第三章7.8补充-回旋共振要点

● 为解释上述结果，提出的 [001] ● 模型认为：硅导带极小值 [100] 在[100]方向上，其等能 [010] 面是沿[100]方向的旋转 ● ● 椭球面，长轴与[100]方 [010] 向重合。根据硅晶立方对 ● 称性要求，共有六个旋转 [100] ● [001] 椭球面，电子主要分布在 这些极值附近。 s 2 s 2 s 2 2 k y k0 y k z k0 z k x k0 x s E k EC * * * 2 mx my mz s 1,2,3,4,5,6
不同半导体的E(k)~k关系各不相同。即便同一种半 导体，沿不同 k 方向的E(k)~k关系也不相同。换言 之，半导体的E(k)~k关系可以是各向异性的。
沿不同 k 方向E(k)~k关系不同就意味着半导体中电 子的有效质量m*是各向异性的。
1 1 d 2E 2 2 m dk k 0
② 如等能面不是球面而是椭球面，也即有效质量是各 向异性的，沿kx, ky, kz 轴方向导带底电子的有效质 量分别为mx*, my*, mz*。设磁场强度 B 沿三轴的方 向余弦分别为α,β,γ，乘以B也即在kx，ky，kz三 轴上的投影或三个分量：
B B i j k
x
y
z
m mt

mt ( 2 2 ) ml 2
ml
若B位于k1，k3平面内，且与k3轴交θ角（椭圆长轴 夹角），则方向余弦α、β、γ分别为：
α=sinθ，β=0 ， γ=cosθ
[001]
k3 k2
B

m mt

k1
ml mt sin 2θ ml cos2θ
补充：一. 回旋共振
二. 硅和锗的能带结构 三. Ⅲ-Ⅴ族化合物半导体的能带 结构 四. Ⅱ-Ⅵ族化合物半导体的能带 结构
学习要求：
1.了解回旋共振实验及其意义 2.掌握硅和锗的能带结构 3.了解III-V族和Ⅱ-Ⅳ族化合物半导体 的能带结构
一. 回旋共振
回旋共振实验是确定载流子的有效质量并据此推 出半导体能带结构的重要方法。 大多数半导体，起作用的基本是导带底附近的电 子和价带顶附近的空穴，所以本节着重介绍导带 底和价带顶附近的能带结构。
●
[001]
●
[010]
●
-
kz ky kx
B
●
[100]
●
-
[010]
[100]●
m [001]及[001]方向有效质量： α=(1/2)1/2,β=(1/2)1/2,γ=0； mz*=ml，mx*=my*=mt ；
[001]
-
mx m y mz
m m m
x 2 y 2 z
要使方程组有解，相应行列式须为零，即：
i c qB my qB mz

qB mx i c qB mz
qB mx qB qB 0 c m my i c
x 2 y 2 z 2
m m m 1 式中m 为： m mx m y mz
1. k空间等能面
要了解能带结构，就要求出E(k)与k 的函数关系。 设能带极值位于k=0处，则导带底附近：
2k 2 2 2 2 2 E(k ) Ec (0) k k k x y z * * 2m 2m 价带顶附近： 2k 2 2 2 2 2 E (k ) Ev (0) kx k y kz 2mh 2mh
kz
[010]
●
●
[001]
●
[100]
-
-
ky● kx
●
[010]
[100]●
B
[001]
x 2
-
m [010]及[010]方向有效质量：
mx m y mz
m m m
y 2 z
2
α=(1/2)1/2,β=(1/2)1/2,γ=0；
my*=ml，mx*=mz*=mt ； m*=mt[2mt /(mt+ml)]1/2
y 2 z
2
α=1,β=0,γ=0； mz*=ml，mx*=my*=mt ；
k x k0x 1 * 2m x E Ec 2m y E Ec 2mz E Ec
2 y k0y 2
k

kz k0z 2
2
kz
2
kz
E2

E3
2
k0
E1
ky
Ec
kx
ky
等能面为椭球面，这种半导体具有各向异性。 表明沿不同方向，有效质量取值不同。
2
α=1,β=0,γ=0； my*=ml，mx*=mz*=mt ；
m*=(mt ml)1/2
●
[001]
●
[010]
●
-
kz
[100] ky
●
-
kz
kx
[100]●
●
[010] B [001]
x 2
ky
-
kx
mx m y mz
m [001]及[001]方向有效质量：
m m m
② 若B沿[110]方向，此时B与[100]，[100]，[010]以 及[010]方向的夹角相同：cosθ=(1/2)1/2；与[001] 和[001]方向夹角为：cosθ=0。 kz
m mt

ml mt sin 2θ ml cos2θ
ky
m mt

2ml 和m mt ml mt ml
则电子在各方向上的运动方程为：
dvx m qBv y vz 0 dt dvy * my qBvz vx 0 dt * dvz mz qBvx v y 0 dt
* x
电子作周期运动，分别取如下形式解：
vx v e
' ict x
m m m
x 2 y 2 z
2
m*=mt
●
[001]
●
[010]
●
-
kz
[100] ky
●
-
kz
kx
[100]●
●
[010] B [001]
x 2
ky
-
kx
mx m y mz
m [010]及[010]方向有效质量：
m m m
y 2 z
kx
B
测得两个不同的m*值，改变B可观察到两个吸收峰。
不引入新坐标 k1、k2、k3，通过坐标平移解释磁 场入射方向不同时出现为数不等的吸收峰，也即 有多个有效质量的问题。
[001] ② B沿[110]方向 ● kz [010]
●
kz
●
[100]
-
-
ky● kx
●
[010]
ky
[100]●
B
当交变电磁场频率ω等于回旋频率ωc时，就能 观测到共振吸收，从而可计算出的电子的有效 质量。
为能观测出明显的共振吸收峰，就要求样品纯 度高，低温，交变电磁场的频率在微波或红外 光的范围。
二. 硅和锗的能带结构
1. 硅和锗的导带结构 如等能面是球面（m*各向同性），改变磁场方向 时只能观察到一个吸收峰；如沿kx,ky, kz三个方向 m*各不相同，则有三个吸收峰，或者说有几个吸 收峰就有几个有效质量。 n型Si和Ge，B 沿[111]晶轴方向，有一个吸收峰； 沿[110]晶轴方向，有二个；沿[100]晶轴方向，有 二个；沿任意晶轴方向，三个。




以沿[001]方向的旋转椭球面为例，选取适当坐标系： k3 ● [001] [001] k3 k2 ●[100] k1 B [010] ● ● k2 [010]
k1
k1,k2有效 质量相同
[100]
●
● [001]
2 2 2 2 k k k 取Ec为导带底能量零点， 3 1 2 E k s 以k0 为坐标原点。 2 mt ml
θ
v∥ v
① 如等能面是球面，电子回旋速度和加速度分别为：
2 v rc , a v /r
回旋频率
f qv B a m m
qB c * m
再以电磁波通过半导体样品，当交变电磁场频率ω 等于回旋频率ωc 时，就可发生共振吸收。测出共 振吸收时电磁波的频率ω和磁感应强度B，即可根 据上式计算出相应的有效质量。
① 若B沿[111]方向，即立方晶格体对角线方向，其与kx、 ky、kz夹角相同，即cosθ=(1/3)1/2：
m mt

ml mt sin 2θ ml cos2θ
kz
θ
m mt

3ml 2mt ml
ky kx
由ω=ωc=qB/m*，可知由于m*只有一个值，改变B 只能观察到一个吸收峰。




当E(k) 为确定值时，对应多个不同的(kx,ky,kz)，把 这些不同的(kx,ky,kz)连接起来就可以构成一个能量 值相同的封闭面，称为等能面。
此k空间等能面为球形，其半径为：
r (2m / )[E (k ) Ec (0)]
* 2
或以空穴有效质量表示为：
E3 E2 E1 E(0)
; vy v e
' ict y
; vz v e
' ict z
将试解带入电子的运动学方程可得：
qB ' qB ' i v v y v z 0 mx mx
' c x
qB ' qB ' ' v x ic v y v z 0 my my qB ' qB ' ' v v i v x y c z 0 mz mz
0 0
半导体的能带极值点不一定在k＝0处，沿不同k方 向E(k)~k关系也不同，即有效质量m*各向异性。 设导带底极值点在k0处，极值为Ec，在晶体中选择 适当的三个坐标轴，沿着 kx，ky，kz 轴的导带底有 效质量分别为mx*，my*，mz*，用泰勒级数在极值 k0附近展开，略去高次项得：


0
kx mx m y mz
B
m 2 2 2 m m m [100]及[100]方向有效质量： x y z
[001]
α=(1/2)1/2,β=(1/2)1/2,γ=0； mx*=ml，my*=mz*=mt ； m*=mt[2mt /(mt+ml)]1/2


f x qB(v y v z )
则电子所受的力为：
ຫໍສະໝຸດ Baidu
f y qB(v z v x )
f z qB(v x v y ) f qvB qB[(v y vz )i (vz vx ) j (vx v y )k ]
其中mx*=my*=mt， mz*=ml。分别称为横向有效质量与 纵向有效质量。据试验得出硅的mt，ml分别为：
mt 0.19 0.01m0
1 mt，ml代入有效质量公式： m
ml 0.98 0.04m0
2 2 2 mx m m y z
mmm
2. 回旋共振
将一块半导体样品臵于磁场强度为B的均匀恒定的磁 场中，如半导体中电子的初速度为v，磁场力为：
f qv B qvBsin qv B
v⊥ 沿B方向v// vcos 匀速运动 垂直B方向v rc 匀速圆周运动
电子做螺旋线运动
B -q f r
r (2mh / )[ Ev (0) E (k )]
2
结合有效质量与E(k)和k的关系可推知，具有球形等 能面的E(k)~k关系其电子有效质量是各向同性的。
2 2 2 k k k z k0z k x k0 x y 0y E ( k ) Ec 2 my mz mx 2 2E 1 1 2E 1 1 E 1 1 , , 2 * 2 2 * 2 2 * 2 m x k x k m y k y mz k z k k 2
2
m*=(mt ml)1/2
③ B沿[100]方向
[010]
●
●
[001]
●
-
kz kx ky
[100]
●
-
kz
[010] B
ky
[100]●
●
m [100]及[100]方向有效质量： α=1,β=0,γ=0； mx*=ml，my*=mz*=mt ；
[001]
-
kx
mx m y mz