正四面体的性质

正四面体的性质：设正四面体的棱长为a，则这个正四面体的
(1)全面积S全
= 2a；
(2)体积
V=3
12
a；
(3)对棱中点连线段的长
d= a；(此线段为对棱的距离，若一个
球与正四面体的6条棱都相切，则此线段就是该球的直径。

)
(4)相邻两面所成的二面角α=
1 arccos
3
(5)对棱互相垂直。

(6)侧棱与底面所成的角为β=
1 arccos
3
(7)外接球半径
R=
4
a；
(8)切球半径
r=
12
a.
(9)正四面体任意一点到四个面的距离之和为定值(等于正四面体的高). 直角四面体的性质
有一个三面角的各个面角都是直角的四面体叫做直角四面体.
如图，在直角四面体AOCB中，∠AOB=∠BOC=∠COA=90°，OA=a,OB=b,OC=c.则
①不含直角的底面ABC是锐角三角形；
②直角顶点O在底面上的射影H是△ABC的垂心；
③体积V= 1
6
a b c；
④底面面积S△ABC
⑤S2△BOC=S△BHC·S△ABC；
A
B
C
D
O
H
⑥S 2
△BOC
+S 2△AOB +S 2△AOC =S 2△ABC
⑦
22
221111
OH a b c
=++; ⑧外接球半径 R=
⑨切球半径 r=AOB BOC AOC ABC
S S S S a b c
∆∆∆∆++-++
正四面体的性质：设正四面体的棱长为a ，则这个正四面体的
(1)全面积 S 全= 2a ； (2)体积 3
； (3)对棱中点连线段的长 d=
a ；(此线段为对棱的距离，若一个球与正四面体的6条棱都相切，则此线段就是该球的直径。

)
(4)相邻两面所成的二面角 α=1
arccos 3
(5)对棱互相垂直。

(6)侧棱与底面所成的角为β=1
arccos 3
(7)外接球半径 R=
4
a ； (8)切球半径 r=
a . (9)正四面体任意一点到四个面的距离之和为定值(等于正四面体的高). 直角四面体的性质
有一个三面角的各个面角都是直角的四面体叫做直角四面体. 如图，在直角四面体AOCB 中，∠AOB=∠BOC=∠COA=90°，OA=a ,OB=b ,OC=c .则
①不含直角的底面ABC 是锐角三角形；
A
O H
②直角顶点O 在底面上的射影H 是△ABC 的垂心；
③体积 V=
1
6
a b c ；
④底面面积S △ABC
⑤S 2
△BOC =S △BHC ·S △ABC ； ⑥S 2
△BOC +S 2△AOB +S 2△AOC =S 2△ABC
⑦
22
221111OH a b c
=++;
⑧外接球半径 R=
⑨切球半径 r=AOB BOC AOC ABC
S S S S a b c
∆∆∆∆++-++
正四面体的性质：设正四面体的棱长为a ，则这个正四面体的
(1)全面积 S 全= 2a ；
(2)体积 3
；
(3)对棱中点连线段的长 d=
2
a ；(此线段为对棱的距离，若一个球与正四面体的6条棱都相切，则此线段就是该球的直径。

)
(4)相邻两面所成的二面角 α=1
arccos 3
(5)对棱互相垂直。

(6)侧棱与底面所成的角为β=1
arccos 3
(7)外接球半径 R=
a ；
(8)切球半径 r=
a . (9)正四面体任意一点到四个面的距离之和为定值(等于正四面体的高). 直角四面体的性质
有一个三面角的各个面角都是直角的四面体叫做直角四面体. 如图，在直角四面体AOCB 中，∠AOB=∠BOC=∠COA=90°，OA=a ,OB=b ,OC=c .则
①不含直角的底面ABC 是锐角三角形；
②直角顶点O 在底面上的射影H 是△ABC 的垂心；
③体积 V=
1
6
a b c ； ④底面面积S △ABC
⑤S 2
△BOC =S △BHC ·S △ABC ； ⑥S 2
△BOC +S 2△AOB +S 2△AOC =S 2△ABC
⑦
2222
1111OH a b c =++; ⑧外接球半径
R=
⑨切球半径 r=AOB BOC AOC ABC
S S S S a b c
∆∆∆∆++-++
正四面体的性质：设正四面体的棱长为a ，则这个正四面体的
(1)全面积 S 全
= 2a ； (2)体积
V=
3
12
a ； (3)对棱中点连线段的长
d=
2
a ；(此线段为对棱的距离，若一个球与正四面体的6条棱都相切，则此线段就是该球的直径。

)
(4)相邻两面所成的二面角 α=1
arccos 3
(5)对棱互相垂直。

(6)侧棱与底面所成的角为β=1
arccos 3
(7)外接球半径
R=
a ； A
B
C
D
O H
(8)切球半径
r=
a . (9)正四面体任意一点到四个面的距离之和为定值(等于正四面体的高). 直角四面体的性质
有一个三面角的各个面角都是直角的四面体叫做直角四面体. 如图，在直角四面体AOCB 中，∠AOB=∠BOC=∠COA=90°，OA=a ,OB=b ,OC=c .则
①不含直角的底面ABC 是锐角三角形；
②直角顶点O 在底面上的射影H 是△ABC 的垂心；
③体积 V=
1
6
a b c ； ④底面面积S △ABC
⑤S 2
△BOC =S △BHC ·S △ABC ； ⑥S 2
△BOC +S 2△AOB +S 2△AOC =S 2△ABC
⑦
2222
1111OH a b c =++; ⑧外接球半径
R=
⑨切球半径 r=AOB BOC AOC ABC
S S S S a b c
∆∆∆∆++-++
正四面体的性质：设正四面体的棱长为a ，则这个正四面体的
(1)全面积 S 全
= 2a ； (2)体积
3
； (3)对棱中点连线段的长
d=
2
a ；(此线段为对棱的距离，若一个球与正四面体的6条棱都相切，则此线段就是该球的直径。

)
A
B
C
D
O H
(4)相邻两面所成的二面角 α=1
arccos 3
(5)对棱互相垂直。

(6)侧棱与底面所成的角为β=1
arccos 3
(7)外接球半径
R=
4
a ； (8)切球半径
r=
a . (9)正四面体任意一点到四个面的距离之和为定值(等于正四面体的高). 直角四面体的性质
有一个三面角的各个面角都是直角的四面体叫做直角四面体. 如图，在直角四面体AOCB 中，∠AOB=∠BOC=∠COA=90°，OA=a ,OB=b ,OC=c .则
①不含直角的底面ABC 是锐角三角形；
②直角顶点O 在底面上的射影H 是△ABC 的垂心；
③体积 V=
1
6
a b c ； ④底面面积S △ABC
⑤S 2
△BOC =S △BHC ·S △ABC ； ⑥S 2△BOC
+S 2△AOB +S 2△AOC =S 2△ABC
⑦
2222
1111
OH a b c =++; ⑧外接球半径
R=
⑨切球半径 r=AOB BOC AOC ABC
S S S S a b c
∆∆∆∆++-++
A
B
C
D
O H。