三棱锥的几个重要性质
正三棱锥的所有结论
正三棱锥的所有结论
正三棱锥作为一种特殊的几何体，具有许多独特的性质和结论。在数
学研究中，正三棱锥所具有的各种性质不仅可以被运用到实际问题中，还可以帮助我们更好地理解几何学中的相关概念。本文将深入探讨正三棱锥的所有结论，并对其进行详细的分析和解释。
首先，我们需要了解什么是正三棱锥。正三棱锥是一种具有底面为三
角形、侧面为三个等腰三角形的几何体。正三棱锥的6个顶点分布在四个不同的平面中，分别为三角形的三个顶点和三个底面中的三个中点。正三棱锥的底面和侧面可以相互垂直，也可以存在一定的夹角。
正三棱锥的所有结论可以分为几个方面进行讨论。首先是关于正三棱
锥的表面积和体积的结论。正三棱锥的表面积可以通过计算底面三角形的周长和高度的乘积再加上三个等腰三角形的面积的和来求得。而正三棱锥的体积则可以通过底面三角形的面积和高度的乘积再除以3来得到。通过这些结论，我们可以更好地理解正三棱锥的空间占据情况，从而有助于我们在实际问题中的运用。
其次，正三棱锥的结论还包括了与正三棱锥内角和外角的关系。正三
棱锥的侧面为三个等腰三角形，因此正三棱锥的内角和为180度。而正三棱锥底面的内角和也为180度。因此，正三棱锥的所有内角和为540度。另外，正三棱锥的外角和则为360度。这些结论为我们对正三棱锥的角度特性提供
了更清晰的认识。
此外，正三棱锥还具有许多其他的性质和结论。例如，正三棱锥是一个正体，即底面的中点到顶点的距离等于底面边长的一半。又如，正三棱锥的高度可以通过侧面三角形的高度来确定。这些结论都有助于我们更好地理解正三棱锥的特点和性质。
三棱锥的几个重要性质,!资料讲解
三棱锥的几个重要性
质,!
直角三棱锥的几个性质
有一类特殊的三棱锥，它的经过同一顶点的三条棱两两垂直，我们不妨把这种三棱锥称作直角三棱锥，从结构上看，它是平面的直角三角形在空间的扩展。循着直角三角形的一些重要性质对直角三棱锥进行探究，我们能得到直角三棱锥的有趣的相应性质。
我们已经学习过的直角三角形的性质有： 性质1：Rt Δ的垂心就是直角顶点。 性质2：Rt Δ的两个锐角互余。
性质3：Rt Δ两直角边的平方和等于斜边的平方。
性质4：Rt Δ中，斜边上的高是两条直角边在斜边上的射影比例中项；每条直角边是它在斜边上的射影和斜边的比例中项；由此，Rt Δ两条直角边的平方比等于它们在斜边上的射影比。
性质5：Rt Δ两直角边的乘积，等于斜边与斜边上高的乘积。 性质6：Rt Δ斜边上的中线等于斜边的一半。
(所以Rt Δ的外接圆半径R ＝
21c ＝2122b a +)。
性质7：Rt Δ的内切圆半径r ＝
2
2b a b a ab
+++＝
2
1
(a ＋b －c)。
现在我们来探究一下直角三棱锥的性质。如图所示，在三棱锥P-ABC 中，三条侧棱PA 、PB 、PC 两两垂直，设PA ＝a ，PB ＝b ，PC ＝c 。
∵PA 、PB 、PC 两两垂直， ∴PA ⊥面PBC ，PB ⊥面PCA ，PC ⊥面PAB ， ∴面PAB 、面PBC 、面PCA 两两垂直。作PH ⊥面ABC 于H ，连CH 并延长并交AB 于D ，连PD ，则PH ⊥AB ，PH ⊥CD ，面PCD ⊥面ABC ；而PC ⊥面PAB ⇒PC ⊥AB ，所以AB ⊥面PCD ，∴AB ⊥PD ，AB ⊥CH 。同理，AH ⊥BC ，BH ⊥CA 。
三棱锥的性质
三棱锥的性质
三棱锥是一种几何体，由一个底面和三条斜面组成。本文将探讨三棱锥的各种性质和特点。
一、基本定义和构造
三棱锥是一种具有三个侧面和一个底面的多面体。它的底面是一个三角形，而侧面是三个以底面三个顶点为顶点的三角形。
二、顶点、棱和面的关系
1. 顶点：三棱锥有四个顶点，其中三个顶点位于底面的三个角上，第四个顶点是所有棱的共同顶点，位于顶面上。
2. 棱：三棱锥有六条棱，其中三条棱是底面的边，另外三条棱是从顶点向底面的三个顶点连线。
3. 面：三棱锥有四个面，其中三个面是侧面，一个面是底面。
三、特殊类型的三棱锥
除了一般的三棱锥外，还有一些特殊类型的三棱锥，包括：
1. 直三棱锥：如果三个侧面都与底面的边垂直相交，那么这个三棱锥就是直三棱锥。
2. 正三棱锥：如果底面是等边三角形，并且侧面都是等边三角形，那么这个三棱锥就是正三棱锥。
3. 直交三棱锥：如果底面是一个直角三角形，并且侧面都与底面的边垂直相交，那么这个三棱锥就是直交三棱锥。
四、1. 顶点角和底角之和：三棱锥的所有顶点角的和等于360度，底面的角之和也等于360度。
2. 侧面和侧边：侧面是由底面的边和顶点连接而成的三角形。侧边是从顶点到底面的边。
3. 面积和体积：三棱锥的侧面积等于底面积的三倍加上底面周长乘以棱长的一半。体积等于底面积乘以高度的三分之一。
4. 对称性：三棱锥具有一些对称性质，包括轴对称、面对称和中心对称。
五、应用和扩展
三棱锥作为一种几何体，在实际生活和科学研究中有广泛的应用，例如建筑物的设计、物体的体积计算等。此外，三棱锥的性质也可以扩展到其他多面体的研究中。
立体几何之三棱锥知识要点
立体几何之三棱锥知识要点
三棱锥是一个具有四个面的多面体，其中三个面是三角形，而第四个
面是一个底面，底面是一个任意形状的多边形。
三棱锥的重要特点和性质如下：
1.三棱锥的顶点：三棱锥有一个顶点，它是三个侧面的顶点的共同顶点。
2.三棱锥的侧棱：三棱锥有三条侧棱，它们连接顶点和底面上的顶点。
3.三棱锥的高：三棱锥的高是从顶点垂直地延伸到底面的最短距离。
4.三棱锥的底面积：三棱锥的底面积是底面上所围成的面积。
5.三棱锥的侧面积：三棱锥的侧面积是三个侧面所围成的总面积。
6.三棱锥的表面积：三棱锥的表面积是底面积和侧面积的总和。
7.三棱锥的体积：三棱锥的体积可以通过以下公式计算：V=(1/3)*底
面积*高。
8.三棱锥的角度性质：三棱锥有三个顶点的角，它们是顶点和底面上
的两个相邻顶点围成的角。
9.正三棱锥：如果三棱锥的三个侧面都是等边三角形，并且顶点和底
面上的顶点间的连线垂直于底面，那么这个三棱锥是正三棱锥。
10.斜三棱锥：如果三棱锥不是正三棱锥，则被称为斜三棱锥。斜三
棱锥没有任何特殊的角度性质。
11.直三棱锥：如果三棱锥的顶点和底面上的顶点通过一根直线相连接，则这个三棱锥是直三棱锥。
12.斜高：斜三棱锥的高与形状有关，不能通过简单的垂直延伸来获得。
13.圆锥：当底面是一个圆形时，三棱锥被称为圆锥。
14.锥截面：如果一个平面截过三棱锥，截面的形状取决于平面的方向。
15.等面积：如果三棱锥的两个三角形侧面有相等的面积，那么三棱锥的两个侧面角也是相等的。
三棱锥的这些重要特点和性质对我们理解和解决与三棱锥相关的问题非常有帮助。通过理解和应用这些知识，我们可以计算三棱锥的体积、表面积，以及解决各种与三棱锥相关的几何问题。
三棱锥性质
三棱锥性质
一、三棱锥的定义
三棱锥是几何中的一种三面体，由三条相交的棱组成。这三条棱的每两条之间的角称之为角度，其中有两个是相等的，称为直角锥；三个角度都不相等，称为钝角锥。另外，用垂足原理可以推出三棱锥与其底面形成的平行四边形的角相等。
二、计算三棱锥的面积与体积
1. 三棱锥的表面积：在三角形的表面积公式的基础上，把三角形的三个面的面积相加，则为三棱锥的表面积。
2. 三棱锥的体积：可以用以下的公式：体积=1/3*底面的面积*高，其中底面的面积是三角形的最小面积。
三、三棱锥的性质
1. 平面角定理：在三棱锥中，先从某一条棱上考虑，画出邻近的两条棱并相交，这时所形成的三个角都处在平面中，所以可得出三角形有两个角相等的结论。
2. 坐标定理：如果我们把一个三棱锥的三条棱的坐标放在坐标系上，那么这个三棱锥的三个顶点坐标都满足坐标定理，即这三个顶点的x、y、z坐标之和都应该等于0。
3. 体积定理：三棱锥可以用底面面积和高来计算体积，得出的结果是：三棱锥的体积是1/3底面面积乘以高。
4. 垂足定理：三棱锥与它的底面之间形成了一个平行四边形，其角度相等，也就是说，三棱锥的底面和它三个棱顶点之间的连接线所形成的平行四边形的角度是相等的。
四、三棱锥的广泛应用
1. 工业应用：三棱锥的形状很容易制作，因此在许多机械设计中用到了三棱锥的原理，比如制作滑动支撑；
2. 尖尖状的安全帽常常使用三棱锥的形状进行设计，以更好地保护头部；
3. 建筑结构：像大型立面，重要市政设施结构等，往往需要三棱锥结构来支撑其稳定性；
4. 弹性材料制作：往往需要三棱锥的支架作为原材料，制成各种弹性元件。
正三棱锥常用结论
正三棱锥常用结论
正三棱锥是一种几何图形，由一个正四面体加上一个在底面上的等边三角形组成。它拥有许多有用的结论和性质，可用于各种数学和工程应用。
1.体积公式：正三棱锥的体积可以用以下公式来计算：
V = (1/3) × S × h
其中，V表示体积，S表示底面积，h表示高度。这与其他锥体的体积公式相同。
2.表面积公式：正三棱锥的表面积可以用以下公式来计算：
A = S + (1/2) × P × l
其中，A表示表面积，S表示底面积，P表示底面周长，l表示侧面高度。
3.底角和侧面角：正三棱锥的底角是一个等边三角形的角，为60度。每个侧面角是一个等边三角形的角，也为60度。
4.高和侧面高：正三棱锥的高等于边长的根号2倍，即：
h = l ×根号2
每个侧面高为边长的根号3倍，即：
sl = l ×根号3
5.对角线长度：正三棱锥的对角线长度为边长的根号6倍，即：
d = l ×根号6
6.体对角线长度：正三棱锥的体对角线长度为边长的根号3倍，即：
D = l ×根号3
7.容积比：如果将正四面体的一个侧面上的点向上移动，直到它
与正三棱锥的顶点连接，就得到了一个叫做正四面锥的几何形体。正
三棱锥是正四面锥的一个截锥体。正四面锥和正三棱锥的体积比为 4 ：3。
8.对称性：正三棱锥是一个具有轴对称性的图形，对称轴为通过
正三棱锥中心并与底面垂直的直线。因此，每个侧面和每个向顶点的
三角形都可以分成两个对称部分。该图形还具有对顶点的旋转对称性，每当将正三棱锥绕通过其顶点和底面中心的轴旋转120度时，得到的
形状是相同的。
这些结论和公式可用于在各种数学和工程问题中计算正三棱锥的
有一类特殊的三棱锥【精选】
有一类特殊的三棱锥，它的经过同一顶点的三条棱两两垂直，我们不妨把这种三棱锥
称作直角三棱锥，从结构上看，它是平面的直角三角形在空间的扩展。循着直角三角形的
一些重要性质对直角三棱锥进行探究，我们能得到直角三棱锥的有趣的相应性质。
我们已经学习过的直角三角形的性质有：性质1：RtΔ的垂心就是直角顶点。
性质2：RtΔ的两个锐角互余。性质3：RtΔ两直角边的平方和等于斜边的平方。
性质4：RtΔ中，斜边上的高是两条直角边在斜边上的射影比例中项；每条直角边是它在斜边上的射影和斜边的比例中项；由此，RtΔ两条直角边的平方比等于它们在斜边上
的射影比。
性质5：RtΔ两直角边的乘积，等于斜边与斜边上高的乘积。
性质6：RtΔ斜边上的中线等于斜边的一半。
(所以RtΔ的外接圆半径R ＝
c ＝)。
性质7：RtΔ的内切圆半径r ＝＝
(a ＋b －c)。
现在我们来探究一下直角三棱锥的性质。如图所
示，在三棱锥P-ABC 中，三条侧棱PA 、PB 、PC 两两
垂直，设PA ＝a ，PB ＝b ，PC ＝c 。
∵PA、PB 、PC 两两垂直， ∴PA⊥面PBC ，PB⊥面PCA ，PC⊥面PAB ， ∴面PAB 、面PBC 、面PCA 两
两垂直。作PH⊥面ABC 于H ，连CH 并延长并交AB 于D ，连PD ，则PH⊥AB，PH⊥CD，面PCD⊥面ABC ；而PC⊥面PAB
PC⊥AB，所以AB⊥面
PCD ，∴AB⊥PD，AB⊥CH。同理，AH⊥BC，BH⊥CA。
由AB⊥面PCD 知CD⊥AB，而PD⊥AB 且∠APB＝90°，∴∠ABC、∠CAB 为锐角。同理，∠BCA 也是锐角，从而有：
直角三棱锥的几个性质
直角三棱锥的几个性质
有一类特殊的三棱锥，它的经过同一顶点的三条棱两两垂直，我们不妨把这种三棱锥称作直角三棱锥，从结构上看，它是平面的直角三角形在空间的扩展。循着直角三角形的一些重要性质对直角三棱锥进行探究，我们能得到直角三棱锥的有趣的相应性质。
我们已经学习过的直角三角形的性质有：
性质1：RtΔ的垂心就是直角顶点。
性质2：RtΔ的两个锐角互余。
性质3：RtΔ两直角边的平方和等于斜边的平方。
性质4：RtΔ中，斜边上的高是两条直角边在斜边上的射影比例中项；每条直角边是它在斜边上的射影和斜边的比例中项；由此，RtΔ两条直角边的平方比等于它们在斜边上的射影比。
性质5：RtΔ两直角边的乘积，等于斜边与斜边上高的乘积。
性质6：RtΔ斜边上的中线等于斜边的一半。
(所以RtΔ的外接圆半径R＝c＝)。
性质7：RtΔ的内切圆半径r＝＝(a＋b－c)。
现在我们来探究一下直角三棱锥的性质。如图所示，在三棱锥P-ABC中，三条侧棱PA、PB、PC 两两垂直，设PA＝a，PB＝b，PC＝c。
性质1：直角三棱锥的底面是锐角三角形。
证明：∵PA、PB、PC两两垂直，∴PA⊥面PBC，PB⊥
面PCA，PC⊥面PAB，∴面PAB、面PBC、面PCA两两垂直。
作PH⊥面ABC于H，连CH并延长并交AB于D，连PD，则
PH⊥AB，PH⊥CD，面PCD⊥面ABC；而PC⊥面PAB PC⊥AB，
所以AB⊥面PCD，∴AB⊥PD，AB⊥CH。同理，AH⊥BC，BH
⊥CA。
由AB⊥面PCD知CD⊥AB，而PD⊥AB且∠APB＝
90°，∴∠ABC、∠CAB为锐角。同理，∠BCA也是锐角，
直角三棱锥的几个性质
直角三棱锥的几个性质
有一类特殊的三棱锥，它的经过同一顶点的三条棱两两垂直，我们不妨把这种三棱锥称作直角三棱锥，从结构上看，它是平面的直角三角形在空间的扩展。循着直角三角形的一些重要性质对直角三棱锥进行探究，我们能得到直角三棱锥的有趣的相应性质。
我们已经学习过的直角三角形的性质有：
性质1：RtΔ的垂心就是直角顶点。
性质2：RtΔ的两个锐角互余。
性质3：RtΔ两直角边的平方和等于斜边的平方。
性质4：RtΔ中，斜边上的高是两条直角边在斜边上的射影比例中项；每条直角边是它在斜边上的射影和斜边的比例中项；由此，RtΔ两条直角边的平方比等于它们在斜边上的射影比。
性质5：RtΔ两直角边的乘积，等于斜边与斜边上高的乘积。
性质6：RtΔ斜边上的中线等于斜边的一半。
(所以RtΔ的外接圆半径R＝c＝)。
性质7：RtΔ的内切圆半径r＝＝(a＋b－c)。
现在我们来探究一下直角三棱锥的性质。如图所示，在三棱锥P-ABC中，三条侧棱PA、PB、PC 两两垂直，设PA＝a，PB＝b，PC＝c。
性质1：直角三棱锥的底面是锐角三角形。
证明：∵PA、PB、PC两两垂直，∴PA⊥面PBC，PB⊥
面PCA，PC⊥面PAB，∴面PAB、面PBC、面PCA两两垂直。
作PH⊥面ABC于H，连CH并延长并交AB于D，连PD，则
PH⊥AB，PH⊥CD，面PCD⊥面ABC；而PC⊥面PAB PC⊥AB，
所以AB⊥面PCD，∴AB⊥PD，AB⊥CH。同理，AH⊥BC，BH
⊥CA。
由AB⊥面PCD知CD⊥AB，而PD⊥AB且∠APB＝
90°，∴∠ABC、∠CAB为锐角。同理，∠BCA也是锐角，
三棱锥重心的性质及证明
三棱锥重心的性质及证明
三棱锥是一个四面体，由一个底面为三角形的平面图形和一个顶点组成。重心是一个三棱锥内部特殊点，其在三棱锥的底面三角形的中线上，到底面三角形的各个顶点的距离相等。
下面，我们来证明三棱锥重心的性质：
证明一：重心到三个顶点的距离相等。
设三棱锥的顶点为A，底面三角形的顶点为B、C、D，重心为G。
首先，由三棱锥的定义可知，重心G在三棱锥的底面三角形BCD的中线上，所以BG=CG，BG//CG。
又因为BG=CG，所以BG=CG=DG。
所以重心G到底面三角形BCD的三个顶点B、C、D的距离相等。
证明二：重心到三个底面中点的距离也相等。
设底面三角形的中点为E、F、H。
根据三角形中位线的性质可知，E、F、H分别是底面三角形BCD的AB 的中点、AC的中点和AD的中点。
所以BE=EC，CF=FA，DG=GD。
又由于重心G在三棱锥的底面三角形BCD的中线BE、CF、DF上，所以BG//BE,CG//CF,DG//DF。
由平行线的性质可知，BGEC和CGFA是平行四边形。
所以BG=EC，CG=FA。
所以重心G到底面三角形BCD的三个中点E、F、H的距离相等。
证明三：重心将底面三角形分成的三个小三角形的面积相等。
设底面三角形的面积为S，重心到底面三角形的三个顶点的距离为d。
由于三棱锥的顶点A位于底面三角形BCD的平面上，所以底面BCD和
三棱锥的侧面ABD和ACD是共面的。
所以，底面BCD和三棱锥的侧面ABD和ACD能够共面，底面BCD和三
棱锥的高AG能够相交。
设底面BCD与三棱锥的高AG相交于点O。
【数学文化】一类特殊三棱锥的性质
一类特殊三棱锥的性质
在立体几何中，有一类特殊的三棱锥——三条侧棱两两垂直的三棱锥，它们具有一些特殊的性质，掌握这些特性，便于在学习过程中更好地理解图形，增强空间想象力，加快解题速度．
如图，三棱锥三条侧棱两两垂直，顶点在底面上的射影为，且，，，，则有
性质1：△为锐角三角形．
证明：∵，
∴，，．
根据锐角三角形三边间的关系，有，，
．
∴△为锐角三角形．
性质2：点为△的垂心．
证明：连结延长交于，连结延长交于，连结延长交于．
∵，，
∴面，∴．
又∵面，
∴，即．
同理，．
∴点为△的垂心．
由性质1，性质2可知点在底面上的射影必在△的内部．
性质3：，
，
；
．
证明：连结、、，由三垂线定理知，，，．
∴，，．△中，，
∴．
同理，
．
由此可得，．
性质4：．
证明：由三棱锥的体积公式
，∴．
而，，，
由，得，
∴．
性质5：若三棱锥三个侧面与底面所成角分别为、、，则
．
证明：由题、、分别为、、，
则，，
．
∴．
三棱锥几何判定定理与特性定理汇总
三棱锥几何判定定理与特性定理汇总
本文档总结了三棱锥几何判定定理与特性定理，旨在帮助读者更好地理解和应用三棱锥的相关概念和性质。
一、判定定理
1. 等底三棱锥判定定理
等底三棱锥是指具有相等底面的三棱锥。以下定理可以帮助我们判断一个几何体是否为等底三棱锥：
- 若一个几何体有四个顶点，其中三个顶点在同一个平面上，并且这三个顶点和第四个顶点都位于同一条直线上，则该几何体为等底三棱锥。
2. 等高三棱锥判定定理
等高三棱锥是指具有等高线的三棱锥。以下定理可以帮助我们判断一个几何体是否为等高三棱锥：
- 若一个几何体有三个顶点在同一平面上，并且这三个顶点和第四个顶点组成的四面体的高都相等，则该几何体为等高三棱锥。
二、特性定理
1. 平面三棱锥特性定理
以下定理说明了平面三棱锥的一些特性：
- 平面三棱锥的底面是一个三角形，顶点不在底面上。
- 平面三棱锥的侧面是三个平面角相等的三角形。
- 平面三棱锥的侧棱是三个边长相等的线段。
2. 正三棱锥特性定理
以下定理说明了正三棱锥的一些特性：
- 正三棱锥的所有侧面都是等边三角形。
- 正三棱锥的底面是一个正三角形，顶点与底面重合。
- 正三棱锥的侧棱是等边线段。
本文档介绍了三棱锥的几何判定定理和特性定理，希望对读者理解和运用三棱锥的概念和性质有所帮助。
直角三棱锥的几特征质[整理版]
![直角三棱锥的几特征质[整理版]](https://img.taocdn.com/s3/m/d033ad352e60ddccda38376baf1ffc4ffe47e228.png)
直角三棱锥的几个性质
有一类特殊的三棱锥，它的经过同一顶点的三条棱两两垂直，我们不妨把这种三棱锥称作直角三棱锥，从结构上看，它是平面的直角三角形在空间的扩展。循着直角三角形的一些重要性质对直角三棱锥进行探究，我们能得到直角三棱锥的有趣的相应性质。
我们已经学习过的直角三角形的性质有：
性质1：RtΔ的垂心就是直角顶点。
性质2：RtΔ的两个锐角互余。
性质3：RtΔ两直角边的平方和等于斜边的平方。
性质4：RtΔ中，斜边上的高是两条直角边在斜边上的射影比例中项；每条直角边是它在斜边上的射影和斜边的比例中项；由此，RtΔ两条直角边的平方比等于它们在斜边上的射影比。
性质5：RtΔ两直角边的乘积，等于斜边与斜边上高的乘积。
性质6：RtΔ斜边上的中线等于斜边的一半。
(所以RtΔ的外接圆半径R＝c＝)。
性质7：RtΔ的内切圆半径r＝＝(a＋b－c)。
现在我们来探究一下直角三棱锥的性质。如图所示，在三棱锥P-ABC中，三条侧棱PA、PB、PC 两两垂直，设PA＝a，PB＝b，PC＝c。
性质1：直角三棱锥的底面是锐角三角形。
证明：∵PA、PB、PC两两垂直，∴PA⊥面PBC，PB⊥
面PCA，PC⊥面PAB，∴面PAB、面PBC、面PCA两两垂直。
作PH⊥面ABC于H，连CH并延长并交AB于D，连PD，则
PH⊥AB，PH⊥CD，面PCD⊥面ABC；而PC⊥面PAB PC⊥AB，
所以AB⊥面PCD，∴AB⊥PD，AB⊥CH。同理，AH⊥BC，BH⊥CA。
由AB⊥面PCD知CD⊥AB，而PD⊥AB且∠APB＝
90°，∴∠ABC、∠CAB为锐角。同理，∠BCA也是锐角，
直角三棱锥的几个性质
直角三棱锥的几个性质
有一类特殊的三棱锥，它的经过同一顶点的三条棱两两垂直，我们不妨把这种三棱锥称作直角三棱锥，从结构上看，它是平面的直角三角形在空间的扩展。循着直角三角形的一些重要性质对直角三棱锥进行探究，我们能得到直角三棱锥的有趣的相应性质。
我们已经学习过的直角三角形的性质有：
性质1：RtΔ的垂心就是直角顶点。
性质2：RtΔ的两个锐角互余。
性质3：RtΔ两直角边的平方和等于斜边的平方。
性质4：RtΔ中，斜边上的高是两条直角边在斜边上的射影比例中项；每条直角边是它在斜边上的射影和斜边的比例中项；由此，RtΔ两条直角边的平方比等于它们在斜边上的射影比。
性质5：RtΔ两直角边的乘积，等于斜边与斜边上高的乘积。
性质6：RtΔ斜边上的中线等于斜边的一半。
(所以RtΔ的外接圆半径R＝c＝)。
性质7：RtΔ的内切圆半径r＝＝(a＋b－c)。
现在我们来探究一下直角三棱锥的性质。如图所示，在三棱锥P-ABC中，三条侧棱PA、PB、PC两两垂直，设PA＝a，PB＝b，PC＝c。
性质1：直角三棱锥的底面是锐角三角形。
证明：∵PA、PB、PC两两垂直，∴PA⊥面PBC，PB⊥
面PCA，PC⊥面PAB，∴面PAB、面PBC、面PCA两两垂直。
作PH⊥面ABC于H，连CH并延长并交AB于D，连PD，则PH
⊥AB，PH⊥CD，面PCD⊥面ABC；而PC⊥面PABPC⊥AB，
所以AB⊥面PCD，∴AB⊥PD，AB⊥CH。同理，AH⊥BC，BH
侧棱两两垂直的三棱锥的有关性质
÷Ａ ・ （ ・ ＝ ・ Ｄ ｓ Ｂ Ｃ＝
追溯数学之美 ： 第二条性质建立 了面积的数量
关系， 我们看到它的公式是非常对称、 非常漂亮 的．
《 数学之友》
２ １ 年第 ４ ００ 期
它也 可 以从 平 面几 何 中 的勾 股定 理 类 比而来． 种 这
就是 该 三 棱 锥 的 外 接 球． 以 它 的 外 接 球 半 径 ｒ 所
Ｃ
Ｓ ＝ ・ Ａ・ △ ｃ ÷ Ｐ 船
Ｃ
１
：
．
ＡＢ ．肋 ，
Ａ
・
． ．
Ｐ ．Ｐ ＝Ａ ．Ｐ，． Ｂ ）
上 ， 船
上Ｐ Ｃ，
ＰＢｎ Ｐｃ ＝Ｐ，
１
ｌ
舢＋ 。 ２ 丢 ・ ｐ ・ ｓ ＋ ＝ （ 船 ＋ ２ Ｂ ｓ △ ｃ Ａ）
＝
｝
１
｝肋 ・ 尸 ・ （ Ｂ ｃ Ａ） Ａ ＋ Ｂ
侧 面两两 垂直 ； ②三 棱 锥 的三 条侧 棱 两 两垂 直 ， 三个 侧 面 面 则 积平 方和 等于底 面的 面积平 方 ；
干 Ｅ． ＦＬＰ Ｄ Ｃ千 Ｆ ． 面 Ｂ上面 Ｐ Ｃ Ｂ ， Ｄ ＥＣ面 Ｐ Ｃ， Ｂ 面 Ｐ Ｂｎ面 Ｐ Ｃ＝Ｐ Ａ Ｂ Ｂ，
ＤＥ Ｌ ＰＢ
⑥三棱锥的三条侧棱两两垂直 ， 三侧面与底面 所 成的二 面角 大小分别 为 ， ｙ， ＣＳ ＋ＣＳ ， 则 Ｏ ０２ ￣＋
数学三棱锥知识点总结归纳
数学三棱锥知识点总结归纳
数学三棱锥知识点总结归纳
一、三棱锥的定义和性质
三棱锥是一种具有三个侧面和一底面的立体图形。它的底面是一个三角形，而侧面是三个连接底面顶点与顶点的三条边。三棱锥的顶点是一个单独的点，不在底面上，同时与底面的三个顶点相连。
1. 三棱锥的底面和侧面
三棱锥的底面是一个三角形，它与侧面共同构成了三棱锥的表面。底面的三个顶点分别记为A、B、C，底面的三条边分别为AB、BC、CA。侧面是三棱锥的三个三角形面，分别以底面的三个顶点为顶点。
2. 三棱锥的高和体积
三棱锥的高是从顶点到底面的垂直距离，记为h。三棱锥的体
积是指三棱锥所包围的空间的容积，记为V。计算三棱锥的体
积的公式为V = 1/3 × 底面积× 高。
二、三棱锥的名称和分类
根据三棱锥的底面形状和侧面形状的不同，三棱锥可以分为不同的类型。
1. 依据底面形状
三棱锥可以根据底面形状的不同而命名。例如，如果底面是一个等边三角形，称为等边三棱锥；如果底面是一个直角三角形，称为直角三棱锥；如果底面是一个锐角三角形，称为锐角三棱锥。
2. 依据侧面形状
三棱锥也可以根据侧面形状的不同而命名。例如，如果侧面是
等边三角形，称为等边三角锥；如果侧面是等腰三角形，称为等腰三角锥；如果侧面是直角三角形，称为直角三角锥。
三、三棱锥的性质和公式
掌握三棱锥的性质和公式是解决与其相关的问题的关键。以下是几个重要的知识点。
1. 角度定理和边长定理
a. 角度定理：三棱锥的底面上的角之和等于360°。
b. 边长定理：三棱锥的底面的三条边之和等于棱锥的所有边
之和。
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直角三棱锥的几个性质 有一类特殊的三棱锥，它的经过同一顶点的三条棱两两垂直，我们不妨把这种三棱锥称作直角三棱锥，从结构上看，它是平面的直角三角形在空间的扩展。循着直角三角形的一些重要性质对直角三棱锥进行探究，我们能得到直角三棱锥的有趣的相应性质。 我们已经学习过的直角三角形的性质有：
性质1：Rt Δ的垂心就是直角顶点。
性质2：Rt Δ的两个锐角互余。
性质3：Rt Δ两直角边的平方和等于斜边的平方。
性质4：Rt Δ中，斜边上的高是两条直角边在斜边上的射影比例中项；每条直角边是它在斜边上的射影和斜边的比例中项；由此，Rt Δ两条直角边的平方比等于它们在斜边上的射影比。
性质5：Rt Δ两直角边的乘积，等于斜边与斜边上高的乘积。
性质6：Rt Δ斜边上的中线等于斜边的一半。
(所以Rt Δ的外接圆半径R ＝21c ＝2122b a +)。 性质7：Rt Δ的内切圆半径r ＝22b a b a ab +++＝2
1(a ＋b －c)。 现在我们来探究一下直角三棱锥的性质。如图所示，在三棱锥P-ABC 中，三条侧棱PA 、PB 、PC 两两垂直，设PA ＝a ，PB ＝b ，PC ＝c 。
∵PA 、PB 、PC 两两垂直， ∴PA ⊥面PBC ，PB ⊥
面PCA ，PC ⊥面PAB ， ∴面PAB 、面PBC 、面PCA 两
两垂直。作PH ⊥面ABC 于H ，连CH 并延长并交AB 于
D ，连PD ，则PH ⊥AB ，PH ⊥CD ，面PCD ⊥面ABC ；而
PC ⊥面PAB ⇒PC ⊥AB ，所以AB ⊥面PCD ，∴AB ⊥PD ，
AB ⊥CH 。同理，AH ⊥BC ，BH ⊥CA 。
由AB ⊥面PCD 知CD ⊥AB ，而PD ⊥AB 且∠APB ＝
90°，∴∠ABC 、∠CAB 为锐角。同理，∠BCA 也是锐
角，从而有：
性质1：直角三棱锥的底面是锐角三角形。
由AB ⊥CH ，AH ⊥BC ，BH ⊥CA 易知，H 是ΔABC 的垂心，由此可得： 性质2：①直角三棱锥顶点在底面的射影是底面三角形的垂心。
在Rt ΔPAB 中，PD ·AB ＝PA ·PB ⇒PD ＝22b a ab
+；在Rt ΔPCD 中，CD 2＝PD 2＋PC 2
＝(22b
a a
b +)2＋
c 2
＝222
22222b a a c c b b a +++；在Rt ΔPCD 中，PH ⊥CD ，∴PD ·PC ＝CD ·PH ⇒PH 2＝222CD PC PD ⋅＝2
2222222222)(b a a c c b b a c b a ab +++⋅+＝222222222a c c b b a c b a ++，∴21PH
＝222222222c b a a c c b b a ++＝21a ＋21b ＋2
1c 。因此有： 性质2：②直角三棱锥顶点到底面的距离为h 满足关系式21h ＝21a ＋21b ＋21c 。
因PH ⊥面ABC ， ∴侧棱PC 与底面ABC 所成角为∠PCH ＝α，则有sin 2∠PCH ＝sin 2α＝22CD PD ＝2222222222
2)(b a a c c b b a b a ab ++++＝22222222a
c c b b a b a ++。 同理,侧棱PB 与底面ABC 所成角为∠PBH ＝β,sin 2∠PBH ＝sin 2β＝2222222
2a
c c b b a a c ++，侧棱PA 与底面ABC 所成角为∠PAH ＝γ，sin 2∠PBH ＝sin 2γ＝2222222
2a
c c b b a a c ++，所以sin 2α＋sin 2β＋sin 2γ＝1。因此，
性质3：①直角三棱锥三条侧棱与底面所成角的正弦值的平方和等于1。三条侧棱与底面所成角，和三个侧面与底面所成角互为余角。
由AB ⊥PD,AB ⊥CD ，∴侧面PAB 与底面ABC 所成角为∠PDC ＝θ,由PC ⊥PD 知θ＋α＝90°,∴sin 2α＝sin 2(90°－θ)＝cos 2θ。类似推理，由sin 2α＋sin 2β＋sin 2γ＝1。易得：sin 2θ＋sin 2δ＋sin 2ϕ＝1。 另外，tan(P-AB-C)＝tan ∠PDC ＝PD PC ＝2
2b a ab
c +＝c 2211b a +，同理，tan(P-BC-A)＝a 2211c b +，tan(P-CA-B)＝b 2211a
c +。所以， 性质3：②直角三棱锥三个侧面与底面所成角的余弦值的平方和等于1。各角的正切值：tan(P-AB-C)＝c 2211b a +，tan(P-BC-A)＝a 2211c b +，tan(P-CA-B)＝b 2
211a c +。 如图，Q 为底面ΔABC 内任一点，作点Q 到面PAB 的距离为RQ ＝d 1，到面PBC 的距离为RT ＝d 2，到面PCA 的距离为RS ＝d 3，容易得到：PQ 2＝RQ 2＋RP 2＝RQ 2＋RT 2＋RS 2＝d 1
2＋d 22＋d 32
性质4：①底面内任一点到顶点距离的平方，等于它到三个侧面距离的平方和。 QP 与棱PA
所成角的余弦
值cos 2α＝
22PQ SP ＝2
2
PQ RT ，QP 与棱PB 所成
角的余弦值
cos 2β＝
22PQ TP ＝22
PQ
RS ，QP 与棱PA 所成角的余弦值cos 2
γ＝22
PQ RQ ， 在PQ 2＝RQ 2＋RT 2＋RS 2两边同时除以PQ 2，得cos 2γ＋cos 2α＋cos 2
β＝1； 性质4：②直角三棱锥底面内任一点与顶点的连线，和三条棱分别构成三个角，其余弦值的平方和为1。