正四面体性质及其应用

正四面体的性质及其应用

正四面体是四个面都是等边三角形的凸多面体，它是一个很规则的几何体，因此具有一些特有的性质，设正四面体的棱长为a，则

（1）全面积S全= 3 a2；

（2）高h= 6

3 a；

（3）体积V=

2

12

a3；

（4）对棱中点的连线是对棱的公垂线，其长为d= 2

2 a；

（5）相邻两面所成的二面角α=arccos 1 3；

（6）棱与其相交的面所成的角β=a rctan 2 ；

（7）正四面体的内切球和外接球的球心重合，内切球半径r＝

6

12

a，外接球半径R＝ 6

4

a，r︰R=1︰3；

（8）正四面体内任一点到四个面的距离之和为定值（等于正四面体的高）。

将正四面体置于正方体中，结合正方体的性质以上诸性质容易得到证明。考查正四面体的性质多出选择或填空题，熟记以上八条性质对快速求解相关问题有很大帮助，例如：

例1：已知半径为1的球面上有A、B、C三个点，且它们之间的球面距离都为π

3，则球

心O到平面ABC的距离为（）

A 3

2 B

6

3 C

1

2 D

21

7

解析：如右图所示，OA=OB=OC=1

又

3

π

=

=

=

⌒

⌒

⌒

CA

BC

AB，球的半径r=1

∴∠AOB=∠BOC=∠COA=

π

3，则AB=BC=CA=1

所以O-ABC为棱长为1的正四面体，则由正四面体的性质得球心O到平面ABC的距离即其高为

6

3，答案B。

例2：（05年湖南省十所示范校联考）已知棱长为a的正四面体ABCD有内切球O，经

过该棱锥A-BCD的中截面为M，则O到平面M的距离为（）

A a

4 B

6

6

a C 6

12

a D 2

8

a

解析：直接运用正四面体的性质，内切球的半径r=

6

12

a，中截面到底面的距离为高的

一半6

6

a，则O到平面M的距离为 6

6

a－ 6

12

a= 6

12

a，因此选C

例3：（06年陕西卷）将半径为R 心到桌面的距离为。

解析

A 、

B 、

C 、

D ，因为四个球两两相切，则ABCD 是棱长为

2R 的正四面体，A 到面BCD 的距离为2 6

3R ，则上面一个球的球心A 到桌面的距

离为R +2 6 3R =（1+2 6

3

）R 。

例4：（06年山东卷）如图1，在等腰梯形ABCD 中，AB =2DC =2，∠DAB =60○

，E 为

AC 的中点，将△ADE 与△BEC 分别沿ED 、EC 向上折起，使A 、B 重合于点P ，则三棱锥P -DCE 的外接球的体积为（ ）

A 4 3 27π

B 6 2π

C 6 8π D

解析：三棱锥P -

DCE 实质上是棱长为1则其外接球的体积为

V = 43πR 3= 43π( 6 4)3= 6

8π。

例5：（06年湖南卷）棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一球面上，若过该球球心的一个截面如图1A 2

2

B 3

2

C 2

D 且截面圆经过其外接球的球心（正四面体的中心），由 正四面体的对称性可知M 为AB 对棱CD 的中点，M 到AB 的距离即为正四面体对棱公垂线的长

2

2

a ，所以 S △ABC = 1

2×2× 2 ×2＝ 2 。

例6：(07年安徽卷)半径为1的球面上的四点A 、B 、C 、D 是正四面体的顶点，则A 与B 两点间的球面距离为（ ）

A )33arccos(-

B )36arccos(-

C )31arccos(-

D )4

1arccos(- 解析：由题意可知，此球O 为正四面体的外接球，且外接球的半径为1，则正四面体的棱长为2 6 3，根据余弦定理得cos ∠AOB =1+1－(2 6 3)

2

2×1×1=－13,所以∠AOB =arccos(－1

3)，

因此A 与B 两点间的球面距离为l =αR = arccos(－13)×1= arccos(－1

3

)。