经济数学课件 5.1 定积分概念

i 1
i 1
b
b
2.a kf ( x)dx ka f ( x)dx
b
c
b
3.a f ( x)dx a f ( x)dx c f ( x)dx
y
y f (x)
s1
s2
x
oa
c
b
4.若f ( x)
g( x)，则
b
f ( x)dx
b
g( x)dx
a
a
y
y f (x)
y g(x)
oa
x b
n [ xn1, xn ]
x o x0 1x1
以f (1 ), f (2 ),, f (n )为高作小矩形
则每个小矩形的面积为：
S1 f (1 ) x1, S2 f (2 ) x2 ,, Sn f (n ) xn
（3）求和 S曲 S1 S2 Sn
y
y f (x)
f (1 ) x1 f (2 ) x2
第五章 定积分
第一节 定积分概念
5.1.1两个实例 引例1：曲边梯形的面积 1.曲边梯形的定义: 由曲线y＝f (x) ,直线x＝a、x＝b
及 x 轴围成的平面图形
y
y f (x)
x
oa
b
2.计算曲边梯形的面积 （1）分割
y
y f (x)
在[a, b]上取分点： a x0 x1 x2 xn b
lim
0
i
1
v(
i
)
Fra Baidu bibliotek
ti
q总
5.1.2定积分的概念
一、定义
b
a
f
( x)dx
n
lim
0 i1
f
( i
)
xi
二、注意理解
1.定积分的值是一个常数，与积分变量表示的 字母无关
2.在定积分中，假定a b，则有
a
(1)a f ( x)dx 0
a
b
(2)b f ( x)dx a f ( x)dx
t1 t1 t0 , t2 t2 t1,, tn tn tn1
（2）近似代替 在每个小时间段内把销售速度看作匀速,任取一时刻
1 [t0 , t1],2 [t1, t2 ],,n [tn1, tn ]
v(1 ),v(2 ),,v(n )为各个小区间上的销售速度
则每个小时间段内的销售量为：
= =
o a x1 x2
x0
x xn1 b
xn
过每一个分点作 x 轴的垂线，把大曲边梯形分成n
个小曲边梯形，每个小曲边梯形的底边长度记作:
x1 x1 x0 , x2 x2 x1,, xn xn xn1
（2）近似代替
y
在每个小区间内任取一点 f (1)
y f (x)
1 [ x0 , x1],2 [ x1, x2 ],,
q1 v(1 ) t1, q2 v(2 ) t2 ,, qn v(n ) tn
（3）求和
q总 q1 q2 qn
v(1 ) t1 v(2 ) t2 v(n ) tn
n
v(i ) ti （和式）
i 1
（4）取极限
当n 时，各个小时间段中的最大值 0
n
和式的极限
5.积分估值定理：m(b a)
b
f ( x)dx M(b a)
a
y y f (x) M
m
oa
x b
6.积分中值定理：b f ( x)dx f ( )(b a) a y y f (x)
f ( )
oa
x
b
x
f (n ) xn
o x0
xn
n
f (i ) xi （和式）
i 1
（4）取极限
当n 时，小区间长度中的最大值 0
n
和式的极限 lim 0 i1
f (i ) xi
S曲
引例2：商品的销售总量q 已知某商品的销售速度为v v(t)(v(t) 0), 在时间段[T1,T2 ]上是连续函数，求销售总量 （1）分割 在[T1,T2 ]上取分点：T1 t0 t1 t2 tn T2 把[T1,T2 ]分n个时间段，每个时间段的长度为：
5.1.3定积分的几何意义
5.1.4定积分的性质
b
b
b
1.a[ f ( x) g( x)]dx a f ( x)dx a g( x)dx
证明思路：
n
n
[ f (i ) g(i )] xi [ f (i ) xi g(i ) xi ]
i 1
i 1
n
n
f (i ) xi g(i ) xi