正四面体性质及其应用

正四面体性质及其应用 Document number：NOCG-YUNOO-BUYTT-UU986-1986UT

正四面体的性质及其应用

正四面体是四个面都是等边三角形的凸多面体，它是一个很规则的几何体，因此具有一些特有的性质，设正四面体的棱长为a ，则 （1） 全面积S 全= 3 a 2； （2） 高h = 6

3a ；

（3） 体积V = 2

12 a 3；

（4） 对棱中点的连线是对棱的公垂线，其长为d = 2

2a

（5） 相邻两面所成的二面角α=arccos 1

3； （6） 棱与其相交的面所成的角 β=arctan 2 ；

（7） 正四面体的内切球和外接球的球心重合，内切球半径 r ＝ 6

12a ，外接球半径R

＝ 6

4a ，r ︰R =1︰3； （8） 正四面体内任一点到四个面的距离之和为定值（等于正四面体的高）。

将正四面体置于正方体中，结合正方体的性质以上诸性质容易得到证明。考查正四面体的性质多出选择或填空题，熟记以上八条性质对快速求解相关问题有很大帮助，例如：

例1：已知半径为1的球面上有A 、B 、C 三个点，且它们之间的球面距离都为π

3

，则球心O 到平面ABC 的距离为（ ） A 3 2 B 6 3 C 12 D 21 7

解析：如右图所示，OA=OB=OC =1 又3

π

=

==⌒

⌒

⌒

CA BC AB ，球的半径r =1

∴∠AOB=∠BOC=∠COA =π

3，则AB=BC=CA =1

所以O -ABC 为棱长为1的正四面体，则由正四面体的性质得球心O 到平面ABC

的距离即其高为 6

3，答案B 。

例2：（05年湖南省十所示范校联考）已知棱长为a 的正四面体ABCD 有内切球O ，经过该棱锥A -BCD 的中截面为M ，则O 到平面M 的距离为（ ） A a 4 B 6 6a C 6 12a D 2 8a

解析：直接运用正四面体的性质，内切球的半径r = 6

12a ，中截面到底面的距离为高的一半 6 6a ，则O 到平面M 的距离为 6 6a － 6 12a = 6

12a ，因此选C 。

例3：（06年陕西卷）将半径为R

球的球心到桌面的距离为 。

解析A 、B 、C 、D ，因为四个球两两相切，则

ABCD 2R 的正四面体，A 到面BCD 的距离为

2 6

3

R ，则上面一个球的球心A 到桌面的距离为R +2 6 3R =（1+2 6

3）R 。

例4：（06年山东卷）如图1，在等腰梯形ABCD 中，AB =2DC =2，∠DAB =60

○

，E 为AC 的中点，将△ADE 与△BEC 分别沿重合于点

P ，则三棱锥P -DCE 的外接球的体积为（ ）A 4 3 27π B 6 2π C 6 8π D 解析：三棱锥P -DCE 实质上是棱长为1的正四面体， 则其外接球的体积为 V = 43πR 3= 43π( 6 4)3= 6 8π。

例5：（06年湖南卷）棱长为2球球心的一个截面如图1

A 2 2

B 3 2

C 2

D 3

解析：由截面图形可知，正四面体恰好有两个顶点在球面上， 且截面圆经过其外接球的球心（正四面体的中心），由 正四面体的对称性可知M 为AB 对棱CD 的中点，M 到AB 的距离即为正四面体对棱公垂线的长 2

2a ，所以

S △ABC = 1

2×2× 2 ×2＝ 2 。

例6：(07年安徽卷)半径为1的球面上的四点A 、B 、C 、D 是正四面体的顶点，则A 与B 两点间的球面距离为（ ）

A )3

3

arccos(-

B )36arccos(-

C )31arccos(-

D )4

1arccos(- 解析：由题意可知，此球O 为正四面体的外接球，且外接球的半径为1，则正四面体的棱长为2 6 3，根据余弦定理得cos ∠AOB =1+1－(2 6

3)2

2×1×1=－1

3,所以∠

AOB =arccos(－13)，因此A 与B 两点间的球面距离为l =αR = arccos(－1

3)×1= arccos(－13)。