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∑λj*＞1，则DMU为规模收益递减
2013-11-25
18
CCR模型的计算：
1952年，Charnes通过引入具有非阿基米德无穷小量ε，成功的 解决了计算和技术上的困难，建立了具有非阿基米德无穷小量ε的 CCR模型： m r _ min ( s s ) vd
2013-11-25
8
• 对于每一个决策单元DMUj都有相应的效率评价指数：
u y hj T i v xj
T
u y
r 1 mn r
s
rj
v x
i 1
, j 1,2, , n
i ij
我们总可以适当的取权系数v和u，使得 hj≤1, j=1,…，n
2013-11-25
9
•
对第j0个决策单元进行效率评价，一般说来，hj0越大表 明DUMj0能够用相对较少的输入而取得相对较多的输出。 这样我们如果对DUMj0进行评价，看DUMj0在这n个 DMU中相对来说是不是最优的，我们可以考察当尽可能 的变化权重时， hj0的最大值究竟是多少。
2013-11-25 33
说明文档 执行程序
输入文档
2013-11-25
程序参数设定
输出文档
34
5个DMU 1个产出 2个投入 1年资料
5个DMU 1个产出 1个投入
1个产出 2个投入 2个投入价格 1年资料
2013-11-25
1个产出 1个投入 3年资料
DMU3,DMU5,DMU6,DMU8,DMU10 • (3)非DEA有效的DMU按定理3进行投影计算结果如后
2013-11-25
31
投影分析结果:
2013-11-25
32
四、 DEA软件介绍
1.DEAP-Version 2.1（Win4deap 1.1.2）
http://www.une.edu.au/econometrics/cepa.htm
0 0
定义2 若线性规划（P）的解中存在w*＞0，μ* ＞0， 并且最优值hj *＝1，则称决策单元DMUj 为DEA有效的
0 0
• 定理2 DMUj 为弱DEA有效的充要条件是线性规划 （D）的最优值θ*＝1； DMUj 为DEA有效的充要条件是 线性规划（D）的最优值θ*＝1，并且对于每个最优解λ*， 都有s*＋＝0，s*-＝0
0
2013-11-25
20
三、 DEA应用案例
1.对生产水平的相对有效性分析
--梁敏. 边馥萍.生产水平的相对有效性分析. 数量经济技术经济研究[J]2003.9：91-94
2013-11-25
21
2013-11-25
22
利用含有非阿基米德无穷小ε的CCR模型，对北京地 区建立如下模型：
2013-11-25
i ij
u 0, v 0
2013-11-25 11
• 上述规划模型是一个分式规划，使用Charnes－Cooper变 化，令：
1 t T , w tv, tu v x0
可变成如下的线性规划模型P：
1 由t t wt x0 1 v x0
max h j 0 T yo
入输出之间确实存在某种联系，但不必确定这种关系的显 示表达式
2013-11-25
6
二、 DEA基本原理和模型
定义：
v1 v2 1 2 3 … j 1 x11 x12 x13 … x1j 2 x21 x22 x23 … x2j . . . . . . . . . . . Xij . . . . . . m xm1 xm2 xm3 … xmj y11 y21 . . . ys1 y12 y22 . . . ys2 y13 y23 . . . ys3 … n … x1n … x2n … . … . … . … xmn 1 2 . . . s
23
同样建立其他三个直辖市的模型，求得的解如下：
2013-11-25
24
由定理3可知，对于非DEA有效的DMU，可将其投影 到DEA有效面，即把非DEA有效的DMU变成有效的DMU
以天津为例，为得到同样的总产值和财政收入，输入可减少到：
2013-11-25
25
三、 DEA应用案例
2. 对经济效益的评价
2013-11-25
26
2013-11-25
27
2013-11-25
28
CCR模型的解
2013-11-25
29
CCR模型的解
2013-11-25
30
根据上述的DEA有效性的判别定理,可知:
• (1)达到DEA有效的DMU分别为：
DMU1,DMU2,DMU4,DMU7,DMU9,DMU11
• (2)非DEA有效的DMU分别为：
策单元之间的相对效率，对评价对象做出评价，它能充分
考虑对于决策单元本身最优的投入产出方案，因而能够更 理想地反映评价对象自身的信息和特点；同时对于评价复 杂系统的多投入多产出分析具有独到之处。
2013-11-25
4
DEA方法的特点： 适用于多输出-多输入的有效性综合评价问题，在处理多 输出-多输入的有效性评价方面具有绝对优势 DEA方法并不直接对数据进行综合，因此决策单元的最优
0
19
注：对于a 0及N 0，都有N * a，则即为
非阿基米德无穷小量
CCR模型中变量的经济含义: • λj使各个有效点连接起来,形成有效前沿面;非零的s+、s-使 有效前沿面可以沿水平和垂直方向延伸,形成包络面。
• 在实际运用中,对松弛变量的研究是有意义的,因为它是一 种纯的过剩量(s-)或不足量(s+)，θ则表示DMU离有效前沿 面或包络面的一种径向优化量或“距离”
2.FRONTIER-Version 4.1C
http://www.une.edu.au/econometrics/cepa.htm 3.Efficiency Measurement System - Version 1.3.0 http://www.wiso-uni-dortmund.de/lstg/or/scheel/ems/ 4.LINDO软件
的有效理论是对偶理论，通过建立对偶模型更容易从理论
和经济意义上作深入分析
2013-11-25
13
• 规划P的对偶规划为规划D/：
min s.t . j x j x0
j 1 n
（D/）
j 1
n
j
y j y0
ห้องสมุดไป่ตู้
j 0, j 1,2, n 无约束
2013-11-25
14
• 为了讨论和计算应用方便，进一步引入松弛变量s＋和 剩余变量s－，将上面的不等式约束变为等式约束，可 变成：
min
n j 1
s.t . j x j s x0
（D）
j 1
n
j
y j s y0
j 0, j 1,2, n 无约束，s 0, s 0
n个 决策单元 （DMU）
权系数
vi
vm
m种输入
… y1j … y1n … y2j … y2n . . … . . yrj … . . . … . … ysj … ysn
u1 u2 ur us
权系数
2013-11-25
s种输出 7
各字母定义如下：
• • • • • • •
xij-------- 第j个决策单元对第i种类型输入的投入总量.xij〉0 yrj-------- 第j个决策单元对第r种类型输出的产出总量.yrj〉0 vi -------- 对第i种类型输入的一种度量，权系数 ur -------- 对第r种类型输出的一种度量，权系数 i ----------1,2,…,m r ----------1,2,…,s j ----------1,2,…,n
Decision Making Units） 的输入或者输入不变，借助于数
学规划和统计数据确定相对有效的生产前沿面，将各个决 策单元投影到DEA的生产前沿面上，并通过比较决策单元 偏离DEA前沿面的程度来评价它们的相对有效性。
2013-11-25
3
DEA方法以相对效率概念为基础，以凸分析和线形规 划为工具的一种评价方法，应用数学规划模型计算比较决
将上述规划（D）直接定义为规划（P）的对偶规划
2013-11-25 15
几个定理和定义：
• 定理 1 线性规划（P）和对偶规划（D）均存在可行解， 所以都存在最优值。假设它们的最优值为别为hj *与θ*， 则有hj *＝ θ*
0 0
定义1 若线性规划（P）的最优值hj *＝1，则称决策单元 DMUj 为弱DEA有效
j 1 s.t. n x j j s x0 j 1 n y j j s y0 j 1 j 0 s 0, s 0 j 1
最优解为
2013-11-25
0
s 0 ，s 0 ， ，
0 0
2013-11-25
16
DEA有效性的定义：
我们能够用CCR模型判定是否同时技术有效和规模有效：
• （1）θ*＝1，且s*＋＝0，s*-＝0。则决策单元j0为DEA有 效，决策单元的经济活动同时为技术有效和规模有效
• （2）θ*＝1，但至少某个输入或者输出大于0，则决策单 元j0为弱DEA有效，决策单元的经济活动不是同时为技术 效率最佳和规模最佳 • （3） θ*＜1，决策单元j0不是DEA有效，经济活动既不是 技术效率最佳，也不是规模最佳
效率指标与投入指标值及产出指标值的量纲选取无关，应
用DEA方法建立模型前无须对数据进行无量纲化处理（当 然也可以）
2013-11-25
5
DEA方法的特点： 无须任何权重假设，而以决策单元输入输出的实际数据求 得最优权重，排除了很多主观因素，具有很强的客观性
DEA方法假定每个输入都关联到一个或者多个输出，且输
--侯风华，张在旭，徐青.DEA方法在石油企业经济效益评价中的应用. 系统工程理论方法应用[J]2000.3：252-257
设研究对象为11个油田,将这11个油田简记为DMUj (j=1,2,…,11) 输入指标的选取：投资总额 ；职工总数； 销售成本；固定资产原值 输出指标的选取：原油产量(含天然气)；利税总额； 新增探明储量(含天然气)
2013-11-25
17
DEA有效性的定义：
还可以用CCR模型中的λj判断DMU的规模收益情况：
（1）如果存在λj*（j＝1，2，„，n）使得∑λj*＝1，则 DMU为规模收益不变 （2）如果不存在λj*（j＝1，2，„，n）使得∑λj*＝1，若 ∑λj*＜1，则DMU为规模收益递增
（3）如果不存在λj*（j＝1，2，„，n）使得∑λj*＝1，若
0 0
• 设
定理3
0
设 xi j 0 0 xij 0 S i , y rj 0 yrj 0 S r
其中 S r , S i 0 , 0 是决策单元j0对应的线性规划（D）的 最优解,则( x i j 0 , y rj 0 )为DMUj 对应的(x0,y0)在DEA的相对有效 面上的投影,它是DEA有效的
2013-11-25
10
• 如以第j0个决策单元的效率指数为目标，以所有决策单元 的效率指数为约束，就构造了如下的CCR（C2R）模型：
max h j o
u y
r 1 m r
s
rj o
v x
i 1
i ij o
s.t. r 1 m
u y
r
s
rj
v x
i 1
1, j 1,2, n
（P）
s.t.wT x j T y j 0, j 1,2, n wT x0 1 w 0, 0
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12
•
利用线性规划的最优解来定义决策单元j0的有效性，从 模型可以看出，该决策单元j0的有效性是相对其他所有决 策单元而言的。
•
对于CCR模型可以用规划P表达，而线性规划一个重要
应用DEA方法对经济体 效率的评价
西安交大经济管理学院
2013-11-25
1
1
目
录：
一、 DEA方法简介 二、 DEA基本原理和模型 三、 DEA应用案例
四、 DEA软件介绍
五、 DEA主要应用领域 六、 DEA最新研究进展 七、DEA主要参考文献
2013-11-25
2
一、 DEA方法简介
数据包络分析方法（ DEA，Data Envelopment Analysis ）由Charnes、Coopor和Rhodes于1978年提出， 该方法的原理主要是通过保持决策单元（DMU,
2013-11-25
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CCR模型的计算：
1952年，Charnes通过引入具有非阿基米德无穷小量ε，成功的 解决了计算和技术上的困难，建立了具有非阿基米德无穷小量ε的 CCR模型： m r _ min ( s s ) vd
2013-11-25
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• 对于每一个决策单元DMUj都有相应的效率评价指数：
u y hj T i v xj
T
u y
r 1 mn r
s
rj
v x
i 1
, j 1,2, , n
i ij
我们总可以适当的取权系数v和u，使得 hj≤1, j=1,…，n
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•
对第j0个决策单元进行效率评价，一般说来，hj0越大表 明DUMj0能够用相对较少的输入而取得相对较多的输出。 这样我们如果对DUMj0进行评价，看DUMj0在这n个 DMU中相对来说是不是最优的，我们可以考察当尽可能 的变化权重时， hj0的最大值究竟是多少。
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说明文档 执行程序
输入文档
2013-11-25
程序参数设定
输出文档
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5个DMU 1个产出 2个投入 1年资料
5个DMU 1个产出 1个投入
1个产出 2个投入 2个投入价格 1年资料
2013-11-25
1个产出 1个投入 3年资料
DMU3,DMU5,DMU6,DMU8,DMU10 • (3)非DEA有效的DMU按定理3进行投影计算结果如后
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投影分析结果:
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四、 DEA软件介绍
1.DEAP-Version 2.1（Win4deap 1.1.2）
http://www.une.edu.au/econometrics/cepa.htm
0 0
定义2 若线性规划（P）的解中存在w*＞0，μ* ＞0， 并且最优值hj *＝1，则称决策单元DMUj 为DEA有效的
0 0
• 定理2 DMUj 为弱DEA有效的充要条件是线性规划 （D）的最优值θ*＝1； DMUj 为DEA有效的充要条件是 线性规划（D）的最优值θ*＝1，并且对于每个最优解λ*， 都有s*＋＝0，s*-＝0
0
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三、 DEA应用案例
1.对生产水平的相对有效性分析
--梁敏. 边馥萍.生产水平的相对有效性分析. 数量经济技术经济研究[J]2003.9：91-94
2013-11-25
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2013-11-25
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利用含有非阿基米德无穷小ε的CCR模型，对北京地 区建立如下模型：
2013-11-25
i ij
u 0, v 0
2013-11-25 11
• 上述规划模型是一个分式规划，使用Charnes－Cooper变 化，令：
1 t T , w tv, tu v x0
可变成如下的线性规划模型P：
1 由t t wt x0 1 v x0
max h j 0 T yo
入输出之间确实存在某种联系，但不必确定这种关系的显 示表达式
2013-11-25
6
二、 DEA基本原理和模型
定义：
v1 v2 1 2 3 … j 1 x11 x12 x13 … x1j 2 x21 x22 x23 … x2j . . . . . . . . . . . Xij . . . . . . m xm1 xm2 xm3 … xmj y11 y21 . . . ys1 y12 y22 . . . ys2 y13 y23 . . . ys3 … n … x1n … x2n … . … . … . … xmn 1 2 . . . s
23
同样建立其他三个直辖市的模型，求得的解如下：
2013-11-25
24
由定理3可知，对于非DEA有效的DMU，可将其投影 到DEA有效面，即把非DEA有效的DMU变成有效的DMU
以天津为例，为得到同样的总产值和财政收入，输入可减少到：
2013-11-25
25
三、 DEA应用案例
2. 对经济效益的评价
2013-11-25
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CCR模型的解
2013-11-25
29
CCR模型的解
2013-11-25
30
根据上述的DEA有效性的判别定理,可知:
• (1)达到DEA有效的DMU分别为：
DMU1,DMU2,DMU4,DMU7,DMU9,DMU11
• (2)非DEA有效的DMU分别为：
策单元之间的相对效率，对评价对象做出评价，它能充分
考虑对于决策单元本身最优的投入产出方案，因而能够更 理想地反映评价对象自身的信息和特点；同时对于评价复 杂系统的多投入多产出分析具有独到之处。
2013-11-25
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DEA方法的特点： 适用于多输出-多输入的有效性综合评价问题，在处理多 输出-多输入的有效性评价方面具有绝对优势 DEA方法并不直接对数据进行综合，因此决策单元的最优
0
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注：对于a 0及N 0，都有N * a，则即为
非阿基米德无穷小量
CCR模型中变量的经济含义: • λj使各个有效点连接起来,形成有效前沿面;非零的s+、s-使 有效前沿面可以沿水平和垂直方向延伸,形成包络面。
• 在实际运用中,对松弛变量的研究是有意义的,因为它是一 种纯的过剩量(s-)或不足量(s+)，θ则表示DMU离有效前沿 面或包络面的一种径向优化量或“距离”
2.FRONTIER-Version 4.1C
http://www.une.edu.au/econometrics/cepa.htm 3.Efficiency Measurement System - Version 1.3.0 http://www.wiso-uni-dortmund.de/lstg/or/scheel/ems/ 4.LINDO软件
的有效理论是对偶理论，通过建立对偶模型更容易从理论
和经济意义上作深入分析
2013-11-25
13
• 规划P的对偶规划为规划D/：
min s.t . j x j x0
j 1 n
（D/）
j 1
n
j
y j y0
ห้องสมุดไป่ตู้
j 0, j 1,2, n 无约束
2013-11-25
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• 为了讨论和计算应用方便，进一步引入松弛变量s＋和 剩余变量s－，将上面的不等式约束变为等式约束，可 变成：
min
n j 1
s.t . j x j s x0
（D）
j 1
n
j
y j s y0
j 0, j 1,2, n 无约束，s 0, s 0
n个 决策单元 （DMU）
权系数
vi
vm
m种输入
… y1j … y1n … y2j … y2n . . … . . yrj … . . . … . … ysj … ysn
u1 u2 ur us
权系数
2013-11-25
s种输出 7
各字母定义如下：
• • • • • • •
xij-------- 第j个决策单元对第i种类型输入的投入总量.xij〉0 yrj-------- 第j个决策单元对第r种类型输出的产出总量.yrj〉0 vi -------- 对第i种类型输入的一种度量，权系数 ur -------- 对第r种类型输出的一种度量，权系数 i ----------1,2,…,m r ----------1,2,…,s j ----------1,2,…,n
Decision Making Units） 的输入或者输入不变，借助于数
学规划和统计数据确定相对有效的生产前沿面，将各个决 策单元投影到DEA的生产前沿面上，并通过比较决策单元 偏离DEA前沿面的程度来评价它们的相对有效性。
2013-11-25
3
DEA方法以相对效率概念为基础，以凸分析和线形规 划为工具的一种评价方法，应用数学规划模型计算比较决
将上述规划（D）直接定义为规划（P）的对偶规划
2013-11-25 15
几个定理和定义：
• 定理 1 线性规划（P）和对偶规划（D）均存在可行解， 所以都存在最优值。假设它们的最优值为别为hj *与θ*， 则有hj *＝ θ*
0 0
定义1 若线性规划（P）的最优值hj *＝1，则称决策单元 DMUj 为弱DEA有效
j 1 s.t. n x j j s x0 j 1 n y j j s y0 j 1 j 0 s 0, s 0 j 1
最优解为
2013-11-25
0
s 0 ，s 0 ， ，
0 0
2013-11-25
16
DEA有效性的定义：
我们能够用CCR模型判定是否同时技术有效和规模有效：
• （1）θ*＝1，且s*＋＝0，s*-＝0。则决策单元j0为DEA有 效，决策单元的经济活动同时为技术有效和规模有效
• （2）θ*＝1，但至少某个输入或者输出大于0，则决策单 元j0为弱DEA有效，决策单元的经济活动不是同时为技术 效率最佳和规模最佳 • （3） θ*＜1，决策单元j0不是DEA有效，经济活动既不是 技术效率最佳，也不是规模最佳
效率指标与投入指标值及产出指标值的量纲选取无关，应
用DEA方法建立模型前无须对数据进行无量纲化处理（当 然也可以）
2013-11-25
5
DEA方法的特点： 无须任何权重假设，而以决策单元输入输出的实际数据求 得最优权重，排除了很多主观因素，具有很强的客观性
DEA方法假定每个输入都关联到一个或者多个输出，且输
--侯风华，张在旭，徐青.DEA方法在石油企业经济效益评价中的应用. 系统工程理论方法应用[J]2000.3：252-257
设研究对象为11个油田,将这11个油田简记为DMUj (j=1,2,…,11) 输入指标的选取：投资总额 ；职工总数； 销售成本；固定资产原值 输出指标的选取：原油产量(含天然气)；利税总额； 新增探明储量(含天然气)
2013-11-25
17
DEA有效性的定义：
还可以用CCR模型中的λj判断DMU的规模收益情况：
（1）如果存在λj*（j＝1，2，„，n）使得∑λj*＝1，则 DMU为规模收益不变 （2）如果不存在λj*（j＝1，2，„，n）使得∑λj*＝1，若 ∑λj*＜1，则DMU为规模收益递增
（3）如果不存在λj*（j＝1，2，„，n）使得∑λj*＝1，若
0 0
• 设
定理3
0
设 xi j 0 0 xij 0 S i , y rj 0 yrj 0 S r
其中 S r , S i 0 , 0 是决策单元j0对应的线性规划（D）的 最优解,则( x i j 0 , y rj 0 )为DMUj 对应的(x0,y0)在DEA的相对有效 面上的投影,它是DEA有效的
2013-11-25
10
• 如以第j0个决策单元的效率指数为目标，以所有决策单元 的效率指数为约束，就构造了如下的CCR（C2R）模型：
max h j o
u y
r 1 m r
s
rj o
v x
i 1
i ij o
s.t. r 1 m
u y
r
s
rj
v x
i 1
1, j 1,2, n
（P）
s.t.wT x j T y j 0, j 1,2, n wT x0 1 w 0, 0
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12
•
利用线性规划的最优解来定义决策单元j0的有效性，从 模型可以看出，该决策单元j0的有效性是相对其他所有决 策单元而言的。
•
对于CCR模型可以用规划P表达，而线性规划一个重要
应用DEA方法对经济体 效率的评价
西安交大经济管理学院
2013-11-25
1
1
目
录：
一、 DEA方法简介 二、 DEA基本原理和模型 三、 DEA应用案例
四、 DEA软件介绍
五、 DEA主要应用领域 六、 DEA最新研究进展 七、DEA主要参考文献
2013-11-25
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一、 DEA方法简介
数据包络分析方法（ DEA，Data Envelopment Analysis ）由Charnes、Coopor和Rhodes于1978年提出， 该方法的原理主要是通过保持决策单元（DMU,