高考数学复习点拨：用定积分求面积的技巧
例谈活用定积分速求面积值的策略
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例谈活用定积分速求面积值的策略
作者：司绪荣
来源：《考试周刊》2013年第23期
利用定积分求不规则平面图形的面积，是定积分在几何中的重要应用之一.如何灵活地运
用定积分的定义及有关公式，巧妙地将求不规则平面图形的面积问题等价转化为求定积分的数值问题，从而体现数形结合的数学思想方法.本文结合实例，介绍几种常用的转化方法与求解
策略.
1.巧选积分变量求面积
求不规则平面图形的面积时，若能灵活选择积分变量，则可以使计算过程简洁.
2.巧用函数的对称性求面积
求不规则平面图形的面积时，巧妙地利用函数图像的对称性解题，是简化计算过程的常用手段.
点评：函数图像的对称性和积分变量的选取，都直接影响着计算过程的繁简；本题还可以运用整体减去局部的思想，那样更为简洁.
点评：利用偶函数图像的对称性，使求定积分的过程与计算简化.
3.适当分割求面积。
2022届高考数学(理)大一轮复习教师用书：第三章第五节定积分与微积分基本定理 Word版含解析
第五节定积分与微积分基本定理突破点(一) 求定积分基础联通 抓主干学问的“源”与“流”1．定积分的定义一般地，假如函数f (x )在区间[a ，b ]上连续，用分点a ＝x 0<x 1<…<x i －1<x i <…<x n ＝b ，将区间[a ，b ]等分成n 个小区间，在每个小区间[x i －1，x i ]上任取一点ξi (i ＝1,2，…，n )，作和式∑i ＝1nf (ξi )Δx ＝∑i ＝1nb －an f (ξi )，当n →∞时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数f (x )在区间[a ，b ]上的定积分，记作⎠⎛ab f (x )d x .2．定积分的相关概念在⎠⎛ab f (x )d x 中，a 与b 分别叫做积分下限与积分上限，区间[a ，b ]叫做积分区间，函数f (x )叫做被积函数，x 叫做积分变量，f (x )d x 叫做被积式．3．定积分的性质(1)⎠⎛a b kf (x )d x ＝k ⎠⎛ab f (x )d x (k 为常数)；(2)⎠⎛a b [f 1(x )±f 2(x )]d x ＝⎠⎛a b f 1(x )d x ±⎠⎛ab f 2(x )d x ；(3)⎠⎛ab f (x )d x ＝⎠⎛ac f (x )d x ＋⎠⎛cb f (x )d x (其中a <c <b )．4．微积分基本定理假如f (x )是区间[a ，b ]上的连续函数，并且F ′(x )＝f (x )，那么⎠⎛ab f (x )d x ＝F (b )－F (a )．其中F (x )叫做f (x )的一个原函数．为了便利，我们经常把F (b )－F (a )记为F (x )b a ，即⎠⎛ab f (x )d x ＝F (x )b a ＝F (b )－F (a ).考点贯穿 抓高考命题的“形”与“神”利用微积分基本定理求定积分[例1] 计算下列定积分： (1)⎠⎛1(－x 2＋2x )d x ；(2)⎠⎛0π(sin x －cos x )d x ；(3)⎠⎛12⎝⎛⎭⎫e 2x ＋1x d x ； (4) 20⎰π1－sin 2x d x .[解] (1)⎠⎛01(－x 2＋2x )d x ＝⎠⎛01(－x 2)d x ＋⎠⎛012x d x ＝－13x 3⎪⎪⎪10＋x 2|10＝－13＋1＝23. (2)⎠⎛0π(sin x －cos x )d x ＝⎠⎛0πsin x d x －⎠⎛0πcos x d x＝(－cos x )|π0－sin x|π0＝2.(3)⎠⎛12⎝⎛⎭⎫e 2x ＋1x d x ＝⎠⎛12e 2x d x ＋⎠⎛121xd x ＝12e 2x | 21＋ln x|21＝12e 4－12e 2＋ln 2－ln 1 ＝12e 4－12e 2＋ln 2. (4)20⎰π1－sin 2x d x ＝20⎰π|sin x －cos x |d x ＝40⎰π (cos x －sin x )d x ＋24⎰ππ (sin x －cos x )d x＝(sin x ＋cos x )⎪⎪⎪⎪π4＋(－cos x －sin x ) ⎪⎪⎪π2π4＝2－1＋(－1＋2)＝22－2.[方法技巧]利用微积分基本定理求定积分的步骤(1)把被积函数变形为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与常数的积的和或差． (2)把定积分用定积分性质变形为求被积函数为上述函数的定积分． (3)分别用求导公式找到一个相应的原函数．(4)利用微积分基本定理求出各个定积分的值． (5)计算原始定积分的值．利用定积分的几何意义求定积分[例2] 利用定积分的几何意义计算下列定积分：(1)⎠⎛011－(x －1)2d x ；本节主要包括2个学问点： 1.求定积分； 2.定积分的应用.(2)⎠⎛5－5 (3x 3＋4sin x )d x .[解] (1)依据定积分的几何意义，可知⎠⎛011－(x －1)2d x 表示的是圆(x －1)2＋y 2＝1的面积的14(如图所示的阴影部分)．故⎠⎛011－(x －1)2d x ＝π4.(2) ⎠⎛5－5 (3x 3＋4sin x )d x 表示直线x ＝－5，x ＝5，y ＝0和曲线y ＝3x 3＋4sin x 所围成的曲边梯形面积的代数和，且在x 轴上方的面积取正号，在x 轴下方的面积取负号．设y ＝f (x )＝3x 3＋4sin x ，则f (－x )＝3(－x )3＋4sin(－x )＝－(3x 3＋4sin x )＝－f (x )，又f (0)＝0， 所以f (x )＝3x 3＋4sin x 在[－5,5]上是奇函数，所以⎠⎛0－5 (3x 3＋4sin x )d x ＝－⎠⎛05(3x 3＋4sin x )d x ，所以⎠⎛5－5(3x 3＋4sin x )d x ＝⎠⎛0－5(3x 3＋4sin x )d x ＋⎠⎛05(3x 3＋4sin x )d x ＝0.[方法技巧]1．利用定积分几何意义求定积分的策略当被积函数的原函数不易求，而被积函数的图象与直线x ＝a ，x ＝b ，y ＝0所围成的曲边梯形的面积易求时，利用定积分的几何意义求定积分．2．两个常用结论设函数f (x )在闭区间[－a ，a]上连续，则由定积分的几何意义和奇、偶函数图象的对称性可得两个结论： (1)若f (x )是偶函数，则⎠⎛a－a f (x )d x ＝2⎠⎛0af (x )d x ； (2)若f (x )是奇函数，则⎠⎛a－a f (x )d x ＝0.力量练通 抓应用体验的“得”与“失” 1.[考点一]⎠⎛1－1(x －1)d x ＝( )A ．2B ．－2 C.13D.12解析：选B ⎠⎛1－1 (x －1)d x ＝⎝⎛⎭⎫x 22－x 1－1＝⎝⎛⎭⎫12－1－⎝⎛⎭⎫12＋1＝－2. 2.[考点一]20⎰πsin 2x2d x ＝( )A ．0 B.π4－12 C.π4－14D.π4－1 解析：选B ∫20⎰πsin 2x2d x ＝20⎰π1－cos x 2d x ＝12x －12sin x ⎪⎪⎪⎪π20＝π4－12.3.[考点一]设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ∈[0，1]，1x ，x ∈(1，e](其中e 为自然对数的底数)，则⎠⎛0e f (x )d x 的值为( )A.43 B ．2 C ．1 D.23解析：选A 依据定积分的性质，可知⎠⎛0e f (x )d x 可以分为两段，则⎠⎛0e f (x )d x ＝⎠⎛01x 2d x ＋⎠⎛1e 1xd x ＝13x 3⎪⎪⎪10＋ln x ⎪⎪⎪e＝13＋1＝43. 4.[考点二]⎠⎛12－x 2＋4x －3d x ＝________.解析：依据定积分的几何意义，可知⎠⎛12－x 2＋4x －3d x 表示圆(x －2)2＋y 2＝1与x ＝1，x ＝2及y ＝0所围成的圆的面积的14，即⎠⎛12－x 2＋4x －3d x ＝π4.答案：π45.[考点二]⎠⎛－11[1－x 2－sin x ]d x ＝________. 解析：令1－x 2＝y ，则x 2＋y 2＝1(y ≥0)，该方程表示以(0,0)为圆心，1为半径的圆的一半．所以⎠⎛－111－x 2d x 表示圆x 2＋y 2＝1与x 轴所围成的上半圆的面积，因此⎠⎛－11－11－x 2d x ＝π2.又由于⎠⎛－11sin x d x ＝(－cos x )⎪⎪⎪1－1＝－cos 1－[－cos(－1)]＝0，所以⎠⎛1－1[1－x 2－sin x ]d x ＝π2.答案：π2突破点(二) 定积分的应用基础联通 抓主干学问的“源”与“流”1．定积分与曲边梯形面积的关系 如图：设阴影部分面积为S.图形阴影部分面积S ＝⎠⎛ab f (x )d xS ＝－⎠⎛ab f (x )d xS ＝⎠⎛a c f (x )d x －⎠⎛cb f (x )d xS ＝⎠⎛ab f (x )d x －⎠⎛ab g(x )d x＝⎠⎛ab [f (x )－g(x )]d x2．求变速运动的路程做变速运动的物体在时间[a ，b ]上所经过的路程s ，等于其速度函数v ＝v (t )(v (t )≥0)在时间区间[a ，b]上的定积分，即s ＝⎠⎛ab v (t )d t .具体步骤为：①找出速度函数v ＝v (t )，作出图形．②观看v ＝v (t )的图形是否满足v (t )≥0.③若v (t )≥0，则相应的时间段[a ，b ]上的路程为s ＝⎠⎛ab v (t )d t ；若v (t )<0，则相应的时间段[a ，b ]上的路程为s ＝⎪⎪⎪⎪⎠⎛ab v (t )d t ＝－⎠⎛ab v (t )d t .考点贯穿 抓高考命题的“形”与“神”利用定积分求平面图形的面积[例1] 由曲线y ＝x ，直线y ＝x －2及y 轴所围成的图形的面积为( ) A.103 B ．4 C.163D ．6[解析] 作出曲线y ＝x 和直线y ＝x －2的草图(如图所示)，所求面积为阴影部分的面积．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，y ＝x －2得交点A(4,2)． 因此y ＝x 与y ＝x －2及y 轴所围成的图形的面积为⎠⎛04[]x －(x －2)d x ＝⎠⎛04(x －x ＋2)d x ＝23x 32－12x 2＋2x 4＝23×8－12×16＋2×4＝163.[答案] C [方法技巧]利用定积分求平面图形面积的步骤 (1)依据题意画出图形；(2)借助图形确定出被积函数，求出交点坐标，确定积分的上、下限； (3)把曲边梯形的面积表示成若干个定积分的和； (4)计算定积分，写出答案．定积分在物理中的应用[例2] (1)一辆汽车在高速大路上行驶，由于遇到紧急状况而刹车，以速度v (t )＝7－3t ＋251＋t(t 的单位：s ，v 的单位：m/s)行驶至停止．在此期间汽车连续行驶的距离(单位：m)是( )A ．1＋25ln 5B ．8＋25ln 113C ．4＋25ln 5D ．4＋50ln 2(2)一物体在力F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧5，0≤x ≤2，3x ＋4，x ＞2(单位：N)的作用下沿与力F 相同的方向，从x ＝0处运动到x ＝4(单位：m)处，则力F (x )做的功为________J.[解析] (1)由v (t )＝7－3t ＋251＋t＝0，可得t ＝4⎝⎛⎭⎫t ＝－83舍去，因此汽车从刹车到停止一共行驶了4 s ，此期间行驶的距离为⎠⎛04v (t )d t ＝⎠⎛04⎝⎛⎭⎫7－3t ＋251＋t d t ＝⎣⎡⎦⎤7t －32t 2＋25ln (1＋t )40＝4＋25ln 5. (2)由题意知，力F (x )所做的功为 W ＝⎠⎛04F (x )d x ＝⎠⎛025d x ＋⎠⎛24(3x ＋4)d x＝5x|20＋⎝⎛⎭⎫32x 2＋4x ⎪⎪⎪42＝5×2＋⎣⎡⎦⎤32×42＋4×4－⎝⎛⎭⎫32×22＋4×2＝36(J)． [答案] (1)C (2)36 [方法技巧]定积分在物理中的两个应用(1)求物体做变速直线运动的路程：假如物体做变速直线运动，且其速度为v ＝v (t )(v (t )≥0)，那么从时刻t ＝a 到t ＝b 所经过的路程s ＝∫b a v (t )d t .(2)求变力做功：一物体在变力F (x )的作用下，沿着与F (x )相同方向从x ＝a 移动到x ＝b 时，力F (x )所做的功是W ＝∫b a F (x )d x .力量练通 抓应用体验的“得”与“失”1.[考点二]若x (单位：m)表示位移的大小，一物体在力F (x )＝x(单位：N )的作用下沿与力F (x )相同的方向运动了4 m ，力F (x )做功为( )A ．8 JB ．12 JC ．15 J D.163 J解析：选D 由题意得W ＝⎠⎛04x d x ＝23x 32⎪⎪⎪40＝163J. 2.[考点一]曲线y ＝2x 与直线y ＝x －1及x ＝4所围成的封闭图形的面积为( )A ．2ln 2B ．2－ln 2C ．4－ln 2D ．4－2ln 2解析：选D 由曲线y ＝2x 与直线y ＝x －1联立，解得x ＝－1，x＝2，如图所示，故所求图形的面积为S ＝∫42⎝⎛⎭⎫x －1－2x d x ＝12x 2－x －2ln x |42＝4－2ln 2. 3.[考点一](2022·衡阳一模)如图，阴影部分的面积是( )A ．32B ．16 C.323 D.83解析：选C 由题意得，阴影部分的面积S ＝⎠⎛1－3 (3－x 2－2x )d x ＝⎝⎛⎭⎫3x －13x 3－x 2⎪⎪⎪1－31－3＝323. 4．由抛物线y ＝x 2－1，直线x ＝0，x ＝2及x 轴围成的图形面积为________．解析：如图所示，由x 2－1＝0，得抛物线与x 轴的交点分别为(－1，0)和(1,0)． 所以S ＝⎠⎛02|x 2－1|d x ＝⎠⎛01(1－x 2)d x ＋⎠⎛12(x 2－1)d x＝ ⎪⎪⎝⎛⎭⎫x －x 3310＋⎪⎪⎝⎛⎭⎫x 33－x 21＝⎝⎛⎭⎫1－13＋⎣⎡⎦⎤83－2－⎝⎛⎭⎫13－1 ＝2. 答案：25.[考点二]物体A 以速度v ＝3t 2＋1(t 的单位：s ，v 的单位：m/s )在始终线上运动，在此直线上与物体A 动身的同时，物体B 在物体A 的正前方5 m 处以v ＝10t (t 的单位：s ，v 的单位：m/s )的速度与A 同向运动，当两物体相遇时，相遇地与物体A 的动身地的距离是________m.解析：设b s 后两物体相遇，则⎠⎛0b(3t 2＋1)d t －⎠⎛0b10t d t ＝5，即b 3＋b －5b 2＝5，(b 2＋1)(b －5)＝0，解得b＝5，此时物体A 离动身地的距离为⎠⎛05(3t 2＋1)d t ＝(t 3＋t )|50＝53＋5＝130(m)． 答案：130近五年全国卷对本节内容未直接考查[课时达标检测] 重点保分课时——一练小题夯双基，二练题点过高考 [练基础小题——强化运算力量] 1.⎠⎛01e x d x 的值等于( )A ．eB ．1－eC ．e －1D.12(e －1)解析：选C ⎠⎛01e x d x ＝e x |10＝e 1－e 0＝e －1.2．已知t 是常数，若⎠⎛0t (2x －2)d x ＝8，则t ＝( )A ．1B ．－2C ．－2或4D ．4解析：选D 由⎠⎛0t (2x －2)d x ＝8得，(x 2－2x )|t 0＝t 2－2t ＝8，解得t ＝4或t ＝－2(舍去)．3．从空中自由下落的一物体，在第一秒末恰经过电视塔顶，在其次秒末物体落地，已知自由落体的运动速度为v ＝g t (g 为常数)，则电视塔高为( )A .12g B ．g C .32g D ．2g解析：选C 由题意知电视塔高为⎠⎛12g t d t ＝12g t 2|21＝2g －12g ＝32g.4．由曲线y ＝x 2，y ＝x 围成的封闭图形的面积为( ) A .16 B .13 C .23D ．1解析：选B 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，y ＝x ，得交点为(0,0)和(1,1)，故所求面积(如图阴影部分的面积)为⎠⎛1(x －x 2)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 3232－13x 3)|10＝13. 5．20⎰π2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4d x ＝________. 解析：依题意得20⎰π2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4d x ＝20⎰π(sin x ＋cos x )d x ＝(sin x －cos x ) ⎪⎪⎪⎪π2＝⎝⎛⎭⎫sin π2－cos π2－(sin 0－cos 0)＝2.答案：2[练常考题点——检验高考力量] 一、选择题1．定积分|x 2－2x |d x ＝( )A ．5B ．6C ．7D ．8解析：选D ∵|x 2－2x |＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，－2≤x ＜0，－x 2＋2x ，0≤x ≤2，∴⎠⎛2－2|x 2－2x |d x ＝⎠⎛0－2(x 2－2x )d x ＋⎠⎛02(－x 2＋2x )d x ＝⎝⎛⎭⎫13x 3－x 2|0－2＋⎝⎛⎭⎫－13x 3＋x 2|20＝8.2．(2021·河北五校联考 )若f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ，x ＞0，x ＋⎠⎛0a 3t 2d t ，x ≤0，f (f (1))＝1，则a 的值为( )A ．1B ．2C ．－1D ．－2解析：选A 由于f (1)＝lg 1＝0，f (0)＝⎠⎛0a 3t 2d t ＝t 3|a 0＝a 3，所以由f (f (1))＝1得a 3＝1，所以a ＝1. 3．若S 1＝⎠⎛121x d x ，S 2＝⎠⎛12(ln x ＋1)d x ，S 3＝⎠⎛12x d x ，则S 1，S 2，S 3的大小关系为( )A ．S 1<S 2<S 3B ．S 2<S 1<S 3C ．S 1<S 3<S 2D ．S 3<S 1<S 2解析：选A 如图，分别画出对应图形，比较围成图形的面积，易知选A.4．(2021·贵阳监测)若由曲线f (x )＝x 与y 轴及直线y ＝m (m >0)围成的图形的面积为83，则m 的值为( )A ．2B ．3C ．1D ．8解析：选A 由题意得，围成的图形的面积S ＝⎠⎛0m2(m －x )d x ＝⎝⎛⎭⎫mx －23x 32⎪⎪⎪m2am 20＝m 3－23m 3＝83，解得m ＝2.5．设变力F (x )(单位：N )作用在质点M 上，使M 沿x 轴正方向从x ＝1 m 处运动到x ＝10 m 处，已知F (x )＝x 2＋1且方向和x 轴正方向相同，则变力F (x )对质点M 所做的功为( )A ．1 JB ．10 JC ．342 JD ．432 J解析：选C 变力F (x )＝x 2＋1使质点M 沿x 轴正方向从x ＝1运动到x ＝10所做的功W ＝∫101F (x )d x ＝∫101(x 2＋1)d x ＝⎝⎛⎭⎫13x 3＋x |101＝342(J)． 6．若函数f (x )，g(x )满足⎠⎛1－1f (x )g(x )d x ＝0，则称f (x )，g(x )为区间[－1,1]上的一组正交函数．给出三组函数：①f (x )＝sin 12x ，g(x )＝cos 12x ；②f (x )＝x ＋1，g(x )＝x －1；③f (x )＝x ，g(x )＝x 2.其中为区间[－1,1]上的正交函数的组数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选C 对于①，⎠⎛1－1sin 12x cos 12x d x ＝⎠⎛1－112sin x d x ＝0，所以①是区间[－1,1]上的一组正交函数；对于②，⎠⎛1－1 (x ＋1)(x －1)d x ＝⎠⎛1－1 (x 2－1)d x ≠0，所以②不是区间[－1,1]上的一组正交函数；对于③，⎠⎛1－1x ·x 2d x ＝⎠⎛1－1x 3d x ＝0，所以③是区间[－1,1]上的一组正交函数．选C.二、填空题7．若函数f (x )＝x ＋1x ，则⎠⎛1e f (x )d x ＝________.解析：⎠⎛1e ⎝⎛⎭⎫x ＋1x d x ＝⎝⎛⎭⎫x22＋ln x |e 1＝e 2＋12. 答案：e 2＋128．(2021·洛阳统考)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，－1≤x ＜0，e x ，0≤x ≤1的图象与直线x ＝1及x 轴所围成的封闭图形的面积为________．解析：由题意知所求面积为⎠⎛0－1(x ＋1)d x ＋⎠⎛01e x d x ＝⎝⎛⎭⎫12x 2＋x |0－1＋e x |10＝－⎝⎛⎭⎫12－1＋(e －1)＝e －12. 答案：e －129.⎠⎛1e 1x d x ＋⎠⎛2－24－x 2d x ＝________；解析：⎠⎛1e 1xd x ＝ln x |e 1＝1－0＝1，由于⎠⎛2－24－x 2d x 表示的是圆x 2＋y 2＝4在x 轴上方的面积，故⎠⎛2－24－x 2d x ＝12π×22＝2π.所以原式＝2π＋1.答案：2π＋110．如图，由曲线y ＝x 2和直线y ＝t 2(0<t <1)，x ＝1，x ＝0所围成的图形(阴影部分)的面积的最小值是________．解析：设图中阴影部分的面积为S(t )，则S(t )＝⎠⎛0t (t 2－x 2)d x ＋⎠⎛t1(x 2－t 2)d x ＝43t 3－t 2＋13.由S ′(t )＝2t (2t －1)＝0，得t ＝12为S(t )在区间(0,1)上的最小值点，此时S(t )min ＝S ⎝⎛⎭⎫12＝14. 答案：14三、解答题11．已知f (x )为二次函数，且f (－1)＝2，f ′(0)＝0，⎠⎛01f (x )d x ＝－2.(1)求f (x )的解析式；(2)求f (x )在[－1,1]上的最大值与最小值． 解：(1)设f (x )＝a x 2＋b x ＋c(a ≠0)， 则f ′(x )＝2a x ＋b. 由f (－1)＝2，f ′(0)＝0，得 ⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋c ＝2，b ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2－a ，b ＝0，∴f (x )＝a x 2＋2－a.又⎠⎛01f (x )d x ＝⎠⎛01(a x 2＋2－a)d x＝⎣⎡⎦⎤13ax 3＋(2－a )x ⎪⎪⎪1＝2－23a ＝－2.∴a ＝6，从而f (x )＝6x 2－4. (2)∵f (x )＝6x 2－4，x ∈[－1,1]． ∴当x ＝0时，f (x )min ＝－4； 当x ＝±1时，f (x )max ＝2.12．已知函数f (x )＝x 3－x 2＋x ＋1，求其在点(1,2)处的切线与函数g(x )＝x 2围成的图形的面积． 解：∵(1,2)为曲线f (x )＝x 3－x 2＋x ＋1上的点， 设过点(1,2)处的切线的斜率为k ，则k ＝f ′(1)＝(3x 2－2x ＋1)⎪⎪⎪x＝1＝2， ∴过点(1,2)处的切线方程为y －2＝2(x －1)，即y ＝2x .y ＝2x 与函数g(x )＝x 2围成的图形如图：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，y ＝2x可得交点A(2,4)，O(0,0)， 故y ＝2x 与函数g(x )＝x 2围成的图形的面积 S ＝⎠⎛02(2x －x 2)d x ＝⎝⎛⎭⎫x 2－13x 3| 20＝4－83＝43.。
2015高考数学(理)一轮复习考点突破课件：2.13定积分
0≤t≤1 1≤t≤3 3≤t≤6
，
49 【答案】 m 4
• 【归纳提升】 利用定积分解决变速直线运动路程问题和变力做功 问题时，关键是求出物体做变速直线运动的速度函数和变力与位移 之间的函数关系，确定好积分区间，得到积分表达式，再利用微积 分基本定理计算即得所求．
• •
针对训练 3．在某介质内作变速直线运动的物体，经过时间t(单位：s)所走 过的路程s＝4t2(单位：m)，若介质阻力F与物体的运动速度v成正 比，且当v＝10 m/s时，F＝5 N，求物体在位移区间[1,4]内克服介 质阻力所做的功．
• • • • •
方法感悟：函数思想、数形结合思想在定积分中的应用 【典例】 在区间[0,1]上给定曲线y＝x2.试 在此区间内确定点t的值，使图中的阴 影部分的面积S1与S2之和最小，并求最 小值．
【规范解答】
S1 面积等于边长为 t 与 t2 的矩形面积去掉曲线
y＝x2 与 x 轴、直线 x＝t 所围成的面积， 即 S1＝t· t－
2
1 1 2 3 －x)dx＝3x －2x
5 ＝6.
答案：A
• • • • •
1．求定积分的常用方法 (1)利用微积分基本定理求函数f(x)在[a，b]的积分． ①求被积函数f(x)的一个原函数F(x)；②计算F(b)－F(a)． (2)利用定积分的几何意义： 当曲边梯形面积易求时，可通过求曲边梯形的面积求定积分．
• •
1．用化归法计算矩形面积和用逼近的思想方法求出曲边梯形的 面积的具体步骤为 、 、 、 求和 近似代替 ． 分割
取极限
• 2．定积分的定义 • 如果函数f(x)在区间[a，b]上连续，用分点将区间[a，b]等分成n 个小区间，在每个小区间上任取一点 • ξi(i＝1,2，„，n)，作和式 .当n→∞时，上述和式无限 接近于某个常数，这个常数叫做函数f(x)在区间[a， • b]上的定积分，记作 .
(部编版)2020届高考数学大一轮复习第二章第十二节定积分与微积分基本定理教师用书理22
第十二节 定积分与微积分基本定理☆☆☆2017考纲考题考情☆☆☆自|主|排|查1．定积分的定义一般地，如果函数f (x )在区间[a ，b ]上连续，用分点a ＝x 0<x 1<…<x i －1<x i <…<x n ＝b ，将区间[a ，b ]等分成n 个小区间，在每个小区间[x i －1，x i ]上任取一点ξi (i ＝1,2，…，n )，作和式∑i ＝1nf (ξi )Δx ＝∑i ＝1nb －anf (ξi )，当n →∞时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数f (x )在区间[a ，b ]上的定积分，记作⎠⎛ab f (x )d x 。
2．定积分的相关概念在⎠⎛ab f (x )d x 中，a 与b 分别叫做积分下限与积分上限，区间[a ，b ]叫做积分区间，函数f (x )叫做被积函数，x叫做积分变量，f (x )d x 叫做被积式。
3．定积分的性质(1)⎠⎛a b kf (x )d x ＝k ⎠⎛ab f (x )d x (k 为常数)；(2)⎠⎛a b [f 1(x )±f 2(x )]d x ＝⎠⎛a b f 1(x )d x ±⎠⎛ab f 2(x )d x ；(3)⎠⎛ab f (x )d x ＝⎠⎛ac f (x )d x ＋⎠⎛cb f (x )d x (其中a <c <b )。
4．定积分的几何意义 如图：设阴影部分面积为S 。
(1)S ＝⎠⎛ab f (x )d x ；(2)S ＝－⎠⎛ab f (x )d x ；(3)S ＝⎠⎛a c f (x )d x －⎠⎛c b f (x )d x ；(4)S ＝⎠⎛ab f (x )d x －⎠⎛ab g (x )d x ＝⎠⎛ab [f (x )－g (x )]d x 。
5．微积分基本定理如果F ′(x )＝f (x )，且f (x )在[a ，b ]上可积，则⎠⎛ab f(x)d x ＝F (b )－F (a )。
高中数学高考高三理科一轮复习资料第2章 2.4 定积分与微积分基本定理
方)； (2)如果在[a，b] 上，f(x)≤0，则曲线 y＝f(x)，x＝a，x＝ b b b(a ＜ b) 和 x 轴围成的曲边梯形的面积为 S ＝ |f(x)|dx ＝－
a a
f(x)dx(这时曲线全部在 x 轴下方)；
(3)如果在[a，b]上，f(x)有正有负，即曲线在 x 轴上方和下 方都有图象，例如：在(a，c)上位于 x 轴上方，在(c，b)上位于 x 轴下方，则曲线 y＝f(x)，x＝a，x＝b(a＜b)和 x 轴围成的曲 c b 边梯形的面积为 S＝ f(x)dx＋ |f(x)|dx＝
b b b 4. f(x)dx， |f(x)|dx， | f(x)dx|三者在几何意义上的不同． 当
i 0 n－1
果和式极限存在，则称和式 In 的极限为函数 f(x)在区间[a，b] b fxdx 上的定积分，记作①______，即 ＝②________.
a
b (2)在 f(x)dx 中， a 与 b 分别叫做积分下限与积分上限， 区
a
间③________叫做积分区间，函数④________叫做被积函数， ⑤________叫做积分变量，⑥________叫做被积式．
a
曲线 f(x)以及直线 x＝a、 x＝b 之间的曲边梯形面积的代数和(图 ②中阴影所示)，其中在 x 轴上方的面积等于该区间上的积分 值，在 x 轴下方的面积等于该区间上积分值的⑦__________.
3．定积分的基本性质： b (1) kf(x)dx＝⑧____________________________.
c a
b f(x)dx－ f(x)dx.
c
a
c
2．由曲线 y＝f(x)，y＝g(x)(f(x)＞g(x))与直线 x＝a，x＝ b b(a＜b)围成的图形的面积为 S＝ [f(x)－g(x)]dx.
高中数学重点知识归纳2024
高中数学重点知识归纳2024一、函数与极限1. 函数的定义与性质（1）函数的定义：在某一变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x在某一范围内的每一个值，按照对应法则f，都有唯一确定的y值与之对应，那么就称y是x的函数，记作y=f(x)。
（2）函数的性质：单调性、奇偶性、周期性、有界性。
2. 函数的图像与变换（1）函数图像：函数的图像是所有函数值对应的点在坐标系中的集合。
（2）函数变换：函数图像的平移、伸缩、对称等变换。
3. 初等函数（1）幂函数：y=x^α（α为实数）。
（2）指数函数：y=a^x（a为正常数）。
（3）对数函数：y=log_a x（a为正常数）。
（4）三角函数：y=sin x、y=cos x、y=tan x等。
4. 函数极限（1）数列极限：当n趋向于无穷大时，数列{a_n}的极限是A，记作lim(n→∞)a_n=A。
（2）函数极限：当x趋向于x_0时，函数f(x)的极限是A，记作lim(x→x_0)f(x)=A。
二、导数与微分1. 导数的定义与计算（1）导数的定义：函数在某一点x_0的导数是自变量在该点的增量与函数值增量的比值在增量趋向于0时的极限。
（2）导数的计算：利用导数的四则运算法则、复合函数的导数法则、隐函数的导数法则等。
2. 导数的应用（1）切线斜率：函数在某一点x_0的导数表示该点切线的斜率。
（2）函数的单调性：利用导数的符号判断函数的单调性。
（3）函数的极值：利用导数为0的点判断函数的极值。
（4）函数的最值：利用导数和单调性判断函数的最值。
3. 微分（1）微分的定义：函数在某一点x_0的微分是自变量在该点的增量与函数值增量的比值乘以自变量的增量。
（2）微分的计算：利用微分的四则运算法则、复合函数的微分法则等。
三、积分与级数1. 定积分（1）定积分的定义：函数在区间[a, b]上的定积分是自变量在该区间上的积分和的极限。
（2）定积分的计算：利用定积分的基本性质、牛顿-莱布尼茨公式等。
2015届高考数学总复习 基础知识名师讲义 第二章 第十六节定积分及其简单应用 理
第十六节 定积分及其简单应用知识梳理 一、连续曲线一般地，如果函数y ＝f (x )在某个区间I 上的图象是一条连续不断的曲线，那么我们就把它称为区间I 上的________．二、以直代曲求曲边梯形的面积的方法与步骤 1．分割：n 等分区间[a ，b ]．2．近似代替：取点ξi ∈[]x i －1，x i .3．求和：4. 取极限：三、定积分的定义如果函数f (x )在区间[a ，b ]上的图象是连续曲线，用分点a ＝x 0<x 1<x 2<…<x i －1<x i <…<x n＝b 将区间[a ，b ]等分成n 个小区间．在每个小区间[]x i －1，x i 上任取一点ξi (i ＝1,2，…，n )，作和式________________，当n →∞时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数f (x )在区间[a ，b ]上的________，记作________，即其中f (x )叫做被积函数，x 叫做积分变量，f (x )d x 叫做被积式，b ，a 分别叫做积分上限和下限，区间[a ，b ]叫做积分区间，“∫”称为积分号．四、定积分∫a bf (x )d x 的实质1．当f (x )在区间[a ，b ]上大于0时，∫a bf (x )d x 表示___________________，这也是定积分的几何意义(如图①)．2．当f (x )在区间[a ，b ]上小于0时，∫a bf (x )d x 表示_______________________(如图②)．3．当f (x )在区间[a ，b ]上有正有负时，∫a bf (x )d x 表示________________________(如图③)．了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念，了解微积分基本定理的含义.五、微积分基本定理(牛顿－莱布尼兹公式)一般地，如果f (x )是闭区间[a ，b ]上的连续函数，并且F ′(x )＝f (x )，那么∫a b(x )d x ＝________，这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿―莱布尼兹公式，可以把F (b )－F (a )记作F (x )|b a ，即∫a bf (x )d x ＝____________.其中F (x )叫做f (x )的一个原函数． 六、基本的积分公式∫a b 0d x ＝C ；∫a b x m d x ＝1m ＋1x m ＋1＋C (m ∈Q ，m ≠－1)；∫a b 1x d x ＝ln ||x ＋C ；∫a b e xd x ＝e x＋C ；∫a b a xd x ＝a xln a＋C ；∫a b cos x d x ＝sin x ＋C ；∫a bsin x d x ＝－cos x ＋C (各式中的C 均为常数)．七、定积分的性质1.∫a bkf (x )d x ＝________________(k 为常数)．2.∫a b[f (x )±g (x )]d x ＝________________.3.∫a bf (x )d x ＝________________(其中a <c <b )． 八、利用函数的奇偶性求定积分若f (x )是[－a ，a ]上的奇函数，则∫-a af (x )d x ＝0；若f (x )是[－a ，a ]上的偶函数，则∫-a a f (x )d x ＝2∫0af (x )d x .九、定积分的求法1．定义法(用微分思想求曲边梯形的面积：分割、近似代替、求和、取极限)． 2．牛顿－莱布尼兹公式法．3．几何意义法：若y ＝f (x )，x 轴与直线x ＝a ，x ＝b 之间的各部分区域是可求面积的规则图形，则可直接求其面积．如求∫-111－x 2d x .4．利用奇、偶函数的性质． 十、定积分的简单应用1．定积分在几何中的应用：如图，曲线y ＝f (x )，y ＝g (x )与直线x ＝a ，x ＝b 围成的曲边梯形面积S ＝∫a b[f (x )－g (x )]d x .2．定积分在物理中的应用：(1)变速直线运动的路程：运动速度为V (t )，则在t ＝a 到t ＝b 时间内物体的位移为S＝∫a bv (t )d t ；(2)变力作功：力F 是位移s 的函数，则在s ＝a 到s ＝b 位移内力所做的功为W ＝∫a bF (s )d s .3．定积分与其他知识的综合．基础自测1.lim n →∞1n ⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin πn ＋sin 2πn ＋…＋sin （n －1）πn 写成定积分的形式，可记为( ) A.∫0π sin x d x B.∫01sin x d x C.1π∫0π sin x d x D.∫0π sin x x d x答案：A2. 已知二次函数y ＝f (x )的图象如图所示，则它与x 轴所围图形的面积为( )A.2π5B.43C.32D.π2解析：根据图象可得：y ＝f (x )＝－x 2＋1， 再由定积分的几何意义，可求得面积为S ＝∫-11(－x 2＋1)d x ＝⎝⎛⎭⎫－13x 3＋x ｜-11＝43.故选B. 答案：B3．(2013·韶关三模)计算∫03(2x －1)d x ＝________.解析：由导数的运算法则知当F (x )＝x 2－x 时， F ′(x )＝2x －1， 由定积分定义得∫30(2x －1)d x ＝F (3)－F (0)＝9－3＝6. 答案：64．(2013·湖南卷)若∫T0x2d x＝9 ，则常数T的值为________________．解析：∫T0x2d x＝x23|T0＝T33＝9，解得T＝3.答案：31．(2013·江西卷)若S 1＝∫21x 2d x ，S 2＝∫211xd x ，S 3＝∫21e xd x ，则S 1，S 2，S 3的大小关系为( )A ．S 1 < S 2 < S 3B ．S 2 < S 1 < S 3C ．S 2 < S 3 < S 1D ． S 3 < S 2 < S 1解析：利用定积分的几何意义知B 正确． 答案：B2．(2012·山东卷)设a ＞0，若曲线y ＝x 与直线x ＝a ，y ＝0所围成封闭图形的面积为a 2，则a ＝________.解析：由已知得S ＝∫0ax d x ＝23x 32｜0a ＝23a 32＝a 2，所以a 12＝23，所以a ＝49.答案：491．由曲线y ＝x ，直线y ＝x －2及y 轴所围成的图形的面积为( ) A.103 B ．4 C.163 D ．6解析：y ＝x 与y ＝x －2以及y 轴所围成的图形面积为如图所示的阴影部分，联立⎩⎨⎧y ＝x ，y ＝x －2，得交点坐标为(4,2)，故所求面积为S ＝∫04[x －(x －2)]d x ＝⎣⎡⎦⎤23x 32－⎝⎛⎭⎫x 22－2x ⎪⎪⎪4＝163. 答案：C2．已知f (x )＝x 2＋ax ＋a (a ≤2，x ∈R )，g (x )＝e －x，φ(x )＝f (x )·g (x )．(1)当a ＝1时，求φ(x )的单调区间；(2)求g (x )在点(0,1)处的切线与直线x ＝1及曲线g (x )所围成的封闭图形的面积S .解析：(1)当a ＝1时，φ(x )＝(x 2＋x ＋1)·e －x ，φ′(x )＝e －x (－x 2＋x )． ∴φ(x )的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(－∞，0)，(1，＋∞)．(2)切线的斜率为k ＝g ′(0)＝－e －x |x ＝0＝－1， ∴切线方程为y ＝－x ＋1.g (x )在点(0,1)处的切线y ＝－x ＋1与直线x ＝1及曲线g (x )＝e －x 所围成的封闭图形如下图所示．故所求封闭图形面积为S ＝∫01[e －x －(－x ＋1)]d x ＝∫01(e －x ＋x －1)d x ＝⎝⎛⎭⎫－e －x ＋12x 2－x |01＝12－1e. 答案：见解析。
高考数学一轮复习 第15讲定积分与微积分基本定理课件 理 新人教课标A
为_积__分__下__限_____，b 称为_积__分__上__限_____．
第15讲 │知识梳理
2．定积分的几何意义
在区间[a，b]上的连续函数 f(x)，若恒有 f(x)≥0，定积分baf(x)dx
表
示
由
_直__线__x_＝__a_，__x_＝__b_(_a_≠_b_)_，__y_＝__0_和__曲__线__y_＝__f_(x_)_所__围__成__的__曲__边__梯__形__的___ _面__积____________．
0
中 F(x)可将基本初等函数的导数公式逆向使用得到．当被积函数 含有绝对值(或平方根)时，需按绝对值内的正、负号将定积分区 间分段，然后按区间的可加性逐段积分；同样，当被积函数为分 段函数时，也需按函数定义的分段情形相应的逐段积分．
第15讲 │规律总结
3．利用定积分求平面图形的面积的步骤如下：(1)画出函 数的草图，确定积分变量；(2)求图象的交点，确定积分上、 下限；(3) 将曲边梯形的面积表示为若干定积分之和；(4)利用 定积分求面积．
第15讲 │要点探究
(2)由a (2x－8)dx＝(x2－8x)|a0＝a2－8a≤0，显然 a≠0，故解集为 0
{a|0<a≤8}．
(3)01f(x)dx＝01(ax2＋1)dx＝
a3x3＋x10＝a3＋1＝2，解得 a＝3.
第15讲 │要点探究
► 探究点2 利用定积分的几何意义求定积分 例 2 求定积分1[ 1－（x－1）2－x]dx 的值．
第15讲 │知识梳理
3．定积分的性质
(1)定积分的线性性质
kbf(x)dx bkf(x)dx＝____a________(k 为常数)；
a
3.4 定积分的应用(弧长、面积)
n
λ →0
i =1
a
上述四步中，第二步是关键， 上述四步中，第二步是关键，即确定所求量 A 在第 i 个小 关键。 区间 [ x i −1 , x i ] 上的部分量 ∆Ai 的近似值 f (ξ i )∆x i 是关键。
3
3.4.1-3 定积分的应用 定积分的应用——弧长、面积和体积 弧长、 弧长
说 明： 有关。 （ 1）所求量（面积 A）与自变量 x 的变化区间 [a , b] 有关。 ）所求量（ ） 具有可加性， （2）所求量对区间 [a , b] 具有可加性，即 A = ∑ ∆Ai 。 所求量对区间
i= 1 n
（3）用 f (ξ i )∆x i 近似代替部分量 ∆Ai 时，它们只差一个 高阶的无穷小量。 比 ∆x i 高阶的无穷小量。 因此 A = ∫ f ( x )dx = lim ∑ f (ξ i )∆x i 。
3.4.1-3 定积分的应用 定积分的应用——弧长、面积和体积 弧长、 弧长
第三步求和： 第三步求和
A ≈ ∑ f (ξ i )∆x i ；
i =1
n
第四步取极限：令 第四步取极限 令 λ = max ∆x i ，
1≤ i ≤ n
则 A = lim ∑ f (ξ i )∆x i = ∫ f ( x )dx 。
( i = 1, 2, L , n) ，设第 i 个小曲边梯形的面积 为 ∆Ai ，则 n y A = ∑ ∆Ai y = f ( x)
i =1
第二步取近似： 第二步取近似 ∀ξ i ∈ [ x i −1 , x i ] ，
A
பைடு நூலகம்o a
b x
2
∆Ai ≈ f (ξ i )∆x i
( i = 1,2, L , n)
高数第六章第一次定积分的计算面积
2 0
y2 2 x
2 x ( 2 x ) dx
8
2
2 x ( x 4) dx
选 y 为积分变量 y [2, 4]
y2 18 . A ( y 4 ) dy 2018/11/13 2 2
4
9
二、直角坐标系下求平面图形的面积
x (t ) 如果曲边梯形的曲边为参数方程 y (t )
2018/11/13
( , )
12
三、极坐标系
2、平面上点的极坐标表示
(1) 0 表示极点，
即极点的坐标为
M
O(0, ) ( 2) 0,0 2
( , )
o
极坐标系
x
平面上点M 与一对实数一一对应 如下列点的表示：
11 M1 ( 2, ); M 2 (1, ); M 3 ( 3, ); 6 2 6
的面积为 Ai ，则 A Ai .
n
曲边梯形被分为 n个小窄曲边梯形，第 i 个小窄曲边梯形
i 1
（2）计算Ai 的近似值 Ai f ( i )xi i xi
（3） 求和，得A的近似值 A f ( i )xi .
i 1 n
（4） 求极限，得A的精确值
2018/11/13 5
一、问题的提出
U 的元素 f ( x )dx 为被积表达式，在 3）以所求量
区间[a , b]上作定积分，得U
U 的积分表达式. 即为所求量
这个方法通常叫做元素法．
应用方向：
a f ( x )dx ，
b
平面图形的面积；体积；平面曲线的弧长；
高考数学技巧如何利用积分求曲线下面积
高考数学技巧如何利用积分求曲线下面积数学作为高考的一门重要科目，对于学生来说，掌握一些实用的技巧是非常必要的。
其中，利用积分求曲线下面积是一个常见而有用的技巧。
本文将介绍如何利用积分来求解曲线下面积的方法，以帮助广大学生在高考中取得更好的成绩。
首先，我们需要了解积分的概念。
积分是微积分中的一个重要概念，它可以用来求解曲线下面积、计算函数的平均值等。
在求解曲线下面积时，我们通常采用定积分的方法。
接下来，我们来看一个具体的例子，以帮助理解如何应用积分来求解曲线下面积。
例子：求函数y=x²在区间[0,2]上的曲线下面积。
解题思路：1. 首先，我们画出函数y=x²在区间[0,2]上的图像。
这个图像是一个开口向上的抛物线。
2. 我们需要将区间[0,2]划分成多个小区间，并计算每个小区间上的面积。
这里我们可以选择将区间[0,2]等分成n个小区间。
3. 假设每个小区间的宽度为Δx，那么每个小区间上的面积可以近似表示为ΔA = y · Δx，其中y为对应小区间上的函数值。
4. 我们可以将每个小区间上的面积加起来，得到整个区间[0,2]上的曲线下面积。
具体计算过程如下：1. 首先，我们将区间[0,2]等分成n个小区间，每个小区间的宽度为Δx = (2-0)/n = 2/n。
2. 对于每个小区间，我们可以任意选择一个点来代表整个小区间上的函数值。
在本例中，我们选择每个小区间的左端点作为代表点。
3. 那么，每个小区间上的面积可以近似表示为ΔA = (左端点的函数值) · Δx = (x_i)² · Δx，其中x_i为对应小区间的左端点的横坐标。
4. 我们可以将每个小区间上的面积相加，得到整个区间[0,2]上的曲线下面积的近似值：A ≈ Σ[(x_i)² · Δx]，其中Σ表示求和。
在求解过程中，小区间的数量n可以选择足够大，这样可以得到更精确的结果。
高中数学(新课标)选修2课件1.7.1-2定积分的应用
a
a
＝b[f(x)－g(x)]dx.
a
③如图(6)所示，所求面积 S＝S1＋S2＝ac[f(x)－g(x)]dx＋cb[g(x)－f(x)]dx
＝b|f(x)－g(x)|dx.
a
知识点二 定积分在物理中的应用 1．变速直线运动的路程 我们知道，做变速直线运动的物体所经过的路程 s，等于其速 度 函数 v＝ v(t)(v(t)≥0)在 时间 区间 [a， b] 上的定 积分 ，即 s ＝ ____b_v_(_t)_d_t ___.
【解析】 (1)由 v(t)＝8t－2t2≥0 得 0≤t≤4，即当 0≤t≤4 时， P 点向 x 轴正方向运动，t>4 时，P 点向 x 轴负方向运动．
故 t＝3 时，点 P 离开原点的路程
s1＝03(8t－2t2)dt＝4t2－23t330 ＝18. (2)当 t＝5 时，点 P 离开原点的位移 s2＝5(8t－2t2)dt
解析：由题意 v＝x′＝8t，t＝12 x，所以 v＝4 x.
又 F＝kv(k 是比例系数)，且当 v＝10 米/秒时 F＝2 牛，
所以 2＝10k，所以 k＝15，所以 F＝45 x，
又 F 与物体运动的方向相反，
所以 W＝－245 0
xdx＝－185x3220
＝－1165
2(焦耳)．
所以物体从 x＝0 到 x＝2 阻力所做的功为－1165 2焦耳．
解得 t＝0 或 t＝6，
t＝0 对应于 P 点刚开始从原点出发的情况，
∴t＝6 是所求的值．
状元随笔 首先要确定的是所需求的是路程还是位移，然后 用相应的方法求解．
方法归纳
(1)用定积分解决变速直线运动的位移和路程问题时，将物理问 题转化为数学问题是关键．
高考数学专题--定积分与微积分的基本定理
高考专题--定积分与微积分的基本定理高考考点：1、定积分的计算2、定积分的应用高考中对定积分的考查主要是考查定积分的概念和几何性质，以及利用微积分定理计算定积分、使用定积分求曲边梯形的面积，并能解决一些简单的物理问题等．在解题时要熟练运用微积分定理及定积分的相关运算性质求解，必要时运用数形结合的思想求解. 考点1 定积分的计算题组一 用牛顿—莱布尼茨公式求定积分调研1 已知函数1(10)()πcos (0)2x x f x x x +-≤≤⎧⎪=⎨<≤⎪⎩，则π21()d f x x -=⎰A ．12 B ．1 C ．2 D ．32【答案】D 【解析】πππ200222101113()d (1)d cos d ()|sin |1222x f x x x x x x x x ---=++=++=+=⎰⎰⎰，故选D.☆技巧点拨☆1．用牛顿—莱布尼茨公式求定积分的步骤（1）把被积函数变形为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与常数的积的和或差； （2）把定积分用定积分性质变形为求被积函数为上述函数的定积分； （3）分别用求导公式找到一个相应的原函数； （4）利用牛顿—莱布尼茨公式求出各个定积分的值； （5）计算原始定积分的值. 2．分段函数的定积分分段函数求定积分，可先把每一段函数的定积分求出后再相加． 题组二 用定积分的几何意义求定积分 调研2 计算333(cos )d x x x -=⎰.【答案】0【解析】∵3cos y x x =为奇函数，∴333(cos )d 0x x x -=⎰.调研3 若222d 2mx x x -π--=⎰，则m 等于 A ．−1 B ．0 C ．1D ．2【答案】B【解析】由已知可得: 22y x x =--的图象为圆：22(1)1x y ++=对应的上半部分，由定积分的几何意义可得0m =，故选B. ☆技巧点拨☆1．求定积分的三种方法（1）利用定义求定积分(定义法)，可操作性不强； （2）利用微积分基本定理求定积分；（3）利用定积分的几何意义求定积分．当曲边梯形面积易求时，可通过求曲边梯形的面积求定积分．例如，定积分121d x x -⎰的几何意义是求单位圆面积的14，所以120π1d =4x x -⎰.2．奇偶函数的定积分（1）若奇函数y =f (x )的图象在[−a ，a ]上连续，则()d 0aa f x x -=⎰； （2）若偶函数y =g (x )的图象在[−a ，a ]上连续，则0()d 2()d aaag x x g x x -=⎰⎰.考点2 定积分的应用题组一 利用定积分求平面图形的面积 调研1 已知a >0，若曲线y x =、x a =与0y =所围成的封闭区域的面积为2a ，则a =________.【答案】49【解析】由题意322002d |3aa a x x x ==⎰，所以a ＝49. 调研2 已知{()|,01}1,0x y x y Ω≤≤≤≤＝，A 是由直线x ＝1，y ＝0和曲线y ＝x 4所围成的曲边三角形的平面区域，若向平面区域Ω内随机投一点M ，则点M 落在区域A 内的概率为________． 【答案】15【解析】区域Ω对应的是边长为1的正方形，其面积为S ＝1.区域A 是由直线x ＝1，y ＝0和曲线y ＝x 4围成的曲边三角形，如图中阴影部分，故区域A 的面积为S A ＝14510011d |55x x x ==⎰.所以点M 落在区域A 内的概率为15. ☆技巧点拨☆利用定积分求平面图形的面积是近几年高考考查定积分的一个重要考查方向，多以选择题、填空题的形式考查．难度一般不大，属中低档题型．常见的题型及其解法如下： 1．利用定积分求平面图形面积的步骤 ①根据题意画出图形；②借助图形确定出被积函数，求出交点坐标，确定积分的上、下限； ③把曲边梯形的面积表示成若干个定积分的和； ④计算定积分，写出答案．注意：当曲边梯形位于x 轴上方时，定积分的值为正；当曲边梯形位于x 轴下方时，定积分的值为负；当位于x 轴上方的曲边梯形与位于x 轴下方的曲边梯形面积相等时，定积分的值为零． 2．知图形的面积求参数求解此类题的突破口：画图，一般是先画出它的草图；然后确定积分的上、下限，确定被积函数，由定积分求出其面积，再由已知条件可找到关于参数的方程，从而可求出参数的值． 3．与概率相交汇问题解决此类问题应先利用定积分求出相应平面图形的面积，再用相应概率公式进行计算. 题组二 定积分的物理意义调研3 一列火车在平直的铁轨上行驶，由于遇到紧急情况，火车以速度55()51V t t t=-++(t 的单位:s ，v 的单位:m/s)紧急刹车至停止.在此期间火车继续行驶的距离是 A ．55ln 10 mB ．55ln 11 mC ．(12+55ln 7) mD ．(12+55ln 6) m【解析】令55501t t -+=+，注意到t >0，得t =10，即行驶的时间为10 s. 行驶的距离s =1021000551(5)d [555ln(1)]|55ln1112t t t t t t -+=-++=+⎰，即紧急刹车后火车继续行驶的距离为55ln 11 m. ☆技巧点拨☆利用定积分解决变速直线运动问题和变力做功问题时，关键是求出物体做变速直线运动的速度函数和变力与位移之间的函数关系，确定好积分区间，得到积分表达式，再利用微积分基本定理计算即得所求. 强化训练：1．由曲线1xy =与直线y x =，3y =所围成的封闭图形的面积为 A ．2ln3-B ．ln3C ．2D ．4ln3-【答案】D2．设()[](]cos ,0,π1,π,2πx x f x x ⎧∈⎪=⎨∈⎪⎩，则()2π0d f x x =⎰A ．0B ．πC ．π-D ．π2【答案】B 【解析】由已知得()2πd f x x =⎰π2ππ2π0π0πcos d 1d sin ||πx x x x x +=+=⎰⎰，故选B.3．若π20π22sin d 4n x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭⎰，则2ny y ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中常数项为A ．8B ．16C ．24D ．604．已知平面区域(){,|0π,01}x y x y Ω=≤≤≤≤，现向该区域内任意掷点，则该点落在曲线2sin y x =下方的概率是 A ．12B ．1π C ．2πD ．π4【答案】A5．已知函数()f x 的部分图象如图所示，向图中的矩形区域随机投出200粒豆子，记下落入阴影区域的豆子数，通过100次这样的试验，算得落入阴影区域的豆子的平均数为66，由此可估计()2d f x x ⎰的值约为A ．9925B ．9950 C ．310D ．35【解析】由定积分的几何意义知()2d f x x ⎰的值即为阴影部分面积S ，再由几何概型可知6620023S=⨯，解得9950S =．故本题选B ． 6．()22214d x x -+-=⎰___________.【答案】42π+ 【解析】由题意得()2222222214d 1d 4d x x x x x ---+-=+-⎰⎰⎰，令24y x =-，则()2240x y y +=≥，其图象为半圆，且面积为2π，又22221d |4x x --==⎰，所以填42π+. 7．如图所示，在平面直角坐标系内，四边形ABCD 为正方形且点C 坐标为11,2⎛⎫⎪⎝⎭.抛物线Γ的顶点在原点，关于x 轴对称，且过点C .在正方形ABCD 内随机取一点M ，则点M 在阴影区域内的概率为_________．【答案】238．设曲线cos y x =与x 轴、y 轴、直线π6x =围成的封闭图形的面积为b ，若()22ln 2g x x bx kx =--在[)1,+∞上单调递减，则实数k 的取值范围是__________．【答案】[0,)+∞【解析】由题意可知，ππ660π11cos d sin |sinsin 00622b x x x ===-=-=⎰，则()222ln 22ln g x x bx kx x x kx =--=--，()22g x x k x-'=-， 由()22ln 2g x x bx kx =--在[)1,+∞上单调递减，9．2(1)d x x -=⎰．【答案】0 【解析】2220011(1)d ()|42022x x x x -=-=⨯-=⎰.10．曲线2y x =与直线y x =所围成的封闭图形的面积为 ． 【答案】16【解析】由题意可得封闭图形的面积为122310011111()d ()|23236x x x x x -=-=-=⎰. 11．执行如图所示的程序框图，输出的T 的值为 ．【答案】错误！未找到引用源。
高三数学人教版A版数学(理)高考一轮复习教案 定积分与微积分基本定理
第十三节 定积分与微积分基本定理积分的运算及应用(1)了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念． (2)了解微积分基本定理的含义．知识点一 定积分 1．定积分的性质(1)⎠⎛a bkf (x )d x ＝k⎠⎛a bf (x )d x (k 为常数)．(2)⎠⎛a b [f (x )±g (x )]d x ＝⎠⎛a b f (x )d x ±⎠⎛a bg (x )d x .(3)⎠⎛a bf (x )d x ＝⎠⎛a cf (x )d x ＋⎠⎛c bf (x )d x (其中a <c <b )． 2．定积分的几何意义(1)当函数f (x )在区间[a ，b ]上恒为正时，定积分⎠⎛a bf (x )d x 的几何意义是由直线x ＝a ，x ＝b (a ≠b )，y ＝0和曲线y ＝f (x )所围成的曲边梯形的面积(图(1)中阴影部分)．(2)一般情况下，定积分⎠⎛a bf (x )d x 的几何意义是介于x 轴、曲线f (x )以及直线x ＝a 、x ＝b 之间的曲边梯形面积的代数和(图(2)中阴影所示)，其中在x 轴上方的面积等于该区间上的积分值，在x 轴下方的面积等于该区间上积分值的相反数．易误提醒 (1)若积分式子中有几个不同的参数，则必须先分清谁是被积变量． (2)定积分式子中隐含的条件是积分上限大于积分下限．(3)定积分的几何意义是曲边梯形的面积，但要注意：面积非负，而定积分的结果可以为负．[自测练习]1．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2 (x ≥0)，2x (x <0)，则⎠⎛1－1f (x )d x 的值是( ) A.⎠⎛1－1x 2d x B.⎠⎛1－12xd x C.⎠⎛0－1x 2d x ＋⎠⎛102x d x D.⎠⎛0－12x d x ＋⎠⎛10x 2d x解析：由分段函数的定义及积分运算性质，∴⎠⎛1－1f (x )d x ＝⎠⎛0－12xd x ＋⎠⎛10x 2d x . 答案：D2．已知f (x )是偶函数，且⎠⎛06f (x )d x ＝8，则⎠⎛6－6f (x )d x ＝( ) A ．0 B ．4 C ．6D ．16解析：因为函数f (x )是偶函数，所以函数f (x )在y 轴两侧的图象对称，所以⎠⎛6－6f (x )d x ＝⎠⎛0－6f (x )d x ＋⎠⎛06f (x )d x ＝2⎠⎛06f (x )d x ＝16.答案：D知识点二 微积分基本定理如果f (x )是区间[a ，b ]上的连续函数，并且F ′(x )＝f (x )．那么⎠⎛a bf (x )d x ＝F (b )－F (a )．这个结论叫作微积分基本定理，又叫作牛顿—莱布尼兹公式．为了方便，常把F (b )－F (a )记成F (x )| b a ，即⎠⎛a bf (x )d x ＝F (x )| b a ＝F (b )－F (a )．必备方法 运用微积分基本定理求定积分的方法： (1)对被积函数要先化简，再求积分．(2)求被积函数为分段函数的定积分，依据定积分“对区间的可加性”，分段积分再求和． (3)对于含有绝对值符号的被积函数，要先去掉绝对值号再求积分． (4)注意用“F ′(x )＝f (x )”检验积分的对错．[自测练习]3．设a ＝⎠⎛01x －13d x ，b ＝1－⎠⎛01x 12d x ，c ＝⎠⎛01x 3d x ，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a >b >cB ．b >a >cC ．a >c >bD ．b >c >a解析：a ＝⎠⎛01x －13d x ＝32x 23| 10＝32， b ＝1－⎠⎛01x 12d x ＝1－23x 32| 10＝13， c ＝⎠⎛01x 3d x ＝14x 4| 10＝14，因此a >b >c ，故选A. 答案：A4．由曲线y ＝x 2，y ＝x 3围成的封闭图形的面积为( ) A.112 B.14 C.13D.712解析：由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x 2，y ＝x 3得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1.结合图形知(图略)所求封闭图形的面积为⎠⎛01(x 2－x 3)d x ＝⎝⎛⎭⎫13x 3－14x 4| 10＝112，故选A. 答案：A考点一 定积分的计算|1．定积分⎠⎛039－x 2d x 的值为( ) A ．9π B ．3π C.94π D.92π 解析：由定积分的几何意义知，⎠⎛039－x 2d x 是由曲线y ＝9－x 2，直线x ＝0，x ＝3，y ＝0围成的封闭图形的面积，故⎠⎛039－x 2d x ＝π·324＝9π4，故选C.答案：C2．(2016·临沂模拟)若∫π20(sin x ＋a cos x )d x ＝2，则实数a 等于( ) A ．－1 B ．1 C. 3D ．－ 3解析：∵(a sin x －cos x )′＝sin x ＋a cos x . ∴∫π20(sin x ＋a cos x )d x ＝(a sin x －cos x )⎪⎪π20 ＝⎝⎛⎭⎫a sin π2－cos π2－(a sin 0－cos 0)＝a ＋1＝2. ∴a ＝1. 答案：B3．(2015·西安模拟)已知A ＝⎠⎛03|x 2－1|d x ，则A ＝________.解析：A ＝⎠⎛03|x 2－1|d x ＝⎠⎛01(1－x 2)d x ＋⎠⎛13(x 2－1)d x ＝⎝⎛⎭⎫x －13x 3| 10＋⎝⎛⎭⎫13x 3－x | 31＝223. 答案：223定积分计算的三种方法定义法、几何意义法和微积分基本定理法，其中利用微积分基本定理是最常用的方法，若被积函数有明显的几何意义，则考虑用几何意义法，定义法太麻烦，一般不用．考点二 利用定积分求平面图形的面积|设抛物线C ：y ＝x 2与直线l ：y ＝1围成的封闭图形为P ，则图形P 的面积S 等于( )A ．1 B.13 C.23D.43[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，y ＝1，得x ＝±1.如图，由对称性可知，S ＝2()1×1－⎠⎛01x 2d x ＝2⎝⎛⎭⎫1×1－13x 3| 10＝43，选D.[答案] D利用定积分求平面图形面积的三个步骤(1)画图象：在直角坐标系内画出大致图象．(2)确定积分上、下限：借助图象的直观性求出交点坐标，确定积分上限和下限． (3)用牛顿－莱布尼茨公式求面积：将曲边多边形的面积表示成若干定积分的和，计算定积分，写出结果．1．(2015·衡中三模)由曲线y ＝2－x 2，直线y ＝x 及x 轴所围成的封闭图形(图中的阴影部分)的面积是________．解析：把阴影部分分成两部分求面积． S ＝S 1＋S 2＝⎠⎛0－2(2－x 2)d x ＋⎠⎛01(2－x 2－x )d x＝⎝⎛⎭⎫2x －x 33| 0－2＋⎝⎛⎭⎫2x －x 33－x 22| 10 ＝22－(2)33＋2－13－12＝423＋76. 答案：423＋76考点三 定积分物理意义的应用|一物体做变速直线运动，其v -t 曲线如图所示，则该物体在12s ～6 s 间的运动路程为________．[解析] 由图象可知，v (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧2t ，0≤t <1，2，1≤t <3，13t ＋1，3≤t ≤6，所以12s ～6 s 间的运动路程s ＝⎠⎜⎛126 v (t )= ⎠⎜⎛1262t d t ＋⎠⎛132d t ＋⎠⎛36⎝⎛⎭⎫13t ＋1d t＝36111322149264t t t ⎛⎫+++=⎪⎝⎭. [答案]494利用定积分解决变速直线运动问题和变力做功问题时，关键是求出物体做变速直线运动的速度函数和变力与位移之间的函数关系，确定好积分区间，得到积分表达式，再利用微积分基本定理计算即得所求．2．一物体在力F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧10，(0≤x ≤2)，3x ＋4，(x >2)，(单位：N)的作用下沿与力F (x )相同的方向运动了4米，力F (x )做功为( )A ．44 JB ．46 JC ．48 JD ．50 J解析：力F (x )做功为⎠⎛0210d x ＋⎠⎛24(3x ＋4)d x＝10x | 20＋⎝⎛⎭⎫32x 2＋4x | 42 ＝20＋26＝46. 答案：B5.混淆图形面积与定积分关系致误【典例】 已知函数y ＝f (x )的图象是折线段ABC ，其中A (0,0)，B ⎝⎛⎭⎫12，5，C (1,0)．函数y ＝xf (x )(0≤x ≤1)的图象与x 轴围成的图形的面积为________．[解析] 由题意可得f (x )＝⎩⎨⎧10x ，0≤x ≤12，10－10x ，12<x ≤1，所以y ＝xf (x )＝⎩⎨⎧10x 2，0≤x ≤12，10x －10x 2，12<x ≤1与x 轴围成图形的面积为120⎰10x 2d x ＋112⎰(10x －10x 2)d x ＝103x 3112012231053x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝54. [答案] 54[易误点评] (1)本题易写错图形面积与定积分间的关系而导致解题错误．(2)本题易弄错积分上、下限而导致解题错误，实质是解析几何的相关知识和运算能力不够致错．[防范措施] 解决利用定积分求平面图形的面积问题时，应处理好以下两个问题： (1)熟悉常见曲线，能够正确作出图形，求出曲线交点，必要时能正确分割图形．(2)准确确定被积函数和积分变量．[跟踪练习] (2015·洛阳期末)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，－1≤x <0e x ，0≤x ≤1的图象与直线x ＝1及x 轴所围成的封闭图形的面积为________．解析：由题意知，所求面积为⎠⎛0－1(x ＋1)d x ＋⎠⎛01e x d x ＝⎝⎛⎭⎫12x 2＋x | 0－1＋e x | 10＝－⎝⎛⎭⎫12－1＋(e －1)＝e －12.答案：e －12A 组 考点能力演练1．已知t >0，若⎠⎛0t(2x －2)d x ＝8，则t ＝( ) A ．1 B ．－2 C ．－2或4D ．4解析：由⎠⎛0t(2x －2)d x ＝8得(x 2－2x )| t0＝t 2－2t ＝8，解得t ＝4或t ＝－2(舍去)，故选D.答案：D2．(2015·青岛模拟)设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ∈[0，1]，1x ，x ∈(1，e](其中e 为自然对数的底数)，则⎠⎛0e f (x )d x的值为( )A.43 B.54 C.65D.76解析：⎠⎛0ef (x )d x ＝⎠⎛01f (x )d x ＋⎠⎛1ef (x )d x ＝⎠⎛01x 2d x ＋⎠⎛1e1x d x ＝x 33| 10＋ln x | e1＝13＋ln e ＝43，故选A.答案：A3．(2016·武汉模拟)设a ＝⎠⎛12(3x 2－2x )d x ，则⎝⎛⎭⎫ax 2－1x 6的展开式中的第4项为( ) A ．－1 280x 3 B ．－1 280C ．240D ．－240解析：本题考查定积分的计算与二项式定理．依题意得a ＝(x 3－x 2)| 21＝4，二项式⎝⎛⎭⎫4x 2－1x 6的展开式的第四项是T 4＝C 36·(4x 2)3·⎝⎛⎭⎫－1x 3＝－1 280x 3，故选A. 答案：A4．如图所示，设D 是图中边长分别为1和2的矩形区域，E 是D 内位于函数y ＝1x(x >0)图象下方的区域(阴影部分)，从D 内随机取一点M ，则点M 取自E 内的概率为( )A.ln 22B.1－ln 22C.1＋ln 22D.2－ln 22解析：本题考查定积分的计算与几何概率的意义．依题意，题中的矩形区域的面积是1×2＝2，题中的阴影区域的面积等于2×12＋eq \a\vs4\al(\i\in(1xd x ＝1＋ln x eq \b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\o\al(1,＝1＋ln 2，因此所求的概率等于1＋ln 22，故选C.答案：C5．已知数列{a n }是等差数列，且a 2 013＋a 2 015＝⎠⎛024－x 2d x ，则a 2 014(a 2 012＋2a 2 014＋a 2016)的值为()A ．π2B ．2πC ．πD ．4π2解析：⎠⎛024－x 2d x 表示圆x 2＋y 2＝4在第一象限的面积，即⎠⎛024－x 2d x ＝π，又数列{a n }是等差数列，所以a 2 013＋a 2 015＝a 2 012＋a 2 016＝2a 2 014，所以得a 2 014·(a 2 012＋2a 2 014＋a 2 016)＝π2×2π＝π2，故选A.答案：A6．(2015·南昌模拟)直线y ＝13x 与抛物线y ＝x －x 2所围图形的面积等于________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝13x ，y ＝x －x 2，解得x ＝0或23，所以所求面积为∫230⎝⎛⎭⎫x －x 2－13x d x ＝∫230⎝⎛⎭⎫23x －x 2d x＝⎝⎛⎭⎫13x 2－13x 3⎪⎪230＝13×⎝⎛⎭⎫232－13×⎝⎛⎭⎫233－0＝481. 答案：4817．(2015·长春二模)已知a >0且曲线y ＝x 、x ＝a 与y ＝0所围成的封闭区域的面积为a 2，则a ＝________.解析：由题意a 2＝⎠⎛0ax d x ＝23x 32| a 0，所以a ＝49.答案：498．已知a ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，则⎠⎛0a (cos x －sin x )d x 取最大值时，a ＝________.解析：⎠⎛0a(cos x －sin x )d x ＝(sin x ＋cos x )| a 0＝sin a ＋cos a －1＝2sin ⎝⎛⎭⎫a ＋π4－1.∵a ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，∴当a ＝π4时，[]⎠⎛0a(cos x －sin x )d x max ＝2－1.答案：π49．求曲线y ＝x ，y ＝2－x ，y ＝－13x 所围成图形的面积．解：如图，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，y ＝2－x ，得交点A (1,1)；由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2－x ，y ＝－13x ，得交点B (3，－1)．故所求面积S ＝⎠⎛01⎝⎛⎭⎫x ＋13x d x ＋⎠⎛13⎝⎛⎭⎫2－x ＋13x d x ＝⎝⎛⎭⎫23x 32＋16x 2| 10＋⎝⎛⎭⎫2x －13x 2| 31＝23＋16＋43＝136. 10．汽车以54 km /h 的速度行驶，到某处需要减速停车，设汽车以等加速度－3 m/s 2刹车，问从开始刹车到停车，汽车走了多远？解：由题意，得v 0＝54 km /h ＝15 m/s. 所以v (t )＝v 0＋at ＝15－3t . 令v (t )＝0，得15－3t ＝0.解得t ＝5.所以开始刹车5 s 后，汽车停车． 所以汽车由刹车到停车所行驶的路程为 s ＝⎠⎛05v (t )d t ＝⎠⎛05(15－3t )d t ＝⎝⎛⎭⎫15t －32t 2| 50＝37.5(m)． 故汽车走了37.5 m.B 组 高考题型专练1．(2014·高考陕西卷)定积分⎠⎛01(2x ＋e x )d x 的值为( )A ．e ＋2B ．e ＋1C ．eD ．e －1解析：⎠⎛01(2x ＋e x )d x ＝(x 2＋e x )| 10＝1＋e 1－1＝e.答案：C2．(2014·高考江西卷)若f (x )＝x 2＋2⎠⎛01f (x )d x ，则⎠⎛01f (x )d x ＝( )A ．－1B ．－13C.13D ．1解析：令⎠⎛01f (x )d x ＝m ，则f (x )＝x 2＋2m ，所以⎠⎛01f (x )d x ＝⎠⎛01(x 2＋2m )d x ＝⎝⎛⎭⎫13x 3＋2mx | 10＝13＋2m ＝m ，解得m ＝－13，故选B. 答案：B3．(2013·高考湖北卷)一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v (t )＝7－3t ＋251＋t(t 的单位：s ，v 的单位：m/s)行驶至停止．在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是( )A ．1＋25ln 5B ．8＋25ln113C ．4＋25ln 5D ．4＋50ln 2解析：由v (t )＝0得t ＝4.故刹车距离为 s ＝⎠⎛04v (t )d t ＝⎠⎛04⎝ ⎛⎭⎪⎫7－3t ＋251＋t d t＝⎣⎡⎦⎤－32t 2＋7t ＋25ln (1＋t )| 40＝4＋25ln 5.答案：C4．(2014·高考山东卷)直线y ＝4x 与曲线y ＝x 3在第一象限内围成的封闭图形的面积为( )A ．2 2B ．4 2C ．2D ．4解析：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝4x ，y ＝x 3得x ＝0或x ＝2或x ＝－2(舍)． ∴S ＝⎠⎛02(4x －x 3)d x ＝⎝⎛⎭⎫2x 2－14x 4| 20＝4. 答案：D5．(2015·高考天津卷)曲线y ＝x 2与直线y ＝x 所围成的封闭图形的面积为________． 解析：由题意，可得封闭图形的面积为⎠⎛01(x －x 2)d x ＝⎝⎛⎭⎫12x 2－13x 3| 10＝12－13＝16. 答案：166．(2015·高考陕西卷)如图，一横截面为等腰梯形的水渠，因泥沙沉积，导致水渠截面边界呈抛物线型(图中虚线所示)，则原始的最大流量与当前最大流量的比值为________．解析：建立如图所示的直角坐标系，可设抛物线的方程为x 2＝2py (p >0)，由图易知(5,2)在抛物线上，可得p ＝254，抛物线方程为x 2＝252y ，所以当前最大流量对应的截面面积为2⎠⎛05⎝⎛⎭⎫2－225x 2d x ＝403，原始的最大流量对应的截面面积为2×(6＋10)2＝16，所以原始的最大流量与当前最大流量的比值为16403＝1.2. 答案：1.2。
定积分的简单应用面积
＝ 23x23＋16x210＋ 2x－12x2＋16x213
＝23＋16＋ 2x－13x231 (10 分)
＝56＋6－13×9－2＋13＝163.
(8 分) (12 分)
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
法二 若选积分变量为 y，则三个函数分别为
x＝y2，x＝2－y，x＝－3y.
(4 分)
因为它们的交点分别为(1,1)，(0,0)，(3，－1)． (6 分)
成图形的面积．
审题指导 解答本题可先求
题型三 由两条曲线和直
出曲线与直线交点的横坐
线所围成图形面积
标，确定积分区间，然后
分段利用公式求解．
【解题流程】 作图 → 求出两曲线的交点坐标 →
确定积分区间 → 确定被积函数 定 的――积 性→分 质 分解 → 求值
[规范解答] 法一 画出草图，如图所示．
3．1 平面图形的面积
§3 定积分的 简单应用
【课标要求】
1．进一步理解定积分的概念和性质． 2．能应用定积分计算简单的平面曲线围成图形的面积．
【核心扫描】
1．利用定积分求平面图形的面积．(重点)． 2．准确认识平面图形的面积与定积分的关系．(易混点)
一般地，设由曲线 y＝f(x)，y＝g(x)以及直线 x＝a，x＝b 所围成的平面图形(如图)的面积为 S，则
S＝－轴上cf(方x)的dx定＋积分bf(减x)去dxx，轴故下选方的D定. 积分．
a
c
我们知道，当函数 f(x)在区间[a，b]上恒为正时， 定积分bf(x)dx 的几何意义是以曲线 f(x)为曲边的曲边梯形
a
的面积．在一般情况下，定积分bf(x)dx 的几何意义是介
统考版2022届高考数学一轮复习第三章3.3定积分与微积分基本定理学案理含解析
第三节 定积分与微积分基本定理【知识重温】一、必记6个知识点 1．定积分的定义及相关概念一般地，如果函数f (x )在区间[a ，b ]上连续，用分点a ＝x 0＜x 1＜…＜x i －1＜x i ＜…＜x n ＝b ，将区间[a ，b ]等分成n 个小区间，在每个小区间[x i －1，x i ]上任取一点ξi (i ＝1,2，…，n )，作和式∑i ＝1nf (ξi )Δx ＝i ＝1nb －a n f (ξi )，当n →∞时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数f (x )在区间[a ，b ]上的定积分，记作⎠⎜⎛ab f(x)d x.在⎠⎜⎛ab f(x)d x 中，a 与b 分别叫做积分下限与积分上限，区间①________叫做积分区间，函数f(x)叫做被积函数，x 叫做②________，③________叫做被积式．2．定积分的几何意义3.定积分的性质(1)⎠⎜⎛a b kf(x)d x ＝⑧________(k 为常数)．(2)⎠⎜⎛ab [f 1(x)±f 2(x)]d x ＝⑨________.(3)○10________＝⎠⎜⎛a c f(x)d x ＋⎠⎜⎛cb f(x)d x(其中a ＜c ＜b)．4．微积分基本定理一般地，如果f(x)是区间[a ，b]上的连续函数，并且F ′(x)＝f(x)，那么⎠⎜⎛ab f(x)d x ＝⑪________，这个结论叫做微积分基本定理，又叫牛顿—莱布尼茨公式．5．定积分与曲线梯形面积的关系设阴影部分的面积为S. (1)S ＝⎠⎜⎛ab f(x)d x.(2)S ＝⑫________. (3)S ＝⑬________.(4)S ＝⎠⎜⎛a b f(x)d x －⎠⎜⎛a b g(x)d x ＝⎠⎜⎛ab [f(x)－g(x)]d x.6．定积分与变速直线运动的路程及变力做功间的关系 (1)s ＝⑭________；(2)W ＝⑮________. 二、必明4个易误点1．被积函数若含有绝对值号，应去绝对值号，再分段积分． 2．若积分式子中有几个不同的参数，则必须先分清谁是被积变量． 3．定积分式子中隐含的条件是积分上限不小于积分下限．4．定积分的几何意义是曲边梯形的面积，但要注意：面积非负，而定积分的结果可以为负． 【小题热身】一、判断正误1．判断下列说法是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．(1)若函数y ＝f(x)在区间[a ，b]上连续，则⎠⎜⎛a b f(x)d x ＝⎠⎜⎛ab f(t)d t.( )(2)若⎠⎜⎛ab f(x)d x<0，则由y ＝f(x)，x ＝a ，x ＝b 以及x 轴所围成的图形一定在x 轴下方．( )(3)若f(x)是偶函数，则⎠⎜⎛-a a f(x)d x ＝2⎠⎜⎛0a f(x)d x.( )(4)若f(x)是奇函数，则⎠⎜⎛-aa f(x)d x ＝0.( )二、教材改编2.⎠⎜⎛01(e x ＋3x 2)d x 等于( )A ．1B ．e －1C ．eD ．e ＋13．22ππ-⎰(1＋cos x)d x 等于( )A ．πB ．2C ．π－2D ．π＋2三、易错易混4．由直线x ＝－π3，x ＝π3，y ＝0与曲线y ＝cos x 所围成的封闭图形的面积为( )A .12B ．1C .32D . 35.⎠⎜⎛-11 e |x|d x 的值为________．考点一 定积分的计算[自主练透型] 1．计算下列定积分： (1)⎠⎜⎛122x d x ；(2)⎠⎜⎛0πcos x d x ；(3)⎠⎜⎛13⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x 2d x.2．利用定积分的几何意义计算下列定积分： (1)⎠⎜⎛011－(x －1)2d x ；(2)⎠⎜⎛-55 (3x 3＋4sin x)d x.悟·技法求定积分的4大常用方法考点二定积分的几何意义[互动讲练型][例1] [2021·某某某某中学第二次调研]如图，阴影部分是由曲线y＝2x2和圆x2＋y2＝3及x轴围成的封闭图形，则阴影部分的面积为________．悟·技法利用定积分求平面图形面积的4步骤 (1)根据题意画出图形．(2)借助图形确定出被积函数，求出交点坐标，确定积分的上、下限． (3)把曲边梯形的面积表示成若干个定积分的和． (4)计算定积分，写出答案.[变式练]——(着眼于举一反三)1．[2021·某某统考]过点(－1,0)的直线l 与曲线y ＝x 相切，则曲线y ＝x 与l 及x 轴所围成的封闭图形的面积为________．考点三 定积分在物理中的应用[互动讲练型][例2] [2021·某某瓦房店四校联考]一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，从刹车开始，其速度与时间的关系式为v(t)＝7－3t ＋251＋t (t 的单位：s ，v 的单位：m /s )，从开始刹车到停止，汽车行驶的路程(单位：m )是( )A ．(1＋25ln 5)mB .⎝⎛⎭⎪⎫8＋25ln 113mC ．(4＋25ln 5)mD ．(4＋50ln 2)m悟·技法定积分在物理中的两个应用(1)变速直线运动的位移：如果变速直线运动物体的速度为v ＝v(t)，那么从时刻t ＝a 到t ＝b 所经过的路程s ＝⎠⎜⎛ab v(t)d t.(2)变力做功：一物体在变力F(x)的作用下，沿着与F(x)相同方向从x ＝a 移动到x ＝b 时，力F(x)所做的功是W ＝⎠⎜⎛ab F(x)d x.[变式练]——(着眼于举一反三)2．以初速40 m /s 竖直向上抛一物体，t s 时刻的速度v ＝40－10t 2，则此物体达到最高时的高度为( )A .1603mB .803mC .403mD .203m第三节 定积分与微积分基本定理【知识重温】①[a ，b ] ②积分变量 ③f (x )d x ④x ＝a⑤x ＝b ⑥x ＝a ⑦x ＝b ⑧k ⎠⎜⎛a b f(x)d x ⑨⎠⎜⎛a b f 1(x)d x ±⎠⎜⎛a b f 2(x)d x ⑩⎠⎜⎛ab f(x)d x ⑪F(b)－F(a)⑫－⎠⎜⎛ab f(x)d x⑬⎠⎜⎛ac f(x)d x －⎠⎜⎛cb f(x)d x ⑭⎠⎜⎛ab v(t)d t ⑮⎠⎜⎛ab F(x)d x 【小题热身】1．答案：(1)√ (2)× (3)√ (4)√2．解析：⎠⎜⎛01(e x ＋3x 2)d x ＝(e x ＋x 3)⎪⎪⎪⎪10＝(e 1＋1)－e 0＝e ，故选C .答案：C3．解析：因为(x ＋sin x )′＝1＋cos x ，所以22ππ-⎰(1＋cos x)d x ＝(x ＋sin x)⎪⎪⎪⎪π2－π2＝π2＋sin π2－⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＝π＋2.答案：D4．解析：由题意知S ＝33ππ-⎰cos x d x ＝sin x⎪⎪⎪⎪π3－π3＝32－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－32＝ 3.答案：D5．解析：11-⎰e |x|d x ＝01-⎰e －x d x ＋1⎰e x d x ＝－e －x ⎪⎪⎪⎪ 0－1＋e x ⎪⎪⎪⎪10＝[－e 0－(－e )]＋(e －e 0)＝－1＋e ＋e －1＝2e －2.答案：2e －2 课堂考点突破考点一1．解析：(1)因为(ln x )′＝1x ，所以⎠⎜⎛122x d x ＝2⎠⎜⎛121x d x ＝2ln x ⎪⎪⎪⎪21＝2(ln 2－ln 1)＝2ln 2.(2)因为(sin x)′＝cos x ，所以⎠⎜⎛0πcos x d x ＝sin x⎪⎪⎪⎪π0＝sin π－sin 0＝0.(3)因为(x 2)′＝2x ，⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ′＝－1x 2，所以⎠⎜⎛13⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x 2d x ＝⎠⎜⎛132x d x ＋⎠⎜⎛13⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x 2d x ＝x 2⎪⎪⎪⎪31＋1x⎪⎪⎪⎪31＝223. 2.解析：(1)根据定积分的几何意义，可知⎠⎜⎛011－(x －1)2d x 表示的是圆(x －1)2＋y 2＝1的面积的14.故⎠⎜⎛011－(x －1)2d x ＝π4.(2)设y ＝f(x)＝3x 3＋4sin x ，则f(－x)＝3(－x)3＋4sin (－x)＝－(3x 3＋4sin x)＝－f(x)，所以f(x)＝3x 3＋4sin x 在[－5,5]上是奇函数．所以05-⎰(3x 3＋4sin x)d x ＝－⎠⎜⎛05(3x 3＋4sin x)d x. 所以55-⎰(3x 3＋4sin x)d x ＝05-⎰3x 3＋4sin x)d x ＋⎠⎜⎛05(3x 3＋4sin x)d x ＝0. 考点二例1 解析：易求得曲线y ＝2x 2和圆x 2＋y 2＝3在第一象限的交点坐标为A ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫32，32，作直线OA ，则直线OA 的方程为y ＝3x ，如图．则直线OA 与抛物线y ＝2x 2所围成的图形的面积S 1＝0(3x －2x 2)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫32x 2－23x 3⎪⎪⎪⎪ 320＝32×34－23×338＝38，易知扇形AOB 的圆心角为π3，则扇形AOB 的面积S 2＝12×π3×3＝π2，所以阴影部分的面积S ＝S 2－S1＝π2－38.答案：π2－38变式练1．解析：因为y ＝x 的导数为y ′＝12x ，设切点为P (x 0，y 0)，则切线的斜率为12x 0＝x 0x 0＋1，解得x 0＝1，即切线的斜率为12，所以直线l 的方程为y ＝12(x ＋1)，所以所围成的封闭图形的面积为⎠⎜⎛01⎣⎢⎡⎦⎥⎤12(x ＋1)－x d x ＋12×1×12＝(14x 2＋12x －23x 32)⎪⎪⎪10＋14＝13. 答案：13考点三例2 解析：由7－3t ＋251＋t ＝0，解得t ＝4或t ＝－83(不合题意，舍去)，故汽车经过4 s 后停止，在此期间汽车行驶的路程为⎠⎜⎛04⎝ ⎛⎭⎪⎫7－3t ＋251＋t d t ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤7t －32t 2＋25ln (1＋t )⎪⎪⎪⎪ 40＝4＋25ln 5(m )．答案：C变式练2．解析：由v ＝40－10t 2＝0，得t 2＝4，t ＝2.所以h ＝⎠⎜⎛02(40－10t 2)d t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫40t －103t 3⎪⎪⎪⎪20 ＝80－803＝1603(m )． 答案：A。
用定积分求面积的技巧
1用定积分求面积的技巧求平面图形的面积是定积分在几何中的重要应用.把求平面图形的面积问题转化为求定积分问题，充分体现了数形结合的数学思想.求解此类题常常用到以下技巧.一、巧选积分变量求平面图形面积时，要注意选择积分变量，以使计算简便.例1 求抛物线22y x =与直线4y x =-围成的平面图形的面积．解析：如图1，解方程组224y x y x ⎧=⎨=-⎩，，得两曲线的变点为(22)(84)-，，，．方法一：选取横坐标x 为积分变量，则图中阴影部分的面积应该是两部分之和，即332828822022024222(24)224183032S xdx x x dx x x x =+-+=++=⎰⎰|||． 方法二：选取纵坐标y 为积分变量，则图中阴影部分的面积可据公式求得，即2423422114418226y S y y dy y y --⎛⎫⎛⎫=+-=+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰|． 点评：从上述两种解法可以看出，对y 积分比对x 积分计算简捷.因此，应用定积分求平面图形面积时，积分变量的选取是至关重要的.但同时也要注意对y 积分时，积分函数应是()x y ϕ=，本题须将条件中的曲线方程、直线方程化为2142x y x y ==+，的形式，然后求得积分．另外还要注意的是对面积而言，不管选用哪种积分变量去积分，面积是不会变的，即定积分的值不会改变.二、巧用对称性在求平面图形面积时，注意利用函数的奇偶性等所对应曲线的对称性解题，也是简化计算过程的常用手段. 例2 求由三条曲线2241y x y x y ===，，所围图形的面积. 解析：如图2，因为224y x y x ==，是偶函数，根据对称性，只算出y 轴右边的图形的面积再两倍即可．解方程组21y x y ⎧=⎨=⎩，，和241y x y ⎧=⎨=⎩，，得交点坐标2(11)(11)(21)(21)--，，，，，，，．方法一：选择x 为积分变量， 则221223123201101114212444123x x S x dx dx x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+-=+-=⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎰⎰|||． 方法二：可以选择y 为积分变量，求解过程请同学们自己完成.点评：对称性的应用和积分变量的选取都影响着计算过程的繁简程度.三、分割计算例3 求由抛物线243y x x =-+-及其在点(03)M -，和点(30)N ，处两条切线所围成的图形的面积．解析：由243y x x =-+-，得24y x '=-+，04x y ='=∴|，过M 点的切线方程为43y x =-；32x y ='=-|，过N 点的切线方程为26y x =-+． 又可求得两切线交点的横坐标为32x =， 故所求面积332223029(43)(43)[(26)(43)]4S x x x dx x x x dx =---+-+-+--+-=⎰⎰． 点评：本题求图形的面积，适当的分割是关键，故求出两切线交点，过交点作x 轴垂线， 将图形分割成两部分，分别用定积分求解.同学们应注意掌握这种分割的处理方法.。
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用定积分求面积的技巧
求平面图形的面积是定积分在几何中的重要应用.把求平面图形的面积问题转化为求定积分问题，充分体现了数形结合的数学思想.求解此类题常常用到以下技巧.
一、巧选积分变量
求平面图形面积时，要注意选择积分变量，以使计算简便.
例1 求抛物线22y x =与直线4y x =-围成的平面图形的面积．
解析：如图1，解方程组224y x y x ⎧=⎨=-⎩
，，得两曲线的变点为(22)(84)-，，，．
方法一：选取横坐标x 为积分变量，则图中阴影部分的面积应该是两部分之和，即33282
8822022024222(24)224183032
S xdx x x dx x x x =+-+=++=⎰⎰|||． 方法二：选取纵坐标y 为积分变量，则图中阴影部分的面积可据公式求得，即
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22114418226y S y y dy y y --⎛⎫⎛⎫=+-=+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰|． 点评：从上述两种解法可以看出，对y 积分比对x 积分计算简捷.因此，应用定积分求平面图形面积时，积分变量的选取是至关重要的.但同时也要注意对y 积分时，积分函数应
是()x y ϕ=，本题须将条件中的曲线方程、直线方程化为2142
x y x y =
=+，的形式，然后求得积分．另外还要注意的是对面积而言，不管选用哪种积分变量去积分，面积是不会变的，即定积分的值不会改变.
二、巧用对称性
在求平面图形面积时，注意利用函数的奇偶性等所对应曲线的对称性解题，也是简化计算过程的常用手段. 例2 求由三条曲线2241y x y x y ===，
，所围图形的面积. 解析：如图2，因为224y x y x ==，
是偶函数，根据对称性，只算出y 轴右边的图形的面积再两倍即可．
2 解方程组21
y x y ⎧=⎨=⎩，，和241y x y ⎧=⎨=⎩，，得交点坐标(11)(11)(21)(21)--，，，，，，，． 方法一：选择x 为积分变量， 则221223123201101114212444123x x S x dx dx x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+-=+-=⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎝
⎭⎝⎭⎣⎦⎰⎰|||． 方法二：可以选择y 为积分变量，求解过程请同学们自己完成.
点评：对称性的应用和积分变量的选取都影响着计算过程的繁简程度.
三、分割计算
例3 求由抛物线243y x x =-+-及其在点(03)M -，和点(30)N ，处两条切线所围成的图形的面积．
解析：由243y x x =-+-，得24y x '=-+，
04x y ='=∴|，过M 点的切线方程为43y x =-；
32x y ='=-|，过N 点的切线方程为26y x =-+． 又可求得两切线交点的横坐标为32x =
， 故所求面积3
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3029(43)(43)[(26)(43)]4
S x x x dx x x x dx =---+-+-+--+-=
⎰⎰． 点评：本题求图形的面积，适当的分割是关键，故求出两切线交点，过交点作x 轴垂线， 将图形分割成两部分，分别用定积分求解.同学们应注意掌握这种分割的处理方法.。