高数下册常用常见知识点教学内容

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高等数学下册常用常见知识点 第八章 空间解析几何与向量代数

（一） 向量及其线性运算

1、 向量，向量相等，单位向量，零向量，向量平行、共线、共面；

2、 线性运算：加减法、数乘；

3、 空间直角坐标系：坐标轴、坐标面、卦限，向量的坐标分解式；

4、 利用坐标做向量的运算：设),,(z y x a a a a =ρ

，),,(z y x b b b b =ρ，

则 ),,(z z y y x x b a b a b a b a ±±±=±ρ

ρ, ),,(z y x a a a a λλλλ=ρ；

5、 向量的模、方向角、投影：

1） 向量的模：

2

22z y x r ++=ρ

；

2） 两点间的距离公式：

2

12212212)()()(z z y y x x B A -+-+-=

3）

方向角：非零向量与三个坐标轴的正向的夹角γβα,,

4） 方向余弦：r

z r y r x ρρρ===γβαcos ,cos ,cos 1cos cos cos 222=++γβα

5） 投影：ϕcos Pr a a j u

ρρρ=，其中ϕ为向量a ρ与u ρ的夹角。

（二） 数量积，向量积 1、

数量积：θcos b a

b a ρ

ρρρ=⋅

1）2

a a a ρρρ=⋅

2）⇔⊥b a ρρ0=⋅b a ρ

ρ z z y y x x b a b a b a b a ++=⋅ρ

ρ

2、 向量积：b a c ρ

ρρ⨯=

大小：θsin b a

ρρ，方向：c b a ρ

ρρ,,符合右手规则 1）0ρρρ=⨯a a

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2）b a ρρ//⇔

0ρρρ=⨯b a z y x

z

y x

b b b a a a k j i

b a ρρρρ

ρ=⨯

运算律：反交换律 b a a b ρ

ρρρ⨯-=⨯

（三） 曲面及其方程 1、 曲面方程的概念：

0),,(:=z y x f S

2、

旋转曲面：（旋转后方程如何写）

yoz 面上曲线0),(:=z y f C ，

绕y 轴旋转一周：

0),(22=+±z x y f 绕

z 轴旋转一周：

0),(22=+±z y x f

3、 柱面：（特点）

0),(=y x F 表示母线平行于z 轴，准线为⎪⎩⎪⎨⎧==0

0),(z y x F 的柱面

4、

二次曲面（会画简图）

1）

椭圆锥面：2

2222z b

y a x =+ 2）

椭球面：122

2222=++c

z b y a x 旋转椭球面：122

2222=++c

z a y a x 3）

*单叶双曲面：122

2222=-+c

z

b y a x

4）

*双叶双曲面：122

2222=--c

z

b y a x 5）

椭圆抛物面：z b

y a x =+22

22 6）

*双曲抛物面（马鞍面）：z b y a x =-22

22 7）

椭圆柱面：122

22=+b y

a x 8）

双曲柱面：122

22=-b y a x 9）

抛物柱面：

ay x =2

（四） 空间曲线及其方程

1、

一般方程：⎪⎩⎪⎨⎧==0

),,(0

),,(z y x G z y x F

2、 参数方程：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===)()()(t z z t y y t x x ，如螺旋线：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===bt

z t a y t a x sin cos

3、

空间曲线在坐标面上的投影

⎪⎩⎪⎨⎧==0

),,(0),,(z y x G z y x F ，消去z ，得到曲线在面xoy 上的投影⎪⎩⎪⎨⎧==0

),(z y x H

（五） 平面及其方程（法向量） 1、

点法式方程：

0)()()(000=-+-+-z z C y y B x x A

法向量：),,(C B A n =ρ

，过点),,(000z y x

2、

一般式方程：

0=+++D Cz By Ax （某个系数为零时的特点）

截距式方程：

1=++c

z

b y a x

3、

两平面的夹角：),,(1111C B A n =ρ，),,(2222C B A n =ρ，

22

22

22

21

21

2

1

2

12121cos C

B A

C B A C C B B A A ++⋅++++=

θ ⇔∏⊥∏21 0212121=++C C B B A A ⇔∏∏21// 2

1

2121C C B B A A ==

4、

点

),,(0000z y x P 到平面0=+++D Cz By Ax 的距离：

2

2

2

000C

B A D

Cz By Ax d +++++=

（六） 空间直线及其方程（方向向量）

1、

一般式方程：⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+++0

022221111D z C y B x A D z C y B x A

2、 对称式（点向式）方程：

p

z z n y y m x x 0

00-=-=-

方向向量：),,(p n m s =ρ

，过点),,(000z y x

3、

参数式方程：⎪⎪⎩⎪

⎪⎨⎧+=+=+=pt z z nt

y y mt x x 000

4、

两直线的夹角：),,(1111p n m s =ρ，),,(2222p n m s =ρ，

22

22

22

21

21

2

1

212121cos p

n m p n m p p n n m m ++⋅++++=

ϕ