经济数学课件 5.1 定积分概念
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《定积分的定义》课件
总结词：定积分具有线性性质、可加性、可减性、可 乘性和可除性。
详细描述：定积分具有一系列的性质，其中最重要的是 线性性质，即两个函数的和或差的积分等于它们各自积 分的和或差；其次，定积分具有可加性和可减性，即函 数在一个区间上的积分等于该区间左端点处的函数值与 区间长度乘积的一半减去右端点处的函数值与区间长度 乘积的一半；此外，定积分还具有可乘性和可除性，即 函数与常数的乘积的积分等于该常数乘以函数的积分， 函数除以常数的积分等于函数乘以该常数的倒数。这些 性质在求解定积分时非常有用。
功的计算
定积分可用于计算力在空间上所做的功，通过将力在空间上进行积 分得到总功。
电磁学中的应用
在电磁学中，电场强度和磁场强度是空间的函数，通过定积分可以 计算电场强度和磁场强度在空间上的分布。
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微积分基本定理的应用
总结词
微积分基本定理的应用非常广泛，它 为解决各种实际问题提供了重要的数 学工具。
详细描述
通过微积分基本定理，我们可以计算 各种函数的定积分，从而解决诸如面 积、体积、长度、平均值、极值等问 题。此外，它也是微分方程求解的重 要基础。
微积分基本定理的证明
总结词
微积分基本定理的证明涉及到了极限理论、实数性质等深奥的数学知识，是数学严谨性的一个典范。
详细描述
证明微积分基本定理需要利用极限的运算性质和实数完备性等数学知识。其证明过程体现了数学的严 谨性和逻辑性，是数学教学中的重要内容。同时，对于理解微积分的本质和深化数学素养具有重要意 义。
03
定积分的计算方法
直接法
总结词
直接计算定积分的基本方法
详细描述
直接法是计算定积分最基本的方法，它基于定积分的定义，通过将被积函数进行微分和 积分，然后进行计算。这种方法适用于一些简单的定积分计算，但对于一些复杂的定积
定积分的概念 课件
a
若 f(x)≤0，则在[a，b]上曲边梯形的面积 S＝－bf(x)dx；
a
若在[a，c]上，f(x)≤0，在[c，b]上，f(x)≥0，则在[a，
b]上曲边梯形的面积 S＝－cf(x)dx＋bf(x)dx.
a
c
【正解】 05(x－2)dx＝S2－S1＝12×32－12×22＝52，故502(x －2)dx＝5.
∴05(x－2)dx＝S1＋S2＝12×22＋12×32＝123，
∴052(x－2)dx＝2×123＝13.
【错因分析】 在应用定积分的几何意义求定积分时，
错解中没有考虑在 x 轴下方的面积取负号，x 轴上方的面积取
正号，导致错误． 【防范措施】 若 f(x)≥0，则在[a，b]上曲边梯形的面
积 S＝bf(x)dx；
间[xi－1，xi]上任取一点 ξi(i＝1,2，…，n)，作和式 f(ξi)Δx
＝
，当 n→∞时，上述和式无限接近某个常
数，这个常数叫做函数 f(x)在区间[a，b]上的 定积分 ，记作
bf(x)dx，
a
即bf(x)dx＝
．
a
其中 a 与 b 分别叫做 积分下限 与 积分上限 ，区间 [a，b]叫做 积分区间 ，函数 f(x)叫做 被积函数 ，x 叫做 积分变量 ，f(x)dx 叫做 被积式 .
定积分的概念
定积分的概念 【问题导思】 分析求曲边梯形的面积和求变速直线运动的路程的步 骤，试找出它们的共同点． 【提示】 两个问题均可通过“分割、近似代替、求和、 取极限”解决．都可以归结为一个特定形式和的极限．
如果函数 f(x)在区间[a，b]上连续，用分点 a＝x0<x1<…<xi －1<xi<…<xn＝b 将区间[a，b]等分成 n 个小区间，在每个小区
若 f(x)≤0，则在[a，b]上曲边梯形的面积 S＝－bf(x)dx；
a
若在[a，c]上，f(x)≤0，在[c，b]上，f(x)≥0，则在[a，
b]上曲边梯形的面积 S＝－cf(x)dx＋bf(x)dx.
a
c
【正解】 05(x－2)dx＝S2－S1＝12×32－12×22＝52，故502(x －2)dx＝5.
∴05(x－2)dx＝S1＋S2＝12×22＋12×32＝123，
∴052(x－2)dx＝2×123＝13.
【错因分析】 在应用定积分的几何意义求定积分时，
错解中没有考虑在 x 轴下方的面积取负号，x 轴上方的面积取
正号，导致错误． 【防范措施】 若 f(x)≥0，则在[a，b]上曲边梯形的面
积 S＝bf(x)dx；
间[xi－1，xi]上任取一点 ξi(i＝1,2，…，n)，作和式 f(ξi)Δx
＝
，当 n→∞时，上述和式无限接近某个常
数，这个常数叫做函数 f(x)在区间[a，b]上的 定积分 ，记作
bf(x)dx，
a
即bf(x)dx＝
．
a
其中 a 与 b 分别叫做 积分下限 与 积分上限 ，区间 [a，b]叫做 积分区间 ，函数 f(x)叫做 被积函数 ，x 叫做 积分变量 ，f(x)dx 叫做 被积式 .
定积分的概念
定积分的概念 【问题导思】 分析求曲边梯形的面积和求变速直线运动的路程的步 骤，试找出它们的共同点． 【提示】 两个问题均可通过“分割、近似代替、求和、 取极限”解决．都可以归结为一个特定形式和的极限．
如果函数 f(x)在区间[a，b]上连续，用分点 a＝x0<x1<…<xi －1<xi<…<xn＝b 将区间[a，b]等分成 n 个小区间，在每个小区
《定积分的概念》ppt课件
f
()(ba)
(ab).
性质7的几何意义：
在[a,b]上至少有 ，一使得 [a,以 b]为底边，以曲
y f (x)为曲边的曲A边a梯 B的 b形 面积等于同一
而高f为 ()的矩形的. 面积
假如函数f〔x〕在闭区间[a,b]上连续，我们
称b1aabf (x)dx
如已知某为地函某数时f自〔0x至〕2在4时[a,天b]上气的温平度均曲值线.为f(t),
曲线 f(x)f((x)0 )、x轴及两条直线x=a,x=b所围 成的曲边梯形面积A等于函数f(x)在区间[a,b]上的定积 分，即
Aabf(x)dx.
质点在变力F(s)作用下作直线运动，由起始位置a 移动到b，变力对质点所做之功等于函数F(s)在[a,b] 上的定积分，即
WabF(s)ds
假如函数f〔x〕在区间[a,b]上的定积分存在， 那么称函数f〔x〕在区间[a,b]上可积.
如果在[a,b]上 f(x)0，此时由曲线y=f(x)，直线 x=a，x=b及x轴所围成的曲边梯形位于x轴的下方，则
定积分ab f (x)dx在几何上表示上述曲边梯形的面积A的
相反数.
假如在[a,b]上f〔x〕既可取正值又可取负值，那
么定积ab分f (x)dx 在几何上表示介于曲线y=f〔x〕，
直线x=a，x=b及x轴之间的各部分面积的代数和.
[x0,x1],[x1,x2],,[xi1,xi],,[xn1,xn]
各个小区间的长度为
xi xi xi1
在每一个小[x区 i1,x间 i]上任取一i(点 xi 1ixi),
n
作和 (简式 称积 ) 分 f和 (i)x式 i
i1
记max{xi,x2,...,xn}，如果对[a区 ,b]间 任一分法 和小区[x间 i1,xi]上点 i任意取法，只 要0时 当，上
定积分的概念 课件
的速度为 v(t)＝3t2＋2(单位：km/h)，那么该汽车在 0≤t≤2(单
位：h)这段时间内行驶的路程 s(单位：km)是多少？ [解] (1)分割 在时间区间[0,2]上等间隔地插入 n－1 个分点，将它等
分成 n 个小区间，记第 i 个小区间为2i－n 1，2ni(i＝1,2，…， n)，其长度为 Δt＝2ni－2i－n 1＝n2.每个时间段上行驶的路程
y＝0 所围成的曲边梯形的面积时，将区间[0，t]等分成 n
个小区间，则第 i－1 个区间为
()
A.i－n 1，ni C.ti－n 1，tni
B.ni ，i＋n 1 D.ti－n 2，ti－n 1
[解析]
每个小区间长度为
t n
，故第i－1个区间的左
端点为0＋(i－2)×
t n
＝
ti－2 n
，右端点为
ti－2 n
＋
t n
＝
ti－1 n.
[答案] D
[易错防范] 1．解决本题易错误地认为区间左端为ti－n 1，从而误选 C. 2．在将区间[0,1]等分成 n 个小区间时，其第 1 个小区间的 左端点为 0，第 2 个小区间的左端点为n1，…，依次类推，第 i 个小区间的左端点为i－n 1.
小区间长 Δx＝n1为其邻边的小矩形面积，近似代替小曲边梯形面
积．第 i 个小曲边梯形面积，可以近似地表示为ΔSi≈ξ3i ·Δx＝
n＋ni－13·n1(i＝1,2,3，…，n)．
(3)求和 因为每一个小矩形的面积都可以作为相应的小曲边梯形面
积的近似值，所以 n 个小矩形面积的和就是曲边梯形 ABCD 面积 S 的近似值，
n
n
即 S＝ΔSi≈
i＝1
位：h)这段时间内行驶的路程 s(单位：km)是多少？ [解] (1)分割 在时间区间[0,2]上等间隔地插入 n－1 个分点，将它等
分成 n 个小区间，记第 i 个小区间为2i－n 1，2ni(i＝1,2，…， n)，其长度为 Δt＝2ni－2i－n 1＝n2.每个时间段上行驶的路程
y＝0 所围成的曲边梯形的面积时，将区间[0，t]等分成 n
个小区间，则第 i－1 个区间为
()
A.i－n 1，ni C.ti－n 1，tni
B.ni ，i＋n 1 D.ti－n 2，ti－n 1
[解析]
每个小区间长度为
t n
，故第i－1个区间的左
端点为0＋(i－2)×
t n
＝
ti－2 n
，右端点为
ti－2 n
＋
t n
＝
ti－1 n.
[答案] D
[易错防范] 1．解决本题易错误地认为区间左端为ti－n 1，从而误选 C. 2．在将区间[0,1]等分成 n 个小区间时，其第 1 个小区间的 左端点为 0，第 2 个小区间的左端点为n1，…，依次类推，第 i 个小区间的左端点为i－n 1.
小区间长 Δx＝n1为其邻边的小矩形面积，近似代替小曲边梯形面
积．第 i 个小曲边梯形面积，可以近似地表示为ΔSi≈ξ3i ·Δx＝
n＋ni－13·n1(i＝1,2,3，…，n)．
(3)求和 因为每一个小矩形的面积都可以作为相应的小曲边梯形面
积的近似值，所以 n 个小矩形面积的和就是曲边梯形 ABCD 面积 S 的近似值，
n
n
即 S＝ΔSi≈
i＝1
5.1 定积分的概念与性质
y f (x)( f (x) 0) 所围成的图形称为曲边梯形。如图5.1所示。
【案例5.1】曲边梯形面积如何计算?
【分析】
须借助于现有的规则图形面积计算公式，采用以直代曲、局 部近似、整体近似、用极限方法逐步逼近等思想，分步骤地求出 曲边梯形面积。
下面我们分四步进行具体介绍。 1）分割
在区间 [a,b]内任意插入 n 1 个分点
对于函数的可积性，我们有下列重要结论：
定理 5.1
如果 f (x) 在区间[a,b] 上有界，且最多有有限个
间断点，则 f (x) 在区间[a,b] 上一定可积。
注意：
b
a f (x)dx
的值与区间 [a, b]
的分法以及点 i
的取法无关。
因为定积分
b
a
f
(x)dx
是一个和式的极限，所以它是一个确定的数值，
0
2
2
例5.1.2 根据定积分的几何意义，求下列定积分的值。
（2） 1 1 x 2 dx 1
解：
（2）因为定积分
1
1
1 x2 dx 就是单位圆在
x
轴上方部分
的面积（如图5.6（2）所示），
所以 1 1 x2 dx 1 12
1
2
2
5.1.4 定积分的简单性质
性质1 两个函数代数和的定积分等于各个函数定积分的代数和，
即
b f (x) g(x)dx
b
f (x)dx
b
g(x)dx
a
a
a
推广：有限个函数代数和的定积分等于各个函数定积分的代数和。即
b
a
f1
(
x)
f2 (x)
【案例5.1】曲边梯形面积如何计算?
【分析】
须借助于现有的规则图形面积计算公式，采用以直代曲、局 部近似、整体近似、用极限方法逐步逼近等思想，分步骤地求出 曲边梯形面积。
下面我们分四步进行具体介绍。 1）分割
在区间 [a,b]内任意插入 n 1 个分点
对于函数的可积性，我们有下列重要结论：
定理 5.1
如果 f (x) 在区间[a,b] 上有界，且最多有有限个
间断点，则 f (x) 在区间[a,b] 上一定可积。
注意：
b
a f (x)dx
的值与区间 [a, b]
的分法以及点 i
的取法无关。
因为定积分
b
a
f
(x)dx
是一个和式的极限，所以它是一个确定的数值，
0
2
2
例5.1.2 根据定积分的几何意义，求下列定积分的值。
（2） 1 1 x 2 dx 1
解：
（2）因为定积分
1
1
1 x2 dx 就是单位圆在
x
轴上方部分
的面积（如图5.6（2）所示），
所以 1 1 x2 dx 1 12
1
2
2
5.1.4 定积分的简单性质
性质1 两个函数代数和的定积分等于各个函数定积分的代数和，
即
b f (x) g(x)dx
b
f (x)dx
b
g(x)dx
a
a
a
推广：有限个函数代数和的定积分等于各个函数定积分的代数和。即
b
a
f1
(
x)
f2 (x)
《定积分课件》课件
03 定积分的应用
CHAPTER
面积与体积的计算
总结词
定积分在计算平面图形的面积和三维物体的体积方面具有广 泛应用。
详细描述
利用定积分，可以计算出由曲线围成的平面图形的面积，例 如由y=sinx和y=cosx围成的图形面积。此外，定积分还可以 用于计算三维物体的体积，例如球体、圆柱体和旋转体的体 积。
详细描述
在静水压力问题中，压力分布是深度的函数。通过定积分，我们可以计算任意 深度的压力分布，从而了解水下物体的受力情况。
引力场的强度
总结词
通过定积分计算引力场的强度，理解引 力场的分布规律。
VS
详细描述
在引力场中，场强是位置的函数。通过定 积分，我们可以计算任意位置的场强，从 而了解物体在引力场中的运动规律。
符号表示
02
定积分的符号为∫，读作“拉姆达”。
计算方法
03
定积分的计算方法是通过微积分基本定理，将定积分转化为求
原函数在某点的值。
定积分的几何意义
平面区域面积
定积分可以用来计算平面图形的面积，特别是 当面积元素与坐标轴平行时。
体积
定积分还可以用来计算三维物体的体积，例如 旋转体的体积。
曲线下面积
定积分可以用来计算曲线下在某一区间内的面积。
定积分的计算方法
要点一
总结词
定积分的计算方法包括直接法、换元法和分部积分法等。
要点二
详细描述
定积分的计算可以通过多种方法进行。直接法是根据微积 分基本定理，通过求原函数并计算其差值来得到定积分的 结果。换元法是在积分变量进行换元，使得积分简化。分 部积分法则是通过将两个函数的乘积进行积分，将一个积 分转化为另一个积分，从而简化计算。这些方法在计算定 积分时常常需要结合使用。
定积分的概念及性质课件
度、磁场强度等；在弹性力学中，定积分可以用于求解应力和应变等问题。
06
定积分的进一步应用
积分变换
积分变换的定义
积分变换是一种将函数在某一区间内的行为转化为另一种函数的方法，常见的积分变换包括傅里叶变换和拉普拉斯变 换等。
积分变换的性质
积分变换具有一些重要的性质，例如线性性质、时间平移性质和微分性质等，这些性质在解决实际问题中具有广泛的 应用。
积分变换的应用
积分变换在信号处理、图像处理和控制系统等领域有着广泛的应用，通过积分变换可以将复杂的信号或 系统转换为易于分析和处理的函数形式。
傅里叶变换
傅里叶变换的定义
傅里叶变换是一种将时间域函数转换为频域函数的方法， 它可以将一个时间函数分解成一系列不同频率的正弦和余 弦函数的线性组合。
傅里叶变换的性质
傅里叶变换具有一些重要的性质，例如线性性质、对称性 质和微分性质等，这些性质在解决实际问题中具有广泛的 应用。
傅里叶变换的应用
傅里叶变换在信号处理、图像处理和控制系统等领域有着 广泛的应用，通过傅里叶变换可以将复杂的信号或系统转 换为易于分析和处理的频域函数形式。
反常积分
反常积分的定义
反常积分是一种在无穷区间上定 义的积分，它通常用于处理一些 在无穷远处收敛的函数。
符号的意义
定积分的符号表示一个函 数在一个区间上的总值， 其中“∫”表示积分号。
计算公式
定积分可以通过一个公式
来计算x，其中a和b
是区间的端点。
02
定积分的性质
连续函数的积分性质
积分区间可加性
对于任意两个不相交的区间[a,b]和[b,c]，有$\int_{a}^{c}f(x)dx = \int_{a}^{b}f(x)dx + \int_{b}^{c}f(x)dx$。
06
定积分的进一步应用
积分变换
积分变换的定义
积分变换是一种将函数在某一区间内的行为转化为另一种函数的方法，常见的积分变换包括傅里叶变换和拉普拉斯变 换等。
积分变换的性质
积分变换具有一些重要的性质，例如线性性质、时间平移性质和微分性质等，这些性质在解决实际问题中具有广泛的 应用。
积分变换的应用
积分变换在信号处理、图像处理和控制系统等领域有着广泛的应用，通过积分变换可以将复杂的信号或 系统转换为易于分析和处理的函数形式。
傅里叶变换
傅里叶变换的定义
傅里叶变换是一种将时间域函数转换为频域函数的方法， 它可以将一个时间函数分解成一系列不同频率的正弦和余 弦函数的线性组合。
傅里叶变换的性质
傅里叶变换具有一些重要的性质，例如线性性质、对称性 质和微分性质等，这些性质在解决实际问题中具有广泛的 应用。
傅里叶变换的应用
傅里叶变换在信号处理、图像处理和控制系统等领域有着 广泛的应用，通过傅里叶变换可以将复杂的信号或系统转 换为易于分析和处理的频域函数形式。
反常积分
反常积分的定义
反常积分是一种在无穷区间上定 义的积分，它通常用于处理一些 在无穷远处收敛的函数。
符号的意义
定积分的符号表示一个函 数在一个区间上的总值， 其中“∫”表示积分号。
计算公式
定积分可以通过一个公式
来计算x，其中a和b
是区间的端点。
02
定积分的性质
连续函数的积分性质
积分区间可加性
对于任意两个不相交的区间[a,b]和[b,c]，有$\int_{a}^{c}f(x)dx = \int_{a}^{b}f(x)dx + \int_{b}^{c}f(x)dx$。
定积分的概念课件
定积分的概念ppt课件
欢迎来到定积分的概念课件！本课件将带你深入探索定积分的定义、基本性 质、计算方法，并展示在不同领域中的应用和几何解释。
定积分的定义
定积分是将曲线下的面积划分成无穷多个矩形，然后通过取极限的方式来求 得曲线下的总面积。
定积分的基本性质
1 线性性质
定积分具有线性性质，可以对函数的和、差和常数倍进行运算。
定积分的概念在实际生活中的应用
统计学
定积分在统计学中有着广泛的 应用，例如求解概率密度函数、 计算累积分布函数。
工程学
工程学中常常使用定积分来计 算流体力学、电磁学以及结构 分析等问题。
经济学
经济学中利用定积分来计算总 产出、消费量和劳动力需求等 关键指标。
定积分在物理学中的应用
1
质量分布
通过定积分求解物体的质量分布，可以帮助
电荷密度
2
我们了解物体的物理特性和性能。
对于并进一步推导出
电场强度。
3
能量积分
定积分可以应用于物体内部的能量分布计算， 例如弹簧势能和微分力的功。
定积分的几何解释
定积分的几何解释是曲线下面积，这代表了函数图像与坐标轴之间的区域所占空间的大小。
2 区间可加性
若函数在闭区间[a, b]上可积，那么它在其中任一子区间上也可积。
3 保号性质
定积分的结果能够反映函数在区间上正负值的变化情况。
利用定积分求曲线下面积
几何解释
通过定积分，我们可以计算曲线与坐标轴之间的面积， 这在几何学上具有重要意义。
计算方法
定积分可以通过求解函数的原函数，并计算两个边界值 之差来实现。
欢迎来到定积分的概念课件！本课件将带你深入探索定积分的定义、基本性 质、计算方法，并展示在不同领域中的应用和几何解释。
定积分的定义
定积分是将曲线下的面积划分成无穷多个矩形，然后通过取极限的方式来求 得曲线下的总面积。
定积分的基本性质
1 线性性质
定积分具有线性性质，可以对函数的和、差和常数倍进行运算。
定积分的概念在实际生活中的应用
统计学
定积分在统计学中有着广泛的 应用，例如求解概率密度函数、 计算累积分布函数。
工程学
工程学中常常使用定积分来计 算流体力学、电磁学以及结构 分析等问题。
经济学
经济学中利用定积分来计算总 产出、消费量和劳动力需求等 关键指标。
定积分在物理学中的应用
1
质量分布
通过定积分求解物体的质量分布，可以帮助
电荷密度
2
我们了解物体的物理特性和性能。
对于并进一步推导出
电场强度。
3
能量积分
定积分可以应用于物体内部的能量分布计算， 例如弹簧势能和微分力的功。
定积分的几何解释
定积分的几何解释是曲线下面积，这代表了函数图像与坐标轴之间的区域所占空间的大小。
2 区间可加性
若函数在闭区间[a, b]上可积，那么它在其中任一子区间上也可积。
3 保号性质
定积分的结果能够反映函数在区间上正负值的变化情况。
利用定积分求曲线下面积
几何解释
通过定积分，我们可以计算曲线与坐标轴之间的面积， 这在几何学上具有重要意义。
计算方法
定积分可以通过求解函数的原函数，并计算两个边界值 之差来实现。
定积分的概念课件
区间可加性
总结词
定积分的区间可加性是指定积分在区间上的 值等于该区间内各小区间的定积分之和。
详细描述
定积分的区间可加性表明，对于任意两个不 相交的区间$[a, b]$和$[c, d]$，有
$int_{a}^{b}f(x)dx+int_{c}^{d}f(x)dx=int_ {a}^{d}f(x)dx$。这意味着可以将一个大区 间分割成若干个小区间，然后求各小区间的 定积分，再将它们相加，得到整个大区间的
体积计算
规则体积
对于规则的立体图形，如长方体、圆柱体、圆锥体等 ，可以直接利用定积分的值来计算其体积。例如，对 于圆柱体，其体积可以通过定积分$int_{a}^{b} 2pi r(h) dr$来计算。
曲顶体积
对于曲顶的立体图形，如球、球缺等，也可以利用定 积分来计算其体积。通过将曲顶立体分割成若干小锥 体，然后求和这些小锥体的体积，最后利用极限思想 得到整个曲顶立体的体积。
定积分的性质
02
线性性质
总结词
定积分的线性性质是指定积分具有与加法和数乘运算类似的性质。
详细描述
定积分的线性性质允许我们将一个被积函数与常数相加或相乘，其结果等于将相应的常数加到或乘到 该函数的定积分上。即，对于两个函数的定积分，有$int (k_1f+k_2g) dx = k_1int f dx + k_2int g dx$，其中$k_1$和$k_2$是常数。
应用
无穷区间上的积分在解决一些实际问题时非常有用，例如 求某些物理量（如质量、面积等）的无穷累加和。
一致收敛性
定义
01
一致收敛性是函数序列的一种收敛性质，它描述了函数序列在
某个区间上的一致收敛性。
定积分的概念 课件
被积函数的曲线是圆心在原点,半径为2的半圆,
由定积分的几何意义知,此定积分为半圆的面积,
所以
2 4 x2 dx 22 2 .
2
2
例3:利用定积分的几何意义,求下列各式的值.
(2)
2
sinxdx;
2
y
解：在右图中，被积函数f (x) sin x
f(x)=sinx
在[ ， ]上连续，且在[ ，0]上
y
y
f(x)=x2
f(x)=x2
y
f(x)=(x-1)2-1
y
f(x)=1
0a
x -1 0 2
xa 0
b x -1 0
2x
①
②
③
④
解：（1）在图①中，被积函数f (x) x2在[0，a]
上连续，且f (x) 0,根据定积分的几何意
义，可得阴影部分的面积为 A
a 0
x2dx
y
f(x)=x2
y
2
sin xdx 0
2）.
sin xdx 2
2 sin xdx
0
0
0
3.试用定积分表示下列各图中影阴部分的面积。
y
y=x2
y y=f(x)
0 12 x
y=g(x)
0a
bx
练习4（2）:
计算积分 1 1 x2 dx 0
解：由定积分的几何意义知，该积分值等于
曲线y 1 x 2 , x轴，x 0及x 1所围
f(x)dx —叫做被积表达式，
x ———叫做积分变量， a ———叫做积分下限， O a
bx
b ———叫做积分上限，
[a, b] —叫做积分区间。
定积分的定义：
《定积分的概念》课件
微积分基本定理是定积分计算的核心 ，它建立了定积分与不定积分之间的 联系。
详细描述
微积分基本定理指出，一个定积分可 以用被积函数的不定积分来表示。这 个定理是计算定积分的基石，因为它 提供了一种将定积分问题转化为求不 定积分问题的途径。
பைடு நூலகம்
微积分基本定理的应用
总结词
微积分基本定理的应用广泛，包括计算面积、体积、速度和加速度等。
详细描述
通过微积分基本定理，我们可以计算各种物理量，如物体的运动速度、加速度，以及平面图形的面积 等。这些应用在科学、工程和经济学等领域都有广泛的应用。
定积分的计算方法
总结词
定积分的计算方法包括直接法、换元法 和分部积分法等。
VS
详细描述
直接法是直接利用微积分基本定理计算定 积分的方法；换元法是通过换元公式将复 杂的积分转化为简单的积分；分部积分法 则是通过将两个函数的乘积进行求导，再 利用微积分基本定理计算定积分的方法。 这些方法在解决实际问题时各有优缺点， 需要根据具体情况选择合适的方法。
通过将物体的运动轨迹分割成无数小的线段，再利用定积分计算这些线
段上的速度和加速度的积分和，可以求得物体的整体速度和加速度。
定积分在经济学中的应用
计算边际成本和边际收益
在经济学中，定积分可以用于计算边际成本和边际收益，这是通过将成本或收益函数在一定的范围内进行分割，再利 用定积分计算这些分段上的成本或收益的积分和，可以求得整体的边际成本和边际收益。
预测市场需求
通过将市场需求函数在一定的范围内进行分割，再利用定积分计算这些分段上的需求函数的积分和，可以预测整体的 市场需求。
评估投资项目的风险
通过将投资项目的风险函数在一定的范围内进行分割，再利用定积分计算这些分段上的风险函数的积分 和，可以评估整体的投资项目的风险。
详细描述
微积分基本定理指出，一个定积分可 以用被积函数的不定积分来表示。这 个定理是计算定积分的基石，因为它 提供了一种将定积分问题转化为求不 定积分问题的途径。
பைடு நூலகம்
微积分基本定理的应用
总结词
微积分基本定理的应用广泛，包括计算面积、体积、速度和加速度等。
详细描述
通过微积分基本定理，我们可以计算各种物理量，如物体的运动速度、加速度，以及平面图形的面积 等。这些应用在科学、工程和经济学等领域都有广泛的应用。
定积分的计算方法
总结词
定积分的计算方法包括直接法、换元法 和分部积分法等。
VS
详细描述
直接法是直接利用微积分基本定理计算定 积分的方法；换元法是通过换元公式将复 杂的积分转化为简单的积分；分部积分法 则是通过将两个函数的乘积进行求导，再 利用微积分基本定理计算定积分的方法。 这些方法在解决实际问题时各有优缺点， 需要根据具体情况选择合适的方法。
通过将物体的运动轨迹分割成无数小的线段，再利用定积分计算这些线
段上的速度和加速度的积分和，可以求得物体的整体速度和加速度。
定积分在经济学中的应用
计算边际成本和边际收益
在经济学中，定积分可以用于计算边际成本和边际收益，这是通过将成本或收益函数在一定的范围内进行分割，再利 用定积分计算这些分段上的成本或收益的积分和，可以求得整体的边际成本和边际收益。
预测市场需求
通过将市场需求函数在一定的范围内进行分割，再利用定积分计算这些分段上的需求函数的积分和，可以预测整体的 市场需求。
评估投资项目的风险
通过将投资项目的风险函数在一定的范围内进行分割，再利用定积分计算这些分段上的风险函数的积分 和，可以评估整体的投资项目的风险。
定积分的概念 课件
定积分的概念
1．定积分的概念 如果函数 f(x)在区间[a，b]上连续，用分点 a＝x0＜x1 ＜…＜xi－1＜xi＜…＜xn＝b，将区间[a，b]等分成 n 个小 区间，在每个小区间[xi－1，xi]上任取一点 ξi(i＝1，2，…， n)，作和 sn＝f(x1)Δx＋f(x2)Δx＋…＋f(xi)Δx＋…f(xn)Δ x，当 n→∞时，上述和式无限接近某个常数，
(3)当曲边梯形的面积在 x 轴上方、x 轴下方均存在 时，如图③所示，则∫baf(x)dx＝S 上－S 下，若 S 上＝S 下， 则∫baf(x)dx＝0．
温馨提示 在利用定积分的几何意义求定积分时， 要特别注意曲边梯形所在的位置，以此为依据确定积分 值的符号．
4．定积分的性质 (1)∫bakf(x)dx＝_k_∫__ba_f(_x_)_d_x_ (k 为常数)； (2)∫ba[f1(x)±f2(x)]dx＝_∫__baf_1_(x_)_d_x_±__∫__ba_f2_(_x_)d_x__； (3)∫baf(x)dx＝∫__caf_(_x_)d__x_＋__∫__bcf_(_x_)d_x_，其中 a＜c＜b.
(2)∫21xdx 表示的是图②中阴影部分所示的梯形的面 积，由于这个梯形的面积为32，所以∫21xdx＝32.
(3)在平面上 y＝ 9－x2表示的几何图形 为以原点为圆心，以 3 为半径的上半圆，如图 ③所示，其面积 S＝12·π·32＝92π.
由定积分的几何意义，知∫3－3 9－x2dx＝92π.
温馨提示 注意积分结果的符号问题．因为定积分∫
baf(x)dx 是介于 x 轴、函数 f(x)的图象以及直线 x＝a，x＝ b 之间的各部分面积的代数和，在 x 轴上方的取正号，在 x 轴下方的取负号．
定积分的概念 课件
1n3·n1＋2n3·1n＋…＋nn3·n1.＝i＝n1 ni 3·n1.
(因为 x3 连续，所以 ξi 可随意取而不影响极限，故我们此处将 ξi 取为[xi，xi＋1] 的右端点也无妨)
(3)取极限：
n
i＝1
ni 3·1n＝n14i＝n1i3＝n14nn＋ 2 12＝411＋2n＋n12，
∴1x3dx＝lim
[解析] ∵y＝x3＋3x 为[－1,1]上的奇函数，图象关于原点对称，∴曲边梯形 在 x 轴上方部分面积与在 x 轴下方部分面积相等，由积分的几何意义知1 (x3＋
－1
3x)dx＝0.
『规律总结』 若函数f(x)的图象是某些特殊的图形，其面积运用几何方法 容易求解，求定积分时还可以利用几何意义求解．
定积分的概念
1．定积分的概念
如果函数 f(x)在区间[a，b]上连续，用分点 a＝x0<x1<…<xi－1<xi<…<xn＝b 将区
间[a，b]等分成 n 个小区间，在每个小区间[xi－1，xi]上任取一点 ξi(i＝1,2，…，n)， n b－a
作和式 Sn＝n f(ξi)Δx＝___i＝_1___n___f(_ξ_i)___(其中 Δx 为小区间长度)，当 n→∞时，上
2
5352－2xdx＝12×2×1＝1. ∴50f(x)dx＝20xdx＋32(4－x)dx＋5352－2xdx＝2＋32＋1＝92.
利用定积分求平面图形的面积
将下列曲线围成的平面区域的面积用定积分表示. (1)y＝0，y＝ x，x＝2； (2)y＝x－2，x＝y2.
[思路分析] 可先作出函数图象，再根据图象及几何意义把围成的平面区域的 面积进行表示．
kb
f(x)dx
(因为 x3 连续，所以 ξi 可随意取而不影响极限，故我们此处将 ξi 取为[xi，xi＋1] 的右端点也无妨)
(3)取极限：
n
i＝1
ni 3·1n＝n14i＝n1i3＝n14nn＋ 2 12＝411＋2n＋n12，
∴1x3dx＝lim
[解析] ∵y＝x3＋3x 为[－1,1]上的奇函数，图象关于原点对称，∴曲边梯形 在 x 轴上方部分面积与在 x 轴下方部分面积相等，由积分的几何意义知1 (x3＋
－1
3x)dx＝0.
『规律总结』 若函数f(x)的图象是某些特殊的图形，其面积运用几何方法 容易求解，求定积分时还可以利用几何意义求解．
定积分的概念
1．定积分的概念
如果函数 f(x)在区间[a，b]上连续，用分点 a＝x0<x1<…<xi－1<xi<…<xn＝b 将区
间[a，b]等分成 n 个小区间，在每个小区间[xi－1，xi]上任取一点 ξi(i＝1,2，…，n)， n b－a
作和式 Sn＝n f(ξi)Δx＝___i＝_1___n___f(_ξ_i)___(其中 Δx 为小区间长度)，当 n→∞时，上
2
5352－2xdx＝12×2×1＝1. ∴50f(x)dx＝20xdx＋32(4－x)dx＋5352－2xdx＝2＋32＋1＝92.
利用定积分求平面图形的面积
将下列曲线围成的平面区域的面积用定积分表示. (1)y＝0，y＝ x，x＝2； (2)y＝x－2，x＝y2.
[思路分析] 可先作出函数图象，再根据图象及几何意义把围成的平面区域的 面积进行表示．
kb
f(x)dx
经济数学 定积分课件
p 9.8h(千米 米2 )，若闸门高H 3米 ，宽 L 2米 ，求水面与闸门顶相齐时闸门所受的水
压力P （见教材图 5-3）.
练习题答案
n
一、1、lim 0 i1
f ( i )xi ；
2、被积函数,积分区间,积分变量；
3、介于曲线 y f ( x), x 轴 ,直线x a , x b 之间
个小区间[ xi1, xi ]， 长度为 xi xi xi1;
在每个小区间[ xi1, xi ]
上任取
一点
，
i
o a x1
b xi1i xi xn1
x
以 [ xi1, xi ]为底，f (i ) 为高的小矩形面积为
Ai f (i )xi
曲边梯形面积的近似值为
n
A f (i )xi
2、定 积 分 的 值 只 与 ______ 及 _______ 有 关 ， 而 与 _________的记法无关 .
3、定积分的几何意义是_______________________ .
4、区间 a , b 长度的定积分表示是_____________ .
二、利用定积分的定义计算由抛物线y x 2 1 , 两直线 x a , x b ( b a) 及横轴所围成的图形的面积 .
i 1
当分割无限加细,即小区间的最大长度
max{x1, x2 ,xn }
趋近于零 ( 0) 时，
n
曲边梯形面积为
A
lim
0
i 1
f
(i )xi
实例2 （求变速直线运动的路程）
设某物体作直线运动，已知速度v v(t )是 时 间 间 隔[T1 ,T2 ] 上t 的 一 个 连 续 函 数 ， 且 v(t) 0，求物体在这段时间内所经过的路程.
压力P （见教材图 5-3）.
练习题答案
n
一、1、lim 0 i1
f ( i )xi ；
2、被积函数,积分区间,积分变量；
3、介于曲线 y f ( x), x 轴 ,直线x a , x b 之间
个小区间[ xi1, xi ]， 长度为 xi xi xi1;
在每个小区间[ xi1, xi ]
上任取
一点
，
i
o a x1
b xi1i xi xn1
x
以 [ xi1, xi ]为底，f (i ) 为高的小矩形面积为
Ai f (i )xi
曲边梯形面积的近似值为
n
A f (i )xi
2、定 积 分 的 值 只 与 ______ 及 _______ 有 关 ， 而 与 _________的记法无关 .
3、定积分的几何意义是_______________________ .
4、区间 a , b 长度的定积分表示是_____________ .
二、利用定积分的定义计算由抛物线y x 2 1 , 两直线 x a , x b ( b a) 及横轴所围成的图形的面积 .
i 1
当分割无限加细,即小区间的最大长度
max{x1, x2 ,xn }
趋近于零 ( 0) 时，
n
曲边梯形面积为
A
lim
0
i 1
f
(i )xi
实例2 （求变速直线运动的路程）
设某物体作直线运动，已知速度v v(t )是 时 间 间 隔[T1 ,T2 ] 上t 的 一 个 连 续 函 数 ， 且 v(t) 0，求物体在这段时间内所经过的路程.
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第五章 定积分
第一节 定积分概念
5.1.1两个实例 引例1：曲边梯形的面积 1.曲边梯形的定义: 由曲线y＝f (x) ,直线x＝a、x＝b
及 x 轴围成的平面图形
y
y f (x)
x
oa
b
2.计算曲边梯形的面积 （1）分割
y
y f (x)
在[a, b]上取分点： a x0 x1 x2 xn b
t1 t1 t0 , t2 t2 t1,, tn tn tn1
（2）近似代替 在每个小时间段内把销售速度看作匀速,任取一时刻
1 [t0 , t1],2 [t1, t2 ],,n [tn1, tn ]
v(1 ),v(2 ),,v(n )为各个小区间上的销售速度
则每个小时间段内的销售量为：
i 1
i 1
b
b
2.a kf ( x)dx ka f ( x)dx
bHale Waihona Puke cb3.a f ( x)dx a f ( x)dx c f ( x)dx
y
y f (x)
s1
s2
x
oa
c
b
4.若f ( x)
g( x)，则
b
f ( x)dx
b
g( x)dx
a
a
y
y f (x)
y g(x)
oa
x b
= =
o a x1 x2
x0
x xn1 b
xn
过每一个分点作 x 轴的垂线，把大曲边梯形分成n
个小曲边梯形，每个小曲边梯形的底边长度记作:
x1 x1 x0 , x2 x2 x1,, xn xn xn1
（2）近似代替
y
在每个小区间内任取一点 f (1)
y f (x)
1 [ x0 , x1],2 [ x1, x2 ],,
lim
0
i
1
v(
i
)
ti
q总
5.1.2定积分的概念
一、定义
b
a
f
( x)dx
n
lim
0 i1
f
( i
)
xi
二、注意理解
1.定积分的值是一个常数，与积分变量表示的 字母无关
2.在定积分中，假定a b，则有
a
(1)a f ( x)dx 0
a
b
(2)b f ( x)dx a f ( x)dx
q1 v(1 ) t1, q2 v(2 ) t2 ,, qn v(n ) tn
（3）求和
q总 q1 q2 qn
v(1 ) t1 v(2 ) t2 v(n ) tn
n
v(i ) ti （和式）
i 1
（4）取极限
当n 时，各个小时间段中的最大值 0
n
和式的极限
n [ xn1, xn ]
x o x0 1x1
以f (1 ), f (2 ),, f (n )为高作小矩形
则每个小矩形的面积为：
S1 f (1 ) x1, S2 f (2 ) x2 ,, Sn f (n ) xn
（3）求和 S曲 S1 S2 Sn
y
y f (x)
f (1 ) x1 f (2 ) x2
5.1.3定积分的几何意义
5.1.4定积分的性质
b
b
b
1.a[ f ( x) g( x)]dx a f ( x)dx a g( x)dx
证明思路：
n
n
[ f (i ) g(i )] xi [ f (i ) xi g(i ) xi ]
i 1
i 1
n
n
f (i ) xi g(i ) xi
5.积分估值定理：m(b a)
b
f ( x)dx M(b a)
a
y y f (x) M
m
oa
x b
6.积分中值定理：b f ( x)dx f ( )(b a) a y y f (x)
f ( )
oa
x
b
x
f (n ) xn
o x0
xn
n
f (i ) xi （和式）
i 1
（4）取极限
当n 时，小区间长度中的最大值 0
n
和式的极限 lim 0 i1
f (i ) xi
S曲
引例2：商品的销售总量q 已知某商品的销售速度为v v(t)(v(t) 0), 在时间段[T1,T2 ]上是连续函数，求销售总量 （1）分割 在[T1,T2 ]上取分点：T1 t0 t1 t2 tn T2 把[T1,T2 ]分n个时间段，每个时间段的长度为：
第一节 定积分概念
5.1.1两个实例 引例1：曲边梯形的面积 1.曲边梯形的定义: 由曲线y＝f (x) ,直线x＝a、x＝b
及 x 轴围成的平面图形
y
y f (x)
x
oa
b
2.计算曲边梯形的面积 （1）分割
y
y f (x)
在[a, b]上取分点： a x0 x1 x2 xn b
t1 t1 t0 , t2 t2 t1,, tn tn tn1
（2）近似代替 在每个小时间段内把销售速度看作匀速,任取一时刻
1 [t0 , t1],2 [t1, t2 ],,n [tn1, tn ]
v(1 ),v(2 ),,v(n )为各个小区间上的销售速度
则每个小时间段内的销售量为：
i 1
i 1
b
b
2.a kf ( x)dx ka f ( x)dx
bHale Waihona Puke cb3.a f ( x)dx a f ( x)dx c f ( x)dx
y
y f (x)
s1
s2
x
oa
c
b
4.若f ( x)
g( x)，则
b
f ( x)dx
b
g( x)dx
a
a
y
y f (x)
y g(x)
oa
x b
= =
o a x1 x2
x0
x xn1 b
xn
过每一个分点作 x 轴的垂线，把大曲边梯形分成n
个小曲边梯形，每个小曲边梯形的底边长度记作:
x1 x1 x0 , x2 x2 x1,, xn xn xn1
（2）近似代替
y
在每个小区间内任取一点 f (1)
y f (x)
1 [ x0 , x1],2 [ x1, x2 ],,
lim
0
i
1
v(
i
)
ti
q总
5.1.2定积分的概念
一、定义
b
a
f
( x)dx
n
lim
0 i1
f
( i
)
xi
二、注意理解
1.定积分的值是一个常数，与积分变量表示的 字母无关
2.在定积分中，假定a b，则有
a
(1)a f ( x)dx 0
a
b
(2)b f ( x)dx a f ( x)dx
q1 v(1 ) t1, q2 v(2 ) t2 ,, qn v(n ) tn
（3）求和
q总 q1 q2 qn
v(1 ) t1 v(2 ) t2 v(n ) tn
n
v(i ) ti （和式）
i 1
（4）取极限
当n 时，各个小时间段中的最大值 0
n
和式的极限
n [ xn1, xn ]
x o x0 1x1
以f (1 ), f (2 ),, f (n )为高作小矩形
则每个小矩形的面积为：
S1 f (1 ) x1, S2 f (2 ) x2 ,, Sn f (n ) xn
（3）求和 S曲 S1 S2 Sn
y
y f (x)
f (1 ) x1 f (2 ) x2
5.1.3定积分的几何意义
5.1.4定积分的性质
b
b
b
1.a[ f ( x) g( x)]dx a f ( x)dx a g( x)dx
证明思路：
n
n
[ f (i ) g(i )] xi [ f (i ) xi g(i ) xi ]
i 1
i 1
n
n
f (i ) xi g(i ) xi
5.积分估值定理：m(b a)
b
f ( x)dx M(b a)
a
y y f (x) M
m
oa
x b
6.积分中值定理：b f ( x)dx f ( )(b a) a y y f (x)
f ( )
oa
x
b
x
f (n ) xn
o x0
xn
n
f (i ) xi （和式）
i 1
（4）取极限
当n 时，小区间长度中的最大值 0
n
和式的极限 lim 0 i1
f (i ) xi
S曲
引例2：商品的销售总量q 已知某商品的销售速度为v v(t)(v(t) 0), 在时间段[T1,T2 ]上是连续函数，求销售总量 （1）分割 在[T1,T2 ]上取分点：T1 t0 t1 t2 tn T2 把[T1,T2 ]分n个时间段，每个时间段的长度为：