力情况下的杠杆问题，发现了力的平行四边形法则。他还提出了著名的“黄金 定则”，是虚位移原理的萌芽。这一原理的现代提法是瑞士学者约翰·伯努利于1717年提出的。
理论力学建立科学抽象的力学模型（如质点、刚体等）。静力学和动力学都联系运动的物理原因——力，合 称为动理学。有些文献把kinetics和dynamics看成同义词而混用，两者都可译为动力学，或把其中之一译为运动 力学。此外，把运动学和动力学合并起来，将理论力学分成静力学和动力学两部分。
理论力学依据一些基本概念和反映理想物体运动基本规律的公理、定律作为研究的出发点。例如，静力学可 由五条静力学公理演绎而成；动力学是以牛顿运动定律、万有引力定律为研究基础的。理论力学的另一特点是广 泛采用数学工具，进行数学演绎，从而导出各种以数学形式表达的普遍定理和结论 。
刚体的静力学与动力学
刚体的静力学与动力学刚体是物理学中的重要概念之一，它是指一类在力的作用下没有形变的物体。
刚体的运动可以通过静力学和动力学来描述。
本文将对刚体的静力学和动力学进行探讨。
一、刚体的静力学静力学研究的是物体在力的作用下处于静止状态的力学性质和规律。
对于刚体的静力学分析，我们需要了解以下几个基本概念和定律。
1. 力矩力矩是刚体静力学中的重要概念，它描述了力对刚体产生转动的效应。
力矩等于力乘以作用点到旋转轴的距离，可以用以下公式表示：M = F × d其中，M表示力矩，F表示力的大小，d表示作用点到旋转轴的距离。
2. 杠杆原理杠杆原理是刚体静力学中的基本原理之一，它描述了力矩的平衡条件。
根据杠杆原理，如果一个杠杆系统在平衡状态下，力矩的总和为零：ΣM = 0即所有力矩的代数和等于零。
3. 平衡条件在刚体的静力学中，平衡条件是指物体在力的作用下保持平衡的条件。
根据平衡条件，刚体在平衡状态下，必须满足以下两个条件：(1) 力的合力为零，即ΣF = 0；(2) 力矩的总和为零，即ΣM = 0。
二、刚体的动力学动力学研究的是物体在力的作用下的运动学性质和规律。
对于刚体的动力学分析，我们需要了解以下几个基本概念和定律。
1. 动量和角动量动量是刚体动力学中的重要概念，它描述了物体的运动状态。
对于一个刚体，其动量等于质量乘以速度，可以用以下公式表示：p = mv其中，p表示动量，m表示质量，v表示速度。
角动量是刚体动力学中与转动相关的物理量，对于一个刚体，其角动量等于惯性矩乘以角速度，可以用以下公式表示：L = Iω其中，L表示角动量，I表示惯性矩，ω表示角速度。
2. 牛顿第二定律牛顿第二定律是刚体动力学的基本定律之一，它描述了力对物体的加速度产生的影响。
对于一个刚体，其受力等于质量乘以加速度，可以用以下公式表示：F = ma其中，F表示力，m表示质量，a表示加速度。
3. 动力学定律刚体的动力学定律包括动量定理和角动量定理。
工程力学(动力学、静力学、运动学)
r LO
=
r MO
(mivri
)
=
rri × mivri
LOz = J zω
二、动力学普遍定理
1、物理量
（4）转动惯量 ① 定义
∑ J zz = rii22mii
ii
Jz
=
mρ
2 z
回转半径
z
ri
vi
mi
ω
mO
y
x
二、动力学普遍定理
1、物理量
② 简单形体的转动惯量
● 均质细圆环 JCC = mr 22
[例 题]
两重物的质量均为m，分别系在两软绳上。此两绳又分别绕在半 径各为r与2r并固结一起的两圆轮上。两圆轮构成之鼓轮的的质量亦
为m，对轴O的回转半径为ρ0。两重物中一铅垂悬挂，一置于光滑平 面上。当系统在左重物重力作用下运动时，鼓轮的角加速度α为：
（A）
α
=
5r
2
2
g+rρ02（B）
α = 2gr 3r 2 + ρ02
置作用于物块的约束力FN大小的关系为：
y
（A）FN1 = FN0 = FN2 = W （B） FN1 > FN0 = W > FN2 （C） FN1 < FN0 = W < FN2
A
a1
0 a
2
（D） FN1 = FN2 < FN0 = W
答案：C
一、质点动力学
[例 题]
r F
已知：以上抛的小球质量为m，受空气阻力
牛顿第二定律（力与加速度之间的关系定律）
∑ m ar =
r Fii
ii
牛顿第三定律（作用与反作用定律）
理论力学知识点总结
理论力学知识点总结理论力学是一门研究物体机械运动一般规律的学科，它是许多工程技术领域的基础。
以下是对理论力学一些重要知识点的总结。
一、静力学静力学主要研究物体在力系作用下的平衡问题。
1、力的基本概念力是物体之间的相互作用，具有大小、方向和作用点三个要素。
力的表示方法包括矢量表示和解析表示。
2、约束与约束力约束是限制物体运动的条件，约束力则是约束对物体的作用力。
常见的约束类型有柔索约束、光滑接触面约束、光滑圆柱铰链约束等，每种约束对应的约束力具有特定的方向和特点。
3、受力分析对物体进行受力分析是解决静力学问题的关键步骤。
要明确研究对象，画出其隔离体，逐个分析作用在物体上的力，包括主动力和约束力，并画出受力图。
4、力系的简化力系可以通过平移和合成等方法进行简化，得到一个合力或合力偶。
力的平移定理指出，力可以平移到另一点，但必须附加一个力偶。
5、平面力系的平衡方程平面任意力系的平衡方程有三个：∑Fx ＝ 0，∑Fy ＝ 0，∑Mo(F) ＝0。
对于平面汇交力系和平面力偶系，平衡方程分别有所简化。
6、空间力系的平衡方程空间力系的平衡方程数量增多，需要考虑三个方向的力平衡和三个方向的力矩平衡。
二、运动学运动学研究物体的运动而不考虑引起运动的力。
1、点的运动学描述点的运动可以使用矢量法、直角坐标法和自然法。
在自然法中，引入了弧坐标、切向加速度和法向加速度的概念。
2、刚体的基本运动刚体的基本运动包括平动和定轴转动。
平动时，刚体上各点的运动轨迹相同、速度和加速度相同；定轴转动时，刚体上各点的角速度和角加速度相同。
3、点的合成运动点的合成运动是指一个动点相对于两个不同参考系的运动。
通过选取合适的动点、动系和定系，运用速度合成定理和加速度合成定理来求解问题。
4、刚体的平面运动刚体平面运动可以分解为随基点的平动和绕基点的转动。
平面运动刚体上各点的速度可以用基点法、速度投影定理和瞬心法求解，加速度则可以用基点法求解。
三、动力学动力学研究物体的运动与作用力之间的关系。
理论力学公式集锦
第一章 静力学力对点之矩 力对轴之矩 力偶对空间任意点O 主矢 主矩 平行力系中心物体的重心连续物体,比重为γ =γ (x ,y ,z )力系平衡的充分必要条件:R = ∑F i = 0 M O = ∑m O (F i ) =0 第二章 运动学基础 1、自然法(弧坐标法)运动方程 速度 加速度2、 极坐标法运动方程 速度 加速度角速度矢量、角加速度矢量定轴转动刚体内点的速度与加速度泊松(Poisson)公式()F r F m ⨯=O ()kF r F ⋅⨯=)(xy xy z m ()()()F m F m F F m '+='o o o ,()F r F r r ⨯=⨯-=B A ∑=i F R ()∑=i O O F m M 0≡⋅R M O WW x x iiC ∑∆=WW y y iiC∑∆=WW z z iiC∑∆=⎰⎰=vvC dvxdvx γγ⎰⎰=vvC dvydvy γγ⎰⎰=vvC dvzdvz γγ)(t s s =d d d d d d r rv s s t t s ==⋅=τn τn τa n a a v s +=+=τρ2()t ρρ=()t ϕϕ=()ϕρρϕρρρe e e dtd dt r d v+===()()22a e eρϕρρϕρϕρϕ=-++d d ωk k tϕω=＝k k ωεεϕ===22d d d d t t 22ωεωτR Rv a R R v a n ===== b ωb⨯=第三章 刚体复杂运动运动学 基点法速度投影定理 加速度分析第四章 点的合成运动 矢量的绝对导数与相对导数 速度合成定理 加速度合成定理第五章 质点动力学质点动力学基本方程(牛顿第二定律)非惯性系的动力学基本方程 相对静止与相对平衡 相对运动动能定理第六章 动力学普遍定理 质点系的动量质点系的动量定理 质心运动定理变质量质点的动力学基本方程 动量矩 定轴转动刚体 平面运动刚体质点的动量矩定理 r ωv v '⨯+=A B BAA v v +=βαcos cosB A v v =()r ωωr εa a '⨯⨯+'⨯+=A M nMAMA A M a a a a ++=τA dtAd dt A d ⨯+=ω~er v v v+=a a a a r e K=++2K ra ωv =⨯r e km =++a F Q Q 0=+e Q F 0=++k e Q Q F QeF r r A A T T +=-0r Q r F '⋅+'⋅=d d dT e r Ci i m m v v K ==∑()e i r d dm mdt dtv F v ()o cr o c m L L L v ()z z i i L M m v =∑z I ω∑=2i i z r m I )(c c c c c z o x y yx m I L L -+==ωc c c o v m r v m L⨯=)(()()o o dm m dt=⨯+⨯=L v v v r F M F ()()i e z z I M εF ()()e Ar A A e d dtL M M Q =+质点系相对动点的动量矩定理 力的功质点系的动能 平面运动刚体的动能 质点系的动能定理势 能机械能守恒定律第七章 转动惯量与惯量张量 转动惯量转动惯量的平行轴定理2112F r M i iM A d =⋅⎰∑=+=n i ir i c v m mv T 1222121222121ωc c I mv T +=2Md I Ιz z+='2d L MI r m=⎰()⎰⎰ + + = ⋅ = 0M M z y x M M dz F dy F dx F d U r F 22 1 1 U T U T + = +。
理论力学01静力学基础
一、理论力学的研究内容 理论力学可分为下列三大部分： 静力学（第一章～第六章）
主要研究物体的平衡规律 运动学（第七章～第十章）
主要从几何的角度研究物体的机械运动 动力学（第十一章～第十五章）
主要研究物体的机械运动与作用力之间的关系
二、静力学的主要内容
1）物体的受力分析 分析物体的受力情况，并作出表明其受力情况的简图 ◆ 受力分析是解决力学问题的基础
第四节 物体的受力分析
一、受力分析的一般步骤 1）确定研究对象 2）取分离体 解除研究对象所受的全部约束，将其从周围物体中分离出来。
3）画主动力 在研究对象的分离体简图上画出主动力
4）画约束力 在研究对象的分离体简图上画出约束力
[例1] 重力为 P 的球体，在 A 处用绳索系在墙上，试画出球体的 受力图。
工程中的约束通常可分为下列五大类：
一、柔性约束·柔索
约束力： 一个拉力
◆ 柔性约束属于单面约束
二、光滑接触面约束
P
约束力： 一个法向力，指向被约束物体
◆ 光滑接触面约束属于单面约束 P
FT
P P
FN
三、光滑铰链约束 特性：只限制物体间的相对移动，而不限制物体间的相对转动。 1. 圆柱铰链（铰链） 圆柱铰链简称铰链，它是由圆柱销钉插入两构件的圆孔而构成。
O
FD D
P1 H
O C D P1 H
FH
P2 FAy
FH
A
FAx
E O
H D P1
A
（三）研究板 AB 取分离体 画主动力 画约束力
B
C P2
B E
O H
O
P1 H
FH
FD D
C D P1 P2
运动学、静力学、动力学概念
运动学、静力学、动力学概念运动学运动学是理论力学的一个分支学科，它是运用几何学的方法来研究物体的运动，通常不考虑力和质量等因素的影响。
至于物体的运动和力的关系，则是动力学的研究课题。
用几何方法描述物体的运动必须确定一个参照系，因此，单纯从运动学的观点看，对任何运动的描述都是相对的。
这里，运动的相对性是指经典力学范畴内的，即在不同的参照系中时间和空间的量度相同，和参照系的运动无关。
不过当物体的速度接近光速时，时间和空间的量度就同参照系有关了。
这里的“运动”指机械运动，即物体位置的改变；所谓“从几何的角度”是指不涉及物体本身的物理性质(如质量等)和加在物体上的力。
运动学主要研究点和刚体的运动规律。
点是指没有大小和质量、在空间占据一定位置的几何点。
刚体是没有质量、不变形、但有一定形状、占据空间一定位置的形体。
运动学包括点的运动学和刚体运动学两部分。
掌握了这两类运动，才可能进一步研究变形体(弹性体、流体等)的运动。
在变形体研究中，须把物体中微团的刚性位移和应变分开。
点的运动学研究点的运动方程、轨迹、位移、速度、加速度等运动特征，这些都随所选的参考系不同而异；而刚体运动学还要研究刚体本身的转动过程、角速度、角加速度等更复杂些的运动特征。
刚体运动按运动的特性又可分为：刚体的平动、刚体定轴转动、刚体平面运动、刚体定点转动和刚体一般运动。
运动学为动力学、机械原理(机械学)提供理论基础，也包含有自然科学和工程技术很多学科所必需的基本知识。
运动学的发展历史运动学在发展的初期，从属于动力学，随着动力学而发展。
古代，人们通过对地面物体和天体运动的观察，逐渐形成了物体在空间中位置的变化和时间的概念。
中国战国时期在《墨经》中已有关于运动和时间先后的描述。
亚里士多德在《物理学》中讨论了落体运动和圆运动，已有了速度的概念。
伽利略发现了等加速直线运动中，距离与时间二次方成正比的规律，建立了加速度的概念。
在对弹射体运动的研究中，他得出抛物线轨迹，并建立了运动(或速度)合成的平行四边形法则，伽利略为点的运动学奠定了基础。
结构动力学问题与静力学问题的差别
结构动力学问题与静力学问题的差别结构的动力学问题与静力学问题差别很大，主要体现在以下几个方面：1. 动力学问题具有时变性。
由于荷载和结构响应都随着时间而变化，动力学问题不可能同静力学问题那样只有一个单一的解。
我们需要求解出结构整个过程中随着时间不断变化的连续解。
因此，动力学问题显然比将力学问题更加复杂、耗时。
2. 动力学问题需要考虑惯性力当某结构仅受静力荷载时，结构的响应仅与荷载的大小和位置有关，但如果结构受到的是动力荷载，结构响应不仅与荷载有关，还和惯性力有关。
这惯性力是结构动力学问题中最重要的特征。
3. 结构简化关于结构的简化，虽然在原则上结构的静力计算简图应和动力计算简图一致，但是由于动力学问题的复杂性，往往会基于静力计算简图进一步简化。
下面，我们以一个结构布置及荷载分布沿纵向比较均匀的单层平面框架为例，进行结构简化。
由于框架纵向分布均匀，可取其中的一个开间作为计算单元，计算简图如图1所示。
如忽略杆件的轴向变形，该结构体系有三个参数为独立未知量，即A点和B点的转角θA和θB，A点或B点的侧移x。
在任一时刻决定结构体系几何位置及变形状态的独立参数的数目为该结构体系的自由度。
因此，该结构的自由度为三。
上述的简化方法和在静力计算时的简化方法完全一致。
图1 单层平面框架计算简图然而，在进行结构动力学分析时，由于需要考虑惯性力的影响以及阻尼的影响，需要求解微分方程（对于离散体系），不同于静力分析，只需求解代数方程。
为便于计算和分析，在建立结构动力计算简图时，通常会在结构静力计算简图的基础上，将分部质量集中在有限的几个点上，并忽略惯性效应相对较小的自由度。
在进行图2所示的单层平面框架的动力分析时，往往将柱的质量向柱两端集中。
为减少计算工作量，通常忽略质量的转动惯性效应，即忽略掉两个转角自由度，如图2所示。
这样，拥有三自由度的单层平面框架的动力计算简图就可简化为较为简单的单自由度体系。
图2 单层平面框架动力计算简图。
静力学与动力学的区别与联系
静力学与动力学的区别与联系静力学和动力学是物理学中两个重要的概念，它们分别研究物体在静止和运动状态下的力学特性。
静力学关注物体在静止状态下的受力和力的平衡条件，而动力学则研究物体在运动状态下的运动规律和力的作用效果。
本文将介绍静力学和动力学的区别与联系。
一、静力学静力学研究物体在静止状态下的力学问题，主要关注以下几个方面：1. 平衡条件：静力学通过分析物体所受的各个力，确定物体在静止状态下的平衡条件。
根据力的平衡条件，物体受力的合力为零，同时力的合力和力矩的合力也为零。
2. 牛顿第一定律：静力学的研究基于牛顿第一定律，即物体在静止状态下保持静止，或在匀速直线运动状态下保持匀速直线运动。
3. 力的分解：静力学中常用的方法是将力分解为水平和垂直的分力。
这样可以更好地分析力的平衡条件和力的作用效果。
二、动力学动力学研究物体在运动状态下的力学问题，重点关注以下几个方面：1. 运动规律：动力学研究物体在受力作用下的运动规律，包括直线运动、曲线运动以及旋转运动等。
通过运动学和动力学方程，可以描述物体的位移、速度和加速度等运动状态。
2. 牛顿第二定律：动力学的研究基于牛顿第二定律，即物体所受的合力等于质量乘以加速度。
根据这个定律，可以计算物体的加速度和力的作用效果。
3. 力的效果：动力学研究物体所受的力的效果，如物体受到的力越大，其运动状态的改变越明显。
力的方向和大小对物体的运动轨迹和速度都产生影响。
三、静力学和动力学在研究的对象、内容和方法上存在一些区别，但也存在一定的联系。
1. 区别：- 研究对象：静力学研究物体在静止状态下的力学问题，而动力学则研究物体在运动状态下的力学问题。
- 研究内容：静力学主要关注物体的平衡条件和力的分解，而动力学则研究物体的运动规律和力的效果。
- 方法应用：静力学常用静力平衡方程来解决问题，而动力学运用牛顿第二定律等动力学方程进行计算和分析。
2. 联系：- 牛顿定律：静力学和动力学都基于牛顿的力学定律，静力学基于牛顿第一定律，动力学基于牛顿第二定律。
液体静力学基础和动力学方程
Re
临界雷诺数：
vd
当液流的实际流动时的雷诺数小于临界雷诺数时，液流为 层流，反之液流则为紊流。常见的液流管道的临界雷诺数可 由实验求得。 雷诺数物理意义：影响液体流动的力主要有惯性力和粘性力， 雷诺数就是惯性力对粘性力的无因次比值。
对于非圆截面管道来说，Re可用下式来计算：
Re＝4vR/ν
液压传动与气动技术
知识点3 液体静力学基础
液体静力学主要是讨论液体静止时的平衡规律以及这些规 律的应用。所谓“液体静止”指的是液体内部质点间没有相 对运动，不呈现粘性。
一、液体的压力
作用在液体上的力有两种，即质量力和表面力。
质量力：单位质量液体受到的质量力称为单位质量力，在 数值上等于加速度。
表面力：是与液体相接触的其它物体（如容器或其它液体） 作用在液体上的力，这是外力；也可以是一部分液体作用在 另一部分液体上的力，这是内力。
（2-31） 上式是理想液体恒定流动的能量方程，也称伯努 利方程。 物理意义：在密闭管道内作恒定流动的理想液体， 在任一个通流截面上具有三种形式的能量，即 压力能、势能和动能，它们之间可以相互转化， 但在管道内任一处，这三种能量的总和是不变 的。 式（2-31）两边同除以mg,得： p v h =常数 g 2 g
式中R为通流截面的水力半径。它等于液流的有效截面积A 和它的湿周χ（通流截面上与液体接触的固体壁面的周长）之 比，即 R＝A/χ 水力半径对管道通流能力影响很大，水力半径大，表明液 流与管壁接触少，通流能力大；水力半径小，表明液流与管 壁接触多，通流能力小，易堵塞。
3、连续性方程
假设液体不可压缩，且作恒定流动，则液体的流动过程遵守 质量守恒定律，即在单位时间内流体流过通道任意截面的液 体质量相等。
静力学基础
第三节
物体的受力分析
一、约束的概念
１ 自由体与非自由体 在空间各方向位移均不受限制的物体称为自由体。 ２ 约束与约束反力 对非自由体的某些位移起限制作用的周围物体或条件 称为约束。 约束对非自由体施加的力称为约束反力。 ３ 约束反力的特点 约束反力的方向总是与约束所能阻碍的物体的运动或 运动趋势的方向相反。
1、物体的受力分析：分析物体（包括物体系）受哪些力， 每个力的作用位置和方向，并画出物体的受力图。 2、力系的等效替换（或简化）：用一个简单力系等效代替 一个复杂力系。 3、建立各种力系的平衡条件：建立各种力系的平衡条件， 并应用这些条件解决静力学实际问题 。 刚体：绝对不变形的物体，或物体内任意两点间的距离 不改变的物体。 平衡：物体相对惯性参考系静止或作匀速直线运动。
例1
圆柱齿轮如图，受到啮合力Fn的作用，设 Fn=1400N， 齿轮的压力角α=200，节圆半径，r=60mm，试计算力 Fn对轴心O的力矩。
解： 1）直接法：由力矩定义求解
M o ( Fn ) Fn h Fn r cos
2）合力矩定理
将力Fn分解为切向力Ft和法(径) 向力Fr，即
约束特点： 由上面构件1或2 之一与地面或机架固定而成。
约束力：与圆柱铰链相同
以上三种约束（经向轴承、光滑圆柱铰链、固定 铰链支座）其约束特性相同，均为轴与孔的配合 问题，都可称作光滑圆柱铰链。
５ 固定端约束
• 通常将固定端约束反力画成两个正交分力和一 个约束反力偶。
三、力学模型的受力分析
在受力图上应画出所有力，主动力和约束力（被动力）
约 束 力
大小——待定 方向——与该约束所能阻碍的位移方向相反 作用点——接触处
二、常见工程约束的力学模型 １ 、由柔软的绳索、胶带或链条等构成的约束
静力学与动力学的区别与联系
静力学与动力学的区别与联系引言：静力学和动力学是物理学中两个重要而又基础的概念。
它们分别研究物体在静止和运动状态下的力学性质。
本文将详细探讨静力学和动力学的区别和联系。
一、静力学的概念及特点：静力学是研究物体在静止状态下的力学学科。
静力学关注的主要问题是物体受力平衡时的情况和性质。
它通常处理的是物体的平衡状态，即物体所受的合力为零。
在静力学中，物体保持静止或静止状态下的力学平衡，是研究的核心内容。
静力学主要研究物体所受的力、力的平衡条件以及对应的受力分析方法。
在静力学中，我们使用牛顿第一定律——力的合力为零的时候物体保持静止的平衡状态。
这一定律被称为平衡条件。
静力学主要研究静态力学平衡的问题，例如杠杆平衡、物体的受力分析等。
二、动力学的概念及特点：动力学是研究物体在运动状态下的力学学科。
与静力学不同，动力学关注的是物体在运动状态下受力的情况和性质。
动力学研究的核心是物体所受的力和运动状态之间的关系。
在动力学中，我们考虑物体所受的力、物体的质量以及力对物体运动状态的影响。
动力学研究的重点是牛顿第二定律，即物体所受合力等于质量乘以加速度。
该定律描述了物体的运动状态与施加在其上的力之间的关系。
因此，动力学常常涉及速度、加速度和运动轨迹等概念。
三、静力学与动力学的区别：1. 研究对象不同：静力学研究物体在静止状态下的力学平衡，而动力学研究物体在运动状态下的受力与运动关系。
2. 研究内容不同：静力学主要研究力的平衡条件及物体受力的分析方法，动力学则主要研究物体所受力对运动状态的影响以及运动参数的变化规律。
3. 平衡条件不同：静力学中的平衡条件是物体所受合力为零，而动力学中并无平衡条件，而是通过力和质量的关系描述物体的运动状态。
4. 牛顿定律不同：静力学主要依赖牛顿第一定律，即力的合力为零时物体保持静止。
而动力学则使用牛顿第二定律，描述了力对物体运动状态的影响。
四、静力学与动力学的联系：尽管静力学和动力学有着明显的区别，但在物理学的研究中，两者有着密切的联系。
力学舒幼生讲义
力学舒幼生讲义力学是物理学的一个重要分支，主要研究物体的运动规律以及力的作用。
在我们日常生活中，力学无处不在。
从我们走路、开车、骑自行车，到天空中飞行的飞机、行驶的火车，都涉及到力学的运用。
力学的基本概念和原理对于我们理解和应用物理学都具有重要意义。
在物理学中，力学分为静力学和动力学两个部分。
静力学主要研究物体处于平衡状态时的力学问题，而动力学则研究物体在运动过程中的力学问题。
让我们来了解一下静力学的基本概念。
静力学研究的是物体处于静止状态时的力学问题。
其中，最基本的概念是力和力的平衡。
力是物体之间相互作用的结果，它可以改变物体的状态，例如改变物体的形状或者使物体加速。
力的大小可以用牛顿（N）作为单位进行表示。
力的平衡是指物体所受到的所有力相互抵消，物体保持静止或者匀速直线运动的状态。
在静力学中，我们还学习了杠杆定律、浮力以及摩擦力等概念和原理。
接下来，我们来了解一下动力学的基本概念。
动力学研究的是物体在运动过程中的力学问题。
其中，最基本的概念是质点和力学运动学。
质点是物理学中最简单的模型，它可以看作没有大小和形状的点。
力学运动学则研究物体的运动状态，包括位置、速度和加速度等。
在动力学中，我们学习了牛顿三定律，这是力学的基石。
第一定律也被称为惯性定律，它描述了物体在没有外力作用时保持静止或匀速直线运动的状态。
第二定律描述了物体所受合力与物体的加速度之间的关系。
第三定律则描述了物体之间相互作用的力具有相互作用、大小相等、方向相反的特点。
除了基本概念和原理外，力学还涉及到一些重要的分支和应用。
例如，静力学的扩展——弹性力学研究的是物体在受力后发生形变的力学问题。
弹性力学在工程学中有着广泛的应用，用于设计和分析建筑结构、机械零件等。
另外，动力学的扩展——刚体力学研究的是物体形状和大小不变的力学问题。
刚体力学在机械工程和航天工程中有着重要的应用，用于设计和分析机械系统和航天器的运动。
总结起来，力学舒幼生讲义涵盖了静力学和动力学的基本概念和原理，以及一些相关的分支和应用。
#华南理工-理论力学静力学与动力学习题 主观题
第一章静力学基础一． 填空题1．理论力学的任务是研究物体作 机械运动 的规律2．平衡是指 （相对于地球）静止或作匀速直线运动 . 3．力是物体之间 相互的机械 作用，这种作用使物体的 运动 或 形状 发生改变。
4．刚体是受力作用而 不变形 的物体。
5．刚体受到两个力作用而平衡的充分必要条件是 此两力等值、反向、共线 。
6．对刚体而言，力的三要素是大小、方向、作用线。
7．对刚体而言，力是 物体位移 矢量。
第二章 平面汇交力系和平面力偶系一、填空题1．平面汇交力系平衡的几何条件是 力多边形自行封闭 。
2．同一平面内两力偶的等效条件是 两力偶矩矢量相等 。
3．研究平面汇交力系时, 采用两种方法, 即 几何法 和 分析法 。
4．一个力F在某轴上的分力是 量、投影是 量。
5．力偶使刚体转动的效果和 矩心位置 无关，完全由 力偶矩 决定。
6．力偶可在作用平面内任意 移动 ，也可向平行平面 移动 。
三、计算题1．不计杆重，求图示结构中AB 、AC 两杆所受的力。
第三章 一、填空题1．平面任意力系平衡的充要条件为：该力系的主矢 和 主矩 同时为零。
2．平面平行力系独立的平衡方程有 3 个，可解 3 个未知量的问题。
3．作用在刚体上A 点的力,F可以等效平移到刚体上任意点B ，但必须附加一个力偶，此附加力偶的矩等于 。
4．平面任意力系向一点简化，需要将力系中的各力 简化 到作用面内选定的一点上，该点称为 简化中心 。
三、计算题1．求图示简支梁A 、B 处的约束力。
)(2/7,)(2/9),(4↓=↑=→=qa qa qa FFFBAyAXCABθKN50mKN /20m4m2A BC第四章 空间力系一、填空题1．空间力偶系的独立平衡方程有 3 个。
2．在空间任意力系的简化结果中，当主矢主矩互相 定位时，称为力螺旋。
3．空间任意力系平衡的充分必要条件是：该力系的主矢和主矩分别为零。
4．空间任意力系有 3 个独立的平衡方程。
物理学中的静力学和动力学
物理学中的静力学和动力学物理学是研究物质、能量以及它们之间相互作用的科学。
而其中的两个重要分支领域——静力学和动力学，是我们理解自然界中运动和力的关系的基础。
本文将深入探讨静力学和动力学的概念、原理和应用。
一、静力学静力学是物理学中研究物体处于静止或平衡状态时的力学分支。
它基于牛顿第一定律，即物体在力的作用下保持静止或匀速直线运动，而不受到力的合力的作用。
在静力学中，我们主要关注平衡力和静力平衡。
1. 平衡力平衡力是指物体在静止或匀速直线运动时所受的力。
根据牛顿第一定律，物体处于平衡状态时，合力为零。
因此，平衡力包括两个主要类型：支持力和摩擦力。
支持力是指物体在水平面或斜面上所受的力，用来抵消物体的重力，使其保持平衡。
支持力的大小与物体的质量成正比。
而摩擦力则是物体在表面接触时产生的一种力，用于阻止物体相对滑动。
摩擦力主要有两种类型：静摩擦力和动摩擦力。
静摩擦力是物体相对滑动前所受的力，而动摩擦力则是物体相对滑动时所受的力。
2. 静力平衡静力平衡是指物体处于静止或匀速直线运动状态下，合力为零的状态。
为了保持静力平衡，物体所受的合力必须为零。
这是因为力的合力决定了物体的加速度，而在静力学中没有加速度。
通过应用力的平衡条件，我们可以计算物体所受的各个力的大小和方向，并判断物体是否处于静力平衡状态。
二、动力学动力学是物理学中研究物体运动和力之间关系的分支领域。
它基于牛顿第二和第三定律，可以解释物体的运动和受力情况。
在动力学中，我们主要关注质点的运动方程和力的作用。
1. 牛顿第二定律牛顿第二定律描述了力、质量和加速度之间的关系。
根据该定律，物体的加速度与作用在其上的合力成正比，与质量成反比。
这可以通过以下公式表示：F = ma，其中F是合力，m是质量，a是加速度。
牛顿第二定律将力和运动联系在一起，使我们能够预测和解释物体在给定力下的运动情况。
2. 力对运动的影响在动力学中，力对物体的运动起着关键作用。
如果合力为零，根据牛顿第一定律，物体将保持静止或匀速直线运动。
机器人基础原理 第6章 静力学及动力学建模
2
q k
j 1 k 1 q j
• 连杆3的动能为:
T
3
3
T3
T3
1
3
3 T
K3 dK3 Trace
( rp rp dm) q j qk Nhomakorabea2
q
q
j 1 k 1 j link3
k
link3
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gT Ti i rdm gT Ti
link i
i
rdm
link i
g T Ti mi i ri mi g T Ti i ri
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动能和位能的计算
• 连杆i上位置ir 处的质点dm，其位能为：
dPi dmg r g Ti rdm
T0
T
i
• 机械手系统的总位能为：
I
q i q
k
j
Ti T TiT
Ti TiT
Ii
Ii
Trace
Trace
q j
qk
qk q j
n
i
Ti Ti T
L
Trace
Ii
q p i 1 k 1
qk q p
2024/2/17
机器人基础原理 第6章静力学及动力学建模
• 当不考虑机器人的柔性时，可将机器人视为多刚体
系统。
• 机器人动力学建模方法主要有两种：
• 一种是基于能量平衡的拉格朗日方程方法，
• 另一种是基于力平衡的牛顿-欧拉方程方法。
静力学问题与动力学问题
静力学问题和动力学问题几个彼此平衡的力对物体的作用，因它们的合力等于零，物体没有加速度，所以物体处于静止或匀速直线运动平衡状态。
上节中列举过的4个例子，就是按照力的平衡条件来分析物体的受力情况的，一般咱们称为静力学问题。
高中力学所涉及的静力学问题都很简单，大家也比较习惯于解决这种问题。
可是，当物体受到几个不平衡的力的作用下，它们的合力将引发物体作变速运动；分析物体作变速运动的物体受力情况和运动情况时，必需应用动力学定律，这跟应用平衡的概念解决静力学问题有所不同，这种问题咱们叫它为动力学问题。
常常有同窗用静力学观念来对待动力学问题，结果导出了错误的结论。
譬如对如下的一个问题：图一中m 1=110g ，m 2=20g ，若是不计算摩擦力，那么，物体m 1和m 2各受哪几个力的作用？物体沿m 1沿桌面移动的加速度是多少？有的同窗这样考虑：对m 1来讲，在竖直方向上所受的重力P 和支承力N 彼此平衡；在水平方向上，若是不考虑摩擦，那末它只受到一个绳索的拉力(也即是m 2, 对它的拉力)，这个拉力就等于物体m 2的重量20克，所以m 1的加速度222110.02102/0.1P m g a m s m m ⨯====。
对m 2来讲，它只受到竖直向上两个力的作用：一个是地球对它的引力，另一个是绳索对它的拉力（即m 1对它的拉力），因m 1对m 2的拉力是m 2对m 1拉力的反作使劲，所以m 1对m 2的拉力在数值上也等于。
这样，m 2所受到的两个力应该是璴平衡的力，合力为零，因此，m 2应该维持静止或匀速直线运动。
显然，这样得出的结论是不符合实际情况的，因为m 2并非是处于不稳状态，而是跟m 1一样，以一样大小的加速度作加速运动的。
图一那么问题到底出在什么地方呢？稍经思考，同窗们不难想到：既然m 2是向下作加速运动，这说明它受到的两个力—重力和绳索对它的拉力并非彼此平衡，而重力P 2必大于绳索对它的拉力，因为只有这样才能使我合力方向向下而使m 2作向下的加速运动。
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机器人研究所
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第1节 机器人静力学
1. 连杆的受力和平衡方程
对于转动关节i，除了绕转轴的扭矩外，其余各方向 的力和力矩都有机械构件承受，因此关节力矩应为
i i mi i Z i
对于移动关节，关节力矩为
i i fi i Zi
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第1节 机器人静力学
{0}中表示 0 f3
0 0 f3 3 R 3 f3
c12 0 式中，旋转变换矩阵为 3 R s12
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s12 c12
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第1节 机器人静力学
1. 连杆的受力和平衡方程
例题1：2自由度平面机器人末端对外施加的作 用力为F3，求各关节驱动力矩。 解：
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第1节 机器人静力学
1. 连杆的受力和平衡方程
例题1：2自由度平面机器人末端对外施加的作 用力为F3，求各关节驱动力矩。 解：
1 2 M1 21 R 2 M 2 1 P 1 f1
c2 s2 0
s2 c2 0
0 0 l1 c2 f x s2 f y 0 0 0 s2 f x c2 f y 1 0 0 l2 f y
第1节 机器人静力学
2. 等效力和力雅可比
虚功原理：末端广义力矢量所作的虚功与关节 力矩矢量所作的虚功相等。 虚位移：满足机械系统的几何约束条件的无限 小位移。
关节力矩所作的虚功之和为：
W τ T q 1 q1 2 q2 n qn
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第1节 机器人静力学
2. 等效力和力雅可比
τ T q F T J q
τT FT J
τ JT F
上式表明：不考虑关节之间的摩擦力，在外力F 的作用下，操作臂平衡的条件是关节力矩满足 上式。
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第1节 机器人静力学
3. 静力和速度映射的对偶关系
16
第1节 机器人静力学
2. 等效力和力雅可比
末端广义力所作的虚功为：
W F T D f x d x f y d y f z d z mx x my y mz z
根据虚功原理，两部分虚功相等：
τ T q F T D
再由微分运动关系
D J q
写成矩 阵形式
1 l1s2 f l2 y
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16:31
第1节 机器人静力学
1. 连杆的受力和平衡方程
例题1：2自由度平面机器人末端对外施加的作 用力为F3，求各关节驱动力矩。 解：将外力在坐标系{3}中的表示 3 f3转换到坐标系
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机器人研究所
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第1节 机器人静力学
4. 力和力矩的坐标变换
上式两边求转置
A Af BR A A A S p m B0 B R
0 Bf B A B R m
16:31
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26
第1节 机器人静力学
4. 力和力矩的坐标变换
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雅可比矩 阵
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第1节 机器人静力学
2. 等效力和力雅可比
作用在机器人操作臂末端的广义力矢量
f F fx m fy fz mx my mz
T
n个关节驱动力或力矩矢量（关节力矩矢量）
τ 1 2
n
T
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15
如果忽略连杆自身重量，上式可写成
i fi i fi 1 i i i 1 i M M P fi 1 i 1 i i
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第1节 机器人静力学
1. 连杆的受力和平衡方程
将 fi 、 M i 表示在坐标系{i+1}中
i fi i fi 1 i i i 1 i M M P fi 1 i 1 i i
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第1节 机器人静力学
4. 力和力矩的坐标变换
假设6维广义力矢量
f F m
下面推导广义力矢量在不同坐标系中描述的关 系
A
F BF
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第1节 机器人静力学
4. 力和力矩的坐标变换
广义力矢量作用下对于坐标系{A}的虚位移(微分 运动矢量) AD，在坐标系{B}内的虚位移为BD， 有如下关系
d R S pT 0 R d T S S δ TR 0 δ
S S T S S T T
{S}传感器坐标系
根据对偶性得出静力的关系
T f SR T T T S p m S0 S R T
第六章 静力学与动力学
第1节 机器人静力学
第2节 机器人动力学
第六章 静力学与动力学
第1节 机器人静力学
第2节 机器人动力学
第1节 机器人静力学
机器人与外界接触会有力和力矩的作用，如灵 巧手抓取物体时；工业机器人搬运货物时。 需要判断各关节的驱动力与末端的作用外力之 间的关系。
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机器人研究所
作力的集合；这时末端操作力完全由操作臂机构本身承 受。
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第1节 机器人静力学
3. 静力和速度映射的对偶关系
q V n
J
X V m
速度
X J q q
N J
X 0
RJ
JT
F V m
τ V n
静力
τ J T q F
τ 0
T d RT T δ 0 R S p d T R δ
T
B T AR A D 0 B T A R S B pA0 B D B T AR
B B B R S p A A0 A R A B D D B AR 0
3
第1节 机器人静力学
1. 连杆的受力和平衡方程
机器人是由连杆和关节（低副机构）组成，这 里将机器人的连杆当成刚体； 以其中一个连杆为对象对其进行静力分析，连 杆 i 及其相邻连杆之间的作用力和作用力矩关系
如下图。
16:31
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4
第1节 机器人静力学
1. 连杆的受力和平衡方程
关节i zi
16:31
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第1节 机器人静力学
4. 力和力矩的坐标变换
广义力矢量在坐标系 {A}和{B}中分别用A F 和 B F 表示，他们所作的虚功相等
A
F T AD BF T B D
将 BD 带入，
B B B R S p A A0 A R A T B T F F B AR 0
X J q q
τ J T q F
由力雅可比和运动雅可比之间的关系可知操作 臂的静力传递关系和速度传递关系紧密相关。
16:31
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第1节 机器人静力学
3. 静力和速度映射的对偶关系
τ V n
τ 0
JT
F V m
RJ T
N J T
R( J T ) ：代表操作力能平衡的所有关节力矩矢量的集合； N ( J T ) ：代表不需要任何关节驱动力矩而能承受的所有末端操
RJ T
16:31
N J T
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第1节 机器人静力学
3. 静力和速度映射的对偶关系
不能由关节运动产生的末端运动方向正是不需关节 力矩平衡的末端操作力的方向。反之，当外力作用
方向沿着末端操作器能够运动的方向时，外力完全
可以由关节力矩来平衡。 运动学和静力学存在对偶性，可以用来阐明运动和 力的传递关系和物理意义。
1 l1s1 l2 s12 τ 2 l2 s12 l1c1 l2c12 0 f3 l2c12
力雅可比与速 度雅可比是转 置的关系！
力雅可比矩阵 T J
l1 sin 1 l2 sin 1 2 l2 sin 1 2 J l cos l cos l cos 1 2 1 2 2 1 2 1
例题2：腕力传感器测出
手腕上的六维广义力SF， 计算工具顶端的作用力TF
{S}传感器坐标系
解：令坐标系{T}到{S}的
齐次变换矩阵为
T T SR ST 0 T
PS 0 1
{T}工具坐标系
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第1节 机器人静力学
4. 力和力矩的坐标变换
微分运动的传递关系为
16:31
0 0 l1s2 f x l1c2 f y l2 f y
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第1节 机器人静力学
1. 连杆的受力和平衡方程
例题1：2自由度平面机器人末端对外施加的作 用力为F3，求各关节驱动力矩。 解：
1 l1s2 f x l1c2 f y l2 f y 2 l2 f y
16:31
i 1 i
P ：表示坐标系{i+1}的原点相对于坐标系{i}的表示。
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5
第1节 机器人静力学
1. 连杆的受力和平衡方程