2018北师大版高中数学选修1-1学案：第二章 3.1 双曲线及其标准方程
高中数学选修1-1北师大版 双曲线及其标准方程 学案1
§3 双曲线3.1 双曲线及其标准方程自主整理1.双曲线的定义:平面内到两定点F 1、F 2的距离之差的___________等于常数(_________|F 1F 2|)的点的集合叫作双曲线,这两个定点F 1、F 2叫作双曲线的___________,两焦点之间的距离叫作双曲线的___________.2.双曲线的标准方程当焦点在x 轴上时,双曲线的标准方程为___________,焦点坐标为___________、___________,其中a 、b 、c 间的关系是___________;当焦点在y 轴上时,双曲线的标准方程为_______________________,焦点坐标为__________、__________.3.设双曲线两焦点之间距离为2c(c>0),双曲线上任一点M 与两焦点距离之差的绝对值为常数2a(0<a<c),则M 所满足的关系式是______________________.高手笔记1.双曲线定义与椭圆定义的异同(1)两者都是描述动点与两定点距离的关系,但有本质区别,双曲线是动点到两定点距离的差的绝对值是常数,而椭圆则是动点到两定点距离之和是常数.(2)a 、b 、c 之间的关系,双曲线与椭圆有区别,在椭圆中有a 2=b 2+c 2,而在双曲线中有c 2=a 2+b 2,这些隐含条件在解题时一定不要混淆.2.在双曲线的定义中,不要忽视绝对值．．．这一中心词,若不加绝对值,则仅表示双曲线的一支. 3.可用x 、y 项的系数正负来判断双曲线焦点在哪一个坐标轴上.4.求双曲线方程的基本方法是待定系数法,在解决此类问题时,应考虑双曲线标准方程有一种还是两种形式.名师解惑1.在平面内,与两个定点F 1、F 2的距离之差等于常数的点M 的轨迹是什么?剖析:(1)当其中的常数等于零时,相应的动点M 的轨迹是线段F 1F 2的垂直平分线;(2)当其中的常数的绝对值小于定点F 1、F 2的距离时,即|MF 1|-|MF 2|<|F 1F 2|,相应的动点M 的轨迹是以定点F 1、F 2为焦点的双曲线的一支(注:如果这个常数为正,相应的轨迹是含焦点F 2的一支;如果这个常数是负,相应的轨迹是含焦点F 1的一支);(3)当其中的常数的绝对值等于定点F 1、F 2的距离时,即||MF 1|-|MF 2||=|F 1F 2|,相应的动点M 的轨迹是一条射线(注:如果这个常数为正,相应的轨迹是以F 2为端点、方向与21F F 相同的一条射线;如果这个常数是负,则相应的轨迹是以F 1为端点、方向与21F F 相反的一条射线);(4)当其中的常数的绝对值大于定点F 1、F 2的距离时,相应的动点M 的轨迹不存在.2.在给出一条双曲线的方程(能够化为标准方程的形式)时如何判断其焦点处于哪条数轴上?与给出一个椭圆的方程(能够化为标准方程的形式)判断其焦点处于哪条数轴上一样吗?剖析:如果所给的双曲线的方程不是标准方程的形式,首先将其转化为标准方程的形式,然后看被减式对应的分子中的字母即是相应的焦点所在的数轴.这一点显然就与给出椭圆的方程判定焦点所在的数轴的方法不同.3.双曲线与椭圆是两种不同的圆锥曲线,其标准方程形式能够统一吗?剖析:尽管双曲线与椭圆是两种不同的圆锥曲线,但其标准方程形式能够统一.只要仔细观察一下它们的标准方程形式就不难看出.在方程22ax +22b y =1中,令21a =m,21b =n,则对应的方程为mx 2+ny 2=1;同样地,在方程2222b y a x -=1中,只要令21a =m,21b -=n,则对应的方程为mx 2+ny 2=1.由此可见,双曲线与椭圆的标准方程都能够化为mx 2+ny 2=1(对于焦点在纵轴上的椭圆与双曲线的标准方程也不难得出相同的结论).因此,在具体问题中可以考虑将所要求的椭圆或双曲线的标准方程设为mx 2+ny 2=1的形式,只是要注意这个方程要表示椭圆与双曲线时,对于m 、n 的要求不一样.4.双曲线2222by a x -=1(a>0,b>0)的焦点是(-c,0)、(c,0),那么对于焦点是(-c,0)、(c,0)的双曲线的方程就一定是2222by a x -=1吗? 剖析:不一定.根据双曲线的定义可知,即使其两个焦点确定了,但定义中的常数(也就是实轴长)不定时,相应的双曲线也不定.那么对于具体问题中,如果要求与2222by a x -=1同焦点的双曲线的标准方程,可以将所求的双曲线方程设为λλ--+2222b y a x =1的形式,从而将问题解决.讲练互动【例1】P 是双曲线366422y x -=1上一点,F 1、F 2是双曲线的两个焦点,且|PF 1|=17,求|PF 2|的值. 解析:利用双曲线的定义求解.解:在双曲线366422y x -=1中,a=8,b=6,故c=10. 由P 是双曲线上一点,得||PF 1|-|PF 2||=16.∴|PF 2|=1,或|PF 2|=33.又|PF 2|≥c -a=2,得|PF 2|=33.黑色陷阱本题容易忽略|PF 2|≥c -a 这一条件,而得出错误的结论|PF 2|=1,或|PF 2|=33.变式训练1.双曲线16922y x -=1的两个焦点为F 1、F 2,点P 是双曲线上的点,若PF 1⊥PF 2,求点P 到x 轴的距离.解:方法一:由题意得F 1(-5,0)、F 2(5,0),设P 的坐标是(x 0,y 0),又PF 1⊥PF 2,则|PF 1|2+|PF 2|2=|F 1F 2|2,故有⎪⎩⎪⎨⎧=-=+-+++.1169,100)5()5(202020202020y x y x y x 解得|y 0|=516,故P 到x 轴的距离为516. 方法二:以O 为圆心,以2||21F F =5为半径作圆x 2+y 2=25,与16922y x -=1联立得⎪⎩⎪⎨⎧=-=+,1169,252222y x y x 解得y 2=25162,即|y|=516. ∴P 到x 轴的距离为516. 【例2】在周长为48的Rt △MPN 中,∠MPN=90°,tan ∠PMN=43,求以M 、N 为焦点,且过点P 的双曲线方程.解析:首先应建立适当的坐标系.由于M 、N 为焦点,所以建立如图所示直角坐标系,可知双曲线方程为标准方程.由双曲线定义可知||PM|-|PN||=2a,|MN|=2c,所以利用条件确定△MPN 的边长是关键.解:∵△MPN 的周长为48,且tan ∠PMN=43,∴设|PN|=3k,|PM|=4k,则|MN|=5k.由3k+4k+5k=48,得k=4.∴|PN|=12,|PM|=16,|MN|=20.以MN 所在直线为x 轴,以MN 的中点为原点建立直角坐标系. 设所求双曲线方程为2222by a x -=1(a>0,b>0). 由|PM|-|PN|=4,得2a=4,a=2,a 2=4.由|MN|=20,得2c=20,c=10.则b 2=c 2-a 2=96,所求双曲线方程为96422y x -=1. 绿色通道选取的坐标系不同,则双曲线的方程不同,但双曲线的形状不会发生变化,解题中应注意合理选取坐标系,这样能使所求曲线的方程更简捷.变式训练2.已知点M(-3,0)、N(3,0)、B(1,0),圆O′与MN 相切于点B,过M 、N 与圆O′相切的两直线相交于点P,则P 点的轨迹方程为______________.解析:如图所示,|PM|-|PN|=|PA|+|AM|-|PC|-|CN|=|MA|-|NC|=|MB|-|NB|=4-2=2.∴P 点的轨迹是以M 、N 为焦点的双曲线的右支,c=3,a=1,b 2=8.∴所求的轨迹方程是x 282y -=1(x>1). 答案:x 282y -=1(x>1) 3.已知双曲线的两个焦点分别为F 1(2-,2-)、F 2(2,2),双曲线上一点P 到F 1、F 2的距离的差的绝对值等于22,求双曲线的方程.解析:由双曲线定义可得|PF 1|-|PF 2|=±22,整理化简即得.解:设P 点坐标为(x,y),∵|PF 1|=22)2()2(+++y x , |PF 2|=22)2()2(-+-y x ,|PF 1|-|PF 2|=±22, ∴22)2()2(-+-y x 22)2()2(-+--y x =±22.将这个方程移项后,两边平方,得 (x+2)2+(y+2)2=8±42×22)2()2(--y x +(x-2)2+(y-2)2,即x+y-2=±22)2()2(-+-y x .两边再平方,得x 2+y 2+2+2xy-22x-22y=x 2-22x+2+y 2-22y+2,整理,得xy=1,此即为所求双曲线方程.。
北师大版高中数学选修1-12.3.1双曲线及其标准方程
高中数学学习材料（灿若寒星 精心整理制作）§3 双曲线3.1 双曲线及其标准方程 课时目标 1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程.2.掌握双曲线的标准方程.3.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的应用问题．1．双曲线的有关概念(1)双曲线的定义平面内到两个定点F 1，F 2的距离之差的绝对值等于常数(大于零且小于|F 1F 2|)的点的集合叫作双曲线．(2)双曲线的焦点和焦距__________________________________， 两焦点间的距离叫作________________．2．双曲线的标准方程(1)焦点在x 轴上的双曲线的标准方程是________________，焦点F 1__________， F 2__________.(2)焦点在y 轴上的双曲线的标准方程是______________________，焦点F 1________， F 2________.(3)双曲线中a 、b 、c 的关系是______________．一、选择题1．已知平面上定点F 1、F 2及动点M ，命题甲：||MF 1|－|MF 2||＝2a(a 为常数)，命题乙：M 点轨迹是以F 1、F 2为焦点的双曲线，则甲是乙的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．若ax 2＋by 2＝b(ab<0)，则这个曲线是( )A ．双曲线，焦点在x 轴上B ．双曲线，焦点在y 轴上C ．椭圆，焦点在x 轴上D ．椭圆，焦点在y 轴上3．焦点分别为(－2,0)，(2,0)且经过点(2,3)的双曲线的标准方程为( ) A ．x 2－y 23＝1 B .x 23－y 2＝1 C ．y 2－x 23＝1 D .x 22－y 22＝14．双曲线x 2m －y 23＋m＝1的一个焦点为(2,0)，则m 的值为( ) A .12B ．1或3C .1＋22D .2－125．一动圆与两圆：x 2＋y 2＝1和x 2＋y 2－8x ＋12＝0都外切，则动圆圆心的轨迹为( )A ．抛物线B ．圆C ．双曲线的一支D ．椭圆6．已知双曲线中心在坐标原点且一个焦点为F 1(－5，0)，点P 位于该双曲线上，线段PF 1的中点坐标为(0,2)，则该双曲线的方程是( ) A .x 24－y 2＝1 B ．x 2－y 24＝1 C .x 22－y 23＝1 D .x 23－y 22＝1 题 号1 2 3 4 5 6 答 案二、填空题7.设F 1、F 2是双曲线x 24－y 2＝1的两个焦点，点P 在双曲线上，且PF 1→·PF 2→＝0，则|PF 1|·|PF 2|＝______.8．已知方程x 21＋k －y 21－k＝1表示双曲线，则k 的取值范围是________． 9．F 1、F 2是双曲线x 29－y 216＝1的两个焦点，P 在双曲线上且满足|PF 1|·|PF 2|＝32，则∠F 1PF 2＝______.三、解答题10．设双曲线与椭圆x 227＋y 236＝1有相同的焦点，且与椭圆相交，一个交点A 的纵坐标为4，求此双曲线的标准方程．11．在△ABC 中，B(4,0)、C(－4,0)，动点A 满足sin B －sin C ＝12sin A ，求动点A 的轨迹方程．能力提升12.若点O 和点F(-2,0)分别为双曲线2221xy a -=(a>0)的中心和左焦点,点P 为双曲线右支上的任意一点,则OP →·FP →的取值范围为( )A ．[3－23，＋∞)B ．[3＋23，＋∞)C ．[－74，＋∞)D ．[74，＋∞) 13．已知双曲线的一个焦点为F(7，0)，直线y ＝x －1与其相交于M ，N 两点，MN中点的横坐标为－23，求双曲线的标准方程．1．双曲线的标准方程可以通过待定系数法求得．2．和双曲线有关的轨迹问题要按照求轨迹方程的一般步骤来解，也要和双曲线的定义相结合．3．直线和双曲线的交点问题可以转化为解方程组(设而不求)，利用韦达定理，弦长公式等解决．§3 双曲线3.1 双曲线及其标准方程知识梳理1．(2)双曲线的焦点 双曲线的焦距2．(1)x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0) (－c,0) (c,0) (2)y 2a 2－x 2b2＝1(a>0，b>0) (0，－c) (0，c) (3)c 2＝a 2＋b 2作业设计1．B [根据双曲线的定义，乙⇒甲，但甲 乙，只有当2a<|F 1F 2|且a ≠0时，其轨迹才是双曲线．]2．B [原方程可化为x 2b a＋y 2＝1，因为ab<0，所以b a<0，所以曲线是焦点在y 轴上的双曲线，故选B .]3．A [∵双曲线的焦点在x 轴上，∴设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1 (a>0，b>0)． 由题知c ＝2，∴a 2＋b 2＝4.①又点(2,3)在双曲线上，∴22a 2－32b2＝1.② 由①②解得a 2＝1，b 2＝3， ∴所求双曲线的标准方程为x 2－y 23＝1.] 4．A [∵双曲线的焦点为(2,0)，在x 轴上且c ＝2，∴m ＋3＋m ＝c 2＝4.∴m ＝12.] 5．C [由题意两定圆的圆心坐标为O 1(0,0)，O 2(4,0)，设动圆圆心为O ，动圆半径为r ，则|OO 1|＝r ＋1，|OO 2|＝r ＋2，∴|OO 2|－|OO 1|＝1<|O 1O 2|＝4，故动圆圆心的轨迹为双曲线的一支．]6．B [设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，因为c ＝5，c 2＝a 2＋b 2，所以b 2＝5－a 2，所以x 2a 2－y 25－a 2＝1.由于线段PF 1的中点坐标为(0,2)，则P 点的坐标为(5，4)．代入双曲线方程得5a 2－165－a 2＝1，解得a 2＝1或a 2＝25(舍去)，所以双曲线方程为x 2－y 24＝1.故选B .] 7．2解析 ∵||PF 1|－|PF 2||＝4，又PF 1⊥PF 2，|F 1F 2|＝25，∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝20，∴(|PF 1|－|PF 2|)2＝20－2|PF 1||PF 2|＝16，∴|PF 1|·|PF 2|＝2.8．－1<k<1解析 因为方程x 21＋k －y 21－k＝1表示双曲线，所以(1＋k)(1－k)>0.所以(k ＋1)(k －1)<0.所以－1<k<1.9．90°解析 设∠F 1PF 2＝α，|PF 1|＝r 1，|PF 2|＝r 2.在△F 1PF 2中，由余弦定理，得(2c)2＝r 21＋r 22－2r 1r 2cos α，∴cos α＝(r 1－r 2)2＋2r 1r 2－4c 22r 1r 2＝36＋64－10064＝0. ∴α＝90°.10．解 方法一 设双曲线的标准方程为y 2a 2－x 2b 2＝1 (a>0，b>0)，由题意知c 2＝36－27＝9，c ＝3.又点A 的纵坐标为4，则横坐标为±15，于是有⎩⎪⎨⎪⎧ 42a 2－(±15)2b 2＝1，a 2＋b 2＝9，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝5. 所以双曲线的标准方程为y 24－x 25＝1. 方法二 将点A 的纵坐标代入椭圆方程得A(±15，4)，又两焦点分别为F 1(0,3)，F 2(0，－3)．所以2a ＝|(±15－0)2＋(4＋3)2－(±15－0)2＋(4－3)2|＝4，即a ＝2，b 2＝c 2－a 2＝9－4＝5， 所以双曲线的标准方程为y 24－x 25＝1. 11．解 设A 点的坐标为(x ，y)，在△ABC 中，由正弦定理，得a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝2R ，代入sin B －sin C ＝12sin A ， 得|AC|2R －|AB|2R ＝12·|BC|2R，又|BC|＝8， 所以|AC|－|AB|＝4.因此A 点的轨迹是以B 、C 为焦点的双曲线的右支(除去右顶点)且2a ＝4,2c ＝8，所以a ＝2，c ＝4，b 2＝12.所以A 点的轨迹方程为x 24－y 212＝1 (x>2)． 12．B[由c ＝2得a 2＋1＝4，∴a 2＝3，∴双曲线方程为x 23－y 2＝1. 设P(x ，y)(x ≥3)，OP →·FP →＝(x ，y)·(x ＋2，y)＝x 2＋2x ＋y 2＝x 2＋2x ＋x 23－1＝43x 2＋2x －1(x ≥3)． 令g(x)＝43x 2＋2x －1(x ≥3)，则g(x)在[3，＋∞)上单调递增．g(x)min ＝g(3)＝3＋2 3. ∴OP →·FP →的取值范围为[3＋23，＋∞)．]13．解 设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1， 且c ＝7，则a 2＋b 2＝7.①由MN 中点的横坐标为－23知， 中点坐标为⎝⎛⎭⎫－23，－53. 设M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)，则由⎩⎨⎧ x 21a 2－y 21b 2＝1，x 22a 2－y 22b 2＝1， 得b 2(x 1＋x 2)(x 1－x 2)－a 2(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0.∵⎩⎨⎧ x 1＋x 2＝－43y 1＋y 2＝－103，且y 1－y 2x 1－x 2＝1， ∴2b 2＝5a 2.②由①，②求得a 2＝2，b 2＝5.∴所求双曲线的标准方程为x 22－y 25＝1.。
2018版高中数学北师大版选修1-1学案：第二章 圆锥曲线
2.2抛物线的简单性质[学习目标] 1.通过图形理解抛物线的对称性、范围、顶点等简单性质.2.掌握抛物线的四种位置及相应的焦点坐标和准线方程.3.能够运用一元二次方程的根的性质解决直线与抛物线的位置关系等问题．知识点一抛物线的简单性质知识点二焦点弦直线过抛物线y2＝2px (p>0)的焦点F，与抛物线交于A(x1，y1)、B(x2，y2)两点，由抛物线的定义知，|AF|＝x1＋p2，|BF|＝x2＋p2，故|AB|＝x1＋x2＋p.知识点三直线与抛物线的位置关系直线y＝kx＋b与抛物线y2＝2px(p>0)的交点个数决定于关于x的方程k2x2＋2(kb－p)x＋b2＝0的解的个数．当k≠0时，若Δ>0，则直线与抛物线有两个不同的公共点；当Δ＝0时，直线与抛物线有一个公共点；当Δ<0时，直线与抛物线没有公共点．当k＝0时，直线与抛物线的对称轴平行或重合，此时直线与抛物线有一个公共点．题型一抛物线的简单性质例1过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，O为坐标原点．若|AF|＝3，则△AOB的面积为________．答案322解析 由题意设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(y 1>0，y 2<0)，如图所示，|AF |＝x 1＋1＝3，∴x 1＝2，y 1＝2 2.设AB 的方程为x －1＝ty ，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，x －1＝ty消去x 得y 2－4ty －4＝0.∴y 1y 2＝－4.∴y 2＝－2，x 2＝12，∴S △AOB ＝12×1×|y 1－y 2|＝322.反思与感悟 (1)注意抛物线各元素间的关系：抛物线的焦点始终在对称轴上，抛物线的顶点就是抛物线与对称轴的交点，抛物线的准线始终与对称轴垂直，抛物线的准线与对称轴的交点和焦点关于抛物线的顶点对称．(2)解决抛物线问题要始终把定义的应用贯彻其中，通过定义的运用，实现两个距离之间的转化，简化解题过程．跟踪训练1 已知抛物线的对称轴在坐标轴上，以原点为顶点，且经过点M (1，－2)．求抛物线的标准方程和准线方程． 解 (1)当抛物线的焦点在x 轴上时， 设其标准方程为y 2＝mx (m ≠0)． 将点M (1，－2)代入，得m ＝4. ∴抛物线的标准方程为y 2＝4x ；(2)当抛物线的焦点在y 轴上时，设其标准方程为x 2＝ny (n ≠0)． 将点M (1，－2)代入，得n ＝－12.∴抛物线的标准方程为x 2＝－12y .故所求的抛物线的标准方程为y 2＝4x 或x 2＝－12y .准线方程为x ＝－1或y ＝18.题型二 抛物线的焦点弦问题例2 已知抛物线方程为y 2＝2px (p >0)，过此抛物线的焦点的直线与抛物线交于A ，B 两点，且|AB |＝52p ，求AB 所在的直线方程．解 由题意知焦点F ⎝⎛⎭⎫p 2，0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 若AB ⊥x 轴，则|AB |＝2p <52p ，不满足题意．所以直线AB 的斜率存在，设为k ， 则直线AB 的方程为y ＝k ⎝⎛⎭⎫x －p2，k ≠0. 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k ⎝⎛⎭⎫x －p 2，y 2＝2px ，消去x ，整理得ky 2－2py －kp 2＝0. 由根与系数的关系得y 1＋y 2＝2pk，y 1y 2＝－p 2. 所以|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2 ＝⎝⎛⎭⎫1＋1k 2·(y 1－y 2)2＝1＋1k2·(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝2p ⎝⎛⎭⎫1＋1k 2＝52p ， 解得k ＝±2.所以AB 所在的直线方程为y ＝2⎝⎛⎭⎫x －p 2 或y ＝－2⎝⎛⎭⎫x －p2. 反思与感悟 (1)解决抛物线的焦点弦问题时，要注意抛物线定义在其中的应用，通过定义将焦点弦长度转化为端点的坐标问题，从而可借助根与系数的关系进行求解． (2)设直线方程时要特别注意斜率不存在的直线应单独讨论．跟踪训练2 已知直线l 经过抛物线y 2＝6x 的焦点F ，且与抛物线相交于A 、B 两点． (1)若直线l 的倾斜角为60°，求|AB |的值；(2)若|AB |＝9，求线段AB 的中点M 到准线的距离． 解 (1)因为直线l 的倾斜角为60°， 所以其斜率k ＝tan 60°＝3，又F ⎝⎛⎭⎫32，0. 所以直线l 的方程为y ＝3⎝⎛⎭⎫x －32. 联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝6x ，y ＝3⎝⎛⎭⎫x －32，消去y 得x 2－5x ＋94＝0.若设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝5， 而|AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋p 2＋x 2＋p2＝x 1＋x 2＋p . 所以|AB |＝5＋3＝8.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由抛物线定义知 |AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋p 2＋x 2＋p2＝x 1＋x 2＋p ＝x 1＋x 2＋3，所以x 1＋x 2＝6，于是线段AB 的中点M 的横坐标是3， 又准线方程是x ＝－32，所以M 到准线的距离等于3＋32＝92.题型三 直线与抛物线的位置关系例3 已知直线l ：y ＝kx ＋1，抛物线C ：y 2＝4x ，当k 为何值时，直线l 与抛物线C 有： (1)一个公共点； (2)两个公共点； (3)没有公共点．解 将直线l 和抛物线C 的方程联立得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，y 2＝4x ，消去y ，得k 2x 2＋(2k －4)x ＋1＝0.(*)当k ＝0时，方程(*)只有一个解，为x ＝14，此时y ＝1.∴直线l 与抛物线C 只有一个公共点⎝⎛⎭⎫14，1，此时直线l 平行于x 轴． 当k ≠0时，方程(*)为一元二次方程，Δ＝(2k －4)2－4k 2，①当Δ>0，即k <1且k ≠0时，直线l 与抛物线C 有两个公共点，此时直线l 与抛物线C 相交；②当Δ＝0，即k ＝1时，直线l 与抛物线C 有一个公共点，此时直线l 与抛物线C 相切； ③当Δ<0，即k >1时，直线l 与抛物线C 没有公共点，此时直线l 与抛物线C 相离． 综上所述，(1)当k ＝1或k ＝0时，直线l 与抛物线C 有一个公共点； (2)当k <1且k ≠0时，直线l 与抛物线C 有两个公共点； (3)当k >1时，直线l 与抛物线C 没有公共点．反思与感悟 直线与抛物线交点的个数，等价于直线方程与抛物线方程联立得到的方程组解的个数．注意直线斜率不存在和得到的方程二次项系数为0的情况．跟踪训练3 在直角坐标系xOy 中，直线l ：y ＝t (t ≠0)交y 轴于点M ，交抛物线C ：y 2＝2px (p >0)于点P ，M 关于点P 的对称点为N ，连接ON 并延长交C 于点H . (1)求|OH ||ON |；(2)除H 以外，直线MH 与C 是否有其它公共点？说明理由. 解 (1)由已知得M (0，t )，P ⎝⎛⎭⎫t 22p ，t ，又N 为M 关于点P 的对称点，故N ⎝⎛⎭⎫t 2p ，t ，ON 的方程为y ＝pt x ，代入y 2＝2px 整理得px 2－2t 2x ＝0，解得x 1＝0，x 2＝2t 2p，因此H ⎝⎛⎭⎫2t 2p ，2t . 所以N 为OH 的中点，即|OH ||ON |＝2.(2)直线MH 与C 除H 以外没有其它公共点，理由如下： 直线MH 的方程为y －t ＝p 2t x ，即x ＝2tp(y －t ).代入y 2＝2px 得y 2－4ty ＋4t 2＝0，解得y 1＝y 2＝2t ，即直线MH 与C 只有一个公共点，所以除H 以外直线MH 与C 没有其它公共点.1．以x 轴为对称轴的抛物线的通径(过焦点且与对称轴垂直的弦)长为8，若抛物线的顶点在坐标原点，则其方程为( ) A ．y 2＝8xB ．y 2＝－8xC ．y 2＝8x 或y 2＝－8xD ．x 2＝8y 或x 2＝－8y 答案 C解析 设抛物线y 2＝2px 或y 2＝－2px (p >0)，依题意得x ＝p2，代入y 2＝2px 或y 2＝－2px ，得|y |＝p ，∴2|y |＝2p ＝8，p ＝4.2．若抛物线y 2＝x 上一点P 到准线的距离等于它到顶点的距离，则点P 的坐标为( ) A ．(14，±24)B ．(18，±24)C ．(14，24)D ．(18，24)答案 B解析 由题意知，点P 到焦点F 的距离等于它到顶点O 的距离，因此点P 在线段OF 的垂直平分线上，而F (14，0)，所以点P 的横坐标为18，代入抛物线方程得y ＝±24，故点P 的坐标为(18，±24)，故选B.3．抛物线y ＝4x 2上一点到直线y ＝4x －5的距离最短，则该点坐标为( ) A ．(1,2) B ．(0,0) C ．(12，1) D ．(1,4)答案 C解析 因为y ＝4x 2与y ＝4x －5不相交，设与y ＝4x －5平行的直线方程为y ＝4x ＋m .则⎩⎪⎨⎪⎧y ＝4x 2，y ＝4x ＋m ⇒4x 2－4x －m ＝0.① 设此直线与抛物线相切，此时有Δ＝0， 即Δ＝16＋16m ＝0，∴m ＝－1. 将m ＝－1代入①式，x ＝12，y ＝1，故所求点的坐标为(12，1)．4．经过抛物线y 2＝2x 的焦点且平行于直线3x －2y ＋5＝0的直线l 的方程是( ) A ．6x －4y －3＝0 B ．3x －2y －3＝0 C ．2x ＋3y －2＝0 D ．2x ＋3y －1＝0答案 A解析 设直线l 的方程为3x －2y ＋c ＝0，抛物线y 2＝2x 的焦点F (12，0)，所以3×12－2×0＋c ＝0，所以c ＝－32，故直线l 的方程是6x －4y －3＝0.选A.5．已知直线x －y ＋1＝0与抛物线y ＝ax 2相切，则a ＝________. 答案 －14解析 由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1＝0，y ＝ax 2，消去y 得ax 2－x －1＝0， ∵直线与抛物线相切，∴a ≠0且Δ＝1＋4a ＝0. ∴a ＝－14.1.讨论抛物线的几何性质，一定要利用抛物线的标准方程；利用几何性质，也可以根据待定系数法求抛物线的方程．2．直线与抛物线的相交弦问题共有两类，一类是过焦点的弦，一类是不过焦点的弦．解决弦的问题，大多涉及到抛物线的弦长、弦的中点、弦的斜率．常用的办法是将直线方程与抛物线方程联立，转化为关于x 或y 的一元二次方程，然后利用根与系数的关系，这样避免求交点．尤其是弦的中点问题，还应注意“点差法”的运用． 3．判断直线与抛物线位置关系的两种方法(1)几何法：利用图像，数形结合，判断直线与抛物线的位置关系，但有误差影响判断的结果．(2)代数法：设直线l 的方程为y ＝kx ＋m ，抛物线的方程为y 2＝2px (p >0)，将直线方程与抛物线方程联立整理成关于x (或y )的一元二次方程形式：Ax 2＋Bx ＋C ＝0(或Ay 2＋By ＋C ＝0)．相交：①有两个交点：⎩⎪⎨⎪⎧A ≠0，Δ>0；②有一个交点：A ＝0(直线与抛物线的对称轴平行或重合，即相交)；相切：有一个公共点，即⎩⎪⎨⎪⎧A ≠0，Δ＝0；相离：没有公共点，即⎩⎪⎨⎪⎧A ≠0，Δ<0.直线与抛物线有一个交点，是直线与抛物线相切的必要不充分条件．。
高中数学：2.3.1 双曲线及其标准方程二 教案 (北师大选修1-1)
第二章 圆锥曲线与方程 2.3.1 双曲线及其标准方程教学过程：一、复习引入： 1 椭圆定义：平面内与两个定点21,F F 的距离之和等于常数（大于||21F F ）的点的轨迹叫作椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距在同样的绳长下，两定点间距离较长，则所画出的椭圆较扁（→线段）两定点间距离较短，则所画出的椭圆较圆（→圆）椭圆的形状与两定点间距离、绳长有关2.椭圆标准方程：（1）2222=+b y a x （2）2222=+bx a y 其中22b c a +=二、讲解新课：1．双曲线的定义：平面内到两定点21,F F 的距离的差的绝对值为常数（小于21F F ）的动点的轨迹叫双曲线 即a MF MF 221=-这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做焦距概念中几个容易忽略的地方：“平面内”、“距离的差的绝对值”、“常数小于21F F ” 在同样的差下，两定点间距离较长，则所画出的双曲线的开口较开阔（→两条平行线）两定点间距离较短（大于定差），则所画出的双曲线的开口较狭窄（→两条射线） 双曲线的形状与两定点间距离、定差有关2．双曲线的标准方程：根据双曲线的定义推导双曲线的标准方程：推导标准方程的过程就是求曲线方程的过程，可根据求动点轨迹方程的步骤，求出双曲线的标准方程 过程如下：（1）建系设点；（2）列式；（3）变换；（4）化简；（5）证明取过焦点21F F ，的直线为x 轴，线段21F F 的垂直平分线为y 轴设P （y x ,）为双曲线上的任意一点，双曲线的焦距是2c （0>c ）则 )0,(),0,(21c F c F -，又设M 与)0,(),0,(21c F c F -距离之差的绝对值等于2a （常数），a 22<{}a PF PF P P 221±=-=∴ 221)(y c x PF ++=Θ又，a y c x y c x 2)()(2222±=+--++∴，化简，得：)()(22222222a c a y a x a c -=--，由定义c a 22< 022>-∴a c令222b a c =-∴代入，得：222222b a y a x b =-，两边同除22b a 得：12222=-by a x ，此即为双曲线的标准方程它所表示的双曲线的焦点在x 轴上，焦点是)0,(),0,(21c F c F -， 其中222b ac +=若坐标系的选取不同，可得到双曲线的不同的方程，如焦点在y 轴上，则焦点是),0(),,0(21c F c F -，将y x ,互换，得到12222=-bx a y ，此也是双曲线的标准方程 3．双曲线的标准方程的特点：（1）双曲线的标准方程有焦点在x 轴上和焦点y 轴上两种：焦点在x 轴上时双曲线的标准方程为：12222=-b y a x (0>a ,0>b )；焦点在y 轴上时双曲线的标准方程为：12222=-bx a y (0>a ,0>b )(2)c b a ,,有关系式222b a c +=成立，且,0,0>>>c b a其中a 与b 的大小关系:可以为a b a b a ><=,,4.焦点的位置:从椭圆的标准方程不难看出椭圆的焦点位置可由方程中含字母2x 、2y 项的分母的大小来确定，分母大的项对应的字母所在的轴就是焦点所在的轴而双曲线是根据项的正负来判断焦点所在的位置，即2x 项的系数是正的，那么焦点在x 轴上；2y 项的系数是正的，那么焦点在y 轴上三、讲解范例：例1 判断下列方程是否表示双曲线，若是，求出三量c b a ,,的值①12422=-y x ②12222=-y x③12422-=-y x ④369422=-x y （1232222=-x y ） 分析：双曲线标准方程的格式：平方差，2x 项的系数是正的，那么焦点在x 轴上，2x 项的分母是2a ；2y 项的系数是正的，那么焦点在y 轴上，2y 项的分母是2a解：①是双曲线，6,2,2===c b a ；② 是双曲线，2,2,2===c b a ； ③是双曲线，6,2,2===c b a ；④是双曲线，,2,3===c b a 例 2 已知双曲线两个焦点的坐标为)0,5()0,5(21F F ，-，双曲线上一点P 到)0,5()0,5(21F F ，-的距离之差的绝对值等于6，求双曲线标准方程解：因为双曲线的焦点在x 轴上，所以设它的标准方程为12222=-by a x (0>a ,0>b ) ∵102,62==c a ∴5,3==c a ∴35222=-=b所求双曲线标准方程为116922=-y x 四、课堂练习：1．求a =4，b =3，焦点在x 轴上的双曲线的标准方程2．求a =25，经过点（2，-5），焦点在y 轴上的双曲线的标准方程3．证明：椭圆22525922=+y x 与双曲线151522=-y x 的焦点相同4．若方程1cos sin 22=+ααy x 表示焦点在y 轴上的双曲线，则角α所在象限是（ ） A 、第一象限 B 、第二象限 C 、第三象限 D 、第四象限5．设双曲线191622=-y x 上的点P 到点)0,5(的距离为15，则P 点到)0,5(-的距离是（ ） A ．7 B.23 C.5或23 D.7或23练习答案：1. 191622=-y x ; 2. 1162022=-x y ; 3. 22525922=+y x ⇒)0,4(192522±⇒=+F y x , 151522=-y x ⇒ )0,4(111522±⇒=-F y x ; 4. D.1cos sin 22=+ααy x 表示焦点在y 轴上的双曲线⇒在第四象限ααα⇒⎩⎨⎧><0cos 0sin ,所以选D. 5. D. =⇒==-d a d 82|15|7或23 五、小结 ：双曲线的两类标准方程是)0,0(12222>>=-b a b y a x 焦点在x 轴上，)0,0(12222>>=-b a bx a y 焦点在y 轴上 c b a ,,有关系式222b a c +=成立，且,0,0>>>c b a 其中a 与b 的大小关系:可以为a b a b a ><=,,六、课后作业： 七、板书设计（略）八、课后记：。
2.3.1双曲线及其标准方程 教案(高中数学选修1-1北师大版)
§3双曲线3．1双曲线及其标准方程●三维目标1．知识与技能：了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，了解双曲线的实际背景和在解决实际问题中的作用．2．过程与方法：通过类比椭圆的定义和标准方程的推导过程，得出双曲线的定义和标准方程，体会椭圆、双曲线的定义、标准方程的区别和联系，培养分析、归纳、推导能力．3．情感、态度与价值观：通过探索双曲线的定义和标准方程，激发学生学习数学的积极性，培养观察能力和创新意识．●重点难点重点：双曲线的定义．难点：双曲线标准方程推导过程中的化简．教学时要抓知识选择的切入点，从学生原有的认知水平和所需的知识特点入手，引导学生类比椭圆的定义及标准方程，让学生学习双曲线的对应知识．在标准方程的化简时，与化简椭圆方程联系，运用化简椭圆方程的经验，从而化解难点．●教学建议问题：(1)我们已经学习过椭圆．椭圆是平面上一个动点到两个定点距离之和等于定长的点的轨迹，当然这个定长要大于这两个定点之间的距离．那么，平面上到两个定点距离的差是一个定长的点的轨迹是什么呢？设计意图：数学教学应当从问题开始．首先设疑，提出新的问题，打破知识结构的平衡，引发学习兴趣．师生活动：学生动手实验参考课本图2－18体会画图过程．问题：(2)在运动中，这条曲线上的点所满足的几何条件是什么？设计意图：弄清曲线上的点所满足的几何条件是建立曲线方程的关键之一．师生活动：分析实验中的“变”与“不变”的条件．在拉链未拉开时，|MF1|＝|MF2|，拉开后，|FF2|是定长，|MF1|，|MF2|都在变化，但是它们的差|MF1|－|MF2|不变．问题：(3)应该如何描述动点M所满足的几何条件？设计意图：整理实验，归纳抽象的数学问题．师生活动：双曲线是平面上一个动点到两个定点距离之差的绝对值等于定长的点的轨迹．●教学流程创设问题情境，提出问题 学生通过回答问题，掌握双曲线的定义及标准方程 通过例1及变式训练，使学生掌握待定系数法求双曲线标准方程 通过例2及变式训练，使学生掌握双曲线定义求轨迹方程 通过例3及互动探究，使学生掌握双曲线中焦点三角形问题 完成当堂双基达标，巩固所学知识，并进行反馈、矫正 归纳整理，进行课堂小结，整体认识所学知识问题：2011年3月16日，中国海军第7批、第8批护航编队“温州号”导弹护卫舰，“马鞍山”号导弹护卫舰在亚丁湾东部海域商船集结点附近正式会合，共同护航，某时，“马鞍山”舰哨兵监听到附近海域有快艇的马达声，与“马鞍山”舰哨兵相距1 600 m的“温州号”舰，3秒后也监听到了马达声(声速340 m/s)，用A、B分别表示“马鞍山”舰和“温州号”舰所在的位置，点M表示快艇的位置．(1)快艇距我两护卫舰的距离之差是多少？(2)我两护卫舰为辨明快艇意图，保持不动，持续监测，发现快舰到我两舰距离之差保持不变，快艇运动有何特点？【提示】(1)|MB|－|MA|＝340×3＝1 020 m；(2)始终满足|MB|－|MA|＝1 020 m.双曲线的定义平面内到两定点F1、F2的距离之差的绝对值等于常数(大于零且小于|F1F2|)的点的集合叫作双曲线．定点F1、F2叫作双曲线的焦点，两个焦点之间的距离叫作双曲线的焦距．上述问题中，设|AB|＝1 600 ＝2c，|MB|－|MA|＝1 020＝2a，以AB所在直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立直角坐标系，则点M的轨迹方程是什么？【提示】(c2－a2)x2－a2y2＝a2(c2－a2)．(1)求以椭圆x216＋y29＝1的短轴的两个端点为焦点，且过点A(4，－5)的双曲线的标准方程．(2)已知双曲线通过M(1，1)，N(－2，5)两点．【思路探究】根据一定条件求双曲线的标准方程，通常用待定系数法，但要注意根据双曲线焦点的位置设方程．另外，如果知道了双曲线的两个焦点和双曲线上任一点，也可利用双曲线的定义求解．【自主解答】(1)法一由题意知双曲线的两焦点F1(0，－3)，F2(0，3)．设双曲线方程为y2a2－x2b2＝1(a>0，b>0)，将点A(4，－5)代入双曲线的方程得25 a2－16b2＝1，又a2＋b2＝9，解得a2＝5，b2＝4.∴双曲线的标准方程为y25－x24＝1.法二2a＝||AF1|－|AF2||＝|20－80|＝25，∴a＝5，∴b2＝c2－a2＝9－5＝4.∴标准方程为y25－x24＝1.(2)法一若焦点在x轴上，设双曲线的标准方程为x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)．。
2018版高中数学北师大版选修1-1学案：第二章 圆锥曲线
1.能够熟练使用直接法、待定系数法、定义法求椭圆方程；能够利用“坐标法”研究椭圆的基本性质；能够利用数形结合思想、分类讨论思想、参数法解决椭圆中的有关问题.2.能够根据所给的几何条件熟练地求出双曲线方程，并能灵活运用双曲线定义、参数间的关系，解决相关问题；准确理解参数a、b、c、e的关系、渐近线及其几何意义，并灵活运用.3.会根据方程形式或焦点位置判断抛物线的标准方程的类型；会根据抛物线的标准方程确定其几何性质，以及会由几何性质确定抛物线的方程.了解抛物线的一些实际应用.题型一数形结合思想“数形结合”指的是在处理数学问题时，能够将抽象的数学语言与直观的几何图形有机结合起来思索，促使抽象思维和形象思维的和谐结合，通过对规范图形或示意图形的观察分析，化抽象为直观，化直观为精确，从而使问题得到解决.判断直线与圆锥曲线的位置关系、求最值等问题，可以结合图形，运用数形结合思想，化抽象为具体，使问题变得简单.例1双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，若P为双曲线上一点，且|PF1|＝2|PF2|，则双曲线离心率的取值范围为() A.(1,3) B.(1,3]C.(3，＋∞)D.[3，＋∞)答案 B解析 如图所示，由|PF 1|＝2|PF 2|知P 在双曲线的右支上， 则|PF 1|－|PF 2|＝2a ， 又|PF 1|＝2|PF 2|， ∴|PF 1|＝4a ，|PF 2|＝2a ， 在△F 1PF 2中， 由余弦定理得cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1||PF 2|＝16a 2＋4a 2－4c 22·4a ·2a ＝54－c 24a 2＝54－e 24，∵0<∠F 1PF 2≤π，且当点P 是双曲线的顶点时，∠F 1PF 2＝π， ∴－1≤cos ∠F 1PF 2<1， ∴－1≤54－e 24<1，由e >1，解得1<e ≤3.故选B.跟踪训练1 抛物线y 2＝2px (p >0)上有A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)三点，F 是它的焦点，若|AF |，|BF |，|CF |成等差数列，则( ) A.x 1，x 2，x 3成等差数列 B.y 1，y 2，y 3成等差数列 C.x 1，x 3，x 2成等差数列 D.y 1，y 3，y 2成等差数列 答案 A解析 如图，过A ，B ，C 分别作准线的垂线，垂足分别为A ′，B ′，C ′，由抛物线定义知：|AF |＝|AA ′|，|BF |＝|BB ′|，|CF |＝|CC ′|. ∵2|BF |＝|AF |＋|CF |， ∴2|BB ′|＝|AA ′|＋|CC ′|.又∵|AA ′|＝x 1＋p 2，|BB ′|＝x 2＋p 2，|CC ′|＝x 3＋p2，∴2(x 2＋p 2)＝x 1＋p 2＋x 3＋p2⇒2x 2＝x 1＋x 3，∴选A.题型二 分类讨论思想分类讨论思想是指当所给的对象不能进行统一研究时，我们就需要对研究的对象进行分类，然后对每一类进行研究，得出每一类的结论，最后综合各类的结果得到整个问题的结果.如曲线方程中含有的参数的取值范围不同，对应的曲线也不同，这时要讨论字母的取值范围，有时焦点位置也要讨论，直线的斜率是否存在也需要讨论.例2 如果双曲线的两条渐近线的方程为y ＝±34x ，求此双曲线的离心率.解 当双曲线的焦点在x 轴上时，由已知可得b a ＝34，∵c 2＝a 2＋b 2，∴e 2＝⎝⎛⎭⎫c a 2＝a 2＋b 2a 2＝1＋b 2a 2＝2516， ∴双曲线的离心率e ＝54；同理，当焦点在y 轴上时，可求得离心率e ＝53.故双曲线的离心率为54或53.跟踪训练2 求适合下列条件的椭圆的标准方程. (1)椭圆的长轴长是短轴长的2倍，且过点P (2，－6)； (2)椭圆过点P (3,0)，且e ＝63.解 (1)设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1或y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0).由已知得a ＝2b .①∵椭圆过点P (2，－6)，∴4a 2＋36b 2＝1或36a 2＋4b 2＝1.②由①②得a 2＝148，b 2＝37或a 2＝52，b 2＝13. 故所求椭圆的标准方程为x 2148＋y 237＝1或y 252＋x 213＝1.(2)当焦点在x 轴上时，∵椭圆过点P (3,0)，∴a ＝3. 又c a ＝63，∴c ＝ 6.∴b 2＝a 2－c 2＝3. 此时椭圆的标准方程为x 29＋y 23＝1.当焦点在y 轴上时，∵椭圆过点P (3,0)，∴b ＝3. 又c a ＝63，∴a 2－b 2a ＝63，∴a 2＝27. 此时椭圆的标准方程为y 227＋x 29＝1.故所求椭圆的标准方程为x 29＋y 23＝1或y 227＋x 29＝1.题型三 函数与方程思想圆锥曲线中的许多问题，若能运用函数与方程的思想去分析，则往往能较快地找到解题的突破口.用函数思想解决圆锥曲线中的有关定值、最值问题，最值问题是高中数学中常见的问题，在圆锥曲线问题中也不例外，而函数思想是解决最值问题最有利的武器.我们通常可用建立目标函数的方法解有关圆锥曲线的最值问题.方程思想是从分析问题的数量关系入手，通过联想与类比，将问题中的条件转化为方程或方程组，然后通过解方程或方程组使问题获解，方程思想是高中数学中最基本、最重要的思想方法之一，在高考中占有非常重要的地位.在求圆锥曲线方程、直线与圆锥曲线的位置关系的问题中经常利用方程或方程组来解决.例3 设椭圆x 2a 2＋y 23＝1(a ＞3)的右焦点为F ，右顶点为A .已知1|OF |＋1|OA |＝3e|F A |，其中O 为原点，e 为椭圆的离心率. (1)求椭圆的方程；(2)设过点A 的直线l 与椭圆交于点B (B 不在x 轴上)，垂直于l 的直线与l 交于点M ，与y 轴交于点H .若BF ⊥HF ，且∠MOA ＝∠MAO ，求直线l 的斜率. 解 (1)设F (c ，0)，由1|OF |＋1|OA |＝3e|F A |，即1c ＋1a ＝3c a （a －c ），可得a 2－c 2＝3c 2. 又a 2－c 2＝b 2＝3，所以c 2＝1，因此a 2＝4. 所以椭圆的方程为x 24＋y 23＝1.(2)设直线l 的斜率为k (k ≠0)，则直线l 的方程为y ＝k (x －2).设B (x B ，y B )，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，y ＝k （x －2）消去y ，整理得(4k 2＋3)x 2－16k 2x ＋16k 2－12＝0.解得x ＝2或x ＝8k 2－64k 2＋3.由题意得x B ＝8k 2－64k 2＋3，从而y B ＝－12k4k 2＋3.由(1)知，F (1，0)，设H (0，y H )， 有FH →＝(－1，y H )，BF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫9－4k24k 2＋3，12k 4k 2＋3.由BF ⊥HF ，得BF →·FH →＝0，所以4k 2－94k 2＋3＋12ky H 4k 2＋3＝0，解得y H ＝9－4k 212k .因为直线MH 的方程为y ＝－1k x ＋9－4k212k.设M (x M ，y M )，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －2），y ＝－1k x ＋9－4k 212k 消去y ，解得x M ＝20k 2＋912（k 2＋1）.在△MAO 中，∠MOA ＝∠MAO ⇔|MA |＝|MO |， 即(x M －2)2＋y 2M ＝x 2M ＋y 2M ，化简得x M ＝1，即20k 2＋912（k 2＋1）＝1，解得k ＝－64或k ＝64. 所以直线l 的斜率为－64或64. 跟踪训练3 若双曲线x 2a 2－y 216＝1(a >0)的离心率为53，则a ＝________.答案 3解析 由离心率公式，有a 2＋16a 2＝⎝⎛⎭⎫532(a >0)，得a ＝3.故填3.题型四 转化与化归思想将所研究的对象在一定条件下转化并归结为另一种研究对象的思想方法称之为转化与化归思想.一般将有待解决的问题进行转化，使之成为大家熟悉的或容易解决的问题模式.转化与化归思想在圆锥曲线中经常应用，如把直线与圆锥曲线的位置关系问题转化为方程组的解的个数问题，把求参数的取值范围问题转化为解不等式(组)问题，把陌生的问题转化为熟悉的问题，需要注意转化的等价性.例4 已知点A (4，－2)，F 为抛物线y 2＝8x 的焦点，点M 在抛物线上移动，当|MA |＋|MF |取最小值时，点M 的坐标为( ) A.(0,0) B.(1，－22) C.(2，－4) D.(12，－2)答案 D解析 过点M 作准线l 的垂线，垂足为E ，由抛物线定义知|MF |＝|ME |. 当点M 在抛物线上移动时，|MF |＋|MA |的值在变化， 显然M 移到M ′，AM ′∥Ox 时，A ，M ，E 共线， 此时|ME |＋|MA |最小，把y ＝－2代入y 2＝8x ， 得x ＝12，∴M (12，－2).跟踪训练4 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的长轴长为4，焦距为2 2.(1)求椭圆C 的方程；(2)过动点M (0，m )(m ＞0)的直线交x 轴于点N ，交C 于点A ，P (P 在第一象限)，且M 是线段PN 的中点.过点P 作x 轴的垂线交C 于另一点Q ，延长QM 交C 于点B .①设直线PM 、QM 的斜率分别为k 、k ′，证明k ′k 为定值.②求直线AB 的斜率的最小值. (1)解 设椭圆的半焦距为c . 由题意知2a ＝4，2c ＝2 2. 所以a ＝2，b ＝a 2－c 2＝ 2. 所以椭圆C 的方程为x 24＋y 22＝1.(2)①证明 设P (x 0，y 0)(x 0＞0，y 0＞0). 由M (0，m )，可得P (x 0，2m )，Q (x 0，－2m ). 所以直线PM 的斜率k ＝2m －m x 0＝mx 0.直线QM 的斜率k ′＝－2m －m x 0＝－3mx 0. 此时k ′k ＝－3.所以k ′k 为定值－3.②解 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2). 直线P A 的方程为y ＝kx ＋m .直线QB 的方程为y ＝－3kx ＋m .联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y 22＝1，整理得(2k 2＋1)x 2＋4mkx ＋2m 2－4＝0， 由x 0x 1＝2m 2－42k 2＋1，可得x 1＝2（m 2－2）（2k 2＋1）x 0，所以y 1＝kx 1＋m ＝2k （m 2－2）（2k 2＋1）x 0＋m .同理x 2＝2（m 2－2）（18k 2＋1）x 0，y 2＝－6k （m 2－2）（18k 2＋1）x 0＋m .所以x 2－x 1＝2（m 2－2）（18k 2＋1）x 0－2（m 2－2）（2k 2＋1）x 0＝－32k 2（m 2－2）（18k 2＋1）（2k 2＋1）x 0， y 2－y 1＝－6k （m 2－2）（18k 2＋1）x 0＋m －2k （m 2－2）（2k 2＋1）x 0－m＝－8k （6k 2＋1）（m 2－2）（18k 2＋1）（2k 2＋1）x 0， 所以k AB ＝y 2－y 1x 2－x 1＝6k 2＋14k ＝14⎝⎛⎭⎫6k ＋1k ， 由m ＞0，x 0＞0，可知k ＞0，所以6k ＋1k ≥26，当且仅当k ＝66时取“＝”.∵P (x 0，2m )在椭圆x 24＋y 22＝1上，∴x 0＝4－8m 2，故此时2m －m 4－8m 2－0＝66， 即m ＝147，符合题意.所以直线AB 的斜率的最小值为62.1.圆锥曲线的定义是圆锥曲线问题的根本，利用圆锥曲线的定义解题是考查圆锥曲线的一个重要命题点.2.圆锥曲线的标准方程是用代数方法研究圆锥曲线的几何性质的基础，对圆锥曲线标准方程的考查方式有两种：一是在解答题中作为试题的入口进行考查；二是在选择题和填空题中结合圆锥曲线的简单几何性质进行考查.3.虽然考纲中没有直接要求关于直线与圆锥曲线相结合的知识，但直线与圆锥曲线是密不可分的，如双曲线的渐近线、抛物线的准线，圆锥曲线的对称轴等都是直线.考试不但不回避直线与圆锥曲线，而且在试题中进行重点考查，考查方式既可以是选择题、填空题，也可以是解答题.4.考纲对曲线与方程的要求是“了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系”，考试对曲线与方程的考查主要体现在以利用圆锥曲线的定义、待定系数法、直接法和代入法等方法求圆锥曲线的方程.5.对圆锥曲线的考查是综合性的，这种综合性体现在圆锥曲线、直线、圆、平面向量、不等式等知识的相互交汇，对圆锥曲线的综合考查主要是在解答题中进行，一般以椭圆或者抛物线为依托，全面考查圆锥曲线与方程的求法、直线与圆锥曲线的位置关系，考查函数、方程、不等式、平面向量等在解决问题中的综合运用.。
高中数学新北师大版精品教案《北师大版高中数学选修1-1 3.1双曲线及其标准方程》1
《双曲线及其标准方程》教学设计江西省新建区第一中学陶勇华一．教学内容课题：双曲线及其标准方程教材：普通高中课程标准试验教科书北师大版《选修1-1》第二章第三节第一课时二．教学目标：⒈知识与技能：理解双曲线的概念，掌握双曲线的定义，会用双曲线的定义解决问题；了解双曲线标准方程的推导过程及化简无理方程的常用方法．⒉过程与方法：通过定义及标准方程的挖掘与探究，使学生进一步体验类比、数形结合等思想方法的运用，提高学生的观察与探究能力，数据处理能力．⒊情感、态度与价值观：通过教师指导下学生的交流探索活动，激发学生的学习兴趣，培养学生用联系的观点认识问题，通过教学中和合作渗透团结合作的意识。
三．教材分析：本节课是高中数学选修1-1第二章第三节第一课时的内容，前面有椭圆知识及学习方法的铺垫，所以本节课教学难点——根据双曲线的概念推导双曲线的标准方程及区别焦点位置就有了较好的基础和参照。
在教学过程中要时刻注意运用类比的方法，让学生充分的类比体会椭圆与双曲线的异同点，使得椭圆与双曲线的学习能相互促进。
四．学情分析：学生已较好地掌握了椭圆的曲线，并且对于椭圆的建系设点求方程的探究方法有了一定的了解，运用类比学习双曲线的方程困难不大；另外，高二年级的学生思维较活跃，并具有一定类比、转换及分析问题的能力，但是对于复杂问题的处理还不够灵活，因此在课堂上要注重发挥学生的主体作用，体现教师的点拨引领效果；五．教学的重点和难点：重点：双曲线的定义及标准方程的推导，焦点位置。
难点：双曲线标准方程的推导过程及根据条件求双曲线的方程六．教学准备多媒体课件：展示相关资料，图片，例题及习题。
几何画板：展现双曲线的产生过程，让学生对曲线的轨迹的产生过程有更加直观的了解。
学案：引导学生学习的资料，例题。
总共活动时间：3分钟2．课题引入1、设问：若将椭圆定义中的“之和”改为“之差”，结果会如何呢？师生活动：让学生理问题，产生探究兴趣2、实验探究（1）取一条拉链（2）如图把它固定在板子上的两点（3）拉动拉链问：你画出来的是什么图形？师生活动：让学生分组实验，展示成果3、教师提问：（1）在画双曲线的过程中，拉链两端的位置是固定的还是个运动的？（2）在画图的过程中，什么是变化的？什么是不变的？说明双曲线上的点和两定点间有什么关系？（3）如果把两定点间的距离拉大，还能画出双曲线吗？师生活动：教师借助几何画板工具向学生动态展示双曲线的形成过程，学生动手操作，思考教师提出的问题总共活动时间：12分钟1由和变差，由之前椭圆的探究过程让学生产生类比的思想，激发学生求知欲，引入新课．2．让学生分组实验，培养学生的自主探究能力和团结合作能力3．让学生类比椭圆的探究过程，体会数学知识之间的相互联系和类比的数学思想注意：正确引导，注意类比椭圆的探究过程。
高中数学新北师大版精品教案《北师大版高中数学选修1-1 3.1双曲线及其标准方程》
北师大版高中数学选修1-1教学设计第二章 圆锥曲线双曲线及其标准方程赣州市南康区第三中学 谢志坚2021年11月9日如图（B），类比椭圆，归纳双曲线的定义掉常数的范围，这个问题暂时保留，下一个环节来解决。
保留常数的范围这一问题，由学生自己发现，方能印象更加深刻四齐思共想，推导方程回顾椭圆的标准方程的推导步骤，推导双曲线的标准方程标准方程为其中.,00>>ba椭圆的标准方程有两种，双曲线的方程在推导时也可以换一种建系方式，得到另一种形式的方程：.12222=-bxay其中.,00>>ba两种形式的标准方程，应该如何判断焦点所在轴？学生思考并做答：在等式右边是1或其它正常数时，焦点在系数为正数的轴上这与椭圆判断焦点所在轴的方法也不一样，同样要给学生强调1.类比椭圆标准方程的建立过程，如何求双曲线的标准方程呢2.如何建系化简？3.为何可222c a b-=？4.a和b有没有大小关系？5.椭圆中a和b谁大？6.椭圆分焦点在轴上，和轴上两种？双曲线是否也有类似情况？7.焦点在轴上的双曲线的标准方程如何求？学生说明自己的思路，具体推导由学生课后完成。
本环节不断刺激学生回顾椭圆的标准方程的推导过程，类比说明双曲线的标准方程推导的关键步骤。
体会椭圆与双曲线的的区别与联系，同时强化求曲线方程的一般步骤。
培养学生的运算能力师生问答积极评价.12222=-byax。
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3．1双曲线及其标准方程
学习目标 1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程.2.掌握双曲线的标准方程及其求法.3.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的问题．
知识点一双曲线的定义
思考1如图，取一条拉链，拉开它的一部分，在拉开的两边上各选择一点，分别固定在点F1，F2上，把笔尖放在点M处，拉开或闭拢拉链，笔尖经过的点可画出一条曲线，那么曲线上的点应满足怎样的几何条件？
思考2已知点P(x，y)的坐标满足下列条件，试判断下列各条件下点P的轨迹是什么图形？
(1)|(x＋5)2＋y2－(x－5)2＋y2|＝6；
(2)(x＋4)2＋y2－(x－4)2＋y2＝6.
梳理 把平面内到两定点F 1，F 2的距离之差的绝对值等于常数(大于零且小于|F 1F 2|)的点的集合叫作双曲线．定点F 1，F 2叫作________________，两个焦点之间的距离叫作________________．
知识点二 双曲线的标准方程
思考1 双曲线的标准形式有两种，如何区别焦点所在的坐标轴？
思考2 如图，类比椭圆中a ，b ，c 的意义，你能在y 轴上找一点B ，使|OB |＝b 吗？
类型一 双曲线的定义及应用
命题角度1 双曲线中的焦点三角形问题
例1 (1)如图，已知双曲线的方程为x 2a 2－y 2
b 2＝1(a >0，b >0)，点A ，B 均在双曲线的右支上，。