高三数学二轮专题复习-三角函数与解三角形

高三数学第二轮专题复习

三角函数

题型一 三角函数与三角恒等变换

例1．已知函数f (x )＝sin ωx －sin ⎝

⎛⎭⎫ωx ＋π

3(ω＞0).

(1)若f (x )在[0，π]上的值域为⎣

⎡⎦

⎤

－

32，1，求ω的取值范围； (2)若f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π3上单调，且f (0)＋f ⎝⎛⎭⎫π

3＝0，求ω的值．

例2．已知a ＝(sin x ，3cos x)，b ＝(cos x ，－cos x)，函数f(x)＝a·b ＋

3

2

. (1)求函数y ＝f(x)图象的对称轴方程；

(2)若方程f(x)＝1

3在(0，π)上的解为x 1，x 2，求cos(x 1－x 2)的值．

例3.已知函数22()cos 2sin cos 3πf x x x x ⎛

⎫=-+- ⎪⎝

⎭

⑴求函数()f x 的最小正周期及图象的对称轴方程； ⑴设函数2()[()]()g x f x f x =+，求()g x 的值域．

【过关练习】

1．已知函数ππ()sin cos 63f x x x ⎛⎫⎛⎫=-

+- ⎪ ⎪⎝

⎭⎝

⎭，2()2sin 2x g x =.

（1）若α

是第一象限角，且()5

f α=

.求()g α的值； （2）求使()()f x g x 成立的x 的取值集合.

2.已知函数()πsin ,4f x A x x ⎛

⎫=+∈ ⎪⎝

⎭R ，且

5π3

122

f ⎛⎫= ⎪⎝⎭. （1）求

A 的值；

（2）若()()32f f θθ+-=，π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求3π4f θ⎛⎫- ⎪⎝⎭

.

3.已知函数()()()sin cos 2f x x a x θθ=+++，其中a ∈R ，ππ,22

θ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭

.

（1）当a =

，4

θπ

=

时，求()f x 在区间[]0,π上的最大值与最小值；

（2）若02f π⎛⎫

= ⎪⎝⎭

，()1f π=，求,a θ的值.

4.已知函数()()22sin cos cos f x x x x x x =--∈R . （1）求23f π⎛⎫

⎪⎝⎭

的值； （2）求()f x 的最小正周期及单调递增区间.

5.设函数()22cos π2cos 32x f x x x ⎛

⎫=++∈ ⎪⎝

⎭R ，．

⑴求()f x 的值域；

⑴记ABC △的内角A 、B 、C 的对边长分别为a ，b ，c ，若()1f B =，1b =，c =a 的值．

6.已知函数()()2ππ1cot sin sin sin 44f x x x m x x ⎛

⎫⎛⎫=+++- ⎪ ⎪⎝

⎭⎝⎭．

⑴当0m =时，求()f x 在区间π3π84⎡⎤

⎢⎥⎣⎦

，上的取值范围；

⑴当tan 2α=时，()3

5

f x =，求m 的值．

7.

已知函数2()cos 2cos 1()f x x x x x =+-∈R

⑴求函数()f x 的最小正周期及在区间π02⎡

⎤⎢⎥⎣

⎦，上的最大值和最小值；

⑴若06()5f x =，0ππ42x ⎡⎤

∈⎢⎥⎣⎦

，，求0cos 2x 的值．

8.已知函数()()sin f x A x ωϕ=+，R x ∈（其中0A >，0ω>，22

ππ

ϕ-

<<）

，其部分图象如图所示．

⑴求()f x 的解析式； ⑴求函数()44ππg x f x f x ⎛

⎫⎛⎫=+⋅

- ⎪ ⎪⎝

⎭⎝⎭在区间0,2π⎡⎤

⎢⎥⎣⎦

上的最大值及相应的x 值．

题型二 解三角形

例1．如图，平面四边形ABDC 中，∠CAD ＝∠BAD ＝30°.

(1)若∠ABC ＝75°，AB ＝10，且AC ∥BD ，求CD 的长； (2)若BC ＝10，求AC ＋AB 的取值范围.

例2．如图所示，已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，且a cos C ＋3a sin C －b －c ＝0.

(1)求A ；

(2)若AD 为BC 边上的中线，cos B ＝17，AD ＝129

2，求△ABC 的面积．

例3.设ABC △是锐角三角形，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 所对边长，并且

22ππsin sin sin sin 33A B B B ⎛⎫⎛⎫

=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

．

⑴求角A 的值；

⑴12AB AC ⋅=，27a =b ，c （其中b c <）．

【过关练习】

1.在△ABC 中,a ,b ,c 分别是内角A ,B ,C 的对边,且(a +c )2=b 2+3ac (Ⅰ)求角B 的大小；

(Ⅱ)若b =2,且sin B +sin(C −A )=2sin2A ，求△ABC 的面积。

2.ABC △的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c . （1）若,,a b c 成等差数列，求证：()sin sin 2sin A C A C +=+；

（2）若,,a b c 成等比数列，求B cos 的最小值.

3.在ABC △中，a b c ，

，分别为内角A ，B ，C 的对边，且()()2sin 2sin 2sin a A b c B c b C =+++． ⑴求A 的大小；

⑵求sin sin B C +的最大值．