高考理科数学真题练习题曲线与方程理含解析

高考数学复习 课时作业55 曲线与方程

一、选择题

1．方程(x 2

－y 2

－1)x －y －1＝0表示的曲线的大致形状是(图中实线部分)( B )

解析：原方程等价于⎩⎪⎨

⎪⎧

x 2

－y 2

－1＝0，

x －y －1≥0

或x －y －1＝0，前者表示等轴双曲线x 2－y 2

＝1

位于直线x －y －1＝0下方的部分，后者为直线x －y －1＝0，这两部分合起来即为所求．

2．动点P (x ，y )满足5x －1

2

＋y －2

2

＝|3x ＋4y －11|，则点P 的轨迹是( D ) A ．椭圆 B ．双曲线 C ．抛物线

D ．直线

解析：设定点F (1,2)，定直线l ：3x ＋4y －11＝0，则|PF |＝x －1

2

＋y －2

2

，

点P 到直线l 的距离d ＝|3x ＋4y －11|5.由已知得|PF |

d ＝1，但注意到点F (1,2)恰在直线l

上，所以点P 的轨迹是直线．选D.

3．方程(x 2

＋y 2

－2x )x ＋y －3＝0表示的曲线是( D ) A ．一个圆和一条直线 B ．一个圆和一条射线 C ．一个圆

D ．一条直线

解析：依题意，题中的方程等价于①x ＋y －3＝0或②⎩⎪⎨

⎪

⎧

x ＋y －3≥0，x 2

＋y 2

－2x ＝0.

注意到圆x

2

＋y 2

－2x ＝0上的点均位于直线x ＋y －3＝0的左下方区域，即圆x 2

＋y 2

－2x ＝0上的点均不满足x ＋y －3≥0，②不表示任何图形，因此题中的方程表示的曲线是直线x ＋y －3＝0.

4．平面直角坐标系中，已知两点A (3,1)，B (－1,3)，若点C 满足OC →＝λ1OA →＋λ2OB →

(O 为原点)，其中λ1，λ2∈R ，且λ1＋λ2＝1，则点C 的轨迹是( A )

A ．直线

B ．椭圆

C ．圆

D ．双曲线

解析：设C (x ，y )，则OC →＝(x ，y )，OA →＝(3,1)，OB →＝(－1,3)．∵OC →＝λ1OA →＋λ2OB →

，

∴⎩⎪⎨⎪⎧

x ＝3λ1－λ2，y ＝λ1＋3λ2，

得⎩⎪⎨⎪⎧

λ1＝3x ＋y

10，λ2

＝3y －x

10

，

又λ1＋λ2＝1，

∴x ＋2y －5＝0，表示一条直线．

5．已知点M (－3,0)，N (3,0)，B (1,0)，动圆C 与直线MN 切于点B ，过M ，N 与圆C 相切的两直线相交于点P ，则P 点的轨迹方程为( A )

A ．x 2

－y 28＝1(x >1)

B ．x 2

－y 2

8＝1(x <－1)

C ．x 2＋y 2

8

＝1(x >0)

D ．x 2

－y 2

10

＝1(x >1)

解析：设另外两个切点为E ，F ，如图所示，则|PE |＝|PF |，|ME |＝|MB |，|NF |＝|NB |.从而|PM |－|PN |＝|ME |－|NF |＝|MB |－|NB |＝4－2＝2<|MN |，∴P 点的轨迹是以M ，N 为焦点，实轴长为2的双曲线的右支．又∵a ＝1，c ＝3，∴b 2

＝8.故P 点的轨迹方程为x 2

－y 2

8＝

1(x >1)．

6．过抛物线x 2

＝4y 的焦点作直线l 交抛物线于A ，B 两点，分别过A ，B 作抛物线的切

线l 1，l 2，则l 1与l 2的交点P 的轨迹方程是( A )

A ．y ＝－1

B ．y ＝－2

C ．y ＝x －1

D ．y ＝－x －1

解析：抛物线的焦点为F (0,1)，设l ：y ＝kx ＋1，代入x 2

＝4y 得x 2

＝4kx ＋4，即x 2

－4kx －4＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4.将y ＝14x 2求导得y ′＝1

2x ，

所以⎩⎪⎨⎪⎧

l 1

：y －y 1

＝1

2x 1

x －x 1，

l 2

：y －y 2

＝1

2

x 2

x －x 2，

由x 2

＝4y 得⎩⎪⎨⎪⎧

l 1

：y ＋y 1

＝1

2

x 1

x ，l 2

：y ＋y 2

＝1

2

x 2

x ，两方程相除

得

y ＋y 1y ＋y 2＝x 1x 2，变形整理得y ＝x 1y 2－x 2y 1x 2－x 1＝x 1x 2x 2－x 1

4x 2－x 1

＝－1，所以交点P 的轨迹方程是y ＝－1.

二、填空题

7．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，A (1,0)，B (2,2)，若点C 满足OC →＝OA →＋t (OB →

－OA →

)，其中t ∈R ，则点C 的轨迹方程是y ＝2x －2.

解析：设C (x ，y )，则OC →＝(x ，y )，OA →＋t (OB →－OA →)＝(1＋t,2t )，所以⎩⎪⎨

⎪⎧

x ＝t ＋1，

y ＝2t ，消

去参数t 得点C 的轨迹方程为y ＝2x －2.

8. 如图所示，正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1的棱长为1，点M 在AB 上，且AM ＝1

3AB ，点P 在平

面ABCD 上，且动点P 到直线A 1D 1的距离的平方与P 到点M 的距离的平方差为1，在平面直角坐标系xAy 中，动点P 的轨迹方程是y 2

＝23x －19

.

解析：如图，过P 作PQ ⊥AD 于Q ，再过Q 作QH ⊥A 1D 1于H ，连接PH ，PM ，易证得PH ⊥

A 1D 1.设P (x ，y )，由|PH |2－|PM |2＝1，得x 2＋1－⎣⎢⎡⎦

⎥⎤⎝

⎛⎭

⎪⎫

x －13

2＋y 2＝1，化简得y 2＝23x －19

.

9．P 是椭圆x 2a 2＋y 2

b 2＝1上的任意一点，F 1、F 2是它的两个焦点，O 为坐标原点，OQ →＝PF 1→

＋

PF 2→

，则动点Q 的轨迹方程是x 24a 2＋y 2

4b

2＝1.