小学奥数排列组合例题

小学奥数排列组合例题

知识点拨：

一.加法原理：做一件事情，完成它有N类办法，

在第一类办法中有M1中不同的方法，

在第二类办法中有M2中不同的方法，……，

在第N类办法中有M n种不同的方法，

那么完成这件事情共有M1+M2+……+M n种不同的方法。

二.乘法原理：如果完成某项任务，可分为k个步骤，

完成第一步有n1种不同的方法，

完成第二步有n2种不同的方法，……

完成第ｋ步有ｎｋ种不同的方法，

那么完成此项任务共有ｎ

１×ｎ

２

×……×ｎ

ｋ

种不同的方法。

三.两个原理的区别

⏹做一件事，完成它若有n类办法，是分类问题，每一类中的方法都是独立的，故用加法

原理。

每一类中的每一种方法都可以独立完成此任务；两类不同办法中的具体方法，互不相同(即分类不重)；完成此任务的任何一种方法，都属于某一类(即分类不漏)

⏹做一件事，需要分n个步骤，步与步之间是连续的，只有将分成的若干个互相联系的

步骤，依次相继完成，这件事才算完成，因此用乘法原理．

任何一步的一种方法都不能完成此任务，必须且只须连续完成这n步才能完成此任务；各步计数相互独立；只要有一步中所采取的方法不同，则对应的完成此事的方法也不同

⏹这样完成一件事的分“类”和“步”是有本质区别的，因此也将两个原理区分开来．

四.排列及组合基本公式

1.排列及计算公式

从n 个不同元素中，任取m(m≤n )个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列；从n 个不同元素中取出m(m≤n )个元素的所有排列的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数，用符号 P m n 表示. P m n =n(n-1)(n-2)……(n -m+1) =n!(n-m)!

(规定0!=1). 2. 组合及计算公式

从n 个不同元素中，任取m(m≤n )个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合；从n 个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数.用符号C m n 表示. C m n = P m n /m!=

n!

(n-m)!×m!

一般当遇到m 比较大时（常常是m>0.5n 时），可用C m n = C n-m n 来简化计算。 规定：C n n =1, C 0n =1.

3. n 的阶乘(n!)——n 个不同元素的全排列

P n n =n!=n ×(n-1)×(n-2)…3×2×1

例题精讲：

一、 排列组合的应用

【例 1】 小新、阿呆等七个同学照像，分别求出在下列条件下有多少种站法？

（1）七个人排成一排；

（2）七个人排成一排，小新必须站在中间.

（3）七个人排成一排，小新、阿呆必须有一人站在中间. （4）七个人排成一排，小新、阿呆必须都站在两边. （5）七个人排成一排，小新、阿呆都没有站在边上. （6）七个人战成两排，前排三人，后排四人.

（7）七个人战成两排，前排三人，后排四人. 小新、阿呆不在同一排。 【解析】 （1）775040P =（种）。

（2）只需排其余6个人站剩下的6个位置．66720P =（种）.

（3）先确定中间的位置站谁，冉排剩下的6个位置．2×6

6P =1440(种)．

（4）先排两边，再排剩下的5个位置，其中两边的小新和阿呆还可以互换位置．552240P ⨯= (种)． （5）先排两边，从除小新、阿呆之外的5个人中选2人，再排剩下的5个人，25552400P P ⨯=（种）. （6）七个人排成一排时，7个位置就是各不相同的．现在排成两排，不管前后排各有几个人，7个位置还是各不相同的，所以本题实质就是7个元素的全排列．775040P =（种）.

（7）可以分为两类情况：“小新在前，阿呆在后”和“小新在前，阿呆在后”，两种情况是对等的，所以只要求出其中一种的排法数，再乘以2即可．4×3×55P ×2=2880(种)．排队问题，一般先考虑特殊情况再去全排列。

【例 2】用1、2、3、4、5、6可以组成多少个没有重复数字的个位是5的三位数？

【解析】个位数字已知，问题变成从从5个元素中取2个元素的排列问题，已知5

n=，2

m=，根据排列数公式，

一共可以组成2

55420

P=⨯=(个)符合题意的三位数。

【巩固】用1、2、3、4、5这五个数字可组成多少个比20000大且百位数字不是3的无重复数字的五位数？【解析】可以分两类来看：

⑴把3排在最高位上，其余4个数可以任意放到其余4个数位上，是4个元素全排列的问题，有

4 4432124

P=⨯⨯⨯=(种)放法，对应24个不同的五位数；

⑵把2，4，5放在最高位上，有3种选择，百位上有除已确定的最高位数字和3之外的3个数字可以

选择，有3种选择，其余的3个数字可以任意放到其余3个数位上，有3

36

P=种选择．由乘法原理，可以组成33654

⨯⨯=(个)不同的五位数。

由加法原理，可以组成245478

+=(个)不同的五位数。

【巩固】用0到9十个数字组成没有重复数字的四位数；若将这些四位数按从小到大的顺序排列，则5687是第几个数？

【解析】从高位到低位逐层分类：

⑴千位上排1，2，3或4时，千位有4种选择，而百、十、个位可以从0~9中除千位已确定的数字之

外的9个数字中选择，因为数字不重复，也就是从9个元素中取3个的排列问题，所以百、十、个位可

有3

9987504

P=⨯⨯=(种)排列方式．由乘法原理，有45042016

⨯=(个)．

⑵千位上排5，百位上排0~4时，千位有1种选择，百位有5种选择，十、个位可以从剩下的八个数

字中选择．也就是从8个元素中取2个的排列问题，即2

88756

P=⨯=，由乘法原理，有1556280

⨯⨯=(个)．

⑶千位上排5，百位上排6，十位上排0，1，2，3，4，7时，个位也从剩下的七个数字中选择，有

116742

⨯⨯⨯=(个)．

⑷千位上排5，百位上排6，十位上排8时，比5687小的数的个位可以选择0，1，2，3，4共5个．

综上所述，比5687小的四位数有20162804252343

+++=(个)，故比5687小是第2344个四位数．

【例 3】用1、2、3、4、5这五个数字，不许重复，位数不限，能写出多少个3的倍数？

【解析】按位数来分类考虑：

⑴一位数只有1个3；

⑵两位数：由1与2，1与5，2与4，4与5四组数字组成，每一组可以组成2

2212

P=⨯=(个)不同的两位数，共可组成248

⨯=(个)不同的两位数；

⑶三位数：由1，2与3；1，3与5；2，3与4；3，4与5四组数字组成，每一组可以组成

3 33216

P=⨯⨯=(个)不同的三位数，共可组成6424

⨯=(个)不同的三位数；

⑷四位数：可由1，2，4，5这四个数字组成，有4

4432124

P=⨯⨯⨯=(个)不同的四位数；

⑸五位数：可由1，2，3，4，5组成，共有5

554321120

P=⨯⨯⨯⨯=(个)不同的五位数．由加法原理，一共有182424120177

++++=(个)能被3整除的数，即3的倍数．

【巩固】用1、2、3、4、5、6六数字卡片，每次取三卡片组成三位数，一共可以组成多少个不同的偶数？【解析】由于组成偶数，个位上的数应从2，4，6中选一，有3种选法；十位和百位上的数可以从剩下的5中

选二，有2

55420

P=⨯=(种)选法．由乘法原理，一共可以组成32060

⨯=(个)不同的偶数．

【例 4】某管理员忘记了自己小保险柜的密码数字，只记得是由四个非0数码组成，且四个数码之和是9，那么确保打开保险柜至少要试几次？

【解析】四个非0数码之和等于9的组合有1，1，1，6；1，1，2，5；1，1，3，4；1，2，2，4；1，2，3，3；

2，2，2，3六种。