人教版17.1 勾股定理 课件
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解： (1)设a=x,b=2x,根据勾股定理建立方程得
x2+(2x)2=52， 解得 x 5，a 5 .
(2) A 30, b 15 , c 2a . 因此设a=x,c=2x,根据勾股定理建立方程得 (2x)2-x2=152， 解得 x 5 3 . a 5 3 ，c 10 3 .
2 2 a c b , 公式变形：
b c2 - a 2 , c a 2 b2
a、b、c为正数
小贴士
在中国古代，人们把弯曲成直角的手臂的上半部分 称为“勾”，下半部分称为“股”.我国古代学者把直 角三角形较短的直角边称为“勾”，较长的直角边 称为“股”，斜边称为“弦”.
勾
股
勾2+股2=弦2
证明：
a
b
b c
∵S大正方形=(a+b)2=a2+b2+2ab,
a c b S大正方形=4S直角三角形+ S小正方形
=4×
1 ab+c2 2
a
c
b
=c2+2ab， ∴a2+b2+2ab=c2+2ab，
a
∴a2 +b2 =c2.
证法3 美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”. 如图，图中的三个三角形都是直角三角形，求证： a2 + b2 = c2. a b
这两幅图中A,B的 面积都好求，该 怎样求C的面积呢？
C A B B A
C
方法1：补形法(把以斜边为边长的正方形补成各边 都在网格线上的正方形）：
C A B B A
C
左图： 右图：
1 SC 5 5 4 2 3 13 2 1 SC 7 7 4 4 3 25 2
c
证明： S梯形
1 ( a b)( a b), 2
S梯形
a
c b
1 1 1 2 ab ab c , 2 2 2
∴a2 + b2 = c2.
归纳总结
勾股定理
a
c
如果直角三角形的两直角边长分 别为a,b,斜边长为c,那么a2+b2=c2.
b 在我国又称商高定理，在外国则叫毕达哥拉斯定理， 或百牛定理.
a
b 下面动图形象的说明命题1的正确性，让我们跟着以 前的数学家们用拼图法来证明这一猜想.
证法1 让我们跟着我国汉代数学家赵爽拼图,再用所 拼的图形证明命题吧.
bwk.baidu.com
a
c b
a
c
b
a
c a
证明： ∵S大正方形＝c2， b b-a S小正方形＝(b-a)2, ∴S大正方形＝4· S三角形＋S小正方形，
A
C
B
S正方形A S正方形B S正方形C
问题2 图中正方形A、B、C所围成的等腰直角三角 形三边之间有什么特殊关系？
A C
B
一直角边2
+
另一直角边2 = 斜边2
问题3 在网格中一般的直角三角形，以它的三边为 边长的三个正方形A、B、C 是否也有类似的面积关 系？观察下边两幅图(每个小正方形的面积为单位1)：
勾股定理有着悠久的历史：古巴比伦人和古代中国人 看出了这个关系，古希腊的毕达哥拉斯学派首先证明 了这关系，下面让我们一起来通过视频来了解吧：
讲授新课
一 勾股定理的认识及验证
我们一起穿越回到2500年前，跟随毕达哥拉斯再去 他那位老朋友家做客，看到他朋友家用等腰三角形砖 铺成的地面（如图）：
问题1 试问正方形A、B、 C面积之间有什么样的数 量关系？
根据前面求出的C的面积直接填出下表：
C A B B A C
A的面积 B的面积 C的面积
左图 右图
4
9 9
13
25
16
思考 正方形A、B、C 所围成的直角三角形三条边之 间有怎样的特殊关系？
由上面的几个例子，我们猜想： 命题1 如果直角三角形的两条直角边长分别为a,b， 斜边长为c,那么a2+b2=c2.两直角边的平方和等于斜 边的平方. c
方法2：分割法(把以斜边为边长的正方形分割成易 求出面积的三角形和四边形）：
C A B B A
C
1 左图： SC 4 2 3 1 1 13 2 1 右图： SC 4 2 4 3 1 1 25
你还有其他 办法求C的 面积吗？
归纳 已知直角三角形两边关系和第三边的长求未知两 边时，要运用方程思想设未知数，根据勾股定理列方 程求解.
【变式题2】 在Rt△ABC中，AB＝4，AC＝3，求BC的长. 解：本题斜边不确定，需分类讨论： 当AB为斜边时，如图， BC 42 32 7; 当BC为斜边时，如图， BC 42 32 5.
导入新课
情景引入 其他星球上是否存在着“人”呢？为了探寻这一点，世 界上许多科学家向宇宙发出了许多信号，如地球上人 类的语言、音乐、各种图形等.
据说我国著名的数学家华罗庚曾建议“发射”一种勾股 定理的图形(如图).
很多学者认为如果宇宙“人”也拥有文明的话，那么他 们一定会认识这种语言，因为几乎所有具有古代文化 的民族和国家都对勾股定理有所了解.
1 2 c 4 ab b a a 2 b2 . 2
2
赵爽弦图 “赵爽弦图”表现了我国古人对数学的钻研精神和聪 明才智，它是我国古代数学的骄傲.因为，这个图案被 选为2002年在北京召开的国际数学大会的会徽.
证法2 毕达哥拉斯证法，请先用手中的四个全等的 直角三角形按图示进行拼图，然后分析其面积关系 后证明吧.
二 利用勾股定理进行计算
例1 如图，在Rt△ABC中， ∠C=90°.
B
（1）若a=b=5,求c;
（2）若a=1,c=2,求b. 解：(1)据勾股定理得
C
A
c a2 b2 52 52 50 5 2;
(2)据勾股定理得
b c2 a2 22 12 3.
【变式题1】在Rt△ABC中， ∠C=90°. （1）若a：b=1：2 ，c=5,求a; （2）若b=15，∠A=30°,求a,c.
学练优八年级数学下（RJ） 教学课件
第十七章
17.1
勾股定理
勾股定理
第1课时 勾股定理
导入新课 讲授新课 当堂练习 课堂小结
学习目标
1.经历勾股定理的探究过程，了解关于勾股定理的一 些文化历史背景，会用面积法来证明勾股定理，体 会数形结合的思想.（重点） 2.会用勾股定理进行简单的计算 .（难点）
x2+(2x)2=52， 解得 x 5，a 5 .
(2) A 30, b 15 , c 2a . 因此设a=x,c=2x,根据勾股定理建立方程得 (2x)2-x2=152， 解得 x 5 3 . a 5 3 ，c 10 3 .
2 2 a c b , 公式变形：
b c2 - a 2 , c a 2 b2
a、b、c为正数
小贴士
在中国古代，人们把弯曲成直角的手臂的上半部分 称为“勾”，下半部分称为“股”.我国古代学者把直 角三角形较短的直角边称为“勾”，较长的直角边 称为“股”，斜边称为“弦”.
勾
股
勾2+股2=弦2
证明：
a
b
b c
∵S大正方形=(a+b)2=a2+b2+2ab,
a c b S大正方形=4S直角三角形+ S小正方形
=4×
1 ab+c2 2
a
c
b
=c2+2ab， ∴a2+b2+2ab=c2+2ab，
a
∴a2 +b2 =c2.
证法3 美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”. 如图，图中的三个三角形都是直角三角形，求证： a2 + b2 = c2. a b
这两幅图中A,B的 面积都好求，该 怎样求C的面积呢？
C A B B A
C
方法1：补形法(把以斜边为边长的正方形补成各边 都在网格线上的正方形）：
C A B B A
C
左图： 右图：
1 SC 5 5 4 2 3 13 2 1 SC 7 7 4 4 3 25 2
c
证明： S梯形
1 ( a b)( a b), 2
S梯形
a
c b
1 1 1 2 ab ab c , 2 2 2
∴a2 + b2 = c2.
归纳总结
勾股定理
a
c
如果直角三角形的两直角边长分 别为a,b,斜边长为c,那么a2+b2=c2.
b 在我国又称商高定理，在外国则叫毕达哥拉斯定理， 或百牛定理.
a
b 下面动图形象的说明命题1的正确性，让我们跟着以 前的数学家们用拼图法来证明这一猜想.
证法1 让我们跟着我国汉代数学家赵爽拼图,再用所 拼的图形证明命题吧.
bwk.baidu.com
a
c b
a
c
b
a
c a
证明： ∵S大正方形＝c2， b b-a S小正方形＝(b-a)2, ∴S大正方形＝4· S三角形＋S小正方形，
A
C
B
S正方形A S正方形B S正方形C
问题2 图中正方形A、B、C所围成的等腰直角三角 形三边之间有什么特殊关系？
A C
B
一直角边2
+
另一直角边2 = 斜边2
问题3 在网格中一般的直角三角形，以它的三边为 边长的三个正方形A、B、C 是否也有类似的面积关 系？观察下边两幅图(每个小正方形的面积为单位1)：
勾股定理有着悠久的历史：古巴比伦人和古代中国人 看出了这个关系，古希腊的毕达哥拉斯学派首先证明 了这关系，下面让我们一起来通过视频来了解吧：
讲授新课
一 勾股定理的认识及验证
我们一起穿越回到2500年前，跟随毕达哥拉斯再去 他那位老朋友家做客，看到他朋友家用等腰三角形砖 铺成的地面（如图）：
问题1 试问正方形A、B、 C面积之间有什么样的数 量关系？
根据前面求出的C的面积直接填出下表：
C A B B A C
A的面积 B的面积 C的面积
左图 右图
4
9 9
13
25
16
思考 正方形A、B、C 所围成的直角三角形三条边之 间有怎样的特殊关系？
由上面的几个例子，我们猜想： 命题1 如果直角三角形的两条直角边长分别为a,b， 斜边长为c,那么a2+b2=c2.两直角边的平方和等于斜 边的平方. c
方法2：分割法(把以斜边为边长的正方形分割成易 求出面积的三角形和四边形）：
C A B B A
C
1 左图： SC 4 2 3 1 1 13 2 1 右图： SC 4 2 4 3 1 1 25
你还有其他 办法求C的 面积吗？
归纳 已知直角三角形两边关系和第三边的长求未知两 边时，要运用方程思想设未知数，根据勾股定理列方 程求解.
【变式题2】 在Rt△ABC中，AB＝4，AC＝3，求BC的长. 解：本题斜边不确定，需分类讨论： 当AB为斜边时，如图， BC 42 32 7; 当BC为斜边时，如图， BC 42 32 5.
导入新课
情景引入 其他星球上是否存在着“人”呢？为了探寻这一点，世 界上许多科学家向宇宙发出了许多信号，如地球上人 类的语言、音乐、各种图形等.
据说我国著名的数学家华罗庚曾建议“发射”一种勾股 定理的图形(如图).
很多学者认为如果宇宙“人”也拥有文明的话，那么他 们一定会认识这种语言，因为几乎所有具有古代文化 的民族和国家都对勾股定理有所了解.
1 2 c 4 ab b a a 2 b2 . 2
2
赵爽弦图 “赵爽弦图”表现了我国古人对数学的钻研精神和聪 明才智，它是我国古代数学的骄傲.因为，这个图案被 选为2002年在北京召开的国际数学大会的会徽.
证法2 毕达哥拉斯证法，请先用手中的四个全等的 直角三角形按图示进行拼图，然后分析其面积关系 后证明吧.
二 利用勾股定理进行计算
例1 如图，在Rt△ABC中， ∠C=90°.
B
（1）若a=b=5,求c;
（2）若a=1,c=2,求b. 解：(1)据勾股定理得
C
A
c a2 b2 52 52 50 5 2;
(2)据勾股定理得
b c2 a2 22 12 3.
【变式题1】在Rt△ABC中， ∠C=90°. （1）若a：b=1：2 ，c=5,求a; （2）若b=15，∠A=30°,求a,c.
学练优八年级数学下（RJ） 教学课件
第十七章
17.1
勾股定理
勾股定理
第1课时 勾股定理
导入新课 讲授新课 当堂练习 课堂小结
学习目标
1.经历勾股定理的探究过程，了解关于勾股定理的一 些文化历史背景，会用面积法来证明勾股定理，体 会数形结合的思想.（重点） 2.会用勾股定理进行简单的计算 .（难点）