高中数学人教A版必修五3.4基本不等式(一)ppt课件

合集下载

人教A版高中数学必修课件：不等式与不等关系

推论 :
a c
b d
a
c bd (同向不等式的可加性)
性质4 : (乘法的单调性) a b,c 0 ac bc
推论1 :
(同向不等式的可乘性)
a b 0 c d 0 ac bd
推论2 : a b 0 an bn (n N*, n 2)
a b 0 n a n b(n N *, n 2)
(本小题满分10分)已知二次函数y＝f(x)图象过原点，且1≤f(－1)≤2，3≤f(1)≤4，求f(－2)的范围.
人教A版高中数学必修5课件：3.1.2不等式与不等关系(共2 3张PPT )
∵a＞b＞c，∴b－a＜0，c－a＜0，c－b＜0. ∴(bc2＋ca2＋ab2)－(b2c＋c2a＋a2b)＜0，即bc2＋ca2＋ab2＜b2c＋c2a＋a2b.
人教A版高中数学必修5课件：3.1.2不等式与不等关系(共2 3张PPT )
人教A版高中数学必修5课件：3.1.2不等式与不等关系(共2 3张PPT )
(可乘方性、可开方性)
例１:已知a>b>0,c<0,求证
c a
c b
例2.(1)如果a b 0, 那么 1 1 ab
变式a b 0那么 1
1
ab a
(2)如果a＞b＞c＞0，那么 c
c
ab
变式a＞b＞c＞0，那么 b c a－b a c
练习：已知c＞a＞b＞0，
试比较 b 与 c 的大小？ c-b c a
变式. 已知a，b，m，n∈R＋，求证：am＋n＋bm＋n≥ambn＋anbm. 证明：(am＋n＋bm＋n)－(ambn＋anbm) ＝(am＋n－ambn)＋(bm＋n－anbm)＝(am－bm)(an－bn)． ∵幂函数f(x)＝xm，g(x)＝xn在x∈R＋上是增函数，由对

高中数学人教A版《基本不等式》教学课件1

a b 叫做正数a，b的几何平均数；
代数意义：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.
探究几何意义
D
ab
A
a OC b
AC = DC E
DC BC
如图,AB是圆的直径，C是 AB上与A、B不重合的一点，
A于aCA=Ba2的,CB弦b=Db≥ ,E过，点连CA作Da垂,Bb直D,
B 则OD=a＿＿b ,CD=＿＿＿＿ 2
高中数学人教A版《基本不等式》教学课件1
2高.2中基数本学不人等教式A-版【《新基教本材不】等人式教》A版教（学课20件19） 1 高中数学必修第一册课件( 共19张P PT)
已知 x, y 都是正数, P, S 是常数. (1) xy=P x+y≥2 P(当且仅当 x=y 时, 取“=”号). (2) x+y=S xy≤ 14S2(当且仅当 x=y 时, 取“=”号).
2.2基本不等式-【新教材】人教A版（ 2019）高中数学必修第一册课件( 共19张P PT)
例 6.已知 0x,求函数 ysinx 1
sinx 的最小值 .
解：0x 0sinx1
ysinx 1 2 sinx 1 2
sinx
sinx
当且仅当sinxsin1x，即x2时，ymin 2
2.2基本不等式-【新教材】人教A版（ 2019）高中数学必修第一册课件( 共19张P PT)
2.2基本不等式-【新教材】人教A版（ 2019）高中数学必修第一册课件( 共19张P PT)
课堂小结
a2+1与b、2初≥本2步a节应b课用主。（要１学）习了若基a,本b∈不等R，式的那证么明
例 7 若 0 x 1 ，求函数 y x ( 1 - x ) 的最大值 .

【全国百强校】湖北省宜昌市第一中学人教A版高中数学必修5课件：3.4基本不等式 (共12张PPT)

问题1.已知 a 0, b 0 ， a b 1，求 ab 的最大值； 1 问题2.已知 x 0 ，当 x 取什么值， x 的值最 x 小？最小是多少.
1 变式1：若 x 1, x 还有最小值么？ x
变式2：若 x 0呢？
由这两个问题，你有什么收获呢？
图象
【应用提升】简单最值问题
如何设计呢？
【实验探究】
a b …2ab ab ab „ 2
2 2
想一想？
实验
【新知建构】
基本不等式
2 2
结论: 若a, b R, 则a b …2ab,
ab 若a 0, b 0, ab „ , 2 当a b时等号成立.
你能用代数方法来证明基本不等式吗？
【应用提升】简单最值问题
课前准备：
（1）阅读教材3.4节《基本不等
式》；（2）准备一大一小两张正方形纸片，在大正方形纸片各边上标出若干等分点．
谢谢合作！
3.4基本不等式（第1课时）
宜昌一中数学组李智伟

【问题引入】
随着科技的发展，人们生活中的电子产品越来越精美、便利。现有三种5寸手机可供选择的设计方案，对应屏幕比分别为： 1:1,16:10,16:9。
一种观念
【课外研究】
请你来判断:
（1）为什么蜂巢都是正六边形？（2）为什么水管的横截面一般为圆形呢？
…… 作业：《课时练》P59～60
谢谢！
分享收获: 一正
对于x 0, y 0, 二定三相等 (1)若xy （定值） p ,则当仅当x y时， x y有最小值2 p ; s xy有最大值 . 4
2
(2)若x y （定值） s ,则当仅当x y时，

2015年新课标A版高中数学必修五课件：3-4 基本不定式

几何平均数．
第十页，编辑于星期五：十点三十九分。
②定理的证明可以用作差比较法：
a＋b 2
－
ab ＝
a＋b－2 2
ab ＝
a－ 2
b2
≥0，即
a＋b 2
≥
ab .也可用重要不等式
进行推导：∵a，b∈R＋，则( a )2＋( b )2≥2 ab ，即有a＋
b≥2 ab.
第十一页，编辑于星期五：十点三十九分。
第四页，编辑于星期五：十点三十九分。
课前热身 1.基本不等式． (1)重要不等式：对于任意实数a，b，有a2＋ b2________2ab，当且仅当________时，等号成立． (2)基本不等式：如果a>0，b>0，那么 ab______a＋2 b，当且仅当________时，等号成立．
第五页，编辑于星期五：十点三十九分。
【解】 (1)∵x>0，y>0，xy＝3，
∴2x＋5y≥2
2x·5y＝2
30，当2x＝5y，即x＝
230，y＝
30 5
时，等号成立，即x＝ 230，y＝ 530时，(2x＋5y)min＝2 30.
第十八页，编辑于星期五：十点三十九分。
(2)∵21x＋1y＝2x2＋xyy＝23xy，又∵2x＋y＝3≥2 2xy，∴2xy ≤94. ∴21x＋1y≥39＝43.当且仅当2x＝y＝32，
2．应用基本不等式求最值．已知x，y都为正数，则 (1)若x＋y＝s(和为定值)，则当________时，积xy取得最大值________． (2)若xy＝p(积为定值)，则当________时，和x＋y取得最小值________.
第六页，编辑于星期五：十点三十九分。

高中数学第三章不等式31不等关系与不等式课件新人教A版必修5

D．5
【解题探究】判断不等关系的真假，要紧扣不等的性
质，应注意条件与结论之间的联系．【答案】C
【解析】①c 的范围未知，因而判断 ac 与 bc 的大小缺乏依据，故该结论错误．
②由 ac2>bc2 知 c≠0，则 c2>0，
∴a>b，∴②是正确的．
③a<b， ⇒a2>ab，a<b， ⇒ab>b2，
【答案】M>N
【解析】M－N＝a1a2－(a1＋a2－1)＝a1a2－a1－a2＋1＝ a1(a2 － 1) － (a2 － 1) ＝ (a1 － 1)(a2 － 1) ，又 ∵ a1∈(0,1) ， a2∈(0,1) ， ∴ a1 － 1<0 ， a2 － 1<0.∴(a1 － 1)(a2 － 1)>0 ，即 M － N>0.∴M>N.
用不等式表示不等关系
【例1】某钢铁厂要把长度为4 000 mm的钢管截成 500 mm 和600 mm两种规格，按照生产的要求，600 mm 钢管的数量不能超过500 mm钢管的3倍．试写出满足上述所有不等关系的不等式．
【解题探究】应先设出相应变量，找出其中的不等关系，即①两种钢管的总长度不能超过4 000 mm；②截得600 mm钢管的数量不能超过500 mm钢管数量的3倍；③两种钢管的数量都不能为负．于是可列不等式组表示上述不等关系．
比较大小要注重分类讨论
【示例】设 x∈R 且 x≠－1，比较1＋1 x与 1－x 的大小．【错解】∵1＋1 x－(1－x)＝1－1＋1－x x2＝1＋x2 x，而 x2≥0，∴ 当 x＞－1 时，x＋1＞0，1＋x2 x≥0，即1＋1 x≥1－x；当 x＜－1 时，x＋1＜0，1＋x2 x≤0，即1＋1 x≤1－x.

高中数学人教A版必修5第三章3.4.1基本不等式课件

三相等
当且仅当 x＝4x，即 x2＝4，x＝2 时取等号.
∴函数 y＝x＋4x(x>0)在 x＝2 时取得最小值 4.
反思与感悟
在利用基本不等式求最值时要注意三点：一是各项均为正：二是寻求定值，求和式最小值时应使积为定值，求积式最大值时应使和为定值(恰当变形，合理拆分项或配凑因式是常用的解题技巧)；三是考虑等号成立的条件.
思考：能给出不等式 a2+b2≥2ab 的证明吗？
证明： a b2 0
a2 b2 2ab 0 a2 b2 2ab (当且仅当a b 0即a b时等号成立)
思考：
替换后得到： ( a )2 ( b )2≥2 a b 即： a b≥2 ab 即： a b≥ ab 2
基本不等式 ab a b (a 0,b 0) 2
2
42
例2、已知0<x<1,求函数y=x1-x的最大值。
最值定理：
1.当两个正数的和为定值时，它们的积有最大值。
即a 0,b 0且a b M , M 为定值 ax
M2 4
“和定积最大”
2.当两个正数的积为定值时，它们的和有最小值。
即a 0,b 0且ab P, P为定值 a b 2 P 当且仅当a b时，等号成立。( a b)min 2 P
ICM2002会标
如图，这是在北京召开的第22届国际数学家大会会标．
会标根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。
看一看：这会标中含有怎样的几何图形
直角三角形和正方形
想一想：你能否在这个图案中找出一些相等关系或不等关系？
四个直角三角形的面积相等直角三角形的直角边不相等大正方形的面积大于四个直角三角形的面积

高中数学必修五课件：3.4-1《基本不等式》(人教A版必修5)

D
y
x
C
当且仅当 x=2y 时，等号成立即x=12，y=6
因花此园解，面x这积x个最2y矩大2y2形，4，的最可长大得为面积1xy2是m162、72宽m为2 6m时，
18
变式：如图，用一段长为24m 的篱笆围一个一边靠墙的矩形花园，问这个矩形的长、宽各为多少时，花园的面积最大，最大面积是多少？
-1
=1,
当且仅当 x+1= x1+1, 即 x=0 时, 取“=”号.
∴当 x=0 时, 函数 f(x) 的最小值是 1.
26
2.
若
0<x<
1 2
,
求函数
y=x(1-2x)
的最大值.
分析:2 x+(1-2x) 不=1是为常数.
配凑系数
解:
∵0<x<
1 2
,
∴1-2x>0.
∴y=x(1-2x)=
a2 b2≥2ab
当且仅当a=b时，等号成立适用范围： a,b∈R 文字叙述为: 两数的平方和不小于它们积的2倍.
如果a 0,b 0,我们用 a, b分别代替a,b, 可得到什么结论？
8
如果a 0,b 0,我们用 a, b分别代替a,b, 可得到什么结论？
替换后得到： ( a )2 ( b )2≥2 a b 即： a b≥2 ab 即： a b≥ ab (a 0,b 0) 2
适用范围： a>0,b>0
在数学中，我们把
a
b 2
叫做正数a，b的算术平均数，
ab 叫做正数a，b的几何平均数；
文字叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.

2015-2016年最新审定人教A版高中数学必修五：3.4.3 基本不等式的实际应用(优秀课件)

1 【例 1】 (1)求函数 f(x)＝＋x(x＞3)的最小值； x－3 x2－3x＋1 (2)求函数 f(x)＝ (x＞3)的最小值； x－3 9 1 (3)已知 x＞0，y＞0，且x ＋y ＝1，求 x＋y 的最小值.
zxx k
思维突破：(1)“添项”，可通过减 3 再加 3，利用基本不
a 等式后可出现定值.(2)“拆项”，把函数式变为 y＝M＋M的形
9 1 9 1 式.(3)“整体代换”，将 1 用x ＋y 代替，则 x＋y＝(x＋y)x ＋y ，
再化简，用基本不等式求解.
zxx k
解：(1)∵x＞3，∴x－3＞0. 1 ∴f(x)＝＋(x－3)＋3 x－3 ≥2 1 · x－3＋3＝5. x－3
1 当且仅当＝x－3，即 x＝4 时取等号， x－3 ∴f(x)的最小值为 5.
当 a＝2b，即 a＝40 m，b＝20 m 时，S 最大值＝648 m2.
答：当矩形温室的左侧边长为40 m，后侧边长为20 m 时，
蔬菜的种植面积最大，最大种植面积为 648 m2.
zxx k
【变式与拓展】 2.(2013 年陕西)在如图 3-4-1 所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园( 阴影部分) ，则其边长 x 为 ________m.
zxx k
【问题探究】 1.你是设计师！春天到了，学校决定用篱笆围一个面积为 100 平方米的花圃种花.有以下两种方案：
圆形花圃：造价 12 元/米；矩形花圃：造价 10 元/米.
你觉得哪个方案更省钱呢？
10 答案：圆形花圃：S 圆＝πr ＝100，r＝，C＝2πr＝20 π
2
π，
花费约为 425 元；矩形花圃：设两边为 x，y，C＝2(x＋y)≥4 x＝y 时花费最少为 400 元.显然矩形花圃省钱.

基本不等式-ppt课件高中数学人教版

第二章 2.2 第2课时基本不等式的应用-【新教材】人教 A版（2 019）高中数学必修第一册课件(共 49张PP T) 第二章 2.2 第2课时基本不等式的应用-【新教材】人教 A版（2 019）高中数学必修第一册课件(共 49张PP T)
第二章 2.2 第2课时基本不等式的应用-【新教材】人教 A版（2 019）高中数学必修第一册课件(共 49张PP T) 第二章 2.2 第2课时基本不等式的应用-【新教材】人教 A版（2 019）高中数学必修第一册课件(共 49张PP T)
第二章 2.2 第2课时基本不等式的应用-【新教材】人教 A版（2 019）高中数学必修第一册课件(共 49张PP T) 第二章 2.2 第2课时基本不等式的应用-【新教材】人教 A版（2 019）高中数学必修第一册课件(共 49张PP T)
第二章 2.2 第2课时基本不等式的应用-【新教材】人教 A版（2 019）高中数学必修第一册课件(共 49张PP T) 第二章 2.2 第2课时基本不等式的应用-【新教材】人教 A版（2 019）高中数学必修第一册课件(共 49张PP T)
第二章 2.2 第2课时基本不等式的应用-【新教材】人教 A版（2 019）高中数学必修第一册课件(共 49张PP T) 第二章 2.2 第2课时基本不等式的应用-【新教材】人教 A版（2 019）高中数学必修第一册课件(共 49张PP T)
第二章 2.2 第2课时基本不等式的应用-【新教材】人教 A版（2 019）高中数学必修第一册课件(共 49张PP T) 第二章 2.2 第2课时基本不等式的应用-【新教材】人教 A版（2 019）高中数学必修第不等式的应用-【新教材】人教 A版（2 019）高中数学必修第一册课件(共 49张PP T) 第二章 2.2 第2课时基本不等式的应用-【新教材】人教 A版（2 019）高中数学必修第一册课件(共 49张PP T)

高中数学第三章不等式3.4.1基本不等式课件新人教A版必修5

一二三
二、基本不等式
【问题思考】 1.填空: (1)基本不等式
①当 a>0,b>0 时,有��+2�� ≥ ��,当且仅当 a=b 时,等号成立;
②对于正数 a,b,常把��+2��叫做 a,b 的算术平均数,把 ��叫做 a,b 的几
解(1)由题意知 x>0,由基本不等式得 f(x)=3x+1��2≥2 3��·1��2=2 36=12. 当且仅当 3x=1��2,即 x=2 时,f(x)取得最小值 12.故 f(x)的最小值是 12. (2)由 lg a+lg b=2,得 lg ab=2,即 ab=100,且 a>0,b>0, 因此由基本不等式可得 a+b≥2 ��=2 100=20, 当且仅当 a=b=10 时,a+b 取到最小值 20.故 a+b 的最小值是 20. (3)由于 x,y 是实数,所以 2x>0,2y>0,于是
提示填表略,(1)当 x+y 是定值时,xy 有最大值,且最大值等于
��+�� 2
2
;(2)当 xy 是定值时,x+y 有最小值,且最小值等于 2
��.
2.填空: 基本不等式与最值已知x,y都是正数. (1)若x+y=s(和为定值),则当x=y时,积xy取得最大值. (2)若xy=p(积为定值),则当x=y时,和x+y取得最小值.
变式训练 2(1)已知 a,b,c,d 都是正数,求证:(ab+cd)(ac+bd)≥4abcd.

人教版高中数学必修五同课异构课件：3.4 基本不等式.1 探究导学课型

好像天天在玩，上课没事儿还调皮气老师，笔记有时让人看不懂，但一考试就挺好…… 小B
目录/contents
1. 什么是学习力 2. 高效学习模型 3. 超级记忆法 4. 费曼学习法
什么是学习力
什么是学习力-你遇到这些问题了吗
总是比别人学得慢
一看就懂一做就错
看得懂，但不会做
总是比别人学得差不会举一反三
2
2
2
(2)当a，b异号时，不等式 a b ab 成立吗？ 2
提示：一定不成立，因为当a，b异号时，ab<0，所以无意
ab
义，故不等式一定不成立.
【探究总结】对基本不等式的四点说明
(1)“当且仅当”的含义是a=b⇔ a b ab. (2)基本不等式的几何意义是：圆的2半径不小于垂直于直径的
半弦长.
(3)基本不等式亦可表述为：两个正数的算术平均数不小于它
们的几何平均数.
(4)基本不等式
与不等式a2+b2≥2ab成立的条件不
同，前者是a，ba∈Rb+，后ab者是a，b∈R. 2
【拓展延伸】基本不等式的常用结论
(1)当x>0时，x+ 1 ≥2；当x<0时，x+ 1 ≤－2.
(2)当ab>0时， x
【拓展延伸】基本不等式的推广
设ai∈R+(i=1，2，…，n)，这n个数：
(1)算术平均数An= (2)几何平均数Gn=
a1
a2
n
an
.
(3)调和平均数Hn= n a1 a2 an .
n
.
(4)平方平均数Qn= 1 1 1
a1 a2
an
则以上平均值的关系a是12 ：aH22n≤Gn≤anA2n.≤Qn. n

高中数学新人教A版必修5课件：第三章不等式3.4基本不等式第一课时基本不等式

ab+ 1 ≥2 ab 1 =2,故(3)正确;由基本不等式可知,当 y >0, x >0 时,有
ab
ab
xy
y + x ≥2 y x =2 成立,这时只需 x 与 y 同号即可,故(4)错误.
xy
xy
答案:(3)
方法技能应用基本不等式时,第一根据题目的特征,确定“a”和“b”. 它们可以是数字也可以是复杂的代数式.其次,注意“a”和“b”的符号,必须都是正数,最后看“=”号能否成立.
(D) b + a ≥2 ab
解析:因为 a2+b2≥2ab,当且仅当 a=b 时,等号成立,所以 A 错误;对于 D,因为
ab>0,所以 b + a ≥2 b a =2.
ab
ab
对于 B,C,当 a<0,b<0 时,明显错误.
故选 D.
2.不等式 a2+ 4 ≥4 中,等号成立的条件是( D ) a2
2
2
课堂探究
题型一对基本不等式的理解
【例 1】给出下列命题:(1)若 x∈R,则 x+ 1 ≥2;(2)若 a>0,b>0,则 lg a+lg b≥ x
2 lg a lgb ;(3)若 a<0,b<0,则 ab+ 1 ≥2;(4)不等式 y + x ≥2 成立的条件是
ab
xy
x>0 且 y>0.其中正确命题的序号是
ab > ab > 2
ab .而 y= log1 x 为减函数,故 Q>P>M.故选 B.
2
题型三利用基本不等式证明不等式【例 3】已知 a,b,c>0,求证: a2 + b2 + c2 ≥a+b+c.

《精品》20182019版数学高一、高二同步系列课堂讲义人教A版必修5第三章不等式3.4一

§3.4 基本不等式：ab ≤a ＋b2(一)学习目标 1.理解基本不等式的内容及证明(重点)；2.能熟练运用基本不等式来比较两个实数的大小；3.能初步运用基本不等式证明简单的不等式(难点).预习教材P97－98完成下列问题：知识点重要不等式与基本不等式【预习评价】1.(1)基本不等式中的a ，b 可以是代数式吗？ (2)a ＋b 2≥ab 与⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≥ab 是等价的吗？提示 (1)可以.但代数式的值必须是正数，否则不成立. (2)不等价，前者条件是a ＞0，b ＞0，后者是a ，b ∈R . 2.下列不等式正确的是( ) A.a ＋1a ≥2 B.(－a )＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ≤－2C.a 2＋1a 2≥2D.(－a )2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a 2≤－2解析 ∵a 2＞0，故a 2＋1a 2≥2成立. 答案 C题型一利用基本不等式比较大小【例1】设0<a <b ，则下列不等式中正确的是( ) A.a <b <ab <a ＋b2B.a <ab <a ＋b2<bC.a <ab <b <a ＋b2 D.ab <a <a ＋b2<b解析法一 ∵0<a <b ，∴a <a ＋b2<b ，排除A ，C 两项.又ab －a ＝a (b －a )>0，即ab >a ，排除D 项，故选B.法二取a ＝2，b ＝8，则ab ＝4，a ＋b 2＝5，所以a ＜ab ＜a ＋b2＜b . 答案 B规律方法利用基本不等式比较实数大小的注意事项(1)利用基本不等式比较大小，常常要注意观察其形式(和与积)，同时要注意结合函数的性质(单调性).(2)利用基本不等式时，一定要注意条件是否满足a ＞0，b ＞0. 【训练1】 (1)已知m ＝a ＋1a －2(a ＞2)，n ＝22－b 2(b ≠0)，则m ，n 之间的大小关系是( ) A.m ＞nB.m ＜nC.m ＝nD.m ≥n(2)若a ＞b ＞1，P ＝lg a ·lg b ，Q ＝12(lg a ＋lg b )，R ＝lg a ＋b 2，则P ，Q ，R 的大小关系是________.解析 (1)因为a ＞2，所以a －2＞0，又因为m ＝a ＋1a －2＝(a －2)＋1a －2＋2，所以m ≥2（a －2）·1a －2＋2＝4，由b ≠0，得b 2≠0，所以2－b 2＜2，n ＝22－b 2＜4，综上可知m ＞n . (2)因为a ＞b ＞1，所以lg a ＞lg b ＞0，所以Q ＝12(lg a ＋lg b )＞lg a ·lg b ＝P ；Q ＝12(lg a ＋lg b )＝lg a ＋lg b ＝lg ab ＜lg a ＋b 2＝R .所以P ＜Q ＜R . 答案 (1)A (2)P ＜Q ＜R 题型二用基本不等式证明不等式【例2】已知a ，b ，c 为正数，且a ＋b ＋c ＝1，证明：1a ＋1b ＋1c ≥9.证明 1a ＋1b ＋1c ＝a ＋b ＋c a ＋a ＋b ＋c b ＋a ＋b ＋c c＝3＋(b a ＋a b )＋(c a ＋a c )＋(c b ＋b c ) ≥3＋2＋2＋2＝9.当且仅当a ＝b ＝c ＝13时，等号成立.规律方法在利用基本不等式证明的过程中，常需要把数、式合理地拆成两项或多项或恒等地变形配凑成适当的数、式，以便于利用基本不等式. 【训练2】已知a ，b ，c 为正数，且a ＋b ＋c ＝1，证明：(1－a )(1－b )(1－c )≥8abc .证明 (1－a )(1－b )(1－c )＝(b ＋c )(a ＋c )(a ＋b ) ≥2bc ·2ac ·2ab ＝8abc . 当且仅当b ＝c ＝a ＝13时，等号成立.课堂达标1.已知a ＞0，b ＞0，则1a ＋1b ＋2ab 的最小值是( )A.2B.2 2C.4D.5解析 ∵a ＞0，b ＞0， ∴1a ＋1b ＋2ab ≥21ab ＋2ab ≥41ab ·ab ＝4，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧1a ＝1b ，1ab ＝ab ，即a ＝b ＝1时，等号成立.答案 C2.若0＜a ＜b 且a ＋b ＝1，则下列四个数中最大的是( ) A.12 B.a 2＋b 2 C.2abD.a解析 a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ≥(a ＋b )2－2·⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝12. a 2＋b 2－2ab ＝(a －b )2≥0，∴a 2＋b 2≥2ab . ∵0<a <b 且a ＋b ＝1，∴a <12.∴a 2＋b 2最大. 答案 B3.设a 、b 是实数，且a ＋b ＝3，则2a ＋2b 的最小值是( ) A.6 B.4 2 C.2 6D.8解析 ∵a ＋b ＝3，∴2a ＋2b ≥22a ·2b ＝22a ＋b ＝28＝42，当且仅当a ＝b ＝32时，“＝”成立. 答案 B4.设a ＞0，b ＞0，给出下列不等式： ①a 2＋1＞a ；②⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1b ≥4；③(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ≥4；④a 2＋9＞6a .其中恒成立的是________(填序号).解析由于a 2＋1－a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋34＞0，故①恒成立；由于⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1b ＝ab ＋1ab ＋b a ＋a b ≥2ab ·1ab ＋2b a ·ab ＝4.当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧ab ＝1ab ，b a ＝a b ，即a ＝b ＝1时，“＝”成立，故②恒成立；由于(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＝2＋b a ＋a b ≥2＋2b a ＋a b ＝4.当且仅当a b ＝b a ，那么a ＝b ＝1时“＝”成立，故③恒成立；当a ＝3时，a 2＋9＝6a ，故④不恒成立. 综上，恒成立的是①②③. 答案 ①②③课堂小结1.两个不等式a 2＋b 2≥2ab 与a ＋b2≥ab 都是带有等号的不等式，对于“当且仅当…时，取‘＝’”这句话的含义要有正确的理解.一方面：当a ＝b 时，a ＋b2＝ab ；另一方面：当a ＋b2＝ab 时，也有a ＝b .2.在利用基本不等式证明的过程中，常需要把数、式合理的拆成两项或多项或把恒等式变形配凑成适当的数、式，以便于利用基本不等式.基础过关1.若a ，b ，c ＞0且a (a ＋b ＋c )＋bc ＝4－23，则2a ＋b ＋c 的最小值是( ) A.3－1 B.3＋1 C.23＋2D.23－2解析由a (a ＋b ＋c )＋bc ＝4－23⇒a (a ＋b )＋(a ＋b )c ＝(a ＋b )(a ＋c )＝4－23，而2a ＋b ＋c ＝(a ＋b )＋(a ＋c ) ≥2（a ＋b ）（a ＋c ）＝24－23＝2(3－1)＝23－2.∴当且仅当a ＋b ＝a ＋c ，即b ＝c 时等号成立. 答案 D2.已知等比数列{a n }的各项均为正数，公比q ≠1，设P ＝a 3＋a 92，Q ＝a 5·a 7，则P 与Q 的大小关系是( ) A.P ＞Q B.P ＜Q C.P ＝QD.无法确定解析 P ＝a 3＋a 92＞a 3·a 9＝a 5·a 7＝Q . 答案 A3.a ，b ∈R ，则判断大小关系：a 2＋b 2________2|ab |.( )A.≥B.＝C.≤D.＞解析由基本不等式a 2＋b 2＝|a |2＋|b |2≥2|a ||b |＝2|ab |，当且仅当|a |＝|b |时，等号成立. 答案 A4.不等式a 2＋4≥4a 中，等号成立的条件为________. 解析令a 2＋4＝4a ，则a 2－4a ＋4＝0， ∴a ＝2. 答案 a ＝25.若正数a ，b 满足ab ＝a ＋b ＋3，则ab 的取值范围是________. 解析 ∵a ＞0，b ＞0， ∴ab ＝a ＋b ＋3≥2ab ＋3，即ab －2ab －3≥0，解得ab ≥3，即ab ≥9. 答案 [9，＋∞)6.设a ，b ，c 都是正数，求证：bc a ＋ca b ＋abc ≥a ＋b ＋c . 证明 ∵a ，b ，c 都是正数，∴bc a ，ca b ，abc 也都是正数. ∴bc a ＋ca b ≥2c ，ca b ＋ab c ≥2a ，bc a ＋abc ≥2b ，三式相加得2⎝ ⎛⎭⎪⎫bc a ＋ca b ＋ab c ≥2(a ＋b ＋c )，即bc a ＋ca b ＋abc ≥a ＋b ＋c . 当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立. 7.已知a ，b ，c 为正实数，且a ＋b ＋c ＝1. 求证：⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1b －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1c －1≥8.证明 ∵a ，b ，c 均为正实数，且a ＋b ＋c ＝1，∴1a －1＝1－a a ＝b ＋c a ≥2bc a ，同理1b －1≥2ac b ，1c －1≥2ab c .由于上述三个不等式两边均为正，分别相乘得 ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1b －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1c －1≥2bc a ·2ac b ·2ab c ＝8. 当且仅当a ＝b ＝c ＝13时，等号成立.能力提升8.若2m ＋4n ＜22，则点(m ，n )必在( ) A.直线x ＋y ＝1的左下方 B.直线x ＋y ＝1的右上方 C.直线x ＋2y ＝1的左下方 D.直线x ＋2y ＝1的右上方解析 ∵22＞2m ＋4n ≥22m ·4n ＝2m2＋n ＋1， ∴m 2＋n ＋1＜32，即m ＋2n ＜1，∴(m ，n )在x ＋2y ＝1的左下方. 答案 C9.已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，a ，b ∈(0，＋∞)，A ＝f ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，B ＝f (ab )，C ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ab a ＋b ，则A ，B ，C 的大小关系是( ) A.A ≤B ≤C B.A ≤C ≤B C.B ≤C ≤AD.C ≤B ≤A解析 2ab a ＋b ≤2ab2ab ≤ab ≤a ＋b 2，又∵f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x为减函数，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ab a ＋b ≥f (ab )≥f ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，即C ≥B ≥A .答案 A10.设正数a ，使a 2＋a －2＞0成立，若t ＞0，则12log a t ________log a t ＋12(填“＞”“≥”“≤”或“＜”).解析 ∵a 2＋a －2＞0，∴a ＞1或a ＜－2(舍)， ∴y ＝log a x 是增函数，又t ＋12≥ t ，∴log a t ＋12≥log a t ＝12log a t ，当且仅当t ＝1时取等号. 答案 ≤11.设a ，b 为非零实数，给出不等式：①a 2＋b 22≥ab ；②a 2＋b 22≥⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22；③a ＋b 2≥ab a ＋b ；④a b ＋ba ≥2.其中恒成立的不等式有________(填序号).解析由重要不等式a 2＋b 2≥2ab ，可知①正确；a 2＋b 22＝2（a 2＋b 2）4＝（a 2＋b 2）＋（a 2＋b 2）4≥a 2＋b 2＋2ab 4＝（a ＋b ）24＝⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22，可知②正确；当a ＝b ＝－1时，不等式的左边为a ＋b 2＝－1，右边为ab a ＋b ＝－12，可知③不正确；当a ＝1，b ＝－1时，可知④不正确. 答案 ①②12.已知a ，b ，c 都是非负实数，试比较a 2＋b 2＋b 2＋c 2＋c 2＋a 2与2(a ＋b ＋c )的大小.解对a 2＋b 2，b 2＋c 2，c 2＋a 2分别利用不等式2(a 2＋b 2)≥(a ＋b )2，即可比较出二者的大小. 因为a 2＋b 2≥2ab ，所以2(a 2＋b 2)≥(a ＋b )2，当且仅当a ＝b 时，等号成立. 又因为a ，b 都是非负实数，所以a 2＋b 2≥22(a ＋b )，当且仅当a ＝b 时，等号成立.同理b 2＋c 2≥22(b ＋c )，当且仅当b ＝c 时，等号成立，c 2＋a 2≥22(c ＋a )，当且仅当a ＝c 时，等号成立.所以a 2＋b 2＋b 2＋c 2＋c 2＋a 2≥22[(a ＋b )＋(b ＋c )＋(c ＋a )]＝2(a ＋b ＋c )，当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立.故a 2＋b 2＋b 2＋c 2＋c 2＋a 2≥2(a ＋b ＋c ).13.(选做题)设实数x ，y 满足y ＋x 2＝0，且0＜a ＜1，求证：log a (a x ＋a y )＜18＋log a 2. 证明 ∵a x ＞0，a y ＞0， ∴a x ＋a y ≥2a x ＋y ，又∵0＜a ＜1，∴log a (a x ＋a y )≤log a 2a x ＋y ＝12log a a x ＋y ＋log a 2 ＝12(x ＋y )＋log a 2. ∵y ＋x 2＝0，∴log a (a x ＋a y )≤12(x －x 2)＋log a 2 ＝－12(x －12)2＋18＋log a 2≤18＋log a 2，又上式中等号不能同时取到，所以原不等式得证.。