高中数学人教A版必修五3.4基本不等式(一)ppt课件
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人教A版高中数学必修课件：不等式与不等关系
推论 :
a c
b d
a
c bd (同向不等式的可加性)
性质4 : (乘法的单调性) a b,c 0 ac bc
推论1 :
(同向不等式的可乘性)
a b 0 c d 0 ac bd
推论2 : a b 0 an bn (n N*, n 2)
a b 0 n a n b(n N *, n 2)
(本小题满分10分)已知二次函数y＝f(x)图象过原点， 且1≤f(－1)≤2，3≤f(1)≤4，求f(－2)的范围.
人教A版高中数学必修5课件：3.1.2不 等式与 不等关 系(共2 3张PPT )
∵a＞b＞c，∴b－a＜0，c－a＜0，c－b＜0. ∴(bc2＋ca2＋ab2)－(b2c＋c2a＋a2b)＜0， 即bc2＋ca2＋ab2＜b2c＋c2a＋a2b.
人教A版高中数学必修5课件：3.1.2不 等式与 不等关 系(共2 3张PPT )
人教A版高中数学必修5课件：3.1.2不 等式与 不等关 系(共2 3张PPT )
(可乘方性、可开方性)
例１:已知a>b>0,c<0,求证
c a
c b
例2.(1)如果a b 0, 那么 1 1 ab
变式a b 0那么 1
1
ab a
(2)如果a＞b＞c＞0，那么 c
c
ab
变式a＞b＞c＞0，那么 b c a－b a c
练习：已知c＞a＞b＞0，
试比较 b 与 c 的大小？ c-b c a
变式. 已知a，b，m，n∈R＋，求证：am＋n＋bm＋n≥ambn＋anbm. 证明：(am＋n＋bm＋n)－(ambn＋anbm) ＝(am＋n－ambn)＋(bm＋n－anbm)＝(am－bm)(an－bn)． ∵幂函数f(x)＝xm，g(x)＝xn在x∈R＋上是增函数，由对
高中数学人教A版《基本不等式》教学课件1
a b 叫做正数a，b的几何平均数；
代数意义：两个正数的算术平均数不小于它们的 几何平均数.
探究几何意义
D
ab
A
a OC b
AC = DC E
DC BC
如图,AB是圆的直径，C是 AB上与A、B不重合的一点，
A于aCA=Ba2的,CB弦b=Db≥ ,E过，点连CA作Da垂,Bb直D,
B 则OD=a＿＿b ,CD=＿＿＿＿ 2
高中数学人教A版《基本不等式》教学 课件1
2高.2中基数本学不人等教式A-版【《新基教本材不】等人式教》A版 教（ 学 课20件19） 1 高中数 学必修 第一册 课件( 共19张P PT)
已知 x, y 都是正数, P, S 是常数. (1) xy=P x+y≥2 P(当且仅当 x=y 时, 取“=”号). (2) x+y=S xy≤ 14S2(当且仅当 x=y 时, 取“=”号).
2.2基本不等式-【新教材】人教A版（ 2019） 高中数 学必修 第一册 课件( 共19张P PT)
例 6.已 知 0x,求 函 数 ysinx 1
sinx 的 最 小 值 .
解：0x 0sinx1
ysinx 1 2 sinx 1 2
sinx
sinx
当且仅当sinxsin1x，即x2时，ymin 2
2.2基本不等式-【新教材】人教A版（ 2019） 高中数 学必修 第一册 课件( 共19张P PT)
2.2基本不等式-【新教材】人教A版（ 2019） 高中数 学必修 第一册 课件( 共19张P PT)
课堂小结
a2+1与b、2初≥本2步a节应b课用主。（要１学）习了若基a,本b∈不等R，式的那证么明
例 7 若 0 x 1 ， 求 函 数 y x ( 1 - x ) 的 最 大 值 .
【全国百强校】湖北省宜昌市第一中学人教A版高中数学必修5课件：3.4基本不等式 (共12张PPT)
问题1.已知 a 0, b 0 ， a b 1，求 ab 的最大 值； 1 问题2.已知 x 0 ，当 x 取什么值， x 的值最 x 小？最小是多少.
1 变式1：若 x 1, x 还有最小值么？ x
变式2：若 x 0呢？
由这两个问题， 你有什么收获呢？
图象
【应用提升】 简单最值问题
如何设计呢？
【实验探究】
a b …2ab ab ab „ 2
2 2
想一想？
实验
【新知建构】
基本不等式
2 2
结论: 若a, b R, 则a b …2ab,
ab 若a 0, b 0, ab „ , 2 当a b时等号成立.
你能用代数方法来证明基本不等 式吗？
【应用提升】 简单最值问题
课前准备：
（1）阅读教材3.4节《基本不等
式》； （2）准备一大一小两张正方形纸 片，在大正方形纸片各边上标出若 干等分点．
谢谢合作！
3.4基本不等式 （第1课时）
宜昌一中数学组 李智伟
【问题引入】
随着科技的发展，人 们生活中的电子产品 越来越精美、便利。 现有三种5寸手机可 供选择的设计方案， 对应屏幕比分别为： 1:1,16:10,16:9。
一种观念
【课外研究】
请你来判断:
（1）为什么蜂巢都是正六边形？（2）为什么水管的横截面一般为圆形呢？
…… 作业： 《课时练》P59～60
谢谢！
分享收获: 一正
对于x 0, y 0, 二定 三相等 (1)若xy （定值） p ,则当仅当x y时， x y有最小值2 p ; s xy有最大值 . 4
2
(2)若x y （定值） s ,则当仅当x y时，
1 变式1：若 x 1, x 还有最小值么？ x
变式2：若 x 0呢？
由这两个问题， 你有什么收获呢？
图象
【应用提升】 简单最值问题
如何设计呢？
【实验探究】
a b …2ab ab ab „ 2
2 2
想一想？
实验
【新知建构】
基本不等式
2 2
结论: 若a, b R, 则a b …2ab,
ab 若a 0, b 0, ab „ , 2 当a b时等号成立.
你能用代数方法来证明基本不等 式吗？
【应用提升】 简单最值问题
课前准备：
（1）阅读教材3.4节《基本不等
式》； （2）准备一大一小两张正方形纸 片，在大正方形纸片各边上标出若 干等分点．
谢谢合作！
3.4基本不等式 （第1课时）
宜昌一中数学组 李智伟
【问题引入】
随着科技的发展，人 们生活中的电子产品 越来越精美、便利。 现有三种5寸手机可 供选择的设计方案， 对应屏幕比分别为： 1:1,16:10,16:9。
一种观念
【课外研究】
请你来判断:
（1）为什么蜂巢都是正六边形？（2）为什么水管的横截面一般为圆形呢？
…… 作业： 《课时练》P59～60
谢谢！
分享收获: 一正
对于x 0, y 0, 二定 三相等 (1)若xy （定值） p ,则当仅当x y时， x y有最小值2 p ; s xy有最大值 . 4
2
(2)若x y （定值） s ,则当仅当x y时，
2015年新课标A版高中数学必修五课件：3-4 基本不定式
几何平均数．
第十页，编辑于星期五：十点 三十九分。
②定理的证明可以用作差比较法：
a＋b 2
－
ab ＝
a＋b－2 2
ab ＝
a－ 2
b2
≥0，即
a＋b 2
≥
ab .也可用重要不等式
进行推导：∵a，b∈R＋，则( a )2＋( b )2≥2 ab ，即有a＋
b≥2 ab.
第十一页，编辑于星期五：十点 三十九分。
第四页，编辑于星期五：十点 三十九分。
课前热身 1.基本不等式． (1)重要不等式：对于任意实数a，b，有a2＋ b2________2ab，当且仅当________时，等号成立． (2)基本不等式：如果a>0，b>0，那么 ab______a＋2 b，当 且仅当________时，等号成立．
第五页，编辑于星期五：十点 三十九分。
【解】 (1)∵x>0，y>0，xy＝3，
∴2x＋5y≥2
2x·5y＝2
30，当2x＝5y，即x＝
230，y＝
30 5
时，等号成立，即x＝ 230，y＝ 530时，(2x＋5y)min＝2 30.
第十八页，编辑于星期五：十点 三十九分。
(2)∵21x＋1y＝2x2＋xyy＝23xy， 又∵2x＋y＝3≥2 2xy，∴2xy ≤94. ∴21x＋1y≥39＝43.当且仅当2x＝y＝32，
2．应用基本不等式求最值． 已知x，y都为正数，则 (1)若x＋y＝s(和为定值)，则当________时，积xy取得最大 值________． (2)若xy＝p(积为定值)，则当________时，和x＋y取得最小 值________.
第六页，编辑于星期五：十点 三十九分。
高中数学第三章不等式31不等关系与不等式课件新人教A版必修5
D．5
【解题探究】判断不等关系的真假，要紧扣不等的性
质，应注意条件与结论之间的联系． 【答案】C
【解析】①c 的范围未知，因而判断 ac 与 bc 的大小缺乏 依据，故该结论错误．
②由 ac2>bc2 知 c≠0，则 c2>0，
∴a>b，∴②是正确的．
③a<b， ⇒a2>ab，a<b， ⇒ab>b2，
【答案】M>N
【解析】M－N＝a1a2－(a1＋a2－1)＝a1a2－a1－a2＋1＝ a1(a2 － 1) － (a2 － 1) ＝ (a1 － 1)(a2 － 1) ， 又 ∵ a1∈(0,1) ， a2∈(0,1) ， ∴ a1 － 1<0 ， a2 － 1<0.∴(a1 － 1)(a2 － 1)>0 ， 即 M － N>0.∴M>N.
用不等式表示不等关系
【例1】 某钢铁厂要把长度为4 000 mm的钢管截成 500 mm 和600 mm两种规格，按照生产的要求，600 mm 钢管 的数量不能超过500 mm钢管的3倍．试写出满足上述所有不等 关系的不等式．
【解题探究】应先设出相应变量，找出其中的不等关 系，即①两种钢管的总长度不能超过4 000 mm；②截得600 mm钢管的数量不能超过500 mm钢管数量的3倍；③两种钢管 的数量都不能为负．于是可列不等式组表示上述不等关系．
比较大小要注重分类讨论
【示例】设 x∈R 且 x≠－1，比较1＋1 x与 1－x 的大小． 【错解】∵1＋1 x－(1－x)＝1－1＋1－x x2＝1＋x2 x，而 x2≥0，∴ 当 x＞－1 时，x＋1＞0，1＋x2 x≥0，即1＋1 x≥1－x； 当 x＜－1 时，x＋1＜0，1＋x2 x≤0，即1＋1 x≤1－x.
高中数学人教A版必修5第三章3.4.1基本不等式 课件
三相等
当且仅当 x＝4x，即 x2＝4，x＝2 时取等号.
∴函数 y＝x＋4x(x>0)在 x＝2 时取得最小值 4.
反思与感悟
在利用基本不等式求最值时要注意三点：一是各项均为正： 二是寻求定值，求和式最小值时应使积为定值，求积式最大 值时应使和为定值(恰当变形，合理拆分项或配凑因式是常 用的解题技巧)；三是考虑等号成立的条件.
思考：能给出不等式 a2+b2≥2ab 的证明吗？
证明： a b2 0
a2 b2 2ab 0 a2 b2 2ab (当且仅当a b 0即a b时等号成立)
思考：
替换后得到： ( a )2 ( b )2≥2 a b 即： a b≥2 ab 即： a b≥ ab 2
基本不等式 ab a b (a 0,b 0) 2
2
42
例2、已知0<x<1,求函数y=x1-x的最大值。
最值定理：
1.当两个正数的和为定值时，它们的积有最大值。
即a 0,b 0且a b M , M 为定值 ax
M2 4
“和定积最大”
2.当两个正数的积为定值时，它们的和有最小值。
即a 0,b 0且ab P, P为定值 a b 2 P 当且仅当a b时，等号成立。( a b)min 2 P
ICM2002会标
如图，这是在北京召 开的第22届国际数学家 大会会标．
会标根据中国古代数 学家赵爽的弦图设计的， 颜色的明暗使它看上去象 一个风车，代表中国人民 热情好客。
看一看：这会标中含有 怎样的几何图形
直角三角形和正方形
想一想：你能否在这个 图案中找出一些相等关 系或不等关系？
四个直角三角形的面积相等 直角三角形的直角边不相等 大正方形的面积大于四个直角三角形的面积
高中数学必修五课件：3.4-1《基本不等式》(人教A版必修5)
D
y
x
C
当且仅当 x=2y 时，等号成立 即x=12，y=6
因花此园解，面x这积x个最2y矩大2y2形，4，的最可长大得为面积1xy2是m162、72宽m为2 6m时，
18
变式：如图，用一段长为24m 的篱笆围一个一边 靠墙的矩形花园，问这个矩形的长、宽各为多少时， 花园的面积最大，最大面积是多少？
-1
=1,
当且仅当 x+1= x1+1, 即 x=0 时, 取“=”号.
∴当 x=0 时, 函数 f(x) 的最小值是 1.
26
2.
若
0<x<
1 2
,
求函数
y=x(1-2x)
的最大值.
分析:2 x+(1-2x) 不=1是为 常数.
配凑系数
解:
∵0<x<
1 2
,
∴1-2x>0.
∴y=x(1-2x)=
a2 b2≥2ab
当且仅当a=b时，等号成立 适用范围： a,b∈R 文字叙述为: 两数的平方和不小于它们积的2倍.
如果a 0,b 0,我们用 a, b分别代替a,b, 可得到什么结论？
8
如果a 0,b 0,我们用 a, b分别代替a,b, 可得到什么结论？
替换后得到： ( a )2 ( b )2≥2 a b 即： a b≥2 ab 即： a b≥ ab (a 0,b 0) 2
适用范围： a>0,b>0
在数学中，我们把
a
b 2
叫做正数a，b的算术平均数，
ab 叫做正数a，b的几何平均数；
文字叙述为： 两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.
2015-2016年最新审定人教A版高中数学必修五：3.4.3 基本不等式的实际应用(优秀课件)
1 【例 1】 (1)求函数 f(x)＝ ＋x(x＞3)的最小值； x－3 x2－3x＋1 (2)求函数 f(x)＝ (x＞3)的最小值； x－3 9 1 (3)已知 x＞0，y＞0，且x ＋y ＝1，求 x＋y 的最小值.
zxx k
思维突破：(1)“添项”，可通过减 3 再加 3，利用基本不
a 等式后可出现定值.(2)“拆项”，把函数式变为 y＝M＋M的形
9 1 9 1 式.(3)“整体代换”，将 1 用x ＋y 代替，则 x＋y＝(x＋y)x ＋y ，
再化简，用基本不等式求解.
zxx k
解：(1)∵x＞3，∴x－3＞0. 1 ∴f(x)＝ ＋(x－3)＋3 x－3 ≥2 1 · x－3＋3＝5. x－3
1 当且仅当 ＝x－3，即 x＝4 时取等号， x－3 ∴f(x)的最小值为 5.
当 a＝2b，即 a＝40 m，b＝20 m 时，S 最大值＝648 m2.
答：当矩形温室的左侧边长为40 m，后侧边长为20 m 时，
蔬菜的种植面积最大，最大种植面积为 648 m2.
zxx k
【变式与拓展】 2.(2013 年陕西)在如图 3-4-1 所示的锐角三角形空地中，欲 建一个面积最大的内接矩形花园( 阴影部分) ，则其边长 x 为 ________m.
zxx k
【问题探究】 1.你是设计师！春天到了，学校决定用篱笆围一个面积为 100 平方米的花圃种花.有以下两种方案：
圆形花圃：造价 12 元/米；矩形花圃：造价 10 元/米.
你觉得哪个方案更省钱呢？
10 答案：圆形花圃：S 圆＝πr ＝100，r＝ ，C＝2πr＝20 π
2
π，
花费约为 425 元； 矩形花圃：设两边为 x，y，C＝2(x＋y)≥4 x＝y 时花费最少为 400 元.显然矩形花圃省钱.
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练习. 已a 知 0,b0,c0,
求 证 b ca ： ca babc. abc
讲授新课
例2. 已知a,b,c,d都是正,数 求 :(a 证 b c)d a ( c b)d 4 ab . cd
讲授新课
例3. 若 ab1 ， Plg alg b,
Q1(laglg b)R , lg ab,
2
2
比较 P、Q、R的大.小
讲授新课
例4. 当x1时， 求f(x)x23x1的值. 域
x1
讲授新课
例5. 若实 a 、 b 满 数 a 足 b2 , 求3a 3b的最小.值
讲授新课
例5. 若实 a 、 b 满 数 a 足 b2 , 求3a 3b的最小.值
练习.教材P.100练习第1、2题.
课堂小结
比较两个重要不等式的联系和区别：
提问2：那4个直角三角形的面积和是多
少呢？
D
GF C
A HE
B
引入新课 提问3：根据观察4个直角三角形的面积
和正方形的面积，我们可得容易得到一个 不等式 a2b22ab，什么时候这两部 分面积相等呢？
D GF C A HE
B
讲授新课
一般地，对于任意实数a、b，我们有 a2b22ab，当且仅当a＝b时，等号 成立.
A
C
E
讲授新课
ab ab 2
我们常a把 b叫做正 a,b数 的算术 2
均数，a把 b做正a数 ,b的几何平. 均
讲授新课
例1. 已知a,b,c为两两不相等的实数，
求a 2 证 b 2 c 2 ： a b c. a
讲授新课
例1. 已知a,b,c为两两不相等的实数，
求a 2 证 b 2 c 2 ： a b c. a
a2b2 2ab; ab a(ba0,b0).
2
课后作业
1. 阅读教材P.97-P.100； 2.《习案》作业三十一.
提问4：你能给出它的证明吗？
讲授新课
注意：
a2b22ab
(1)当 且 a仅 b,a2b 当 22a;b
(2) 特别,如 地果 a0,b0,用a和b代替
a、b,可得 ab2 ab,也可写a成 bab 2
(a0,b0).
讲授新课
提问5：观察右图，你能得到不等式
abab(a0,b0)
2
D
的几何解释吗？
3.4基本不等式：
ab ab 2
引入新课 提问1：我们把“风车”造型抽成下图.
在正方形ABCD中有4个全等的直角三角形. 设直角三角形的两条直角边的长为a、b， 那么正方形的边长为多少?面积为多少呢?
D GF C A HE
B
引入新课
提问1：我们把“风车”造型抽象成下图.
在正方形ABCD中有4个全等的直角三角形. 设直角三角形的两条直角边的长为a、b， 那么正方形的边长为多少?面积为多少呢?
求 证 b ca ： ca babc. abc
讲授新课
例2. 已知a,b,c,d都是正,数 求 :(a 证 b c)d a ( c b)d 4 ab . cd
讲授新课
例3. 若 ab1 ， Plg alg b,
Q1(laglg b)R , lg ab,
2
2
比较 P、Q、R的大.小
讲授新课
例4. 当x1时， 求f(x)x23x1的值. 域
x1
讲授新课
例5. 若实 a 、 b 满 数 a 足 b2 , 求3a 3b的最小.值
讲授新课
例5. 若实 a 、 b 满 数 a 足 b2 , 求3a 3b的最小.值
练习.教材P.100练习第1、2题.
课堂小结
比较两个重要不等式的联系和区别：
提问2：那4个直角三角形的面积和是多
少呢？
D
GF C
A HE
B
引入新课 提问3：根据观察4个直角三角形的面积
和正方形的面积，我们可得容易得到一个 不等式 a2b22ab，什么时候这两部 分面积相等呢？
D GF C A HE
B
讲授新课
一般地，对于任意实数a、b，我们有 a2b22ab，当且仅当a＝b时，等号 成立.
A
C
E
讲授新课
ab ab 2
我们常a把 b叫做正 a,b数 的算术 2
均数，a把 b做正a数 ,b的几何平. 均
讲授新课
例1. 已知a,b,c为两两不相等的实数，
求a 2 证 b 2 c 2 ： a b c. a
讲授新课
例1. 已知a,b,c为两两不相等的实数，
求a 2 证 b 2 c 2 ： a b c. a
a2b2 2ab; ab a(ba0,b0).
2
课后作业
1. 阅读教材P.97-P.100； 2.《习案》作业三十一.
提问4：你能给出它的证明吗？
讲授新课
注意：
a2b22ab
(1)当 且 a仅 b,a2b 当 22a;b
(2) 特别,如 地果 a0,b0,用a和b代替
a、b,可得 ab2 ab,也可写a成 bab 2
(a0,b0).
讲授新课
提问5：观察右图，你能得到不等式
abab(a0,b0)
2
D
的几何解释吗？
3.4基本不等式：
ab ab 2
引入新课 提问1：我们把“风车”造型抽成下图.
在正方形ABCD中有4个全等的直角三角形. 设直角三角形的两条直角边的长为a、b， 那么正方形的边长为多少?面积为多少呢?
D GF C A HE
B
引入新课
提问1：我们把“风车”造型抽象成下图.
在正方形ABCD中有4个全等的直角三角形. 设直角三角形的两条直角边的长为a、b， 那么正方形的边长为多少?面积为多少呢?