动力学第十三章

动力学

第十三章达朗伯原理

达朗伯原理是一种解决非自由质点和质点系动力学问题的普遍方法。这种方法是用静力学中研究平衡问题的方法来研究动力学问题，因此又称为动静法。

本章介绍达朗伯原理和定轴转动刚体的轴承动反力，以及静平衡和动平衡的概念。第一节达朗伯原理

一、质点惯性力的概念

当质点受到其他物体作用而使运动状态发生变化时，由于质点本身的惯性，对施力物体产生反作用力，这种反作用力称为质点的惯性力。惯性力的大小等于质点的质量与其加速度的乘积，方向与加速度的方向相反，但作用于施力物体上。若用F I表示惯性力，则。

例如，工人沿光滑的水平直线轨道推动质量为m的小车，作用力为F，小车在力的方向上产生加速度a，有。根据作用反作用定律，此时工人手上必受到小车的反作用力F I，此力是由于小车具有惯性，力图保持其原来的运动状态，对手进行反抗而产生的，即小车的惯性力，有。

二、质点的达朗伯原理

设质量为m的质点M，受主动力F和约束反力F N的作用，沿曲线运动，产生加速度a，如图13-1所示。根据牛顿第二定律，有

此时质点由于运动状态发生改变，它的惯性力为

将以上两式相加，得

(13-1)

上式表明：任一瞬时，作用于质点上的主动力、约束反力和虚加在质点上的惯性力在形式上组成平衡力系。这就是质点的达朗伯原理。

图13-1

必须指出：由于质点的惯性力并不作用于质点本身，而是假想地虚加在质点上的，质点实际上也并不平衡。式(13-1)反映了力与运动的关系，实质上仍然是动力学问题，但它提供了将动力学问题转化为静力学平衡问题的研究方法。这种方法对求解质点的动力学问题并未带来明显的方便，但在研究方法上显然是个新的突破，而且，它对求解非自由质点系的动力学问题是十分有益的。

三、质点系的达朗伯原理

设有n个质点组成的非自由质点系，取其中任意一质量为m i的质点M i，在该质点上作用有主动力F i，约束反力F Ni，其加速度为a i。根据质点的达朗伯原理，如在质点M i上假想地加上惯性力，则F i、F Ni和F Ii构成一平衡力系，有

对质点系的每个质点都作这样的处理，则作用于整个质点系的主动力系、约束力系和惯性力系组成一空间力系，此时力系的主矢和力系向任一点O简化的主矩都等于零，即

(13-2)

上式表明：任一瞬时，作用于质点系上的主动力系、约束力系和虚加在质点系上惯性力系在形式上构成一平衡力系。这就是质点系的达朗伯原理。

如果将力系按外力系和内力系划分，用和分别表示质点系外力系主矢和内力系主矢；和分别表示质点系外力系和内力系对任一点O的主矩，由于质点系内力系的主矢和主矩均等于零，故式(13-2)可以改写为

（13-3）

上式表明：任一瞬时，作用于质点系上的外力系和虚加在质点系上的惯性力系在形式上构成一平衡力系。

第二节刚体惯性力系的简化

应用达朗伯原理解决质点系的动力学问题时，从理论上讲，在每个质点上虚加上惯性力是可行的。但质点系中质点很多时计算非常困难，对于由无穷多质点组成的刚体更是不可能。因此，对于刚体动力学问题，一般先用力系简化理论将刚体上的惯性力系加以简化，然后将惯性力系的简化结果直接虚加在刚体上。

下面仅就刚体作平动、定轴转动和平面运动三种情况，来研究惯性力系的简化。

一、刚体作平动

刚体平动时，刚体上各点的加速度都相同，惯性力系构成一个同向空间平行力系。如图13-4所示，将此惯性力系向刚体的质心C简化，得惯性力系的主矢为

即

(13-4)

图13-4

惯性力系对质心C的主矩为

式中r i为质点Mi相对于质心C的矢径，由质心矢径表达式(3-25)知

式中r c为质心的矢径，由于质心C为简化中心，r c=0 ，于是有

上述结果表明：刚体作平动时，惯性力系简化的结果为一个通过质心的合力F IR，其大小等于刚体的质量与质心加速度的乘积，方向与质心加速度的方向相反。

二、刚体作定轴转动

仅讨论工程中常见的比较简单的情况。设刚体具有质量对称平面，且转轴垂直于质量对称平面。先将惯性力系简化为在质量对称平面内的平面力系，再将它向平面与转轴的交点O简化，如图13-5所示。

图13-5

先研究惯性力系的主矢。设刚体内任一质点M i的质量为m i，加速度为a i，刚体的总质量为m，质心的加速度为a C，则惯性力系的主矢为

由质心公式

对时间求两阶导数，可得

故有

(13-5)

再研究惯性力系对坐标原点O的主矩。由于刚体转动时任一质点M i的惯性力F Ii可以分解为切向惯性力F Iiτ和法向惯性力F Ii n，如图13-5所示。故惯性力系对O点的主矩为

即

(13-6)

式中Jz为刚体对通过点O的转轴z的转动惯量，α为刚体转动的角加速度，负号表示主矩与a转向相反。

上述结果表明：刚体绕垂直于质量对称平面的转轴转动时，惯性力系向转轴与对称面的交点O简化的结果为一个主矢和主矩。主矢的大小等于刚体的质量与质心加速度的乘积，方向与质心加速度的方向相反；主矩的大小等于刚体对转轴的转动惯量与角加速度的乘积，转向与角加速度的转向相反。

下面讨论几种特殊情况：

1．刚体转轴不通过质心，作匀速转动

如图13-6a所示，由于角加速度α=0，故，因而惯性力系简化为一通过O 点的法向惯性力，大小等于，方向与质心法向加速度方向相反，其作用线通过质心C。

2．刚体绕质心轴转动，角加速度α≠０

如图13-6b所示，由于质心加速度a C=0，此时，惯性力系仅简化为一个力偶，其力偶矩。

图13-6

3. 刚体绕质心轴匀速转动

如图13-6c所示，由于a C=0，α=0，惯性力系向O点简化的主矢和主矩都等于零。