四川省成都七中年高一下学期期中考试数学(理)试题及答案
成都七中届高一下期期中数学试题
11. 数列{an}满足 an 3an1 2 ， a1 0 ，则 a3
12. 13.
ABC
己知 a
的内角 A, B ,C 满足： B 是 A与C 的等差中项，则 (1,3),b (2, 2), 则 (a b)(a b)
2
C. 7 3
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，系电通，力1根保过据护管生高线产中0不工资仅艺料可高试以中卷解资配决料置吊试技顶卷术层要是配求指置，机不对组规电在范气进高设行中备继资进电料行保试空护卷载高问与中题带资2负料2，荷试而下卷且高总可中体保资配障料置2试时32卷，3各调需类控要管试在路验最习；大题对限到设度位备内。进来在行确管调保路整机敷使组设其高过在中程正资1常料中工试，况卷要下安加与全强过，看度并25工且52作尽22下可护都能1关可地于以缩管正小路常故高工障中作高资；中料对资试于料卷继试连电卷接保破管护坏口进范处行围理整，高核或中对者资定对料值某试，些卷审异弯核常扁与高度校中固对资定图料盒纸试位，卷置编工.写况保复进护杂行层设自防备动腐与处跨装理接置，地高尤线中其弯资要曲料避半试免径卷错标调误高试高等方中，案资要，料求编试技5写、卷术重电保交要气护底设设装。备备置管4高调、动线中试电作敷资高气，设料中课并技3试资件且、术卷料中拒管试试调绝路包验卷试动敷含方技作设线案术，技槽以来术、及避管系免架统不等启必多动要项方高方案中式；资，对料为整试解套卷决启突高动然中过停语程机文中。电高因气中此课资，件料电中试力管卷高壁电中薄气资、设料接备试口进卷不行保严调护等试装问工置题作调，并试合且技理进术利行，用过要管关求线运电敷行力设高保技中护术资装。料置线试做缆卷到敷技准设术确原指灵则导活：。。在对对分于于线调差盒试动处过保，程护当中装不高置同中高电资中压料资回试料路卷试交技卷叉术调时问试，题技应，术采作是用为指金调发属试电隔人机板员一进，变行需压隔要器开在组处事在理前发；掌生同握内一图部线纸故槽资障内料时，、，强设需电备要回制进路造行须厂外同家部时出电切具源断高高习中中题资资电料料源试试，卷卷线试切缆验除敷报从设告而完与采毕相用，关高要技中进术资行资料检料试查，卷和并主检且要测了保处解护理现装。场置设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。
2015-2016年四川省成都七中高一下学期期中数学试卷及参考答案
7． （5 分）数列 2014，2015，1，﹣2014，…；从第二项起，每一项都等于它的 前后两项之和，则该数列的前 2015 项之和等于（ A．2014 B．2015 C．1 ， ） D．0 ，则
8． （5 分）在等腰△ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC=2， 的值为（ A． ） B． C． sin2x﹣cos2x﹣2m 在[0，
一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个 选项中，只有一项是符合题目要求的. 1． （5 分）△ABC 的三个内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若 ，则 A=（ A．150° ） B．30° C．60° D．120° ，则 ，a=1，
2． （5 分）平面内已知向量 向量 =（ A． （2，﹣4） ） B． （﹣4，2）
A．
米 D． 米
B．
米
C．
米
11． （5 分）已知数列{an}的各项都是正数，a1=1，对任意的 k∈N*，a2k﹣1、a2k、 a2k+1 成等比数列，公比为 qk；a2k、a2k+1、a2k+2 成等差数列，公差为 dk，且 d1=2， 则数列{dk}的通项公式为（ A． B．k+1 ） C． D．
15． （5 分）如图，圆 O 与 x 轴的正半轴的交点为 A，点 C、B 在圆 O 上，且点 C 位于第一象限， 点 B 的坐标为 （ ， ﹣ ） ， ∠AOC=α， 若|BC|=1， 则 cos2
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﹣sin
cos
﹣
的值为
．
16． （5 分）已知等比数列{an}的首项为 ，公比为﹣ ，其前 n 项和为 Sn，若 N ≤3Sn﹣ 对 n∈N*恒成立，则 M﹣N 的最小值为 ．
四川省成都市第七中学2023-2024学年高一下学期4月期中考试数学试题
四川省成都市第七中学2023-2024学年高一下学期4月期中考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．22(1i)(1i)+--=（ ） A ．0B ．4C ．4i -D ．4i2．把余弦曲线cos y x =上所有的点向左平移13个单位长度，得到图像对应函数为（ ）A ．πcos 3y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．πcos 3y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ C ．1cos 3y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D ．1cos 3y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭3．若1πsin cos ,π2222θθθ-=<<，则cos θ=（ ）A ．BC ．34-D ．344．在ABC V 中，π,26A a b ==，则B 大小为（ ） A ．π3或2π3B ．π4或3π4C ．π3D ．π45．以下等式错误的是（ ）A ．()()22m n m n m n +⋅-=-r r r r r r B ．222()2m n m m n n +=+⋅+r r r r r r C ．22m n m n m n +-=-r r r r r rD ．222()2m n m m n n -=-⋅+r r r r r r6．若长方体的长、宽、高分别为2,2,4，则长方体外接球的表面积为（ ）A ．24πB ．C ．48πD ．7．已知()()()()0,0,1,2,3,1,2,1O A B C --，则四边形OABC 的面积为（ ）A ．B ．5C ．D ．108．如图，正方形ABCD 的边长为2,,,P M N 分别为边,,AB AD BC 上的点，则以下错误的是（ ）A ．若,PM PN AP PB ⊥=，则以P 为圆心，半径为1的圆与MN 相切B ．若60,MPN AP PB ∠=︒=，则MPN △面积的取值范围是(6522⎤⎥⎥⎣⎦ C ．若点N 与点C 重合，APM △周长为4，则45PNM ∠=︒ D ．MPN ∠不可能小于45︒9．复数()()12i z m m =-+-在复平面内对应的点位于第四象限，则实数m 的值可能是（ ） A ．2B ．32C ．43D ．1二、多选题10．下列正确的是（ ）A ．在任意四边形ABCD 中，,E F 分别为,AD BC 的中点，则2AB DC EF +=u u u r u u u r u u u rB ．复数1i(i 1iz +=-是虚数单位)，则2320240z z z z ++++=L C ．长方体是四棱柱，直四棱柱是长方体D ．直三棱柱的任意两个侧面的面积之和大于第三个侧面的面积 11．ABC V 内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，下列命题中正确的有（ ）A．若45,3c B b ==︒=，则三角形唯一确定 B ．若π2,2a b C ==∠=，则ABC V 外接圆面积为π C ．若6,4,2a c A C ===，则5b =D ．若cos2cos2cos21A B C +-<，则ABC V 为锐角三角形12．在直三棱柱111ABC A B C -中，12,2,4AA AB BC AC ====，下列说法正确的是（ ）A．直三棱柱体积为B．直三棱柱侧面积为12+C ．ABC V 沿边AC 旋转一周形成的几何体的体积为6πD ．若F 为11AC 的中点，E 为1BB 的中点，过,,A EF 三点作该直三棱柱111ABC A B C -的三、填空题13．已知()()4,,,1a b λλ==r r ，若a b rr P ，则λ的值为. 14．已知π11,0,,sin ,cos 232αβαβ⎛⎫∈== ⎪⎝⎭，则()sin αβ-=.15．已知圆台形的花盆的上、下底面的直径分别为4和8，该花盆的侧面展开图的扇环所对的圆心角为π2，则该圆台的体积为.16．ABC V 中，150,C D ∠=︒为线段AB 上一点，1CD =，且0DC AC ⋅=u u u r u u u r，则ABC V 面积的最小值为.四、解答题17．已知函数()2cos cos f x x x x m =++，在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为52.(1)求常数m 的值；(2)求函数()f x 的最小正周期和单调递减区间.18．如图，正方形ABCD 边长为6,E 是AB 的中点，1,3BF BC AF =与DE 交于点M ，记A F a =u r r ，DE b u u u r r =.(1)求a r 与b r夹角的余弦值；(2)若EC ma nb =+u u u r r r，求m n +的值.19．在复数范围内有关于x 的方程210x x ++=. (1)求该方程的根； (2)求()1x x -的值；(3)有人观察到()()2110x x x -++=，得31x =，试求20242024111x x x ⎛⎫⎛⎫+ ⎪⎪++⎝⎭⎝⎭的值.20．如图，一个加盖密封的漏斗的上面部分是一个正方体，下面部分是一个正四棱锥，该几何体所有棱长均为2米.(1)求该漏斗的表面积；(2)若一只蚂蚁沿漏斗表面从点A '爬到点P ，求它爬过的最短路径的长；(3)将图中正方形ABB A ''水平放置，在由斜二测画法得到的水平放置的直观图中，求线段A B '的长.21．成都天府绿道专为骑行而建，以绿道为线，串联上百个生态公园，一路上树木成荫、鸟语花香，目前已然成为成都新的城市名片．成都市政府为升级绿道沿途风景，计划在某段全长200米的直线绿道AB 一侧规划一个三角形区域ABC 做绿化，如图，已知π3CAB ∠=，为提升美观度，设计师拟将绿化区设计为一个锐角三角形．(1)若100AC =米，求BC 的长； (2)求绿化区域ABC V 面积的取值范围；(3)绿化完成后，某游客在绿道AB 的另一侧空地上寻找最佳拍照打卡点，该游客从A 到D ，再从D 到B ，然后从B 到D ，最终返回D 点拍照．已知π3ADB ∠=，求游客所走路程的最大值．22．边长为4的正方形ABCD 的中心为O ，以O 为圆心的单位圆O 上有两动点,P Q 满足0OP OQ ⋅=u u u r u u u r.若点M 为正方形ABCD 边AB 上的一个动点.(1)求DC DB DC AC ⋅+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r的值；(2)求MP MQ ⋅u u u r u u u u r的最小值；(3)若()0,,,R aPA bPB cPC a b c ++=∈u u u r u u u r u u u r r ，求b c a +的最大值.。
2020-2021学年四川省成都市第七中学高一下学期期中数学试题(解析版)
2020-2021学年四川省成都市第七中学高一下学期期中数学试题一、单选题1．数列1，0，1，0，的一个通项公式为（ ）A ．*(1)(1,)n n n N -≥∈B ．*(1)1(1,)n n n N -+≥∈C ．2*sin(1,)2n n n N π≥∈ D ．*1cos (1,)n n n N π+≥∈【答案】C【分析】分别写出每个选项的数列的前四项，对比即可.【详解】对于A ，*(1)(1,)n n n N -≥∈的前4项为-1,1，-1,1，不符合条件； 对于B ，*(1)1(1,)n n n N -+≥∈的前4项为0,2，0,2，不符合条件； 对于C ，2*sin(1,)2n n n N π≥∈的前4项为1,0，1,0，符合条件； 对于D ，*1cos (1,)n n n N π+≥∈的前4项为0,2，0,2，不符合条件； 故选：C2．ABC 中，AB =4，BC =3，CA =2，则其最大内角的余弦值为（ ） A ．14B ．1116 C ．14-D ．78【答案】C【分析】由三角形中大边对大角，知ACB ∠最大，结合余弦定理即可得到正确选项. 【详解】由题意知，ABC 中，ACB ∠最大，故由余弦定理得：22294161cos 22324BC AC AB ACB BC AC +-+-∠===-⋅⨯⨯.故选：C.3．若11tan ,tan 23==αβ，则tan()αβ+=（ ）A ．1-B ．1C ．17-D ．17【答案】B【分析】直接代入正切的两角和公式即可得解.【详解】115tan tan 236tan()11151tan tan 1236+++====-⋅-⋅αβαβαβ，故选：B.4．若α∈R ，则sin cos cos sin 33ππαααα⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值为（ ）A ．12-B ．12C ．32- D ．32 【答案】C【分析】根据两角差的恒等变换公式求解即可.【详解】3sin cos cos sin sin[]sin()33332ππππαααααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+=-+=-=-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭故选：C5．矩形ABCD 中，3AB =，2BC =，E 为BC 的中点，点F 满足2DF FC =，则AE AF ⋅=（ ） A ．8 B ．4C ．4-D ．8-【答案】A【分析】以点A 为坐标原点，AB 、AD 所在直线分别为x 、y 轴建立平面直角坐标系，利用数量积的坐标运算可求得AE AF ⋅.【详解】以点A 为坐标原点，AB 、AD 所在直线分别为x 、y 轴建立平面直角坐标系，因为3AB =，2BC =，2DF FC =，则3,1E 、()2,2F ，()3,1AE =，()2,2AF =， 故32128AE AF ⋅=⨯+⨯=. 故选：A.6．函数()sin 2sin ,,2f x x x x ππ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭的零点为0x ，则tan20x 的值为（ ）A 3B ．3C ．3D 3【答案】D【分析】()sin 2sin sin (2cos 1)0f x x x x x =+=+=，根据,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭求得0x ，从而计算得到0tan 2x 的值.【详解】()sin 2sin sin (2cos 1)0f x x x x x =+=+=，又,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则01cos 2x =-，023x π=，故tan204tan 33x π== 故选：D7．如图，正六边形ABCDEF ，则以下向量的数量积的值中最大的为（ ）A ．AB FC ⋅ B ．AB AD ⋅ C ．AB AE ⋅ D ．AB AC ⋅【答案】A【分析】连接CF ，以线段CF 的中点O 为坐标原点，FC 为x 轴建立平面直角坐标系，设正六边形ABCDEF 的边长为a ，计算出各选项中向量的数量积，由此可得出合适的选项.【详解】连接CF ，以线段CF 的中点O 为坐标原点，FC 为x 轴建立平面直角坐标系， 设正六边形ABCDEF 的边长为a ，则3,22a A a ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭、3,22a B a ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭、(),0C a 、3,22a D a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭、3,22a E a ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭、(),0F a -.对于A 选项，(),0AB a =，()2,0FC a =，则22AB FC a ⋅=； 对于B 选项，(),3AD a a =，2A D a B A =⋅； 对于C 选项，()0,3AE a =，则0AB AE =⋅；对于D选项，32AC a ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，则232AB AC a ⋅=. 故选：A.8．若-1-22133232322n n n n n S -=+⨯+⨯++⨯+，则S =（ ）A ．134n +-B ．1132n n ++-C ．2132n n --D ．2-132n n -【答案】B【分析】根据题意可得S 为数列123()()3n k k N -*⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭前1n +项和，利用等比数列前n 项和公式即可得解.【详解】根据题意-1-22133232322n n n n n -+⨯+⨯++⨯+为数列123()()3n k k N -*⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭前1n +项和，而123()()3n k k N -*⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭为等比数列， 所以11123(1())332213n n n n S +++-==--， 故选：B.9．ABC 的内角A 、B 、C 所对边分别为a 、b 、c ，且3cos 3cos 2a B b A c -=，则tan tan A B的值为（ ） A ．1 B ．3 C ．4 D ．5【答案】D【分析】由正弦定理将条件展开，3sin cos 3sin cos 2sin 2sin()A B B A C A B -==+，从而求得tan tan AB的值. 【详解】由正弦定理知，3sin cos 3sin cos 2sin 2sin()A B B A C A B -==+， 即3sin cos 3sin cos 2sin cos 2sin cos A B B A A B B A -=+， 故sin cos 5sin cos A B B A =， 故tan 5tan AB= 故选：D10．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若23332m m S S =，2457m m a m a m -=+，则数列{}n a 的公比为（ ） A ．2 B ．2-C ．12D ．12-【答案】C【分析】当1q =时，22mmS S =，可知1q ≠；利用等比数列通项公式和求和公式分别表示出已知等式，可构造方程求得m ，并得到5132q =，由此可解得结果. 【详解】设等比数列{}n a 公比为q ， 若1q =，则21122m m S ma S ma ==，不合题意，1q ∴≠； 2457m m m m m a a q m a a m -==+，457mm q m -∴=+；()()2122111331113211m m mm m m m a q S q q q S qa q q---===+=---，415732m m -∴=+，解得：5m =， 5132q ∴=，解得：12q =.故选：C.11．如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西匀速行驶，在公路北侧远处一座高900米的山顶D 的测得点A 的在东偏南30方向上过一分钟后测得点B 处在山顶地的东偏南60方向上，俯角为45，则该车的行驶速度为（ ）A ．15米/秒B ．3/秒C ．20米/秒D ．3/秒【答案】A【分析】根据题意可得900AB =，再除以时间即可得解. 【详解】根据题意900CD =，由B 处在山顶俯角为45， 所以900BC =，由A 东偏南30，B 东偏南60，所以30,603030BAC ACB ∠=∠=-=， 所以ABC 为等腰三角形，所以900AB =， 由9001560=，所以速度为15米/秒， 故选：A12．如图，点C 是半径为6的扇形圆弧AB 上的一点，18OA OB →→⋅=-，若OC xOA y OB →→→=+，则3x +2y 的最大值为（ ）A ．2513B ．573C ．2573D ．513【答案】C【分析】根据18OA OB →→⋅=-，则120AOB ∠=，建立以O 点为原点的坐标系，设(6cos ,6sin )C αα，写出向量的坐标表示形式，用α的三角函数表示出x ，y ，从而求得32x y +的三角函数表达式，利用辅助角公式求得最大值.【详解】由66cos 18OA OB AOB →→⋅=⨯∠=-，则1cos 2AOB ∠=-，120AOB ∠=，建立如图所示坐标系，则(6,0)A ，(3,33)B -，设(6cos ,6sin )C αα，2[0,]3απ∈，由OC xOA y OB →→→=+知，(6cos ,6sin )(6,0)(3,33)(63,33)x y x y αα=+-=-， 化简得：3cos x αα=+，23y α=， 则32373323(cos )23cos x y ααααα+=++=+ 257)αϕ+，其中33tan ϕ=则当sin()1αϕ+=时，32x y +故选：C二、填空题13．函数()sin cos ,f x x x x R =+∈的最大值为__________.【分析】利用辅助角公式化简()f x ，由正弦型函数值域可求得结果.【详解】()sin cos 4f x x x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，∴当sin 14x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭时，()max f x14．若1cos 2(cos sin ),24k k Z πααααπ⎛⎫=-≠+∈ ⎪⎝⎭，则cos sin αα+=_________.【答案】12【分析】根据余弦的二倍角公式并对其因式分解可得cos 2(cos sin )(cos sin )ααααα=-+，又,4k k Z παπ≠+∈，所以cos sin 0αα-≠，根据已知条件，即可求出结果.【详解】因为22cos2cos sin (cos sin )(cos sin )ααααααα=-=-+ 又1cos 2(cos sin )2ααα=-，且,4k k Z παπ≠+∈所以1(cos sin )(cos sin )(cos sin )2αααααα-=-+，且cos sin 0αα-≠所以1cos sin 2αα+=. 故答案为：12.15．《九章算术》是中国古代张苍、耿首昌所撰写的一部数学专著，被誉为人类科学史上应用数学的最早巅峰.全书分为九章，卷第六“均输”有一问题：“今有竹九节下三节容量四升，上四节容量三升问中间二节欲均容各多少?”其意思为：“今有竹9节，下3节容量4升，上4节容量3升使中间两节也均匀变化，每节容量是多少?”这一问题中从下部算起第5节容量是 _________________升.(结果保留分数) 【答案】6766【分析】记从下部算起第n 节的容量为n a ，可知数列{}n a 为等差数列，利用等差数列通项公式可构造关于1,a d 的方程组，解方程组求得1,a d 后，利用通项公式可求得5a . 【详解】记从下部算起第n 节的容量为n a ，由题意可知：数列{}n a 为等差数列，设其公差为d ， 则1231678913344263a a a a d a a a a a d ++=+=⎧⎨+++=+=⎩，解得：19566766a d ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，5167466a a d ∴=+=，即从下部算起第5节容量是6766升.故答案为：6766. 16．已知ABC 中，AC =1，BCABCAB 上存在点D ，使3BDC π∠=，则CD = _________.【答案】1【分析】由已知利用三角形面积公式可求1sin 2ACB ∠=，从而可求6ACB π∠=或56π，在ABC 中，由余弦定理可得AB ，进而可求B ，在BCD △中，由正弦定理可得CD 的值．【详解】解：AC =1，BCABC11sin 1sin 22AC BC ACB ACB=⋅∠=⨯∠，1sin 2ACB ∴∠=，6ACB π∴∠=或56π， 若56ACB π∠=，在ABC中，由余弦定理可得：AB利用正弦定理sin sin AB AC C B =，得sin sin AC C B AB ⨯==∴在BCD △中，由正弦定理可得：sin s in BC BCD BDC⋅=∠ 当6ACB π∠=时，∴在ABC中，由余弦定理可得：cos 1AB AC BC ACB ∠， ∵AB AC = 6B π∴∠=，∴在BCD △中，由正弦定理可得：1sin 1sin BC BCD BDC==∠．故答案为：1三、解答题17．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S 2n r =+，其中r 为常数. （1）求r 的值； （2）设1(1)2n n b a =+，求数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T . 【答案】（1）0r =；（2）1nn +. 【分析】（1）求出前三项为1,3,5r +，利用等差中项的性质即可得解； （2）由（1）可得n b n =，11111n n b b n n +=-+，利用裂项相消法即可得解. 【详解】（1）先求前三项，111a S r ==+，2213a S S =-=，3325a S S =-=， 由{}n a 为等差数列，所以2132a a a =+， 所以66r =+，即0r =；（2） 由（1）知2n ≥，121n n n a S S n -=-=-， 11a =也满足，所以21n a n =-，所以n b n =，所以11111(1)1n n b b n n n n +==-++， 所以11111111223111n n T n n n n =-+-++-=-=+++. 18．已知向量()cos ,sin a αα=，()sin ,cos b αα=-，设3m a b =+，3n a b =+. （1）求a b +的值； （2）求,m n 夹角的大小. 【答案】（1（2）6π.【分析】（1）由平面向量模长的坐标运算可直接求解得到结果；（2）利用平面向量坐标运算求得a b ⋅，a 和b ；利用平面向量数量积的运算律可求得m n ⋅，m 和n ，由向量夹角公式可求得结果.【详解】（1）()cos sin ,sin cos a b αααα+=-+，(cos a b α∴+==（2）由题意得：sin cos sin cos 0a b αααα⋅=-+=，1a =，1=b ，()()223334323m n a b a b a a b b ∴⋅=+⋅+=+⋅+=，()22233232m a ba ab b =+=+⋅+=，()22232332n a ba ab b =+=+⋅+=，3cos ,2m n m n m n ⋅∴<>==⋅，又[],0,m n π<>∈，,6m n π∴<>=.19．已知数列{}n a 为等差数列，数列{}n b 是各项均为正数的等比数列，满足：111a b ==，221a b =+，331a b =+.（1）求{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）设n n n C a b =⋅，数列{}n C 的前n 项和为n S ，求满足()131002,n n S n n N a *-->≥∈的最小正整数n 的值.【答案】（1）21n a n =-；12n n b -=；（2）7.【分析】（1）利用等差数列和等比数列通项公式可构造方程组求得,d q ，由此可得所求通项公式；（2）利用错位相减法可求得n S ，将不等式化为2100n >，结合n *∈N 可求得所求最小值.【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，各项均为正数的等比数列{}n b 的公比为()0q q >，由223311a b a b =+⎧⎨=+⎩得：211121d q d q +=+⎧⎨+=+⎩，解得：22d q =⎧⎨=⎩， ()12121n a n n ∴=+-=-；12n n b -=；（2）由（1）知：()1212n n C n -=-⋅，()()01221123252232212n n n S n n --∴=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⋅+-⋅， ()()12312123252232212n n n S n n -=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⋅+-⋅，()()()()21232121212222121212n n n n n S n n --∴-=--⋅+++⋅⋅⋅+=--⋅+-()1121224n n n +=--⋅+-()3223n n =-⋅-，()2323nn S n ∴=-⋅+，()12323210023n n n n n S a n --⋅-∴==>-， 又n *∈N ，6264=，72128=，∴最小正整数n 的值为7.20．已知各项均为正数的数列{}n a 满足：13a =，29a =，4312n n n a a a ++=⋅.（1）若313log log n n n b a a +=-，求证：数列{}n b 为等比数列，并求{}n a 的通项公式；（2）设数列()()1411n n n b b b +⎧⎫⎪⎪⎨⎬++⎪⎪⎩⎭的前n 项和为n S ，求证：112n S ≤<. 【答案】（1）证明见解析；13123n n a -+=；（2）证明见解析.【分析】（1）对已知递推关系式左右取对数，结合对数运算法则可整理得到13n n b b +=，由此可证得数列{}n b 为等比数列；由等比数列通项公式求得n b ，利用累加法可求得3log n a ，由此可求得n a ；（2）由（1）可整理得到()()114112113131n n n n n b b b -+⎛⎫=- ⎪++++⎝⎭，采用裂项相消法可求得n S ，由33n ≥，结合不等式性质可证得结论.【详解】（1）4312n n n a a a ++=⋅且0n a >，313324log 3log log n n n a a a ++∴=+，()3231313log log 3log log n n n n a a a a +++∴-=-，即13n n b b +=，又13231log log 1b a a =-=，∴数列{}n b 是以1为首项，3为公比的等比数列，13n n b -∴=；2331log log 3n n n a a --∴-=，33132log log 3n n n a a ----=，…，03231log log 3a a -=， 各式相加可得：()10121331131log log 33331132n n n n a a -----=++⋅⋅⋅+==--， ()131log 312n n a -∴=+，13123n n a -+∴=；（2）由（1）知：13n n b -=， ()()()()11114431121131313131n n n n n n n n b b b ---+⋅⎛⎫∴==- ⎪++++++⎝⎭， 11111111111222441010283131231n n n n S -⎛⎫⎛⎫∴=⨯-+-+-+⋅⋅⋅+-=⨯- ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭， n N *∈，33n ∴≥，110314n ∴<≤+，111142312n ∴≤-<+，112n S ∴≤<. 21．已知ABC 为锐角三角形，角,,A B C 所对边分别为,,a b c ，ABC 满足：222sin sin sin sin sin A B C B C +-≤.（1）求角A 的取值范围；（2）当角A取最大值时，若AB =ABC 的周长的取值范围.【答案】（1）0,3π⎛⎤ ⎥⎝⎦；（2）+⎝. 【分析】（1）利用正弦定理角化边可配凑得到cos A 的取值范围，根据ABC 为锐角三角形可求得A 的取值范围；（2）利用正弦定理和三角形内角和性质可将所求周长表示为3cos 12sin C L C +=⋅，根据ABC 为锐角三角形可求得C 的范围，令()cos 1sin x f x x +=，利用导数可求得单调性，从而确定cos 1sin C C+的范围，代入即可得到所求周长的取值范围. 【详解】（1）由正弦定理可得：222a b c bc +-≤，即222b c a bc +-≥，2221cos 22b c a A bc +-∴=≥，又0,2A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， A ∴的取值范围为0,3π⎛⎤ ⎥⎝⎦； （2）由（1）知：3A π=； 由正弦定理sin sin sin BC AC AB A BC ==sin AC B =， 32sin BC C ∴=，AC =ABC ∴周长L =233cos 132sin 2sin C C L C Cπ⎛⎫+- ⎪+⎝⎭∴===⋅， ABC 为锐角三角形，0202B C ππ⎧<<⎪⎪∴⎨⎪<<⎪⎩，即203202C C πππ⎧<-<⎪⎪⎨⎪<<⎪⎩，解得：62C ππ<<， 令()cos 1sin x f x x +=，则()()222sin cos cos 11cos sin sin x x x x f x x x--+--'==， 当,62x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，()f x ∴在,62ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，cos 112sin C C +∴<<，3L <<+ 即ABC周长的取值范围为+⎝. 22．如图在小岛的正北方向上10n mile 的C 处有一艘货轮，为了躲避礁石，该货轮沿南偏西()3045θθ<<的方向航行，小岛B 有一艘快艇沿北偏西()90θ-角方向行驶给货轮运送补给，双方无线电约定在点P 处完成补给.货轮得到补给后将原航行方向顺时针旋转30向A 地运送物资.（1）如图，若A 地恰好在小岛B 的正西方向上，满足3AB BC ，求AC 两地的距离和θ的正切值；（2）如图2，若A 地恰好在小岛B 的西偏南5方向上，记()AP f θ=，令()()53sin 20f g θθθ=，计算当35θ=时，()g θ的值； （3）如图2，设PBC 的面积为()h θ，计算当36θ=时，()h θ的值.【答案】（1）AC 两地的距离为20 n mile ；3tan θ=；（2）() 5.14g θ≈-；（3）()23.78h θ≈. 【分析】（1）利用勾股定理可直接求得AC ；在ABP △中，利用正弦定理可构造关于sin ,cos θθ的齐次式，化简整理可得tan θ； （2）在ABP △中，利用正弦定理可得到()f θ，代入即可得到()g θ，将35θ=代入整理可求得结果；（3）根据90CPB ∠=可知12BPC SBP CP =⋅，整理得到()h θ，代入36θ=即可求得结果.【详解】（1）由题意知：10BC =，103AB =BCP θ∠=，90CPB ABC ∠=∠=， 10sin BP θ∴=，2220AC BC AB +=，即AC 两地的距离为20 n mile ； 在ABP △中，120APB ∠=，ABP θ∠=，60PAB θ∴∠=-，由正弦定理sin sin BP AB PAB APB =∠∠得：()10sin 103sin 603θθ=- 即()sin 2sin 603sin θθθθ=-=-，2sin 3θθ∴， sin 3tan cos θθθ∴==（2）由题意知：10sin BP θ=，120APB ∠=，5ABP θ∠=+，55PAB θ∴∠=-， 在ABP △中，由正弦定理sin sin BP AP PAB ABP =∠∠得：()()10sin sin 55sin 5AP θθθ=-+， ()()()10sin sin 5sin 55f AP θθθθ+∴==-，()()()10sin 5sin 55320g θθθ+∴=-；当35θ=时，()53cos 53cos 20cos 10sin 40202020sin 2020sin 20g θ=-=-，()200.94 5.14g θ∴≈⨯≈-. （3）由题意知：10sin BP θ=，10cos CP θ=， ()150sin cos 25sin 22BPC h S BP CP θθθθ∴==⋅==， 当36θ=时，()25sin7223.78h θ=≈.。
2023-2024学年四川省高一下册期中考试数学试题(含解析)
2023-2024学年四川省高一下册期中考试数学试题一、单选题1．已知向量a 与b共线，下列说法正确的是（）A ．a b =或a b=-r r B ．a 与b平行C ．a 与b方向相同或相反D ．存在实数λ，使得λa b=【正确答案】B【分析】根据向量共线的概念，以及向量共线定理，逐项判断，即可得出结果.【详解】向量a 与b共线，不能判定向量模之间的关系，故A 错；向量a 与b 共线，则a 与b平行，故B 正确；a 为零向量，则满足a 与b共线，方向不一定相同或相反；故C 错；当0a ≠r r ，0b =时，满足a 与b 共线，但不存在实数λ，使得λa b = ，故D 错.故选：B.本题主要考查向量共线的有关判定，属于基础题型.2．已知1cos 3α=，且3π2π2α<<，则tan α的值为（）A ．3-B ．4C ．D ．-【正确答案】D【分析】由同角三角函数的基本关系求解【详解】由题意得sin 3α==-，则sin tan cos ααα==-故选：D3．如图，在矩形ABCD 中，E 为BC 中点，那么向量12AD AE +等于（）A ．AB B ．ACC ．BCD ．BE【正确答案】B根据平面向量的线性运算，直接可得出结果.【详解】因为在矩形ABCD 中，E 为BC 中点，所以1122AD AE BC AE EC AE AC +=+=+=.故选：B.本题主要考查平面向量的线性运算，属于基础题型.4．我国古代数学经典著作《九章算术》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何?”现有一类似问题，不确定大小的圆柱形木材，部分埋在墙壁中，其截面如图所示.用锯去锯这木材，若锯口深2CD =锯道2AB =，则图中 ACB与弦AB 围成的弓形的面积为（）A ．2πB ．23πC ．3πD ．33π-【正确答案】B【分析】设圆的半径为r ，利用勾股定理求出r ，再根据扇形的面积及三角形面积公式计算可得；【详解】解：设圆的半径为r ，则(2OD r CD r =-=--，112AD AB ==，由勾股定理可得222OD AD OA +=，即(2221r r ⎡⎤-+=⎣⎦，解得2r =，所以2OA OB ==，2AB =，所以3AOB π∠=，因此221222233MBB AOB S S S ππ=-=⨯⨯= 弓形扇形.故选：B5．已知cos1,sin2,tan4a b c ===，则（）A ．c b a >>B ．a b c >>C ．b a c >>D ．b c a>>【正确答案】A【分析】利用诱导公式及正弦函数的单调性可判断,a b 的大小，利用正切函数的单调性可判断c 的范围，从而可得正确的选项.【详解】πsin 12a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()πsin 2b =-，因为01π22π2π<-<-<，故1a b <<，而()tan 4tan 4πc ==-，因为ππ4π42<-<，故1c >，故c b >，综上，c b a >>，故选：A6．记函数()()sin f x x ωϕ=+(其中0ω>，2πϕ<)的图像为C ，已知C 的部分图像如图所示，为了得到函数()sin g x x ω=，只要把C 上所有的点（）A ．向右平行移动6π个单位长度B ．向左平行移动6π个单位长度C ．向右平行移动12π个单位长度D ．向左平行移动12π个单位长度【正确答案】A根据图象可得周期，求出2ω=，根据图象上最低点求出3πϕ=，再根据平移变换可得结果.【详解】由图象可知周期74()123T πππ=-=，所以222T ππωπ===，又图象上一个最低点为7(,1)12π-，所以7sin 2112πϕ⎛⎫⨯+=- ⎪⎝⎭，所以7322122k ππϕπ⨯+=+，Z k ∈，即23k πϕπ=+，Z k ∈，因为2πϕ<，所以3πϕ=，所以()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭sin 26x π⎡⎤⎛⎫=+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以为了得到函数()sin 2g x x =，只要把C 上所有的点向右平行移动6π个单位长度.故选：A关键点点睛：根据图象求出ω和ϕ是解题关键.7．已知()ππ,,,tan 3,cos 225αβααβ⎛⎫∈-=+=- ⎪⎝⎭，则()tan αβ-=（）A ．52-B ．12C ．2D ．112【正确答案】B【分析】先求出()tan αβ+，再求出tan β，最后可求()tan -αβ.【详解】因为ππ,,tan 3022αα⎛⎫∈-=> ⎪⎝⎭，故0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，因为ππ,22β⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，故ππ2αβ-<+<，而()cos 05αβ+=-<，故ππ2αβ<+<，所以()tan 2αβ+=-，故()()23tan tan 1123βαβα--=+-==⎡⎤⎣⎦+-⨯，所以()311tan 1312αβ--==+⨯，故选：B8．已知M 是边长为1的正△ABC 的边AC 上的动点，N 为AB 的中点，则BM MN ⋅的取值范围是（）A ．[34-，2364-]B ．[34-，12-]C ．[25-，15-]D ．[35-，12-]【正确答案】A【分析】可取AC 的中点为O ，然后以点O 为原点，直线AC 为x 轴，建立平面直角坐标系，从而根据条件可得出10,,,244B N ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，并设11(,0),22M x x -≤≤，从而可得出21348BM MN x x ⋅=--- ，根据x 的范围，配方即可求出BM MN ⋅ 的最大值和最小值，从而得出取值范围.【详解】解：取AC 的中点O ，以O 为原点，直线AC 为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则：11,0,,,2244A B N ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，设11(,0),22M x x -≤≤，1,,,244BM x MN x ⎛⎫⎛⎫∴==-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，221312348864BM MN x x x ⎛⎫∴⋅=---=-+-⎪⎝⎭ ，且1122x -≤≤，12x ∴=时，BM MN ⋅ 取最小值31;48x -=-时，BM MN ⋅ 取最大值2364-，∴BM MN ⋅ 的取值范围是323,464⎡⎤--⎢⎥⎣⎦.故选：A.本题考查了通过建立平面直角坐标系，利用向量坐标解决向量问题的方法，向量坐标的数量积运算，配方求二次函数值域的方法，考查了计算能力，属于中档题.二、多选题9．下列各式中，结果为零向量的是（）A ．AB MB BO OM+++ B ．AB BC CA++ C ．OA OC BO CO +++ D ．AB AC BD CD-+- 【正确答案】BD【分析】根据向量的加法和减法运算，对四个选项逐一计算，即可得正确答案.【详解】对于选项A ：AB MB BO OM AB +++=，选项A 不正确；对于选项B ：0AB BC CA AC CA ++=+=，选项B 正确；对于选项C ：OA OC BO CO BA +++=，选项C 不正确；对于选项D ：()()AB AC BD CD AB BD AC CD AD AD -+-=+-+=-=uu u r uuu r uu u r uu u r uu u r uu u r uuu r uu u r uuu r uuu r r选项D 正确.故选：BD本题主要考查了向量的线性运算，属于基础题.10．下列说法正确的有（）A ．若sin 0,tan 0θθ><，则θ为第二象限角B ．经过60分钟，钟表的分针转过2π-弧度C ．sin14cos16sin76cos74+=D ．终边在y 轴上的角α的集合是,Z 2k k πααπ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭∣【正确答案】ABD【分析】根据三角函数的定义可判断A 的正误，根据角的概念可判断BD 的正误，根据两角和的正弦可判断C 的正误.【详解】因为sin 0,tan 0θθ><，则θ为第二象限角，故A 正确.经过60分钟，钟表的分针顺时针转一周，故对应的角为2π-弧度，故B 正确.sin14cos16sin76cos74sin14cos16cos14sin132sin 016︒︒︒︒=︒︒︒︒=︒=++，故C 错误.终边在y 轴上的角α的集合是,Z 2k k πααπ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭∣，故D 正确.故选：ABD.11．已知m 为整数，若函数()sin cos 1sin 22m f x x x x =++--在35,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有零点，则满足题意的m 可以是下列哪些数（）A ．0B ．2C ．4D ．6【正确答案】ABC【分析】设sin cos 4t x x x π⎛⎫⎡⎤=+=+∈ ⎪⎣⎦⎝⎭，则函数()f x 在35,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有零点等价于方程()2112m t t =+--在⎡⎤⎣⎦上有解，即可根据二次函数的性质求出m 的范围．【详解】因为3π5π,44x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,设sin cos 4t x x x π⎛⎫⎡⎤=+=+∈ ⎪⎣⎦⎝⎭，21sin cos 2t x x -=，则()2112m t t =+--，即221922224m t t t ⎛⎫⎡⎤=-++=--+∈ ⎪⎣⎦⎝⎭，亦即4m ⎡⎤∈-⎣⎦．故选：ABC ．12．已知点O 为ABC 所在平面内一点，且230AO OB OC ++=uuu r uu u r uuu r r，则下列选项正确的是（）A ．1324AO AB AC=+uuu r uu u r uuu r B ．直线AO 必过BC 边的中点C ．:3:2AOB AOC S S =△△D ．若1OB OC ==uu u r uuu r ，且OB OC ⊥u u u r u u u r，则OA =uu r 【正确答案】ACD【分析】根据题设条件，化简得到423AO AB AC =++uuu r uu u r uuu r，可判定A 是正确的；根据向量的线性运算法则，化简得到2()4OB OC AC OD +=-=- ，可判定B 不正确；根据4AC OD =-，得到32BE EC =，结合三角形的面积公式，可判定C 正确；根据向量的数量积和模的运算公式，可判定D 是正确的.【详解】如图所示，点O 为ABC 所在平面内一点，且230AO OB OC ++=uuu r uu u r uuu r r，可得223350AO OB OA OC OA OA +-+-+=uuu r uu u r uu r uuu r uu r uu r r，即()()23AO OB OA OC OA =-+- ，即423AO AB AC =+，所以1324AO AB AC =+uuu r uu u r uuu r ，所以A 是正确的；在ABC 中，设D 为BC 的中点，由230AO OB OC ++=uuu r uu u r uuu r r，可得()2()0AO OC OB OC +++=uuu r uuu r uu u r uuu r r ，所以2()4OB OC AC OD +=-=-，所以直线AO 不过BC 边的中点，所以B 不正确；由4AC OD =-，可得4AC OD = 且//AC OD ，所以14DE OD EC AC ==，所以14DE EC =，可得25EC BC =，所以32BE EC =所以1sin 3212sin 2AOBAOCAD BE AEBS BE S EC AD EC OEC ⨯∠===⨯∠△△，所以C 正确；由230AO OB OC ++=uuu r uu u r uuu r r ，可得23OA OB OC=+uu r uu u r uuu r因为1OB OC ==uu u r uuu r ，且OB OC ⊥u u u r u u u r ，可得222223412913OA OB OC OB OB OC OC =+=+⋅+=uu r uu u r uuu r uu u r uu u r uuu r uuu r ，所以OA =uu r D 是正确的.故选：ACD.本题主要考查了平面向量的基本概念，向量的线性运算，以及向量的数量积和向量的模的运算及应用，其中解答中熟记向量的线性运算法则，以及平面向量的数量积和模的计算公式是解答的关键，着重考查推理与运算能力.三、填空题13．若向量()1,3a =- ，()2,4b =- ，()0,5c = ，则3a b c -+= ___________.【正确答案】()5,8-【分析】由向量线性运算的坐标表示计算．【详解】由已知3a b c -+=(3,9)(2,4)(0,5)(5,8)---+=-．故(5,8)-．14．已知sin 3cos 0αα-=，则2sin sin 2αα+=__________.【正确答案】32/1.5【分析】首先根据同角三角函数的基本关系求出tan α，再利用二倍角公式及同角三角函数的基本关系将弦化切，最后代入计算可得；【详解】解：因为sin 3cos 0αα-=，所以sin tan 3cos ααα==，所以22sin sin 2sin 2sin cos ααααα+=+222sin 2sin cos sin cos ααααα+=+22tan 2tan tan 1ααα+=+223233312+⨯==+故3215．已知函数()sin 22f x a x x =，若()6f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭对一切x R ∈恒成立，则实数a 的值为___________.【分析】根据题意可得()f x 在6x π=时取得最值，由sin(2))66a ππ⋅⨯+⨯=±可解得结果.【详解】因为()6f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭对一切x R ∈恒成立，所以()f x 在6x π=时取得最值，因为())f x x ϕ=+，其中sin ϕ=cos ϕ=,所以()6f π=sin(2))66a ππ⋅⨯+⨯=±，解得a =.故答案为本题考查了最大值的定义，考查了正弦函数的最值，考查了辅助角公式，属于中档题.16．如图，在矩形ABCD 中，AB，BC ＝2，点E 为BC 的中点，点F 在边CD 上，若AB AF ⋅ AE BF ⋅的值是________．【分析】根据矩形的垂直关系和长度关系，先利用平面向量加法的运算律求解1DF =，1CF =- ，再利用运算律转化求AE BF ⋅即可.【详解】∵AF AD DF =+ ，0AB AD ⋅=uuu r uuu r ，∴()AB AF AB AD DF AB AD AB DF AB DF ⋅=⋅+=⋅+⋅=⋅∴1DF =，1CF = ，∴()()AE BF AB BE BC CF AB BC AB CF BE BC BE CF ⋅=++=⋅+⋅+⋅+⋅，∵)0,0,1AB BC BE CF AB CF AB CF cos π⋅=⋅=⋅=⋅=-,122BE BC BE BC ⋅=⋅=⨯=,)1222AE BF AB CF BE BC ∴⋅=⋅+⋅=-+=-+=故答案为四、解答题17．设1e ，2e 为两个不共线的向量，若12a e e λ=+ ，122b e e =-.（Ⅰ）若()//a b b +，求实数λ的值；（Ⅱ）若1e ，2e 是夹角为23π的单位向量，且a b ⊥ ，求实数λ的值.【正确答案】（1）12-；（2）54.【分析】（1）先求出123(1)a e b e λ+=+- ，再建立方程321μλμ=⎧⎨-=-⎩求解λ即可；（2）先求出1212e e ⋅=- ，再建立方程1202λλ--+=求解λ即可.【详解】解：（1）因为12a e e λ=+ ，122b e e =-，所以123(1)a e b e λ+=+- ，因为()//a b b + ，则a b b μ+=，0μ=，则12123(1)2e e e e λμμ+-=- 所以321μλμ=⎧⎨-=-⎩，解得12λ=-，（2）因为1e ，2e 是夹角为23π的单位向量，所以121221cos 32e e e e π⋅=⋅⋅=- ()()212122112212(0221)22b e e e e e e e a e λλλλλ=-=-⋅=--+=⋅++- ，解得：54λ=本题考查利用向量共线与向量垂直求参数，是基础题18．（1）化简：3πtan(π)cos(2π)sin()2cos(π)sin(π)ααααα---+----；（2）已知π3cos 45x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，求2sin 22sin 1tan x x x --的值．【正确答案】（1）1-；（2）725【分析】（1）利用诱导公式进行求解即可；（2）利用二倍角公式和同角的三角函数关系式进行求解即可.【详解】（1）3πtan(π)cos(2π)sin()2cos(π)sin(π)ααααα---+----＝sin cos (tan )cos (cos )cos 1(cos )sin sin ααααααααα⋅-⋅⋅-=-=--⋅；（2）2sin 22sin 2sin (cos sin )2sin cos sin 1tan 1cos x x x x x x x x x x--==--，()2π331818cos cos sin cos sin 12sin cos 4552525x x x x x x x ⎛⎫+==⇒-=⇒-= ⎪⎝⎭72sin cos 25x x ⇒=，因此2sin 22sin 71tan 25x x x -=-.19．设函数2()cos(2)sin 3f x x x π=++．（1）求函数()f x 的单调递减区间；（2）若π0π2αβ<<<<，(142f πβ-=，()02f αβ+=，求cos α的值．【正确答案】（1）[,]()44k k k Z ππππ-++∈；（2）3【详解】试题分析：（1）利用两角和的余弦公式以及及二倍角余弦公式将()f x 展开合并可得()122f x x =-，利用正弦函数的单调性列出不等式可得函数()f x 的单调递减区间；（2）利用化简结果及1,0422f f πβαβ+⎛⎫⎛⎫-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，求出cos β=()sin αβ+=合角的范围解出(),cos sin βαβ+，使用差角的余弦公式计算即可得结果.试题解析：（1）()2cos 2sin 3f x x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭1cos21cos2cos sin2sin sin233222x x x x ππ-=-+=-．当22222k x k ππππ-+≤≤+，即,44x k k ππππ⎡⎤∈-++⎢⎥⎣⎦()k Z ∈时sin2x 递增，()f x 递减．所以，函数()f x 的单调递减区间为()44k ,k k Z ππ⎡⎤-+π+π∈⎢⎥⎣⎦．（2）由142f πβ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，02f αβ+⎛⎫= ⎪⎝⎭，得cos β=()sin αβ+=∵π0π2αβ<<<<，则3,22ππαβ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，∴sin β()cos αβ+=--∴cos cos()cos()cos sin()sin ααββαββαββ=+-=+++(()33333=-⨯-+⨯=．本题主要考查三角函数的单调性、三角函数的恒等变换，属于中档题.sin()y A x ωϕ=+的函数的单调区间的求法：(1)代换法：①若0,0A ω>>,把x ωϕ+看作是一个整体，由22k x ππωϕ+≤+≤()322k k Z ππ+∈求得函数的减区间，2222k x k πππωϕπ-+≤+≤+求得增区间；②若0,0A ω><,则利用诱导公式先将ω的符号化为正，再利用①的方法，或根据复合函数的单调性规律进行求解；(2)图象法：画出三角函数图象，利用图象求函数的单调区间.20．已知向量()sin ,cos a x x = ，)1b =- ，[]0,x π∈.（1）若a b ⊥ ，求x 的值；（2）记()f x a b =⋅ ，求()f x 的最大值和最小值以及对应的x 的值.【正确答案】（1）6x π=；（2）23x π=时，()f x 取到最大值2，0x =时，()f x 取到最小值1-.（1）利用向量垂直的坐标表示可求得tan 3x =，结合x 的范围可求得x 的值；（2）将函数化简为()2sin 6f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，根据x 的范围可求得6x π-的范围，结合正弦函数图象可确定最大值和最小值取得的点，进而求得结果.【详解】解:（1）因为a b ⊥ ，所以co 0s b x x a =-=⋅ ，于是sin tan s 3co x x x ==，又[]0,x π∈，所以6x π=；（2）()())sin ,1cos f x a x b x =⋅=⋅- cos x x=-2sin 6x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭.因为[]0,x π∈，所以5,666x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，从而12sin 26x π⎛⎫-≤-≤ ⎪⎝⎭于是，当62x ππ-=，即23x π=时，()f x 取到最大值2；当66x ππ-=-，即0x =时，()f x 取到最小值1-.本题考查平面向量垂直的坐标表示、平面向量与三角函数的综合应用，涉及到三角函数最值的求解问题；求解三角函数最值的关键是能够利用整体对应的方式，结合正弦函数的图象来进行求解.21．建设生态文明是关系人民福祉、关乎民族未来的长远大计．某市通宵营业的大型商场，为响应国家节能减排的号召，在气温低于0C ︒时，才开放中央空调，否则关闭中央空调．如图是该市冬季某一天的气温（单位：C ︒）随时间t （024t ≤≤，单位：小时）的大致变化曲线，若该曲线近似满足()()2πsin 0,03f t A t b A ωω⎛⎫=-+>> ⎪⎝⎭关系．(1)求()y f t =的表达式；(2)请根据(1)的结论，求该商场的中央空调在一天内开启的时长．【正确答案】(1)π2()8sin π4123f t t ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，024t ≤≤;(2)8小时.【分析】(1)根据三角函数的图像即可求()y f t =的表达式；(2)根据正弦函数的图像与性质解()0f t <,结合024t ≤≤即可求解.【详解】解：(1)因为()()2πsin 0,03f t A t b A ωω⎛⎫=-+>> ⎪⎝⎭图像上最低点坐标为()2,4-，与之相邻的最高点坐标为()14,12，所以()12482A --==，142122T =-=，4484b A =-+=-+=，所以2π24T ω==，解得π12ω=．所以π2()8sin π4123f t t ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，024t ≤≤．(2)由(1)得，π28sin π40123t ⎛⎫-+< ⎪⎝⎭，所以π21sin π1232t ⎛⎫-<- ⎪⎝⎭，所以7ππ2π11π2π2π,61236k t k k +<-<+∈Z ，解得22243024,k t k k +<<+∈Z ，因为024t ≤≤，所以06t ≤<，2224t <≤．所以该商场的中央空调应在本天内开启时长为8小时．22．在OAB 的边OA ，OB 上分别有一点P ，Q ，已知:1:2OP PA = ，:3:2OQ QB = ，连接AQ ，BP ，设它们交于点R ，若OA a = ，OB b = .（1）用a 与b 表示OR ；（2）过R 作RH AB ⊥，垂足为H ，若1a = ，2b = ，a 与b 的夹角2,33ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求BH BA的范围.【正确答案】（1）1162OR a b =+ ；（2）171,422⎡⎤⎢⎣⎦.（1）利用,,A R Q 三点共线和,,B R P 三点共线，结合平面向量共线定理，可构造方程组求得结果；（2）设BH t BA= ，利用0BH AB ⋅= ，结合平面向量线性运算将两个向量转化为用,a b 表示的向量，利用平面向量数量积的运算律可整理得到t 关于cos θ的函数形式，利用cos θ的范围即可求得结果.【详解】（1）设OR OA OQ λμ=+ ，,,A R Q 三点共线，1λμ∴+=，又:3:2OQ QB = ，35OQ OB ∴= ，35OR OA OB μλ∴=+ ；设OR mOP nOB =+ ，同理可得：1m n +=，3m OR OA nOB =+ ，,OA OB 不共线，335m n λμ⎧=⎪⎪∴⎨⎪=⎪⎩，51331m n m n ⎧+=⎪∴⎨⎪+=⎩，解得：1212m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，1162OR OA OB ∴=+ ，即1162OR a b =+.（2）设BH t BA= ，则BH tBA = ，()()1162RH BH BR t BA OR OB t OA OB OA OB ⎛⎫=-=--=--- ⎪⎝⎭11116262t OA t OB t a t b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-=-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ，又AB OB OA b a =-=- ，BH AB ⊥ ，0BH AB ∴⋅= ，()2211112262623t a t b b a t a t b t a b ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴-+-⋅-=-+-+-⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 14134244cos 54cos cos 06363t t t t t θθθ⎛⎫=-+-+-=-+-= ⎪⎝⎭，整理可得：134cos 138cos 136354cos 3024cos 33024cos t θθθθθ--===+---，2,33ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ ，11cos ,22θ⎡⎤∴∈-⎢⎥⎣⎦，171,422t ⎡⎤∴∈⎢⎥⎣⎦，即BH BA的取值范围为171,422⎡⎤⎢⎥⎣⎦.思路点睛：本题考查了平面向量线性运算和数量积运算的综合应用，处理数量积运算问题时，通常利用线性运算将所求向量进行等价转化，利用模长和夹角已知的两个向量来表示所求向量，如本题中利用,a b 表示出,BH AB ，再结合数量积的运算律来进行求解.。
四川省成都市第七中学2019-2020学年高一下学期期中考试数学试题(解析版)
A ．√3 √213．已知s i n xc o s x = 2，则 sin2x 的值为（）b ＞2 7．设 S n 为等比数列{a n }的前 n 项和，a 12＝16a 16，则 6的值为（）B ．．在△9 ABC 中，∠C ＝120°，t a nAt a nB = 3 √3，则 tan A tan B 的值为（ ）10．已知数列{a n }为各项均为正数的等比数列，S n 是它的前 n 项和，若 a 2•a 8＝4，且a 53a 7 = ，则 S 5四川省成都市第七中学 2019-2020 学年高一下期期中数学试卷一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．sin105°的值为（）√6 √2 1 √2√6 √2 2B ．4C ．2D ．42．已知等差数列{a n }中，a 4＝7，a 7＝4，则公差 d 的值为（）1 A ．2B ．1C ．﹣1D ． 21A ．121 B ．43 C ．4D ．√3211 4．已知 ＜ ＜0，则下列结论不正确的是（）abA ．a 2＜b 2B ．ab ＜b 2b aC ．aD ．|a |+|b |＞|a +b |△5．在 ABC 中，内角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ，且 b ＝2，B ＝45°，C ＝120°，则边 c ＝（）A ．√2B ．√3C ．2D ．√66．等差数列{a n }中，S 10＝240，那么 a 4+a 7 的值是（）A ．60B ．24C ．36D ．48SS 39A ．8B ．99 7C ．9 或﹣7D ． 或8 88．化简c o s25°si n25°的结果为（）si n 40°si n 50°1 A ．1C ．22D ．﹣121 A ．41 B ．31 C ．25 D ．31 2的值为（）A ．64B ．62C ．60D ．5811．有一块半径为 2，圆心角为 45°的扇形钢板，从这个扇形中切割下一个矩形（矩形的各个顶点都在扇14．已知c o s (2 + α) = 2cos(π − α)，则t a n(4 − α) =．16．已知正数 x ，y 满足 x +y ＝2，若a ≤ x+1 + y+2恒成立，则实数 a 的取值范围是．形的半径或弧上，且矩形的一边在扇形的半径上） 则这个内接矩形的面积最大值为（）A ．2 + √2B ．2 − √2C ．2√2 − 2D ．2√2 + 212．实数 a ，b ，c 满足 a 2＝2a +c ﹣b ﹣1 且 a +b 2+1＝0，则下列关系式成立的是（）A ．c ≥b ＞aB ．c ≥a ＞bC ．a ＞c ≥bD ．c ＞a ≥b二、填空题：本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共计 20 分13．已知直线 l 斜率的取值范围是(−√3， 1)，则 l 的倾斜角的取值范围是．π π15．不等式（x ﹣2）√x 2 − x − 6 ≥0 的解集为．x 2 y 2三、解答题：本大题共 6 大题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．解关于 x 的不等式：2x 2+ax +2＞0（a ∈R ）．18．在△ABC ，角 A ，B ，C 所对的边分别为 a ，b ，c ，且 b cos A ﹣c cos B ＝（c ﹣a ）cos B ．（1）求角 B 的值；（△2）若ABC 的面积为 3√3，b = √13，求 a +c 的值．19．在等差数列{a n }中，a 3+a 7＝﹣26，a 5+a 9＝﹣38．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）设数列{a n +b n }是首项为 1，公比为 t 的等比数列，求{b n }的前 n 项和 S n ．20．已知函数f（x）＝2√3si nωxcosωx+2cos2ωx(ω＞0)的周期为．（1）求函数f（x）的单调递增区间和最值；（2）当x∈[0，6]时，函数g（x）＝f（x）﹣2m+1恰有两个不同的零点，求实数m的取值范围．21．已知数列{a n}满足a1＝1，a n+1＝3a n+λ（λ为常数）．（1）试探究数列{a n+2λ}是否为等比数列，并求a n；（2）当λ＝2时，求数列{n(a n+2λ)}的前n项和T n．22．设数列{a n}的前n项和为S n，且3(S n+1)=4a n，n∈N∗（1）求{a n}的通项公式；2）求证：1+S2S3+S n+1＞π3π11S（S2S3 S4+⋯+S n n4−115．A ．√3 √2sin105°＝sin （60°+45°）＝sin60°cos45°+cos60°sin45°= √2 × √2 2 × √ = √ 4 ． B ．1 C ．﹣1D ． 23．已知s i n xc o s x = 2，则 sin2x 的值为（）∵s i n xc o s x = 2，∴两边平方，可得：1﹣2sin x cos x ＝1﹣sin2x = 4，∴解得：sin2x = 4．七中高一下期期中参考答案与试题解析一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．sin105°的值为（）√6 √2 1 √2 √6 √2 2B ．4C ．2D ．4易知 sin105°＝sin （60°+45°），展开计算即可得解．3 2 1 2故选：B ．本题主要考查和差角公式的运用，考查运算求解能力，属于基础题．2．已知等差数列{a n }中，a 4＝7，a 7＝4，则公差 d 的值为（）26 √ 21 A ．21利用等差数列的通项公式即可得出．∵a 4＝7，a 7＝4，∴7+3d ＝4，d ＝﹣1．故选：C ．本题考查了等差数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．11 A ．21 B ．43 √3C ．D ．4 2将已知等式两边平方，利用同角三角函数基本关系式，二倍角的正弦函数公式即可求解．113故选：C ．本题主要考查了同角三角函数基本关系式，二倍角的正弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．1 14．已知 ＜ ＜0，则下列结论不正确的是（）abb ＞2b ≥2 且当 a ＝b 时取等号，又因 b ＜a ，b ＞2，故 C 对； s i n B=∵等差数列{a n }中，S 10= 2 （a 4+a 7）＝240，baA ．a 2＜b 2B ．ab ＜b 2C ． + aD ．|a |+|b |＞|a +b |由题意先求出 b ＜a ＜0，根据它们的关系分别用作差法判断 A 和 B 选项，利用基本不等式判断 C 选项，由几何意义判断 D 选项．1 1∵ ＜ ＜0，∴b ＜a ＜0，abA 、∵b ＜a ＜0，∴a 2﹣b 2＝（a ﹣b ）（a +b ）＜0，则 a 2＜b 2，故 A 对；B 、ab ﹣b 2＝b （a ﹣b ）＜0，则 ab ＜b 2，故 B 对；b a baC 、∵b ＜a ＜0，∴ ＞0， ＞0，则 + a b a ba∴ + aD 、∵b ＜a ＜0，∴|a |+|b |＝|a +b |成立，故 D 不对．故选：D ．本题考查了比较大小的方法，作差法和基本不等式，用基本不等式时应验证三个条件，即一正二定三相等是否成立．△5．在 ABC 中，内角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ，且 b ＝2，B ＝45°，C ＝120°，则边 c ＝（）A ．√2B ．√3C ．2D ．√6由已知利用正弦定理即可求解．∵b ＝2，B ＝45°，C ＝120°，∴由正弦定理bc s i n C，可得2√2= c√3，22∴解得 c = √6．故选：D ．本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，属于基础题．6．等差数列{a n }中，S 10＝240，那么 a 4+a 7 的值是（）A ．60B ．24C ．36D ．48利用等差数列的通项公式和前 n 项和公式求解．10∴a 4+a 7＝48．故选：D ．本题考查等差数列中的两项和的求法，是基础题，解题时要注意等差数列的性质的合理运用．7．设 S n 为等比数列{a n }的前 n 项和，a 12＝16a 16，则 6的值为（）设等比数列{a n }的公比为 q ≠1，由 a 12＝16a 16，1＝16q 4，解得 q ，再利用求和公式化简 6，代入即可得设等比数列{a n }的公比为 q ≠1，∵a 12＝16a 16，1＝16q 4，解得 q ＝± ．S 61q1 9 1 7 8 = ． 则 = =1+q 3＝1+= 或 1 a1(1q 3)S 3 8．化简c o s 25°si n25°原式=si n 40°cos40°= si n 40°cos40°= si n 40°cos40° = 2．．在△9 ABC 中，∠C ＝120°，t a nA+ tanB= 3 √3，则tan A tan B 的值为（ ）B ．1t a nAt a nB = 1t a nAt a nB ，故1 t a nAt a nB= 3，即t a nAt a nB= 3．10．已知数列{a n }为各项均为正数的等比数列，S n 是它的前 n 项和，若 a 2•a 8＝4，且a 53a 7 = ，则 S 5SS 39A ．89 7B ．9C ．9 或﹣7D ． 或8 8SS 3出．1 2a1(1q 6)8 8 81q故选：D ． 本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．si n 40°si n 50°的结果为（）1 A ．1C ．2D ．﹣12利用诱导公式及二倍角公式直接化简得解．cos10° si n 80° 2si n 40°cos40°故选：C ．本题主要考查二倍角公式的运用，考查化简求解能力，属于基础题．21 A ．41 B ．31 C ．25 D ．3根据 A +B ＝180°﹣C ＝60°，先求出 tan （A +B ）的值，再求 tan A tan B ．tan(A+ B) = tan(180°120°) = √3 = t a nA+t a nB2√ 3 32 1故选：B ．本题主要考查两角和与差的正切公式．属基础题．1 2的值为（）A ．64B ．62C ．60D ．58结合已知可先求出公比 q 及首项 a 1，然后根据等比数列的求和公式可求．∵a5−3a7=2，∴a7=2，∴q2=a7=4，∴q=2，q4∴S5==62，sin(45°−θ)=a2•a8＝4，可得a52＝4，∵数列{a n}为各项均为正数的等比数列，∴a5＝2，11a151∴a1=a5=32，32(1−1)251−12故选：B．本题主要考查了等比数列的通项公式及求和公式的简单应用，属于基础试题．11．有一块半径为2，圆心角为45°的扇形钢板，从这个扇形中切割下一个矩形（矩形的各个顶点都在扇形的半径或弧上，且矩形的一边在扇形的半径上）则这个内接矩形的面积最大值为（）A．2+√2B．2−√2C．2√2−2D．2√2+2直接利用正弦定理的应用整理出矩形的两边长，进一步利用矩形的面积公式把面积用三角函数的关系表达式整理出来，最后利用三角函数关系式的变换和正弦型函数性质的应用求出结果．根据题意得到图形：如图所示：设∠COB＝θ．所以BC＝2sinθ，在△ODC中，∠ODC＝180°﹣45°＝135°，利用正弦定理：DC OCsi n135°，整理得CD=2√2sin(45°−θ)，所以 S 矩形＝BC •CD = 2s i n θ ⋅ 2√2sin(45° − θ) =4√2sin （45°﹣θ）sin θ＝2√2si n (2θ + 4) − 2．当θ = 8时，S 矩形的最大值为 2√2 − 2． 3 ，π） ．3 ，π）． 3 ，π）．14．已知c o s (2 + α) = 2cos(π − α)，则t a n(4 − α) =−∵c o s(2 +α) = 2cos(π − α)，ππ故选：C ．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，正弦定理余弦定理和三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．12．实数 a ，b ，c 满足 a 2＝2a +c ﹣b ﹣1 且 a +b 2+1＝0，则下列关系式成立的是（）A ．c ≥b ＞aB ．c ≥a ＞bC ．a ＞c ≥bD ．c ＞a ≥b利用已知条件，推出 a 的范围，b 与 c 的关系，利用特殊值判断即可．实数 a ，b ，c 满足 a 2＝2a +c ﹣b ﹣1，可得（a ﹣1）2＝c ﹣b ≥0，可得 c ≥b ，排除 B ，D ，a +b 2+1＝0，可得 a ≤﹣1，当 a ＝﹣1 时，b ＝0，排除 B ，C所以 A 正确．故选：A ．本题考查函数与方程的应用，考查推理与判断能力．二、填空题：本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共计 20 分π2π13．已知直线 l 斜率的取值范围是(−√3，1)，则 l 的倾斜角的取值范围是[0， ）∪（ 4根据直线 l 斜率的取值范围得出倾斜角正切值取值范围，由此求出倾斜角 θ 的取值范围．直线 l 斜率的取值范围是(−√3，1)，则 l 的倾斜角 θ 满足−√3＜tan θ＜1，其中 θ∈[0，π），π2π所以 θ 的取值范围是[0， ）∪（ 4π 2π故答案为：[0， ）∪（ 4本题考查了直线方程的倾斜角与斜率问题，是基础题．π π1 3．先利用诱导公式可得 sin α＝2cos α，进而可得 tan α＝2，再利用正切的差角公式得解．π∴﹣sin α＝﹣2cos α，∴t a n(4−α)=1+2=−．=故答案为：−3．x2−x−6＞0或x﹣x﹣6＝016．已知正数x，y满足x+y＝2，若a≤x+1+y+2恒成立，则实数a的取值范围是（−∞，5]．t a nπ−t a nα+(y+2−2)25+x+1++(y+2−2)2(x+1)2−2(x+1)+1(y+2)2−4(y+2)+4=+，x+1+y+2−4+y+2，x+1+y+2−1，+y+25+5(y+2)+5(x+1)+−15(y+2)5(x+1)=，4(x+1)⋅∴tanα＝2，π1−2141+tanπt a nα341本题考查诱导公式，同角三角函数的基本关系，和差角公式的运用，考查化简求解能力，属于基础题．15．不等式（x﹣2）√x2−x−6≥0的解集为[3，+∞）∪{﹣2}．根据不等式中根式的讨论：分大于0，等于0两类，将无理不等式转化为二次不等式组或二次方程解．原不等式同解于x−2≥02解得x＞3或x＝﹣2或x＝3故答案为：[3，+∞）∪{﹣2}．求分式不等式、无理不等式一般先将它们同解变形为整数不等式来解，注意：一定要使原不等式的各部分有意义．x2y24首先对关系式进行恒等变换，进一步整理得(x+1−1)2x+1y+2=(x+1)2−2(x+1)+1x+1+(y+2)2−4(y+2)+4y+2，最后利用基本不等式的应用求出结果．已知正数x，y满足x+y＝2，所以（x+1）+（y+2）＝5，x+1所以：y+25=1则：x2y2y+2=(x+1−1)2x+1y+2，x+1y+2=x+1−2+14 =14x+1＝（515）（x+1+4y+2）﹣1，=14(x+1)y+245≥1−1+2√y+245要使a ≤ x+1 + y+2恒成立，只需满足a ≤ (x+1 + y+2)mi n 即可，故a ≤ 5．故答案为：（−∞，5]．对应的一元二次方程有两个实数根 x = 和 x = ，4 ＜ ∴不等式的解集为{x |x ＜ 或 x ＞ }；对应的一元二次方程有两个相等的实数根 x = − 4，∴不等式的解集为{x |x ≠ − 4}；综上，a ＞4 或 a ＜﹣4 时，不等式的解集为{x |x ＜ 或 x ＞ }；a ＝±4 时，不等式的解集为{x |x ≠ − 4}；x 2 y 2 x 2 y 244本题考查的知识要点：代数式的恒等变换，基本不等式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题型．三、解答题：本大题共 6 大题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．解关于 x 的不等式：2x 2+ax +2＞0（a ∈R ）．讨论 ＞△0， ＝0 以及 ＜△0 时对应不等式的解集即可．关于 x 的不等式：2x 2+ax +2＞0（a ∈R ）中，△＝a 2﹣4×2×2＝a 2﹣16，当 a ＞4 或 a ＜﹣4 时， ＞△0，−a−√a 2−16 −a+√a 2−164 4且 −a−√a 2 −16 −a+√a 2 −164 ，−a−√a 2−16 −a+√a 2−164 4当 a ＝±4 时， ＝△0，aa当﹣4 ＜a ＜4 时， ＜△0，∴不等式的解集为 R ；−a−√a 2−16 −a+√a 2−164 4a﹣ 4＜a ＜4 时，不等式的解集为 R ．本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，也考查了分类讨论思想的应用问题，是基础题目．18．在△ABC ，角 A ，B ，C 所对的边分别为 a ，b ，c ，且 b cos A ﹣c cos B ＝（c ﹣a ）cos B ．（1）求角 B 的值；（△2）若 ABC 的面积为 3√3，b = √13，求 a +c 的值．∴cos B=．2∴B=3．（2）据（1）求解知B=3，又S=2ac sin B＝3√3，（1）由正弦定理，三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式化简已知得sin C＝2sin C cos B，由0＜C＜π，可求cos B，结合范围B∈（0，π），可求B的值．（2）根据余弦定理，三角形面积公式即可解得a+c的值．（1）∵b cos A﹣c cos B＝（c﹣a）cos B．∴由正弦定理，得：sin B cos A﹣sin C cos B＝（sin C﹣sin A）cos B．∴sin A cos B+cos A sin B＝2sin C cos B．∴sin（A+B）＝2sin C cos B．又A+B+C＝π，∴sin（A+B）＝sin C．又∵0＜C＜π，1又B∈（0，π），ππ∴b2＝a2+c2﹣2ac cos B＝a2+c2﹣ac．①1∴ac＝12，②又∵b=√13，∴据①②解，得a+c＝7．本题主要考查了正弦定理，三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式，余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．19．在等差数列{a n}中，a3+a7＝﹣26，a5+a9＝﹣38．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设数列{a n+b n}是首项为1，公比为t的等比数列，求{b n}的前n项和S n．（1）数列{a n}是公差为d的等差数列，运用等差数列的通项公式和求和公式，解方程即可得到所求通项公式；（2）a n+b n＝t n﹣1，可得b n＝t n﹣1+3n﹣2，运用数列的分组求和，计算可得所求和．（1）设等差数列{a n}的公差为d，当t≠1时，S n=+21−t，当t＝1时，S n=3n2−n+n=．20．已知函数f（x）＝2√3si nωxcosωx+2cos2ωx(ω＞0)的周期为．（2）当x∈[0，6]时，函数g（x）＝f（x）﹣2m+1恰有两个不同的零点，求实数m的取值范围．（1）化简函数f（x），结合题意可得f(x)=2si n(6x+6)+1，进而求得单调增区间及最值；（1）f(x)=√3si n2ωx+cos2ωx+1=2si n(2ωx+6)+1，3，解得ω＝3，∴f(x)=2si n(6x+6)+1，令−2+2kπ≤6x+6≤2+2kπ，k∈Z，解得πππkππkππ∴其单调递增区间为[3−9，3+18](k∈Z)；当x=3+18(k∈Z)时，f（x）max＝3，当x=3−9(k∈Z)时，f（x）min＝﹣1；（2）∵x∈[0，6]，6≤由a3+a7＝﹣26，a5+a9＝﹣38，可，得a5+a9﹣（a3+a7）＝4d＝﹣12，即d＝﹣3，∴a3+a7＝2a1+8d＝﹣26，解得a1＝﹣1，∴数列{a n}的通项公式为a n＝﹣3n+2；（2）由数列{a n+b n}是首项为a1，公比为t的等比数列，∴a n+b n＝t n﹣1，∴b n＝t n﹣1+3n﹣2，∴S n＝[1+4+7+…+（3n﹣2）]+（1+t+t2+…+t n﹣1）=3n2−n2+（1+t+t2+…+t n﹣1），3n2−n1−t n3n2+n22本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的分组求和，考查化简运算能力，属于中档题．π3（1）求函数f（x）的单调递增区间和最值；ππ（2）问题等价于函数y＝f（x）的图象与直线y＝2m﹣1恰有两个不同的交点，作出图象，结合图象可得2≤2m﹣1＜3，进而得解．ππ2π又周期为，故32ω=ππ−≤x≤+39318，k∈Z，kππkππkππkπππ∴π6≤6x+π7π6，结合图象可知，2≤2m ﹣1＜3，解得 ≤ m ＜2．综上，实数 m 的取值范围为[2 ，2)． （1）试探究数列{a n + 2 λ}是否为等比数列，并求 a n ；（2）当 λ＝2 时，求数列{n(a n + 2 λ)}的前 n 项和 T n ．本题第（1）题将题干中的递推公式 进行转化可得 a n +1+ 2λ＝3（a n + 2λ），然后根据 a 1＝1，可得 a 1 + 2λ＝0 和 a 1+ 2λ≠0 两种情况，当 a 1+ 2λ＝0 时，数列{a n + 2 λ}是常数列，不是等比数列；当 a 1+ 2λ≠0 时， 数列{a n + 2 λ}是等比数列，且首项为 a 1+ 2λ＝1+ 2λ，公比为 3，此时通过计算出数列{a n + 2 λ}的通项第（2）题将 λ＝2 代入数列{a n + 2 λ}的通项公式，并进一步计算出数列{n(a n + 2 λ)}的通项公式，然后a n +1+ 2λ＝3a n +λ+ 2λ＝3（a n + 2λ），∴当 λ＝﹣2，即 a 1+ 2λ＝0 时，数列{a n + 2 λ}不是等比数列， 此时 a n + 2λ＝a 1+ 2λ＝a 1﹣1＝0，a n ＝a 1＝1，n ∈N *．当 λ≠﹣2，即 a 1+ 2λ≠0时，a n + 2λ≠0，由函数 g （x ）＝f （x ）﹣2m +1 恰有两个不同的零点，得函数 y ＝f （x ）的图象与直线 y ＝2m ﹣1 恰有两个不同的交点，323本题考查三角恒等变换以及三角函数的图象及性质，考查运算求解能力及数形结合思想，属于基础题．21．已知数列{a n }满足 a 1＝1，a n +1＝3a n +λ（λ 为常数）．111 1 11 1 1 11 1 1 1公式即可进一步计算出数列{a n }的通项公式．1 1运用错位相减法计算前 n 项和 T n ．（1）依题意，由 a n +1＝3a n +λ，可得1 1 1∵a 1＝1，1 11 11 1数列{a n + 2 λ}是等比数列，且首项为 a 1+ 2λ＝1+ 2λ，公比为 3，此时 a n + 2λ＝（a 1+ 2λ）•3n ﹣1＝（1+ 2λ）•3n ﹣1， ∴a n ＝（1+ 2λ）•3n ﹣1− 2λ，n ∈N *．则 n （a n + 2λ）＝2n •3n ﹣1， 1−3 −n •3n ）＝2[（ −n ）•3n − ]， ﹣2T n ＝2（1+31+32+…+3n ﹣1﹣n •3n ）＝2•（ 2∴T n ＝（n − 2）•3n + 2S 3 + S 3S 4 +⋯+ S nS n+1 ＞ S n+1 的表达式并进行转化得到 S n第（2）题先根据第（1）题的结果计算出 S n 的表达式，进一步可计算出S n+1 = ﹣1）≥15•4n ，则有 ≤ 1 5⋅4 n ，再代入S 1 S 2 + S 2 S 3 + ⋯+ S n1 1 11 1 11 1（2）由（1）知，当 λ＝2 时，a n ＝2•3n ﹣1﹣1，1T n ＝2[1•1+2•31+3•32+…+（n ﹣1）•3n ﹣2+n •3n ﹣1]，①3T n ＝2[1•31+2•32+…+（n ﹣1）•3n ﹣1+n •3n ]，② ①﹣②，可得1−3n1 1 21 1本题主要考查等比数列的判定，以及求数列的通项公式和运用错位相减法计算前 n 项和问题．考查了转化与化归思想，整体思想，分类讨论思想，以及逻辑推理能力和数学运算能力．本题属中档题．22．设数列{a n }的前 n 项和为 S n ，且3(S n + 1) = 4a n ，n ∈ N ∗（1）求{a n }的通项公式；（2）求证：S 1S 2+S 2n 4 − 1 15．本题第（1）题先将 n ＝1 代入表达式，根据 S 1＝a 1 可解出 a 1 的值，当 n ≥2 时，由 3（S n +1）＝4a n ，可得 3（S n ﹣1+1）＝4a n ﹣1，两式相减并进行计算可得 a n ＝4a n ﹣1（n ≥2），即可得数列{a n }是以 3 为首项，4为公比的等比数列，即可求出数列{a n }的通项公式；S n 14 − 3 4(4 n+1 −1)，然后根据当 n ∈N *时，4n ﹣4≥0 对 4（4n +1﹣1）进行转化计算并应用放缩法可得 4（4n +13 4(4 n+1 −1) S n+1 进行放缩后依据等比数列的求和公式进行求和，再次运用放缩法可证明不等式成立．（1）解：由题意，当 n ＝1 时，3（a 1+1）＝4a 1，解得 a 1＝3，当 n ≥2 时，由 3（S n +1）＝4a n ，可得 3（S n ﹣1+1）＝4a n ﹣1，两式相减，可得 3a n ＝4a n ﹣4a n ﹣1，1−4=4n﹣1，Sn1=5⋅4 n ）4 − （ 1 4(1−4n ) − • 1−14 − 15（1− n ）4 n 1 1 14 15 15 4n 4 − 15，整理，得 a n ＝4a n ﹣1（n ≥2）， ∴数列{a n }是以 3 为首项，4 为公比的等比数列， ∴a n ＝3•4n ﹣1，n ∈N *．（2）证明：由（1）知，S n = 3(1−4n )则 S n4n −1 4n1 −1=4(4 n −1) 4(4 n1 −1) = 4n1 −4 4(4 n1 −1) = 4n1 −1−3 4(4 n1 −1) = 1 4 − 34(4 n1 −1) ，∵当 n ∈N *时，4n ﹣4≥0，∴4（4n +1﹣1）＝16•4n ﹣4＝15•4n +4n ﹣4≥15•4n ，∴ 34(4 n1−1) ≤ 3 15⋅4 n = 1 5⋅4 n，则 S 1 S 2 S 2 S 3 ⋯ S n S n1 1 ≥（ − 4 1 1 1 1 1 ）+（ − ）+…+（ −5⋅41 4 5⋅4 2 4= n 1 5 1 41 142 ⋯ 1 4n）= n4 5 1 14= =＞ n 1 1−• n 1故得证．本题主要考查数列求通项公式，以及数列求和与不等式的综合问题．考查了转化与化归思想，放缩法，分组求和法，等比数列的基本量计算，以及逻辑推理能力和数学运算能力，本题多次应用放缩法，属较难题．。
2020年四川省成都市第七中学高一下学期期中数学试题(附带详细解析)
绝密★启用前2020年四川省成都市第七中学高一下学期期中数学试题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题)请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题1．cos15cos75sin15sin75︒︒+︒︒=（ ） A ．0B ．12C ．12-D 2．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若()222a b c tanB -+=，则角B 的值为（ ） A ．6π B ．3π C ．6π或56πD ．3π或23π 3．已知110a b <<，给出下列三个结论：①22a b <；②2b a a b+>；③2lg lg a ab >.中所有的正确结论的序号是（ ） A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③4．我国古代数学典籍《九章算术》第七章“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有垣厚五尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢，各穿几何”，翻译过来就是：有五尺厚的墙，两只老鼠从墙的两边相对分别打洞穿墙，大、小鼠第一天都进一尺，以后每天，大鼠加倍，小鼠减半，则几天后两鼠相遇，这个问题体现了古代对数列问题的研究，现将墙的厚度改为1200尺，则需要几天时间才能打穿（结果取整数）（ ） A ．12B ．11C ．10D ．95．如图，点A 、B 在圆O 上，且点A 位于第一象限，圆O 与x 正半轴的交点是C ，点B 的坐标为(45,−35)，∠AOC =α，若|AB |=1, 则sinα的值为（ ）………○………………○……※※请※………○………………○……A ．−3+4√310B ．3+4√310C ．4+3√310D ．−4+3√3106．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若112,0,3m m m S S S -+=-==，则m =( ) A ．3B ．4C ．5D ．67．在ABC ∆中，7AB =，6AC =，M 是BC 的中点，4AM =，则BC 等于（ ）A B C D 8．关于x 的方程22cos cos cos 02Cx x A B -⋅-=有一个根为1，则此三角形为（ ） A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．钝角三角形9．已知正项等比数列{}n a 的前n 项和n S ，满足2010210S S -=，则3020S S -的最小值为（ ） A ．40B ．30C ．20D ．1010．已知函数()()2sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭，过点,012A π⎛⎫⎪⎝⎭，,23B π⎛⎫⎪⎝⎭，则且当5,1212x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，且()()2sin 46g x mf x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的最大值为32，则m 的值为（ ）A ．58B ．12C ．58和12D ．58和12-11．已知()()()23f x m x m x m =-++，()42xg x =-，若对任意x ∈R ，()0f x <或()0g x <，则m 的取值范围是（ ） A ．10,⎛⎫ ⎪B ．1,⎛⎫-∞ ⎪ C ．7,0⎛⎫-⎪ D ．7,⎛⎫-∞-⎪12．设[]x 表示不超过x 的最大整数，已知数列{}n a 中，112a =，且()11n n n a a a +=+，若1212120111n n a a aa a a ⎡⎤+++=⎢⎥+++⎣⎦L ，求整数n 的值是（ ）A ．120B ．121C ．122D ．123第II 卷（非选择题)请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题13．若关于x 的不等式2260ax x a -+<的解集是(1,m )，则m = ． 14．已知正数a ，b 满足a b >，且1ab =，则12aba a a b-+-的最小值为______. 15．已知数列{}n a 满足11a =，()()111n n na n a n n +=+++，且2cos 3n n n b a π=⋅，记n S 为数列{}n b 的前n 项和，则39S =______.16．定义11222n nn a a a H n-++⋅⋅⋅+=为数列{}n a 的“均值”,已知数列{}n b 的“均值”12n n H +=，记数列{}n b kn -的前n 项和为n S ，若6n S S ≤对任意正整数n 恒成立，则实数k 的范围为__________． 三、解答题17．已知函数2()cos cos 444x x x f x =+． （1）若()1f x =，求2πcos 3x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值． （2）在ABC V 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且满足1cos 2a C cb +=，求()f B 的取值范围．18．ΔABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知4csinC =(b +a)(sinB −sinA). （1）试问a ，b ，c 是否可能依次成等差数列？为什么？ （2）当cosC 取得最小值时，求ca .○…………装…………请※※不※※要※※在※※装※○…………装…………19．已知等差数列{}n a 满足：42a =-，253a a +=-. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足：11b =，12n n nnb b a +-=，求数列{}n b 的通项公式. 20．已知等比数列{}n a 的公比(1,)q ∈+∞，前n 项和为n S ，若3248S a +=，且223a -是1a 与3a 的等差中项. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设()()111nn n n a b a a +=--，记数列{}n a 的前n 项和n T ，若存在*n N ∈使1n nT m a <+成立，求实数m 的取值范围. 21．如图，某机械厂欲从2AB =米，AD =ABEF 加工成某仪器的零件，裁剪要求如下：点,E F 分别在边,BC AD 上，且EB EF =，AF AE <.设BEF θ∠=，四边形ABEF 的面积为()f θ（单位：平方米）.（1）求()fθ关于θ的函数关系式，求出定义域；（2）当,BE AF 的长为何值时，裁剪出的四边形ABEF 的面积最小，并求出最小值.22．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知11221n n n S a ++=-+（*n N ∈），且25a =.（1）证明n na +12⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等比数列，并求数列{}n a 的通项公式； （2）设()nn 3n b =log a +2，且n 2222123n1111T =++++b b b b L 证明2n T <； （3）在（2）小问的条件下，若对任意的*n N ∈，不等式参考答案1．B 【解析】 【分析】由两角差余弦公式计算． 【详解】原式=1cos(7515)cos602︒-︒=︒=． 故选：B. 【点睛】本题考查两角差的余弦公式，属于基础题． 2．D 【解析】 【分析】直接利用余弦定理及同角基本关系式即可得出． 【详解】∵()222a b c tanB -+=，∴222a c b ac tanB+-=．∴cos B 22222a c b ac tanB+-==，∴sin B =B ∈（0，π）． ∴B 3π=或23π． 故选D ． 【点睛】本题考查了三角函数求值、余弦定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 3．A 【解析】 【分析】代入,a b 的特殊值，对错误序号进行排除，由此得到正确选项.【详解】不妨设2,1-=-=b a ，满足110a b<<.代入验证①()()2212-<-成立，代入②2152122--+=>--成立，代入③()2lg 10lg 2-=<错误，由此排除B,C,D 三个选项，本小题选A. 【点睛】本小题主要考查利用特殊值进行实数比较大小，还考查对数的运算，属于基础题. 4．B 【解析】 【分析】大鼠和小鼠每天穿墙尺寸都构成一个等比数列，只是公比不同，然后由等比数列前n 项和公式计算可得． 【详解】大鼠和小鼠每天穿墙尺寸分别构成数列{},{}n n a b ，它们都是等比数列，111a b ==，数列{}n a 的公比为12q =，数列{}n b 的公比为212q =，设需要n 天能打穿墙， 则1212()()n n a a a b b b +++++++L L 111()121221112212nnn n ---=+=+---， 10n =时，19112110251025120022n n -+-=-≈<，11n =时，110112120492049120022n n -+-=-≈>，因此需要11天才能打穿． 故选：B. 【点睛】本题考查等比数列的应用，掌握等比数列的前n 项和公式是解题关键． 5．A 【解析】 【分析】直接利用两点间的距离公式求出半径，再写出A 的坐标,由A ，B 的坐标，利用两点间的距离公式即可解得-6sinα+8cosα=5，结合sin 2α+cos 2α=1，即可解得sinα的值． 【详解】半径r ＝|OB |=√(45)2+(−35)2=1，由三角函数定义知，点A 的坐标为（cosα，sinα）； ∵点B 的坐标为（45，−35），|BC |=1， ∴1=√(45−cosα)2+(−35−sinα)2，∴整理可得：-6sinα+8cosα=5，又sin 2α+cos 2α=1，∴解得sin α=−3+4√310或−3−4√310，又点A 位于第一象限，∴0<α<π2，∴sin α=−3+4√310， 故选A.【点睛】本题主要考查了三角函数定义，两点间的距离公式，同角三角函数基本关系式的应用，考查了数形结合思想，属于中档题． 6．C 【解析】 【分析】由0m S =()112m m m a a S S -⇒=-=--=-又113m m m a S S ++=-=，可得公差11m m d a a +=-=，从而可得结果.【详解】{}n a Q 是等差数列()102ms m m a a S +∴==()112m m m a a S S -⇒=-=--=-又113m m m a S S ++=-=， ∴公差11m m d a a +=-=，11325m a a m m m +==+=-+⇒=，故选C ．【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式与求和公式的应用，意在考查灵活应用所学知识解答问题的能力，属于中档题. 7．B 【解析】设2BC m = ，则2222224746022424m m m BC m m m +-+-+=⇒===⨯⨯选B.点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向. 第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化. 第三步：求结果. 8．A 【解析】 【分析】把1x =代入方程，由降幂公式降幂后由诱导公式及两角和的余弦公式变形后可得． 【详解】由题意21cos cos cos02C A B --=，21cos cos cos sin 22C CA B -==， 2cos cos 1cos 1cos()1cos cos sin sin A B C A B A B A B =-=++=+-，∴cos()1A B -=，因为,A B 是三角形内角，∴0A B -=，即A B =． 因此ABC ∆是等腰三角形． 故选：A.【点睛】本题考查三角形形状的判断．利用降幂公式，诱导公式，两角和与差的余弦公式变形即可得． 9．A 【解析】 【分析】由等比数列性质把和式用10S 和q 表示，求比值302020102S S S S --后用基本不等式可得最小值．【详解】∵{}n a 是正项等比数列，∴302020102S S S S --20201010101010(1)21q S q q S S q ==+--20101010111111q q q q -+==++--10101121q q =-++-24≥=，当且仅当1010111q q -=-，即102q =时等号成立． ∴3020S S -的最小值为41040⨯=．故选：A. 【点睛】本题考查等比数列的前n 项和，考查基本不等式求最值，解题时可把10S 作为一个整体，表示出302020102S S S S --后容易观察到用基本不等式求最小值．10．B 【解析】 由图可知，143124T πππ=-=，解得πT =,于是2πT πω==，得2ω=.因为22?sin 233f ππϕ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即2sin 13πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭. 所以2π2k π,k Z 32πϕ+=+∈，又2πϕ<，故6πϕ=-. 所以()2sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭.()()22sin 44m?sin 2cos 44m?sin 212266366g x mf x x x x x sin x πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=-+-=-+-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭222[2]216sin x m m π⎛⎫=---++ ⎪⎝⎭.因为5,1212x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，于是220,?63x ππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，所以[]sin 20,16x π⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭.①当0m <时，当且仅当sin 206x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭时，()g x 取得最大值1，与已知不符； ②当01m ≤≤时，当且仅当sin 216x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭时，()g x 取得最大值221m +， 由已知得23212m +=，解得12m =. ③当1m >时，当且仅当sin 216x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭时，()g x 取得最大值4m 1-. 由已知得34m 12-=，解得58m =,矛盾. 综上所述：12m =. 故选B.点睛：已知函数sin()(0,0)y A x B A ωϕω=++>>的图象求解析式(1)max min max min,22y y y y A B -+==. (2)由函数的周期T 求2,.T πωω= (3)利用“五点法”中相对应的特殊点求ϕ 11．C 【解析】 【分析】先求得()0<g x 的解集12x <，接着用分类讨论方法解不等式()0f x <，只要12x ≥时，()0f x <即可．【详解】由()420xg x =-<得12x <， 因此对任意x ∈R ，()0f x <或()0g x <，只要12x ≥时，()0f x <即可， ()()()23f x m x m x m =-++，∴0m <，()0f x =2x m ⇒=或3x m =--，由23m m =--得1m =-，当10m -≤<时，23m m ≥--，()0f x <⇒2x m >或3x m <+，∴122m <，14m <，∴10m -≤<满足题意，当1m <-时，23m m <--，()0f x <⇒2x m <或3x m >--，∴132m --<，72m >-，∴712m -<<-， 综上，702m -<<． 故选：C. 【点睛】本题考查由复合命题的真假求参数范围，考查含参数的一元二次不等式的解集问题．分类讨论是解决含参数的一元二次不等式的基本方法． 12．C 【解析】 【分析】由已知得210n n n a a a +-=>，确定数列{}n a 是递增数列，1{}n a 是递减数列，且10na >，已知式变为11111n n n a a a +=-+，即11111n n n a a a +=-+，1111n n n a a a =-++，求和得1212111n n a a a a a a ++++++L 1111()n n a a +=--，利用单调性估值1111n a a +-，2n ≥时，1311a a -≤1111n a a +-11a <，然后可求得1212[]111n n a a a a a a ++++++L ． 【详解】∵()11n n n a a a +=+2n n a a =+，∴210n n n a a a +-=>，故数列{}n a 是递增数列，从而数列1{}n a 是递减数列，且10na >， 又由()11n n n a a a +=+得11111n n n a a a +=-+， 即11111n n n a a a +=-+，1111111n n n n n a a a a a +-==-+++，∴1212111n n a a a a a a ++++++L 1111()n n a a +=--， ∴1212[]111n n a a a a a a ++++++L 1111[()]n n a a +=--，又1111112n a a a +-<=， 由112a =，且()11n n n a a a +=+得234a =，32116a =，2n ≥时，111311112621n a a a a +-≥-=，此时1212[]111n n a a a a a a ++++++L 2n =-， 由2120n -=，得122n =． 故选：C. 【点睛】本题考查数列的递推关系式，考查裂项相消法求和、数列的单调性，考查学生的创新意识． 13．2 【解析】试题分析：x=1时，a-6+2a =0（1）1a =-3，-32x -6x+9<0,得x<-3,或x>1,与题不合。
四川省成都七中万达学校2023-2024学年高一下学期5月期中考试数学试题
四川省成都七中万达学校2023-2024学年高一下学期5月期中考试数学试题一、单选题1．已知复数z 在复平面内对应的点为()2,2-，则复数z 的虚部为（ ）A ．2-B ．2i -C ．2D ．2i2．在复平面内，复数13i 1i z -=-，则z 等于（ ）AB C ．2 D 3．已知向量(2,1),(3,4)a b =-=--r r ，则2a b -r r 等于（ ）A ．(1,6)-B ．(1,6)C ．(1,2)--D ．(1,2)-4的是（ ） A ．2sin15cos15o oB ．22cos 15sin 15-o oC ．22sin 15oD ．22sin 15cos 15+o o5．已知,a b r r 是两个非零向量，同时满足||||||a b a b ==-r r r r ，则a r 与a b +r r 的夹角为（ ）A ．90︒B ．60︒C ．45︒D ．30︒ 6．已知()()cos 3cos αβαβ-=+，则tan tan αβ⋅的值为（ ）A ．13B ．23 C ．12 D ．347．满足60,4A a b ===o （其中,a b 分别为角,A B 所对的边）的三角形有（ ）． A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．无数个 8．奔驰定理：已知O 是ABC V 内的一点，若BOC V、AOC V 、AOB V 的面积分别记为1S 、2S 、3S ，则1230S O A S O B S O C ⋅+⋅+⋅=u u u r u u u r u u u r r ．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的logo 很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.如图，已知O 是ABC V 的垂心，且240OA OB OC ++=u u u r u u u r u u u r r ，则cos B =( )AB ．13C ．23 D二、多选题9．对于非零向量a r ，b r ，c r ，给出下列结论，其中正确的有（ ）A ．若a b ∥r r ，b c ∥r r ，则a c ∥r r ；B ．若a b a c ⋅=⋅r r r r ，则b c =r r ；C ．a b a c b c -+-≤-r r r r r r ；D ．222222a b a b a b -++=+r r r r r r10．在ABC V 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，下列说法中正确的是（ ）A ．若AB >，则sin sin A B >B ．若=cos cos a b B A ，则ABC V 为等腰直角三角形C ．sin sin sin a b c A B C +=+D ．若tan +tan +tan <0A B C ，则ABC V 为钝角三角形11．已知D 为ABC V 所在平面内的一点，则下列结论正确的是（ ）A ．若1132+=u u u r u u r u u r u u AD AB AC ，则16BCD ABDS S =△△ B ．若0AB AC BC AB AC ⎛⎫ ⎪+⋅= ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，则ABC V 为等边三角形 C ．若DA DB DB DC DC DA ⋅=⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，则D 为ABC V 的垂心D ．若()R sin sin AB AC AD AB B AC C λλ⎛⎫ ⎪=+∈ ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，则点D 的轨迹经过ABC V 的重心 12．函数()()ππ02,22f x x ωϕωϕ⎛⎫+<≤-<< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则下列说法中正确的是（ ）A ．()f x 的表达式可以写成()5π24f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ B ．()f x 的图象向右平移3π8个单位长度后得到的新函数是奇函数 C ．()f x 在区间5π7π,88⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增 D ．若方程()1f x =在()0,m 上有且只有6个根，则5π13π,24m ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦三、填空题13．已知向量()1,2a =-r ，(),4b x =r ，且//a b r r ，则实数x =14．函数ππsin 24y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的部分图像如图所示，则OB OC ⋅=u u u r u u u r .15．一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30︒的方向上，行驶300m 后到达B 处，测得此山顶在西偏北75︒的方向上，仰角为30︒，则此山的高度CD =m16．如图，在等腰梯形ABCD 中，//DC AB ，112AD DC CB AB ====，F 为BC 的中点，点P 在以A 为圆心，AD 为半径的圆弧DE 上变动，E 为圆弧DE 与AB 的交点．若AP ED AF λμ=+u u u r u u u r u u u r ，其中,R λμ∈，则2λμ+的取值范围是．四、解答题17．如图所示，平行四边形OABC ，顶点,,O A C 分别表示0,43i,35i +-+，试求：(1)对角线CA u u u r 所表示的复数；(2)求B 点对应的复数.18．已知向量()2,0a =r ，()1,4b =r ．(1)若向量ka b +r r 与2a b +r r 垂直，求k 的值(2)若向量ka b +r r 与2a b +r r 的夹角为锐角，求k 的取值范围19．高铁是我国国家名片之一，高铁的修建凝聚着中国人的智慧与汗水.如图所示，B 、E 、F 为山脚两侧共线的三点，在山顶A 处测得这三点的俯角分别为30︒、60︒、45︒，计划沿直线BF 开通穿山隧道，现已测得BC 、DE 、EF 三段线段的长度分别为3、1、2.（1）求出线段AE 的长度；（2）求出隧道CD 的长度.20．已知向量(()()1,,sin ,cos ,a b x x f x a b ===⋅r r r r .(1)若()0f θ=，求22cos sin 124θθπθ--⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值； (2)当()0,x π∈时，求函数2x f π+⎛⎫ ⎪⎝⎭的值域. 21．记ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，csin cos a C C -．(1)求A ；(2)若ABC V 为锐角三角形，2c =，求b 的取值范围．22．设,A B 是单位圆上不同的两个定点，点O 为圆心，点C 是单位圆上的动点，点C 满足sin cos OC OB OA αα=+u u u r u u u r u u u r （α为锐角）线段OC 交AB 于点D （不包括,A B ），点P 在射线OC 上运动且在圆外，过P 作圆的两条切线,PM PN ，,M N 为切点.(1)证明：OB OA ⊥u u u r u u u r ，并求OB BA CO CA BC BO ⋅+⋅+⋅u u u r u u u r u u u r u u r u u u r u u u r 的取值范围；(2)求PM PN ⋅u u u u r u u u r 的最小值；(3)若,OD OC BD BA λμ==u u u r u u u r u u u r u u u r ，求21λμ+的最小值.。
四川省成都市第七中学2022-2023学年高一下学期期中考试数学试题
四川省成都市第七中学2022-2023学年高一下学期期中考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________三、填空题13．在菱形ABCD 中，()2,3AC =-uuu r ，()1,2BD x =-uuu r ，则x =______.14．已知定义域为R 的函数()f x 同时满足以下三个条件：（1）函数的图象不过原点；（2）对任意x ÎR ，都有()()=f x f x -；（3）对任意x ÎR ，都有()()2f x f x +=.则符合上述条件的函数表达式可以为()f x =______.（答案不唯一，写出一个即可）15．已知等边三角形ABC 的边长为2，BC a =r uuu r ，CA b =uuu r r ，AB c =uuu r r ，那么a b b c c a ×+×+×=r r r r r r______.则AB uuu r 在AC uuu r 上的投影向量为【分析】由菱形的对角线互相垂直得AC BD ^uuu r uuu r，再利用向量垂直的坐标运算计算即可.【详解】在菱形ABCD 中对角线互相垂直，所以AC BD ^uuu r uuu r , 所以()()2132280AC BD x x ×=-+-´=-=uuu r uuu r ，所以4x =.故答案为：4.14．1（答案不唯一，符合题意即可）【分析】取特列，根据题意分析判断.【详解】取()1f x =，则()010f =¹，符合（1）；对任意x ÎR ，都有()()=1f x f x -=，符合（2）；对任意x ÎR ，都有()()21f x f x +==，符合（3）；综上所述：()1f x =符合题意.故答案为：1.15．6-【分析】确定向量之间的夹角，根据数量积的定义计算，即可得答案.【详解】由题意可知等边三角形ABC 的边长为2，则,a b r r 的夹角为120o ，,b c r r 以及,c a r r 的夹角也为120o ，则22cos1202a b ×=´´=-o r r ，同理2,2b c c a ×=-×=-r r r r ，故6a b b c c a ×+×+×=-r r r r r r ，。
四川省成都市第七中学2019-2020学年高一数学下学期期中试题(含解析)
四川省成都市第七中学2019-2020学年高一数学下学期期中试题〔含解析〕考试时间 : 120分钟 总分值 : 150分一、选择题1.sin105︒的值为〔 〕 A. 322+ B. 624+ C. 122 D. 6-24【答案】B【解析】【分析】根据两角和的正弦公式计算即可. 【详解】231sin105sin(6045)sin 60cos45cos60sin 45()222︒=︒+︒=︒︒+︒︒=+ 624+=, sin105∴︒=624+, 应选 : B 【点睛】此题主要考查了两角和的正弦公式 , 特殊角的三角函数值 , 属于容易题.2.已知等差数列{}n a 中 , 47a = , 74a = , 那么公差d 的值为〔 〕A. 12B. 1C. 1-D. 12- 【答案】C【解析】【分析】根据等差数列的通项公式计算即可求解.【详解】因为等差数列{}n a 中 , 47a = , 74a = ,所以417136a a d a a d =+⎧⎨=+⎩ ,解得1d =- ,应选 : C【点睛】此题主要考查了等差数列的通项公式 , 考查了运算能力 , 属于容易题.3.已知1sin cos 2x x -= , 那么sin 2x =〔 〕 A. 12 B. 14 C. 34 D. 32【答案】C【解析】【分析】将条件等式两边平方 , 利用22sin cos 1x x += , 结合二倍角公式 , 即可求解. 【详解】因为1sin cos 2x x -= , 所以221sin cos 2sin cos 4x x x x +-=, 所以3sin 24x =． 应选 : C. 【点睛】此题考查应用同角间的三角函数关系、三角恒等变换求值 , 属于基础题．4.假设110a b<< , 那么以下结论不正确的选项是〔 〕 A. 22a b < B. 2ab b < C. 2b a a b +> D.a b a b +>+【答案】D【解析】【详解】试题分析 : 因为110a b << , 所以<<0b a , 所以 : (A)22a b <正确 ;(B) 因为<0b , 所以在<b a 两边同时乘以b , 得2ab b < , 正确‘(C) 因为<<0b a , 0,0b a a b >> , 所以2b a a b+> , 正确 ; (D) 当=-4,=-1b a 时 , a b a b +=+ , 故错误．应选D.5.在ABC 中 , 内角A , B , C 的对边分别为a , b , c , 且2b = , 120B =︒ , 45C =︒ , 那么边c 的大小是〔 〕 A. 2 B. 3 C. 2 D. 263【答案】D【解析】【分析】 根据正弦定理直接计算即可求解.【详解】因为2b = , 120B =︒ , 45C =︒ , 所以2sin sin c B C=, 即2sin 226sin 332C c B ===, 应选 : D【点睛】此题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用 , 属于容易题.6.等差数列{}n a 中 , 10240S = , 那么47a a +的值是〔 〕A . 60 B. 24 C. 36 D. 48【答案】D【解析】【分析】根据等差数列的性质及求和公式即可求解.【详解】因为等差数列{}n a 中 , 110104710()2405()2a a S a a +===+, 所以4748a a += ,应选 : D【点睛】此题主要考查了等差数列的求和公式 , 等差数列的性质 , 属于中档题.7.设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和 , 121616a a = , 那么63S S 的值为〔 〕A. 98B. 9C. 9或7-D. 98或78【答案】D【解析】【分析】根据等比数列的通项公式及求和公式即可求解.【详解】因为121616a a = ,所以4121216a a q = , 即214q =, 解得12q =或12q =- 而6363319118S q q S q -==+=-或78, 应选 : D【点睛】此题主要考查了等比数列的求和公式 , 通项公式 , 属于中档题.8.化简22cos 5sin 5sin 40sin 50︒-︒︒︒的结果为〔 〕 A. 1 B. 12 C. 2 D. 1-【答案】C【解析】【分析】根据正弦余弦的二倍角公式及诱导公式化简即可求值. 【详解】22cos 5sin 5cos10cos102cos1021sin 40sin 50sin 40cos 40cos10sin802︒-︒︒︒︒====︒︒︒︒︒︒, 应选 : C【点睛】此题主要考查了三角恒等变形 , 二倍角公式 , 诱导公式 , 属于中档题.9.在ABC , 120C =︒ , 1tan tan 3A B = , 那么tan tan A B +的值为〔 〕A. 433B. 233C. 334D. 332【答案】B【解析】【分析】根据两角和正切公式的变形可求出. 【详解】因为tan tan tan()1tan tan A B A B A B++=-, 所以tan tan 3tan()tan (tan tan )1213A B C C A B π+-=-==+-, 即23tan tan 3A B +=, 应选 : B【点睛】此题主要考查了两角和的正切公式 , 诱导公式 , 属于中档题.10.已知数列{}n a 为各项均为正数的等比数列 , n S 是它的前n 项和 , 假设284a a ⋅= , 且57132a a -=, 那么5S 的值为〔 〕 A. 64 B. 62 C. 60 D. 58【答案】B【解析】【分析】根据条件 , 联立方程组 , 求出首项和公比 , 代入求和公式即可求解.【详解】因为数列{}n a 为各项均为正数的等比数列且22854a a a ⋅== , 所以52a = , 又57132a a -=, 所以712a = ,由451671212a a q a a q ⎧==⎪⎨==⎪⎩, 解得 : 1132,2a q == , 所以515132(1)(1)32621112a q S q --===-- , 应选 : B【点睛】此题主要考查了等比数列的通项公式 , 求和公式 , 属于中档题.11.有一块半径为2 , 圆心角为45°的扇形钢板 , 从这个扇形中切割下一个矩形〔矩形的各个顶点都在扇形的半径或弧上 , 且矩形的一边在扇形的半径上〕 , 那么这个内接矩形的面积最大值为〔 〕A. 22+B. 22-C. 222-D. 222+ 【答案】C【解析】【分析】如下列图先用所给的角将矩形的面积表示出来 , 建立三角函数模型 , 再根据所建立的模型利用三角函数的性质求最值.【详解】如下列图 :在Rt OCB 中 , 设COB α∠= ,那么2cos ,2sin OB BC αα== , 在Rt OAD 中 , tan 451DA OA︒== , 所以2sin OA DA α== , 2cos 2sin AB OB OA αα∴=-=- ,设矩形A BCD 的面积为S ,那么()212cos 2sin 2sin 4(sin 2sin )2S AB BC ααααα=⋅=-⋅=-四川省成都市第七中学2019-2020学年高一数学下学期期中试题（含解析） 2(sin 2cos 2)222sin(2)24πααα=+-=+- , 由于04πα<< , 所以当8πα=时 , =222S -最大 , 应选 : C【点睛】此题主要考查了在实际问题中建立三角函数模型,求解问题的关键是根据图形建立起三角模型,将三角模型用所学的恒等式变换公式进行化简 , 属于中档题.12.实数a , b , c 满足221a a c b =+--且210a b ++= , 那么以下关系成立的是〔 〕A . b a c >≥B. c a b ≥>C. b c a >≥D.c b a ≥>【答案】D【解析】【分析】根据等式221a a c b =+--可变形为2(1)a c b -=- , 利用完全平方可得,c b 大小 , 由210a b ++=得21a b =-- , 做差b a - , 配方法比拟大小.【详解】由221a a c b =+--可得2(1)0a c b -=-≥ , 利用完全平方可得所以c b ≥ ,由210a b ++=可得21a b =-- , 22131()024b a b b b ∴-=++=++> , b a ∴> ,综上c b a ≥> ,应选 : D【点睛】此题主要考查了做差法比拟两个数的大小 , 考查了推理与运算能力 , 属于难题.二、填空题13.已知直线l 斜率的取值范围是()3,1- , 那么l 的倾斜角的取值范围是______．【答案】20,,43πππ⎡⎫⎛⎫⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭【解析】【分析】 根据斜率与倾斜角的关系即可求解.【详解】因为直线l 斜率的取值范围是()3,1- ,所以当斜率01k ≤<时 , 倾斜角04πα≤< , 当斜率30k -<<时 , 倾斜角23παπ<< , 综上倾斜角的取值范围20,,43πππ⎡⎫⎛⎫⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭, 故答案为 : 20,,43πππ⎡⎫⎛⎫⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭【点睛】此题主要考查了直线的斜率 , 直线的倾斜角 , 属于中档题.14.已知()cos 2cos 2παπα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭, 那么tan 4πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭______． 【答案】13-【解析】【分析】 根据诱导公式化简可得tan 2α= , 利用两角差的正切求解即可.【详解】()cos 2cos 2παπα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭, sin 2cos αα∴-=-,即tan 2α= ,tantan 1214tan 41231tan tan 4παπαπα--⎛⎫-===- ⎪+⎝⎭+ , 故答案为 : 13- 【点睛】此题主要考查了诱导公式 , 两角差的正切公式 , 同角三角函数基本关系 , 属于中档题.15.不等式()2260x x x ---≥的解集是______． 【答案】{2x x =-或3}x ≥【解析】【分析】 由260x x --≥ , 可知20x -≥ , 转化为不等式组求解即可.【详解】因为()2260x x x ---≥ ,所以22060x x x -≥⎧⎨-->⎩或260x x --= , 即23x x ≥⎧⎨>⎩或22x x ≥⎧⎨<-⎩或2x =-或3x = 解得2x =-或3x ≥ ,故答案为 : {2x x =-或3}x ≥【点睛】此题主要考查了一元二次不等式的解法 , 一次不等式的解法 , 属于中档题.16.已知正数x , y 满足2x y += , 假设2212x y a x y ≤+++恒成立 , 那么实数a 的取值范围是______． 【答案】4,5⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ 【解析】【分析】 将2212x y x y +++变形为1414122411212x y x y x y ++-+++-=-++++++ , 利用均值不等式求1412x y +++的最小值即可求解. 【详解】因为2x y += , 所以2222(1)2(1)1(2)4(2)41212x y x x y y x y x y +-+++-+++=+++++1414122411212x y x y x y =++-+++-=-++++++ , 而14114124(1)19(12)()1()1241251251255y x x y x y x y x y +++=++++=++≥+⨯=++++++ , 当且仅当24(1)12y x x y ++=++ , 即24,33x y ==时等号成立 , 所以22149411121255x y x y x y +=-++≥-+=++++ , 故知45a ≤ , 故答案为 : 4,5⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【点睛】此题主要考查了式子的变形化简 , 均值不等式 , 〞1〞的技巧 , 属于难题.三、解答题17.解关于x 的不等式2220x ax ++>.【答案】答案见解析【解析】【分析】先利用判别式讨论2220x ax ++=是否有解进行分类讨论,再利用求根公式求出方程的解,进一步解得不等式【详解】对于方程2220x ax ++=,其判别式()()21644a a a ∆=-=+-, ①当>0∆时,即4a >或4a 时,方程2220x ax ++=的两根为211(16)4x a a =--- ,221(16)4x a a =-+- ∴原不等式的解集为2211|(16(16)44x x a a x a a ⎧⎫<--->-+-⎨⎬⎩⎭或 ②当0∆=时,即4a =±,当4a =时,方程有两个相等实根,121x x ==-,∴原不等式的解集为{}|1x x ≠- ; 当4a =-时,方程有两个相等实根,121x x ==, ∴原不等式的解集为{}|1x x ≠③当∆<0时,即44a -<<时,方程无实根,∴原不等式的解集为R综上,当4a >或4a 时原不等式的解集为2211|(16(16)44x x a a x a a ⎧⎫<--->-+-⎨⎬⎩⎭或 ; 当4a =时,原不等式的解集为{}|1x x ≠- ; 当4a =-时,原不等式的解集为{}|1x x ≠ ; 当44a -<<时原不等式的解集为R【点睛】此题考查分类讨论思想解不等式,考查含参不等式的解法,属于中档题18.在ABC , 角A , B , C 所对的边分别为a , b , c , 且cos cos ()cos b A c B c a B -=-.〔1〕求角B 的值 ;〔2〕假设ABC 的面积为33 , 13b = , 求a c +的值.【答案】〔1〕3B π=〔2〕7【解析】试题分析 :〔1〕由正弦定理把已知等式化为角的关系 , 再利用两角和与差的正弦公式及诱导公式求得1cos 2=, 从而得3B π= ; 〔2〕由三角形面积公式1sin 2S ac B =及已知可得12ac = , 再利用余弦定理2222cos b a c ac B =+-可求得a c +.试题解析 :〔1〕∵()cos cos cos b A c B c a B -=-.∴由正弦定理 , 得()sin cos sin cos sin sin cos B A C B C A B -=-.∴sin cos cos sin 2sin cos A B A B C B +=.()sin 2sin cos A B C B ∴+=.又A B C π++= , ∴()sin sin A B C +=.又∵0C π<< , 1cos 2B ∴=.又()0B π∈， , 3B π∴=. 〔2〕据〔1〕求解知3B π=, ∴222222cos b a c ac B a c ac =+-=+-.① 又1sin 332S ac B == , ∴12ac = , ② 又13b = , ∴据①②解 , 得7a c +=.19.在等差数列{}n a 中 , 3726a a +=- , 5938a a +=-．〔1〕求数列{}n a 的通项公式 ;〔2〕设数列{}n n a b +是首项为1 , 公比为t 的等比数列 , 求{}n b 的前n 项和n S ．【答案】〔1〕32n a n =-+〔2〕232n n n S += 【解析】【分析】〔1〕根据等差数列条件列方程组 , 即可求通项公式 ;〔2〕先由等比数列通项公式求出1n n n a b t -+= , 解得132n n b n t -=-+ , 分组求和即可.【详解】〔1〕设等差数列{}n a 的公差是d ,由已知()5937412a a a a d +-+==- , 3d ∴=- ,3712826a a a d ∴+=+=- , 得11a =- ,∴数列{}n a 的通项公式为32n a n =-+．〔2〕由数列{}n n a b +是首项为1 , 公比为t 的等比数列 ,1n n n a b t -+= , 1132n n n n b t a n t --=-=-+ ,()()()22121314732112n n n n n S n t t t t t t ---=+++⋅⋅⋅+-++++⋅⋅⋅+=++++⋅⋅⋅+⎡⎤⎣⎦．当1t ≠时 , 23121nn n n t S t--=+-． 当1t =时 , 223322n n n n n S n -+=+=．【点睛】此题主要考查了等差数列的通项公式 , 等比数列的通项公式 , 等差、等比数列的求和公式 , 属于中档题.20.已知函数()()223sin cos 2cos0ωωωω=+>f x x x x 的周期为3π． 〔1〕求函数()f x 的单调递增区间和最值 ;〔2〕当0,6x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时 , 函数()()21g x f x m =-+恰有两个不同的零点 , 求实数m 的取值范围．【答案】〔1〕(),39318k k k z ππππ⎛⎫-+∈⎪⎝⎭．()min 1f x =-．()max 3f x =．〔2〕3,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭【解析】【分析】〔1〕由二倍角公式及降幂公式化简函数 , 根据函数周期求出ω , 写出函数单调增区间、最值即可 ; 〔2〕根据0,6x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦, 求出函数()f x 的值域 , 并结合图象 , 根据21y m =-与()y f x =图象有2个交点 , 即可求解.【详解】〔1〕()223sin cos 2cos 3sin 21cos22sin 216f x x x x x x x πωωωωωω⎛⎫=+=++=++ ⎪⎝⎭ 又因为周期为3π , 所以2263πωπ== , 3ω= ,()2sin 616f x x π⎛⎫∴=++ ⎪⎝⎭ , 令262,262k x k k Z πππππ-≤+≤+∈, 解得,39318k k x k Z ππππ-≤≤+∈ 故其单调递增区间为(),39318k k k z ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭．当()318k x k z ππ=+∈时 , ()max 3f x =． 当()39k x k z ππ=-∈时 , ()min 1f x =-． 〔2〕0,6x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时 , 76666x πππ∴≤+≤． 令76,666t x t πππ=+≤≤ , 那么72sin ,[,]66y t t ππ=∈ , 由函数()()21g x f x m =-+恰有两个不同的零点 ,得函数72sin ,[,]66y t t ππ=∈的图像与直线22y m =-恰有两个不同的交点 , 如下列图 :结合图像可知1222m ≤-< , 即322m ≤< , 综上 , 实数m 的取值范围是3,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭．【点睛】此题主要考查了三角函数的恒等变形 , 正弦型函数的图象与性质 , 零点与函数图象交点的转化 , 属于中档题.21.已知数列{}n a 满足11a = , 13n n a a λ+=+〔λ为常数〕． 〔1〕试探究数列12n a λ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是否为等比数列 , 并求n a ;〔2〕当2λ=时 , 求数列12n n a λ⎧⎫⎛⎫+⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭的前n 项和n T ． 【答案】〔1〕数列12n a λ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是以112λ+为首项 , 3为公比的等比数列．1111322n n a λλ-⎛⎫=+- ⎪⎝⎭．〔2〕11322n n T n ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭ 【解析】【分析】 (1)根据数列的递推公式可得数列12n a λ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是以112λ+为首项 , 3为公比的等比数列 , 即可求出通项公式 ;(2)由〔1〕计算出数列12n n a λ⎧⎫⎛⎫+⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭的通项公式 , 然后根据错位相减法即可求出前n 项和T n . 【详解】〔1〕13n n a a λ+=+ , 111322n n a a λλ+⎛⎫∴+=+ ⎪⎝⎭ , 又11a = , 所以当2λ=-时 , 1102a λ+= , 数列12n a λ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭不是等比数列． 此时1102n n a a λ+=-= , 即1n a = ; 当2λ≠-时 , 1102a λ+≠ , 所以102n a λ+≠． 所以数列12n a λ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是以112λ+为首项 , 3为公比的等比数列． 此时1111322n n a λλ-⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭ , 即1111322n n a λλ-⎛⎫=+- ⎪⎝⎭． 〔2〕由(1)知1231n n a -=⋅- , 所以()1123n n n a n -+=⨯ ,121222323323n n T n -=+⨯⨯+⨯⨯+⋅⋅⋅+⨯① ,2332322323323n n T n =⨯+⨯⨯+⨯⨯+⋅⋅⋅+⨯② ,-①②得 : ()122223+3323n n n T n -=++⋅⋅⋅+-⨯ ()1313222313n n n --=+-⨯- 所以11322n n T n ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭． 【点睛】此题主要考查了数列的递推公式 , 考查数列的求和方法:错位相减法 , 考查运算能力 , 属于中档题.22.设数列{}n a 的前n 项和为n S , 且()314n n S a += , n *∈N〔1〕求{}n a 的通项公式 ;〔2〕求证 : 312234+11415++++>-n n S S S S n S S S S ． 【答案】〔1〕134n n a -=⋅ , n *∈N ．〔2〕见解析【解析】【分析】 〔1〕由数列前n 项和与通项关系可证明数列为等比数列 , 写出通项公式即可 ; 〔2〕根据等比数列前n 项和公式化简 , 利用放缩法证明不等式即可.【详解】〔1〕当1n =时 , ()11314a a += , 解得13a = ;当2n ≥时 , 334n n S a += , 11334n n S a --+= ;两式相减得1344n n n a a a -=- , 即()142n n a a n -=≥ ,所以数列{}n a 是公比为4 , 首项为3的等比数列134n n a -=⋅ , n *∈N ．〔2〕由1知41nn S =- 故()1114113414441n n n n n S S +++-==--- 又因为()()144115444154440n n n n n +-=⨯+-≥⨯-≥那么()()13154441nn n N *+≤∈⨯- 111454n nn S S +≥-⨯ 所以122231111145444n n n S S S n S S S +⎛⎫++⋅⋅⋅+≥-++⋅⋅⋅+ ⎪⎝⎭ 1111111441145415441514n n n n n ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭=-⋅=-->- ⎪⎝⎭-． 【点睛】此题主要考查了由递推关系证明数列为等比数列 , 等比数列的通项公式 , 放缩法证明数列不等式 , 属于难题.。
2014-2015年四川省成都七中实验学校高一(下)期中数学试卷和答案
2014-2015学年四川省成都七中实验学校高一（下）期中数学试卷一．选择题（每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求．）1．（5分）cos13°cos17°﹣sin17°sin13°=（）A．﹣B．﹣C．D．2．（5分）函数y=2cos2x+1的周期是（）A．B．πC．D．2π3．（5分）等比数列{a n}中，若a3=﹣9，a7=﹣1，则a5的值为（）A．3或﹣3B．3C．﹣3D．﹣54．（5分）1202年，意大利数学家斐波那契在他的书中给出了一个关于兔子繁殖的递推关系：F n=F n﹣1+F n﹣2，其中F n表示第n个月的兔子的总对数，F1=F2=1，则F8的值为（）A．13B．21C．34D．555．（5分）在三角形ABC中，a=2，A=30°，C=45°，则三角形的面积S的值是（）A．B．+1C．（+1）D．26．（5分）数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，S n=2a n+1，则S n=（）A．2n﹣1B．C．D．7．（5分）在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，若c•cosB=b•cosC，且cosA=，则cosB等于（）A．±B．C．±D．8．（5分）将自然数按照表的规律排列，如第2行第3列的数是8，则第2015行第2016列的数是（）A．2015×2016+3B．2015×2016+2C．2015×2016+1D．2015×20169．（5分）设S n是公差为d（d≠0）的无穷等差数列{a n}的前n项和，则下列命题错误的是（）A．若d＜0，则数列{S n}有最大项B．若数列{S n}有最大项，则d＜0C．若对任意n∈N*，均有S n＞0，则数列{S n}是递增数列D．若数列{S n}是递增数列，则对任意n∈N*，均有S n＞010．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n且满足S15＞0，S16＜0则中最大的项为（）A．B．C．D．11．（5分）函数f（x）=（6x﹣）2tan（4x﹣1）+x+，f（）+f（）+f（）+…+f（）=（）A．n B．n﹣1C．D．12．（5分）对数列{a n}，规定{△a n}为数列{a n}的一阶差分数列，其中△a n=a n+1﹣a n（n∈N*）；一般地，规定{△k a n}为数列{a n}的k阶差分数列，其中△k a n=△k﹣1a n+1﹣△k﹣1a n（n，k∈N*，k≥2）．已知数列{a n}的通项公式a n=n2+n①△a n=2n+2；②数列{△3a n}既是等差数列，又是等比数列；③数列{△a n}的前n项之和为a n=n2+n；④{△2a n}的前2015项之和为4030．则以下结论正确的命题个数为（）A．0B．1C．2D．3二、填空题（本大题共4小题，每题4分，共16分，把答案填在题中的横线上.）13．（4分）求值cos105°=．14．（4分）数列{a n}满足a n=（n＞1）且a1=﹣，则a2015=．15．（4分）已知等差数列{a n}中，a2，a4，a9成等比数列，则=．16．（4分）在△ABC中，a，b，c分别是内角A、B、C所对的边，．若，且D、E、F三点共线（该直线不过点O），则△ABC周长的最小值是．三.解答题（17-21每小题12分，22题14分，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17．（12分）若等差数列的前6项和为36，前9项和为81，（1）求a n；（2）求数列{}的前n项和S n．18．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，以x为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆交于A，B两点．已知A，B的横坐标分别为，．（1）求tan（α+β）的值；（2）求2α+β的值．19．（12分）力综合治理交通拥堵状况，缓解机动车过快增长势头，一些大城市出台了“机动车摇号上牌”的新规．某大城市2014年初机动车的保有量为600万辆，预计此后每年将报废本年度机动车保有量的5%，且报废后机动车的牌照不再使用，同时每年投放10万辆的机动车牌号，只有摇号获得指标的机动车才能上牌，经调研，获得摇号指标的市民通常都会在当年购买机动车上牌．（Ⅰ）问：到2018年初，该城市的机动车保有量为多少万辆；（Ⅱ）根据该城市交通建设规划要求，预计机动车的保有量少于500万辆时，该城市交通拥堵状况才真正得到缓解．问：至少需要多少年可以实现这一目标．（参考数据：0.954=0.81，0.955=0.77，lg0.75=﹣0.13，lg0.95=﹣0.02）20．（12分）已知函数f（x）=sinxcosx+sin2x﹣，将函数f（x）的图象向左平移个单位，得到函数g（x）的图象，设△ABC得三个角A，B，C的对边分别是a，b，c（1）若f（C）=0，c=，2sinA=sinB，求a，b的值；（2）若g（B）=0，且=（cosA，cosB），=（1，sinA﹣cosAtanB），求•的取值范围．21．（12分）已知函数f（x）的定义域为R，对任意实数x，y满足f（x）=f（y）f（x﹣y），且f（1）=．（1）当n∈N*时，求证：数列{f（n）}是等比数列；（2）设a n=（n+1）•f（n），求和：a1+a2+a3+…+a n．22．（14分）九连环是我国的一种古老的智力游戏，它环环相扣，趣味无穷．按照某种规则解开九连环，至少需要移动圆环a9次．我们不妨考虑n个圆环的情况，用a n表示解下n个圆环所需的最少移动次数，用b n表示前（n﹣1）个圆环都已经解下后，再解第n个圆环所需的次数，按照某种规则可得：a1=1，a2=2，a n=a n﹣2+1+b n﹣1，b1=1，b n=2b n﹣1+1．（1）求b n的表达式；（2）求a9的值，并求出a n的表达式；（3）求证：．2014-2015学年四川省成都七中实验学校高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一．选择题（每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求．）1．（5分）cos13°cos17°﹣sin17°sin13°=（）A．﹣B．﹣C．D．【解答】解：cos13°cos17°﹣sin17°sin13°=cos（17°+13°）=cos30°=．故选：D．2．（5分）函数y=2cos2x+1的周期是（）A．B．πC．D．2π【解答】解：函数y=2cos2x+1=cos2x+2，它的周期为=π，故选：B．3．（5分）等比数列{a n}中，若a3=﹣9，a7=﹣1，则a5的值为（）A．3或﹣3B．3C．﹣3D．﹣5【解答】解：等比数列{a n}中，a3=﹣9，a7=﹣1，由等比数列的定义和性质可得a52=a3•a7=9，解得a5=﹣3，或a5=3（不合题意，舍去），因为若a5=3，则a42=a3•a5=﹣27，a4不存在．故选：C．4．（5分）1202年，意大利数学家斐波那契在他的书中给出了一个关于兔子繁殖的递推关系：F n=F n﹣1+F n﹣2，其中F n表示第n个月的兔子的总对数，F1=F2=1，则F8的值为（）A．13B．21C．34D．55【解答】解：∵F1=F2=1，F n=F n﹣1+F n﹣2（n≥3，n∈N*），∴F3=1+1=2，F4=2+1=3，F5=3+2=5，F6=5+3=8，F7=5+8=13，F8=8+13=21故选：B．5．（5分）在三角形ABC中，a=2，A=30°，C=45°，则三角形的面积S的值是（）A．B．+1C．（+1）D．2【解答】解：由a=2，A=30°，C=45°，且则故sinB=sin（180°﹣30°﹣45°）=sin（60°+45°）=，故，故选：B．6．（5分）数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，S n=2a n+1，则S n=（）A．2n﹣1B．C．D．【解答】解：∵a1=1，S n=2a n+1，∴S n=2（S n+1﹣S n），化为：S n+1=S n．∴数列{S n}是等比数列，公比为，首项为1．则S n=．故选：D．7．（5分）在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，若c•cosB=b•cosC，且cosA=，则cosB等于（）A．±B．C．±D．【解答】解：在△ABC中，∵c•cosB=b•cosC，∴由正弦定理可得sinCcosB=sinBcosC，即sin（C﹣B）=0．再结合﹣π＜C﹣B＜π，可得C﹣B=0，即C=B，∴A=π﹣B﹣C=π﹣2B，∴B=，．∴cosB=cos=sin===，故选：B．8．（5分）将自然数按照表的规律排列，如第2行第3列的数是8，则第2015行第2016列的数是（）A．2015×2016+3B．2015×2016+2C．2015×2016+1D．2015×2016【解答】解：表中的每行的第一个数构成的数列记为{a n}则a2﹣a1=1，a3﹣a2=3，a4﹣a3=5…a2015﹣a2014=2×2014﹣1以上式子叠加可得，a2015=2015×2013+2由表中的数据规律可知，第2015行中共有2015个∵第2016行的第一个数为2016×2014+2∵第2016行的数是以2016×2014+2为首项，1为公差的等差数列，且横行有2016个数，该数是2016×2014+2+2015则上起第2015行，左起第2016列的数是在第2016行第2016列的数的上面的一个数即2016×2014+2+2015+1=2016×2014+2016+2=2016×2015+2故选：B．9．（5分）设S n是公差为d（d≠0）的无穷等差数列{a n}的前n项和，则下列命题错误的是（）A．若d＜0，则数列{S n}有最大项B．若数列{S n}有最大项，则d＜0C．若对任意n∈N*，均有S n＞0，则数列{S n}是递增数列D ．若数列{S n }是递增数列，则对任意n ∈N *，均有S n ＞0【解答】解：由等差数列的求和公式可得S n =na 1+d=n 2+（a 1﹣）n ， 选项A ，若d ＜0，由二次函数的性质可得数列{S n }有最大项，故正确； 选项B ，若数列{S n }有最大项，则对应抛物线开口向下，则有d ＜0，故正确； 选项C ，若对任意n ∈N *，均有S n ＞0，对应抛物线开口向上，d ＞0，可得数列{S n }是递增数列，故正确；选项D ，若数列{S n }是递增数列，则对应抛物线开口向上，但不一定有任意n ∈N *，均有S n ＞0，故错误．故选：D ．10．（5分）设等差数列{a n }的前n 项和为S n 且满足S 15＞0，S 16＜0则中最大的项为（ ）A ．B ．C ．D ．【解答】解：∵等差数列前n 项和S n =•n 2+（a 1﹣）n ，由S 15=15a 8＞0，S 16=16×＜0可得：a 8＞0，a 9＜0，d ＜0；故Sn 最大值为S 8．又d ＜0，a n 递减，前8项中S n 递增，故S n 最大且a n 取最小正值时，有最大值， 即最大．故选：C ．11．（5分）函数f （x ）=（6x ﹣）2tan （4x ﹣1）+x +，f （）+f （）+f （）+…+f （）=（ ） A ．n B ．n ﹣1 C ． D ．【解答】解：∵f（x）+=（6x﹣）2tan（4x﹣1）+x++tan（1﹣4x）+﹣x+=2，∴=2，∴S n=f（）+f（）+f（）+…+f（）=×2n=n，故选：A．12．（5分）对数列{a n}，规定{△a n}为数列{a n}的一阶差分数列，其中△a n=a n+1﹣a n（n∈N*）；一般地，规定{△k a n}为数列{a n}的k阶差分数列，其中△k a n=△k﹣1a n+1﹣△k﹣1a n（n，k∈N*，k≥2）．已知数列{a n}的通项公式a n=n2+n①△a n=2n+2；②数列{△3a n}既是等差数列，又是等比数列；③数列{△a n}的前n项之和为a n=n2+n；④{△2a n}的前2015项之和为4030．则以下结论正确的命题个数为（）A．0B．1C．2D．3【解答】解：由于△a n=a n+1﹣a n（n∈N*），{△k a n}为数列{a n}的k阶差分数列，△k a n=△k﹣1a n+1﹣△k﹣1a n（n，k∈N*，k≥2）．a n=n2+n故△a n=a n+1﹣a n =（n+1）2+（n+1）﹣[n2+n]=2n+2，故①正确．由于△2a n=2（n+1）+2﹣（2n+2）=2，∴{△2a n}是首项为2，公差为0的等差数列，故对数列{△3a n}，△3a n=2﹣2=0，故数列{△3a n}是等差数列，但不是等比数列，故②不正确．数列{△a n}的前n项之和为△a1+△a2+…+△a n=a2﹣a1+a3﹣a2+…+a n+1﹣a n=a n+1﹣a1=（n+1）2+（n+1）﹣[1+1]=n2+3n，故③不正确．由于△2a n=2（n+1）+2﹣（2n+2）=2，∴{△2a n}是首项为2，公差为0的等差数列，{△2a n}的前2015项之和为2×2015=4030，故④正确．故选：C．二、填空题（本大题共4小题，每题4分，共16分，把答案填在题中的横线上.）13．（4分）求值cos105°=．【解答】解：cos105°=cos（60°+45°）=cos60°cos45°﹣sin60°sin45°=×﹣×=．故答案为：14．（4分）数列{a n}满足a n=（n＞1）且a1=﹣，则a2015=5．【解答】解：由a n=（n＞1）且a1=﹣，得，，，…由上可知，数列{a n}是以3为周期的周期数列，则a2015=a3×671+2=a2=5．故答案为：5．15．（4分）已知等差数列{a n}中，a2，a4，a9成等比数列，则=1或．【解答】解：设等差数列的公差为d，由a2，a4，a9成等比数列，可得=（a1+d）（a1+8d），解得d=0，或d=3a1．当d=0时，等差数列{a n}是常数数列，=1．当d=3a1时，===．故答案为1 或．16．（4分）在△ABC中，a，b，c分别是内角A、B、C所对的边，．若，且D、E、F三点共线（该直线不过点O），则△ABC周长的最小值是．【解答】解：∵已知，且D、E、F三点共线，∴a+b=1．∵△ABC中，角∴c2=a2+b2﹣2abcos=（a+b）2﹣3ab=1﹣3ab∵ab≤（）2=，∴1﹣3ab≥1﹣=，得c2≥，当且仅当a=b时，边c的最小值为因此，△ABC周长a+b+c的最小值为1+=故答案为：三.解答题（17-21每小题12分，22题14分，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17．（12分）若等差数列的前6项和为36，前9项和为81，（1）求a n；（2）求数列{}的前n项和S n．【解答】解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，则，解得a1=1，d=2．∴a n=1+2（n﹣1）=2n﹣1．（2）∵==（）．∴S n=（1﹣）+（﹣）+…（）=（1﹣+…+）=（1﹣）=．18．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，以x为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆交于A，B两点．已知A，B的横坐标分别为，．（1）求tan（α+β）的值；（2）求2α+β的值．【解答】解：（1）由已知得：．∵α，β为锐角，∴．∴．∴．（2）∵，∴．∵α，β为锐角，∴，∴．19．（12分）力综合治理交通拥堵状况，缓解机动车过快增长势头，一些大城市出台了“机动车摇号上牌”的新规．某大城市2014年初机动车的保有量为600万辆，预计此后每年将报废本年度机动车保有量的5%，且报废后机动车的牌照不再使用，同时每年投放10万辆的机动车牌号，只有摇号获得指标的机动车才能上牌，经调研，获得摇号指标的市民通常都会在当年购买机动车上牌．（Ⅰ）问：到2018年初，该城市的机动车保有量为多少万辆；（Ⅱ）根据该城市交通建设规划要求，预计机动车的保有量少于500万辆时，该城市交通拥堵状况才真正得到缓解．问：至少需要多少年可以实现这一目标．（参考数据：0.954=0.81，0.955=0.77，lg0.75=﹣0.13，lg0.95=﹣0.02）【解答】解：（Ⅰ）设2012年年初机动车保有量为a1万辆，以后各年年初机动车保有量依次为a2万辆，a3万辆，…，每年新增机动车10万辆，则a1=600，a n+1=0.95a1+10，﹣200=0.95（a n﹣200），又a n+1且a1﹣200=600﹣200=400，∴数列{a n﹣200}是以400为首项，0.95为公比的等比数列，∴，即，∴2018年初机动车保有量为万辆．（Ⅱ）由题意知，，即0.95n﹣1＜0.75，∴+1=7.5．故至少需要8年时间才能实现目标．20．（12分）已知函数f（x）=sinxcosx+sin2x﹣，将函数f（x）的图象向左平移个单位，得到函数g（x）的图象，设△ABC得三个角A，B，C的对边分别是a，b，c（1）若f（C）=0，c=，2sinA=sinB，求a，b的值；（2）若g（B）=0，且=（cosA，cosB），=（1，sinA﹣cosAtanB），求•的取值范围．【解答】解：=，g（x）==﹣1，所以：（1）由f（C）=0得：，∵0＜C＜π，∴，∴，∴C=；由2sinA=sinB，及正弦定理得：，所以b=2a ①由余弦定理得：②所以由①②解得：a=，．（2）由g（B）=0得：，∵0＜B＜π，∴，∴2B=，∴B=；=，∵，∴；∴，∴，故的取值范围是：（0，1]．21．（12分）已知函数f（x）的定义域为R，对任意实数x，y满足f（x）=f（y）f（x﹣y），且f（1）=．（1）当n∈N*时，求证：数列{f（n）}是等比数列；（2）设a n=（n+1）•f（n），求和：a1+a2+a3+…+a n．【解答】（1）证明：取x=n+1，y=1，则由f（x）=f（y）f（x﹣y），得f（n+1）=f（1）•f（n）=，∴数列{f（n）}是以为首项，以为公比的等比数列；（2）解：由（1）知，f（n）=，a n=（n+1）•f（n）=（n+1），则S n=a1+a2+a3+…+a n=，，两式作差得：=．∴．22．（14分）九连环是我国的一种古老的智力游戏，它环环相扣，趣味无穷．按照某种规则解开九连环，至少需要移动圆环a9次．我们不妨考虑n个圆环的情况，用a n表示解下n个圆环所需的最少移动次数，用b n表示前（n﹣1）个圆环都已经解下后，再解第n个圆环所需的次数，按照某种规则可得：a1=1，a2=2，a n=a n﹣2+1+b n﹣1，b1=1，b n=2b n﹣1+1．（1）求b n的表达式；（2）求a9的值，并求出a n的表达式；（3）求证：．【解答】解：（1）由b n=2b n﹣1+1．可得b n+1=2（b n﹣1+1），又b1+1=2，∴数列{b n+1}是以2为首项，2为公比的等比数列，∴，得．（2）由已知，∴+28+26+24==341．当n是偶数时，=…==2n﹣1+2n﹣3+…+23+2==．当n是奇数时，=…==2n﹣1+2n﹣3+…+22+1=．综上所述：．（3）当n为偶数时，，当n为奇数时，．∴当n∈N*时，=，∴…+=．。
2016-2017年四川省成都七中实验学校高一(下)期中数学试卷和答案
2016-2017学年四川省成都七中实验学校高一（下）期中数学试卷一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分.每个小题只有一个正确答案. 1．（5分）已知a＞b，c＞d，且cd≠0，则（）A．ad＞bc B．ac＞bd C．a﹣c＞b﹣d D．a+c＞b+d 2．（5分）若{a n}是等差数列，且a1=﹣1，公差为﹣3，则a8等于（）A．﹣7B．﹣8C．﹣22D．273．（5分）二次不等式ax2+bx+1＞0的解集为{x|﹣1＜x＜}，则a+b的值为（）A．﹣6B．6C．﹣5D．54．（5分）如果﹣1，a，b，c，﹣9成等比数列，那么（）A．b=3，ac=9B．b=﹣3，ac=9C．b=3，ac=﹣9D．b=﹣3，ac=﹣9 5．（5分）在△ABC中，已知b=2，a=3，cos A=﹣，则sin B等于（）A．B．C．D．6．（5分）下列各函数中，最小值为4的是（）A．B．C．y=4log3x+log x3D．y=4e x+e﹣x7．（5分）△ABC的三个内角，A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则A=（）A．30°B．60°C．120°D．150°8．（5分）《九章算术》中的“两鼠穿墙题”是我国数学的古典名题：“今有垣厚若干尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺．大鼠日自倍，小鼠日自半．问何日相逢，各穿几何？题意是：有两只老鼠从墙的两边打洞穿墙．大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半”如果墙足够厚，S n为前n天两只老鼠打洞长度之和，则S5=（）A．B．C．D．9．（5分）已知等比数列{a n}的各项均为不等于1的正数，数列{b n}满足b n=lga n，b3=18，b6=12，则数列{b n}前n项和的最大值等于（）A．126B．130C．132D．13410．（5分）已知向量=（2cos2x，），=（1，sin2x），设函数，则下列关于函数y=f（x）的性质的描述正确的是（）A．关于直线对称B．关于点对称C．周期为2πD．y=f（x）在上是增函数11．（5分）某同学在研究性学习中，关于三角形与三角函数知识的应用（约定三内角A、B、C所对的边分别是a，b，c）得出如下一些结论：（1）若△ABC是钝角三角形，则tanA+tanB+tanC＞0；（2）若△ABC是锐角三角形，则cosA+cosB＞sinA+sinB；（3）在三角形△ABC中，若A＜B，则cos（sinA）＜cos（tanB）（4）在△ABC中，若，则A＞C＞B其中错误命题的个数是（）A．0B．1C．2D．312．（5分）给出下列四个关于数列命题：（1）若{a n}是等差数列，则三点、、共线；（2）若{a n}是等比数列，则S m、S2m﹣S m、S3m﹣S2m（m∈N*）也是等比数列；（3）等比数列{a n}的前n项和为S n，若对任意的n∈N*，点（n，S n）均在函数y=b x+r（b≠0，b≠1，b、r均为常数）的图象上，则r的值为﹣1．（4）对于数列{a n}，定义数列{a n﹣a n}为数列{a n}的“差数列”，若a1=2，{a n}+1的“差数列”的通项为2n，则数列{a n}的前n项和S n=2n+1﹣2其中正确命题的个数是（）A．4B．3C．2D．1二、填空题：本大题4个小题，每小题5分，共20分.13．（5分）求值：cos415°﹣sin415°=．14．（5分）在等差数列{a n}中，若a2+a4+a6+a8+a10=80，则S11的值为．15．（5分）设正实数x，y满足x+2y=xy，若m2+2m＜x+2y恒成立，则实数m的取值范围是．16．（5分）在△ABC中，a，b，c是角A，B，C所对应边，且a，b，c成等比数列，则sinA（+）的取值范围是．三、解答题：本大题共6个小题，共70分17．（10分）（1）已知等比数列{a n}中，a1=2且a1+a2=6．求数列{a n}的前n项和S n的值；（2）已知tanθ=3，求的值．18．（12分）已知函数（x∈R）．（1）化简f（x）并求f（x）的最小正周期；（2）求f（x）在区间上的最大值和最小值．19．（12分）已知D为△ABC的边BC上一点，且AB：BC：CA=1：：1．（1）求角A的大小；（2）若△ABC的面积为，且∠ADC=45°，求BD的长．20．（12分）已知在△ABC中，b（sinB+sinC）=（a﹣c）（sinA+sinC）（其中角A，B，C所对的边分别为a，b，c）且∠A为钝角．（1）求角A的大小；（2）若，求b+c的取值范围．21．（12分）已知数列{a n}满足：a1=1，a n+1=2a n+1．（1）求证：数列{a n+1}是等比数列；（2）求数列{a n}的通项公式；（3）设，求数列{c n}的前n项和T n的取值范围．22．（12分）对于无穷数列{x n}和函数f（x），若x n+1=f（x n）（n∈N+），则称f（x）是数列{x n}的母函数．（Ⅰ）定义在R上的函数g（x）满足：对任意α，β∈R，都有g（αβ）=αg（β）+βg（α），且；又数列{a n}满足．（1）求证：f（x）=x+2是数列{2n a n}的母函数；（2）求数列{a n}的前项n和S n．（Ⅱ）已知是数列{b n}的母函数，且b1=2．若数列的前n项和为T n，求证：．2016-2017学年四川省成都七中实验学校高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分.每个小题只有一个正确答案. 1．（5分）已知a＞b，c＞d，且cd≠0，则（）A．ad＞bc B．ac＞bd C．a﹣c＞b﹣d D．a+c＞b+d【解答】解：∵a＞b，c＞d，且cd≠0，∴a﹣b＞0，c﹣d＞0，由不等式的性质可得a﹣b+c﹣d＞0，a+c＞b+d，故选：D．2．（5分）若{a n}是等差数列，且a1=﹣1，公差为﹣3，则a8等于（）A．﹣7B．﹣8C．﹣22D．27【解答】解：a8=﹣1﹣3×7=﹣22．故选：C．3．（5分）二次不等式ax2+bx+1＞0的解集为{x|﹣1＜x＜}，则a+b的值为（）A．﹣6B．6C．﹣5D．5【解答】解：∵二次不等式ax2+bx+1＞0的解集为{x|﹣1＜x＜}，∴﹣1，是方程ax2+bx+1=0的两个实数根，且a＜0．∴，解得，∴a+b=﹣5．故选：C．4．（5分）如果﹣1，a，b，c，﹣9成等比数列，那么（）A．b=3，ac=9B．b=﹣3，ac=9C．b=3，ac=﹣9D．b=﹣3，ac=﹣9【解答】解：由等比数列的性质可得ac=（﹣1）×（﹣9）=9，b×b=9且b与奇数项的符号相同，∴b=﹣3，故选：B．5．（5分）在△ABC中，已知b=2，a=3，cos A=﹣，则sin B等于（）A．B．C．D．【解答】解：∵cos A=﹣，∴sinA==，∵b=2，a=3，由正弦定理可得sinB==×=，故选：A．6．（5分）下列各函数中，最小值为4的是（）A．B．C．y=4log3x+log x3D．y=4e x+e﹣x【解答】解：对于A，当x→﹣∞时，y→﹣∞，故不对，对于B：若取到最小值，则sinx=2，显然不成立，对于C：4log3x与log x3均不能保证为正数，故对，对于D：y=4e x+e﹣x≥4，当且仅当x=﹣ln2时取等号，故选：D．7．（5分）△ABC的三个内角，A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则A=（）A．30°B．60°C．120°D．150°【解答】解：∵==1，∴a2﹣b2﹣c2=﹣bc，即b2+c2﹣a2=bc，∴cosA===，又A为三角形的内角，则A=60°．故选：B．8．（5分）《九章算术》中的“两鼠穿墙题”是我国数学的古典名题：“今有垣厚若干尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺．大鼠日自倍，小鼠日自半．问何日相逢，各穿几何？题意是：有两只老鼠从墙的两边打洞穿墙．大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半”如果墙足够厚，S n为前n天两只老鼠打洞长度之和，则S5=（）A．B．C．D．【解答】解：由题意可知：大老鼠每天打洞的距离是以1为首项，以2为公比的等比数列，前n天打洞之和为=2n﹣1，同理，小老鼠每天打洞的距离=2﹣，∴S n=2n﹣1+2﹣，∴S5=25+1﹣=32．故选：B．9．（5分）已知等比数列{a n}的各项均为不等于1的正数，数列{b n}满足b n=lga n，b3=18，b6=12，则数列{b n}前n项和的最大值等于（）A．126B．130C．132D．134【解答】解：由题意可知，lga3=b3，lga6=b6．又∵b3=18，b6=12，则a1q2=1018，a1q5=1012，∴q3=10﹣6．即q=10﹣2，∴a1=1022．又∵{a n}为正项等比数列，∴{b n}为等差数列，且d=﹣2，b1=22．故b n=22+（n﹣1）×（﹣2）=﹣2n+24．∴S n=22n+×（﹣2）=﹣n2+23n=+．又∵n∈N*，故n=11或12时，（S n）max=132．10．（5分）已知向量=（2cos2x，），=（1，sin2x），设函数，则下列关于函数y=f（x）的性质的描述正确的是（）A．关于直线对称B．关于点对称C．周期为2πD．y=f（x）在上是增函数【解答】解：f（x）=2cos2x+sin2x=cos2x+sin2x+1=2sin（2x+）+1，当x=时，sin（2x+）=sin≠±1，∴f（x）不关于直线x=对称；当x=时，2sin（2x+）+1=1，∴f（x）关于点（，1）对称；f（x）得周期T==π，当x∈时，2x+∈（﹣，），∴f（x）在在上是增函数．故选：D．11．（5分）某同学在研究性学习中，关于三角形与三角函数知识的应用（约定三内角A、B、C所对的边分别是a，b，c）得出如下一些结论：（1）若△ABC是钝角三角形，则tanA+tanB+tanC＞0；（2）若△ABC是锐角三角形，则cosA+cosB＞sinA+sinB；（3）在三角形△ABC中，若A＜B，则cos（sinA）＜cos（tanB）（4）在△ABC中，若，则A＞C＞B其中错误命题的个数是（）A．0B．1C．2D．3【解答】解：（1）∵tanA+tanB=tan（A+B）（1﹣tanAtanB），∴tanA+tanB+tanC=tan（A+B）（1﹣tanAtanB）+tanC=tanAtanBtanC，∴△ABC是钝角三角形，可得：tanAtanBtanC＜0，故错误；（2）∵△ABC为锐角三角形，∴A+B＞90°，B＞90°﹣A，∴cosB＜sinA，sinB＞cosA，∴cosB﹣sinA＜0，sinB﹣cosA＞0，∴cosB﹣sinA＜sinB﹣cosA，可得cosA+cosB＜sinA+sinB，故错误；（3）当B=时，tanB不存在，故错误；（4）由tanC=得到0＜C＜90°，且tan30°=＜＜1=tan45°，因为正切函数在（0，90°）为增函数，所以得到30°＜C＜45°；由sinB=可得到0＜B＜90°或90°＜B＜180°，在0＜B＜90°时，sin30°=＞，因为正弦函数在（0，90°）为增函数，得到0＜B＜30°；在90°＜B＜180°时，sin150°=＞，但是正弦函数在90°＜B＜180°为减函数，得到B＞150°，则B+C＞180°，矛盾，不成立．所以0＜B＜30°．由B和C的取值得到A为钝角，所以A＞C＞B，故正确；故选：D．12．（5分）给出下列四个关于数列命题：（1）若{a n}是等差数列，则三点、、共线；（2）若{a n}是等比数列，则S m、S2m﹣S m、S3m﹣S2m（m∈N*）也是等比数列；（3）等比数列{a n}的前n项和为S n，若对任意的n∈N*，点（n，S n）均在函数y=b x+r（b≠0，b≠1，b、r均为常数）的图象上，则r的值为﹣1．（4）对于数列{a n}，定义数列{a n﹣a n}为数列{a n}的“差数列”，若a1=2，{a n}+1的“差数列”的通项为2n，则数列{a n}的前n项和S n=2n+1﹣2其中正确命题的个数是（）A．4B．3C．2D．1【解答】解：（1）若{a n}是等差数列，则S n=na1+，∴=a1﹣+n，即是关于n的一次函数，∴{}是等差数列，∴三点、、共线，故（1）正确；（2）若{a n}是公比为﹣1的等比数列，当m为偶数时，有S m=S2m=S3m=0，显然结论错误；故（2）错误；（3）S n=b n+r，当n=1时，a1=S1=b+r，当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=b n+r﹣（b n﹣1+r）=b n﹣b n﹣1=（b﹣1）b n﹣1，又因为{a n}为等比数列，所以r=﹣1，故（3）正确；（4）n=1时，a1=2；当n≥2时，a n=（a n﹣a n﹣1）+（a n﹣1﹣a n﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1=2n﹣1+2n﹣2+…+2+2=2+=2n；∴S n==2n+1﹣2，故（4）正确．故选：B．二、填空题：本大题4个小题，每小题5分，共20分.13．（5分）求值：cos415°﹣sin415°=．【解答】解：cos415°﹣sin415°=（cos215°+sin215°）•（cos215°﹣sin215°）=cos215°﹣sin215°=cos30°=，故答案为：．14．（5分）在等差数列{a n}中，若a2+a4+a6+a8+a10=80，则S11的值为176．【解答】解：∵等差数列{a n}中，若a2+a4+a6+a8+a10=80，∵a2+a10=2a6，a4+a8=2a6，∴5a6=80，∴a6=16，∴S11==11a6=176．故答案为：176．15．（5分）设正实数x，y满足x+2y=xy，若m2+2m＜x+2y恒成立，则实数m的取值范围是（﹣4，2）．【解答】解：正实数x，y满足x+2y=xy，∴+=1，∴x+2y=（x+2y）（+）=2+2++≥4+2=8，当且仅当x=2y，即x=4，y=2时等号成立．不等式m2+2m＜x+2y恒成立，即m2+2m＜8恒成立，解得﹣4＜m＜2；∴实数m的取值范围是（﹣4，2）．故答案为：（﹣4，2）．16．（5分）在△ABC中，a，b，c是角A，B，C所对应边，且a，b，c成等比数列，则sinA（+）的取值范围是（，）．【解答】解：∵△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，∵a，b，c成等比数列，sin2B=sinAsinC设a，b，c分别为a，aq，aq2．则有⇒⇒．sinA（）=sinA（）=sinA=∴sinA（+）的取值范围是：（，）三、解答题：本大题共6个小题，共70分17．（10分）（1）已知等比数列{a n}中，a1=2且a1+a2=6．求数列{a n}的前n项和S n的值；（2）已知tanθ=3，求的值．【解答】解：（1）设等比数列{a n}的公比为q，由已知得a1=2，且a1+a2=2+2q=6，∴q=2，∴a n=2n．从而，S n==2n+1﹣2．（2）∵tanθ=3，∴==2．18．（12分）已知函数（x∈R）．（1）化简f（x）并求f（x）的最小正周期；（2）求f（x）在区间上的最大值和最小值．【解答】解：函数（x∈R）．化简可得：=．∴f（x）的最小正周期T=．（2）上时，易得，于是，即2≤f（x）≤3，∴当时，f（x）max=3；当时，f（x）min=2．故得f（x）在区间上的最大值为3，最小值为2．19．（12分）已知D为△ABC的边BC上一点，且AB：BC：CA=1：：1．（1）求角A的大小；（2）若△ABC的面积为，且∠ADC=45°，求BD的长．【解答】解：设AB：BC：CA=1：：1=k，则AB=AC=k，BC=k，（1）由余弦定理得：cosA===﹣，∵A为三角形的内角，∴A=120°；（2）∵AB=CA，∠A=120°，∴∠B=∠C=30°，∴∠BAD=15°，∵S=AB•AC•sin120°=，△ABC∴AB=AC=2，∵sin15°=sin（45°﹣30°）=sin45°cos30°﹣cos45°sin30°=，则由正弦定理=得：BD==﹣1．20．（12分）已知在△ABC中，b（sinB+sinC）=（a﹣c）（sinA+sinC）（其中角A，B，C所对的边分别为a，b，c）且∠A为钝角．（1）求角A的大小；（2）若，求b+c的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由正弦定理得b（b+c）=（a+c）（a﹣c），…3分可得：a2=b2+c2+bc，…4分又a2=b2+c2﹣2bccosA，于是，…5分又A∈（0，π），∴．…6分（Ⅱ）∵，∴，且0，…7分由正弦定理可知，，…8分所以b+c=2RsinB+2RsinC=sinB+sinC，…9分===， (10)分又0，可得：＜C+＜，∴，…12分注：用均值不等式求解更易，，得：，…6分从而：，…10分∴b+c≤1，…11分又，∴．…12分．21．（12分）已知数列{a n}满足：a1=1，a n+1=2a n+1．（1）求证：数列{a n+1}是等比数列；（2）求数列{a n}的通项公式；（3）设，求数列{c n}的前n项和T n的取值范围．【解答】（1）证明：∵a n=2a n+1，∴a n+1+1=2（a n+1），+1∴数列{a n+1}是等比数列．（2）解：由（1）及已知{a n+1}是等比数列，公比q=2，首项为a1+1=2，∴a n+1=2•2n﹣1=2n，∴．（3）解：=﹣，∴=＜1，设f（n）=1﹣，则f（n）是增函数，∴当n=1时，f（n）取得最小值f（1）=．∴T n的取值范围是[，1）．22．（12分）对于无穷数列{x n}和函数f（x），若x n+1=f（x n）（n∈N+），则称f（x）是数列{x n}的母函数．（Ⅰ）定义在R上的函数g（x）满足：对任意α，β∈R，都有g（αβ）=αg（β）+βg（α），且；又数列{a n}满足．（1）求证：f（x）=x+2是数列{2n a n}的母函数；（2）求数列{a n}的前项n和S n．（Ⅱ）已知是数列{b n}的母函数，且b1=2．若数列的前n项和为T n，求证：．【解答】解：（Ⅰ）（1）由题知，且．∴f（x）=x+2是数列{2n a n}的母函数；…3分（2）由（1）知：{2n a n}是首项和公差均为2的等差数列，故．∴①∴②两式相减得：．S n=，∴…6分（Ⅱ）由题知：，b1=2．∴．从而是以为首项，为公比的等比数列，∴…8分又，故当n≥2时⇒…12分。
2019-2020学年四川省成都七中实验学校高一下学期期中考试数学试题Word版含解析
2019-2020学年四川省成都七中实验学校下学期期中考试高一数学试题(时间：120分钟满分：150分)第Ⅰ卷，选择题一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分.每个小题只有一个正确答案.1. 已知，，且，则 ( )A. B. C. D.【答案】A【解析】∵b<a，d<c，∴设b=−1，a=−2，d=2，c=3，选项B,(−2)×3>(−1)×2，不成立，选项C，−2−3>−1−2，不成立，选项D，−2×2>−1×3，不成立，本题选择A选项.2. 若是等差数列，且公差为，则等于（）A. B. C. D.【答案】C【解析】a8=−1−3×7=−22.本题选择C选项.3. 若不等式的解集为，则的值为 ( )A. B. C. D.【答案】B【解析】∵x=-1,是方程ax2+bx+1=0的两根，又,∴a=-3,b=-2.∴a+b=-5.本题选择B选项.点睛：“三个二次”间关系，其实质是抓住二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与横轴的交点、二次不等式ax2＋bx＋c＞0(a≠0)的解集的端点值、二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根是同一个问题．解决与之相关的问题时，可利用函数与方程思想、化归思想将问题转化，结合二次函数的图象来解决．4. 如果依次成等比数列，那么 ( )A. b＝3，＝9B. b＝3，＝－9C. b＝－3，＝9D. b＝－3，＝－9【答案】C【解析】由等比数列的性质可得，，且b与奇数项的符号相同，.本题选择C选项.5. 在△ABC中，已知，，cos A＝－，则sin B等于 ( )A. B. C. D.【答案】A【解析】由正弦定理可得本题选择A选项.点睛：在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围．6. 下列各函数中，最小值为的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】对于A，当x→−∞时，y→−∞，故不对，对于B:若取到最小值，则sinx=2，显然不成立，对于C:4log3x与log x3均不能保证为正数，故对，对于D:y=4e x+e−x⩾4，当且仅当x=−ln2时取等号，本题选择D选项.点睛：在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．7. △ABC中, 三内角所对的边分别是,若，则角A= （）A. B. C. D.【答案】A【解析】.本题选择A选项.8. 《九章算术》中的“两鼠穿墙题”是我国数学的古典名题：“今有垣厚若干尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺.大鼠日自倍，小鼠日自半.问何日相逢，各穿几何?题意是:有两只老鼠从墙的两边打洞穿墙.大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半”如果墙足够厚，为前天两只老鼠打洞长度之和，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】大老鼠、小老鼠每天打洞进度分别构成等比数列，公比分别为2、。
四川省成都七中2018-2019学年高一下学期期中考试数学试题Word版含答案
四川省成都七中2018-2019学年下学期期中考试高一数学试题(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分.每个小题只有一个正确答案. 1.已知a b >，c d >，且0cd ≠，则 ( A )A. a c b d +>+B. ac bd >C. a c b d ->-D. ad bc > 2．若{}na 是等差数列，且11,a=-公差为3-，则8a 等于 （ C ）A ．7-B ．8-C ．22-D ．273．若不等式210ax bx >＋＋的解集为113x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭，则a b +的值为 ( B )A ．5B ．5-C ．6D ．6-4．如果19a b c -，，，，-依次成等比数列，那么 ( C )A ．b ＝3，ac ＝9B ．b ＝3，ac ＝－9 C. b ＝－3，ac ＝9 D ．b ＝－3，ac ＝－9 5.在△ABC 中，已知2b =，3a =，cos A ＝－513，则sin B 等于( A )A. 813B. 913C. 1013D. 11136.下列各函数中，最小值为4的是 （ D ） A.4yx x =+B.4sin (0)sin y x x xπ=+<< C. 34log log 3x y x =+ D. 4xxy e e-=+7. △ABC 中, 三内角A B C 、、所对的边分别是,,a b c ,若22()1a b c bc--= ， 则角A= （ A ） A ．060B ．0120C.030D.01508.《九章算术》中的“两鼠穿墙题”是我国数学的古典名题：“今有垣厚若干尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺.大鼠日自倍，小鼠日自半.问何日相逢，各穿几何?题意是:有两 只老鼠从墙的两边打洞穿墙.大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半”如果墙足够厚，n S 为前n 天两只老鼠打洞长度之和，则5S =（ B ） A. 153116 B. 153216 C. 153316 D. 12629．已知等比数列{}n a 的各项均为不等于1的正数，数列{}n b 满足lg n n b a =，b 3＝18，b 6＝12，则数列{}n b 前n 项和的最大值等于 ( C )A ．126B ．130C ．132D ．13410.已知向量)3,cos 2(2x m =，)2sin ,1(x n =，设函数()f x m n =⋅，则下列关于函数()y f x =的性质的描述正确的是 （ D ）A ．关于直线12x π=对称 B.关于点5,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称 C. 周期为2π D. ()y f x =在,03π⎛⎫-⎪⎝⎭上是增函数 11.某同学在研究性学习中，关于三角形与三角函数知识的应用（约定三内角A B C 、、所对的边分别是,,a b c ）得出如下一些结论：（1）若ABC ∆是钝角三角形，则tan tan tan 0A B C ++>； （2）若ABC ∆是锐角三角形，则cos cos sin sin A B A B +>+； （3）在三角形ABC ∆中，若A<B ，则cos(sin )cos(tan )A B < （4）在ABC ∆中，若23sin ,tan 54B C ==，则A>C>B 其中错误命题的个数是 （ D ）A ．0B ．1C ．2D ．312. 给出下列四个关于数列命题： （1）若{}n a 是等差数列，则三点10(10,)10S 、100(100,)100S 、110(110,)110S共线； （2）若{}n a 是等比数列，则m S 、2m m S S -、32m m S S -(*m N ∈)也是等比数列；（3）等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若对任意的*n N ∈，点()n n S ，均在函数xy b r =+(0,1b b ≠≠，b r 、均为常数)的图象上，则r 的值为1-.（4）对于数列{}n a ，定义数列1{}n n a a -＋为数列{}n a 的“差数列”，若1=2a ，{}n a 的“差数列”的通项为2n，则数列{}n a 的前n 项和nS 122n +=-其中正确命题的个数是 （ B ）A ．4B ．3C ．2D ．1第Ⅱ卷，非选择题二、填空题:本大题4个小题，每小题5分，共20分. 13.求值:44cos 15sin 15-=________.214.在等差数列{a n }中，若a 2＋a 4＋a 6＋a 8＋a 10＝80，则其前11项和为11S 的值为 ________.17615.设正实数,x y 满足2x y xy +=，若222m m x y +<+ 恒成立，则实数m 的取值范围是________.(2,4)-16. 在ABC ∆中，三内角A B C 、、所对的边分别是,,a b c ，若,,a b c 依次成等比，则11sin ()tan tan A A B +的取值范围是________.1,22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭三、解答题：本大题共6个小题,，共70分 17.(本题满分10分)（1）已知等比数列{a n }中，12a =且a 1＋a 2＝6. 求数列{a n }的前n 项和为S n 的值；（2）已知tan 3θ=，求22cos sin 12sin cos θθθθ+--的值.17题解：(1)由已知得⎩⎨⎧a 1＝2，q ＝2，2n n a ⇒=....2分 从而1221)S 2221n n n +-==--（.......5分 （2）22cos sin 1sin cos 2sin cos sin cos θθθθθθθθ+-+=--....2分tan 1tan 1θθ+=- ....4分=2 ....5分18. (本题满分12分)已知函数()2sin cos 21f x x x x =+(x R ∈). (1)化简()f x 并求()f x 的最小正周期；(2)求()f x 在区间[,]42x ππ∈上的最大值和最小值；18解：(1)()sin 221f x x x =+.....2分2sin(2)13x π=-+ .....5分故T π=；......6分 (2)易得22633x πππ≤-≤，.....2分 于是1sin(2)123x π≤-≤，...4分即2()3f x ≤≤，......5分max ()3f x ∴=（当512x π=取得），min ()2f x =（当4x π=时取得.）...6分 19. (本题满分12分)已知：如图示，D 为ABC ∆的边BC 上一点，且::AB BC CA = （1）求角A 的大小；（2）若ABC ∆，且45ADC ∠=︒，求BD 的长.19题解：由已知，设,,AB k AC BC k === … 2分（1）由余弦定理得1cos 2A ==- …4分 0A π<< 0120A ∴= …5分（2）由（1）及已知：030,4515B C ADC BAD ==∠=⇒∠= ….1分在ABC 中01sin12022ABCSAB AC AB AC =⋅=⇒== …3分 在ABD 中由正弦定理得000sin(18045)sin15AB BD=-02sin15sin1351BD BD ⇒=⇒= …5分 …7分初中方法：分割为两个直角三角形也可求解，同样给分.20. (本题满分12分)已知在ABC ∆中，(sin +sin )()(sin sin )b B C a c A C =-+（其中角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ）且B ∠为钝角．（1）求角A 的大小；（2）若a =b c +的取值范围． 20题 解：（Ⅰ）由正弦定理得()()()b b c a c a c -=+- ...3分222+a b c bc ⇒=+ .....4分 2222cos a b c bc A =+-又于是1cos 2A =-....5分又(0,)A ∈π，∴ 23A π=.....6分 （Ⅱ） ∵23A π=∴B+C 3π=且 03C π<< ....1分由正弦定理可知，2R 1sin aA== ...2分 所以2Rsin 2sin sin sin b c B R C B C +=+=+.....3分 sin()sin 3C C π=-+11cos sin sin sin 2222C C C C C =-+=+ sin()3C π=+.....5分又03C π<<， 2333C πππ<+<∴sin()3b c C π+=+⎤∈⎥⎝⎦.....6分注： 用均值不等式求解更易222+a b c bc a =+=由(1)及 2223()4b c bc b c bc =++=+-....1分 从而222223()()()42b c b c bc b c bc b c +=++=+-≥+- ....4分 ∴1b c +≤ .....5分又b c a +>=1b c <+≤ ......6分 21. (本题满分12分)已知数列}{n a 满足：111,21n n a a a +==+. （1）求证：数列}1{+n a 是等比数列； （2）求数列}{n a 的通项公式； （3）设1(1)2n n na c n n +=+，求数列{}n c 的前n 项和T n 的取值范围.21题：（1）证明：1121+121n n n n a a a a ++=+⇒=+（）.....2分数列{1}n a +是等比数列.....3分（其它证法合理也可） （2）解：由（1）及已知{1}n a +是等比数列，公比2q =，1+12a = …1分从而111(1)2n nn a a q -+=+=.....3分所以21nn a =-.....4分（3）解：11(1)2(1)n n n a c n n n n +==++...1分111(1)1n c n n n n ∴==-++.....2分1111111111T +++12233411n n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=---+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭...3分 111n =-+....4分 由于1()11f n n n =-+是关于的增函数1112n T T ∴=≤< ....5分22．（本题满分12分）对于无穷数列{}n x 和函数()f x ，若()()1n n x f x n N ++=∈，则称()f x 是数列{}n x 的母函数. （Ⅰ）定义在R 上的函数()g x 满足：对任意,R αβ∈，都有()()()g g g αβαββα=+，且112g ⎛⎫=⎪⎝⎭；又数列{}n a 满足12n n a g ⎛⎫=⎪⎝⎭. （1）求证：()2f x x =+是数列{}2n n a 的母函数； (2)求数列{}n a 的前项n 和n S . （Ⅱ）已知()201622017x f x x +=+是数列{}n b 的母函数，且12b =.若数列12n n b b ⎧⎫-⎨⎬+⎩⎭的前n 项和为n T ，求证：()()()2510.9925010.9992n n n T n -<<-≥.解：（Ⅰ）(1)由题知1112a g ⎛⎫==⎪⎝⎭，且 1111111111112222222222n n n n n n n a g g g g g ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⋅=+=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 11122n n n a a +⇒=+11222n n n n a a ++⇒=+. ∴()2f x x =+是数列{}2n n a 的母函数；.....3分(2) 由(1) 知：{}2nn a 是首项和公差均为2的等差数列，故11222nn n n a n a n -=⇒=⋅（）.123111111234()()2222n n S n -∴=+⋅+⋅+⋅++⋅（）（） ①2341111112()34()()222222n n S n ∴=+⋅+⋅+⋅++⋅（） ②两式相减得：2311111111121()()()1222222212n n n n n n S n --=+++++-⋅=--（）.222n n +=-1242n n n S -+∴=-. .....6分（Ⅱ）由题知：1201622017n n n b b b ++=+，12b =.()()1120151201821,220172017n n n n n n b b b b b b ++-+∴-=+=++ 11112015220182n n n n b b b b ++--⇒=⋅++.从而12n n b b ⎧⎫-⎨⎬+⎩⎭是以111124b b -=+为首项，20152018为公比的等比数列 ∴1112015242018n n n b b --=+（） ...8分 又20150.990.9992018<< ()111111201510.990.999242420184n n n n n b n b ----⇒⨯<=<⨯≥+（） 故当2n ≥时1111110.990.99944n n i i n i i T --==<<∑∑110.99110.999410.99410.999n n n T --⇒⋅<<⋅-- ⇒()()()2510.9925010.9992n n n T n -<<-≥. ...12分强调：到步给分，不再细化给分。
四川省成都七中实验学校2016-2017学年高一下学期期中数学试卷+Word版含解析
2016-2017学年四川省成都七中实验学校高一（下）期中数学试卷一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分.每个小题只有一个正确答案. 1．已知a＞b，c＞d，且cd≠0，则（）A．ad＞bc B．ac＞bd C．a﹣c＞b﹣d D．a+c＞b+d2．若{a n}是等差数列，且a1=﹣1，公差为﹣3，则a8等于（）A．﹣7 B．﹣8 C．﹣22 D．273．二次不等式ax2+bx+1＞0的解集为{x|﹣1＜x＜}，则a+b的值为（）A．﹣6 B．6 C．﹣5 D．54．如果﹣1，a，b，c，﹣9成等比数列，那么（）A．b=3，ac=9 B．b=﹣3，ac=9 C．b=3，ac=﹣9 D．b=﹣3，ac=﹣95．在△ABC中，已知b=2，a=3，cos A=﹣，则sin B等于（）A．B．C．D．6．下列各函数中，最小值为4的是（）A．B．C．y=4log3x+log x3 D．y=4e x+e﹣x7．△ABC的三个内角，A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则A=（）A．30°B．60°C．120° D．150°8．《九章算术》中的“两鼠穿墙题”是我国数学的古典名题：“今有垣厚若干尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺．大鼠日自倍，小鼠日自半．问何日相逢，各穿几何？题意是：有两只老鼠从墙的两边打洞穿墙．大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半”如果墙足够厚，S n为前n 天两只老鼠打洞长度之和，则S5=（）A．B．C．D．9．已知等比数列{a n}的各项均为不等于1的正数，数列{b n}满足b n=lga n，b3=18，b6=12，则数列{b n}前n项和的最大值等于（）A．126 B．130 C．132 D．13410．已知向量=（2cos2x，），=（1，sin2x），设函数，则下列关于函数y=f（x）的性质的描述正确的是（）A．关于直线对称B．关于点对称C．周期为2πD．y=f（x）在上是增函数11．某同学在研究性学习中，关于三角形与三角函数知识的应用（约定三内角A、B、C所对的边分别是a，b，c）得出如下一些结论：（1）若△ABC是钝角三角形，则tanA+tanB+tanC＞0；（2）若△ABC是锐角三角形，则cosA+cosB＞sinA+sinB；（3）在三角形△ABC中，若A＜B，则cos（sinA）＜cos（tanB）（4）在△ABC中，若，则A＞C＞B其中错误命题的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．312．给出下列四个关于数列命题：（1）若{a n}是等差数列，则三点、、共线；（2）若{a n}是等比数列，则S m、S2m﹣S m、S3m﹣S2m（m∈N*）也是等比数列；（3）等比数列{a n}的前n项和为S n，若对任意的n∈N*，点（n，S n）均在函数y=b x+r（b≠0，b≠1，b、r均为常数）的图象上，则r的值为﹣1．（4）对于数列{a n}，定义数列{a n﹣a n}为数列{a n}的“差数列”，若a1=2，{a n}+1的“差数列”的通项为2n，则数列{a n}的前n项和S n=2n+1﹣2其中正确命题的个数是（）A．4 B．3 C．2 D．1二、填空题：本大题4个小题，每小题5分，共20分.13．求值：cos415°﹣sin415°=．14．在等差数列{a n}中，若a2+a4+a6+a8+a10=80，则S11的值为．15．设正实数x，y满足x+2y=xy，若m2+2m＜x+2y恒成立，则实数m的取值范围是．16．在△ABC中，a，b，c是角A，B，C所对应边，且a，b，c成等比数列，则sinA（+）的取值范围是．三、解答题：本大题共6个小题，共70分17．（1）已知等比数列{a n}中，a1=2且a1+a2=6．求数列{a n}的前n项和S n的值；（2）已知tanθ=3，求的值．18．已知函数（x∈R）．（1）化简f（x）并求f（x）的最小正周期；（2）求f（x）在区间上的最大值和最小值．19．已知D为△ABC的边BC上一点，且AB：BC：CA=1：：1．（1）求角A的大小；（2）若△ABC的面积为，且∠ADC=45°，求BD的长．20．已知在△ABC中，b（sinB+sinC）=（a﹣c）（sinA+sinC）（其中角A，B，C所对的边分别为a，b，c）且∠B为钝角．（1）求角A的大小；（2）若，求b+c的取值范围．=2a n+1．21．已知数列{a n}满足：a1=1，a n+1（1）求证：数列{a n+1}是等比数列；（2）求数列{a n}的通项公式；（3）设，求数列{c n}的前n项和T n的取值范围．22．对于无穷数列{x n}和函数f（x），若x n=f（x n）（n∈N+），则称f（x）是数列+1{x n}的母函数．（Ⅰ）定义在R上的函数g（x）满足：对任意α，β∈R，都有g（αβ）=αg（β）+βg（α），且；又数列{a n}满足．（1）求证：f（x）=x+2是数列{2n a n}的母函数；（2）求数列{a n}的前项n和S n．（Ⅱ）已知是数列{b n}的母函数，且b1=2．若数列的前n项和为T n，求证：．2016-2017学年四川省成都七中实验学校高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分.每个小题只有一个正确答案. 1．已知a＞b，c＞d，且cd≠0，则（）A．ad＞bc B．ac＞bd C．a﹣c＞b﹣d D．a+c＞b+d【考点】R3：不等式的基本性质．【分析】由题意可得a﹣b＞0，c﹣d＞0，从而得到a﹣b+c﹣d＞0，故有a+c＞b+d，由此得到结论．【解答】解：∵a＞b，c＞d，且cd≠0，∴a﹣b＞0，c﹣d＞0，由不等式的性质可得a﹣b+c﹣d＞0，a+c＞b+d，故选D．2．若{a n}是等差数列，且a1=﹣1，公差为﹣3，则a8等于（）A．﹣7 B．﹣8 C．﹣22 D．27【考点】84：等差数列的通项公式．【分析】利用等差数列的通项公式即可得出．【解答】解：a8=﹣1﹣3×7=﹣22．故选：C．3．二次不等式ax2+bx+1＞0的解集为{x|﹣1＜x＜}，则a+b的值为（）A．﹣6 B．6 C．﹣5 D．5【考点】74：一元二次不等式的解法．【分析】利用一元二次不等式的解集与相应的一元二次方程的实数根的关系即可求出．【解答】解：∵二次不等式ax2+bx+1＞0的解集为{x|﹣1＜x＜}，∴﹣1，是方程ax2+bx+1=0的两个实数根，且a＜0．∴，解得，∴a+b=﹣5．故选C．4．如果﹣1，a，b，c，﹣9成等比数列，那么（）A．b=3，ac=9 B．b=﹣3，ac=9 C．b=3，ac=﹣9 D．b=﹣3，ac=﹣9【考点】87：等比数列．【分析】由等比数列的等比中项来求解．【解答】解：由等比数列的性质可得ac=（﹣1）×（﹣9）=9，b×b=9且b与奇数项的符号相同，∴b=﹣3，故选B5．在△ABC中，已知b=2，a=3，cos A=﹣，则sin B等于（）A．B．C．D．【考点】HP：正弦定理．【分析】根据正弦定理和同角的三角函数即可求出．【解答】解：∵cos A=﹣，∴sinA==，∵b=2，a=3，由正弦定理可得sinB==×=，故选：A6．下列各函数中，最小值为4的是（）A．B．C．y=4log3x+log x3 D．y=4e x+e﹣x【考点】7F：基本不等式．【分析】根据基本应用条件，一正二定三相等，即可判断【解答】解：对于A，当x→﹣∞时，y→﹣∞，故不对，对于B：若取到最小值，则sinx=2，显然不成立，对于C：4log3x与log x3均不能保证为正数，故对，对于D：y=4e x+e﹣x≥4，当且仅当x=﹣ln2时取等号，故选：D7．△ABC的三个内角，A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则A=（）A．30°B．60°C．120° D．150°【考点】HR：余弦定理．【分析】利用余弦定理表示出cosA，将已知的等式变形后代入求出cosA的值，由A为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数．【解答】解：∵==1，∴a2﹣b2﹣c2=﹣bc，即b2+c2﹣a2=bc，∴cosA===，又A为三角形的内角，则A=60°．故选B8．《九章算术》中的“两鼠穿墙题”是我国数学的古典名题：“今有垣厚若干尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺．大鼠日自倍，小鼠日自半．问何日相逢，各穿几何？题意是：有两只老鼠从墙的两边打洞穿墙．大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半”如果墙足够厚，S n为前n 天两只老鼠打洞长度之和，则S5=（）A．B．C．D．【考点】85：等差数列的前n项和．【分析】由题意可知：大老鼠每天打洞的距离是以1为首项，以2为公比的等比数列；小老鼠每天打洞的距离是以1为首项，以为公比的等比数列．利用等比数列的求和公式即可得出．【解答】解：由题意可知：大老鼠每天打洞的距离是以1为首项，以2为公比的等比数列，前n天打洞之和为=2n﹣1，同理，小老鼠每天打洞的距离=2﹣，∴S n=2n﹣1+2﹣，∴S5=25+1﹣=32．故选：B．9．已知等比数列{a n}的各项均为不等于1的正数，数列{b n}满足b n=lga n，b3=18，b6=12，则数列{b n}前n项和的最大值等于（）A．126 B．130 C．132 D．134【考点】8G：等比数列的性质；89：等比数列的前n项和．【分析】由题意可知，lga3=b3，lga6=b6再由b3，b6，用a1和q表示出a3和b6，进而求得q和a1，根据{a n}为正项等比数列推知{b n}为等差数列，进而得出数列b n的通项公式和前n项和，可知S n的表达式为一元二次函数，根据其单调性进而求得S n的最大值．【解答】解：由题意可知，lga3=b3，lga6=b6．又∵b3=18，b6=12，则a1q2=1018，a1q5=1012，∴q3=10﹣6．即q=10﹣2，∴a1=1022．又∵{a n}为正项等比数列，∴{b n}为等差数列，且d=﹣2，b1=22．故b n=22+（n﹣1）×（﹣2）=﹣2n+24．∴S n=22n+×（﹣2）=﹣n2+23n=+．又∵n∈N*，故n=11或12时，（S n）max=132．10．已知向量=（2cos2x，），=（1，sin2x），设函数，则下列关于函数y=f（x）的性质的描述正确的是（）A．关于直线对称B．关于点对称C．周期为2πD．y=f（x）在上是增函数【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】利用三角恒等变换化简f（x）的解析式，根据正弦函数的性质判断．【解答】解：f（x）=2cos2x+sin2x=cos2x+sin2x+1=2sin（2x+）+1，当x=时，sin（2x+）=sin≠±1，∴f（x）不关于直线x=对称；当x=时，2sin（2x+）+1=1，∴f（x）关于点（，1）对称；f（x）得周期T==π，当x∈时，2x+∈（﹣，），∴f（x）在在上是增函数．故选D．11．某同学在研究性学习中，关于三角形与三角函数知识的应用（约定三内角A、B、C所对的边分别是a，b，c）得出如下一些结论：（1）若△ABC是钝角三角形，则tanA+tanB+tanC＞0；（2）若△ABC是锐角三角形，则cosA+cosB＞sinA+sinB；（3）在三角形△ABC中，若A＜B，则cos（sinA）＜cos（tanB）（4）在△ABC中，若，则A＞C＞B其中错误命题的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3【考点】GR：两角和与差的正切函数．【分析】（1）利用正切的和角公式变形形式tanA+tanB=tan（A+B）（1﹣tanAtanB）化简整理．（2）根据三角形是锐角三角形，得到A+B＞90°，变形为B＞90°﹣A，根据三角函数在第一象限的单调性，得到cosB＜sinA，sinB＞cosA，即可得解；（3）当B=时，不等式不成立；（4）根据sinB=，讨论B为锐角或钝角，利用特殊角的三角函数值及正弦函数的增减性确定出B的范围；根据tan C=可知C为锐角，根据正切函数的增减性和特殊角的三角函数值得到角C的范围，再根据内角和定理得到A的范围即可比较大小．【解答】解：（1）∵tanA+tanB=tan（A+B）（1﹣tanAtanB），∴tanA+tanB+tanC=tan（A+B）（1﹣tanAtanB）+tanC=tanAtanBtanC，∴△ABC是钝角三角形，可得：tanAtanBtanC＜0，故错误；（2）∵△ABC为锐角三角形，∴A+B＞90°，B＞90°﹣A，∴cosB＜sinA，sinB＞cosA，∴cosB﹣sinA＜0，sinB﹣cosA＞0，∴cosB﹣sinA＜sinB﹣cosA，可得cosA+cosB＜sinA+sinB，故错误；（3）当B=时，tanB不存在，故错误；（4）由tanC=得到0＜C＜90°，且tan30°=＜＜1=tan45°，因为正切函数在（0，90°）为增函数，所以得到30°＜C＜45°；由sinB=可得到0＜B＜90°或90°＜B＜180°，在0＜B＜90°时，sin30°=＞，因为正弦函数在（0，90°）为增函数，得到0＜B＜30°；在90°＜B＜180°时，sin150°=＞，但是正弦函数在90°＜B＜180°为减函数，得到B＞150°，则B+C＞180°，矛盾，不成立．所以0＜B＜30°．由B和C的取值得到A为钝角，所以A＞C＞B，故正确；故选：D．12．给出下列四个关于数列命题：（1）若{a n}是等差数列，则三点、、共线；（2）若{a n}是等比数列，则S m、S2m﹣S m、S3m﹣S2m（m∈N*）也是等比数列；（3）等比数列{a n}的前n项和为S n，若对任意的n∈N*，点（n，S n）均在函数y=b x+r（b≠0，b≠1，b、r均为常数）的图象上，则r的值为﹣1．﹣a n}为数列{a n}的“差数列”，若a1=2，{a n}（4）对于数列{a n}，定义数列{a n+1的“差数列”的通项为2n，则数列{a n}的前n项和S n=2n+1﹣2其中正确命题的个数是（）A．4 B．3 C．2 D．1【考点】8G：等比数列的性质；8F：等差数列的性质．【分析】通过判断{}是否为等差数列判断（1）；令公比为﹣1判断（2）；通过计算a n判断（3）；累加法计算a n得出通项公式，通过求和公式计算判断（4）．【解答】解：（1）若{a n}是等差数列，则S n=na1+，∴=a1﹣+n，即是关于n的一次函数，∴{}是等差数列，∴三点、、共线，故（1）正确；（2）若{a n}是公比为﹣1的等比数列，当m为偶数时，有S m=S2m=S3m=0，显然结论错误；故（2）错误；（3）S n=b n+r，当n=1时，a1=S1=b+r，当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=b n+r﹣（b n﹣1+r）=b n﹣b n﹣1=（b﹣1）b n﹣1，又因为{a n}为等比数列，所以r=﹣1，故（3）正确；（4）n=1时，a1=2；当n≥2时，a n=（a n﹣a n﹣1）+（a n﹣1﹣a n﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1=2n﹣1+2n﹣2+…+2+2=2+=2n；∴S n==2n+1﹣2，故（4）正确．故选：B．二、填空题：本大题4个小题，每小题5分，共20分.13．求值：cos415°﹣sin415°=．【考点】GI：三角函数的化简求值．【分析】利用平方差公式，二倍角的余弦公式，求得所给式子的值．【解答】解：cos415°﹣sin415°=（cos215°+sin215°）•（cos215°﹣sin215°）=cos215°﹣sin215°=cos30°=，故答案为：．14．在等差数列{a n}中，若a2+a4+a6+a8+a10=80，则S11的值为176．【考点】8F：等差数列的性质．【分析】由a2+a4+a6+a8+a10=80，利用等差数列的性质，可得a6=16，利用S11==11a6，可得结论．【解答】解：∵等差数列{a n}中，若a2+a4+a6+a8+a10=80，∵a2+a10=2a6，a4+a8=2a6，∴5a6=80，∴a6=16，∴S11==11a6=176．故答案为：176．15．设正实数x，y满足x+2y=xy，若m2+2m＜x+2y恒成立，则实数m的取值范围是（﹣2，4）．【考点】7F：基本不等式．【分析】根据题意，把x+2y=xy化为+=1，利用基本不等式求出x+2y的最小值，再转化不等式m2﹣2m＜x+2y，求解关于m的不等式即可．【解答】解：正实数x，y满足x+2y=xy，∴+=1，∴x+2y=（x+2y）（+）=2+2++≥4+2=8，当且仅当x=2y，即x=4，y=2时等号成立．不等式m2﹣2m＜x+2y恒成立，即m2﹣2m＜8恒成立，解得﹣2＜m＜4；∴实数m的取值范围是（﹣2，4）．故答案为：（﹣2，4）．16．在△ABC中，a，b，c是角A，B，C所对应边，且a，b，c成等比数列，则sinA（+）的取值范围是（，）．【考点】GL：三角函数中的恒等变换应用；HR：余弦定理．【分析】设a，b，c分别为a，aq，aq2．则有⇒⇒．化简sinA（+）=q即可【解答】解：∵△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，∵a，b，c成等比数列，sin2B=sinAsinB设a，b，c分别为a，aq，aq2．则有⇒⇒．sinA（）=sinA（）=sinA=∴sinA（+）的取值范围是：（，）三、解答题：本大题共6个小题，共70分17．（1）已知等比数列{a n}中，a1=2且a1+a2=6．求数列{a n}的前n项和S n的值；（2）已知tanθ=3，求的值．【考点】GH：同角三角函数基本关系的运用；89：等比数列的前n项和．【分析】（1）由已知利用等比数列的通项公式、前n项和公式求得数列{a n}的前n项和为S n的值．（2）利用同角三角函数的基本关系、二倍角公式，求得要求式子的值．【解答】解：（1）设等比数列{a n}的公比为q，由已知得a1=2，且a1+a2=2+2q=6，∴q=2，∴a n=2n．从而，S n==2n+1﹣2．（2）∵tanθ=3，∴==2．18．已知函数（x∈R）．（1）化简f（x）并求f（x）的最小正周期；（2）求f（x）在区间上的最大值和最小值．【考点】GL：三角函数中的恒等变换应用；H2：正弦函数的图象．【分析】（1）利用二倍角和辅助角公式基本公式将函数化为y=Asin（ωx+φ）的形式，再利用周期公式求函数的最小正周期，（2）上时，求出内层函数的取值范围，结合三角函数的图象和性质，求出f（x）的最大值和最小值．【解答】解：函数（x∈R）．化简可得：=．∴f（x）的最小正周期T=．（2）上时，易得，于是，即2≤f（x）≤3，∴当时，f（x）max=3；当时，f（x）min=2．故得f（x）在区间上的最大值为3，最小值为2．19．已知D为△ABC的边BC上一点，且AB：BC：CA=1：：1．（1）求角A的大小；（2）若△ABC的面积为，且∠ADC=45°，求BD的长．【考点】HR：余弦定理；HP：正弦定理．【分析】设三边之比为k，表示出三边长，（1）利用余弦定理表示出cosA，将三边长代入求出cosA的值，由A为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数；（2）利用三角形的面积公式列出关系式，将已知面积与sinA的值代入求出AB 的值，在三角形ABD中，利用正弦定理即可求出BD的长．【解答】解：设AB：BC：CA=1：：1=k，则AB=AC=k，BC=k，（1）由余弦定理得：cosA===﹣，∵A为三角形的内角，∴A=120°；（2）∵AB=CA，∠A=120°，∴∠B=∠C=30°，∴∠BAD=15°，=AB•AC•sin120°=，∵S△ABC∴AB=AC=2，∵sin15°=sin（45°﹣30°）=sin45°cos30°﹣cos45°sin30°=，则由正弦定理=得：BD==﹣1．20．已知在△ABC中，b（sinB+sinC）=（a﹣c）（sinA+sinC）（其中角A，B，C所对的边分别为a，b，c）且∠B为钝角．（1）求角A的大小；（2）若，求b+c的取值范围．【考点】HP：正弦定理；HR：余弦定理．【分析】（Ⅰ）由已知及正弦定理，余弦定理可求，结合范围A∈（0，π），可求A的值．（Ⅱ）由正弦定理可知，利用三角函数恒等变换的应用化简可求b+c=，又0，可得范围＜C+＜，由正弦函数的图象和性质可求取值范围．（另可用均值不等式求解）【解答】解：（Ⅰ）由正弦定理得b（b﹣c）=（a+c）（a﹣c），…3分可得：a2=b2+c2+bc，…4分又a2=b2+c2﹣2bccosA，于是，…5分又A∈（0，π），∴．…6分（Ⅱ）∵，∴，且0，…7分由正弦定理可知，，…8分所以b+c=2RsinB+2RsinC=sinB+sinC，…9分===， (10)分又0，可得：＜C+＜，∴，…12分注：用均值不等式求解更易，，得：，…6分从而：，…10分∴b+c≤1，…11分又，∴．…12分．21．已知数列{a n}满足：a1=1，a n+1=2a n+1．（1）求证：数列{a n+1}是等比数列；（2）求数列{a n}的通项公式；（3）设，求数列{c n}的前n项和T n的取值范围．【考点】8E：数列的求和；88：等比数列的通项公式；8H：数列递推式．【分析】（1）递推式两边同时加1即可得出结论；（2）根据（1）的结论求出a n+1，从而得出a n；（3）使用裂项法求和，判定T n的单调性得出范围．【解答】（1）证明：∵a n+1=2a n+1，∴a n+1+1=2（a n+1），∴数列{a n+1}是等比数列．（2）解：由（1）及已知{a n+1}是等比数列，公比q=2，首项为a1+1=2，∴a n+1=2•2n﹣1=2n，∴．（3）解：=﹣，∴=＜1，设f（n）=1﹣，则f（n）是增函数，∴当n=1时，f（n）取得最小值f（1）=．∴T n的取值范围是[，1）．22．对于无穷数列{x n}和函数f（x），若x n=f（x n）（n∈N+），则称f（x）是数列+1{x n}的母函数．（Ⅰ）定义在R上的函数g（x）满足：对任意α，β∈R，都有g（αβ）=αg（β）+βg（α），且；又数列{a n}满足．（1）求证：f（x）=x+2是数列{2n a n}的母函数；（2）求数列{a n}的前项n和S n．（Ⅱ）已知是数列{b n}的母函数，且b1=2．若数列的前n项和为T n，求证：．【考点】8E：数列的求和；8H：数列递推式．【分析】（I）（1）对任意α，β∈R，都有g（αβ）=αg（β）+βg（α），且；可得：，又数列{a n}满足．代入即可证明．（2）由（1）知：{2n a n}是首项和公差均为2的等差数列，故．利用错位相减法、等比数列的求和公式即可得出．（II））由题知：，b1=2．代入变形．即可证明是以为首项，为公比的等比数列．【解答】解：（Ⅰ）（1）由题知，且．∴f（x）=x+2是数列{2n a n}的母函数；…3分（2）由（1）知：{2n a n}是首项和公差均为2的等差数列，故．∴①∴②两式相减得：．S n=，∴…6分（Ⅱ）由题知：，b1=2．∴．从而是以为首项，为公比的等比数列，∴…8分又，故当n≥2时⇒…12分2017年6月14日。
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一、选择题(本大题共10题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的) 1. sin 75=( )
A. 624-
B. 622-
C.624+
D.62
2+ 2. 数列, (815)
,274,93,32--的一个通项公式是( )
A. n n n 31)1(+-
B. n n n 31)1(1+-+
C. 1
3)1(+-n n n D. 1(1)
3n n n +- 3. 已知(2,1),(,2),a b x ==-若a b ⊥，则x =( )
A. 4-
B. 1-
C. 1
D. 4
4. 已知1sin 3α=-，且3(,)2
π
απ∈，则sin2α=( )
A. 22
9
-
B. 229
C. 429-
D. 429
5. D 是ABC ∆的边AB 的中点,则向量CD =( )
A. BA CB 21+
B. BA CB 21-
C. BA BC 21-
D. BA BC 2
1
+ 6. 在ABC ∆中,c b a ,,分别为角A,B,C 的对边, 若1a =，63
b =，60A =，则B =( )
A. 135
B. 45
C. 45或135
D. 无法确定
7. tan 20tan 403tan 20tan 40++⋅=( )
33138. 若,5
4
cos )cos(sin )sin(=---ββαββα且α为第二象限角,则tan(2)α=( )
A. 247-
B. 2425-
C. 247
D. 24
25
9. 在ABC ∆中,c b a ,,分别为角A ,B ,C 的对边,若a
c a B 22cos 2+=.则ABC ∆的形状为( )
A. 直角三角形
B. 正三角形
C. 等腰三角形
D. 等腰三角形或直角三角形
10. βα,均为锐角,且,2
1
cos cos ,2
1sin sin =
--=-βαβα则)tan(βα-的值为( ) A . 37 B. 37- C. 37± D. 3
7
5-
二、填空题(本大题共5题，每小题5分，共25分)
11. 数列{}n a 满足132n n a a -=+，10a =，则3a = .
12. ABC ∆的内角,,A B C 满足：B 是A 与C 的等差中项，则B = . 13. 己知(1,3),(2,2),a b =-=-则()()a b a b ⋅+= . 14. 已知α为锐角,,53)6cos(=+π
α则=+)12
2cos(π
α . 15. 给出下列命题:
①若0,a ≠则由c b =能推出c a b a ⋅=⋅,由c a b a ⋅=⋅也能推出c b =.
② 在ABC ∆中,则由B A >能推出B A sin sin >,由B A sin sin >也能推出B A >. ③已知(3,4),(0,1),a b ==-则a 与b 的夹角的正弦值为
5
3
. ④函数x x x f 4
4
cos sin )(+=的最小正周期为π.
其中正确命题的序号是 (请将所有正确命题的序号都填上).
三、解答题(本大题共6题，16~19题每题12分，20题13分，21题14分，共75分. 解
答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
16. 等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，前n 项和为n S ，且满足27323a a a =-=， (1)求1a 和d 的值；
(2)若100n S =，求n 的值.
17. 若25sin()2
β
α-
=
，10cos()2αβ-=，且2παπ<<，02
πβ-<<，求
cos(
)2
αβ
+
的值.
18. 已知||2a =，||3b =，a 与b 的夹角为120， (1)求|2|a b +的值；
(2)求2a b +在a 方向上的投影.
19. 已知(2cos ,sin )a x x =，(cos ,sin 3)b x x x =，设函数()f x a b =⋅，
(1)求()f x 图象的对称轴方程； (2)求()f x 在5[,]12
π
π上的最大值和最小值.
20. 在ABC ∆中，有2=32ABC S BA BC ∆-⋅= (1)求角B 的大小；
(2)求2
sin()sin()AC A B B C ++的值； (3)若2BD BC =，求2
AD 的最小值.
21. 在ABC ∆所在平面上，有cos sin n n
n AP AB AC αα=+，其中n N +∈，(0,)2
π
α∈，
且令cos sin n n n λαα=+， (1)若12//AP AP ，求α的值；
(2)若n P 在ABC ∆内部，求n 的取值范围；
(3)若321(1)m m λλλ=+-，求实数m 的取值范围.
成都七中高2013级2013-2014学年度下期数学半期考试
参考答案
（注：每道题号前面的红色序号表示该题在得分明细表中填写的对应位置。
）
一、选择题
二、填空题
【题11】 11．8
【题12】 12.
【题13】 13. (-24,40)
【题14】 14.
【题15】 15. ②③
三、解答题
16. 解：
【题16】 (1) 数列的通项公式，
………………………………………………………2分
. …………………………………………………………………………6分【题17】
(2)………………………………………………………8分
. ……………………………12分【题18】 17. 解：
由，，知.
又由，知，则. …………………………2分
由，知. …………………………………………………4分由，，知.
又由，知，则. ……………………………6分
由，知. …………………………………………………8分
则
……………………10分
. …………………………………………12分
18. 解：
【题19】(1)
…………………………………………………………2分
. ……………………………………………………………………………………6分
19. 解：
【题21】(1)
…………………………………………………2分
. …………………………………………………………4分
由，得
函数的对称轴方
程:. …………………………………………………6分
【题22】(2)令，由得，
函数在上单增，在上单减， (7)
分
当，即时取最大值，
故
………………………………………………………………………………8分
………………………………………………………………………………9分
又
，……………………………………………………………………………10分
函数在，即时取最小值，
故
………………………………………………………………………………11分
………………………………………………………………………………12分
20. 解：
【题23】 (1) 设角的对边分别为，有
，则
，……………………………………………………2分
解得，，即
. ………………………………………………………4分
【题24】(2)由正弦定理，得，，则
……………………6分
. (8)
分
【题25】(3)在⊿ABD中，，由余弦定理，得
………………………………………………………10分
，
当，且，即，时，
的最小值为
. ………………………………………………………………………13分21. 解：
【题26】(1)由，得，即
，有，即，解之，得. ………………3分
【题27】 (2)，
令，
由，可知在线段上(不含端点)，
而，若在内部，必有，又数列是递减数列，则
，且，……………………………………………………………………………6分
故当时，满足题设. ……………………………………………………………………………………8分
【题28】(3)
，………………………………………………………10分。