中考中的费马点详解加练习

皮耶·德·费马（Pierre de Fermat）是一个17世纪的法国律师，也是一位业余数学家。

之所以称业余，是由于皮耶·德·费马具有律师的全职工作。他的姓氏根据法文与英文实际发音也常译为“费尔玛”（注意“玛”字）。

费马最后定理在中国习惯称为费马大定理，西方数学界原名“最后”的意思是：其它猜想都证实了，这是最后一个。

著名的数学史学家贝尔（E. T. Bell）在20世纪初所撰写的著作中，称皮耶·德·费马为”业余数学家之王。

“贝尔深信，费马比皮耶·德·费马同时代的大多数专业数学家更有成就，然而皮耶·德·费马并未在其他方面另有成就，本人也渐渐退出人们的视野，考虑到17世纪是杰出数学家活跃的世纪，因而贝尔认为费马是17世纪数学家中最多产的明星。

费马点问题最早是由法国数学家皮埃尔·德·费马在一封写给意大利数学家埃万杰利斯塔·托里拆利（气压计的发明者）的信中提出的。

托里拆利最早解决了这个问题，而19世纪的数学家斯坦纳重新发现了这个问题，并系统地进行了推广，

因此这个点也称为托里拆利点或斯坦纳点，相关的问题也被称作费马-托里拆利-斯坦纳问题。

这一问题的解决极大推动了联合数学的发展，在近代数学史上具有里程碑式的意义。

“费马点”是指位于三角形内且到三角形三个顶点距离之和最短的点。

若给定一个三角形△ABC的话，从这个三角形的费马点P到三角形的三个顶点A、B、C的距离之和比从其它点算起的都要小。

这个特殊点对于每个给定的三角形都只有一个。

1.若三角形3个内角均小于120°，那么3条距离连线正好三等分费马点所在的周角，即该点所对三角形三边的张角相等，均为120°。

所以三角形的费马点也称为三角形的等角中心。

2.若三角形有一内角大于等于120°，则此钝角的顶点就是距离和最小的点。

在1的条件下画图找费马点

如图以任意两边为边向两边做等边三角形ABD和等年三角形ACE，则CD,BE交点P即为所求

2若在≥120°的钝角三角形中，其顶点即是。

另外，当刚好120°,且三角形BCD为等边三角形时，有个结论：AD=AB+AC

我们拓展一道几何题，第二问对很多学生或者老师还是很酥爽的。

2011房山一摸2009石景山25．（本小题满分7分）

已知：等边三角形ABC

如图1，P为等边△ABC外一点，且∠BPC=120°．

试猜想线段BP、PC、AP之间的数量关系,并证明你的猜想；

（2）如图2，P为等边△ABC内一点，且∠APD=120°．求证：PA+PD+PC＞BD

我们回到正题：费马点C

B

图1 B

P

图2

25.如图，在平面直角坐标系xOy 中，点B 的坐标为)2,0(，点D 在x 轴的正半轴上，30ODB ∠=︒，OE 为△BOD 的中线，过B 、E 两点的抛物线23

6

y ax x c =+

+与x 轴相交于A 、F 两点（A 在F 的左侧）. （1）求抛物线的解析式；

（2）等边△OMN 的顶点M 、N 在线段AE 上，求AE 及AM 的长； （3）点P 为△ABO 内的一个动点，设m PA PB PO =++，请直接写出m 的最小值,以及m 取得最小值时，线段AP 的长.

2013房山一摸

24．（1）如图1，△ABC 和△CDE 都是等边三角形，且B 、C 、D 三点共线，联结AD 、BE 相交于点P ，求证：BE=AD ．

（2）如图2，在△BCD 中，∠BCD ＜120°，分别以BC 、CD 和BD

为边在△BCD 外部作等边三角形ABC 、等边三角形CDE 和等边三角形BDF ，联结AD 、BE 和CF 交于点P ，下列结论中正确的是 （只填序号即可）

①AD=BE=CF ；②∠BEC=∠ADC ；③∠DPE=∠EPC=∠CPA=60°； （3）如图2，在（2）的条件下，求证：PB+PC+PD=BE ．

图2

图1

B

29. 阅读下面材料:

小伟遇到这样一个问题：如图1，在△ABC （其中∠BAC 是一个可以变化的角）中，AB =2，AC =4，以BC 为边在BC 的下方作等边△PBC ，

求AP

小伟是这样思考的：利用变换和等边三角形将边的位置重新组合．他的方法是以点B 为旋转中心将△ABP 逆时针旋转60°得到△A ’BC ,连接A ’A ,当点A 落在A ’C 上时,此题可解（如图2）． (1)请你回答：AP 的最大值是 ．

(2)参考小伟同学思考问题的方法，解决下列问题：

如图3，等腰Rt △ABC ．边AB =4,P 为△ABC 内部一点，请写出求AP +BP +CP 的最小值长的解题思路.

提示:要解决AP +BP +CP 的最小值问题，可仿照题目给出的做法.把⊿ABP 绕B 点逆时针旋转60，得到''BP A . ① 请画出旋转后的图形

② 请写出求AP +BP +CP 的最小值的解题思路（结果可以不化简）.

2016一月昌平

图3

28. 已知，点O 是等边△ABC 内的任一点，连接OA ，OB ，OC . （1） 如图1，已知∠AOB =150°，∠BOC =120°，将△BOC 绕点C 按顺时针方向旋转60°得△ADC . ①∠DAO 的度数是 ；

②用等式表示线段OA ，OB ，OC 之间的数量关系，并证明； （2） 设∠AOB =α，∠BOC =β.

①当α，β满足什么关系时，OA+OB+OC 有最小值？请在图2中画出符合条件的图形，并说明理由；

②若等边△ABC 的边长为1，直接写出OA+OB+OC 的最小值.

A

B

D

A

B

C

O 图1

图2

2017年一月昌平

29．如图1，在△ABC 中，∠ACB =90°，点P 为△ABC 内一点．

（1）连接PB ，PC ，将△BCP 沿射线CA 方向平移，得到△DAE ，点B ，C ，P 的对应点

分别为点D ，A ，E ，连接CE ． ① 依题意，请在图2中补全图形；

② 如果BP ⊥CE ，BP =3，AB =6，求

CE 的长．

图1

B

图2

图3

N