用Matlab观察分岔与混沌现象

Matlab 实验报告

实验目的：用Matlab 观察分岔与混沌现象。

题目：Feigenbaum 曾对超越函数sin()y x λπ=（λ为非负实数）进行了分岔与混沌的研究，试利用迭代格式1sin()k k x x λπ+=，做出相应的Feigenbaum 图

算法设计：

1、因为λ为非负实数，所以试将λ的范围限制在[0,3]，制图时x 的坐标限制在[0,3]，考虑到y 的值有正有负，所以把y 的坐标限制在[-3,3]。

2、根据课本上给的例题，编写程序代码来绘图。

程序代码：

clear;clf;

hold on

axis([0,3,-3,3]);

grid

for a=0:0.005:3

x=[0.1];

for i=2:150

x(i)=a*sin(pi*x(i-1));

end

pause(0.1)

for i=101:150

plot(a,x(i),'k.');

end

end

图像：

结果分析：在λ取值在[0,0.3]区间内时，y的值保持在0，然后开始上升，在λ取值在0.75附近时，开始分岔为两支。从整体上看，随着λ的值越来越大，所产生的迭代序列越来越复杂，可能会随机地落在区间（-3,3）的任一子区间内。并可能重复，这就是混沌的遍历性。

进一步分析：由于λ的取值空间偏小，考虑扩大其取值范围到[0,6]，再进一步观察图像。程序代码如下：

clear;clf;

hold on

axis([0,6,-6,6]);

grid

for a=0:0.05:6

x=[0.1];

for i=2:150

x(i)=a*sin(pi*x(i-1));

end

pause(0.1)

for i=101:150

plot(a,x(i),'k.');

end

end

图像：

分析：由图像可见，随着 取值范围的增大，图像呈现出周期性的特点。

总结：1、当取值范围比较小，不足以发现图像规律时，可以考虑扩大变量的取值范围。

2、由于图像是由大量点构成的，所以在编程的时候注意循环

语句的应用。