1.1经济数学课件

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经济数学01

1.1 函数
例7 某化工厂生产的化肥，若每袋售价为50元，每月可销售10 000袋；
若每袋售价降5元，每月可增售2 000袋.试求该化肥的线性需求函数.
解
以Q表示需求量，p表示价格，根据线性需求函数公式
可得
Q a bp
解之得
10 12
000 000
a a
50b， 45b
因此可得
a b
30 000， 400
y 1 x2，y cos2 x，y ln x cos x sin x
等都是初等函数.
1.1 函数
1.1.5 常见经济函数
1.需求函数
需求是在一定的时期，在一既定的价格水平下，消费者愿意并且能够购买的商品数量.在某一价格下，消费者愿意购买的某一商品的总数量称为需求量.一种商品的市场需求量Q与该商品的价格p关系密切. 通常，降低商品价格可使需求量增加，提高商品价格将使需求量减少.
不是相同的函数.
1.1 函数
若函数 y f (x) 在它的定义域的不同区间(或不同点)上有不同的表达式，则称这个函数为分段函数.
1，x 0 例如，函数 y sgn x 0，x 0 称为符号函数，它就是一
1，x 0
个分段函数，其定义域D (， )，值域 W 1，0 ，1 ，其
图形如图1-1所示。
周期函数的周期有无穷多个，通常所说的周期指的是最小正周期.周期函数的特征是：在定义域内每个长度为T 的区间上，函数图像有相同的形状.例如，正弦函数y=sinx 为周期函数，周期为2π，且在每个长度为的2π区间上，函数图像有相同的形状.
1.1 函数
1.1.3 反函数
引例
设某种商品的单价为p，销售量为x，则收入y是销售量x的函数，即 y px，

经济数学基础讲义第1章函数

第1章函数1.1 函数概念1.1.1 函数的定义同学们从入小学到高中毕业一直要学习数学，在这一阶段所面对的数学对象的特点是：所讨论的量在研究问题的过程中保持不变．只是从未知到已知．例如解方程或方程组，求得的解都是固定不变的．又如讨论三角形，它的边长也是固定不变的量．这些量叫做常量．常量——只取固定值的量这门课程中讨论的量在研究问题的过程中不是保持不变的．如圆的面积与半径的关系：S =πr 2考虑半径r 可以变化的过程．面积和半径叫做变量．变量——可取不同值的量变域——变量的取值范围我们考虑问题的过程中，不仅是一个变量，可能有几个变量．比如两个变量，要研究的是两个变量之间有什么关系，什么性质．函数就是变量之间确定的对应关系．比如股市中的股指曲线，就是时间与股票指数之间的对应关系．又如银行中的利率表存期六个月一年二年三年五年年利率(%) 5.40 7.47 7.92 8.28 9.00它反映的是存款存期与存款利率之间的对应关系．这几个例子反映的都是两个变量之间的确定的对应关系．函数的定义是：定义1.1 设x , y 是两个变量，x 的变域为D ，如果存在一个对应规则f ，使得对D 内的每一个值x 都有唯一的y 值与x 对应，则这个对应规则f 称为定义在集合D 上的一个函数，并将由对应规则f 所确定的x 与y 之间的对应关系，记为：)(x f y =，称x 为自变量，y 为因变量或函数值，D 为定义域．集合},)({D x x f y y ∈=称为函数的值域．我们要研究的是如何发现和确定变量之间的对应关系．例1 求函数)1ln(1-=x y 的定义域．解：)1ln(1-=x y ，求函数的定义域就是使表达式有意义的．由对数函数的性质得到01>-x ，即．由分式的性质得到0)1ln(≠-x ，即11≠-x ，即．综合起来得出所求函数的定义域为),2()2,1(∞+= D ．例2 设国际航空信件的邮资与重量的关系是⎩⎨⎧≤<-+≤<=20010,)10(3.04100,4)(m m m m F 求)20(,)8(,)3(F F F ．解：⎩⎨⎧≤<-+≤<=20010,)10(3.04100,4)(m m m m F 用3替代，由第一个关系式表示，得到4)3(=F ，同样可以得到4)8(=F ．用20替代，由第二个关系式表示，得到7)20(=F1.1.2 有关函数的几点解释1.函数的表示法如何表示函数关系是需要我们不断研究和发现的．常用的方法有三种：一种是用一个数学公式来表示，叫做解析法；一种是用坐标系中的曲线反映两个变量之间的函数关系，叫做图示法；还有一种方法是用一个表格反映两个变量之间的函数关系，叫做表格法．一般经常使用的就是这三种方法．2.函数的记号在考虑一个问题的过程中，f 表示一个确定的对应关系，在之后考虑这个问题的过程中，f 自始至终表示同样的对应关系．比如53)(2-+=x x x f ，它反映的就是这样一种对应关系：5)(3)()(2-⨯+=f ，等式左端的函数括号中带入一个量，表示要对其进行等式右端的运算．如：15131)1(2-=-⨯+=f ，又如：535)(3)()(242222-+=-⨯+=x x x x x f无论左端带入什么，都对它进行同样的运算.1.1.3 函数的基本性质下面把在中学里大家已经知道的函数的基本属性复习一下，也就是：函数的单调性、奇偶性、有界性、周期性．当一个变量增加时另一个变量也跟着增加，这样的函数就叫做单调增加的函数．从图形上看这条曲线，曲线上的点x 在增加的时候，它所对应的纵坐标y 也在增加，这样的函数是单调增加的．单调减少是相反的，随着x 的增加相对应的y 在减少，这样的函数是单调减少的，正如图形中演示的这样．如果函数当x 在增加的时候，它所对应的y 不是增加，也不是减少，这样的函数就不具有单调性．例1 判断函数f (x )＝x 2当x >0时的单调性．分析：可以利用单调性的定义，证明对任意的x 1 > x 2，有f (x 1)>f (x 2)．解：当x >0时，对任意的x 2 >0，有2221x x >（当x 1 > x 2 >0时，在不等式x 1 > x 2两端同乘以x 1或x 2，显然有2121x x x >，2221x x x >，由不等式的传递性就得到2221x x >．）由定义可知f (x )＝x 2当x >0时是单调增加的．一个函数的图形如果关于y 轴对称，这样的函数就称为偶函数．从图形上来分析，曲线上任一点关于y 轴的对称点也在曲线上面，这条曲线所描绘的函数就是偶函数．从解析式上看，如果有f (－x )＝f (x )，f (x )就叫做偶函数．一个函数的图形如果关于原点对称，这样的函数就称为奇函数．曲线上任一点关于原点的对称点也在曲线上面，这条曲线所描绘的函数就是奇函数．从解析式上看，如果有f (－x )＝－f (x )，f (x )就叫做奇函数．例2 判断下列函数的奇偶性：（1）y ＝x 3－1 （2）y ＝x cos x解：（1）取 x ＝1，－1，f (1)＝0，f (－1)＝－2，显然f (1) ≠－f (－1)，由此可知y ＝x 3－1 不是奇函数．又显然f (1) ≠f (－1)，由此可知y ＝x 3－1 不是偶函数．（2）因为y ＝x 是奇函数， y ＝cos x 是偶函数，而奇函数和偶函数的乘积是奇函数．所以y ＝x sin x 是奇函数如果自变量在定义域中变化时，函数值始终在一个有限的区间内变化，如图形中演示的，无论怎样变化，都有－M ≤ f (x ) ≤ M ，这条曲线所反映的函数就是有界函数．如果存在一个正数T ，对任意的自变量x ，有f (x + T )＝f (x )，这样的函数就叫做周期函数．从图形上反映，这个函数在相隔为T 的任意两点上函数值都是一样的．也可以这样来看，从任意一点出发，以长度T 为间隔划分区间，在每个区间上的函数图形都是可以完全重合的．1.2 几类基本初等函数我们在中学的学习中已经认识了一些函数，这些函数是非常基本的，有这样几类：1. 常数函数：y = c ．这个函数在它的定义域中的取值始终是一个常数，它在直角坐标系中的图形就是一条水平线．2. 幂函数：y = x α，(α∈R )．以x 为底，指数是一个常数．当α = 1时就是y = x ，它的图形是过原点且平分一、三象限的直线；当α=2时就是y = x 2，它的图形是过原点且开口向上的抛物线；当α=3时就是y = x 3，它的图形是过原点的立方曲线．3. 指数函数：y = a x ，( a >0，a ≠1)．底数是常数，指数是变量．例如y = e x ，y = 2 x ，y = () x ．所有指数函数的图形都过(0,1)点，当a >1时，函数单调增加，当a <1时，函数单调减少．4. 对数函数： y = log a x ，( a >0，a ≠1)．以a 为底的x 的对数．例如y = ln x ，y = log 2x ，y =．所有对数函数的图形都过(1,0)点，当a >1时，函数单调增加；当a <1时，函数单调减少．5. 三角函数：正弦函数：y = sin x ．余弦函数：y = cos x ．例1判断下列函数中，哪些不是基本初等函数：（1） y ＝；（2） y ＝()x ；（3） y ＝lg(－x )；（4） y ＝；（5） y ＝2x ；（6） y ＝e 2x ．分析：依据基本初等函数的表达式来判断．解：直接观察可知⑵与⑷中的函数是基本初等函数，而由52521-==x x y ，y ＝e 2x ＝(e 2)x 可知（1）与（6）中的函数是基本初等函数．（3）与（5）中的函数不是基本初等函数1.3 函数的运算函数的运算当然有加、减、乘、除运算，这些就不需要讲了．在这里我们主要将函数的复合运算．所谓复合运算，就是指如果y 是u 的函数，u 是x 的函数，y 通过u 作为中间媒介就成为x 的函数，这就是函数的复合运算．如下面这个例子表示的：u y ln =x u sin =x y sin ln =这里y 是u 的函数，u 是x 的函数，y 通过u 作为中间媒介就成为x 的函数，这就是函数的复合运算．下面把这个复合的步骤以及它们的变域联系起来仔细地介绍一下：y 是u 的函数，这个函数用 f 来表示．u 是x 的函数，这个函数用φ来表示．φ的值域正好落在函数 f 的定义域里，经过u 作为媒介y 就成为x 的函数，这个复合函数的定义域是这样一个（红色）区域，它的值域就缩小成为这样一个（绿色）区域了．这是为什么呢？因为x 在它的定义域内变化时，u 仅在这样一个（黄色）区域取到值，相应的y 的取值范围就缩小成为这样一个（绿色）区域．复合函数的记号就记为y = f (φ(x )) ．这种运算就叫做函数的复合运算．这样我们把函数分一下类：由基本初等函数经过有限次加、减、乘、除或复合而得到的函数称为初等函数．这样的分类把函数分成了初等函数和非初等函数．我们在前面所见到的分段函数就是非初等函数的例子．例1 已知函数y = f (x )的定义域为[0, 1]，求函数y = f (e x )的定义域．分析：要使函数u = e x 的值域包含于函数y = f (x )的定义域中，由这个约束条件重新确定x 的取值范围．解：设u = e x ，它的值域要包含于y = f (x )的定义域中，即0 ≤e x ≤1由此得－∞ ＜x ≤0，由此可知复合函数y = f (e x )的定义域是(－∞, 0]．（附：已知函数ln t 是单调增加的，显然有1ln e ln ln lim 0≤<+→xt t ，由此得－∞ ＜x ≤0 ）例2 将下列初等函数分解为基本初等函数的四则运算或复合运算：（1）2)2sin(e +=x y （2）x y x 2cos ln 2=分析：由定义知初等函数是基本初等函数经有限次的四则运算和复合运算得到的．具体解决的步骤是：先看函数表达式有无四则运算，如有，则对每一个运算项进行分析，看其是否为复合函数，如是，则选择适当的中间变量将其化为基本初等函数．依此步骤反复进行．解：（1），v u sin =，，2+=x w其中y , u , v 分别作为中间变量u , v ,w 的函数都是基本初等函数．而w 是幂函数x 与常数函数2的和．（2）u y x ln 2=，，x v cos = 其中y 是指数函数2x 与对数数函ln u 的乘积．而中间变量u , v 分别作为v , x 的函数都是基本初等函数．1.5 经济分析中常见的函数1.5.1 需求函数与供给函数这一节课的内容是要把学习数学和将来搞经济工作联系起来，我们把经济分析中最最常见的5种函数介绍给大家（这节课只介绍前两个）．同时我们希望通过这一节的学习能够使大家感受到数学工具在经济分析中的应用．首先我们介绍需求函数和供给函数．y = f (ϕ(x ))大家可以想象到一个商品在市场上的需求肯定是与它的价格有关系，价格贵，需求量就少，价格便宜，买的人就多．需求和价格之间是有关系的，它们是不是函数关系呢？我们可以把它简化为一种函数关系．我们先不考虑其它因素，简单地认为价格定了需求量就随之确定，这样需求量就是价格的函数．供给，就是厂方能够为市场提供多少产品，当然它也是和价格有关系的，产品价格高，厂方就增加生产，反之供给量就减少．我们也可以把它简化为一种函数关系．需求量与价格之间的函数就称为需求函数，供给量与价格之间的函数就称为供给函数．现在我们讨论一种最简单的情况，认为需求函数和供给函数都是线性函数（一次函数），在这种关系下通过讨论看可以得到什么性质．)0,0(<>+=b a b ap q d表示需求量，表示价格，表示常数．)0,0(1111><+=b a b p a q s表示需求量，表示价格，表示常数．我们容易理解需求量应随价格的增加而减少，所以0<a ，当然0>b ．而 01<b ，因为当价格为零时，不会有供给量．我们把这两条曲线放在同一个坐标系中，就会发现有这样的关系，两条直线交于一点，这一点的含义是，在价格为时，产品的需求量与供给量是相同的，即供需达到了平衡．这一点称为供需平衡点．价格超过时，供过于求；价格低于时，供不应求．在经济分析中，供需平衡点所对应的价格，称为市场均衡价格；它所对应的需求量或供给量称为市场均衡数量．例1 某种商品的供给函数和需求函数分别为：1025-=p q s ，p q d 5200-=，求该商品的市场均衡价格和市场均衡数量．解：由市场均衡条件：s d q q =，得到：p p 52001025-=-解出：，1650=q1.5.2 成本函数我们再介绍经济分析中常见的三种函数：第一种叫做成本函数，第二种叫做收入函数，第三种叫做利润函数．我们先介绍成本函数．q p O q pO qp O一种产品的成本可以分为两部分：固定成本C 0，比如，生产过程中的设备投资，或使用的工具，不管生产产品与否，这些费用都是要有的，它是不随产量而变化的，这种成本称为固定成本．变动成本C １，比如每一件产品的原材料，这些费用依赖于产品的数量，这种成本称为变动成本．总成本就是固定成本加上变动成本：C = C 0 + C １成本应与产品的产量有关，这种函数表示为C (q ) = c 0 + C １(q )这就是成本函数．其中总成本C (q )是产量q 的函数，c 0与产量无关，变动成本C １(q )也是产量q 的函数．我们在引入平均成本的概念q q C C )(=，总成本除以产量q ，就是产量为q 时的平均成本，用来表示．例1 生产某商品的总成本是q q C 2500)(+=，求生产50件商品时的总成本和平均成本．解：成本q q C 2500)(+= 平均成本25002500)()(+=+==qq q q q C q C 600502500)50(=⨯+=C ，12250500)50(=+=C 1.5.3 收入函数下面我们来讲收入函数．一种产品销售之后就会有销售收入，销售收入应该是价格乘以产量．但价格与产量之间也有一定的关系，这样就得到R = q p (q )其中p (q )是价格与产量之间的函数关系．相应地有平均收入函数qq R R )(= 现在我们来研究一种最简单的情况，把收入看作产量的线性函数（价格不随产量而变化），也就是R = pq ，它的图形就是下面这样图形说明销售数量越多收入越多，这是一条单调增加的直线．还有一个函数就是利润函数，利润函数大家也容易理解，因为在收入中减去成本得到的就是利润．既然成本是产量q 的函数，收入也是q 的函数，那么利润也是q 的函数．即 L (q ) = R (q ) −C (q )qq L L )(= （1） L (q ) > 0 盈利（2） L (q ) < 0 亏损（3） L (q ) = 0 盈亏平衡q O满足L (q ) = 0的q 0称为盈亏平衡点（又称保本点）．在假设成本函数和收入函数都是线性函数的情况下来做一些分析：C = c 0 + c １q ，R = pq它们的图形是两条直线的交点表示收入与成本相等，q 0就是盈亏平衡点．如果两条直线出现了下面这种情况此时两条直线没有交点，也就是没有盈亏平衡点．为了找到盈亏平衡点，我们可以采取两种手段，一种是提高价格；另一种是降低变动成本c 1．这两种手段都可以重新找到盈亏平衡点.从几何上看，增加直线R 的斜率或减小直线C 的斜率都可以使两条直线重新相交．从以上分析可以看出数学工具在经济分析中的作用．例2 某商品的成本函数与收入函数分别为：q C 521+=，q R 8=求该商品的盈亏平衡点．解：q q C 521)(+=，q q R 8)(=，)()(q R q C =q q 8521=+， qOqOq O q O。

经济数学ppt课件

向量与线性变换
总结词
向量是具有大小和方向的量，线性变换是向量空间中的一种变换。
详细描述
向量是具有大小和方向的量，它可以用来表示经济变量，如需求量、供给量等。线性变换是向量空间中的一种变换，它可以用来描述经济变量之间的线性关系，如价格和需求
量之间的比例关系。在经济问题中，线性变换可以用来描述经济增长、消费变化等。
06 案例分析
经济增长模型的数学分析
总结词
经济增长模型是研究一个国家或地区在一定时期内经济增长的规律和影响因素的数学模型。
公式和定理
经济增长模型通常使用微分方程、差分方程等数学工具来描述经济增长的过程，并运用数学定理和公式来求解。
详细描述
经济增长模型通过建立数学方程来描述一个国家或地区经济增长的过程，并分析影响经济增长的各种因素，如劳动力、资本、技术等。
详细描述
市场供需模型通常包括供给曲线和需求曲线，通过分析这些曲线的形状和交点来研究市场均衡和价格形成机制。
公式和定理
市场供需模型通常使用线性方程、不等式等数学工具来描述供给和需求的关系，并运用数学定理和公式来求解市场均衡点。
应用实例
市场供需模型可以用于分析商品或服务的价格波动、预测市场趋势以及制定价格策略等。
特征值与特征向量
总结词
特征值和特征向量是矩阵分析中的重要概念，它们可以用来描述线性变换的性质。
详细描述
特征值和特征向量是矩阵分析中的重要概念，它们可以用来描述线性变换的性质。在经济问题中，特征值和特征向量可以用来描述经济系统的动态性质，如经济增长的稳定性、市场波动的幅度等。通过分析特征值和特征向量的性质，可以对经济系统的未来发展
不定积分与定积分

经济类人大版《微积分》课件 1.1-1.2 集合

注：( x, y)和(y , x)是两个不同的有序元素组.
笛卡尔乘积定义
定义：设有集合A和B，对任意的x A, y B,所有二元有序数组(x, y)构成的集合，称为集合A和B的笛卡尔乘积，记为A B，即 A B {(x, y) | x A, y B}.
例4：设A {1，2}，Bห้องสมุดไป่ตู้ {2，3}，则 A B {(1, 2) ，(1, 3) ，(2 , 2) ，(2 , 3)}.
微积分我们学什么？
❖ 利用极限研究函数的种种表达及其诸多性质
极限的直观定义与计算
❖ 一元函数微分导数与微分的概念与计算
微分学应用
❖ 一元函数积分不定积分
定积分概念与计算
积分学应用
❖ 多元函数
偏导数
重积分的概念与计算
第一章函数
❖ 集合 ❖ 函数概念 ❖ 函数的几种特性 ❖ 反函数 ❖ 复合函数 ❖ 初等函数
性质： 1.集合具有确定性，即对某一个元素是否属于某集合是确定的，是或不是二者必居其一； 2.集合具有互异性和无序性。
通常用大写拉丁字母表示集合，小写字母表示元素； a是集合M的元素，记作a M（读作a属于M）; a不是集合M的元素，记作a M（读作a不属于M）.
集合的表示法
1.列举法：按任意顺序列出集合的所有元素,并用{}括起来。
x
a- δ
a
a+ δ
例：Ｕ(2 ,1 )={ x | |x-2|<1 }={x | 1<x<3 }=( 1, 3)
δ=1
δ=1
x
1
2
3
空心邻域
U (a, ) {x | 0 x a } {x | a x a或a x a } (a , a) (a, a )

经济应用数学课件1-1

以上列举的案例, 虽是来自不同的领域, 而且具有不同的表示形式, 有表格、图形、公式，但它们的共性是: 都反映了在同一过程中有着两个相互依赖的变量, 当其中一个量在某数集内取值时, 按一定的规则, 另一个量有唯一确定的值与之对应. 变量之间的这种数量关系就是函数关系.
一.函数的概念
x y 定义1.1 设和是两个变量, D是一个给定的非空数集.
(ⅵ)余割函数
形式: ycsxcs1inx.
定义域: xnπ, n0,1,2,.
值域: y(,).
今后要用到的三角公式
si2nxco2xs1; 1ta2nxse2cx; 1co2xtcs2cx;
偶函数的图形
关于 y轴对称.
(1,1) 1
(1,1)
o1 x
(2)函数的设函数 f (x)在区间 I上有定义，若对于 I中的
单调性任意两点 x 1 和 x 2 ,当 x1 x2 f(x1)f(x2), 则称f (x)在 I上单调增加.
y
单调增函数的图形
y f(x)
f (x1) f (x2)
定义域: x( , ).
含义: 自变量取任意值，函数值都为常数C .
x 图像: 过点(0, C) ,是一条平行于轴的直线.
y
C
yC
o
x
(2)幂函数
形式: y x ( 为实数).
定义域、图像及性质依不同而不同.
y
y x
y x2
y x
(1,1)
y 1 x
o1
x
(3)指数函数
分析
由于乘车里程不超过3 km、超过3 km而不超过 15km及超过15 km的收费标准不同,乘客乘车的费

经济数学课件完整版

0.2.6
fprintf语句
fprintf 为输出命令 , 其格式为 :fprintf('text
format',val),
其中,text为需要输出的文本内容,val 为需要输
出的变量值,format是对变量值val的显示格式说
明.说明val的值为整数时用%d;说明val的值为以
科学记数法显示时用%e;说明val的值以浮点数
1.0 学习任务1 等额本金还款法还房贷
等额本金还款法是在还款期内把贷款总额按还款期数(贷款分几次还清就是几期)均分,每期偿
还同等数额的本金和剩余贷款在该期所产生的利息.
若贷款总额为b,银行月利率(年利率的1/12)为r,每月一期,总还款期数为n,第k期的还款额记为
f(k),请完成如下任务:
的定义域是各部分的自变量取值集合的并集.求分段函数
的函数值f(x0)时,要根据x0所在的范围选用相应的解析式,
其图形要在同一坐标系中分段作出.
1.1 函数及其性质
显示时用%f,如果该语句的输出完成后需要换行
的话用\n说明.
0.2 数学软件MATLAB的基本用法
0.2.7
平面图形
在MATLB系统中,用plot(x,y)绘制平面曲线y=f(x)的图形,
其中x是自变量的取值范围;y是对应于自变量x函数值.
自变量x的取值常用如下两种形式给出:
(1)x = a∶d∶b,表示自变量x从a开始,以d为间距,在闭区
Out[3]=1.74755
(*这里的1.74755是系统给出的运算结果*)
更一般地,用N [exp,n]得到表达式具有n位有效数字的数值结果.
0.1 数学软件Mathematica的基本用法

经济数学1.1.1函数的概念

说明: 若 f (x) 在 x = 0 有定义 , 则当
f (x) 为奇函数时, 必有 f (0) 0.
奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称
函数的特性
(3) 有界性
存在exist
x I , M 0, 使 f (x) M , 称 f (x) 在 I 上有界.
如果这样的正数 M不存在，则称 f (x)在 I 上无界.
第一部分微积分研究对象——函数研究工具——极限
初等数学——常量高等数学——变量
1.1.1 函数的概念
1、变量与常量
我们把某一变化过程中可取不同值的量称为变量通常用字母 x, y, z,t 等表示变量．
在某一变化过程中保持不变的量称为常量（或常数）
通常用字母 a,b,c 等表示常量.
例1 金属圆柱的周长 l 和半径 r 的关系为 l 2 r, 当圆柱受热膨胀时，半径 r 发生变化，周长 l 也随之变化，
1.99 1
• -1
•
-2
0.8 1 3.5 4
分段函数
例7 在统计学上饮食消费占日常支出的比例称为恩格尔系数，它反映了一个国家的富裕程度，也是国际通用的一项重要指标.
y
富裕程度
绝对富裕比较富裕小康水平
温饱
。。。。
贫困 O
20 40 50 60
x(%)
100
分段函数
说明
分段函数是微积分中常见的一种函数. 需要注意的是，分段函数是由几个关系式合起来表示一个函数，
4、函数的表示法
函数的表示方法通常有：解析法、图象法、列表法
有些函数在定义域的不同范围内, 不是用一个式子来表示, 而是用两个或两个以上的式子合起来表示, 这样的函数称为分段函数.

第一章函数《经济数学》PPT课件

5)三角函数：正割函数y=secx,定义域为x≠kπ+π/2(k为整数),值域(-¥,-
1],[1,+¥),secx=1/cosx,所以y=secx是无界的且T=2π的周期函数,因为sec(x)=secx,所以该函数为偶函数.
余割函数 y=cscx,定义域为x≠kπ(k为整数),值域(-¥,-1],[1,+¥),cscx=1/sinx, 所以y=cscx是无界的且T=2π的周期函数,因为csc(-x)=-cscx,所以该函数为奇函数.
1. 1. 3 集合与集合的关系
2)相等关系：设有集合A、B,若A⊆B且B⊆A,则称集合A与B相等, 记作A=B.
1. 1. 4 集合的运算
1)集合的并：设有集合A、B,由A与B的所有元素构成的集合称为A与B的并,记为A∪B,即A∪B= {x| x∈A 或x∈B}
1. 1. 4 集合的运算
1.2
函数概述
1)几个实例：在很多实际问题中,一个量的大小会依赖于另一个量.例如,消费者对牛肉的需求量依赖于市场上的牛肉的价格;市场上某种饮料的供应量依赖于气温的变化;一瓶葡萄酒的价格依赖于它的年份;等等.
1. 2. 1 函数的概念
2)函数的定义：在以上各实际问题中,撇开各个变量的实际意义,可以发现它们的共同点
2)描述法：把属于某个集合的元素所具有的某种共同属性描述出来写在大括号内.通常表示为:A={x|x具有的共同属性}.
1. 1. 3 集合与集合的关系
1)包含关系：设有集合A、B,如果集合A的每一个元素都是集合B 的元素,即“若a∈A,有a∈B”,则称集合A是集合B的子集,记为 A⊆B或 B⊇A,读作A包含于B或B包含A.如果A是B的子集,并且B中至少有一个元素不属于A,则称A是B的真子集,记为A⊂B或B⊃A,集合与集合的包含关系可用图形(文氏图)来表示(如图1-1 所示). 一般规定空集是任何集合A的子集,即Φ⊂A;子集有以下性质:若 A⊂B,B⊂C,则A⊂C.

经济数学1.1

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函数的四大特性
1.有界性（范围性）
设函数 f ( x) 在某区间 I 上有定义，若存在正数 M ，
使得对任意 x I , 都有 f ( x) M ，则称 f ( x) 在 I 上有界.
有界无界
2.单调性（升降性）
设函数 f ( x) 在某区间 I 上有定义，对于区间 I 内
任意两点 x 1， x 2，当 x1 x2 时，有 f ( x1 ) f ( x2 ) ，
例3 某电话资费规定通话收费标准为：当月所打电话不超过500分钟时，只收包月费30 元；超过500分钟，每分钟加0.1元．则电话费 y ，和当月所打电话分钟数 x 的关系可用下面的形式给出：
y(1)=y(0)=y(30)=y(500)=30 x 500 30, y y(600)=40,y(540)=34 30 0.1( x 500), x 500
2 例2 已知 f ( x) 3x x 2, 求 f (), f (4), f (a), f (m n).
解：∵
确定的对应规律为：
f
3 2
2
∴
f () 32 2,
f (4) 3 42 4 2 42
f (m n) 3 (m n)2 (m n) 2
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5.三角函数
正弦函数 y sin x 的定义域为 (, ) ，值域 [ 1, 1] ，奇函数，以 2 为周期，有界.
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余弦函数 y cos x 的定义域为 (, ) 值域为[1,1] ，偶函数，以 2 为周期，有界.
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正切函数 y tan x 的定义域为
1.1 函数概念及初等函数

大一经济数学基础微积分A1-1

5.同一个函数不会因自变量,因变量字符的改变而发生改变.
y 1 cos2 x
u sin2 v
二、函数的表示法:列举法、描述法、列表法、图象法. 三、分段函数
问题：是否所有的函数都可用一个数学式子表示呢？
有的函数在其定义域的不同范围内,要用两个或两个以上的数学式子来表示,这一类函数叫作分段函数.
| a | | b | a b , a b | a | | b |
即 a b | a | | b | a b . 因此| | a | | b || a b .
4. 常用的实数集----区间和邻域区间
设a, b都是实数, 且a<b,有下面形式的区间
对应法则不同
f ( x ) | x | 2 g ( x ) x
形式上不同的函数可能表示同一个函数.
f ( x) x 2 g ( x ) x 值域不同
x R
Zf R Z g [0, )
由于有些函数的对应法则虽然形式上不同，但却表示同一个函数,所以在判断过程中经常把两个函数的定义域及值域是否相同作为一种判断方法.
在判断两个函数是否相同时，判断其是否具有相同的定义域及对应法则.
f ( x) 1 例： x g( x ) x
x ( , ) x ( , 0) (0, )
定义域不同
f ( x ) 1 x ( , ) g( x ) 2 x ( , )
闭区间
[a , b] { x a x b}, (a , b] { x a x b},
a
•
• b •
b
半开半闭区间

必修一经济生活第一课1.1揭开货币的神秘面纱(共40张PPT)

货币执行流通手段职能时，不能用观念上的货币。只能用现实的货币
注意：
“流通手段”是货币的一种基本职能，强调货币在商品交换中的作用；“商品流通”是商品交换的一种形式，强调商品如何交换
商品生产者只有把商品卖出去，并且卖出好价钱，才能生存和发展。如果商品卖不出去，就意味着他白白付出了劳动，他所需要的商品也买不回来。要使自己的商品能够卖出去，并卖出好价钱，商品生产者要为购买者着想，生产适销对路、质量上乘的商品。
1元纸币= 1 元货币购买力
纸币的发行量是2000亿元
1元纸币=0.5 元货币购买力
纸币贬值物价持续上涨购买力降低
4、纸币的发行量
纸币货币
纸币发行量超过流通中所需要的货币量
纸币发行量小于流通中所需要的货币量
总供给小于总需求
总供给大于总需求
纸币贬值，物价持续上涨
商品积压，物价持续下跌
商品价格总额货币流通速度
代售商品数量X商品价格水平货币流通速度
某国去年商品价格总额为20万亿元，流通中所需要的货币
量4万亿元。假如货币流通速度不变，今年商品价格总额
30万亿元，不考虑其他因素，理论上今年流通中所需的货
币量为( )
A．5万亿元
B. 6万亿元
C. 7.5万亿元 D.10万亿元
假设一定时期内商品可供量不变流通中实际需要的货币量是1000亿元纸币的发行量是1000亿元
第一单元生活与消费
第一课神奇的货币第一框揭开货币的神秘面纱
货币是用来干什么的？ — —购买商品（和服务）
1.上面这些商品我们怎样才能得到？ 2. 这些商品是凭空冒出来的吗？
一、商品
1、商品的含义

《经济数学》教学课件第一章函数

（四）函数的有界性
设函数 f (x) 在区间 (a ，b) 内有定义．若存在一个正数 M ，使得对于区间 (a ，b) 内的一切 x 值，恒有 | f (x) | M ，则称函数 f (x) 在区间 (a ，b) 内是有界函数，否则称函数 f (x) 为无界函数．
1.4 函数的性质
例 3 判断函数 f (x) ln(x x2 1) 的奇偶性．
(
x)=
4
1
x2
x 2 的定义域．
解要使函数有意义，则有
4 x2 0 x2 0 成立，所以函数 f (x) 的定义域为 x (2 ，2) (2 ， ) ．
1.3 函数的表示法
常用的函数表示方法有三种：解析法、表格法和图形法．
解析法：也称公式法，是指将自变量和因变量之间的关系用数学式子来表示的方法．这些数学式子称为解析表达式．根据解析表达式表示方法的不同，相应的函数可分为显函数、隐函数和分段函数．
轴为渐近线，如图 1-2 所示
图 1-2
基本初等函数
（3）指数函数 y ax (a 0且a 1) 的定义域是 ( ， ) ．由于无论 x 取何值，总有 ax 0 且 a0 1 ，所以它的图形全部在 x 轴上方，通过点 (0 ，1) ，即值域是 (0， ) ．
当 a 1 时，函数单调增加且无界，曲线以 x 轴负半轴为渐近线．当 0 a 1 时，函数单调减少且无界，曲线以 x 轴正半轴为渐近线，如图 1-3 所示．
定义 1-1 设 x 和 y 是两个变量， D 是给定的数集，如果对于每个 x D ，变量 y 按照某个对应法则 f 总有一个唯一确定的数值与之对应，则称 y 是 x 的函数，记作 y f (x) ．
这里，x 称为自变量，y 称为因变量或 x 的函数，数集 D 称为函数的定义域．当 x 取值 x0 时，与 x0 对应的 y 的数值称为函数在点 x0 处的函数值，记作 f (x0 ) 或 y xx0 ．当 x 取遍 D 的各个数值时，对应函数值的集合 Z {y | y f (x)，x D} 称为函数的值域．

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1.1 函数的概念
函数的定义
定义1 设x，y是同一变化过程中的两个变量，若当x取其变化范围内任一值时，按照某种对应规则，总能唯一确定变量y的一个值与之对应，则称y是x的函数，记作
y＝f（x）
x 叫做自变量，y 叫做因变量．X 的取值范围叫做函数的定义域，与x 的值对应的y的值的集合叫做函数的值域．
1.1 函数的概念
例1
互换字母x，y得所求反函数为
1.1.4 函数的性质
1. 函数的奇偶性
定义２设函数y＝f(x)的定义域D关于原点对称，即x∈D<=>-x∈D
若f(-x)＝f(x)，x∈D，则称f（x）为偶函数；若f(-x)＝-f(x)，x∈D，则称f（x）为奇函数．
3. 贴现债券或其他票据的持有人，为了在票据到期以前获得资金，从票面金额中扣除未到期期间的利息后，得到所余金额的现金，这就是贴现．假设未来n年复利年利率r不变，n年后到期价值R的票据现值为P，则由复利计算公式（1.2）可得
例如，复利年利率为５％，５年后到期价值是1000元的票据的现值为
1.3.2 需求函数与供给函数
1.1 函数的概念
例1.5 判断下列函数的奇偶性．
解（１）因为即所以
f (x) (x)4 (x)2 8 x4 x2 8 f (x) f (x) f (x)
是偶函数。
所以，
即所以
1.1 函数的概念
2. 函数的周期性
定义3 给定函数y＝f（x），x∈D，若存在常数T使得x∈D<=>x＋T∈D且f（x ＋T）＝f（x），x∈D，则称f（x）为周期函数，常数T称为周期．满足条件的最小正数T称为f（x）的最小正周期，通常所说的周期函数的周期是指它的最小正周期．例sinx，cosx是周期为２π的函数，tanx，cotx是周期为π的函数．以 T为周期的函数图像沿x轴方向左右平移T的整数倍，图像将重合．

《经济数学》第1章

故复合函数的定义域是例10 设解
1.基本初等函数
(1)幂函数幂函数
(
是常数)
的定义域随的不同而不同.
当
为无理数时,规定
的定义域为
(2)指数函数指数函数的定义域为
是常数） .当a>1时，它严
格单调增加；当0<a<1时，它严格单调减少.对于任何
的a , 的值域都是，函数的图形都过(0,1)点.
，则y 通过u 的联系也是x的函复合而成的复合
数，称此函数是由y =f(u) 及函数，记作并称 x 为自变量，称 u 为中间变量. 例8 分析函数
是由哪几个函数复合而成.
解
复合而成,并易知其定义域为
例9 求由函数定义域. 解由于的定义域为
组成的复合函数并求其与u=3x–1的值域
有公共部分，所以由它们可以组成复合函数由于必须，从而 . ，
反余弦函数反正切函数余切函数
2 初等函数
定义由常数和基本初等函数经过有限次四则运算或经
过有限次复合运算所构成，并可用一个式子表示的函数，称为初等函数. 初等函数都可以用一个公式表式
是非初等函数大部分分段函数不是初等函数
1.1.5 反函数与隐函数
1 反函数
定义3 设函数y=f(x)是定义在Df上的一个函数，其值域为 Zf ,对任意y∈ Zf ,如果有唯一确定的满足y=f(x)的x ∈Df 与之对应，则得到一个定义在Zf上以y为自变量的函数，我们称它为函数y =f (x)的反函数，记作习惯上，常用x来表示自变量，y 表示因变量，所以我们可以将反函数改写成
偶函数. 此外还有正割函数y=secx,余割函数y=cscx,其

经济数学基础图文 (1)

反余弦y=arccosx是闭区间[－1，1]上的单调递减有界函数，
为非奇非偶函数，且有arccos(－x)=π－arccosx.
定义1.9
把正切函数y=tanx在开区间
2
,
2
内的反函数称
为反正切函数，记作y=arctanx，其定义域为(－∞，+∞)，值域
为
2
, 2
.
反正切y=arctanx是开区间(－∞，+∞)内的单调递增有界函数，
第1章函数与极限
第1章函数与极限
1.1 函数 1.2 常见的经济函数 1.3 极限的概念 1.4 极限的运算 1.5 函数的连续性
第1章函数与极限
1.1 函
1.1.1 1. 在日常生活中，经常会遇到不同的量，如收入、成本、
产量、身高、路程、某一班级的学生人数等，这些量可以分为两类: 一类是在考察的过程中不发生任何变化，只取一个固定的值，我们把这类量称为常量，如圆周率π是个永远不变的量，某一阶段某个班级的学生人数也是一个常量；另一类是在考察的过程中不断地发生变化，取不同的数值，我们把这类量称为变量，如汽车行驶过程中的路程、一天中的气温等都是不断变化的，这些都是变量.
第1章函数与极限
2. 引例1 设圆的半径为r，面积为S，于是面积S与半径r之间的关系为
S=πr2，r>0 引例2 某企业生产某一产品的固定成本为5000元，每生产一件产品成本增加20元，于是生产该产品的总成本C与产量q间的关系可以表示为
C=20q+5000 以上两例都给出了两个变量在某一变化过程中的对应关系，当一个变量取一定值时，另一个变量有唯一确定的值与之对应. 在数学上，我们将这种变量间的对应关系称为函数关系.

大学经济数学PPT课件

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y 反函数y ( x)
Q(b, a)
直接函数y f ( x)
o
P(a, b)
x
直接函数与反函数的图形关于直线 y x对称.
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（2）复合函数
例：设 y u, u 1 x2 ,
y 1 x2
定义 2: 设函数 y f (u)的定义域 D f , 而函数 u ( x)的值域为 Z , 若 Df Z , 则称函数 y f [( x)]为 x的复合函数.
x 自变量, u 中间变量, y 因变量,
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注意: 1.不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数的;
例如：y u ,u x2 1
2.复合函数可以由两个以上的函数经过复合构成.
例如： y = cot x , 2
y=
u,
u
=
cot
v, v
=
x. 2
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4. 初等函数
x 1
x1
ƒ(x)在 x0 处的右极限. 记为
lim
x x0
f (x)
A或
f ( x0＋0)
A.
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左极限和右极限统称为单侧极限.它们之间有如下关系:
定理2. 函数y = ƒ(x)当 x→x0 时极限存在且为A的充要条件是函数y = ƒ(x)的左极限和右极限都存在且等于A。即
lim f ( x) A lim f ( x) lim f ( x) A
第17初等函数第18指数函数第19对数函数第20三角函数正弦函数第21sin余弦函数第22cos正切函数第23余切函数第24正割函数第25余割函数第26反三角函数第27arcsinarcsin反正弦函数第28arccosarccos反余弦函数第29arctanarctan反正切函数幂函数指数函数对数函数三角函数和反三角函数统称为基本初等函数