九年级上学期期中考试题
2024学年上海市闵行区九年级语文上学期期中考试卷附答案解析
2024学年上海市闵行区九年级语文上学期期中考试卷（考试时间：100分钟满分：150分）一、古诗文（一）默写1.默写。
（1）______，万古惟留楚客悲。
（《长沙过贾谊宅》）（2）浮光跃金，____________。
（《岳阳楼记》）（3）____________，山雨欲来风满楼。
（《咸阳城东楼》）（4）古诗词中用典是诗人常用的手法，李白思慕明君渴望得到重用，借《行路难》中“____________，____________”两句委婉寄意。
（二）阅读下列古诗文，完成各题【甲】酬乐天扬州初逢席上见赠巴山楚水凄凉地，二十三年弃置身。
怀旧空吟闻笛赋，到乡翻似烂柯人。
沉舟侧畔千帆过，病树前头万木春。
今日听君歌一曲，暂凭杯酒长精神。
【乙】已而夕阳在山，人影散乱，太守归而宾客从也。
树林阴翳，鸣声上下，游人去而禽鸟乐也。
然而禽鸟知山林之乐，而不知人之乐；人知从太守游而乐，而不知太守之乐其乐也。
醉能同其乐，醒能述以文者，太守也。
太守谓谁？庐陵欧阳修也。
【丙】景公登牛山齐景公游于牛山之上，而北望齐，曰：“美哉国乎！郁郁蓁蓁，使古无死者则寡人将去此而何之？”俯而泣沾襟。
国子、高子曰：“然臣赖君之赐，疏食恶肉可得而食也，驽马柴车可得而乘也，且犹不欲死，况君乎！”俯泣。
晏子曰：“乐哉！今日婴之游也。
见怯君一，而谀臣二。
使古而无死者，则太公至今犹存，吾君方今将被蓑笠而立乎畎亩之中，惟事之恤①，何暇念死乎！”景公惭，而举觞自罚，因罚二臣。
注释：①恤：担忧。
（选自《韩诗外传》）2.【甲】诗中的“君”是指______，【乙】文作者晚年号“______”。
3.解释【丙】的加点词语且犹不欲死（）使古而无死者（）4.下列对【丙】文画线句断句最恰当的一项是（）A.使古无死者/则寡人/将去此而何之B使/古无死者/则寡人将去此而何之C.使/古无死者/则寡人/将去此而何之D.使古无死者/则寡人将去此而何之5.用现代汉语翻译【乙】文画线句。
醉能同其乐，醒能述以文者，太守也。
山西省晋中市介休市2024-2025学年九年级上学期期中考试语文试题(含答案)
介休市2024—2025学年第一学期期中质量评估试题（卷）九年级语文注意事项：1.本试卷共8页，满分120分，考试时间150分钟。
2.答卷前考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置。
3.答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效。
4.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、古典之美（一）1.学校诗社开展“诗中寻美”活动。
下面是小华同学制作的诗文名句练习卡，请将空缺处的古诗文原句填写在横线上。
（10分）自然之美“，枳花明驿墙。
”俯仰之间，落叶繁华，野趣横生。
（温庭筠《商山早行》）（2）“若夫日出而林霏开，。
”朝自暗而明，暮自明而暗，变化生趣。
（欧阳修《醉翁亭记》）（3）“，。
”妙用对偶，鸟欢鱼跃，心旷神怡。
（范仲淹《岳阳楼记》）情志之美（4）“，肯将衰朽惜残年。
”坦陈心志，不惜残年，忠君弥坚。
（韩愈《左迁至蓝关示侄孙湘》）（5）“沉舟侧畔千帆过，。
”乐观向上，积极进取，蕴含哲理。
（刘禹锡《酬乐天扬州初逢席上见赠》）（6）“汉文有道恩犹薄，。
”溯古思今，千古文人，命运相同。
（刘长卿《长沙过贾谊宅》）（7）“露从今夜白，。
”白露既降，天气转凉，思念亲人。
（杜甫《月夜忆舍弟》）（8）“，。
”坚定信念，自信昂扬，实现理想。
（李白《行路难》）古诗的美在大自然的草木间，在诗人流动的诗情里。
2.请赏读下面两幅书法作品，选用其中合适的诗句填空。
（2分）诗句：但愿人长久，千里共婵娟。
（苏轼《水调歌头》）点评：月圆人未圆，苏轼借明月表达对亲人的思念与祝福。
以上两幅书法作品中“，”两句与之有异曲同工之妙。
（二）班级开展“品古典意韵”文言文探究活动，请阅读下面的选文，并完成第3-7题。
【甲】至于负者歌于途，行者休于树，前者呼，后者应，伛偻提携，往来而不绝者，滁人游也。
临溪而渔，溪深而鱼肥，酿泉为酒，泉香而酒洌，山肴野蔌，杂然而前陈者，太守宴也。
宴酣之乐，非丝非竹，射者中，弈者胜，觥筹交错，起坐而喧哗者，众宾欢也。
江西省九江市第三中学2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试卷(含答案)
江西省2025届九年级期中综合评估数学▶上册◀说明：共有六个大题，23个小题，满分120分，考试时间120分钟.一、单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）在每小题列出的四个备选项中只有一项是最符合题目要求的，请将其代码填入题后括号内错选、多选或未选均不得分.1.若关于的函数是二次函数，则的值为（ ）A.1B.2C.0D.32.以下是几种化学物质的结构式，其中文字上方的结构式图案属于中心对称图形的是（ ）A.甲醛B.甲烷 C.水 D.乙酸3.已知关于的一元二次方程有一个根为，则另一根为（ ）A.7B.3C.D.4.如图，四边形是的内接四边形，连接，，若，则的度数是（ ）A. B. C. D.5.在平面直角坐标系中，将抛物线绕顶点旋转得到新抛物线，再将新抛物线沿轴翻折得到抛物线，则，，的值分别是（ ）A.2，，11B.2，，5C.，，11D.，8，56.某校计划举办劳动之星颁奖典礼，想在颁奖现场设计一个如图1所示的抛物线型拱门入口.要在拱门上顺次粘贴“劳”“动”“之”“保”（分别记作点，，，）四个大字，要求与地面平行，且，抛物线最高点的五角星（点）到的距离为，，，如图2所示，则点到的距离为（ ）图1 图221.124.1~x 31my x x =-+m x 2520x x m -+=2-7-3-ABCD O OA OC 86AOC ∠=︒ADC ∠94︒127︒136︒137︒285y ax x =-+P 180︒x22y x bx c =++a b c 8-8-2-8-2-A B C D BC BC AD ∥E BC 0.6m 2m BC =4m AD =C ADA. B. C. D.二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）7.一元二次方程的解为______.8.在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是______.9.如图，是半圆的直径，，为的中点，连接，，则的度数为______.10.《九章算术》“勾股”章有一题：“今有二人同所立.甲行率七，乙行率三.乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会，问甲、乙行各几何.”大意是说：已知甲、乙两人同时从同一地点出发，甲每单位时间走7步，乙每单位时间走3步.乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇.那么相遇时，甲、乙各走了多远？设甲走了步（步为古代长度单位，类似于现在的米），根据题意可列方程：____________.（结果化为一般式）11.在平面直角坐标系中，若抛物线向左平移2个单位长度后经过点，则的最大值为______.12.如图，在矩形中，连接，，，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连接，，当时，的周长为______三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）13.（1）解方程：.（2）如图，将绕点逆时针旋转得到，若，且于点，求的度数.14.某件夏天T 恤的售价为100元，因换季促销，在经过连续两次降价后，现售价为81元，求平均每次降价的百分率.15.自古以来，景德镇就是中国陶瓷文化的象征，生产的瓷器闻名四方，远销世界各地.如图，这是景德镇2m 1.8m 2.4m 1.5m290x -=()2,4-BC OAB AC =D AC OD BD BDO ∠x ()()220y a x c a =-+≠()1,6-ac ABCD AC 1AB =60BAC ∠=︒AB B ()0180a α︒<≤︒BP CP DP 12PCB BAC ∠=∠DPC △()()()2131x x x x +=++ABC △A 28︒AB C ''△40C ∠'=︒AB BC '⊥E BAC ∠生产的某种瓷碗正面的形状示意图，是的一部分，是的中点，连接，与弦交于点，连接，.已知，碗深，求的长.16.如图，是的直径，点，点在上，，，请仅用无刻度的直尺按下列要求作图（保留作图痕迹）.（1）如图1，在上作一点，使得是以为底边的等腰三角形.（2）如图2，在上方作一点，使得为等边三角形.图1图217.在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴没有交点.（1）求的取值范围.（2）请直接写出抛物线顶点所在的象限.四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）18.如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点.（1）求的值，并求出此抛物线的顶点坐标.（2）当时，请利用图象，直接写出的取值范围.（3）当时，请利用图象，直接写出的取值范围.19.如图，在中，，将绕点顺时针旋转，得到，连接，.（1）求证：点，，在同一条直线上.（2）若，，求的面积.AB O D AB OD AB C OA OB 18cm AB =6cm CD =OA AB O C D O 60COA ∠=︒OD AB ⊥OD E OCE △OC AB F ABF △214y x x c =-++x c 222y x xc c c =-+-24y x mx =-++()3,4A -m 20x -≤≤y 0y ≤x ABC △135BCA ︒∠=ACB △A 90︒ADE △CD CE B C D 2BC=AC =CDE △20.某主播销售一种商品，已知这种商品的成本价为20元/个，规定销售价格不低于成本价，且不高于成本价的2倍，通过前几天的销售发现，该商品每天的销售量（单位：个）与销售价格（单位：元/个）之间满足一次函数关系，部分对应数据如下表：/（元/个） (23252811)/个…540500440…（1）求出关于的函数关系式，并直接写出的取值范围.（2）求销售该商品每天的最大利润.五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）21.追本溯源题（1）来自课本中的习题，请你完成解答，提炼方法并解答题（2）.（1）如图1，，比较与的长度，并证明你的结论.方法应用（2）如图2，，是的两条弦，点，分别在，上，连接，，且，是的中点.①求证：.②若圆心到的距离为3，的半径是6，求的长.图1 图222.如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于点和点（点在点的左侧），与轴相交于点，点与点关于轴对称，为该抛物线上一点，连接，，，.（1）求该抛物线的解析式.（2）若的面积与的面积相等，请直接写出点的横坐标.y x x y y x x AD BC = AB CDMB MD O A C MBMD AB CD AB CD =M AC BM DM =O DM O DM 25y x bx =-++x A ()5,0B A B y C D A y E AC CD DE BE BDE △ACD △E（3）当点在第一象限时，连接，设的面积为，求的最大值.六、解答题（本大题共12分）23.综合与实践如图，是等边内一点，，连接，将线段绕点顺时针旋转得到，连接.初步感知（1）如图1，的延长线与交于点，求的度数.特例应用（2）如图2，作点关于的对称点，若点在的角平分线上.①当点与点重合时，的长为______；②当点与点不重合时，判断四边形的形状，并证明.拓展延伸（3）如图2，在（2）的条件下，取的中点，记为，当点从点运动到点时，请直接写出点运动的路径长.图1图2E CE ECD △S S P ABC △2AB =CP CP C 60︒CE AE BP AE Q AQB ∠E ACF P ABC △BD P F BP P F BPEF FPG P B D G江西省2025届九年级期中综合评估数学参考答案1.B2.C3.A4.D5.A 提示：由旋转和翻折可知，，抛物线的顶点的坐标为.点关于轴的对称点的坐标为，最后得到的抛物线的解析式为，.故选A.6.B 提示：建立如图所示的平面直角坐标系.由题意易知点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为，故设抛物线的解析式为，将点的坐标代入上式，得，抛物线的解析式为.点的横坐标为2，点的纵坐标为，点到的距离为.故选B.7.8.9.10.11.912.3或或 提示：，，，，，.如图1，当时，此时.易证得为等边三角形，的周长为；2a =8b =-∴2285y x x =-+P ()2,3- ()2,3P -x ()2,3∴()222232811y x x x =-+=-+11c ∴=C ()1,0B ()1,0-E ()0,0.6()()11y a x x =+-E 0.6a =-∴()()0.611y x x =-+- D ∴D ()()0.62121 1.8-⨯+⨯-=-∴C AD 1.8m 3x =±()2,4-22.5︒24020049x x -=2+3+1AB = 90ABC ∠=︒60BAC ∠=︒1CD ∴=22AC AB ==BC ∴==60α=︒1302PCB BAC ∠=︒=∠DPC △DPC ∴△33CD =如图2，当时，此时，，.易证得，，的周长为；如图3，当时，此时，，，.的周长为.综上所述，的周长为3或或.图1 图2 图313.（1）（解法不唯一）解：，，，.（2）解：将绕点逆时针旋转得到.，.又，，.14.解：设平均每次降价的百分率为.由题意得，解得，（舍去）.答：平均每次降价的百分率为.15.解：是的中点，，.设，则.在中，由勾股定理得，120α=︒1302PCB BAC ∠=︒=∠30PBC PCB ∴∠=∠=︒1PC BP ∴==DCP BPC ≌△△DP BC ∴==DPC ∴△2CD PC DP ++=+180a =︒1302PCB BAC ∠=︒=∠2PC AC ∴==22AP AB ==DP ∴===DPC ∴△123CD PC DP ++=+=+DPC △2+3+()()()2131x x x x +=++ ()()1230x x x ∴+--=11x ∴=-23x = ABC △A 28︒AB C ''△28BAE ∴∠=︒40C C ∠'=∠=︒AB BC '⊥ 9050EAC C ∴∠=︒-∠=︒285078BAC BAE EAC ∴∠=∠+∠=︒+︒=︒x ()2100181x -=10.110%x ==2 1.9x =10%DAB OD AB ∴⊥19cm 2AC BC AB ∴===cm OA r =()6cm OC r =-Rt OAC △222OC AC OA +=即，解得，的长为.16.解：（1）如图1，即所求.（2）如图2，即所求.图1 图217.解：（1）抛物线与轴没有交点，，即，解得.（2）第二象限.提示：，该抛物线的顶点坐标为.，，点在第二象限.18.解：（1）把代入，得，解得.，抛物线的顶点坐标为.（2）当时，的取值范围是.（3）当时，的取值范围是或.19.解：（1）证明：是由绕点顺时针旋转得到的，，，，.()22269r r -+=394r =OA ∴39cm 4OCE △ABF △ x 240b ac ∴∆=-<10c +<1c <-()2222y x xc c c x c c =-+-=-- ∴(),c c -1c <- 1c ∴->∴(),c c -()3,4A -24y x mx =-++9344m --+=3m =-223253424y x x x ⎛⎫=--+=-++ ⎪⎝⎭∴325,24⎛⎫- ⎪⎝⎭20x -≤≤y 2544y ≤≤0y ≤x 4x ≤-1x ≥ADE△ACB △A 90︒ACB ADE ∴≌△△90CAD ∠=︒AC AD ∴=()1180452ACD ADC CAD ∴∠=∠=︒-∠=︒又，，点，，在同一条直线上.（2）由（1）可知，，.，.，.20.解：（1）设关于的函数关系式为.将，代入上式.得解得.（2）设销售该商品每天的利润为元.由题意得.，，当时，取得最大值，且最大值为4500.答：销售该商品每天的最大利润为4500元.21.解：（1）.证明：，，，即.（2）①证明：是的中点，.，，，，.②如图，过点作，是垂足，连接.135BCA ∠=︒ 13545180BCA ACD ∴∠+∠=︒+︒=︒∴B C D 90CAD ∠=︒AC AD=6CD ∴===135ADE BCA ︒∠=∠= 90CDE ADE ADC ︒∴∠=∠-∠=2DE BC == 1162622CDE S CD DE ∴=⋅=⨯⨯=△y x y kx b =+()23,540()25,50023540,25500,k b k b +=⎧⎨+=⎩20,1000,k b =-⎧⎨=⎩()2010002040y x x ∴=-+≤≤W ()()()22202010002014002000020354500W x x x x x =--+=-+-=--+200-< 203540<<∴35x =W AB CD=AD BC = AD BC∴= AD AC BC AC ∴+=+ AB CD=M AC AM CM∴=AB CD = AB CD∴= AB AM CMCD ∴+=+ BMDM ∴=BM DM ∴=O ON MD ⊥N OM在中，，，22.解：（1）∵抛物线与轴相交于点和点，，解得，该抛物线的解析式为.（2.（3），令，即，解得，，点的坐标为.点与点关于轴对称，点的坐标为.设点的坐标为.设直线的解析式为.由点，的坐标可知，解得直线的解析式为.如图，过点作轴，交于点.当时，，点的坐标为，， Rt OMN △3ON =6OM =MN ∴==2DM MN ∴==25y x bx =-++x A ()5,0B 25550b ∴-++=4b =∴245y x x =-++245y x x =-++ ∴0y =2450x x -++=11x =-25x =∴A ()1,0- D A y ∴D ()1,0-E ()2,45m m m -++CE y kx t =+()0,5C ()2,45E m m m -++25,45,t mk t m m =⎧⎨+=-++⎩4,5,k m t =-+⎧⎨=⎩∴CE ()45y m x =-++D DF y ∥CE F 1x =()459y m m =-++=-+∴F ()1,9m -+9DF m ∴=-则，当时，的值最大，且最大值为，故的最大值为.23.解：（1），，即.又，，（SAS ），.，.（2②四边形为平行四边形.证明：如图1，连接.图1在等边中，平分，.又，关于对称，，，，.在等边中，，，.在等边中，，，，，，，.平分，，，，为等边三角形，()2111981922228E S DF x m m m ⎛⎫=⋅⋅=-=--+ ⎪⎝⎭∴92m =S 818S 81860ACB PCE ∠=∠=︒ ACB ACP PCE ACP ∴∠-∠=∠-∠BCP ACE ∠=∠BC AC = CP CE =BCP ACE ∴≌△△CBP CAE ∴∠=∠CBP ACB CAE AQB ∠+∠=∠+∠ 60AQB ACB ︒∴∠=∠=BPEF CF ABC △BD ABC ∠BD AC ∴⊥E F AC AF AE ∴=CF CE =AC EF ∴⊥EF BP ∴∥ PCE △60PCE ∠=︒PC CE PE ==CF PC ∴= ABC △AC BC =60ACB ∠=︒ACB PCE ∴∠=∠PCB ACE ∴∠=∠()SAS BCP ACE ∴≌△△CAE CBP ∴∠=∠BP AE =BD ABC ∠30CBP ︒∴∠=30CAE FAC CBP ∴∠=∠=∠=︒60FAE ∴∠=︒AFE ∴△，.，，四边形为平行四边形.（3.提示：将图1中与的交点记为.由（2）易知.，，，即，易求得，，.如图2，当点从点运动到点时.图2，点的运动路径为图2中的长，为的中点，连接，.，同理可得，是等边三角形.是的中点，，易求得.AE EF ∴=BP EF ∴=BP EF ∥BP EF =∴BPEF AF BP M BP AF =30FAB ABP ∠=∠=︒ AM BM∴=BP BM AF AM ∴-=-PM FM =∴30MPF ∠=︒MPF ABP ∴∠=∠PF AB ∴∥P B D PF AB ∥∴G GH H AB DH HF 112DF AB == 1DH HF ==DFH ∴△G DF 1DH DF ==∴GH =。
黑龙江省哈尔滨第一一三中学2024-2025学年九年级上学期11月期中考试数学试题(含答案)
．如图所示的由六个小正方体组成的几何体的俯视图是（）．．．．．如图，点A⊙O上的三点，已知∠AOB=100∘的度数是（C．50∘C．213D．，则下列比例式正确的是（C．AEEC =BFFC图象的一部分，图象过点③+c=0；④abc<.其中正确的个数是（C．3D．21~22题各7分，23~24题各，其中x=3tan30∘++1的方格纸中，有线段AB和线段为一边的菱形ABEF，所画的菱形的各顶点必须在小正方形的顶点上，为底边画出等腰三角形CDK，点K在小正方形的顶点上，且FK，请直接写出线段FK的长x的图象与反比例函数的图象交于．如图，在平面直角坐标系中，已知正比例函数y=13）如图1，求证：∠EAC=∠ABO；）如图2，延长AE交⊙O于点D，连接OD交BC于点F，CD=CF，求证：AB=AD；）在（2）的条件下，延长BC至点I，连接AI交⊙O于点H，连接CH、DH、DI，连接AO并延长交=3OF，∠BAI=2∠HDI，CI=5，求⊙O的半径长.．如图在平面直角坐标系中抛物线y=ax2+bx+4经过点A(−2,0)、B(4,0)，点D为抛物线顶点.）如图1，求a、b的值；）如图2，横坐标为t的点P在第一象限对称轴右侧抛物线上，连接PA、PD、AD，△PAD的面积为S 与t之间的函数关系式，直接写出自变量t的取值范围；）在（2）的条件下，AP交y轴于点E，连接BC，点F在线段BC上，且在PE上方，连接PF、EF，∠PFE 90∘，S△PEF=9AE2，点Q在第四象限抛物线上，连接AQ，DQ，∠AQD=2∠PDQ，求线段PQ的长.16=1a，⇒a=−6.∴3≠0)把A(−6,−2)代入∵C(4,1)，∴PC=4−1=3.OD=3∴S△POC=1/2PC×OD=1/2×2×2=9/224．（1）证明：∵CE，CF分别平分∠ACB，∠ACD∴∠1=∠2，∠3=∠4，∵∠1+∠2+∠3+∠4=180∘，∴2∠1+2∠3=180∘∴∠1+∠3=90∘，∵EF//BC∴∠5=∠2=∠1，∴EO=OC∵Rt△ECF中，∠5+∠6=90∘∵∠1+∠3=90，∴∠1=∠5，∴∠3=∠6∴OC=OF，∵EO=OC，OC=OF，∴EO=OF（2）当O运动到AC中点时，四边形AECF是矩形∵O为AC中点，∴AO=OC∵EO=OF，∴四边形AECF是平行四边形∵∠ECF=∠1+∠3=90∘∴平行四边形AECF是矩形25．（1）解：y=−10x+520，（2）(x−20)(−10x+520)=2520解得，x1=38，x2=34答：略（3）设，获利w元。
山东省济南市历下区2024-2025学年九年级上学期11月期中考试数学试题
山东省济南市历下区2024-2025学年九年级上学期11月期中考试数学试题一、单选题1．2024年巴黎奥运会，中国体育健儿勇夺91枚奖牌，如图是本届奥运会的领奖台，其左视图是（）A ．B ．C ．D ．2．已知点()13,A y -，()21,B y -和()32,C y 都在反比例函数()0ky k x=>的图象上，则1y ，2y 和3y 的大小关系是（）A ．312y y y <<B ．213y y y <<C ．123y y y <<D ．321y y y <<3．如图1是某班级的花架，图2是其侧面示意图，已知AB CD EF ∥∥，36cm AC =，35BD DF =，则AE 的长为（）A ．48cmB ．60cmC ．96cmD ．120cm4．10月16日是世界粮食日．某校组织了粮食安全公益活动，现有“节粮宣讲员”、“光盘示范员”和“爱粮监督员”三类志愿者岗位身份，小霞和小艺从中任选一类，则她们恰好选到同一类岗位的概率是（）A ．14B ．13C ．12D ．235．函数y kx k =-和()210k y k x+=-≠在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．6．“黄金比例分割法”是启功先生研究的一套楷书结构法，是将正方形按照黄金分割的比例来分割，形成“黄金格”（如图，四条与边平行的线的交点都是黄金分割点），汉字的笔画至少要穿过两个黄金分割点才美观．若正方形“黄金格”的边长为8cm ，四个黄金分割点组成的正方形的边长为（）A ．()4cmB ．()16cmC ．(12cm-D ．(24cm-7．如图，直线y x =-与双曲线()0ky k x=≠交于A ，B 两点，已知OA =表达式为（）A ．3y x=B ．3y x=-C ．9y x=D ．9y x=-二、填空题8．如图，圭表是度量日影长度的一种天文仪器，垂直于地面的直杆叫“表”，水平放置于地面上刻有刻度以测量影长的标尺叫“圭”．当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，冬至日影最长，夏至日影最短．圭面上冬至线与夏至线之间的距离AB 的长为3.5m ，则表高为（）（参考数据：冬至时，0.5≈表高影长；夏至时，3≈表高影长）A ．2.1mB ．2.4mC ．56m .D ．5.8m三、单选题9．如图，点光源O 射出的光线沿直线传播，将胶片上的建筑物图片AB 投射到与胶片平行的屏幕上，形成影像CD ．已知3cm AB =，胶片与屏幕的距离EF 为定值，设点光源到胶片的距离OE 长为x （单位：cm ），CD 长为y （单位：cm ），y 随x 的变化而变化，且当60x =时，43y =，则y 与x 的函数关系可表示为（）A ．4360y x =B ．233y x =+C ．24003y x=+D ．2580y x=10．已知反比例函数()22a y a x-=≠，点()11,M x y 和()22,N x y 是反比例函数图象上的两点．若对于12x a =，256x ≤≤，都有12y y >，则a 的取值范围是（）A ．502a -<<或522a <<B ．532a -<<且2a ≠，0a ≠C ．532a -<<-或02a <<D ．5522a -<<且2a ≠，0a ≠四、填空题11．若()304n m m =≠，则n mm+=．12．近年来，济南环境保护效果显著，越来越多的候鸟选择来济过冬．为了解候鸟的情况，生物学家采用“捕获—标记—再捕获”的方法估计候鸟的数量．先随机捕捉40只候鸟，戴上标记卡并放回，经过一段时间后，重复进行5次捕捉．记录数据如下表，由此估计该区域约有只候鸟．累计捕捉数量（只）100200350420480带有标记卡数量（只）132444526013．坐落于济南市大明湖的超然楼是一座拥有700年历史的名楼，《周髀算经》中有“偃矩以望高”的测高方法，“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的ABC ），小明受到启发，利用“矩”测量超然楼DE 的高度．通过调整自己的姿势和“矩”的摆放位置，使AC 保持水平，点A 、B 、D 在同一直线上，90AFE DEF ∠=∠=︒，测得0.15m AB =，0.2m BC =， 1.7m AF =，37.5m EF =，则超然楼的高度DE =m ．14．如图，点P ，Q ，R 在反比例函数()0ky x x=>的图象上，分别过这三个点作x 轴、y 轴的平行线．图中所构成的阴影部分面积从左到右依次为1S ，2S ，3S ．若OE ED DC ==，2320S S +=，则k =．15．如图，在ABCD 中，4AB =，6AD =，45A ∠=︒，点E 为边AD 上的一个动点，连接EC 并延长至点F ，使得12CF CE =，以EB ，EF 为邻边构造BEFG ，连接CG ，则CG 的最小值为．五、解答题16．如图，一次函数4y kx =+的图象与反比例函数()0my x x=<的图象交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，()1,3B -，连接OA ，OB ．(1)求k 和m 的值；(2)求AOB V 的面积．17．图1是小亮沿广场道路AB 散步的示意图，线段CD 表示直立在广场上的灯柱，点C 表示照明灯的位置，已知小亮身高1.5m ，6m CD =．(1)如图2，小亮站在E 处时与灯柱的距离9m ED =，则此时小亮的影长AE =m ；(2)如图3，小亮继续行至G 处时，发现其影长KG 恰为身高的一半，求此时小亮与灯柱的距离．18．如图，在平面直角坐标系中，ABC V 的顶点坐标分别是()2,6A ，()6,2B ，()10,0C ．(1)以原点O 为位似中心画111A B C △，使它与ABC V 位似．若1112A B AB =在第一象限内画出111A B C △；(2)在（1）的条件下，求点1A的坐标．19．如图1，直角尺是机械行业中检验工件垂直度的常用工具．如图2，在矩形ABCD中，直角尺的顶点G在CD上滑动，当点E落在BD上时，另外两个顶点恰好与A，B重合．若==，求BD的长．BE AE22420．2024年8月8日是中国第16个“全民健身日”．为提高学生身体素质，积极倡导全民健身，某校开展了一分钟跳绳比赛．数学兴趣小组随机抽取了部分学生成绩，并对数据进行统计整理，以下是不完整的统计图表．一分钟跳绳成绩统计表成绩等级一分钟跳绳次数频数x≥nA160x≤<75B120160x≤<69C80120x<36D80请根据以上信息，完成下列问题．(1)随机抽取的学生人数为人，统计表中的n=，统计图中B等级对应扇形的圆心角为度；(2)该校共有800人参加比赛，请你估计该校成绩达到B等级及以上的有多少人?(3)该比赛服务组有两名男生和两名女生，现从中随机挑选两名同学负责跳绳发放工作，请用树状图法或列表法求出恰好选中“一男一女”的概率．21．如图1，在平面直角坐标系中，直线y x b =+与双曲线()10ky k x=≠交于()4,1A m +，(),3B m -．(1)求一次函数和反比例函数的表达式；(2)根据图象，直接写出关于x 的不等式kx b x+<的解集；(3)如图2，将直线y x b =+向上平移a 个单位长度得到直线l ，直线l 与反比例函数()2130y x x=-<的图象交于C ，D 两点，与双曲线1k y x =在第一象限内交于点E ，连接BD ，EA ，若四边形ABDE 是平行四边形，求a 的值．22．2024年9月，济南港—寿光港集装箱业务的首船作业，标志着小清河复航业务再结硕果．集装箱搬运车是为了更高效地对集装箱进行搬运和叠放，当液压撑杆与吊臂垂直且吊臂完全伸展开时，集装箱搬运车的抓手可以达到最大高度．如图1是抓手达到最大高度时的示意图，四边形ABCD 为矩形，5m AB =，0.9m BC =，AE BF ⊥，延长FB DC ，交于点H ， 1.2m CH =．(1)求此时液压撑杆AE 的长；(2)已知吊臂BF 最长为9.5m ，抓手0.5m FG =，某批集装箱的长宽高如图2所示，使用该款搬运车最多能将集装箱在地面上叠放几层?请通过计算说明．23．小光根据学习函数的经验，探究函数11y x =-的图象与性质．(1)刻画图象①列表：下表是x ，y 的几组对应值，其中a =，b =；x …4-2-1-0122334544332234 (11)x -…15-13-12-1-2-a4-4321b13…②描点：如图所示；③连线：请用平滑的曲线顺次连接．(2)认识性质观察图象，完成下列问题：①当1x >时，y 随x 的增大而；②函数11y x =-的图象的对称中心是．（填写点的坐标）(3)类比探究①小光发现，函数11y x =-的图象可以由反比例函数1y x =的图象经过平移得到．请结合图象说明平移过程；②函数43y x =-的图象经平移可以得到函数42=+y x 的图象，请说明平移过程．24．（1）在ABC V 和DEC 中，AB AC =，DE DC =，90BAC EDC ∠==︒．①如图1，当CE 与AC 重合时，BEAD=；②如图2，DEC 绕点C 逆时针旋转一定角度，连接AD ，BE ，BEAD的值是否改变？请说明理由；（2）如图3，正方形ABCD 的边长为2，E 为边AB 上一动点，以CE 为斜边在正方形ABCD 内部作等腰直角CFE △，90CFE ∠=︒，连接AF ，BF ，当AFE ABF ∠=∠时，求BE 的长．25．某数学兴趣小组学习了反比例函数后，进一步研究反比例函数8y x=的图象，他们在平面直角坐标系内选定点133,2P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，过点P 作直线，并将图象沿该直线按一定的操作翻折，探究过程如下：【动手操作】操作1：如图1，过点P 作x 轴的平行线l ，将直线l 上方的反比例函数图象沿直线l 翻折得到新图象，与第一、三象限未翻折的图象组成“X 图象”．操作2：如图2，过点P 作y 轴的平行线m ，将直线m 左侧的反比例函数图象沿直线m 翻折得到新图象，与第一、三象限未翻折的图象组成“Y 图象”．操作3：如图3，过点P 作直线n ：152y x =-+，将第一象限内反比例函数的图象在直线n 下方的部分沿直线n 翻折得到新图象，与直线n 下方的图象组成的封闭图象是“Z 图象”．试卷第11页，共11页【解决问题】(1)如图1，求“X 图象”与x 轴的交点C 的坐标；(2)过x 轴上一点(),0Q t 作y 轴的平行线，与“Y 图象”交于点M ，N ．若3MN QN =，求t 的值；(3)如图3，反比例函数()80y x x =>的图象与直线n 交于点E ，F ，已知点G 和点H 是“Z 图象”上的两个动点，当以点E ，G ，F ，H 为顶点的四边形面积最大时，直接写出点G 和点H 的坐标．。
山东济南高新区2024—2025学年九年级数学第一学期期中考试试题(含答案)
高新区2024-2025学年第一学期九年级数学期中学业水平测试试题（满分150分时间120分钟）一．选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.如图，一个实木正方体内部有一个圆锥体空洞，它的左视图是( )A. B. C. D.2.若a4=b3，则ab的值是( )A.34B.43C.12D.1123.对于反比例函数y=﹣6x的图象，下列说法正确的是（）A.它的图象分布在一、三象限B.它的图象与坐标轴可以相交C.它的图象经过点（-4，-1.5）D.当x<0时，y的值随x的增大而增大4.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=4，AC=3，则sinB=( )A.35B.45C.√74D.34（第4题图）（第5题图）（第7题图）5.如图，DE∥BC，且EC:BD=2:3，AD=6，则AE的长为（）A.1B.2C.3D.46.函数与y=kx与y=kx-k(k≠0)在同一平面直角坐标系中的大致图象是( )7."今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸，问井深几何？"这是我国古代数学著作《九章算术》中的"井深几何"问题，它的题意可以由如图所示（单位：尺），已知井的截面图为矩形ABCD ,设井深为x 尺，下列所列方程中，正确的是( )A.5x =0.45B.x5+x=50.4C.x5﹣x=0.45D.x5+x=0.45A. B. C. D.9.根据图①所示的程序，得到了y与x的函数图象，如图②．若点M是y轴正半轴上任意一点，过点；②△OPO的面积为定M作PQ平行x轴交图象于点P、Q，连接OP、OQ，则以下结论：①x<0时，y=2x值；③x>0时，y随x的增大而增大；④MQ=2PM；⑤∠POO可以等于90°。
其中正确结论是（）A.①②⑤ B.②④⑤ C.③④⑤ D.②③⑤（第9题图）（第10题图）10.如图，正方形ABCD中，点E是CD边上一点，连结BE，以为对角线BE作正方形BGEF，边EF与正方形ABCD的对角线BD相交于点H，连结AF，有以下结论：①∠ABF=∠DBE；②△ABF∽△DBE；③AF ⊥BD；④2BG2=BH·BD，你认为其中正确的有（）A.1个B.2个C.3个D.4个二．填空题：（本大题共5个小题，每小题4分，共20分。
江苏省徐州市邳州市2024—2025学年上学期期中考试九年级数学试卷(含答案)
2024~2025学年度第一学期期中检测九年级数学试题注意事项1．本卷共6页，满分140分，考试时间100分钟。
2．答题前，请将姓名、文化考试证号用0.5毫米黑色字迹签字笔填写本卷和答题卡的指定位置。
3．答案全部涂、写在答题卡上，写在本卷上无效。
考试结束后，将答题卡交回。
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置）1．方程的解是（ ）A ．，B ．C ．，D ．，2．的半径长为4，若点P 到圆心的距离为3，则点P 与的位置关系是（ ）A ．点P 在内B ．点P 在上C ．点P 在外D ．无法确定3．方程的两根为、，则（ ）A ．6B ．－6C ．3D ．－34．下列函数的图象与的图象形状相同的是（ ）A ．B ．C ．D ．5．如图，A 、B 、C 、D 为一个正多边形的顶点，O 为正多边形的中心．若，则这个正多边形的边数为（ ）A ．7B ．8C ．9D ．10（第5题）6．如图，在半径为5的中，弦，点C 是弦AB 上的一动点，若OC 长为整数，则满足条件的点C 有（）240x x -=12x =-22x =4x =10x =24x =14x =-24x =O e O e O e O e O e 2261x x -=1x 2x 25y x =22y x=252y x =-+251y x x =++51y x =-20ADB ∠=︒O e 8AB =（第6题）A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个7．为响应“坚持绿色低碳，建设一个清洁美丽的世界”的号召，已知某市一共有285个社区，第一季度已有60个社区实现垃圾分类，第二、三季度实现垃圾分类的小区个数较前一季度平均增长率为x ，要在第三季度将所有社医都进行垃圾分类，下列方程正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．8．当时，函数的最小值为1，则a 的值为（ ）A ．0B ．2C ．0或2D ．0或3二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分．不需写出解题过程，请将答案直接填写在答题卡相应位置）9．一元二次方程的根是______．10．请在横线上写一个常数，使得关于x 的方程有两个相等的实数根．11．若是一元二次方程的一个根，则______．12．如图，是的内切圆，若，，则______°．（第12题）13．已知二次函数的图像经过点、，则______（填“>”“<”或“＝”）．14．如图，将一个圆锥展开后，其侧面是一个圆心角为108°，半径为12cm 的扇形，则该圆锥的底面圆的半径为______cm．()2601285x +=()2601285x -=()()2601601285x x +++=()()260601601285x x ++++=1a x a -≤≤221y x x =-+213x -=26______0x x -+=1x =20x mx n --=2024m n ++=O e ABC △60ABC ∠=︒50ACB ∠=︒BOC ∠=()()210y a x c a =-+<()11,y -()24,y 1y 2y（第14题）15．平面直角坐标系中，若平移二次函数的图象，使其与x 轴交于两点，且此两点的距离为1个单位，则平移方式为______．16．已知如图，二次函数的图像交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于C 点，连接BC ，点M 是BC 上一点，射线MN 与以A 为圆心，1为半径的相切于点N ，则线段MN 的最小值是______．（第16题）三、解答题（本大题共9小题，共84分，请在答题卡指定区域内作答，解答时写出相应文字说明、证明过程或演算步骤）17．（本题10分）解下列方程：（1）；（2）．18．（本题8分）已知关于x 的一元二次方程．求证：不论m 为何值，该方程总有两个实数根．19．（本题8分）如图，AB 是的直径，弦AD 平分，，垂足为E ．试判断DE 与的位置关系，并说明理由．（第19题）()()202420254y x x =--+2y =+A e 2420x x --=()()323x x x +=+210x mx m ++-=O e BAC ∠DE AC ⊥O e20．（本题8分）某小区有一块矩形绿地，长为20m ，宽为8m ．为美化小区环境，现进行如下改造，将绿地的长减少a m ，宽增加a m ，改造后的面积比原来增加，求a 的值．21．（本题10分）已知y 是x 的函数，下表中给出了几组x 、y 的对应值：x …－2－1.5－101 4.55…y…3m－2－31.3753…（1）建立直角坐标系，以表中各对对应值为坐标描出各点，用平滑曲线顺次连接，由图像可知，它是我们学过的哪类函数？求出函数表达式，并直接写出m 的值；（2）结合图像回答问题：当x 的取值范围是____________时，．（第21题）22．（本题10分）如图，在中，，以AB 为直径作，分别交AC 、BC 于点D 、E ．（1）求证：；（2）当时，求的度数；（3）过点E 作的切线，交AB 的延长线于点F ，当时，求图中阴影部分面积．（第22题）23．（本题10分）商场将进货价为40元每件的某商品以50元售出，平均每月能售出700件，调查表明：售价在50元至100元范围内，这种商品的售价每上涨1元，其销售量就将减少10件，设商场决定每件商品的售价为元．（1）该商场平均每月可售出______件商品（用含x 的代数式表示）；（2）商品售价定为多少元时，每月销售利润最大？227m 0y ≥ABC △AB AC =O e BE CE =40BAC ∠=︒ADE ∠O e 2AO BE ==()50100x x <<（3）该商场决定每销售一件商品就捐赠a 元利润给希望工程，通过销售记录发现，每件商品销售价格大于85元时，扣除捐款后每天的利润随x 增大而减小，求a 的取值范围．24．（本题10分）（1）如图①，点A 、B 、C 、D 在上，，则______°：（2）如图②，A 、B 两点分别在x 轴和y 轴上，是的外接圆，利用直尺和圆规在第一象限内作出一点P ，使，且；（保留作图痕迹）（3）如图③，已知线段AB 和直线l ，利用直尺和圆规在l 上作出点P ，使；（保留作图痕迹）（4）如图④，在平面直角坐标系的第一象限内有一点B ，坐标为，过点B 作轴，轴，垂足分别为A 、C ，若点P 在线段AB 上滑动（点P 可以与点A 、B 重合），使得的位置有两个，则m 的取值范围为______．（第24题）25．（本题10分）如图，二次函数的图像与x 轴交于点、，与y 轴交于点C ．连接AC 、BC ．（1）填空：______，______；（2）如图①，若点D 是此二次函数图像的第一象限上一点，设D 点横坐标为m ，当四边形OCDB 的面积最大时，求m 的值；（3）如图②，若点P 在第四象限，点Q 在PA 的延长线上，当时，求点P 的坐标．（第25题）()1a ≥O e 35BAC ∠=︒BOC ∠=C e AOB △OPA OBA ∠=∠OP AP =30APB ∠=︒()2,m AB y ⊥BC x ⊥45OPC ∠=︒212y x bx c =-++()1,0A -()4,0B b =c =45CAQ CBA ∠=∠+︒2024~2025学年度第一学期期中检测九年级数学参考答案一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）题号12345678答案CACBCCDD二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）9．，10．911．202512．12513．>14．3.615．向下平移4个单位长度16三、解答题（本大题共9小题，共84分）17．（本题10分）解：（1）移项，得配方，得即直接开平方，得∴（2）移项，得因式分解，得∴或∴，18．（本题8分）解：∵，，∴∵不论m 为何值∴不论m 为何值，该方程总有两个实数根．19．（本题8分）解：DE 与相切理由是：连接OD∵∴∵AD 平分∴∴∴∵∴∴DE 与相切．12x =22x =-242x x -=24424x x -+=+()226x -=2x -=12x =+22x =()()3230x x x +-+=()()230x x -+=20x -=30x +=12x =23x =-1a =b m =1c m =-()2²4411b ac m m -=-⨯⨯-²44m m =-+()22m =-()220m -≥O e OD OA =ODA OAD∠=∠BAC ∠OAD CAD ∠=∠ODA CAD ∠=∠AC OD ∥DE AC ⊥OD DE ⊥O e（第19题）20．（本题8分）解：根据题意得：即：解得：，答：a 的值为3或9．21．（本题10分）（1）描点、连线如图是二次函数，设函数的表达式为：把点，，代入得解得：∴函数得表达式为（2）或．22．（本题10分）（1）证明：连接AE∵AB 是直径∴∴∵∴()()20820827a a -+-⨯=212270a a -+=13a =29a =()20y ax bx c a =++≠()1,0-()0,2-()1,3-023a b c c a b c -+=⎧⎪=-⎨⎪++=-⎩12322a b c ⎧=⎪⎪⎪=-⎨⎪=-⎪⎪⎩213222y x x =--1.375m =1x ≤-4x ≥O e 90AEB ∠=︒AE BC ⊥AB AC =BE CE=（第22题）（2）解：∵，∴∵四边形ABED 是的内接四边形∴∴．（3）解：连接OE 则∵∴∴是等边三角形∴∵EF 是切线∴∴∴∴∴阴影部分的面积．23．（本题10分）（1）（2）设每月销售利润为y 元则∵，∴当时，y 有最大值16000答：商品售价定为80元时，每月销售利润最大；（3）设每月销售利润为y 元则∴对称轴为直线∵∴当时，y 随x 得增大而减小∵每件商品销售价格大于85元时，扣除捐款后每天的利润随x 增大而减小∴解得：∵∴a 的取值范围是．24．（本题10分）（1）35，702分AB AC =40BAC ∠=︒180180407022BAC ABC ︒-∠︒-︒∠===︒O e 180ADE ABC ∠+∠=︒180********ADE ABC ∠=︒-∠=︒-︒=︒OE OA OB==2OA BE ==OA OB BE ==OBE △60BOE ∠=︒O e OE EF ⊥30F ∠=︒24OF OE ==EF ===2160π222π23603OEF BOE S S ⨯=-=⨯⨯=-扇形△101200x -+()()()224010120010160048000108016000y x x x x x =--+=-+-=--+100-<50100x <<80x =()()()24010120010160010480001200y x a x x a x a=---+=-++--()160010802102a a x +=-=+⨯-100-<802ax >+80852a+≤10a ≤1a ≥110a ≤≤（2）如图（3）如图（4）25．（本题10分）（1），2（2）∵点D 横坐标为m ，且点D 在二次函数的图像上∴点D 坐标为对于二次函数，当时，∴设BC ：则解得：∴BC ：21m ≤<32213222y x x =-++213,222m m m ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭213222y x x =-++0x =2y =()0,2C y kx b =+402k b b +=⎧⎨=⎩122k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩122y x =-+过点D 作轴，交BC 于点E 则∴∴到DE 的距离到DE 的距离（C 到DE 的距离到DE 的距离）∵，∴当时，有最大值8∴．（3）∵，，∴，，∴∴设，则∵∴∴DE y ∥1,22E m m ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭2213112222222DE m m m m m ⎛⎫=-++--+=-+ ⎪⎝⎭OBC BCD OCDB S S S =+四边形△△OBC CDE BDES S S =++△△△1122OC OB DE C =⨯⨯+⨯⨯12DE B +⨯⨯112422DE =⨯⨯+⨯⨯B +1442DE =+⨯⨯214222m m ⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭244m m =-++()()22804m m =--+<<10a =-<04m <<2m =OCDB S 四边形2m =()1,0A -()4,0B ()0,2C 25AC =220BC =225AB =222AC BC AB +=90ACB ∠=︒ABC x ∠=90CAB x∠=︒-45CAQ CBA ∠=∠+︒45CAQ x ∠=+︒()()180459045PAB x x ∠=︒-+︒-︒-=︒设直线AP 交y 轴于F则∴设AP ：则解得：∴AP ：设∵点P 在二次函数的图象上∴解得：，（舍去）当时，∴点P 的坐标为．1OF OA ==()0,1F -y kx b =+01k b b -+=⎧⎨=-⎩11k b =-⎧⎨=-⎩1y x =--()(),10P n n n -->213222y x x =-++2132122n n n -++=--16n =21n =-6n =17n --=-()6,7-。
北京市首都师范大学附属中学2024—2025学年九年级上学期期中考试语文试题(含答案)
首都师大附中2024-2025学年第一学期期中练习初三语文一、基础·运用（共14分）在浩瀚的文化长河中，汉字作为中华文明的瑰宝，承载了千年的智慧，维系了文化的根脉，推进了文明的传承。
初三学生开展了“墨香字韵话古今”系列活动，请你参与其中，并完成1-7题。
专题一体悟汉字之美作为世界上唯一仍被广泛使用的方块字，汉字不仅具有独特的形象意境美，还具有深层的意蕴美。
汉字有形象意境之美。
美学家宗白华曾说：“中国字在起始的时候是象形的，这种形象化的意境在后来派生的‘字体’里仍然潜存着，显示着形象里面的骨、筋、肉、血，以至动作的关联。
后来从象形到谐声，形声相益，更丰富了‘字’的形象意境，像江字、河字，令人仿佛目睹水流，耳闻汩汩的水声。
”宗先生的深刻，不仅在于揭示了象形字的形象，而且进一层显现了形声字（占汉字绝大比例）的形象意境美，那种在视觉形象与听觉形象的联觉之中表现出来的美。
汉字有深层意蕴之美。
如在汉字的结构形状中，古代取象于天地间万物，蕴含着自然之美。
在甲骨文中，“虎”有虎形，“鹿”有鹿形，“鱼”有鱼形，“鸟”有鸟形，各示其特征及美，虎之斑纹，鹿之双角，鱼之乐水，鸟之丰羽，反应出各自的意蕴美。
人工智能、大数据等技术发展为汉字运用提供了新的挑战和机遇。
人工智能在处理汉字时面临着诸多困难，有人认为汉字与人工智能扞格难通。
然而，随着研究逐渐增强和技术不断进步，这些困难正在被逐渐克服。
相信汉字的高度表意性，在未来的智能系统中能够发挥巨大优势。
1.请你对文段中加点字的字音或字形作出判断，正确的一项是（）（2分）A.“潜”指“隐藏，不露在表面”，应读为“qián”。
B.“汩汩”指“水流动的声音”，应读为“mì”。
C.“蕴含”指“内里含有”，所以“蕴含”一词中有错别字。
D.因为表示“把事物的实质表现出来”，所以“反应”一词中没有错别字。
2.《现代汉语词典》、中“扦”有“金属、竹子等制成的针状物”的意思，“格”有“隔成的方形空栏或框子”的意思。
海南省华侨中学2024届九年级上学期期中考试数学试卷(含解析)
2023-2024学年度第一学期海南华侨中学九年级数学期中考试题一、选择题1. 计算的结果是（）A. 5B.C.D.【答案】A解析：解：．故选：A．2. 要使二次根式有意义，x的值不可以取（）A. 1B. 2C.D. 3【答案】A解析：解：由题意可得：，．故选：A．3. 下列式子中，是最简二次根式的是（）A. B. C. D.【答案】A解析：解：A、是最简二次根式，故此选项符合题意；B、，故此选项不符合题意；C、，故此选项不符合题意；D、，故此选项不符合题意；故选：A．4. 已知，则下面结论成立的是（）A. B. C. D.【答案】C解析：解：A．∵，得，故选项A不成立；B．∵，得，故选项B不成立；C．∵，得，故选项C成立；D．由可知x、y可以为，故选项D不一定成立．故选：C．5. 估计运算结果介于（）A 2与3之间 B. 3与4之间 C. 4与5之间 D. 5与6之间【答案】C解析：解：==；∵，∴；故选：C6. 若一元二次方程有实数根，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D解析：解：∵一元二次方程有实数根，∴，∴，故选：D．7. 把方程转化成的形式，则的值是( )A. 3，8B. 3，10C. ，10D. ，8【答案】D解析：解：方程移项得：，配方得：，即，∵方程转化成的形式，∴，．故选：D．8. 已知是关于的一元二次方程的一个实数根，则实数的值是（）A. 0B. 1C. −3D. −1【答案】B解析：解：根据题意得，解得；故选：B．9. 在一幅长，宽的矩形状的画的四周加上宽度相同的边框，制成一幅挂图（如图），如果画的面积占这个挂图面积的，所加边框的宽度为，则根据题意列出的方程是（）A. B.C. D.【答案】C解析：解：依题意，所加边框的宽度为，则，故选：C．10. 如图，，，则下列比例式正确的是（）A. B. C. D.【答案】C解析：解：．，∴，即，故选项不正确，不符合题意；．，，∴，，，∴，∴，∴即，故选项不正确，不符合题意；．，∴，∴，故选项正确，符合题意；．，，∴，，∴，故选项不正确，不符合题意；故选：C．11. 如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，斜边AB=9，D为AB的中点，F为CD上一点，且CF=CD，过点B作BE∥DC交AF的延长线于点E，则BE的长为（）A. 6B. 4C. 7D. 12【答案】A解析：解：因为Rt△ABC中，∠ACB=90°，斜边AB=9，D为AB的中点，∴CD=AB=4.5．∵CF=CD，∴DF=CD=×4.5=3．∵BE//DC，∴DF是△ABE的中位线，∴BE=2DF=6．故选：A．12. 平行四边形中，，，，点O为对角线交点，点E为延长线上一动点，连接交于点F，当时，则的长度为（）A. B. C. D.【答案】D解析：解：作于H，，∵，∴令，，∴，∴，∴，∵四边形是平行四边形，∴，，，∴，∴是等腰直角三角形，∴，∵四边形是平行四边形，∴，∵，∴，∴，∴．故选：D．二、填空题13. 化简：_______．【答案】解析：解：，故答案为：．14. 已知一元二次方程的两个根为，则的值为______．【答案】解析：解：∵一元二次方程的两个根为，∴，∴，故答案为：．15. 如图，梯形中，，、相交于点O，如果，如果，那么______．【答案】56解析：因为，所以，所以，所以，解得，故答案为：56．16. 如图，将矩形纸片折叠，折痕为．点，分别在边，上，点，的对应点分别在，且点在矩形内部，的延长线交与点，交边于点．，，，则的长为______，的长为______．【答案】①. 4 ②. ##解析：解：∵，∴,将矩形纸片折叠，折痕为，，，，，，，，，，，，，，，过点作于点，则四边形和四边形都是矩形，∴，，设，则，，，∵，∴，，解得：（负值舍去）；故答案为：4，．三、解答题17. 计算（1）（2）（3）【答案】（1）1 （2）5（3）（1）解：；（2）解：；（3）解：．18. 用适当的方法解下列方程（1）（2）（3）【答案】（1），；（2），；（3），．（1）解：，，，∴或，∴，；（2）解：，，∴或，∴，；（3）解：，，，∴，．19. 去年某商店“十一黄金周”进行促销活动期间，前六天总营业额为万元，第七天的营业额是前六天总营业额的．（1）求该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额；（2）去年，该商店月份的营业额为375万元，，月份营业额的月增长率相同，“十一黄金周”这七天的总营业额与月份的营业额相等．求该商店去年，月份营业额的月增长率．【答案】（1）540万元（2）（1）解：根据题意，则（万元），∴该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额为540万元；（2）解：设该商店去年8、9月份营业额的月增长率为x，依题意，得：，解得：或（舍去）；∴该商店去年，月份营业额的月增长率为．20. 如图，在平面直角坐标系中，把以格点为顶点的三角形称为格点三角形（每个小方格都是边长为1的正方形）．图中△ABC是格点三角形，点A，B，C的坐标分别是（﹣4，﹣1），（﹣2，﹣3），（﹣1，﹣2）．（1）以O旋转中心，把△ABC绕O点顺时针旋转90°后得到△A1B1C1，画出△A1B1C1；（2）以O为位似中心，在第一象限内把△ABC放大2倍后得到△A2B2C2，画出△A2B2C2；（3）△ABC内有一点P（a，b），写出经过（2）位似变换后P的对应点P1的坐标．【答案】（1）如图，△A1B1C1为所作；见解析；（2）如图，△A2B2C2为所作；见解析；（3）点P的对应点P1的坐标为（﹣2a，﹣2b）．解析：（1）如图，△A1B1C1为所作；（2）如图，△A2B2C2为所作；（3）点P的对应点P1的坐标为（﹣2a，﹣2b）．21. 如图，在一个坡角位的斜坡上有一棵树，树高米．当太阳光与水平线成角时，该树在斜坡上的树影恰好为线段．（1）______，______；（2）求树影的长．（结果保留一位小数）（参考数据：，，，，，，）【答案】（1），；（2）米（1）解：如图，∵,∴,∴,∵,,,∴；故答案为：，；（2）解：过点作，为垂足，在直角三角形中，，米，在直角三角形中，，米．答：树影的长约为米．22. 已知△ABC和△EFC中，∠ABC＝∠EFC＝α，点E在△ABC内，且∠CAE＋∠CBE＝90°．（1）如图①，当△ABC和△EFC都是等腰三角形，且α＝90°时，连结BF．①求证：△ACE∽△BCF；②若BE＝1，AE＝2，求EF的长；（2）如图②，当∠ACB＝∠ECF，且α＝90°时，若k，BE＝1，AE＝2，CE＝3，求k的值．【答案】（1）①证明见解析；②；（2）．解析：解：（1）①∵△ABC和△EFC都是等腰三角形，且∠ABC＝∠EFC＝α＝90°，∴，∠ACB＝∠ECF＝45°，∴∠ACE＝∠BCF，∴△ACE∽△BCF；②∵△ACE∽△BCF，∴，∠CAE＝∠CBF，∴，∵∠CAE＋∠CBE＝90°．∴∠CBF＋∠CBE＝90°．即∠EBF＝90°，∴EF；（2）连接BF，如图②，∵∠ACB＝∠ECF，∠ABC＝∠EFC＝α＝90°，∴△ABC∽△EFC，∴，∴，∵∠ACB＝∠ECF，∴∠ACE＝∠BCF，∴△ACE∽△BCF，∴，∠CBF＝∠CAE，∴BF＝k•AE＝2k，∵∠CAE＋∠CBE＝90°．∴∠CBF＋∠CBE＝90°．∴∠EBF＝90°，∴，∵k，CE＝3，∴CF＝3k，∴，∴（负值不符题意，舍去）．。
山东省济南市历下区2024-2025学年九年级上学期期中考试英语试题
2024-2025学年第一学期九年级期中教学质量检测英语试题（LX2024.11）本试题共分为四部分,共10页,满分为150分,考试用时120分钟。
答题前,请考生务必将自己的姓名、座号和准考证号填写在答题卡上,并同时将考点、姓名、准考证号和座号填写在试卷规定的位置。
答题时,选择题部分每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。
非选择题部分,用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上题号所提示的答题区域作答。
直接在试题上作答无效。
考试结束后,将本试题和答题卡一并交回。
第一部分听力（共四节,满分30分）第一节听录音,从每组句子中选出一个你所听到的句子。
每个句子听一遍。
（共5小题,每小題1.5分,满分7.5分）1.A.Let me show you. B.Be patient,please. C.Sounds like fun.2.A.We haven't started yet. B.It doesn't look clean. C.They weren't used widely.3.A.Is he allowed to drive? B.Have you read the book? C.Should I take the test later?4.A.This ring is made of gold. B.You seem to have a point. C.Amy needs to mail a letter.5.A.How can I read faster? B.Who bought the camera? C.When was tea first drunk?第二节在录音中,你将听到五段对话,每段对话后有一个小题,从每小题A、B、C中选出能回答所给问题的正确答案。
每段对话听两遍。
（共5小题,每小题1.5分,满分7.5分）6.What advice does Linda give?A.Watching movies.B.Reading newspapers.C.Listening to English songs.7.What did Meimei do during the Lantern Festival?A.Enjoyed tangyuan.B.Visited the lantern fair.C.Had a reunion dinner.8.Where is the post office?A.On Center Street.B.On Main Street.C.On Green Street.9.What are the chopsticks made of?A.Steel.B.Bamboo.C.Silver.10.When is Anna allowed to wear her own clothes?A.On Mondays.B.On Wednesdays.C.On Fridays.第三节在录音中,你将听到一段对话,对话后有五个小题,从每小题A、B、C中选出能回答所给问题的正确答案。
湖北省荆州市2024-2025学年九年级上学期11月期中考试数学试题(含答案)
2024～2025学年度上学期学情监测九年级数学试题（本试卷共4页，满分120分，考试时间120分钟）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定位置。
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效，作图一律用2B 铅笔或黑色签字笔。
一、选择题（共10题，每题3分，共30分，在每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1.中国航天取得了举世瞩目的成就，为人类和平贡献了中国智慧和中国力量，下列是有关中国航天的图标，其文字上方的图案是中心对称图形的是（ ）A.B. C. D.2.一元二次方程根的情况是（ ）A.有两个相等的实数根B.有两个不相等的实数根C.没有实数根D.两根互为相反数3.如图，紫荆花绕它的旋转中心，按下列角度旋转，能与其自身重合的是（ ）A. 60°B. 120°C. 144°D. 180°4.如图，是的直径，，则的度数是（ ）A. 30°B. 40°C. 50°D. 60°5.若是方程的一个根，则的值为（ ）A. 2024B. C. D. 10156.用配方法解方程时，配方正确的是（）2210x x --=AB O e 30CDB ∠=︒ABC ∠x m =2210090x x --=2246m m -+2012-1003-2840x x --=A. B. C. D.7.函数和函数（a 是常数，且）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）A.B. C. D.8.小聪以二次函数的图象为模型设计了一款杯子，如图为杯子的设计稿，若，，则杯子的高为（ ）A. B. C. D.9.如图，小程爸爸用一段长的铁丝网围成一个一边靠墙（墙长）的矩形鸭舍，其面积为，在鸭舍侧面中间位置留一个宽的门（由其它材料制成），则的长为（ ）A. 8m 或5mB. 4m 或2.5mC. 8mD. 5m 10.如图，开口向上的抛物线（）与x 轴交于点，其对称轴为直线，结合图象给出下列结论：①；②；③当时，y 随x 的增大而减小；④当时，关于x 的一元二次方程有两个不相等的实数根.其中正确的结论是（ ）A.①③④ B.②③④ C.②③ D.①②④二、填空题（共5题，每题3分，共15分）11.在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是______.12.抛物线向左平移2个单位长度，向下平移1个单位长度后的图象解析式为______.13.如图，是的直径，弦于点E ，，，则的长为______cm.()2412x -=()2420x -=()2868x -=()2860x -=y ax a =+221y ax x =--+0a ≠()292616y x =-+8cm AB =4cm DE =CE 13cm 12cm 15cm 9cm12m 6m 220m 1m BC 2y ax bx c =++0a ≠()4,01x =a c b +>20a b +=0x <m a b c >++2ax bx c m ++=()2,3-()2234y x =-+AB O e CD AB ⊥16cm CD =4cm BE =OC14.已知关于x 的方程，若等腰三角形的一边长，另外两边长b ，c 恰好是这个方程的两个根，则这个三角形的周长为______.15.如图，的半径为2，圆心M 的坐标为，点P 是上的任意一点，，且，与x 轴分别交于A ，B 两点，若点A ，点B 关于原点O 对称，则的最小值为______.三、解答题（共9题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16.（6分）解方程：（1），（2）.17.（6分）已知二次函数.（1）写出该函数图象的开口方向；（2）求出该函数图象的对称轴和顶点坐标；（3）当x 满足什么条件时，y 随x 增大而减小？18.（6分）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，.（1）画出关于原点O 成中心对称的；（2）画出绕点逆时针旋转90°后得到的.19.（8分）已知关于x 的一元二次方程有两个不相等的实数根.（1）求m 的取值范围；（2）若该方程的两个实数根分别为，，且，求m 的值.20.（8分）如图，已知抛物线和直线相交于点和.()23230x k x k -+++=4a =M e ()3,4M e PA PB ⊥PA PB AB 2240x x --=23100x x --=247y x x =-+-()2,0A ()1,1B ()4,2C ABC △111A B C △ABC △()0,1Q -222A B C △()222110x m x m -++-=1x 2x 22124x x +=21y x bx c =-++21522y x =+()1,A m -(),4B n（1）求m 和n 的值；（2）求抛物线的解析式；（3）结合图象直接写出满足的x 的取值范围.21.（8分）如图，为的直径，点C ，D 为直径同侧圆上的点，且点D 为的中点，过点D 作于点E ，交于点G ，延长，交于点F .图① 图②（1）如图①，若，求证：；（2）如图②，若，，求的半径.22.（10分）我市某镇是全国著名的蓝莓产地，某蓝莓基地近几年不断改良种植技术，产量明显增加，2022年的产量是5000千克，2024年的产量达到7200千克。
九年级上学期数学期中考试试卷及答案解析
九年级上学期数学期中考试试卷及答案解析一、选择题（每题4分，共40分）1. 有下列四个数：-1, 0, 1, √2，其中无理数是（）A. -1B. 0C. 1D. √2答案：D解析：无理数是指不能表示为两个整数比的数，√2无法表示为两个整数的比，故选D。
2. 下列各数中，与-3的平方相等的是（）A. 3B. -3C. 9D. -9答案：C解析：-3的平方为9，故选C。
3. 已知a = 2，b = -3，则a² - 2ab + b²的值为（）A. 25B. -25C. 1D. -1答案：A解析：将a和b的值代入a² - 2ab + b²，得(2)² -22(-3) + (-3)² = 4 + 12 + 9 = 25，故选A。
4. 下列等式中，正确的是（）A. (a²)³ = a⁶B. (a³)² = a⁶C. (a²)³ = a⁹D. (a³)² = a⁹答案：B解析：幂的乘方规则，(a³)² = a³² = a⁶，故选B。
5. 已知|a| = 5，且a < 0，则a的值为（）A. 5B. -5C. 10D. -10答案：B解析：绝对值表示一个数的非负值，|a| = 5表示a的绝对值为5，由于a < 0，所以a = -5，故选B。
6. 下列函数中，奇函数是（）A. y = x²B. y = x³C. y = |x|D. y = x² + 1答案：B解析：奇函数的定义是f(-x) = -f(x)，y = x³满足这个条件，故选B。
7. 下列关于x的不等式中，有解的是（）A. x² < 0B. x² ≤ 0C. x² > 0D. x² ≥ 0答案：D解析：任何数的平方都是非负数，所以x² ≥ 0对所有的x都有解，故选D。
四川省达州市高级中学校2024届九年级上学期期中考试数学试卷(含解析)
数学试卷本试卷分为第Ⅰ卷（选择题、填空题）和第Ⅱ卷（解答题）两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至6页．考试时间120分钟，满分150分．第Ⅰ卷一、选择题：（每小题4分，共40分；每小题选出正确答案后，请用2B 铅笔把机读卡上对应题号的答案标号涂黑．否则不得分．）1.下列方程中是关于x 的一元二次方程的是（）A.2210x x+= B.20ax bx c ++= C.()()121x x -+= D.223250x xy y --=答案：C 解析：详解：解：A 、2210x x+=是分式方程，选项说法错误，不符合题意；B 、当0a =时，20ax bx c ++=不是一元二次方程，选项说法错误，不符合题意；C 、(1)(2)1x x -+=，即230x x +-=是一元二次方程，选项说法正确，符合题意；D 、223250x xy y --=是二元二次方程，选项说法错误，不符合题意；故选C ．2.已知四边形ABCD 是平行四边形，对角线AC 与BD 相交于点O ，下列结论中不正确的是（）A.当AB BC =时，四边形ABCD 是菱形B.当AC BD ⊥时，四边形ABCD 是菱形C.当OA OB =时，四边形ABCD 是矩形D.当ABD CBD ∠=∠时，四边形ABCD 是矩形答案：D 解析：详解：解：如图：A 、∵四边形ABCD 是平行四边形，AB BC =，∴四边形ABCD 是菱形；A 选项正确；B 、∵四边形ABCD 是平行四边形，AC BD ⊥，∴四边形ABCD 是菱形；B 选项正确；C 、∵四边形ABCD 是平行四边形，∴OA OC =，OB OD =，又∵OA OB =，∴OA OB OC OD ===，∴四边形ABCD 是矩形；C 选项正确；D 、∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB CD ，∴ABD BDC ∠=∠，又∵ABD CBD ∠=∠，∴BDC CBD ∠=∠，∴BC CD =，∴四边形ABCD 是菱形；不能证明四边形ABCD 是矩形，D 选项错误，故选：D ．3.端午节吃粽子是中华民族的传统习俗，妈妈买了2只红豆粽、3只碱水粽、5只干肉粽，粽子除内部馅料不同外其它均相同，小颖随意吃一个，吃到红豆粽的概率是（）A.110B.15C.13D.12答案：B 解析：详解：解：根据概率的定义，一共有10只粽子，其中红豆粽有2个，所以吃到红豆粽的概率是21105=．故选B ．4.如图，正方形ABCD 的边长是4，∠DAC 的平分线交DC 于点E ，若点P 、Q 分别是AD 和AE 上的动点，则DQ+PQ 的最小值（）A.2B.4C.D.答案：C 解析：详解：作D 关于AE 的对称点D′，再过D′作D′P′⊥AD 于P′，∵DD′⊥AE ，∴∠AFD=∠AFD′，∵AF=AF ，∠DAE=∠CAE ，∴△DAF ≌△D′AF ，∴D′是D 关于AE 的对称点，AD′=AD=4，∴D′P′即为DQ+PQ 的最小值，∵四边形ABCD 是正方形，∴∠DAD′=45°，∴AP′=P′D′，∴在Rt △AP′D′中，P′D′2+AP′2=AD′2，AD′2=16，∵AP′=P′D’，2P′D′2=AD′2，即2P′D′2=16，∴，即DQ+PQ 的最小值为2，故答案为C ．5.已知ABC 如图，则下列4个三角形中，与ABC 相似的是（）A. B. C. D.答案：D 解析：详解：∵由图可知，675AB AC B ==∠=︒，，∴75C ∠=︒，18030A B C ∠=︒-∠-∠=︒，A ．选项中三角形是等边三角形，各角的度数都为60︒，不与ABC 相似；B ．选项中三角形各角的度数分别是52.5︒，52.5︒，75︒，不与ABC 相似；C ．选项中三角形各角的度数分别为40︒，70︒，70︒，不与ABC 相似；D ．选项中三角形各角的度数分别为30，︒75︒，75︒，与ABC 相似；故选：D ．6.若578a b ck ===且323a b c -+=，则243a b c +-的值是（）A.14 B.42C.7D.143答案：D 解析：详解：解：578a b ck ===，5,7,8a k b k c k ∴===，323a b c -+= ，352783k k k ∴⨯-⨯+=，解，得13k =，578,333a b c ∴===578142432433333a b c ∴+-=⨯+⨯-⨯=，故选：D ．7.某市2020年底已有绿化面积300公顷，经过两年绿化、绿化面积逐年增加，到2022年底增加到363公顷．设绿化面积平均每年的增长率为x ，由题意，所列方程正确的是（）A.()3001363x +=B.()23001363x +=C.()30012363x += D.()23631300x -=答案：B 解析：详解：解：设绿化面积平均每年的增长率为x ，根据题意得，()23001363x +=故选：B ．8.张华在一次数学活动中，利用“在面积一定的矩形中，正方形的周长最短”的结论，推导出“式子1x x +（0x >）的最小值是2”．其推导方法如下：在面积是1的矩形中设矩形的一边长为x ，则另一边长是1x，矩形的周长是12x x ⎛⎫+⎪⎝⎭；当矩形成为正方形时，就有1x x=（0x >），解得1x =，这时矩形的周长124x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭最小，因此1x x +（0x >）的最小值是2．模仿张华的推导，你求得式子225x x+（0x >）的最小值是（）A.10B.5C.15D.20答案：A 解析：详解：解：∵0x >，∴在原式中分母分子同除以x ，即22525x x x x+=+；在面积是25的矩形中设矩形的一边长为x ，则另一边长是25x，矩形的周长是252x x ⎛⎫+⎪⎝⎭；当矩形成为正方形时，就有25x x=（0x >），解得：5x =，这时矩形的周长25220x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭最小，因此225x x+（0x >）的最小值是10．故选：A ．9.如图，点C 是线段AB 的黄金分割点（AC BC >），下列结论错误的是（）A.AC BCAB AC= B.2•BC AC AB =C.12AC AB -= D.0.618≈BCAC答案：B 解析：详解：解：∵AC ＞BC ，∴AC 是较长的线段，根据黄金分割的定义可知：AB ：AC=AC ：BC ，故A 正确，不符合题意；AC 2=AB•BC ，故B 错误，12AC AB -=，故C 正确，不符合题意；0.618≈BCAC，故D 正确，不符合题意．故选B ．10.如图，在ABC 中60A ∠=︒，BM AC ⊥于点M ，CN AB ⊥于点N ，P 为BC 边的中点，连接PM PN ，，则下列结论：①PM PN =；②AM ANAB AC=；③PMN 为等边三角形；④当=45ABC ∠︒时，BN =．其中正确个数是（）A.1个B.2个C.3个D.4个答案：D 解析：详解：解：①∵BM AC ⊥于点M ，CN AC ⊥于点N ，P 为BC 边的中点，∴点P 是Rt MBC 和Rt NBC 的斜边的中点，∴12MP NP BC ==，故①正确；②∵BM AC ⊥于点M ，CN AC ⊥于点N ，∴90AMB ANC ∠=∠=︒，又∵A A ∠=∠，∴AMB ANC ∽ ，∴AM ANAB AC=，故②正确；③∵BM AC ⊥于点M ，CN AC ⊥于点N ，P 为BC 边的中点，∴点P 是Rt MBC 和Rt NBC 的斜边的中点，∴12MP NP BP CP BC ====，∴点M ，N ，B ，C 共圆，∴2NPM ABM ∠=∠，在Rt ABM 中，60A ∠=︒，∴30ABM ∠=︒，∴60NPM ∠=︒，∵PN PM =，∴PMN 是等边三角形，故③正确；④当=45ABC ∠︒时，BNC 为以BC 为斜边的等腰直角三角形，∴22BN BC =，故④正确；故选：D ．二、填空题：（本大题共6小题，每小题4分，满分24分，请把答案填写在答题卷上，否则不得分．）11.菱形的两条对角线长分别是方程214480x x -+=的两实根，则菱形的面积为______．答案：24解析：详解：解：x 2﹣14x +48=0，则有（x -6）(x -8)=0解得：x =6或x =8．所以菱形的面积为：（6×8）÷2=24．菱形的面积为：24．故答案为：24．12.已知关于x 的方程x 2+mx ﹣6=0的一个根为2，则m =___，另一个根是___．答案：①.1②.-3解析：详解：根据题意，得4+2m −6=0，即2m −2=0，解得，m =1，由韦达定理，知：12x x m +=-，∴221x +=-，解得：2 3.x =-故答案为：1，−3.13.关于x 的方程kx 2﹣2x +1＝0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是_____．答案：k ＜1且k ≠0．解析：详解：解：∵关于x 的一元二次方程kx 2﹣2x +1＝0有两个不相等的实数根，∴k ≠0且△＞0，即(﹣2）2﹣4×k ×1＞0，解得k ＜1且k ≠0．∴k 的取值范围为k ＜1且k ≠0．故答案为：k ＜1且k ≠0．14.如图，△ABC 中，DE ∥BC ,23DE BC =,△ADE 的面积为8，则△ABC 的面积为______答案：18.解析：详解：∵在△ABC中，DE∥BC，∴△ADE∽△ABC．∵23 DEBC=，∴2224()(39 ADEABCS DES BC===，∴9184ABC ADES S==．故选：18．15.将一副三角尺如图所示叠放在一起，则AEED的值是_______．答案：33133解析：详解：解：90BAC ACD∠=∠=︒，∴AB CD，∴30BAE EDC∠=∠=︒，45ABE ECD∠=∠=︒，∴ABE DCE∽，∴AE ABED CD=，∵AC AB=，∴AE ACED CD=，∵3tan 3AC D CD ∠==，∴3AE ED =，故答案为：33．16.在平面直角坐标系中，正方形ABCD 的位置如图所示，点A 的坐标为()1,0，点D 的坐标为()0,2．延长CB 交x 轴于点1A ，作正方形111A B C C ；延长11C B 交x 轴于点2A ，作正方形2221A B C C 1…按这样的规律进行下去，第2014个正方形的面积为______答案：4026352⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭解析：详解：解：∵正方形ABCD 的点A 的坐标为()1,0，点D 的坐标为()0,2．∴1OA =，2OD =，由勾股定理得，AD =12OA OD =，∵90ADO DAO ∠+=︒，190DAO BAA ∠+=︒，∴1ADO BAA ∠=，由题意得190DOA ABA ∠==︒，则1DOA ABA ∽，∴112A B OA AB OD ==，∵AD AB ==∴152A B =，则第二个正方形的面积为2221153522S A C ⎛⎫===⋅ ⎪⎝⎭⎭，同理可得第三个正方形的面积为2422215135352222S A C ⎛⎫⎛⎫==+⨯=⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，依此类推，第n 个正方形的面积为()21352n n S -⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭，则第2014个正方形的面积为：40262014352S ⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭．故答案为：4026352⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭．第Ⅱ卷三、解答题：（本大题4个小题，共86分）解答时每小题需给出必要的演算过程或推理步骤．17.解方程：（1）22210x x --=（2）()()22320x x ---=答案：（1）112x +=，212x =（2）12x =，25x =解析：小问1详解：原方程变形为212x x -=配方得21344x x -+=，即21324x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，∴12x -=，∴1132x +=，2132x =．小问2详解：原方程可以变形为()()2230x x ---=，∴20x -=或230x --=，∴12x =，25x =．18.如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC 三个顶点的坐标分别为A （﹣1，2），B （﹣3，4）C （﹣2，6）.（1）画出△ABC 绕点A 顺时针旋转90°后得到的△A 1B 1C 1；（2）以原点O 为位似中心，画出将△A 1B 1C 1三条边放大为原来的2倍后的△A 2B 2C 2．答案：（1）见解析；（2）见解析.解析：详解：（1）如图：△A 1B 1C 1即为所求；（2）如图：△A 2B 2C 2即为所求.19.已知关于x 的一元二次方程()22110x k x k +---=．（1）试判断此一元二次方程根的存在情况；（2）若方程有两个实数根x 1和x 2，且满足12111x x +=，求k 的值．答案：（1）有两个不相等的实数根（2）2k =解析：小问1详解：解：()()222Δ214144144450k k k k k k =----=-+++=+> ，()22110x k x k ∴+---=有两个不相等的实数根；小问2详解：由一元二次方程根与系数的关系可知：1212x x k +=-，121x x k ⋅=--，121212111x x x x x x ++==⋅ ，1211k k -∴=--，解得：2k =．20.第三届亚洲沙滩运动会服务中心要在某校选拔一名志愿者．经笔试、面试，结果小明和小颖并列第一．评委会决定通过抓球来确定人选．抓球规则如下：在不透明的布袋里装有除颜色之外均相同的2个红球和1个绿球，小明先取出一个球，记住颜色后放回，然后小颖再取出一个球．若取出的球都是红球，则小明胜出；若取出的球是一红一绿，则小颖胜出．你认为这个规则对双方公平吗？请用列表法或画树状图的方法进行分析．答案：见解析解析：详解：解：根据题意，用A 表示红球，B 表示绿球，列表如下：A A BAA A A AB A AA A A AB A B A B A B B B由此可知，共有9种等可能的结果，其中，两红球及一红一绿各有4种结果，(P ∴都是红球)=49，(1P 红1绿球)=49．(P 都是红球)(1P =红1绿球)，∴这个规则对双方是公平的．21.某水果批发商场经销一种水果，如果每千克盈利10元，每天可售出400千克．经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克．（1）若商场只要求保证每天的盈利为4320元，同时又可使顾客得到实惠，每千克应涨价多少元？（2）若该商场经理想让这种水果每天的盈利为4600元，商场经理的想法能实现吗？如果能请求出每千克应涨价多少元，如果不能请说明理由．答案：（1）2元（2）不能，见解析解析：小问1详解：设每千克应涨价x 元，则()()10400204320x x =＋－，解得2x =或8x =，为了使顾客得到实惠，所以2x =，所以每千克应涨价2元．小问2详解：该商场经理想法不能实现．设每千克应涨价x 元，则()()10400204600x x =＋－，整理，得210300x x -+=，∵()2104130200∆=--⨯⨯=-<，∴该方程无解，∴不可能．22.如图，△ABC 中，AB =AC ，AD 是△ABC 的角平分线，点O 为AB 的中点，连接DO 并延长到点E ，使OE =OD ，连接AE ，BE ，（1）求证：四边形AEBD 是矩形；（2）当△ABC 满足什么条件时，矩形AEBD 是正方形，并说明理由．答案：（1）证明见解析；（2）当∠BAC =90°时，矩形AEBD 是正方形．理由见解析．解析：详解：（1）证明：∵点O 为AB 的中点，连接DO 并延长到点E ，使OE =OD ，∴四边形AEBD 是平行四边形，∵AB =AC ，AD 是∠BAC 的角平分线，∴AD ⊥BC ，∴∠ADB =90°，∴平行四边形AEBD 是矩形；（2）当∠BAC =90°时，理由如下：∵∠BAC =90°，AB =AC ，AD 是∠BAC 的角平分线，∴AD =BD =CD ，∵由（1）得四边形AEBD 是矩形，∴矩形AEBD 是正方形．23.如图，在ABC 中，90C ∠=︒，AD 是CAB ∠的平分线，BE AE ⊥，垂足为点E ．求证：2BE DE AE =⋅．答案：见详解解析：详解：证明：∵AD 是CAB ∠的平分线，∴CAD BAD ∠=∠，∵90C ∠=︒，∴90CAD ADC ∠+∠=︒，又∵BE AE ⊥，∴90E ∠=︒，∴90EBD BDE ∠+∠=︒，而ADC BDE ∠=∠，∴CAD DBE BAE ∠=∠=∠，∴BDE ABE ∽△△，∴::BE AE DE BE =，∴2BE DE AE =⋅．24.阅读理解：如图1，在四边形ABCD 的边AB 上任取一点E （点E 不与点A 、点B 重合），分别连接ED ，EC ，可以把四边形ABCD 分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，我们就把E 叫做四边形ABCD 的边AB 上的相似点；如果这三个三角形都相似，我们就把E 叫做四边形ABCD 的边AB 上的强相似点．解决问题：（1）如图1，55A B DEC ∠=∠=∠=︒，试判断点E 是否是四边形ABCD 的边AB 上的相似点，并说明理由；（2）如图2在矩形ABCD 中，52AB BC ==，，且A ，B ，C ，D 四点均在正方形网格（网格中每个小正方形的边长为1）的格点（即每个小正方形的顶点）上，试在图2中画出矩形ABCD 的边AB 上的一个强相似点E ；拓展探究：（3）如图3，将矩形ABCD 沿CM 折叠，使点D 落在AB 边上的点E 处．若点E 恰好是四边形ABCM的边AB 上的一个强相似点，当BC =时，试求出AB 的值．答案：（1）是，理由见解析；（2）见解析；（3）2解析：详解：（1）点E 是四边形ABCD 的边AB 上的相似点．理由：55A ∠=︒ ，125ADE DEA ∴∠∠=︒＋，55DEC ∠=︒ ，125BEC DEA ∴∠∠=︒＋．ADE BEC ∴∠=∠，A B ∠=∠ ，ADE BEC ∴∽V V ，∴点E 是四边形ABCD 的AB 边上的相似点．（2）作图如下：点E 即为所求（下图中二选其一即可）（3）∵点E 是四边形ABCM 的边AB 上的一个强相似点，AEM BCE ECM ∴∽∽ ，BCE ECM AEM ∴∠=∠=∠,由折叠可知ECM DCM ：≌， ECM DCM CE CD ∴∠=∠=，，1303BCE BCD ∴∠=∠=︒，111222BE CE DC AB ∴===．在Rt BCE 中，设BE 为x ，CE 为2x ，根据勾股定理，222BC BE EC +=，可得2234x x +=，解得1x =±，0x >，1x ∴=，2CE =∴，即2AB =．25.如图，在平面直角坐标系内，已知点()0,6A 、点()8,0B ，动点P 从点A 开始在线段AO 上以每秒1个单位长度的速度向点O 移动，同时动点Q 从点B 开始在线段BA 上以每秒2个单位长度的速度向点A 移动，设点P 、Q 移动的时间为t秒．（1）求直线AB 的解析式；（2）当t 为何值时，APQ △与AOB 相似．（3）当t 为何值时，APQ △的面积为165个平方单位．答案：（1）y ＝－34x ＋6（2）3011秒或5013秒（3）1秒或4秒解析：小问1详解：解：设直线AB 的解析式为y kx b=+由题意，得680b k b =⎧⎨+=⎩，解得346k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩所以，直线AB 的解析式为364y x =-+．小问2详解：解：由68AO BO ==，得10AB =，∴102AP t AQ t ==-，，①当APQ AOB ∠=∠时，APQ AOB ∽．∴102610t t -=，解得3011t =②当AQP AOB ∠=∠时，AQP AOB ∽．∴102106t t -=，解得5013t =∴当t 为3011秒或5013秒时，APQ △与AOB 相似；小问3详解：解：过点Q 作QE 垂直AO 于点E ．在Rt AOB △中，4sin 5BO BAO AB ∠==在Rt AEQ △中，()48·sin 102855QE AQ BAO t t =∠=-=-，21184168422555APQ S AP QE t t t t ⎛⎫=⋅=⨯-=-+= ⎪⎝⎭ 解得，1t =（秒）或4t =（秒）∴当1t =秒或4t =秒时，APQ △的面积为165个平方单位．。
人教版九年级上册数学期中考试试卷及答案详解
人教版九年级上册数学期中考试试题一、选择题。
（每小题只有一个正确答案）1．下面的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．2．一元二次方程x 2﹣5x +6＝0的解为（）A ．x 1＝2，x 2＝﹣3B ．x 1＝﹣2，x 2＝3C ．x 1＝﹣2，x 2＝﹣3D ．x 1＝2，x 2＝33．二次函数2(1)(0)y a x b a =-+≠的图像经过点（0，2），则a+b 的值是（）A ．-3B ．-1C ．2D ．34．如图所示，△ABC 内接于⊙O ，∠C ＝45°．AB ＝4，则⊙O 的半径为()A ．B ．4C ．D ．55．如图，ABC 和111A B C 关于点E 成中心对称，则点E 坐标是（）A ．() 3,1--B ．() 3,3--C ．()3,0-D ．()4,1--6．已知一次函数()10y kx m k =+≠和二次函数()220y ax bx c a =++≠部分自变量和对应的函数值如表：x …-10245…y 1…01356…y 2…-159…当y 2＞y 1时，自变量x 的取值范围是A ．-1＜x ＜2B ．4＜x ＜5C ．x ＜-1或x ＞5D ．x ＜-1或x ＞47．已知如图，PA 、PB 切O 于A 、B ，MN 切O 于C ，交PB 于N ；若7.5PA cm =，则PMN 的周长是（）A ．7.5cmB ．10cmC ．15cmD ．12.5cm8．如图，Rt △ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC ，将△ABC 绕点C 顺时针旋转40°得到△A'B'C ，CB'与AB 相交于点D ，连接AA'，则∠B'A'A 的度数为（）A ．10°B ．15°C ．20°D ．30°9．如图，在正方形ABCD 中，边长为2的等边三角形AEF 的顶点E ．F 分别在BC 和CD上，下列结论：①CE=CF ；②∠AEB=75︒；③BE+DF=EF ；④正方形对角线AC=1+，其中正确的序号是（）A ．①②④B ．①②C ．②③④D ．①③④10．已知二次函数2y x bx 1=-+，当b 从1-逐渐变化到1的过程中，它所对应的抛物线位置也随之变动．下列关于抛物线的移动方向的描述中，正确的是()A ．先往左上方移动，再往左下方移动B ．先往左下方移动，再往左上方移动C ．先往右上方移动，再往右下方移动D ．先往右下方移动，再往右上方移动二、填空题11．若关于x 的方程220x ax +-=有一个根是1，则a =_________．12．将抛物线y ＝x 2＋1向下平移3个单位长度得到的抛物线的解析式为__________.13．由于受“一带一路”国家战略策略的影响，某种商品的进口关税连续两次下调，由4000美元下调至2560美元，则平均每次下调的百分率为_____．14．如图，直线AB ，CD 相交于点O ，∠AOC=30°，半径为1cm 的的圆心P 在射线OA 上，且与点O 的距离为6cm ，以1cm/s 的速度沿由A 向B 的方向移动，那么与直线CD 相切时，圆心P 的运动时间为_____．15．如图，在△ABC 中，AB=10，AC=8，BC=6，经过点C 且与边AB 相切的动圆与CB ，CA 分别相交于点E ，F ，则线段EF 长度的最小值是_____．16．如图，在矩形ABCD 中，4AB =，2AD =，点E 在CD 上，1DE =，点F 在边AB 上一动点，以EF 为斜边作Rt EFP ∆.若点P 在矩形ABCD 的边上，且这样的直角三角形恰好有两个，则AF 的值是__________．三、解答题17．解下列方程（1）2450x x --=（2）()22(3)33x x -=-18．图①，图②，图③均为4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长都为1．线段AB 的端点均在格点上．按要求在图①，图②，图③中画图．（1）在图①中，以线段AB 为斜边画一个等腰直角三角形，且直角的顶点为格点；（2）在图②中，以线段AB 为斜边画一个直角三角形，使其面积为2，且直角的顶点为格点；（3）在图③中，画一个四边形，使所画四边形是中心对称图形，不是轴对称图形，且其余两个顶点均为格点.19．为响应“美丽台州，美化环境”的号召，某校开展“美丽台州，清洁校园”的活动，该校经过精心设计，在绿化工作中设计一块170m2的矩形场地，矩形的长比宽的2倍长3m ，则这块矩形场地的长和宽各是多少米？20．如图，已知AB 是⊙O 中一条固定的弦，点C 是优弧AB 上一个动点(点C 不与A ，B 重合)．（1）设∠ACB 的角平分线与劣弧AB 交于点P ，试猜想点P 在弧AB 上的位置是否会随点C 的运动而发生变化？请说明理由；（2）如图②，设A′B′=8，⊙O 的半径为5，在（1）的条件下，四边形ACBP 的面积是否为定值？若是定值，请求出这个定值；若不是定值，试确定四边形A′C′B′P′的面积的取值范围．21．一座拱桥的轮廓是抛物线型(如图所示)，拱高6m ，跨度20m ，相邻两支柱间的距离均为5m.(1)将抛物线放在所给的直角坐标系中(如图所示)，其表达式是2y ax c =+的形式.请根据所给的数据求出a ，c 的值.(2)求支柱MN 的长度.(3)拱桥下地平面是双向行车道(正中间是一条宽2m 的隔离带)，其中的一条行车道能否并排行驶宽2m 、高3m 的三辆汽车(汽车间的间隔忽略不计)？请说说你的理由.22．如图①，在△ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC ，点E 在AC 上（且不与点A ，C 重合），在△ABC 的外部作△CED ，使∠CED=90°，DE=CE ，连接AD ，分别以AB ，AD 为邻边作平行四边形ABFD ，连接AF ．（1）请直接写出线段AF ，AE 的数量关系；（2）将△CED 绕点C 逆时针旋转，当点E 在线段BC 上时，如图②，连接AE ，请判断线段AF ，AE 的数量关系，并证明你的结论．23．如图，已知AB是⊙O的直径，C是圆周上的动点，P是优弧ABC的中点．（1）如图①，求证：OP∥BC；（2）如图②，PC交AB于点D，当△ODC是等腰三角形时，求∠PAO的度数．24．定义：对于给定的两个函数，任取自变量x的一个值，当x＜0时，它们对应的函数值互为相反数；当x≥0时，它们对应的函数值相等，我们称这样的两个函数互为相关函数．例如：一次函数y=x﹣1，它的相关函数为()()1010x xyx x⎧-+<⎪=⎨-≥⎪⎩．（1）已知点A（﹣5，8）在一次函数y=ax﹣3的相关函数的图象上，求a的值；（2）已知二次函数21 42y x x=-+-．①当点B（m，32）在这个函数的相关函数的图象上时，求m的值；②当﹣3≤x≤3时，求函数21 42y x x=-+-的相关函数的最大值和最小值；（3）在平面直角坐标系中，点M ，N 的坐标分别为（﹣12，1），（92，1），连结MN ．直接写出线段MN 与二次函数24y x x m =-++的相关函数的图象有两个公共点时m 的取值范围．答案与详解1．C 【分析】根据把一个图形绕某一点旋转180 ，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．【详解】A 、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；B 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；C 、是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项正确；D 、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；故选C ．【点睛】此题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．2．D 【分析】利用因式分解法解方程．解：（x ﹣2）（x ﹣3）＝0，x ﹣2＝0或x ﹣3＝0，∴x 1＝2，x 2＝3．故选：D ．【点睛】本题考查了解一元二次方程-因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．3．C 【分析】根据二次函数图象上点的坐标特征，把点（0，2）直接代入解析式即可得到答案．【详解】∵二次函数2(1)(0)y a x b a =-+≠的图象经过点（0，2），∴22(01)a b =⋅-+，∴2a b +=．故选：C ．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．4．A 【详解】试题解析：连接OA ，OB ．45,C ∠=︒ 90AOB ∴∠=︒，∴在Rt AOB △中，OA OB ==点睛:在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于圆心角的一半.5．A【分析】先求出△ABC和△A1B1C1中对应的两点坐标，连接此两点坐标则E点必在其中点上，求出其中点坐标即可．【详解】由图可知：因为B、B1点的坐标分别是：B（-5，1）、B1（-1，-3），所以BB1的中点坐标为（512--，132-），即（-3，-1），则点E坐标是（-3，-1），故选A．【点睛】本题考查了坐标与图象变化-旋转，用到的知识点是图形旋转对称的性质等，图形旋转后时，其旋转中心必是其对应点连线的中点坐标．6．D【分析】利用表中数据得到直线与抛物线的交点为（-1，0）和（4，5），-1＜x＜4时，y1＞y2，从而得到当y2＞y1时，自变量x的取值范围．【详解】∵当x=0时，y1=y2=0；当x=4时，y1=y2=5；∴直线与抛物线的交点为（-1，0）和（4，5），而-1＜x＜4时，y1＞y2，∴当y2＞y1时，自变量x的取值范围是x＜-1或x＞4．故选D．【点睛】本题考查了二次函数与不等式：对于二次函数y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）与不等式的关系，利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解，也可把两个函数解析式列成不等式求解．7．C【分析】已知MN、PA、PB是⊙O的三条切线，于是可得MA=MC、NC=NB、PA=PB；从而可得△PMN的周长用AP、BP来表示，代入数值即可求解.【详解】∵直线PA、PA、MN分别于圆相切于点A、B、C，∴MA=MC，NC=NB，PA=PB，∴△PMN的周长=PM+PN+MN=PM+AM+PN+BN=PA+PB=7.5+7.5=15.故选C.【点睛】考查圆的切线的性质定理，关键是掌握切线长定理；8．C【分析】先确定旋转角∠A′CA，根据旋转的性质A′C=AC，可求∠AA′C，∠B′A′C要求的∠B′A′A=∠B′A′C-∠AA′C即可．【详解】∵将△ABC绕点C顺时针旋转40°得到△A'B'C，∴∠A′CA=40º，∵A′C=AC，∴∠AA′C=180-40=702︒︒︒，∵∠BAC=∠B′A′C==90°，∴∠B′A′A=∠B′A′C-∠AA′C=90º-70º=20º．故选择：C ．【点睛】本题考查图形旋转的性质和等腰三角形的性质等问题，掌握旋转的性质和等腰三角形的性质，会找旋转角，会利用等腰三角形求∠AA′C ，找到∠B′A′A 与∠AA′C 的关系是解题关键．9．A【分析】根据三角形的全等的判定和性质可以判断①的正误；根据角角之间的数量关系，以及三角形内角和为180°判断②的正误；根据线段垂直平分线的知识可以判断③的正误，根据三线合一的性质，可判定AC ⊥EF ，然后分别求得AG 与CG 的长，继而求得答案．【详解】∵四边形ABCD 是正方形，∴AB=AD=BC=DC ，∵△AEF 是等边三角形，∴AE=AF ，在Rt △ABE 和Rt △ADF 中，AB AD AE AF =⎧⎨=⎩，∴Rt △ABE ≌Rt △ADF （HL ），∴BE=DF ，AE=AF ，∵BC=DC ，∴BC-BE=CD-DF ，∴CE=CF ，故①正确；∵CE=CF ，∴△ECF 是等腰直角三角形，∴∠CEF=45°，∵∠AEF=60°，∴∠AEB=180°-60°-45°=75°，故②正确；如图，连接AC ，交EF 于G 点，∵AE=AF，CE=CF，∴AC⊥EF，且AC平分EF，∵∠CAF≠∠DAF，∴DF≠FG，∴BE+DF≠EF，故③错误；∵△AEF是边长为2的等边三角形，∠ACB=∠ACD=45°，AC⊥EF，∴EG=FG=1，∴AG=AE•sin60°3232=⨯=CG=112EF=，∴31；故④正确．综上，①②④正确故选：A．【点睛】本题考查了正方形的性质，等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定和性质以及解直角三角形．注意准确作出辅助线是解此题的关键．10．C【分析】先分别求出当b=-1、0、1时函数图象的顶点坐标即可得出答案．【详解】当b=-1时，此函数解析式为：y=x2+x+1，顶点坐标为：13 24⎛⎫- ⎪⎝⎭，；当b=0时，此函数解析式为：y=x2+1，顶点坐标为：（0，1）；当b=1时，此函数解析式为：y=x2-x+1，顶点坐标为：13 24⎛⎫ ⎪⎝⎭，．故函数图象应先往右上方移动，再往右下方移动．故选C ．【点睛】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，解答此题的关键是熟练掌握二次函数的顶点坐标为24,24b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭．11．1【分析】根据一元二次方程的解的定义，把x=1代入方程得到关于a 的一次方程，然后解此一次方程即可．【详解】解：把x=1代入方程220x ax +-=得1+a-2=0，解得a=1．故答案是：1．【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．12．y =x 2﹣2【分析】根据抛物线平移的规律（左加右减，上加下减）求解．【详解】抛物线y =x 2+1向下平移3个单位得到的解析式为y =x 2+1﹣3，即y =x 2﹣2．故答案为y =x 2﹣2．【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，掌握“左加右减，上加下减”的平移规律是解题的关键．13．20%．【分析】设平均每次下调的百分率为x,则第一次下调后的关税为4000(1-x),第二次下调的关税为40002(1)x -,根据题意可列方程为40002(1)x -=2560求解即可.【详解】解：设平均每次下调的百分率为x,根据题意得:(1)x =2560，40002解得:1x=0.2=20%,2x=1.8=180%(舍去),即:平均每次下调的百分率为20%.故答案是:20%.【点睛】本题主要考查一元二次方程的实际应用，根据已知条件列出方程是解题的关键.14．4秒或8秒【分析】⊙P与CD相切应有两种情况，一种是在射线OA上，另一种在射线OB上，设对应的圆的圆心分别在M，N两点．当P在M点时，根据切线的性质，在直角△OME中，根据30度的角所对的直角边等于斜边的一半，即可求得OM的长，进而求得PM的长，从而求得由P 到M移动的时间；根据ON=OM，即可求得PN，也可以求得求得由P到M移动的时间．【详解】①当⊙P在射线OA上，设⊙P于CD相切于点E，P移动到M时，连接ME．∵⊙P与直线CD相切，∴∠OEM=90°，∵在直角△OPM中，ME=1cm，∠AOC=30°，∴OM=2ME=2cm，则PM=OP-OM=6-2=4cm，∵⊙P以1cm/s的速度沿由A向B的方向移动，∴⊙P移动4秒时与直线CD相切；②当⊙P的圆移动到直线CD的右侧，同理可求ON=2则PN=6+2=8cm．∴⊙P移动8秒时与直线CD相切．故答案为：4秒或8秒．【点睛】本题主要考查了切线的性质和直角三角形的性质，注意已知圆的切线时，常用的辅助线是连接圆心与切点，本题中注意到分两种情况讨论是解题的关键．15．4.8【详解】设EF的中点为P，⊙P与AB的切点为D，连接PD，连接CP，CD，则有PD⊥AB；由勾股定理的逆定理知，△ABC是直角三角形PC+PD=EF，由三角形的三边关系知，PC+PD＞CD；只有当点P在CD上时，PC+PD=EF有最小值为CD的长，即当点P在直角三角形ABC的斜边AB的高CD上时，EF=CD有最小值，由直角三角形的面积公式知，此时CD=BC·AC÷AB=4.8．故答案为：4.8．考点：切线的性质；垂线段最短；勾股定理的逆定理16．0或1113AF <<或4【详解】【分析】在点F 的运动过程中分别以EF 为直径作圆，观察圆和矩形矩形ABCD 边的交点个数即可得到结论.【解答】当点F 与点A 重合时，以EF 为斜边Rt EFP ∆恰好有两个，符合题意.当点F 从点A 向点B 运动时，当01AF <<时，共有4个点P 使EFP ∆是以EF 为斜边Rt EFP ∆.当1AF =时，有1个点P 使EFP ∆是以EF 为斜边Rt EFP ∆.当1113AF <<时，有2个点P 使EFP ∆是以EF 为斜边Rt EFP ∆.当113AF =时，有3个点P 使EFP ∆是以EF 为斜边Rt EFP ∆.当1143AF <<时，有4个点P 使EFP ∆是以EF 为斜边Rt EFP ∆.当点F 与点B 重合时，以EF 为斜边Rt EFP ∆恰好有两个，符合题意.故答案为0或1113AF <<或4【点评】考查圆周角定理，熟记直径所对的圆周角是直角是解题的关键.注意分类讨论思想在数学中的应用.17．（1）1251x x ，==-；（2）12932x x ==，【分析】（1）利用因式分解法解方程得出答案；（2）移项变形，利用因式分解法解方程得出答案．【详解】（1）2450x x --=，因式分解得：()()510x x -+=，解得：1251x x ，==-；（2）()22(3)33x x -=-，移项得：()22(3)330x x ---=，因式分解得：()()3290x x --=，∴30x -=或290x -=，解得：12932x x ==，．【点睛】本题主要考查了因式分解法解方程，正确掌握一元二次方程的解法是解题关键．18．（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析【分析】（1）作AB 的垂直平分线，垂直平分线在端点处的点即为顶点；（2）如下图所示，满足面积条件和直角条件；（3）以AB 为对角线，绘制平行四边形即可【详解】（1）如下图，过线段AB 作垂直平分线，与网络交于格点C ，则点C 为等腰直角三角形顶点根据勾股定理，可求得，根据勾股定理逆定理，可得△ABC 是直角三角形，满足条件（2）图形如下：根据勾股定理，可求得：10，2，BC=22根据勾股定理逆定理，可判断△ACB是直角三角形面积=122×22=2，成立（3）平行四边形满足是中心对称图形，不是轴对称图形，图形如下：(答案不唯一)【点睛】本题考查格点问题，解题过程中，一方面需要结合几何特征，另一方面，还要敢于尝试19．这块矩形场地的长是23米、宽是10米．【分析】阅读试题，理解含义，分清题意，找出等量关系设矩形场地的宽为x米，则矩形场地的长为（2x+3）米，利用面积得：x(2x+3)=170，解方程要检验，负根舍去，最后作答即可．【详解】设这块矩形场地的宽为x米，则矩形场地的长为（2x+3）米，由面积得：x(2x+3)=170，因式分解得：(2x+17)(x-10)=0，∴x=10，x=-172(舍)，∴2x+3=23，答：这块矩形场地的长是23米、宽是10米．【点睛】本题考查面积问题应用题，抓住矩形的长比宽的2倍长3m 来设元，抓住一块170m 2的矩形场地列方程是解题关键，掌握列方程解应用题的步骤与要求，分析题意，恰当设元，列出方程，解方程，检验，作答．20．（1）不变化，理由见详解；（2）8<S 四边形A′C′B′P′≤40【分析】（1）由∠ACP=∠BCP 得 AP BP=，P 为 AB 的中点，P 在弧AB 上的位置不动，p 点不变化，（2）四边形ACBP 的面积不是定值，连接OA ，OB ，OP ，OP 交AB 于D ，由 AP BP =，OP 为半径，由垂经定理知OP ⊥AB ，AB=BD ，由勾股定理得OD=，进而S △APB =12AB DP ，当PC 为直径时，S △ABC 最大=12AB DC 则0<S △ABC ≤32即可求出S 四边形ACBP =S △ABC +S △PAB =S △ABC +8的范围，即S 四边形A′C′B′P′的范围．【详解】（1）∵∠ACB 的角平分线与劣弧AB 交于点P ，∴∠ACP=∠BCP ，∴ AP BP=，∴P 为 AB 的中点，∴P 在弧AB 上的位置不动，为此不随点C 的运动而发生变化，P 点不变化．（2）四边形ACBP 的面积不是定值，连接OA ，OB ，OP ，OP 交AB 于D ，由 AP BP=，OP 为半径，∴OP ⊥AB ，AB=BD=4，OA=5，∴由勾股定理得3==，∴DP=OP-OD=5-3=2，∴S △APB =1182822AB DP =⨯⨯= ，当PC 为直径时，交AB 于点D ，则CD=PC-PD=10-2=8，S △ABC 最大=11883222AB DC =⨯⨯= ，0<S △ABC ≤32，S 四边形ACBP =S △ABC +S △PAB =S △ABC +8，8<S 四边形ACBP ≤40，即8<S 四边形A′C′B′P′≤40．【点睛】本题考查了圆周角定理，垂径定理，三角形面积，勾股定理等内容，熟练掌握圆周角定理是解题关键．21．（1）y=-350x 2+6；（2）5.5米；（3）一条行车道能并排行驶这样的三辆汽车．【解析】试题分析：（1）根据题目可知A ．B ，C 的坐标，设出抛物线的解析式代入可求解．（2）设N 点的坐标为（5，y N ）可求出支柱MN 的长度．（3）设DN 是隔离带的宽，NG 是三辆车的宽度和．做GH 垂直AB 交抛物线于H 则可求解．试题解析：(1)根据题目条件，A 、B 、C 的坐标分别是(-10,0)、(0,6)、(10,0).将B 、C 的坐标代入2y ax c =+，得6,0100.c a c =⎧⎨=+⎩解得3650a c =-=.∴抛物线的表达式是23650y x =-+.(2)可设N (5,N y )，于是2356 4.550N y =-⨯+=.从而支柱MN 的长度是10-4.5=5.5米.(3)设DE 是隔离带的宽，EG 是三辆车的宽度和，则G 点坐标是(7,0)(7=2÷2＋2×3).过G 点作GH 垂直AB 交抛物线于H ，则23176335050H y =-⨯+=+>.根据抛物线的特点，可知一条行车道能并排行驶这样的三辆汽车.22．（1）AE ；（2）AE ，证明见解析.【详解】解：（1）如图①中，∵四边形ABFD 是平行四边形，∴AB=DF ，∵AB=AC ，∴AC=DF ，∵DE=EC ，∴AE=EF ，∵∠DEC=∠AEF=90°，∴△AEF 是等腰直角三角形，∴AE ．（2）如图②中，连接EF ，DF 交BC 于K ．∵四边形ABFD 是平行四边形，∴AB ∥DF ，∴∠DKE=∠ABC=45°，∴EKF=180°﹣∠DKE=135°，∵∠ADE=180°﹣∠EDC=180°﹣45°=135°，∴∠EKF=∠ADE ，∵∠DKC=∠C ，∴DK=DC ，∵DF=AB=AC ，∴KF=AD ，在△EKF 和△EDA 中，{EK DKEKF ADE KF AD=∠=∠=，∴△EKF ≌△EDA ，∴EF=EA ，∠KEF=∠AED ，∴∠FEA=∠BED=90°，∴△AEF 是等腰直角三角形，∴AE．23．（1）证明见详解；（2）36º或1807︒．【分析】(1)连接PC ，由 AP PC=得AOP COP ∠=∠，利用△AOP ≌△COP ，得出∠APO=∠CPO ，由OA=OP 得∠APO=∠OAP ，由∠PCB=∠OAP 得∠PCO=∠PCB 即可；（2）如图，△OCD 是等腰三角形①当OD=CD 时，连接BC ，OP ，设∠BOC=∠DCO=xº,∠BDC=∠BOC+∠DCO=2xº,由（1）知OP ∥BC ，∠POD=∠OBC ，易证△POD ≌ΔOBC ，BC=OD=CD ，∠OBC=∠OCB=∠CDB=2xº，∠BAC+∠OBC+∠OCB=180º即x+2x+2x=180；②当OC=CD 时由OP ∥BC ，∠OPC=∠DCB ，由OP=OC ，∠OCP=∠OPC=∠DCB ，设∠OCP=∠OPC=DCB=yº，∠OCB=∠OCD+∠DCB=2xº，∠OBC=∠OCB=2xº，∠ODC 是ΔCDB 的外角，得∠COD=∠ODC=3xº，由∠OCD+∠COD+∠ODC=180º即x+3x+3x=180．【详解】(1)连接PC ，∵ AP PC =，∴AOP COP ∠=∠，在△AOP 和△COP 中，,,,OP OP AOP COP OA OC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△AOP ≌△COP ，∴∠APO=∠CPO ，∵OA=OP ，∴∠APO=∠OAP ，又∵∠PCB=∠OAP ，∴∠PCO=∠PCB ，∴OP ∥BC，（2）如图，△OCD 是等腰三角形，①当OD=CD 时，连接BC ，OP ，设∠BOC=∠DCO=xº,∠BDC=∠BOC+∠DCO=2xº,由（1）知OP ∥BC ，∴∠POD=∠OBC，∵OP=OC，∴∠OPD=∠OCD=BOC=xº，∴△POD≌ΔOBC，∴BC=OD=CD，∴∠OBC=∠OCB=∠CDB=2xº，∠BAC+∠OBC+∠OCB=180º，x+2x+2x=180，x=36，∠PAB=∠PCB=36º，②当OC=CD时由OP∥BC，∠OPC=∠DCB，OP=OC，∠OCP=∠OPC=DCB，设∠OCP=∠OPC=DCB=yº，∠OCB=∠OCD+∠DCB=2xº，∠OBC=∠OCB=2xº，∠ODC是ΔCDB的外角，∠ODC=∠DCB+∠DBC=3xº，∠COD=∠ODC=3xº，在ΔOCD中，∠OCD+∠COD+∠ODC=180º，x+3x+3x=180，x=1807，∴∠PAB=∠PCB=1807︒，综合∠PAO=36º或1807︒．【点睛】不本题考查园中平行与等腰三角形中角度问题，掌握圆心角、圆周角、弧的关系，会利用全等三角形证相关的结论，会证等腰三角形，利用内角与外角关系，求角的度数，本题是一道有关圆的综合应用题，作出恰当的辅助线是解答本题的关键．24．（1）1；（2）①m =2m或m =2﹣；②最大值为432，最小值为﹣12；（3）﹣3＜n ≤﹣1或1＜n ≤54．【分析】（1）函数y =ax ﹣3的相关函数为3(0)3(0)ax x y ax x -+<⎧=⎨-≥⎩，将然后将点A （﹣5，8）代入y =﹣ax +3求解即可；（2）二次函数2142y x x =-+-的相关函数为2214(0)214(0)2x x x y x x x ⎧-+<⎪⎪=⎨⎪-+-≥⎪⎩，①分为m ＜0和m ≥0两种情况将点B 的坐标代入对应的关系式求解即可；②当﹣3≤x ＜0时，2142y x x =-+-，然后可此时的最大值和最小值，当0≤x ≤3时，函数2142y x x =-+-，求得此时的最大值和最小值，从而可得到当﹣3≤x ≤3时的最大值和最小值；（3）首先确定出二次函数24y x x n =-++的相关函数与线段MN 恰好有1个交点、2个交点、3个交点时n 的值，然后结合函数图象可确定出n 的取值范围．【详解】解：（1）函数y =ax ﹣3的相关函数为3(0)3(0)ax x y ax x -+<⎧=⎨-≥⎩，将点A （﹣5，8）代入y =﹣ax +3得：5a +3=8，解得：a =1．（2）二次函数2142y x x =-+-的相关函数为2214(0)214(0)2x x x y x x x ⎧-+<⎪⎪=⎨⎪-+-≥⎪⎩；①当m ＜0时，将B （m ，32）代入2142y x x =-+得213422m m -+=，解得：m=2+（舍去）或m =2当m ≥0时，将B （m ，32）代入2142y x x =-+-得：213422m m -+-=，解得：m=2+或m =2．综上所述：m =2m或m =2．②当﹣3≤x ＜0时，2142y x x =-+，抛物线的对称轴为x =2，此时y 随x 的增大而减小，∴此时y 的最大值为432．当0≤x ≤3时，函数2142y x x =-+-，抛物线的对称轴为x =2，当x =0有最小值，最小值为﹣12，当x =2时，有最大值，最大值y =72．综上所述，当﹣3≤x ≤3时，函数2142y x x =-+-的相关函数的最大值为432，最小值为﹣12；（3）如图1所示：线段MN 与二次函数24y x x n =-++的相关函数的图象恰有1个公共点．所以当x =2时，y =1，即﹣4+8+n =1，解得n =﹣3．如图2所示：线段MN 与二次函数24y x x n =-++的相关函数的图象恰有3个公共点∵抛物线24y x x n =-++与y 轴交点纵坐标为1，∴﹣n =1，解得：n =﹣1，∴当﹣3＜n ≤﹣1时，线段MN 与二次函数24y x x n =-++的相关函数的图象恰有2个公共点．如图3所示：线段MN 与二次函数24y x x n =-++的相关函数的图象恰有3个公共点．∵抛物线24y x x n =-++经过点（0，1），∴n =1．如图4所示：线段MN 与二次函数24y x x n =-++的相关函数的图象恰有2个公共点．∵抛物线24y x x n =--经过点M （﹣12，1），∴14+2﹣n =1，解得：n =54，∴1＜n ≤54时，线段MN 与二次函数24y x x n =-++的相关函数的图象恰有2个公共点．综上所述，n 的取值范围是﹣3＜n ≤﹣1或1＜n ≤54．【点睛】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了二次函数的图象和性质、函数图象上点的坐标与函数解析式的关系，求得二次函数24y x x n =-++的相关函数与线段MN 恰好有1个交点、2个交点、3个交点时n 的值是解题的关键．。
2024-2025学年阶段性学业水平测评卷(吉林省九年级上学期期中考试A卷)数学试题
2024-2025学年阶段性学业水平测评卷（吉林省九年级上学期期中考试A 卷）数学试题一、单选题1．抛物线224y x =-的顶点坐标是（）A ．()2,4B ．()0,4-C ．()0,4D ．()2,4-2．下列垃圾分类标识的图案既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．3．平面内，已知O 的半径是5cm ，线段6cm OP =，则点P 在（）A ．O 外B ．O 上C ．O 内D ．无法确定4．如图，在O 中，OC ⊥弦A 于点C ，4AB =，1OC =，则OB 的长为（）A ．17B ．15CD ．35．如图，一名男生推铅球，铅球行进高度y （单位：m ）与水平距离x （单位：m ）之间的关系是()214312y x =--+，则他将铅球推出的距离为（）A ．3mB ．4mC ．7mD ．10m6．《九章算术》是我国传统数学的重要著作之一，奠定了我国传统数学的基本框架．《九章算术》中记载：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈．问户高、广各几何？”大意：有一形状是矩形的门，它的高比宽多6尺8寸，它的对角线长1丈，问它的高与宽各是多少？利用方程思想，设矩形门高为x 尺，则依题意所列方程为（1丈10=尺，1尺10=寸）（）A ．()2226.810x x ++=B ．()2226.810x x +-=C ．()226.810x x +=D ．()226.810x x -=二、填空题7．点()3,2M -关于原点对称的点的坐标是．8．如图，以点O 为旋转中心，将AOB ∠按顺时针方向旋转110︒得到COD ∠，若40AOB ∠=︒，则AOD ∠=°．9．已知函数2=32y x x a ++-的图象过原点，则a 的值为10．将一元二次方程()()252x x x +=-化为一般形式2100x ax ++=则a 的值为．11．如图，BC 为O 的直径，弦CD OA ∥．若50C ∠=︒，则A ∠=°．12．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，E 是BC 延长线上一点，若∠BAD=105°，则∠DCE 的度数是°．13．当=时，代数式2421x x +-的值与代数式232x -的值相等．14．若一个两位数的十位，个位上的数字分别为a ，b ，则通常记作这个两位数为ab ，于是10ab a b =+．如：()()101010910a a a a a -=+-=+，当()9910x x ⨯-的值最大时，x 的值为．三、解答题15．用适当的方法解方程：2230x x --=．16．若二次函数2y ax =的图象经过点()2,4P -，求该函数的解析式并写出对称轴．17．如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，2AC CB ==，将ABC V 绕点A 按逆时针方向旋转90°得到ADE V ．(1)线段DE 的长是______，EAC ∠的度数是______°；(2)连接CD ，求证：四边形ACDE 是平行四边形．18．在平面直角坐标系中，抛物线21y ax bx =++经过点()1,0和()1,4-．(1)求此抛物线的解析式；(2)若点()12,A y ，()23,B y 都在该抛物线上，则1y _______2y ．（填“>”“<”或“=”）19．如图，在5×5的正方形网格纸中，已知格点M 和格点线段AC ，请按要求画出AC 为对角线的格点四边形（顶点均在格点上）．(1)在图①中画出四边形ABCD ，使得四边形ABCD 是中心对称图形，且点M 在四边形ABCD 的内部（不包括边界上）．(2)在图②中画出四边形AECF ，使得四边形AECF 既是轴对称图形，又是中心对称图形，且点M 在四边形ABCD 的边界上（不包括顶点上）．20．如图，A ，P ，B ，C 是半径为8的⊙O 上的四点，且满足∠BAC=∠APC=60°，（1）求证：△ABC 是等边三角形；（2）求圆心O 到BC 的距离OD ．21．如图，在平面直角坐标系中，OAB △的三个顶点的坐标分别为()6,3A ，()0,5B ，0,0．(1)将OAB △向左平移5个单位长度得到111O A B △，请画出111O A B △；(2)画出OAB △绕原点O 顺时针方向旋转90︒后得到的22OA B △；(3)OAB ∠的度数为_______︒．22．如图，二次函数2y x bx c =-++的图象经过点()1,0A -，其对称轴为直线1x =，与x 轴的另一个交点为C ，与y 轴交于点B ．(1)点C 的坐标为______；(2)将二次函数的图象向下平移3个单位长度，求平移后的二次函数的解析式．23．如图，足球场上守门员在O 处开出一高球，球从离地面1米的A 处飞出（A 在y 轴上），运动员乙在距O 点6米的B 处发现球在自己头的正上方达到最高点M ，距地面约4米高，球落地后又一次弹起．据实验测算，足球在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少到原来最大高度的一半．（1）求足球开始飞出到第一次落地时，该抛物线的表达式．（2）足球第一次落地点C 距守门员多少米？（取7=）（3）运动员乙要抢到第二个落点D ，他应再向前跑多少米？（取5=）24．已知△ABC 是等腰三角形，AB=AC ．（1）特殊情形：如图1，当DE ∥BC 时，有DB EC ．（填“＞”，“＜”或“=”）（2）发现探究：若将图1中的△ADE 绕点A 顺时针旋转α（0°＜α＜180°）到图2位置，则（1）中的结论还成立吗？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．（3）拓展运用：如图3，P 是等腰直角三角形ABC 内一点，∠ACB=90°，且PB=1，PC=2，PA=3，求∠BPC 的度数．25．如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，30A ∠=︒，2cm BC =．点P 从点A 出发，以2/s cm 的速度沿A B C →→向终点C 运动，过点P 作直线AC 的垂线交AC 于点D ，当点P 与A 、C 不重合时，作点A 关于点D 的对称点Q ，设点P 的运动时间为()s 03x x <<，APQ △与ABC V 重叠部分图形的面积是2cm y ．(1)AB 的长为______；(2)当点Q 与点C 重合，求x 的值；(3)求y 关于x 的函数解析式，并写出自变量x 的取值范围．26．如图，在平面直角坐标系中，点A ，B 分别在x 轴，y 轴的正半轴上，3OA OB ==．经过点O ，A 的抛物线L ：2y ax bx =+交AB 于点C ，点C 的横坐标为1．点P 在线段AB 上，当点P 与点C 不重合时，过点P 作PQ y ∥轴，与抛物线交于点Q .以PQ 为边向右侧作矩形PQMN ，且1PN =．设点P 的横坐标为m 时，解答下列问题．(1)求此抛物线L 的解析式；(2)当抛物线的顶点落在边PN 上时，求m 的值；(3)矩形PQMN 为正方形时，直接写出m 的值．。
福建省厦门市双十中学(思明校区)2024-2025学年九年级上学期期中考试语文试题答案
2024-2025学年（上）初三年期中考试语文参考答案一、积累与运用（25分）1．（10分）（1）山雨欲来风满楼（2）为赋新词强说愁（3）春蚕到死丝方尽蜡炬成灰泪始干（4）露从今夜白月是故乡明（5）欲渡黄河冰塞川将登太行雪满山（6）但愿人长久千里共婵娟2.（1）（3分）娆娉袤（2）（3分）C（3）（3分）这一切都可以用诗歌的形式来表达/来呈现。
（搭配得当即可）3.（6分）（1）（1分）武松（2）（2分）勇敢无畏、武艺高强、机智灵活（涉及勇猛类的表述1分，机智类1分）（3）(3分)示例一:语言上，《水浒传》用的是古代白话，质朴生动。
如“仗胸中武艺，半歇儿把大虫打做一堆，却似躺着一个锦布袋。
”既通俗，又生动。
示例二:《水浒传》的语言生动准确，洗练明快，富有表现力。
如写在打大虫时，“尽平生之力”还不足表现鲁达之勇猛，而用了一个“只”字，表现出其神韵。
(概括语言特点2分，结合文本1分，能言之成理即可)二、阅读（65分）（一）诗歌鉴赏（7分）4.（3分）C5.（4分）辛弃疾借“汉殿秦宫”喟叹今无英雄（2分，若写“盛世难再”或“怀才不遇，报国无门的感慨”给1分）；许浑借秦苑汉宫的荒废抒发对世事沧桑的感慨（2分）。
（二）文言文阅读（16分）6.（3分）B7.（3分）（1）迫近（2）有时（3）及，比得上8.（1）（3分）（他们）看了自然景物而触发的感情，恐怕会有所不同吧？（2）（3分）不像滕王阁和黄鹤楼，视力所能看到的范围就能看完，所以岳阳楼的风景最好。
9.（4分）甲文主要为了表达“不以物喜，不以己悲”的旷达胸襟和先忧后乐的伟大政治抱负（2分）。
乙文意在突出岳阳楼的雄伟壮观，表达作者的赞美之情（2分）。
(意近即可)（三）文学文本阅读（21分）10.（3分）C11.（1）（3分）①“埋”指外婆偷偷把荷包蛋藏在碗底下（1分），②生动形象地写出外婆的小心翼翼（1分），③体现出外婆对“我”特殊的疼爱（1分）。
（2）（4分）①“我”已长大成人，生活幸福；②精准扶贫给全村环境、产业等带来的积极影响；③受了大半辈子穷的家人，日子过得越来越好。
上海市杨浦区2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试题
上海市杨浦区2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试题一、单选题1．已知53x y =，3y ≠-那么下列等式不成立．．．的是（）A ．83x y y +=B ．23x y y -=C ．5533x y +=+D ．3533x y +=+2．下列图形，一定相似的是（）A ．两个等边三角形B ．两个等腰三角形C ．两个矩形D ．两个菱形3．已知在Rt ABC △中，90C ∠=︒，AB n =，那么下列关系式正确的是（）A ．sin AC n A =⋅B ．cos AC n A=⋅C ．tan AC n A =⋅D ．cot AC n A=⋅4．已知向量a 与非零向量c 方向相同，且其长度为c 长度的3倍；向量b 与c 方向相反，且其长度为c 长度的6倍，那么下列等式中成立的是（）A ．12a b=B ．12a b =- C ．2a b = D ．2a b=- 5．已知ABC V 的三边都不相等，如果ABC V 与DEF 相似，且B D ∠=∠，那么下列等式一．定不成立．．．．的是（）A ．AB BC DE DF =B ．AB BC DF DE =C ．AB BC DE EF =D ．AB AC DE EF=6．如图，已知在ABC V 中，点G 是中线AH 上一点，且34AG AH =，点D 、E 分别在边AB AC 、上，DE 经过点G ，那么下列结论中，错误的是（）A ．如果3AD BD =，那么DE BC∥B ．如果点E 与点C 重合，那么:3:2AD BD =C ．AB AC AD AE +的和是一个定值D ．AD AE AB AC+的和是一个定值二、填空题7．计算：tan 60cos30︒+︒=．8．计算：()()33222b a a b -+-= 9．已知线段b 是线段a ，c 的比例中项，4cm a =，6cm b =，那么c =cm ．10．如果两个相似三角形的相似比是4:9，那么它们的周长比是．11．已知在ABC V 中，点D 是边AB 的中点，ACD B ∠=∠，4BD =，那么AC 的长是12．如图，已知123l l l ∥∥，:1:2AB BC =，如果10DF =，那么DE =．13．已知点P 位于第一象限内，6OP =，且OP 与x 轴正半轴夹角的正弦值为23，那么点P 的坐标是14．如图，在ABC V 中，正方形DEFG 内接于ABC V ，点D 、E 分别在边AB AC 、上，点G 、F 在边BC 上，如果10AB AC ==，12BC =，那么DE 的长是．15．如图，已知点P 在等边三角形ABC 的边BC 的延长线上，120PAQ ∠=︒，射线AQ 与CB 的延长线交于点Q ，如果3BC =，8CQ =，那么CP =．16．如图，在ABC V 中，DE BC ∥，连接CD ，如果BCD ADE S S =△△，8AC =，那么AE =．17．为了测量校门口路灯AB 的高度，小明准备了两根标杆CD EF 、和皮尺，按如图的方式放置，已知 1.5CD EF ==米，在路灯的照射下，标杆CD 的顶端C 在标杆EF 留下的影子为G ，标杆EF 在地面上的影长是FH ，经测量得0.5FG =米， 1.5DF =米，3FH =米，那么灯杆AB 的长是米．18．如图，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，7AC BC ==，点D 在边A 上，34AD BD =，点E 在射线BC 上，将DEB 沿着D 翻折，点B 落在点F 处，如果点A E F 、、在同一直线上，那么BE =．三、解答题19．如图，在ABC V 中，点E 为AC 中点，点D 在边AB 上，AED B ∠=∠，9AB =，6AC =．(1)求AD 的长；(2)设AB a =，BC b =用向量a 、b 表示向量DE ，即DE = ______．20．如图，在ABC V 中，120C ∠=︒，4BC =，3sin 5B =，求AC 的长．21．如图，AC 与BD 相交于点O ，将ADO △、ABO 、BOC 的面积分别记为1S 、2S 、3S ，当AD BC ∥时，试探究1S 、2S 、3S 有怎样的等量关系，并说明理由．22．在学习“三角形的重心”一课时，小王向同桌小刘提出这样一个问题：四边形有没有重心，如果四边形有重心，它的重心如何确定呢？小刘在周末查阅了相关资料，得到如下的信息：①四边形也有重心；②在平面内，图形A 与图形B 拼成一个图形C ，那么图形C 的重心一定在图形A 的重心与图形B 的重心连接的线段上．根据以上信息，解决下列问题：如图，有两张全等的直角三角形纸片，其中一张记为Rt ABC ，C 为直角顶点，1cot 2B =，将这两个三角形拼成一个四边形，使得斜边重合．(1)请画出所有符合要求的四边形，并作出所作四边形的重心G ；（不用写作法，保留痕迹，写出结论）(2)直接．．写出线段AG 与线段BG 之比的比值．23．已知：如图，在ABC V 中，AB AC =，点D 在边CB 的延长线上，点E 在线段AD 上，DE CE =．(1)求证：EAF ECA ∽；(2)如果3CF EF =，连接EB ，求证：EB CD ⊥．24．如图，在锐角ABC V 中，AD 是高，tan 3ABC ∠=，点E 是AB 的中点．(1)求BED ∠的正切值；(2)点F 在线段ED 的延长线上，且CF ED ⊥，连接BF ，如果BF CF =，求BC AC 的值．25．如图1，已知梯形ABCD ，AD BC ∥，AB AD CD ==，AB BC <．(1)当6AB =，1cos 3C =时，求梯形ABCD 的面积；(2)作CD 的垂直平分线交射线AB 于点E ，交CD 于点F ．①如图2，当点E 与点B 重合时，求C ∠的余弦值；②当EF 经过BC 的中点时，求AB BC的值．。
山西省阳泉市部分学校2024-2025学年上学期期中考试九年级数学试卷(含答案)
2024—2025学年度第一学期期中九年级数学（满分120分，练习时间120分钟）第I 卷 选择题（共30分）一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1.是同类二次根式的是（ ）2.已知关于x 的一元二次方程，若，则下列各数中是该方程的根的是（ ）A.1B.C.2D.03.在数学史上，有很多著名的几何图形用来验证数学知识的产生过程.如图所示的图案，是由一连串公共顶点为O 的直角三角形拼接而成，若，则图中直角三角形之间存在的变换关系是（ ）A.图形的平移B.图形的旋转C.图形的全等D.图形的相似4.利用配方法解方程时，将该方程化为的形式，然后利用直接开平方法求解，这个过程体现的数学思想是（ ）A.数形结合思想B.转化思想C.整体思想D.公理化思想5.如果，那么下列比例式正确的是（ ）A. B. C. D.6.若等腰三角形一条边的长为3，另两条边的长分别是关于x 的一元二次方程的两个根，则k 的值是（ ）A.27B.36C.27或36D.187.我国古代数学《九章算术》中有一道“井深几何”的问题：“今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸（1尺等于10寸），问井深几何?”根据题意画出如图示意图，则并深为（ ）20x bx c ++=10b c ++=1-30AOB BOC COD LOM ∠=∠=∠==∠=︒ 2680x x ++=()231x +=:5:3a b =35a b a -=32b a b =+14a b a b -=+223a b=2120x x k -+=A.56.5尺B.57.5尺C.6.25尺D.1.25尺8.如图，在中，点D 是上一点，且，若，，则与的面积比为（ ）A. B. C. D.9.对于实数a ，b ，定义运算“（ ）”：若，例如：.已知关于x 的一元二次方程有实数根，则m 的取值范围为（ ）A. B. C. D.10.如图，在中，，，点D ，E 分别是，边上的动点，连结，F ，M 分别是，的中点，则的最小值为（ ）A.12B.10C.9.6D.4.8第II 卷 非选择题（共90分）二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）11.的结果是________.ABC △AC ABD C ∠=∠2AD =3AB =ABD △BCD△4:54:92:32:1()*a b a a b =-()2*32232=-=-211*(2)724x m m m -=-13m ≥-13m ≤-16m ≤-16m ≥-ABC △10AB BC ==12AC =AB BC DE AD DE FM12.如图，直线，若，，，那么的长为________.13.某种小家电在两年内提价两次后每个的价格比两年前增加了44%，则平均每次提价的百分率为________.14.如图，小明在A 时测得某树的影长为3m ，B 时又测得该树的影长为2m ，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为________m.15.如图，在中，，，，点D 是边上的一点，过点D 作，交于点F ，作的平分线交于点E ，连接.若的面积是2，则的值是________.三、解答题（本大题共8个小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16.（每小题5分，共10分）（1（2）解方程：17.（本题10分）图①、图②、图③都是的网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1.点A ，B ，C 均在格点上.在图①、图②、图③给定的网格中，仅用无刻度的直尺，按下列要求完成作图，并保留作图痕迹.AB CD EF ∥∥12AD =4DF =15BE =CE Rt ABC △90C ∠=︒3AC =4BC =AC DF AB ∥BC BAC ∠DF BE ABE △DE EF221)(2)--+-()()325211x x x -+=+66⨯图① 图② 图③（1）在图①中，以点C 为位似中心，将放大到原来的2倍；（2）在图②中，在线段上作点D ，使得；（3）在图③中，作，且相似比为.18.（本题8分）玉米俗称玉米棒子、苞米，是我国第一大粮食作物，也是全世界公认的“黄金作物”.政府鼓励农民种植玉米，一亩地每年补贴300元.经调查：我省玉米实验田平均亩产量约1300千克，市场销售价为每千克1.2元，除购买种子、播种、施肥、浇水、收割等成本费用外（随种植亩数的变化而变化），种植一亩玉米的净利润达到1360元.（1）求种植一亩玉米的成本需要多少元；（2）某农场现有15亩实验田，计划种植玉米和蔬菜，根据经验调查发现：按2023年种植一亩玉米的成本来计算，以后每多种植1亩，平均每亩的成本会减少20元，2024年农场计划投入3200元的成本种植玉米，问：该农场计划种植几亩玉米?19.（本题7分）如图，在中，点D 在边上，，点E 在边上，.（1）求证：.（2）若，，求的长.20.（本题8分）项目化学习项目主题：测量树的高度.分析探究：树的高度不能直接测量，需要借助一些工具，比如小镜子，标杆，皮尺，小木棒，自制的直角三角形硬纸板，确定方案后，还要画出测量示意图，并实地进行测量，得到具体数据，从而计算出树的高ABC △BC 3CD BD =BEF BAC △∽△3:4ABC △BC DAC B ∠=∠AD CD CE =ABD CAE △△∽9AB =6AC BD ==AE度.成果展示：下面是某小组进行交流展示时的部分测量方案及测量数据：测量工具标杆，皮尺测量方案选一名同学作为观测者，在观测者与树之间的地面直立一根标杆，使树的顶端、标杆的顶端与观测者的眼睛恰好在一条直线上.这时再测出观测者的脚到树底端的距离，以及观测者的脚到标杆底端的距离，然后测出标杆的高.测量示意图测量数据线段表示树，标杆，观测者的眼睛到地面的距离，观测者的脚到树底端的距离，观测者的脚到标杆底端的距离.……请同学们继续完善上述成果展示：任务一：根据测量数据，求出树的高度；任务二：写出求树的高度时所利用的数学知识________________________________________.（写出一个即可）21.（本题8分）阅读下列材料，并按要求完成相应的任务.两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯（Eudoxus ，约前400-前347）发现：如图1，将一条线段分割成长、短两条线段，，若较短线段与较长线段的比等于较长线段与原线段的比，即（此时线段叫做线段，的比例中项）比值为黄金比，P 为线段的黄金分割点. 图1采用如下方法可以得到黄金分割点：如图2，设是已知线段，经过点B 作，且，连接，在上截取，在上截取，则C 就是线段的黄金分割点.任务：AB 3.2m EF = 1.7m CD =14m DB =2m DF =AB AB AP BP BP AP AP AB =AP BP AB AB AB BD AB ⊥12BD AB =AD AD DE DB =AB AC AE =AB图2（1）求证：C 是线段的黄金分割点.（2）若，则的长为________.22.（本题12分）综合与实践（1）如图①，在中，，，点D 在边上，点E 在边上.若，求证：.图①（2）如图②，在矩形中，，，点E 在边上，连接，过点E 作，交于点F .图②i ）若，求的长；ii ）若点F 恰好与点D 重合，求的长.23.（本题12分）综合与探究如图1，在矩形中，，，点E 是对角线上任意一点，交于点G ，交于点F .（1）当点E 为的中点时，________. 图1（2）如图2，将四边形绕点B 逆时针旋转，连结，.在旋转过程中，是否发生变化，若不变化，求出的值，若发生变化，请说明理由.AB 1BD =BC Rt ABC △90ACB ∠=︒AC BC =AB BC 45CDE ∠=︒ACD BDE △∽△ABCD 4cm AB =10cm BC =BC AE EF AE ⊥CD :1:9BE EC =CF BE ABCD 6cm AB =4cm AD =BD EG CD ∥BC EF AD ∥AB BD DE CG=BFEG CG DE DE CG DE CG图2（3）如图3，将四边形绕点B 逆时针旋转，连结，.请直接写出旋转过程中的值. 图3BFEG AF DE DE AF九年级数学答案一、1、C2、A3、D4、B5、C6、B7、B8、A9、D10、D二、11、412、13、20%1415、三、16、解：（1（2），，，，，.17、（1）如图，即为所求（2）如图，点D 即为所求（3）如图，即为所求18、（1）设种植一亩玉米的成本需要x 元，154372211111)(2)(21)21444---+-=--+=-+-+=-2315210211x x x x +--=+238110x x --=14∆==81423x ±=⨯1113x =21x =-11A B C △BEF △依题意得：，解得.答：种植一亩玉米的成本最高需要500元.（2）设该农场计划种植y 亩玉米，则每亩的成本为依题意得：，整理得：，解得：，（不合题意，舍去）。
北京市海淀区北京大学附属中学2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试卷(含答案)
2024～2025学年度第一学期期中练习九年级数学学科试卷2024年11月考生须知：1．本试卷共8页，共三道大题，28道小题．满分100分．考试时间120分钟．2．在试卷和答题卡上准确填写班级、姓名．3．答案一律填涂或书写在答题卡相应位置上，用黑色字迹签字笔作答．4．考试结束，只交答题卡，并妥善保管试卷．一、选择题（共16分，每题2分）第1～8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1．下列图形中，既是中心对称图形也是轴对称图形的是（ ）．A ．B ．C ．D ．2．在平面直角坐标系内，点关于原点的对称点Q 的坐标为（ ）．A ．B ．C ．D ．3．一元二次方程的解是（ ）．A ．，B ．C ．，D ．，4．抛物线的顶点坐标是（ ）．A ．B ．C ．D ．5．如图是一个标准的五角星，若将它绕旋转中心旋转一定角度后能与自身重合，则至少应将它旋转的度数是（ ）．A ．B ．C ．D ．6．北京市2021年人均可支配收入为7.5万元，2023年达到8.18万元，若2021年至2023年间每年人均可支配收入的增长率都为x ，则下面所列方程正确的是（ ）．A ．B．()3,2P -()3,2-()3,2()2,3-()3,2--20x x +=10x =21x =121x x ==11x =-21x =10x =21x =-()212y x =-+()1,2()1,2-()1,2-()1,2--144︒90︒72︒60︒()28.1817.5x +=()27.518.18x +=C ．D ．7．如图所示，在4×4的正方形网格中，绕某点旋转一定的角度，得到，则其旋转中心是（ ）．A ．点AB ．点BC ．点CD ．点D8．如图，是边长为4的等边三角形，D 是BC 的中点，E 是直线上的一个动点，连接，将线段绕点C 逆时针旋转得到，连接．下列说法中正确的个数是（ ）．①；②；③；④点E 的运动过程中，的最小值是1．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题（共16分，每题2分）9．请写出一个图象开口向上，且与y 轴交于点）的二次函数的解析式__________．10．关于x 的一元二次方程有一个根是，则__________．11．若关于x 的方程有两个相等的实数根，则实数a 的值是__________．12．如图，为的直径，点C 是上的一点，，则__________°．13．点，在抛物线上，则__________（填“＞”“＜”或“＝”）．14．如图，在平面直角坐标系中，点，，以点B 为旋转中心，把线段顺时针旋转得到线段，则点C 的坐标为__________．()27.518.18x -=+()28.1817.5x -=MNP △111M N P △ABC △AD EC EC 60︒FC DF 2DC =FCD ECA ∠=∠CE CF =DF ()0,1230x x m -+=1x =m =20x x a -+=AB O e O e 70ABC ∠=︒BAC ∠=()13,A y -()22,B y 22y x =1y 2y xOy ()0,2A ()1,0B BA 90︒BC15．如图，将绕顶点C 逆时针旋转得到，且点B 刚好落在上，若，，则等于__________°．16．已知函数，下列结论：①若该函数图象与x 轴只有一个交点，则；②方程至少有一个整数根；③若，则的函数值都是负数；④不存在实数a ，使得对任意实数x 都成立．所有正确结论的序号是__________．三、解答题（共68分，第17题8分，18～25题每题5分，第26题6分，第27、28题每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17．解方程：（1）；（2）．18．如图，在平面直角坐标系中，抛物线的部分图象经过点，．（1）求该抛物线的解析式；（2）结合函数图象，直接写出时，x 的取值范围．19．已知m 是方程的一个根，求代数式的值．20．已知：如图，为锐角三角形，．求作：一点P ，使得．ABC △A B C ''△A B ''25A ∠=︒45BCA =∠'︒A BA '∠()211y ax a x =-++1a =()2110ax a x -++=11x a<<()211y ax a x =-++()2110ax a x -++≤24250x -=2280x x +-=xOy 22y ax x c =++()0,3A -()1,0B 0y <2220x x --=()()()22111m m m -+-+ABC △AB AC =APC BAC ∠=∠作法：①以点A 为圆心，长为半径画圆；②以点B 为圆心，长为半径画弧，交于点C ，D 两点；③连接并延长交于点P ．点P 即为所求．（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明：证明：连接，．∵，∴点C 在上．∵，∴∠______＝∠______．∴．∵点D ，P 在上，∴．（__________）（填推理的依据）∴．21．如图，是等边三角形，点D 在边上，以为边作等边，连接，．求证：．22．已知关于x 的一元二次方程．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程两个根差为1，求此时m 的值．23．学校计划利用一片空地建一个长方形自行车车棚，其中一面靠墙，墙的长度为8米．在与墙平行的一面开一个2米宽的门，已知现有的木板材料可修建的总长为26米，且全部用于除墙外其余三面外墙的修建．（1）长方形车棚与墙垂直的一面至少为__________米；（2）如图，为了方便学生取车，施工单位决定在车棚内修建几条等宽的小路（如图中阴影），若车棚与墙AB BC A e DA A e PC BD AB AC =A e BC BD =12BAC CAD ∠=∠A e 12CPD CAD ∠=∠APC BAC ∠=∠ABC △AC CD CDE △BD AE BD AE =()2320m x x m -+++=垂直的一面长按（1）中的最小长度，则停放电动车的区域面积能否达到54平方米，若能，此时小路的宽度是多少米？若不能，请说明理由．24．如图，是直径，是的一条弦，且于点E ，连接、和．（1）求证：；（2）若，，求的半径．25．有机肥作为一种富含有机质及多样营养元素的优质肥料，对于土壤改良及肥力提升具有显著效果．将其应用于小树施肥，不仅能有效供给必要的养分，还能优化土壤结构，进而促进小树的茁壮成长．在针对金叶女贞和连翘这两种植物的培育过程中，我们统一施用了A 种有机肥，并确保了它们在浇水、松土、除草等抚育管理措施上的一致性．以下表格详细记录了A 种有机肥对这两种植物增长高度的影响：天数t /天1530456090金叶女贞增长的高度 3.3 6.39.612.615.919.3连翘增长的高度 1.14.09.115.636.2（1）通过分析数据，发现与t 之间近似满足正比例函数关系．请在给出的平面直角坐标系中，画出关于t 的函数的图象；（2）观察图象，补全表格（结果保留小数点后一位）；（3）实验前，测量金叶女贞的高度为，连翘的高度为，大概在第__________天时，连翘和金叶女贞一样高（结果保留到整数）．26．已知关于x 的二次函数上两个不同的点，．（1）求顶点坐标；（2）若且时，总有，求m 的取值范围．27．已知，点D 是直线上一动点（不含B 点），连接，将线段绕点A 逆时针旋转得到线段，连接线段，过点E 作交直线于点F ．AB O e CD O e CD AB ⊥AC BD OC ACO D ∠=∠2BE =CD =O e 1cm h 2cmh 1h 2h 43.6cm 31.2cm 221y mx mx m =-+-()11,A x y ()22,B x y 145x <<221x m =-12y y <60ABC ∠=︒BC AD AD 60︒AE ED EF AB ⊥AB图1备用图（1）如图1，点D 在点B 右侧时，①依题意补全图形；②用等式表示与的数量关系，并证明；③用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明；（2）当点D 在直线上运动时，请直接写出线段，，之间的数量关系．28．在平面直角坐标系中，点，点为定点，对于点P 作如下变换，将点P 绕点M 逆时针旋转得到点，再将点绕点N 逆时针旋转后得到点Q ，则称点Q 为点P 的“双逆转点”．备用图1 备用图2（1）若点P 为线段上的一点，则在点，，中，点P 的“双逆转点”可能为__________；（2）若点P 的“双逆转点”在x 轴上，请写出一个满足条件的点P 的坐标__________；（3）若点P 坐标为，点Q 为点P 的“双逆转点”，①当长度最短时，求m 的值；②已知半径为2，若存在过点Q 的直线被所截得的弦长为2，则m 的取值范围为__________．EAB ∠EDB ∠BF BD AB BC BF BD AB xOy ()0,2M ()1,0N 90︒1P 1P 90︒MN ()1,1A --()1,0B -()2,1C -(),4m m +PQ N e N e初三第一学期期中练习答案和评分标准数学2024.11一、选择题（本题共6分，每小题2分）题号12345678答案CADACBBD二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．（答案不唯一） 10．2 11．12．2013．＞14．15．40 16．②④（答对一个给1分，多选或错选不得分）三、解答题（共68分，第17题8分，18～25题每题5分，第26题6分，第27、28题每题7分）17．（1）（一个答案2分，如果只会移项给1分）（2），，．（不限方法，不全对的酌情给分）18．（1）由题意知，（2分）解得，解析式为．（3分）（2）．（5分）19．解．原式．（3分）∵，∴，（4分）∴原式．（5分）20．（1）如图所示．（2分）（2），，一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半．（5分）21．证明：∵，均为等边三角形，∴，，．21y x =+14()3,152x =±2280x x +-=14x =-22x =3230c a =-⎧⎨+-=⎩31c a =-⎧⎨=⎩223y x x =+-31x -<<()()222212123m m m m m =--++=--2220m m --=222m m -=231=-=-BAC BAD ABC △CDE △AC BC =CD CE =60ACB ACE ∠=∠=︒在与中，，∴≌（SAS ），（4分）∴．（5分）22．（1）∵，∴方程总有两个实数根．（2分）（2）解：∵，∴，∴，．∵方程两个根的差为1，∴或0．∴或．（5分）23．解：（1）．（2分）（2）设小路的宽为a 米，根据题意得，．（4分）整理得；，解得：（舍去），．（5分）答：小路的宽为1米．24．（1）证明；∵，∴，∵，∴．（2分）（2）解，设的半轻为r ，则．∵，∴（3分）在中，，解得．（ 5分）25．（1）（2分）（2）23～30之间均可．（4分）（3）78～86之间均可．（5分）26．（1）由题意可知：，∵，∴顶点坐标为．（2分）BCD △ACE △60AC BC ACB ACE CD CE =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩BCD △ACE △BD AE =()()()234210m m m ∆=+-+=+≥()2320x m x m -+++=()()210x m x ---=12x m =+21x =22m +=0m =2-10x ≥()()821054a a --=214130a a -+=13a =1a =OA OC =ACO A ∠=∠A D ∠=∠ACO D ∠=∠O e 2OE r =-CD AB ⊥1122CE DE CD ===⨯=Rt OCE △(()2222r r +-=3r =0m ≠()()2222121111y mx mx m m x x m x =-+-=-+-=--()1,1-法2：对称轴，当时，，∴顶点坐标为．（2分）（2）当时，对称轴是直线，当时，y 随x 的增大而增大；当时，y 随x 的增大而减小．∵，∴点始终在对称轴右侧，若A 、B 在对称轴右侧，，即时，∵，∴，∴，若A 、B 在对称轴异侧，，即时，关于对称轴的对称点是．∵，∴，即，∴（舍） ．综上所述：．（4分）当时，对称轴是直线，当时，y 随x 的增大而减小；当时，y 随x 的增大而增大．∵，，∴，，关于对称轴的对称点是 ．∵，∴，即，2122b m x a m-=-=-=1x =211y m m m =-+-=-()1,1-0m >1x =1x ≥1x <145x <<()11,A x y 2211x m =->1m >12y y <215m -≥3m ≥2211x m =-<1m <()22,B x y ()222,B x y '-12y y <225x -≥()2215m --≥1m ≤-3m ≥0m <1x =1x ≥1x <221x m =-145x <<2211x m =-<1145x <<<()22,B x y ()222,B x y '-12y y <224x -≤()2214m --≤∴，∴．（6分）综上所述：或．27．（1）①补全图形，如图所示（1分）②，（2分）理由如下：∵线段绕点A 逆时针旋转得到线段，∴，，∴是等边三角形，∴．∵，∴．∵在四边形中，，∴，∴．（3分）③，理由如下：（4分）延长线段至点G 使得，连结，．∵，，∴．∵是等边三角形，∴．在和中，，∴≌（SAS ），（5分），∴．∵，∴．∵，，，∴．（6分）（2）当点D 在点B 右侧时，，当点D 在点B 左侧时，．（7分）12m ≥-102m -≤<102m -≤<3m ≥180EAB BDE ∠+∠=︒AD 60︒AE AE AD =60EAD ∠=︒AED △60AED ∠=︒60ABC ∠=︒180120ABD ABC ∠=︒-∠=︒ABDE 360EAB ABD BDE DEA ∠+∠+∠+∠=︒12060360EAB BDE ∠+︒+∠+︒=︒180EAB BDE ∠+∠=︒2BF AB BD =+BA AG BD =EG EB 180EAG EAB ∠+∠=︒180EAB EDB ∠+∠=︒EAG EDB ∠=∠AED △EA ED =EGA △EBD △EA EDEAG EDB GA BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩EGA △EBD △EG EB =EF BF ⊥GF FB =BG BA GA =+GA BD =2BG BF =2BF BA BD =+2BF AB BD =+2BF AB BD =-28．（1）A ，C ．（2分）（2）答案不唯一，纵坐标为1即可．（3分）（3）①（5分）②或（7分）2m =-m≥m ≤。
2024-2025学年九年级数学上学期期中测试卷(冀教版,九上全部)(考试版A4)
2024-2025学年九年级数学上学期期中模拟卷（冀教版）（满分120分，时间120分钟）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．测试范围：冀教版九年级上册。
5．难度系数：0.65。
第Ⅰ卷一、选择题（本大题共16个小题，共38分，1~6小题每题3分，7~16小题每题2分.每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上）1．在某市体育中考期间，在运动技能测试“排球垫球”项目中，某市直中学有8位学生的垫球数分别为39，53，55，48，52，53，48，48．这组数据的中位数和众数分别是（）A ．50，48B ．52，48C ．52，53D ．48，482．甲、乙、丙、丁四名同学参加科技知识竞赛，他们平时测验成绩的平均分相同，方差分别是21.7S =甲，2 2.4S =乙，20.5S =丙，24S =丁，则成绩最稳定的是（ ）A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁3．若38m n =，则m n n +的值是（ ）A ．118B ．311C ．113D ．8114．如图，河坝横断面迎水坡AB 的坡度是，坝高BC =，则坡面AB 的长度是（ ）A ．B ．6mC ．D ．9m5．如图，AB 为O e 的直径，点C ，D 在圆上，若64D Ð=°，则BAC Ð的度数为（ ）A ．64°B ．34°C ．26°D ．24°6．将方程21010x x -=+利用配方法转化为()25x c -=的形式，则c 的值为（ ）A ．24B ．25C ．26D ．1007．下表是小明填写的综合实践活动报告的部分内容，请你借助小明的测量数据，计算河流的宽度AB ．题目测量河流宽度AB目标示意图测量数据1.5m BC =，10m BD =， 1.8mDE =则AB =（ ）m A ．20B ．30C ．40D ．508．已知菱形OABC 在平面直角坐标系中如图放置，点C 在x 轴上，若点A 的坐标为(3,4)，经过点A 的双曲线交BC 于点D ，则OAD △的面积为（ ）A ．8B ．9C ．10D ．129．如图，在由小正方形组成的网格中，小正方形的边长均为1，点A ，B ，O 都在小正方形的顶点上，则AOBÐ的正弦值是（ ）A B C ．13D ．1210．如图，直线y kx =与双曲线my x =相交于点A 和B ，已知点A 的坐标为()4,1，则不等式m kx x³的解集为（ ）A ．4x ³B ．04x <£C ．4x ³或4x £-D ．4x ³或40x -£<11．如图，A 、B 、C 、D 均为圆周上十二等分点，若用直尺测量弦CD 长时，发现C 点、D 点分别与刻度1和4对齐，则A 、B 两点的距离是（ ）A ．B ．C ．D ．612．在矩形ABCD 中，已知45AB AD ==，，点E 为BC 上一点，连接AE 并延长交DC 的延长线于点F ，连接DE ，若2DEC BAE Ð=Ð，则EF 的长为（ ）A ．B ．C ．3D ．513．关于x 的方程22240x mx m -+-=的两个根1x ，2x 满足1223x x =+，且12x x >，则m 的值为（ ）A ．3-B ．1C ．3D ．914．如图，当反比例函数()0ky x x=>的图象L 将矩形ABCD 的内部（不含边界）的横、纵坐标都为整数的点分成数量相等的两部分，则k 的取值范围为（ ）A ．1215k <<B ．1014k <<C ．410k <<D ．1516k <<15．某数学兴趣小组借助无人机测量一条河流的宽度BC .如图，无人机在P 处测得正前方河流的点B 处的俯角DPB a Ð=，点C 处的俯角45DPC Ð=o ，点A ，B ，C 在同一条水平直线上.若45m AP =，tan 3a =，则河流的宽度BC 为（ ）A ．30mB ．25mC ．20mD ．15m16．如图，已知A ，B ，C 为O e 上的三点，且2120AC BC ACB ==Ð=°，．点P 从点A 出发，沿着逆时针方向运动到点B ，连接CP 与弦AB 相交于点D ，当ACD V 为直角三角形时，弧AP 的长为（ ）A ．2pB ．12πC ．23p 或12πD ．2p 或43p第Ⅱ卷二、填空题（本大题共3个小题，共10分；17小题2分，18~19小题各4分，每空2分，答案写在答题卡上）17．如图，在O e 中，AM 是O e 的直径，8AM =，点B 是 AM 的中点，点C 在弦AB 上，且AC =D 在 AB 上，且CD OB ∥，则CD 的长为．18．如图①所示，E 为矩形ABCD 的边AD 上一点，动点P ，Q 同时从点B 出发，点P 沿折线BE ED DC--运动到点C 时停止，点Q 沿BC 运动到点C 时停止，它们运动的速度都是1cm/s ，设P ，Q 同时出发t 秒时，BPQ V 的面积为2cm y ．已知y 与t 的函数关系图象如图②（曲线OM 为抛物线的一部分），则：（1）cos ABE Ð= ；（2）当t = 时，ABE QBP ∽△△．19．如图，点(3,0)A ，(0,4)B ，连接AB ，点D 为x 轴上点A 左侧的一点，点E ，F 分别为线段AB ，线段BO上的点，点B ，D 关于直线EF 对称．（1）若DE AO ^，则四边形BEDF 的形状是 ；（2）当AD 最长时，点F 的坐标为 ．三、解答题（本大题共7个小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）20．（本小题满分9分）解方程：(1)22125x x -+=；(2)()()3222x x x +=+.21．（本小题满分9分）某校九年级男生进行了“引体向上”测试，每班随机抽取的人数相同，成绩分为“优秀”“良好”“及格”“不及格”四个等级，其中相应等级的得分分别为10分、8分、6分、4分．小聪将九（1）班和九（2）班的成绩整理并绘制了如图所示的不完整的统计图表．班级平均数众数中位数方差九（1）班7.6——8 3.84九（2）班8.410—— 3.84请你根据所给的信息解答下列问题：(1)请补充完成条形图和统计分析表；(2)若九（2）班少统计了一个学生“优秀”的成绩，则此次统计的数据中不受影响的是______（选填“平均数”“众数”“中位数”）；(3)请你从两个方面分析出哪个班的男生“引体向上”成绩更好些．22．（本小题满分9分）如图，ABCD Y 中，点E 是AD 的中点，连接CE 并延长交BA 的延长线于点F ．(1)求证：AF AB =；(2)点G 是线段AF 上一点，满足,FCG FCD CG Ð=Ð交AD 于点H ．①求证：AH CH DH GH ×=×；②若2,6AG FG ==，求GH 的长．23．（本小题满分10分）图1是某住宅单元楼的人脸识别系统（整个头部需在摄像头视角范围内才能被识别），其示意图如图2，摄像头A 的仰角、俯角均为15°，摄像头高度160cm OA =，识别的最远水平距离150cm OB =．(1)如图2，张亮站在摄像头前水平距离100cm 的点G 处，恰好能被识别（头的顶部在仰角线AD ）， 求张亮的身高约是多少厘米；(2)夕夕身高136cm ，头部高度为18cm ，踮起脚尖可以增高3cm ，此时夕夕能被识别吗?请计算说明．（精确到0.1cm ，参考数据：sin150.26cos150.97°»°»，，tan150.27°»）24．（本小题满分10分）如图1，一汤碗的截面是以AB 为直径的半圆O （碗体厚度忽略不计），放置于水平桌面MN 上，碗中装有一些液体（图中阴影部分），其中液面截线∥CD MN ．已知液面截线CD 宽8cm ，液体的最大深度为2cm ．(1)求汤碗直径AB 的长；(2)如图2，在同一截面内，将汤碗（半圆O ）沿桌面MN 向右作无滑动的滚动，使液体流出一部分后停止，再次测得液面截线CD 减少了2cm ．①上述操作后，水面高度下降了多少？②通过计算比较半径12AB 和流出部分液体后劣弧 CD 的长度哪个更长．（参考数据：3tan 374°=）25．（本小题满分12分）如图，已知在平面直角坐标系中，矩形ABCD 的边AB x ∥轴，AD y ∥轴，点A 的坐标为(2,1)，43AB AD ==，．(1)求直线BD 的解析式；(2)已知双曲线()0ky k x =>与折线ABC 的交点为E ，与折线ADC 的交点为F ．①连接CE ，当3BCE S =V 时，求该双曲线的解析式，并求出此时点F 的坐标；②若双曲线()0ky k x =>与矩形ABCD 各边和对角线BD 的交点个数为3，请求k 的取值范围．26．（本小题满分13分）在ABC V 中，45A Ð=°，AC =D 为AB 边上一动点，45CDF Ð=°，DF 交BC 边于F ．探究：如图1，若AC BC =，（1）当ACD V 与BDF V 全等时，求AD 的长；（2）当CDF V 为等腰三角形时，求CF 的长．延伸：如图2，若90DCF Ð=°，E 为BD 上一点，且45DEF Ð=°，（3）小东经过研究发现：“当点D 在AB 边上运动时，DE 的长度不变，是个定值．”你认为小东的结论是否正确，如果正确，请求出这个定值；如不正确，说明理由（4）若BF =sin B 的值．。
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九年级上学期期中考试
数 学 试 题
本试题分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷共2页，满分为45分；第Ⅱ卷共6页，满分为75分．本试题共8页，满分为120分．考试时间为120分钟．答卷前，请考生务必将自己的姓名、准考证号、座号、考试科目涂写在答题卡上，并同时将考点、姓名、准考证号、座号填写在试卷规定的位置．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．本考试不允许使用计算器．
第I 卷（选择题 共45分）
注意事项：
第Ⅰ卷为选择题，每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案写在试卷上无效．
一、选择题（本大题共15个小题，每小题3分，共45分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的．） 1. 方程290x -=的解是（ ）
Ａ．321==x x Ｂ．3,321-==x x Ｃ．921==x x Ｄ．9,921-==x x
2. 反比例函数k
y x =的图象经过点)2,1(A ，则k 的值为（ ）
A ．3
B ．-3
C ．2
D ．2-
3. 做重复实验：抛掷同一枚啤酒瓶盖1000次．经过统计得“凸面向上”的频率约为0.44，则可以由此估计抛掷这枚啤酒瓶盖出现“凹面向上．．．．”的概率约为（ ） A ．0.22
B ．0.44
C ．0.50
D ．0.56
4. 已知反比例函数k
y x
=
的图象位于第一、第三象限，则k 的取值范围是（ ） A ．k≥0 B ．k ＞0 C ．k≤0 D ．k ＜0 5．一元二次方程2
250x x --=的左边配成完全平方后所得方程为（ ）
A ．()2
16x += B ．()2
16x -= C ．()2
29
x +=
D ．()2
29x -=
6. 高4米的旗杆在地面上的影长为5米，附近建筑物的影长为20米，则该建筑物的高是( ) A ．16米 B ．20米 C ．24米 D ．30米
7. 有一个铁制零件（正方体中间挖去一个圆柱形孔）如图放置，它的左视图是（ ）
8.如图，ADE ∆∽ABC ∆，若1,4AD AB ==，则ADE ∆与ABC ∆的相似比是（ ） A ． B ． C ． D ． 7题图
A ． 1：2
B ． 1：3
C ． 2：3
D ． 1：4
9.如图菱形ABCD 中，60B ∠=o ，4AB =，则以AC 为边长的正方形ACEF 的周长为（ ）
A ．14
B ．15
C ． 16
D ．17
10．如图所示，把一个长方形纸片沿EF 折叠后，点D ，C 分别落在D ′，C ′的位置． 若∠EFB ＝65°，则∠AED ′等于（ ） A ．70° B ． 65° C ． 50° D ． 25°
11.某商品经过两次连续降价，每件售价由原来的55元降到了35元．设平均每次降价的百 分率为x ，则下列方程中正确的是（ ）
A ．55 (1+x )2=35
B ．35(1+x )2=55
C ．35(1－x )2=55
D ．55 (1－x )2=35 12.关于x 的方程022
=-+k x x 有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是（ ）
A ．1k >-
B ． 1k >-且0k ≠
C ．1k <
D ．1k <且0k ≠ 13.如图，矩形ABOC 的面积为3，反比例函数k
y x
=
的图象过点A ，则k =（ ） A ．3
B ．3-
C ．5.1-
D ．6-
14．如图，在正方形网格上有6个三角形①△ABC ，②△BCD ，③△BDE ，④△BFG ，
⑤△FGH ，⑥△EFK ，其中②～⑥中与三角形①相似的是 （ ） A ．②③④ B ．③④⑤ C ．④⑤⑥ D ．②③⑥
15．在平面直角坐标系中，已知点E （﹣4，2），F （﹣2，﹣2），以原点O 为位似中心，相
似比为2：1，把△EFO 缩小，则点E 的对应点E′的坐标是（ ）
A ．（﹣2,1）
B ．(﹣8,4)
C ．(﹣8,4)或(8,﹣4)
D ．(﹣2,1)或(2,﹣1)
第Ⅱ卷（非选择题 共75分）
注意事项：
座 号
A B
C
D
E
F
H
K G
12
3
4
5
614题图
15题图
13题图
B
A D F 60o 9题图 E D
B C′ F C
D ′ A 10题图 8题图
1．第Ⅱ卷为非选择题，请考生用蓝、黑色钢笔（签字笔）或圆珠笔直接在试卷上作答． 2．答卷前，请考生先将考点、姓名、准考证号、座号填写在试卷规定的位置． 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分．把答案填在题中的横线上．）
16．已知
32==d c b a ，则=++d
b c a . 17. 如果1=x 是一元二次方程230x bx +-=的一个根，则=b . 18．菱形两条对角线长分别是8和6，则这个菱形的边长为 ． 19．如图，直线l 过正方形ABCD 的顶点B ，点A 、C 到直线l 的距离
分别是1和2，则正方形的边长为 ． 20．如图，点111(x ,)P y ,222(x ,)P
y ，…,(x ,y )n n n P 在函数1
(x 0)y x
=> 的图象上，11POA ∆，212P A A ∆，323P A A ∆，…,1n n n P A A -△都 是等腰直角三角形，斜边1OA ，12A A ，23A A ，…，1n n A A - 都在x 轴上（n 是大于或等于2的正整数），则点n P 的坐标 是 （用含n 的式子表示）．
三、解答题（本大题共8个小题，共60分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
21．解下列方程：（每小题4分，共8分）
（1）0142
=++x x （2）0)4(2)4(=---x x x
22．（本小题满分7分）如图，是从一副扑克牌中取出的两组牌，分别是红桃1、2、3和方块1、2、3，将它们的背面朝上分别重新洗牌后，再从两组牌中各摸出一张，求摸出的两张牌的牌面数字之和小于5的概率． (要求用列表或树状图表示．．．．．．．．．．．
)
得 分 评卷人
得 分 评卷人
得 分 评卷人
A
D
C
B 19题图
l
20题图
座 号
23．（本小题满分7分）某商店进了一批服装，进货单价为50元，如果按每件60元出售，可销售800件；如果每件提价1元出售，其销售量就减少20件，且在60元基础上提价不能超过．．．．15．．元．．问提价多少元才 能获利12000元？
24．（本小题满分7
分）已知：Rt △ABC 中，∠ACB =900，CD ⊥AB ，垂足为D ．AC =15， CD =12， 求： AD 、AB 的长．
24题图
25．（本小题满分7分）小明想利用太阳光测量楼高．他带着皮尺来到一栋楼下，发现对面墙上有这栋楼的影子，针对这种情况，他设计了一种
测量方案，具体测量情况如下：如示意图，小明边移动边观察，发现站到点E 处时，可以使自己落在墙上的影子与这栋楼落在墙上的影子重叠，且高度恰好相同．此时，测得小明落在墙上的影子高度 1.2CD =m ，0.8CE =m ，32CA =m （点A
E C 、、在同一直线上）
．已知小明的身高EF 是1.7m ，请你帮小明求出楼高AB ．
26．（本小题满分8分）
如图，四边形ABCD 是矩形，对角线AC 、BD 相交于点O ，BE ∥AC 交DC 的延长线于点E .
（1）求证：BD=BE ；
（2
）若∠DBC =30︒，BO =4，求△BED 的面积.
C
D
25题图
27．（本小题满分8分）如图，四边形ABCD为正方形．点A的坐标为
（0，2），点B的坐标为（0，－3），反比例函数
m
y
x
=的图象经过点C，
一次函数y kx b
=+的图象经过点A和C．
（1）求反比例函数与一次函数的解析式；
（2）点P是反比例函数图象上的一点，△ABP的面积恰好等于正方形ABCD的面积，求点P的坐标．
得分评卷人
）．
28．（本小题满分8分）△ABC 中，AB =AC ，D 为BC 边的中点，以D 为顶点作∠MDN =∠B .
（1）如图①，当射线DN 经过点A 时，DM 交AC 边于点E ，不添加辅
助线，写出图中所有与△ADE 相似的三角形；（不必写出理由）
（2）如图②，将∠MDN 绕点D 沿逆时针方向旋转，DM
、DN 分别交线段AC 、AB 于E 、F 点（点E 与点A 不重合），不添加辅助线，写出图中的一对相似三角形，并证明你的结论； （3）如图③中，AC = AB =10，BC =12，在第（2）问描述的旋转中，存在△DEF 的面积等于△ABC 面积的
1
4
的时刻，求此时线段EF 的长.。