人教A版高中数学必修二导练课时作业：1章检测试题

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2021学年数学人教A版必修2课时作业第1章

课时作业1棱柱、棱锥、棱台的结构特征——基础巩固类——1．观察如图所示的四个几何体，其中判断不正确的是(B)A．①是棱柱B．②不是棱锥C．③不是棱锥D．④是棱台解析：结合棱柱、棱锥、棱台的定义可知①是棱柱，②是棱锥，④是棱台，③不是棱锥，故B错误．2．四棱柱有几条侧棱，几个顶点(C)A．四条侧棱、四个顶点B．八条侧棱、四个顶点C．四条侧棱、八个顶点D．六条侧棱、八个顶点解析：四棱柱有四条侧棱、八个顶点(可以结合正方体观察求得)．3．下列命题中正确的是(D)A．三棱柱的侧面为三角形B．棱台的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形C．棱台的底面是两个相似的正方形D．棱锥的侧面和底面可以都是三角形解析：三棱柱的侧面都是平行四边形，故A错；由棱台的定义可知B错；棱台的底面只需是两个相似的多边形即可，故C错；对于三棱锥，每一个面都可以作为底面，其余的为侧面，此时，侧面和底面都是三角形，故D正确．4．下列说法错误的是(D)A．多面体至少有四个面B．九棱柱有9条侧棱，9个侧面，侧面为平行四边形C．长方体、正方体都是棱柱D．三棱柱的侧面为三角形解析：多面体至少应有四个顶点组成(否则至多3个顶点，而3个顶点只围成一个平面图形)，而四个顶点围成四个面，所以A正确；棱柱侧面为平行四边形，其侧棱和侧面的个数与底面多边形的边数相等，所以B正确；长方体、正方体都是棱柱，所以C正确；三棱柱的侧面是平行四边形，不是三角形，所以D错误，故选D．5．对有两个面互相平行，其余各面都是梯形的多面体，以下说法正确的是(D)A．是棱柱B．是棱锥C．是棱台D．一定不是棱柱、棱锥解析：由棱柱、棱锥的定义，可知A、B不正确，由棱台的定义可知所述几何体不一定是棱台，故D正确．6．某同学制作了一个对面图案相同的正方体礼品盒(如图)，则这个正方体礼品盒的表面展开图应该为(A)解析：两个不能并列相邻，B、D错误；两个不能并列相邻，C错误，故选A．也可通过实物制作检验来判定．7.如右图，正方形ABCD中，E，F分别为CD，BC的中点，沿AE，AF，EF将其折成一个多面体，则此多面体是三棱锥(也可答四面体)．解析：此多面体由四个面构成，故为三棱锥，也叫四面体．8．以三棱台的顶点为三棱锥的顶点，这样可以把一个三棱台分成3个三棱锥．解析：如图所示，在三棱台ABC-A1B1C1中，分别连接A1B，A1C，BC1，则将三棱台分成3个三棱锥，即三棱锥A-A1BC，B1-A1BC1，C-A1BC1.9．下列说法正确的有①②④⑤.①棱柱的侧面都是平行四边形；②棱锥的侧面为三角形，且所有侧面都有一个公共点；③棱台的侧面有的是平行四边形，有的是梯形；④棱台的侧棱所在直线均相交于同一点；⑤多面体至少有四个面．解析：棱柱是由一个平面多边形沿某一方向平移而形成的几何体，因而侧面是平行四边形，故①对．棱锥是由棱柱的一个底面收缩为一个点而得到的几何体，因而其侧面均是三角形，且所有侧面都有一个公共点，故②对．棱台是棱锥被平行于底面的平面所截后，截面与底面之间的部分，因而其侧面均是梯形，且所有的侧棱延长后均相交于一点(即原棱锥的顶点)，故③错④对．⑤显然对．因而正确的有①②④⑤.10．试从正方体ABCD-A1B1C1D1的八个顶点中任取若干，连接后构成以下空间几何体，并且用适当的符号表示出来．(1)只有一个面是等边三角形的三棱锥．(2)四个面都是等边三角形的三棱锥．(3)三棱柱．解：(1)如图所示，三棱锥A1-AB1D1(答案不唯一)．(2)如图所示，三棱锥B1-ACD1(答案不唯一)．(3)如图所示，三棱柱A1B1D1-ABD(答案不唯一)．11．如图，在三棱锥V-ABC中，VA＝VB＝VC＝4，∠AVB＝∠AVC＝∠BVC＝30°，过点A作截面△AEF，求△AEF周长的最小值．解：将三棱锥沿侧棱VA剪开，并将其侧面展开平铺在一个平面上，如图，线段AA1的长为所求△AEF周长的最小值．∵∠AVB＝∠A1VC＝∠BVC＝30°，∴∠AVA1＝90°.又VA＝VA1＝4，∴AA1＝4 2.∴△AEF周长的最小值为4 2.——能力提升类——12．如图，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AB＝1，AA1＝3，点E为AB上的动点，则D1E＋CE的最小值为(B)A．2 2 B．10C．5＋1 D．2＋2解析：如图，将正方形ABCD 沿AB 向下旋转到对角面ABC 1D 1内，记为正方形ABC 2D 2.在矩形C 1D 1D 2C 2中连接D 1C 2，与AB 的交点为E ，此时D 1E ＋CE 取得最小值，最小值为D 1C 2.因为BC 1＝12＋(3)2＝2，所以C 1C 2＝3，故D 1C 2＝D 1C 21＋C 1C 22＝12＋32＝10.13．有一粒正方体的骰子每一面有一个英文字母．如图是从3种不同角度看同一粒骰子的情况，请问H 反面的字母是O .14．如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝1，DD 1的中点为Q ，过A ，Q ，B 1三点的截面面积为98.解析：截面是如图所示的等腰梯形QEB 1A ，经过C 1D 1的中点E .因为EQ ＝22，AB 1＝2，AQ ＝B 1E ＝52，所以该梯形的高为324，所以截面面积为S ＝12×(2＋22)×324＝98.15.给出两块正三角形纸片(如图所示)，要求将其中一块剪拼成一个底面为正三角形的三棱锥模型，另一块剪拼成一个底面是正三角形的三棱柱模型，请设计一种剪拼方案，分别用虚线标示在图中，并作简要说明．解：如图(1)所示，沿正三角形三边中点连线折起，可拼得一个底面为正三角形的三棱锥．如图(2)所示，正三角形三个角上剪出三个相同的四边形，其较长的一组邻边边长为三角形边长的14，有一组对角为直角，余下部分按虚线折成，可成为一个缺上底的底面为正三角形的三棱柱，而剪出的三个相同的四边形恰好拼成这个底面为正三角形的三棱柱的上底．课时作业2圆柱、圆锥、圆台和球的结构特征——基础巩固类——1．圆柱的母线长为10，则其高等于(B)A．5 B．10C．20 D．不确定解析：圆柱的母线长与高相等，则其高等于10.2．正方形绕其一条对角线所在直线旋转一周，所得几何体是(D)A．圆柱B．圆锥C．圆台D．两个圆锥3．下列说法正确的是(D)A．到定点的距离等于定长的点的集合是球B．球面上不同的三点可能在同一条直线上C．用一个平面截球，其截面是一个圆D．球心与截面圆心(截面不过球心)的连线垂直于该截面解析：对于A，球是球体的简称，球体的外表面我们称之为球面，球面是一个曲面，是空心的，而球是几何体，是实心的，故A错；对于B，球面上不同的三点一定不共线，故B错；对于C，用一个平面截球，其截面是一个圆面，而不是一个圆，故C也是错误的．所以选D．4．下列判断正确的是(C)A．平行于圆锥某一母线的截面是等腰三角形B．平行于圆台某一母线的截面是等腰梯形C．过圆锥顶点的截面是等腰三角形D．过圆台上底面中心的截面是等腰梯形解析：根据圆锥与圆台的定义和图形进行判断即可．5．上、下底面面积分别为36π和49π，母线长为5的圆台，其两底面之间的距离为( D ) A ．4 B ．3 2 C ．2 3 D ．2 6解析：圆台的母线长l 、高h 和上、下两底面圆的半径r ，R 满足关系式l 2＝h 2＋(R －r )2，求得h ＝26，即两底面之间的距离为2 6.6．用一张长为8，宽为4的矩形硬纸卷成圆柱的侧面，则相应圆柱的底面半径是( C )A ．2B ．2πC ．2π或4πD ．π2或π4 7．已知一个圆柱的轴截面是一个正方形，且其面积是Q ，求此圆柱的底面半径为Q 2.(用Q 表示)解析：设圆柱的底面半径为r ，则母线长为2r .∴4r 2＝Q ，解得r ＝Q 2，∴此圆柱的底面半径为Q 2.8．用一个平面去截半径为25 cm 的球，截面面积是225π cm 2，则球心到截面的距离是20_cm.解析：如图，O 1为截面圆的圆心，AO ＝25 cm ，由已知得AO 1＝15 cm ，∴OO 1＝20 cm ，即球心O 到截面的距离为20 cm.9．有下列说法：①球的半径是球面上任意一点与球心的连线；②球的直径是球面上任意两点间的连线；③半圆绕直径所在直线旋转后形成球．其中正确说法的序号是①. 解析：利用球的结构特征判断：①正确；②不正确，因为直径必须过球心；③不正确，因为形成的是一个球面．10．说出下列7种几何体的名称．解：a 是圆柱，b 是圆锥，c 是球，d 、e 是棱柱，f 是圆台，g 是棱锥．11．圆台的上底周长是下底周长的13，轴截面面积等于392，母线与底面的夹角为45°，求此圆台的高、母线长及两底面的半径．解：设圆台上、下底面半径分别为r ，R ，母线长为l ，高为h .由题意，得2πr ＝13·2πR ，即R ＝3r .①12(2r ＋2R )·h ＝392，即(R ＋r )h ＝392.② 又母线与底面的夹角为45°，则h ＝R －r ＝22l .③联立①②③，得R ＝21，r ＝7，h ＝14，l ＝14 2.——能力提升类——12．过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的截面，则截面的面积与球的一个大圆面积之比为( C )A ．14 B ．1 2 C ．34 D ．2 3解析：如图，设该球的半径为R ，则O 1A 2＝OA 2－OO 21＝R 2－14R2＝34R 2.所以S ⊙O 1S ⊙O ＝34πR 2πR 2＝3 4.13．如图，从半径为6 cm 的圆形纸片上剪去一个圆心角为120°的扇形，将留下的扇形围成一个圆锥(接缝处不重叠)，那么这个圆锥的高为( A )A ．2 5 cmB ．3 5 cmC ．8 cmD ．5 3 cm解析：设圆锥底面圆的半径为r cm ，根据题意得2πr ＝240π·6180，解得r ＝4，所以这个圆锥的高＝62－42＝25(cm)．故选A ．14．已知球的两个平行截面的面积分别为5π和8π，它们位于球心的同一侧，且距离为1，那么这个球的半径是3.15．如图，圆台的上、下底面半径分别为5 cm ，10 cm ，母线长AB ＝20 cm ，从圆台母线AB 的中点M 拉一条绳子绕圆台侧面转到A 点．求：(1)绳子的最短长度；(2)在绳子最短时，上底圆周上的点到绳子的最短距离．题图答图解：(1)如图，绳子的最短长度为侧面展开图中AM的长度．由OBOB＋AB＝510，得OB＝20 cm，所以OA＝40 cm，OM＝30 cm.设∠BOB′＝θ，由2×5×π＝π·OB·θ180°，解得θ＝90°.所以AM＝OA2＋OM2＝50(cm)．即绳子的最短长度为50 cm.(2)如图，过点O作OQ⊥AM于点Q，交弧BB′于点P，则PQ 的长度为所求最短距离．因为OA·OM＝AM·OQ，所以OQ＝24 cm.故PQ＝24－20＝4(cm)，即上底圆周上的点到绳子的最短距离为4 cm.课时作业3简单组合体的结构特征——基础巩固类——1．如图所示的蒙古包可以看成是由____构成的几何体．(C)A．三棱锥、圆锥B．三棱锥、圆柱C．圆锥、圆柱D．圆锥、三棱柱2.如图，在日常生活中，常用到的螺母可以看成一个组合体，其结构特征是(B)A．一个棱柱中挖去一个棱柱B．一个棱柱中挖去一个圆柱C．一个圆柱中挖去一个棱锥D．一个棱台中挖去一个圆柱3.如图所示，是由等腰梯形、矩形、半圆、圆、倒三角形对接形成的轴对称平面图形，若将它绕轴l旋转180°后形成一个组合体，下面说法不正确的是(A)A．该组合体可以分割成圆台、圆柱、圆锥和两个球体B．该组合体仍然关于轴l对称C．该组合体中的圆锥和球只有一个公共点D．该组合体中的球和半球只有一个公共点4．下列说法错误的是(C)A．一个三棱锥可以由一个三棱锥和一个四棱锥拼合而成B．一个圆台可以由两个圆台拼合而成C．一个圆锥可以由两个圆锥拼合而成D．一个四棱台可以由两个四棱台拼合而成解析：本题可以利用逆向思维的方式来解．经过三棱锥的顶点，可以将三棱锥截成一个三棱锥和一个四棱锥，故A正确；用一个平行于圆台底面的平面去截圆台，可以将圆台截成两个圆台，故B正确；用一个平行于四棱台底面的平面去截四棱台，可以得到两个四棱台，故D正确．5.如图，三棱锥S-ABC中，SA＝SB＝SC＝2，△ABC为正三角形，∠BSC＝40°，一质点从点B出发，沿着三棱锥的侧面绕行一周回到点B的最短路线的长为(C)A．2 B．3C．2 3 D．3 3解析：沿侧棱SB剪开，将侧面展开如图，则所求的最短路线长即为BB′，设BB′的中点为D，连接SD，BB′＝2BD＝2SB sin60°＝2 3.故选C．6.如图所示的几何体，关于其结构特征，下列说法不正确的是(D)A．该几何体是由两个同底的四棱锥组成的B．该几何体有12条棱、6个顶点C．该几何体有8个面，并且各面均为三角形D．该几何体有9个面，其中有1个面是四边形，其余均为三角形解析：该几何体被平面ABCD分割成两个四棱锥，因此它是这两个四棱锥的组合体，因而四边形ABCD是它的一个截面而不是一个面．7．观察下列四个几何体，其中是由两个棱柱拼接而成是(1)(4)．解析：(1)可看作由一个四棱柱和一个三棱柱组合而成，(4)可看作由两个四棱柱组合而成．8．用一个平面去截正四面体，使它成为形状、大小都相同的两个几何体，则这样的平面的个数为6.9．正方体的棱长和其外接球的半径之比为2 3.解析：设正方体的棱长为a，其外接球的半径为R.易知(2R)2＝a2＋a2＋a2＝3a2，则R＝32a，故正方体的棱长和其外接球的半径之比为a32a＝2 3.10．请描述如下图所示的组合体的结构特征．解：题图a是一个三棱锥和一个四棱锥组合成的组合体；题图b 是一个三棱柱和一个四棱锥组合成的组合体．11.如图所示，将曲边图形ABCDE绕AE所在的直线旋转一周，由此形成的几何体是由哪些简单的几何体构成的？其中CD∥AE，曲边DE为四分之一圆周且圆心在AE上．解：将直线段AB，BC，CD及曲线段DE分别绕AE所在的直线旋转，如下图所示，它们分别旋转得圆锥、圆台、圆柱以及半球．——能力提升类——12．一个三棱锥的各棱长均相等，在它内部有一个内切球面，球与三棱锥的各侧面均相切(球在三棱锥的内部，且球与三棱锥的各面只有一个交点)，过一条侧棱和对边的中点作三棱锥的截面，所得截面图形是下图中的(B)解析：内切球和三棱锥的四个面均切于各面中心，而与各侧棱无公共点．故选B．13．如下图，模块①～⑤均由4个棱长为1的小正方体构成，模块⑥由15个棱长为1的小正方体构成．现从模块①～⑤中选出三个放到模块⑥上，使得模块⑥成为一个棱长为3的大正方体，则下列选择方案中，能够完成任务的为(A)A．模块①②⑤B．模块①③⑤C．模块②④⑤D．模块③④⑤解析：本题主要考查空间想象能力，先补齐中间一层，只能用模块⑤或①，且如果补①则后续模块无法补齐，所以只能先用⑤补中间一层，然后再补齐其他两块，显然①②符合．14．如图所示的几何体的结构特征是由一个四棱锥和一个同底的四棱柱拼接，又在四棱柱中挖去了一个圆柱而形成的．15．已知圆锥的底面半径为r，高为h，且正方体ABCD-A1B1C1D1内接于圆锥，求这个正方体的棱长．解：过内接正方体的一组对棱作圆锥的轴截面，如图所示．设圆锥内接正方体的棱长为x，则在轴截面中，正方体的对角面A1ACC1的一组邻边的长分别为x和2x.因为△VA1C1∽△VMN，所以2x2r＝h－xh，即2hx＝2rh－2rx，解得x＝2rh2r＋2h，即圆锥内接正方体的棱长为2rh2r＋2h.课时作业4中心投影与平行投影空间几何体的三视图——基础巩固类——1．四个直立在地面上的字母广告牌在不同情况下，在地面上的投影(阴影部分)效果如图所示，则在字母L，K，C的投影中，与字母N属同一种投影的有(A)A．L，K B．CC．K D．L，K，C解析：N和L，K属中心投影，C属平行投影．2．下列四个几何体的三视图中，只有正视图和侧视图相同的几何体是(D)A．①②B．①③C．①④D．②④解析：分析几何体可知，②④中几何体只有正视图和侧视图相同．3．如图所示，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体是(B)A．三棱锥B．三棱柱C．四棱锥D．四棱柱解析：由题知，该几何体的三视图为一个三角形，两个四边形，经分析可知该几何体为三棱柱，故选B．4．如图所示放置着六条棱长都相等的三棱锥，则这个三棱锥的侧视图是(A)A．等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．无两边相等的三角形解析：由题意知，它的侧视图是如图所示的等腰三角形(AC＝AB)．故选A．5．一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正视图与侧视图分别如图所示，则该几何体的俯视图为(C)解析：由正视图和侧视图可知，俯视图中的小矩形应在大矩形的左下角．故选C．6．如图，点O为正方体ABCD-A′B′C′D′的中心，点E为面B′BCC′的中心，点F为B′C′的中点，则空间四边形D′OEF 在该正方体的各个面上的投影不可能是(D)解析：由题意知光线从上向下照射，得到C，光线从前向后照射，得到A．光线从左向右照射得到B．故空间四边形D′OEF在该正方体的各个面上的投影不可能是D，故选D．7．若某几何体的三视图如图所示，则此几何体是由(简单几何体)四棱台与长方体组成的．解析：由三视图可得，几何体为一个四棱台和长方体的组合体．8．若一个正三棱柱的三视图如图所示，则这个三棱柱的高(两底面之间的距离)和底面边长分别是2和4.解析：由侧视图可知，三棱柱的高为2，底面正三角形的高为23，设底面边长为a，则由32a＝23得a＝4.9．如图所示为长方体木块堆成的几何体的三视图，则组成此几何体的长方体木块共有4块．解析：由正视图可知有两列，由侧视图可知有两排，再结合俯视图可得，几何体共分两层，下面一层3块，上面一层1块，如图所示，其中小长方形中的数字表示此位置木块的块数．10.如图所示，该几何体是由一个长方体木块锯成的．(1)判断该几何体是否为棱柱；(2)画出它的三视图．解：(1)是棱柱．该几何体的前、后两个面互相平行，其余各面都是矩形，而且每相邻两个矩形的公共边都互相平行．(2)该几何体的三视图如图所示．11．如图是一几何体的三视图，想象该几何体的结构特征，并画出该几何体的大致图形．解：由于俯视图有一个圆和一个矩形，则该几何体是由旋转体和多面体拼接成的组合体，结合侧视图和正视图，可知该几何体是上面一个圆柱，下面一个四棱柱拼接成的组合体．该几何体的大致形状如图所示．——能力提升类——12．某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为(C)A．1 B． 2C． 3 D．2解析：由题中三视图知，此四棱锥的直观图如图所示，其中侧棱SA⊥底面ABCD，且底面是边长为1的正方形，SA＝1，所以四棱锥最长棱的棱长为SC＝3，选C．13．一个锥体的正视图和侧视图如图所示，下面选项中，不可能是该锥体的俯视图的是(C)解析：若俯视图为选项C，则侧视图的宽应为俯视图中三角形的高32，所以俯视图不可能是选项C．14.已知正六棱柱的底面边长和侧棱长均为2 cm，其三视图中的俯视图如图所示，则其侧视图的面积是4 3 cm2.解析：∵正六棱柱的底面边长和侧棱长均为2 cm，∴侧视图是长方形，长为2 3 cm，宽为2 cm，∴侧视图的面积是23×2＝43(cm2)．15．如图所示是一位同学画的一个实物的三视图，老师已判断正视图是正确的，问其他两个视图有无错误？如有，请纠正．解：由于正视图正确，观察可知侧视图少画了一条可见轮廓线，俯视图少画了四条可见轮廓线和一条不可见轮廓线，正确的三视图如图所示．课时作业5空间几何体的直观图——基础巩固类——1．由斜二测画法得到：①相等的线段和角在直观图中仍然相等；②正方形在直观图中是矩形；③等腰三角形在直观图中仍然是等腰三角形；④菱形的直观图仍然是菱形．上述结论正确的个数是(A)A．0 B．1C．2 D．3解析：只有平行且相等的线段在直观图中才相等，而相等的角在直观图中不一定相等，如角为90°，在直观图中可能是135°或45°，故①错，由直观图的斜二测画法可知②③④皆错．故选A．2．在用斜二测画法画水平放置的△ABC时，若∠A的两边分别平行于x轴、y轴，则在直观图中∠A′等于(D)A．45°B．135°C．90°D．45°或135°解析：由斜二测画法知，平行于坐标轴的线段仍平行于x′，y′轴，故∠A′为45°或135°.选D．3.如图所示的是水平放置的三角形ABC在平面直角坐标系中的直观图，其中D是AC的中点，在原三角形ABC中，∠ACB≠30°，则原图形中与线段BD的长相等的线段有(C)A．0条B．1条C．2条D．3条解析：先按照斜二测画法把直观图还原为真正的平面图形，然后根据平面图形的几何性质找出与线段BD长度相等的线段．把三角形ABC还原后为直角三角形，则D为斜边AC的中点，所以AD＝DC ＝BD．故选C．4．如图，一个正方形在直角坐标系中点B 的坐标为(2,2)，则在用斜二测画法得到的图形中，顶点B ′到x ′轴的距离为( B )A ．12B ．22C ．1D ． 2解析：直观图如图所示，则B ′C ′＝1，∠B ′C ′x ′＝45°.∴B ′到x ′轴的距离为1×sin45°＝22.5．已知水平放置的△ABC 是按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中B ′O ′＝C ′O ′＝1，A ′O ′＝32，那么原△ABC中∠ABC 的大小是( C )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°解析：根据“斜二测画法”可得BC ＝B ′C ′＝2，AO ＝2A ′O ′＝ 3.故原△ABC 是一个等边三角形．选C ．6．正方形O′A′B′C′的边长为1 cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图(如图)，则原图形的周长是(B)A．6 cm B．8 cmC．(2＋32)cm D．(2＋23)cm解析：如图，OA＝1 cm，在Rt△OAB中，OB＝2 2 cm，∴AB＝OA2＋OB2＝3 cm.∴四边形OABC的周长为8 cm.7．如图为△ABO水平放置的直观图，其中O′D′＝B′D′＝2A′D′，由图判断原三角形中AB，BO，BD，OD由小到大的顺序是OD<BD<AB<OB．解析：△ABO如图所示，设AD＝a，由题意OD＝2a，BD＝4a.∴OB＝25a，AB＝17a，∴OD<BD<AB<OB．8．有一块多边形的菜地，它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形(如图)，∠ABC ＝45°，AB ＝2，AD ＝1，DC ⊥BC ，则这块菜地的面积为3 2.解析：直观图四边形的边BC 在x ′轴上，在原坐标系下在x 轴上，长度不变，点A 在y ′轴上，在原图形中在y 轴上，且BE 长度为AB 长的2倍，过E 作EF ∥x 轴，且使EF 长度等于AD ，则点F 为点D 在原图形中对应的点，∴四边形EBCF 为四边形ABCD 的原图形，如图．在直角梯形ABCD 中，由AB ＝2，AD ＝1，得BC ＝2.∴四边形EBCF 的面积S ＝12(EF ＋BC )·BE ＝12(1＋2)×22＝3 2.9.在一等腰梯形ABCD 中，AB ∥DC ，∠A ＝45°，DC ＝2，AD ＝2，建立如图所示的直角坐标系，其中O 为AB 的中点，E 为CD 的中点，则其直观图的面积为324.解析：由题意可知AB ＝DC ＋2AD cos45°＝4，EO ＝2sin45°＝1，其直观图如图所示，其中A′B′＝4，C′D′＝2，高h′＝E′O′·sin45°＝2 4，所以S A′B′C′D′＝(2＋4)×242＝324.10．如右图所示是一个几何体的三视图，试用斜二测画法画出它的直观图．解：画法：(1)画轴：画x轴、y轴、z轴，使三轴交于点O，∠xOy＝45°，∠xOz＝90°；(2)画底面：由三视图知该几何体是一个简单组合体，它的下部是一个四棱台，上部是一个四棱锥．用斜二测画法画出底面ABCD，在z轴上截取OO′等于三视图中相应的高度，过O′作Ox的平行线O′x′，Oy的平行线O′y′，在平面x′O′y′内，作出棱台的上底面A′B′C′D′；(3)画四棱锥顶点：在Oz轴上截取O′P等于三视图中相应的高度如下图①；(4)成图：连接P A′，PB′，PC′，PD′，AA′，BB′，CC′，DD′，整理可得直观图如图②.——能力提升类——11．如图所示，△A′B′C′表示水平放置的△ABC在斜二测画法下的直观图，A′B′在x′轴上，B′C′与x′轴垂直，且B′C′＝3，则△ABC的边AB上的高为(A)A．6 2 B．3 3C．3 2 D．3解析：如图，过C′作C′D′∥O′y′交x′轴于D′，则2C′D′是△ABC的边AB上的高．由于△B′C′D′是等腰直角三角形，则C′D′＝2B′C′＝3 2.所以△ABC的边AB上的高等于2×32＝6 2.12．如图所示的是某一容器的三视图，现向容器中匀速注水，则容器中水面的高度h随时间t变化的图象可能是(B)解析：该三视图表示的容器是上面是圆台，上面细下面粗，再下面是圆柱，随时间的增加，可以得出高度增加，开始时是匀速增加，之后高度增加的越来越快．故选B．13．一个水平放置的三角形的斜二测直观图是等腰直角三角形A′B′O′，如图若O′B′＝1，那么原△ABO的面积与直观图的面积之比为22 1.解析：由斜二测画法，可知原三角形为直角三角形，且∠AOB＝90°，OB＝1，OA＝2O′A′＝22，所以S△AOB＝12×1×22＝ 2.S△A′B′O′＝12×1×1＝12，所以原三角形面积与直观图面积之比为22 1.14.在水平放置的平面α内有一个边长为1的正方形A′B′C′D′，如图，其中的对角线A′C′在水平位置，已知该正方形是某个四边形用斜二测画法画出的直观图，试画出该四边形的真实图形并求出其面积．解：四边形ABCD的真实图形如图所示，因为A′C′在水平位置，A′B′C′D′为正方形，所以∠D′A′C′＝∠A′C′B′＝45°，所以在原四边形ABCD中，DA⊥AC，AC⊥BC，因为DA ＝2D ′A ′＝2，AC ＝A ′C ′＝2，所以S四边形ABCD ＝AC ·AD ＝2 2.课时作业6 柱体、锥体、台体的表面积与体积——基础巩固类——1．圆台的体积为7π，上、下底面的半径分别为1和2，则圆台的高为( A )A ．3B ．4C ．5D ．6解析：由题意，V ＝13(π＋2π＋4π)h ＝7π，∴h ＝3.2．如果一个正四面体(各个面都是正三角形)的体积为9 cm 3，则其表面积为( A )A ．18 3 cm 2B ．18 cm 2C ．12 3 cm 2D ．12 cm 2解析：设正四面体的棱长为a cm ，则底面积为34a 2 cm 2，易求得高为63a cm ，则体积为13×34a 2×63a ＝212a 3＝9，解得a ＝32，所以其表面积为4×34a 2＝183(cm 2)．3．一个长、宽、高分别为a 、b 、c 的长方体的体积是8，它的表面积是32，且满足b 2＝ac ，那么这个长方体棱长的和是( B )A ．28B ．32C ．36D ．40解析：由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ a ·b ·c ＝8， ①ab ＋bc ＋ca ＝16， ②b 2＝ac ， ③将③代入①得b 3＝8，b ＝2，∴ac ＝4，代入②得a ＋c ＝6.∴长方体棱长的和为4(a ＋b ＋c )＝4×8＝32.4．若一个几何体的三视图如下图所示，则此几何体的体积为( D )A ．112B ．5C ．92D ．4解析：易知该几何体是一个六棱柱，由三视图可得底面面积S底＝1×2＋4×12×1×1＝4，高为1，故此几何体的体积V ＝4×1＝4.5．在△ABC 中，AB ＝2，BC ＝32，∠ABC ＝120°，若使△ABC 绕直线BC 旋转一周，则所形成的几何体的体积是( D )A ．152πB ．92πC ．52πD ．32π解析：依题意可知，旋转体是一个大圆锥去掉一个小圆锥，易得OA ＝3，OB ＝1，则OC ＝52，所以旋转体的体积为13×π(3)2·(OC －OB )。

高中人教版数学A版必修2(课时作业与单元测试卷)：第一章空间几何体单元检测

第一章单元检测班级____ 姓名____ 考号____ 分数____ 本试卷满分150分，考试时间120分钟．一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在下列各题的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．下列说法中不正确．．．的是( ) A ．圆柱的侧面展开图是一个矩形B ．圆锥中过轴的截面是一个等腰三角形C ．直角三角形绕它的一条边所在直线旋转一周形成的曲面围成的几何体是圆锥D ．圆台中平行于底面的截面是圆面答案：C解析：本题考查了对基本概念的理解，根据圆柱、圆锥、圆台的定义和性质知，应选C.2．如图所示，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1上下底面中心分别为O 1、O 2，将正方体绕直线O 1O 2旋转一周，其中由线段BC 1旋转所得图形是( )答案：D解析：由图形的形成过程可知，在图形的面上能够找到直线，在B ，D 中选，显然B 不对．因为BC 1中点绕O 1O 2旋转得到的圆比B 点和C 1点的小，故选D.3．长方体一个顶点上的三条棱长分别为3,4，x ，表面积为108，则x 等于( ) A ．2 B ．3 C ．5 D ．6 答案：D解析：该长方体的表面积为2(3×4＋3x ＋4x )＝108，x ＝6.4．过圆锥的轴的平面截圆锥所得三角形是边长为2的等边三角形，则该圆锥的体积为( )A.π3B.3π3C.2π3D.23π3 答案：B解析：由条件知圆锥的底面半径为1，高为3，所以体积为3π3.5．若某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体的侧面积等于( ) A ．12π cm 2 B ．15π cm 2 C ．24π cm 2 D ．30π cm 2 答案：B解析：由三视图可知，该几何体是底面半径为3 cm ，母线长为5 cm 的圆锥，其侧面积为πrl ＝π×3×5＝15π cm 2.6.已知水平放置的△ABC 是按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中B ′O ′＝C ′O ′＝1，A ′O ′＝32，那么原△ABC 是一个( )A ．等边三角形B ．直角三角形C ．三边中只有两边相等的等腰三角形D ．三边互不相等的三角形答案：A解析：依据斜二测画法的原则可得， BC ＝B ′C ′＝2，AO ＝2A ′O ′＝2×32＝3，又∵AO ⊥BC ，∴AB ＝AC ＝2. 故△ABC 是等边三角形．7．如图，长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是边长为2的正方形，高为1，M 为线段AB 的中点，则三棱锥C －MC 1D 1的体积为( )A.12B.13C.14D.23 答案：D解析：S △C 1D 1C ＝12×1×2＝1，∴VC －MC 1D 1＝VM －C 1D 1C ＝13S △C 1D 1C ·h ＝13×1×2＝23.8．设正方体的表面积为24，那么其内切球的体积是( )A.6πB.43πC.83πD.323π 答案：B解析：正方体棱长为2，内切球半径为1.9．一个空间几何体的三视图如图所示，该几何体的体积为12π＋8 53，则正视图中x的值为( )A ．5B ．4C ．3D ．2 答案：C 解析：该几何体上部为正四棱锥(底面为正方形且顶点在底面的射影是正方形中心的四棱锥)，四棱锥的高为32－22＝5，底面正方形的边长为2 2；下部为圆柱，圆柱的高为x ，底面圆的直径为4.V四棱锥＝13×(2 2)2×5＝8 53，V 圆柱＝π×22×x ＝4πx ，V 四棱锥＋V 圆柱＝8 53＋4 πx ＝8 53＋12 π，所以x ＝3，故选C.10．若正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′的棱长为4，点M 是棱AB 的中点，则在该正方体表面上，点M 到顶点C ′的最短距离是( )A ．6B ．10C ．217D ．213 答案：D解析：将正方体展成一个平面再求最短距离．11．如右图所示，A ∈α，B ∈l ，C ∈l ，D ∈β，AB ⊥BC ，BC ⊥CD ，AB ＝BC ＝1，CD ＝2，P 是棱l 上的一个动点，则AP ＋PD 的最小值为( )A. 5 B ．2 2 C ．3 D.10 答案：D 解析：把α、β展开成一个平面，如图，作AE ∥BC ，延长DC 交AE 于E ，则AE ＝BC ＝1，EC ＝1， ∴在Rt △AED 中有AD ＝32＋12＝10.12．如图，如果底面半径为r 的圆柱被一个平面所截，剩下部分母线长的最大值为a ，最小值为b ，那么圆柱被截后剩下的部分的体积是( )A.13πr 2(a ＋b )B.12πr 2(a ＋b ) C ．πr 2(a ＋b ) D ．2r 2(a ＋b ) 答案：B 解析：将这样两个完全相同的几何体拼在一起组成一个高为a ＋b 的圆柱．故圆柱被截下后剩下部分的体积为12πr 2(a ＋b )．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上． 13．若两个球的半径之比为1：2，且它们的体积之和为12π，则它们的表面积之和为________．答案：20π解析：设两球半径分别为r,2r ，则体积之和为12πr 3＝12π，r ＝1，表面积之和为4π(r 2＋4r 2)＝20π.14．一个圆台的上、下底面积分别为π、9π，中截面面积等于圆台的侧面积，则圆台的母线长为________．答案：1 解析：如图所示，r 1＝1，r 3＝3，r 2＝2，则π(1＋3)l ＝π×4.∴l ＝1.15．如图，水平放置的三棱柱的侧棱长和底面边长均为2，且侧棱AA 1⊥底面A 1B 1C 1，正视图是边长为2的正方形，则该三棱柱的侧视图的面积为________．答案：2 3解析：由题意知该三棱柱的侧视图为矩形，该矩形的长为2，宽为底面正三角形的高，其值为3，所以其侧视图的面积是2 3.16．一个几何体的三视图及其尺寸如图所示，其中正视图是直角三角形，侧视图是半圆，俯视图是等腰三角形，则这个几何体的表面积是________．答案：2(1＋3)π＋4 2 解析：此几何体是半个圆锥，直观图如图所示，先求出圆锥的侧面积S 圆锥侧＝πrl ＝π×2×2 3＝4 3π，S 底＝π×22＝4π，S △SAB ＝12×4×2 2＝4 2.所以S 表＝4 3π2＋4π2＋4 2＝2(1＋3)π＋4 2.三、解答题：本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(10分)已知圆台的上、下底面半径分别是2和5，且侧面面积等于两底面面积之和，求该圆台的母线长．解：设圆台的上、下底面半径分别为r 、R ，母线为l ，则有πr 2＋πR 2＝π(r ＋R )l ，所以l ＝πr 2＋πR 2π(r ＋R )＝22＋522＋5＝297.即该圆台的母线长为297.18．(12分)已知三棱柱三个侧面都是矩形，若底面的一边长为2 cm ，另两边长都为3 cm ，侧棱长为4 cm ，求它的体积和表面积．解：由题意设AB ＝AC ＝3，BC ＝2，AA ′＝4，则底面BC 边上的高为32－1＝22，所以体积为V ＝12×2×22×4＝8 2 cm 3，表面积为S ＝2×12×2×22＋(3＋3＋2)×4＝42＋32 (cm 2)．19．(12分)如图所示，三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，若E 、F 分别为AB 、AC 的中点，平面EB 1C 1F 将三棱柱分成两部分，其中V 1是三棱台AEF －A 1B 1C 1的体积，V 2是多面体BCFEB 1C 1的体积，求V 1：V 2.解：设三棱柱的高为h ，底面的面积为S ，体积为V ，则V ＝V 1＋V 2＝Sh .因为E 、F 分别为AB 、AC 的中点，所以S △AEF ＝14S ，V 1＝13h (S ＋14S ＋S ·S 4)＝712Sh ，V 2＝Sh －V 1＝512Sh ，故V 1：V 2＝7：5.20．(12分)已知一圆锥的母线长为10 cm ，底面半径为5 cm. (1)求它的高；(2)若该圆锥内有一球，球与圆锥的底面及圆锥的所有母线都相切，求球的体积．解：(1)高为102－52＝5 3(cm)．(2)其轴截面如图，设球的半径为r cm ，△SCE 与△SBD 相似，则r 5＝5 3－r 10，解得r ＝5 33. 于是，所求球的体积V 球＝4π3r 3＝43π⎝⎛⎭⎫5 333＝500 3π27(cm 3)21．(12分)如图的三个图是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图和正视图、侧视图(单位：cm)．(1)请画出该多面体的俯视图；(2)按照给出的尺寸，求该多面体的体积和表面积；(3)若将五边形ADD ′GE 绕直线DD ′旋转一周，求所得几何体的表面积和体积．解：(1)俯视图如图所示．(2)所求多面体体积V ＝V 长方体－V 主棱锥＝4×4×6－13×(12×2×2)×2＝2843(cm 3)．易求得EF ＝EG ＝FG ＝22，△EFG 的面积S △EFG ＝34×(22)2＝23(cm 2)，所以表面积S 表＝2×(4×4＋4×6＋4×6)－3×(12×2×2)＋23＝112＋2 3 (cm 2)．(3)五边形ADD ′GE 绕直线DD ′旋转一周得到的几何体是一个底面半径为4，高为2的圆柱与一个上底半径为2，下底半径为4，高为2的圆台的组合体，其体积＝V 圆柱＋V 圆台＝π×42×2＋13×(4π＋16π＋4π×16π)×2＝1523π (cm 3)．该几何体的表面积＝S 圆台表＋S 圆柱表＝π(2＋4)×22＋4π＋16π＋2π×4×2＝36π＋122π(cm 2)．22．(14分)养路处建造圆锥形仓库用于贮藏食盐(供融化高速公路上的积雪之用)，已建的仓库的底面直径为12 m ，高4 m ，养路处拟建一个更大的圆锥形仓库，以存放更多的食盐．现有两种方案：一是新建的仓库的底面直径比原来大4 m(高不变)；二是高度增加4 m(底面直径不变)．(1)分别计算按这两种方案所建的仓库的体积； (2)分别计算按这两种方案所建的仓库的表面积； (3)哪个方案更经济些？解：(1)如果按方案一，仓库的底面直径变成16 m ，则仓库的体积V 1＝13Sh ＝13×π×(162)2×4＝2563π(m 3)．如果按方案二，仓库的高变成8 m ，则仓库的体积V 2＝13Sh ＝13×π×(122)2×8＝2883π＝96π(m 2)．(2)如果按方案一，仓库的底面直径变成16 m ，半径为8 m ，圆锥的母线长为l ＝82＋42＝5(m)．则仓库的表面积S 1＝π×8×4 5＝32 5π(m 2)．如果按方案二，仓库的高变成8 m ，圆锥的母线长为l ＝82＋62＝10(m)，则仓库的表面积S 2＝π×6×10＝60π (m 2)．(3)∵V 2>V 1，S 2<S 1，所以方案二比方案一更加经济．。

2018-2019数学同步新课标导学人教A版必修二通用版练习：第一章空间几何体1.1.2

第一章 1.1 1.1.2A级基础巩固一、选择题1．下列几何体中不是旋转体的是导学号09024051(D)[解析]由旋转体的概念可知，选项D不是旋转体．2．用一个平面去截一个几何体，得到的截面是圆面，这个几何体不可能是导学号09024052(D)A．圆锥B．圆柱C．球D．棱柱[解析]棱柱的任何截面都不可能是圆面．3．用任意一个平面截一个几何体，各个截面都是圆面，则这个几何体一定是导学号09024053(C)A．圆柱B．圆锥C．球体D．圆台[解析]用任意一个平面截球体所得的截面都是圆面，故选C．4．下列命题中正确的是导学号09024054(C)①过球面上任意两点只能作球的一个大圆；②球的任意两个大圆的交点的连线是球的直径；③用不过球心的截面截球，球心和截面圆心的连线垂直于截面．A．①②③B．②③C．②③D．②[解析]过直径的两个端点可作无数个大圆，故①错；两个大圆的交点是两个大圆的公共点，也一定是直径的端点，故②正确；球心与截面圆心的连线一定垂直于截面，故③正确．5．如图(1)所示的几何体是由下图中的哪个平面图形旋转后得到的？导学号09024055 (A)[解析]因为简单组合体为一个圆台和一个圆锥所组成的，因此平面图形应为一个直角三角形和一个直角梯形构成，可排除B、D，再由圆台上、下底的大小比例关系可排除C，故选A．6．图中最左边的几何体由一个圆柱挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得．现用一个竖直的平面去截这个几何体，则截面图形可能是导学号09024056 (D)A．(1)(2) B．(1)(3)C．(1)(4) D．(1)(5)[解析]圆锥除过轴的截面外，其它截面截圆锥得到的都不是三角形．二、填空题7．一个与球心距离为1的平面截球所得的圆面面积为π，则球的直径为__.导学号09024057[解析]设球心到平面的距离为d，截面圆的半径为r，则πr2＝π，∴r＝1.设球的半径为R，则R＝d2＋r2＝2，故球的直径为22．8．已知一个正方体内接于一个球，过球心作一截面，则下图中，截面不可能是__④__(填序号).导学号09024058[解析]过球心的任何截面都不可能是圆的内接正方形．三、解答题9．说出下图是由什么几何体组合而成的？导学号09024059[解析]①三棱柱挖去一个圆柱②球、圆柱和圆台B级素养提升一、选择题1．下列几何体中导学号09024060(A)A．旋转体3个，台体(棱台和圆台)2个B．旋转体3个，柱体(棱柱和圆柱)5个C．柱体3个，锥体(棱锥或圆锥)4个D．旋转体3个，多面体4个[解析](6)(7)(8)为旋转体，(5)(7)为台体．2．下列命题，其中正确命题的个数是导学号09024061(C)①圆柱的轴截面是过母线的截面中面积最大的一个(注：轴截面是指过旋转轴的截面)；②用任意一个平面去截球体得到的截面一定是一个圆面；③用任意一个平面去截圆锥得到的截面一定是一个圆．A．0B．1C．2D．3[解析]由圆锥与球的结构特征可知①②正确，故选择C．3．下列说法正确的是导学号09024062(D)①圆台可以由任意一个梯形绕其一边旋转形成；②用任意一个与底面平行的平面截圆台，截面是圆面；③在圆台上、下底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线；④圆柱的任意两条母线平行，圆锥的任意两条母线相交，圆台的任意两条母线延长后相交．A．①②B．②③C．①③D．②④[解析]①错，圆台是直角梯形绕其直角边或等腰梯形绕其底边的中点连线旋转形成的；②正确；由母线的定义知③错；④正确．4．将一个等腰梯形绕着它的较长的底边所在的直线旋转一周，所得的几何体是由导学号09024063(D)A．一个圆台、两个圆锥构成B．两个圆台、一个圆锥构成C．两个圆柱、一个圆锥构成D．一个圆柱、两个圆锥构成[解析]旋转体如图，可知选D．二、填空题5．一个圆锥的母线长为20 cm，母线与轴的夹角为30°，则圆锥的高为__cm.导学号09024064[解析]h＝20cos30°＝20×32＝103(cm)．6．如图所示的几何体，关于其结构特征，下列说法不正确的是__④__.导学号09024065①该几何体是由两个同底的四棱锥组成的几何体；②该几何体有12条棱、6个顶点；③该几何体有8个面，并且各面均为三角形；④该几何体有9个面，其中一个面是四边形，其余均为三角形．[解析]平面ABCD可将该几何体分割成两个四棱锥，因此该几何体是这两个四棱锥的组合体，因而四边形ABCD是它的一个截面，而不是一个面，故填④．C级能力拔高1．如图所示，几何体可看作由什么图形旋转360°得到？画出平面图形和旋转轴.导学号09024066[解析]先出画几何体的轴，然后再观察寻找平面图形．旋转前的平面图形如下：2．如图(1)所示的图形绕虚线旋转一周后形成的几何体是由哪些简单几何体组成的. 导学号09024067[解析]如图(2)所示，①是矩形，旋转后形成圆柱，②、③是梯形，旋转后形成圆台．所以旋转后形成的几何体如图(3)所示，通过观察可知，该组合体是由一个圆柱、两个圆台拼接而成的．。

人教版高中数学必修第二册课时作业(一) 【含解析】

数学必修第二册课时作业(一)【原卷版】1．给出下列物理量：①质量；②速度；③位移；④力；⑤路程；⑥功；⑦加速度．其中是向量的有()A．4个B．5个C．6个D．7个2．【多选题】下列结论正确的是()A．若|a|＝|b|，则a＝b或a＝－bB．非零向量a与b平行，则a与b的方向相同或相反C．起点不同，但方向相同且模相等的向量是相等向量D．与非零向量a平行的单位向量有1个3．设O是△ABC的外心，则AO→，BO→，CO→是()A．相等向量B．模相等的向量C．平行向量D．起点相同的向量4．【多选题】如图，O是正方形ABCD的中心，则下列结论正确的是()A.AO→＝OC→B.AO→∥AC→C.AB→与CD→共线D.AO→＝BO→5．在△ABC中，AB＝AC，D，E分别是AB，AC的中点，则()A.AB→与AC→共线B.DE→与CB→共线C.AD→与AE→相等D.AD→与BD→相等6．四边形ABCD中，AB→＝2DC→，则四边形ABCD为()A．平行四边形B．矩形C．梯形D．菱形7．在坐标平面上，把所有单位向量的起点平移到坐标系的原点，则它们的终点所构成的图形是________．8．已知在边长为2的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，则|BD→|＝________．9．某人向正东方向行进100m后，再向正南方向行进1003m，则此人位移的方向是________．10.如图，若四边形ABCD 为正方形，△BCE 为等腰直角三角形，则：(1)图中与AB →共线的向量有________________________________________________________________；(2)图中与AB →相等的向量有________；(3)图中与AB →的模相等的向量有_______________________________________；(4)图中与EC →相等的向量有________．11.如图，在平行四边形ABCD 中，E ，F 分别是AD ，BC 的中点，则以A ，B ，C ，D ，E ，F 这六个点中任意两点分别作为起点和终点的所有向量中，与向量EF →方向相反的向量是________．12．若A 地位于B 地正西方向5km 处，C 地位于A 地正北方向5km 处，则C 地相对于B 地的位移是________．13．一辆消防车从A 地去B 地执行任务，先从A 地向北偏东30°方向行驶2km 到达D 地，然后从D 地沿北偏东60°方向行驶6km 到达C 地，从C 地又向南偏西30°方向行驶2km 才到达B 地．(1)在图中画出向量AD →，DC →，CB →，AB →；(2)描述B 地相对于A 地的位置．14．如图，在四边形ABCD 中，已知M ，N 分别是BC ，AD 的中点，且AB →＝DC →，求证：CN 綉MA .15．中国象棋中规定：马走“日”字．下图是中国象棋的半个棋盘，若马在A 处，可跳到A 1处，也可跳到A 2处，用向量AA 1→或AA 2→表示马走了“一步”．试在图中画出马在B ，C 处走了“一步”的所有情况．1．O 是△ABC 内一点，若|OA →|＝|OB →|＝|OC →|，则O 是△ABC 的()A ．重心B ．内心C ．外心D ．垂心2．【多选题】下列命题中是真命题的是()A ．向量AB →∥CD →(AB →，CD →为非零向量)就是AB →所在的直线平行于CD →所在的直线B ．零向量与任一向量平行C ．相等向量一定是平行向量D ．平行向量一定是相等向量3.如图，已知四边形ABCD 是平行四边形，O 是两条对角线的交点，设点集M ＝{A ，B ，C ，D ，O }，向量集合T ＝{PQ →|P ∈M ，Q ∈M ，且P ，Q 不重合}，求集合T 中元素的个数．4．对于下列各种情况，各向量的终点的集合分别是什么图形？(1)把所有单位向量的起点平行移动到同一点P ；(2)把平行于直线l 的所有向量的起点平移到直线l 上的点P ；(3)把平行于直线l 的所有单位向量的起点平移到直线l 上的点P .5．民间流传的一种智力玩具七巧板是将一块正方形切割为五个等腰直角三角形和一个正方形、一个平行四边形，如图所示．试写出图中与FE →模相等的向量．6．指出下图中的平行向量和相等向量．7.如图所示，在四边形ABCD中，AB→＝DC→，N，M是AD，BC上的点，且CN→＝MA→.(1)求证：DN→＝MB→；(2)试写出图中与向量DN→共线的向量．数学必修第二册课时作业(一)【解析版】1．给出下列物理量：①质量；②速度；③位移；④力；⑤路程；⑥功；⑦加速度．其中是向量的有()A ．4个B ．5个C ．6个D ．7个答案A解析速度、位移、力、加速度这4个物理量是向量，它们都有大小和方向．2．【多选题】下列结论正确的是()A ．若|a |＝|b |，则a ＝b 或a ＝－bB ．非零向量a 与b 平行，则a 与b 的方向相同或相反C ．起点不同，但方向相同且模相等的向量是相等向量D ．与非零向量a 平行的单位向量有1个答案BC解析A 中两个向量未必共线；D 中与非零向量a 平行的单位向量有2个．3．设O 是△ABC 的外心，则AO →，BO →，CO →是()A ．相等向量B ．模相等的向量C ．平行向量D ．起点相同的向量答案B4．【多选题】如图，O 是正方形ABCD 的中心，则下列结论正确的是()A.AO →＝OC →B.AO →∥AC →C.AB →与CD →共线 D.AO →＝BO→答案ABC解析根据正方形的特征，结合相等向量，平行向量作出判断，只有D 是错误的，AO →与BO →只是模相等，由于方向不相同，所以不是相等向量．5．在△ABC 中，AB ＝AC ，D ，E 分别是AB ，AC 的中点，则()A.AB →与AC →共线 B.DE →与CB →共线C.AD →与AE →相等D.AD →与BD →相等答案B解析如图，因为D ，E 分别是AB ，AC 的中点，所以由三角形的中位线定理可得DE ∥BC .所以DE →与CB →共线．6．四边形ABCD 中，AB →＝2DC →，则四边形ABCD 为()A ．平行四边形B ．矩形C ．梯形D ．菱形答案C解析∵AB →＝2DC →，∴AB ∥DC 且AB ≠DC .∴四边形ABCD 为梯形．7．在坐标平面上，把所有单位向量的起点平移到坐标系的原点，则它们的终点所构成的图形是________．答案单位圆8．已知在边长为2的菱形ABCD 中，∠ABC ＝60°，则|BD →|＝________．答案23解析由题意知AC ⊥BD ，且∠ABD ＝30°，设AC ，BD 交点为O ，在Rt △ABO 中，|BO →|＝|AB →|·cos 30°＝2×32＝3，∴|BD →|＝2|BO →|＝23.9．某人向正东方向行进100m 后，再向正南方向行进1003m ，则此人位移的方向是________．答案南偏东30°解析如图所示，此人从点A 出发，经点B ，到达点C ，则tan ∠BAC ＝BC BA ＝1003100＝3，∵∠BAC 是三角形的内角，∴∠BAC ＝60°，即位移的方向是南偏东30°.10.如图，若四边形ABCD 为正方形，△BCE 为等腰直角三角形，则：(1)图中与AB →共线的向量有________________________________________________________________；(2)图中与AB →相等的向量有________；(3)图中与AB →的模相等的向量有_______________________________________；(4)图中与EC →相等的向量有________．答案(1)DC →，BE →，BA →，CD →，EB →，AE →，EA →(2)DC →，BE→(3)BA →，BE →，EB →，DC →，CD →，AD →，DA →，BC →，CB →(4)BD→11.如图，在平行四边形ABCD 中，E ，F 分别是AD ，BC 的中点，则以A ，B ，C ，D ，E ，F 这六个点中任意两点分别作为起点和终点的所有向量中，与向量EF →方向相反的向量是________．答案BA →，FE →，CD→解析由平行四边形的性质，可知AB 綉EF 綉DC .则与向量EF →方向相反的向量有BA →，FE →，CD →.12．若A 地位于B 地正西方向5km 处，C 地位于A 地正北方向5km 处，则C 地相对于B 地的位移是________．答案西北方向52km解析根据题意画出图形如图所示，由图可知|BC →|＝52km ，且∠ABC ＝45°，故C 地相对于B 地的位移是西北方向52km.13．一辆消防车从A 地去B 地执行任务，先从A 地向北偏东30°方向行驶2km 到达D 地，然后从D 地沿北偏东60°方向行驶6km 到达C 地，从C 地又向南偏西30°方向行驶2km才到达B 地．(1)在图中画出向量AD →，DC →，CB →，AB →；(2)描述B 地相对于A 地的位置．解析(1)作向量AD →，DC →，CB →，AB →如图所示．(2)由题意知AD →＝BC →，所以四边形ABCD 为平行四边形，所以AB →＝DC →，所以B 地相对于A 地的位置为“北偏东60°，相距6km ”．14．如图，在四边形ABCD 中，已知M ，N 分别是BC ，AD 的中点，且AB →＝DC →，求证：CN 綉MA .证明因为AB →＝DC →，所以AB ＝DC ，且AB ∥DC .所以四边形ABCD 是平行四边形．所以AD →＝BC →.又因为M ，N 分别是BC ，AD 的中点，所以AN ＝MC ，且AN ∥MC .所以四边形AMCN 是平行四边形．所以CN 綉MA .15．中国象棋中规定：马走“日”字．下图是中国象棋的半个棋盘，若马在A 处，可跳到A 1处，也可跳到A 2处，用向量AA 1→或AA 2→表示马走了“一步”．试在图中画出马在B ，C 处走了“一步”的所有情况．解析根据规则，作出符合要求的所有向量，如图．1．O 是△ABC 内一点，若|OA →|＝|OB →|＝|OC →|，则O 是△ABC 的()A ．重心B ．内心C ．外心D ．垂心答案C解析由条件知点O 到△ABC 三个顶点的距离相等，所以O 是△ABC 的外心．2．【多选题】下列命题中是真命题的是()A ．向量AB →∥CD →(AB →，CD →为非零向量)就是AB →所在的直线平行于CD →所在的直线B ．零向量与任一向量平行C ．相等向量一定是平行向量D ．平行向量一定是相等向量答案BC解析向量AB →∥CD →包含AB →所在的直线与CD →所在的直线平行和重合两种情况，故A 是假命题；零向量的方向是任意的，因此与任一向量平行，故B 是真命题；相等向量的方向相同，因此相等向量一定是平行向量，故C 是真命题；平行向量的长度不一定相同，即使长度相同，方向也有可能相反，因此平行向量不一定是相等向量，故D 是假命题．3.如图，已知四边形ABCD 是平行四边形，O 是两条对角线的交点，设点集M ＝{A ，B ，C ，D ，O }，向量集合T ＝{PQ →|P ∈M ，Q ∈M ，且P ，Q 不重合}，求集合T 中元素的个数．解析从模和方向两个角度考虑，以下向量是互不相等的向量：AB →，BA →，AD →，DA →，AO →，OA →，AC →，CA →，BO →，OB →，BD →，DB →，其他向量都与它们中的某一个相等，故集合T 中有12个元素．4．对于下列各种情况，各向量的终点的集合分别是什么图形？(1)把所有单位向量的起点平行移动到同一点P ；(2)把平行于直线l 的所有向量的起点平移到直线l 上的点P ；(3)把平行于直线l 的所有单位向量的起点平移到直线l 上的点P .解析(1)是以P 点为圆心，以1个单位长度为半径的圆．(2)是直线l .(3)是直线l 上与点P 的距离为1个单位长度的两个点．5．民间流传的一种智力玩具七巧板是将一块正方形切割为五个等腰直角三角形和一个正方形、一个平行四边形，如图所示．试写出图中与FE →模相等的向量．解析与FE →模相等的向量有EF →，DO →，OD →，GH →，HG →，OB →，BO →，AO →，OA →，共9个．6．指出下图中的平行向量和相等向量．解析平行向量有CD →∥AB →∥IJ →∥MN →，EF →∥GH →∥KL →.相等向量有CD →＝MN →，AB →＝IJ →.7.如图所示，在四边形ABCD 中，AB →＝DC →，N ，M 是AD ，BC 上的点，且CN →＝MA →.(1)求证：DN →＝MB →；(2)试写出图中与向量DN →共线的向量．解析(1)证明：因为AB →＝DC →，所以|AB →|＝|DC →|，且AB ∥CD .因此四边形ABCD 是平行四边形，所以|DA →|＝|CB →|，且DA ∥CB .同理，由CN →＝MA →，可证四边形CNAM 是平行四边形，所以CM →＝NA →.所以|MB →|＝|DN →|，即DN →与MB →的模相等，又DN →与MB →的方向相同，故DN →＝MB →.(2)图中与向量DN →共线的向量有NA →，AN →，ND →，CM →，MC →，MB →，BM →，CB →，BC →，DA →，AD →.。

2019-2020数学同步导学练全国通用版人教A版必修二练习：第一章空间几何体第一章检测(B) Word版含解析

第一章检测(B)(时间:90分钟满分:120分)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.下列说法正确的是()A.棱柱的侧面可以是三角形B.正方体和长方体都是特殊的四棱柱C.所有的几何体的表面都能展成平面图形D.棱柱的各条棱都相等,且各侧棱长都相等,故A不正确,易知C,D不正确.B正确.2.若一个几何体的三个视图都是面积为2的圆,则这个几何体的表面积是()A.4B.2C.8D.16,设其半径为r,则S=πr2,所以r=.故S表=4πr2=4π×=8.3.若一个几何体的直观图如图所示,则下列给出的四个俯视图正确的是(),应为B中图形.4.已知一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为()A.200+9πB.200+18πC.140+9πD.140+18π10,4,5的长方体和上面是半径为3,高为2的半个圆柱的组合体.5.已知水平放置的△ABC按斜二测画法得到如图所示的直观图,其中B'O'=C'O'=1,A'O'=,则△ABC是一个()A.等边三角形B.直角三角形C.三边中只有两边相等的等腰三角形D.三边互不相等的三角形BC=B'C'=2,AO=2A'O'=2×.因为AO⊥BC,所以AB=AC=2.故△ABC是等边三角形.6.已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形,则该正方体的正视图的面积不可能等于()A.1B.C.D.1,正视图的高为1,宽在区间[1,]上,所以正视图的面积在区间[1,]上变化,而<1,故选C.7.如果圆锥的表面积是底面面积的3倍,那么该圆锥的侧面展开图(扇形)的圆心角的度数为()A.120°B.150°C.180°D.240°R,母线长为l.由题意知πR2+πRl=3πR2,所以l=2R,扇形的弧长为2πR=πl.而扇形所在圆的周长为2πl,所以该扇形是半圆,即所求圆心角的度数为180°.8.如图,已知△A'B'C'表示水平放置的△ABC在斜二测画法下的直观图,A'B'在x'轴上,B'C'与x'轴垂直,且B'C'=3,则△ABC的边AB上的高为()A.6B.3C.3D.3,过C'作C'D'∥O'y'交x'轴于点D',则2C'D'是△ABC的边AB上的高.由于△B'C'D'是等腰直角三角形,则C'D'=B'C'=3.所以△ABC的边AB上的高等于2×3=6.9.已知圆柱的侧面展开图(矩形)的面积为S,底面周长为C,则它的体积是()A.B.C.D.r,母线长为l,2πrl=S,2πr=C,所以V=πr2l=.10.某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积为()A.B.C.D.1,三棱锥的直观图如图所示,则该三棱锥的体积V=×1×1×1=,故选A.二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在题中的横线上)11.若把长、宽分别为2a,a的矩形卷成一个圆柱的侧面,且圆柱的体积为,则a=.r,母线长为l.①当2πr=a,l=2a时,则r=,h=l=2a,所以V圆柱=πr2h=π××2a=,解得a=.②当2πr=2a,l=a时,则r=,h=l=a,所以V圆柱=πr2h=π××a=,解得a=2.故所求a的值为或2.212.已知三棱锥的侧棱PA,PB,PC两两垂直且相等,若AB=,则三棱锥P-ABC的外接球的表面积是.,如图所示.因为AB=,所以PA=PB=PC=1,即外接球的半径为.故球的表面积为4πr2=4π×=3π.π13.如图,若一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等,则圆柱、圆锥、球的体积之比为.R,则V柱=πR2·(2R)=2πR3,V锥=πR2·2R=πR3,V球=πR3,故V柱∶V锥∶V球=2πR3∶πR3∶πR3=3∶1∶2.∶1∶214.一个横放的圆柱形水桶,桶内的水占底面周长的四分之一,当桶直立时,水面的高度与桶的高度之比为.,水面的高度为x,桶的高度为h,桶的底面半径为R,则横放时水桶底面在水内的面积为,V水=h.直立时,V水=πR2x,所以x∶h=(π-2)∶4π.π-2)∶4π15.在具有如图所示的正视图和俯视图的几何体中,体积最大的几何体的表面积为.,或水平放置的圆柱.由图形可知四棱柱的体积最大.四棱柱的高为1,底面边长分别为1,3,所以表面积为2(1×3+1×1+3×1)=14.三、解答题(本大题共5小题,共45分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16.(8分)如图,一个圆锥形的空杯子上面放着一个半球形的冰激凌,如果冰激凌融化了,会溢出杯子吗?请用你的计算数据说明理由.V半球=πR3=×43=(cm3),V圆锥=πr2h=π×42×10=(cm3),又因为V半球<V圆锥,所以冰激凌融化了,不会溢出杯子.17.(8分)如图所示的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图及其正视图和侧视图(单位:cm).(1)在正视图下面,按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图;(2)按照给出的数据,求该多面体的体积.加上俯视图后的三视图如图所示.(2)所求多面体的体积V=V长方体-V三棱锥=4×4×6-×2=(cm3).18.(9分)如图①为一个几何体的表面展开图.(1)沿图中虚线将它们折叠起来,是哪一种几何体?画出它的直观图;(2)需要几个这样的几何体才能拼成一个棱长为6 cm的正方体?若图②是棱长为6 cm的正方体,试在图中画出这几个几何体的一种组合情况.图①图②几何体是四棱锥,它的直观图如图所示.(2)需要3个这样的四棱锥才能拼成一个棱长为6 cm的正方体,四棱锥D1-ABCD,四棱锥D1-BCC1B1,四棱锥D1-ABB1A1,如图所示.19.(10分)已知三角形ABC的三边长分别是AC=3,BC=4,AB=5,以AB所在直线为轴,将此三角形旋转一周,求所得旋转体的表面积和体积.,由题易知旋转体是由底面重合的两个圆锥拼接而成.设上面圆锥的母线长为l1,下面圆锥的母线长为l2,重合底面的半径为r.因为△ABC为直角三角形,所以r=,S表=πrl1+πrl2=πr(l1+l2)=π××7=.设重合底面面积为S,则V=V上+V下=S·5=×π×.20.(10分)若E,F分别是三棱柱ABC-A1B1C1侧棱BB1和CC1上的点,且B1E=CF,三棱柱的体积为m,求四棱锥A-BEFC的体积.,连接AB1,AC1.由于B1E=CF,则梯形BEFC的面积等于梯形B1EFC1的面积.∵四棱锥A-BEFC的高与四棱锥A-B1EFC1的高相等,∴V A-BEFC==.设三棱柱的高为h,∵·h,=·h=m,∴,∴=m,∴V A-BEFC=m=,即四棱锥A-BEFC的体积是.。

高一数学人教A版必修2课后导练：1.1.2简单组合体的结构特征 Word版含解析

课后导练基础达标1下列命题，其中正确命题的个数是（）①圆柱的轴截面是过母线的截面中最大的一个②用任意一个平面去截球体得到的截面一定是一个圆面③用任意一个平面去截圆锥得到的截面一定是一个圆A.0B.1C.2D.3解析：由圆柱与球的结构特征可知①②正确.故选择C.答案：C2下列命题，其中正确命题的个数是（）①以直角三角形的一边为对称轴旋转一周所得的旋转体是圆锥②以直角梯形的一腰为对称轴旋转一周所得的旋转体是圆台③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆④一个平面去截一个圆锥得到一个圆锥和一个圆台A.0B.1C.2D.3解析：①若以斜边为轴旋转一周可得组合体（两个重底面的圆锥），故①错.②若以不垂直于底的腰为轴，则得组合体圆锥与圆台，所以②错，④若截面不平行于底面，则得到的不是圆锥和圆台，所以④错，只有③正确.故选择B.答案：B3以一个等边三角形底边所在的直线为对称轴旋转一周所得的几何体是（）A.一个圆柱B.一个圆锥C.两个圆锥D.一个圆台解析：如下图，等边三角形底边的高线将其分成两个直角三角形，所以，旋转成两个圆锥，故选C.答案：C4一个正方体内接于一个球，过球心作一个截面，则截面的可能图形为（）A.①③B.②④C.①②③D.②③④解析：若截面为正方体的对角面，则选②；若截面平行于正方体一个面，则选③；否则，选①.故选择C.答案：C5左下图所示的几何体最有可能是由下面哪个平面图形旋转得到的（）解析：B 图旋转后可得两个圆锥；C 图旋转后可得一个圆锥和一个圆柱；D 图旋转后可得两个圆锥和一个圆柱.故选择A.答案：A6轴截面是直角三角形的圆锥的底面半径为r ，则其轴截面面积为___________.解析：由圆锥的结构特征可知，轴截面为等腰直角三角形，其高为r.∴S=21×2r 2=r 2. 答案：r 27圆台的两底半径分别为2和5，母线长为103，则它的轴截面的面积为___________. 解析：设轴截面等腰梯形的高为h ，则h=990-=9.∴S=21×9×(2+5)×2=63. 答案：638用一个平行于底面的平面截圆锥，截得的圆台上下底面的半径之比是1∶4，截去圆锥的母线长是3 cm ，求圆台的母线长.解：设圆台的母线长为y ，截得的圆锥底面与圆锥半径分别是x 、4x ，根据相似三角形的性质得xx y 433=+ 解此方程得y=9,所以，圆台的母线长为9.综合运用9过球面上两点可能作球的大圆的个数是（）A.有且只有一个B.一个或无数多个C.无数多个D.不存在这种大圆解析：当球面上两点与球心不共线时，此时只能作一个大圆；当球面上两点与球心共线时，能作无数多个大圆，故选择B.答案：B10圆台的侧面的母线长为2a,母线与轴的夹角为30°，一个底面的半径是另一个底面半径的2倍，求两底面的半径与两底面面积之和.解：设圆台上底面半径为r,则下底面半径为2r,如图，∠ASO=30°,在Rt △SA′O′中，A S r =sin30°， ∴SA′=2r.在Rt △SAO 中，SAr 2=sin30°，∴SA=4r. ∴SA-SA′=AA′，即4r-2r=2a,r=a.∴S=S 1+S 2=πr 2+π(2r)2=5πr 2=5πa 2.∴圆台上底面半径为a,下底面半径为2a ，两底面面积之和为5πa 2.11绕虚线旋转一周后形成的立体图形是由哪些简单几何体构成的？解：由一个圆柱O 1O 2和圆台O 2O 3，圆台O 1O 2组成.拓展探究12在一个有阳光的时刻，一个大球放在水平地面上，球的影子伸展到距离球与地面接触点10 m 处，同时有一根长为3 m 的木棒垂直于地面，且影子长为1 m ，求此球的半径.（1）解：如图（1）设球与地面接触点为A ，则PA=10，过P 作球的切线，切线为B ，又知木棒长为3，且影子长为1，如图（2）.（2）所以∠CQD=60°，即∠BPA=60°.连PO，则∠OPA=30°.∴OP=2OA.∵OA2+102=4OA2，10∴OA=33。

2018-2019数学同步新课标导学人教A版必修二通用版练习：第一章空间几何体1.2.3

第一章　1.2　1.2.3A 级　基础巩固一、选择题1．AB ＝2CD ，AB ∥x 轴，CD ∥y 轴，已知在直观图中，AB 的直观图是A ′B ′，CD 的直观图是C ′D ′，则(　C )导学号 09024118A ．A ′B ′＝2C ′D ′ B ．A ′B ′＝C ′D ′C ．A ′B ′＝4C ′D ′ D ．A ′B ′＝C ′D ′12[解析]　∵AB ∥x 轴，CD ∥y 轴，∴AB ＝A ′B ′，CD ＝2C ′D ′∴A ′B ′＝AB ＝2CD ＝2(2C ′D ′)＝4C ′D ′．2．下列关于用斜二测画法画直观图的说法中，正确的是(　B )导学号 09024119A ．水平放置的正方形的直观图不可能是平行四边形B ．平行四边形的直观图仍是平行四边形C ．两条相交直线的直观图可能是平行直线D ．两条垂直的直线的直观图仍互相垂直[解析]　平行四边形的边平行，则在直观图中仍然平行，故选项B 正确．3．给出以下关于斜二测直观图的结论，其中正确的个数是(　C )导学号 09024120①角的水平放置的直观图一定是角；②相等的角在直观图中仍相等；③相等的线段在直观图中仍然相等；④若两条线段平行，则在直观图中对应的两条线段仍然平行．A ．0 B ．1C ．2D ．3[解析]　由斜二测画法规则可知，直观图保持线段的平行性，∴④对，①对；而线段的长度，角的大小在直观图中都会发生改变，∴②③错．4．如图，用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为一个正方形，则原来图形的形状是(　A )导学号 09024121[解析]　由斜二测画法可知，与y ′轴平行的线段在原图中为在直观图中的2倍．故可判断A 正确．5．一个建筑物上部为四棱锥，下部为长方体，且四棱锥的底面与长方体的上底面尺寸一样，已知长方体的长、宽、高分别为20 m 、5 m 、10 m ，四棱锥的高为8 m ，若按1∶500的比例画出它的直观图，那么直观图中，长方体的长、宽、高和棱锥的高应分别为(　C )导学号 09024122A ．4 cm,1 cm, 2 cm,1.6 cmB ．4 cm,0.5 cm,2 cm,0.8 cmC ．4 cm,0.5 cm,2 cm,1.6 cmD ．2 cm,0.5 cm,1 cm,0.8 cm[解析]　由比例尺可知长方体的长、宽、高和四棱锥的高分别为4 cm,1 cm,2 cm 和1.6 cm ，再结合斜二测画法，可知直观图的相应尺寸应分别为4 cm,0.5 cm,2 cm,1.6 cm ．6．如图Rt △O ′A ′B ′是一个平面图形的直观图，若O ′B ′＝，则这个平面图形2的面积是(　C )导学号 09024123A ．1B ．2C ．2D ．422[解析]　由直观图可知，原平面图形是Rt △OAB ，其中OA ⊥OB ，则OB ＝O ′B ′＝，OA ＝2O ′A ′＝4，∴S △OAB ＝OB ·OA ＝2，故选C ．2122[点评]　平面多边形的斜二测画法的直观图与原图的面积关系：一个平面多边形的面积为S 原，它的斜二测画法直观图的面积为S 直，则有S 直＝S 原(或S 原＝2S 直)．242二、填空题7．斜二测画法中，位于平面直角坐标系中的点M (4,4)在直观图中的对应点是M ′，则点M ′的坐标为__M ′(4,2)__，点M ′的找法是__在坐标系x ′O ′y ′中，过点(4,0)和y ′轴平行的直线与过点(0,2)和x ′轴平行的直线的交点即是点M ′__.导学号 09024124[解析]　在x ′轴的正方向上取点M 1，使O 1M 1＝4，在y ′轴上取点M 2，使O ′M 2＝2，过M 1和M 2分别作平行于y ′轴和x ′轴的直线，则交点就是M ′．8．如图，水平放置的△ABC 的斜二测直观图是图中的△A ′B ′C ′，已知A ′C ′＝6，B ′C ′＝4，则AB 边的实际长度是__10__.导学号 09024125[解析]　由斜二测画法，可知△ABC 是直角三角形，且∠BCA ＝90°，AC ＝6，BC ＝4×2＝8，则AB ＝＝10．AC 2＋BC 2三、解答题9．如图所示，四边形ABCD 是一个梯形，CD ∥AB ，CD ＝AO ＝1，三角形AOD 为等腰直角三角形，O 为AB 的中点，试求梯形ABCD 水平放置的直观图的面积.导学号 09024126[解析]　在梯形ABCD 中，AB ＝2，高OD ＝1，由于梯形ABCD 水平放置的直观图仍为梯形，且上底CD 和下底AB 的长度都不变，在直观图中，O ′D ′＝OD ，梯形的高12D ′E ′＝，于是梯形A ′B ′C ′D 的面积为×(1＋2)×＝．24122432810．一个几何体，它的下面是一个圆柱，上面是一个圆锥，并且圆锥的底面与圆柱的上底面重合，圆柱的底面直径为3 cm ，高为4 cm ，圆锥的高为3 cm ，画出此几何体的直观图.导学号 09024127[解析]　(1)画轴．如图1所示，画x 轴、z 轴，使∠xOz ＝90°．(2)画圆柱的两底面，在x 轴上取A 、B 两点，使AB 的长度等于3 cm ，且OA ＝OB ．选择椭圆模板中适当的椭圆过A ，B 两点，使它为圆柱的下底面．在Oz 上截取点O ′，使OO ′＝4 cm ，过O ′作Ox 的平行线O ′x ′，类似圆柱下底面的作法作出圆柱的上底面．(3)画圆锥的顶点．在Oz 上截取点P ，使PO ′等于圆锥的高3 cm ．(4)成图．连接A ′A 、B ′B 、PA ′、PB ′，整理得到此几何体的直观图．如图2所示．B 级　素养提升一、选择题1．如图，矩形O ′A ′B ′C ′是水平放置的一个平面图形用斜二测画法得到的直观图，其中O ′A ′＝6 cm ，O ′C ′＝2 cm ，则原图形是(　C )导学号 09024128A．正方形B．矩形C．菱形D．梯形[解析]　将直观图还原得到平行四边形OABC，如图所示．由题意知22O′D′＝O′C′＝2 cm2OD＝2O′D′＝4 cm，C′D′＝O′C′＝2 cm，∴CD＝2 cmCD2＋OD2OC＝＝6 cm，又OA＝O′A′＝6 cm＝OC，∴原图形为菱形．2．如图，正方形O′A′B′C′的边长为1 cm，它是水平放置的一个平面图形的直导学号 09024129观图，则原图形的周长是(　A　)A．8 cm B．6 cm32C．2(1＋)cm D．2(1＋)cm[解析]　根据直观图的画法可知，在原几何图形中，OABC为平行四边形，且有2OB⊥OA，OB＝2，OA＝1，所以AB＝3.从而原图的周长为8．3．下图甲所示为一平面图形的直观图，则此平面图形可能是乙图中的导学号 09024130(　C　)[解析]　按斜二测画法规则，平行于x轴或x轴上的线段的长度在新坐标系中不变，平行于y 轴或在y 轴上的线段在新坐标系中变为原来的，并注意到∠xOy ＝90°，12∠x ′O ′y ′＝45°，将图形还原成原图形知选C ．4．已知正三角形ABC 的边长为a ，那么用斜二测画法得到的△ABC 的平面直观图△A ′B ′C ′的面积为(　D )导学号 09024131A ．a 2B ．a 23438C ．a 2 D ．a 268616[解析]　根据题意，建立如图①所示的平面直角坐标系，再按照斜二测画法画出其直观图，如图②中△A ′B ′C ′所示．易知，A ′B ′＝AB ＝a ，O ′C ′＝OC ＝a .过点C ′作C ′D ′⊥A ′B ′于点1234D ′，则C ′D ′＝O ′C ′＝a .所以S △A ′B ′C ′＝A ′B ′·C ′D ′＝a ×a ＝a 2．2268121268616二、填空题5．(2018·永春一中高一期末)用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的一个正方形，则原来的图形的面积是是__2__.2导学号 09025145[解析]　由斜二测画法性质知，底边长为1，OA ′与底边垂直且长为2×＝2直观22图如图所示．故原图形面积S ＝1×2＝2．226．如右图所示，四边形OABC 是上底为2，下底为6，底角为45°的等腰梯形，用斜二侧画法，画出这个梯形的直观图O ′A ′B ′C ′，在直观图中梯形的高为____.22导学号 09024133[解析]　因为OA ＝6，CB ＝2，所以OD ＝2.又因为∠COD ＝45°，所以CD ＝2.梯形的直观图如图，则C ′D ′＝1.所以梯形的高C ′E ′＝．22C 级　能力拔高1．如图所示，已知几何体的三视图，用斜二测画法画出它的直观图.导学号 09024134[解析]　由几何体的三视图可知，这个几何体是一个圆台，画法：①画轴．画x 轴、y 轴、z 轴，使∠xOy ＝45°，∠xOz ＝90°.②画圆台的两底面，取底面⊙O 和上底面⊙O ′的长为俯视图中的大圆和小圆的直径，画出⊙O 与⊙O ′.③取OO ′为正视图的高度．④成图．如图，整理得到三视图表示的几何体的直观图．2．由如图所示几何体的三视图画出直观图.导学号 09024135[解析]　(1)画轴．如图，画出x轴、y轴、z轴，三轴相交于点O，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°．(2)画底面．作水平放置的三角形(俯视图)的直观图△ABC．(3)画侧棱．过A、B、C各点分别作z轴的平行线，并在这些平行线上分别截取线段AA′、BB′、CC′，且AA′＝BB′＝CC′．(4)成图，顺次连接A′、B′、C′，并加以整理(擦去辅助线，将遮挡部分用虚线表示)，得到的图形就是所求的几何体的直观图．。

高中数学(人教版A版必修二)配套课时作业第1章1.1第1课时

第一章空间几何体§1.1空间几何体的结构第1课时多面体的结构特征一、基础过关1．下列说法中正确的是() A．棱柱的侧面可以是三角形B．由6个大小一样的正方形所组成的图形是正方体的展开图C．正方体的各条棱长都相等D．棱柱的各条棱长都相等2．棱台不具备的特点是() A．两底面相似B．侧面都是梯形C．侧棱都相等D．侧棱延长后都交于一点3. 如图，将装有水的长方体水槽固定底面一边后倾斜一个小角度，则倾斜后水槽中的水形成的几何体是()A．棱柱B．棱台C．棱柱与棱锥的组合体 D．不能确定4．若棱台上、下底面的对应边之比为1∶2，则上、下底面的面积之比是() A．1∶2 B．1∶4 C．2∶1 D．4∶15．一个棱柱有10个顶点，所有的侧棱长的和为60 cm，则每条侧棱长为________cm. 6．在下面的四个平面图形中，哪几个是侧棱都相等的四面体的展开图________(填序号)．7．如图所示为长方体ABCD—A′B′C′D′，当用平面BCFE把这个长方体分成两部分后，各部分形成的多面体还是棱柱吗？如果不是，请说明理由；如果是，指出底面及侧棱．8. 如图所示的是一个三棱台ABC—A1B1C1，如何用两个平面把这个三棱台分成三部分，使每一部分都是一个三棱锥．二、能力提升9．下图中不可能围成正方体的是()10．在正方体上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何体的4个顶点，这些几何体是________(写出所有正确结论的编号)．①矩形；②不是矩形的平行四边形；③有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体；④每个面都是等边三角形的四面体；⑤每个面都是直角三角形的四面体．11．根据下列对于几何体结构特征的描述，说出几何体的名称．(1)由八个面围成，其中两个面是互相平行且全等的正六边形，其它各面都是矩形；(2)由五个面围成，其中一个面是正方形，其它各面都是有一个公共顶点的全等三角形．三、探究与拓展12．正方体的截面可能是什么形状的图形？答案1．C 2.C 3.A 4.B 5.12 6.①②7．解截面BCFE右侧部分是棱柱，因为它满足棱柱的定义．它是三棱柱BEB′—CFC′，其中△BEB′和△CFC′是底面．EF，B′C′，BC是侧棱，截面BCFE左侧部分也是棱柱．它是四棱柱ABEA′—DCFD′.其中四边形ABEA′和四边形DCFD′是底面．A′D′，EF，BC，AD为侧棱．8．解过A1、B、C三点作一个平面，再过A1、B、C1作一个平面，就把三棱台ABC—A1B1C1分成三部分，形成的三个三棱锥分别是A1—ABC，B—A1B1C1，A1—BCC1.9．D10.①③④⑤11．解(1)该几何体有两个面是互相平行且全等的正六边形，其他各面都是矩形，可满足每相邻两个面的公共边都相互平行，故该几何体是六棱柱．(2)该几何体的其中一个面是四边形，其余各面都是三角形，并且这些三角形有一个公共顶点，因此该几何体是四棱锥．12．解本问题可以有如下各种答案：①截面可以是三角形：等边三角形、等腰三角形、一般三角形；②截面三角形是锐角三角形；③截面可以是四边形：平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形、等腰梯形；截面为四边形时，这个四边形中至少有一组对边平行；④截面可以是五边形；⑤截面可以是六边形；⑥截面六边形可以是等角(均为120°)的六边形．特别地，可以是正六边形．截面图形举例。

高中数学必修2《课时作业与单元检测》含答案第1章 1.1.2

1．1．2简单组合体的结构特征【课时目标】1．正确认识由柱、锥、台、球组成的简单几何体的结构特征．2．能运用这些结构特征描述现实生活中简单物体的结构．1．定义：由____________________组合而成的几何体叫做简单组合体．2．组合形式一、选择题1．如图，由等腰梯形、矩形、半圆、圆、倒三角形对接形成的轴对称平面图形，若将它绕轴l旋转180°后形成一个组合体，下面说法不正确的是()A．该组合体可以分割成圆台、圆柱、圆锥和两个球体B．该组合体仍然关于轴l对称C．该组合体中的圆锥和球只有一个公共点D．该组合体中的球和半球只有一个公共点2．右图所示的几何体是由哪个平面图形通过旋转得到的()3．以钝角三角形的较小边所在的直线为轴，其他两边旋转一周所得到的几何体是()A．两个圆锥拼接而成的组合体B．一个圆台C．一个圆锥D．一个圆锥挖去一个同底的小圆锥4．将一个等腰梯形绕着它的较长的底边所在的直线旋转一周，所得的几何体是由()A．一个圆台、两个圆锥构成B．两个圆台、一个圆锥构成C．两个圆柱、一个圆锥构成D．一个圆柱、两个圆锥构成5．如图，将装有水的长方体水槽固定底面一边后倾斜一个小角度，则倾斜后水槽中的水形成的几何体是()A．棱柱B．棱台C．棱柱与棱锥组合体D．不能确定6．如图所示的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得到的组合体，现用一个竖直的平面去截这个组合体，则截面图形可能是()A．(1)(2) B．(1)(3)C．(1)(4) D．(1)(5)二、填空题7．下列叙述中错误的是________．(填序号)①以直角三角形的一边为轴旋转所得的旋转体是圆锥；②以直角梯形的一腰为轴旋转所得的旋转体是圆台；③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆；④用一个平面去截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台．8．如图所示为一空间几何体的竖直截面图形，那么这个空间几何体自上而下可能是__________________．9．以任意方式截一个几何体，各个截面都是圆，则这个几何体一定是________．三、解答题10．如图是一个数学奥林匹克竞赛的奖杯，请指出它是由哪些简单几何体组合而成的．11．如图所示几何体可看作由什么图形旋转360°得到？画出平面图形和旋转轴．能力提升12．一个三棱锥的各棱长均相等，其内部有一个内切球，即球与三棱锥的各面均相切(球在三棱锥的内部，且球与三棱锥的各面只有一个交点)，过一条侧棱和对边的中点作三棱锥的截面，所得截面图形是()13．已知圆锥的底面半径为r，高为h，且正方体ABCD－A1B1C1D1内接于圆锥，求这个正方体的棱长．组合体的结构特征有两种组成：(1)是由简单几何体拼接而成；(2)是由简单几何体截去一部分构成．要仔细观察组合体的组成，柱、锥、台、球是最基本的几何体．1．1．2简单组合体的结构特征答案知识梳理1．简单几何体2．截去或挖去一部分作业设计1．A2．A3．D4．D5．A6．D[一个圆柱挖去一个圆锥后，剩下的几何体被一个竖直的平面所截后，圆柱的轮廓是矩形除去一条边，圆锥的轮廓是三角形除去一条边或抛物线的一部分．]7．①②③④8．圆台和圆柱(或棱台和棱柱)9．球体10．解将该几何体分解成简单几何体可知，它是由一个球、一个四棱柱和一个四棱台组合而成．11．解先画出几何体的轴，然后再观察寻找平面图形．旋转前的平面图形如下：12．B 13．解如图所示，过内接正方体的一组对棱作圆锥的轴截面，设圆锥内接正方体的棱长为x ，则在轴截面中，正方体的对角面A 1ACC 1的一组邻边的长分别为x 和2x ．因为△V A 1C 1∽△VMN ，解得2x 2r ＝h －x h，所以2hx ＝2rh －2rx ，解得x ＝2rh2r ＋2h．即圆锥内接正方体的棱长为2rh2r ＋2h．。

人教版数学高一-新人教A版数学必修二课时练1

数学必修二课时练11．在棱柱中（）A．只有两个面平行B．所有的棱都平行C．所有的面都是平行四边形D．两底面平行，且各侧棱也互相平行2．将图1所示的三角形线直线l旋转一周，可以得到如图2所示的几何体的是哪一个三角形（）3．如图一个封闭的立方体，它6个表面各标出1、2、3、4、5、6这6个数字，现放成下面3个不同的位置，则数字l、2、3对面的数字是（）A．4、5、6 B．6、4、5 C．5、4、6 D．5、6、44．有下列命题（1）在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；（2）圆锥顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线；（3）在圆台上、下底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线；（4）圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的．其中正确的是（）A．（1）（2）B．（2）（3）C．（1）（3）D．（2）（4）5．下列命题中错误的是（）A．圆柱的轴截面是过母线的截面中面积最大的一个B．圆锥的轴截面是所有过顶点的截面中面积最大的一个C．圆台的所有平行于底面的截面都是圆D．圆锥所有的轴截面是全等的等腰三角形6．图1是由图2中的哪个平面图旋转而得到的（）7如图，长方体ABCD—A1B l C l D1中，AD＝3，AA l＝4，AB＝5，则从A点沿表面到C l的最短距离为______．8在三棱锥S—ABC中，SA＝SB＝SC＝1，∠ASB＝∠ASC＝∠BSC＝30°，如图，一只蚂蚁从点A出发沿三棱锥的表面爬行一周后又回到A点，则蚂蚁爬过的最短路程为_____．9高为H的水瓶中注水，注满为止，如果注水量V与水深h的函数关系的图象如图所示，那么水瓶的形状是______．10图，这是一个正方体的表面展开图，若把它再折回成正方体后，有下列命题：①点H与点C重合；②点D与点M与点R重合；③点B与点Q重合；④点A与点S重合．其中正确命题的序号是____．（注：把你认为正确的命题的序号都填上）11一个圆锥截成圆台，已知圆台的上下底面半径的比是1∶4，母线长为10cm，求圆锥的母线长____．12请给以下各图分类．13分别画一个三棱锥和一个四棱台．14多面体至少有几个面?这个多面体是怎样的几何体?15观察以下几何体的变化，通过比较，说出他们的特征．。

新教材人教A版高中数学必修第二册全册课时练习(一课一练,含解析)

人教A版高中数学必修第二册全册课时练习6.1 平面向量的概念 .............................................................................................................. - 2 - 6.2.1 向量的加法运算........................................................................................................ - 5 - 6.2.2 向量的减法运算........................................................................................................ - 8 - 6.2.3 向量的数乘运算...................................................................................................... - 11 - 6.2.4 向量的数量积............................................................................................................ - 14 - 6.3.1 平面向量基本定理.................................................................................................... - 18 - 6.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示............................................................................ - 21 - 6.3.3 平面向量加、减运算的坐标表示............................................................................ - 21 - 6.3.4 平面向量数乘运算的坐标表示.............................................................................. - 24 - 6.3.5 平面向量数量积的坐标表示.................................................................................. - 27 - 6．4 平面向量的应用........................................................................................................ - 30 -7.1.1 数系的扩充和复数的概念...................................................................................... - 34 - 7.1.2 复数的几何意义...................................................................................................... - 37 - 7.2.1 复数的加、减运算及其几何意义.......................................................................... - 39 -7.2.2 复数的乘、除运算.................................................................................................. - 43 -8.1.1 棱柱、棱锥、棱台的结构特征................................................................................ - 46 - 8.1.2 圆柱、圆锥、圆台、球、简单组合体的结构特征................................................ - 49 - 8.2 立体图形的直观图........................................................................................................ - 51 - 8.3.1 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积...................................................................... - 55 - 8.3.2 圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积.............................................................. - 59 - 8.4.1 平面 ......................................................................................................................... - 62 - 8.4.2 空间点、直线、平面之间的位置关系.................................................................. - 66 - 8.5.1 直线与直线平行...................................................................................................... - 69 - 8.5.2 直线与平面平行...................................................................................................... - 73 - 8.5.3 平面与平面平行...................................................................................................... - 76 - 8.6.1 直线与直线垂直...................................................................................................... - 80 - 8.6.2 直线与平面垂直...................................................................................................... - 85 -8.6.3平面与平面垂直 ....................................................................................................... - 89 -9.1.1简单随机抽样 ........................................................................................................... - 94 - 9.1.2 分层随机抽样 ............................................................................................................. - 96 - 9.1.3 获取数据的途径 ......................................................................................................... - 96 - 9.2.1总体取值规律的估计 ............................................................................................. - 100 - 9.2.2 总体百分位数的估计 ............................................................................................... - 105 - 9.2.3 总体集中趋势的估计 ............................................................................................... - 105 -9.2.4 总体离散程度的估计 ............................................................................................... - 105 -10.1.1有限样本空间与随机事件.................................................................................... - 110 - 10.1.2事件的关系和运算 ............................................................................................... - 112 - 10.1.3古典概型 ............................................................................................................... - 115 - 10.1.4概率的基本性质 ................................................................................................... - 118 - 10.2事件的相互独立性 .................................................................................................. - 121 - 10.3频率与概率 .............................................................................................................. - 126 -6.1 平面向量的概念一、选择题1．下列物理量：①质量；②速度；③位移；④力；⑤加速度；⑥路程；⑦密度；⑧功．其中不是向量的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【解析】一个量是不是向量，就是看它是否同时具备向量的两个要素：大小和方向．由于速度、位移、力、加速度都是由大小和方向确定的，所以是向量；而质量、路程、密度、功只有大小而没有方向，所以不是向量．【答案】D2．下列命题中，正确命题的个数是( ) ①单位向量都共线； ②长度相等的向量都相等； ③共线的单位向量必相等；④与非零向量a 共线的单位向量是a|a |.A ．3B ．2C ．1D ．0【解析】根据单位向量的定义，可知①②③明显是错误的，对于④，与非零向量a 共线的单位向量是a |a |或－a|a |，故④也是错误的．【答案】D3．如图，等腰梯形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点P ，点E ，F 分别在两腰AD ，BC 上，EF 过点P ，且EF ∥AB ，则( )A.AD →＝BC →B.AC →＝BD →C.PE →＝PF →D.EP →＝PF →【解析】由平面几何知识知，AD →与BC →方向不同，故AD →≠BC →；AC →与BD →方向不同，故AC →≠BD →； PE →与PF →的模相等而方向相反，故PE →≠PF →. EP →与PF →的模相等且方向相同，∴EP →＝PF →.【答案】D4．若|AB →|＝|AD →|且BA →＝CD →，则四边形ABCD 的形状为( ) A ．正方形 B ．矩形 C ．菱形 D ．等腰梯形【解析】由BA →＝CD →，知AB ＝CD 且AB ∥CD ，即四边形ABCD 为平行四边形．又因为|AB →|＝|AD →|，所以四边形ABCD 为菱形．【答案】C 二、填空题5．如图，已知正方形ABCD 的边长为2，O 为其中心，则|OA →|＝________.【解析】因为正方形的对角线长为22，所以|OA →|＝ 2. 【答案】 2 6.如图，四边形ABCD 是平行四边形，E ，F 分别是AD 与BC 的中点，则在以A 、B 、C 、D 四点中的任意两点为始点和终点的所有向量中，与向量EF →方向相反的向量为________．【解析】因为AB ∥EF ，CD ∥EF ，所以与EF →平行的向量为DC →，CD →，AB →，BA →，其中方向相反的向量为BA →，CD →. 【答案】BA →，CD →7．给出下列命题：①若AB →＝DC →，则A 、B 、C 、D 四点是平行四边形的四个顶点； ②在▱ABCD 中，一定有AB →＝DC →； ③若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ； ④若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .其中所有正确命题的序号为________．【解析】AB →＝DC →，A 、B 、C 、D 四点可能在同一条直线上，故①不正确；在▱ABCD 中，|AB →|＝|DC →|，AB →与DC →平行且方向相同，故AB →＝DC →，故②正确；a ＝b ，则|a |＝|b |，且a 与b 方向相同；b ＝c ，则|b |＝|c |，且b 与c 方向相同，则a 与c 长度相等且方向相同，故a ＝c ，故③正确；对于④，当b ＝0时，a 与c 不一定平行，故④不正确．【答案】②③ 三、解答题8．在如图的方格纸(每个小方格的边长为1)上，已知向量a . (1)试以B 为起点画一个向量b ，使b ＝a ；(2)画一个以C 为起点的向量c ，使|c |＝2，并说出c 的终点的轨迹是什么．【解析】(1)根据相等向量的定义，所作向量b 应与a 同向，且长度相等，如下图所示． (2)由平面几何知识可作满足条件的向量c ，所有这样的向量c 的终点的轨迹是以点C 为圆心，2为半径的圆，如下图所示．9．一辆汽车从A 点出发向西行驶了100千米到达B 点，然后又改变了方向向北偏西40°走了200千米到达C 点，最后又改变方向，向东行驶了100千米到达D 点． (1)作出向量AB →，BC →，CD →； (2)求|AD →|.【解析】(1)如图所示．(2)由题意，易知AB →与CD →方向相反，故AB →与CD →共线，即AB ∥CD . 又|AB →|＝|CD →|，所以四边形ABCD 为平行四边形．所以|AD →|＝|BC →|＝200(千米)．10．如图，在△ABC 中，已知向量AD →＝DB →，DF →＝EC →，求证：AE →＝DF →.证明：由DF →＝EC →，可得DF ＝EC 且DF ∥EC ，故四边形CEDF 是平行四边形，从而DE ∥FC . ∵AD →＝DB →，∴D 为AB 的中点． ∴AE →＝EC →，∴AE →＝DF →.6.2.1 向量的加法运算一、选择题1．点O 是平行四边形ABCD 的两条对角线的交点，则AO →＋OC →＋CB →等于( )A.AB →B.BC →C.CD →D.DA →【解析】因为点O 是平行四边形ABCD 的两条对角线的交点，则AO →＋OC →＋CB →＝AC →＋CB →＝AB →.故选A. 【答案】A2．设a 表示“向东走5 km”，b 表示“向南走5 km”，则a ＋b 表示( ) A ．向东走10 km B ．向南走10 km C ．向东南走10 km D ．向东南走5 2 km 【解析】如图所示，AC →＝a ＋b ，|AB →|＝5，|BC →|＝5，且AB ⊥BC ，则|AC →|＝52，∠BAC ＝45°. 【答案】D3．已知向量a ∥b ，且|a |>|b |>0，则向量a ＋b 的方向( ) A ．与向量a 方向相同 B ．与向量a 方向相反 C ．与向量b 方向相同 D ．不确定【解析】如果a 和b 方向相同，则它们的和的方向应该与a (或b )的方向相同；如果它们的方向相反，而a 的模大于b 的模，则它们的和的方向与a 的方向相同．【答案】A4．如图所示的方格纸中有定点O ，P ，Q ，E ，F ，G ，H ，则OP →＋OQ →＝( )A.OH →B.OG →C.FO →D.EO →【解析】设a ＝OP →＋OQ →，以OP ，OQ 为邻边作平行四边形，则OP 与OQ 之间的对角线对应的向量即向量a ＝OP →＋OQ →，由a 和FO →长度相等，方向相同，得a ＝FO →，即OP →＋OQ →＝FO →. 【答案】C 二、填空题5．在△ABC 中，AB →＝a ，BC →＝b ，CA →＝c ，则a ＋b ＋c ＝________.【解析】由向量加法的三角形法则，得AB →＋BC →＝AC →，即a ＋b ＋c ＝AB →＋BC →＋CA →＝0. 【答案】06．化简(AB →＋MB →)＋(BO →＋BC →)＋OM →＝________.【解析】原式＝(AB →＋BO →)＋(OM →＋MB →)＋BC →＝AO →＋OB →＋BC →＝AB →＋BC →＝AC →. 【答案】AC →7．在菱形ABCD 中，∠DAB ＝60°，|AB →|＝1，则|BC →＋CD →|＝________. 【解析】在菱形ABCD 中，连接BD ， ∵∠DAB ＝60°，∴△BAD 为等边三角形，又∵|AB →|＝1，∴|BD →|＝1，|BC →＋CD →|＝|BD →|＝1. 【答案】1 三、解答题8．如图，已知向量a 、b ，求作向量a ＋b .【解析】(1)作OA →＝a ，AB →＝b ，则OB →＝a ＋b ，如图(1)； (2)作OA →＝a ，AB →＝b ，则OB →＝a ＋b ，如图(2)； (3)作OA →＝a ，AB →＝b ，则OB →＝a ＋b ，如图(3)．9.如图所示，设O 为正六边形ABCDEF 的中心，作出下列向量： (1)OA →＋OC →； (2)BC →＋FE →.【解析】(1)由图可知，四边形OABC 为平行四边形，所以由向量加法的平行四边形法则，得OA →＋OC →＝OB →.(2)由图可知，BC →＝FE →＝OD →＝AO →，所以BC →＋FE →＝AO →＋OD →＝AD →.10．如图，在重300 N 的物体上拴两根绳子，这两根绳子在铅垂线的两侧，与铅垂线的夹角分别为30°，60°，当整个系统处于平衡状态时，求两根绳子的拉力．【解析】如图，作▱OACB ，使∠AOC ＝30°，∠BOC ＝60°，则∠ACO ＝∠BOC ＝60°，∠OAC ＝90°.设向量OA →，OB →分别表示两根绳子的拉力，则CO →表示物体所受的重力，且|OC →|＝300 N. 所以|OA →|＝|OC →|cos 30°＝1503(N)， |OB →|＝|OC →|cos 60°＝150 (N)．所以与铅垂线成30°角的绳子的拉力是150 3 N ，与铅垂线成60°角的绳子的拉力是150 N.6.2.2 向量的减法运算一、选择题1．下列运算中正确的是( ) A.OA →－OB →＝AB → B.AB →－CD →＝DB → C.OA →－OB →＝BA → D.AB →－AB →＝0【解析】根据向量减法的几何意义，知OA →－OB →＝BA →，所以C 正确，A 错误；B 显然错误；对于D ，AB →－AB →应该等于0，而不是0.【答案】C2．下列四式中不能化简为PQ →的是( ) A.AB →＋(PA →＋BQ →) B ．(AB →＋PC →)＋(BA →－QC →) C.QC →－QP →＋CQ → D.PA →＋AB →－BQ →【解析】D 中，PA →＋AB →－BQ →＝PB →－BQ →＝PB →＋QB →不能化简为PQ →，其余选项皆可．【答案】D3．在△ABC 中，D 是BC 边上的一点，则AD →－AC →等于( ) A.CB → B.BC → C.CD → D.DC →【解析】在△ABC 中，D 是BC 边上一点，则由两个向量的减法的几何意义可得AD →－AC →＝CD →. 【答案】C4．如图，在四边形ABCD 中，设AB →＝a ，AD →＝b ，BC →＝c ，则DC →＝( ) A ．a －b ＋c B ．b －(a ＋c ) C ．a ＋b ＋c D ．b －a ＋c【解析】DC →＝DA →＋AB →＋BC →＝a －b ＋c . 【答案】A 二、填空题5.EF →＋DE →－DB →＝________.【解析】EF →＋DE →－DB →＝EF →＋BE →＝BF →. 【答案】BF →6．若a ，b 为相反向量，且|a |＝1，|b |＝1，则|a ＋b |＝________，|a －b |＝________.【解析】若a ，b 为相反向量，则a ＋b ＝0，所以|a ＋b |＝0，又a ＝－b ，所以|a |＝|－b |＝1，因为a 与－b 共线同向，所以|a －b |＝2. 【答案】0 27．设点M 是线段BC 的中点，点A 在直线BC 外，且|BC →|＝4，|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|，则|AM →|＝________.【解析】以AB ，AC 为邻边作平行四边形ACDB ，由向量加减法几何意义可知，AD →＝AB →＋AC →，CB →＝AB →－AC →，∵|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|，平行四边形ABCD 为矩形，∴|AD →|＝|CB →|，又|BC →|＝4，M 是线段BC 的中点， ∴|AM →|＝12|AD →|＝12|BC →|＝2.【答案】2 三、解答题8．如图，已知向量a ，b ，c 不共线，求作向量a ＋b －c .【解析】方法一：如图①，在平面内任取一点O ，作OA →＝a ，AB →＝b ，则OB →＝a ＋b ，再作OC →＝c ，则CB →＝a ＋b －c .方法二：如图②，在平面内任取一点O ，作OA →＝a ，AB →＝b ，则OB →＝a ＋b ，再作CB →＝c ，连接OC ，则OC →＝a ＋b －c .9．化简下列各式：(1)(AB →＋MB →)＋(－OB →－MO →)； (2)AB →－AD →－DC →.【解析】(1)方法一原式＝AB →＋MB →＋BO →＋OM →＝(AB →＋BO →)＋(OM →＋MB →)＝AO →＋OB →＝AB →. 方法二原式＝AB →＋MB →＋BO →＋OM →＝AB →＋(MB →＋BO →)＋OM →＝AB →＋MO →＋OM →＝AB →＋0＝AB →. (2)方法一原式＝DB →－DC →＝CB →.方法二原式＝AB →－(AD →＋DC →)＝AB →－AC →＝CB →. 10．如图，解答下列各题：(1)用a ，d ，e 表示DB →； (2)用b ，c 表示DB →； (3)用a ，b ，e 表示EC →； (4)用d ，c 表示EC →.【解析】由题意知，AB →＝a ，BC →＝b ，CD →＝c ，DE →＝d ，EA →＝e ，则 (1)DB →＝DE →＋EA →＋AB →＝a ＋d ＋e . (2)DB →＝CB →－CD →＝－BC →－CD →＝－b －c . (3)EC →＝EA →＋AB →＋BC →＝a ＋b ＋e . (4)EC →＝－CE →＝－(CD →＋DE →)＝－c －d .6.2.3 向量的数乘运算一、选择题1．4(a －b )－3(a ＋b )－b 等于( ) A ．a －2b B ．a C ．a －6b D ．a －8b【解析】原式＝4a －4b －3a －3b －b ＝a －8b .2．点C 在直线AB 上，且AC →＝3AB →，则BC →等于( ) A ．－2AB → B.13AB →C ．－13AB →D ．2AB →【解析】如图，AC →＝3AB →，所以BC →＝2AB →. 【答案】D3．已知向量a ，b 是两个不共线的向量，且向量m a －3b 与a ＋(2－m )b 共线，则实数m 的值为( )A ．－1或3 B. 3 C ．－1或4 D ．3或4【解析】因为向量m a －3b 与a ＋(2－m )b 共线，且向量a ，b 是两个不共线的向量，所以m ＝－32－m ，解得m ＝－1或m ＝3. 【答案】A 4.如图，已知AB →＝a ，AC →＝b ，BD →＝3DC →，用a ，b 表示AD →，则AD →＝( ) A ．a ＋34bB.34a ＋14bC.14a ＋14bD.14a ＋34b 【解析】AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋34BC →＝AB →＋34(AC →－AB →)＝14AB →＋34AC →＝14a ＋34b .【答案】D5．已知|a |＝4，|b |＝8，若两向量方向同向，则向量a 与向量b 的关系为b ＝________a . 【解析】由于|a |＝4，b ＝8，则|b |＝2|a |，又两向量同向，故b ＝2a . 【答案】26．点C 在线段AB 上，且AC CB ＝32，则AC →＝________AB →，BC →＝________AB →.【解析】因为C 在线段AB 上，且AC CB ＝32，所以AC →与AB →方向相同，BC →与AB →方向相反，且AC AB ＝35，BC AB ＝25，所以AC →＝35AB →，BC →＝－25AB →. 【答案】35 －257．已知向量a ，b 满足|a |＝3，|b |＝5，且a ＝λb ，则实数λ的值是________．【解析】由a ＝λb ，得|a |＝|λb |＝|λ||b |.∵|a |＝3，|b |＝5， ∴|λ|＝35，即λ＝±35.【答案】±35三、解答题 8．计算(1)13(a ＋2b )＋14(3a －2b )－12(a －b )； (2)12⎣⎢⎡⎦⎥⎤3a ＋2b－23a －b －76⎣⎢⎡⎦⎥⎤12a ＋37⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋76a . 【解析】(1)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋34－12a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫23－12＋12b ＝712a ＋23b . (2)原式＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫73a ＋b －76⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋37b ＝76a ＋12b －76a －12b ＝0. 9．已知E ，F 分别为四边形ABCD 的对角线AC ，BD 的中点，设BC →＝a ，DA →＝b ，试用a ，b 表示EF →.【解析】如图所示，取AB 的中点P ，连接EP ，FP .在△ABC 中，EP 是中位线，所以PE →＝12BC →＝12a .在△ABD 中，FP 是中位线，所以PF →＝12AD →＝－12DA →＝－12b .在△EFP 中，EF →＝EP →＋PF →＝－PE →＋PF →＝－12a －12b ＝－12(a ＋b )．10．已知e ，f 为两个不共线的向量，若四边形ABCD 满足AB →＝e ＋2f ，BC →＝－4e －f ，CD →＝－5e －3f .(1)用e 、f 表示AD →；(2)证明：四边形ABCD 为梯形．【解析】(1)AD →＝AB →＋BC →＋CD →＝(e ＋2f )＋(－4e －f )＋(－5e －3f )＝(1－4－5)e ＋(2－1－3)f ＝－8e －2f .(2)证明：因为AD →＝－8e －2f ＝2(－4e －f )＝2BC →，所以AD →与BC →方向相同，且AD →的长度为BC →的长度的2倍，即在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，且AD ≠BC ，所以四边形ABCD 是梯形．6.2.4 向量的数量积一、选择题1．若|m |＝4，|n |＝6，m 与n 的夹角为45°，则m ·n ＝( ) A ．12 B ．12 2 C ．－12 2 D ．－12【解析】m ·n ＝|m ||n |cos θ＝4×6×cos 45°＝24×22＝12 2. 【答案】B2．已知a ·b ＝－122，|a |＝4，a 和b 的夹角为135°，则|b |＝( ) A ．12 B ．3 C ．6 D ．3 3【解析】a ·b ＝|a ||b |cos 135°＝－122，又|a |＝4，解得|b |＝6. 【答案】C3．已知向量a ，b 满足|a |＝2，|b |＝3，a ·(b －a )＝－1，则a 与b 的夹角为( ) A.π6 B.π4 C.π3 D.π2【解析】因为|a |＝2，a ·(b －a )＝－1，所以a ·(b －a )＝a ·b －a 2＝a ·b －22＝－1，所以a ·b ＝3.又因为|b |＝3，设a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝a ·b |a ||b |＝32×3＝12.又θ∈[0，π]，所以θ＝π3. 【答案】C4．若a ·b ＞0，则a 与b 的夹角θ的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π2，πC.⎝⎛⎦⎥⎤π2，π D.⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π 【解析】因为a ·b ＞0，所以cos θ＞0，所以θ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2.【答案】A 二、填空题5．如图所示，在Rt△ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝1，则AB →·BC →的值是________．【解析】方法一 AB →·BC →＝|AB →||BC →|cos(180°－∠B )＝－|AB →||BC →|cos∠B ＝－|AB →||BC→|·|AB →||BC →|＝－|AB →|2＝－1.方法二 |BA →|＝1，即BA →为单位向量，AB →·BC →＝－BA →·BC →＝－|BA →||BC →|cos∠B ，而|BC →|·cos∠B ＝|BA →|，所以AB →·BC →＝－|BA →|2＝－1. 【答案】－16．已知向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝4，且a ·b ＝2，则a 与b 的夹角为________．【解析】设a 与b 的夹角为θ，cos θ＝a ·b |a |·|b |＝21×4＝12，又因为θ∈[0，π]，所以θ＝π3. 【答案】π37．已知|a |＝3，向量a 与b 的夹角为π3，则a 在b 方向上的投影为________．【解析】向量a 在b 方向上的投影为|a |cos θ＝3×cos π3＝32.【答案】32三、解答题8．已知|a |＝3，|b |＝4，a 与b 的夹角为120°，求： (1)a 2－b 2；(2)(2a －b )·(a ＋3b )．【解析】(1)a 2－b 2＝|a |2－|b |2＝32－42＝－7.(2)(2a －b )·(a ＋3b )＝2a 2＋5a ·b －3b 2＝2|a |2＋5|a ||b |·cos 120°－3|b |2＝2×32＋5×3×4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－3×42＝－60. 9．(1)已知|a |＝|b |＝5，向量a 与b 的夹角为π3，求|a ＋b |，|a －b |，|3a ＋b |；(2)已知|a |＝|b |＝5，且|3a －2b |＝5，求|3a ＋b |的值；(3)如图，已知在▱ABCD 中，AB ＝3，AD ＝1，∠DAB ＝π3，求对角线AC 和BD 的长．【解析】(1)a ·b ＝|a ||b |cos π3＝5×5×12＝252，∴|a ＋b |＝a ＋b 2＝|a |2＋2a ·b ＋|b |2＝25＋2×252＋25＝53，|a －b |＝a －b2＝|a |2＋|b |2－2a ·b ＝25＝5， |3a ＋b |＝3a ＋b2＝9a 2＋b 2＋6a ·b ＝325＝513.(2)∵|3a －2b |2＝9|a |2－12a ·b ＋4|b |2＝9×25－12a ·b ＋4×25＝325－12a ·b ，又|3a －2b |＝5，∴325－12a ·b ＝25，则a ·b ＝25.∴|3a ＋b |2＝(3a ＋b )2＝9a 2＋6a ·b ＋b 2＝9×25＋6×25＋25＝400.故|3a ＋b |＝20. (3)设AB →＝a ，AD →＝b ，则|a |＝3，|b |＝1，a 与b 的夹角θ＝π3.∴a ·b ＝|a ||b |cos θ＝32.又∵AC →＝a ＋b ，DB →＝a －b ， ∴|AC →|＝AC →2＝a ＋b 2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝13，|DB →|＝DB →2＝a －b2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝7.∴AC ＝13，BD ＝7.10．已知|a |＝2|b |＝2，且向量a 在向量b 方向上的投影为－1. (1)求a 与b 的夹角θ； (2)求(a －2b )·b ；(3)当λ为何值时，向量λa ＋b 与向量a －3b 互相垂直？【解析】(1)由题意知|a |＝2，|b |＝1. 又a 在b 方向上的投影为|a |cos θ＝－1， ∴cos θ＝－12，∴θ＝2π3.(2)易知a ·b ＝－1，则(a －2b )·b ＝a ·b －2b 2＝－1－2＝－3. (3)∵λa ＋b 与a －3b 互相垂直，∴(λa ＋b )·(a －3b )＝λa 2－3λa ·b ＋b ·a －3b 2 ＝4λ＋3λ－1－3＝7λ－4＝0， ∴λ＝47.6.3.1 平面向量基本定理一、选择题1．已知向量a ＝e 1－2e 2，b ＝2e 1＋e 2，其中e 1，e 2不共线，则a ＋b 与c ＝6e 1－2e 2的关系是( ) A ．不共线 B ．共线 C ．相等 D ．不确定【解析】∵a ＋b ＝3e 1－e 2， ∴c ＝2(a ＋b )．∴a ＋b 与c 共线．【答案】B2．已知AD 是△ABC 的中线，AB →＝a ，AD →＝b ，以a ，b 为基底表示AC →，则AC →＝( ) A.12(a －b ) B ．2b －a C.12(b －a ) D ．2b ＋a【解析】如图，AD 是△ABC 的中线，则D 为线段BC 的中点，从而AD →＝12(AB →＋AC →)，则AC →＝2AD→－AB →＝2b －a . 【答案】B3．在正方形ABCD 中，AC →与CD →的夹角等于( ) A ．45° B．90° C ．120° D．135° 【解析】如图所示，将AC →平移到CE →，则CE →与CD →的夹角即为AC →与CD →的夹角，夹角为135°. 【答案】D4．若D 点在三角形ABC 的边BC 上，且CD →＝4DB →＝rAB →＋sAC →，则3r ＋s 的值为( ) A.165 B.125 C.85 D.45【解析】∵CD →＝4DB →＝rAB →＋sAC →， ∴CD →＝45CB →＝45(AB →－AC →)＝rAB →＋sAC →，∴r ＝45，s ＝－45.∴3r ＋s ＝125－45＝85.【答案】C 二、填空题5．已知向量a ，b 是一组基底，实数x ，y 满足(3x －4y )a ＋(2x －3y )b ＝6a ＋3b ，则x －y 的值为________．【解析】因为a ，b 是一组基底，所以a 与b 不共线，因为(3x －4y )a ＋(2x －3y )b ＝6a ＋3b ，所以⎩⎪⎨⎪⎧3x －4y ＝6，2x －3y ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6，y ＝3，所以x －y ＝3.【答案】36．已知O ，A ，B 是平面上的三个点，直线AB 上有一点C ，满足2AC →＋CB →＝0，若OA →＝a ，OB →＝b ，用a ，b 表示向量OC →，则OC →＝________.【解析】AC →＝OC →－OA →，CB →＝OB →－OC →，∵2AC →＋CB →＝0，∴2(OC →－OA →)＋(OB →－OC →)＝0，∴OC →＝2OA →－OB →＝2a －b . 【答案】2a －b7．在正方形ABCD 中，E 是DC 边上的中点，且AB →＝a ，AD →＝b ，则BE →＝________.【解析】BE →＝BC →＋CE →＝AD →－12AB →＝b －12a .【答案】b －12a三、解答题8．已知e 1，e 2是平面内两个不共线的向量，a ＝3e 1－2e 2，b ＝－2e 1＋e 2，c ＝7e 1－4e 2，试用向量a 和b 表示c .【解析】因为a ，b 不共线，所以可设c ＝x a ＋y b ，则x a ＋y b ＝x (3e 1－2e 2)＋y (－2e 1＋e 2) ＝(3x －2y )e 1＋(－2x ＋y )e 2＝7e 1－4e 2. 又因为e 1，e 2不共线，所以⎩⎪⎨⎪⎧3x －2y ＝7，－2x ＋y ＝－4，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－2，所以c ＝a －2b .9．如图所示，设M ，N ，P 是△ABC 三边上的点，且BM →＝13BC →，CN →＝13CA →，AP →＝13AB →，若AB →＝a ，AC→＝b ，试用a ，b 将MN →、NP →、PM →表示出来．【解析】NP →＝AP →－AN →＝13AB →－23AC →＝13a －23b ，MN →＝CN →－CM →＝－13AC →－23CB →＝－13b －23(a －b )＝－23a ＋13b ，PM →＝－MP →＝－(MN →＋NP →)＝13(a ＋b )．10．若点M 是△ABC 所在平面内一点，且满足：AM →＝34AB →＋14AC →.(1)求△ABM 与△ABC 的面积之比；(2)若N 为AB 中点，AM 与CN 交于点O ，设BO →＝xBM →＋yBN →，求x ，y 的值．【解析】(1)由AM →＝34AB →＋14AC →可知M ，B ，C 三点共线，如图，令BM →＝λBC →⇒AM →＝AB →＋BM →＝AB →＋λBC →＝AB →＋λ(AC →－AB →)＝(1－λ)AB →＋λAC →⇒λ＝14，所以S △ABM S △ABC ＝14，即面积之比为1 4. (2)由BO →＝xBM →＋yBN →⇒BO →＝xBM →＋y 2BA →，BO →＝x 4BC →＋yBN ，由O ，M ，A 三点共线及O ，N ，C 三点共线⇒⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y2＝1，x4＋y ＝1⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝47，y ＝67.6.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示 6.3.3 平面向量加、减运算的坐标表示一、选择题1．设i ，j 是平面直角坐标系内分别与x 轴，y 轴正方向相同的两个单位向量，O 为坐标原点，若OA →＝4i ＋2j ，OB →＝3i ＋4j ，则2OA →＋OB →的坐标是( ) A ．(1，－2) B ．(7,6) C ．(5,0) D ．(11,8)【解析】因为OA →＝(4,2)，OB →＝(3,4)，所以2OA →＋OB →＝(8,4)＋(3,4)＝(11,8)．【答案】D2．已知向量a ＝(－1,2)，b ＝(1,0)，那么向量3b －a 的坐标是( ) A ．(－4,2) B ．(－4，－2) C ．(4,2) D ．(4，－2)【解析】3b －a ＝3(1,0)－(－1,2)＝(4，－2)．【答案】D3．已知向量a ＝(1,2)，2a ＋b ＝(3,2)，则b ＝( ) A ．(1，－2) B ．(1,2) C ．(5,6) D ．(2,0)【解析】b ＝(3,2)－2a ＝(3,2)－(2,4)＝(1，－2)．【答案】A4．已知向量i ＝(1,0)，j ＝(0,1)，对坐标平面内的任一向量a ，给出下列四个结论： ①存在唯一的一对实数x ，y ，使得a ＝(x ，y )；②若x 1，x 2，y 1，y 2∈R ，a ＝(x 1，y 1)≠(x 2，y 2)，则x 1≠x 2，且y 1≠y 2； ③若x ，y ∈R ，a ＝(x ，y )，且a ≠0，则a 的起点是原点O ； ④若x ，y ∈R ，a ≠0，且a 的终点坐标是(x ，y )，则a ＝(x ，y )．其中正确结论的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【解析】由平面向量基本定理知①正确；若a ＝(1,0)≠(1,3)，但1＝1，故②错误；因为向量可以平移，所以a ＝(x ，y )与a 的起点是不是原点无关，故③错误；当a 的终点坐标是(x ，y )时，a ＝(x ，y )是以a 的起点是原点为前提的，故④错误．【答案】A 二、填空题5．在平面直角坐标系内，已知i 、j 是两个互相垂直的单位向量，若a ＝i －2j ，则向量用坐标表示a ＝________.【解析】由于i ，j 是两个互相垂直的单位向量，所以a ＝(1，－2)．【答案】(1，－2)6．如右图所示，已知O 是坐标原点，点A 在第一象限，|OA →|＝43，∠xOA ＝60°，则向量OA →的坐标为________．【解析】设点A (x ，y )，则x ＝|OA →|·cos 60°＝43cos 60°＝23，y ＝|OA →|·sin 60°＝43sin 60°＝6，即A (23，6)，所以OA →＝(23，6)．【答案】(23，6)7．已知向量a ＝(x ＋3，x 2－3x －4)与AB →相等，其中A (1,2)，B (3,2)，则x ＝________.【解析】易得AB →＝(2,0)，由a ＝(x ＋3，x 2－3x －4)与AB →相等得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3＝2，x 2－3x －4＝0，解得x ＝－1.【答案】－1 三、解答题8．如图，取与x 轴、y 轴同向的两个单位向量i ，j 作为基底，分别用i ，j 表示OA →，OB →，AB →，并求出它们的坐标．【解析】由图形可知，OA →＝6i ＋2j ，OB →＝2i ＋4j ，AB →＝－4i ＋2j ，它们的坐标表示为OA →＝(6,2)，OB →＝(2,4)，AB →＝(－4,2)．9．已知a ＝(2，－4)，b ＝(－1,3)，c ＝(6,5)，p ＝a ＋2b －c . (1)求p 的坐标；(2)若以a ，b 为基底，求p 的表达式．【解析】(1)p ＝(2，－4)＋2(－1,3)－(6,5)＝(－6，－3)． (2)设p ＝λa ＋μb (λ，μ∈R )，则(－6，－3)＝λ(2，－4)＋μ(－1,3)＝(2λ－μ，－4λ＋3μ)，所以⎩⎪⎨⎪⎧2λ－μ＝－6，－4λ＋3μ＝－3，所以⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－212，μ＝－15，所以p ＝－212a －15b .10．已知O 是△ABC 内一点，∠AOB ＝150°，∠BOC ＝90°，设OA →a ，OB →＝b ，OC →＝c ，且|a |＝2，|b|＝1，|c |＝3，试用a ，b 表示c .【解析】如图，以O 为原点，OA →为x 轴的非负半轴建立平面直角坐标系，由三角函数的定义，得B (cos 150°，sin 150°)，C (3cos 240°，3sin 240°)．即B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，12，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－332，又∵A (2,0)，故a ＝(2,0)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，12，c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－332. 设c ＝λ1a ＋λ2b (λ1，λ2∈R )，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－332＝λ1(2,0)＋λ2⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，12＝⎝⎛⎭⎪⎫2λ1－32λ2，12λ2，∴⎩⎪⎨⎪⎧2λ1－32λ2＝－32，12λ2＝－332，∴⎩⎨⎧λ1＝－3，λ2＝－33，∴c ＝－3a －33b .6.3.4 平面向量数乘运算的坐标表示一、选择题1．已知平面向量a ＝(1,2)，b ＝(－2，m )，且a ∥b ，则2a ＋3b ＝( ) A ．(－2，－4) B ．(－3，－6) C ．(－4，－8) D ．(－5，－10)【解析】由a ＝(1,2)，b ＝(－2，m )，且a ∥b ，得1×m ＝2×(－2)，解得m ＝－4，所以b ＝(－2，－4)，所以2a ＋3b ＝2(1,2)＋3(－2，－4)＝(－4，－8)．【答案】C2．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(λ，1)，若(a ＋2b )∥(2a －2b )，则λ的值等于( ) A.12 B.13 C ．1 D ．2【解析】a ＋2b ＝(1,2)＋2(λ，1)＝(1＋2λ，4)，2a －2b ＝2(1,2)－2(λ，1)＝(2－2λ，2)，由(a ＋2b )∥(2a －2b )，可得2(1＋2λ)－4(2－2λ)＝0，解得λ＝12，故选A.【答案】A3．已知A (1，－3)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫8，12，且A ，B ，C 三点共线，则点C 的坐标可以是( ) A ．(－9,1) B ．(9，－1) C ．(9,1) D ．(－9，－1) 【解析】设点C 的坐标是(x ，y )，因为A ，B ，C 三点共线，所以AB →∥AC →.因为AB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫8，12－(1，－3)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫7，72，AC →＝(x ，y )－(1，－3)＝(x －1，y ＋3)，所以7(y ＋3)－72(x －1)＝0，整理得x －2y ＝7，经检验可知点(9,1)符合要求，故选C. 【答案】C4．已知向量OA →＝(3，－4)，OB →＝(6，－3)，OC →＝(2m ，m ＋1)，若AB →∥OC →，则实数m 的值为( ) A.35 B ．－35 C ．3 D ．－3【解析】向量OA →＝(3，－4)，OB →＝(6，－3)， ∴AB →＝(3,1)，∵OC →＝(2m ，m ＋1)，AB →∥OC →， ∴3m ＋3＝2m ，解得m ＝－3，故选D.【答案】D 二、填空题5．已知向量a ＝(3x －1,4)与b ＝(1,2)共线，则实数x 的值为________．【解析】因为向量a ＝(3x －1,4)与b ＝(1,2)共线，所以2(3x －1)－4×1＝0，解得x ＝1. 【答案】16．已知A (2,1)，B (0,2)，C (－2,1)，O (0,0)，给出下列结论： ①直线OC 与直线BA 平行； ②AB →＋BC →＝CA →； ③OA →＋OC →＝OB →； ④AC →＝OB →－2OA →.其中，正确结论的序号为________．【解析】①因为OC →＝(－2,1)，BA →＝(2，－1)，所以OC →＝－BA →，又直线OC ，BA 不重合，所以直线OC ∥BA ，所以①正确；②因为AB →＋BC →＝AC →≠CA →，所以②错误；③因为OA →＋OC →＝(0,2)＝OB →，所以③正确；④因为AC →＝(－4,0)，OB →－2OA →＝(0,2)－2(2,1)＝(－4,0)，所以④正确．【答案】①③④7．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(1，λ)，c ＝(3,4)．若a ＋b 与c 共线，则实数λ＝________. 【解析】因为a ＋b ＝(1,2)＋(1，λ)＝(2,2＋λ)，所以根据a ＋b 与c 共线得2×4－3×(2＋λ)＝0，解得λ＝23.【答案】23三、解答题8．已知a ＝(x,1)，b ＝(4，x )，a 与b 共线且方向相同，求x . 【解析】∵a ＝(x,1)，b ＝(4，x )，a ∥b . ∴x 2－4＝0，解得x 1＝2，x 2＝－2.当x ＝2时，a ＝(2,1)，b ＝(4,2)，a 与b 共线且方向相同；当x ＝－2时，a ＝(－2,1)，b ＝(4，－2)，a 与b 共线且方向相反． ∴x ＝2.9．已知A ，B ，C 三点的坐标分别为(－1,0)，(3，－1)，(1,2)，并且AE →＝13AC →，BF →＝13BC →，求证：EF →∥AB →.证明：设E (x 1，y 1)，F (x 2，y 2)，依题意有AC →＝(2,2)，BC →＝(－2,3)，AB →＝(4，－1)． ∵AE →＝13AC →，∴AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23，∵BF →＝13BC →，∴BF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，1.∵AE →＝(x 1＋1，y 1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23，∴E ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，23，∵BF →＝(x 2－3，y 2＋1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，1，∴F ⎝ ⎛⎭⎪⎫73，0， ∴EF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫83，－23.又∵4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－23－83×(－1)＝0，∴EF →∥AB →. 10．已知a ＝(1,0)，b ＝(2,1)． (1)当k 为何值时，k a －b 与a ＋2b 共线？(2)若AB →＝2a ＋3b ，BC →＝a ＋m b 且A ，B ，C 三点共线，求m 的值．【解析】(1)k a －b ＝k (1,0)－(2,1)＝(k －2，－1)，a ＋2b ＝(1,0)＋2(2,1)＝(5,2)．因为k a －b 与a ＋2b 共线，所以2(k －2)－(－1)×5＝0，得k ＝－12.(2)因为A ，B ，C 三点共线，所以AB →＝λBC →，λ∈R ，即2a ＋3b ＝λ(a ＋m b )，所以⎩⎪⎨⎪⎧2＝λ，3＝mλ，解得m ＝32.6.3.5 平面向量数量积的坐标表示一、选择题1．若向量a ＝(3，m )，b ＝(2，－1)，a ·b ＝0，则实数m 的值为( )A ．－32 B.32C ．2D ．6【解析】依题意得6－m ＝0，m ＝6，选D. 【答案】D2．向量a ＝(1，－1)，b ＝(－1,2)，则(2a ＋b )·a ＝( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．2【解析】a ＝(1，－1)，b ＝(－1,2)， ∴(2a ＋b )·a ＝(1,0)·(1，－1)＝1. 【答案】C3．已知a ，b 为平面向量，且a ＝(4,3)，2a ＋b ＝(3,18)，则a ，b 夹角的余弦值等于( ) A.865 B ．－865 C.1665 D ．－1665【解析】∵a ＝(4,3)，∴2a ＝(8,6)．又2a ＋b ＝(3,18)， ∴b ＝(－5,12)，∴a ·b ＝－20＋36＝16. 又|a |＝5，|b |＝13， ∴cos〈a ，b 〉＝165×13＝1665.【答案】C4．已知向量a ＝(－1,2)，b ＝(3,1)，c ＝(k,4)，且(a －b )⊥c ，则k ＝( ) A ．－6 B ．－1 C ．1 D ．6【解析】∵a ＝(－1,2)，b ＝(3,1)，∴a －b ＝(－4,1)，∵(a －b )⊥c ，∴－4k ＋4＝0，解得k ＝1. 【答案】C 二、填空题5．a ＝(－4,3)，b ＝(1,2)，则2|a |2－3a ·b ＝________. 【解析】因为a ＝(－4,3)，所以2|a |2＝2×(－42＋32)2＝50.a ·b ＝－4×1＋3×2＝2.所以2|a |2－3a ·b ＝50－3×2＝44. 【答案】446．设向量a ＝(1,0)，b ＝(－1，m )．若a ⊥(m a －b )，则m ＝________.。

2018-2019数学同步新课标导学人教A版必修二通用版练习：第一章空间几何体1.3.1 Word版含解析

第一章 1.31.3.1A 级基础巩固一、选择题1．若圆锥的正视图是正三角形，则它的侧面积是底面积的导学号09024157( C ) A ．2倍 B ．3倍 C ．2倍D ．5倍[解析]设圆锥的底面半径为r ，母线长为l ，则由题意知，l ＝2r ，于是S 侧＝πr ·2r ＝2πr 2，S 底＝πr 2.故选C ．2．(2018·全国卷Ⅲ理，3)中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是导学号09025201( A )[解析]观察图形可知，俯视图为，故答案为A ．3．(2018·大连海湾高级中学高一检测)圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为导学号09025146( A )A ．34πB ．34C ．43πD ．43[解析]球的半径为1，圆柱的高的一半为12，设圆柱底面半径为R ，∴R 2＋(12)2＝12，∴R 2＝34，故圆球的体积为πR 2·h ＝34π×1＝34π．4．(2018·本溪一中高一期末)已知某几何体的三视图如图所示，主视图和左视图是腰长为a 的等腰直角三角形，俯视图是边长为a 的正方形，则该几何体的体积为导学号09025147( A )A ．16a 3B ．13a 3C ．12a 3D ．23a 3[解析]由三视图可得几何体为三棱锥，底面为等腰直角三角形，底面面积为12a 2，三棱锥的高也为a ，故三棱锥体积V ＝13×12a 2×a ＝16a 3．5．(2018·大连海湾高级中学高一检测)如图，点M ，N 分别是正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱A 1B 1，A 1D 1的中点，用过点A ，M ，N 和点D ，N ，C 1的两个截面截去正方体的两个角后得到的几何体的正(主)视图、侧(左)视图、俯视图依次为导学号09025148( B )A ．①③④B ．②③④C ．①②③D ．②④③[解析]由三视图性质可得B ．6．(2018·浙江卷，3) 某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积(单位：cm 3)是导学号09025202( C )A ．2B ．4C ．6D ．8[解析]根据三视图可得几何体为一个直四棱柱，高为2，底面为直角梯形，上下底分别为1,2，梯形的高为2，因此几何体的体积为12×(1＋2)×2×2＝6.选C ．二、填空题7．一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图为正三角形，则该几何体的表面积为__24导学号09024163[解析]该几何体是三棱柱，且两个底面是边长为2的正三角形，侧面是全等的矩形，且矩形的长是4，宽是2，所以该几何体的表面积为2×(12×2×3)＋3×(4×2)＝24＋23．8．设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S 1、S 2，体积分别为V 1、V 2，若它们的的侧面积相等且S 1∶S 2＝9∶4，则V 1∶V 2＝__3∶2__.导学号09024164[解析]设甲圆柱底面半径r 1，高h 1，乙圆柱底面半径r 2，高h 2，S 1S 2＝πr 21πr 22＝94，∴r 1r 2＝32，又侧面积相等得2πr 1h 1＝2πr 2h 2，∴h 1h 2＝23.因此V 1V 2＝πr 21h 1πr 22h 2＝32．三、解答题9．如图所示的几何体是一棱长为4cm 的正方体，若在其中一个面的中心位置上，挖一个直径为2cm 、深为1cm 的圆柱形的洞，求挖洞后几何体的表面积是多少？(π取3.14)导学号09024165[解析]正方体的表面积为4×4×6＝96(cm 2) 圆柱的侧面积为2π×1×1≈6.28(cm 2)则挖洞后几何体的表面积约为96＋6.28＝102.28(cm 2)．B 级素养提升一、选择题1．(2017·浙江，3)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积(单位：cm 3)是导学号09024166( A )A ．π2＋1B ．π2＋3C ．3π2＋1D ．3π2＋3[解析]由几何体的三视图可知，该几何体是一个底面半径为1，高为3的圆锥的一半与一个底面为直角边长是2的等腰直角三角形，高为3的三棱锥的组合体∴该几何体的体积V ＝13×12π×12×3＋13×12×2×2×3＝π2＋1．故选A ．2．(2018·永春一中高一期末)已知某个几何体的三视图如图(主视图中的弧线是半圆)，根据图中标出的尺寸(单位：cm)，可得这个几何体的体积是导学号09025149( B )A ．8＋2π3cm 3B ．8＋πcm 3C ．12＋2π3cm 3D ．12＋πcm 3[解析]由三视图可知几何体上半部分是半圆柱，下半部分是正方体，故此几何体体积为V ＝π×122×2＋2×2×2＝8＋π(cm 3)．3．(2018·全国卷Ⅰ理，7) 某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如下图．圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A ，圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B ，则在此圆柱侧面上，从M 到N 的路径中，最短路径的长度为导学号09025203( B )A ．217B ．2 5C ．3D ．2[解析]根据圆柱的三视图以及其本身的特征，可以确定点M 和点N 分别在以圆柱的高为长方形的宽，圆柱底面圆周长的四分之一为长的长方形的对角线的端点处，所以所求的最短路径的长度为42＋22＝25，故选B ．4．(2017·全国卷Ⅰ理，7)某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形．该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为导学号09024169( B )A ．10B ．12C ．14D ．16[解析]观察三视图可知该多面体是由直三棱柱和三棱锥组合而成的，且直三棱柱的底面是直角边长为2的等腰直角三角形，侧棱长为2.三棱锥的底面是直角边长为2的等腰直角三角形，高为2，如图所示．因此该多面体各个面中有2个梯形，且这两个梯形全等，梯形的上底长为2，下底长为4，高为2，故这些梯形的面积之和为2×12×(2＋4)×2＝12．故选B ．二、填空题5．已知圆柱OO ′的母线l ＝4cm ，全面积为42πcm 2，则圆柱OO ′的底面半径r ＝ __3__cm.导学号09024170[解析]圆柱OO ′的侧面积为2πrl ＝8πr (cm 2)，两底面积为2×πr 2＝2πr 2(cm 2) ∴2πr 2＋8πr ＝42π，解得r ＝3或r ＝－7(舍去) ∴圆柱的底面半径为3cm ．6．已知斜三棱柱的三视图如图所示，该斜三棱柱的体积为__2__.导学号09024171[解析]由三视图可知，斜三棱柱的底面三角形的底边长为2，高为1，斜三棱柱的高为2，故斜三棱柱的体积为V ＝12×2×1×2＝2．C 级能力拔高1．如图在底面半径为2，母线长为4的圆锥中内接一个高为3的圆柱，求圆柱的表面积.导学号09024172[解析]设圆锥的底面半径为R ，圆柱的底面半径为r ，表面积为S ．则R ＝OC ＝2，AC ＝4 AO ＝42－22＝23．如图所示易知△AEB ∽△AOC ∴AE AO ＝EB OC ，即323＝r 2，∴r ＝1 S 底＝2πr 2＝2π，S 侧＝2πr ·h ＝23π． ∴S ＝S 底＋S 侧＝2π＋23π＝(2＋23)π．2．在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，截下一个棱锥C -A 1DD 1，求棱锥C -A 1DD 1的体积与剩余部分的体积之比.导学号09024173[解析]设矩形ADD 1A 1的面积为S ，AB ＝h ∴VABCD －A 1B 1C 1D 1＝VADD 1A 1－BCC 1B 1＝Sh ．而棱锥C -A 1DD 1的底面积为12S ，高为h ，故三棱锥C -A 1DD 1的体积为：VC -A 1DD 1＝13×12S ×h ＝16Sh余下部分体积为：Sh －16Sh ＝56Sh .所以棱锥C -A 1DD 1的体积与剩余部分的体积之比为1∶5．。

精品高一数学必修2课时练：第一章章末检测

章末检测一、选择题1．下列推理错误的是() A．A∈l，A∈α，B∈l，B∈α⇒l⊂αB．A∈α，A∈β，B∈α，B∈β⇒α∩β＝ABC．l⊄α，A∈l⇒A∉αD．A∈l，l⊂α⇒A∈α2．长方体ABCD－A1B1C1D1中，异面直线AB，A1D1所成的角等于() A．30°B．45°C．60°D．90°3．下列命题正确的是() A．若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行B．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C．若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行D．若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行4．在空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA上分别取E、F、G、H四点，如果EF，GH交于一点P，则() A．P一定在直线BD上B．P一定在直线AC上C．P一定在直线AC或BD上D．P既不在直线AC上，也不在直线BD上5．给定下列四个命题：①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；③垂直于同一直线的两条直线相互平行；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．其中，为真命题的是() A．①和②B．②和③C．③和④D．②和④6．已知平面α⊥平面β，α∩β＝l，点A∈α，A∉l，直线AB∥l，直线AC⊥l，直线m∥α，m∥β，则下列四种位置关系中，不一定成立的是() A．AB∥m B．AC⊥m C．AB∥βD．AC⊥β7．如图(1)所示，在正方形SG1G2G3中，E，F分别是G1G2及G2G3的中点，D是EF的中点，现在沿SE，SF及EF把这个正方形折成一个四面体，使G1，G2，G3三点重合，重合后的点记为G，如图(2)所示，那么，在四面体S－EFG中必有()A．SG⊥△EFG所在平面B．SD⊥△EFG所在平面C．GF⊥△SEF所在平面D．GD⊥△SEF所在平面8．如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，若E是A1C1的中点，则直线CE垂直于() A．AC B．BD C．A1D D．A1D18题图9题图9．如图所示，将等腰直角△ABC沿斜边BC上的高AD折成一个二面角，此时∠B′AC＝60°，那么这个二面角大小是() A．90°B．60°C．45°D．30°10．如图，ABCD－A1B1C1D1为正方体，下面结论错误的是() A．BD∥平面CB1D1B．AC1⊥BDC．AC1⊥平面CB1D1D．异面直线AD与CB1所成的角为60°10题图11题图11．如图所示，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝1，则BC1与平面BB1D1D 所成角的正弦值为()A.63 B.265 C.155 D.10512．已知正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，CC1＝22，E为CC1的中点，则直线AC1与平面BED的距离为() A．2 B. 3 C. 2 D．1二、填空题13．设平面α∥平面β，A、C∈α，B、D∈β，直线AB与CD交于点S，且点S位于平面α，β之间，AS＝8，BS＝6，CS＝12，则SD＝________.14．下列四个命题：①若a∥b，a∥α，则b∥α；②若a∥α，b⊂α，则a∥b；③若a∥α，则a平行于α内所有的直线；④若a∥α，a∥b，b⊄α，则b∥α.其中正确命题的序号是________．15．如图所示，在直四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，当底面四边形A1B1C1D1满足条件________时，有A1C⊥B1D1(注：填上你认为正确的一种情况即可，不必考虑所有可能的情况)．15题图16题图16．如图所示，已知矩形ABCD中，AB＝3，BC＝a，若P A⊥平面AC，在BC边上取点E，使PE⊥DE，则满足条件的E点有两个时，a的取值范围是________．三、解答题17．如图所示，长方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别为AB、A1D1的中点，判断MN与平面A1BC1的位置关系，为什么？18．ABCD与ABEF是两个全等正方形，AM＝FN，其中M∈AC，N∈BF.求证：MN∥平面BCE.19．如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，P A⊥底面ABCD，E是PC的中点．已知AB＝2，AD＝22，P A＝2.求：(1)三角形PCD的面积；(2)异面直线BC与AE所成的角的大小．20．如图所示，ABCD是正方形，O是正方形的中心，PO⊥底面ABCD，底面边长为a，E是PC的中点．(1)求证：P A∥面BDE；(2)求证：平面P AC⊥平面BDE；(3)若二面角E－BD－C为30°，求四棱锥P－ABCD的体积．21．如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为菱形，P A⊥底面ABCD，AC＝22，P A＝2，E是PC上的一点，PE＝2EC.(1)证明：PC⊥平面BED；(2)设二面角A－PB－C为90°，求PD与平面PBC所成角的大小．答案1．C 2.D 3．C4．B5．D6．D7．A8．B9.A10．D11．D12．D 13．914．④15．B1D1⊥A1C1(答案不唯一)16．a>617．解直线MN∥平面A1BC1，M为AB的中点，证明如下：∵MD/∈平面A1BC1，ND/∈平面A1BC1.∴MN⊄平面A1BC1.如图，取A1C1的中点O1，连接NO1、BO1.∵NO 1綊12D 1C 1，MB 綊12D 1C 1，∴NO 1綊MB .∴四边形NO 1BM 为平行四边形． ∴MN ∥BO 1.又∵BO 1⊂平面A 1BC 1， ∴MN ∥平面A 1BC 1.18．证明如图所示，连接AN ，延长交BE 的延长线于P ，连接CP .∵BE ∥AF ， ∴FN NB ＝AN NP，由AC ＝BF ，AM ＝FN 得MC ＝NB . ∴FN NB ＝AM MC . ∴AM MC ＝AN NP ， ∴MN ∥PC ，又PC ⊂平面BCE .∴MN ∥平面BCE .19．解 (1)因为P A ⊥底面ABCD ，所以P A ⊥CD .又AD ⊥CD ，所以CD ⊥平面P AD ，从而CD ⊥PD . 因为PD ＝22＋(22)2＝23，CD ＝2，所以三角形PCD 的面积为12×2×23＝2 3.(2)如图，取PB 中点F ，连接EF 、AF ，则EF ∥BC ，从而∠AEF (或其补角)是异面直线BC 与AE 所成的角．在△AEF 中，由EF ＝2，AF ＝2，AE ＝2知△AEF 是等腰直角三角形，所以∠AEF ＝45°.因此，异面直线BC 与AE 所成的角的大小是45°. 20．(1)证明连接OE ，如图所示．∵O 、E 分别为AC 、PC 的中点，∴OE ∥P A. ∵OE ⊂面BDE ，P A ⊄面BDE ， ∴P A ∥面BDE .(2)证明 ∵PO ⊥面ABCD ，∴PO ⊥BD .在正方形ABCD 中，BD ⊥AC ，又∵PO ∩AC ＝O ，∴BD ⊥面P AC .又∵BD ⊂面BDE ，∴面P AC ⊥面BDE .(3)解取OC 中点F ，连接EF .∵E 为PC 中点，∴EF 为△POC 的中位线，∴EF ∥PO .又∵PO ⊥面ABCD ，∴EF ⊥面ABCD .∵OF ⊥BD ，∴OE ⊥BD .∴∠EOF 为二面角E －BD －C 的平面角，∴∠EOF ＝30°.在Rt △OEF 中，OF ＝12OC ＝14AC ＝24a ，∴EF ＝OF ·tan 30°＝612a ， ∴OP ＝2EF ＝66a . ∴V P －ABCD ＝13×a 2×66a ＝618a 3. 21．(1)证明因为底面ABCD 为菱形，所以BD ⊥AC .又P A ⊥底面ABCD ，所以PC ⊥BD .如图，设AC ∩BD ＝F ，连接EF .因为AC ＝22，P A ＝2，PE ＝2EC ，故PC ＝23，EC ＝233，FC ＝2，从而PC FC ＝6， AC EC＝ 6.因为PC FC ＝AC EC，∠FCE ＝∠PCA ，所以△FCE ∽△PCA ，∠FEC ＝∠P AC ＝90°.由此知PC ⊥EF .因为PC 与平面BED 内两条相交直线BD ，EF 都垂直，所以PC ⊥平面BED .(2)解在平面P AB 内过点A 作AG ⊥PB ，G 为垂足．因为二面角A －PB －C 为90°，所以平面P AB ⊥平面PBC .又平面P AB ∩平面PBC ＝PB ，故AG ⊥平面PBC ，AG ⊥BC .因为BC 与平面P AB 内两条相交直线P A ，AG 都垂直，故BC ⊥平面P AB ，于是BC ⊥AB ，所以底面ABCD 为正方形，AD ＝2，PD ＝P A 2＋AD 2＝2 2.设D 到平面PBC 的距离为d .因为AD ∥BC ，且AD ⊄平面PBC ，BC ⊂平面PBC ，故AD ∥平面PBC ，A 、D 两点到平面PBC 的距离相等，即d ＝AG ＝ 2. 设PD 与平面PBC 所成的角为α，则sin α＝d PD ＝12. 所以PD 与平面PBC 所成的角为30°.。

2018-2019数学同步新课标导学人教A版必修二通用版练习：第一章空间几何体学业质量标准检测1 Word版含解析

第一章学业质量标准检测本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1．(2016·菏泽市高一检测)以边长为1的正方形的一边所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面积等于导学号09024213( A )A ．2πB ．πC ．2D ．1[解析]所得旋转体是底面半径为1，高为1的圆柱，其侧面积S 侧＝2πRh ＝2π×1×1＝2π． 2．设球内切于圆柱，则此圆柱的全面积与球表面积之比是导学号09024214( C ) A ．1∶1 B ．2∶1 C ．3∶2D ．4∶3[解析]∵圆柱的底面直径与高都等于球的直径，设球的直径为2R ，则圆柱全面积S 1＝2πR 2＋2πR ·2R ＝6πR 2，球表面积S 2＝4πR 2，∴S1S2＝32．3．已知一个底面是菱形、侧面是矩形的四棱柱，侧棱长为5，菱形的对角线的长分别是9和15，则这个棱柱的侧面积是导学号09024215( A )A ．3034B ．6034C ．3034＋135D ．135[解析]由菱形的对角线长分别是9和15，得菱形的边长为错误!＝错误!错误!，则这个菱柱的侧面积为4×3234×5＝3034．4．已知圆柱与圆锥的底面积相等，高也相等，它们的体积分别为V 1和V 2，则V 1∶V 2＝导学号09024216( D )A ．1∶3B ．1∶1C ．2∶1D ．3∶1[解析]V 1∶V 2＝(Sh )∶(13Sh )＝3∶1．5．(2018·邹城一中高一检测)圆台上、下底面半径和母线的比为1∶4∶5，高为8，那么它的侧面积为导学号09025151( B )A ．50πB ．100πC ．150πD ．200π[解析]∵圆台上、下底面半径和母线的比为1∶4∶5，高为8，所以可设圆台上、下底面半径和母线分别为x,4x,5x ，画出圆台轴面，如图所示，由勾股定理可得，(5x )2＝(3x )2＋82，解得x ＝2，故圆台的上底面半径r ＝2，圆台的下底面半径R ＝8，圆台的母线长l ＝10，可得圆台的侧面积S ＝π(r ＋R )l ＝100π，故选B ．6．如图，△O ′A ′B ′是水平放置的△OAB 的直观图，则△OAB 的面积为导学号09024218( D )A ．6B ．32C ．62D ．12[解析]△OAB 是直角三角形，OA ＝6，OB ＝4，∠AOB ＝90°，∴S △OAB ＝12×6×4＝12．7．(2017·北京文，6)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为导学号09024219( D )A ．60B ．30C ．20D ．10[解析]由三视图画出如图所示的三棱锥P －ACD ，过点P 作PB ⊥平面ACD 于点B ，连接BA ，BD ，BC ，根据三视图可知底面ABCD 是矩形，AD ＝5，CD ＝3，PB＝4，所以V 三棱锥P －ACD ＝13×12×3×5×4＝10.故选D ．8．若一圆柱与圆锥的高相等，且轴截面面积也相等，那么圆柱与圆锥的体积之比为导学号09024220( D )A ．1B ．12C ．32D ．34[解析]设圆柱与圆锥的底半径分别为R ，r ，高都是h ，由题设，2R ·h ＝12×2r ·h∴r ＝2R ，V 柱＝πR 2h ，V 锥＝13πr 2h ＝43πR 2h∴V 柱V 锥＝34，选D ． 9．半径为R 的半圆卷成一个圆锥，则它的体积为导学号09024221( A )A ．324πR 3B ．38πR 3C ．525πR 3D ．58πR 3[解析]依题意，得圆锥的底面周长为πR ，母线长为R ，则底面半径为R 2，高为32R ，所以圆锥的体积为13×π×(R 2)2×32R ＝324πR 3． 10．(2015·全国卷)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺．问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧度为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放斛的米约有导学号09024222( B )A ．14斛B ．22斛C ．36斛D ．66斛[解析]设圆锥底面半径为r ，则14×2×3r ＝8，∴r ＝163，所以米堆的体积为14×13×3×(163)2×5＝3209，故堆放的米约为3209÷1.62≈22，故选B ．11．(2018·全国卷Ⅲ理，10)设A ，B ，C ，D 是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC 为等边三角形且其面积为93，则三棱锥D －ABC 体积的最大值为导学号09025207( B )A ．123B ．183C ．243D ．543[解析]如图所示点M 为三角形ABC 的重心，E 为AC 中点，当DM ⊥平面ABC 且D 与面ABC 在球心O 两侧时，三棱锥D －ABC 体积最大此时，OD ＝OB ＝R ＝4 ∵S △ABC ＝34AB 2＝93∴AB ＝6，∵点M 为三角形ABC 的重心 ∴BM ＝23BE ＝23∴Rt △ABC 中，有OM ＝OB2－BM2＝2∴DM ＝OD ＋OM ＝4＋2＝6 ∴(V D －ABC )max ＝13×93×6＝183，故选B ．12．(2016·山东，文)一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示．则该几何体的体积为导学号09024224( C )A ．13＋23πB ．13＋23πC ．13＋26πD ．1＋26π[解析]根据三视图可知，四棱锥的底面是边长为1的正方形、高是1，半球的半径为22，所以该几何体的体积为13×1×1×1＋12×43π(22)3＝13＋26π．第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上) 13．如图是△AOB 用斜二测画法画出的直观图，则△AOB 的面积是__16__.导学号09024225[解析]在△AOB 中，OB ＝4，高为8，则面积S ＝12×4×8＝16．14．(2018·天津理，11)如图，已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，则四棱锥A 1－BB 1D 1D 的体积为__3__.导学号09025208[解析]连结A 1C 1，交B 1D 1于点O ，很明显A 1C 1⊥平面BDD 1B 1，则A 1O 是四棱锥的高，且A 1O ＝12A 1C 1＝1212＋12＝22S 四边形BDD 1B 1＝BD ×DD 1＝2×1＝2结合四棱锥体积公式可得其体积为：V ＝13Sh ＝13×2×22＝13．15．(2018·泰安一中高一检测)棱长为a 的正四面体的全面积为__a 2__，体积为__12a 3__.导学号09025152[解析]因为正四面体的棱长为a ，所以正四面体的底面积为S ＝12a 2×32＝34a 2，正四面体的表面积为S ＝4×34a 2＝3a 2，正四面体的底面外接圆半径为r ＝32a ×23＝33a ，∴正四面体的高为h ＝a2－r2＝a2－13a2＝63a∴正四面体的为V ＝13Sh ＝13×34a 2×63a ＝212a 3，故答案3a 2，212a 3．16．(2017·山东理，13)由一个长方体和两个14圆柱体构成的几何体的三视图如下，则该几何体的体积为__2＋2__.导学号09024228[解析]该几何体由一个长、宽、高分别为2,1,1的长方体和两个底面半径为1，高为1的四分之一圆柱体构成∴V ＝2×1×1＋2×14×π×12×1＝2＋π2．三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)把一个圆锥截成圆台，已知圆台的上、下底面半径的比是1∶4，母线长为10cm.求圆锥的母线长.导学号09024229[解析]如图，设圆锥母线长为l ，则l －10l ＝14，所以l ＝403cm ．18．(本小题满分12分)(2018·旌德中学高一期终)轴截面为正三角形的圆锥内有一个内切球，若圆锥的底面半径为2，求球的体积.导学号09025153[解析]如图所示，作出轴截面因为△ABC 是正三角形，所以CD ＝12AC ＝2所以AC ＝4，AD ＝32×4＝23所以R ＝233．所以V 球＝43πR 3＝43π·(233)3＝323π27．所以球的体积等于323π27．19．(本小题满分12分)如右图，一个圆锥形的空杯子上面放着一个半球形的冰淇淋，如果冰淇淋融化了，会溢出杯子吗？请用你的计算数据说明理由.导学号09024231[解析]因为V 半球＝12×43πR 3＝12×43×π×43≈134(cm 3)V 圆锥＝13πr 2h ＝13π×42×12≈201(cm 3)134<201，所以V 半球<V 圆锥所以，冰淇淋融化了，不会溢出杯子．20．(本小题满分12分)已知某几何体的侧视图与其正视图相同，相关的尺寸如图所示，求这个几何体的体积.导学号09024232[解析]由三视图可知，该几何体是大圆柱内挖掉了小圆柱，两个圆柱高均为1，底面是半径为2和32的同心圆，故该几何体的体积为4π×1－π(32)2×1＝7π4．21．(本小题满分12分)据说伟大的阿基米德逝世后，敌军将领马塞拉斯给他建了一块墓碑，在墓碑上刻了一个如图所示的图案，图案中球的直径与圆柱底面的直径和圆柱的高相等，圆锥的顶点为圆柱上底面的圆心，圆锥的底面是圆柱的下底面．试计算出图案中圆锥、球、圆柱的体积比.导学号09024233[解析]设圆柱的底面半径为r ，高为h ，则V 圆柱＝πr 2h ．由题意知圆锥的底面半径为r ，高为h ，球的半径为r ∴V 圆锥＝13πr 2h ，∴V 球＝43πr 3．又h ＝2r∴V 圆锥∶V 球∶V 圆柱＝(13πr 2h )∶(43πr 3)∶(πr 2h )＝(23πr 3)∶(43πr 3)∶(2πr 3)＝1∶2∶3．22．(本小题满分12分)如图所示，有一块扇形铁皮OAB ，∠AOB ＝60°，OA ＝72cm ，要剪下来一个扇形环ABCD ，作圆台形容器的侧面，并且余下的扇形OCD 内剪下一块与其相切的圆形使它恰好作圆台形容器的下底面(大底面).导学号09024234试求：(1)AD 的长； (2)容器的容积．[解析](1)设圆台上、下底面半径分别为r 、R ，AD ＝x 则OD ＝72－x ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2πR＝60·π180×7272－x ＝3R，∴⎩⎪⎨⎪⎧R ＝12x ＝36．即AD 应取36cm ．(2)∵2πr ＝π3·OD ＝π3·36，∴r ＝6cm圆台的高h ＝错误!＝错误!＝6错误!． ∴V ＝13πh (R 2＋Rr ＋r 2)＝13π·635·(122＋12×6＋62)＝50435π(cm 3)．即容器的容积为50435πcm 3．。

数学试题人教a版必修2 同步练习第一章小节测试题

第1课时棱柱、棱锥、棱台的结构特征课时过关·能力提升一、基础巩固1.如图所示的几何体是( )A.五棱锥B.五棱台C.五棱柱D.五面体答案:C2.有两个面平行的多面体不可能是( )A.四棱柱B.三棱锥C.四棱台D.三棱台解析:棱锥的任意两个面都相交,不可能有两个面平行,所以不可能是棱锥,也就不可能是三棱锥.答案:B3.下列说法错误的是( )A.多面体至少有四个面B.六棱柱有6条侧棱、6个侧面,侧面为平行四边形C.长方体、正方体都是棱柱D.三棱柱的侧面为三角形解析:由棱柱的定义知,选项D不正确.答案:D4.由五个面围成的多面体,其中上、下两个面是相似三角形,其余三个面都是梯形,并且这些梯形的腰延长后能相交于一点,则该多面体是( )A.三棱柱B.三棱台C.三棱锥D.四棱锥解析:该多面体有三个面是梯形,而棱锥最多有一个面是梯形(底面),棱柱最多有两个面是梯形(底面),所以该多面体不是棱柱、棱锥,而是棱台.三个梯形是棱台的侧面,另两个三角形是底面,所以这个棱台是三棱台.答案:B5.一个纸质的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北.现在沿该正方体的棱将正方体剪开,外面朝上展平得到右侧的平面图形,则标“△”的面上的方位是( )A.南B.北C.西D.下解析:将所给图形还原为正方体,并将已知面“上”“东”分别指向上面、东面,则标记“△”的面指向北面.答案:B6.在如图所示的几何体中,是棱柱.(只填序号)答案:①③7.若一个平面平行于棱柱的底面,用该平面去截此棱柱时得到的截面为八边形,则该棱柱是棱柱.答案:八8.已知下列说法:①棱柱的侧面可以不是平行四边形;②棱锥的各个侧面都是三角形;③棱台的上、下底面互相平行,且各侧棱的延长线相交于一点;④三棱锥的任何一个面都可以作为棱锥的底面.其中正确的是.(只填序号)答案:②③④9.判断如图所示的几何体是不是棱台,并说明理由.解:(1)(2)(3)都不是棱台.因为(1)和(3)都不是由棱锥截得的,所以(1)(3)都不是棱台.虽然(2)是由棱锥截得的,但截面和底面不平行,故不是棱台.10.(1)五棱柱一共有多少个顶点?多少条棱?(2)六棱柱一共有多少个顶点?多少条棱?(3)设n棱柱的顶点数为V,棱数为E,求证:E(1)解:五棱柱有10个顶点,15条棱.(2)解:六棱柱有12个顶点,18条棱.(3)证明:n棱柱的顶点分别是两个底面多边形的顶点,由棱柱的两个底面是全等的多边形,知V=2n.n棱柱的棱分为两类:一类是侧棱,有n条;另一类是两个底面多边形的边,有2n条,则E=n+2n=3n.因为V=2n,E=3n,所以E二、能力提升1.将平面六边形及内部所有点沿某一方向平移相同的距离形成的空间几何体是( )A.六棱锥B.六棱台C.六棱柱D.非棱柱、棱锥、棱台的一个几何体答案:C2.用一个平面去截棱锥,得到两个几何体,下列说法正确的是( )A.一个几何体是棱锥,另一个几何体是棱台B.一个几何体是棱锥,另一个几何体不一定是棱台C.一个几何体不一定是棱锥,另一个几何体是棱台D.一个几何体不一定是棱锥,另一个几何体也不一定是棱台答案:D★3.如图,将装有水的长方体水槽固定底面一边后倾斜,则倾斜后水槽中的水形成的几何体是( )A.棱柱B.棱台C.棱柱与棱台的组合体D.不确定答案:A4.已知一个棱柱有14个顶点,所有侧棱长的和为63 cm,则每条侧棱长为 cm.解析:n棱柱有2n个顶点,因为棱柱有14个顶点,所以该棱柱为七棱柱.又因为棱柱的侧棱长都相等,7条侧棱长的和为63 cm,所以每条侧棱长为9 cm.答案:9★5.如图,在边长为2a的正方形ABCD中,E,F分别为AB,BC的中点,沿图中虚线将3个三角形折起,使点A,B,C重合,重合后记为点P.(1)折起后形成的几何体是什么几何体?(2)这个几何体共有几个面?每个面的三角形有何特点?(3)每个面的面积为多少?解:(1)如图,折起后的几何体是三棱锥.(2)这个几何体共有4个面,其中△DEF为等腰三角形,△PEF为等腰直角三角形,△DPE和△DPF均为直角三角形.(3)S△PEF△DPF=S△DPES△DEF=S正方形ABCD-S△PEF-S△DPF-S△DPE=(2a)2第2课时圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征课时过关·能力提升一、基础巩固1.在下列几何体中,旋转体有( )①圆柱;②六棱锥;③正方体;④球;⑤四面体.A.①⑤B.①②C.③④D.①④答案:D2.将正方形绕其一条对角线所在直线旋转一周,所得的几何体是( )A.圆柱B.圆锥C.圆台D.两个圆锥答案:D3.若用一个平面去截一个几何体,得到的截面是圆面,则这个几何体不可能是( )A.圆锥B.圆柱C.球D.棱柱解析:棱柱的任何截面都不可能是圆面.答案:D4.如图,已知OA为球O的半径,且OA=2,过OA的中点M且垂直于OA的平面截球面得到圆M,则圆M的面积为 ( )A.πB.2πC.3πD.4π解析:因为OA=2,所以OM=1.所以圆M的半径r故圆M的面积S=πr2=3π.答案:C5.在如图所示的四个几何体中,圆柱有;圆锥有.(只填序号)答案:③②6.将长为8 cm、宽为6 cm的矩形绕其一边旋转而成的圆柱的底面面积为cm2.解析:若圆柱是矩形绕其宽旋转而成的,则其底面半径为8 cm,底面面积为64π cm2;若圆柱是矩形绕其长旋转而成的,则其底面半径为6 cm,底面面积为36π cm2.答案:64π或36π7.若圆锥的高与底面半径相等,母线长为解析:如图,设圆锥SO的高为h,底面半径为r,母线长为l,则h=r,l=l2=h2+r2,则l2=2r2,即(r=5.答案:58.写出下列7种几何体的名称.解:(1)是圆柱,(2)是圆锥,(3)是球,(4)(5)是棱柱,(6)是圆台,(7)是棱锥.9.判断下列几何体是不是圆台,并说明理由.解:(1)是圆台,因为上、下两个底面平行,侧面是由直角梯形的一腰绕垂直于底边的腰所在的直线旋转一周形成的.(2)不是圆台,因为上、下两个底面不平行.(3)不是圆台,因为它是由两个圆台组合而成的,不符合圆台的结构特征.10.已知一个圆台的母线长为12 cm,两个底面面积分别为4π cm2和25π cm2.求:(1)圆台的高;(2)截得此圆台的圆锥的母线长.解:(1)如图,圆台的轴截面为等腰梯形ABCD,由已知可得上底面半径O1A=2 cm,下底面半径OB=5 cm,且腰长AB=12 cm.过点A作AM⊥BO于点M,所以AM cm.(2)设截得此圆台的圆锥的母线长为l cm,延长BA,CD,OO1且它们交于一点S,则由△SAO1∽△SBO,可所以l=20.故截得此圆台的圆锥的母线长为20 cm.二、能力提升1.下列说法正确的是( )A.圆锥的母线长等于底面圆的直径B.圆柱的母线与轴垂直C.圆台的母线与轴平行D.球的直径必过球心解析:圆锥的母线长与底面圆的直径的大小关系不确定,则A项不正确;圆柱的母线与轴平行,则B项不正确;圆台的母线延长后与轴相交,则C项不正确;很明显D项正确.答案:D★2.下列命题:①圆柱的轴截面是过母线的截面中面积最大的一个;②用任意一个平面去截球体得到的截面一定是一个圆;③用任意一个平面去截圆锥得到的截面一定是一个圆.其中正确的个数是( )A.0B.1C.2D.3答案:C3.已知一个圆锥的母线长为20 cm,母线与轴的夹角为30°,则圆锥的高为( )A.1C.20 cmD.10 cm解析:如图,在Rt△ABO中,AB=20 cm,∠BAO=30°,所以AO=ABcos 30°=20答案:A4.下列说法:①半圆以其直径为轴旋转一周所形成的几何体叫做球;②夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是圆柱;③截面是圆的几何体,不是圆柱,就是圆锥;④圆柱的轴是过圆柱上、下底面圆的圆心的直线.其中错误的是.(只填序号)解析:易知①④正确;②当两个平行截面不平行于上、下底面时,截面间的几何体不是圆柱,故②错误;③截面是圆的几何体还可以是球或圆台,故③错误.答案:②③5.已知球的半径为10 cm,若它的一个截面圆的面积为36 π cm2,则球心与截面圆圆心的距离是cm.解析:设截面圆的半径为r cm,则πr2=36π,所以r=6.所以球心与截面圆圆心的距离d答案:86.将一个半径为2的半圆围成一个圆锥,所得圆锥的轴截面面积等于.解析:所得圆锥的母线长为2,底面周长为2π,故底面半径为1,则该圆锥的轴截面为一个边长为2的正三角形,其面积答案:★7.已知圆台的上底周长是下底周长解:设圆台上、下底面半径分别为r,R,母线长为l,高为h.由题意,得2πr·2πR,即R=3r. ①·h=392,即(R+r)h=392. ②又母线与底面的夹角为45°,则h=R-r联立①②③,得R=21,r=7,h=14,l=11.1.2 简单组合体的结构特征课时过关·能力提升一、基础巩固1.下列几何体是组合体的是( )解析:A选项中的几何体是圆锥,B选项中的几何体是圆柱,C选项中的几何体是球,D选项中的几何体是在一个圆台中挖去一个圆锥而形成的,是组合体.答案:D2.将日常生活中我们常用到的螺母看成一个组合体,其结构特征是( )A.一个棱柱中挖去一个棱柱B.一个棱柱中挖去一个圆柱C.一个圆柱中挖去一个棱锥D.一个棱台中挖去一个圆柱解析:如图,螺母的结构特征是一个棱柱中挖去一个圆柱.答案:B3.在下列各选项的平面图形中,通过围绕定直线l旋转一周可得到如图所示几何体的是( )解析:因为该几何体是由两个圆锥与一个圆柱组合成的组合体,所以结合选项可知,该几何体可由选项B中的梯形绕定直线l旋转一周得到.答案:B4.如图所示的组合体,其结构特征是( )A.一个圆柱内挖去一个圆柱B.一个圆锥内挖去一个圆锥C.一个圆台内挖去一个圆锥D.一个圆台内挖去一个球解析:该组合体是在一个圆台内挖去一个圆锥形成的.答案:C5.如图所示的几何体,关于其结构特征,下列说法不正确的是( )A.该几何体是由两个同底的四棱锥组成的B.该几何体有12条棱、6个顶点C.该几何体有8个面,并且各面均为三角形D.该几何体有9个面,其中一个面是四边形,其余各面均为三角形答案:D6.如图所示的组合体的结构特征是.答案:上面是一个圆柱,下面是一个长方体7. 将如图所示的四边形绕直线l旋转一周,所得旋转体的结构特征是.解析:过点C作CE⊥AD于点E(图略),则CE∥AB,且AB>CE.故所得旋转体是由一个圆锥和一个圆台拼接成的组合体.答案:上面是一个圆锥,下面是一个圆台8.如图所示的组合体的结构特征为.答案:左边是一个四棱锥,右边是一个三棱柱9.指出如图①②所示的几何体是由哪些简单几何体构成的.图①图②解:分割几何体,使分割后的每一部分都是简单几何体.图①是由一个三棱柱和一个四棱柱拼接而成的组合体.图②是在一个圆柱中间挖去一个三棱柱后得到的组合体.10. 将如图所示的平面图形绕轴l旋转180°后形成一个几何体,请描述该几何体的结构特征.解:将题中平面图形绕l旋转180°后形成一个组合体,并且该组合体自上而下可分解为一个倒圆锥、一个球、一个半球、一个圆柱、一个圆台.二、能力提升1.把如图所示的平面图形中的阴影部分绕定直线l旋转一周,形成的旋转体的结构特征为( )A.一个球B.一个球中挖去一个圆柱C.一个圆柱D.一个球中挖去一个棱柱解析:如题图,圆面绕轴旋转一周得球,矩形绕轴旋转一周得圆柱,则该旋转体是一个球中挖去一个圆柱. 答案:B2.以钝角三角形较短的边所在的直线为轴,其他两边旋转一周所得到的几何体是( )A.两个圆锥拼接而成的组合体B.一个圆台C.一个圆锥D.一个圆锥挖去一个同底的小圆锥后形成的组合体解析:如图,过点A作AD垂直BC于点D,则△ADC与△ADB分别为直角三角形,所以旋转一周形成的几何体是一个圆锥挖去一个同底的小圆锥后形成的组合体.答案:D3.已知一个正方体内接于一个球,过球心作一截面,在如图所示的图形中,可能是截面图形的是( )A.①③B.②④C.①②③D.②③④解析:当截面平行于正方体的一个侧面或底面时得③,当截面过正方体的对角线时得②,当截面不平行于任何侧面或底面也不过正方体的对角线时得①,但无论如何都不能截出④.答案:C★4.如图所示的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱的上底面为底面,下底面圆心为顶点的圆锥而得到的组合体,现用一个竖直的平面去截这个组合体,则截面图形可能是( )A.①②B.①③C.①④D.①⑤答案:D5. 如图,AB为圆弧BC所在圆的直径,∠BAC=45°.将这个平面图形绕直线AB旋转一周得到一个组合体,则该组合体的结构特征是.答案:上面是一个圆锥,下面是一个半球6.关于如图所示的组合体的结构特征,有以下几种说法:①由一个长方体挖去一个四棱柱所构成的;②由一个长方体与两个四棱柱组合而成的;③由一个长方体挖去一个四棱台所构成的;④由一个长方体与两个四棱台组合而成的.其中说法正确的序号是.解析:如图,该组合体可由一个长方体挖去一个四棱柱所构成,也可以由一个长方体与两个四棱柱组合而成.故说法①②正确.答案:①②7.已知三棱锥的侧棱长和底面边长均相等,试用三个这样的三棱锥组合成一个三棱柱,并画出来.解:所求三棱柱如图所示.三棱柱ABC-A1B1C1是由三棱锥A-A1B1C1,三棱锥A-BB1C,三棱锥A-CB1C1组合成的.★8.已知一个圆锥的底面半径为r,高为h,在此圆锥内有一个内接正方体,这个内接正方体的顶点在圆锥的底面和侧面上,求此正方体的棱长.解:作出圆锥的一个过顶点的纵截面如图所示.其中AB,AC为母线,BC为底面直径,DG,EF是正方体的棱,DE,GF是正方体的上、下底面的对角线.设正方体的棱长为x,则DG=EF=x,DE=GF,得△ABC∽△ADE,所以x故此正方体的棱长1.2.1 中心投影与平行投影1.2.2 空间几何体的三视图课时过关·能力提升一、基础巩固1.下列视图不属于三视图的是( )A.正视图B.侧视图C.后视图D.俯视图答案:C2.如果一个空间几何体的正视图与侧视图均为全等的等腰三角形,俯视图为一个圆及其圆心,那么这个几何体是( )A.棱锥B.棱柱C.圆锥D.圆柱答案:C3.下列命题正确的是( )A.矩形的平行投影一定是矩形B.梯形的平行投影一定是梯形C.两条相交直线的投影可能平行D.一条线段中点的平行投影仍是这条线段投影的中点解析:因为当平面图形与投影线平行时,所得投影是线段,故A,B错.又因为点的平行投影仍是点,所以相交直线的投影不可能平行,故C错.由排除法可知,选项D正确.答案:D4.在下列几何体各自的三视图中,有且仅有两个视图相同的是( )A.①②B.①③C.①④D.②④解析:①正方体,三个视图均相同;②圆锥,正视图和侧视图相同;③三棱台,三个视图各不相同;④四棱锥,正视图和侧视图相同.答案:D5.若一个几何体的三视图如图所示,则该几何体是( )A.棱柱B.棱台C.圆柱D.圆台答案:D6.若一个几何体的正视图为一个三角形,则这个几何体可能是下列几何体中的. (填入所有可能的几何体前的编号)①三棱锥;②四棱锥;③三棱柱;④四棱柱;⑤圆锥;⑥圆柱.答案:①②③⑤7.若某几何体的三视图如图所示,则该几何体是由(简单几何体)与组成的.答案:长方体四棱台8.若线段AB平行于投影面,O是线段AB上一点,解析:由题意知AB∥A'B',OO'∥AA',OO'∥BB',则答案:9.画出如图所示的几何体的三视图.解:该几何体的三视图如图所示.10.如图是一个几何体的三视图,想象该几何体的结构特征,画出该几何体的形状.解:由于俯视图中有一个圆和一个四边形,则该几何体是由旋转体和多面体拼接成的组合体;结合侧视图和正视图,可知该几何体的上面是一个圆柱,下面是一个长方体.该几何体的形状如图所示.二、能力提升1.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是BB1,BC的中点,则图中阴影部分在平面ADD1A1上的投影为( )解析:阴影部分是△MND及其内部,点D在平面ADD1A1上的投影是其本身;点M,N在平面ADD1A1上的投影分别是AA1和DA的中点,故选项A正确.答案:A2.将一个长方体沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥,得到的几何体的正视图与俯视图如图所示,则该几何体的侧视图为( )解析:由题意知该长方体沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥,如右图所示.易知其侧视图为B项中图.故选B.答案:B3.某几何体的正视图和侧视图均如图所示,则该几何体的俯视图不可能是( )解析:若为D选项,则正视图为:故俯视图不可能是D选项中所示的图形.答案:D4.如图,该几何体的正视图和侧视图可能正确的是( )答案:A5.如图为长方体积木堆成的几何体的三视图,该几何体一共由块长方体积木堆成.解析:由俯视图知最下一层为3块,由正视图、侧视图知第二层有1块,所以该几何体一共由4块积木堆成. 答案:4★6.已知一个几何体的三视图如图所示,其中正视图和侧视图是腰长为4的两个全等的等腰直角三角形,则用个这样的几何体可以拼成一个棱长为4的正方体.解析:该几何体是四棱锥,其底面是边长为4的正方形,高AA1等于4,即为如图①所示的四棱锥A-A1B1C1D1.图①图②如图②,三个相同的四棱锥A-A1B1C1D1,A-BB1C1C,A-DD1C1C可以拼成一个棱长为4的正方体.答案:37.某几何体的三视图如图所示,说出该几何体的结构特征,并画出该几何体.解:从题中的三视图可以看出,该几何体的上半部分是六棱柱,下半部分是圆柱.这个几何体如图所示.★8.把边长为1的正方形ABCD沿对角线BD折起形成的三棱锥C-ABD的正视图与俯视图如图所示,求侧视图的面积.解:形成的三棱锥C-ABD如图①所示,根据正视图和俯视图可知,其侧视图为等腰直角三角形,如图②所示. 故所求侧视图的面积1.2.3 空间几何体的直观图课时过关·能力提升一、基础巩固1.关于斜二测画法,下列说法不正确的是( )A.原图形中平行于x轴的线段,在直观图中与其对应的线段平行于x'轴,且长度不变B.原图形中平行于y轴的线段,在直观图中与其对应的线段平行于y'轴,长度为原来C.画与平面直角坐标系xOy对应的坐标系x'O'y'时,∠x'O'y'必须是45°D.在画直观图时,由于坐标轴选取位置的不同,所得的直观图可能不同解析:画与平面直角坐标系对应的坐标系x'O'y'时,∠x'O'y'可以是45°也可以为135°.答案:C2.已知AB=2CD,AB∥x轴,CD∥y轴.若在直观图中,A'B'与AB对应,C'D'与CD对应,则( )A.A'B'=2C'D'B.A'B'=C'D'C.A'B'=4C'D'D.A'B'解析:∵AB∥x轴,CD∥y轴,∴AB=A'B',CD=2C'D',∴A'B'=AB=2CD=2(2C'D')=4C'D'.答案:C3.已知两个圆锥的底面相同且重合在一起,其中一个圆锥的顶点到底面的距离为2 cm,另一个圆锥的顶点到底面的距离为3 cm,则在直观图中这两个顶点之间的距离为( )A.2 cmB.3 cmC.2.5 cmD.5 cm解析:因为这两个顶点的连线与子轴平行或重合,现在距离为5 cm,而在直观图中根据平行于z轴的线段长度不变,仍为5 cm.答案:D4.水平放置的△ABC的直观图如图所示,若B'O'=C'O'=1,A'O'△ABC是一个( )A.等边三角形B.直角三角形C.三边中只有两边相等的等腰三角形D.三边互不相等的三角形解析:由题图知,在△ABC中,AO⊥BC.∵A'O'△ABC为等边三角形.故选A.答案:A5.如图为一个平面图形的直观图,则此平面图形可能是下面选项中的( )答案:C6.如图,△A'O'B'是△AOB用斜二测画法画出的直观图,则△AOB的面积是.解析:由题图可知在△AOB中,底边OB=4.因为底边OB上的高为8,所以面积S答案:167.如图,平行四边形O'P'Q'R'是四边形OPQR的直观图,若O'P'=3,O'R'=1,则原四边形OPQR的周长为.解析:由四边形OPQR的直观图可知该四边形是矩形,且OP=3,OR=2,所以四边形OPQR的周长为2×(3+2)=10.答案:108.如图,水平放置的△ABC的斜二测直观图是图中的△A'B'C',已知A'C'=6,B'C'=4,则AB边的实际长度是.解析:由斜二测画法,可知△ABC是直角三角形,且∠BCA=90°,AC=6,BC=4×2=8,则AB答案:109.如图,画出水平放置的等腰梯形ABCD的直观图.画法:(1)如图①,在已知等腰梯形中以底边AB所在直线为x轴、线段AB的中垂线为y轴建立平面直角坐标系.如图②,画x'轴和y'轴,使∠x'O'y'=45°.(2)设DC与y轴的交点为E,在x'轴上取A'B'=AB,且使O'为A'B'的中点,在y'轴上取O'E'E'作x'轴的平行线l,在l上取点D',C',使得E'C'=EC,D'E'=DE.如图③.(3)连接A'D',B'C',擦去辅助线,得到等腰梯形ABCD的直观图,如图④.10.已知一个棱柱的底面是边长为3 cm的正方形,各侧面都是矩形,且侧棱长为4 cm,试用斜二测画法画出此棱柱的直观图.解:(1)画轴.画出x轴、y轴、z轴,三轴相交于点O,使∠xOy=45°,∠xOz=90°.(2)画底面.以点O为中点,在x轴上画MN=3 cm,在y轴上画PQ cm,分别过点M,N作y轴的平行线,过点P,Q作x轴的平行线,设它们的交点分别为A,B,C,D,则四边形ABCD就是该棱柱的一个底面.(3)画侧棱.过点A,B,C,D分别作z轴的平行线,并在这些平行线上分别截取4 cm长的线段AA',BB',CC',DD',如图①所示.(4)成图.连接A'B',B'C',C'D',D'A',并加以整理(去掉辅助线,将被遮挡的部分改为虚线),就得到该棱柱的直观图,如图②所示.图①图②二、能力提升1. 如图,已知等腰三角形ABC,则下面的四个图形可能是△ABC的直观图的是( )A.①②B.②③C.②④D.③④解析:若以BC所在直线为x轴,则当∠x'O'y'=45°时,直观图为④;当∠x'O'y'=135°时,直观图为③,故选D.答案:D2.如图,矩形O'A'B'C'是水平放置的一个平面图形的直观图.若O'A'=6,O'C'=2,则原图形是( )A.正方形B.矩形C.菱形D.梯形解析:由题图可知C'D'=O'C'=2,O'D'=由直观图可得原图形OABC为平行四边形,如图所示.∵CD=2,OD=∴OC=6,∴OA=OC=6.∴四边形OABC为菱形.答案:C3.已知一个建筑物的上部为四棱锥,下部为长方体,且四棱锥的底面与长方体的上底面尺寸一样.已知长方体的长、宽、高分别为20 m,5 m,10 m,四棱锥的高为8 m.若按1∶500的比例画出它的直观图,则在直观图中,长方体的长、宽、高和四棱锥的高应分别为( )A.4 cm,1 cm,2 cm,1.6 cmB.4 cm,0.5 cm,2 cm,0.8 cmC.4 cm,0.5 cm,2 cm,1.6 cmD.2 cm,0.5 cm,1 cm,0.8 cm解析:由比例尺可知长方体的长、宽、高和四棱锥的高分别为4 cm,1 cm,2 cm和1.6 cm,再结合斜二测画法,可知直观图的相应尺寸应分别为4 cm,0.5 cm,2 cm,1.6 cm.答案:C4.用斜二测法画水平放置的△ABC的直观图,得到如图所示的等腰直角三角形A'B'C'.已知点O'是斜边B'C'的中点,且A'O'=1,则△ABC中BC边上的高为( )A.1B.2C解析:∵直观图是等腰直角三角形A'B'C',∠B'A'C'=90°,A'O'=1,∴∠A'C'B'=45°,A'C'A'C'∥y'轴.根据直观图中平行于y轴的线段的长度变为原来的一半,得△ABC中BC边上的高为AC=2A'C'=答案:D★5.如图,已知用斜二测画法画出的△ABC的直观图△A'B'C'是边长为a的等边三角形,则△ABC的面积为.答案:6.如图,四边形OABC是上底长为2,下底长为6,底角为45°的等腰梯形.用斜二测画法画出这个梯形的直观图O'A'B'C',则在直观图中,梯形的高为。

河北省邢台市第二中学人教A版数学必修二课时练：第一

第一章章末综合检测一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．下列说法中正确的是( ) A ．棱柱的侧面可以是三角形 B ．正方体和长方体都是特殊的四棱柱 C ．所有的几何体的表面都能展成平面图形 D ．棱柱的各条棱都相等2．正方体的表面积与其外接球的表面积的比为( ) A ．3∶π B ．2∶π C ．1∶2π D ．1∶3π3．过球的一条半径的中点作垂直于该半径的平面，则所得截面圆的面积与球的表面积的比值为( ) A.316 B ．916 C.38 D ．9324．如图，在长方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，棱锥A 1ABCD 的体积与长方体AC 1的体积的比值为( )A.12 B ．16 C.13 D ．155．如图是一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图，如果直角三角形的直角边长均为1，那么这个几何体的体积为( )A ．1B ．12 C.13 D ．166．某几何体的三视图如图所示，则它的体积是( )A ．8－2π3 B ．8－π3C ．8－2πD ．2π37．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A ．2π＋12B ．π＋12C ．2π＋24D ．π＋248．如图甲所示，一只装了水的密封瓶子，其内部可以看成是由底面半径为1 cm 和半径为3 cm 的两个圆柱组成的简单几何体．当这个几何体如图乙水平放置时，液面高度为20 cm ，当这个几何体如图丙水平放置时，液面高度为28 cm ，则这个简单几何体的总高度为( )A ．29 cmB ．30 cmC ．32 cmD ．48 cm9．已知四棱锥S ABCD 的所有顶点都在同一球面上，底面ABCD 是正方形且和球心O 在同一平面内，当此四棱锥体积取得最大值时，其表面积等于4＋43，则球O 的体积等于( ) A.423π B ．823π C.1623π D ．3223π 10．已知正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为( )A.81π4B ．16πC ．9πD ．27π411．(2016·成都质检)已知某几何体的三视图如图所示，该几何体的体积为92，则a ＝( )A.52 B ．3 C.72D ．4 12．一个圆锥形容器和一个圆柱形容器的轴截面如图所示，两容器内所盛液体的体积正好相等，且液面高度h 也相等，则ha等于( )A.12 B ．22 C.32D ．2 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．若一个三棱柱的底面是正三角形，其正视图如图所示，则它的体积为________．14．如图，球O的半径为5，一个内接圆台的两底面半径分别为3和4(球心O在圆台的两底面之间)，则圆台的体积为________．15．某简单组合体的三视图如图所示，其中正视图与侧视图相同(尺寸如图，单位：cm)，则该组合体的体积是________cm3(结果保留π)．16．已知直三棱柱ABCA1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA＝12，则球O的半径为________．1解析：三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)如图所示，设计一个四棱锥形冷水塔塔顶(无底)，四棱锥的底面是正方形，侧面是全等的等腰三角形，已知底面边长为2 m，高为7 m，制造这个塔顶需要多少铁板？18．(本小题满分12分)某工厂为了制造一个实心工件，先画出了这个工件的三视图(如图)，其中正视图与侧视图为两个全等的等腰三角形，俯视图为一个圆(含圆心)，三视图尺寸如图所示(单位：cm)．(1)求出这个工件的体积；(2)工件做好后，要给表面喷漆，已知喷漆费用是每平方厘米1元，现要制作10个这样的工件，请计算喷漆总费用(精确到整数部分)．19．(本小题满分12分) 如图，直三棱柱ABCA1B1C1的六个顶点都在半径为1的半球面上，AB＝AC，侧面BCC1B1是半球底面圆的内接正方形，求侧面ABB1A1的面积．20．(本小题满分12分)在棱长为1的正方体内，有两球相外切，并且又分别与正方体内切．(1)求两球的半径之和；(2)球的半径是多少时，两球的体积之和最小．21．(本小题满分12分)如图所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC ＝2，M是AB的中点，将△ACM沿CM折起，使A，B间的距离为22，求三棱锥ABCM的体积．22. (本小题满分12分)如图，已知圆锥SO中，底面半径r＝1，母线l＝4，M 为母线SA上的一个点，且SM＝x，从点M拉一根绳子，围绕圆锥的侧面转到A 点．求(1)绳子的最短长度的平方f(x)；(2)绳子最短时，顶点到绳子的最短距离．。

2020版人教A版高中数学必修二导练课时作业：1.2.3 空间几何体的直观图 Word版含解析

1.2.3 空间几何体的直观图选题明细表基础巩固1.根据斜二测画法的规则画直观图时,把Ox,Oy,Oz轴画成对应的O′x′,O′y′,O′z′,则∠x′O′y′与∠x′O′z′的度数分别为( D )(A)90°,90°(B)45°,90°(C)135°,90°(D)45°或135°,90°解析:根据斜二测画法的规则,∠x′O′y′的度数应为45°或135°,∠x′O′z′指的是画立体图形时的横轴与竖轴的夹角,所以度数为90°.故选D.2.用斜二测画法画水平放置的圆,得到的图形形状是( B )(A)圆(B)椭圆(C)正方形(D)矩形解析:因为斜二测画法中平行y轴的长度变为原来的,故圆的直观图就是椭圆.3.当梯形两底边平行x轴时,则梯形的直观图是( A )(A)梯形(B)矩形(C)三角形(D)任意四边形解析:梯形的直观图中两底边仍然平行且长度不同,所以还是梯形. 4.如图,用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为一个正方形,则原来图形的形状是( A )解析:由斜二测画法可知,与y′轴平行的线段在原图中为在直观图中的2倍.故可判断A正确.5.已知两个圆锥,底面重合在一起,其中一个圆锥顶点到底面的距离为2 cm,另一个圆锥顶点到底面的距离为3 cm,则其直观图中这两个顶点之间的距离为( D )(A)2 cm (B)3 cm (C)2.5 cm (D)5 cm解析:因为这两个顶点连线与圆锥底面垂直,现在距离为 5 cm,而在直观图中根据平行于z轴的线段长度不变,仍为5 cm.6.如图所示,△A′B′C′表示水平放置的△ABC在斜二测画法下的直观图,A′B′在x′轴上,B′C′与x′轴垂直,且B′C′=3,则△ABC的边AB上的高为.解析:由题意知:过C′作C′H∥y′轴,交x′轴于H,则|C′H|= |C′B′|×=3.由斜二测画法的规则知,CH⊥AB.所以AB边的高CH=2C′H=6.答案:67.如图,矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图,其中O′A′=6,O′C′=3,B′C′∥x′轴,则原平面图形的面积为.解析:在直观图中,设B′C′与y′轴的交点为D′,则易得 O′D′= 3,所以原平面图形为一边长为6,高为6的平行四边形,所以其面积为6×6=36.答案:368.画出水平放置的四边形OBCD(如图所示)的直观图.解:(1)过点C作CE⊥x轴,垂足为E,如图(1)所示,画出对应的x′轴、y′轴,使∠x′O′y′=45°,如图(2)所示.(2)如图(2)所示,在x′轴上取点B′,E′,使得O′B′=OB,O′E′= OE;在y′轴上取一点D′,使得O′D′=OD;过E′作E′C′∥y′轴,使E′C′=EC.(3)连接B′C′,C′D′,并擦去x′轴与y′轴及其他一些辅助线,如图(3)所示,四边形O′B′C′D′就是所求的直观图.能力提升9.用斜二测画法画水平放置的等腰直角△ABC(AB=AC)的直观图时,以底边BC的中点O为原点,OA为y轴的正方向,建立平面直角坐标系,得到相应的直观图△A′B′C′,则点A′( B )(A)在AB或AC上(B)在OA上(C)在△ABC内且不在OA上(D)在△ABC外解析:以底边BC的中点O为原点,OA为y轴的正方向,建立平面直角坐标系,得到水平放置的等腰直角△ABC(AB=AC)的直观图,如图:则点A′在OA上.故选B.10.已知正三角形A B C的边长为a,那么△A B C的平面直观图△A′B′C′的面积为( D )(A)a2 (B)a2(C)a2 (D)a2解析:由题不妨设BC与x轴平行或重合,所以△ABC的平面直观图△A′B′C′的底边长度不变,高变为a××=a,所以△ABC的平面直观图△A′B′C′的面积S=×a×a=a2.故选D.11.如图是一个空间几何体的三视图,试用斜二测画法画出它的直观图.解:根据三视图可以想象出这个几何体是六棱台.(1)画轴.如图①,画x轴、y轴、z轴,使∠xOy=45°,∠xOz=90°.(2)画两底面,由三视图知该几何体为六棱台,用斜二测画法画出底面正六边形ABCDEF,在z轴上截取OO′,使OO′等于三视图中的相应高度,过O′作Ox的平行线 O′x′,Oy的平行线O′y′,利用O′x与O′y′画出底面正六边形A′B′C′D′E′F′.(3)成图.连接A′A,B′B,C′C,D′D,E′E,F′F,整理得到三视图表示的几何体的直观图,如图②.探究创新12.在水平放置的平面α内有一个边长为1的正方形 A′B′C′D′,如图,其中的对角线A′C′在水平位置,已知该正方形是某个四边形用斜二测画法画出的直观图,试画出该四边形的真实图形并求出其面积.解:四边形ABCD的真实图形如图所示,因为A′C′在水平位置,A′B′C′D′为正方形,所以∠D′A′C′=∠A′C′B′=45°,所以在原四边形ABCD中,DA⊥AC,AC⊥BC,因为DA=2D′A′=2,AC=A′C′=, 所以S 四边形ABCD=AC·AD=2.。

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