四面体性质探索

[文件] sxglija0031.doc

[科目] 数学

[年级] 高中

[章节]

[关键词] 四面体

[标题] 四面体性质探索

[内容]

[主讲教师] 北京四中李建华

[教学课题] 四面体性质探索

[教学目标]

1．通过教学使学生了解和掌握四面体﹑有一个顶点处三条棱相互垂直的四面体和对棱相等的四面体的基本性质，理解长方体、有一个顶点处三条棱相互垂直的四面体和对棱相等四面体的本质联系，并能够对四面体在多面体中的重要地位有所领会；

2．通过教学使学生初步体会到类比﹑转化与整合在认识事物过程中的重要作用，并能够初步理解和掌握转化与整合的思想方法；

3．通过教学培养学生的空间想象能力，提出问题﹑分析问题和解决问题的能力，特别是几何图形的分解与组合能力；

4．通过教学渗透科学理性精神，爱国主义情怀，激发学生学习数学

的兴趣，并逐步提高数学审美能力。

[教学重点] 类比、转化与整合思想方法的展示。

[教学难点] 几何图形之间各种联系的发掘和应用。

[课时安排] 1课时（45分钟）。

[教学模式] 启发式为主，辅以讲授。

[教学工具] 计算机以及常规教学工具。

[教学过程]

一、课题引入

师：从小学到高中，大家最熟悉的多面体大概就是长方体了。

（演示）

然而，从数学角度来看，长方体并不是最简单的多面体。比如，大家知道，如果从面的数目上来说，四面体是最简单的多面体，就象从边的数目上来说，三角形是最简单的多边形一样。

那么，有没有可能将长方体分解为若干个四面体呢？

我们先来回顾在平面几何当中，我们是怎样将任意多边形分解为三角形的。

（演示）

我们再来看看如何将长方体进行分解，请看演示：

在这里，长方体被分解成5个四面体，其中4个是大家已经比较熟悉的有一个顶点处的三条棱相互垂直的四面体，中间的那一个具有对楞相等的性质。

显然，与任意多边形的性质类似，任何多面体都能分解为若干四面体，因此，正象三角形在多边形中的情形一样，最简单的多面体就是四面体，从而，研究多面体也就需要首先研究四面体。之所以如此，是因为人们的认识总是遵循着一条由简单到复杂的路线。

这节课我们来研究四面体的一些基本性质。在研究过程中，希望大家认真体会类比、转化与整合的重要作用。

二、新课

师：我们的研究应该从什么地方入手呢？注意到三角形与四面体所具有的共同的简单性，我们不妨从四面体与三角形的类比开始。

师：三角形有哪些重要的性质呢？

（学生回答：两边之和大于第三边，正、余弦定理、勾股定理等等；教师视情况加上射影定理，即

在对“两边之和大于第三边”进行简单类比之后，立即引导学生考虑射影定理的类比。）师：在四面体中，有类似于三角形射影定理的性质吗？

（学生回答：在上学期，我们实际上已经学习了“四面体的射影定理”，即如果设四面体ABCD的顶点A在平面BCD上的射影为O，△ABC的面积为S1，△ADC的面积为S2，△BCD的面积为S3，△ABD的面积为S4，二面角A-BC-D为θ1-3，二面角A-DC-B为θ2-3，二面角A-BD-C 为θ3-4，二面角C-AB-D为θ1-4，二面角C-AD-B为θ2-4，二面角B-AC-D为θ1-2，则

S1 = S2cosθ1-2 + S3cosθ1-3 + S4cosθ1-4

S2 = S1cosθ1-2 + S3cosθ2-3 + S4cosθ2-4

S3 = S1cosθ1-3 + S2cosθ2-3 + S4cosθ3-4

S4 = S1cosθ1-4 + S2cosθ2-4 + S3cosθ3-4）

师：很好！那么，在四面体中是否还有类似于余弦定理的性质？

（启发学生注意余弦定理的证明，它能否利用三角形的射影定理得到证明？从而在证明分析过程中找到四面体的类似性质，并让学生写出完整的证明：

四面体ABCD同上设，则

S12 = S22 + S32 +S42 - 2S2S3 cosθ2-3 - 2S2S4 cosθ2-4 - 2S3S4 cosθ3-4 S22 = S12 + S32 +S42 - 2S1S3 cosθ1-3 - 2S1S4 cosθ1-4 - 2S3S4 cosθ3-4 S32 = S12 + S22 +S42 - 2S1S2 cosθ1-2 - 2S1S4 cosθ1-4 - 2S2S4 cosθ2-4 S42 = S12 + S22 +S32 - 2S1S2 cosθ1-2 - 2S1S3 cosθ1-3 - 2S2S3 cosθ2-3

特别地，当cosθ1-2 = cosθ1-4 = cosθ2-4 = 0，即二面角C-AB-D、 C-AD-B、B-AC-D均为直二面角（也就是AB、AC、BC两两垂直）时，有

S32 = S12 + S22 +S42，

这恰好可以看成是三角形勾股定理的类比，从而，在某一个顶点处三条棱两两垂直的四面体就是直角三角形的类比四面体。早在一千八百多年以前，我们的先辈就研究过这种四面体，著名的中国古代数学家刘徽在《九章算术注》中称其为鳖nuo。一个顶点处三条棱两两垂直的四面体我们在上个学期已经遇到过，并且曾经证明除三个直角三角形的面外，剩下的面一定是锐角三角形。现在我们又知道，锐角三角形面积的平方等于三个直角三角形的面积的平方和。

四面体上的余弦定理略证：

S32= S3S1cosθ1-3 + S3S2cosθ2-3 + S3S4cosθ3-4

= S1 S3cosθ1-3 + S2 S3cosθ2-3 + S4 S3cosθ3-4

= S1（S1 - S2cosθ1-2 - S4cosθ1-4）+

S2（S2 - S1cosθ1-2 - S4cosθ2-4）+

S4（S4 - S1cosθ1-4 - S2cosθ2-4）

= S12+ S22+S42- 2S1S2cosθ1-2- 2S1S4cosθ1-4- 2S2S4cosθ2-4

其余各式同理可证。非常美妙而和谐的关系！）

师：以上我们通过与三角形进行类比，得到了四面体很好的性质。在研究过程中，我们不仅看到了三角形与四面体非常和谐与统一的优美性质，更体会到类比方法的重要作用，它不仅被用来发现问题，而且还能够提供解决问题的思路和方法。

师：在这节课一开始，我们对长方体进行分解的时候，得到了两种类型的四面体，即直角四面体和对棱相等的四面体。下面我们再来看看后者还有哪些性质。