用Matlab观察分岔与混沌现象
matlab迭代。混沌,原因,分叉 Microsoft Word 文档
问题与实验3: 一元线性迭代的收敛性条件怎样表述？ 关于迭代法收敛性的两个判别条件： a 、充分必要条件是：矩阵M 的谱半径(){}1,..,2,1max<==n i M iiλρ（）b 、充分条件是：矩阵M 的某个算子范数M<1。
问题与实验4: 在本例中，12<M，这时迭代序列是收敛的，就本例或选择别的例子，按12<M和12≥M构造不同的迭代法，通过实验和比较，并给出你对实验结果的解释（如关于收敛性、收敛速度等），当然这需要你首先知道矩阵范数的概念，并且对它有比较好的理解。
设x 是方程组（5）的解，{}mx 是迭代法（6）生成的任一序列，因为f Mx x +=,f Mxx mm +=+1()()()0221x x Mx x Mx x M x x mm m m -==-=-=--- ,设D = diag (a 11, a 22, …, a nn )，将AX = b 改写为： AX = (D – (D - A )) x = b DX = (D - A ) x + bX = (I – D -1A ) x + D -1b记 B = I – D -1A F = D -1 b 则迭代格式的向量表示为F BX Xk k +=+)()1( Ｂ称为雅克比迭代矩阵。
由此可知要判断X 是否收敛只需看M 的谱半径是否小于1，既有一其中I 是单位i 矩阵，D 是提取A 的对角线上的元素。
下判断条件：充要条件：(1) (){}1,..,2,1max<==n i M iiλρ.(2)充分条件是：矩阵M 的某个算子范数M<1.并且我们知道当M 越小的时候其收敛的速度越快。
并且还可以知道当初始值越接近精确解时收敛速度越快。
这是由于迭代的公式所定的。
下面来看另一个例子：Ｘ１＋２Ｘ２＋－２Ｘ３＝１ Ｘ１＋Ｘ２＋Ｘ３＝１ ２Ｘ１＋２Ｘ２＋Ｘ３＝１雅可比法的迭代矩阵：A=[1 2 -2; 1 1 1; 2 2 1;] b=[1;1;1;] D=diag(diag(A)); LU=D-A; M=D\LU;p=max(abs(eig(M))) f=D\b; x=[]; z=[];x(:,1)=eye(3,1); N=200000000; for i=1:N;if norm(A*x(:,i)-b)<1e-010;m=i;breakelsex(:,i+1)=M*x(:,i)+f;z=x(:,i+1)endendme=norm(A*z-b)plot([1:length(x)],x)title('JACOBI ITERATION OF LINEAR EQUATIONS')A ＝1 2 -21 1 12 2 1b = 1 1 1p = 5.8106e-006(谱范数)可以看出是收敛的z＝1 0 -１z =-1 1 -1z ＝-33 1m ＝４（迭代的次数）e ＝0（误差的估计）图像是：1 1.52 2.53 3.54-3-2-1123JACOBI ITERATION OF LINEAR EQUATIONSA=[9 -1 -1; -1 8 0; -1 0 9;] b=[7;7;8;] D=diag(diag(A)); LU=D-A; M=D\LU;p=max(abs(eig(M))) f=D\b; x=[]; z=[];x(:,1)=eye(3,1);N=200000000;for i=1:N;if norm(A*x(:,i)-b)<1e-010;m=i;breakelsex(:,i+1)=M*x(:,i)+f;z=x(:,i+1)endendme=norm(A*z-b)plot([1:length(x)],x)title('JACOBI ITERATION OF LINEAR EQUATIONS')A = 9 -1 -1-1 8 0-1 0 9b =7 7 8p =0.1620(谱范数)可以看出是收敛,m =16迭代的次数。
基于Matlab的复摆混沌行为研究
毕业论文基于Matlab的复摆混沌行为研究摘要自然界中存在无数的无序、非平衡和随机的复杂系统。
混沌现象出现于非线性系统中，它揭示了有序与无序的统一，确定性与随机性的统一。
混沌运动是非线性动力学系统所特有的复杂运动状态，是一种貌似随机的不规则运动，混沌的发现被誉为继相对论和量子力学后的第三次物理学革命，混沌的研究一直备受学术界的关注。
矚慫润厲钐瘗睞枥庑赖。
Matlab是一个适用于科学计算、工程设计、数值分析等领域的各种计算、演算和仿真分析的高性能的优秀数学软件。
混沌理论研究的是非线性问题，难以用解析式表达，只能采用数值解法，而Matlab在这方面便可展示其强大的潜能。
聞創沟燴鐺險爱氇谴净。
本论文利用了Matlab软件研究经典的混沌现象的特征，并且对混沌的特点以及形成过程进行模拟分析研究；并用Matlab模拟了复摆运动行为及混沌现象，对不同周期作出相图及奇怪吸引子，可以看到随着外驱动力的增加，复摆振动逐渐由倍周期分岔走向混沌。
残骛楼諍锩瀨濟溆塹籟。
关键词：混沌，Matlab，复摆，倍周期分岔，奇怪吸引子THE COMPLEX BEHAVIOR OF CHAOTIC PENDULUM BASED ON MATLAB酽锕极額閉镇桧猪訣锥。
ABSTRACTThere are many disorders, non-equilibrium, random complex systems in the nature. Chaos appears in nonlinear systems, it reveals the unity of order and disorder, certainty and randomness of unity. Chaos is a nonlinear dynamic system unique to the complex state of motion, is a seemingly random, irregular motion, chaos, following the discovery of relativity and quantum mechanics known as the third after the revolution in physics, Chaos has always been of academic attention.彈贸摄尔霁毙攬砖卤庑。
matlab 混沌 分叉 程序
一、概述Matlab是一种用于数学计算、数据分析和图形可视化的高级编程语言和工具，混沌理论是一种描述动态系统非线性行为的数学理论，而混沌分叉是混沌系统中特有的一种现象。
编写Matlab程序对混沌分叉进行研究即是将这两种领域结合起来，本文将介绍如何使用Matlab 编写混沌分叉程序。
二、混沌分叉理论简介混沌分叉理论是描述混沌系统行为的一个重要方面，其基本原理可简要描述如下：1. 系统的参数变化：在混沌系统中，当改变系统的某些参数时，系统的行为会发生变化，这种变化可能是渐变的，也可能是突然的。
2. 分岔现象：当系统的参数发生变化时，系统的稳定点可能会出现分叉现象，即稳定点从一个点分裂成多个点，这种分叉现象是混沌系统中一个显著的特征。
3. 分形结构：在混沌分叉中，分岔现象可能形成分形结构，这种结构在混沌系统中具有重要的理论和实际意义。
三、Matlab基础知识使用Matlab编写混沌分叉程序需要具备一定的Matlab基础知识，包括但不限于以下内容：1. Matlab基本语法：了解Matlab的基本语法规则，包括变量定义、数组操作、逻辑运算等。
2. Matlab图形绘制：掌握Matlab绘制图形的基本方法，包括绘制曲线、散点图等。
3. Matlab函数编写：了解如何在Matlab中编写自定义函数，并且能够熟练运用函数调用和参数传递。
四、混沌分叉程序的编写编写混沌分叉程序的基本步骤如下：1. 设定系统参数：首先需要定义混沌系统的参数，包括系统的微分方程、初始条件以及需要变化的参数。
2. 编写微分方程：根据所研究的具体混沌系统，编写系统的微分方程，通常为非线性微分方程。
3. 参数变化循环：对系统的某些参数进行变化，并且循环计算系统的轨迹，观察混沌分叉现象。
4. 图形绘制：绘制分叉图、分岔图等用于展示混沌分叉现象的图形。
五、程序示例下面为一个简单的混沌分叉程序示例，以具体的混沌系统为 Logistic映射为例，程序演示了 Logistic 映射参数 r 变化时轨迹的分叉现象。
matlab混沌，分形
matlab混沌，分形对于函数f(x)=λsin(πx)，λ∈(0,1]，使⽤matlab计算随着λ逐渐增⼤，迭代x=f(x)的值，代码如下：function y=diedai(f,a,x1)N=32;y=zeros(N,1);for i=1:1e4x2=f(a,x1);x1=x2;y(mod(i,N)+1)=x2;endend%f=@(a,x)a*x*(1-x);f=@(a,x)a*sin(pi*x);%x0=0.1;hold on;for x0=-1:0.05:1for a=0:0.01:1y=diedai(f,a,x0);for count=1:32plot(a,y(count),'k.');hold on;endendend得到的图像如下：其中横轴为λ，纵轴为x可以看到随着λ的逐渐增⼤，出现了倍周期分叉的情况。
由图中可以看出第⼀个分叉值⼤约在0.3附近，第⼆个在0.73到0.75之间，第三个在0.8到0.85之间，混沌⼤约出现在0.86附近。
接下来编写代码计算分叉值，代码如下：format long;x0=0.1;for a=0.3182:0.0000001:0.3183y=diedai(f,a,x0);if max(y)>0.001disp(a);break;endend得到第⼀个分叉值⼤约为0.3182298format long;x0=0.1;for a=0.7199:0.000001:0.72y=diedai(f,a,x0);if max(y)-min(y)>0.001disp(a);break;endend得到第⼆个分叉值⼤约为0.719911format long;x0=0.1;for a=0.8332:0.000001:0.8333y=diedai(f,a,x0);if abs(y(32)-y(30))>0.001disp(a);break;endend得到第三个分叉值⼤约为0.833267利⽤Feigenbaum常数估计第三个分叉值，得到0.805939分形图周常青画mandelbrot分形图，主要使⽤了三个函数：iter=mandelbrot1(x0,y0,maxIter)，⽤来计算迭代后是否收敛，⽅程z=z2+z0。
基于Matlab的Rossler混沌研究
二、倍周期分岔
x y z y x a * y z b z *( x c)
• 下面将以Rossler 系统在时间 t=0:300;初值 (0.1,0.2,0.3）， 参数a=0.2， b=0.2, 改变c大 小来展示其倍周 期分岔特性。
Rossler倍周期分岔进入混沌
物理与工程学院2012届应物专业论文答辩
基于MATLAB的罗斯勒系统的混沌特性 研究
专 业： 应用物理学 班 级： 应物082 答 辩 人： 崔晓鹏
混沌的发现
混沌 混沌的特性 主 要 内 容
初值敏感性
Rossler系 统
倍周期分岔 功率谱分析
混沌的发现
混沌是国内外学术界对非 线性系统研究领域研究非常活 跃的前沿课题。在1963年美国 著名的气象学家洛伦兹在分析 气候数据时发现: 初值十分接 近的两条曲线的最终结果会相 差很大。这是混沌吸引子的第 一个例子，从此拉开了混沌研 究的帷幕。
x y z y x a * y z b z *( x c)
c=5.7 Rossler单周期运行图，t=6
c=5.7 Rossler双周期运行图,t=12
c=5.7 Rossler系统动画演示,t继续增大
c=5.7 多周期运行图以至于混沌， t=1000
三、功率谱分析
Rossler方程
x„，y‟和z„表示对自变量对时 间t求导数。(x，y，z)表示 系统的状态。a，b，c，是 系统参数。方程看上去很简 单，除去第三个方程中的二 次项 z*x，则系统是线性的。 但一个著名的事实是，这个 简单系统存在混沌行为。
混沌系统相图
在经典力学中，一个系统的运 动可以用相空间中的轨道来表示， 混沌系统也可以这样描述，我们将 作Rossler系统的x、y、z关系图即 Rossler系统的相图，以更方便地研 究 Rossler 系 统 。 研 究 参 数 a=0.2,b=0.2,c可变。
基于MATLAB的各类混沌系统的计算机模拟(教学版)
z
20 0 20
50 40 30
z
20 10 0 -20 -10 x 0 10
z
20 10 0 -20 -10 0 y 10 20
4.初值敏感性： 保持初值 x0 和 y0 不变，即 x0＝y0＝1，改变 z0 为 1.001，千分之一的变化会引起系统 行为的显著改变，如下图所示：
y
Rossler 方 程 X-Z平 面 相 图 (较 短 时 间 后 ) 50 40 30
6. 吸引子: 指相空间的这样的一个点集 s (或一个子空间) , 对 s 邻域的几乎任意一 点, 当 t 时所有轨迹线均趋于 s, 吸引子是稳定的不动点。 7. 奇异吸引子: 又称混沌吸引子, 指相空间中具有分数维的吸引子的集合。 该吸引集 由永不重复自身的一系列点组成, 并且无论如何也不表现出任何周期性。 混沌轨道就运行在 其吸引子集中。 8. 分叉和分叉点: 又称分岔或分支。 指在某个或者某组参数发生变化时, 长时间动力 学运动的类型也发生变化。 这个参数值(或这组参数值)称为分叉点, 在分叉点处参数的微小 变化会产生不同性质的动力学特性, 故系统在分叉点处是结构不稳定的。 9. 周期解: 对于系统 xn 1 f ( xn ) , 当 n 时,若存在 xn i xn , 则称该系 统有周期 i 解 。不动点可以看作是周期为 1 的解, 因为它满足 xn 1 xn 。 10. 初值敏感性： 对初始条件的敏感依赖是混沌的基本特征， 也有人用它来定义混沌： 混沌系统是其终极状态极端敏感地依赖于系统的初始状态的系统。 敏感依赖性的一个严重后 果就在于，使得系统的长期行为变得不可预见。
引言． 混沌探秘
混沌是非线性系统所独有且广泛存在的一种非周期运动形式, 其覆盖面涉及到自然科 学和社会科学的几乎每一个分支。1972 年 12 月 29 日，美国麻省理工学院教授、混沌学开 创人之一 E.N.洛伦兹在美国科学发展学会第 139 次会议上发表了题为《蝴蝶效应》的论文， 提出一个貌似荒谬的论断：在巴西一只蝴蝶翅膀的拍打能在美国得克萨斯州产生一个龙卷 风，并由此提出了天气的不可准确预报性。为什么会出现这种情况呢？这是混沌在作怪！ “混沌”译自英语中“chaos”一词，原意是混乱、无序，在现代非线性理论中，混沌 则是泛指在确定体系中出现的貌似无规则的、类随机的运动。 混沌现象是普遍的，就在我们身边，是与我们关系最密切的现象，我们就生活在混沌的 海洋中。一支燃着的香烟，在平稳的气流中缓缓升起一缕青烟，突然卷成一团团剧烈搅动的 烟雾，向四方飘散；打开水龙头，先是平稳的层流，然后水花四溅，流动变的不规则，这就 是湍流；一个风和日丽的夏天，突然风起云涌，来了一场暴风雨。一面旗帜在风中飘扬， 一 片秋叶从树上落下，它们都在做混沌运动。可见混沌始终围绕在我们的周围，一直与人类为 伴。
Matlab实现混沌系统的控制
基于MATLAB 的各类混沌系统的计算机模拟混沌是非线性系统所独有且广泛存在的一种非周期运动形式, 其覆盖面涉及到自然科学和社会科学的几乎每一个分支。
1972年12月29日，美国麻省理工学院教授、混沌学开创人之一E.N.洛伦兹在美国科学发展学会第139次会议上发表了题为《蝴蝶效应》的论文，提出一个貌似荒谬的论断：在巴西一只蝴蝶翅膀的拍打能在美国得克萨斯州产生一个龙卷风，并由此提出了天气的不可准确预报性。
为什么会出现这种情况呢？这是混沌在作怪！“混沌”译自英语中“chaos”一词，原意是混乱、无序，在现代非线性理论中，混沌则是泛指在确定体系中出现的貌似无规则的、类随机的运动。
混沌现象是普遍的，就在我们身边，是与我们关系最密切的现象，我们就生活在混沌的海洋中。
一支燃着的香烟，在平稳的气流中缓缓升起一缕青烟，突然卷成一团团剧烈搅动的烟雾，向四方飘散；打开水龙头，先是平稳的层流，然后水花四溅，流动变的不规则，这就是湍流；一个风和日丽的夏天，突然风起云涌，来了一场暴风雨。
一面旗帜在风中飘扬，一片秋叶从树上落下，它们都在做混沌运动。
可见混沌始终围绕在我们的周围，一直与人类为伴。
1.混沌的基本概念1. 混沌: 目前尚无通用的严格的定义, 一般认为,将不是由随机性外因引起的, 而是由确定性方程(内因)直接得到的具有随机性的运动状态称为混沌。
2. 相空间: 在连续动力系统中, 用一组一阶微分方程描述运动, 以状态变量(或状态向量)为坐标轴的空间构成系统的相空间。
系统的一个状态用相空间的一个点表示, 通过该点有唯一的一条积分曲线。
3. 混沌运动: 是确定性系统中局限于有限相空间的高度不稳定的运动。
所谓轨道高度不稳定, 是指近邻的轨道随时间的发展会指数地分离。
由于这种不稳定性, 系统的长时间行为会显示出某种混乱性。
4. 分形和分维: 分形是 n 维空间一个点集的一种几何性质, 该点集具有无限精细的结构, 在任何尺度下都有自相似部分和整体相似性质, 具有小于所在空间维数 n 的非整数维数。
怎么用matlab画分叉图,混沌------分岔图绘制不同方法的总结、比较（转）
怎么⽤matlab画分叉图,混沌------分岔图绘制不同⽅法的总结、⽐较（转）经过近期的研究发现，⽬前对于系统单参数分岔图的计算共有以下的⼏种⽅法：1)最⼤值法即对系统微分⽅程(组)进⾏求解，对求解的结果⽤getmax函数进⾏取点，并绘图。
2)Poincare截⾯法对系统参数的每⼀次取值，绘制其Poincare截⾯，进⽽得到其分岔图。
这种⽅法需要注意的是，⾃治系统的Poincare截⾯是选取⼀超平⾯，平⾯上点的分布即构成⼀Poincare截⾯，⾮⾃治系统的Poincare截⾯则是根据系统激励的频率进⾏取点并绘图。
本帖将以Lorenz系统为例，对这两种⽅法进⾏⽐较⾸先对第⼆种⽅法进⾏阐述。
编程如下(matlab)Lorenz系统：function dy = Lorenz(t,y)% Lorenz系统% 系统微分⽅程：% dx/dt = -a(x-y)% dy/dt = x(r-z)-y% dz/dt = xy-bz% a=y(4)% r=y(5)% b=y(6)dy=zeros(6,1);dy(1)=-y(4)*(y(1)-y(2));dy(2)=y(1)*(y(5)-y(3))-y(2);dy(3)=y(1)*y(2)-y(6)*y(3);dy(4)=0;dy(5)=0;dy(6)=0;随r的分岔图求解程序：——按照x=y平⾯取截⾯function Lorenz_bifur_rZ=[];for r=linspace(1,500,1000);% 舍弃前⾯迭带的结果，⽤后⾯的结果画图[T,Y]=ode45('Lorenz',[0,1],[1;1;1;16;r;4]); [T,Y]=ode45('Lorenz',[0,50],Y(length(Y),:));Y(:,1)=Y(:,2)-Y(:,1);% 对计算结果进⾏判断，如果点满⾜x=y，则取点for k=2:length(Y)f=k-1;if Y(k,1)<0if Y(f,1)>0y=Y(k,2)-Y(k,1)*(Y(f,2)-Y(k,2))/(Y(f,1)-Y(k,1)); Z=[Z r+abs(y)*i];endelseif Y(f,1)<0y=Y(k,2)-Y(k,1)*(Y(f,2)-Y(k,2))/(Y(f,1)-Y(k,1)); Z=[Z r+abs(y)*i];endendendendplot(Z,'.','markersize',1)title('Lorenz映射分岔图')xlabel('r'),ylabel('|y| where x=y')结果如图1所⽰。
基于Matlab的混沌特性分析
基于Matlab的混沌特性分析混沌现象是指那些看似无序但又具有确定性的系统行为。
混沌特性分析是指对混沌系统进行一系列统计和数学分析的方法，以揭示其内在的规律和动力学特性。
Matlab是一种强大的数值计算软件，具有丰富的功能和工具箱，适于进行混沌特性分析。
下面将介绍基于Matlab的混沌特性分析的一些常用方法。
Matlab可以用来绘制混沌系统的相图和轨迹图。
通过绘制相图，可以观察到混沌系统的轨迹在相空间中的分布和演化规律，从而揭示出系统的吸引子和稳定周期等特性。
可以使用Matlab中的plot函数来绘制相图和轨迹图。
Matlab可以用来计算混沌系统的Lyapunov指数。
Lyapunov指数是衡量系统对初始条件的敏感程度的指标，它可以用来判断系统是否具有混沌特性。
通过计算系统在相空间中相邻轨道的分离率，可以得到Lyapunov指数的估计值。
在Matlab中，可以使用内置的函数lyapunov来计算Lyapunov指数。
Matlab还可以用来分析混沌系统的频谱特性。
混沌系统的频谱通常具有分形结构，即呈现出分形维度的特征。
通过计算系统的功率谱密度和分形维度，可以揭示混沌系统的频谱特性。
可以使用Matlab中的fft函数来计算功率谱密度，并使用fractal函数来计算分形维度。
Matlab还可以用来分析混沌系统的分岔图和吸引子。
分岔图是研究混沌系统的参数变化对系统行为的影响的重要工具，它可以帮助我们了解系统从周期运动向混沌运动转变的过程。
吸引子是描述混沌系统在相空间中的吸引轨道的几何形状，通过分析吸引子的分维和奇异性等特性，可以揭示混沌系统内在的规律。
可以使用Matlab中的bifurcation函数来绘制分岔图，并使用attractor函数来绘制吸引子。
基于Matlab的混沌特性分析可以帮助我们揭示混沌系统的规律和动力学特性。
通过绘制相图和轨迹图、计算Lyapunov指数、分析频谱特性、绘制分岔图和吸引子等，可以全面而深入地了解混沌系统的行为。
观察分岔与混沌现象(MATLAB)
Matlab 实验报告实验目的：用Matlab 观察分岔与混沌现象。
题目：Feigenbaum 曾对超越函数sin()y x λπ=（λ为非负实数）进行了分岔与混沌的研究，试利用迭代格式1sin()k k x x λπ+=，做出相应的Feigenbaum 图算法设计：1、因为λ为非负实数，所以试将λ的范围限制在[0,3]，制图时x 的坐标限制在[0,3]，考虑到y 的值有正有负，所以把y 的坐标限制在[-3,3]。
2、根据课本上给的例题，编写程序代码来绘图。
程序代码：clear;clf;hold onaxis([0,3,-3,3]);gridfor a=0:0.005:3x=[0.1];for i=2:150x(i)=a*sin(pi*x(i-1));endpause(0.1)for i=101:150plot(a,x(i),'k.');endend图像：结果分析：在λ取值在[0,0.3]区间内时，y的值保持在0，然后开始上升，在λ取值在0.75附近时，开始分岔为两支。
从整体上看，随着λ的值越来越大，所产生的迭代序列越来越复杂，可能会随机地落在区间（-3,3）的任一子区间内。
并可能重复，这就是混沌的遍历性。
进一步分析：由于λ的取值空间偏小，考虑扩大其取值范围到[0,6]，再进一步观察图像。
程序代码如下：clear;clf;hold onaxis([0,6,-6,6]);gridfor a=0:0.05:6x=[0.1];for i=2:150x(i)=a*sin(pi*x(i-1));endpause(0.1)for i=101:150plot(a,x(i),'k.');endend图像：0123456分析：由图像可见，随着 取值范围的增大，图像呈现出周期性的特点。
总结：1、当取值范围比较小，不足以发现图像规律时，可以考虑扩大变量的取值范围。
2、由于图像是由大量点构成的，所以在编程的时候注意循环语句的应用。
混沌信号的产生 matlab
混沌信号的产生及其在Matlab中的实现一、混沌信号的概念与特点混沌是一种在确定性系统中表现出的随机、不可预测的行为。
混沌系统具有以下几个显著特征：1. 灵敏依赖于初值：在混沌系统中，微小的初值变化会导致系统行为的巨大变化，这就是所谓的“蝴蝶效应”。
2. 随机性和周期性：混沌系统表现出随机性和周期性的叠加，使得系统的行为呈现出复杂的、看似无序的特征。
3. 分形结构：混沌系统的轨迹具有分形结构，表现出自相似性和自组织性。
二、混沌信号的产生原理混沌信号的产生通常基于非线性动力系统模型，其中最经典的混沌系统包括 Logistic 映射、Henon 映射等。
混沌信号的产生一般遵循以下步骤：1. 选择合适的混沌系统模型，比如 Logistic 映射：$x_{n+1} =rx_n(1-x_n)$。
2. 选择初值和模型参数，并设定迭代次数。
3. 进行迭代计算，得到混沌信号的时域序列。
三、Matlab 中的混沌信号生成Matlab 是一种强大的科学计算软件，提供了丰富的工具箱和函数，使得混沌信号的产生和分析变得非常简单。
在Matlab 中，可以通过以下几种方法产生混沌信号：1. 直接求解微分方程：利用ode45函数求解混沌系统的微分方程，得到混沌时域序列。
2. 迭代计算：利用for循环结构进行模型的迭代计算，得到混沌信号的时域序列。
3. 利用现成的工具箱：Matlab 提供了一些专门用于产生混沌信号的工具箱，比如 ChaosBox。
四、示例代码以下是一个利用 Logistic 映射产生混沌信号的示例代码：```matlabLogistic 映射参数r = 3.9;时域序列长度N = 1000;初值x0 = 0.1;初始化时域序列x = zeros(1, N);x(1) = x0;迭代计算for i = 1:N-1x(i+1) = r * x(i) * (1 - x(i));end绘制混沌信号时域图plot(x);xlabel('时域');ylabel('信号幅值');title('Logistic 映射产生的混沌信号');```五、混沌信号的应用混沌信号作为一种具有随机性和周期性的信号，具有广泛的应用价值，包括但不限于：1. 加密通信：混沌信号可用于加密通信系统中的信息传输，利用混沌的随机特性可以提高数据的安全性。
MATLAB 函数的迭代、混沌与分形
取其它的初值做试验
初值 -40000 -500 -20 0 4 4.9 5 5.1 6 20 100 1000 收敛性 收敛于17 收敛于17 收敛于17 收敛于17 收敛于17 收敛于17 收敛于5 得到收敛点的迭代次数 16 16 16 17 17 19 0 19 17 12 14 14
2
实验四
函数的迭代、 函数的迭代、混沌与分形
1、 定义 、 给定某个初值， 给定某个初值，反复作用以同一个函数的 过程称为迭代 ，一般形式为
x0 , x1 = f (x0 ), x2 = f (x1 ),⋯, xn = f (xn−1 ),⋯
它生成了一个序列{ 它生成了一个序列 xn }，称为迭代序列． ，称为迭代序列．
f (x) = αx(1− x) (0 ≤ x ≤1)
12
6.人口增长的 人口增长的Logistic模型 人口增长的 模型
xn+1 =αxn (1− xn )
f (x) = αx(1− x) (0 ≤ x ≤1)
称为Logistic映射 映射 称为
13
7. Feigenbaum图 图 对于Logistic 映射，取a=2.5，我们通过离 映射， 对于 ， 散图形观察迭代的收敛情况。 散图形观察迭代的收敛情况。
4
3.分式线性函数的迭代 分式线性函数的迭代
25x −85 例： f (x) = x +3
先取初值x 先取初值 0=5.5
f=inline('(25*x-85)/(x+3)');%先定义函数 先定义函数 x0=5.5; for i=1:1:20 x0=f(x0); fprintf('%g,%g\n',i,x0); end
基于Matlab的混沌特性分析
基于Matlab的混沌特性分析1. 引言1.1 研究背景混沌理论起源于1960年代，是一种描述复杂系统行为的新理论，揭示了非线性系统中存在的一种无序、不可预测的动态行为。
混沌系统具有高度敏感性和非周期性，表现出随机性和确定性的结合，对于许多领域的研究具有重要的理论和实际意义。
在现代科学和工程领域，混沌系统的分析和控制已经成为一个热门的研究方向。
随着计算机技术的发展，基于Matlab的混沌特性分析方法成为研究混沌系统的有力工具。
Matlab提供了丰富的算法和库函数，可以方便地进行混沌系统建模、仿真和分析。
利用Matlab进行混沌特性分析，可以更深入地理解混沌系统的动力学行为，为系统的控制与优化提供理论支持。
1.2 研究目的研究目的的主要目标是通过基于Matlab的混沌特性分析，探讨混沌系统的特征和建模方法，并利用Matlab提供的分析工具对混沌系统进行详细分析。
通过深入研究混沌系统的特性和行为，可以更好地理解和预测混沌系统的运动规律和特点，为相关领域的研究和应用提供理论支持和参考依据。
本研究旨在探讨基于Matlab的混沌特性分析方法的有效性和可行性，为混沌系统的研究和应用提供一种新的分析途径和工具。
通过对混沌系统的特性进行深入分析和实验研究，可以揭示混沌系统背后的规律和内在机制，为相关领域的发展和应用提供新的思路和方法。
本研究的目的在于通过基于Matlab的混沌特性分析，深入探讨混沌系统的特性和行为，为相关领域的研究和应用提供新的视角和研究方法。
1.3 研究意义混沌系统在现代科学和工程中具有广泛的应用，例如在通信、控制、密码学等领域都有重要的作用。
对混沌系统进行特性分析，能够帮助我们更好地理解和掌握系统的行为规律，为系统的设计和优化提供重要的参考。
混沌系统的特性分析不仅可以帮助我们更好地理解系统的动态行为，还可以为混沌系统的控制和应用提供理论基础。
通过本文基于Matlab的混沌特性分析，我们可以更深入地探索混沌系统的特性和规律，为未来混沌系统的应用和发展提供重要参考。
Matlab中的分形几何和混沌理论技巧
Matlab中的分形几何和混沌理论技巧随着计算机科学和数学的不断发展，分形几何和混沌理论在许多领域中得到了广泛的应用。
作为一种强大的科学计算工具，Matlab提供了许多实用的技巧，使得分形几何和混沌理论的研究更加简单和高效。
本文将介绍一些在Matlab中使用分形几何和混沌理论的技巧，探索其在数学、物理和工程等领域的应用。
一、分形几何分形几何是一种研究自相似结构和复杂物体的数学理论。
Matlab提供了一系列强大的函数和工具，用于生成和分析分形几何图形。
1. 使用Fractal函数库Matlab中的Fractal函数库提供了许多用于生成各种分形图形的函数。
例如，使用Barnsley函数可以创建分形植物或分形地形图像，使用Mandelbrot函数可以绘制Mandelbrot集合的图像。
这些函数不仅提供了生成图形的算法，还可以通过调整参数来控制图形的细节。
2. 自定义分形函数除了使用现有的函数库，Matlab还允许用户定义自己的分形函数。
通过编写自定义函数，用户可以创建符合特定需求的分形图形。
例如，可以定义一个自相似函数来生成分形树状结构，或者定义一个混沌映射来生成分形图像。
3. 分形几何的应用分形几何在许多领域中具有广泛的应用。
在数学中，分形理论可以用于研究复杂系统和非线性动力学。
在物理学中，分形几何可以解释复杂的自然现象，例如分形天线的电磁波辐射特性。
在工程领域，分形几何可以用于设计具有特定性能的材料结构。
二、混沌理论混沌理论是研究非线性动力学系统中的无序行为的数学理论。
混沌现象具有极高的灵敏度和迅速的演变速度，可以用来描述一些看似随机但又遵循确定性规律的系统。
Matlab提供了一系列用于研究和模拟混沌系统的函数和工具。
1. 混沌映射Matlab中的Chaos函数库提供了许多常见的混沌映射函数，例如Logistic映射、Henon映射和Lorenz映射。
用户可以通过调整参数和初始条件来探索这些混沌映射的行为。
MATLAB中的混沌系统建模与分析指南
MATLAB中的混沌系统建模与分析指南引言混沌系统是一类表现出复杂、不可预测、非周期性行为的动力学系统。
由于其具有高度敏感性和非线性特性，混沌系统一直备受研究者的关注。
在科学研究和工程领域中，混沌系统的建模与分析对于了解和预测系统的行为非常重要。
而MATLAB作为一种强大的数值计算和数据可视化工具，可以帮助我们进行混沌系统的建模与分析。
本文将介绍MATLAB中的混沌系统建模与分析指南。
第一部分：混沌系统建模混沌系统的建模是研究混沌现象的起点。
在MATLAB中，我们可以通过定义差分方程或微分方程的方式来建立混沌系统的数学模型。
1.1 确定方程形式在建模之前，我们首先需要确定混沌系统的方程形式。
常见的混沌方程包括Logistic映射方程、Lorenz方程等。
以Logistic映射方程为例，其表达式可以表示为：x(n+1) = r * x(n) * (1 - x(n))其中，x是系统状态的变量，n表示时间步长，r是控制参数。
在MATLAB中，我们可以通过定义一个差分方程来表示这个方程，并使用循环语句进行迭代计算。
1.2 设置初始条件在建模过程中，我们还需要设置混沌系统的初始条件。
在Logistic映射方程中，初始条件通常在[0,1]之间选择一个值。
在MATLAB中，我们可以使用rand函数生成一个在指定区间内的随机数作为初始条件。
1.3 模拟系统行为建立混沌系统的数学模型后，我们可以使用MATLAB进行系统行为的模拟。
通过迭代计算，我们可以获得混沌系统的时间序列。
在MATLAB中，我们可以定义一个循环，根据差分方程进行迭代计算，将每一步的结果保存到一个向量中。
通过设定迭代次数和控制参数的不同取值，我们可以观察到不同的动力学行为，例如周期性、混沌和收敛等。
第二部分：混沌系统分析混沌系统的分析对于理解和预测系统的行为非常重要。
MATLAB提供了许多工具和函数，可以帮助我们对混沌系统进行各种分析。
2.1 相图分析相图是了解混沌系统行为的重要工具。
MATLAB、Simulink混沌理论仿真
毕业设计（论文）原创性声明本人郑重声明：所提交的毕业设计（论文），是本人在导师指导下，独立进行研究工作所取得的成果。
除文中已注明引用的内容外，本毕业设计（论文）不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。
对本研究做出过重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明并表示了谢意。
论文作者签名：日期：年月日摘要混沌在现代科学与工程学领域的应用十分广泛，混沌现象存在于自然界各个领域，包括通讯领域、气象学领域、生物学领域、医学诊断疾病等方面。
学习混沌理论在未来的发展过程对我们是很有帮助的。
在非线性的世界里，通过混沌理论洞察所有的非线性运动,对其进行控制和掌握。
通过非线性电路对混沌系统进行分析和理解，进而构造出符合二阶混沌系统的非线性电路和函数模型。
Duffing 方程就是典型的二阶非线性方程。
运用MATLAB/Simulink对其混沌系统进行仿真实现，验证混沌系统的基本特性。
关键词：混沌；非线性；Duffing方程; MATLAB/SimulinkABSTRACTChaos widely used in modern science and engineering and chaos phenomenon exists in various fields of nature, including the communications field, the field of meteorology, biology, medical diagnosis of diseases. Learning Chaos Theory is very helpful to us in the development of this course in the future. In a nonlinear world, insight into the chaos theory, We can control and master non-linear movement. We analyze and understand the chaotic system via nonlinear circuit, and then construct a second-order chaotic systems of nonlinear circuits and function model. Duffing equation is a typical second-order nonlinear equation. Using MATLAB/Simulink, we complete the chaotic system simulation and test the basic characteristics of chaotic systems.Key words：Chaos；nonlinear；Duffing equation；MATLAB/Simulink目录第一章绪论 (1)1.1混沌理论 (1)1.2混沌的应用 (2)第二章二阶混沌系统的仿真实现 (5)2.1混沌系统 (5)2.1.1混沌产生的数学模型 (5)2.1.2 奇异吸引子与分形 (6)2.1.3 混沌系统的特征 (7)2.1.4 研究混沌的主要方法 (8)2.2 二阶混沌系统的实现 (9)第三章二阶非线性电路仿真实现 (15)3.1 Simulink仿真 (17)3.2 MATLAB语句命令演示模拟 (19)第四章结论 (22)致谢 (25)参考文献 (26)附录A (27)第一章绪论1.1混沌理论什么是混沌？现代科学意义上是很难得出确切的定义，之所以这样是因为：到目前为止，还没有足够和统一数学定理可以将混沌理论完全表达出来，在数学理论的基础上通过混沌系统所表现出的普遍现象总结归纳出混沌的本质。
利用Matlab进行分形分析和混沌系统建模
利用Matlab进行分形分析和混沌系统建模Matlab是一种非常强大的数学软件，它被广泛应用于科学研究和工程领域。
其中，分形分析和混沌系统建模是Matlab独特的应用之一。
本文将深入探讨利用Matlab进行分形分析和混沌系统建模的方法和技巧。
1. 引言在现代科学中，许多自然现象和复杂系统都表现出分形和混沌的特征。
这些特征对于理解和模拟真实世界中的各种现象非常重要。
Matlab作为一种功能强大的数学软件，为我们提供了丰富的工具和函数，用于分析和建模分形和混沌系统。
2. 分形分析分形是一种具有自相似性的几何形状，其特点是在不同尺度上具有相似的结构和形状。
Matlab提供了许多用于分形分析的函数和工具包，如boxcount、fractal、mandelbrot等。
我们可以使用这些函数来生成和分析分形图形，并计算其维数和特征。
例如，我们可以使用Matlab的boxcount函数来计算分形图形的盒计数维数。
首先，我们可以使用fractal函数生成一个分形图形，然后使用boxcount函数对其进行盒计数。
通过不断改变盒子的大小，我们可以计算出盒子的数量与尺寸之间的关系，从而得到分形图形的维数。
3. 混沌系统建模混沌系统是一类表现出极其敏感的初始条件的非线性动力系统。
这种系统展现出了高度的不确定性和随机性。
在Matlab中，我们可以建立混沌系统的模型，并进行仿真和分析。
Matlab提供了丰富的函数和工具包，用于建模和分析混沌系统。
例如，我们可以使用ode45函数来求解混沌系统的常微分方程，并生成系统的时间序列。
然后，我们可以使用plot函数绘制系统的相图和轨迹，并分析其特征。
另外，Matlab还提供了Lorenz系统、Henon映射、Logistic映射等经典混沌系统的建模工具包。
我们可以直接调用这些函数来生成和分析这些混沌系统，并探索它们的特性和行为。
4. 分形分析与混沌系统建模的应用分形分析和混沌系统在众多领域中都有广泛的应用。
基于Matlab的混沌系统仿真与分析
基于Matlab的混沌系统仿真与分析王晓辉;谢胜曙;张志伟【摘要】对混沌现象和特征进行简要描述并用Matlab软件对一个混沌系统进行仿真和分析.给出了这个混沌系统的Simulink模型,通过编程计算画出了此系统的分岔图,刻画了系统参数A=0.6时的混沌吸引子形状、系统的庞加莱截面和功率谱,揭示了此系统混沌的本质.最后给出了系统的电路实现形式.【期刊名称】《现代电子技术》【年(卷),期】2006(029)010【总页数】3页(P105-107)【关键词】混沌;Simulink模型;混沌系统;混沌电路【作者】王晓辉;谢胜曙;张志伟【作者单位】湖南大学,电气与信息工程学院,湖南,长沙,410082;湖南大学,电气与信息工程学院,湖南,长沙,410082;济南市高级技工学校,山东,济南,250032【正文语种】中文【中图分类】TP391;O415混沌是国内外学术界对非线性系统研究领域非常活跃的前沿课题。
在现代的物质世界中，混沌现象无处不有。
1963年美国著名气象学家洛伦兹在数值实验中首先提出“决定论非周期流”，从此拉开了混沌研究的帷幕。
人们在研究中逐步认识到混沌的研究价值和应用价值。
1 混沌及其特征所谓混沌是指某种对初始条件敏感的运动，是在确定性系统中出现的一种貌似无规则，类似随机的现象，是普遍存在的复杂运动形式和自然现象。
他无序中又有序，混沌是非线性系统处于非平衡过程中所呈现的随机行为，因此非线性是产生混沌的必要条件，但并非所有非线性系统都会产生混沌[1]。
一般认为一个确定的非线性系统，如果含有貌似噪声的有界行为，且又表现若干特性，便可称为混沌系统，此处所说特性主要有以下方面：(1)振荡信号的功率谱连续分布，且可能是带状分布的，这个特征表明振荡为非周期性，也说明信号貌似噪声的原因。
(2)在相空间，该系统的相相邻的轨道线彼此以指数规律迅速分离，从而导致对初始值的极端敏感性，这就使系统的行为长期不可预测。
数学实验报告——利用MALTAB计算非线性方程近似解
实验四非线性方程近似解一、按揭还贷㈠问题描述（1）小张夫妇以按揭方式贷款买了一套价值20万元的房子，首付5万元，每月还款1000元，15年还清。
问贷款利率是多少？（2）某人想贷款50万元购房，他咨询了两家银行，第一家银行开出的条件是每月还4500元，15年还清；第二家银行开出的条件是每年还45000元，20年还清。
从利率方面看，哪家银行较优惠？（简单假设年利率=月利率*12）㈡简要分析初看本题，一个简单的思路是每次测试一个利率值，以这个值为基础计算15年后所剩还款数量，通过结果判断应将利率值增大或减小，从而实现迭代。
这其实是一个二重迭代的过程，之所以这样是因为不容易一眼看出本题的非线性方程。
事实上，转换思路后，可以利用一个简单的方程描述整个迭代过程。
这样就将二重迭代转化为了一层迭代。
使得处理更加简便。
㈢方法与公式1、解题方法(1)二次迭代给定总的本金，从每一次还款中扣去这段时间中增加的利息，再将其还到本金，使本金总量逐渐减少。
代码：for i = 1:time*12less = (repay-left*interest);left = left - less;(2)方程描述虽然并不是所有本金都在还款的整个期间中产生了相应的利息，但是可以设想成这样，与此同时，还款从在相应的还款时间开始产生利息，这样可以得出，两者最终的“本息和”相等，即nA(1+q)n=P(1+q)n−ii=1其中A为总还款金额，q为了利率，P为每次还款金额。
2、解方程方法(1)牛顿法x k+1=x k−f(x k) f′(x k)(2)直接使用公式fzero()㈣结果与分析1、第一问：(1)二次迭代[i,q]=iterate(150000,1000,15,2,0,1,100,10^-6); 公式表意为：总贷款量=200000-50000=150000；每月还款100元；还款期限15年；还款方式为按月还款；迭代区间设定为[0,1]；最大迭代次数为100次；精度要求为10^-6；最终结果为：迭代次数：45；使用时间0.003030989435705s；利率为0.002081163889457。
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Matlab 实验报告
实验目的：用Matlab 观察分岔与混沌现象。
题目：Feigenbaum 曾对超越函数sin()y x λπ=（λ为非负实数）进行了分岔与混沌的研究，试利用迭代格式1sin()k k x x λπ+=，做出相应的Feigenbaum 图
算法设计：
1、因为λ为非负实数，所以试将λ的范围限制在[0,3]，制图时x 的坐标限制在[0,3]，考虑到y 的值有正有负，所以把y 的坐标限制在[-3,3]。
2、根据课本上给的例题，编写程序代码来绘图。
程序代码：
clear;clf;
hold on
axis([0,3,-3,3]);
grid
for a=0:0.005:3
x=[0.1];
for i=2:150
x(i)=a*sin(pi*x(i-1));
end
pause(0.1)
for i=101:150
plot(a,x(i),'k.');
end
end
图像：
结果分析：在λ取值在[0,0.3]区间内时，y的值保持在0，然后开始上升，在λ取值在0.75附近时，开始分岔为两支。
从整体上看，随着λ的值越来越大，所产生的迭代序列越来越复杂，可能会随机地落在区间（-3,3）的任一子区间内。
并可能重复，这就是混沌的遍历性。
进一步分析：由于λ的取值空间偏小，考虑扩大其取值范围到[0,6]，再进一步观察图像。
程序代码如下：
clear;clf;
hold on
axis([0,6,-6,6]);
grid
for a=0:0.05:6
x=[0.1];
for i=2:150
x(i)=a*sin(pi*x(i-1));
end
pause(0.1)
for i=101:150
plot(a,x(i),'k.');
end
end
图像：
分析：由图像可见，随着 取值范围的增大，图像呈现出周期性的特点。
总结：1、当取值范围比较小，不足以发现图像规律时，可以考虑扩大变量的取值范围。
2、由于图像是由大量点构成的，所以在编程的时候注意循环
语句的应用。