大学物理例题(三)讲解
大学物理刚体力学习题讲解
(A) 只有(1)是正确的．
（B）
(B) (1) 、(2)正确，(3) 、(4) 错误． (C) (1)、(2) 、(3) 都正确，(4)错误． (D) (1) 、(2) 、(3) 、(4) 都正确．
M=L×F |M|=|L|×|F|sinθ
2. 一轻绳绕在有水平轴的定滑轮上，滑轮的转动惯量为J，绳下
4. 一作定轴转动的物体，对转轴的转动惯量J＝ 3.0 kg·m2，角速度0＝6.0 rad/s．现对物体加一 恒定的制动力矩M ＝－12 N·m，当物体的角速度 减慢到＝2.0 rad/s时，物体已转过了角度 ＝
4.0rad
M=Jβ
2as=v`2-v2 2βθ= 2 -02
5. 质量为m1， m2 （ m1 > m2） 的两物体，通过一定滑轮用绳
6. 一长为1 m的均匀直棒可绕过 其一端且与棒垂直的水平光滑固 定轴转动．抬起另一端使棒向上 与水平面成60°，然后无初转速 地将棒释放．已知棒对轴的转动
惯量为1/3ml3，其中m和l分别为
棒的质量和长度．求： (1) 放手时棒的角加速度； (2) 棒转到水平位置时的角
加速度．
l m g
O 60°
端挂一物体．物体所受重力为P，滑轮的角加速度为．若将物体
去掉而以与P相等的力直接向下拉绳子，滑轮的角加速度将
(A) 不变． (B) 变小．
(C) 变大． (D) 如何变化无法判断．
［ C］
①物体状态at=rβ （P-atm）r=Jβ ②拉力情况下Pr=Jβ
挂重物时，mg－T= ma =mRβ, TR =J, P=mg
5. 解：由人和转台系统的角动量守恒
J11 + J22 = 0 其中 J1＝75×4 kg·m2 =300 kg·m2，1=v/r =0.5 rad / s J2＝3000 kg•m2
大学物理3-4质心 质心运动定理 动量守恒定律
1. 质心
Y
质点系（或物体） 的质量中心，简称 质心。
C
O
X
抛手榴弹的过程
质心运动反映了质点系的整体运动趋势。
质心
对于N个质点组成的质点系：
m1, m2,, mi ,mN M mi 系统总质量
r1, r2, , ri , rN
直角坐标系中 质心的定义：
F1
f12
f13
f1n
m2a2
m2
d v2 dt
F2
f21
f23
f2n
mnan
mn
d vn dt
Fn
fn1
fn2
fn3
fnn1
质心运动定理
对于内力 f12 f21 0,, fin fni 0,
ac
mi
ai miai mi
F
i
ac
Fi mi
Fi
M
质心运
条件 定律
vc
Fi
0
mivi
M
=常矢量
P
mi vi
Mvc
=常矢量
i
动量守恒定律
直角坐标系下的分量形式
m1v1x m2v2x mnvnx =常量 m1v1y m2v2 y mnvny=常量 m1v1z m2v2z mnvnz =常量
动量守恒定律
例题3-8 如图所示,设炮车以仰角 发射一炮弹，炮车
线分布 d m dl 面分布 d m d S 体分布 d m dV
质心
注意：
质心的位矢与参考系的选取有关。
刚体的质心相对自身的位置确定不变。
质量均匀的规则物体的质心在几何中心。
大学物理例题(三)
x x1 2
( x 2 x1 ) u(t 2 t1 ) 1 u c
差别很难测出。
例：一根直杆在S系中，其静止长度为l，与x轴的 夹角为。试求：在S'系中的长度和它与x’轴的夹角。 两惯性系相对运动速度为u。
解：
S
l l0 1 u c
2
2
S
u
x 1 u 2 c 2 l cos 1 u 2 c 2 x
y y l sin
的，试求：S'系中发生这两事件的地点间的距离x'。
解：设S'系相对于S系的速度大小为u。
t
t u x c
1 u c
2 2
2
x
x ut 1 u
2
c
2
t ux c 0 t 2 u c x
2
t
u t 2 x c 2 2 1 u c
x
2 2
重要的实际应用
例 太阳由于热核反应而辐射能量 质量亏损
I 1.4 103W / m 2
P 4r I 4.0 10 W
2 S 26
S
rSE
E
m
m
E 26 4.0 10 J / s t
m E 9 2 4.4 10 kg / s t c t
时序与因果律
时序: 两个事件发生的时间顺序。 在S中：先开枪，后鸟死 在S'中：是否能发生先鸟死，后开枪？
大学物理第三讲 相对运动,第一章综合例题
gx 2 y x tan 2 2v0 cos2
抛物线
13
例：长为 l 的细杆 AB，A端靠在水平面上，B端靠在竖 直墙壁上，现令 A 端以恒定速率vA= u沿水平方向运动, 求任一时刻杆上距 A 端为 b的一点 M 的速度和加速度。
解：如图，xM (l b)sin , yM b cos
e kx 1 1 1 解出 t kt , 联立 kv0 v v0
v v0 e
kx
7
另一解法 由于只需求 v 与 x 的关系，因此可以作如下变换：
dv dv dv dx 2 v kv a dx dt dx dt dv 2 v kv dx
x dv k dx 分离变量并积分 v0 v 0 v kx kx 得出 ln v v e 即 0 v0 v
D
v0
a
y
17
解： (1) 设河岸和流水分别为静止和运动参考系，则 船的绝对速度
v v v0
根据题意， v x 0
v y v sin v
v0 0.8 2 cos v 1.2 3
o
48.2
x
D
v
v0
v a y
v0
x
v
y
v
18
合成速度
vx
v
v v v 7m/s
2 x 2 y
vy
5 3 / 2 arctan arctan 38.2 vx 5.5 vy
24
2 r an tan150 tan r a d t d 2 3 2 0 0 dt 0 d 0 dt 1 0 1 0 3t
大学物理,力学中的守恒定律3
r m v1
r v2
θ
M
βr
v
粒子和氧原子核系统，碰撞过程中无外力作用， 对α粒子和氧原子核系统，碰撞过程中无外力作用， 系统总动量守恒。 系统总动量守恒。
第16页 共27页 页 页
r 碰前： 氧原子核动量为0 碰前：α粒子动量为 mv1 氧原子核动量为 r r 碰后： 碰后：α粒子动量为 mv2 氧原子核动量为Mv
h
A
r v
第8页 共27页 页 页
大学物理
解：煤粉对A的作用力即单位时间内落下的煤粉给 煤粉对 的作用力即单位时间内落下的煤粉给 冲力大小等于煤粉 A的平均冲力。这个冲力大小等于煤粉单位时间内的 的平均冲力。 的平均冲力 这个冲力大小等于煤粉单位时间内的 动量改变量，方向与煤粉动量改变量的方向相反。 动量改变量，方向与煤粉动量改变量的方向相反。 如何求煤粉动量的改变量？ 如何求煤粉动量的改变量？ 设 ∆t 时间内落下的煤 粉质量为 ∆m 则有
煤粉给传送带的平均冲力为 F ′ = 149 N
Fy
与x轴的夹角为 β = 180o − 57.4o = 122.6o
第10页 共27页 页 页
火箭的运动： 火箭的运动：火箭依靠排出其内部燃烧室中 产生的气体来获得向前的推力。 产生的气体来获得向前的推力。设火箭发射时 的质量为m 速率为v 的质量为 0，速率为 0，燃料烧尽时的质量为 m′，气体相对于火箭排出的速率为 e。不计空 ′ 气体相对于火箭排出的速率为v 气阻力，求火箭所能达到的最大速率。 气阻力，求火箭所能达到的最大速率。 解：火箭和燃气组成一个质点系。 火箭和燃气组成一个质点系。 t时刻： 系统总质量为 m 时刻： r r 系统总动量为 p 1 = m v 时刻： t + dt 时刻： 火箭质量为 m + dm (dm < 0) 排出的燃气质量为 − dm
大学物理学(第3版.修订版)北京邮电大学出版社上册第三章知识题3答案解析
习题33.1选择题(1) 有一半径为R 的水平圆转台，可绕通过其中心的竖直固定光滑轴转动，转动惯量为J ，开始时转台以匀角速度ω0转动，此时有一质量为m 的人站在转台中心，随后人沿半径向外跑去，当人到达转台边缘时，转台的角速度为 (A)2ωmR J J+ (B) 02)(ωR m J J + (C)02ωmR J(D) 0ω [答案： (A)](2) 如题3.1（2）图所示，一光滑的内表面半径为10cm 的半球形碗，以匀角速度ω绕其对称轴OC 旋转，已知放在碗内表面上的一个小球P 相对于碗静止，其位置高于碗底4cm ，则由此可推知碗旋转的角速度约为 (A)13rad/s (B)17rad/s (C)10rad/s (D)18rad/s(a) (b)题3.1（2）图[答案： (A)](3)如3.1(3)图所示，有一小块物体，置于光滑的水平桌面上，有一绳其一端连结此物体，；另一端穿过桌面的小孔，该物体原以角速度 在距孔为R的圆周上转动，今将绳从小孔缓慢往下拉，则物体（A）动能不变，动量改变。
（B）动量不变，动能改变。
（C）角动量不变，动量不变。
（D）角动量改变，动量改变。
（E）角动量不变，动能、动量都改变。
[答案：(E)]3.2填空题(1) 半径为30cm的飞轮，从静止开始以0.5rad·s-2的匀角加速转动，则飞轮边缘上一点在飞轮转过240˚时的切向加速度aτ= ，法向加速度a n= 。
[答案：0.15; 1.256](2) 如题3.2（2）图所示，一匀质木球固结在一细棒下端，且可绕水平光滑固定轴O转动，今有一子弹沿着与水平面成一角度的方向击中木球而嵌于其中，则在此击中过程中，木球、子弹、细棒系统的守恒，原因是。
木球被击中后棒和球升高的过程中，对木球、子弹、细棒、地球系统的守恒。
题3.2（2）图[答案：对o轴的角动量守恒，因为在子弹击中木球过程中系统所受外力对o 轴的合外力矩为零，机械能守恒](3) 两个质量分布均匀的圆盘A和B的密度分别为ρA和ρB (ρA>ρB)，且两圆盘的总质量和厚度均相同。
火箭 03-3动量守恒定律()大学物理
由此得
v2
mu
(M m)v2 M m
mu 1 1 M m M 2m
v1和v2相比，可知 v1<v2
3.3 动量守恒定律
3.3.2 火箭飞行
设火箭在外层空间飞 行，空气阻力和重力不计， 动量守恒定律适用。
“长征二号E” 运 载火箭
3.3 动量守恒定律
在t0时刻的速度为v0，火箭(包括燃料)的总质 量为M0，热气体相对火箭的喷射速度为u。随着燃 料消耗，火箭质量不断减少。
动画演示：在两球对心碰撞过程中动量的转移
3.3 动量守恒定律
例题1 一辆停在直轨道上质量为M 的平板车上站着 两个人，当他们从车上沿同方向跳下后，车获得了 一定的速度。设两个人的质量均为m ，跳下时相对 于车的水平分速度均为u。试比较两人同时跳下和两 人依次跳下两种情况下，车所获得的速度的大小。
解 以人离开车的速度水平分量方向为正，车的速 度方向沿负方向。当两人同时跳下车时，对人和车 这个系统而言，在水平方向上动量守恒，因而有
可能发生变化。 在碰撞、打击、爆炸等相互作用时间极短的
过程中，由于系统内部相互作用力远大于合 外力，往往可忽略外力，系统动量守恒近似 成立。 动量守恒可在某一方向上成立。
3.3 动量守恒定律
在应用动量守恒定律时，要注意以下几点： 定律中的速度应是对同一惯性系的速度， 动量和应是同一时刻的动量之和。 动量守恒定律在微观和高速范围仍适用。 动量守恒定律只适用于惯性系。
• 一般多采用多级火箭来提高速度
v1 u ln N1 v2 v1 u ln N2
vn vn1 u ln Nn
u ln( N1 N2 Nn )
3.3 动量守恒定律
大学物理学(清华C5版)分章配套精品题目及答案(第三章)
第三章 动量和角动量【例题精讲】例3-1 一颗子弹在枪筒里前进时所受的合力大小为 t F 31044005⨯-= (SI) 子弹从枪口射出时的速率为 300 m/s ．假设子弹离开枪口时合力刚好为零，则子弹在枪筒中所受力的冲量I ＝ ；子弹的质量m ＝ 。
0.6 N·s 2 g例3-2一质量为1 kg 的物体，置于水平地面上，物体与地面之间的静摩擦系数μ 0＝0.20，滑动摩擦系数μ＝0.16，现对物体施一水平拉力F ＝t+0.96(SI)，则2秒末物体的速度大小v ＝ 。
2秒末物体的加速度大小a ＝ 。
0.89 m/s 1.39 m/s 2例3-3 质量分别为m A 和m B (m A >m B )、速度分别为A v ϖ和B v ϖ(v A > v B )的两质点A 和B ，受到相同的冲量作用，则 (A) A 的动量增量的绝对值比B 的小。
(B) A 的动量增量的绝对值比B 的大。
(C) A 、B 的动量增量相等。
(D) A 、B 的速度增量相等。
[ C ]例3-4 一人用恒力F ϖ推地上的木箱，经历时间∆ t 未能推动木箱，此推力的冲量等于多少？木箱既然受了力F ϖ 的冲量，为什么它的动量没有改变？【答】推力的冲量为t F ∆ϖ。
动量定理中的冲量为合外力的冲量，此时木箱除受力F ϖ外还受地面的静摩擦力等其它外力，木箱未动说明此时木箱的合外力为零，故合外力的冲量也为零，根据动量定理，木箱动量不发生变化。
例3-5 如图，用传送带A 输送煤粉，料斗口在A 上方高h ＝0.5 m 处，煤粉自料斗口自由落在A 上．设料斗口连续卸煤的流量为q m ＝40 kg/s ，A 以v＝2.0 m/s 的水平速度匀速向右移动．求装煤的过程中，煤粉对A 的作用力的大小和方向。
（不计相对传送带静止的煤粉质重）【解】 煤粉自料斗口下落，接触传送带前具有竖直向下的速度gh 20=v 设煤粉与A 相互作用的∆t 时间内，落于传送带上的煤粉质量为 t q m m ∆=∆ 设A 对煤粉的平均作用力为f ϖ，由动量定理写分量式：0-∆=∆v m t f x )(00v m t f y ∆--=∆ 将 t q m m ∆=∆代入得 v m x q f =， 0v m y q f = ∴ 14922=+=y x f f f Nf ϖ与x 轴正向夹角为α = arctg (f x / f y ) = 57.4° 由牛顿第三定律煤粉对A 的作用力f ′= f = 149 N ，方向与图(b)中f ϖ相反。
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x2 x1 ?
x2
x1
x2
ut2 ( x1 ut1) 1 u2 c2
1 1 u2 c2
重要的实际应用 例 太阳由于热核反应而辐射能量 质量亏损
I 1.4103W / m2
P 4rS2I 4.01026W
E 4.01026 J / s t
u c 1 (x x)2
x x ut 1 u2 c2
t
t
u c2
x
1 u2 c2
t t ux c2
1 u2 c2
x x
1 u2 c2
u c2
x
x 1 (x x)2
c
5.77 109 s
u c 1 (x x)2
WEk1 2m v2
v
2W m
2 21109 1.6 1019 9.1 1031
8.6 1010(m s1)
该速率已远超过光速，所以必须考虑相对论效应
Ek (
1
1
v2 c2
1)m0c2
W
1
1
v2 c2
1
W m0c 2
21 109 1.6 1019 9.1 1031 9 1016
解：设S'系相对于S系的速度大小为u。
t t ux c2
1 u2 c2
x x ut 1 u2 c2
t ux c2 0 u t c2
x
t
t
u c2
x
1 u2 c2
x x ut
1 u2 c2
x t 2 c2
闪电事件的时间差t´ 为
t l0u / c2
S ut l0u2 / c2
1 u2 c2
1 u2 c2
隧道B端与火车b端相遇时，火车露在隧道外面的长度为
l l0 l l0 (1 1 u2 c 2 )
例 S系中的观察者有一根米尺固定在x轴上，其
两端各装一手枪。在S´系中的x´轴上固定另一根长
时序: 两个事件发生的时间顺序。 在S中：先开枪，后鸟死
在S'中：是否能发生先鸟死，后开枪？
由因果律联系的两事件的时序是否会颠倒？
开枪 事件1：
( x1 , t1 )前 在S中：t2 t1
子弹
鸟死 事件2：
( x2 ,t2 )后
在S'系中： t1
t1 ux1 1 u2
c2 c2
4 2
He
，
mHe 6.6425 1027 kg
中子
1 0
n,
mn
1.675 1027 kg
，求这一热核反应
中所释放出的能量。
解： 这一反应的质量亏损为
m0 (mDmT ) (mHe mn) (3.3437 5.0049 6.6425 1.6750) 1027
你认为这样的计算正确吗？
用
Ek
1 mu 2 2
计算粒子动能是错误的。
相对论动能公式为 Ek mc 2 m0c2
Ek mc 2 m0c2
m0 1 u2
c2
c2 m0c2
m0 0.6
c2
m0c 2
2 3
m0c 2
0.667m0c 2
t1
在S'系中：仍然是开枪在前，鸟死在后。
所以由因果率联系的两事件的时序不会颠倒。
例：在惯性系S中，观察到两个事件同时发生在x轴 上，其间距是1m，而在S'系中观察这两事件之间的 距离是2m。试求：S'系中这两事件的时间间隔。
解：S系中t=0， x=1m 。
x x
1 u2 c2
t2
t1
10
0.98c 100 1 0.982
c2
50.25s
例：在惯性系S中，相距x=5106m的两个地方发生 两个事件，时间间隔t=10-2s；而在相对于S系沿x轴
正向匀速运动的S'系中观测到这两事件却 是同时发生
的，试求：S'系中发生这两事件的地点间的距离x'。
0.0311 1027 kg
相应释放的能量为
Ek m0c2 0.03111027 9 1016 2.799 1012(J )
1kg的这种燃料所释放的能量
Ek mD mT
2.799 1012 8.83486 1027
3.35 1014(J kg1)
t2 t1
1 u2 c2
1 u2 c2
t
时间膨胀了，
1 u2 c 2 即S系观测时，过程变慢了。
t t2 t1 运动时间
(观测时间)
原时最短， 动钟变慢
S
S
u
弟a. 弟e f
.
x
X
0
X
在S系中观察者总觉得相对于自己运动的 S 系
的钟较自己的钟走得慢。
S
rSE
E
m t
E c 2 t
4.4109 kg / s
m 2.2 1021
m
例1、美国斯坦福大学电子直线加速器对被加速电子 作功21GeV，若在入口处电子初速度为0，则在加速 器末端电子将获得多大速率（1eV=1.6×10-19J）？
解：首先按经典力学进行估算，看是否需要考虑相 对论效应，电子通过该加速器时，外力作功，电子 动能增加，根据动能定理有
s
S
u 0.80c
0.90c
解：选飞船参考系为S'系
地面参考系为S系
v u
v
1
vu c2
S S
u vx
x x
u 0.80c vx 0.90c
vx
vx
1
u c2
u vx
0.90c 0.80c 1 0.80 0.90
0.99c
时序与因果律
2
o
o1 ut 2
o2
S
t t2 t1
2h c
1 u2 c2
2 h c
1 u2 c2
t 1 u2 c2
t
1 u2 c2
原时最短，动钟变慢
S
S
u
弟a. 弟e f
.
x
x
0
x
花开事件：(x, t1) S系x处发生两个事件 花谢事件：(x, t2 )
t
t
u c2
x
1 u2 c2
t2
t1
(t2
t1 )
u( x2 1 u2
c2
x1 )
c2
x x2 x1 100m, t t2 t1 10s, u 0.98c
x2
x1
100 0.9810 1 0.982
1.47 1010 m
y y l sin
o
l (x)2
arctan
(y)2
l sin
l(1 cos2
u2 c2
)1
2
l cos 1 u2 c2
例 一火车以恒定速度通过隧道，火车和隧道的静 长是相等的。从地面上看，当火车的前端b到达隧 道的B端的同时，有一道闪电正击中隧道的A端。 试问此闪电能否在火车的a端留下痕迹？
1
v2 c2
2m0
损失的能量 转换成静能
思考题2、有一粒子静止质量为m0，现以速度u=0.8c 运动， 有人在计算它的动能时，用了以下方法：
首先计算粒子质量
m
再根据动能公式，有
m0
m0
1 u2 c2 0.6
Ek
1 2
mu 2
1 2
m0 (0.8c)2 0.6
0.533m0c 2
＝10 1－（3103 / 3108 )2 9.9999999995m
差别很难测出。
例：一根直杆在S系中，其静止长度为l，与x轴的
夹角为。试求：在S'系中的长度和它与x’轴的夹角。
两惯性系相对运动速度为u。
解： l l0 1 u2 c2
S u
S
o x x 1 u2 c2 l cos 1 u2 c2
4.1 104
v 0.9999999997c
电子速率仍小于光速
例2、试计算氢弹爆炸中核聚变反应之一所释放的能
量，其聚变反应为
2 1
H
3 1
H
4 2
He
01
n
各粒子的静止质量为氘核
2 1
H,
mD
3.3437 1027 kg
氚核
3 1
H,
mT
5.0049 1027 kg ，氦核
u
隧
a火 车b
A
道
B
在地面参照系S中看，火车长度要缩短。
在火车参照系S´中，隧道长度缩短。但隧道的
B端与火车b端相遇这一事件与隧道A端发生闪电的 事件不是同时的，而是B端先与b端相遇，而后A处 发生闪电，当A端发生闪电时，火车的a端已进入 隧道内，所以闪电仍不能击中a端。
隧道B端与火车b端相遇这一事件与A端发生