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小学奥数平面几何五种面积模型

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小学奥数平面几何五种面积模型

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小学奥数平面几何五种面积模型(总32页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--小学奥数平面几何五种模型（等积，鸟头，蝶形，相似，共边）目标：熟练掌握五大面积模型等积，鸟头，蝶形，相似（含金字塔模型和沙漏模型），共边（含燕尾模型和风筝模型）， 掌握五大面积模型的各种变形 知识点拨 一、等积模型①等底等高的两个三角形面积相等；②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比； 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比； 如右图12::S S a b =③夹在一组平行线之间的等积变形，如右图ACD BCD S S =△△； 反之，如果ACD BCD S S =△△，则可知直线AB 平行于CD ．④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)； ⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比． 二、鸟头定理两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形． 共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比．如图在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点如图 ⑴(或D 在BA 的延长线上，E 在AC 上)， 则:():()ABC ADE S S AB AC AD AE =⨯⨯△△EDCBAEDCBA图⑴ 图⑵三、蝶形定理任意四边形中的比例关系(“蝶形定理”)：①1243::S S S S =或者1324S S S S ⨯=⨯②()()1243::AO OC S S S S =++ 蝶形定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系．梯形中比例关系(“梯形蝶形定理”)： ①2213::S S a b =②221324::::::S S S S a b ab ab =；③S 的对应份数为()2a b +．四、相似模型(一)金字塔模型 (二) 沙漏模型baS 2S 1DC BAS 4S 3S 2S 1O DCBA A BCDO ba S 3S 2S 1S 4GF E ABCDAB CDEF G①AD AE DE AFAB AC BC AG===； ②22:ADE ABC S S AF AG =△△：．所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形(只要其形状不改变，不论大小怎样改变它们都相似)，与相似三角形相关的常用的性质及定理如下：⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比； ⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方； ⑶连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．三角形中位线定理：三角形的中位线长等于它所对应的底边长的一半．相似三角形模型，给我们提供了三角形之间的边与面积关系相互转化的工具． 在小学奥数里，出现最多的情况是因为两条平行线而出现的相似三角形． 五、共边定理（燕尾模型和风筝模型）在三角形ABC 中，AD ，BE ，CF 相交于同一点O ，那么::ABO ACO S S BD DC ∆∆=．上述定理给出了一个新的转化面积比与线段比的手段，因为ABO∆和ACO ∆的形状很象燕子的尾巴，所以这个定理被称为燕尾定理．该定理在许多几何题目中都有着广泛的运用，它的特殊性在于，它可以存在于任何一个三角形之中，为三角形中的三角形面积对应底边之间提供互相联系的途径. 典型例题【例 1】 如图，正方形ABCD 的边长为6，AE =，CF =2．长方形EFGH 的面积为 ．【解析】 连接DE ，DF ，则长方形EFGH 的面积是三角形DEF 面积的二倍．三角形DEF 的面积等于正方形的面积减去三个三角形的面积，O F EDC B A66 1.562262 4.54216.5DEF S =⨯-⨯÷-⨯÷-⨯÷=△,所以长方形EFGH 面积为33．【巩固】如图所示，正方形ABCD 的边长为8厘米，长方形EBGF 的长BG 为10厘米，那么长方形的宽为几厘米？【解析】 本题主要是让学生会运用等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)．三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半．证明：连接AG ．(我们通过ABG △把这两个长方形和正方形联系在一起)．∵在正方形ABCD 中，G 12AB S AB AB =⨯⨯△边上的高，∴12ABGABCD S S =△(三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半) 同理，12ABG EFGB S S =△．∴正方形ABCD 与长方形EFGB 面积相等． 长方形的宽8810 6.4=⨯÷=(厘米)．【例 2】 长方形ABCD 的面积为362cm ，E 、F 、G 为各边中点，H 为AD 边上任意一点，问阴影部分面积是多少E【解析】 解法一：寻找可利用的条件，连接BH 、HC ，如下图：E可得：12EHB AHB S S ∆∆=、12FHB CHB S S ∆∆=、12DHGDHC S S ∆∆=，而36ABCD AHB CHB CHD S S S S ∆∆∆=++=即11()361822EHB BHF DHG AHB CHB CHD S S S S S S ∆∆∆∆∆∆++=++=⨯=；而EHB BHF DHG EBF S S S S S ∆∆∆∆++=+阴影，11111()()36 4.522228EBF S BE BF AB BC ∆=⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=⨯=．所以阴影部分的面积是：1818 4.513.5EBF S S ∆=-=-=阴影解法二：特殊点法．找H 的特殊点，把H 点与D 点重合，那么图形就可变成右图：GE (H )这样阴影部分的面积就是DEF ∆的面积，根据鸟头定理，则有：11111113636363613.52222222ABCD AED BEF CFD S S S S S ∆∆∆=---=-⨯⨯-⨯⨯⨯-⨯⨯=阴影．【巩固】在边长为6厘米的正方形ABCD 内任取一点P ，将正方形的一组对边二等分，另一组对边三等分，分别与P 点连接,求阴影部分面积．【解析】 （法1）特殊点法．由于P 是正方形内部任意一点，可采用特殊点法，假设P 点与A 点重合，则阴影部分变为如上中图所示，图中的两个阴影三角形的面积分别占正方形面积的14和16，所以阴影部分的面积为2116()1546⨯+=平方厘米． （法2）连接PA 、PC ．由于PAD ∆与PBC ∆的面积之和等于正方形ABCD 面积的一半，所以上、下两个阴影三角形的面积之和等于正方形ABCD 面积的14，同理可知左、右两个阴影三角形的面积之和等于正方形ABCD 面积的16，所以阴影部分的面积为2116()1546⨯+=平方厘米．【例 3】 如图所示，长方形ABCD 内的阴影部分的面积之和为70，8AB =，15AD =，四边形EFGO 的面积为．B【解析】 利用图形中的包含关系可以先求出三角形AOE 、DOG 和四边形EFGO 的面积之和，以及三角形AOE 和DOG 的面积之和，进而求出四边形EFGO 的面积．由于长方形ABCD 的面积为158120⨯=，所以三角形BOC 的面积为1120304⨯=，所以三角形AOE 和DOG 的面积之和为312070204⨯-=；又三角形AOE 、DOG 和四边形EFGO 的面积之和为111203024⎛⎫⨯-= ⎪⎝⎭，所以四边形EFGO 的面积为302010-=．另解：从整体上来看，四边形EFGO 的面积=三角形AFC 面积+三角形BFD 面积-白色部分的面积，而三角形AFC 面积+三角形BFD 面积为长方形面积的一半，即60，白色部分的面积等于长方形面积减去阴影部分的面积，即1207050-=，所以四边形的面积为605010-=．【巩固】如图，长方形ABCD 的面积是36，E 是AD 的三等分点，2AE ED =，则阴影部分的面积为 ．BB【解析】 如图，连接OE ．根据蝶形定理，1:::1:12COE CDE CAE CDE ON ND S S S S ∆∆∆∆===，所以12OEN OED S S ∆∆=；1:::1:42BOE BAE BDE BAE OM MA S S S S ∆∆∆∆===，所以15OEM OEA S S ∆∆=．又11334OED ABCD S S ∆=⨯=矩形，26OEA OED S S ∆∆==，所以阴影部分面积为：1136 2.725⨯+⨯=．【例 4】 已知ABC 为等边三角形，面积为400，D 、E 、F 分别为三边的中点，已知甲、乙、丙面积和为143，求阴影五边形的面积．(丙是三角形HBC)B【解析】 因为D 、E 、F 分别为三边的中点，所以DE 、DF 、EF 是三角形ABC 的中位线，也就与对应的边平行，根据面积比例模型，三角形ABN 和三角形AMC 的面积都等于三角形ABC 的一半，即为200． 根据图形的容斥关系，有ABCABN AMC AMHN S S S S S ∆∆∆-=+-丙，即400 200200AMHN S S -=+-丙，所以AMHN S S =丙． 又ADF AMHN S S S S S ∆+=++乙甲阴影，所以1143400434ADF S S S S S ∆=++-=-⨯=乙甲丙阴影．【例 5】 如图，已知5CD =，7DE =，15EF =，6FG =，线段AB 将图形分成两部分，左边部分面积是38，右边部分面积是65，那么三角形ADG 的面积是 ．GFE DC BAABC DE FG【解析】 连接AF ，BD ．根据题意可知，571527CF =++=；715628DG =++=；所以，1527BE CBF F S S ∆∆=，1227BE CBF C S S ∆∆=，2128AEG ADG S S ∆∆=，728AED ADG S S ∆∆=， 于是：2115652827ADG CBFS S ∆∆+=；712382827ADG CBF S S ∆∆+=； 可得40ADG S ∆=．故三角形ADG 的面积是40．【例 6】 如图在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点，且:2:5AD AB =，:4:7AE AC =，16ADE S =△平方厘米，求ABC △的面积．EDCBAEDCBA【解析】 连接BE ，::2:5(24):(54)ADE ABES S AD AB ===⨯⨯△△，::4:7(45):(75)ABE ABC S S AE AC ===⨯⨯△△，所以:(24):(75)ADE ABC S S =⨯⨯△△，设8ADE S =△份，则35ABC S =△份，16ADE S =△平方厘米，所以1份是2平方厘米，35份就是70平方厘米，ABC △的面积是70平方厘米．由此我们得到一个重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比 ．【巩固】如图，三角形ABC 中，AB 是AD 的5倍，AC 是AE 的3倍，如果三角形ADE的面积等于1，那么三角形ABC 的面积是多少？EDCBA AB CD E【解析】 连接BE ．∵3EC AE =∴3ABC ABE S S = 又∵5AB AD = ∴515ADE ABE ABCS S S=÷=÷，∴1515ABCADESS==．【巩固】如图，三角形ABC 被分成了甲(阴影部分)、乙两部分，4BD DC ==，3BE =，6AE =，乙部分面积是甲部分面积的几倍？乙甲E DCBAABCDE甲乙【解析】 连接AD ．∵3BE =，6AE =∴3AB BE =，3ABD BDE S S = 又∵4BD DC ==，∴2ABC ABD S S =，∴6ABC BDES S=，5S S =乙甲．【例 7】 如图在ABC △中，D 在BA 的延长线上，E 在AC 上，且:5:2AB AD =，:3:2AE EC =，12ADE S =△平方厘米，求ABC △的面积．EDCBAEDCB A【解析】 连接BE ，::2:5(23):(53)ADE ABE S S AD AB ===⨯⨯△△[]::3:(32)(35):(32)5ABE ABC S S AE AC ==+=⨯+⨯△△，所以[]:(32):5(32)6:25ADE ABC S S =⨯⨯+=△△，设6ADE S =△份，则25ABC S =△份，12ADE S =△平方厘米，所以1份是2平方厘米，25份就是50平方厘米，ABC △的面积是50平方厘米．由此我们得到一个重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比【例 8】 如图，平行四边形ABCD ，BE AB =，2CF CB =，3GD DC =，4HA AD =，平行四边形ABCD 的面积是2， 求平行四边形ABCD 与四边形EFGH 的面积比．HGAB CD EFHGAB CD EF【解析】 连接AC 、BD ．根据共角定理∵在ABC △和BFE △中，ABC ∠与FBE ∠互补，∴111133ABC FBE S AB BC S BE BF ⋅⨯===⋅⨯△△． 又1ABC S =△，所以3FBE S =△．同理可得8GCF S =△，15DHG S =△，8AEH S =△．所以8815+3+236EFGH AEH CFG DHG BEF ABCD S S S S S S =++++=++=△△△△． 所以213618ABCD EFGH S S ==．【例 9】 如图所示的四边形的面积等于多少？DB13131212【解析】 题目中要求的四边形既不是正方形也不是长方形，难以运用公式直接求面积.我们可以利用旋转的方法对图形实施变换：把三角形OAB 绕顶点O 逆时针旋转，使长为13的两条边重合，此时三角形OAB 将旋转到三角形OCD 的位置.这样，通过旋转后所得到的新图形是一个边长为12的正方形，且这个正方形的面积就是原来四边形的面积. 因此，原来四边形的面积为1212144⨯=.(也可以用勾股定理)【例 10】 如图所示，ABC ∆中，90ABC ∠=︒，3AB =，5BC =，以AC 为一边向ABC ∆外作正方形ACDE ，中心为O ，求OBC ∆的面积．【解析】 如图，将OAB ∆沿着O 点顺时针旋转90︒，到达OCF ∆的位置．由于90ABC ∠=︒，90AOC ∠=︒，所以180OAB OCB ∠+∠=︒．而OCF OAB ∠=∠， 所以180OCF OCB ∠+∠=︒，那么B 、C 、F 三点在一条直线上．由于OB OF =，90BOF AOC ∠=∠=︒，所以BOF ∆是等腰直角三角形，且斜边BF为538+=，所以它的面积为218164⨯=． 根据面积比例模型，OBC ∆的面积为516108⨯=．【例 11】 如图，以正方形的边AB 为斜边在正方形内作直角三角形ABE ，90AEB ∠=︒，AC 、BD 交于O ．已知AE 、BE 的长分别为3cm 、5cm ，求三角形OBE 的面积．D【解析】 如图，连接DE ，以A 点为中心，将ADE ∆顺时针旋转90︒到ABF ∆的位置．那么90EAF EAB BAF EAB DAE ∠=∠+∠=∠+∠=︒，而AEB ∠也是90︒，所以四边形AFBE 是直角梯形，且3AF AE ==， 所以梯形AFBE 的面积为：()1353122+⨯⨯=(2cm )． 又因为ABE ∆是直角三角形，根据勾股定理，222223534AB AE BE =+=+=，所以21172ABD S AB ∆==(2cm )． 那么()17125BDE ABD ABE ADE ABD AFBE S S S S S S ∆∆∆∆∆=-+=-=-=(2cm )， 所以12.52OBE BDE S S ∆∆==(2cm )．【例 12】 如下图，六边形ABCDEF 中，AB ED =，AF CD =，BC EF =，且有AB 平行于ED ，AF 平行于CD ，BC 平行于EF ，对角线FD 垂直于BD ，已知24FD =厘米，18BD =厘米，请问六边形ABCDEF的面积是多少平方厘米？【例 13】FEABDCGFEABDC【解析】 如图，我们将BCD ∆平移使得CD 与AF 重合，将DEF ∆平移使得ED 与AB 重合，这样EF 、BC 都重合到图中的AG 了．这样就组成了一个长方形BGFD ，它的面积与原六边形的面积相等，显然长方形BGFD 的面积为2418432⨯=平方厘米，所以六边形ABCDEF 的面积为432平方厘米．【例 14】 如图，三角形ABC 的面积是1，E 是AC 的中点，点D 在BC 上，且:1:2BD DC =，AD与BE 交于点F ．则四边形DFEC 的面积等于 ．FED CBA33321F E DC BAABCDEF【解析】 方法一：连接CF ，根据燕尾定理，12ABFACFS BD S DC ==△△，1ABF CBF S AE S EC ==△△, 设1BDF S =△份，则2DCF S =△份，3ABF S =△份，3AEF EFC S S ==△△份，如图所标所以551212DCEF ABC S S ==△ 方法二：连接DE ，由题目条件可得到1133ABD ABCS S ==△△， 11212233ADE ADC ABC S S S ==⨯=△△△，所以11ABD ADE S BF FE S ==△△， 111111122323212DEF DEB BEC ABC S S S S =⨯=⨯⨯=⨯⨯⨯=△△△△，而211323CDE ABC S S =⨯⨯=△△．所以则四边形DFEC 的面积等于512．【巩固】如图，长方形ABCD 的面积是2平方厘米，2EC DE =，F 是DG 的中点．阴影部分的面积是多少平方厘米?y BCD E GE D CBAEDCB A【解析】 设1DEF S =△份，则根据燕尾定理其他面积如图所示551212BCD S S ==△阴影平方厘米.【例 15】 四边形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O (如图所示)．如果三角形ABD 的面积等于三角形BCD 的面积的13，且2AO =，3DO =，那么CO 的长度是DO 的长度的_________倍．ABCDOH GA BCD O【解析】 在本题中，四边形ABCD 为任意四边形，对于这种”不良四边形”，无外乎两种处理方法：⑴利用已知条件，向已有模型靠拢，从而快速解决；⑵通过画辅助线来改造不良四边形．看到题目中给出条件:1:3ABD BCD S S =，这可以向模型一蝶形定理靠拢，于是得出一种解法．又观察题目中给出的已知条件是面积的关系，转化为边的关系，可以得到第二种解法，但是第二种解法需要一个中介来改造这个”不良四边形”，于是可以作AH 垂直BD 于H ，CG 垂直BD 于G ，面积比转化为高之比．再应用结论：三角形高相同，则面积之比等于底边之比，得出结果．请老师注意比较两种解法，使学生体会到蝶形定理的优势，从而主观上愿意掌握并使用蝶形定理解决问题．解法一：∵::1:3ABD BDC AO OC S S ∆∆==，∴236OC =⨯=，∴:6:32:1OC OD ==． 解法二：作AH BD ⊥于H ，CG BD ⊥于G ．∵13ABDBCD S S ∆∆=，∴13AH CG =，∴13AODDOC S S ∆∆=， ∴13AO CO =，∴236OC =⨯=，∴:6:32:1OC OD ==．【巩固】如图，四边形被两条对角线分成4个三角形，其中三个三角形的面积已知， 求：⑴三角形BGC 的面积；⑵:AG GC =B【解析】 ⑴根据蝶形定理，123BGCS⨯=⨯，那么6BGCS=；⑵根据蝶形定理，()():12:361:3AG GC =++=．【例 16】 如图，平行四边形ABCD 的对角线交于O 点，CEF △、OEF △、ODF △、BOE△的面积依次是2、4、4和6．求：⑴求OCF △的面积；⑵求GCE △的面积．OGF EDCBA【解析】 ⑴根据题意可知，BCD △的面积为244616+++=，那么BCO △和CDO ∆的面积都是1628÷=，所以OCF △的面积为844-=；⑵由于BCO △的面积为8，BOE △的面积为6，所以OCE △的面积为862-=， 根据蝶形定理，::2:41:2COE COF EG FG S S ∆∆===，所以::1:2GCE GCF S S EG FG ∆∆==，那么11221233GCE CEF S S ∆∆==⨯=+．【例 17】 如图，长方形ABCD 中，:2:3BE EC =，:1:2DF FC =，三角形DFG 的面积为2平方厘米，求长方形ABCD 的面积．ABCDEF GABCD EF G【解析】 连接AE ，FE ．因为:2:3BE EC =，:1:2DF FC =，所以3111()53210DEFABCD ABCD SS S =⨯⨯=长方形长方形． 因为12AED ABCD S S =长方形，11::5:1210AG GF ==，所以510AGD GDF S S ==平方厘米，所以12AFD S =平方厘米．因为16AFD ABCD S S =长方形，所以长方形ABCD的面积是72平方厘米．【例 18】 如图，正方形ABCD 面积为3平方厘米，M 是AD 边上的中点．求图中阴影部分的面积．CBA【解析】因为M是AD边上的中点，所以:1:2AM BC=，根据梯形蝶形定理可以知道22:::1:12:12:21:2:2:4AMG ABG MCG BCGS S S S=⨯⨯=△△△△（）（），设1AGMS=△份，则123MCDS=+=△份，所以正方形的面积为1224312++++=份，224S=+=阴影份，所以:1:3S S=阴影正方形，所以1S=阴影平方厘米．【巩固】在下图的正方形ABCD中，E是BC边的中点，AE与BD相交于F点，三角形BEF的面积为1平方厘米，那么正方形ABCD面积是平方厘米．AB CDEF【解析】连接DE，根据题意可知:1:2BE AD=，根据蝶形定理得2129S=+=梯形（）(平方厘米)，3ECDS=△(平方厘米)，那么12ABCDS =(平方厘米)．【例 19】已知ABCD是平行四边形，:3:2BC CE=，三角形ODE的面积为6平方厘米．则阴影部分的面积是平方厘米．BB【解析】连接AC．由于ABCD是平行四边形，:3:2BC CE=，所以:2:3CE AD=，根据梯形蝶形定理，22:::2:23:23:34:6:6:9COE AOCDOEAODS S SS=⨯⨯=，所以6AOCS=(平方厘米)，9AOD S =(平方厘米)，又6915ABCACD SS ==+=(平方厘米)，阴影部分面积为61521+=(平方厘米)．【巩固】右图中ABCD 是梯形，ABED 是平行四边形，已知三角形面积如图所示(单位：平方厘米)，阴影部分的面积是 平方厘米．BB【分析】 连接AE ．由于AD 与BC 是平行的，所以AECD 也是梯形，那么OCD OAE S S ∆∆=．根据蝶形定理，4936OCD OAE OCE OAD S S S S ∆∆∆∆⨯=⨯=⨯=，故236OCD S ∆=， 所以6OCD S ∆=(平方厘米)．【巩固】右图中ABCD 是梯形，ABED 是平行四边形，已知三角形面积如图所示(单位：平方厘米)，阴影部分的面积是 平方厘米．BB【解析】 连接AE ．由于AD 与BC 是平行的，所以AECD 也是梯形，那么OCD OAE S S ∆∆=．根据蝶形定理，2816OCD OAE OCE OAD S S S S ∆∆∆∆⨯=⨯=⨯=，故216OCD S ∆=，所以4OCD S ∆=(平方厘米)．另解：在平行四边形ABED 中，()111681222ADE ABEDS S∆==⨯+=(平方厘米)， 所以1284AOE ADE AOD S S S ∆∆∆=-=-=(平方厘米)，根据蝶形定理，阴影部分的面积为8244⨯÷=(平方厘米)．【例 20】 如图，长方形ABCD 被CE 、DF 分成四块，已知其中3块的面积分别为2、5、8平方厘米，那么余下的四边形OFBC 的面积为___________平方厘米．?852O A B C DEF?852O A BCD EF【解析】 连接DE 、CF ．四边形EDCF 为梯形，所以EOD FOC S S ∆=，又根据蝶形定理，EOD FOC EOF COD S S S S ∆∆∆∆⋅=⋅，所以2816EOD FOC EOF COD S S S S ∆∆∆∆⋅=⋅=⨯=，所以4EOD S ∆=(平方厘米)，4812ECD S ∆=+=(平方厘米)．那么长方形ABCD 的面积为12224⨯=平方厘米，四边形OFBC 的面积为245289---=(平方厘米)．【例 21】 如图，ABC ∆是等腰直角三角形，DEFG 是正方形，线段AB 与CD 相交于K点．已知正方形DEFG 的面积48，:1:3AK KB =，则BKD ∆的面积是多少？【例 22】 【例 23】BB【解析】 由于DEFG 是正方形，所以DA 与BC 平行，那么四边形ADBC 是梯形．在梯形ADBC 中，BDK ∆和ACK ∆的面积是相等的．而:1:3AK KB =，所以ACK ∆的面积是ABC ∆面积的11134=+，那么BDK ∆的面积也是ABC ∆面积的14． 由于ABC ∆是等腰直角三角形，如果过A 作BC 的垂线，M 为垂足，那么M 是BC 的中点，而且AM D E =，可见ABM ∆和ACM ∆的面积都等于正方形DEFG 面积的一半，所以ABC ∆的面积与正方形DEFG 的面积相等，为48． 那么BDK ∆的面积为148124⨯=．【例 24】 下图中，四边形ABCD 都是边长为1的正方形，E 、F 、G 、H 分别是AB ，BC ，CD ，DA 的中点，如果左图中阴影部分与右图中阴影部分的面积之比是最简分数mn，那么，()m n +的值等于 ．E【解析】 左、右两个图中的阴影部分都是不规则图形，不方便直接求面积，观察发现两个图中的空白部分面积都比较好求，所以可以先求出空白部分的面积，再求阴影部分的面积．如下图所示，在左图中连接EG ．设AG 与DE 的交点为M ．左图中AEGD 为长方形，可知AM D ∆的面积为长方形AEGD 面积的14，所以三角形AMD 的面积为21111248⨯⨯=．又左图中四个空白三角形的面积是相等的，所以左图中阴影部分的面积为111482-⨯=．BEE如上图所示，在右图中连接AC 、EF ．设AF 、EC 的交点为N ．可知EF ∥AC 且2AC EF =．那么三角形BEF 的面积为三角形ABC 面积的14，所以三角形BEF 的面积为21111248⨯⨯=，梯形AEFC 的面积为113288-=． 在梯形AEFC 中，由于:1:2EF AC =，根据梯形蝶形定理，其四部分的面积比为：221:12:12:21:2:2:4⨯⨯=，所以三角形EFN 的面积为3118122424⨯=+++，那么四边形BENF 的面积为1118246+=．而右图中四个空白四边形的面积是相等的，所以右图中阴影部分的面积为111463-⨯=．那么左图中阴影部分面积与右图中阴影部分面积之比为11:3:223=，即32m n =，那么325m n +=+=．【例 25】 如图， ABC △中，DE ，FG ，BC 互相平行，AD DF FB ==，则::ADE DEGF FGCB S S S =△四边形四边形 ．EGF A D CB【解析】 设1ADE S =△份，根据面积比等于相似比的平方，所以22::1:4ADE AFG S S AD AF ==△△，22::1:9ADE ABC S S AD AB ==△△，因此4AFG S =△份，9ABC S =△份，进而有3DEGF S =四边形份，5FGCB S =四边形份，所以::1:3:5ADE DEGF FGCB S S S =△四边形四边形【巩固】如图，DE 平行BC ，且2AD =，5AB =，4AE =，求AC 的长．A ED CB【解析】 由金字塔模型得:::2:5AD AB AE AC DE BC ===，所以42510AC =÷⨯=【巩固】如图， ABC △中，DE ，FG ，MN ，PQ ，BC 互相平行，AD D F FM M P PB ====，则 ::::ADE DEGF FGNM MNQP PQCB S S S S S =△四边形四边形四边形四边形．【解析】 设1ADES =△份，22::1:4ADE AFG S S AD AF ==△△，因此4AFGS =△份，进而有3DEGF S =四边形份，同理有5FGNM S =四边形份，7MNQP S =四边形份，9PQCB S =四边形份． 所以有::::1:3:5:7:9ADE DEGF FGNM MNQP PQCB S S S S S =△四边形四边形四边形四边形【例 26】 如图，已知正方形ABCD 的边长为4，F 是BC 边的中点，E 是DC 边上的点，且:1:3DE EC =，AF 与BE 相交于点G ，求ABG S △Q E GNMFPAD CBGFAEDC BM GFAEDCB GFAEDCB【解析】 方法一：连接AE ，延长AF ，DC 两条线交于点M ，构造出两个沙漏，所以有::1:1AB CM BF FC ==，因此4CM =，根据题意有3CE =，再根据另一个沙漏有::4:7GB GE AB EM ==，所以4432(442)471111ABG ABE S S ==⨯⨯÷=+△△． 方法二：连接,AE EF ，分别求4224ABF S =⨯÷=△，4441232247AEF S =⨯-⨯÷-⨯÷-=△，根据蝶形定理::4:7ABF AEF S S BG GE ==△△，所以4432(442)471111ABG ABE S S ==⨯⨯÷=+△△．【例 27】 如图所示，已知平行四边形ABCD 的面积是1，E 、F 是AB 、AD 的中点，BF 交EC 于M ，求BMG ∆的面积．MHGF E D C BAA【解析】 解法一：由题意可得，E 、F 是AB 、AD 的中点，得//EF BD ，而::1:2FD BC FH HC ==，::1:2EB CD BG GD ==所以::2:3CH CF GH EF ==，并得G 、H 是BD 的三等分点，所以BG GH =，所以::2:3BG EF BM MF ==，所以25BM BF =，11112224BFD ABD ABCDS S S ∆∆==⨯=； 又因为13BG BD =，所以1212113535430BMG BFD S S ∆∆=⨯⨯=⨯⨯=．解法二：延长CE 交DA 于I ，如右图，可得，::1:1AI BC AE EB ==，从而可以确定M 的点的位置， ::2:3BM MF BC IF ==，25BM BF =，13BG BD =(鸟头定理)， 可得2121115353430BMG BDF ABCDS S S ∆∆=⨯=⨯⨯=【例 28】 如图，ABCD 为正方形，1cm AM NB DE FC ====且2cm MN =，请问四边形PQRS 的面积为多少？【例 29】CACA【解析】(法1)由//AB CD，有MP PCMN DC=，所以2PC PM=，又MQ MBQC EC=，所以12MQ QC MC==，所以111236PQ MC MC MC=-=，所以SPQRS占AMCFS的16，所以121(112)63SPQRS=⨯⨯++=2(cm)．(法2)如图，连结AE，则14482ABES∆=⨯⨯=(2cm)，而RB ERAB EF=，所以2RB ABEF EF==，22168333ABR ABES S∆∆==⨯=(2cm)．而1134322MBQ ANSS S∆∆==⨯⨯⨯=(2cm)，因为MN MPDC PC=，所以13MP MC=，则11424233MNPS∆=⨯⨯⨯=(2cm)，阴影部分面积等于164233333ABR ANS MBQ MNPS S S S∆∆∆∆--+=--+=(2cm)．【例 30】如右图，三角形ABC中，:4:9BD DC=，:4:3CE EA=，求:AF FB．OFED CBA【解析】根据燕尾定理得::4:912:27AOB AOCS S BD CD===△△::3:412:16AOB BOCS S AE CE===△△（都有AOB△的面积要统一，所以找最小公倍数）所以:27:16:AOC BOCS S AF FB==△△【点评】本题关键是把AOB△的面积统一，这种找最小公倍数的方法，在我们用比例解题中屡见不鲜，如果能掌握它的转化本质，我们就能达到解奥数题四两拨千斤的巨大力量！【巩固】如右图，三角形ABC中，:3:4BD DC=，:5:6AE CE=，求:AF FB.O F EDCBA【解析】 根据燕尾定理得::3:415:20AOB AOC S S BD CD ===△△::5:615:18AOB BOC S S AE CE ===△△（都有AOB △的面积要统一，所以找最小公倍数） 所以:20:1810:9:AOC BOC S S AF FB ===△△【巩固】如右图，三角形ABC 中，:2:3BD DC =，:5:4EA CE =，求:AF FB .O F EDCBA【解析】 根据燕尾定理得::2:310:15AOB AOC S S BD CD ===△△::5:410:8AOB BOC S S AE CE ===△△（都有AOB △的面积要统一，所以找最小公倍数） 所以:15:8:AOC BOC S S AF FB ==△△【点评】本题关键是把AOB △的面积统一，这种找最小公倍数的方法，在我们用比例解题中屡见不鲜，如果能掌握它的转化本质，我们就能达到解奥数题四两拨千斤的巨大力量！【例 31】 如右图，三角形ABC 中，:::3:2AF FB BD DC CE AE ===，且三角形ABC 的面积是1，则三角形ABE 的面积为______，三角形AGE 的面积为________，三角形GHI 的面积为______．I HGFEDCBAI H G FEDCBA【分析】 连接AH 、BI 、CG ．由于:3:2CE AE =，所以25AE AC =，故2255ABE ABC S S ∆∆==；根据燕尾定理，::2:3ACG ABG S S CD BD ∆∆==，::3:2BCG ABG S S CE EA ∆∆==，所以::4:6:9ACG ABG BCG S S S ∆∆∆=，则419ACG S ∆=，919BCG S ∆=；那么2248551995AGE AGC S S ∆∆==⨯=；同样分析可得919ACH S ∆=，则::4:9ACG ACH EG EH S S ∆∆==，::4:19ACG ACBEG EB S S ∆∆==，所以::4:5:10EG GH HB =，同样分析可得::10:5:4AG GI ID =，所以5521101055BIE BAE S S ∆∆==⨯=，55111919519GHI BIE S S ∆∆==⨯=． 【巩固】 如右图，三角形ABC 中，:::3:2AF FB BD DC CE AE ===，且三角形GHI 的面积是1，求三角形ABC 的面积．IH G FEDCBAIH G FEDCBA【解析】 连接BG ，AGC S △=6份根据燕尾定理，::3:26:4AGC BGC S S AF FB ===△△，::3:29:6ABG AGC S S BD DC ===△△得4BGC S =△(份)，9ABG S =△(份)，则19ABC S =△(份)，因此619AGC ABC S S =△△, 同理连接AI 、CH 得619ABH ABC S S =△△,619BIC ABC S S =△△,所以1966611919GHI ABC S S ---==△△ 三角形GHI 的面积是1，所以三角形ABC 的面积是19【巩固】如图，ABC ∆中2BD D A =，2CE EB =，2AF FC =，那么ABC ∆的面积是阴影三角形面积的 倍．BCCB【分析】 如图，连接AI ．根据燕尾定理，::2:1BCI ACI S S BD AD ∆∆==，::1:2BCI ABI S S CF AF ∆∆==，所以，::1:2:4ACI BCI ABI S S S ∆∆∆=，那么，221247BCI ABC ABC S S S ∆∆∆==++．同理可知ACG ∆和ABH ∆的面积也都等于ABC ∆面积的27，所以阴影三角形的面积等于ABC ∆面积的211377-⨯=，所以ABC ∆的面积是阴影三角形面积的7倍．【巩固】如图在ABC △中，12DC EA FB DB EC FA ===,求GHI ABC △的面积△的面积的值．IHG FEDCBAIHG FEDCB A【解析】 连接BG ,设BGC S △=1份，根据燕尾定理::2:1AGC BGC S S AF FB ==△△,::2:1ABG AGC S S BD DC ==△△,得2AGC S =△(份)，4ABG S =△(份),则7ABC S =△(份)，因此27AGC ABC S S =△△,同理连接AI 、CH 得27ABH ABC S S =△△,27BIC ABC S S =△△,所以7222177GHI ABC S S ---==△△ 【点评】如果任意一个三角形各边被分成的比是相同的，那么在同样的位置上的图形，虽然形状千变万化，但面积是相等的，这在这讲里面很多题目都是用“同理得到”的，即再重复一次解题思路，因此我们有对称法作辅助线.【例 32】 如图，三角形ABC 的面积是1，BD DE EC ==，CF FG GA ==，三角形ABC 被分成9部分，请写出这9部分的面积各是多少?【例 33】 【例 34】GFE D CBAN MQPGF EDCBA【解析】 设BG 与AD 交于点P ，BG 与AE 交于点Q ，BF 与AD 交于点M ，BF 与AE 交于点N ．连接CP ，CQ ，CM ，CN ．根据燕尾定理，::1:2ABP CBP S S AG GC ==△△，::1:2ABP ACP S S BD CD ==△△，设1ABP S =△(份)，则1225ABC S =++=△(份)，所以15ABP S =△ 同理可得，27ABQ S =△,12ABN S =△,而13ABG S =△，所以2137535APQ S =-=△，1213721AQG S =-=△．同理，335BPM S =△121BDM S =△,所以1239273570PQMN S =--=四边形，139********MNEDS =--=四边形,1151321426NFCE S =--=四边形,1115321642GFNQ S =--=四边形【巩固】如图，ABC的面积为1，点D、E是BC边的三等分点，点F、G是AC边的三等分点，那么四边形JKIH的面积是多少？K J IHABC D EF GKJI HABCD EFG【解析】 连接CK 、CI 、CJ ．根据燕尾定理，::1:2ACK ABK S S CD BD ∆∆==，::1:2ABK CBK S S AG CG ∆∆==， 所以::1:2:4ACK ABK CBK S S S ∆∆∆=，那么111247ACK S ∆==++，11321AGK ACK S S ∆∆==．类似分析可得215AGI S ∆=． 又::2:1ABJ CBJ S S AF CF ∆∆==，::2:1ABJ ACJ S S BD CD ∆∆==，可得14ACJ S ∆=． 那么，111742184CGKJ S =-=． 根据对称性，可知四边形CEHJ 的面积也为1784，那么四边形JKIH 周围的图形的面积之和为172161228415370CGKJ AGI ABES S S ∆∆⨯++=⨯++=，所以四边形JKIH 的面积为61917070-=．【例 35】 右图，ABC △中，G 是AC 的中点，D 、E 、F 是BC 边上的四等分点，AD 与BG 交于M ，AF 与BG 交于N ，已知ABM △的面积比四边形FCGN 的面积大7.2平方厘米，则ABC △的面积是多少平方厘米？【例 36】 【例 37】N M GA BCD E FNMGA BCD EF【解析】 连接CM 、CN ．根据燕尾定理，::1:1ABM CBM S S AG GC ==△△，::1:3ABM ACM S S BD CD ==△△，所以15ABM ABC S S =△△；再根据燕尾定理，::1:1ABN CBN S S AG GC ==△△，所以::4:3ABN FBN CBN FBN S S S S ==△△△△，所以:4:3AN NF =，那么1422437ANG AFC S S =⨯=+△△，所以2515177428FCGN AFC ABC ABC S S S S ⎛⎫=-=⨯= ⎪⎝⎭△△△．根据题意，有157.2528ABC ABC S S -=△△，可得336ABC S =△(平方厘米)【例 38】 如图，面积为l 的三角形ABC 中，D 、E 、F 、G 、H 、I 分别是AB 、BC 、CA 的三等分点,求阴影部分面积.C BAGCB【解析】 三角形在开会，那么就好好利用三角形中最好用的比例和燕尾定理吧！令BI 与CD 的交点为M ，AF 与CD 的交点为N ，BI 与AF 的交点为P ,BI 与CE 的交点为Q ,连接AM 、BN 、CP⑴求ADMI S 四边形：在ABC △中，根据燕尾定理，::1:2ABM CBM S S AI CI ==△△::1:2ACM CBM S S AD BD ==△△设1ABM S =△(份)，则2CBM S =△(份),1ACM S =△(份),4ABC S =△(份),所以14ABM ACM ABC S S S ==△△△，所以11312ADM ABM ABC S S S ==△△△,112AIM ABC S S =△△, 所以111()12126ABC ABC ADMIS S S =+=△△四边形, 同理可得另外两个顶点的四边形面积也分别是ABC △面积的16⑵求DNPQE S 五边形：在ABC △中，根据燕尾定理::1:2ABN ACN S S BF CF ==△△::1:2ACN BCN S S AD BD ==△△,所以111133721ADN ABN ABC ABC S S S S ==⨯=△△△△,同理121BEQ ABC S S =△△ 在ABC △中，根据燕尾定理::1:2ABP ACP S S BF CF ==△△,::1:2ABP CBP S S AI CI ==△△所以15ABP ABC S S =△△，所以1111152121105ABP ADN BEP ABC ABC DNPQE S S S S S S ⎛⎫=--=--= ⎪⎝⎭△△△△△五边形同理另外两个五边形面积是ABC △面积的11105，所以11113133610570S =-⨯-⨯=阴影【例 39】 如图，面积为l 的三角形ABC 中，D 、E 、F 、G 、H 、I 分别是AB 、BC 、CA 的三等分点,求中心六边形面积.GCBAGCBA【解析】 设深黑色六个三角形的顶点分别为N 、R 、P 、S 、M 、Q ，连接CR在ABC △中根据燕尾定理，::.2:1ABR ACR S S BG CG ==△△, ::1:2ABR CBR S S AI CI ==△△所以27ABR ABC S S =△△,同理27ACS ABC S S =△△,27CQB ABC S S =△△ 所以222117777RQS S =---=△，同理17MNP S =△ 根据容斥原理，和上题结果11131777010S =+-=六边形课后练习： 练习1. 已知DEF △的面积为7平方厘米，,2,3BE CE AD BD CF AF ===，求ABC △的面积．FED CBA【解析】:():()(11):(23)1:6BDE ABC S S BD BE BA BC =⨯⨯=⨯⨯=△△，:():()(13):(24)3:8CEF ABC S S CE CF CB CA =⨯⨯=⨯⨯=△△:():()(21):(34)1:6ADF ABC S S AD AF AB AC =⨯⨯=⨯⨯=△△设24ABC S =△份，则4BDE S =△份，4ADF S =△份，9CEF S =△份，244497DEF S =---=△份，恰好是7平方厘米，所以24ABC S =△平方厘米练习2. 如图，四边形EFGH 的面积是66平方米，EA AB =，CB BF =，DC CG =，HD DA =，求四边形ABCD 的面积．H GFED CB A A B CDEFGH【解析】 连接BD ．由共角定理得:():()1:2BCD CGF S S CD CB CG CF =⨯⨯=△△，即2CGF CDB S S =△△同理:1:2ABD AHE S S =△△，即2AHE ABD S S =△△所以2()2AHE CGF CBD ADB ABCD S S S S S +=+=△△△△四边形 连接AC ，同理可以得到2DHG BEF ABCD S S S +=△△四边形5AHE CGF HDG BEF EFGH ABCD ABCD S S S S S S S =++++=△△△△四边形四边形四边形所以66513.2ABCD S =÷=四边形平方米练习3. 正方形ABCD 的面积是120平方厘米，E 是AB 的中点，F 是BC 的中点，四边形BGHF 的面积是 平方厘米．H GFEDC BAMH GFEDCBA【解析】 欲求四边形BGHF 的面积须求出EBG ∆和CHF ∆的面积．由题意可得到：::1:2EG GC EB CD ==，所以可得：13EBG BCE S S ∆∆= 将AB 、DF 延长交于M 点，可得：:::1:1BM DC MF FD BF FC ===，而1::():3:22EH HC EM CD AB AB CD ==+=，得25CH CE =，而12CF BC =，所以121255CHF BCE BCE S S S ∆∆∆=⨯=11112030224BCE S AB BC ∆=⨯⨯=⨯=1177301451515EBC EBC EBC EBC BGHF S S S S S ∆∆∆∆=--==⨯=四边形．EF ，确定H 的位置(也就是:FH HD )，同样也能解出．练习4. 如图，已知4cm AB AE ==，BC DC =，90BAE BCD ∠=∠=︒，10cm AC =，则S ABC ACE CDE S S ∆∆∆++= 2cm ．DCEBABCA'C'EDA【解析】 将三角形ABC 绕A 点和C 点分别顺时针和逆时针旋转90，构成三角形'AEC 和'A DC ，再连接''A C ，显然'AC AC ⊥，'AC A C ⊥，''AC A C AC ==，所以''ACA C 是正方形．三角形'AEC 和三角形'A DC 关于正方形的中心O 中心对称，在中心对称图形''ACA C 中有如下等量关系：''AEC A DC S S ∆∆=；''AEC A DC S S ∆∆=；'CED C DE S S ∆∆=．所以2'''11101050cm 22ABC ACE CDE AEC ACE CDE ACA C S S S S S S S∆∆∆∆∆∆++=++==⨯⨯=．。

小学奥数平面几何五种面积模型(等积_鸟头_蝶形_相似_共边)

小学奥数平面几何五种面积模型(等积_鸟头_蝶形_相似_共边)

小学奥数平面几何五种模型（等积，鸟头，蝶形，相似，共边）目标：熟练掌握五大面积模型等积，鸟头，蝶形，相似（含金字塔模型和沙漏模型），共边（含燕尾模型和风筝模型），掌握五大面积模型的各种变形知识点拨一、等积模型①等底等高的两个三角形面积相等；②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；S1S2A B两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比；a b C D如右图 S1: S 2 a : b③夹在一组平行线之间的等积变形，如右图 S△ACDS△BCD；反之，如果 S△ACD S△BCD，则可知直线 AB 平行于CD ．④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)；⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；三两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比．二、鸟头定理两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形．共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比．如图在△ABC 中，D,E分别是AB,AC上的点如图⑴(或D在BA的延长线上，E在AC 上)，则 S△ABC: S△ADE( AB AC ) : ( AD AE)DAADEEBC B C图⑴图⑵三、蝶形定理任意四边形中的比例关系(“蝶形定理”)：① S1: S2 S4: S3或者S1S3S2S4②AO:OC S1S2:S4S3DA S 1S 4S 2OS 3B C蝶形定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；1。

(完整版)小学奥数平面几何五种面积模型

(完整版)小学奥数平面几何五种面积模型

小学奥数平面几何五种模型（等积，鸟头，蝶形，相似，共边）目标：熟练掌握五大面积模型等积，鸟头，蝶形，相似（含金字塔模型和沙漏模型），共边（含燕尾模型和风筝模型）， 掌握五大面积模型的各种变形 知识点拨一、等积模型①等底等高的两个三角形面积相等； ②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比； 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比；如右图12::S S a b =③夹在一组平行线之间的等积变形，如右图ACD BCD S S =△△； 反之，如果ACD BCD S S =△△，则可知直线AB 平行于CD ．④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)；⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比． 二、鸟头定理两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形． 共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比． 如图在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点如图 ⑴(或D 在BA 的延长线上，E 在AC 上)，则:():()ABC ADE S S AB AC AD AE =⨯⨯△△EDCBAEDCBA图⑴ 图⑵ 三、蝶形定理任意四边形中的比例关系(“蝶形定理”)：①1243::S S S S =或者1324S S S S ⨯=⨯②()()1243::AO OC S S S S =++蝶形定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．通过构造b a S 2S 1DC BA S 4S 3S 2S 1O DCBA模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系．梯形中比例关系(“梯形蝶形定理”)：①2213::S S a b = ②221324::::::S S S S a b ab ab =； ③S 的对应份数为()2a b +．四、相似模型(一)金字塔模型 (二) 沙漏模型GF E ABCDAB CDEF G①AD AE DE AF ABACBCAG===；②22:ADE ABC S S AF AG =△△：．所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形(只要其形状不改变，不论大小怎样改变它们都相似)，与相似三角形相关的常用的性质及定理如下：⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比；⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方；⑶连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．三角形中位线定理：三角形的中位线长等于它所对应的底边长的一半． 相似三角形模型，给我们提供了三角形之间的边与面积关系相互转化的工具．在小学奥数里，出现最多的情况是因为两条平行线而出现的相似三角形． 五、共边定理（燕尾模型和风筝模型）在三角形ABC 中，AD ，BE ，CF 相交于同一点O ，那么::ABO ACO S S BD DC ∆∆=．上述定理给出了一个新的转化面积比与线段比的手段，因为ABO ∆和ACO ∆的形状很象燕子的尾巴，所以这个定理被称为燕尾定理．该定理在许多几何题目中都有着广泛的运用，它的特殊性在于，它可以存在于任何一个三角形之中，为A BCD O ba S 3S 2S 1S 4O FED C BA三角形中的三角形面积对应底边之间提供互相联系的途径. 典型例题【例 1】如图，正方形ABCD 的边长为6，AE =1.5，CF =2．长方形EFGH 的面积为 ．【解析】 连接DE ，DF ，则长方形EFGH 的面积是三角形DEF 面积的二倍．三角形DEF 的面积等于正方形的面积减去三个三角形的面积，66 1.562262 4.54216.5DEF S =⨯-⨯÷-⨯÷-⨯÷=△,所以长方形EFGH面积为33．【巩固】如图所示，正方形ABCD 的边长为8厘米，长方形EBGF 的长BG 为10厘米，那么长方形的宽为几厘米？【解析】 本题主要是让学生会运用等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)．三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半． 证明：连接AG ．(我们通过ABG △把这两个长方形和正方形联系在一起)．∵在正方形ABCD 中，G 12AB S AB AB =⨯⨯△边上的高，∴12ABG ABCD S S =W △(三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半)同理，12ABG EFGB S S =△．∴正方形ABCD 与长方形EFGB面积相等． 长方形的宽8810 6.4=⨯÷=(厘米)．_H_G_ F_E_D_C_B_ A _A_B_C_D_E_ F_G_H_ A _ B_ G_ C _ E _ F_ D_ A _ B_ G_ C_ E_ F_ D【例 2】长方形ABCD 的面积为362cm ，E 、F 、G 为各边中点，H 为AD 边上任意一点，问阴影部分面积是多少？E【解析】 解法一：寻找可利用的条件，连接BH 、HC ，如下图：E可得：12EHB AHB S S ∆∆=、12FHB CHB S S ∆∆=、12DHG DHC S S ∆∆=，而36ABCD AHB CHB CHD S S S S ∆∆∆=++=即11()361822EHB BHF DHG AHB CHB CHD S S S S S S ∆∆∆∆∆∆++=++=⨯=； 而EHB BHF DHG EBFS S S S S ∆∆∆∆++=+阴影，11111()()36 4.522228EBF S BE BF AB BC ∆=⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=⨯=．所以阴影部分的面积是：1818 4.513.5EBF S S ∆=-=-=阴影解法二：特殊点法．找H 的特殊点，把H 点与D 点重合，那么图形就可变成右图：GE (H )这样阴影部分的面积就是DEF ∆的面积，根据鸟头定理，则有：11111113636363613.52222222ABCD AED BEF CFD S S S S S ∆∆∆=---=-⨯⨯-⨯⨯⨯-⨯⨯=阴影．【巩固】在边长为6厘米的正方形ABCD 内任取一点P ，将正方形的一组对边二等分，另一组对边三等分，分别与P 点连接,求阴影部分面积．【解析】 （法1）特殊点法．由于P 是正方形内部任意一点，可采用特殊点法，假设P 点与A 点重合，则阴影部分变为如上中图所示，图中的两个阴影三角形的面积分别占正方形面积的14和16，所以阴影部分的面积为2116()1546⨯+=平方厘米．（法2）连接PA 、PC ．由于PAD ∆与PBC ∆的面积之和等于正方形ABCD 面积的一半，所以上、下两个阴影三角形的面积之和等于正方形ABCD 面积的14，同理可知左、右两个阴影三角形的面积之和等于正方形ABCD 面积的16，所以阴影部分的面积为2116()1546⨯+=平方厘米．【例 3】如图所示，长方形ABCD 内的阴影部分的面积之和为70，8AB =，15AD =，四边形EFGO 的面积为 ．B【解析】 利用图形中的包含关系可以先求出三角形AOE 、DOG 和四边形EFGO 的面积之和，以及三角形AOE 和DOG 的面积之和，进而求出四边形EFGO的面积．由于长方形ABCD 的面积为158120⨯=，所以三角形BOC 的面积为1120304⨯=，所以三角形AOE 和DOG 的面积之和为312070204⨯-=； 又三角形AOE 、DOG 和四边形EFGO 的面积之和为111203024⎛⎫⨯-= ⎪⎝⎭，所以四边形EFGO 的面积为302010-=．另解：从整体上来看，四边形EFGO 的面积=三角形AFC 面积+三角形BFD 面积-白色部分的面积，而三角形AFC 面积+三角形BFD 面积为长方形面积的一半，即60，白色部分的面积等于长方形面积减去阴影部分的面积，即1207050-=，所以四边形的面积为605010-=．【巩固】如图，长方形ABCD 的面积是36，E 是AD 的三等分点，2AE ED =，则阴影部分的面积为 ．BB【解析】 如图，连接OE ．根据蝶形定理，1:::1:12COE CDE CAE CDE ON ND S S S S ∆∆∆∆===，所以12OEN OED S S ∆∆=； 1:::1:42BOE BAE BDE BAE OM MA S S S S ∆∆∆∆===，所以15OEM OEA S S ∆∆=．又11334OED ABCD S S ∆=⨯=矩形，26OEA OED S S ∆∆==，所以阴影部分面积为：1136 2.725⨯+⨯=．【例 4】已知ABC 为等边三角形，面积为400，D 、E 、F 分别为三边的中点，已知甲、乙、丙面积和为143，求阴影五边形的面积．(丙是三角形HBC)B【解析】 因为D 、E 、F 分别为三边的中点，所以DE 、DF 、EF 是三角形ABC 的中位线，也就与对应的边平行，根据面积比例模型，三角形ABN 和三角形AMC 的面积都等于三角形ABC 的一半，即为200．根据图形的容斥关系，有ABC ABN AMC AMHN S S S S S ∆∆∆-=+-丙，即400 200200AMHN S S -=+-丙，所以AMHN S S =丙． 又ADF AMHN S S S S S ∆+=++乙甲阴影，所以1143400434ADF S S S S S ∆=++-=-⨯=乙甲丙阴影．【例 5】如图，已知5CD =，7DE =，15EF =，6FG =，线段AB 将图形分成两部分，左边部分面积是38，右边部分面积是65，那么三角形ADG 的面积是 ．GFE DC BAABC DE FG【解析】 连接AF ，BD ．根据题意可知，571527CF =++=；715628DG =++=；所以，1527BE CBF F S S ∆∆=，1227BE CBF C S S ∆∆=，2128AEG ADG S S ∆∆=，728AED ADG S S ∆∆=， 于是：2115652827ADG CBFS S ∆∆+=；712382827ADG CBF S S ∆∆+=； 可得40ADG S ∆=．故三角形ADG 的面积是40．【例 6】如图在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点，且:2:5AD AB =，:4:7AE AC =，16ADE S =△平方厘米，求ABC △的面积．EDCBAEDCBA【解析】 连接BE ，::2:5(24):(54)ADE ABE S S AD AB ===⨯⨯△△，::4:7(45):(75)ABE ABC S S AE AC ===⨯⨯△△，所以:(24):(75)ADE ABC S S =⨯⨯△△，设8ADE S =△份，则35ABC S =△份，16ADE S =△平方厘米，所以1份是2平方厘米，35份就是70平方厘米，ABC △的面积是70平方厘米．由此我们得到一个重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比 ．【巩固】如图，三角形ABC 中，AB 是AD 的5倍，AC 是AE 的3倍，如果三角形ADE 的面积等于1，那么三角形ABC 的面积是多少？EDCBAABCDE【解析】 连接BE ．∵3EC AE =∴3ABC ABE S S =V V 又∵5AB AD =∴515ADE ABE ABC S S S =÷=÷V V V ，∴1515ABC ADE S S ==V V ．【巩固】如图，三角形ABC 被分成了甲(阴影部分)、乙两部分，4BD DC ==，3BE =，6AE =，乙部分面积是甲部分面积的几倍？乙甲E DCBAABCDE甲乙【解析】 连接AD ．∵3BE =，6AE =∴3AB BE =，3ABD BDE S S =V V 又∵4BD DC ==，∴2ABC ABD S S =V V ，∴6ABC BDE S S =V V ，5S S =乙甲．【例 7】如图在ABC △中，D 在BA 的延长线上，E 在AC 上，且:5:2AB AD =， :3:2AE EC =，12ADE S =△平方厘米，求ABC △的面积．EDCBAEDCB A【解析】 连接BE ，::2:5(23):(53)ADE ABE S S AD AB ===⨯⨯△△[]::3:(32)(35):(32)5ABE ABC S S AE AC ==+=⨯+⨯△△，所以[]:(32):5(32)6:25ADE ABC S S =⨯⨯+=△△，设6ADE S =△份，则25ABC S =△份，12ADE S =△平方厘米，所以1份是2平方厘米，25份就是50平方厘米，ABC △的面积是50平方厘米．由此我们得到一个重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比【例 8】如图，平行四边形ABCD ，BE AB =，2CF CB =，3GD DC =，4HA AD =，平行四边形ABCD 的面积是2， 求平行四边形ABCD 与四边形EFGH 的面积比．HGAB CD EFHGAB CD EF【解析】 连接AC 、BD ．根据共角定理∵在ABC △和BFE △中，ABC ∠与FBE ∠互补，∴111133ABCFBES AB BC S BE BF ⋅⨯===⋅⨯△△． 又1ABC S =△，所以3FBE S =△．同理可得8GCF S =△，15DHG S =△，8AEH S =△．所以8815+3+236EFGH AEH CFG DHG BEF ABCD S S S S S S =++++=++=△△△△． 所以213618ABCDEFGHS S ==．【例 9】如图所示的四边形的面积等于多少？DB13131212【解析】 题目中要求的四边形既不是正方形也不是长方形，难以运用公式直接求面积.我们可以利用旋转的方法对图形实施变换：把三角形OAB 绕顶点O 逆时针旋转，使长为13的两条边重合，此时三角形OAB 将旋转到三角形OCD 的位置.这样，通过旋转后所得到的新图形是一个边长为12的正方形，且这个正方形的面积就是原来四边形的面积.因此，原来四边形的面积为1212144⨯=.(也可以用勾股定理)【例 10】 如图所示，ABC ∆中，90ABC ∠=︒，3AB =，5BC =，以AC 为一边向ABC∆外作正方形ACDE ，中心为O ，求OBC ∆的面积．【解析】 如图，将OAB ∆沿着O 点顺时针旋转90︒，到达OCF ∆的位置．由于90ABC ∠=︒，90AOC ∠=︒，所以180OAB OCB ∠+∠=︒．而OCF OAB ∠=∠， 所以180OCF OCB ∠+∠=︒，那么B 、C 、F 三点在一条直线上．由于OB OF =，90BOF AOC ∠=∠=︒，所以BOF ∆是等腰直角三角形，且斜边BF 为538+=，所以它的面积为218164⨯=．根据面积比例模型，OBC ∆的面积为516108⨯=．【例 11】 如图，以正方形的边AB为斜边在正方形内作直角三角形ABE ，90AEB ∠=︒，AC 、BD 交于O ．已知AE 、BE 的长分别为3cm 、5cm ，求三角形OBE 的面积．F【解析】 如图，连接DE ，以A 点为中心，将ADE ∆顺时针旋转90︒到ABF ∆的位置．那么90EAF EAB BAF EAB DAE ∠=∠+∠=∠+∠=︒，而AEB ∠也是90︒，所以四边形AFBE 是直角梯形，且3AF AE ==， 所以梯形AFBE 的面积为：()1353122+⨯⨯=(2cm )． 又因为ABE ∆是直角三角形，根据勾股定理，222223534AB AE BE =+=+=，所以21172ABD S AB ∆==(2cm )．那么()17125BDE ABD ABE ADE ABD AFBE S S S S S S ∆∆∆∆∆=-+=-=-=(2cm )， 所以1 2.52OBE BDE S S ∆∆==(2cm )．【例 12】 如下图，六边形ABCDEF 中，AB ED =，AF CD =，BC EF =，且有AB 平行于ED ，AF 平行于CD ，BC 平行于EF ，对角线FD 垂直于BD ，已知24FD =厘米，18BD =厘米，请问六边形ABCDEF 的面积是多少平方厘米？FEABDCGFEABDC【解析】 如图，我们将BCD ∆平移使得CD 与AF 重合，将DEF ∆平移使得ED 与AB 重合，这样EF 、BC 都重合到图中的AG 了．这样就组成了一个长方形BGFD ，它的面积与原六边形的面积相等，显然长方形BGFD 的面积为2418432⨯=平方厘米，所以六边形ABCDEF 的面积为432平方厘米．【例 13】 如图，三角形ABC 的面积是1，E 是AC 的中点，点D 在BC 上，且:1:2BD DC =，AD 与BE 交于点F ．则四边形DFEC 的面积等于 ．FEDCBA33321F EDC BAABCDEF【解析】 方法一：连接CF ，根据燕尾定理，12ABF ACF S BD S DC ==△△，1ABF CBF S AE S EC ==△△, 设1BDF S =△份，则2DCF S =△份，3ABF S =△份，3AEF EFC S S ==△△份，如图所标所以551212DCEF ABC S S ==△ 方法二：连接DE ，由题目条件可得到1133ABD ABC S S ==△△，11212233ADE ADC ABC S S S ==⨯=△△△，所以11ABD ADE S BF FE S ==△△，111111122323212DEF DEB BEC ABC S S S S =⨯=⨯⨯=⨯⨯⨯=△△△△，而211323CDE ABC S S =⨯⨯=△△．所以则四边形DFEC 的面积等于512． 【巩固】如图，长方形ABCD 的面积是2平方厘米，2EC DE =，F 是DG 的中点．阴影部分的面积是多少平方厘米?y B CD EGE D CBAEDB A 【解析】 设1DEFS =△份，则根据燕尾定理其他面积如图所示551212BCD S S ==△阴影平方厘米.【例 14】 四边形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O (如图所示)．如果三角形ABD的面积等于三角形BCD 的面积的13，且2AO =，3DO =，那么CO 的长度是DO 的长度的_________倍．ABCDOH GA BCD O【解析】 在本题中，四边形ABCD 为任意四边形，对于这种”不良四边形”，无外乎两种处理方法：⑴利用已知条件，向已有模型靠拢，从而快速解决；⑵通过画辅助线来改造不良四边形．看到题目中给出条件:1:3ABD BCD S S =V V ，这可以向模型一蝶形定理靠拢，于是得出一种解法．又观察题目中给出的已知条件是面积的关系，转化为边的关系，可以得到第二种解法，但是第二种解法需要一个中介来改造这个”不良四边形”，于是可以作AH 垂直BD 于H ，CG 垂直BD 于G ，面积比转化为高之比．再应用结论：三角形高相同，则面积之比等于底边之比，得出结果．请老师注意比较两种解法，使学生体会到蝶形定理的优势，从而主观上愿意掌握并使用蝶形定理解决问题． 解法一：∵::1:3ABD BDC AO OC S S ∆∆==，∴236OC =⨯=，∴:6:32:1OC OD ==． 解法二：作AH BD ⊥于H ，CG BD ⊥于G ．∵13ABDBCD S S ∆∆=，∴13AH CG =，∴13AODDOC S S ∆∆=， ∴13AO CO =，∴236OC =⨯=，∴:6:32:1OC OD ==．【巩固】如图，四边形被两条对角线分成4个三角形，其中三个三角形的面积已知， 求：⑴三角形BGC 的面积；⑵:AG GC =？B【解析】 ⑴根据蝶形定理，123BGCS ⨯=⨯V ，那么6BGC S =V ；⑵根据蝶形定理，()():12:361:3AG GC =++=．【例 15】 如图，平行四边形ABCD 的对角线交于O 点，CEF △、OEF △、ODF △、BOE △的面积依次是2、4、4和6．求：⑴求OCF △的面积；⑵求GCE△的面积．OGF EDCBA【解析】 ⑴根据题意可知，BCD △的面积为244616+++=，那么BCO △和CDO ∆的面积都是1628÷=，所以OCF △的面积为844-=；⑵由于BCO △的面积为8，BOE △的面积为6，所以OCE △的面积为862-=，根据蝶形定理，::2:41:2COE COF EG FG S S ∆∆===，所以::1:2GCE GCF S S EG FG ∆∆==，那么11221233GCE CEF S S ∆∆==⨯=+．【例 16】 如图，长方形ABCD 中，:2:3BE EC =，:1:2DF FC =，三角形DFG 的面积为2平方厘米，求长方形ABCD 的面积．ABCD EF GABCD EF G【解析】 连接AE ，FE ．因为:2:3BE EC =，:1:2DF FC =，所以3111()53210DEF ABCD ABCD S S S =⨯⨯=V 长方形长方形．因为12AEDABCD S S =V 长方形，11::5:1210AG GF ==，所以510AGD GDF S S ==V V 平方厘米，所以12AFD S =V 平方厘米．因为16AFDABCD S S =V 长方形，所以长方形ABCD 的面积是72平方厘米．【例 17】 如图，正方形ABCD 面积为3平方厘米，M 是AD 边上的中点．求图中阴影部分的面积．CBA【解析】 因为M 是AD 边上的中点，所以:1:2AM BC =，根据梯形蝶形定理可以知道22:::1:12:12:21:2:2:4AMG ABG MCG BCG S S S S =⨯⨯=△△△△（）（），设1AGM S =△份，则123MCD S =+=△ 份，所以正方形的面积为1224312++++=份，224S =+=阴影份，所以:1:3S S =阴影正方形，所以1S =阴影平方厘米．【巩固】在下图的正方形ABCD 中，E 是BC 边的中点，AE 与BD 相交于F 点，三角形BEF 的面积为1平方厘米，那么正方形ABCD 面积是 平方厘米．A BCDEF【解析】 连接DE ，根据题意可知:1:2BE AD =，根据蝶形定理得2129S =+=梯形（）(平方厘米)，3ECD S =△(平方厘米)，那么12ABCD S =W (平方厘米)．【例 18】 已知ABCD 是平行四边形，:3:2BC CE =，三角形ODE 的面积为6平方厘米．则阴影部分的面积是 平方厘米．BB【解析】 连接AC ．由于ABCD 是平行四边形，:3:2BC CE =，所以:2:3CE AD =，根据梯形蝶形定理，22:::2:23:23:34:6:6:9COE AOC DOE AOD S S S S =⨯⨯=V V V V ，所以6AOC S =V (平方厘米)，9AOD S =V (平方厘米)，又6915ABC ACD S S ==+=V V (平方厘米)，阴影部分面积为61521+=(平方厘米)．【巩固】右图中ABCD 是梯形，ABED 是平行四边形，已知三角形面积如图所示(单位：平方厘米)，阴影部分的面积是 平方厘米．BB【分析】 连接AE．由于AD 与BC是平行的，所以AECD也是梯形，那么OCDOAE S S ∆∆=．根据蝶形定理，4936OCD OAE OCE OAD S S S S ∆∆∆∆⨯=⨯=⨯=，故236OCD S ∆=， 所以6OCD S ∆=(平方厘米)．【巩固】右图中ABCD 是梯形，ABED 是平行四边形，已知三角形面积如图所示(单位：平方厘米)，阴影部分的面积是 平方厘米．BB【解析】 连接AE ．由于AD 与BC 是平行的，所以AECD 也是梯形，那么OCD OAE S S ∆∆=．根据蝶形定理，2816OCD OAE OCE OAD S S S S ∆∆∆∆⨯=⨯=⨯=，故216OCD S ∆=，所以4OCD S ∆=(平方厘米)．另解：在平行四边形ABED 中，()111681222ADE ABED S S ∆==⨯+=Y (平方厘米)， 所以1284AOE ADE AOD S S S ∆∆∆=-=-=(平方厘米)，根据蝶形定理，阴影部分的面积为8244⨯÷=(平方厘米)．【例 19】 如图，长方形ABCD 被CE 、DF 分成四块，已知其中3块的面积分别为2、5、8平方厘米，那么余下的四边形OFBC 的面积为___________平方厘米．?852O A BCDEF?852O A BC DEF【解析】 连接DE 、CF ．四边形EDCF 为梯形，所以EOD FOC S S ∆=V ，又根据蝶形定理，EOD FOC EOF COD S S S S ∆∆∆∆⋅=⋅，所以2816EOD FOC EOF COD S S S S ∆∆∆∆⋅=⋅=⨯=，所以4EOD S ∆=(平方厘米)，4812ECD S ∆=+=(平方厘米)．那么长方形ABCD 的面积为12224⨯=平方厘米，四边形OFBC 的面积为245289---=(平方厘米)．【例 20】 如图，ABC ∆是等腰直角三角形，DEFG 是正方形，线段AB 与CD 相交于K 点．已知正方形DEFG 的面积48，:1:3AK KB =，则BKD ∆的面积是多少？BB【解析】 由于DEFG 是正方形，所以DA 与BC 平行，那么四边形ADBC 是梯形．在梯形ADBC 中，BDK ∆和ACK ∆的面积是相等的．而:1:3AK KB =，所以ACK ∆的面积是ABC ∆面积的11134=+，那么BDK ∆的面积也是ABC ∆面积的14． 由于ABC ∆是等腰直角三角形，如果过A 作BC 的垂线，M 为垂足，那么M 是BC 的中点，而且AM DE =，可见ABM ∆和ACM ∆的面积都等于正方形DEFG 面积的一半，所以ABC ∆的面积与正方形DEFG 的面积相等，为48．那么BDK ∆的面积为148124⨯=．【例 21】 下图中，四边形ABCD 都是边长为1的正方形，E 、F 、G 、H 分别是AB ，BC ，CD ，DA 的中点，如果左图中阴影部分与右图中阴影部分的面积之比是最简分数m n，那么，()m n +的值等于 ．E【解析】 左、右两个图中的阴影部分都是不规则图形，不方便直接求面积，观察发现两个图中的空白部分面积都比较好求，所以可以先求出空白部分的面积，再求阴影部分的面积．如下图所示，在左图中连接EG ．设AG 与DE 的交点为M ．左图中AEGD 为长方形，可知AMD ∆的面积为长方形AEGD 面积的14，所以三角形AMD 的面积为21111248⨯⨯=．又左图中四个空白三角形的面积是相等的，所以左图中阴影部分的面积为111482-⨯=．BEE如上图所示，在右图中连接AC 、EF ．设AF 、EC 的交点为N ． 可知EF ∥AC 且2AC EF =．那么三角形BEF 的面积为三角形ABC 面积的14，所以三角形BEF 的面积为21111248⨯⨯=，梯形AEFC 的面积为113288-=． 在梯形AEFC 中，由于:1:2EF AC =，根据梯形蝶形定理，其四部分的面积比为：221:12:12:21:2:2:4⨯⨯=，所以三角形EFN 的面积为3118122424⨯=+++，那么四边形BENF 的面积为1118246+=．而右图中四个空白四边形的面积是相等的，所以右图中阴影部分的面积为111463-⨯=．那么左图中阴影部分面积与右图中阴影部分面积之比为11:3:223=，即32m n =， 那么325m n +=+=．【例 22】 如图， ABC △中，DE ，FG ，BC 互相平行，AD DF FB ==，则::ADE DEGF FGCB S S S =△四边形四边形 ．EGF A D CB【解析】 设1ADE S =△份，根据面积比等于相似比的平方，所以22::1:4ADE AFG S S AD AF ==△△，22::1:9ADE ABC S S AD AB ==△△， 因此4AFG S =△份，9ABC S =△份，进而有3DEGF S =四边形份，5FGCB S =四边形份，所以::1:3:5ADE DEGF FGCB S S S =△四边形四边形【巩固】如图，DE 平行BC ，且2AD =，5AB =，4AE =，求AC 的长．A ED CB【解析】 由金字塔模型得:::2:5AD AB AE AC DE BC ===，所以42510AC =÷⨯=【巩固】如图， ABC △中，DE ，FG ，MN ，PQ ，BC 互相平行，AD DF FM MP PB ====，则::::ADE DEGF FGNM MNQP PQCB S S S S S =△四边形四边形四边形四边形． 【解析】 设1ADE S =△份，22::1:4ADE AFG S S AD AF ==△△，因此4AFG S =△份，进而有3DEGF S =四边形份，同理有5FGNM S =四边形份，7MNQP S =四边形份，9PQCB S =四边形份．所以有::::1:3:5:7:9ADE DEGF FGNM MNQP PQCB S S S S S =△四边形四边形四边形四边形【例 23】 如图，已知正方形ABCD 的边长为4，F是BC 边的中点，E 是DC 边上的点，且:1:3DE EC =，AF 与BE 相交于点G ，求ABG S △GFAEDC BM GFAEDCBGFAEDCB【解析】 方法一：连接AE ，延长AF ，DC 两条线交于点M ，构造出两个沙漏，所以有::1:1AB CM BF FC ==，因此4CM =，根据题意有3CE =，再根据另一个沙漏有::4:7GB GE AB EM ==，所以4432(442)471111ABG ABE S S ==⨯⨯÷=+△△．方法二：连接,AE EF，分别求4224ABF S =⨯÷=△，4441232247AEFS =⨯-⨯÷-⨯÷-=△，根据蝶形定理::4:7ABF AEF S S BG GE ==△△，所以4432(442)471111ABG ABE S S ==⨯⨯÷=+△△．【例 24】 如图所示，已知平行四边形ABCD 的面积是1，E 、F 是AB 、AD 的中点， BF 交EC 于M ，求BMG ∆的面积．Q E GNMFPA DCBMHGF E DCBAA【解析】 解法一：由题意可得，E 、F 是AB 、AD 的中点，得//EF BD ，而::1:2FD BC FH HC ==，::1:2EB CD BG GD ==所以::2:3CH CF GH EF ==，并得G 、H 是BD 的三等分点，所以BG GH =，所以 ::2:3BG EF BM MF ==，所以25BM BF =，11112224BFD ABD ABCD S S S ∆∆==⨯=Y ； 又因为13BG BD =，所以1212113535430BMG BFD S S ∆∆=⨯⨯=⨯⨯=． 解法二：延长CE 交DA 于I ，如右图，可得，::1:1AI BC AE EB ==，从而可以确定M 的点的位置， ::2:3BM MF BC IF ==，25BM BF =，13BG BD =(鸟头定理)，可得2121115353430BMG BDF ABCD S S S ∆∆=⨯=⨯⨯=Y【例 25】 如图，ABCD 为正方形，1cm AM NB DE FC ====且2cm MN =，请问四边形PQRS 的面积为多少？CACA【解析】 (法1)由//AB CD ，有MP PC MNDC=，所以2PC PM =，又MQ MB QC EC =，所以12MQ QC MC ==，所以111236PQ MC MC MC =-=，所以SPQR S 占AMCF S 的16，所以121(112)63SPQR S =⨯⨯++=2(cm )．(法2)如图，连结AE ，则14482ABE S ∆=⨯⨯=(2cm )，而RB ER ABEF=，所以2RB AB EFEF ==，22168333ABR ABE S S ∆∆==⨯=(2cm )．而1134322MBQ ANS S S ∆∆==⨯⨯⨯=(2cm )，因为MN MP DC PC=，所以13MP MC =，则11424233MNP S ∆=⨯⨯⨯=(2cm )，阴影部分面积等于164233333ABR ANS MBQ MNP S S S S ∆∆∆∆--+=--+=(2cm )．【例 26】 如右图，三角形ABC 中，:4:9BD DC =，:4:3CE EA =，求:AF FB ．O F EDCBA【解析】 根据燕尾定理得::4:912:27AOB AOC S S BD CD ===△△::3:412:16AOB BOC S S AE CE ===△△（都有AOB △的面积要统一，所以找最小公倍数） 所以:27:16:AOC BOC S S AF FB ==△△【点评】本题关键是把AOB △的面积统一，这种找最小公倍数的方法，在我们用比例解题中屡见不鲜，如果能掌握它的转化本质，我们就能达到解奥数题四两拨千斤的巨大力量！【巩固】如右图，三角形ABC 中，:3:4BD DC =，:5:6AE CE =，求:AF FB .O F EDCBA【解析】 根据燕尾定理得::3:415:20AOB AOC S S BD CD ===△△::5:615:18AOB BOC S S AE CE ===△△（都有AOB △的面积要统一，所以找最小公倍数） 所以:20:1810:9:AOC BOC S S AF FB ===△△【巩固】如右图，三角形ABC 中，:2:3BD DC =，:5:4EA CE =，求:AF FB .O F EDCBA【解析】 根据燕尾定理得::2:310:15AOB AOC S S BD CD ===△△::5:410:8AOB BOC S S AE CE ===△△（都有AOB △的面积要统一，所以找最小公倍数） 所以:15:8:AOC BOC S S AF FB ==△△【点评】本题关键是把AOB △的面积统一，这种找最小公倍数的方法，在我们用比例解题中屡见不鲜，如果能掌握它的转化本质，我们就能达到解奥数题四两拨千斤的巨大力量！【例 27】 如右图，三角形ABC 中，:::3:2AF FB BD DC CE AE ===，且三角形ABC 的面积是1，则三角形ABE 的面积为______，三角形AGE 的面积为________，三角形GHI 的面积为______．I HGFEDCBAI H G FEDCBA【分析】 连接AH 、BI 、CG ．由于:3:2CE AE =，所以25AE AC =，故2255ABE ABC S S ∆∆==；根据燕尾定理，::2:3ACG ABG S S CD BD ∆∆==，::3:2BCG ABG S S CE EA ∆∆==，所以::4:6:9ACG ABG BCG S S S ∆∆∆=，则419ACG S ∆=，919BCG S ∆=； 那么2248551995AGE AGC S S ∆∆==⨯=； 同样分析可得919ACH S ∆=，则::4:9ACG ACH EG EH S S ∆∆==，::4:19ACG ACB EG EB S S ∆∆==，所以::4:5:10EG GH HB =，同样分析可得::10:5:4AG GI ID =，所以5521101055BIE BAE S S ∆∆==⨯=，55111919519GHI BIE S S ∆∆==⨯=．【巩固】 如右图，三角形ABC 中，:::3:2AF FB BD DC CE AE ===，且三角形GHI的面积是1，求三角形ABC 的面积．IH G FEDCBA IH G FEDCBA【解析】 连接BG ，AGCS △=6份根据燕尾定理，::3:26:4AGC BGC S S AF FB ===△△，::3:29:6ABG AGC S S BD DC ===△△得4BGC S =△(份)，9ABG S =△(份)，则19ABC S =△(份)，因此619AGCABCS S =△△, 同理连接AI 、CH 得619ABHABCS S =△△,619BIC ABC S S =△△,所以1966611919GHI ABC S S ---==△△三角形GHI 的面积是1，所以三角形ABC 的面积是19【巩固】如图，ABC ∆中2BD DA =，2CE EB =，2AF FC =，那么ABC ∆的面积是阴影三角形面积的 倍．BCCB【分析】 如图，连接AI．根据燕尾定理，::2:1BCI ACIS S BD AD ∆∆==，::1:2BCI ABI S S CF AF ∆∆==，所以，::1:2:4ACI BCI ABI S S S ∆∆∆=，那么，221247BCI ABC ABC S S S ∆∆∆==++．同理可知ACG ∆和ABH ∆的面积也都等于ABC ∆面积的27，所以阴影三角形的面积等于ABC ∆面积的211377-⨯=，所以ABC ∆的面积是阴影三角形面积的7倍．【巩固】如图在ABC △中，12DC EA FB DBECFA===,求GHI ABC △的面积△的面积的值．IHG FEDCBAIHG FEDCB A【解析】 连接BG ,设BGC S △=1份，根据燕尾定理::2:1AGC BGC S S AF FB ==△△,::2:1ABG AGC S S BD DC ==△△,得2AGC S =△(份)，4ABG S =△(份),则7ABC S =△(份)，因此27AGC ABC S S =△△,同理连接AI 、CH 得27ABH ABC S S =△△,27BIC ABC S S =△△,所以7222177GHI ABC S S ---==△△ 【点评】如果任意一个三角形各边被分成的比是相同的，那么在同样的位置上的图形，虽然形状千变万化，但面积是相等的，这在这讲里面很多题目都是用“同理得到”的，即再重复一次解题思路，因此我们有对称法作辅助线.【例 28】 如图，三角形ABC 的面积是1，BD DE EC ==，CF FG GA ==，三角形ABC被分成9部分，请写出这9部分的面积各是多少?GFE D CBAN MQPGF EDCBA【解析】 设BG 与AD 交于点P ，BG 与AE 交于点Q ，BF 与AD 交于点M ，BF 与AE交于点N ．连接CP ，CQ ，CM ，CN ．根据燕尾定理，::1:2ABP CBP S S AG GC ==△△，::1:2ABP ACP S S BD CD ==△△，设1ABP S =△(份)，则1225ABC S =++=△(份)，所以15ABP S =△ 同理可得，27ABQ S =△,12ABN S =△,而13ABG S =△，所以2137535APQ S =-=△，1213721AQG S =-=△．同理，335BPMS =△121BDM S =△,所以1239273570PQMN S =--=四边形，13953357042MNEDS =--=四边形,1151321426NFCE S =--=四边形,1115321642GFNQ S =--=四边形【巩固】如图，ABC ∆的面积为1，点D 、E 是BC 边的三等分点，点F 、G 是AC边的三等分点，那么四边形JKIH 的面积是多少？K J IHABC D EF GKJI HABCD EFG【解析】 连接CK 、CI 、CJ．根据燕尾定理，::1:2ACK ABK S S CD BD ∆∆==，::1:2ABK CBK S S AG CG ∆∆==， 所以::1:2:4ACK ABK CBK S S S ∆∆∆=，那么111247ACK S ∆==++，11321AGK ACK S S ∆∆==． 类似分析可得215AGI S ∆=． 又::2:1ABJ CBJ S S AF CF ∆∆==，::2:1ABJ ACJ S S BD CD ∆∆==，可得14ACJ S ∆=． 那么，111742184CGKJS =-=． 根据对称性，可知四边形CEHJ 的面积也为1784，那么四边形JKIH 周围的图形的面积之和为172161228415370CGKJ AGI ABE S S S ∆∆⨯++=⨯++=，所以四边形JKIH 的面积为61917070-=．【例 29】 右图，ABC △中，G 是AC 的中点，D 、E 、F 是BC 边上的四等分点，AD 与BG 交于M ，AF 与BG 交于N ，已知ABM △的面积比四边形FCGN 的面积大7.2平方厘米，则ABC △的面积是多少平方厘米？N M GA BCD EFNMGA BC D EF【解析】 连接CM 、CN ．根据燕尾定理，::1:1ABM CBMS S AG GC ==△△，::1:3ABM ACM S S BD CD ==△△，所以15ABM ABC S S =△△；再根据燕尾定理，::1:1ABN CBNS S AG GC ==△△，所以::4:3ABN FBN CBN FBN S S S S ==△△△△，所以:4:3AN NF =，那么1422437ANG AFC S S =⨯=+△△，所以2515177428FCGNAFC ABC ABC S S S S ⎛⎫=-=⨯= ⎪⎝⎭△△△．根据题意，有157.2528ABC ABC S S -=△△，可得336ABC S =△(平方厘米)【例 30】 如图，面积为l 的三角形ABC 中，D 、E 、F 、G 、H 、I 分别是AB 、BC 、CA 的三等分点,求阴影部分面积.C BAGCB【解析】 三角形在开会，那么就好好利用三角形中最好用的比例和燕尾定理吧！令BI 与CD 的交点为M ，AF 与CD 的交点为N ，BI 与AF 的交点为P ,BI 与CE 的交点为Q ,连接AM 、BN 、CP⑴求ADMI S 四边形：在ABC △中，根据燕尾定理，::1:2ABM CBM S S AI CI ==△△::1:2ACM CBM S S AD BD ==△△设1ABM S =△(份)，则2CBM S =△(份),1ACM S =△(份),4ABC S =△(份),所以14ABMACM ABC S S S ==△△△，所以11312ADM ABM ABC S S S ==△△△,112AIM ABC S S =△△,所以111()12126ABC ABC ADMI S S S =+=△△四边形,同理可得另外两个顶点的四边形面积也分别是ABC △面积的16⑵求DNPQE S 五边形：在ABC △中，根据燕尾定理::1:2ABN ACN S S BF CF ==△△::1:2ACN BCN S S AD BD ==△△,所以111133721ADN ABN ABC ABC S S S S ==⨯=△△△△,同理121BEQ ABC S S =△△在ABC△中，根据燕尾定理::1:2ABP ACP S S BF CF ==△△,::1:2ABP CBP S S AI CI ==△△所以15ABP ABCS S =△△，所以1111152121105ABP ADN BEPABC ABC DNPQE S S S S S S ⎛⎫=--=--= ⎪⎝⎭△△△△△五边形 同理另外两个五边形面积是ABC△面积的11105，所以11113133610570S =-⨯-⨯=阴影【例 31】 如图，面积为l 的三角形ABC 中，D 、E 、F 、G 、H 、I 分别是AB 、BC 、CA 的三等分点,求中心六边形面积.GCBAGCBA【解析】 设深黑色六个三角形的顶点分别为N 、R 、P 、S 、M 、Q ，连接CR在ABC △中根据燕尾定理，::.2:1ABR ACR S S BG CG ==△△, ::1:2ABR CBR S S AI CI ==△△所以27ABR ABC S S =△△,同理27ACS ABC S S =△△,27CQB ABC S S =△△所以222117777RQS S =---=△，同理17MNP S =△根据容斥原理，和上题结果11131777010S =+-=六边形课后练习： 练习1. 已知DEF △的面积为7平方厘米，,2,3BE CE AD BD CF AF ===，求ABC △的面积．FED CBA【解析】:():()(11):(23)1:6BDE ABC S S BD BE BA BC =⨯⨯=⨯⨯=△△，:():()(13):(24)3:8CEF ABC S S CE CF CB CA =⨯⨯=⨯⨯=△△:():()(21):(34)1:6ADF ABC S S AD AF AB AC =⨯⨯=⨯⨯=△△设24ABC S =△份，则4BDE S =△份，4ADF S =△份，9CEF S =△份，244497DEF S =---=△份，恰好是7平方厘米，所以24ABC S =△平方厘米练习2. 如图，四边形EFGH 的面积是66平方米，EA AB =，CB BF =，DC CG =，HD DA =，求四边形ABCD 的面积．H GFED CB A A B CDEFGH【解析】 连接BD ．由共角定理得:():()1:2BCD CGF S S CD CB CG CF =⨯⨯=△△，即2CGF CDB S S =△△同理:1:2ABD AHE S S =△△，即2AHE ABD S S =△△ 所以2()2AHE CGF CBD ADB ABCD S S S S S +=+=△△△△四边形连接AC ，同理可以得到2DHG BEF ABCD S S S +=△△四边形5AHE CGF HDG BEF EFGH ABCD ABCD S S S S S S S =++++=△△△△四边形四边形四边形 所以66513.2ABCD S =÷=四边形平方米练习3. 正方形ABCD 的面积是120平方厘米，E 是AB 的中点，F 是BC 的中点，四边形BGHF 的面积是 平方厘米．H GFEDCBAM H GFEDCBA【解析】 欲求四边形BGHF 的面积须求出EBG ∆和CHF ∆的面积．由题意可得到：::1:2EG GC EB CD ==，所以可得：13EBG BCE S S ∆∆=将AB 、DF 延长交于M 点，可得：:::1:1BM DC MF FD BF FC ===，而1::():3:22EH HC EM CD AB AB CD ==+=，得25CH CE =，而12CF BC =，所以121255CHF BCE BCE S S S ∆∆∆=⨯=11112030224BCE S AB BC ∆=⨯⨯=⨯=117730141515EBC EBC EBC EBC BGHF S S S S S ∆∆∆∆=--==⨯=四边形．EF ，确定H 的位置(也就是:FH HD )练习4. 如图，已知4cm AB AE ==，BC DC =，90BAE BCD ∠=∠=︒，10cm AC =，则S ABC ACE CDE S S ∆∆∆++= 2cm ．DCEBABCA'C'EDA【解析】 将三角形ABC 绕A 点和C 点分别顺时针和逆时针旋转90o，构成三角形'AEC 和'A DC ，再连接''A C ，显然'AC AC ⊥，'AC A C ⊥，''AC A C AC ==，所以''ACA C 是正方形．三角形'AEC 和三角形'A DC 关于正方形的中心O 中心对称，在中心对称图形''ACA C 中有如下等量关系： ''AEC A DC S S ∆∆=；''AEC A DC S S ∆∆=；'CED C DE S S ∆∆=．所以2'''11101050cm 22ABC ACE CDE AEC ACE CDE ACA C S S S S S S S ∆∆∆∆∆∆++=++==⨯⨯=W ．练习5. 如图，正方形ABCD 的面积是120平方厘米，E 是AB 的中点，F 是BC 的中点，四边形BGHF 的面积是_____平方厘米．EDED【解析】 连接BH ,根据沙漏模型得:1:2BG GD =,设1BHC S =△份，根据燕尾定理2CHD S =△份，2BHD S =△份，因此122)210S =++⨯=正方形（份，127236BFHG S =+=，所以712010146BFHG S =÷⨯=(平方厘米).练习6. 如图，ABC ∆中，点D 是边AC 的中点，点E 、F 是边BC 的三等分点，若ABC ∆的面积为1，那么四边形CDMF 的面积是_________．。

(完整版)小学奥数平面几何五种面积模型

(完整版)小学奥数平面几何五种面积模型

小学奥数平面几何五种模型（等积，鸟头，蝶形，相似，共边）目标：熟练掌握五大面积模型等积，鸟头，蝶形，相似（含金字塔模型和沙 漏模型），共边（含燕尾模型和风筝模型），掌握五大面积模型的各种变形 知识点拨 一、等积模型① 等底等高的两个三角形面积相等；② 两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比; 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比； 如右图S 1：S a:b③ 夹在一组平行线之间的等积变形，如右图E A CD足BCD ；反之，如果S ACD S A BCD ，则可知直线AB 平行于CD .④ 等底等高的两个平行四边形面积相等 （长方形和正方形可以看作特殊的平 行四边形）；⑤ 三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；⑥ 两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相 等，面积比等于它们的咼之比. 二、鸟头定理两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形. 共角三角形的面积比等于对应角（相等角或互补角）两夹边的乘积之比.如图在A ABC 中，D,E 分别是AB,AC 上的点如图 ⑴（或D 在BA 的延长线上，E 在 AC 上）,贝S S AABC: S A ADE （AB AC ）： （AD AE ）图⑵任意四边形中的比例关系（“蝶形定理”）： ① S ：S 2S 4 ：S 3 或者 S iS 3 S 2S 4 ② AO:OC S i&: S 4S 3蝶形定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径.通过构造Si S2aA BC DCD模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边 形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积 对应的对角线的比例关系.梯形中比例关系（“梯形蝶形定理”）： ① S ：S a 2：b 2② S 1 : S 3 : S 2: S 4 a 2: b 2: ab: ab ; ③ S 的对应份数为a b 2 . 四、相似模型（一）金字塔模型①ADAE DE AB AC BC^②ADE:& ABC所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形 （只要其形状不改变, 不论大小怎样改变它们都相似），与相似三角形相关的常用的性质及定理如 下： ⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似 比； ⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方； ⑶连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.三角形中位线定理：三角形的中位线长等于它所对应的底边长的一半. 相似三角形模型，给我们提供了三角形之间的边与面积关系相互转化的工 具/、・ 在小学奥数里，出现最多的情况是因为两条平行线而出现的相似三角形. 五、共边定理（燕尾模型和风筝模型）在三角形ABC 中，AD , BE , CF 相交于同一点O ，那么上述定理给出了一个新的转化面积比与线段比的手段，因 为ABO 和ACO 的形状很象燕子的尾巴，所以这个定理被称 为燕尾定理.该定理在许多几何题目中都有着广泛的运用， 它的特殊性在于，它可以存在于任何一个三角形之中，为ABO:S ACOBD:DC .二）沙漏模型AF AG ；AF 2:AG 2.三角形中的三角形面积对应底边之间提供互相联系的途径 .典型例题【例1】如图，正方形ABC 啲边长为6，AE 1.5，CF 2.长方形EFGH 勺面 积为 _______【解析】连接DE DF,则长方形EFG 啲面积是三角形DEF 面积的二倍. 三角形DEF 的面积等于正方形的面积减去三个三角形的面积，S ^ DEF 6 6 1.5 6 2 2 6 2 4.5 42 16.5 ,所以长方形 EFGH面积为33.【巩固】如图所示，正方形ABCD 的边长为8厘米，长方形EBGF 的长BG 为10厘米，那么长方形的宽为几厘米？【解析】本题主要是让学生会运用等底等高的两个平行四边形面积相等 （长方 形和正方形可以看作特殊的平行四边形）.三角形面积等于与它等底 等高的平行四边形面积的一半.证明：连接AG .（我们通过△ ABG 把这两个长方形和正方形联系在一起）.F , 、,1、. ••在正方形 ABCD 中 , S A ABG21二S A ABG 2 S WABCD （三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半）8 8 10 6.4（厘米）.同理, S A ABG2SEFGB •二正方形ABCD 与长方形EFGB 面积相等.长方形的宽D GC【例2】长方形ABCD 的面积为36cm 2, E 、F 、G 为各边中点, 意一点，问阴影部分面积是多少？【解析】解法一：寻找可利用的条件，连接 BH 、HC ，如下图:解法二：特殊点法.找H 的特殊点，把H 点与D 点重合,那么图形就可变成右图:【巩固】在边长为6厘米的正方形ABCD 内任取一点P ,将正方形的一组对边 二等分，另一组对边三等分，分别与 P 点连接，求阴影部分面积.可得：SEHB1S 2 AHB、S 1FHB — 2SCHB、 S DHG1SS DHC,S A BCD S AHBS CHB S CHD36即 S EHB SBHFSD HGAHBSCHBSCHD )1 23618；而S EHB S BHF S DHGS 阴影SEBF而S EBF12 BE BF - (- AB) (- BC) - 36 4.5 2 2 2 8S S S S 1 11 1 11 1S ABCDSAEDSBEFSCFD36— 3636362 2 2 2 2 2 2S 阴影H 为AD 边上任所以阴影部分的面积是: S 阴影 18S EBF18 4.5 13.5 这样阴影部分的面积就是DEF 的面积，根据鸟头定理，则有:【解析】（法1）特殊点法.由于P是正方形内部任意一点，可采用特殊点法，假设P点与A点重合，贝S阴影部分变为如上中图所示，图中的两个阴影三角形的面积分别占正方形面积的〕和1，所以阴影部分的面积为4 662（1 1） 15平方厘米.4 6（法2）连接PA、PC .由于PAD与PBC的面积之和等于正方形ABCD面积的一半，所以上、下两个阴影三角形的面积之和等于正方形ABCD面积的1,同理可知4 左、右两个阴影三角形的面积之和等于正方形ABCD面积的丄，所以阴6 影部分的面积为62（1 1） 15平方厘米.4 6【例3】如图所示，长方形ABCD内的阴影部分的面积之和为70, AB 8 , AD 15，四边形EFGO的面积为 _________ .【解析】利用图形中的包含关系可以先求出三角形AOE、DOG和四边形EFGO的面积之和，以及三角形AOE和DOG的面积之和，进而求出四边形EFGO 的面积.由于长方形ABCD的面积为15 8 120 ,所以三角形BOC的面积为120 1 30，所以三角形AOE和DOG的面积之和为120 - 70 20 ；4 4又三角形AOE、DOG和四边形EFGO的面积之和为120 - - 30，所以2 4四边形EFGO的面积为30 20 10 .另解：从整体上来看，四边形EFGO的面积三角形AFC面积三角形BFD 面积白色部分的面积，而三角形AFC面积三角形BFD面积为长方形面积的一半，即60,白色部分的面积等于长方形面积减去阴影部【解析】因为D 、E 、F 分别为三边的中点，所以DE 、DF 、EF 是三角形ABC 的 中位线，也就与对应的边平行，根据面积比例模型，三角形 ABN 和三角形AMC 的面积都等于三角形ABC 的一半，即为200.根据图形的容斥关系，有S ABC 鬲 即 400 S 丙 200 200 S AMHN ，所以 S WS ABN S AMCS AMHN.S AMHN,又S 阴影S ADFS 甲S 乙 S AMHN ，所以S阴影SFS^S丙SADF143 1 400 434分的面积，即120 70 50，所以四边形的面积为60 50 10 .【例4】 已知ABC 为等边三角形，面积为400, D 、E 、F 分别为三边的中点， 已知甲、乙、丙面积和为143,求阴影五边形的面积.（丙是三角形HBC ）【巩固】如图，长方形ABCD 的面积是 阴影部分的面积为 36, E 是AD 的三等分点，AE 2ED ，则【解析】如图，连接OE . 根据蝶形定理，ON : NDS OEN — S2S COE: SCDE12 SCAE ：S CDE1:1,所以OM : MA S BOE : S BAE1——S 巨形 ABCD3 411 362.7 .又 S OEDS BDE : S BAE 23 ， s OEAs 1S OEM 52S OED 6，所以阴影部分面积为:1:4，所以OEA •【例5】如图，已知CD 5 , DE 7 , EF 15 , FG 6，线段AB 将图形分成两部 分，左边部分面积是38,右边部分面积是65,那么三角形ADG 的面 积是 . 连接AF , BD .根据题意可知，CF 5 7 15于是：28 S A DG2I S CBF 65； 28S ADG^IS CBF38可得s ADG 40 .故三角形ADG 的面积是40.【例6】如图在 △ ABC 中,D,E 分别是AB,AC 上的点，且AD: AB 2:5 , AE:AC 4:7 , S A ADE 16平方厘米，求△ ABC 的面积.【解析】连接 BE , s ADE ： S A ABE AD ：AB 2:5(2 4):(5 4),S^ ABE : S A ABC AE : AC 4 :7(45)： (7 5), 所以 ADE : S A ABC(2 4): (75), 设S A ADE 8份，则S A ABC 35份，S ^ADE 16平方厘米，所以1份是2平方厘米，35份就是70平方厘米，△ ABC 的面积是70平方厘米.由此我们得到一 个重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角 (相等角 或互补角)两夹边的乘积之比.【巩固】如图，三角形ABC 中，AB 是AD 的5倍，AC 是AE 的3倍，如果三角 形ADE 的面积等于1，那么三角形ABC 的面积是多少？【解析】所以，S BEF1527SCBF S BEC27 SCBF , S AEGS ADG , SAED28箱SADGGG27 ； DG 7 15 6 28 ；连接AD . •/ BE 3 , AE 6 …AB 3BE , S V ABD 3S VBDE 又 v BD DC 4 ,…S V ABC 2S VABD ，…S V ABC 6S VBDE ,【例7】如图在△ ABC 中，D 在BA 的延长线上，E 在AC 上，且AB: AD 5:2 , AE:EC 3:2 , ADE 12平方厘米，求 △ ABC 的面积.【解析】连接 BE , ADE ： ABE AD ： AB 2:5(2 3):(5 3)S ABE : S ^ ABC AE:AC 3: (32) (3 5): (3 2) 5 ,所以 S ^ADE : S ^ ABC (3 2) : 5 (3 2) 6:25，设 ADE 6 份，贝S $△ ABC 25 份， S SDE 12平方厘米，所以1份是2平方厘米，25份就是50平方厘米，△ ABC 的面积是50平方厘米.由此我们得到一个重要的定理，共角定理：共 角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比…SvABC3SvABE又v AB 5AD…S vADESVABE5 SVABC15【巩固】如图,三角形 ABC 被分成了甲(阴影部分)、乙两部分, BE 3， AE 6，乙部分面积是甲部分面积的几倍?BD DC 4 ,【解析】【例8】如图，平行四边形ABCD , BE AB , CF 2CB , GD 3DC , HA 4AD ，平 行四边形ABCD 的面积是2 ,求平行四边形ABCD 与四边形EFGH 的面 积比.【例9】如图所示的四边形的面积等于多少?【解析】题目中要求的四边形既不是正方形也不是长方形， 难以运用公式直接 求面积.我们可以利用旋转的方法对图形实施变换：把三角形OAB 绕顶点O 逆时针旋转，使长为13的两条边重合，此时三 角形OAB 将旋转到三角形OCD 的位置.这样，通过旋转后所得到的新 图形是一个边长为12的正方形，且这个正方形的面积就是原来四边形 的面积. 因此，原来四边形的面积为12 12 144.（也可以用勾股定理） 【例10】如图所示， ABC 中， ABC 90 , AB 3 , BC 5，以AC 为一边向 ABC 外作正方形ACDE ，中心为O ，求OBC 的面积.又S ^ABC 1，所以 S ^ FBE3 .同理口」彳得 S ^ GCF 8 , S ^ DHG 15 ,S ^ AEH8•以 S EFGH S ^ AEH S ^CFG 所以 SABCD2 1. SEFGH3618S ^ DHG S ^ BEF SABCD8 8 15+3+2【解析】连接AC 、BD .根据共角定理•.•在△ ABC 禾口 △ BFE 中， ABC 与 FBE 互补, • ABC AB BC 11 1S ^FBEBE BF 门 3 .36.HEE【解析】如图，将OAB 沿着O 点顺时针旋转90，到达OCF 的位置.由于 ABC 90 , AOC 90，所以 OAB OCB 180 .而 OCF OAB , 所以 OCF OCB 180，那么B 、C 、F 三点在一条直线上.由于OB OF , BOF AOC 90，所以BOF 是等腰直角三角形，且斜边BF 为5 3 8，所以它的面积为82 - 16 .4根据面积比例模型，OBC 的面积为16 510 .8【例11】如图，以正方形的边 AB 为斜边在正方形内作直角三角形 AEB 90 , AC 、BD 交于 O . 三角形OBE 的面积.【解析】如图，连接DE ,以A 点为中心，将ADE 顺时针旋转90到ABF 的位置. 那么 EAF EAB BAF EAB DAE 90，而 AEB 也是90，所以四边 形AFBE 是直角梯形，且 AF AE 3 ,所以梯形AFBE 的面积为：1 / 2\ 3 5 312( cm ).2又因为ABE是直角三角形，根据勾股定理，AB 2 AE 2 BE 2 3 2 52 34 ,所以S ABD那么S BDE 1 2-AB 217( cm 2). 2 /S ABDS ABE S ADES ABD S AF BE17 12 5( Cm ),所以S OBE1 2 s BDE2・5 ( cm 2).ABE , 5cm ,求已知AE 、BE 的长分别为3cm 、 ES AADE ADC1 2S2 3 S ABC1BF S A ABD3，所以FE S3【例12】如下图，六边形ABCDEF中，AB ED , AF CD , BC EF，且有AB平行于ED , AF平行于CD , BC平行于EF ,对角线FD垂直于BD ,已知FD 24 厘米，BD18厘米，请问六边形ABCDEF的面积是多少平方厘米？【解析】如图，我们将BCD平移使得CD与AF重合，将DEF平移使得ED与AB重合，这样EF、BC都重合到图中的AG 了 .这样就组成了一个长方形BGFD，它的面积与原六边形的面积相等，显然长方形BGFD的面积为24 18 432平方厘米，所以六边形ABCDEF的面积为432平方厘米.【例13】如图，三角形ABC的面积是1 ,BD:DC 1:2 , AD 与BE 交于点 F .E是AC的中点，点D在BC上，且则四边形DFEC的面积等于____________ ,1方法二：连接DE，由题目条件可得到S A ABD ABC【解析】方法一：连接CF,根据燕尾定理,设BDF如图所标所以S DCEF1 份，则S ADCF5 5ABC12 122份,S A ABF BD 1S A ABF AESA ACFDC 2，S△CBFECS A ABF3份，SA AEFS A EFC13份,3131 s 1 1 s 11 1s 1—S ^ DEB二 二S^ BEC二 二 二ABC 二,22 32 3 2 12而S A CDES A ABC .所以则四边形DFEC 的面积等于—.3 2312【巩固】如图，长方形ABCD 的面积是2平方厘米，EC 2DE ,F 是DG 的中点.阴 影部分的面积是多少平方厘米？平方厘米.【例14】四边形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点0（如图所示）.如果三角形ABD的面积等于三角形BCD 的面积的1 ,且AO 2 , DO 3 ,那么CO 的长度3是DO 的长度的 _________ 倍.【解析】在本题中，四边形ABCD 为任意四边形，对于这种”不良四边形”，无 外乎两种处理方法：⑴利用已知条件，向已有模型靠拢，从而快速解 决；⑵通过画辅助线来改造不良四边形 .看到题目中给出条件S/ABD : S/BCD 1:3，这可以向模型一蝶形定理靠拢，于是得出一种解法.又观察题目中给出的已知条件是面积的关系，转化为边的关系，可以得 到第二种解法，但是第二种解法需要一个中介来改造这个”不良四边形”，于是可以作AH 垂直BD 于H , CG 垂直BD 于G ,面积比转化为高 之比.再应用结论：三角形高相同，则面积之比等于底边之比，得出结果.请老师注意比较两种解法，使学生体会到蝶形定理的优势，从 而主观上愿意掌握并使用蝶形定理解决问题.解法一：T AO ：OC s ABD : s BDC 1： 3，二 OC 2 3 6，二 OC:OD 6:3 2:1 .解法二：作 AH BD 于H , CG BD 于G .S A DEF【解析】设S A DEF 1份，则根据燕尾定理其他面积如图所示 S阴影职BCD12512•/ sABD3S BCD ，…AH 1 CG ，…sAOD1—s DOC3D E C13y【巩固】如图，四边形被两条对角线分成 4个三角形，其中三个三角形的面 积已知，求：⑴三角形BGC 的面积；⑵AG:GC ？【例15】如图，平行四边形 ABCD 的对角线交于0点，A CEF 、△OEF 、△ODF 、 △ BOE 的面积依次是 2、4、4和6.求：⑴求厶OCF 的面积；⑵求△ GCE 的面积.【解析】⑴根据题意可知，A BCD 的面积为2 4 4 6 16，那么△ BCO 和CDO 的 面积都是16 2 8，所以A OCF 的面积为8 4 4 ；⑵由于A BCO 的面积为8, △ BOE 的面积为6,所以△ OCE 的面积为 8 6 2 ,根据 蝶 形定理EG :FG S COE : S COF 2:4 1: 2 , 所 以SGCE : SGCFEG:FG"2 ,那么S G CE1SSCEF1 2 21 23 3 •为2平方厘米，求长方形ABCD 的面积.【例16】如图，长方形ABCD 中, BE:EC 2:3 , DF : FC 1:2，三角形DFG 的面积【解析】⑴根据蝶形定理, ⑵根据蝶形定理,因为M 是AD 边上的中点，所以AM : BC 1:2 ,根据梯形蝶形定理可以知 道S A AMG : S A ABG : S A MCG : S A BCG 1 ： (1 2) : (1 2) : 21: 2:2:4 , 设S △ AGM 1份，则S A MCD 1 2 3 份，所以正方形的面积为1 2 2 4 3 12份， s 阴影 2 2 4份，所以 s 阴影：S 正【解析】SVDEF【例17】（3 1 1）S丄乩（5 3 2）S长方形ABCD和8长方形ABCD因为 S VA ED 2 S 长方形 ABCD , AG : GF厘米，所以S/AFD1 2 12平方厘米.ABCD 的面积是72平方厘米.DF:FC 1:2110 因为5:1，所以S V AGD1 、SVAFD S长方形 ABCD, 所以长方形6如图，正方形ABCD 面积为3平方厘米, 阴影部分的面积.5S VGDF10 平方M 是AD 边上的中点.求图中【解析】D F连接AE , FE . 因 为 BE:EC 2:3D F1: 3, 所以S阴影1平方厘米.方形【巩固】在下图的正方形ABCD中，E是BC边的中点，AE与BD相交于F点，三角形BEF的面积为1平方厘米，那么正方形ABCD面积是平方厘米.【解析】连接DE ,根据题意可知BE: AD 1:2 ,根据蝶形定理得2S弟形（1 2）9（平方厘米），ECD 3（平方厘米），那么S WABCD 12（平方厘米）•BC:CE 3:2 ,三角形ODE的面积为6平方厘平方厘米.【解析】连接AC .由于ABCD是平仃四边形，BC:CE 3:2，所以CE::AD2:3 ,根据梯形蝶形定理，S VCOE:S AOC : S VDOE2:S VAOD 2: 23: 23: 324: 6:6:9,所以S VAO C6（平方厘米），SVAOD 9 （平方厘米），又【例18】已知ABCD是平行四边形,米.则阴影部分的面积是A DA DSVA BCS VA CD 6 9 15（平方厘米），阴影部分面积只为6 1521（平方厘米）.【巩固】右图中ABCD是梯形，ABED是平行四边形，已知三角形面积如图所示（单位：平方厘米），阴影部分的面积是______________ 平方厘米.【分析】连接AE .由于AD 与BC 是平行的，所以AECD 也是梯形，那么 SOCD SOAE .2 根据蝶形疋理，S OCD S OAE S OCE S OAD 4 9 36，故 S OCD 36, 所以S 6（平方厘米）.【巩固】右图中ABCD 是梯形，ABED 是平行四边形，已知三角形面积如图所 示（单位：平方厘米），阴影部分的面积是 _________ 平方厘米.【解析】连接AE .由于AD 与BC 是平行的，所以AECD 也是梯形，那么根据蝶形定理，S OCD SOAE SOCE SOAD 2816，故 SOCD 16, 所以S OCD 4（平方厘米）.另解：在平行四边形ABED 中，S ADE - S Y ABED - 16 812 （平方厘米），2 2所以 SAOE SADE SAOD 128根据蝶形定理，阴影部分的面积为8 2 4 4（平方厘米）.【例19】如图，长方形ABCD 被CE 、DF 分成四块，已知其中 3块的面积分别 为2、5、8平方厘米，那么余下的四边形OFBC 的面积为 ______________ 平方厘米.【解析】连接DE 、CF .四边形EDCF 为梯形，所以S EOD S V FOC,又根据蝶形定理，S EOD 4（平方厘米），S ECD 4 8 12（平方厘米）.那么长方形ABCD 的面 积为12 2 24平方厘米，四边形OFBC 的面积为24 5 2 8 9（平方厘OCDS OAE .S EOD S FOC S EOF S COD , 所以 S EOD SFOC S EOF S COD 28 16，所以米).【例20】如图，ABC 是等腰直角三角形，DEFG 是正方形，线段AB 与CD 相交 于K点.已知正方形DEFG 的面积48, AK:KB 1:3，贝卩BKD 的面积是 多少？【解析】由于DEFG 是正方形，所以DA 与BC 平行，那么四边形ADBC 是梯形.在 梯形ADBC 中，BDK 和ACK 的面积是相等的.而AK :KB 1:3，所以ACK 的面积是ABC 面积的丄 丄，那么BDK 的面积也是 ABC 面积的-.1 3 44由于ABC 是等腰直角三角形，如果过A 作BC 的垂线，M 为垂足，那么 M 是BC 的中点，而且AM DE ，可见 ABM 和ACM 的面积都等于正方 形DEFG 面积的一半，所以 ABC 的面积与正方形DEFG 的面积相等，为 48. 那么BDK 的面积为48 - 12 .4【例21】下图中，四边形ABCD 都是边长为1的正方形，E 、F 、G 、H 分别是 AB , BC , CD , DA 的中点，如果左图中阴影部分与右图中阴影部分 的面积之比是最简分数 印，那么，(m n)的值等于 ___________n【解析】左、右两个图中的阴影部分都是不规则图形，不方便直接求面积，观 察发现两个图中的空白部分面积都比较好求， 所以可以先求出空白部 分的面积，再求阴影部分的面积.如下图所示，在左图中连接EG .设AG 与DE 的交点为M . 左图中AEGD 为长方形，可知 AMD 的面积为长方形AEGD 面积的-，所4以三角形AMD 的面积为12 1 11.又左图中四个空白三角形的面积是2 48相等的，所以左图中阴影部分的面积为1 1 4丄.8 2B F C如上图所示，在右图中连接AC 、EF .设AF 、EC 的交点为N . 可知EF // AC 且AC 2EF .那么三角形BEF 的面积为三角形ABC 面积的1,所以三角形BEF 的面积为12 1 --，梯形AEFC 的面积为---. 4 2 4 82 8 8在梯形AEFC 中，由于EF:AC 1:2，根据梯形蝶形定理，其四部分的面 积比为：12：1 2:1 2: 22 1:2: 2: 4 ,所以三角形EFN 的面积为24，那么四边形BENF的面积为1 24 i .而右图中四个空白四边形的面积是相等的，所以右图中阴影部分的面积为 1 14〕.6 3 那么左图中阴影部分面积与右图中阴影部分面积之比为3:2 ,2 3m 3 n 2，那E 么 m n 3 2 5 .【例22】 如图， A ABC 中，DE , FG , BC 互相平行，AD DF FB , 贝y 足 ADE : S四边形DEGF:S 四边形FGCB ________________________________________ .【巩固】 如图， DE 平行BC ，且 AD 2 , AB 5 , AE 4，求 AC 的长.3 18 12 2 4【解析】设S AADE 1份，根据面积比等于相似比的平方,所以 S A ADE : S A AFG AD : AF 1:4 , 因此S △ AFG 4份， S A ABC 9份，S A ADE : SA ABCAD 2: AB 21:9 ,进而有Sg 边形DEGF3份, S 四边形FGCB 5份，所以S A ADE:乐边形DEGF :足边形FGCB1:3: 51111422A【解析】 由金字塔模型得 AD:AB AE: ACDE: BC 2:5 ,所以 AC 4 2 5 10【巩固】如图， A ABC 中，DE ， FG ，相平行，MN ，PQ ，BC 互AD DFFM MP PB , 则S A ADE : S 四 边形DEGF : S 四边形FGNM :s 四边形MNQP: S 四边形PQCB设 SA ADE1份，S A ADE : S A AFG AD 2 :AF 2 1: 4，因此 S A AFG4份，进而有 §四边形DEGF 3份，同理有S四边形FGNM5份，§四边形MNQP 7份 ,&边形PQCB 9份.【解析】 所以有S A ADE: S四边形DEGF : S 四边形FGNM : S 四边形MNQP : S 四边形PQCB1: 3: 5:7: 9【例23】 如图，已知正方形ABCD 的边长为4 , F 是BC 边的中点，E 是DC 边上 的点，且 DE:EC 1:3 ,BAF 与BE 相交于点G ，求S A ABG【解析】 【例24】FCM方法一：连接AE ，延长AF , 所以有AB:CM 沙 S ABGS A ABE方法AEFBF:FC 1:1，因此 CM 4 漏 -(411连2S A ABF : S AEFBG:GE4 2)AE, EF2 4DC 两条线交于点M ,构造出两个沙漏，再根据另 所 GB:GE 32 11 .4:7 ,所以SA ABG，根据题意有CE 3，AB: EM 4:7SA ABESA ABF蝶4 已知平行四边形ABCD 的面积是1 , 如图所示，点， BF 交EC 于M ，求 BMG 的面积.(4 42 4疋2) 32 F 是AB 、AD 的中【解析】 AD 的中点, 得 EF//BD【例25】 【解析】 FD:BC FH : HC 1:2 ,EB:CD BG:GD 1:2 所以 CH : CF GH : EF 并得G 、H 是BD 的三等分点， BG: EF BM : MF 2:3，所以 BM又因为BG 1BD ，所以S BMG3解法二：延长CE 交DA 于I 1:1，可得， BM : MF可得S AI:BC AE: EB BC: IF 2:3 , 2 1BMG —_S BDF5 3BM所以 2BF51 2 3 5BG2:3， GH ，所以1S22 5BFDABDBFD1 1S2 2S YA BCD130 °如右图， 从而可以确定 2 -BF ，5—S/ABCD41 BG - BD3丄 30M 的点的位置,（鸟头定理），如图，ABCD 为正方形，AM 形PQRS 的面积为多少?（法1）由AB //CD，有 MNPC DC，MQ QC 1MC，所以 PQ 级CNB DEFC 1cm 且 MN 2 cm ，请问四边所以PC 2PM，又器MB EC， 所以3MC i MC ，所以 S SPQR 占 S AMCF的i ，以 S SPQR1(112) (cm ).63(法 2)如图，连结 AE ，则 S ABE - 4 4 8 ( cm 2),2RB ERRB AB小 2小 216 2\而，所以2 , S ABR S ABE8( cm ).AB EFEF EF 33 3112MN MP而 S MBQ S ANS 3 43 ( cm )，因为 --- 22 DC PC 所以MP -MC ，则S MNP -24- -( cm 2)，阴影部分面积等于3233【例26】如右图，三角形 ABC 中，BD:DC 4:9 , CE: EA 4:3，求 AF : FB .【解析】根据燕尾定理得S A AOB ：S A AOC BD :CD 4:912:27（都有△ AOB 的面积要统一，所以找最小公倍数） 所以 S A AOC : S A BOC 27:16AF : FB【点评】本题关键是把△ AOB 的面积统一，这种找最小公倍数的方法，在我 们用比例解题中屡见不鲜，如果能掌握它的转化本质，我们就能达 到解奥数题四两拨千斤的巨大力量！ 【巩固】 如右图，三角形 ABC 中，BD:DC 3: 4 , AE:CE 5:6，求AF :FB .【解析】根据燕尾定理得S A AOB S AOC BD :CD 3： 4 15:20S A AOB : S A BOC AE : CE 5： 615:18(都有△ AOB 的面积要统一，所以找最小公倍数) ^所以 S A AOC : S A BOC 20 ：1810:9AF : FBSABR S ANS SMBQ SMNP163 3 34 -(cm 2). 33S^ AOB : SA BOCAE : CE 3: 4 12:16【巩固】如右图，三角形ABC中，BD:DC 2:3 , EA:CE 5: 4，求AF : FB .【解析】根据燕尾定理得 S ^AOB S AOC BD :CD 2:3 10:15S ^AOB : S ^ BOC AE : CE 5: 410:8（都有△ AOB 的面积要统一，所以找最小公倍数）所以 S ^ AOC : S ^BOC 15:8 AF : FB【点评】本题关键是把△ AOB 的面积统一，这种找最小公倍数的方法，在我 们用比例解题中屡见不鲜，如果能掌握它的转化本质，我们就能达 到解奥数题四两拨千斤的巨大力量！【例27】如右图，三角形 ABC 中，AF: FB BD: DC CE: AE 3:2，且三角形 ABC 的 面积是1，则三角形 ABE 的面积为 ____________ ，三角形AGE 的面积为 ________ ，三角形GHI 的面积为 ______ .AA的面积是1，求三角形ABC 的面积.【分析】连接AH 、BI 、CG . 由于CE: AE 3:2，所以AE 根据燕尾定理，S ACG : S ABG : S BCGSACG : S ABG 4:6:9，贝y 2 j4 _8 5 1995 ' 2AC ,5CD : BD■4 19S ACG同样分析可得S ACHEG : EB S ACG : S ACB 4:19 ,AG:GI : ID 10:5: 4 ,所以 S BIE ?S BAE @ 2 -1010 55【巩固】如右图，三角形ABC 中，故 S ABE2:32S S ABC 5SBCG : S ABG BCG19_9 19EG:GH:HBA S A S BIE 1919 AF : FB BD: DC S GHICE:EA 3:2，所以SACG : S ACH 4: 9,4:5:10 ,同样分析可得EG : EH1丄5 19 •CE: AE 3: 2，且三角形 GHIAH同理可知A CG和ABH 的面积也都等于ABC 面积的f ，所以阴影三角积的7倍.【解析】连接BG根据燕S A ABG : S A AGC BD : DC 3: 29:6得 S A BGC4（份）,ABG9（份）， S AGC : S A BGCAF : FB 3: 2 6:4则 S A ABC 19（份）， 因此呂GCSA ABC2所以- S A GHI19 6 619SA ABC同理连接AI 、CH 得4 2, ASA ABC19 SA ABC三角形GHI 的面积是1,所以三角形ABC 勺面积是 191919【巩固】 如图， ABC 中BD 2DA , CE 2EB , AF 2FC ，那么 影三角形面积的 ___________ 倍.ABC 的面积是阴【分析】如图，连接AI .根据燕尾定理，S BCI :S ACI BD : AD 2:1 , S BCI : S ABI CF : AF 1: 2 ,所以， S ACI : S BCI : S ABI1:2:4，那么，S BCI-S ABC -S1 2 47ABC •形的面积等于 ABC 面积的1 +，所以ABC 的面积是阴影三角形面 【巩固】如图在△ ABC 中,罟EAFB FAr 求x ABC 的面积的值.ED【解析】连接BG 设S A BGC 1份，根据燕尾定理S A AGC : S A BGC AF : FB 2：1 , S A ABG : S A AGC BD : DCS A ABG 4（份），则S AABC7（份），因此 仏 ？，同理连接AI 、CH 得S A ABC7S A ABH 2 S A BIC【点评】如果任意一个三角形各边被分成的比是相同的，那么在同样的位置 上的图形，虽然形状千变万化，但面积是相等的，这在这讲里面很 多题目都是用“同理得到”的，即再重复一次解题思路，因此我们 有对称法作辅助线•【例28】 如图，三角形 ABC 的面积是1 , BD DE EC , CF FG GA ，三角形ABC 被分成9部分，请写出这9部分的面积各是多少？【解析】设BG 与 AD 交于点P, BG 与 AE 交于点Q BF 与AD 交于点M BF 与AE 交于点N 连接CP CQ CM CN根据燕尾疋理， 5A ABP : S A CBP AG ： GC 1:2 , S A ABP : S A ACP BD : CD 1: 2 ,设1351 1 _511丄 15S 四边形MNED—S四边形NFCES四边形GFNQ3 35 70 423 21 42 63 21 6 425A ABC7 SA ABC2:1 ,得 S A AGC 2（份）,7，所以S A GHISA ABC S A ABP 1（份），则 S A ABC 122 5（份）,所以S A ABP S A AQG同理可得,1 ? 丄S A ABQ -, S A ABN 丄i而 S A ABG1所以S A APQ723同理, S A BPM2SS A BDM35 21,所以s四边形PQMN3570A A_2 1 3 7 5 35【巩固】如图，ABC 的面积为1,点D 、E 是BC 边的三等分点，点F 、G 是AC根据对称性，可知四边形CEHJ的面积也为84，那么四边形JK |H周围的图形的面积之和为S CGKJ 2 S AGI S ABE □ 2 2 1里，所以四边形JKIH8415 3 70的面积为1 61 2 .7070［例 29】右图，△ ABC 中，G 是AC 的中点，D 、E 、F 是BC 边上的四等分点，AD 与BG 交于M , AF 与BG 交于N ,已知△ ABM 的面积比四边形FCGN 的 面积大7.2平方厘米，则△ ABC 的面积是多少平方厘米？【解析】连接CM 、CN .1S ； SA ABC，根据燕尾定理,SA ABM : SA CBMAG : GC 1:1，SA ABM : SA ACMBD :CD1:3，所以再根据燕尾定理,S ABN : S A CBNAG :GC 1:1，所以2 ABN : S A FBNSA CBN : SA FBN4:3，所以 AN : NF4:3，那么邑遊SA AFC边的三等分点，那么四边形 JKIH 的面积是多少?【解析】连接CK 、CI 、CJ . 根据燕尾定理， S ACK : S ABK 所以 S ACK : S ABK : S CBK 类似分析可得S AGICD:BD 1 :2 ， S ABK : S CBK1：2：4，那么 S ACK11，12 4 72 AG :CG 1:2， -S 3S AGK1ACK21那么,15 SCBJAF :CF2 :1S CGKJ1 1 17 — ——4 21 84，S ABJ ： S ACJ BD:CD 2:1，可得S ACJABM又 S【例30】如图，面积为I 的三角形ABC 中, D E 、F 、G H I 分别是AB BC CA 的三等分点，求阴影部分面积.【解析】三角形在开会，那么就好好利用三角形中最好用的比例和燕尾定理 吧!令BI 与CD 的交点为M AF 与CD 的交点为N, BI 与AF 的交点为P, BI 与CE 的交点为Q 连接AM BN CP⑴求 S 四边形ADMI : 在A ABC 中，根据燕尾定理,同理可得另外两个顶点的四边形面积也分别是△ ABC 面积的£⑵求s 五边形DNPQE:在A ABC 中，根据燕尾定理同理另外两个五边形面积是△ ABC 面积所以&CGNS A AFC 75 1S A ABC7 4根据题意，有5S A ABC 28S A ABCS A ABC •287.2，可得 S A ABC336 （平方厘米）S A ABM : S A CBMAI : CI1:2 S A ACM : S A CB MAD : BD 1: 2设 S A ABM 则 S A CBM2 （份）,S A ACM1（份）,S A ABC4（份）,所以S A ABM S A ACM —S A ABC, 4所以S A ADM—S A ABM3SA ABC , SA AIM12—S 12△ ABC 5 所以窃边形ADMI^'）S A ABC1S AABC,SA ABN : SA ACN BF: CF 1: :2 S A ACN : S A BCNAD : BD 1:2,所以 S A ADN — S A ABN 1 1sS A ABC 1 S A ABC,同理S A 在3 A ABC 3 7 中21 1根据SA ABP : SA ACPBF:CF 1: 2 , S A ABP : S A CBPAI :CI 1:2所以S A ABP 1 S A ABC燕八S五边形DNPQESA ABP SA ADNSA BEP5 21丄S△ ABC21^S A AB Cs阴影11 33 13105705BEQ — S A ABC21【例31】如图，面积为I 的三角形ABC 中, D E 、F 、G H I 分别是AB BG CA 的三等分点，求中心六边形面积.【解析】设深黑色六个三角形的顶点分别为 N R 、P 、 在△ ABC 中根据燕尾定理，S AABR : S AACR BG : CG.S \ABR:S 4CBRAI : C I 1: 2所以 S\ ABR2S AABC 5 同理S2SSS2SA CQBS \ ABC777所以 S\ RQS2 1 -2 2 1 ,同理 S A MNP17 7 7 77根据容斥原和上题结果S 六边形11 1317 7 70 10课后练习：练习1.已知△ DEF 的面积为7平方厘米，BE CE,AD 2BD,CF 3AF ，求△ ABC 的 面积.【解析】S A BDE :S A ABC(BD BE): (BA BC)(1 1):(2 3) 1:6 , S A CEF:S A ABC (CE CF):(CB CA)(1 3):(2 4) 3:8S\ ADF :S A ABC (AD AF): (AB AC)(2 1):(3 4) 1:6设 S A ABC 24 份，则S A BDE 4份， S A ADF 4份，S A CEF9份，S A DEF24 4 4 9 7份，恰好是7平方厘米，所以$△ ABC 24平方厘米练习2.如图，四边形EFGH 的面积是66平方米，EA AB , CB BF , DC CG , HD DA ，求四边形ABCD 的面积.S 、M Q 连接CR2 :1 ,练习3.正方形ABCD 的面积是120平方厘米，E 是AB 的中点，F 是BC 的中点, 四边形BGHF 的面积是 平方厘米.而EH :HC E M :CD ( 1 — AB 2AB) :CD 3: 2 , 而CF 1 BC 所以 S CHF 1 2 S BCE 1 S BC 2112 55S BCE1 AB BC 120 302 241177 S四边形BGHF S EBC 上EB C -S EBC —S EBC351515BM : DC MF: FD BF : FC3014.1:1 ,得 CH -CE , 5 连接BD .由共角 定理得 S A BCD : S ACGF (CD CB) : (CGS \ CGF2S^ CDB同理A BD :S A AHE1: 2，即 S A AHE2SA ABD所以AHE SA CGF2(SA CBDSA ADB )2S^边形 ABCD连接AC , 同理可以得到 S\ DHGS A BEF2S 四边形 ABCDS四边形EFGHS A AHECGFS A HDG S A BEF S四边形 ABCD 5S 四边形 ABCD所以S 四边形ABCD 66 5 13.2平方米EBG 和 【解析】欲求四边形BGHF 的面积须求出 由题意可得到： EG:GC EB:CD 1:2 , 将AB 、DF 延长交于M 点，可得： CHF 的面积.所以可得：S EBG〕S BCE3本题也可以用蝶形定理来做, FH : HD ），同样也能解出. 连接 EF ，确定H 的位置（也就是 HG BFE【解析】CF) 1:2 ,即DC。

小学奥数平面几何五种面积模型(等积,鸟头,蝶形,相似,共边)

小学奥数平面几何五种面积模型(等积,鸟头,蝶形,相似,共边)

小学奥数平面几何五种模型（等积，鸟头，蝶形，相似，共边）目标：熟练掌握五大面积模型等积，鸟头，蝶形，相似（含金字塔模型和沙漏模型），共边（含燕尾模型和风筝模型）， 掌握五大面积模型的各种变形 知识点拨一、等积模型①等底等高的两个三角形面积相等；②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比； 如右图12::S S a b =③夹在一组平行线之间的等积变形，如右图ACD BCD S S =△△； 反之，如果ACD BCD S S =△△，则可知直线AB 平行于CD ．④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)；⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比．二、鸟头定理两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形． 共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比． 如图在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点如图 ⑴(或D 在BA 的延长线上，E 在AC 上)，则:():()ABC ADES S AB AC AD AE =⨯⨯△△ba S 2S 1DC BAEDCBAEDCBA图⑴ 图⑵三、蝶形定理任意四边形中的比例关系(“蝶形定理”)：①1243::S S S S =或者1324S S S S ⨯=⨯②()()1243::AO OC S S S S =++ 蝶形定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系． 梯形中比例关系(“梯形蝶形定理”)： ①2213::S S a b =②221324::::::S S S S a b ab ab =； ③S 的对应份数为()2a b +．四、相似模型(一)金字塔模型 (二) 沙漏模型GF E ABCDAB CDEF GS 4S 3S 2S 1O DCBA A BCDO ba S 3S 2S 1S 4①AD AE DE AF ABACBCAG===；②22:ADE ABC S S AF AG =△△：．所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形(只要其形状不改变，不论大小怎样改变它们都相似)，与相似三角形相关的常用的性质及定理如下：⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比；⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方； ⑶连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．三角形中位线定理：三角形的中位线长等于它所对应的底边长的一半． 相似三角形模型，给我们提供了三角形之间的边与面积关系相互转化的工具．在小学奥数里，出现最多的情况是因为两条平行线而出现的相似三角形． 五、共边定理（燕尾模型和风筝模型）在三角形ABC 中，AD ，BE ，CF 相交于同一点O ，那么::ABO ACO S S BD DC ∆∆=．上述定理给出了一个新的转化面积比与线段比的手段，因为ABO ∆和ACO ∆的形状很象燕子的尾巴，所以这个定理被称为燕尾定理．该定理在许多几何题目中都有着广泛的运用，它的特殊性在于，它可以存在于任何一个三角形之中，为三角形中的三角形面积对应底边之间提供互相联系的途径. 典型例题OFE DCBA【例 1】 如图，正方形ABCD 的边长为6，AE =，CF =2．长方形EFGH 的面积为 ．【解析】 连接DE ，DF ，则长方形EFGH 的面积是三角形DEF 面积的二倍．三角形DEF 的面积等于正方形的面积减去三个三角形的面积，66 1.562262 4.54216.5DEF S =⨯-⨯÷-⨯÷-⨯÷=△,所以长方形EFGH面积为33．【巩固】如图所示，正方形ABCD 的边长为8厘米，长方形EBGF 的长BG 为10厘米，那么长方形的宽为几厘米【解析】 本题主要是让学生会运用等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)．三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半．证明：连接AG ．(我们通过ABG △把这两个长方形和正方形联系在一起)．∵在正方形ABCD 中，G12AB S AB AB =⨯⨯△边上的高， ∴12ABG ABCDS S=△(三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半)同理，12ABG EFGB S S =△． ∴正方形ABCD与长方形EFGB面积相等． 长方形的宽8810 6.4=⨯÷=(厘米)．【例 2】 长方形ABCD 的面积为362cm ，E 、F 、G 为各边中点，H 为AD 边上任意一点，问阴影部分面积是多少E【解析】 解法一：寻找可利用的条件，连接BH 、HC ，如下图：E可得：12EHB AHB S S ∆∆=、12FHB CHB S S ∆∆=、12DHG DHC S S ∆∆=，而36ABCD AHB CHB CHD S S S S ∆∆∆=++=即11()361822EHB BHF DHG AHB CHB CHDS S S S S S ∆∆∆∆∆∆++=++=⨯=； 而EHB BHF DHG EBFS S S S S ∆∆∆∆++=+阴影，11111()()36 4.522228EBF S BE BF AB BC ∆=⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=⨯=．所以阴影部分的面积是：1818 4.513.5EBF S S ∆=-=-=阴影 解法二：特殊点法．找H 的特殊点，把H 点与D 点重合，那么图形就可变成右图：GE (H )这样阴影部分的面积就是DEF ∆的面积，根据鸟头定理，则有：11111113636363613.52222222ABCD AED BEF CFD S S S S S ∆∆∆=---=-⨯⨯-⨯⨯⨯-⨯⨯=阴影．【巩固】在边长为6厘米的正方形ABCD 内任取一点P ，将正方形的一组对边二等分，另一组对边三等分，分别与P 点连接,求阴影部分面积．【解析】 （法1）特殊点法．由于P 是正方形内部任意一点，可采用特殊点法，假设P 点与A 点重合，则阴影部分变为如上中图所示，图中的两个阴影三角形的面积分别占正方形面积的14和16，所以阴影部分的面积为2116()1546⨯+=平方厘米．（法2）连接PA 、PC ．由于PAD ∆与PBC ∆的面积之和等于正方形ABCD 面积的一半，所以上、下两个阴影三角形的面积之和等于正方形ABCD 面积的14，同理可知左、右两个阴影三角形的面积之和等于正方形ABCD 面积的16，所以阴影部分的面积为2116()1546⨯+=平方厘米．【例 3】 如图所示，长方形ABCD 内的阴影部分的面积之和为70，8AB =，15AD =，四边形EFGO 的面积为 ．B【解析】 利用图形中的包含关系可以先求出三角形AOE 、DOG 和四边形EFGO 的面积之和，以及三角形AOE 和DOG 的面积之和，进而求出四边形EFGO 的面积． 由于长方形ABCD的面积为158120⨯=，所以三角形BOC的面积为1120304⨯=，所以三角形AOE 和DOG 的面积之和为312070204⨯-=； 又三角形AOE 、DOG 和四边形EFGO 的面积之和为111203024⎛⎫⨯-= ⎪⎝⎭，所以四边形EFGO 的面积为302010-=．另解：从整体上来看，四边形EFGO 的面积=三角形AFC 面积+三角形BFD 面积-白色部分的面积，而三角形AFC 面积+三角形BFD 面积为长方形面积的一半，即60，白色部分的面积等于长方形面积减去阴影部分的面积，即1207050-=，所以四边形的面积为605010-=．【巩固】如图，长方形ABCD 的面积是36，E 是AD 的三等分点，2AE ED =，则阴影部分的面积为 ．BB【解析】 如图，连接OE ．根据蝶形定理，1:::1:12COE CDE CAE CDE ON ND S S S S ∆∆∆∆===，所以12OEN OED S S ∆∆=； 1:::1:42BOE BAEBDE BAE OM MA S S S S ∆∆∆∆===，所以15OEMOEA S S ∆∆=． 又11334OED ABCD S S ∆=⨯=矩形，26OEA OED S S ∆∆==，所以阴影部分面积为：1136 2.725⨯+⨯=．【例 4】 已知ABC 为等边三角形，面积为400，D 、E 、F 分别为三边的中点，已知甲、乙、丙面积和为143，求阴影五边形的面积．(丙是三角形HBC )B【解析】 因为D 、E 、F 分别为三边的中点，所以DE 、DF 、EF 是三角形ABC 的中位线，也就与对应的边平行，根据面积比例模型，三角形ABN 和三角形AMC 的面积都等于三角形ABC 的一半，即为200． 根据图形的容斥关系，有ABC ABN AMC AMHN S S S S S ∆∆∆-=+-丙，即400 200200AMHN S S -=+-丙，所以AMHN S S =丙． 又ADF AMHN S S S S S ∆+=++乙甲阴影，所以1143400434ADF S S S S S ∆=++-=-⨯=乙甲丙阴影．【例 5】 如图，已知5CD =，7DE =，15EF =，6FG =，线段AB 将图形分成两部分，左边部分面积是38，右边部分面积是65，那么三角形ADG 的面积是 ．GFE DC BAABC DE FG【解析】 连接AF ，BD ．根据题意可知，571527CF =++=；715628DG =++=； 所以，1527BE CBF F S S ∆∆=，1227BE CBF C S S ∆∆=，2128AEG ADG S S ∆∆=，728AED ADG S S ∆∆=， 于是：2115652827ADG CBF S S ∆∆+=；712382827ADG CBF S S ∆∆+=； 可得40ADG S ∆=．故三角形ADG 的面积是40．【例 6】 如图在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点，且:2:5AD AB =，:4:7AE AC =，16ADE S =△平方厘米，求ABC △的面积．EDCBAEDCBA【解析】 连接BE ，::2:5(24):(54)ADE ABE S S AD AB ===⨯⨯△△，::4:7(45):(75)ABE ABC S S AE AC ===⨯⨯△△，所以:(24):(75)ADE ABC S S =⨯⨯△△，设8ADE S =△份，则35ABC S =△份，16ADE S =△平方厘米，所以1份是2平方厘米，35份就是70平方厘米，ABC △的面积是70平方厘米．由此我们得到一个重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比 ．【巩固】如图，三角形ABC 中，AB 是AD 的5倍，AC 是AE 的3倍，如果三角形ADE 的面积等于1，那么三角形ABC 的面积是多少EDCBAABCD E【解析】 连接BE ．∵3EC AE = ∴3ABC ABE S S = 又∵5AB AD =∴515ADE ABE ABC S S S =÷=÷，∴1515ABC ADE S S ==．【巩固】如图，三角形ABC 被分成了甲(阴影部分)、乙两部分，4BD DC ==，3BE =，6AE =，乙部分面积是甲部分面积的几倍乙甲E DCBAABCDE甲乙【解析】 连接AD ．∵3BE =，6AE = ∴3AB BE =，3ABD BDE S S = 又∵4BD DC ==，∴2ABC ABD S S =，∴6ABC BDE S S =，5S S =乙甲．【例 7】 如图在ABC △中，D 在BA 的延长线上，E 在AC 上，且:5:2AB AD =，:3:2AE EC =，12ADE S =△平方厘米，求ABC △的面积．EDCBAEDCB A【解析】 连接BE ，::2:5(23):(53)ADE ABE S S AD AB ===⨯⨯△△[]::3:(32)(35):(32)5ABE ABC S S AE AC ==+=⨯+⨯△△，所以[]:(32):5(32)6:25ADE ABC S S =⨯⨯+=△△，设6ADE S =△份，则25ABC S =△份，12ADE S =△平方厘米，所以1份是2平方厘米，25份就是50平方厘米，ABC △的面积是50平方厘米．由此我们得到一个重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比【例 8】 如图，平行四边形ABCD ，BE AB =，2CF CB =，3GD DC =，4HA AD =，平行四边形ABCD 的面积是2， 求平行四边形ABCD 与四边形EFGH 的面积比．HGAB CD EFHGAB CD EF【解析】 连接AC 、BD ．根据共角定理 ∵在ABC △和BFE △中，ABC ∠与FBE ∠互补，∴111133ABCFBES AB BC S BE BF ⋅⨯===⋅⨯△△． 又1ABC S =△，所以3FBE S =△． 同理可得8GCF S =△，15DHG S =△，8AEH S =△．所以8815+3+236EFGH AEH CFG DHG BEF ABCD S S S S S S =++++=++=△△△△．所以213618ABCDEFGHS S ==．【例 9】 如图所示的四边形的面积等于多少DB13131212【解析】 题目中要求的四边形既不是正方形也不是长方形，难以运用公式直接求面积.我们可以利用旋转的方法对图形实施变换：把三角形OAB 绕顶点O 逆时针旋转，使长为13的两条边重合，此时三角形OAB 将旋转到三角形OCD 的位置.这样，通过旋转后所得到的新图形是一个边长为12的正方形，且这个正方形的面积就是原来四边形的面积.因此，原来四边形的面积为1212144⨯=.(也可以用勾股定理)【例 10】 如图所示，ABC ∆中，90ABC ∠=︒，3AB =，5BC =，以AC 为一边向ABC∆外作正方形ACDE ，中心为O ，求OBC ∆的面积．【解析】 如图，将OAB ∆沿着O 点顺时针旋转90︒，到达OCF ∆的位置．由于90ABC ∠=︒，90AOC ∠=︒，所以180OAB OCB ∠+∠=︒．而OCF OAB ∠=∠， 所以180OCF OCB ∠+∠=︒，那么B 、C 、F 三点在一条直线上． 由于OB OF =，90BOF AOC ∠=∠=︒，所以BOF ∆是等腰直角三角形，且斜边BF 为538+=，所以它的面积为218164⨯=．根据面积比例模型，OBC ∆的面积为516108⨯=．【例 11】 如图，以正方形的边AB为斜边在正方形内作直角三角形ABE ，90AEB ∠=︒，AC 、BD 交于O ．已知AE 、BE 的长分别为3cm 、5cm ，求三角形OBE 的面积．F【解析】 如图，连接DE ，以A 点为中心，将ADE ∆顺时针旋转90︒到ABF ∆的位置．那么90EAF EAB BAF EAB DAE ∠=∠+∠=∠+∠=︒，而AEB ∠也是90︒，所以四边形AFBE 是直角梯形，且3AF AE ==， 所以梯形AFBE 的面积为：()1353122+⨯⨯=(2cm )． 又因为ABE ∆是直角三角形，根据勾股定理，222223534AB AE BE =+=+=，所以21172ABD S AB ∆==(2cm )． 那么()17125BDE ABD ABE ADE ABD AFBE S S S S S S ∆∆∆∆∆=-+=-=-=(2cm )， 所以12.52OBE BDE S S ∆∆==(2cm )．【例 12】 如下图，六边形ABCDEF 中，AB ED =，AF CD =，BC EF =，且有AB 平行于ED ，AF 平行于CD ，BC 平行于EF ，对角线FD 垂直于BD ，已知24FD =厘米，18BD =厘米，请问六边形ABCDEF 的面积是多少平方厘米FEABDCGFEABDC【解析】 如图，我们将BCD ∆平移使得CD 与AF 重合，将DEF ∆平移使得ED 与AB 重合，这样EF 、BC 都重合到图中的AG 了．这样就组成了一个长方形BGFD ，它的面积与原六边形的面积相等，显然长方形BGFD 的面积为2418432⨯=平方厘米，所以六边形ABCDEF 的面积为432平方厘米．【例 13】 如图，三角形ABC 的面积是1，E 是AC的中点，点D 在BC 上，且:1:2BD DC =，AD 与BE 交于点F ．则四边形DFEC 的面积等于 ．FEDCBA33321F EDC BAABCDEF【解析】 方法一：连接CF ，根据燕尾定理，12ABF ACF S BD S DC ==△△，1ABF CBF S AE S EC ==△△, 设1BDF S =△份，则2DCF S =△份，3ABF S =△份，3AEF EFC S S ==△△份，如图所标所以551212DCEF ABC S S ==△ 方法二：连接DE ，由题目条件可得到1133ABD ABC S S ==△△，11212233ADE ADC ABC S S S ==⨯=△△△，所以11ABD ADES BF FE S ==△△， 111111122323212DEF DEB BEC ABC S S S S =⨯=⨯⨯=⨯⨯⨯=△△△△，而211323CDE ABCS S=⨯⨯=△△．所以则四边形DFEC的面积等于512．【巩固】如图，长方形ABCD的面积是2平方厘米，2EC DE=，F是DG的中点．阴影部分的面积是多少平方厘米yB CDEGEDCBAEDBA【解析】设1DEFS=△份，则根据燕尾定理其他面积如图所示551212BCDS S==△阴影平方厘米.【例 14】四边形ABCD的对角线AC与BD交于点O(如图所示)．如果三角形ABD的面积等于三角形BCD的面积的13，且2AO=，3DO=，那么CO的长度是DO的长度的_________倍．AB CDO HGAB CDO【解析】在本题中，四边形ABCD为任意四边形，对于这种”不良四边形”，无外乎两种处理方法：⑴利用已知条件，向已有模型靠拢，从而快速解决；⑵通过画辅助线来改造不良四边形．看到题目中给出条件:1:3ABD BCDS S=，这可以向模型一蝶形定理靠拢，于是得出一种解法．又观察题目中给出的已知条件是面积的关系，转化为边的关系，可以得到第二种解法，但是第二种解法需要一个中介来改造这个”不良四边形”，于是可以作AH垂直BD于H，CG垂直BD于G，面积比转化为高之比．再应用结论：三角形高相同，则面积之比等于底边之比，得出结果．请老师注意比较两种解法，使学生体会到蝶形定理的优势，从而主观上愿意掌握并使用蝶形定理解决问题． 解法一：∵::1:3ABD BDCAO OC S S ∆∆==，∴236OC =⨯=，∴:6:32:1OC OD ==．解法二：作AH BD ⊥于H ，CG BD ⊥于G ． ∵13ABDBCD S S ∆∆=，∴13AH CG =，∴13AOD DOC S S ∆∆=，∴13AO CO =，∴236OC =⨯=，∴:6:32:1OC OD ==．【巩固】如图，四边形被两条对角线分成4个三角形，其中三个三角形的面积已知，求：⑴三角形BGC 的面积；⑵:AG GC =B【解析】 ⑴根据蝶形定理，123BGCS⨯=⨯，那么6BGCS=；⑵根据蝶形定理，()():12:361:3AG GC =++=．【例 15】 如图，平行四边形ABCD 的对角线交于O 点，CEF △、OEF △、ODF △、BOE △的面积依次是2、4、4和6．求：⑴求OCF △的面积；⑵求GCE△的面积．OGFEDCBA【解析】 ⑴根据题意可知，BCD △的面积为244616+++=，那么BCO △和CDO ∆的面积都是1628÷=，所以OCF △的面积为844-=；⑵由于BCO △的面积为8，BOE △的面积为6，所以OCE △的面积为862-=，根据蝶形定理，::2:41:2COE COF EG FG S S ∆∆===，所以::1:2GCE GCF S S EG FG ∆∆==，那么11221233GCE CEF S S ∆∆==⨯=+．【例 16】 如图，长方形ABCD 中，:2:3BE EC =，:1:2DF FC =，三角形DFG 的面积为2平方厘米，求长方形ABCD 的面积．ABCDEF GABCD EF G【解析】 连接AE ，FE ．因为:2:3BE EC =，:1:2DF FC =，所以3111()53210DEFABCD ABCD SS S =⨯⨯=长方形长方形．因为12AEDABCD SS =长方形，11::5:1210AG GF ==，所以510AGDGDFS S==平方厘米，所以12AFDS =平方厘米．因为16AFDABCD SS =长方形，所以长方形ABCD 的面积是72平方厘米．【例 17】 如图，正方形ABCD 面积为3平方厘米，M 是AD 边上的中点．求图中阴影部分的面积．CBA【解析】 因为M 是AD 边上的中点，所以:1:2AM BC =，根据梯形蝶形定理可以知道22:::1:12:12:21:2:2:4AMG ABG MCG BCG S S S S =⨯⨯=△△△△（）（），设1AGM S =△份，则123MCD S =+=△ 份，所以正方形的面积为1224312++++=份，224S =+=阴影份，所以:1:3S S =阴影正方形，所以1S =阴影平方厘米．【巩固】在下图的正方形ABCD 中，E 是BC 边的中点，AE 与BD 相交于F 点，三角形BEF的面积为1平方厘米，那么正方形ABCD面积是平方厘米．A BCDEF【解析】 连接DE，根据题意可知:1:2BE AD =，根据蝶形定理得2129S =+=梯形（）(平方厘米)，3ECD S =△(平方厘米)，那么12ABCDS=(平方厘米)．【例 18】 已知ABCD 是平行四边形，:3:2BC CE =，三角形ODE 的面积为6平方厘米．则阴影部分的面积是 平方厘米．BB【解析】 连接AC ．由于ABCD 是平行四边形，:3:2BC CE =，所以:2:3CE AD =， 根据梯形蝶形定理，22:::2:23:23:34:6:6:9COE AOCDOEAODS S SS=⨯⨯=，所以6AOCS=(平方厘米)，9AODS=(平方厘米)，又6915ABCACDSS==+=(平方厘米)，阴影部分面积为61521+=(平方厘米)．【巩固】右图中ABCD 是梯形，ABED 是平行四边形，已知三角形面积如图所示(单位：平方厘米)，阴影部分的面积是 平方厘米．BB【分析】 连接AE ．由于AD 与BC 是平行的，所以AECD 也是梯形，那么OCD OAE S S ∆∆=．根据蝶形定理，4936OCD OAE OCE OAD S S S S ∆∆∆∆⨯=⨯=⨯=，故236OCD S ∆=，所以6OCD S ∆=(平方厘米)．【巩固】右图中ABCD 是梯形，ABED 是平行四边形，已知三角形面积如图所示(单位：平方厘米)，阴影部分的面积是 平方厘米．BB【解析】 连接AE ．由于AD 与BC 是平行的，所以AECD 也是梯形，那么OCD OAE S S ∆∆=．根据蝶形定理，2816OCD OAE OCE OAD S S S S ∆∆∆∆⨯=⨯=⨯=，故216OCD S ∆=，所以4OCD S ∆=(平方厘米)．另解：在平行四边形ABED 中，()111681222ADE ABEDS S∆==⨯+=(平方厘米)， 所以1284AOE ADE AOD S S S ∆∆∆=-=-=(平方厘米)，根据蝶形定理，阴影部分的面积为8244⨯÷=(平方厘米)．【例 19】 如图，长方形ABCD 被CE 、DF 分成四块，已知其中3块的面积分别为2、5、8平方厘米，那么余下的四边形OFBC 的面积为___________平方厘米．?852O A BCDEF?852O A BC DEF【解析】 连接DE 、CF ．四边形EDCF 为梯形，所以EOD FOC S S ∆=，又根据蝶形定理，EOD FOC EOF COD S S S S ∆∆∆∆⋅=⋅，所以2816EOD FOC EOF COD S S S S ∆∆∆∆⋅=⋅=⨯=，所以4EOD S ∆=(平方厘米)，4812ECD S ∆=+=(平方厘米)．那么长方形ABCD 的面积为12224⨯=平方厘米，四边形OFBC 的面积为245289---=(平方厘米)．【例 20】 如图，ABC ∆是等腰直角三角形，DEFG 是正方形，线段AB 与CD 相交于K 点．已知正方形DEFG 的面积48，:1:3AK KB =，则BKD ∆的面积是多少BB【解析】 由于DEFG 是正方形，所以DA 与BC 平行，那么四边形ADBC 是梯形．在梯形ADBC 中，BDK ∆和ACK ∆的面积是相等的．而:1:3AK KB =，所以ACK∆的面积是ABC ∆面积的11134=+，那么BDK ∆的面积也是ABC ∆面积的14．由于ABC ∆是等腰直角三角形，如果过A 作BC 的垂线，M 为垂足，那么M 是BC 的中点，而且AM DE =，可见ABM ∆和ACM∆的面积都等于正方形DEFG 面积的一半，所以ABC ∆的面积与正方形DEFG 的面积相等，为48．那么BDK ∆的面积为148124⨯=．【例 21】 下图中，四边形ABCD 都是边长为1的正方形，E 、F 、G 、H 分别是AB ，BC ，CD ，DA 的中点，如果左图中阴影部分与右图中阴影部分的面积之比是最简分数m n，那么，()m n +的值等于 ．E【解析】 左、右两个图中的阴影部分都是不规则图形，不方便直接求面积，观察发现两个图中的空白部分面积都比较好求，所以可以先求出空白部分的面积，再求阴影部分的面积．如下图所示，在左图中连接EG ．设AG 与DE 的交点为M ． 左图中AEGD 为长方形，可知AMD ∆的面积为长方形AEGD 面积的14，所以三角形AMD 的面积为21111248⨯⨯=．又左图中四个空白三角形的面积是相等的，所以左图中阴影部分的面积为111482-⨯=．BEE如上图所示，在右图中连接AC 、EF ．设AF 、EC 的交点为N ． 可知EF ∥AC 且2AC EF =．那么三角形BEF 的面积为三角形ABC 面积的14，所以三角形BEF 的面积为21111248⨯⨯=，梯形AEFC 的面积为113288-=． 在梯形AEFC 中，由于:1:2EF AC =，根据梯形蝶形定理，其四部分的面积比为：221:12:12:21:2:2:4⨯⨯=，所以三角形EFN的面积为3118122424⨯=+++，那么四边形BENF 的面积为1118246+=．而右图中四个空白四边形的面积是相等的，所以右图中阴影部分的面积为111463-⨯=．那么左图中阴影部分面积与右图中阴影部分面积之比为11:3:223=，即32m n=，那么325m n +=+=．【例 22】 如图， ABC △中，DE ，FG ，BC 互相平行，AD DF FB ==，则::ADE DEGF FGCB S S S =△四边形四边形 ．EGF A D CB【解析】 设1ADE S =△份，根据面积比等于相似比的平方，所以22::1:4ADE AFG S S AD AF ==△△，22::1:9ADE ABC S S AD AB ==△△， 因此4AFG S =△份，9ABC S =△份， 进而有3DEGFS =四边形份，5FGCB S =四边形份，所以::1:3:5ADE DEGF FGCB S S S =△四边形四边形【巩固】如图，DE 平行BC ，且2AD =，5AB =，4AE =，求AC 的长．A ED CB【解析】 由金字塔模型得:::2:5AD AB AE AC DE BC ===，所以42510AC =÷⨯=【巩固】如图， ABC △中，DE ，FG ，MN ，PQ ，BC 互相平行，AD DF FM MP PB ====，则::::ADE DEGF FGNM MNQP PQCB S S S S S =△四边形四边形四边形四边形 ．【解析】 设1ADES =△份，22::1:4ADE AFG S S AD AF ==△△，因此4AFG S =△份，进而有3DEGF S =四边形份，同理有5FGNM S =四边形份，7MNQP S =四边形份，9PQCB S =四边形份．Q E GNMFPADCB所以有::::1:3:5:7:9ADE DEGF FGNM MNQP PQCB S S S S S =△四边形四边形四边形四边形【例 23】 如图，已知正方形ABCD 的边长为4，F是BC 边的中点，E 是DC 边上的点，且:1:3DE EC =，AF 与BE 相交于点G ，求ABG S △GFAEDC BM GFAEDCBGFAEDCB【解析】 方法一：连接AE ，延长AF ，DC 两条线交于点M ，构造出两个沙漏，所以有::1:1AB CM BF FC ==，因此4CM =，根据题意有3CE =，再根据另一个沙漏有::4:7GB GE AB EM ==，所以4432(442)471111ABG ABE S S ==⨯⨯÷=+△△．方法二：连接,AE EF，分别求4224ABF S =⨯÷=△，4441232247AEF S =⨯-⨯÷-⨯÷-=△，根据蝶形定理::4:7ABF AEF S S BG GE ==△△，所以4432(442)471111ABG ABE S S ==⨯⨯÷=+△△．【例 24】 如图所示，已知平行四边形ABCD 的面积是1，E 、F 是AB 、AD 的中点， BF 交EC 于M ，求BMG ∆的面积．MHGF E DCBAA【解析】 解法一：由题意可得，E 、F 是AB 、AD 的中点，得//EF BD ，而::1:2FD BC FH HC ==，::1:2EB CD BG GD ==所以::2:3CH CF GH EF ==，并得G 、H 是BD 的三等分点，所以BG GH =，所以::2:3BG EF BM MF ==，所以25BM BF =，11112224BFDABD ABCDS S S ∆∆==⨯=； 又因为13BG BD =，所以1212113535430BMG BFDS S ∆∆=⨯⨯=⨯⨯=．解法二：延长CE 交DA 于I ，如右图，可得，::1:1AI BC AE EB ==，从而可以确定M 的点的位置， ::2:3BM MF BC IF ==，25BM BF =，13BG BD =(鸟头定理)，可得2121115353430BMG BDF ABCDS S S ∆∆=⨯=⨯⨯=【例 25】 如图，ABCD 为正方形，1cm AM NB DE FC ====且2cm MN =，请问四边形PQRS 的面积为多少CACA【解析】 (法1)由//AB CD ，有MP PCMN DC=，所以2PC PM =，又MQ MB QC EC =，所以12MQ QC MC ==，所以111236PQ MC MC MC =-=，所以SPQR S 占AMCF S 的16，所以121(112)63SPQR S =⨯⨯++=2(cm )．(法2)如图，连结AE ，则14482ABE S ∆=⨯⨯=(2cm )，而RB ER ABEF=，所以2RB AB EFEF==，22168333ABR ABE S S ∆∆==⨯=(2cm )．而1134322MBQ ANS S S ∆∆==⨯⨯⨯=(2cm )，因为MN MP DCPC=，所以13MP MC =，则11424233MNP S ∆=⨯⨯⨯=(2cm )，阴影部分面积等于164233333ABR ANS MBQ MNP S S S S ∆∆∆∆--+=--+=(2cm )．【例 26】 如右图，三角形ABC 中，:4:9BD DC =，:4:3CE EA =，求:AF FB ．O F EDCBA【解析】 根据燕尾定理得::4:912:27AOB AOC S S BD CD ===△△::3:412:16AOB BOC S S AE CE ===△△（都有AOB △的面积要统一，所以找最小公倍数）所以:27:16:AOC BOC S S AF FB ==△△【点评】本题关键是把AOB △的面积统一，这种找最小公倍数的方法，在我们用比例解题中屡见不鲜，如果能掌握它的转化本质，我们就能达到解奥数题四两拨千斤的巨大力量！【巩固】如右图，三角形ABC 中，:3:4BD DC =，:5:6AE CE =，求:AF FB .O F EDCBA【解析】 根据燕尾定理得::3:415:20AOB AOC S S BD CD ===△△::5:615:18AOB BOC S S AE CE ===△△（都有AOB △的面积要统一，所以找最小公倍数）所以:20:1810:9:AOC BOC S S AF FB ===△△【巩固】如右图，三角形ABC 中，:2:3BD DC =，:5:4EA CE =，求:AF FB .O F EDCBA【解析】 根据燕尾定理得::2:310:15AOB AOC S S BD CD ===△△::5:410:8AOB BOC S S AE CE ===△△（都有AOB △的面积要统一，所以找最小公倍数）所以:15:8:AOC BOC S S AF FB ==△△【点评】本题关键是把AOB △的面积统一，这种找最小公倍数的方法，在我们用比例解题中屡见不鲜，如果能掌握它的转化本质，我们就能达到解奥数题四两拨千斤的巨大力量！【例 27】 如右图，三角形ABC 中，:::3:2AF FB BD DC CE AE ===，且三角形ABC 的面积是1，则三角形ABE 的面积为______，三角形AGE 的面积为________，三角形GHI 的面积为______．I HGFEDCBAI H G FEDCBA【分析】 连接AH 、BI 、CG ．由于:3:2CE AE =，所以25AE AC =，故2255ABE ABC S S ∆∆==；根据燕尾定理，::2:3ACG ABG S S CD BD ∆∆==，::3:2BCG ABG S S CE EA ∆∆==，所以::4:6:9ACG ABG BCG S S S ∆∆∆=，则419ACG S ∆=，919BCG S ∆=； 那么2248551995AGE AGC S S ∆∆==⨯=； 同样分析可得919ACH S ∆=，则::4:9ACG ACH EG EH S S ∆∆==，::4:19ACG ACB EG EB S S ∆∆==，所以::4:5:10EG GH HB =，同样分析可得::10:5:4AG GI ID =，所以5521101055BIE BAE S S ∆∆==⨯=，55111919519GHI BIE S S ∆∆==⨯=．【巩固】 如右图，三角形ABC 中，:::3:2AF FB BD DC CE AE ===，且三角形GHI的面积是1，求三角形ABC 的面积．IH G FEDCBAIH G FEDCBA【解析】 连接BG ，AGCS △=6份根据燕尾定理，::3:26:4AGC BGC S S AF FB ===△△，::3:29:6ABG AGC S S BD DC ===△△得4BGC S =△(份)，9ABG S =△(份)，则19ABC S =△(份)，因此619AGCABCS S =△△, 同理连接AI 、CH 得619ABHABCS S =△△,619BIC ABC S S =△△,所以1966611919GHI ABC S S ---==△△三角形GHI 的面积是1，所以三角形ABC 的面积是19【巩固】如图，ABC ∆中2BD DA =，2CE EB =，2AF FC =，那么ABC ∆的面积是阴影三角形面积的 倍．BCCB【分析】 如图，连接AI ．根据燕尾定理，::2:1BCI ACI S S BD AD ∆∆==，::1:2BCI ABI S S CF AF ∆∆==，所以，::1:2:4ACI BCI ABIS S S ∆∆∆=，那么，221247BCI ABC ABC S S S ∆∆∆==++． 同理可知ACG ∆和ABH ∆的面积也都等于ABC ∆面积的27，所以阴影三角形的面积等于ABC ∆面积的211377-⨯=，所以ABC ∆的面积是阴影三角形面积的7倍．【巩固】如图在ABC △中，12DC EA FB DBECFA===,求GHI ABC △的面积△的面积的值．IHG FEDCBAIHG FEDCB A【解析】 连接BG ,设BGC S △=1份，根据燕尾定理::2:1AGC BGC S S AF FB ==△△,::2:1ABG AGC S S BD DC ==△△,得2AGC S =△(份)，4ABG S =△(份),则7ABC S =△(份)，因此27AGC ABC S S =△△,同理连接AI 、CH 得27ABH ABC S S =△△,27BIC ABC S S =△△,所以7222177GHI ABC S S ---==△△ 【点评】如果任意一个三角形各边被分成的比是相同的，那么在同样的位置上的图形，虽然形状千变万化，但面积是相等的，这在这讲里面很多题目都是用“同理得到”的，即再重复一次解题思路，因此我们有对称法作辅助线.【例 28】 如图，三角形ABC 的面积是1，BD DE EC ==，CF FG GA ==，三角形ABC被分成9部分，请写出这9部分的面积各是多少GFE D CBAN MQPGF EDCBA【解析】 设BG 与AD 交于点P ，BG 与AE 交于点Q ，BF 与AD 交于点M ，BF 与AE交于点N ．连接CP ，CQ ，CM ，CN ．根据燕尾定理，::1:2ABP CBP S S AG GC ==△△，::1:2ABP ACP S S BD CD ==△△，设1ABP S =△(份)，则1225ABC S =++=△(份)，所以15ABP S =△ 同理可得，27ABQ S =△,12ABNS =△,而13ABG S =△，所以2137535APQ S =-=△，1213721AQG S =-=△．同理，335BPMS =△121BDM S =△,所以1239273570PQMN S =--=四边形，13953357042MNED S =--=四边形,1151321426NFCE S =--=四边形,1115321642GFNQ S =--=四边形【巩固】如图，ABC ∆的面积为1，点D 、E 是BC 边的三等分点，点F 、G 是AC边的三等分点，那么四边形JKIH 的面积是多少K J IHABC D EF GKJI HABCD EFG【解析】 连接CK 、CI 、CJ．根据燕尾定理，::1:2ACK ABK S S CD BD ∆∆==，::1:2ABK CBK S S AG CG ∆∆==， 所以::1:2:4ACK ABK CBK S S S ∆∆∆=，那么111247ACK S ∆==++，11321AGK ACK S S ∆∆==． 类似分析可得215AGI S ∆=． 又::2:1ABJ CBJ S S AF CF ∆∆==，::2:1ABJ ACJ S S BD CD ∆∆==，可得14ACJ S ∆=． 那么，111742184CGKJS =-=． 根据对称性，可知四边形CEHJ 的面积也为1784，那么四边形JKIH 周围的图形的面积之和为172161228415370CGKJ AGI ABE S S S ∆∆⨯++=⨯++=，所以四边形JKIH的面积为61917070-=．【例 29】 右图，ABC △中，G 是AC 的中点，D 、E 、F 是BC 边上的四等分点，AD 与BG 交于M ，AF 与BG 交于N ，已知ABM △的面积比四边形FCGN 的面积大7.2平方厘米，则ABC △的面积是多少平方厘米N M GA BCD EFNMGA BC D EF【解析】 连接CM 、CN ．根据燕尾定理，::1:1ABM CBMS S AG GC ==△△，::1:3ABM ACM S S BD CD ==△△，所以15ABM ABC S S =△△；再根据燕尾定理，::1:1ABN CBNS S AG GC ==△△，所以::4:3ABN FBN CBN FBN S S S S ==△△△△，所以:4:3AN NF =，那么1422437ANG AFC S S =⨯=+△△，所以2515177428FCGNAFC ABC ABC S S S S ⎛⎫=-=⨯= ⎪⎝⎭△△△．根据题意，有157.2528ABC ABC S S -=△△，可得336ABC S =△(平方厘米)【例 30】 如图，面积为l 的三角形ABC 中，D 、E 、F 、G 、H 、I 分别是AB 、BC 、CA 的三等分点,求阴影部分面积.C BAGCB【解析】 三角形在开会，那么就好好利用三角形中最好用的比例和燕尾定理吧！令BI 与CD 的交点为M ，AF 与CD 的交点为N ，BI 与AF 的交点为P ,BI 与CE 的交点为Q ,连接AM 、BN 、CP ⑴求ADMI S 四边形：在ABC △中，根据燕尾定理，::1:2ABM CBM S S AI CI ==△△::1:2ACM CBM S S AD BD ==△△设1ABM S =△(份)，则2CBM S =△(份),1ACM S =△(份),4ABC S =△(份),所以14ABMACM ABC S S S ==△△△，所以11312ADM ABM ABC S S S ==△△△,112AIM ABC S S =△△,所以111()12126ABC ABC ADMIS S S =+=△△四边形, 同理可得另外两个顶点的四边形面积也分别是ABC △面积的16⑵求DNPQE S 五边形：在ABC △中，根据燕尾定理::1:2ABN ACN S S BF CF ==△△::1:2ACN BCN S S AD BD ==△△,所以111133721ADN ABN ABC ABC S S S S ==⨯=△△△△,同理121BEQ ABC S S =△△ 在ABC△中，根据燕尾定理::1:2ABP ACP S S BF CF ==△△,::1:2ABP CBP S S AI CI ==△△所以15ABP ABCS S =△△，所以1111152121105ABP ADN BEP ABC ABC DNPQE S S S S S S ⎛⎫=--=--= ⎪⎝⎭△△△△△五边形同理另外两个五边形面积是ABC△面积的11105，所以11113133610570S =-⨯-⨯=阴影【例 31】 如图，面积为l 的三角形ABC 中，D 、E 、F 、G 、H 、I 分别是AB 、BC 、CA 的三等分点,求中心六边形面积.GCBAGCBA【解析】 设深黑色六个三角形的顶点分别为N 、R 、P 、S 、M 、Q ，连接CR在ABC △中根据燕尾定理，::.2:1ABR ACR S S BG CG ==△△,::1:2ABR CBR S S AI CI ==△△所以27ABR ABC S S =△△,同理27ACS ABC S S =△△,27CQB ABC S S =△△所以222117777RQS S =---=△，同理17MNP S =△根据容斥原理，和上题结果11131777010S =+-=六边形课后练习： 练习1. 已知DEF △的面积为7平方厘米，,2,3BE CE AD BD CF AF ===，求ABC △的面积．FED CBA【解析】 :():()(11):(23)1:6BDE ABC S S BD BE BA BC =⨯⨯=⨯⨯=△△，:():()(13):(24)3:8CEF ABC S S CE CF CB CA =⨯⨯=⨯⨯=△△:():()(21):(34)1:6ADF ABC S S AD AF AB AC =⨯⨯=⨯⨯=△△设24ABC S =△份，则4BDE S =△份，4ADF S =△份，9CEF S =△份，244497DEF S =---=△份，恰好是7平方厘米，所以24ABC S =△平方厘米练习2. 如图，四边形EFGH 的面积是66平方米，EA AB =，CB BF =，DC CG =，HD DA =，求四边形ABCD 的面积．H GFED CBA A BCDEFGH【解析】 连接BD．由共角定理得:():()1:2BCD CGF S S CD CB CG CF =⨯⨯=△△，即2CGF CDB S S =△△同理:1:2ABD AHE S S =△△，即2AHE ABD S S =△△ 所以2()2AHE CGF CBD ADB ABCD S S S S S +=+=△△△△四边形 连接AC ，同理可以得到2DHG BEF ABCD S S S +=△△四边形5AHE CGF HDG BEF EFGH ABCD ABCD S S S S S S S =++++=△△△△四边形四边形四边形所以66513.2ABCD S =÷=四边形平方米练习3. 正方形ABCD 的面积是120平方厘米，E 是AB 的中点，F 是BC 的中点，四边形BGHF 的面积是 平方厘米．H GFEDCBAM H GFEDCBA【解析】 欲求四边形BGHF 的面积须求出EBG ∆和CHF ∆的面积．由题意可得到：::1:2EG GC EB CD ==，所以可得：13EBG BCE S S ∆∆=将AB 、DF 延长交于M 点，可得：:::1:1BM DC MF FD BF FC ===，而1::():3:22EH HC EM CD AB AB CD ==+=，得25CH CE =，而12CF BC =，所以121255CHF BCE BCE S S S ∆∆∆=⨯=11112030224BCE S AB BC ∆=⨯⨯=⨯=11773014351515EBC EBC EBC EBC BGHF S S S S S ∆∆∆∆=--==⨯=四边形．EF ，确定H 的位置(也就是:FH HD )，同样也能解出．练习4. 如图，已知4cm AB AE ==，BC DC =，90BAE BCD ∠=∠=︒，10cm AC =，则S ABC ACE CDE S S ∆∆∆++= 2cm ．DCEBABCA'C'EDA【解析】 将三角形ABC 绕A 点和C 点分别顺时针和逆时针旋转90，构成三角形'AEC 和'A DC ，再连接''A C ，显然'AC AC ⊥，'AC A C ⊥，''AC A C AC ==，所以''ACA C 是正方形．三角形'AEC 和三角形'A DC 关于正方形的中心O 中心对称，在中心对称图形''ACA C 中有如下等量关系：''AEC A DC S S ∆∆=；''AEC A DC S S ∆∆=；'CED C DE S S ∆∆=．所以2'''11101050cm 22ABC ACE CDE AEC ACE CDE ACA C S S S S S S S ∆∆∆∆∆∆++=++==⨯⨯=．练习5. 如图，正方形ABCD 的面积是120平方厘米，E 是AB 的中点，F 是BC 的中点，四边形BGHF 的面积是_____平方厘米．EDCBEDCB 【解析】 连接BH ,根据沙漏模型得:1:2BG GD =,设1BHC S =△份，根据燕尾定理2CHD S =△份，2BHD S =△份，因此122)210S =++⨯=正方形（份，127236BFHG S =+=，所以712010146BFHG S =÷⨯=(平方厘米).。

小学奥数平面几何五种面积模型(等积,鸟头,蝶形,相似,共边)

小学奥数平面几何五种面积模型(等积,鸟头,蝶形,相似,共边)

小学奥数平面几何五种模型（等积，鸟头，蝶形，相似，共边）目标：熟练掌握五大面积模型等积，鸟头，蝶形，相似（含金字塔模型和沙漏模型），共边（含燕尾模型和风筝模型）， 掌握五大面积模型的各种变形 知识点拨一、等积模型①等底等高的两个三角形面积相等； ②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比； 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比；如右图12::S S a b =③夹在一组平行线之间的等积变形，如右图ACD BCD S S =△△； 反之，如果ACD BCD S S =△△，则可知直线AB 平行于CD ．④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)；⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比． 二、鸟头定理两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形． 共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比． 如图在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点如图 ⑴(或D 在BA 的延长线上，E 在AC 上)，则:():()ABC ADE S S AB AC AD AE =⨯⨯△△EDCBAEDCBA图⑴ 图⑵ 三、蝶形定理任意四边形中的比例关系(“蝶形定理”)：①1243::S S S S =或者1324S S S S ⨯=⨯②()()1243::AO OC S S S S =++蝶形定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．通过构造b a S 2S 1DC BA S 4S 3S 2S 1O DCBA模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系．梯形中比例关系(“梯形蝶形定理”)：①2213::S S a b = ②221324::::::S S S S a b ab ab =； ③S 的对应份数为()2a b +．四、相似模型(一)金字塔模型 (二) 沙漏模型GF E ABCDAB CDEF G①AD AE DE AF ABACBCAG===；②22:ADE ABC S S AF AG =△△：．所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形(只要其形状不改变，不论大小怎样改变它们都相似)，与相似三角形相关的常用的性质及定理如下：⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比；⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方；⑶连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．三角形中位线定理：三角形的中位线长等于它所对应的底边长的一半． 相似三角形模型，给我们提供了三角形之间的边与面积关系相互转化的工具．在小学奥数里，出现最多的情况是因为两条平行线而出现的相似三角形． 五、共边定理（燕尾模型和风筝模型）在三角形ABC 中，AD ，BE ，CF 相交于同一点O ，那么::ABO ACO S S BD DC ∆∆=．上述定理给出了一个新的转化面积比与线段比的手段，因为ABO ∆和ACO ∆的形状很象燕子的尾巴，所以这个定理被称为燕尾定理．该定理在许多几何题目中都有着广泛的运用，它的特殊性在于，它可以存在于任何一个三角形之中，为A BCD O ba S 3S 2S 1S 4O FED C BA三角形中的三角形面积对应底边之间提供互相联系的途径. 典型例题【例 1】如图，正方形ABCD 的边长为6，AE =1.5，CF =2．长方形EFGH 的面积为 ．【解析】 连接DE ，DF ，则长方形EFGH 的面积是三角形DEF 面积的二倍．三角形DEF 的面积等于正方形的面积减去三个三角形的面积，66 1.562262 4.54216.5DEF S =⨯-⨯÷-⨯÷-⨯÷=△,所以长方形EFGH面积为33．【巩固】如图所示，正方形ABCD 的边长为8厘米，长方形EBGF 的长BG 为10厘米，那么长方形的宽为几厘米？【解析】 本题主要是让学生会运用等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)．三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半． 证明：连接AG ．(我们通过ABG △把这两个长方形和正方形联系在一起)．∵在正方形ABCD 中，G 12AB S AB AB =⨯⨯△边上的高，∴12ABG ABCD S S =W △(三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半)同理，12ABG EFGB S S =△．∴正方形ABCD 与长方形EFGB面积相等． 长方形的宽8810 6.4=⨯÷=(厘米)．_H_G_ F_E_D_C_B_ A _A_B_C_D_E_ F_G_H_ A _ B_ G_ C _ E _ F_ D_ A _ B_ G_ C_ E_ F_ D【例 2】长方形ABCD 的面积为362cm ，E 、F 、G 为各边中点，H 为AD 边上任意一点，问阴影部分面积是多少？E【解析】 解法一：寻找可利用的条件，连接BH 、HC ，如下图：E可得：12EHB AHB S S ∆∆=、12FHB CHB S S ∆∆=、12DHG DHC S S ∆∆=，而36ABCD AHB CHB CHD S S S S ∆∆∆=++=即11()361822EHB BHF DHG AHB CHB CHD S S S S S S ∆∆∆∆∆∆++=++=⨯=； 而EHB BHF DHG EBFS S S S S ∆∆∆∆++=+阴影，11111()()36 4.522228EBF S BE BF AB BC ∆=⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=⨯=．所以阴影部分的面积是：1818 4.513.5EBF S S ∆=-=-=阴影解法二：特殊点法．找H 的特殊点，把H 点与D 点重合，那么图形就可变成右图：GE (H )这样阴影部分的面积就是DEF ∆的面积，根据鸟头定理，则有：11111113636363613.52222222ABCD AED BEF CFD S S S S S ∆∆∆=---=-⨯⨯-⨯⨯⨯-⨯⨯=阴影．【巩固】在边长为6厘米的正方形ABCD 内任取一点P ，将正方形的一组对边二等分，另一组对边三等分，分别与P 点连接,求阴影部分面积．【解析】 （法1）特殊点法．由于P 是正方形内部任意一点，可采用特殊点法，假设P 点与A 点重合，则阴影部分变为如上中图所示，图中的两个阴影三角形的面积分别占正方形面积的14和16，所以阴影部分的面积为2116()1546⨯+=平方厘米．（法2）连接PA 、PC ．由于PAD ∆与PBC ∆的面积之和等于正方形ABCD 面积的一半，所以上、下两个阴影三角形的面积之和等于正方形ABCD 面积的14，同理可知左、右两个阴影三角形的面积之和等于正方形ABCD 面积的16，所以阴影部分的面积为2116()1546⨯+=平方厘米．【例 3】如图所示，长方形ABCD 内的阴影部分的面积之和为70，8AB =，15AD =，四边形EFGO 的面积为 ．B【解析】 利用图形中的包含关系可以先求出三角形AOE 、DOG 和四边形EFGO 的面积之和，以及三角形AOE 和DOG 的面积之和，进而求出四边形EFGO的面积．由于长方形ABCD 的面积为158120⨯=，所以三角形BOC 的面积为1120304⨯=，所以三角形AOE 和DOG 的面积之和为312070204⨯-=； 又三角形AOE 、DOG 和四边形EFGO 的面积之和为111203024⎛⎫⨯-= ⎪⎝⎭，所以四边形EFGO 的面积为302010-=．另解：从整体上来看，四边形EFGO 的面积=三角形AFC 面积+三角形BFD 面积-白色部分的面积，而三角形AFC 面积+三角形BFD 面积为长方形面积的一半，即60，白色部分的面积等于长方形面积减去阴影部分的面积，即1207050-=，所以四边形的面积为605010-=．【巩固】如图，长方形ABCD 的面积是36，E 是AD 的三等分点，2AE ED =，则阴影部分的面积为 ．BB【解析】 如图，连接OE ．根据蝶形定理，1:::1:12COE CDE CAE CDE ON ND S S S S ∆∆∆∆===，所以12OEN OED S S ∆∆=； 1:::1:42BOE BAE BDE BAE OM MA S S S S ∆∆∆∆===，所以15OEM OEA S S ∆∆=．又11334OED ABCD S S ∆=⨯=矩形，26OEA OED S S ∆∆==，所以阴影部分面积为：1136 2.725⨯+⨯=．【例 4】已知ABC 为等边三角形，面积为400，D 、E 、F 分别为三边的中点，已知甲、乙、丙面积和为143，求阴影五边形的面积．(丙是三角形HBC)B【解析】 因为D 、E 、F 分别为三边的中点，所以DE 、DF 、EF 是三角形ABC 的中位线，也就与对应的边平行，根据面积比例模型，三角形ABN 和三角形AMC 的面积都等于三角形ABC 的一半，即为200．根据图形的容斥关系，有ABC ABN AMC AMHN S S S S S ∆∆∆-=+-丙，即400 200200AMHN S S -=+-丙，所以AMHN S S =丙． 又ADF AMHN S S S S S ∆+=++乙甲阴影，所以1143400434ADF S S S S S ∆=++-=-⨯=乙甲丙阴影．【例 5】如图，已知5CD =，7DE =，15EF =，6FG =，线段AB 将图形分成两部分，左边部分面积是38，右边部分面积是65，那么三角形ADG 的面积是 ．GFE DC BAABC DE FG【解析】 连接AF ，BD ．根据题意可知，571527CF =++=；715628DG =++=；所以，1527BE CBF F S S ∆∆=，1227BE CBF C S S ∆∆=，2128AEG ADG S S ∆∆=，728AED ADG S S ∆∆=， 于是：2115652827ADG CBFS S ∆∆+=；712382827ADG CBF S S ∆∆+=； 可得40ADG S ∆=．故三角形ADG 的面积是40．【例 6】如图在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点，且:2:5AD AB =，:4:7AE AC =，16ADE S =△平方厘米，求ABC △的面积．EDCBAEDCBA【解析】 连接BE ，::2:5(24):(54)ADE ABE S S AD AB ===⨯⨯△△，::4:7(45):(75)ABE ABC S S AE AC ===⨯⨯△△，所以:(24):(75)ADE ABC S S =⨯⨯△△，设8ADE S =△份，则35ABC S =△份，16ADE S =△平方厘米，所以1份是2平方厘米，35份就是70平方厘米，ABC △的面积是70平方厘米．由此我们得到一个重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比 ．【巩固】如图，三角形ABC 中，AB 是AD 的5倍，AC 是AE 的3倍，如果三角形ADE 的面积等于1，那么三角形ABC 的面积是多少？EDCBAABCDE【解析】 连接BE ．∵3EC AE =∴3ABC ABE S S =V V 又∵5AB AD =∴515ADE ABE ABC S S S =÷=÷V V V ，∴1515ABC ADE S S ==V V ．【巩固】如图，三角形ABC 被分成了甲(阴影部分)、乙两部分，4BD DC ==，3BE =，6AE =，乙部分面积是甲部分面积的几倍？乙甲E DCBAABCDE甲乙【解析】 连接AD ．∵3BE =，6AE =∴3AB BE =，3ABD BDE S S =V V 又∵4BD DC ==，∴2ABC ABD S S =V V ，∴6ABC BDE S S =V V ，5S S =乙甲．【例 7】如图在ABC △中，D 在BA 的延长线上，E 在AC 上，且:5:2AB AD =， :3:2AE EC =，12ADE S =△平方厘米，求ABC △的面积．EDCBAEDCB A【解析】 连接BE ，::2:5(23):(53)ADE ABE S S AD AB ===⨯⨯△△[]::3:(32)(35):(32)5ABE ABC S S AE AC ==+=⨯+⨯△△，所以[]:(32):5(32)6:25ADE ABC S S =⨯⨯+=△△，设6ADE S =△份，则25ABC S =△份，12ADE S =△平方厘米，所以1份是2平方厘米，25份就是50平方厘米，ABC △的面积是50平方厘米．由此我们得到一个重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比【例 8】如图，平行四边形ABCD ，BE AB =，2CF CB =，3GD DC =，4HA AD =，平行四边形ABCD 的面积是2， 求平行四边形ABCD 与四边形EFGH 的面积比．HGAB CD EFHGAB CD EF【解析】 连接AC 、BD ．根据共角定理∵在ABC △和BFE △中，ABC ∠与FBE ∠互补，∴111133ABCFBES AB BC S BE BF ⋅⨯===⋅⨯△△． 又1ABC S =△，所以3FBE S =△．同理可得8GCF S =△，15DHG S =△，8AEH S =△．所以8815+3+236EFGH AEH CFG DHG BEF ABCD S S S S S S =++++=++=△△△△． 所以213618ABCDEFGHS S ==．【例 9】如图所示的四边形的面积等于多少？DB13131212【解析】 题目中要求的四边形既不是正方形也不是长方形，难以运用公式直接求面积.我们可以利用旋转的方法对图形实施变换：把三角形OAB 绕顶点O 逆时针旋转，使长为13的两条边重合，此时三角形OAB 将旋转到三角形OCD 的位置.这样，通过旋转后所得到的新图形是一个边长为12的正方形，且这个正方形的面积就是原来四边形的面积.因此，原来四边形的面积为1212144⨯=.(也可以用勾股定理)【例 10】 如图所示，ABC ∆中，90ABC ∠=︒，3AB =，5BC =，以AC 为一边向ABC∆外作正方形ACDE ，中心为O ，求OBC ∆的面积．【解析】 如图，将OAB ∆沿着O 点顺时针旋转90︒，到达OCF ∆的位置．由于90ABC ∠=︒，90AOC ∠=︒，所以180OAB OCB ∠+∠=︒．而OCF OAB ∠=∠， 所以180OCF OCB ∠+∠=︒，那么B 、C 、F 三点在一条直线上．由于OB OF =，90BOF AOC ∠=∠=︒，所以BOF ∆是等腰直角三角形，且斜边BF 为538+=，所以它的面积为218164⨯=．根据面积比例模型，OBC ∆的面积为516108⨯=．【例 11】 如图，以正方形的边AB为斜边在正方形内作直角三角形ABE ，90AEB ∠=︒，AC 、BD 交于O ．已知AE 、BE 的长分别为3cm 、5cm ，求三角形OBE 的面积．F【解析】 如图，连接DE ，以A 点为中心，将ADE ∆顺时针旋转90︒到ABF ∆的位置．那么90EAF EAB BAF EAB DAE ∠=∠+∠=∠+∠=︒，而AEB ∠也是90︒，所以四边形AFBE 是直角梯形，且3AF AE ==， 所以梯形AFBE 的面积为：()1353122+⨯⨯=(2cm )． 又因为ABE ∆是直角三角形，根据勾股定理，222223534AB AE BE =+=+=，所以21172ABD S AB ∆==(2cm )．那么()17125BDE ABD ABE ADE ABD AFBE S S S S S S ∆∆∆∆∆=-+=-=-=(2cm )， 所以1 2.52OBE BDE S S ∆∆==(2cm )．【例 12】 如下图，六边形ABCDEF 中，AB ED =，AF CD =，BC EF =，且有AB 平行于ED ，AF 平行于CD ，BC 平行于EF ，对角线FD 垂直于BD ，已知24FD =厘米，18BD =厘米，请问六边形ABCDEF 的面积是多少平方厘米？FEABDCGFEABDC【解析】 如图，我们将BCD ∆平移使得CD 与AF 重合，将DEF ∆平移使得ED 与AB 重合，这样EF 、BC 都重合到图中的AG 了．这样就组成了一个长方形BGFD ，它的面积与原六边形的面积相等，显然长方形BGFD 的面积为2418432⨯=平方厘米，所以六边形ABCDEF 的面积为432平方厘米．【例 13】 如图，三角形ABC 的面积是1，E 是AC 的中点，点D 在BC 上，且:1:2BD DC =，AD 与BE 交于点F ．则四边形DFEC 的面积等于 ．FEDCBA33321F EDC BAABCDEF【解析】 方法一：连接CF ，根据燕尾定理，12ABF ACF S BD S DC ==△△，1ABF CBF S AE S EC ==△△, 设1BDF S =△份，则2DCF S =△份，3ABF S =△份，3AEF EFC S S ==△△份，如图所标所以551212DCEF ABC S S ==△ 方法二：连接DE ，由题目条件可得到1133ABD ABC S S ==△△，11212233ADE ADC ABC S S S ==⨯=△△△，所以11ABD ADE S BF FE S ==△△，111111122323212DEF DEB BEC ABC S S S S =⨯=⨯⨯=⨯⨯⨯=△△△△，而211323CDE ABC S S =⨯⨯=△△．所以则四边形DFEC 的面积等于512． 【巩固】如图，长方形ABCD 的面积是2平方厘米，2EC DE =，F 是DG 的中点．阴影部分的面积是多少平方厘米?y B CD EGE D CBAEDB A 【解析】 设1DEFS =△份，则根据燕尾定理其他面积如图所示551212BCD S S ==△阴影平方厘米.【例 14】 四边形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O (如图所示)．如果三角形ABD的面积等于三角形BCD 的面积的13，且2AO =，3DO =，那么CO 的长度是DO 的长度的_________倍．ABCDOH GA BCD O【解析】 在本题中，四边形ABCD 为任意四边形，对于这种”不良四边形”，无外乎两种处理方法：⑴利用已知条件，向已有模型靠拢，从而快速解决；⑵通过画辅助线来改造不良四边形．看到题目中给出条件:1:3ABD BCD S S =V V ，这可以向模型一蝶形定理靠拢，于是得出一种解法．又观察题目中给出的已知条件是面积的关系，转化为边的关系，可以得到第二种解法，但是第二种解法需要一个中介来改造这个”不良四边形”，于是可以作AH 垂直BD 于H ，CG 垂直BD 于G ，面积比转化为高之比．再应用结论：三角形高相同，则面积之比等于底边之比，得出结果．请老师注意比较两种解法，使学生体会到蝶形定理的优势，从而主观上愿意掌握并使用蝶形定理解决问题． 解法一：∵::1:3ABD BDC AO OC S S ∆∆==，∴236OC =⨯=，∴:6:32:1OC OD ==． 解法二：作AH BD ⊥于H ，CG BD ⊥于G ．∵13ABDBCD S S ∆∆=，∴13AH CG =，∴13AODDOC S S ∆∆=， ∴13AO CO =，∴236OC =⨯=，∴:6:32:1OC OD ==．【巩固】如图，四边形被两条对角线分成4个三角形，其中三个三角形的面积已知， 求：⑴三角形BGC 的面积；⑵:AG GC =？B【解析】 ⑴根据蝶形定理，123BGCS ⨯=⨯V ，那么6BGC S =V ；⑵根据蝶形定理，()():12:361:3AG GC =++=．【例 15】 如图，平行四边形ABCD 的对角线交于O 点，CEF △、OEF △、ODF △、BOE △的面积依次是2、4、4和6．求：⑴求OCF △的面积；⑵求GCE△的面积．OGF EDCBA【解析】 ⑴根据题意可知，BCD △的面积为244616+++=，那么BCO △和CDO ∆的面积都是1628÷=，所以OCF △的面积为844-=；⑵由于BCO △的面积为8，BOE △的面积为6，所以OCE △的面积为862-=，根据蝶形定理，::2:41:2COE COF EG FG S S ∆∆===，所以::1:2GCE GCF S S EG FG ∆∆==，那么11221233GCE CEF S S ∆∆==⨯=+．【例 16】 如图，长方形ABCD 中，:2:3BE EC =，:1:2DF FC =，三角形DFG 的面积为2平方厘米，求长方形ABCD 的面积．ABCD EF GABCD EF G【解析】 连接AE ，FE ．因为:2:3BE EC =，:1:2DF FC =，所以3111()53210DEF ABCD ABCD S S S =⨯⨯=V 长方形长方形．因为12AEDABCD S S =V 长方形，11::5:1210AG GF ==，所以510AGD GDF S S ==V V 平方厘米，所以12AFD S =V 平方厘米．因为16AFDABCD S S =V 长方形，所以长方形ABCD 的面积是72平方厘米．【例 17】 如图，正方形ABCD 面积为3平方厘米，M 是AD 边上的中点．求图中阴影部分的面积．CBA【解析】 因为M 是AD 边上的中点，所以:1:2AM BC =，根据梯形蝶形定理可以知道22:::1:12:12:21:2:2:4AMG ABG MCG BCG S S S S =⨯⨯=△△△△（）（），设1AGM S =△份，则123MCD S =+=△ 份，所以正方形的面积为1224312++++=份，224S =+=阴影份，所以:1:3S S =阴影正方形，所以1S =阴影平方厘米．【巩固】在下图的正方形ABCD 中，E 是BC 边的中点，AE 与BD 相交于F 点，三角形BEF 的面积为1平方厘米，那么正方形ABCD 面积是 平方厘米．A BCDEF【解析】 连接DE ，根据题意可知:1:2BE AD =，根据蝶形定理得2129S =+=梯形（）(平方厘米)，3ECD S =△(平方厘米)，那么12ABCD S =W (平方厘米)．【例 18】 已知ABCD 是平行四边形，:3:2BC CE =，三角形ODE 的面积为6平方厘米．则阴影部分的面积是 平方厘米．BB【解析】 连接AC ．由于ABCD 是平行四边形，:3:2BC CE =，所以:2:3CE AD =，根据梯形蝶形定理，22:::2:23:23:34:6:6:9COE AOC DOE AOD S S S S =⨯⨯=V V V V ，所以6AOC S =V (平方厘米)，9AOD S =V (平方厘米)，又6915ABC ACD S S ==+=V V (平方厘米)，阴影部分面积为61521+=(平方厘米)．【巩固】右图中ABCD 是梯形，ABED 是平行四边形，已知三角形面积如图所示(单位：平方厘米)，阴影部分的面积是 平方厘米．BB【分析】 连接AE．由于AD 与BC是平行的，所以AECD也是梯形，那么OCDOAE S S ∆∆=．根据蝶形定理，4936OCD OAE OCE OAD S S S S ∆∆∆∆⨯=⨯=⨯=，故236OCD S ∆=， 所以6OCD S ∆=(平方厘米)．【巩固】右图中ABCD 是梯形，ABED 是平行四边形，已知三角形面积如图所示(单位：平方厘米)，阴影部分的面积是 平方厘米．BB【解析】 连接AE ．由于AD 与BC 是平行的，所以AECD 也是梯形，那么OCD OAE S S ∆∆=．根据蝶形定理，2816OCD OAE OCE OAD S S S S ∆∆∆∆⨯=⨯=⨯=，故216OCD S ∆=，所以4OCD S ∆=(平方厘米)．另解：在平行四边形ABED 中，()111681222ADE ABED S S ∆==⨯+=Y (平方厘米)， 所以1284AOE ADE AOD S S S ∆∆∆=-=-=(平方厘米)，根据蝶形定理，阴影部分的面积为8244⨯÷=(平方厘米)．【例 19】 如图，长方形ABCD 被CE 、DF 分成四块，已知其中3块的面积分别为2、5、8平方厘米，那么余下的四边形OFBC 的面积为___________平方厘米．?852O A BCDEF?852O A BC DEF【解析】 连接DE 、CF ．四边形EDCF 为梯形，所以EOD FOC S S ∆=V ，又根据蝶形定理，EOD FOC EOF COD S S S S ∆∆∆∆⋅=⋅，所以2816EOD FOC EOF COD S S S S ∆∆∆∆⋅=⋅=⨯=，所以4EOD S ∆=(平方厘米)，4812ECD S ∆=+=(平方厘米)．那么长方形ABCD 的面积为12224⨯=平方厘米，四边形OFBC 的面积为245289---=(平方厘米)．【例 20】 如图，ABC ∆是等腰直角三角形，DEFG 是正方形，线段AB 与CD 相交于K 点．已知正方形DEFG 的面积48，:1:3AK KB =，则BKD ∆的面积是多少？BB【解析】 由于DEFG 是正方形，所以DA 与BC 平行，那么四边形ADBC 是梯形．在梯形ADBC 中，BDK ∆和ACK ∆的面积是相等的．而:1:3AK KB =，所以ACK ∆的面积是ABC ∆面积的11134=+，那么BDK ∆的面积也是ABC ∆面积的14． 由于ABC ∆是等腰直角三角形，如果过A 作BC 的垂线，M 为垂足，那么M 是BC 的中点，而且AM DE =，可见ABM ∆和ACM ∆的面积都等于正方形DEFG 面积的一半，所以ABC ∆的面积与正方形DEFG 的面积相等，为48．那么BDK ∆的面积为148124⨯=．【例 21】 下图中，四边形ABCD 都是边长为1的正方形，E 、F 、G 、H 分别是AB ，BC ，CD ，DA 的中点，如果左图中阴影部分与右图中阴影部分的面积之比是最简分数m n，那么，()m n +的值等于 ．E【解析】 左、右两个图中的阴影部分都是不规则图形，不方便直接求面积，观察发现两个图中的空白部分面积都比较好求，所以可以先求出空白部分的面积，再求阴影部分的面积．如下图所示，在左图中连接EG ．设AG 与DE 的交点为M ．左图中AEGD 为长方形，可知AMD ∆的面积为长方形AEGD 面积的14，所以三角形AMD 的面积为21111248⨯⨯=．又左图中四个空白三角形的面积是相等的，所以左图中阴影部分的面积为111482-⨯=．BEE如上图所示，在右图中连接AC 、EF ．设AF 、EC 的交点为N ． 可知EF ∥AC 且2AC EF =．那么三角形BEF 的面积为三角形ABC 面积的14，所以三角形BEF 的面积为21111248⨯⨯=，梯形AEFC 的面积为113288-=． 在梯形AEFC 中，由于:1:2EF AC =，根据梯形蝶形定理，其四部分的面积比为：221:12:12:21:2:2:4⨯⨯=，所以三角形EFN 的面积为3118122424⨯=+++，那么四边形BENF 的面积为1118246+=．而右图中四个空白四边形的面积是相等的，所以右图中阴影部分的面积为111463-⨯=．那么左图中阴影部分面积与右图中阴影部分面积之比为11:3:223=，即32m n =， 那么325m n +=+=．【例 22】 如图， ABC △中，DE ，FG ，BC 互相平行，AD DF FB ==，则::ADE DEGF FGCB S S S =△四边形四边形 ．EGF A D CB【解析】 设1ADE S =△份，根据面积比等于相似比的平方，所以22::1:4ADE AFG S S AD AF ==△△，22::1:9ADE ABC S S AD AB ==△△， 因此4AFG S =△份，9ABC S =△份，进而有3DEGF S =四边形份，5FGCB S =四边形份，所以::1:3:5ADE DEGF FGCB S S S =△四边形四边形【巩固】如图，DE 平行BC ，且2AD =，5AB =，4AE =，求AC 的长．A ED CB【解析】 由金字塔模型得:::2:5AD AB AE AC DE BC ===，所以42510AC =÷⨯=【巩固】如图， ABC △中，DE ，FG ，MN ，PQ ，BC 互相平行，AD DF FM MP PB ====，则::::ADE DEGF FGNM MNQP PQCB S S S S S =△四边形四边形四边形四边形． 【解析】 设1ADE S =△份，22::1:4ADE AFG S S AD AF ==△△，因此4AFG S =△份，进而有3DEGF S =四边形份，同理有5FGNM S =四边形份，7MNQP S =四边形份，9PQCB S =四边形份．所以有::::1:3:5:7:9ADE DEGF FGNM MNQP PQCB S S S S S =△四边形四边形四边形四边形【例 23】 如图，已知正方形ABCD 的边长为4，F是BC 边的中点，E 是DC 边上的点，且:1:3DE EC =，AF 与BE 相交于点G ，求ABG S △GFAEDC BM GFAEDCBGFAEDCB【解析】 方法一：连接AE ，延长AF ，DC 两条线交于点M ，构造出两个沙漏，所以有::1:1AB CM BF FC ==，因此4CM =，根据题意有3CE =，再根据另一个沙漏有::4:7GB GE AB EM ==，所以4432(442)471111ABG ABE S S ==⨯⨯÷=+△△．方法二：连接,AE EF，分别求4224ABF S =⨯÷=△，4441232247AEFS =⨯-⨯÷-⨯÷-=△，根据蝶形定理::4:7ABF AEF S S BG GE ==△△，所以4432(442)471111ABG ABE S S ==⨯⨯÷=+△△．【例 24】 如图所示，已知平行四边形ABCD 的面积是1，E 、F 是AB 、AD 的中点， BF 交EC 于M ，求BMG ∆的面积．Q E GNMFPA DCBMHGF E DCBAA【解析】 解法一：由题意可得，E 、F 是AB 、AD 的中点，得//EF BD ，而::1:2FD BC FH HC ==，::1:2EB CD BG GD ==所以::2:3CH CF GH EF ==，并得G 、H 是BD 的三等分点，所以BG GH =，所以 ::2:3BG EF BM MF ==，所以25BM BF =，11112224BFD ABD ABCD S S S ∆∆==⨯=Y ； 又因为13BG BD =，所以1212113535430BMG BFD S S ∆∆=⨯⨯=⨯⨯=． 解法二：延长CE 交DA 于I ，如右图，可得，::1:1AI BC AE EB ==，从而可以确定M 的点的位置， ::2:3BM MF BC IF ==，25BM BF =，13BG BD =(鸟头定理)，可得2121115353430BMG BDF ABCD S S S ∆∆=⨯=⨯⨯=Y【例 25】 如图，ABCD 为正方形，1cm AM NB DE FC ====且2cm MN =，请问四边形PQRS 的面积为多少？CACA【解析】 (法1)由//AB CD ，有MP PC MNDC=，所以2PC PM =，又MQ MB QC EC =，所以12MQ QC MC ==，所以111236PQ MC MC MC =-=，所以SPQR S 占AMCF S 的16，所以121(112)63SPQR S =⨯⨯++=2(cm )．(法2)如图，连结AE ，则14482ABE S ∆=⨯⨯=(2cm )，而RB ER ABEF=，所以2RB AB EFEF ==，22168333ABR ABE S S ∆∆==⨯=(2cm )．而1134322MBQ ANS S S ∆∆==⨯⨯⨯=(2cm )，因为MN MP DC PC=，所以13MP MC =，则11424233MNP S ∆=⨯⨯⨯=(2cm )，阴影部分面积等于164233333ABR ANS MBQ MNP S S S S ∆∆∆∆--+=--+=(2cm )．【例 26】 如右图，三角形ABC 中，:4:9BD DC =，:4:3CE EA =，求:AF FB ．O F EDCBA【解析】 根据燕尾定理得::4:912:27AOB AOC S S BD CD ===△△::3:412:16AOB BOC S S AE CE ===△△（都有AOB △的面积要统一，所以找最小公倍数） 所以:27:16:AOC BOC S S AF FB ==△△【点评】本题关键是把AOB △的面积统一，这种找最小公倍数的方法，在我们用比例解题中屡见不鲜，如果能掌握它的转化本质，我们就能达到解奥数题四两拨千斤的巨大力量！【巩固】如右图，三角形ABC 中，:3:4BD DC =，:5:6AE CE =，求:AF FB .O F EDCBA【解析】 根据燕尾定理得::3:415:20AOB AOC S S BD CD ===△△::5:615:18AOB BOC S S AE CE ===△△（都有AOB △的面积要统一，所以找最小公倍数） 所以:20:1810:9:AOC BOC S S AF FB ===△△【巩固】如右图，三角形ABC 中，:2:3BD DC =，:5:4EA CE =，求:AF FB .O F EDCBA【解析】 根据燕尾定理得::2:310:15AOB AOC S S BD CD ===△△::5:410:8AOB BOC S S AE CE ===△△（都有AOB △的面积要统一，所以找最小公倍数） 所以:15:8:AOC BOC S S AF FB ==△△【点评】本题关键是把AOB △的面积统一，这种找最小公倍数的方法，在我们用比例解题中屡见不鲜，如果能掌握它的转化本质，我们就能达到解奥数题四两拨千斤的巨大力量！【例 27】 如右图，三角形ABC 中，:::3:2AF FB BD DC CE AE ===，且三角形ABC 的面积是1，则三角形ABE 的面积为______，三角形AGE 的面积为________，三角形GHI 的面积为______．I HGFEDCBAI H G FEDCBA【分析】 连接AH 、BI 、CG ．由于:3:2CE AE =，所以25AE AC =，故2255ABE ABC S S ∆∆==；根据燕尾定理，::2:3ACG ABG S S CD BD ∆∆==，::3:2BCG ABG S S CE EA ∆∆==，所以::4:6:9ACG ABG BCG S S S ∆∆∆=，则419ACG S ∆=，919BCG S ∆=； 那么2248551995AGE AGC S S ∆∆==⨯=； 同样分析可得919ACH S ∆=，则::4:9ACG ACH EG EH S S ∆∆==，::4:19ACG ACB EG EB S S ∆∆==，所以::4:5:10EG GH HB =，同样分析可得::10:5:4AG GI ID =，所以5521101055BIE BAE S S ∆∆==⨯=，55111919519GHI BIE S S ∆∆==⨯=．【巩固】 如右图，三角形ABC 中，:::3:2AF FB BD DC CE AE ===，且三角形GHI的面积是1，求三角形ABC 的面积．IH G FEDCBA IH G FEDCBA【解析】 连接BG ，AGCS △=6份根据燕尾定理，::3:26:4AGC BGC S S AF FB ===△△，::3:29:6ABG AGC S S BD DC ===△△得4BGC S =△(份)，9ABG S =△(份)，则19ABC S =△(份)，因此619AGCABCS S =△△, 同理连接AI 、CH 得619ABHABCS S =△△,619BIC ABC S S =△△,所以1966611919GHI ABC S S ---==△△三角形GHI 的面积是1，所以三角形ABC 的面积是19【巩固】如图，ABC ∆中2BD DA =，2CE EB =，2AF FC =，那么ABC ∆的面积是阴影三角形面积的 倍．BCCB【分析】 如图，连接AI．根据燕尾定理，::2:1BCI ACIS S BD AD ∆∆==，::1:2BCI ABI S S CF AF ∆∆==，所以，::1:2:4ACI BCI ABI S S S ∆∆∆=，那么，221247BCI ABC ABC S S S ∆∆∆==++．同理可知ACG ∆和ABH ∆的面积也都等于ABC ∆面积的27，所以阴影三角形的面积等于ABC ∆面积的211377-⨯=，所以ABC ∆的面积是阴影三角形面积的7倍．【巩固】如图在ABC △中，12DC EA FB DBECFA===,求GHI ABC △的面积△的面积的值．IHG FEDCBAIHG FEDCB A【解析】 连接BG ,设BGC S △=1份，根据燕尾定理::2:1AGC BGC S S AF FB ==△△,::2:1ABG AGC S S BD DC ==△△,得2AGC S =△(份)，4ABG S =△(份),则7ABC S =△(份)，因此27AGC ABC S S =△△,同理连接AI 、CH 得27ABH ABC S S =△△,27BIC ABC S S =△△,所以7222177GHI ABC S S ---==△△ 【点评】如果任意一个三角形各边被分成的比是相同的，那么在同样的位置上的图形，虽然形状千变万化，但面积是相等的，这在这讲里面很多题目都是用“同理得到”的，即再重复一次解题思路，因此我们有对称法作辅助线.【例 28】 如图，三角形ABC 的面积是1，BD DE EC ==，CF FG GA ==，三角形ABC被分成9部分，请写出这9部分的面积各是多少?GFE D CBAN MQPGF EDCBA【解析】 设BG 与AD 交于点P ，BG 与AE 交于点Q ，BF 与AD 交于点M ，BF 与AE交于点N ．连接CP ，CQ ，CM ，CN ．根据燕尾定理，::1:2ABP CBP S S AG GC ==△△，::1:2ABP ACP S S BD CD ==△△，设1ABP S =△(份)，则1225ABC S =++=△(份)，所以15ABP S =△ 同理可得，27ABQ S =△,12ABN S =△,而13ABG S =△，所以2137535APQ S =-=△，1213721AQG S =-=△．同理，335BPMS =△121BDM S =△,所以1239273570PQMN S =--=四边形，13953357042MNEDS =--=四边形,1151321426NFCE S =--=四边形,1115321642GFNQ S =--=四边形【巩固】如图，ABC ∆的面积为1，点D 、E 是BC 边的三等分点，点F 、G 是AC边的三等分点，那么四边形JKIH 的面积是多少？K J IHABC D EF GKJI HABCD EFG【解析】 连接CK 、CI 、CJ．根据燕尾定理，::1:2ACK ABK S S CD BD ∆∆==，::1:2ABK CBK S S AG CG ∆∆==， 所以::1:2:4ACK ABK CBK S S S ∆∆∆=，那么111247ACK S ∆==++，11321AGK ACK S S ∆∆==． 类似分析可得215AGI S ∆=． 又::2:1ABJ CBJ S S AF CF ∆∆==，::2:1ABJ ACJ S S BD CD ∆∆==，可得14ACJ S ∆=． 那么，111742184CGKJS =-=． 根据对称性，可知四边形CEHJ 的面积也为1784，那么四边形JKIH 周围的图形的面积之和为172161228415370CGKJ AGI ABE S S S ∆∆⨯++=⨯++=，所以四边形JKIH 的面积为61917070-=．【例 29】 右图，ABC △中，G 是AC 的中点，D 、E 、F 是BC 边上的四等分点，AD 与BG 交于M ，AF 与BG 交于N ，已知ABM △的面积比四边形FCGN 的面积大7.2平方厘米，则ABC △的面积是多少平方厘米？N M GA BCD EFNMGA BC D EF【解析】 连接CM 、CN ．根据燕尾定理，::1:1ABM CBMS S AG GC ==△△，::1:3ABM ACM S S BD CD ==△△，所以15ABM ABC S S =△△；再根据燕尾定理，::1:1ABN CBNS S AG GC ==△△，所以::4:3ABN FBN CBN FBN S S S S ==△△△△，所以:4:3AN NF =，那么1422437ANG AFC S S =⨯=+△△，所以2515177428FCGNAFC ABC ABC S S S S ⎛⎫=-=⨯= ⎪⎝⎭△△△．根据题意，有157.2528ABC ABC S S -=△△，可得336ABC S =△(平方厘米)【例 30】 如图，面积为l 的三角形ABC 中，D 、E 、F 、G 、H 、I 分别是AB 、BC 、CA 的三等分点,求阴影部分面积.C BAGCB【解析】 三角形在开会，那么就好好利用三角形中最好用的比例和燕尾定理吧！令BI 与CD 的交点为M ，AF 与CD 的交点为N ，BI 与AF 的交点为P ,BI 与CE 的交点为Q ,连接AM 、BN 、CP⑴求ADMI S 四边形：在ABC △中，根据燕尾定理，::1:2ABM CBM S S AI CI ==△△::1:2ACM CBM S S AD BD ==△△设1ABM S =△(份)，则2CBM S =△(份),1ACM S =△(份),4ABC S =△(份),所以14ABMACM ABC S S S ==△△△，所以11312ADM ABM ABC S S S ==△△△,112AIM ABC S S =△△,所以111()12126ABC ABC ADMI S S S =+=△△四边形,同理可得另外两个顶点的四边形面积也分别是ABC △面积的16⑵求DNPQE S 五边形：在ABC △中，根据燕尾定理::1:2ABN ACN S S BF CF ==△△::1:2ACN BCN S S AD BD ==△△,所以111133721ADN ABN ABC ABC S S S S ==⨯=△△△△,同理121BEQ ABC S S =△△在ABC△中，根据燕尾定理::1:2ABP ACP S S BF CF ==△△,::1:2ABP CBP S S AI CI ==△△所以15ABP ABCS S =△△，所以1111152121105ABP ADN BEPABC ABC DNPQE S S S S S S ⎛⎫=--=--= ⎪⎝⎭△△△△△五边形 同理另外两个五边形面积是ABC△面积的11105，所以11113133610570S =-⨯-⨯=阴影【例 31】 如图，面积为l 的三角形ABC 中，D 、E 、F 、G 、H 、I 分别是AB 、BC 、CA 的三等分点,求中心六边形面积.GCBAGCBA【解析】 设深黑色六个三角形的顶点分别为N 、R 、P 、S 、M 、Q ，连接CR在ABC △中根据燕尾定理，::.2:1ABR ACR S S BG CG ==△△, ::1:2ABR CBR S S AI CI ==△△所以27ABR ABC S S =△△,同理27ACS ABC S S =△△,27CQB ABC S S =△△所以222117777RQS S =---=△，同理17MNP S =△根据容斥原理，和上题结果11131777010S =+-=六边形课后练习： 练习1. 已知DEF △的面积为7平方厘米，,2,3BE CE AD BD CF AF ===，求ABC △的面积．FED CBA【解析】:():()(11):(23)1:6BDE ABC S S BD BE BA BC =⨯⨯=⨯⨯=△△，:():()(13):(24)3:8CEF ABC S S CE CF CB CA =⨯⨯=⨯⨯=△△:():()(21):(34)1:6ADF ABC S S AD AF AB AC =⨯⨯=⨯⨯=△△设24ABC S =△份，则4BDE S =△份，4ADF S =△份，9CEF S =△份，244497DEF S =---=△份，恰好是7平方厘米，所以24ABC S =△平方厘米练习2. 如图，四边形EFGH 的面积是66平方米，EA AB =，CB BF =，DC CG =，HD DA =，求四边形ABCD 的面积．H GFED CB A A B CDEFGH【解析】 连接BD ．由共角定理得:():()1:2BCD CGF S S CD CB CG CF =⨯⨯=△△，即2CGF CDB S S =△△同理:1:2ABD AHE S S =△△，即2AHE ABD S S =△△ 所以2()2AHE CGF CBD ADB ABCD S S S S S +=+=△△△△四边形连接AC ，同理可以得到2DHG BEF ABCD S S S +=△△四边形5AHE CGF HDG BEF EFGH ABCD ABCD S S S S S S S =++++=△△△△四边形四边形四边形 所以66513.2ABCD S =÷=四边形平方米练习3. 正方形ABCD 的面积是120平方厘米，E 是AB 的中点，F 是BC 的中点，四边形BGHF 的面积是 平方厘米．H GFEDCBAM H GFEDCBA【解析】 欲求四边形BGHF 的面积须求出EBG ∆和CHF ∆的面积．由题意可得到：::1:2EG GC EB CD ==，所以可得：13EBG BCE S S ∆∆=将AB 、DF 延长交于M 点，可得：:::1:1BM DC MF FD BF FC ===，而1::():3:22EH HC EM CD AB AB CD ==+=，得25CH CE =，而12CF BC =，所以121255CHF BCE BCE S S S ∆∆∆=⨯=11112030224BCE S AB BC ∆=⨯⨯=⨯=117730141515EBC EBC EBC EBC BGHF S S S S S ∆∆∆∆=--==⨯=四边形．EF ，确定H 的位置(也就是:FH HD )练习4. 如图，已知4cm AB AE ==，BC DC =，90BAE BCD ∠=∠=︒，10cm AC =，则S ABC ACE CDE S S ∆∆∆++= 2cm ．DCEBABCA'C'EDA【解析】 将三角形ABC 绕A 点和C 点分别顺时针和逆时针旋转90o，构成三角形'AEC 和'A DC ，再连接''A C ，显然'AC AC ⊥，'AC A C ⊥，''AC A C AC ==，所以''ACA C 是正方形．三角形'AEC 和三角形'A DC 关于正方形的中心O 中心对称，在中心对称图形''ACA C 中有如下等量关系： ''AEC A DC S S ∆∆=；''AEC A DC S S ∆∆=；'CED C DE S S ∆∆=．所以2'''11101050cm 22ABC ACE CDE AEC ACE CDE ACA C S S S S S S S ∆∆∆∆∆∆++=++==⨯⨯=W ．练习5. 如图，正方形ABCD 的面积是120平方厘米，E 是AB 的中点，F 是BC 的中点，四边形BGHF 的面积是_____平方厘米．EDED【解析】 连接BH ,根据沙漏模型得:1:2BG GD =,设1BHC S =△份，根据燕尾定理2CHD S =△份，2BHD S =△份，因此122)210S =++⨯=正方形（份，127236BFHG S =+=，所以712010146BFHG S =÷⨯=(平方厘米).练习6. 如图，ABC ∆中，点D 是边AC 的中点，点E 、F 是边BC 的三等分点，若ABC ∆的面积为1，那么四边形CDMF 的面积是_________．。

小学奥数平面几何五种面积模型 等积 鸟头 蝶形 相似 共边

小学奥数平面几何五种面积模型 等积 鸟头 蝶形 相似 共边
4
以三角形 AOE 和 DOG 的面积之和为120 3 70 20 ；
4
又三角形
AOE
、
DOG
和四边形
EFGO
的面积之和为120


1 2

1 4


30
，所以四边形
EFGO 的面积为 30 20 10 ．
另解：从整体上来看，四边形 EFGO 的面积 三角形 AFC 面积 三角形 BFD 面积
所以阴影部分的面积是： S阴影 18 SEBF 18 4.5 13.5
解法二：特殊点法．找 H 的特殊点，把 H 点与 D 点重合，
那么图形就可变成右图：
，而 ，
A
D (H)
E
G
B
F
C
这样阴影部分的面积就是 DEF 的面积，根据鸟头定理，则有：
S阴影

S ABCD

SAED
边部分面积是 38，右边部分面积是 65，那么三角形 ADG 的面积是
．
A
A
CD E B
FG
CD E
F
G
B
【解析】连接 AF ， BD ． 根据题意可知， CF 5 7 15 27 ； DG 7 15 6 28 ；
所以， SBEF

15 27 SCBF
， SBEC

存在于任何一个三角形之中，为三角形中的三角形面积对应底边之
O
间提供互相联系的途径.
B
D
C
典型例题
【例 1】 如图，正方形 ABCD 的边长为 6，AE 1.5，CF 2．长方形 EFGH 的面积为
．
_H

小学奥数几何五大模型

小学奥数几何五大模型

（4）相似模型1、相似三角形：形状相同、大小不相等的两个三角形相似；2、寻找相似模型的大前提是平行线：平行于三角形一边的直线和其他两边或两边延长线相交，所构成的三角形与原三角形相似。

3、相似三角形性质：①相似三角形的一切对应线段(对应高、对应边）的比等于相似比；②相似三角形周长的比等于相似比；③相似三角形面积的比等于相似比的平方。

相似模型大致分为金字塔模型、沙漏模型这两大类，注意这两大类中都含有DE BC ∥。

(一)金字塔模型 (二) 沙漏模型结论：因为DE BC ∥，所以ADE ABC △∽△，则①AD AE DE==；②22::ADE ABC S S AD AB =△△。

②::ABO BCO S S AE EC =△△；ED C BA E DCB A③::ACO BCO S S AF FB =△△。

二、五大模型经典例题详解 （1）等积变换模型例1、图中的E F G 、、分别是正方形ABCD 三条边的三等分点，如果正方形的边长是12，那么阴影部分的面积是多少？GFE D CBA解析：把另外三个三等分点标出之后，正方形的3条边AB BC CD 、、就被分成了相等的三段。

把点H 和这些分点、正方形的顶点连接，这样就把整个正方形分割成了9个形状各不相同的三角形，同时我们把空白部分的6个三角形按顺时针标记1～6。

这9个三角形的底边都是正方形边长的三分之一；阴影部分被分割成了其中的3个三角形。

根据等积变换模型可知，CD 边上的阴影三角形的面积与第1、2个三角形相等；BC 边上的阴影三角形与第3、4个三角形相等；AB 边上的阴影三角形与第5、6个三角形相等。

因此，阴影面积是空白面积的二分之一，是正方形面积的三分之一，即：12×12÷3=48。

例2、如图所示，Q E P M 、、、分别为直角梯形ABCD 两边AB CD 、上的点，且DQ CP ME 、、彼此平行，已知5753AD BC AE EB ====、、、，求阴影部分三角形PQM 的面积。

[六年级数学]小学奥数平面几何五种面积模型等积_鸟头_蝶形_相似_共边

[六年级数学]小学奥数平面几何五种面积模型等积_鸟头_蝶形_相似_共边

小学奥数平面几何五种模型（等积，鸟头，蝶形，相似，共边）目标：熟练掌握五大面积模型等积，鸟头，蝶形，相似（含金字塔模型和沙漏模型），共边（含燕尾模型和风筝模型）， 掌握五大面积模型的各种变形 知识点拨一、等积模型①等底等高的两个三角形面积相等； ②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比； 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比；如右图12::S S a b =③夹在一组平行线之间的等积变形，如右图ACD BCD S S =△△； 反之，如果ACD BCD S S =△△，则可知直线AB 平行于CD ．④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)；⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比． 二、鸟头定理两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形． 共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比． 如图在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点如图 ⑴(或D 在BA 的延长线上，E 在AC 上)，则:():()ABC ADE S S AB AC AD AE =⨯⨯△△EDCBAEDCBA图⑴ 图⑵ 三、蝶形定理任意四边形中的比例关系(“蝶形定理”)：①1243::S S S S =或者1324S S S S ⨯=⨯②()()1243::AO OC S S S S =++蝶形定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．通过构造b a S 2S 1DC BA S 4S 3S 2S 1O DCBA模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系．梯形中比例关系(“梯形蝶形定理”)：①2213::S S a b = ②221324::::::S S S S a b ab ab =； ③S 的对应份数为()2a b +．四、相似模型(一)金字塔模型 (二) 沙漏模型GF E ABCDAB CDEF G①AD AE DE AF ABACBCAG===；②22:ADE ABC S S AF AG =△△：．所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形(只要其形状不改变，不论大小怎样改变它们都相似)，与相似三角形相关的常用的性质及定理如下：⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比；⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方；⑶连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．三角形中位线定理：三角形的中位线长等于它所对应的底边长的一半． 相似三角形模型，给我们提供了三角形之间的边与面积关系相互转化的工具．在小学奥数里，出现最多的情况是因为两条平行线而出现的相似三角形． 五、共边定理（燕尾模型和风筝模型）在三角形ABC 中，AD ，BE ，CF 相交于同一点O ，那么::ABO ACO S S BD DC ∆∆=．上述定理给出了一个新的转化面积比与线段比的手段，因为ABO ∆和ACO ∆的形状很象燕子的尾巴，所以这个定理被称为燕尾定理．该定理在许多几何题目中都有着广泛的运用，它的特殊性在于，它可以存在于任何一个三角形之中，为A BCD O ba S 3S 2S 1S 4O FED C BA三角形中的三角形面积对应底边之间提供互相联系的途径. 典型例题【例 1】 如图，正方形ABCD 的边长为6，AE =1.5，CF =2．长方形EFGH 的面积为 ．【解析】 连接DE ，DF ，则长方形EFGH 的面积是三角形DEF 面积的二倍．三角形DEF 的面积等于正方形的面积减去三个三角形的面积，66 1.562262 4.54216.5DEF S =⨯-⨯÷-⨯÷-⨯÷=△,所以长方形EFGH面积为33．【巩固】如图所示，正方形ABCD 的边长为8厘米，长方形EBGF 的长BG 为10厘米，那么长方形的宽为几厘米？【解析】 本题主要是让学生会运用等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)．三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半． 证明：连接AG ．(我们通过ABG △把这两个长方形和正方形联系在一起)．∵在正方形ABCD 中，G 12AB S AB AB =⨯⨯△边上的高， ∴12ABG ABCDS S=△(三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半)同理，12ABGEFGB S S =△． ∴正方形ABCD 与长方形E F G B 面积相等． 长方形的宽88106.=⨯÷=(厘米)． _H_G_F_E_D_C_B_ A _A_B_C_D_E_F_G_H_ A _ B_ G_ C _ E _ F_ D_ A _ B_ G_ C_ E_ F_ D【例 2】 长方形ABCD 的面积为362cm ，E 、F 、G 为各边中点，H 为AD 边上任意一点，问阴影部分面积是多少？E【解析】 解法一：寻找可利用的条件，连接BH 、HC ，如下图：E可得：12EHB AHB S S ∆∆=、12FHB CHB S S ∆∆=、12DHG DHC S S ∆∆=，而36ABCD AHB CHB CHD S S S S ∆∆∆=++=即11()361822EHB BHF DHG AHB CHB CHD S S S S S S ∆∆∆∆∆∆++=++=⨯=； 而EHB BHF DHG EBFS S S S S ∆∆∆∆++=+阴影，11111()()36 4.522228EBF S BE BF AB BC ∆=⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=⨯=．所以阴影部分的面积是：1818 4.513.5EBF S S ∆=-=-=阴影解法二：特殊点法．找H 的特殊点，把H 点与D 点重合，那么图形就可变成右图：GE (H )这样阴影部分的面积就是DEF ∆的面积，根据鸟头定理，则有：11111113636363613.52222222ABCD AED BEF CFD S S S S S ∆∆∆=---=-⨯⨯-⨯⨯⨯-⨯⨯=阴影．【巩固】在边长为6厘米的正方形ABCD 内任取一点P ，将正方形的一组对边二等分，另一组对边三等分，分别与P 点连接,求阴影部分面积．【解析】 （法1）特殊点法．由于P 是正方形内部任意一点，可采用特殊点法，假设P 点与A 点重合，则阴影部分变为如上中图所示，图中的两个阴影三角形的面积分别占正方形面积的14和16，所以阴影部分的面积为2116()1546⨯+=平方厘米．（法2）连接PA 、PC ．由于PAD ∆与PBC ∆的面积之和等于正方形ABCD 面积的一半，所以上、下两个阴影三角形的面积之和等于正方形ABCD 面积的14，同理可知左、右两个阴影三角形的面积之和等于正方形ABCD 面积的16，所以阴影部分的面积为2116()1546⨯+=平方厘米．【例 3】 如图所示，长方形ABCD 内的阴影部分的面积之和为70，8AB =，15AD =，四边形EFGO 的面积为 ．B【解析】 利用图形中的包含关系可以先求出三角形AOE 、DOG 和四边形EFGO 的面积之和，以及三角形AOE 和DOG 的面积之和，进而求出四边形EFGO的面积．由于长方形ABCD 的面积为158120⨯=，所以三角形BOC 的面积为1120304⨯=，所以三角形AOE 和DOG 的面积之和为312070204⨯-=； 又三角形AOE 、DOG 和四边形EFGO 的面积之和为111203024⎛⎫⨯-= ⎪⎝⎭，所以四边形EFGO 的面积为302010-=．另解：从整体上来看，四边形EFGO 的面积=三角形AFC 面积+三角形BFD 面积-白色部分的面积，而三角形AFC 面积+三角形BFD 面积为长方形面积的一半，即60，白色部分的面积等于长方形面积减去阴影部分的面积，即1207050-=，所以四边形的面积为605010-=．【巩固】如图，长方形ABCD 的面积是36，E 是AD 的三等分点，2AE ED =，则阴影部分的面积为 ．BB【解析】 如图，连接OE ．根据蝶形定理，1:::1:12COE CDE CAE CDE ON ND S S S S ∆∆∆∆===，所以12OE N O EDS S ∆∆=； 1:::1:42BOE BAE BDE BAE OM MA S S S S ∆∆∆∆===，所以15OEM OEA S S ∆∆=．又11334OED ABCD S S ∆=⨯=矩形，26OEA OED S S ∆∆==，所以阴影部分面积为：1136 2.725⨯+⨯=．【例 4】 已知ABC 为等边三角形，面积为400，D 、E 、F 分别为三边的中点，已知甲、乙、丙面积和为143，求阴影五边形的面积．(丙是三角形HBC)B【解析】 因为D 、E 、F 分别为三边的中点，所以DE 、DF 、EF 是三角形ABC 的中位线，也就与对应的边平行，根据面积比例模型，三角形ABN 和三角形AMC 的面积都等于三角形ABC 的一半，即为200．根据图形的容斥关系，有ABC ABN AMC AMHN S S S S S ∆∆∆-=+-丙，即400 200200AMHN S S -=+-丙，所以AMHN S S =丙． 又ADF AMHN S S S S S ∆+=++乙甲阴影，所以1143400434ADF S S S S S ∆=++-=-⨯=乙甲丙阴影．【例 5】 如图，已知5CD =，7DE =，15EF =，6FG =，线段AB 将图形分成两部分，左边部分面积是38，右边部分面积是65，那么三角形ADG 的面积是 ．GFE DC BAABC DE FG【解析】 连接AF ，BD ．根据题意可知，571527CF =++=；715628DG =++=；所以，1527BE CBF F S S ∆∆=，1227BE CBF C S S ∆∆=，2128AEG ADG S S ∆∆=，728AED ADG S S ∆∆=， 于是：2115652827ADG CBFS S ∆∆+=；712382827ADG CBF S S ∆∆+=； 可得40ADG S ∆=．故三角形ADG 的面积是40．【例 6】 如图在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点，且:2:5AD AB =，:4:7AE AC =，16ADE S =△平方厘米，求ABC △的面积．EDCBAEDCBA【解析】 连接BE ，::2:5(24):(54)ADE ABE S S AD AB ===⨯⨯△△，::4:7(45):(75)ABE ABC S S AE AC ===⨯⨯△△，所以:(24):(7A D E A B C S S =⨯⨯△△，设8ADE S =△份，则35ABC S =△份，16ADE S =△平方厘米，所以1份是2平方厘米，35份就是70平方厘米，ABC △的面积是70平方厘米．由此我们得到一个重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比 ．【巩固】如图，三角形ABC 中，AB 是AD 的5倍，AC 是AE 的3倍，如果三角形ADE 的面积等于1，那么三角形ABC 的面积是多少？EDCBAABCDE【解析】 连接BE ．∵3EC AE =∴3ABC ABE S S = 又∵5AB AD =∴515ADE ABE ABC S S S =÷=÷，∴1515ABC ADE S S ==．【巩固】如图，三角形ABC 被分成了甲(阴影部分)、乙两部分，4BD DC ==，3BE =，6AE =，乙部分面积是甲部分面积的几倍？乙甲E DCBAABCDE甲乙【解析】 连接AD ．∵3BE =，6AE =∴3AB BE =，3ABD BDE S S = 又∵4BD DC ==，∴2ABC ABD S S =，∴6ABC BDE S S =，5S S =乙甲．【例 7】 如图在ABC △中，D 在BA 的延长线上，E 在AC 上，且:5:2AB AD =，:3:2AE EC =，12ADE S =△平方厘米，求ABC △的面积．EDCBAEDCB A【解析】 连接BE ，::2:5(23):(53)ADE ABE S S AD AB ===⨯⨯△△[]::3:(32)(35):(32)5ABE ABC S S AE AC ==+=⨯+⨯△△，所以[]:(32):5(32)6:25A D E A B C S S =⨯⨯+=△△，设6A D E S =△份，则25ABC S =△份，12ADE S =△平方厘米，所以1份是2平方厘米，25份就是50平方厘米，ABC △的面积是50平方厘米．由此我们得到一个重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比【例 8】 如图，平行四边形ABCD ，BE AB =，2CF CB =，3GD DC =，4HA AD =，平行四边形ABCD 的面积是2， 求平行四边形ABCD 与四边形EFGH 的面积比．HGAB CD EFHGAB CD EF【解析】 连接AC 、BD ．根据共角定理∵在ABC △和BFE △中，ABC ∠与FBE ∠互补，∴111133ABC FBES AB BC S BE BF⋅⨯===⋅⨯△△．又1ABC S =△，所以3FBE S =△．同理可得8GCF S =△，15DHG S =△，8AEH S =△．所以8815+3+236EFGH AEH CFG DHG BEF ABCD S S S S S S =++++=++=△△△△． 所以213618ABCDEFGHS S ==．【例 9】 如图所示的四边形的面积等于多少？DB13131212【解析】 题目中要求的四边形既不是正方形也不是长方形，难以运用公式直接求面积.我们可以利用旋转的方法对图形实施变换：把三角形OAB 绕顶点O 逆时针旋转，使长为13的两条边重合，此时三角形OAB 将旋转到三角形OCD 的位置.这样，通过旋转后所得到的新图形是一个边长为12的正方形，且这个正方形的面积就是原来四边形的面积.因此，原来四边形的面积为1212144⨯=.(也可以用勾股定理)【例 10】 如图所示，ABC ∆中，90ABC ∠=︒，3AB =，5BC =，以AC 为一边向ABC∆外作正方形ACDE ，中心为O ，求OBC ∆的面积．【解析】 如图，将OAB ∆沿着O 点顺时针旋转90︒，到达OCF ∆的位置．由于90ABC ∠=︒，90AOC ∠=︒，所以180OAB OCB ∠+∠=︒．而OCF OAB ∠=∠， 所以180OCF OCB ∠+∠=︒，那么B 、C 、F 三点在一条直线上．由于OB OF =，90BOF AOC ∠=∠=︒，所以BOF ∆是等腰直角三角形，且斜边BF 为538+=，所以它的面积为218164⨯=．根据面积比例模型，OBC ∆的面积为516108⨯=．【例 11】 如图，以正方形的边AB为斜边在正方形内作直角三角形ABE ，90AEB ∠=︒，AC 、BD 交于O ．已知AE 、BE 的长分别为3cm 、5cm ，求三角形OBE 的面积．F【解析】 如图，连接DE ，以A 点为中心，将ADE ∆顺时针旋转90︒到ABF ∆的位置．那么90EAF EAB BAF EAB DAE ∠=∠+∠=∠+∠=︒，而AEB ∠也是90︒，所以四边形AFBE 是直角梯形，且3AF AE ==， 所以梯形AFBE 的面积为：()1353122+⨯⨯=(2cm )．又因为ABE ∆是直角三角形，根据勾股定理，222223534AB AE BE =+=+=，所以21172ABD S AB ∆==(2cm )．那么()17125BDE ABD ABE ADE ABD AFBE S S S S S S ∆∆∆∆∆=-+=-=-=(2cm )， 所以1 2.52OBE BDE S S ∆∆==(2cm )．【例 12】 如下图，六边形ABCDEF 中，AB ED =，AF CD =，BC EF =，且有AB 平行于ED ，AF 平行于CD ，BC 平行于EF ，对角线FD 垂直于BD ，已知24FD =厘米，18BD =厘米，请问六边形ABCDEF 的面积是多少平方厘米？FEABDCGFEABDC【解析】 如图，我们将BCD ∆平移使得CD 与AF 重合，将DEF ∆平移使得ED 与AB 重合，这样EF 、BC 都重合到图中的AG 了．这样就组成了一个长方形BGFD ，它的面积与原六边形的面积相等，显然长方形BGFD 的面积为2418432⨯=平方厘米，所以六边形ABCDEF 的面积为432平方厘米．【例 13】 如图，三角形ABC 的面积是1，E 是AC 的中点，点D 在BC 上，且:1:2BD DC =，AD 与BE 交于点F ．则四边形DFEC 的面积等于 ．FEDCBA33321F EDC BAABCDEF【解析】 方法一：连接CF ，根据燕尾定理，12ABF ACF S BD S DC ==△△，1ABF CBF S AE S EC ==△△, 设1BDF S =△份，则2DCF S =△份，3ABF S =△份，3AEF EFC S S ==△△份，如图所标所以551212DCEF ABC S S ==△ 方法二：连接DE ，由题目条件可得到1133ABD ABC S S ==△△，11212233ADE ADC ABC S S S ==⨯=△△△，所以11ABD ADE S BF FE S ==△△，111111122323212DEF DEB BEC ABC S S S S =⨯=⨯⨯=⨯⨯⨯=△△△△，而211323CDE ABC S S =⨯⨯=△△．所以则四边形DFEC 的面积等于512． 【巩固】如图，长方形ABCD 的面积是2平方厘米，2EC DE =，F 是DG 的中点．阴影部分的面积是多少平方厘米?y B CD EGE D CBAEDB A 【解析】 设1DEFS =△份，则根据燕尾定理其他面积如图所示551212BCD S S ==△阴影平方厘米.【例 14】 四边形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O (如图所示)．如果三角形ABD的面积等于三角形BCD 的面积的13，且2AO =，3DO =，那么CO 的长度是DO 的长度的_________倍．ABCDOH GA BCD O【解析】 在本题中，四边形ABCD 为任意四边形，对于这种”不良四边形”，无外乎两种处理方法：⑴利用已知条件，向已有模型靠拢，从而快速解决；⑵通过画辅助线来改造不良四边形．看到题目中给出条件:1:3ABD BCD S S =，这可以向模型一蝶形定理靠拢，于是得出一种解法．又观察题目中给出的已知条件是面积的关系，转化为边的关系，可以得到第二种解法，但是第二种解法需要一个中介来改造这个”不良四边形”，于是可以作AH 垂直BD 于H ，CG 垂直BD 于G ，面积比转化为高之比．再应用结论：三角形高相同，则面积之比等于底边之比，得出结果．请老师注意比较两种解法，使学生体会到蝶形定理的优势，从而主观上愿意掌握并使用蝶形定理解决问题． 解法一：∵::1:3ABD BDC AO OC S S ∆∆==，∴236OC =⨯=，∴:6:32:1O C O D ==． 解法二：作AH BD ⊥于H ，CG BD ⊥于G ．∵13ABDBCD S S ∆∆=，∴13AH CG =，∴13AODDOC S S ∆∆=， ∴13AO CO =，∴236OC =⨯=，∴:6:32:1OC OD ==．【巩固】如图，四边形被两条对角线分成4个三角形，其中三个三角形的面积已知， 求：⑴三角形BGC 的面积；⑵:AG GC =？B【解析】 ⑴根据蝶形定理，123BGCS⨯=⨯，那么6BGCS=；⑵根据蝶形定理，()():12:361:3AG GC =++=．【例 15】 如图，平行四边形ABCD 的对角线交于O 点，CEF △、OEF △、ODF △、BOE △的面积依次是2、4、4和6．求：⑴求OCF △的面积；⑵求GCE△的面积．OGF EDCBA【解析】 ⑴根据题意可知，BCD △的面积为244616+++=，那么BCO △和CDO ∆的面积都是1628÷=，所以OCF △的面积为844-=；⑵由于BCO △的面积为8，BOE △的面积为6，所以OCE △的面积为862-=，根据蝶形定理，::2:41:2COE COF EG FG S S ∆∆===，所以::1G C E G C F S S E G F G ∆∆==，那么11221233GCE CEF S S ∆∆==⨯=+．【例 16】 如图，长方形ABCD 中，:2:3BE EC =，:1:2DF FC =，三角形DFG 的面积为2平方厘米，求长方形ABCD 的面积．ABCD EF GABCD EF G【解析】 连接AE ，FE ．因为:2B E EC=，:1:2DF FC =，所以3111()53210DEFABCD ABCD SS S =⨯⨯=长方形长方形． 因为12AEDABCD S S =长方形，11::5:1210AG GF ==，所以510AGD GDF S S ==平方厘米，所以12AFD S =平方厘米．因为16AFDABCD S S =长方形，所以长方形ABCD 的面积是72平方厘米．【例 17】 如图，正方形ABCD 面积为3平方厘米，M 是AD 边上的中点．求图中阴影部分的面积．CBA【解析】 因为M 是AD 边上的中点，所以:1:2AM BC =，根据梯形蝶形定理可以知道22:::1:12:12:21:2:2:4AMG ABG MCG BCG S S S S =⨯⨯=△△△△（）（），设1A G M S =△份，则123M C D S =+=△ 份，所以正方形的面积为1224312++++=份，224S =+=阴影份，所以:1:3S S =阴影正方形，所以1S =阴影平方厘米．【巩固】在下图的正方形ABCD 中，E 是BC 边的中点，AE 与BD 相交于F 点，三角形BEF 的面积为1平方厘米，那么正方形ABCD 面积是 平方厘米．A BCDEF【解析】 连接DE ，根据题意可知:1:2BE AD =，根据蝶形定理得2129S =+=梯形（）(平方厘米)，3ECD S =△(平方厘米)，那么12ABCDS=(平方厘米)．【例 18】 已知ABCD 是平行四边形，:3:2BC CE =，三角形ODE 的面积为6平方厘米．则阴影部分的面积是 平方厘米．BB【解析】 连接AC ．由于ABCD 是平行四边形，:3:2BC CE =，所以:2:3CE AD =，根据梯形蝶形定理，22:::2:23:23:34:6:6:9COE AOC DOE AOD S S S S =⨯⨯=，所以6AOC S =(平方厘米)，9AOD S =(平方厘米)，又691A B C A C D S S ==+=(平方厘米)，阴影部分面积为61521+=(平方厘米)．【巩固】右图中ABCD 是梯形，ABED 是平行四边形，已知三角形面积如图所示(单位：平方厘米)，阴影部分的面积是 平方厘米．BB【分析】 连接AE．由于AD 与BC是平行的，所以AECD也是梯形，那么OCDOAE S S ∆∆=．根据蝶形定理，4936OCD OAE OCE OAD S S S S ∆∆∆∆⨯=⨯=⨯=，故236OCD S ∆=， 所以6OCD S ∆=(平方厘米)．【巩固】右图中ABCD 是梯形，ABED 是平行四边形，已知三角形面积如图所示(单位：平方厘米)，阴影部分的面积是 平方厘米．BB【解析】 连接AE ．由于AD 与BC 是平行的，所以AECD 也是梯形，那么OCD OAE S S ∆∆=．根据蝶形定理，2816OCD OAE OCE OAD S S S S ∆∆∆∆⨯=⨯=⨯=，故216OCD S ∆=，所以4OCD S ∆=(平方厘米)．另解：在平行四边形ABED 中，()111681222ADE ABEDS S∆==⨯+=(平方厘米)， 所以1284AOE ADE AOD S S S ∆∆∆=-=-=(平方厘米)，根据蝶形定理，阴影部分的面积为8244⨯÷=(平方厘米)．【例 19】 如图，长方形ABCD 被CE 、DF 分成四块，已知其中3块的面积分别为2、5、8平方厘米，那么余下的四边形OFBC 的面积为___________平方厘米．?852O A BCDEF?852O A BC DEF【解析】 连接DE 、CF ．四边形EDCF 为梯形，所以EOD FOC S S ∆=，又根据蝶形定理，EOD FOC EOF COD S S S S ∆∆∆∆⋅=⋅，所以2816EOD FOC EOF COD S S S S ∆∆∆∆⋅=⋅=⨯=，所以4EOD S ∆=(平方厘米)，4812ECD S ∆=+=(平方厘米)．那么长方形ABCD 的面积为12224⨯=平方厘米，四边形OFBC 的面积为245289---=(平方厘米)．【例 20】 如图，ABC ∆是等腰直角三角形，DEFG 是正方形，线段AB 与CD 相交于K 点．已知正方形DEFG 的面积48，:1:3AK KB =，则BKD ∆的面积是多少？BB【解析】 由于DEFG 是正方形，所以DA 与BC 平行，那么四边形ADBC 是梯形．在梯形ADBC 中，BDK ∆和ACK ∆的面积是相等的．而:1:3AK KB =，所以ACK∆的面积是ABC ∆面积的11134=+，那么BDK ∆的面积也是ABC ∆面积的14．由于ABC ∆是等腰直角三角形，如果过A 作BC 的垂线，M 为垂足，那么M 是BC 的中点，而且AM DE =，可见ABM ∆和ACM ∆的面积都等于正方形DEFG 面积的一半，所以ABC ∆的面积与正方形DEFG 的面积相等，为48．那么BDK ∆的面积为148124⨯=．【例 21】 下图中，四边形ABCD 都是边长为1的正方形，E 、F 、G 、H 分别是AB ，BC ，CD ，DA 的中点，如果左图中阴影部分与右图中阴影部分的面积之比是最简分数m n，那么，()m n +的值等于 ．E【解析】 左、右两个图中的阴影部分都是不规则图形，不方便直接求面积，观察发现两个图中的空白部分面积都比较好求，所以可以先求出空白部分的面积，再求阴影部分的面积．如下图所示，在左图中连接EG ．设AG 与DE 的交点为M ．左图中AEGD 为长方形，可知AMD ∆的面积为长方形AEGD 面积的14，所以三角形AMD 的面积为21111248⨯⨯=．又左图中四个空白三角形的面积是相等的，所以左图中阴影部分的面积为111482-⨯=．BEE如上图所示，在右图中连接AC 、EF ．设AF 、EC 的交点为N ． 可知EF ∥AC 且2AC EF =．那么三角形BEF 的面积为三角形ABC 面积的14，所以三角形BEF 的面积为21111248⨯⨯=，梯形AEFC 的面积为113288-=．在梯形AEFC 中，由于:1:2EF AC =，根据梯形蝶形定理，其四部分的面积比为：221:12:12:21:2:2:4⨯⨯=，所以三角形EFN 的面积为3118122424⨯=+++，那么四边形BENF 的面积为1118246+=．而右图中四个空白四边形的面积是相等的，所以右图中阴影部分的面积为111463-⨯=．那么左图中阴影部分面积与右图中阴影部分面积之比为11:3:223=，即32m n =， 那么325m n +=+=．【例 22】 如图， ABC △中，DE ，FG ，BC 互相平行，AD DF FB ==，则::ADE DEGF FGCB S S S =△四边形四边形 ．EGF A D CB【解析】 设1ADE S =△份，根据面积比等于相似比的平方，所以22::1:4ADE AFG S S AD AF ==△△，22::1:9ADE ABC S S AD AB ==△△， 因此4AFG S =△份，9ABC S =△份，进而有3DEGF S =四边形份，5FGCB S =四边形份，所以::1:3:5ADE DEGF FGCB S S S =△四边形四边形【巩固】如图，DE 平行BC ，且2AD =，5AB =，4AE =，求AC 的长．A ED CB【解析】 由金字塔模型得:::2:5AD AB AE AC DE BC ===，所以42510AC =÷⨯=【巩固】如图， ABC △中，DE ，FG ，MN ，PQ ，BC 互相平行，AD DF FM MP PB ====，则::::ADE DEGF FGNM MNQP PQCB S S S S S =△四边形四边形四边形四边形． 【解析】 设1ADE S =△份，22::1:4ADE AFG S S AD AF ==△△，因此4AFG S =△份，进而有3DEGF S =四边形份，同理有5F G N M S =四边形份，7MNQP S =四边形份，9PQCB S =四边形份．所以有::::1:3:5:7:9ADE DEGF FGNM MNQP PQCB S S S S S =△四边形四边形四边形四边形【例 23】 如图，已知正方形ABCD 的边长为4，F是BC 边的中点，E 是DC 边上的点，且:1:3DE EC =，AF 与BE 相交于点G ，求ABG S △GFAEDC BM GFAEDCBGFAEDCB【解析】 方法一：连接AE ，延长AF ，DC 两条线交于点M ，构造出两个沙漏，所以有::1:1AB CM BF FC ==，因此4CM =，根据题意有3CE =，再根据另一个沙漏有::G B G E A B EM==，所以4432(442)471111ABG ABE S S ==⨯⨯÷=+△△．方法二：连接,AE EF，分别求4224ABF S =⨯÷=△，4441232247AEFS =⨯-⨯÷-⨯÷-=△，根据蝶形定理::AB F A EFS S BG G E ==△△，所以4432(442)471111ABG ABE S S ==⨯⨯÷=+△△．【例 24】 如图所示，已知平行四边形ABCD 的面积是1，E 、F 是AB 、AD 的中点， BF 交EC 于M ，求BMG ∆的面积．Q E GNMFPA DCBMHGF E DCBAA【解析】 解法一：由题意可得，E 、F 是AB 、AD 的中点，得//EF BD ，而::1:2FD BC FH HC ==， ::1:2EB CD BG GD ==所以::2:3CH CF GH EF ==，并得G 、H 是BD 的三等分点，所以BG GH =，所以 ::2:3BG EF BM MF ==，所以25BM BF =，11112224BFD ABD ABCDS S S ∆∆==⨯=； 又因为13BG BD =，所以1212113535430BMG BFD S S ∆∆=⨯⨯=⨯⨯=． 解法二：延长CE 交DA 于I ，如右图，可得，::1:1AI BC AE EB ==，从而可以确定M 的点的位置， ::2:3BM MF BC IF ==，25BM BF =，13BG BD =(鸟头定理)，可得2121115353430BMG BDF ABCDS S S ∆∆=⨯=⨯⨯=【例 25】 如图，ABCD 为正方形，1cm AM NB DE FC ====且2cm MN =，请问四边形PQRS 的面积为多少？CACA 【解析】 (法1)由//AB CD ，有MP PC MNDC=，所以2PC PM =，又MQ MB QC EC =，所以12MQ QC MC ==，所以111236PQ MC MC MC =-=，所以SPQR S 占AMCF S 的16，所以121(112)63SPQR S =⨯⨯++=2(cm )．(法2)如图，连结AE ，则14482ABE S ∆=⨯⨯=(2cm )，而RB ER ABEF=，所以2RB AB EFEF ==，22168333ABR ABE S S ∆∆==⨯=(2cm )．而1134322MBQ ANS S S ∆∆==⨯⨯⨯=(2cm )，因为MN MP DC PC=，所以13MP MC =，则11424233MNP S ∆=⨯⨯⨯=(2cm )，阴影部分面积等于164233333ABR ANS MBQ MNP S S S S ∆∆∆∆--+=--+=(2cm )．【例 26】 如右图，三角形ABC 中，:4:9BD DC =，:4:3CE EA =，求:AF FB ．O F EDCBA【解析】 根据燕尾定理得::4:912:27AOB AOC S S BD CD ===△△::3:412:16AOB BOC S S AE CE ===△△（都有AOB △的面积要统一，所以找最小公倍数） 所以:27:16:AOC BOC S S AF FB ==△△【点评】本题关键是把AOB △的面积统一，这种找最小公倍数的方法，在我们用比例解题中屡见不鲜，如果能掌握它的转化本质，我们就能达到解奥数题四两拨千斤的巨大力量！【巩固】如右图，三角形ABC 中，:3:4BD DC =，:5:6AE CE =，求:AF FB .O F EDCBA【解析】 根据燕尾定理得::3:415:20AOB AOC S S BD CD ===△△::5:615:18AOB BOC S S AE CE ===△△（都有AOB △的面积要统一，所以找最小公倍数） 所以:20:1810:9:AOC BOC S S AF FB ===△△【巩固】如右图，三角形ABC 中，:2:3BD DC =，:5:4EA CE =，求:AF FB .O F EDCBA【解析】 根据燕尾定理得::2:310:15AOB AOC S S BD CD ===△△::5:410:8AOB BOC S S AE CE ===△△（都有AOB △的面积要统一，所以找最小公倍数） 所以:15:8:AOC BOC S S AF FB ==△△【点评】本题关键是把AOB △的面积统一，这种找最小公倍数的方法，在我们用比例解题中屡见不鲜，如果能掌握它的转化本质，我们就能达到解奥数题四两拨千斤的巨大力量！【例 27】 如右图，三角形ABC 中，:::3:2AF FB BD DC CE AE ===，且三角形ABC 的面积是1，则三角形ABE 的面积为______，三角形AGE 的面积为________，三角形GHI 的面积为______．I HGFEDCBAI H G FEDCBA【分析】 连接AH 、BI 、CG ．由于:3:2CE AE =，所以25AE AC =，故2255ABE ABC S S ∆∆==；根据燕尾定理，::2:3ACG ABG S S CD BD ∆∆==，::3:2BCG ABG S S CE EA ∆∆==，所以::4:6:9ACG ABG BCG S S S ∆∆∆=，则419ACG S ∆=，919BCG S ∆=； 那么2248551995AGE AGC S S ∆∆==⨯=； 同样分析可得919ACH S ∆=，则::4A C G AC HE GE H S S ∆∆==，::4:19ACG ACB EG EB S S ∆∆==，所以::4:5:1E G G H H B =，同样分析可得::10:5A G G I I D =，所以5521101055BIE BAE S S ∆∆==⨯=，55111919519GHI BIE S S ∆∆==⨯=．【巩固】 如右图，三角形ABC 中，:::3:2AF FB BD DC CE AE ===，且三角形GHI的面积是1，求三角形ABC 的面积．IH G FEDCBA IH G FEDCBA【解析】 连接BG ，AGCS △=6份根据燕尾定理，::3:26:4AGC BGC S S AF FB ===△△，::3:29:6ABG AGC S S BD DC ===△△得4BGC S =△(份)，9ABG S =△(份)，则19ABC S =△(份)，因此619AGCABCS S =△△, 同理连接AI 、CH 得619ABHABCS S =△△,619BIC ABC S S =△△,所以1966611919GHI ABC S S ---==△△三角形GHI 的面积是1，所以三角形ABC 的面积是19【巩固】如图，ABC ∆中2BD DA =，2CE EB =，2AF FC =，那么ABC ∆的面积是阴影三角形面积的 倍．BCCB【分析】 如图，连接AI．根据燕尾定理，::2:1BCI ACIS S BD AD ∆∆==，::1:2BCI ABI S S CF AF ∆∆==，所以，::1:2:4ACI BCI ABI S S S ∆∆∆=，那么，221247BCI ABC ABC S S S ∆∆∆==++．同理可知ACG ∆和ABH ∆的面积也都等于ABC ∆面积的27，所以阴影三角形的面积等于ABC ∆面积的211377-⨯=，所以ABC ∆的面积是阴影三角形面积的7倍．【巩固】如图在ABC △中，12DC EA FB DBECFA===,求GHI ABC △的面积△的面积的值．IHG FEDCBAIHG FEDCB A【解析】 连接BG ,设BGC S △=1份，根据燕尾定理::2:1AGC BGC S S AF FB ==△△,::2:1ABG AGC S S BD DC ==△△,得2AGC S =△(份)，4ABG S =△(份),则7ABC S =△(份)，因此27AGC ABC S S =△△,同理连接AI 、CH 得27ABH ABC S S =△△,27BIC ABC S S =△△,所以7222177GHI ABC S S ---==△△ 【点评】如果任意一个三角形各边被分成的比是相同的，那么在同样的位置上的图形，虽然形状千变万化，但面积是相等的，这在这讲里面很多题目都是用“同理得到”的，即再重复一次解题思路，因此我们有对称法作辅助线.【例 28】 如图，三角形ABC 的面积是1，BD DE EC ==，CF FG GA ==，三角形ABC被分成9部分，请写出这9部分的面积各是多少?GFE D CBAN MQPGF EDCBA【解析】 设BG 与AD 交于点P ，BG 与AE 交于点Q ，BF 与AD 交于点M ，BF 与AE交于点N ．连接CP ，CQ ，CM ，CN ．根据燕尾定理，::1:2A B P C B P S S AG GC ==△△，::1:2ABP ACP S S BD CD ==△△，设1ABP S =△(份)，则1225ABC S =++=△(份)，所以15ABP S =△ 同理可得，27ABQ S =△,12ABN S =△,而13ABG S =△，所以2137535APQ S =-=△，1213721AQG S =-=△．同理，335BPMS =△121BDM S =△,所以1239273570PQMN S =--=四边形，13953357042MNEDS =--=四边形,1151321426NFCE S =--=四边形,1115321642GFNQ S =--=四边形【巩固】如图，ABC ∆的面积为1，点D 、E 是BC 边的三等分点，点F 、G 是AC边的三等分点，那么四边形JKIH 的面积是多少？K J IHABC D EF GKJI HABCD EFG【解析】 连接CK 、CI 、CJ．根据燕尾定理，::1:2ACK ABK S S CD BD ∆∆==，::1:2ABK CBK S S AG CG ∆∆==， 所以::1:2:4ACK ABK CBK S S S ∆∆∆=，那么111247ACK S ∆==++，11321AGK ACK S S ∆∆==． 类似分析可得215AGI S ∆=． 又::2:1ABJ CBJ S S AF CF ∆∆==，::2:1ABJ ACJ S S BD CD ∆∆==，可得14ACJ S ∆=． 那么，111742184CGKJS =-=． 根据对称性，可知四边形CEHJ 的面积也为1784，那么四边形JKIH 周围的图形的面积之和为172161228415370CGKJ AGI ABE S S S ∆∆⨯++=⨯++=，所以四边形JKIH 的面积为61917070-=．【例 29】 右图，ABC △中，G 是AC 的中点，D 、E 、F 是BC 边上的四等分点，AD 与BG 交于M ，AF 与BG 交于N ，已知ABM △的面积比四边形FCGN 的面积大7.2平方厘米，则ABC △的面积是多少平方厘米？N M GA BCD EFNMGA BC D EF【解析】 连接CM 、CN ．根据燕尾定理，::1:1ABM CBMS S AG GC ==△△，::1:3ABM ACM S S BD CD ==△△，所以15ABM ABC S S =△△；再根据燕尾定理，::1:1ABN CBNS S AG GC ==△△，所以::4:3ABN FBN CBN FBN S S S S ==△△△△，所以:4:3AN NF =，那么1422437ANG AFC S S =⨯=+△△，所以2515177428FCGNAFC ABC ABC S S S S ⎛⎫=-=⨯= ⎪⎝⎭△△△．根据题意，有157.2528ABC ABC S S -=△△，可得336ABC S =△(平方厘米)【例 30】 如图，面积为l 的三角形ABC 中，D 、E 、F 、G 、H 、I 分别是AB 、BC 、CA 的三等分点,求阴影部分面积.C BAGCB【解析】 三角形在开会，那么就好好利用三角形中最好用的比例和燕尾定理吧！令BI 与CD 的交点为M ，AF 与CD 的交点为N ，BI 与AF 的交点为P ,BI 与CE 的交点为Q ,连接AM 、BN 、CP⑴求ADMI S 四边形：在ABC △中，根据燕尾定理，::1:2ABM CBM S S AI CI ==△△::1:2ACM CBM S S AD BD ==△△设1ABM S =△(份)，则2CBM S =△(份),1ACM S =△(份),4ABC S =△(份),所以14ABMACM ABC S S S ==△△△，所以11312ADM ABM ABC S S S ==△△△,112AIM ABC S S =△△,所以111()12126ABC ABC ADMI S S S =+=△△四边形,同理可得另外两个顶点的四边形面积也分别是ABC △面积的16⑵求DNPQE S 五边形：在ABC △中，根据燕尾定理::1:2ABN ACN S S BF CF ==△△::1:2ACN BCN S S AD BD ==△△,所以111133721ADN ABN ABC ABC S S S S ==⨯=△△△△,同理121BEQ ABC S S =△△在ABC△中，根据燕尾定理::1:2ABP ACP S S BF CF ==△△,::1:2ABP CBP S S AI CI ==△△所以15A BPA BCS S =△△，所以1111152121A B P ADNBED N P QE S S S SS ⎛⎫=--=--= ⎪⎝⎭△△△△△五边形 同理另外两个五边形面积是ABC△面积的11105，所以11113133610570S =-⨯-⨯=阴影【例 31】 如图，面积为l 的三角形ABC 中，D 、E 、F 、G 、H 、I 分别是AB 、BC 、CA 的三等分点,求中心六边形面积.GCBAGCBA【解析】 设深黑色六个三角形的顶点分别为N 、R 、P 、S 、M 、Q ，连接CR在ABC △中根据燕尾定理，::.2:1ABR ACR S S BG CG ==△△, ::1:2ABR CBR S S AI CI ==△△所以27ABR ABC S S =△△,同理27ACS ABC S S =△△,27CQB ABC S S =△△所以222117777RQS S =---=△，同理17MNP S =△根据容斥原理，和上题结果11131777010S =+-=六边形课后练习： 练习1. 已知DEF △的面积为7平方厘米，,2,3BE CE AD BD CF AF ===，求ABC △的面积．FED CBA【解析】:():()(11):(23)1:6BDE ABC S S BD BE BA BC =⨯⨯=⨯⨯=△△，:():()(13):(24)3:8CEF ABC S S CE CF CB CA =⨯⨯=⨯⨯=△△:():()(21):(34)1:6ADF ABC S S AD AF AB AC =⨯⨯=⨯⨯=△△设24ABC S =△份，则4BDE S =△份，4ADF S =△份，9CEF S =△份，244497DEF S =---=△份，恰好是7平方厘米，所以24ABC S =△平方厘米练习2. 如图，四边形EFGH 的面积是66平方米，EA AB =，CB BF =，DC CG =，HD DA =，求四边形ABCD 的面积．H GFED CB A A B CDEFGH【解析】 连接BD ．由共角定理得:():()1:2BCD CGF S S CD CB CG CF =⨯⨯=△△，即2C G F CD B S S =△△ 同理:1:2ABD AHE S S =△△，即2AHE ABD S S =△△ 所以2()2AHE CGF CBD ADB ABCD S S S S S +=+=△△△△四边形连接AC ，同理可以得到2DHG BEF ABCD S S S +=△△四边形5AHE CGF HDG BEF EFGH ABCD ABCD S S S S S S S =++++=△△△△四边形四边形四边形 所以66513.2ABCD S =÷=四边形平方米练习3. 正方形ABCD 的面积是120平方厘米，E 是AB 的中点，F 是BC 的中点，四边形BGHF 的面积是 平方厘米．H GFEDCBAM H GFEDCBA【解析】 欲求四边形BGHF 的面积须求出EBG ∆和CHF ∆的面积．由题意可得到：::1:2EG GC EB CD ==，所以可得：13EBG BCE S S ∆∆=将AB 、DF 延长交于M 点，可得：:::1:1BM DC MF FD BF FC ===，而1::():3:22EH HC EM CD AB AB CD ==+=，得25CH CE =，而12CF BC =，所以121255CHF BCE BCE S S S ∆∆∆=⨯=11112030224BCE S AB BC ∆=⨯⨯=⨯=117730141515EBC EBC EBC EBC BGHF S S S S S ∆∆∆∆=--==⨯=四边形．EF ，确定H 的位置(也就是:FH HD )练习4. 如图，已知4cm AB AE ==，BC DC =，90BAE BCD ∠=∠=︒，10cm AC =，则S ABC ACE CDE S S ∆∆∆++= 2cm ．DCEBABCA'C'EDA【解析】 将三角形ABC 绕A 点和C 点分别顺时针和逆时针旋转90，构成三角形'AEC 和'A DC ，再连接''A C ，显然'AC AC ⊥，'AC A C ⊥，''AC A C AC ==，所以''ACA C 是正方形．三角形'AEC 和三角形'A DC 关于正方形的中心O 中心对称，在中心对称图形''ACA C 中有如下等量关系： ''AEC A DC S S ∆∆=；''AEC A DC S S ∆∆=；'CED C DE S S ∆∆=．所以2'''11101050cm 22ABC ACE CDE AEC ACE CDE ACA C S S S S S S S ∆∆∆∆∆∆++=++==⨯⨯=．练习5. 如图，正方形ABCD 的面积是120平方厘米，E 是AB 的中点，F 是BC 的中点，四边形BGHF 的面积是_____平方厘米．EDED【解析】 连接BH ,根据沙漏模型得:1:2BG GD =,设1BHC S =△份，根据燕尾定理2CHD S =△份，2BHD S =△份，因此122)210S =++⨯=正方形（份，127236BFHG S =+=，所以712010146BFHG S =÷⨯=(平方厘米).练习6. 如图，ABC ∆中，点D 是边AC 的中点，点E 、F 是边BC 的三等分点，若ABC ∆的面积为1，那么四边形CDMF 的面积是_________．。

小学奥数平面几何六种面积模型

小学奥数平面几何六种面积模型

小学奥数平面几何五种模型（等积，鸟头，蝶形，相似，共边）目标：熟练掌握五大面积模型等积，鸟头，蝶形，相似（含金字塔模型和沙漏模型），共边（含燕尾模型和风筝模型）， 掌握五大面积模型的各种变形 知识点拨一、1等积变形模型①等底等高的两个三角形面积相等； ②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比； 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比；如右图12::S S a b =③夹在一组平行线之间的等积变形，如右图ACD BCD S S =△△； 反之，如果ACD BCD S S =△△，则可知直线AB 平行于CD ．④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)；⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比． 2一半模型阴影图形占整个图形面积的一半。

一般在平行四边形中常见一半模型，任取一点与其四个顶点连线，所构成的三角形占平行四边形面积的一半。

当然在梯形中也常见一半模型。

b a S 2S 1DC BA最下面三个图，边上的点都为中点 二、鸟头定理两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形． 共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比． 如图在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点如图 ⑴(或D 在BA 的延长线上，E 在AC 上)， 则:():()ABC ADE S S AB AC AD AE =⨯⨯△△EDCBAEDCB A图⑴ 图⑵三、蝶形定理任意四边形中的比例关系(“蝶形定理”)：①1243::S S S S =或者1324S S S S ⨯=⨯②()()1243::AO OC S S S S =++ 蝶形定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系． 梯形中比例关系(“梯形蝶形定理”)： ①2213::S S a b =②221324::::::S S S S a b ab ab =；A BCDO ba S 3S 2S 1S 4③S 的对应份数为()2a b +．四、相似模型(一)金字塔模型 (二) 沙漏模型GF E ABCDAB CDEF G①AD AE DE AF ABACBCAG===；②22:ADE ABC S S AF AG =△△：．所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形(只要其形状不改变，不论大小怎样改变它们都相似)，与相似三角形相关的常用的性质及定理如下：⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比；⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方；⑶连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．三角形中位线定理：三角形的中位线长等于它所对应的底边长的一半． 相似三角形模型，给我们提供了三角形之间的边与面积关系相互转化的工具．在小学奥数里，出现最多的情况是因为两条平行线而出现的相似三角形． 五、共边定理（燕尾模型和风筝模型）在三角形ABC 中，AD ，BE ，CF 相交于同一点O ，那么::ABO ACO S S BD DC ∆∆=． 上述定理给出了一个新的转化面积比与线段比的手段，因为ABO ∆和ACO ∆的形状很象燕子的尾巴，所以这个定理被称为燕尾定理．该定理在许多几何题目中都有着广泛的运用，它的特殊性在于，它可以存在于任何一个三角形之中，为三角形中的三角形面积对应底边之间提供互相联系的途径. 典型例题【例 1】 如图，正方形ABCD 的边长为6，AE =1.5，CF =2．长方形EFGH 的面积为 ．【解析】 连接DE ，DF ，则长方形EFGH 的面积是三角形DEF 面积的二倍．三角形DEF 的面积等于正方形的面积减去三个三角形的面积，66 1.562262 4.54216.5DEF S =⨯-⨯÷-⨯÷-⨯÷=△,所以长方形EFGH_H_G_F_E_D_C_B_ A _A_B_C_D_E_F_G_HS 4S 3S 2S 1O DCBA OFEDC BA面积为33．【巩固】如图所示，正方形ABCD 的边长为8厘米，长方形EBGF 的长BG 为10厘米，那么长方形的宽为几厘米？【解析】 本题主要是让学生会运用等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)．三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半． 证明：连接AG ．(我们通过ABG △把这两个长方形和正方形联系在一起)．∵在正方形ABCD 中，G12AB S AB AB =⨯⨯△边上的高， ∴12ABGABCDS S =△(三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半)同理，12ABG EFGB S S =△．∴正方形ABCD 与长方形E F G B 面积相等． 长方形的宽88106.=⨯÷=(厘米)．【例 2】 长方形ABCD 的面积为362cm ，E 、F 、G 为各边中点，H 为AD 边上任意一点，问阴影部分面积是多少？E【解析】 解法一：寻找可利用的条件，连接BH 、HC ，如下图：E可得：12EHB AHB S S ∆∆=、12FHB CHB S S ∆∆=、12DHG DHC S S ∆∆=，而36ABCD AHB CHB CHD S S S S ∆∆∆=++=_ A _ B_ G_ C _ E _ F_ D_ A _ B_ G_ C_ E_ F_ D即11()361822EHB BHF DHG AHB CHB CHD S S S S S S ∆∆∆∆∆∆++=++=⨯=； 而EHB BHF DHG EBFS S S S S ∆∆∆∆++=+阴影，11111()()36 4.522228EBF S BE BF AB BC ∆=⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=⨯=．所以阴影部分的面积是：1818 4.513.5EBF S S ∆=-=-=阴影解法二：特殊点法．找H 的特殊点，把H 点与D 点重合，那么图形就可变成右图：GE (H )这样阴影部分的面积就是DEF ∆的面积，根据鸟头定理，则有：11111113636363613.52222222ABCD AED BEF CFD S S S S S ∆∆∆=---=-⨯⨯-⨯⨯⨯-⨯⨯=阴影．【巩固】在边长为6厘米的正方形ABCD 内任取一点P ，将正方形的一组对边二等分，另一组对边三等分，分别与P 点连接,求阴影部分面积．【解析】 （法1）特殊点法．由于P 是正方形内部任意一点，可采用特殊点法，假设P 点与A 点重合，则阴影部分变为如上中图所示，图中的两个阴影三角形的面积分别占正方形面积的14和16，所以阴影部分的面积为2116()1546⨯+=平方厘米．（法2）连接PA 、PC ．由于PAD ∆与PBC ∆的面积之和等于正方形ABCD 面积的一半，所以上、下两个阴影三角形的面积之和等于正方形ABCD 面积的14，同理可知左、右两个阴影三角形的面积之和等于正方形ABCD 面积的16，所以阴影部分的面积为2116()1546⨯+=平方厘米．【例 3】 如图所示，长方形ABCD 内的阴影部分的面积之和为70，8AB =，15AD =，四边形EFGO 的面积为 ．B【解析】 利用图形中的包含关系可以先求出三角形AOE 、DOG 和四边形EFGO 的面积之和，以及三角形AOE 和DOG 的面积之和，进而求出四边形EFGO的面积．由于长方形ABCD 的面积为158120⨯=，所以三角形BOC 的面积为1120304⨯=，所以三角形AOE 和DOG 的面积之和为312070204⨯-=；又三角形AOE 、DOG 和四边形EFGO 的面积之和为111203024⎛⎫⨯-= ⎪⎝⎭，所以四边形EFGO 的面积为302010-=．另解：从整体上来看，四边形EFGO 的面积=三角形AFC 面积+三角形BFD 面积-白色部分的面积，而三角形AFC 面积+三角形BFD 面积为长方形面积的一半，即60，白色部分的面积等于长方形面积减去阴影部分的面积，即1207050-=，所以四边形的面积为605010-=．【巩固】如图，长方形ABCD 的面积是36，E 是AD 的三等分点，2AE ED =，则阴影部分的面积为 ．BB【解析】 如图，连接OE ．根据蝶形定理，1:::1:12COE CDE CAE CDE ON ND S S S S ∆∆∆∆===，所以12OE N O EDS S ∆∆=； 1:::1:42BOE BAE BDE BAE OM MA S S S S ∆∆∆∆===，所以15OEM OEA S S ∆∆=．又11334OEDABCD S S ∆=⨯=矩形，26OEA OED S S ∆∆==，所以阴影部分面积为：1136 2.725⨯+⨯=．【例 4】 已知ABC 为等边三角形，面积为400，D 、E 、F 分别为三边的中点，已知甲、乙、丙面积和为143，求阴影五边形的面积．(丙是三角形HBC)B【解析】 因为D 、E 、F 分别为三边的中点，所以DE 、DF 、EF 是三角形ABC 的中位线，也就与对应的边平行，根据面积比例模型，三角形ABN 和三角形AMC 的面积都等于三角形ABC 的一半，即为200．根据图形的容斥关系，有ABC ABN AMC AMHN S S S S S ∆∆∆-=+-丙，即400 200200AMHN S S -=+-丙，所以AMHN S S =丙． 又ADF AMHN S S S S S ∆+=++乙甲阴影，所以1143400434ADF S S S S S ∆=++-=-⨯=乙甲丙阴影．【例 5】 如图，已知5CD =，7DE =，15EF =，6FG =，线段AB 将图形分成两部分，左边部分面积是38，右边部分面积是65，那么三角形ADG 的面积是 ．GFE DC BAABC DE FG【解析】 连接AF ，BD ．根据题意可知，571527CF =++=；715628DG =++=；所以，1527BE CBF F S S ∆∆=，1227BE CBF C S S ∆∆=，2128AEG ADG S S ∆∆=，728AED ADG S S ∆∆=， 于是：2115652827ADG CBFS S ∆∆+=；712382827ADG CBF S S ∆∆+=； 可得40ADG S ∆=．故三角形ADG 的面积是40．【例 6】 如图在ABC△中，,D E分别是,AB AC上的点，且:2:5AD AB =，:4:7AE AC =，16ADE S =△平方厘米，求ABC △的面积．EDCBAEDCBA【解析】 连接BE ，::2:5(24):(54)ADE ABE S S AD AB ===⨯⨯△△，::4:7(45):(75)ABE ABC S S AE AC ===⨯⨯△△，所以:(24):(7A D E A B C S S =⨯⨯△△，设8ADE S =△份，则35ABC S =△份，16ADE S =△平方厘米，所以1份是2平方厘米，35份就是70平方厘米，ABC △的面积是70平方厘米．由此我们得到一个重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比 ．【巩固】如图，三角形ABC 中，AB 是AD 的5倍，AC 是AE 的3倍，如果三角形ADE 的面积等于1，那么三角形ABC 的面积是多少？EDCBAABCD E【解析】 连接BE ．∵3EC AE =∴3ABC ABE S S = 又∵5AB AD =∴515ADE ABE ABC S S S =÷=÷，∴1515ABC ADE S S ==．【巩固】如图，三角形ABC 被分成了甲(阴影部分)、乙两部分，4BD DC ==，3BE =，6AE =，乙部分面积是甲部分面积的几倍？乙甲E DCBAABCDE甲乙【解析】 连接AD ．∵3BE =，6AE =∴3AB BE =，3ABD BDE S S = 又∵4BD DC ==，∴2ABC ABD S S =，∴6ABC BDE S S =，5S S =乙甲．【例 7】 如图在ABC △中，D 在BA 的延长线上，E 在AC 上，且:5:2AB AD =，:3:2AE EC =，12ADE S =△平方厘米，求ABC △的面积．EDCBAEDCB A【解析】 连接BE ，::2:5(23):(53)ADE ABE S S AD AB ===⨯⨯△△[]::3:(32)(35):(32)5ABE ABC S S AE AC ==+=⨯+⨯△△，所以[]:(32):5(32)6:25A D E A B C S S =⨯⨯+=△△，设6A D E S =△份，则25ABC S =△份，12ADE S =△平方厘米，所以1份是2平方厘米，25份就是50平方厘米，ABC △的面积是50平方厘米．由此我们得到一个重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比【例 8】 如图，平行四边形ABCD ，BE AB =，2CF CB =，3GD DC =，4HA AD =，平行四边形ABCD 的面积是2， 求平行四边形ABCD 与四边形EFGH 的面积比．HGAB CD EFHGAB CD EF【解析】 连接AC 、BD ．根据共角定理∵在ABC △和BFE △中，ABC ∠与FBE ∠互补，∴111133ABC FBES AB BC S BE BF⋅⨯===⋅⨯△△．又1ABC S =△，所以3FBE S =△．同理可得8GCF S =△，15DHG S =△，8AEH S =△．所以8815+3+236EFGH AEH CFG DHG BEF ABCD S S S S S S =++++=++=△△△△． 所以213618ABCDEFGHS S ==．【例 9】 如图所示的四边形的面积等于多少？DB13131212【解析】 题目中要求的四边形既不是正方形也不是长方形，难以运用公式直接求面积.我们可以利用旋转的方法对图形实施变换：把三角形OAB 绕顶点O 逆时针旋转，使长为13的两条边重合，此时三角形OAB 将旋转到三角形OCD 的位置.这样，通过旋转后所得到的新图形是一个边长为12的正方形，且这个正方形的面积就是原来四边形的面积.因此，原来四边形的面积为1212144⨯=.(也可以用勾股定理)【例 10】 如图所示，ABC ∆中，90ABC ∠=︒，3AB =，5BC =，以AC 为一边向ABC∆外作正方形ACDE ，中心为O ，求OBC ∆的面积．【解析】 如图，将OAB ∆沿着O 点顺时针旋转90︒，到达OCF ∆的位置．由于90ABC ∠=︒，90AOC ∠=︒，所以180OAB OCB ∠+∠=︒．而OCF OAB ∠=∠， 所以180OCF OCB ∠+∠=︒，那么B 、C 、F 三点在一条直线上．由于OB OF =，90BOF AOC ∠=∠=︒，所以BOF ∆是等腰直角三角形，且斜边BF 为538+=，所以它的面积为218164⨯=．根据面积比例模型，OBC ∆的面积为516108⨯=．【例 11】 如图，以正方形的边AB为斜边在正方形内作直角三角形ABE ，90AEB ∠=︒，AC 、BD 交于O ．已知AE 、BE 的长分别为3cm 、5cm ，求三角形OBE 的面积．F【解析】 如图，连接DE ，以A 点为中心，将ADE ∆顺时针旋转90︒到ABF ∆的位置．那么90EAF EAB BAF EAB DAE ∠=∠+∠=∠+∠=︒，而AEB ∠也是90︒，所以四边形AFBE 是直角梯形，且3AF AE ==， 所以梯形AFBE 的面积为：()1353122+⨯⨯=(2cm )．又因为ABE ∆是直角三角形，根据勾股定理，222223534AB AE BE =+=+=，所以21172ABD S AB ∆==(2cm )． 那么()17125BDE ABD ABE ADE ABD AFBE S S S S S S ∆∆∆∆∆=-+=-=-=(2cm )， 所以1 2.52OBE BDE S S ∆∆==(2cm )．【例 12】 如下图，六边形ABCDEF 中，AB ED =，AF CD =，BC EF =，且有AB 平行于ED ，AF 平行于CD ，BC 平行于EF ，对角线FD 垂直于BD ，已知24FD =厘米，18BD =厘米，请问六边形ABCDEF 的面积是多少平方厘米？FEABDCGFEABDC【解析】 如图，我们将BCD ∆平移使得CD 与AF 重合，将DEF ∆平移使得ED 与AB 重合，这样EF 、BC 都重合到图中的AG 了．这样就组成了一个长方形BGFD ，它的面积与原六边形的面积相等，显然长方形BGFD 的面积为2418432⨯=平方厘米，所以六边形ABCDEF 的面积为432平方厘米．【例 13】 如图，三角形ABC 的面积是1，E 是AC 的中点，点D 在BC 上，且:1:2BD DC =，AD 与BE 交于点F ．则四边形DFEC 的面积等于 ．FEDCBA33321F E DC BAABCDEF【解析】 方法一：连接CF ，根据燕尾定理，12ABF ACF S BD S DC ==△△，1ABF CBF S AE S EC ==△△, 设1BDF S =△份，则2DCF S =△份，3ABF S =△份，3AEF EFC S S ==△△份，如图所标所以551212DCEF ABC S S ==△ 方法二：连接DE ，由题目条件可得到1133ABD ABC S S ==△△，11212233ADE ADC ABC S S S ==⨯=△△△，所以11ABD ADE S BF FE S ==△△， 111111122323212DEF DEB BEC ABC S S S S =⨯=⨯⨯=⨯⨯⨯=△△△△，而211323CDE ABCS S =⨯⨯=△△．所以则四边形DFEC 的面积等于512． 【巩固】如图，长方形ABCD 的面积是2平方厘米，2EC DE =，F 是DG 的中点．阴影部分的面积是多少平方厘米?y B CD EGE D CBAEDB A 【解析】 设1DEF S =△份，则根据燕尾定理其他面积如图所示551212BCD S S ==△阴影平方厘米.【例 14】 四边形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O (如图所示)．如果三角形ABD的面积等于三角形BCD 的面积的13，且2AO =，3DO =，那么CO 的长度是DO 的长度的_________倍．ABCDOH GA BCD O【解析】 在本题中，四边形ABCD 为任意四边形，对于这种”不良四边形”，无外乎两种处理方法：⑴利用已知条件，向已有模型靠拢，从而快速解决；⑵通过画辅助线来改造不良四边形．看到题目中给出条件:1:3ABD BCD S S =，这可以向模型一蝶形定理靠拢，于是得出一种解法．又观察题目中给出的已知条件是面积的关系，转化为边的关系，可以得到第二种解法，但是第二种解法需要一个中介来改造这个”不良四边形”，于是可以作AH 垂直BD 于H ，CG 垂直BD 于G ，面积比转化为高之比．再应用结论：三角形高相同，则面积之比等于底边之比，得出结果．请老师注意比较两种解法，使学生体会到蝶形定理的优势，从而主观上愿意掌握并使用蝶形定理解决问题． 解法一：∵::1:3ABD BDC AO OC S S ∆∆==，∴236OC =⨯=，∴:6:32:1O C O D ==． 解法二：作AH BD ⊥于H ，CG BD ⊥于G ．∵13ABD BCD S S ∆∆=，∴13AH CG =，∴13AODDOC S S ∆∆=， ∴13AO CO =，∴236OC =⨯=，∴:6:32:1OC OD ==．【巩固】如图，四边形被两条对角线分成4个三角形，其中三个三角形的面积已知， 求：⑴三角形BGC 的面积；⑵:AG GC =？B【解析】 ⑴根据蝶形定理，123BGCS⨯=⨯，那么6BGCS=；⑵根据蝶形定理，()():12:361:3AG GC =++=．【例 15】 如图，平行四边形ABCD 的对角线交于O 点，CEF △、OEF △、ODF △、BOE △的面积依次是2、4、4和6．求：⑴求OCF △的面积；⑵求GCE△的面积．OGFEDCBA【解析】 ⑴根据题意可知，BCD △的面积为244616+++=，那么BCO △和CDO ∆的面积都是1628÷=，所以OCF △的面积为844-=；⑵由于BCO △的面积为8，BOE △的面积为6，所以OCE △的面积为862-=，根据蝶形定理，::2:41:2COE COF EG FG S S ∆∆===，所以::1G C E G C F S S E G F G ∆∆==，那么11221233GCE CEF S S ∆∆==⨯=+．【例 16】 如图，长方形ABCD 中，:2:3BE EC =，:1:2DF FC =，三角形DFG 的面积为2平方厘米，求长方形ABCD 的面积．ABCDEF GABCD EF G【解析】 连接AE ，FE ．因为:2B E EC=，:1:2DF FC =，所以3111()53210DEFABCD ABCD SS S =⨯⨯=长方形长方形． 因为12AED ABCD S S =长方形，11::5:1210AG GF ==，所以510AGD GDF S S ==平方厘米，所以12AFD S =平方厘米．因为16AFD ABCD S S =长方形，所以长方形ABCD 的面积是72平方厘米．【例 17】 如图，正方形ABCD 面积为3平方厘米，M 是AD 边上的中点．求图中阴影部分的面积．CBA【解析】因为M是AD边上的中点，所以:1:2AM BC=，根据梯形蝶形定理可以知道22:::1:12:12:21:2:2:4AMG ABG MCG BCGS S S S=⨯⨯=△△△△（）（），设1A G MS=△份，则123M C DS=+=△份，所以正方形的面积为1224312++++=份，224S=+=阴影份，所以:1:3S S=阴影正方形，所以1S=阴影平方厘米．【巩固】在下图的正方形ABCD中，E是BC边的中点，AE与BD相交于F点，三角形BEF的面积为1平方厘米，那么正方形ABCD面积是平方厘米．AB CDEF【解析】连接DE，根据题意可知:1:2BE AD=，根据蝶形定理得2129S=+=梯形（）(平方厘米)，3ECDS=△(平方厘米)，那么12ABCDS =(平方厘米)．【例18】已知ABCD是平行四边形，:3:2BC CE=，三角形ODE的面积为6平方厘米．则阴影部分的面积是平方厘米．BB【解析】 连接AC ．由于ABCD 是平行四边形，:3:2BC CE =，所以:2:3CE AD =，根据梯形蝶形定理，22:::2:23:23:34:6:6:9COE AOC DOE AOD S S S S =⨯⨯=，所以6AOC S =(平方厘米)，9AOD S =(平方厘米)，又691A B C A C D S S ==+=(平方厘米)，阴影部分面积为61521+=(平方厘米)．【巩固】右图中ABCD 是梯形，ABED 是平行四边形，已知三角形面积如图所示(单位：平方厘米)，阴影部分的面积是 平方厘米．BB【分析】 连接AE ．由于AD 与BC 是平行的，所以AECD 也是梯形，那么OCD OAE S S ∆∆=．根据蝶形定理，4936OCD OAE OCE OAD S S S S ∆∆∆∆⨯=⨯=⨯=，故236OCD S ∆=， 所以6OCD S ∆=(平方厘米)．【巩固】右图中ABCD 是梯形，ABED 是平行四边形，已知三角形面积如图所示(单位：平方厘米)，阴影部分的面积是 平方厘米．BB【解析】 连接AE ．由于AD 与BC 是平行的，所以AECD 也是梯形，那么OCD OAE S S ∆∆=．根据蝶形定理，2816OCD OAE OCE OAD S S S S ∆∆∆∆⨯=⨯=⨯=，故216OCD S ∆=，所以4OCD S ∆=(平方厘米)．另解：在平行四边形ABED 中，()111681222ADE ABEDS S∆==⨯+=(平方厘米)， 所以1284AOE ADE AOD S S S ∆∆∆=-=-=(平方厘米)，根据蝶形定理，阴影部分的面积为8244⨯÷=(平方厘米)．【例 19】 如图，长方形ABCD 被CE 、DF 分成四块，已知其中3块的面积分别为2、5、8平方厘米，那么余下的四边形OFBC 的面积为___________平方厘米．?852O A BCDEF?852O A BC DEF【解析】 连接DE 、CF ．四边形EDCF 为梯形，所以EOD FOC S S ∆=，又根据蝶形定理，EOD FOC EOF COD S S S S ∆∆∆∆⋅=⋅，所以2816EOD FOC EOF COD S S S S ∆∆∆∆⋅=⋅=⨯=，所以4EOD S ∆=(平方厘米)，4812ECD S ∆=+=(平方厘米)．那么长方形ABCD 的面积为12224⨯=平方厘米，四边形OFBC 的面积为245289---=(平方厘米)．【例 20】 如图，ABC ∆是等腰直角三角形，DEFG 是正方形，线段AB 与CD 相交于K 点．已知正方形DEFG 的面积48，:1:3AK KB =，则BKD ∆的面积是多少？BB【解析】 由于DEFG 是正方形，所以DA 与BC 平行，那么四边形ADBC 是梯形．在梯形ADBC 中，BDK ∆和ACK ∆的面积是相等的．而:1:3AK KB =，所以ACK∆的面积是ABC ∆面积的11134=+，那么BDK ∆的面积也是ABC ∆面积的14．由于ABC ∆是等腰直角三角形，如果过A 作BC 的垂线，M 为垂足，那么M 是BC 的中点，而且AM DE =，可见ABM ∆和ACM ∆的面积都等于正方形DEFG 面积的一半，所以ABC ∆的面积与正方形DEFG 的面积相等，为48．那么BDK ∆的面积为148124⨯=．【例 21】 下图中，四边形ABCD 都是边长为1的正方形，E 、F 、G 、H 分别是AB ，BC ，CD ，DA 的中点，如果左图中阴影部分与右图中阴影部分的面积之比是最简分数m n，那么，()m n +的值等于 ．E【解析】 左、右两个图中的阴影部分都是不规则图形，不方便直接求面积，观察发现两个图中的空白部分面积都比较好求，所以可以先求出空白部分的面积，再求阴影部分的面积．如下图所示，在左图中连接EG ．设AG 与DE 的交点为M ．左图中AEGD 为长方形，可知AMD ∆的面积为长方形AEGD 面积的14，所以三角形AMD 的面积为21111248⨯⨯=．又左图中四个空白三角形的面积是相等的，所以左图中阴影部分的面积为111482-⨯=．BEE如上图所示，在右图中连接AC 、EF ．设AF 、EC 的交点为N ． 可知EF ∥AC 且2AC EF =．那么三角形BEF 的面积为三角形ABC 面积的14，所以三角形BEF 的面积为21111248⨯⨯=，梯形AEFC 的面积为113288-=．在梯形AEFC 中，由于:1:2EF AC =，根据梯形蝶形定理，其四部分的面积比为：221:12:12:21:2:2:4⨯⨯=，所以三角形EFN 的面积为3118122424⨯=+++，那么四边形BENF 的面积为1118246+=．而右图中四个空白四边形的面积是相等的，所以右图中阴影部分的面积为111463-⨯=．那么左图中阴影部分面积与右图中阴影部分面积之比为11:3:223=，即32m n=，那么325m n +=+=．【例 22】 如图， ABC △中，DE ，FG ，BC 互相平行，AD DF FB ==，则::ADE DEGF FGCB S S S =△四边形四边形 ．EGF A D CB【解析】 设1ADE S =△份，根据面积比等于相似比的平方，所以22::1:4ADE AFG S S AD AF ==△△，22::1:9ADE ABC S S AD AB ==△△， 因此4AFG S =△份，9ABC S =△份，进而有3DEGF S =四边形份，5FGCB S =四边形份，所以::1:3:5ADE DEGF FGCB S S S =△四边形四边形【巩固】如图，DE 平行BC ，且2AD =，5AB =，4AE =，求AC 的长．A ED CB【解析】 由金字塔模型得:::2:5AD AB AE AC DE BC ===，所以42510AC =÷⨯=【巩固】如图， ABC △中，DE ，FG ，MN ，PQ ，BC 互相平行，AD DF FM MP PB ====，则::::ADE DEGF FGNM MNQP PQCB S S S S S =△四边形四边形四边形四边形． 【解析】 设1ADE S =△份，22::1:4ADE AFG S S AD AF ==△△，因此4AFG S =△份，进而有3D E G F S =四边形份，同理有5F G N M S =四边形份，7MNQP S =四边形份，9PQCB S =四边形份．所以有Q E GNMFPA DCB::::1:3:5:7:9ADE DEGF FGNM MNQP PQCB S S S S S =△四边形四边形四边形四边形【例 23】 如图，已知正方形ABCD 的边长为4，F是BC 边的中点，E 是DC 边上的点，且:1:3DE EC =，AF 与BE 相交于点G ，求ABG S △GFAEDC BM GFAEDCBGFAEDCB【解析】 方法一：连接AE ，延长AF ，DC 两条线交于点M ，构造出两个沙漏，所以有::1:1AB CM BF FC ==，因此4CM =，根据题意有3CE =，再根据另一个沙漏有::4:7GB GE AB EM ==，所以4432(442)471111ABG ABE S S ==⨯⨯÷=+△△． 方法二：连接,AE EF，分别求4224ABF S =⨯÷=△，4441232247AEF S =⨯-⨯÷-⨯÷-=△，根据蝶形定理::AB F A EFS S BG G E ==△△，所以4432(442)471111ABG ABE S S ==⨯⨯÷=+△△．【例 24】 如图所示，已知平行四边形ABCD 的面积是1，E 、F 是AB 、AD 的中点， BF 交EC 于M ，求BMG ∆的面积．MHGF E DCBAA【解析】 解法一：由题意可得，E 、F 是AB 、AD 的中点，得//EF BD ，而::1:2FD BC FH HC ==， ::1:2EB CD BG GD ==所以::2:3CH CF GH EF ==，并得G 、H 是BD 的三等分点，所以BG GH =，所以::2:3BG EF BM MF ==，所以25BM BF =，11112224BFD ABD ABCDS S S ∆∆==⨯=；又因为13BG BD =，所以1212113535430BMG BFD S S ∆∆=⨯⨯=⨯⨯=． 解法二：延长CE 交DA 于I ，如右图，可得，::1:1AI BC AE EB ==，从而可以确定M 的点的位置， ::2:3BM MF BC IF ==，25BM BF =，13BG BD =(鸟头定理)，可得2121115353430BMG BDF ABCDS S S ∆∆=⨯=⨯⨯=【例 25】 如图，ABCD 为正方形，1cm AM NB DE FC ====且2cm MN =，请问四边形PQRS 的面积为多少？CACA 【解析】 (法1)由//AB CD ，有MP PC MNDC=，所以2PC PM =，又MQ MB QC EC =，所以12MQ QC MC ==，所以111236PQ MC MC MC =-=，所以SPQR S 占AMCF S 的16，所以121(112)63SPQR S =⨯⨯++=2(cm )．(法2)如图，连结AE ，则14482ABE S ∆=⨯⨯=(2cm )，而RB ER AB EF =，所以2RB AB EF EF ==，22168333ABR ABE S S ∆∆==⨯=(2cm )． 而1134322MBQ ANS S S ∆∆==⨯⨯⨯=(2cm )，因为MN MP DC PC=，所以13MP MC =，则11424233MNP S ∆=⨯⨯⨯=(2cm )，阴影部分面积等于164233333ABR ANS MBQ MNP S S S S ∆∆∆∆--+=--+=(2cm )．【例 26】 如右图，三角形ABC 中，:4:9BD DC =，:4:3CE EA =，求:AF FB ．O F EDCBA【解析】 根据燕尾定理得::4:912:27AOB AOC S S BD CD ===△△::3:412:16AOB BOC S S AE CE ===△△（都有AOB △的面积要统一，所以找最小公倍数） 所以:27:16:AOC BOC S S AF FB ==△△【点评】本题关键是把AOB △的面积统一，这种找最小公倍数的方法，在我们用比例解题中屡见不鲜，如果能掌握它的转化本质，我们就能达到解奥数题四两拨千斤的巨大力量！【巩固】如右图，三角形ABC 中，:3:4BD DC =，:5:6AE CE =，求:AF FB .O F EDCBA【解析】 根据燕尾定理得::3:415:20AOB AOC S S BD CD ===△△::5:615:18AOB BOC S S AE CE ===△△（都有AOB △的面积要统一，所以找最小公倍数） 所以:20:1810:9:AOC BOC S S AF FB ===△△【巩固】如右图，三角形ABC 中，:2:3BD DC =，:5:4EA CE =，求:AF FB .O F EDCBA【解析】 根据燕尾定理得::2:310:15AOB AOC S S BD CD ===△△::5:410:8AOB BOC S S AE CE ===△△（都有AOB △的面积要统一，所以找最小公倍数） 所以:15:8:AOC BOC S S AF FB ==△△【点评】本题关键是把AOB △的面积统一，这种找最小公倍数的方法，在我们用比例解题中屡见不鲜，如果能掌握它的转化本质，我们就能达到解奥数题四两拨千斤的巨大力量！【例 27】 如右图，三角形ABC 中，:::3:2AF FB BD DC CE AE ===，且三角形ABC 的面积是1，则三角形ABE 的面积为______，三角形AGE 的面积为________，三角形GHI 的面积为______．I HGFEDCBAI H G FEDCBA【分析】 连接AH 、BI 、CG ．由于:3:2CE AE =，所以25AE AC =，故2255ABE ABC S S ∆∆==；根据燕尾定理，::2:3ACG ABG S S CD BD ∆∆==，::3:2BCG ABG S S CE EA ∆∆==，所以::4:6:9ACG ABG BCG S S S ∆∆∆=，则419ACG S ∆=，919BCG S ∆=； 那么2248551995AGE AGC S S ∆∆==⨯=； 同样分析可得919ACH S ∆=，则::4A C G AC HE GE H S S ∆∆==，::4:19ACG ACB EG EB S S ∆∆==，所以::4:5:1E G G H H B =，同样分析可得::10:5A G G I I D =，所以5521101055BIE BAE S S ∆∆==⨯=，55111919519GHI BIE S S ∆∆==⨯=．【巩固】 如右图，三角形ABC 中，:::3:2AF FB BD DC CE AE ===，且三角形GHI的面积是1，求三角形ABC 的面积．IH G FEDCBAIH G FEDCBA【解析】 连接BG ，AGCS △=6份根据燕尾定理，::3:26:4AGC BGC S S AF FB ===△△，::3:29:6ABG AGC S S BD DC ===△△得4BGC S =△(份)，9ABG S =△(份)，则19ABC S =△(份)，因此619AGCABCS S =△△, 同理连接AI 、CH 得619ABHABCS S =△△,619BIC ABC S S =△△,所以1966611919GHI ABC S S ---==△△三角形GHI 的面积是1，所以三角形ABC 的面积是19【巩固】如图，ABC ∆中2BD DA =，2CE EB =，2AF FC =，那么ABC ∆的面积是阴影三角形面积的 倍．BCCB【分析】 如图，连接AI．根据燕尾定理，::2:1BCI ACIS S BD AD ∆∆==，::1:2BCI ABI S S CF AF ∆∆==，所以，::1:2:4ACI BCI ABI S S S ∆∆∆=，那么，221247BCI ABC ABC S S S ∆∆∆==++．同理可知ACG ∆和ABH ∆的面积也都等于ABC ∆面积的27，所以阴影三角形的面积等于ABC ∆面积的211377-⨯=，所以ABC ∆的面积是阴影三角形面积的7倍．【巩固】如图在ABC △中，12DC EA FB DBECFA===,求GHI ABC △的面积△的面积的值．IHG FEDCBAIHG FEDCB A【解析】 连接BG ,设BGC S △=1份，根据燕尾定理::2:1AGC BGC S S AF FB ==△△,::2:1ABG AGC S S BD DC ==△△,得2AGC S =△(份)，4ABG S =△(份),则7ABC S =△(份)，因此27AGC ABC S S =△△,同理连接AI 、CH 得27ABH ABC S S =△△,27BIC ABC S S =△△,所以7222177GHI ABC S S ---==△△ 【点评】如果任意一个三角形各边被分成的比是相同的，那么在同样的位置上的图形，虽然形状千变万化，但面积是相等的，这在这讲里面很多题目都是用“同理得到”的，即再重复一次解题思路，因此我们有对称法作辅助线.【例 28】 如图，三角形ABC 的面积是1，BD DE EC ==，CF FG GA ==，三角形ABC被分成9部分，请写出这9部分的面积各是多少?GFE D CBAN MQPGF EDCBA【解析】 设BG 与AD 交于点P ，BG 与AE 交于点Q ，BF 与AD 交于点M ，BF 与AE交于点N ．连接CP ，CQ ，CM ，CN ． 根据燕尾定理，::1:2A B P C B P S S AG GC ==△△，::1:2ABP ACP S S BD CD ==△△，设1ABP S =△(份)，则1225ABC S =++=△(份)，所以15ABP S =△ 同理可得，27ABQ S =△,12ABN S =△,而13ABG S =△，所以2137535APQ S =-=△，1213721AQG S =-=△．同理，335BPMS =△121BDM S =△,所以1239273570PQMN S =--=四边形，13953357042MNEDS =--=四边形,1151321426NFCE S =--=四边形,1115321642GFNQ S =--=四边形【巩固】如图，ABC ∆的面积为1，点D 、E 是BC 边的三等分点，点F 、G 是AC边的三等分点，那么四边形JKIH 的面积是多少？K J IHABC D EF GKJI HABCD EFG【解析】 连接CK 、CI 、CJ．根据燕尾定理，::1:2ACK ABK S S CD BD ∆∆==，::1:2ABK CBK S S AG CG ∆∆==， 所以::1:2:4ACK ABK CBK S S S ∆∆∆=，那么111247ACK S ∆==++，11321AGK ACK S S ∆∆==． 类似分析可得215AGI S ∆=． 又::2:1ABJ CBJ S S AF CF ∆∆==，::2:1ABJ ACJ S S BD CD ∆∆==，可得14ACJ S ∆=． 那么，111742184CGKJS =-=． 根据对称性，可知四边形CEHJ 的面积也为1784，那么四边形JKIH 周围的图形的面积之和为172161228415370CGKJ AGI ABE S S S ∆∆⨯++=⨯++=，所以四边形JKIH 的面积为61917070-=．【例 29】 右图，ABC △中，G 是AC 的中点，D 、E 、F 是BC 边上的四等分点，AD 与BG 交于M ，AF 与BG 交于N ，已知ABM △的面积比四边形FCGN 的面积大7.2平方厘米，则ABC △的面积是多少平方厘米？N M GA BCD EFNMGA BC D EF【解析】 连接CM 、CN ．根据燕尾定理，::1:1ABM CBMS S AG GC ==△△，::1:3ABM ACM S S BD CD ==△△，所以15ABM ABC S S =△△；再根据燕尾定理，::1:1ABN CBN S S AG GC ==△△，所以::4:3ABN FBN CBN FBN S S S S ==△△△△，所以:4:3AN NF =，那么1422437ANG AFC S S =⨯=+△△，所以2515177428FCGNAFC ABC ABC S S S S ⎛⎫=-=⨯= ⎪⎝⎭△△△．根据题意，有157.2528ABC ABC S S -=△△，可得336ABC S =△(平方厘米)【例 30】 如图，面积为l 的三角形ABC 中，D 、E 、F 、G 、H 、I 分别是AB 、BC 、CA 的三等分点,求阴影部分面积.GC BACB【解析】 三角形在开会，那么就好好利用三角形中最好用的比例和燕尾定理吧！令BI 与CD 的交点为M ，AF 与CD 的交点为N ，BI 与AF 的交点为P ,BI 与CE 的交点为Q ,连接AM 、BN 、CP⑴求ADMI S 四边形：在ABC △中，根据燕尾定理，::1:2ABM CBM S S AI CI ==△△::1:2ACM CBM S S AD BD ==△△设1ABMS =△(份)，则2CBM S =△(份),1ACM S =△(份),4ABC S =△(份),所以14ABM ACM ABC S S S ==△△△，所以11312ADM ABM ABC S S S ==△△△,112AIM ABC S S =△△,所以111()12126ABC ABC ADMI S S S =+=△△四边形,同理可得另外两个顶点的四边形面积也分别是ABC △面积的16⑵求DNPQE S 五边形：在ABC △中，根据燕尾定理::1:2ABN ACN S S BF CF ==△△::1:2ACN BCN S S AD BD ==△△,所以111133721ADN ABN ABC ABC S S S S ==⨯=△△△△,同理121BEQ ABC S S =△△在ABC△中，根据燕尾定理::1:2ABP ACP S S BF CF ==△△,::1:2ABP CBP S S AI CI ==△△所以15A BPA BCS S =△△，所以1111152121A B P ADNBED N P QE S S S S S ⎛⎫=--=--= ⎪⎝⎭△△△△△五边形 同理另外两个五边形面积是ABC△面积的11105，所以11113133610570S =-⨯-⨯=阴影【例 31】 如图，面积为l 的三角形ABC 中，D 、E 、F 、G 、H 、I 分别是AB 、BC 、CA 的三等分点,求中心六边形面积.GCBAGCBA【解析】 设深黑色六个三角形的顶点分别为N 、R 、P 、S 、M 、Q ，连接CR在ABC △中根据燕尾定理，::.2:1ABR ACR S S BG CG ==△△, ::1:2ABR CBR S S AI CI ==△△所以27ABR ABC S S =△△,同理27ACS ABC S S =△△,27CQB ABC S S =△△所以222117777RQS S =---=△，同理17MNP S =△根据容斥原理，和上题结果11131777010S =+-=六边形课后练习：练习1. 已知DEF △的面积为7平方厘米，,2,3BE CE AD BD CF AF ===，求ABC △的面积．FED CBA【解析】 :():()(11):(23)1:6BDE ABC S S BD BE BA BC =⨯⨯=⨯⨯=△△，:():()(13):(24)3:8CEF ABC S S CE CF CB CA =⨯⨯=⨯⨯=△△:():()(21):(34)1:6ADF ABC S S AD AF AB AC =⨯⨯=⨯⨯=△△设24ABC S =△份，则4BDE S =△份，4ADF S =△份，9CEF S =△份，244497DEF S =---=△份，恰好是7平方厘米，所以24ABC S =△平方厘米练习2. 如图，四边形EFGH 的面积是66平方米，EA AB =，CB BF =，DC CG =，HD DA =，求四边形ABCD 的面积．H GFED CB A A B CDEFGH【解析】 连接BD ．由共角定理得:():()1:2BCD CGF S S CD CB CG CF =⨯⨯=△△，即2C G F CD B S S =△△ 同理:1:2ABD AHE S S =△△，即2AHE ABD S S =△△ 所以2()2AHE CGF CBD ADB ABCD S S S S S +=+=△△△△四边形连接AC ，同理可以得到2DHG BEF ABCD S S S +=△△四边形 5AHE CGF HDG BEF EFGH ABCD ABCD S S S S S S S =++++=△△△△四边形四边形四边形 所以66513.2ABCD S =÷=四边形平方米练习3. 正方形ABCD 的面积是120平方厘米，E 是AB 的中点，F 是BC 的中点，四边形BGHF 的面积是 平方厘米．H GFEDCBAM H GFEDCBA【解析】 欲求四边形BGHF 的面积须求出EBG ∆和CHF ∆的面积．由题意可得到：::1:2EG GC EB CD ==，所以可得：13EBG BCE S S ∆∆=将AB 、DF 延长交于M 点，可得： :::1:1BM DC MF FD BF FC ===，而1::():3:22EH HC EM CD AB AB CD ==+=，得25CH CE =，而12CF BC =，所以121255CHF BCE BCE S S S ∆∆∆=⨯=11112030224BCE S AB BC ∆=⨯⨯=⨯=117730141515EBC EBC EBC EBC BGHF S S S S S ∆∆∆∆=--==⨯=四边形．EF ，确定H 的位置(也就是:FH HD )练习4. 如图，已知4cm AB AE ==，BC DC =，90BAE BCD ∠=∠=︒，10cm AC =，则S ABC ACE CDE S S ∆∆∆++= 2cm ．DCEBABCA'C'EDA【解析】 将三角形ABC 绕A 点和C 点分别顺时针和逆时针旋转90，构成三角形'AEC 和'A DC ，再连接''A C ，显然'AC AC ⊥，'AC A C ⊥，''AC A C AC ==，所以''ACA C 是正方形．三角形'AEC 和三角形'A DC 关于正方形的中心O 中心对称，在中心对称图形''ACA C 中有如下等量关系： ''AEC A DC S S ∆∆=；''AEC A DC S S ∆∆=；'CED C DE S S ∆∆=．。

小学奥数平面几何五种面积模型等积鸟头蝶形_相似_共边

小学奥数平面几何五种面积模型等积鸟头蝶形_相似_共边

小学奥数平面几何五种模型（等积，鸟头，蝶形，相似，共边）目标：熟练掌握五大面积模型等积，鸟头，蝶形，相似（含金字塔模型和沙漏模型），共边（含燕尾模型和风筝模型）， 掌握五大面积模型的各种变形知识点拨 一、等积模型①等底等高的两个三角形面积相等；②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比；如右图12::S S a b =③夹在一组平行线之间的等积变形，如右图ACD BCD S S =△△；反之，如果ACD BCD S S =△△，则可知直线AB 平行于CD ．④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)；⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比．二、鸟头定理两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形．ba S 2S 1DC BA共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比．如图在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点如图 ⑴(或D 在BA 的延长线上，E 在AC 上)，则:():()ABC ADE S S AB AC AD AE =⨯⨯△△图⑴ 图⑵三、蝶形定理任意四边形中的比例关系(“蝶形定理”)：①1243::S S S S =或者1324S S S S ⨯=⨯②()()1243::AO OC S S S S =++蝶形定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系．梯形中比例关系(“梯形蝶形定理”)：①2213::S S a b =②221324::::::S S S S a b ab ab =；③S 的对应份数为()2a b +．四、相似模型(一)金字塔模型 (二) 沙漏模型A BCDO ba S 3S 2S 1S 4①AD AE DE AFAB AC BC AG===； ②22:ADE ABC S S AF AG =△△：．所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形(只要其形状不改变，不论大小怎样改变它们都相似)，与相似三角形相关的常用的性质及定理如下：⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比；⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方；⑶连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．三角形中位线定理：三角形的中位线长等于它所对应的底边长的一半．相似三角形模型，给我们提供了三角形之间的边与面积关系相互转化的工具．在小学奥数里，出现最多的情况是因为两条平行线而出现的相似三角形．五、共边定理（燕尾模型和风筝模型）在三角形ABC 中，AD ，BE ，CF 相交于同一点O ，那么::ABO ACO S S BD DC ∆∆=．上述定理给出了一个新的转化面积比与线段比的手段，因为ABO ∆和ACO ∆的形状很象燕子的尾巴，所以这个定理被称为燕尾定理．该定理在许多几何题目中都有着广泛的运用，它的特殊性在于，它可以存在于任何一个三角形之中，为三角形中的三角形面积对应底边之间提供互相联系的途径.OFEDCBA典型例题【例 1】 如图，正方形ABCD 的边长为6，AE =1.5，CF =2．长方形EFGH 的面积为 ．【解析】 连接DE ，DF ，则长方形EFGH 的面积是三角形DEF 面积的二倍．三角形DEF 的面积等于正方形的面积减去三个三角形的面积，66 1.562262 4.54216.5DEF S =⨯-⨯÷-⨯÷-⨯÷=△,所以长方形EFGH 面积为33．【巩固】如图所示，正方形ABCD 的边长为8厘米，长方形EBGF 的长BG 为10厘米，那么长方形的宽为几厘米【解析】 本题主要是让学生会运用等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)．三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半．_A_B_G_C_E_F _D _A _B_G_C_E _F _D _A _B_C_D _E _F _G _H _H _G _F _E _D _C_B_A证明：连接AG ．(我们通过ABG △把这两个长方形和正方形联系在一起)．∵在正方形ABCD 中，G 12AB S AB AB =⨯⨯△边上的高，∴12ABG ABCD S S =W △(三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半) 同理，12ABG EFGB S S =△．∴正方形ABCD 与长方形EFGB 面积相等． 长方形的宽8810 6.4=⨯÷=(厘米)．【例 2】 长方形ABCD 的面积为362cm ，E 、F 、G 为各边中点，H 为AD 边上任意一点，问阴影部分面积是多少【解析】 解法一：寻找可利用的条件，连接BH 、HC ，如下图：可得：12EHB AHB S S ∆∆=、12FHB CHB S S ∆∆=、12DHG DHCS S ∆∆=，而36ABCD AHB CHB CHD S S S S ∆∆∆=++=即11()361822EHB BHF DHG AHB CHB CHD S S S S S S ∆∆∆∆∆∆++=++=⨯=；而EHB BHF DHG EBFS S S S S ∆∆∆∆++=+阴影，11111()()36 4.522228EBF S BE BF AB BC ∆=⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=⨯=．所以阴影部分的面积是：1818 4.513.5EBF S S ∆=-=-=阴影解法二：特殊点法．找H 的特殊点，把H 点与D 点重合，那么图形就可变成右图：这样阴影部分的面积就是DEF ∆的面积，根据鸟头定理，则有：11111113636363613.52222222ABCD AED BEF CFD S S S S S ∆∆∆=---=-⨯⨯-⨯⨯⨯-⨯⨯=阴影．【巩固】在边长为6厘米的正方形ABCD 内任取一点P ，将正方形的一组对边二等分，另一组对边三等分，分别与P 点连接,求阴影部分面积．【解析】 （法1）特殊点法．由于P 是正方形内部任意一点，可采用特殊点法，假设P 点与A 点重合，则阴影部分变为如上中图所示，图中的两个阴影三角形的面积分别占正方形面积的14和16，所以阴影部分的面积为2116()1546⨯+=平方厘米．（法2）连接PA 、PC ．由于PAD ∆与PBC ∆的面积之和等于正方形ABCD 面积的一半，所以上、下两个阴影三角形的面积之和等于正方形ABCD 面积的14，同理可知左、右两个阴影三角形的面积之和等于正方形ABCD 面积的16，所以阴影部分的面积为2116()1546⨯+=平方厘米．【例 3】 如图所示，长方形ABCD 内的阴影部分的面积之和为70，8AB =，15AD =，四边形EFGO 的面积为 ．【解析】 利用图形中的包含关系可以先求出三角形AOE 、DOG 和四边形EFGO 的面积之和，以及三角形AOE 和DOG 的面积之和，进而求出四边形EFGO 的面积．由于长方形ABCD 的面积为158120⨯=，所以三角形BOC 的面积为1120304⨯=，所以三角形AOE 和DOG 的面积之和为312070204⨯-=；又三角形AOE 、DOG 和四边形EFGO 的面积之和为111203024⎛⎫⨯-= ⎪⎝⎭，所以四边形EFGO 的面积为302010-=．另解：从整体上来看，四边形EFGO 的面积=三角形AFC 面积+三角形BFD 面积-白色部分的面积，而三角形AFC 面积+三角形BFD 面积为长方形面积的一半，即60，白色部分的面积等于长方形面积减去阴影部分的面积，即1207050-=，所以四边形的面积为605010-=．【巩固】如图，长方形ABCD 的面积是36，E 是AD 的三等分点，2AE ED =，则阴影部分的面积为 ．【解析】 如图，连接OE ．根据蝶形定理，1:::1:12COE CDE CAE CDE ON ND S S S S ∆∆∆∆===，所以12OEN OED S S ∆∆=；1:::1:42BOE BAE BDE BAE OM MA S S S S ∆∆∆∆===，所以15OEM OEA S S ∆∆=．又11334OED ABCD S S ∆=⨯=矩形，26OEA OED S S ∆∆==，所以阴影部分面积为：1136 2.725⨯+⨯=． 【例 4】 已知ABC 为等边三角形，面积为400，D 、E 、F 分别为三边的中点，已知甲、乙、丙面积和为143，求阴影五边形的面积．(丙是三角形HBC )【解析】 因为D 、E 、F 分别为三边的中点，所以DE 、DF 、EF 是三角形ABC 的中位线，也就与对应的边平行，根据面积比例模型，三角形ABN 和三角形AMC 的面积都等于三角形ABC 的一半，即为200．根据图形的容斥关系，有ABC ABN AMC AMHN S S S S S ∆∆∆-=+-丙，即400 200200AMHN S S -=+-丙，所以AMHN S S =丙．又ADF AMHN S S S S S ∆+=++乙甲阴影，所以1143400434ADF S S S S S ∆=++-=-⨯=乙甲丙阴影．【例 5】 如图，已知5CD =，7DE =，15EF =，6FG =，线段AB 将图形分成两部分，左边部分面积是38，右边部分面积是65，那么三角形ADG 的面积是 ．【解析】 连接AF ，BD ．根据题意可知，571527CF =++=；715628DG =++=；所以，1527BE CBF F S S ∆∆=，1227BE CBF C S S ∆∆=，2128AEG ADG S S ∆∆=，728AED ADG S S ∆∆=，于是：2115652827ADG CBF S S ∆∆+=；712382827ADG CBF S S ∆∆+=； 可得40ADG S ∆=．故三角形ADG 的面积是40．【例 6】 如图在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点，且:2:5AD AB =，:4:7AE AC =，16ADE S =△平方厘米，求ABC △的面积．【解析】 连接BE ，::2:5(24):(54)ADE ABE S S AD AB ===⨯⨯△△，::4:7(45):(75)ABE ABC S S AE AC ===⨯⨯△△，所以:(24):(75)ADE ABC S S =⨯⨯△△，设8ADE S =△份，则35ABC S =△份，16ADE S =△平方厘米，所以1份是2平方厘米，35份就是70平方厘米，ABC △的面积是70平方厘米．由此我们得到一个重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比 ．【巩固】如图，三角形ABC 中，AB 是AD 的5倍，AC 是AE 的3倍，如果三角形ADE 的面积等于1，那么三角形ABC 的面积是多少【解析】 连接BE ．∵3EC AE =∴3ABC ABE S S =V V又∵5AB AD =∴515ADE ABE ABC S S S =÷=÷V V V ，∴1515ABC ADE S S ==V V ．【巩固】如图，三角形ABC 被分成了甲(阴影部分)、乙两部分，4BD DC ==，3BE =，6AE =，乙部分面积是甲部分面积的几倍【解析】 连接AD ．∵3BE =，6AE =∴3AB BE =，3ABD BDE S S =V V又∵4BD DC ==，∴2ABC ABD S S =V V ，∴6ABC BDE S S =V V ，5S S =乙甲．【例 7】 如图在ABC △中，D 在BA 的延长线上，E 在AC 上，且:5:2AB AD =，:3:2AE EC =，12ADE S =△平方厘米，求ABC △的面积．【解析】 连接BE ，::2:5(23):(53)ADE ABE S S AD AB ===⨯⨯△△[]::3:(32)(35):(32)5ABE ABC S S AE AC ==+=⨯+⨯△△，所以[]:(32):5(32)6:25ADE ABC S S =⨯⨯+=△△，设6ADE S =△份，则25ABC S =△份，12ADE S =△平方厘米，所以1份是2平方厘米，25份就是50平方厘米，ABC △的面积是50平方厘米．由此我们得到一个重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比【例 8】 如图，平行四边形ABCD ，BE AB =，2CF CB =，3GD DC =，4HA AD =，平行四边形ABCD 的面积是2， 求平行四边形ABCD 与四边形EFGH 的面积比．【解析】 连接AC 、BD ．根据共角定理∵在ABC △和BFE △中，ABC ∠与FBE ∠互补，∴111133ABC FBE S AB BC S BE BF ⋅⨯===⋅⨯△△． 又1ABC S =△，所以3FBE S =△．同理可得8GCF S =△，15DHG S =△，8AEH S =△．所以8815+3+236EFGH AEH CFG DHG BEF ABCD S S S S S S =++++=++=△△△△．所以213618ABCD EFGH S S ==． 【例 9】 如图所示的四边形的面积等于多少【解析】 题目中要求的四边形既不是正方形也不是长方形，难以运用公式直接求面积.我们可以利用旋转的方法对图形实施变换：把三角形OAB 绕顶点O 逆时针旋转，使长为13的两条边重合，此时三角形OAB 将旋转到三角形OCD 的位置.这样，通过旋转后所得到的新图形是一个边长为12的正方形，且这个正方形的面积就是原来四边形的面积.因此，原来四边形的面积为1212144⨯=.(也可以用勾股定理)【例 10】 如图所示，ABC ∆中，90ABC ∠=︒，3AB =，5BC =，以AC 为一边向ABC ∆外作正方形ACDE ，中心为O ，求OBC ∆的面积．【解析】 如图，将OAB ∆沿着O 点顺时针旋转90︒，到达OCF ∆的位置．由于90ABC ∠=︒，90AOC ∠=︒，所以180OAB OCB ∠+∠=︒．而OCF OAB ∠=∠，所以180OCF OCB ∠+∠=︒，那么B 、C 、F 三点在一条直线上．由于OB OF =，90BOF AOC ∠=∠=︒，所以BOF ∆是等腰直角三角形，且斜边BF 为538+=，所以它的面积为218164⨯=．根据面积比例模型，OBC ∆的面积为516108⨯=．【例 11】 如图，以正方形的边AB 为斜边在正方形内作直角三角形ABE ，90AEB ∠=︒，AC 、BD 交于O ．已知AE 、BE 的长分别为3cm 、5cm ，求三角形OBE 的面积．【解析】 如图，连接DE ，以A 点为中心，将ADE ∆顺时针旋转90︒到ABF ∆的位置．那么90EAF EAB BAF EAB DAE ∠=∠+∠=∠+∠=︒，而AEB ∠也是90︒，所以四边形AFBE 是直角梯形，且3AF AE ==，所以梯形AFBE 的面积为：()1353122+⨯⨯=(2cm )． 又因为ABE ∆是直角三角形，根据勾股定理，222223534AB AE BE =+=+=，所以21172ABD S AB ∆==(2cm )． 那么()17125BDE ABD ABE ADE ABD AFBE S S S S S S ∆∆∆∆∆=-+=-=-=(2cm )，所以12.52OBE BDE S S ∆∆==(2cm )． 【例 12】 如下图，六边形ABCDEF 中，AB ED =，AF CD =，BC EF =，且有AB 平行于ED ，AF 平行于CD ，BC 平行于EF ，对角线FD 垂直于BD ，已知24FD =厘米，18BD =厘米，请问六边形ABCDEF 的面积是多少平方厘米【解析】 如图，我们将BCD ∆平移使得CD 与AF 重合，将DEF ∆平移使得ED 与AB 重合，这样EF 、BC 都重合到图中的AG 了．这样就组成了一个长方形BGFD ，它的面积与原六边形的面积相等，显然长方形BGFD 的面积为2418432⨯=平方厘米，所以六边形ABCDEF 的面积为432平方厘米．【例 13】 如图，三角形ABC 的面积是1，E 是AC 的中点，点D 在BC 上，且:1:2BD DC =，AD 与BE 交于点F ．则四边形DFEC 的面积等于 ．【解析】 方法一：连接CF ，根据燕尾定理，12ABF ACF S BD S DC ==△△，1ABF CBF S AE S EC ==△△, 设1BDF S =△份，则2DCF S =△份，3ABF S =△份，3AEF EFC S S ==△△份，如图所标所以551212DCEF ABC S S ==△ 方法二：连接DE ，由题目条件可得到1133ABD ABCS S ==△△， 11212233ADE ADC ABC S S S ==⨯=△△△，所以11ABD ADES BF FE S ==△△，111111122323212DEF DEB BEC ABC S S S S =⨯=⨯⨯=⨯⨯⨯=△△△△，而211323CDE ABC S S =⨯⨯=△△．所以则四边形DFEC 的面积等于512．【巩固】如图，长方形ABCD 的面积是2平方厘米，2EC DE =，F 是DG 的中点．阴影部分的面积是多少平方厘米?【解析】 设1DEF S =△份，则根据燕尾定理其他面积如图所示551212BCD S S ==△阴影平方厘米.【例 14】 四边形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O (如图所示)．如果三角形ABD 的面积等于三角形BCD 的面积的13，且2AO =，3DO =，那么CO 的长度是DO 的长度的_________倍．【解析】 在本题中，四边形ABCD 为任意四边形，对于这种”不良四边形”，无外乎两种处理方法：⑴利用已知条件，向已有模型靠拢，从而快速解决；⑵通过画辅助线来改造不良四边形．看到题目中给出条件:1:3ABD BCD S S =V V ，这可以向模型一蝶形定理靠拢，于是得出一种解法．又观察题目中给出的已知条件是面积的关系，转化为边的关系，可以得到第二种解法，但是第二种解法需要一个中介来改造这个”不良四边形”，于是可以作AH 垂直BD 于H ，CG 垂直BD 于G ，面积比转化为高之比．再应用结论：三角形高相同，则面积之比等于底边之比，得出结果．请老师注意比较两种解法，使学生体会到蝶形定理的优势，从而主观上愿意掌握并使用蝶形定理解决问题．解法一：∵::1:3ABD BDC AO OC S S ∆∆==，∴236OC =⨯=，∴:6:32:1OC OD ==．解法二：作AH BD ⊥于H ，CG BD ⊥于G ．∵13ABDBCD S S ∆∆=，∴13AH CG =，∴13AODDOC S S ∆∆=， ∴13AO CO =，∴236OC =⨯=，∴:6:32:1OC OD ==．【巩固】如图，四边形被两条对角线分成4个三角形，其中三个三角形的面积已知，求：⑴三角形BGC 的面积；⑵:AG GC =【解析】 ⑴根据蝶形定理，123BGC S ⨯=⨯V ，那么6BGC S =V ；⑵根据蝶形定理，()():12:361:3AG GC =++=．【例 15】 如图，平行四边形ABCD 的对角线交于O 点，CEF △、OEF △、ODF △、BOE△的面积依次是2、4、4和6．求：⑴求OCF △的面积；⑵求GCE △的面积．【解析】 ⑴根据题意可知，BCD △的面积为244616+++=，那么BCO △和CDO ∆的面积都是1628÷=，所以OCF △的面积为844-=；⑵由于BCO △的面积为8，BOE △的面积为6，所以OCE △的面积为862-=，根据蝶形定理，::2:41:2COE COF EG FG S S ∆∆===，所以::1:2GCE GCF S S EG FG ∆∆==，那么11221233GCE CEF S S ∆∆==⨯=+． 【例 16】 如图，长方形ABCD 中，:2:3BE EC =，:1:2DF FC =，三角形DFG 的面积为2平方厘米，求长方形ABCD 的面积．【解析】 连接AE ，FE ．因为:2:3BE EC =，:1:2DF FC =，所以3111()53210DEF ABCD ABCD S S S =⨯⨯=V 长方形长方形．因为12AED ABCD S S =V 长方形，11::5:1210AG GF ==，所以510AGD GDF S S ==V V 平方厘米，所以12AFDS =V 平方厘米．因为16AFD ABCD S S =V 长方形，所以长方形ABCD 的面积是72平方厘米．【例 17】 如图，正方形ABCD 面积为3平方厘米，M 是AD 边上的中点．求图中阴影部分的面积．【解析】 因为M 是AD 边上的中点，所以:1:2AM BC =，根据梯形蝶形定理可以知道22:::1:12:12:21:2:2:4AMG ABG MCG BCG S S S S =⨯⨯=△△△△（）（），设1AGM S =△份，则123MCD S =+=△ 份，所以正方形的面积为1224312++++=份，224S =+=阴影份，所以:1:3S S =阴影正方形，所以1S =阴影平方厘米．【巩固】在下图的正方形ABCD 中，E 是BC 边的中点，AE 与BD 相交于F 点，三角形BEF 的面积为1平方厘米，那么正方形ABCD 面积是 平方厘米．【解析】 连接DE ，根据题意可知:1:2BE AD =，根据蝶形定理得2129S =+=梯形（）(平方厘米)，3ECD S =△(平方厘米)，那么12ABCD S =W (平方厘米)．【例 18】 已知ABCD 是平行四边形，:3:2BC CE =，三角形ODE 的面积为6平方厘米．则阴影部分的面积是 平方厘米．【解析】 连接AC ．由于ABCD 是平行四边形，:3:2BC CE =，所以:2:3CE AD =，根据梯形蝶形定理，22:::2:23:23:34:6:6:9COE AOC DOE AOD S S S S =⨯⨯=V V V V ，所以6AOC S =V (平方厘米)，9AOD S =V (平方厘米)，又6915ABC ACD S S ==+=V V (平方厘米)，阴影部分面积为61521+=(平方厘米)．【巩固】右图中ABCD 是梯形，ABED 是平行四边形，已知三角形面积如图所示(单位：平方厘米)，阴影部分的面积是 平方厘米．【分析】 连接AE ．由于AD 与BC 是平行的，所以AECD 也是梯形，那么OCD OAE S S ∆∆=．根据蝶形定理，4936OCD OAE OCE OAD S S S S ∆∆∆∆⨯=⨯=⨯=，故236OCD S ∆=，所以6OCD S ∆=(平方厘米)．【巩固】右图中ABCD 是梯形，ABED 是平行四边形，已知三角形面积如图所示(单位：平方厘米)，阴影部分的面积是 平方厘米．【解析】 连接AE ．由于AD 与BC 是平行的，所以AECD 也是梯形，那么OCD OAE S S ∆∆=．根据蝶形定理，2816OCD OAE OCE OAD S S S S ∆∆∆∆⨯=⨯=⨯=，故216OCD S ∆=，所以4OCD S ∆=(平方厘米)．另解：在平行四边形ABED 中，()111681222ADE ABED S S ∆==⨯+=Y (平方厘米)，所以1284AOE ADE AOD S S S ∆∆∆=-=-=(平方厘米)，根据蝶形定理，阴影部分的面积为8244⨯÷=(平方厘米)．【例 19】 如图，长方形ABCD 被CE 、DF 分成四块，已知其中3块的面积分别为2、5、8平方厘米，那么余下的四边形OFBC 的面积为___________平方厘米．【解析】 连接DE 、CF ．四边形EDCF 为梯形，所以EOD FOC S S ∆=V ，又根据蝶形定理，EOD FOC EOF COD S S S S ∆∆∆∆⋅=⋅，所以2816EOD FOC EOF COD S S S S ∆∆∆∆⋅=⋅=⨯=，所以4EOD S ∆=(平方厘米)，4812ECD S ∆=+=(平方厘米)．那么长方形ABCD 的面积为12224⨯=平方厘米，四边形OFBC 的面积为245289---=(平方厘米)．【例 20】 如图，ABC ∆是等腰直角三角形，DEFG 是正方形，线段AB 与CD 相交于K 点．已知正方形DEFG 的面积48，:1:3AK KB =，则BKD ∆的面积是多少【解析】 由于DEFG 是正方形，所以DA 与BC 平行，那么四边形ADBC 是梯形．在梯形ADBC 中，BDK ∆和ACK ∆的面积是相等的．而:1:3AK KB =，所以ACK ∆的面积是ABC ∆面积的11134=+，那么BDK ∆的面积也是ABC ∆面积的14． 由于ABC ∆是等腰直角三角形，如果过A 作BC 的垂线，M 为垂足，那么M 是BC 的中点，而且AM DE =，可见ABM ∆和ACM ∆的面积都等于正方形DEFG 面积的一半，所以ABC ∆的面积与正方形DEFG 的面积相等，为48．那么BDK ∆的面积为148124⨯=．【例 21】 下图中，四边形ABCD 都是边长为1的正方形，E 、F 、G 、H 分别是AB ，BC ，CD ，DA 的中点，如果左图中阴影部分与右图中阴影部分的面积之比是最简分数mn，那么，()m n +的值等于 ． 【解析】 左、右两个图中的阴影部分都是不规则图形，不方便直接求面积，观察发现两个图中的空白部分面积都比较好求，所以可以先求出空白部分的面积，再求阴影部分的面积．如下图所示，在左图中连接EG ．设AG 与DE 的交点为M ．左图中AEGD 为长方形，可知AMD ∆的面积为长方形AEGD 面积的14，所以三角形AMD 的面积为21111248⨯⨯=．又左图中四个空白三角形的面积是相等的，所以左图中阴影部分的面积为111482-⨯=．如上图所示，在右图中连接AC 、EF ．设AF 、EC 的交点为N ．可知EF ∥AC 且2AC EF =．那么三角形BEF 的面积为三角形ABC 面积的14，所以三角形BEF 的面积为21111248⨯⨯=，梯形AEFC 的面积为113288-=．在梯形AEFC 中，由于:1:2EF AC =，根据梯形蝶形定理，其四部分的面积比为：221:12:12:21:2:2:4⨯⨯=，所以三角形EFN 的面积为3118122424⨯=+++，那么四边形BENF 的面积为1118246+=．而右图中四个空白四边形的面积是相等的，所以右图中阴影部分的面积为111463-⨯=．那么左图中阴影部分面积与右图中阴影部分面积之比为11:3:223=，即32m n =， 那么325m n +=+=．【例 22】 如图， ABC △中，DE ，FG ，BC 互相平行，AD DF FB ==，则::ADE DEGF FGCB S S S =△四边形四边形 ．【解析】 设1ADE S =△份，根据面积比等于相似比的平方，所以22::1:4ADE AFG S S AD AF ==△△，22::1:9ADE ABC S S AD AB ==△△，因此4AFG S =△份，9ABC S =△份，进而有3DEGF S =四边形份，5FGCB S =四边形份，所以::1:3:5ADE DEGF FGCB S S S =△四边形四边形【巩固】如图，DE 平行BC ，且2AD =，5AB =，4AE =，求AC 的长．【解析】 由金字塔模型得:::2:5AD AB AE AC DE BC ===，所以42510AC =÷⨯=【巩固】如图， ABC △中，DE ，FG ，MN ，PQ ，BC 互相平行，Q E GNMF PADCBAD DF FM MP PB ====，则::::ADE DEGF FGNM MNQP PQCB S S S S S =△四边形四边形四边形四边形 ．【解析】 设1ADE S =△份，22::1:4ADE AFG S S AD AF ==△△，因此4AFG S =△份，进而有3DEGF S =四边形份，同理有5FGNM S =四边形份，7MNQP S =四边形份，9PQCB S =四边形份．所以有【例 23】 如图，已知正方形ABCD 的边长为4，F 是BC 边的中点，E 是DC 边上的点，且:1:3DE EC =，AF 与BE 相交于点G ，求ABG S △【解析】 方法一：连接AE ，延长AF ，DC 两条线交于点M ，构造出两个沙漏，所以有::1:1AB CM BF FC ==，因此4CM =，根据题意有3CE =，再根据另一个沙漏有::4:7GB GE AB EM ==，所以4432(442)471111ABG ABE S S ==⨯⨯÷=+△△． 方法二：连接,AE EF，分别求4224ABF S =⨯÷=△，4441232247AEF S =⨯-⨯÷-⨯÷-=△，根据蝶形定理::4:7ABF AEF S S BG GE ==△△，所以4432(442)471111ABG ABE S S ==⨯⨯÷=+△△． 【例 24】 如图所示，已知平行四边形ABCD 的面积是1，E 、F 是AB 、AD 的中点， BF交EC 于M ，求BMG ∆的面积．【解析】 解法一：由题意可得，E 、F 是AB 、AD 的中点，得//EF BD ，而::1:2FD BC FH HC ==，::1:2EB CD BG GD ==所以::2:3CH CF GH EF ==，并得G 、H 是BD 的三等分点，所以BG GH =，所以::2:3BG EF BM MF ==，所以25BM BF =，11112224BFD ABD ABCD S S S ∆∆==⨯=Y ；又因为13BG BD =，所以1212113535430BMG BFD S S ∆∆=⨯⨯=⨯⨯=．解法二：延长CE 交DA 于I ，如右图，可得，::1:1AI BC AE EB ==，从而可以确定M 的点的位置，::2:3BM MF BC IF ==，25BM BF =，13BG BD =(鸟头定理)，可得2121115353430BMG BDF ABCD S S S ∆∆=⨯=⨯⨯=Y 【例 25】 如图，ABCD 为正方形，1cm AM NB DE FC ====且2cm MN =，请问四边形PQRS的面积为多少【解析】 (法1)由//AB CD ，有MP PCMN DC=，所以2PC PM =，又MQ MB QC EC =，所以 12MQ QC MC ==，所以111236PQ MC MC MC =-=，所以SPQR S 占AMCF S 的16，所以121(112)63SPQR S =⨯⨯++=2(cm )． (法2)如图，连结AE ，则14482ABE S ∆=⨯⨯=(2cm )，而RB ER AB EF =，所以2RB AB EF EF ==，22168333ABR ABE S S ∆∆==⨯=(2cm )．而1134322MBQ ANS S S ∆∆==⨯⨯⨯=(2cm )，因为MN MPDC PC=， 所以13MP MC =，则11424233MNP S ∆=⨯⨯⨯=(2cm )，阴影部分面积等于164233333ABR ANS MBQ MNP S S S S ∆∆∆∆--+=--+=(2cm )． 【例 26】 如右图，三角形ABC 中，:4:9BD DC =，:4:3CE EA =，求:AF FB ．【解析】 根据燕尾定理得::4:912:27AOB AOC S S BD CD ===△△（都有AOB △的面积要统一，所以找最小公倍数）所以:27:16:AOC BOC S S AF FB ==△△【点评】本题关键是把AOB △的面积统一，这种找最小公倍数的方法，在我们用比例解题中屡见不鲜，如果能掌握它的转化本质，我们就能达到解奥数题四两拨千斤的巨大力量！【巩固】如右图，三角形ABC 中，:3:4BD DC =，:5:6AE CE =，求:AF FB .【解析】 根据燕尾定理得::3:415:20AOB AOC S S BD CD ===△△（都有AOB △的面积要统一，所以找最小公倍数）所以:20:1810:9:AOC BOC S S AF FB ===△△【巩固】如右图，三角形ABC 中，:2:3BD DC =，:5:4EA CE =，求:AF FB .【解析】 根据燕尾定理得::2:310:15AOB AOC S S BD CD ===△△（都有AOB △的面积要统一，所以找最小公倍数）所以:15:8:AOC BOC S S AF FB ==△△【点评】本题关键是把AOB △的面积统一，这种找最小公倍数的方法，在我们用比例解题中屡见不鲜，如果能掌握它的转化本质，我们就能达到解奥数题四两拨千斤的巨大力量！【例 27】 如右图，三角形ABC 中，:::3:2AF FB BD DC CE AE ===，且三角形ABC 的面积是1，则三角形ABE 的面积为______，三角形AGE 的面积为________，三角形GHI 的面积为______．【分析】 连接AH 、BI 、CG ．由于:3:2CE AE =，所以25AE AC =，故2255ABE ABC S S ∆∆==；根据燕尾定理，::2:3ACG ABG S S CD BD ∆∆==，::3:2BCG ABG S S CE EA ∆∆==，所以::4:6:9ACG ABG BCG S S S ∆∆∆=，则419ACG S ∆=，919BCG S ∆=； 那么2248551995AGE AGC S S ∆∆==⨯=； 同样分析可得919ACH S ∆=，则::4:9ACG ACH EG EH S S ∆∆==，::4:19ACG ACB EG EB S S ∆∆==，所以::4:5:10EG GH HB =，同样分析可得::10:5:4AG GI ID =，所以5521101055BIE BAE S S ∆∆==⨯=，55111919519GHI BIE S S ∆∆==⨯=． 【巩固】 如右图，三角形ABC 中，:::3:2AF FB BD DC CE AE ===，且三角形GHI 的面积是1，求三角形ABC 的面积．【解析】 连接BG ，AGC S △=6份根据燕尾定理，::3:26:4AGC BGC S S AF FB ===△△，::3:29:6ABG AGC S S BD DC ===△△得4BGC S =△(份)，9ABG S =△(份)，则19ABC S =△(份)，因此619AGC ABC S S =△△, 同理连接AI 、CH 得619ABH ABC S S =△△,619BIC ABC S S =△△,所以1966611919GHI ABC S S ---==△△三角形GHI 的面积是1，所以三角形ABC 的面积是19【巩固】如图，ABC ∆中2BD DA =，2CE EB =，2AF FC =，那么ABC ∆的面积是阴影三角形面积的 倍．【分析】 如图，连接AI ．根据燕尾定理，::2:1BCI ACI S S BD AD ∆∆==，::1:2BCI ABI S S CF AF ∆∆==，所以，::1:2:4ACI BCI ABI S S S ∆∆∆=，那么，221247BCI ABC ABC S S S ∆∆∆==++． 同理可知ACG ∆和ABH ∆的面积也都等于ABC ∆面积的27，所以阴影三角形的面积等于ABC ∆面积的211377-⨯=，所以ABC ∆的面积是阴影三角形面积的7倍．【巩固】如图在ABC △中，12DC EA FB DB EC FA ===,求GHI ABC △的面积△的面积的值． 【解析】 连接BG ,设BGC S △=1份，根据燕尾定理::2:1AGC BGC S S AF FB ==△△,::2:1ABG AGC S S BD DC ==△△,得2AGC S =△(份)，4ABG S =△(份),则7ABC S =△(份)，因此27AGC ABC S S =△△,同理连接AI 、CH 得27ABH ABC S S =△△,27BIC ABC S S =△△,所以7222177GHI ABC S S ---==△△ 【点评】如果任意一个三角形各边被分成的比是相同的，那么在同样的位置上的图形，虽然形状千变万化，但面积是相等的，这在这讲里面很多题目都是用“同理得到”的，即再重复一次解题思路，因此我们有对称法作辅助线.【例 28】 如图，三角形ABC 的面积是1，BD DE EC ==，CF FG GA ==，三角形ABC 被分成9部分，请写出这9部分的面积各是多少?【解析】 设BG 与AD 交于点P ，BG 与AE 交于点Q ，BF 与AD 交于点M ，BF 与AE 交于点N ．连接CP ，CQ ，CM ，CN ．根据燕尾定理，::1:2ABP CBP S S AG GC ==△△，::1:2ABP ACP S S BD CD ==△△，设1ABP S =△(份)，则1225ABC S =++=△(份)，所以15ABP S =△ 同理可得，27ABQ S =△,12ABN S =△,而13ABG S =△，所以2137535APQ S =-=△，1213721AQG S =-=△．同理，335BPM S =△121BDM S =△,所以1239273570PQMN S =--=四边形，139********MNED S =--=四边形,1151321426NFCE S =--=四边形,1115321642GFNQ S =--=四边形 【巩固】如图，ABC ∆的面积为1，点D 、E 是BC 边的三等分点，点F 、G 是AC 边的三等分点，那么四边形JKIH 的面积是多少【解析】 连接CK 、CI 、CJ ．根据燕尾定理，::1:2ACK ABK S S CD BD ∆∆==，::1:2ABK CBK S S AG CG ∆∆==，所以::1:2:4ACK ABK CBK S S S ∆∆∆=，那么111247ACK S ∆==++，11321AGK ACK S S ∆∆==． 类似分析可得215AGI S ∆=． 又::2:1ABJ CBJ S S AF CF ∆∆==，::2:1ABJ ACJ S S BD CD ∆∆==，可得14ACJ S ∆=．那么，111742184CGKJ S =-=． 根据对称性，可知四边形CEHJ 的面积也为1784，那么四边形JKIH 周围的图形的面积之和为172161228415370CGKJ AGI ABE S S S ∆∆⨯++=⨯++=，所以四边形JKIH 的面积为61917070-=．【例 29】 右图，ABC △中，G 是AC 的中点，D 、E 、F 是BC 边上的四等分点，AD 与BG交于M ，AF 与BG 交于N ，已知ABM △的面积比四边形FCGN 的面积大7.2平方厘米，则ABC △的面积是多少平方厘米【解析】 连接CM 、CN ．根据燕尾定理，::1:1ABM CBM S S AG GC ==△△，::1:3ABM ACM S S BD CD ==△△，所以15ABM ABC S S =△△；再根据燕尾定理，::1:1ABN CBN S S AG GC ==△△，所以::4:3ABN FBN CBN FBN S S S S ==△△△△，所以:4:3AN NF =，那么1422437ANG AFC S S =⨯=+△△，所以2515177428FCGN AFC ABC ABC S S S S ⎛⎫=-=⨯= ⎪⎝⎭△△△．根据题意，有157.2528ABC ABC S S -=△△，可得336ABC S =△(平方厘米) 【例 30】 如图，面积为l 的三角形ABC 中，D 、E 、F 、G 、H 、I 分别是AB 、BC 、CA 的三等分点,求阴影部分面积.【解析】 三角形在开会，那么就好好利用三角形中最好用的比例和燕尾定理吧！令BI 与CD 的交点为M ，AF 与CD 的交点为N ，BI 与AF 的交点为P ,BI 与CE 的交点为Q ,连接AM 、BN 、CP⑴求ADMI S 四边形：在ABC △中，根据燕尾定理，::1:2ABM CBM S S AI CI ==△△::1:2ACM CBM S S AD BD ==△△设1ABM S =△(份)，则2CBM S =△(份),1ACM S =△(份),4ABC S =△(份),所以14ABM ACM ABC S S S ==△△△，所以11312ADM ABM ABC S S S ==△△△,112AIM ABC S S =△△, 所以111()12126ABC ABC ADMI S S S =+=△△四边形, 同理可得另外两个顶点的四边形面积也分别是ABC △面积的16⑵求DNPQE S 五边形：在ABC △中，根据燕尾定理::1:2ABN ACN S S BF CF ==△△::1:2ACN BCN S S AD BD ==△△,所以111133721ADN ABN ABC ABC S S S S ==⨯=△△△△,同理121BEQ ABC S S =△△ 在ABC △中，根据燕尾定理::1:2ABP ACP S S BF CF ==△△,::1:2ABP CBP S S AI CI ==△△所以15ABP ABCS S =△△，所以1111152121105ABP ADN BEP ABC ABC DNPQE S S S S S S ⎛⎫=--=--= ⎪⎝⎭△△△△△五边形同理另外两个五边形面积是ABC △面积的11105，所以11113133610570S =-⨯-⨯=阴影 【例 31】 如图，面积为l 的三角形ABC 中，D 、E 、F 、G 、H 、I 分别是AB 、BC 、CA 的三等分点,求中心六边形面积.【解析】 设深黑色六个三角形的顶点分别为N 、R 、P 、S 、M 、Q ，连接CR在ABC △中根据燕尾定理，::.2:1ABR ACR S S BG CG ==△△,所以27ABR ABC S S =△△,同理27ACS ABC S S =△△,27CQB ABC S S =△△所以222117777RQS S =---=△，同理17MNP S =△根据容斥原理，和上题结果11131777010S =+-=六边形 课后练习：练习1. 已知DEF △的面积为7平方厘米，,2,3BE CE AD BD CF AF ===，求ABC △的面积．【解析】 :():()(11):(23)1:6BDE ABC S S BD BE BA BC =⨯⨯=⨯⨯=△△，:():()(13):(24)3:8CEF ABC S S CE CF CB CA =⨯⨯=⨯⨯=△△:():()(21):(34)1:6ADF ABC S S AD AF AB AC =⨯⨯=⨯⨯=△△设24ABC S =△份，则4BDE S =△份，4ADF S =△份，9CEF S =△份，244497DEF S =---=△份，恰好是7平方厘米，所以24ABC S =△平方厘米练习2. 如图，四边形EFGH 的面积是66平方米，EA AB =，CB BF =，DC CG =，HD DA =，求四边形ABCD 的面积．【解析】 连接BD ．由共角定理得:():()1:2BCD CGF S S CD CB CG CF =⨯⨯=△△，即2CGF CDB S S =△△同理:1:2ABD AHE S S =△△，即2AHE ABD S S =△△所以2()2AHE CGF CBD ADB ABCD S S S S S +=+=△△△△四边形连接AC ，同理可以得到2DHG BEF ABCD S S S +=△△四边形所以66513.2ABCD S =÷=四边形平方米练习3. 正方形ABCD 的面积是120平方厘米，E 是AB 的中点，F 是BC 的中点，四边形BGHF 的面积是 平方厘米．【解析】 欲求四边形BGHF 的面积须求出EBG ∆和CHF ∆的面积．由题意可得到：::1:2EG GC EB CD ==，所以可得：13EBG BCE S S ∆∆=将AB 、DF 延长交于M 点，可得：:::1:1BM DC MF FD BF FC ===，而1::():3:22EH HC EM CD AB AB CD ==+=，得25CH CE =，而12CF BC =，所以121255CHF BCE BCE S S S ∆∆∆=⨯=11773014351515EBC EBC EBC EBC BGHF S S S S S ∆∆∆∆=--==⨯=四边形．EF ，确定H 的位置(也就是:FH HD )，同样也能解出．练习4. 如图，已知4cm AB AE ==，BC DC =，90BAE BCD ∠=∠=︒，10cm AC =，则S ABC ACE CDE S S ∆∆∆++= 2cm ．【解析】 将三角形ABC 绕A 点和C 点分别顺时针和逆时针旋转90o ，构成三角形'AEC 和'A DC ，再连接''A C ，显然'AC AC ⊥，'AC A C ⊥，''AC A C AC ==，所以''ACA C 是正方形．三角形'AEC 和三角形'A DC 关于正方形的中心O 中心对称，在中心对称图形''ACA C 中有如下等量关系：''AEC A DC S S ∆∆=；''AEC A DC S S ∆∆=；'CED C DE S S ∆∆=．所以2'''11101050cm 22ABC ACE CDE AEC ACE CDE ACA C S S S S S S S ∆∆∆∆∆∆++=++==⨯⨯=W ．练习5. 如图，正方形ABCD 的面积是120平方厘米，E 是AB 的中点，F 是BC 的中点，四边形BGHF 的面积是_____平方厘米．【解析】 连接BH ,根据沙漏模型得:1:2BG GD =,设1BHC S =△份，根据燕尾定理2CHD S =△份，2BHD S =△份，因此122)210S =++⨯=正方形（份，127236BFHG S =+=，所以712010146BFHG S =÷⨯=(平方厘米). 练习6. 如图，ABC ∆中，点D 是边AC 的中点，点E 、F 是边BC 的三等分点，若ABC ∆的面积为1，那么四边形CDMF 的面积是_________．【解析】 由于点D 是边AC 的中点，点E 、F 是边BC 的三等分点，如果能求出BN 、NM 、MD 三段的比，那么所分成的六小块的面积都可以求出来，其中当然也包括四边形CDMF 的面积．连接CM 、CN ．根据燕尾定理，::2:1ABM ACM S S BF CF ∆∆==，而2ACM ADM S S ∆∆=，所以。

小学奥数平面几何五种面积模型

小学奥数平面几何五种面积模型

小学奥数平面几何五种模型（等积，鸟头，蝶形，相似，共边）目标：熟练掌握五大面积模型等积，鸟头，蝶形，相似（含金字塔模型和沙漏模型），共边（含燕尾模型和风筝模型），掌握五大面积模型的各种变形知识点拨一、等积模型①等底等高的两个三角形面积相等；②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比；如右图12::S S a b③夹在一组平行线之间的等积变形，如右图ACD BCD S S △△；反之，如果ACD BCD S S △△，则可知直线AB 平行于CD ．④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)；⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比．二、鸟头定理两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形．共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比．如图在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点如图⑴(或D 在BA 的延长线上，E 在AC 上)，则:():()ABC ADE S S AB AC AD AE △△EDCBAEDCBA图⑴图⑵三、蝶形定理任意四边形中的比例关系(“蝶形定理”)：①1243::S S S S 或者1324S S S S ②1243::AO OC S S S S 蝶形定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；b a S 2S 1D C BAS 4S 3S 2S 1O DCBA另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系．梯形中比例关系(“梯形蝶形定理”)：①2213::S S a b②221324::::::S S S S a b ab ab ；③S 的对应份数为2a b ．四、相似模型(一)金字塔模型 (二) 沙漏模型GF E ABCD A B CDEFG①AD AE DE AF ABACBCAG；②22:ADE ABC S S AF AG △△：．所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形(只要其形状不改变，不论大小怎样改变它们都相似)，与相似三角形相关的常用的性质及定理如下：⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比；⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方；⑶连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．三角形中位线定理：三角形的中位线长等于它所对应的底边长的一半．相似三角形模型，给我们提供了三角形之间的边与面积关系相互转化的工具．在小学奥数里，出现最多的情况是因为两条平行线而出现的相似三角形．五、共边定理（燕尾模型和风筝模型）在三角形ABC 中，AD ，BE ，CF 相交于同一点O ，那么::ABO ACO S S BD DC ．上述定理给出了一个新的转化面积比与线段比的手段，因为ABO 和ACO 的形状很象燕子的尾巴，所以这个定理被称为燕尾定理．该定理在许多几何题目中都有着广泛的运用，它的特殊性在于，它可以存在于任何一个三角形之中，为三角形中的三角形面积对应底边之间提供互相联系的途径.A BCDO ba S 3S 2S 1S 4O FED C B A典型例题【例1】如图，正方形ABCD 的边长为6，AE 1.5，CF 2．长方形EFGH 的面积为．【解析】连接DE ，DF ，则长方形EFGH 的面积是三角形DEF 面积的二倍．三角形DEF 的面积等于正方形的面积减去三个三角形的面积，66 1.5622624.54216.5DEFS △,所以长方形EFGH面积为33．【巩固】如图所示，正方形ABCD 的边长为8厘米，长方形EBGF 的长BG 为10厘米，那么长方形的宽为几厘米？【解析】本题主要是让学生会运用等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)．三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半．证明：连接AG ．(我们通过ABG △把这两个长方形和正方形联系在一起)．∵在正方形ABCD 中，G12AB S ABAB △边上的高，∴12ABGABCDS S△(三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半)同理，12ABGEFGB S S △．∴正方形ABCD 与长方形E F G B 面积相等．长方形的宽88106.(厘米)．_H _G _F _E _D _C _B _A _A _B _C _D _E _F _G _H _A _B _G _C _E _F _D _A _B _G _C _E _F _D【例2】长方形ABCD 的面积为362cm ，E 、F 、G 为各边中点，H为AD 边上任意一点，问阴影部分面积是多少？H GFEDCBA【解析】解法一：寻找可利用的条件，连接BH、HC ，如下图：HGFEDCBA可得：12EHBAHBS S 、12FHBCHB S S 、12DHGDHCS S，而36ABCDAHBCHBCHDS S S S 即11()361822EHB BHFDHGAHBCHBCHD S SS S SS ；而EHBBHF DHG EBFS S S S S 阴影，11111()()36 4.522228EBFS BE BFAB BC ．所以阴影部分的面积是：1818 4.513.5EBFS S 阴影解法二：特殊点法．找H的特殊点，把H点与D 点重合，那么图形就可变成右图：GABCD E F(H)这样阴影部分的面积就是DEF的面积，根据鸟头定理，则有：11111113636363613.52222222ABCDAEDBEFCFDS S S SS 阴影．【巩固】在边长为6厘米的正方形ABCD 内任取一点P ，将正方形的一组对边二等分，另一组对边三等分，分别与P 点连接,求阴影部分面积．P DCBAA BCD(P)PDCBA【解析】（法1）特殊点法．由于P 是正方形内部任意一点，可采用特殊点法，假设P 点与A 点重合，则阴影部分变为如上中图所示，图中的两个阴影三角形的面积分别占正方形面积的14和16，所以阴影部分的面积为2116()1546平方厘米．（法2）连接PA 、PC ．由于PAD 与PBC 的面积之和等于正方形ABCD 面积的一半，所以上、下两个阴影三角形的面积之和等于正方形ABCD 面积的14，同理可知左、右两个阴影三角形的面积之和等于正方形ABCD 面积的16，所以阴影部分的面积为2116()1546平方厘米．【例3】如图所示，长方形ABCD 内的阴影部分的面积之和为70，8AB，15AD ，四边形EFGO 的面积为．O GFEDCBA【解析】利用图形中的包含关系可以先求出三角形AOE 、DOG 和四边形EFGO 的面积之和，以及三角形AOE 和DOG 的面积之和，进而求出四边形EFGO 的面积．由于长方形ABCD 的面积为158120，所以三角形BOC 的面积为1120304，所以三角形AOE 和DOG 的面积之和为312070204；又三角形AOE 、DOG 和四边形EFGO 的面积之和为111203024，所以四边形EFGO 的面积为302010．另解：从整体上来看，四边形EFGO 的面积三角形AFC 面积三角形BFD 面积白色部分的面积，而三角形AFC 面积三角形BFD 面积为长方形面积的一半，即60，白色部分的面积等于长方形面积减去阴影部分的面积，即1207050，所以四边形的面积为605010．【巩固】如图，长方形ABCD 的面积是36，E 是AD 的三等分点，2AEED ，则阴影部分的面积为．OABCDEN MOABCDE【解析】如图，连接OE ．根据蝶形定理，1:::1:12COE CDECAECDEON ND S S SS ，所以12OENOE DS S；1:::1:42BOEBAEBDEBAEOM MASS SS ，所以15OEMOEASS．又11334OEDABCDS S 矩形，26OEAOEDS S ，所以阴影部分面积为：11362.725．【例4】已知ABC 为等边三角形，面积为400，D 、E 、F 分别为三边的中点，已知甲、乙、丙面积和为143，求阴影五边形的面积．(丙是三角形HBC )丙乙甲H N MJ I FEDCBA 【解析】因为D 、E 、F 分别为三边的中点，所以DE 、DF 、EF 是三角形ABC 的中位线，也就与对应的边平行，根据面积比例模型，三角形ABN 和三角形AMC 的面积都等于三角形ABC 的一半，即为200．根据图形的容斥关系，有ABC ABN AMCAMHN S S S S S 丙，即400 200200AMHNS S 丙，所以AMHN S S 丙．又ADFAMHNS S S S S 乙甲阴影，所以1143400434ADFS S S S S 乙甲丙阴影．【例5】如图，已知5CD ，7DE ，15EF ，6FG ，线段AB 将图形分成两部分，左边部分面积是38，右边部分面积是65，那么三角形ADG 的面积是．GFEDCBAABC DE FG【解析】连接AF ，BD ．根据题意可知，571527CF；715628DG ；所以，1527BE CBF F S S ，1227BE CBFCS S ，2128AEGADGS S ，728AEDADGS S，于是：2115652827ADGCBFSS ；712382827ADG CBFS S ；可得40ADGS．故三角形ADG 的面积是40．【例6】如图在ABC△中，,D E分别是,AB AC 上的点，且:2:5AD AB ，:4:7AE AC，16ADES △平方厘米，求ABC △的面积．EDCBAEDCB A【解析】连接BE ，::2:5(24):(54)ADE ABES S AD AB △△，::4:7(45):(75)ABE ABC S S AE AC△△，所以:(24):(7A D E A B C S S △△，设8ADES △份，则35ABCS △份，16ADES △平方厘米，所以1份是2平方厘米，35份就是70平方厘米，ABC △的面积是70平方厘米．由此我们得到一个重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比．【巩固】如图，三角形ABC 中，AB 是AD 的5倍，AC 是AE 的3倍，如果三角形ADE 的面积等于1，那么三角形ABC 的面积是多少？EDCBA ABCDE【解析】连接BE ．∵3EC AE ∴3ABC ABE S S 又∵5AB AD ∴515ADE ABEABCS S S，∴1515ABCADESS．【巩固】如图，三角形ABC 被分成了甲(阴影部分)、乙两部分，4BD DC，3BE ，6AE ，乙部分面积是甲部分面积的几倍？乙甲E DCBAABCDE 甲乙【解析】连接AD ．∵3BE ，6AE ∴3AB BE ，3ABD BDE S S 又∵4BD DC ，∴2ABC ABD S S ，∴6ABC BDES S，5S S 乙甲．【例7】如图在ABC △中，D 在BA 的延长线上，E 在AC 上，且:5:2AB AD ，:3:2AE EC，12ADES △平方厘米，求ABC △的面积．EDCB AEDCBA【解析】连接BE ，::2:5(23):(53)ADE ABES S AD AB △△::3:(32)(35):(32)5ABE ABCS S AE AC△△，所以:(32):5(32)6:25A D E A BCS S △△，设6A D E S △份，则25ABCS △份，12ADES △平方厘米，所以1份是2平方厘米，25份就是50平方厘米，ABC△的面积是50平方厘米．由此我们得到一个重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比【例8】如图，平行四边形ABCD ，BE AB ，2CF CB ，3GD DC ，4HA AD ，平行四边形ABCD 的面积是2，求平行四边形ABCD 与四边形EFGH 的面积比．HGAB CD EFHGAB CD EF【解析】连接AC 、BD ．根据共角定理∵在ABC △和BFE △中，ABC 与FBE互补，∴111133ABC FBES AB BC S BE BF△△．又1ABC S △，所以3FBE S △．同理可得8GCF S △，15DHG S △，8AEH S △．所以8815+3+236EFGH AEH CFG DHG BEF ABCD S S S S S S △△△△．所以213618ABCD EFGHS S ．【例9】如图所示的四边形的面积等于多少？ODCBA1313121213131212【解析】题目中要求的四边形既不是正方形也不是长方形，难以运用公式直接求面积.我们可以利用旋转的方法对图形实施变换：把三角形OAB 绕顶点O 逆时针旋转，使长为13的两条边重合，此时三角形OAB 将旋转到三角形OCD 的位置.这样，通过旋转后所得到的新图形是一个边长为12的正方形，且这个正方形的面积就是原来四边形的面积.因此，原来四边形的面积为1212144.(也可以用勾股定理) 【例10】如图所示，ABC 中，90ABC，3AB ，5BC ，以AC 为一边向ABC外作正方形ACDE ，中心为O ，求OBC 的面积．53OA BCDEF53OA BCDE【解析】如图，将OAB 沿着O 点顺时针旋转90，到达OCF 的位置．由于90ABC ，90AOC ，所以180OAB OCB ．而OCF OAB ，所以180OCF OCB ，那么B 、C 、F 三点在一条直线上．由于OB OF ，90BOF AOC ，所以BOF 是等腰直角三角形，且斜边BF为538，所以它的面积为218164．根据面积比例模型，OBC 的面积为516108．【例11】如图，以正方形的边AB 为斜边在正方形内作直角三角形ABE，90AEB ，AC 、BD 交于O ．已知AE 、BE 的长分别为3cm 、5cm ，求三角形OBE 的面积．ABCDO EFABCDO E【解析】如图，连接DE ，以A 点为中心，将ADE 顺时针旋转90到ABF 的位置．那么90EAF EAB BAF EAB DAE ，而AEB 也是90，所以四边形AFBE 是直角梯形，且3AF AE ，所以梯形AFBE 的面积为：1353122(2cm)．又因为ABE 是直角三角形，根据勾股定理，222223534ABAEBE，所以21172ABD S AB(2cm )．那么17125BDE ABD ABEADEABDAFBES S S SSS (2cm )，所以12.52OBEBDE S S (2cm )．【例12】如下图，六边形ABCDEF 中，ABED ，AFCD，BC EF ，且有AB 平行于ED ，AF 平行于CD ，BC 平行于EF ，对角线FD 垂直于BD ，已知24FD 厘米，18BD 厘米，请问六边形ABCDEF 的面积是多少平方厘米？FEABDCGFEABDC【解析】如图，我们将BCD 平移使得CD 与AF 重合，将DEF 平移使得ED 与AB 重合，这样EF 、BC 都重合到图中的AG 了．这样就组成了一个长方形BGFD ，它的面积与原六边形的面积相等，显然长方形BGFD 的面积为2418432平方厘米，所以六边形ABCDEF 的面积为432平方厘米．【例13】如图，三角形ABC的面积是1，E是AC 的中点，点D 在BC 上，且:1:2BD DC，AD 与BE 交于点F ．则四边形DFEC 的面积等于．FEDCBA33321F EDC BA ABCDEF【解析】方法一：连接CF ，根据燕尾定理，12ABF ACFS BD S DC△△，1ABFCBFS AES EC△△,设1BDFS △份，则2DCFS △份，3ABF S △份，3AEF EFCS S △△份，如图所标所以551212DCEF ABCS S △方法二：连接DE ，由题目条件可得到1133ABDABCS S △△，11212233ADEADC ABC S S S △△△，所以11ABD ADES BF FE S △△，111111122323212DEFDEBBECABCS S S S △△△△，而211323CDEABC S S △△．所以则四边形DFEC 的面积等于512．【巩固】如图，长方形ABCD 的面积是2平方厘米，2ECDE ，F是DG 的中点．阴影部分的面积是多少平方厘米?x yyx AB CD E F GGFE D CBA33GF EDCB A213【解析】设1DEF S △份，则根据燕尾定理其他面积如图所示551212BCDS S △阴影平方厘米.【例14】四边形ABCD 的对角线AC与BD 交于点O (如图所示)．如果三角形ABD的面积等于三角形BCD 的面积的13，且2AO，3DO，那么CO 的长度是DO 的长度的_________倍．ABCD OH GA BCD O【解析】在本题中，四边形ABCD 为任意四边形，对于这种”不良四边形”，无外乎两种处理方法：⑴利用已知条件，向已有模型靠拢，从而快速解决；⑵通过画辅助线来改造不良四边形．看到题目中给出条件:1:3ABD BCD S S ，这可以向模型一蝶形定理靠拢，于是得出一种解法．又观察题目中给出的已知条件是面积的关系，转化为边的关系，可以得到第二种解法，但是第二种解法需要一个中介来改造这个”不良四边形”，于是可以作AH 垂直BD 于H ，CG 垂直BD 于G ，面积比转化为高之比．再应用结论：三角形高相同，则面积之比等于底边之比，得出结果．请老师注意比较两种解法，使学生体会到蝶形定理的优势，从而主观上愿意掌握并使用蝶形定理解决问题．解法一：∵::1:3ABD BDC AO OC S S ，∴236OC ，∴:6:32:1O CO D ．解法二：作AH BD 于H ，CG BD 于G ．∵13ABDBCDSS，∴13AHCG，∴13AODDOCSS，∴13AOCO，∴236OC，∴:6:32:1OC OD ．【巩固】如图，四边形被两条对角线分成4个三角形，其中三个三角形的面积已知，求：⑴三角形BGC 的面积；⑵:AG GC ？A BCDG321【解析】⑴根据蝶形定理，123BGC S ，那么6BGC S ；⑵根据蝶形定理，:12:361:3AG GC ．【例15】如图，平行四边形ABCD 的对角线交于O 点，CEF △、OEF△、ODF △、BOE △的面积依次是2、4、4和6．求：⑴求OCF △的面积；⑵求GCE △的面积．OGFEDCBA【解析】⑴根据题意可知，BCD △的面积为244616，那么BCO △和CDO 的面积都是1628，所以OCF △的面积为844；⑵由于BCO △的面积为8，BOE △的面积为6，所以OCE △的面积为862，根据蝶形定理，::2:41:2COE COF EG FG S S ，所以::1GCEG CF S SE GF G ，那么11221233GCECEFSS ．【例16】如图，长方形ABCD 中，:2:3BE EC，:1:2DF FC，三角形DFG 的面积为2平方厘米，求长方形ABCD 的面积．ABCD EFGABCD EFG【解析】连接AE ，FE ．因为:2B E EC ，:1:2DF FC ，所以3111()53210DEFABCDABCD S S S 长方形长方形．因为12AED ABCD S S 长方形，11::5:1210AG GF，所以510AGDGDFSS平方厘米，所以12AFDS平方厘米．因为16AFDABCD S S 长方形，所以长方形ABCD 的面积是72平方厘米．【例17】如图，正方形ABCD 面积为3平方厘米，M是AD 边上的中点．求图中阴影部分的面积．GMDCBA【解析】因为M 是AD 边上的中点，所以:1:2AM BC ，根据梯形蝶形定理可以知道22:::1:12:12:21:2:2:4AMG ABG MCG BCGS S S S △△△△（）（），设1A G M S △份，则123M C DS △份，所以正方形的面积为1224312份，224S 阴影份，所以:1:3S S 阴影正方形，所以1S 阴影平方厘米．【巩固】在下图的正方形ABCD 中，E 是BC 边的中点，AE 与BD 相交于F 点，三角形BEF 的面积为1平方厘米，那么正方形ABCD 面积是平方厘米．ABCDEF 【解析】连接DE，根据题意可知:1:2BE AD ，根据蝶形定理得2129S 梯形（）(平方厘米)，3ECDS △(平方厘米)，那么12ABCDS(平方厘米)．【例18】已知ABCD 是平行四边形，:3:2BC CE ，三角形ODE 的面积为6平方厘米．则阴影部分的面积是平方厘米．OEABCDOEABC D【解析】连接AC ．由于ABCD 是平行四边形，:3:2BC CE ，所以:2:3CE AD，根据梯形蝶形定理，22:::2:23:23:34:6:6:9COE AOC DOE AOD S S S S ，所以6AOCS (平方厘米)，9AODS(平方厘米)，又691ABCACDSS (平方厘米)，阴影部分面积为61521(平方厘米)．【巩固】右图中ABCD 是梯形，ABED 是平行四边形，已知三角形面积如图所示(单位：平方厘米)，阴影部分的面积是平方厘米．21ABCDE9421ABC DE O 94【分析】连接AE ．由于AD与BC是平行的，所以AECD也是梯形，那么OCD OAE S S ．根据蝶形定理，4936OCDOAEOCEOADS S SS ，故236OCDS，所以6OCDS(平方厘米)．【巩固】右图中ABCD 是梯形，ABED 是平行四边形，已知三角形面积如图所示(单位：平方厘米)，阴影部分的面积是平方厘米．1682ABCDE O 1682ABCDE【解析】连接AE．由于AD与BC是平行的，所以AECD也是梯形，那么OCDOAE SS ．根据蝶形定理，2816OCD OAEOCEOADS S S S，故216OCDS ，所以4OCD S (平方厘米)．另解：在平行四边形ABED 中，111681222ADEABEDS S(平方厘米)，所以1284AOE ADE AOD S S S (平方厘米)，根据蝶形定理，阴影部分的面积为8244(平方厘米)．【例19】如图，长方形ABCD 被CE 、DF分成四块，已知其中3块的面积分别为2、5、8平方厘米，那么余下的四边形OFBC 的面积为___________平方厘米．?852O A B C DEF?852O A BCDEF【解析】连接DE 、CF ．四边形EDCF为梯形，所以EODFOCS S，又根据蝶形定理，EOD FOCEOF COD S S S S ，所以2816EODFOCEOFCODSSSS，所以4EODS(平方厘米)，4812ECD S (平方厘米)．那么长方形ABCD 的面积为12224平方厘米，四边形OFBC 的面积为245289(平方厘米)．【例20】如图，ABC 是等腰直角三角形，DEFG 是正方形，线段AB 与CD 相交于K 点．已知正方形DEFG 的面积48，:1:3AK KB ，则BKD 的面积是多少？KGF E DCBAM K GFEDCBA【解析】由于DEFG 是正方形，所以DA 与BC 平行，那么四边形ADBC 是梯形．在梯形ADBC 中，BDK 和ACK 的面积是相等的．而:1:3AK KB ，所以ACK 的面积是ABC 面积的11134，那么BDK 的面积也是ABC 面积的14．由于ABC 是等腰直角三角形，如果过A 作BC 的垂线，M 为垂足，那么M 是BC 的中点，而且AM DE ，可见ABM 和ACM 的面积都等于正方形DEFG 面积的一半，所以ABC 的面积与正方形DEFG 的面积相等，为48．那么BDK的面积为148124．【例21】下图中，四边形ABCD 都是边长为1的正方形，E 、F 、G 、H 分别是AB ，BC ，CD ，DA 的中点，如果左图中阴影部分与右图中阴影部分的面积之比是最简分数m n，那么，()mn 的值等于．ABCDEFGHHGFEDCBA 【解析】左、右两个图中的阴影部分都是不规则图形，不方便直接求面积，观察发现两个图中的空白部分面积都比较好求，所以可以先求出空白部分的面积，再求阴影部分的面积．如下图所示，在左图中连接EG ．设AG 与DE 的交点为M ．左图中AEGD 为长方形，可知AMD 的面积为长方形AEGD 面积的14，所以三角形AMD的面积为21111248．又左图中四个空白三角形的面积是相等的，所以左图中阴影部分的面积为111482．MABC DEFGHNHGFEDCBA如上图所示，在右图中连接AC 、EF ．设AF 、EC 的交点为N ．可知EF ∥AC 且2AC EF ．那么三角形BEF 的面积为三角形ABC 面积的14，所以三角形BEF的面积为21111248，梯形AEFC 的面积为113288．在梯形AEFC 中，由于:1:2EF AC ，根据梯形蝶形定理，其四部分的面积比为：221:12:12:21:2:2:4，所以三角形EFN 的面积为3118122424，那么四边形BENF 的面积为1118246．而右图中四个空白四边形的面积是相等的，所以右图中阴影部分的面积为111463．那么左图中阴影部分面积与右图中阴影部分面积之比为11:3:223，即32m n，那么325mn．【例22】如图，ABC △中，DE ，FG ，BC 互相平行，ADDFFB ，则::ADE DEGF FGCBS S S △四边形四边形．EGF A D CB【解析】设1ADE S △份，根据面积比等于相似比的平方，所以22::1:4ADE AFG S S AD AF △△，22::1:9ADE ABC S S AD AB △△，因此4AFG S △份，9ABC S △份，进而有3DEGF S 四边形份，5FGCB S 四边形份，所以::1:3:5ADE DEGF FGCBS S S △四边形四边形【巩固】如图，DE平行BC ，且2AD，5AB ，4AE ，求AC 的长．A EDCB【解析】由金字塔模型得:::2:5AD AB AE AC DE BC ，所以42510AC 【巩固】如图，ABC △中，DE ，FG ，MN，PQ ，BC 互相平行，ADDFFM MPPB ，则::::ADE DEGF FGNMMNQPPQCBS S S S S △四边形四边形四边形四边形．【解析】设1ADES △份，22::1:4ADE AFG S S AD AF△△，因此4AFGS △份，进而有3D E G F S 四边形份，同理有5F G N M S 四边形份，7MNQPS 四边形份，9PQCBS 四边形份．所以有::::1:3:5:7:9ADE DEGF FGNMMNQPPQCBS S S S S △四边形四边形四边形四边形【例23】如图，已知正方形ABCD 的边长为4，F是BC 边的中点，E 是DC 边上的点，且:1:3DE EC ，AF与BE 相交于点G ，求ABGS △GFAEDCBMGFAEDCBGFAEDCB【解析】方法一：连接AE ，延长AF ，DC 两条线交于点M ，构造出两个沙漏，所以有::1:1AB CM BF FC ，因此4CM ，根据题意有3CE ，再根据另一个沙漏有::4:7GB GE AB EM ，所以4432(442)471111ABGABES S △△．方法二：连接,AE EF，分别求4224ABFS △，4441232247AEFS △，根据蝶形定理::A BF AEFS S BG G E △△，所以4432(442)471111ABG ABES S △△．【例24】如图所示，已知平行四边形ABCD 的面积是1，E 、F 是AB 、AD 的中点，BF交EC 于M ，求BMG 的面积．Q E GNMFPADCBMHGFE DCBAIABCDE FGHM【解析】解法一：由题意可得，E 、F 是AB 、AD的中点，得//EF BD，而::1:2FD BC FH HC ，::1:2EB CD BG GD 所以::2:3CH CF GH EF ，并得G 、H 是BD 的三等分点，所以BGGH ，所以::2:3BG EFBM MF，所以25BMBF，11112224BFDABDABCDSS S；又因为13BGBD ，所以1212113535430BMGBFDS S ．解法二：延长CE 交DA 于I ，如右图，可得，::1:1AI BCAE EB ，从而可以确定M的点的位置，::2:3BM MFBC IF，25BMBF，13BGBD(鸟头定理)，可得2121115353430BMGBDFABCDS S S 【例25】如图，ABCD 为正方形，1cmAM NB DE FC 且2cm MN，请问四边形PQRS 的面积为多少？SR BCDAEQNMFPSRBCDAEQNMFP【解析】(法1)由//AB CD ，有MP PC MN DC ，所以2PCPM，又MQ MB QC EC，所以12MQQCMC，所以111236PQMC MCMC，所以SPQRS 占AMCFS 的16，所以121(112)63SPQRS 2(cm )．(法2)如图，连结AE ，则14482ABES (2cm )，而RBER ABEF，所以2RB ABEFEF ，22168333ABRABES S(2cm)．而1134322MBQ ANS S S (2cm )，因为MN MP DC PC，所以13MP MC ，则11424233MNP S (2cm )，阴影部分面积等于164233333ABR ANS MBQ MNP S S S S (2cm )．【例26】如右图，三角形ABC 中，:4:9BD DC，:4:3CE EA，求:AF FB ．OF EDCBA【解析】根据燕尾定理得::4:912:27AOB AOCS S BD CD △△::3:412:16AOB BOCS S AE CE△△（都有AOB △的面积要统一，所以找最小公倍数）所以:27:16:AOC BOC S S AF FB△△【点评】本题关键是把AOB △的面积统一，这种找最小公倍数的方法，在我们用比例解题中屡见不鲜，如果能掌握它的转化本质，我们就能达到解奥数题四两拨千斤的巨大力量！【巩固】如右图，三角形ABC 中，:3:4BD DC，:5:6AE CE，求:AF FB .OF EDCBA【解析】根据燕尾定理得::3:415:20AOB AOCS S BD CD △△::5:615:18AOB BOCS S AE CE△△（都有AOB △的面积要统一，所以找最小公倍数）所以:20:1810:9:AOC BOC S S AF FB△△【巩固】如右图，三角形ABC 中，:2:3BD DC，:5:4EA CE ，求:AF FB .OF EDCBA【解析】根据燕尾定理得::2:310:15AOB AOCS S BD CD △△::5:410:8AOB BOCS S AE CE△△（都有AOB △的面积要统一，所以找最小公倍数）所以:15:8:AOC BOC S S AF FB△△【点评】本题关键是把AOB △的面积统一，这种找最小公倍数的方法，在我们用比例解题中屡见不鲜，如果能掌握它的转化本质，我们就能达到解奥数题四两拨千斤的巨大力量！【例27】如右图，三角形ABC 中，:::3:2AF FBBD DC CE AE，且三角形ABC 的面积是1，则三角形ABE 的面积为______，三角形AGE的面积为________，三角形GHI 的面积为______．I HGFEDCBAI HGFEDCBA【分析】连接AH 、BI 、CG ．由于:3:2CE AE，所以25AEAC，故2255ABEABCS S；根据燕尾定理，::2:3ACG ABGS SCD BD，::3:2BCG ABGS S CE EA，所以::4:6:9ACG ABG BCGS S S，则419ACGS ，919BCG S ；那么2248551995AGEAGCS S ；同样分析可得919ACHS，则::4ACG AC HE G EHSS ，::4:19ACGACBEG EBSS，所以::4:5:1E G G H H B ，同样分析可得::10:5A G G II D ，所以5521101055BIEBAES S，55111919519GHIBIES S．【巩固】如右图，三角形ABC 中，:::3:2AF FB BD DCCE AE ，且三角形GHI的面积是1，求三角形ABC 的面积．IH G FEDCBA IH G FEDCBA【解析】连接BG ，AGCS △6份根据燕尾定理，::3:26:4AGC BGCS S AF FB △△，::3:29:6ABG AGCS S BD DC△△得4BGC S △(份)，9ABG S △(份)，则19ABC S △(份)，因此619AGC ABC S S △△,同理连接AI 、CH 得619ABH ABCS S △△,619BIC ABCS S △△,所以1966611919GHI ABCS S △△三角形GHI 的面积是1，所以三角形ABC 的面积是19【巩固】如图，ABC 中2BD DA ，2CE EB ，2AF FC ，那么ABC的面积是阴影三角形面积的倍．A BCDEFGHIIHGFEDCBA 【分析】如图，连接AI ．根据燕尾定理，::2:1BCI ACI S S BD AD，::1:2BCIABISS CF AF ，所以，::1:2:4ACI BCIABIS SS，那么，221247BCIABCABCSSS．同理可知ACG 和ABH 的面积也都等于ABC 面积的27，所以阴影三角形的面积等于ABC 面积的211377，所以ABC 的面积是阴影三角形面积的7倍．【巩固】如图在ABC △中，12DC EA FB DBECFA,求GHI ABC △的面积△的面积的值．IHG FEDCBAIHG FEDCB A【解析】连接BG ,设BGC S △1份，根据燕尾定理::2:1AGC BGC S S AF FB △△,::2:1ABG AGC S S BD DC△△,得2AGCS △(份)，4ABG S △(份),则7ABCS △(份)，因此27AGC ABCS S △△,同理连接AI 、CH 得27ABH ABCS S △△,27BIC ABCS S △△,所以7222177GHI ABCS S △△【点评】如果任意一个三角形各边被分成的比是相同的，那么在同样的位置上的图形，虽然形状千变万化，但面积是相等的，这在这讲里面很多题目都是用“同理得到”的，即再重复一次解题思路，因此我们有对称法作辅助线.【例28】如图，三角形ABC 的面积是1，BDDEEC ，CFFGGA ，三角形ABC被分成9部分，请写出这9部分的面积各是多少?GFED CBANMQPGFEDCBA【解析】设BG 与AD 交于点P ，BG 与AE 交于点Q ，BF 与AD 交于点M ，BF 与AE 交于点N ．连接CP ，CQ ，CM ，CN ．根据燕尾定理，::1:2A B P C B P S S AG GC △△，::1:2ABP ACP S S BD CD △△，设1ABPS △(份)，则1225ABCS △(份)，所以15ABP S △同理可得，27ABQS △,12ABNS △,而13ABGS △，所以2137535APQS △，1213721AQGS △．同理，335BPMS △121BDM S △,所以1239273570PQMN S 四边形，13953357042MNEDS 四边形,1151321426NFCES 四边形,1115321642GFNQS 四边形【巩固】如图，ABC 的面积为1，点D 、E 是BC 边的三等分点，点F 、G 是AC边的三等分点，那么四边形JKIH 的面积是多少？KJ IHABC DEF GKJIHAB CD EFG【解析】连接CK 、CI 、CJ ．根据燕尾定理，::1:2ACK ABK S S CD BD，::1:2ABKCBKSSAG CG，所以::1:2:4ACKABK CBKS S S，那么111247ACKS ，11321AGKACKS S．类似分析可得215AGIS ．又::2:1ABJ CBJ S S AF CF ，::2:1ABJACJS SBD CD，可得14ACJS ．那么，111742184CGKJS ．根据对称性，可知四边形CEHJ的面积也为1784，那么四边形JKIH周围的图形的面积之和为172161228415370CGKJAGIABES SS，所以四边形JKIH的面积为61917070．【例29】右图，ABC △中，G是AC 的中点，D 、E 、F 是BC 边上的四等分点，AD 与BG 交于M ，AF 与BG 交于N ，已知ABM △的面积比四边形FCGN 的面积大7.2平方厘米，则ABC △的面积是多少平方厘米？N M GABCD E F NMGABCD E F 【解析】连接CM 、CN ．根据燕尾定理，::1:1ABMCBMS S AG GC△△，::1:3ABMACMS S BD CD△△，所以15ABMABC S S △△；再根据燕尾定理，::1:1ABN CBNS S AG GC△△，所以::4:3ABN FBNCBN FBNS S S S △△△△，所以:4:3AN NF ，那么1422437ANG AFCS S △△，所以2515177428FCGNAFC ABC ABC S S S S △△△．根据题意，有157.2528ABCABCS S △△，可得336ABC S △(平方厘米)【例30】如图，面积为l 的三角形ABC 中，D 、E 、F 、G 、H 、I 分别是AB 、BC 、CA 的三等分点,求阴影部分面积.IGHF ED CBAIN MQP GHFED CBA【解析】三角形在开会，那么就好好利用三角形中最好用的比例和燕尾定理吧！令BI 与CD 的交点为M ，AF 与CD 的交点为N ，BI 与AF 的交点为P ,BI 与CE 的交点为Q ,连接AM 、BN 、CP⑴求ADMI S 四边形：在ABC △中，根据燕尾定理，::1:2ABM CBMS S AI CI△△::1:2ACM CBMS S AD BD △△设1ABMS △(份)，则2CBMS △(份),1ACMS △(份),4ABC S △(份),所以14ABM ACMABC S S S △△△，所以11312ADM ABMABC S S S △△△,112AIMABC S S △△,所以111()12126ABCABC ADMIS S S △△四边形,同理可得另外两个顶点的四边形面积也分别是ABC △面积的16⑵求DNPQES五边形：在ABC △中，根据燕尾定理::1:2ABN ACNS S BF CF△△::1:2ACN BCNS S AD BD △△,所以111133721ADN ABNABCABC S S S S △△△△,同理121BEQABCS S △△在ABC△中，根据燕尾定理::1:2ABP ACPS S BF CF△△,::1:2ABP CBPS S AI CI△△所以15ABPA BCS S △△，所以1111152121AB P ADNBEDNPQE S SSSS△△△△△五边形同理另外两个五边形面积是ABC△面积的11105，所以11113133610570S 阴影【例31】如图，面积为l 的三角形ABC 中，D 、E 、F 、G 、H 、I 分别是AB 、BC 、CA 的三等分点,求中心六边形面积.IGHFED CBAS RINMQ P GHFEDCBA【解析】设深黑色六个三角形的顶点分别为N 、R 、P 、S 、M 、Q ，连接CR 在ABC △中根据燕尾定理，::.2:1ABR ACR S S BG CG △△,::1:2ABR CBRS S AI CI △△所以27ABR ABC S S △△,同理27ACS ABC S S △△,27CQB ABCS S △△所以222117777RQSS △，同理17MNPS △根据容斥原理，和上题结果11131777010S 六边形课后练习：练习1.已知DEF △的面积为7平方厘米，,2,3BECE AD BD CF AF，求ABC △的面积．FED CBA【解析】:():()(11):(23)1:6BDE ABCS S BD BE BA BC △△，:():()(13):(24)3:8CEF ABC S S CE CF CB CA △△:():()(21):(34)1:6ADF ABCS S ADAF ABAC △△设24ABC S △份，则4BDE S △份，4ADFS △份，9CEFS △份，244497DEFS △份，恰好是7平方厘米，所以24ABCS △平方厘米练习2.如图，四边形EFGH 的面积是66平方米，EAAB ，CBBF，DC CG ，HD DA ，求四边形ABCD 的面积．HG FED C BA A BCDEFGH【解析】连接BD．由共角定理得:():()1:2BCD CGFS S CDCB CGCF △△，即2CG FC D BS S △△同理:1:2ABD AHES S △△，即2AHE ABD S S △△所以2()2AHE CGF CBDADB ABCD S S S S S △△△△四边形连接AC ，同理可以得到2DHGBEFABCDS S S △△四边形5AHECGF HDGBEFEFGHABCDABCDS S S S S S S △△△△四边形四边形四边形所以66513.2ABCDS 四边形平方米练习3.正方形ABCD 的面积是120平方厘米，E 是AB 的中点，F是BC 的中点，四边形BGHF 的面积是平方厘米．H GFEDCB AMH GFEDCBA【解析】欲求四边形BGHF 的面积须求出EBG 和CHF 的面积．由题意可得到：::1:2EG GCEB CD，所以可得：13EBGBCESS 将AB 、DF 延长交于M点，可得：:::1:1BM DCMF FDBF FC ，而1::():3:22EH HC EM CD ABAB CD ，得25CHCE ，而12CFBC ，所以121255CHFBCEBCES SS 11112030224BCESAB BC11773014351515EBCEBCEBCEBCBGHFS SSSS 四边形．本题也可以用蝶形定理来做，连接EF，确定H的位置(也就是:FH HD )，同样也能解出．练习4.如图，已知4cm ABAE，BCDC，90BAE BCD，10cm AC ，则SABCACECDESS2cm．DCEBABCA'C'EDA【解析】将三角形ABC 绕A 点和C 点分别顺时针和逆时针旋转90，构成三角形'AEC 和'A DC ，再连接''A C ，显然'AC AC ，'AC A C ，''AC A C AC ，所以''ACA C 是正方形．三角形'AEC 和三角形'A DC 关于正方形的中心O 中心对称，在中心对称图形''ACA C 中有如下等量关系：''AEC A DC S S ；''AEC A DC S S ；'CED C DE S S ．所以2'''11101050cm22ABCACECDEAEC ACECDEACA C S SSSSSS．练习5.如图，正方形ABCD 的面积是120平方厘米，E 是AB 的中点，F 是BC 的中点，四边形BGHF的面积是_____平方厘米．HGFEDCBAHGFEDCBA【解析】连接BH,根据沙漏模型得:1:2BG GD,设1BHC S △份，根据燕尾定理2CHDS △份，2BHDS △份，因此122)210S 正方形（份，127236BFHGS ，所以712010146BFHGS (平方厘米).练习6.如图，ABC 中，点D 是边AC 的中点，点E 、F 是边BC 的三等分点，若ABC 的面积为1，那么四边形CDMF 的面积是_________．。

(完整版)小学奥数平面几何五种面积模型

(完整版)小学奥数平面几何五种面积模型

小学奥数平面几何五种模型（等积，鸟头，蝶形，相似，共边）目标：熟练掌握五大面积模型等积，鸟头，蝶形，相似（含金字塔模型和沙漏模型），共边（含燕尾模型和风筝模型）， 掌握五大面积模型的各种变形 知识点拨一、等积模型①等底等高的两个三角形面积相等； ②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比； 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比；如右图12::S S a b =③夹在一组平行线之间的等积变形，如右图ACD BCD S S =△△； 反之，如果ACD BCD S S =△△，则可知直线AB 平行于CD ．④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)；⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比． 二、鸟头定理两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形． 共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比． 如图在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点如图 ⑴(或D 在BA 的延长线上，E 在AC 上)，则:():()ABC ADE S S AB AC AD AE =⨯⨯△△EDCBAEDCBA图⑴ 图⑵ 三、蝶形定理任意四边形中的比例关系(“蝶形定理”)：①1243::S S S S =或者1324S S S S ⨯=⨯②()()1243::AO OC S S S S =++蝶形定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．通过构造b a S 2S 1DC BA S 4S 3S 2S 1O DCBA模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系．梯形中比例关系(“梯形蝶形定理”)：①2213::S S a b = ②221324::::::S S S S a b ab ab =； ③S 的对应份数为()2a b +．四、相似模型(一)金字塔模型 (二) 沙漏模型GF E ABCDAB CDEF G①AD AE DE AF ABACBCAG===；②22:ADE ABC S S AF AG =△△：．所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形(只要其形状不改变，不论大小怎样改变它们都相似)，与相似三角形相关的常用的性质及定理如下：⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比；⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方；⑶连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．三角形中位线定理：三角形的中位线长等于它所对应的底边长的一半． 相似三角形模型，给我们提供了三角形之间的边与面积关系相互转化的工具．在小学奥数里，出现最多的情况是因为两条平行线而出现的相似三角形． 五、共边定理（燕尾模型和风筝模型）在三角形ABC 中，AD ，BE ，CF 相交于同一点O ，那么::ABO ACO S S BD DC ∆∆=．上述定理给出了一个新的转化面积比与线段比的手段，因为ABO ∆和ACO ∆的形状很象燕子的尾巴，所以这个定理被称为燕尾定理．该定理在许多几何题目中都有着广泛的运用，它的特殊性在于，它可以存在于任何一个三角形之中，为A BCD O ba S 3S 2S 1S 4O FED C BA三角形中的三角形面积对应底边之间提供互相联系的途径. 典型例题【例 1】如图，正方形ABCD 的边长为6，AE =1.5，CF =2．长方形EFGH 的面积为 ．【解析】 连接DE ，DF ，则长方形EFGH 的面积是三角形DEF 面积的二倍．三角形DEF 的面积等于正方形的面积减去三个三角形的面积，66 1.562262 4.54216.5DEF S =⨯-⨯÷-⨯÷-⨯÷=△,所以长方形EFGH面积为33．【巩固】如图所示，正方形ABCD 的边长为8厘米，长方形EBGF 的长BG 为10厘米，那么长方形的宽为几厘米？【解析】 本题主要是让学生会运用等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)．三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半． 证明：连接AG ．(我们通过ABG △把这两个长方形和正方形联系在一起)．∵在正方形ABCD 中，G 12AB S AB AB =⨯⨯△边上的高，∴12ABG ABCD S S =W △(三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半)同理，12ABG EFGB S S =△．∴正方形ABCD 与长方形EFGB面积相等． 长方形的宽8810 6.4=⨯÷=(厘米)．_H_G_ F_E_D_C_B_ A _A_B_C_D_E_ F_G_H_ A _ B_ G_ C _ E _ F_ D_ A _ B_ G_ C_ E_ F_ D【例 2】长方形ABCD 的面积为362cm ，E 、F 、G 为各边中点，H 为AD 边上任意一点，问阴影部分面积是多少？E【解析】 解法一：寻找可利用的条件，连接BH 、HC ，如下图：E可得：12EHB AHB S S ∆∆=、12FHB CHB S S ∆∆=、12DHG DHC S S ∆∆=，而36ABCD AHB CHB CHD S S S S ∆∆∆=++=即11()361822EHB BHF DHG AHB CHB CHD S S S S S S ∆∆∆∆∆∆++=++=⨯=； 而EHB BHF DHG EBFS S S S S ∆∆∆∆++=+阴影，11111()()36 4.522228EBF S BE BF AB BC ∆=⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=⨯=．所以阴影部分的面积是：1818 4.513.5EBF S S ∆=-=-=阴影解法二：特殊点法．找H 的特殊点，把H 点与D 点重合，那么图形就可变成右图：GE (H )这样阴影部分的面积就是DEF ∆的面积，根据鸟头定理，则有：11111113636363613.52222222ABCD AED BEF CFD S S S S S ∆∆∆=---=-⨯⨯-⨯⨯⨯-⨯⨯=阴影．【巩固】在边长为6厘米的正方形ABCD 内任取一点P ，将正方形的一组对边二等分，另一组对边三等分，分别与P 点连接,求阴影部分面积．【解析】 （法1）特殊点法．由于P 是正方形内部任意一点，可采用特殊点法，假设P 点与A 点重合，则阴影部分变为如上中图所示，图中的两个阴影三角形的面积分别占正方形面积的14和16，所以阴影部分的面积为2116()1546⨯+=平方厘米．（法2）连接PA 、PC ．由于PAD ∆与PBC ∆的面积之和等于正方形ABCD 面积的一半，所以上、下两个阴影三角形的面积之和等于正方形ABCD 面积的14，同理可知左、右两个阴影三角形的面积之和等于正方形ABCD 面积的16，所以阴影部分的面积为2116()1546⨯+=平方厘米．【例 3】如图所示，长方形ABCD 内的阴影部分的面积之和为70，8AB =，15AD =，四边形EFGO 的面积为 ．B【解析】 利用图形中的包含关系可以先求出三角形AOE 、DOG 和四边形EFGO 的面积之和，以及三角形AOE 和DOG 的面积之和，进而求出四边形EFGO的面积．由于长方形ABCD 的面积为158120⨯=，所以三角形BOC 的面积为1120304⨯=，所以三角形AOE 和DOG 的面积之和为312070204⨯-=； 又三角形AOE 、DOG 和四边形EFGO 的面积之和为111203024⎛⎫⨯-= ⎪⎝⎭，所以四边形EFGO 的面积为302010-=．另解：从整体上来看，四边形EFGO 的面积=三角形AFC 面积+三角形BFD 面积-白色部分的面积，而三角形AFC 面积+三角形BFD 面积为长方形面积的一半，即60，白色部分的面积等于长方形面积减去阴影部分的面积，即1207050-=，所以四边形的面积为605010-=．【巩固】如图，长方形ABCD 的面积是36，E 是AD 的三等分点，2AE ED =，则阴影部分的面积为 ．BB【解析】 如图，连接OE ．根据蝶形定理，1:::1:12COE CDE CAE CDE ON ND S S S S ∆∆∆∆===，所以12OEN OED S S ∆∆=； 1:::1:42BOE BAE BDE BAE OM MA S S S S ∆∆∆∆===，所以15OEM OEA S S ∆∆=．又11334OED ABCD S S ∆=⨯=矩形，26OEA OED S S ∆∆==，所以阴影部分面积为：1136 2.725⨯+⨯=．【例 4】已知ABC 为等边三角形，面积为400，D 、E 、F 分别为三边的中点，已知甲、乙、丙面积和为143，求阴影五边形的面积．(丙是三角形HBC)B【解析】 因为D 、E 、F 分别为三边的中点，所以DE 、DF 、EF 是三角形ABC 的中位线，也就与对应的边平行，根据面积比例模型，三角形ABN 和三角形AMC 的面积都等于三角形ABC 的一半，即为200．根据图形的容斥关系，有ABC ABN AMC AMHN S S S S S ∆∆∆-=+-丙，即400 200200AMHN S S -=+-丙，所以AMHN S S =丙． 又ADF AMHN S S S S S ∆+=++乙甲阴影，所以1143400434ADF S S S S S ∆=++-=-⨯=乙甲丙阴影．【例 5】如图，已知5CD =，7DE =，15EF =，6FG =，线段AB 将图形分成两部分，左边部分面积是38，右边部分面积是65，那么三角形ADG 的面积是 ．GFE DC BAABC DE FG【解析】 连接AF ，BD ．根据题意可知，571527CF =++=；715628DG =++=；所以，1527BE CBF F S S ∆∆=，1227BE CBF C S S ∆∆=，2128AEG ADG S S ∆∆=，728AED ADG S S ∆∆=， 于是：2115652827ADG CBFS S ∆∆+=；712382827ADG CBF S S ∆∆+=； 可得40ADG S ∆=．故三角形ADG 的面积是40．【例 6】如图在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点，且:2:5AD AB =，:4:7AE AC =，16ADE S =△平方厘米，求ABC △的面积．EDCBAEDCBA【解析】 连接BE ，::2:5(24):(54)ADE ABE S S AD AB ===⨯⨯△△，::4:7(45):(75)ABE ABC S S AE AC ===⨯⨯△△，所以:(24):(75)ADE ABC S S =⨯⨯△△，设8ADE S =△份，则35ABC S =△份，16ADE S =△平方厘米，所以1份是2平方厘米，35份就是70平方厘米，ABC △的面积是70平方厘米．由此我们得到一个重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比 ．【巩固】如图，三角形ABC 中，AB 是AD 的5倍，AC 是AE 的3倍，如果三角形ADE 的面积等于1，那么三角形ABC 的面积是多少？EDCBAABCDE【解析】 连接BE ．∵3EC AE =∴3ABC ABE S S =V V 又∵5AB AD =∴515ADE ABE ABC S S S =÷=÷V V V ，∴1515ABC ADE S S ==V V ．【巩固】如图，三角形ABC 被分成了甲(阴影部分)、乙两部分，4BD DC ==，3BE =，6AE =，乙部分面积是甲部分面积的几倍？乙甲E DCBAABCDE甲乙【解析】 连接AD ．∵3BE =，6AE =∴3AB BE =，3ABD BDE S S =V V 又∵4BD DC ==，∴2ABC ABD S S =V V ，∴6ABC BDE S S =V V ，5S S =乙甲．【例 7】如图在ABC △中，D 在BA 的延长线上，E 在AC 上，且:5:2AB AD =， :3:2AE EC =，12ADE S =△平方厘米，求ABC △的面积．EDCBAEDCB A【解析】 连接BE ，::2:5(23):(53)ADE ABE S S AD AB ===⨯⨯△△[]::3:(32)(35):(32)5ABE ABC S S AE AC ==+=⨯+⨯△△，所以[]:(32):5(32)6:25ADE ABC S S =⨯⨯+=△△，设6ADE S =△份，则25ABC S =△份，12ADE S =△平方厘米，所以1份是2平方厘米，25份就是50平方厘米，ABC △的面积是50平方厘米．由此我们得到一个重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比【例 8】如图，平行四边形ABCD ，BE AB =，2CF CB =，3GD DC =，4HA AD =，平行四边形ABCD 的面积是2， 求平行四边形ABCD 与四边形EFGH 的面积比．HGAB CD EFHGAB CD EF【解析】 连接AC 、BD ．根据共角定理∵在ABC △和BFE △中，ABC ∠与FBE ∠互补，∴111133ABCFBES AB BC S BE BF ⋅⨯===⋅⨯△△． 又1ABC S =△，所以3FBE S =△．同理可得8GCF S =△，15DHG S =△，8AEH S =△．所以8815+3+236EFGH AEH CFG DHG BEF ABCD S S S S S S =++++=++=△△△△． 所以213618ABCDEFGHS S ==．【例 9】如图所示的四边形的面积等于多少？DB13131212【解析】 题目中要求的四边形既不是正方形也不是长方形，难以运用公式直接求面积.我们可以利用旋转的方法对图形实施变换：把三角形OAB 绕顶点O 逆时针旋转，使长为13的两条边重合，此时三角形OAB 将旋转到三角形OCD 的位置.这样，通过旋转后所得到的新图形是一个边长为12的正方形，且这个正方形的面积就是原来四边形的面积.因此，原来四边形的面积为1212144⨯=.(也可以用勾股定理)【例 10】 如图所示，ABC ∆中，90ABC ∠=︒，3AB =，5BC =，以AC 为一边向ABC∆外作正方形ACDE ，中心为O ，求OBC ∆的面积．【解析】 如图，将OAB ∆沿着O 点顺时针旋转90︒，到达OCF ∆的位置．由于90ABC ∠=︒，90AOC ∠=︒，所以180OAB OCB ∠+∠=︒．而OCF OAB ∠=∠， 所以180OCF OCB ∠+∠=︒，那么B 、C 、F 三点在一条直线上．由于OB OF =，90BOF AOC ∠=∠=︒，所以BOF ∆是等腰直角三角形，且斜边BF 为538+=，所以它的面积为218164⨯=．根据面积比例模型，OBC ∆的面积为516108⨯=．【例 11】 如图，以正方形的边AB为斜边在正方形内作直角三角形ABE ，90AEB ∠=︒，AC 、BD 交于O ．已知AE 、BE 的长分别为3cm 、5cm ，求三角形OBE 的面积．F【解析】 如图，连接DE ，以A 点为中心，将ADE ∆顺时针旋转90︒到ABF ∆的位置．那么90EAF EAB BAF EAB DAE ∠=∠+∠=∠+∠=︒，而AEB ∠也是90︒，所以四边形AFBE 是直角梯形，且3AF AE ==， 所以梯形AFBE 的面积为：()1353122+⨯⨯=(2cm )． 又因为ABE ∆是直角三角形，根据勾股定理，222223534AB AE BE =+=+=，所以21172ABD S AB ∆==(2cm )．那么()17125BDE ABD ABE ADE ABD AFBE S S S S S S ∆∆∆∆∆=-+=-=-=(2cm )， 所以1 2.52OBE BDE S S ∆∆==(2cm )．【例 12】 如下图，六边形ABCDEF 中，AB ED =，AF CD =，BC EF =，且有AB 平行于ED ，AF 平行于CD ，BC 平行于EF ，对角线FD 垂直于BD ，已知24FD =厘米，18BD =厘米，请问六边形ABCDEF 的面积是多少平方厘米？FEABDCGFEABDC【解析】 如图，我们将BCD ∆平移使得CD 与AF 重合，将DEF ∆平移使得ED 与AB 重合，这样EF 、BC 都重合到图中的AG 了．这样就组成了一个长方形BGFD ，它的面积与原六边形的面积相等，显然长方形BGFD 的面积为2418432⨯=平方厘米，所以六边形ABCDEF 的面积为432平方厘米．【例 13】 如图，三角形ABC 的面积是1，E 是AC 的中点，点D 在BC 上，且:1:2BD DC =，AD 与BE 交于点F ．则四边形DFEC 的面积等于 ．FEDCBA33321F EDC BAABCDEF【解析】 方法一：连接CF ，根据燕尾定理，12ABF ACF S BD S DC ==△△，1ABF CBF S AE S EC ==△△, 设1BDF S =△份，则2DCF S =△份，3ABF S =△份，3AEF EFC S S ==△△份，如图所标所以551212DCEF ABC S S ==△ 方法二：连接DE ，由题目条件可得到1133ABD ABC S S ==△△，11212233ADE ADC ABC S S S ==⨯=△△△，所以11ABD ADE S BF FE S ==△△，111111122323212DEF DEB BEC ABC S S S S =⨯=⨯⨯=⨯⨯⨯=△△△△，而211323CDE ABC S S =⨯⨯=△△．所以则四边形DFEC 的面积等于512． 【巩固】如图，长方形ABCD 的面积是2平方厘米，2EC DE =，F 是DG 的中点．阴影部分的面积是多少平方厘米?y B CD EGE D CBAEDB A 【解析】 设1DEFS =△份，则根据燕尾定理其他面积如图所示551212BCD S S ==△阴影平方厘米.【例 14】 四边形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O (如图所示)．如果三角形ABD的面积等于三角形BCD 的面积的13，且2AO =，3DO =，那么CO 的长度是DO 的长度的_________倍．ABCDOH GA BCD O【解析】 在本题中，四边形ABCD 为任意四边形，对于这种”不良四边形”，无外乎两种处理方法：⑴利用已知条件，向已有模型靠拢，从而快速解决；⑵通过画辅助线来改造不良四边形．看到题目中给出条件:1:3ABD BCD S S =V V ，这可以向模型一蝶形定理靠拢，于是得出一种解法．又观察题目中给出的已知条件是面积的关系，转化为边的关系，可以得到第二种解法，但是第二种解法需要一个中介来改造这个”不良四边形”，于是可以作AH 垂直BD 于H ，CG 垂直BD 于G ，面积比转化为高之比．再应用结论：三角形高相同，则面积之比等于底边之比，得出结果．请老师注意比较两种解法，使学生体会到蝶形定理的优势，从而主观上愿意掌握并使用蝶形定理解决问题． 解法一：∵::1:3ABD BDC AO OC S S ∆∆==，∴236OC =⨯=，∴:6:32:1OC OD ==． 解法二：作AH BD ⊥于H ，CG BD ⊥于G ．∵13ABDBCD S S ∆∆=，∴13AH CG =，∴13AODDOC S S ∆∆=， ∴13AO CO =，∴236OC =⨯=，∴:6:32:1OC OD ==．【巩固】如图，四边形被两条对角线分成4个三角形，其中三个三角形的面积已知， 求：⑴三角形BGC 的面积；⑵:AG GC =？B【解析】 ⑴根据蝶形定理，123BGCS ⨯=⨯V ，那么6BGC S =V ；⑵根据蝶形定理，()():12:361:3AG GC =++=．【例 15】 如图，平行四边形ABCD 的对角线交于O 点，CEF △、OEF △、ODF △、BOE △的面积依次是2、4、4和6．求：⑴求OCF △的面积；⑵求GCE△的面积．OGF EDCBA【解析】 ⑴根据题意可知，BCD △的面积为244616+++=，那么BCO △和CDO ∆的面积都是1628÷=，所以OCF △的面积为844-=；⑵由于BCO △的面积为8，BOE △的面积为6，所以OCE △的面积为862-=，根据蝶形定理，::2:41:2COE COF EG FG S S ∆∆===，所以::1:2GCE GCF S S EG FG ∆∆==，那么11221233GCE CEF S S ∆∆==⨯=+．【例 16】 如图，长方形ABCD 中，:2:3BE EC =，:1:2DF FC =，三角形DFG 的面积为2平方厘米，求长方形ABCD 的面积．ABCD EF GABCD EF G【解析】 连接AE ，FE ．因为:2:3BE EC =，:1:2DF FC =，所以3111()53210DEF ABCD ABCD S S S =⨯⨯=V 长方形长方形．因为12AEDABCD S S =V 长方形，11::5:1210AG GF ==，所以510AGD GDF S S ==V V 平方厘米，所以12AFD S =V 平方厘米．因为16AFDABCD S S =V 长方形，所以长方形ABCD 的面积是72平方厘米．【例 17】 如图，正方形ABCD 面积为3平方厘米，M 是AD 边上的中点．求图中阴影部分的面积．CBA【解析】 因为M 是AD 边上的中点，所以:1:2AM BC =，根据梯形蝶形定理可以知道22:::1:12:12:21:2:2:4AMG ABG MCG BCG S S S S =⨯⨯=△△△△（）（），设1AGM S =△份，则123MCD S =+=△ 份，所以正方形的面积为1224312++++=份，224S =+=阴影份，所以:1:3S S =阴影正方形，所以1S =阴影平方厘米．【巩固】在下图的正方形ABCD 中，E 是BC 边的中点，AE 与BD 相交于F 点，三角形BEF 的面积为1平方厘米，那么正方形ABCD 面积是 平方厘米．A BCDEF【解析】 连接DE ，根据题意可知:1:2BE AD =，根据蝶形定理得2129S =+=梯形（）(平方厘米)，3ECD S =△(平方厘米)，那么12ABCD S =W (平方厘米)．【例 18】 已知ABCD 是平行四边形，:3:2BC CE =，三角形ODE 的面积为6平方厘米．则阴影部分的面积是 平方厘米．BB【解析】 连接AC ．由于ABCD 是平行四边形，:3:2BC CE =，所以:2:3CE AD =，根据梯形蝶形定理，22:::2:23:23:34:6:6:9COE AOC DOE AOD S S S S =⨯⨯=V V V V ，所以6AOC S =V (平方厘米)，9AOD S =V (平方厘米)，又6915ABC ACD S S ==+=V V (平方厘米)，阴影部分面积为61521+=(平方厘米)．【巩固】右图中ABCD 是梯形，ABED 是平行四边形，已知三角形面积如图所示(单位：平方厘米)，阴影部分的面积是 平方厘米．BB【分析】 连接AE．由于AD 与BC是平行的，所以AECD也是梯形，那么OCDOAE S S ∆∆=．根据蝶形定理，4936OCD OAE OCE OAD S S S S ∆∆∆∆⨯=⨯=⨯=，故236OCD S ∆=， 所以6OCD S ∆=(平方厘米)．【巩固】右图中ABCD 是梯形，ABED 是平行四边形，已知三角形面积如图所示(单位：平方厘米)，阴影部分的面积是 平方厘米．BB【解析】 连接AE ．由于AD 与BC 是平行的，所以AECD 也是梯形，那么OCD OAE S S ∆∆=．根据蝶形定理，2816OCD OAE OCE OAD S S S S ∆∆∆∆⨯=⨯=⨯=，故216OCD S ∆=，所以4OCD S ∆=(平方厘米)．另解：在平行四边形ABED 中，()111681222ADE ABED S S ∆==⨯+=Y (平方厘米)， 所以1284AOE ADE AOD S S S ∆∆∆=-=-=(平方厘米)，根据蝶形定理，阴影部分的面积为8244⨯÷=(平方厘米)．【例 19】 如图，长方形ABCD 被CE 、DF 分成四块，已知其中3块的面积分别为2、5、8平方厘米，那么余下的四边形OFBC 的面积为___________平方厘米．?852O A BCDEF?852O A BC DEF【解析】 连接DE 、CF ．四边形EDCF 为梯形，所以EOD FOC S S ∆=V ，又根据蝶形定理，EOD FOC EOF COD S S S S ∆∆∆∆⋅=⋅，所以2816EOD FOC EOF COD S S S S ∆∆∆∆⋅=⋅=⨯=，所以4EOD S ∆=(平方厘米)，4812ECD S ∆=+=(平方厘米)．那么长方形ABCD 的面积为12224⨯=平方厘米，四边形OFBC 的面积为245289---=(平方厘米)．【例 20】 如图，ABC ∆是等腰直角三角形，DEFG 是正方形，线段AB 与CD 相交于K 点．已知正方形DEFG 的面积48，:1:3AK KB =，则BKD ∆的面积是多少？BB【解析】 由于DEFG 是正方形，所以DA 与BC 平行，那么四边形ADBC 是梯形．在梯形ADBC 中，BDK ∆和ACK ∆的面积是相等的．而:1:3AK KB =，所以ACK ∆的面积是ABC ∆面积的11134=+，那么BDK ∆的面积也是ABC ∆面积的14． 由于ABC ∆是等腰直角三角形，如果过A 作BC 的垂线，M 为垂足，那么M 是BC 的中点，而且AM DE =，可见ABM ∆和ACM ∆的面积都等于正方形DEFG 面积的一半，所以ABC ∆的面积与正方形DEFG 的面积相等，为48．那么BDK ∆的面积为148124⨯=．【例 21】 下图中，四边形ABCD 都是边长为1的正方形，E 、F 、G 、H 分别是AB ，BC ，CD ，DA 的中点，如果左图中阴影部分与右图中阴影部分的面积之比是最简分数m n，那么，()m n +的值等于 ．E【解析】 左、右两个图中的阴影部分都是不规则图形，不方便直接求面积，观察发现两个图中的空白部分面积都比较好求，所以可以先求出空白部分的面积，再求阴影部分的面积．如下图所示，在左图中连接EG ．设AG 与DE 的交点为M ．左图中AEGD 为长方形，可知AMD ∆的面积为长方形AEGD 面积的14，所以三角形AMD 的面积为21111248⨯⨯=．又左图中四个空白三角形的面积是相等的，所以左图中阴影部分的面积为111482-⨯=．BEE如上图所示，在右图中连接AC 、EF ．设AF 、EC 的交点为N ． 可知EF ∥AC 且2AC EF =．那么三角形BEF 的面积为三角形ABC 面积的14，所以三角形BEF 的面积为21111248⨯⨯=，梯形AEFC 的面积为113288-=． 在梯形AEFC 中，由于:1:2EF AC =，根据梯形蝶形定理，其四部分的面积比为：221:12:12:21:2:2:4⨯⨯=，所以三角形EFN 的面积为3118122424⨯=+++，那么四边形BENF 的面积为1118246+=．而右图中四个空白四边形的面积是相等的，所以右图中阴影部分的面积为111463-⨯=．那么左图中阴影部分面积与右图中阴影部分面积之比为11:3:223=，即32m n =， 那么325m n +=+=．【例 22】 如图， ABC △中，DE ，FG ，BC 互相平行，AD DF FB ==，则::ADE DEGF FGCB S S S =△四边形四边形 ．EGF A D CB【解析】 设1ADE S =△份，根据面积比等于相似比的平方，所以22::1:4ADE AFG S S AD AF ==△△，22::1:9ADE ABC S S AD AB ==△△， 因此4AFG S =△份，9ABC S =△份，进而有3DEGF S =四边形份，5FGCB S =四边形份，所以::1:3:5ADE DEGF FGCB S S S =△四边形四边形【巩固】如图，DE 平行BC ，且2AD =，5AB =，4AE =，求AC 的长．A ED CB【解析】 由金字塔模型得:::2:5AD AB AE AC DE BC ===，所以42510AC =÷⨯=【巩固】如图， ABC △中，DE ，FG ，MN ，PQ ，BC 互相平行，AD DF FM MP PB ====，则::::ADE DEGF FGNM MNQP PQCB S S S S S =△四边形四边形四边形四边形． 【解析】 设1ADE S =△份，22::1:4ADE AFG S S AD AF ==△△，因此4AFG S =△份，进而有3DEGF S =四边形份，同理有5FGNM S =四边形份，7MNQP S =四边形份，9PQCB S =四边形份．所以有::::1:3:5:7:9ADE DEGF FGNM MNQP PQCB S S S S S =△四边形四边形四边形四边形【例 23】 如图，已知正方形ABCD 的边长为4，F是BC 边的中点，E 是DC 边上的点，且:1:3DE EC =，AF 与BE 相交于点G ，求ABG S △GFAEDC BM GFAEDCBGFAEDCB【解析】 方法一：连接AE ，延长AF ，DC 两条线交于点M ，构造出两个沙漏，所以有::1:1AB CM BF FC ==，因此4CM =，根据题意有3CE =，再根据另一个沙漏有::4:7GB GE AB EM ==，所以4432(442)471111ABG ABE S S ==⨯⨯÷=+△△．方法二：连接,AE EF，分别求4224ABF S =⨯÷=△，4441232247AEFS =⨯-⨯÷-⨯÷-=△，根据蝶形定理::4:7ABF AEF S S BG GE ==△△，所以4432(442)471111ABG ABE S S ==⨯⨯÷=+△△．【例 24】 如图所示，已知平行四边形ABCD 的面积是1，E 、F 是AB 、AD 的中点， BF 交EC 于M ，求BMG ∆的面积．Q E GNMFPA DCBMHGF E DCBAA【解析】 解法一：由题意可得，E 、F 是AB 、AD 的中点，得//EF BD ，而::1:2FD BC FH HC ==，::1:2EB CD BG GD ==所以::2:3CH CF GH EF ==，并得G 、H 是BD 的三等分点，所以BG GH =，所以 ::2:3BG EF BM MF ==，所以25BM BF =，11112224BFD ABD ABCD S S S ∆∆==⨯=Y ； 又因为13BG BD =，所以1212113535430BMG BFD S S ∆∆=⨯⨯=⨯⨯=． 解法二：延长CE 交DA 于I ，如右图，可得，::1:1AI BC AE EB ==，从而可以确定M 的点的位置， ::2:3BM MF BC IF ==，25BM BF =，13BG BD =(鸟头定理)，可得2121115353430BMG BDF ABCD S S S ∆∆=⨯=⨯⨯=Y【例 25】 如图，ABCD 为正方形，1cm AM NB DE FC ====且2cm MN =，请问四边形PQRS 的面积为多少？CACA【解析】 (法1)由//AB CD ，有MP PC MNDC=，所以2PC PM =，又MQ MB QC EC =，所以12MQ QC MC ==，所以111236PQ MC MC MC =-=，所以SPQR S 占AMCF S 的16，所以121(112)63SPQR S =⨯⨯++=2(cm )．(法2)如图，连结AE ，则14482ABE S ∆=⨯⨯=(2cm )，而RB ER ABEF=，所以2RB AB EFEF ==，22168333ABR ABE S S ∆∆==⨯=(2cm )．而1134322MBQ ANS S S ∆∆==⨯⨯⨯=(2cm )，因为MN MP DC PC=，所以13MP MC =，则11424233MNP S ∆=⨯⨯⨯=(2cm )，阴影部分面积等于164233333ABR ANS MBQ MNP S S S S ∆∆∆∆--+=--+=(2cm )．【例 26】 如右图，三角形ABC 中，:4:9BD DC =，:4:3CE EA =，求:AF FB ．O F EDCBA【解析】 根据燕尾定理得::4:912:27AOB AOC S S BD CD ===△△::3:412:16AOB BOC S S AE CE ===△△（都有AOB △的面积要统一，所以找最小公倍数） 所以:27:16:AOC BOC S S AF FB ==△△【点评】本题关键是把AOB △的面积统一，这种找最小公倍数的方法，在我们用比例解题中屡见不鲜，如果能掌握它的转化本质，我们就能达到解奥数题四两拨千斤的巨大力量！【巩固】如右图，三角形ABC 中，:3:4BD DC =，:5:6AE CE =，求:AF FB .O F EDCBA【解析】 根据燕尾定理得::3:415:20AOB AOC S S BD CD ===△△::5:615:18AOB BOC S S AE CE ===△△（都有AOB △的面积要统一，所以找最小公倍数） 所以:20:1810:9:AOC BOC S S AF FB ===△△【巩固】如右图，三角形ABC 中，:2:3BD DC =，:5:4EA CE =，求:AF FB .O F EDCBA【解析】 根据燕尾定理得::2:310:15AOB AOC S S BD CD ===△△::5:410:8AOB BOC S S AE CE ===△△（都有AOB △的面积要统一，所以找最小公倍数） 所以:15:8:AOC BOC S S AF FB ==△△【点评】本题关键是把AOB △的面积统一，这种找最小公倍数的方法，在我们用比例解题中屡见不鲜，如果能掌握它的转化本质，我们就能达到解奥数题四两拨千斤的巨大力量！【例 27】 如右图，三角形ABC 中，:::3:2AF FB BD DC CE AE ===，且三角形ABC 的面积是1，则三角形ABE 的面积为______，三角形AGE 的面积为________，三角形GHI 的面积为______．I HGFEDCBAI H G FEDCBA【分析】 连接AH 、BI 、CG ．由于:3:2CE AE =，所以25AE AC =，故2255ABE ABC S S ∆∆==；根据燕尾定理，::2:3ACG ABG S S CD BD ∆∆==，::3:2BCG ABG S S CE EA ∆∆==，所以::4:6:9ACG ABG BCG S S S ∆∆∆=，则419ACG S ∆=，919BCG S ∆=； 那么2248551995AGE AGC S S ∆∆==⨯=； 同样分析可得919ACH S ∆=，则::4:9ACG ACH EG EH S S ∆∆==，::4:19ACG ACB EG EB S S ∆∆==，所以::4:5:10EG GH HB =，同样分析可得::10:5:4AG GI ID =，所以5521101055BIE BAE S S ∆∆==⨯=，55111919519GHI BIE S S ∆∆==⨯=．【巩固】 如右图，三角形ABC 中，:::3:2AF FB BD DC CE AE ===，且三角形GHI的面积是1，求三角形ABC 的面积．IH G FEDCBA IH G FEDCBA【解析】 连接BG ，AGCS △=6份根据燕尾定理，::3:26:4AGC BGC S S AF FB ===△△，::3:29:6ABG AGC S S BD DC ===△△得4BGC S =△(份)，9ABG S =△(份)，则19ABC S =△(份)，因此619AGCABCS S =△△, 同理连接AI 、CH 得619ABHABCS S =△△,619BIC ABC S S =△△,所以1966611919GHI ABC S S ---==△△三角形GHI 的面积是1，所以三角形ABC 的面积是19【巩固】如图，ABC ∆中2BD DA =，2CE EB =，2AF FC =，那么ABC ∆的面积是阴影三角形面积的 倍．BCCB【分析】 如图，连接AI．根据燕尾定理，::2:1BCI ACIS S BD AD ∆∆==，::1:2BCI ABI S S CF AF ∆∆==，所以，::1:2:4ACI BCI ABI S S S ∆∆∆=，那么，221247BCI ABC ABC S S S ∆∆∆==++．同理可知ACG ∆和ABH ∆的面积也都等于ABC ∆面积的27，所以阴影三角形的面积等于ABC ∆面积的211377-⨯=，所以ABC ∆的面积是阴影三角形面积的7倍．【巩固】如图在ABC △中，12DC EA FB DBECFA===,求GHI ABC △的面积△的面积的值．IHG FEDCBAIHG FEDCB A【解析】 连接BG ,设BGC S △=1份，根据燕尾定理::2:1AGC BGC S S AF FB ==△△,::2:1ABG AGC S S BD DC ==△△,得2AGC S =△(份)，4ABG S =△(份),则7ABC S =△(份)，因此27AGC ABC S S =△△,同理连接AI 、CH 得27ABH ABC S S =△△,27BIC ABC S S =△△,所以7222177GHI ABC S S ---==△△ 【点评】如果任意一个三角形各边被分成的比是相同的，那么在同样的位置上的图形，虽然形状千变万化，但面积是相等的，这在这讲里面很多题目都是用“同理得到”的，即再重复一次解题思路，因此我们有对称法作辅助线.【例 28】 如图，三角形ABC 的面积是1，BD DE EC ==，CF FG GA ==，三角形ABC被分成9部分，请写出这9部分的面积各是多少?GFE D CBAN MQPGF EDCBA【解析】 设BG 与AD 交于点P ，BG 与AE 交于点Q ，BF 与AD 交于点M ，BF 与AE交于点N ．连接CP ，CQ ，CM ，CN ．根据燕尾定理，::1:2ABP CBP S S AG GC ==△△，::1:2ABP ACP S S BD CD ==△△，设1ABP S =△(份)，则1225ABC S =++=△(份)，所以15ABP S =△ 同理可得，27ABQ S =△,12ABN S =△,而13ABG S =△，所以2137535APQ S =-=△，1213721AQG S =-=△．同理，335BPMS =△121BDM S =△,所以1239273570PQMN S =--=四边形，13953357042MNEDS =--=四边形,1151321426NFCE S =--=四边形,1115321642GFNQ S =--=四边形【巩固】如图，ABC ∆的面积为1，点D 、E 是BC 边的三等分点，点F 、G 是AC边的三等分点，那么四边形JKIH 的面积是多少？K J IHABC D EF GKJI HABCD EFG【解析】 连接CK 、CI 、CJ．根据燕尾定理，::1:2ACK ABK S S CD BD ∆∆==，::1:2ABK CBK S S AG CG ∆∆==， 所以::1:2:4ACK ABK CBK S S S ∆∆∆=，那么111247ACK S ∆==++，11321AGK ACK S S ∆∆==． 类似分析可得215AGI S ∆=． 又::2:1ABJ CBJ S S AF CF ∆∆==，::2:1ABJ ACJ S S BD CD ∆∆==，可得14ACJ S ∆=． 那么，111742184CGKJS =-=． 根据对称性，可知四边形CEHJ 的面积也为1784，那么四边形JKIH 周围的图形的面积之和为172161228415370CGKJ AGI ABE S S S ∆∆⨯++=⨯++=，所以四边形JKIH 的面积为61917070-=．【例 29】 右图，ABC △中，G 是AC 的中点，D 、E 、F 是BC 边上的四等分点，AD 与BG 交于M ，AF 与BG 交于N ，已知ABM △的面积比四边形FCGN 的面积大7.2平方厘米，则ABC △的面积是多少平方厘米？N M GA BCD EFNMGA BC D EF【解析】 连接CM 、CN ．根据燕尾定理，::1:1ABM CBMS S AG GC ==△△，::1:3ABM ACM S S BD CD ==△△，所以15ABM ABC S S =△△；再根据燕尾定理，::1:1ABN CBNS S AG GC ==△△，所以::4:3ABN FBN CBN FBN S S S S ==△△△△，所以:4:3AN NF =，那么1422437ANG AFC S S =⨯=+△△，所以2515177428FCGNAFC ABC ABC S S S S ⎛⎫=-=⨯= ⎪⎝⎭△△△．根据题意，有157.2528ABC ABC S S -=△△，可得336ABC S =△(平方厘米)【例 30】 如图，面积为l 的三角形ABC 中，D 、E 、F 、G 、H 、I 分别是AB 、BC 、CA 的三等分点,求阴影部分面积.C BAGCB【解析】 三角形在开会，那么就好好利用三角形中最好用的比例和燕尾定理吧！令BI 与CD 的交点为M ，AF 与CD 的交点为N ，BI 与AF 的交点为P ,BI 与CE 的交点为Q ,连接AM 、BN 、CP⑴求ADMI S 四边形：在ABC △中，根据燕尾定理，::1:2ABM CBM S S AI CI ==△△::1:2ACM CBM S S AD BD ==△△设1ABM S =△(份)，则2CBM S =△(份),1ACM S =△(份),4ABC S =△(份),所以14ABMACM ABC S S S ==△△△，所以11312ADM ABM ABC S S S ==△△△,112AIM ABC S S =△△,所以111()12126ABC ABC ADMI S S S =+=△△四边形,同理可得另外两个顶点的四边形面积也分别是ABC △面积的16⑵求DNPQE S 五边形：在ABC △中，根据燕尾定理::1:2ABN ACN S S BF CF ==△△::1:2ACN BCN S S AD BD ==△△,所以111133721ADN ABN ABC ABC S S S S ==⨯=△△△△,同理121BEQ ABC S S =△△在ABC△中，根据燕尾定理::1:2ABP ACP S S BF CF ==△△,::1:2ABP CBP S S AI CI ==△△所以15ABP ABCS S =△△，所以1111152121105ABP ADN BEPABC ABC DNPQE S S S S S S ⎛⎫=--=--= ⎪⎝⎭△△△△△五边形 同理另外两个五边形面积是ABC△面积的11105，所以11113133610570S =-⨯-⨯=阴影【例 31】 如图，面积为l 的三角形ABC 中，D 、E 、F 、G 、H 、I 分别是AB 、BC 、CA 的三等分点,求中心六边形面积.GCBAGCBA【解析】 设深黑色六个三角形的顶点分别为N 、R 、P 、S 、M 、Q ，连接CR在ABC △中根据燕尾定理，::.2:1ABR ACR S S BG CG ==△△, ::1:2ABR CBR S S AI CI ==△△所以27ABR ABC S S =△△,同理27ACS ABC S S =△△,27CQB ABC S S =△△所以222117777RQS S =---=△，同理17MNP S =△根据容斥原理，和上题结果11131777010S =+-=六边形课后练习： 练习1. 已知DEF △的面积为7平方厘米，,2,3BE CE AD BD CF AF ===，求ABC △的面积．FED CBA【解析】:():()(11):(23)1:6BDE ABC S S BD BE BA BC =⨯⨯=⨯⨯=△△，:():()(13):(24)3:8CEF ABC S S CE CF CB CA =⨯⨯=⨯⨯=△△:():()(21):(34)1:6ADF ABC S S AD AF AB AC =⨯⨯=⨯⨯=△△设24ABC S =△份，则4BDE S =△份，4ADF S =△份，9CEF S =△份，244497DEF S =---=△份，恰好是7平方厘米，所以24ABC S =△平方厘米练习2. 如图，四边形EFGH 的面积是66平方米，EA AB =，CB BF =，DC CG =，HD DA =，求四边形ABCD 的面积．H GFED CB A A B CDEFGH【解析】 连接BD ．由共角定理得:():()1:2BCD CGF S S CD CB CG CF =⨯⨯=△△，即2CGF CDB S S =△△同理:1:2ABD AHE S S =△△，即2AHE ABD S S =△△ 所以2()2AHE CGF CBD ADB ABCD S S S S S +=+=△△△△四边形连接AC ，同理可以得到2DHG BEF ABCD S S S +=△△四边形5AHE CGF HDG BEF EFGH ABCD ABCD S S S S S S S =++++=△△△△四边形四边形四边形 所以66513.2ABCD S =÷=四边形平方米练习3. 正方形ABCD 的面积是120平方厘米，E 是AB 的中点，F 是BC 的中点，四边形BGHF 的面积是 平方厘米．H GFEDCBAM H GFEDCBA【解析】 欲求四边形BGHF 的面积须求出EBG ∆和CHF ∆的面积．由题意可得到：::1:2EG GC EB CD ==，所以可得：13EBG BCE S S ∆∆=将AB 、DF 延长交于M 点，可得：:::1:1BM DC MF FD BF FC ===，而1::():3:22EH HC EM CD AB AB CD ==+=，得25CH CE =，而12CF BC =，所以121255CHF BCE BCE S S S ∆∆∆=⨯=11112030224BCE S AB BC ∆=⨯⨯=⨯=117730141515EBC EBC EBC EBC BGHF S S S S S ∆∆∆∆=--==⨯=四边形．EF ，确定H 的位置(也就是:FH HD )练习4. 如图，已知4cm AB AE ==，BC DC =，90BAE BCD ∠=∠=︒，10cm AC =，则S ABC ACE CDE S S ∆∆∆++= 2cm ．DCEBABCA'C'EDA【解析】 将三角形ABC 绕A 点和C 点分别顺时针和逆时针旋转90o，构成三角形'AEC 和'A DC ，再连接''A C ，显然'AC AC ⊥，'AC A C ⊥，''AC A C AC ==，所以''ACA C 是正方形．三角形'AEC 和三角形'A DC 关于正方形的中心O 中心对称，在中心对称图形''ACA C 中有如下等量关系： ''AEC A DC S S ∆∆=；''AEC A DC S S ∆∆=；'CED C DE S S ∆∆=．所以2'''11101050cm 22ABC ACE CDE AEC ACE CDE ACA C S S S S S S S ∆∆∆∆∆∆++=++==⨯⨯=W ．练习5. 如图，正方形ABCD 的面积是120平方厘米，E 是AB 的中点，F 是BC 的中点，四边形BGHF 的面积是_____平方厘米．EDED【解析】 连接BH ,根据沙漏模型得:1:2BG GD =,设1BHC S =△份，根据燕尾定理2CHD S =△份，2BHD S =△份，因此122)210S =++⨯=正方形（份，127236BFHG S =+=，所以712010146BFHG S =÷⨯=(平方厘米).练习6. 如图，ABC ∆中，点D 是边AC 的中点，点E 、F 是边BC 的三等分点，若ABC ∆的面积为1，那么四边形CDMF 的面积是_________．。

小学奥数平面几何五大模型

小学奥数平面几何五大模型

小学奥数平面几何五大定律一、等积模型图(1) 图(2) 图(3) 图(4) 1 等底等高的两个三角形面积相等如图(1)：D为BC中点，则如图(4)：平行于，则2 两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比，如图(2)：3 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比，如图(3)：BC=EF ，则4 夹在一组平行线之间的等积变形，如图(4)：平行于，则反之如果，则可知直线平行于5 等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)6 三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半7 两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比二、共角定理(鸟头定理)两个三角形中有一个角相等或互补(两个角之和＝180O），这两个三角形叫做共角三角形．共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比．共角图(1) 图(2) 互补角如图(1)：在△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，△ABC与△ADE 共∠A如图(2)：D在BA的延长线上，E在AC上；∠BAC+∠BAC＝180O(互补)，则: S△ABC:S△ADE=(AB×AC):(AD×AE)；或三、相似模型数学上，相似指两个图形的形状完全相同，其中一个图形能通过放大、缩小、平移、旋转、镜像等方式变成另一个。

相似比：是指两个相似图形的对应边的比值。

相似符号：“∽”相似三角形：三角分别相等，三边成比例的两个三角形叫做相似三角形相似三角形传递性：如果图A相似于图B，图B相似于C，则 A相似C即：图A∽图B，图B∽图C；则，图A∽图B∽图Ca顺时针旋转90度a翻转a缩小图(1)、图(1)、图(1)、图(1)四个三角相似，即△a∽△b∽△c∽△d沙漏模型中△ABO△∽△CDO；金字模型中：△ABC∽△ADE（1）相似三角形的一切对应线段(对应高线、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比；（2）相似三角形周长的比等于相似比；（3）相似三角形面积的比等于相似比的平方；（4）相似三角形内切圆、外接圆直径比、周长比等于相似比，内切圆、外接圆面积比是相似比的平方。

小学奥数平面几何五种面积模型

小学奥数平面几何五种面积模型

小学奥数平面几何五种模型（等积，鸟头，蝶形，相似，共边）目标：熟练掌握五大面积模型等积，鸟头，蝶形，相似（含金字塔模型和沙漏模型），共边（含燕尾模型和风筝模型）， 掌握五大面积模型的各种变形 知识点拨一、等积模型①等底等高的两个三角形面积相等； ②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比； 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比；如右图12::S S a b =③夹在一组平行线之间的等积变形，如右图ACD BCD S S =△△； 反之，如果ACD BCD S S =△△，则可知直线AB 平行于CD ．④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)；⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比． 二、鸟头定理两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形． 共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比． 如图在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点如图 ⑴(或D 在BA 的延长线上，E 在AC 上)，则:():()ABC ADE S S AB AC AD AE =⨯⨯△△EDCBAEDCBA图⑴ 图⑵ 三、蝶形定理任意四边形中的比例关系(“蝶形定理”)：①1243::S S S S =或者1324S S S S ⨯=⨯②()()1243::AO OC S S S S =++蝶形定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．通过构造b a S 2S 1DC BA S 4S 3S 2S 1O DCBA模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系．梯形中比例关系(“梯形蝶形定理”)：①2213::S S a b = ②221324::::::S S S S a b ab ab =； ③S 的对应份数为()2a b +．四、相似模型(一)金字塔模型 (二) 沙漏模型GF E ABCDAB CDEF G①AD AE DE AF ABACBCAG===；②22:ADE ABC S S AF AG =△△：．所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形(只要其形状不改变，不论大小怎样改变它们都相似)，与相似三角形相关的常用的性质及定理如下：⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比；⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方；⑶连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．三角形中位线定理：三角形的中位线长等于它所对应的底边长的一半． 相似三角形模型，给我们提供了三角形之间的边与面积关系相互转化的工具．在小学奥数里，出现最多的情况是因为两条平行线而出现的相似三角形． 五、共边定理（燕尾模型和风筝模型）在三角形ABC 中，AD ，BE ，CF 相交于同一点O ，那么::ABO ACO S S BD DC ∆∆=．上述定理给出了一个新的转化面积比与线段比的手段，因为ABO ∆和ACO ∆的形状很象燕子的尾巴，所以这个定理被称为燕尾定理．该定理在许多几何题目中都有着广泛的运用，它的特殊性在于，它可以存在于任何一个三角形之中，为A BCD O ba S 3S 2S 1S 4O FED C BA三角形中的三角形面积对应底边之间提供互相联系的途径. 典型例题【例 1】如图，正方形ABCD 的边长为6，AE =，CF =2．长方形EFGH 的面积为 ．【解析】 连接DE ，DF ，则长方形EFGH 的面积是三角形DEF 面积的二倍．三角形DEF 的面积等于正方形的面积减去三个三角形的面积，66 1.562262 4.54216.5DEF S =⨯-⨯÷-⨯÷-⨯÷=△,所以长方形EFGH面积为33．【巩固】如图所示，正方形ABCD 的边长为8厘米，长方形EBGF 的长BG 为10厘米，那么长方形的宽为几厘米【解析】 本题主要是让学生会运用等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)．三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半．证明：连接AG ．(我们通过ABG △把这两个长方形和正方形联系在一起)．∵在正方形ABCD 中，G 12AB S AB AB =⨯⨯△边上的高，∴12ABG ABCD S S =W △(三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半)同理，12ABGEFGB S S =△． ∴正方形ABCD 与长方形EFGB面积相等． 长方形的宽8810 6.4=⨯÷=(厘米)．【例 2】长方形ABCD 的面积为362cm ，E 、F 、G 为各边中点，H 为AD 边上任意一点，问阴影部分面积是多少E【解析】 解法一：寻找可利用的条件，连接BH 、HC ，如下图：E可得：12EHB AHB S S ∆∆=、12FHB CHB S S ∆∆=、12DHG DHC S S ∆∆=，而36ABCD AHB CHB CHD S S S S ∆∆∆=++=即11()361822EHB BHF DHG AHB CHB CHD S S S S S S ∆∆∆∆∆∆++=++=⨯=； 而EHB BHF DHG EBFS S S S S ∆∆∆∆++=+阴影，11111()()36 4.522228EBF S BE BF AB BC ∆=⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=⨯=．所以阴影部分的面积是：1818 4.513.5EBF S S ∆=-=-=阴影解法二：特殊点法．找H 的特殊点，把H 点与D 点重合，那么图形就可变成右图：GE (H )这样阴影部分的面积就是DEF ∆的面积，根据鸟头定理，则有：11111113636363613.52222222ABCD AED BEF CFD S S S S S ∆∆∆=---=-⨯⨯-⨯⨯⨯-⨯⨯=阴影．【巩固】在边长为6厘米的正方形ABCD 内任取一点P ，将正方形的一组对边二等分，另一组对边三等分，分别与P 点连接,求阴影部分面积．【解析】 （法1）特殊点法．由于P 是正方形内部任意一点，可采用特殊点法，假设P 点与A 点重合，则阴影部分变为如上中图所示，图中的两个阴影三角形的面积分别占正方形面积的14和16，所以阴影部分的面积为2116()1546⨯+=平方厘米．（法2）连接PA 、PC ．由于PAD ∆与PBC ∆的面积之和等于正方形ABCD 面积的一半，所以上、下两个阴影三角形的面积之和等于正方形ABCD 面积的14，同理可知左、右两个阴影三角形的面积之和等于正方形ABCD 面积的16，所以阴影部分的面积为2116()1546⨯+=平方厘米．【例 3】如图所示，长方形ABCD 内的阴影部分的面积之和为70，8AB =，15AD =，四边形EFGO 的面积为 ．B【解析】 利用图形中的包含关系可以先求出三角形AOE 、DOG 和四边形EFGO 的面积之和，以及三角形AOE 和DOG 的面积之和，进而求出四边形EFGO的面积．由于长方形ABCD 的面积为158120⨯=，所以三角形BOC 的面积为1120304⨯=，所以三角形AOE 和DOG 的面积之和为312070204⨯-=； 又三角形AOE 、DOG 和四边形EFGO 的面积之和为111203024⎛⎫⨯-= ⎪⎝⎭，所以四边形EFGO 的面积为302010-=．另解：从整体上来看，四边形EFGO 的面积=三角形AFC 面积+三角形BFD 面积-白色部分的面积，而三角形AFC 面积+三角形BFD 面积为长方形面积的一半，即60，白色部分的面积等于长方形面积减去阴影部分的面积，即1207050-=，所以四边形的面积为605010-=．【巩固】如图，长方形ABCD 的面积是36，E 是AD 的三等分点，2AE ED =，则阴影部分的面积为 ．BB【解析】 如图，连接OE ．根据蝶形定理，1:::1:12COE CDE CAE CDE ON ND S S S S ∆∆∆∆===，所以12OEN OED S S ∆∆=； 1:::1:42BOE BAE BDE BAE OM MA S S S S ∆∆∆∆===，所以15OEM OEA S S ∆∆=．又11334OED ABCD S S ∆=⨯=矩形，26OEA OED S S ∆∆==，所以阴影部分面积为：1136 2.725⨯+⨯=．【例 4】已知ABC 为等边三角形，面积为400，D 、E 、F 分别为三边的中点，已知甲、乙、丙面积和为143，求阴影五边形的面积．(丙是三角形HBC )B【解析】 因为D 、E 、F 分别为三边的中点，所以DE 、DF 、EF 是三角形ABC 的中位线，也就与对应的边平行，根据面积比例模型，三角形ABN 和三角形AMC 的面积都等于三角形ABC 的一半，即为200．根据图形的容斥关系，有ABC ABN AMC AMHN S S S S S ∆∆∆-=+-丙，即400 200200AMHN S S -=+-丙，所以AMHN S S =丙． 又ADF AMHN S S S S S ∆+=++乙甲阴影，所以1143400434ADF S S S S S ∆=++-=-⨯=乙甲丙阴影．【例 5】如图，已知5CD =，7DE =，15EF =，6FG =，线段AB 将图形分成两部分，左边部分面积是38，右边部分面积是65，那么三角形ADG 的面积是 ．GFE DC BAABC DE FG【解析】 连接AF ，BD ．根据题意可知，571527CF =++=；715628DG =++=；所以，1527BE CBF F S S ∆∆=，1227BE CBF C S S ∆∆=，2128AEG ADG S S ∆∆=，728AED ADG S S ∆∆=， 于是：2115652827ADG CBFS S ∆∆+=；712382827ADG CBF S S ∆∆+=； 可得40ADG S ∆=．故三角形ADG 的面积是40．【例 6】如图在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点，且:2:5AD AB =，:4:7AE AC =，16ADE S =△平方厘米，求ABC △的面积．EDCBAEDCBA【解析】 连接BE ，::2:5(24):(54)ADE ABE S S AD AB ===⨯⨯△△，::4:7(45):(75)ABE ABC S S AE AC ===⨯⨯△△，所以:(24):(75)ADE ABC S S =⨯⨯△△，设8ADE S =△份，则35ABC S =△份，16ADE S =△平方厘米，所以1份是2平方厘米，35份就是70平方厘米，ABC △的面积是70平方厘米．由此我们得到一个重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比 ．【巩固】如图，三角形ABC 中，AB 是AD 的5倍，AC 是AE 的3倍，如果三角形ADE 的面积等于1，那么三角形ABC 的面积是多少EDCBAABCD E【解析】 连接BE ．∵3EC AE =∴3ABC ABE S S =V V 又∵5AB AD =∴515ADE ABE ABC S S S =÷=÷V V V ，∴1515ABC ADE S S ==V V ．【巩固】如图，三角形ABC 被分成了甲(阴影部分)、乙两部分，4BD DC ==，3BE =，6AE =，乙部分面积是甲部分面积的几倍乙甲E DCBAABCDE甲乙【解析】 连接AD ．∵3BE =，6AE =∴3AB BE =，3ABD BDE S S =V V 又∵4BD DC ==，∴2ABC ABD S S =V V ，∴6ABC BDE S S =V V ，5S S =乙甲．【例 7】如图在ABC △中，D 在BA 的延长线上，E 在AC 上，且:5:2AB AD =， :3:2AE EC =，12ADE S =△平方厘米，求ABC △的面积．EDCBAEDCB A【解析】 连接BE ，::2:5(23):(53)ADE ABE S S AD AB ===⨯⨯△△[]::3:(32)(35):(32)5ABE ABC S S AE AC ==+=⨯+⨯△△，所以[]:(32):5(32)6:25ADE ABC S S =⨯⨯+=△△，设6ADE S =△份，则25ABC S =△份，12ADE S =△平方厘米，所以1份是2平方厘米，25份就是50平方厘米，ABC △的面积是50平方厘米．由此我们得到一个重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比【例 8】 如图，平行四边形ABCD ，BE AB =，2CF CB =，3GD DC =，4HA AD =，平行四边形ABCD 的面积是2， 求平行四边形ABCD 与四边形EFGH 的面积比．HGAB CD EFHGAB CD EF【解析】 连接AC 、BD ．根据共角定理∵在ABC △和BFE △中，ABC ∠与FBE ∠互补，∴111133ABCFBES AB BC S BE BF ⋅⨯===⋅⨯△△． 又1ABC S =△，所以3FBE S =△．同理可得8GCF S =△，15DHG S =△，8AEH S =△．所以8815+3+236EFGH AEH CFG DHG BEF ABCD S S S S S S =++++=++=△△△△． 所以213618ABCDEFGHS S ==．【例 9】如图所示的四边形的面积等于多少DB13131212【解析】 题目中要求的四边形既不是正方形也不是长方形，难以运用公式直接求面积.我们可以利用旋转的方法对图形实施变换：把三角形OAB 绕顶点O 逆时针旋转，使长为13的两条边重合，此时三角形OAB 将旋转到三角形OCD 的位置.这样，通过旋转后所得到的新图形是一个边长为12的正方形，且这个正方形的面积就是原来四边形的面积.因此，原来四边形的面积为1212144⨯=.(也可以用勾股定理)【例 10】 如图所示，ABC ∆中，90ABC ∠=︒，3AB =，5BC =，以AC 为一边向ABC∆外作正方形ACDE ，中心为O ，求OBC ∆的面积．【解析】 如图，将OAB ∆沿着O 点顺时针旋转90︒，到达OCF ∆的位置．由于90ABC ∠=︒，90AOC ∠=︒，所以180OAB OCB ∠+∠=︒．而OCF OAB ∠=∠， 所以180OCF OCB ∠+∠=︒，那么B 、C 、F 三点在一条直线上．由于OB OF =，90BOF AOC ∠=∠=︒，所以BOF ∆是等腰直角三角形，且斜边BF 为538+=，所以它的面积为218164⨯=．根据面积比例模型，OBC ∆的面积为516108⨯=．【例 11】 如图，以正方形的边AB为斜边在正方形内作直角三角形ABE ，90AEB ∠=︒，AC 、BD 交于O ．已知AE 、BE 的长分别为3cm 、5cm ，求三角形OBE 的面积．F【解析】 如图，连接DE ，以A 点为中心，将ADE ∆顺时针旋转90︒到ABF ∆的位置．那么90EAF EAB BAF EAB DAE ∠=∠+∠=∠+∠=︒，而AEB ∠也是90︒，所以四边形AFBE 是直角梯形，且3AF AE ==， 所以梯形AFBE 的面积为：()1353122+⨯⨯=(2cm )． 又因为ABE ∆是直角三角形，根据勾股定理，222223534AB AE BE =+=+=，所以21172ABD S AB ∆==(2cm )．那么()17125BDE ABD ABE ADE ABD AFBE S S S S S S ∆∆∆∆∆=-+=-=-=(2cm )， 所以1 2.52OBE BDE S S ∆∆==(2cm )．【例 12】 如下图，六边形ABCDEF 中，AB ED =，AF CD =，BC EF =，且有AB 平行于ED ，AF 平行于CD ，BC 平行于EF ，对角线FD 垂直于BD ，已知24FD =厘米，18BD =厘米，请问六边形ABCDEF 的面积是多少平方厘米FEABDCGFEABDC【解析】 如图，我们将BCD ∆平移使得CD 与AF 重合，将DEF ∆平移使得ED 与AB 重合，这样EF 、BC 都重合到图中的AG 了．这样就组成了一个长方形BGFD ，它的面积与原六边形的面积相等，显然长方形BGFD 的面积为2418432⨯=平方厘米，所以六边形ABCDEF 的面积为432平方厘米．【例 13】 如图，三角形ABC 的面积是1，E 是AC 的中点，点D 在BC 上，且:1:2BD DC =，AD 与BE 交于点F ．则四边形DFEC 的面积等于 ．FEDCBA33321F EDC BAABCDEF【解析】 方法一：连接CF ，根据燕尾定理，12ABF ACF S BD S DC ==△△，1ABF CBF S AE S EC ==△△, 设1BDF S =△份，则2DCF S =△份，3ABF S =△份，3AEF EFC S S ==△△份，如图所标所以551212DCEF ABC S S ==△ 方法二：连接DE ，由题目条件可得到1133ABD ABC S S ==△△，11212233ADE ADC ABC S S S ==⨯=△△△，所以11ABD ADE S BF FE S ==△△，111111122323212DEF DEB BEC ABC S S S S =⨯=⨯⨯=⨯⨯⨯=△△△△，而211323CDE ABCS S =⨯⨯=△△．所以则四边形DFEC 的面积等于512． 【巩固】如图，长方形ABCD 的面积是2平方厘米，2EC DE =，F 是DG 的中点．阴影部分的面积是多少平方厘米y B CD EGE D CBAEDB A 【解析】 设1DEFS =△份，则根据燕尾定理其他面积如图所示551212BCD S S ==△阴影平方厘米.【例 14】 四边形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O (如图所示)．如果三角形ABD的面积等于三角形BCD 的面积的13，且2AO =，3DO =，那么CO 的长度是DO 的长度的_________倍．ABCDOH GA BCD O【解析】 在本题中，四边形ABCD 为任意四边形，对于这种”不良四边形”，无外乎两种处理方法：⑴利用已知条件，向已有模型靠拢，从而快速解决；⑵通过画辅助线来改造不良四边形．看到题目中给出条件:1:3ABD BCD S S =V V ，这可以向模型一蝶形定理靠拢，于是得出一种解法．又观察题目中给出的已知条件是面积的关系，转化为边的关系，可以得到第二种解法，但是第二种解法需要一个中介来改造这个”不良四边形”，于是可以作AH 垂直BD 于H ，CG 垂直BD 于G ，面积比转化为高之比．再应用结论：三角形高相同，则面积之比等于底边之比，得出结果．请老师注意比较两种解法，使学生体会到蝶形定理的优势，从而主观上愿意掌握并使用蝶形定理解决问题． 解法一：∵::1:3ABD BDC AO OC S S ∆∆==，∴236OC =⨯=，∴:6:32:1OC OD ==． 解法二：作AH BD ⊥于H ，CG BD ⊥于G ．∵13ABDBCD S S ∆∆=，∴13AH CG =，∴13AODDOC S S ∆∆=， ∴13AO CO =，∴236OC =⨯=，∴:6:32:1OC OD ==．【巩固】如图，四边形被两条对角线分成4个三角形，其中三个三角形的面积已知， 求：⑴三角形BGC 的面积；⑵:AG GC =B【解析】 ⑴根据蝶形定理，123BGCS ⨯=⨯V ，那么6BGC S =V ；⑵根据蝶形定理，()():12:361:3AG GC =++=．【例 15】 如图，平行四边形ABCD 的对角线交于O 点，CEF △、OEF △、ODF △、BOE △的面积依次是2、4、4和6．求：⑴求OCF △的面积；⑵求GCE△的面积．OGF EDCBA【解析】 ⑴根据题意可知，BCD △的面积为244616+++=，那么BCO △和CDO ∆的面积都是1628÷=，所以OCF △的面积为844-=；⑵由于BCO △的面积为8，BOE △的面积为6，所以OCE △的面积为862-=，根据蝶形定理，::2:41:2COE COF EG FG S S ∆∆===，所以::1:2GCE GCF S S EG FG ∆∆==，那么11221233GCE CEF S S ∆∆==⨯=+．【例 16】 如图，长方形ABCD 中，:2:3BE EC =，:1:2DF FC =，三角形DFG 的面积为2平方厘米，求长方形ABCD 的面积．ABCD EF GABCD EF G【解析】 连接AE ，FE ．因为:2:3BE EC =，:1:2DF FC =，所以3111()53210DEF ABCD ABCD S S S =⨯⨯=V 长方形长方形．因为12AEDABCD S S =V 长方形，11::5:1210AG GF ==，所以510AGD GDF S S ==V V 平方厘米，所以12AFD S =V 平方厘米．因为16AFDABCD S S =V 长方形，所以长方形ABCD 的面积是72平方厘米．【例 17】 如图，正方形ABCD 面积为3平方厘米，M 是AD 边上的中点．求图中阴影部分的面积．CBA【解析】 因为M 是AD 边上的中点，所以:1:2AM BC =，根据梯形蝶形定理可以知道22:::1:12:12:21:2:2:4AMG ABG MCG BCG S S S S =⨯⨯=△△△△（）（），设1AGM S =△份，则123MCD S =+=△ 份，所以正方形的面积为1224312++++=份，224S =+=阴影份，所以:1:3S S =阴影正方形，所以1S =阴影平方厘米．【巩固】在下图的正方形ABCD 中，E 是BC 边的中点，AE 与BD 相交于F 点，三角形BEF 的面积为1平方厘米，那么正方形ABCD 面积是 平方厘米．A BCDEF【解析】 连接DE ，根据题意可知:1:2BE AD =，根据蝶形定理得2129S =+=梯形（）(平方厘米)，3ECD S =△(平方厘米)，那么12ABCD S =W (平方厘米)．【例 18】 已知ABCD 是平行四边形，:3:2BC CE =，三角形ODE 的面积为6平方厘米．则阴影部分的面积是 平方厘米．BB【解析】 连接AC ．由于ABCD 是平行四边形，:3:2BC CE =，所以:2:3CE AD =，根据梯形蝶形定理，22:::2:23:23:34:6:6:9COE AOC DOE AOD S S S S =⨯⨯=V V V V ，所以6AOC S =V (平方厘米)，9AOD S =V (平方厘米)，又6915ABC ACD S S ==+=V V (平方厘米)，阴影部分面积为61521+=(平方厘米)．【巩固】右图中ABCD 是梯形，ABED 是平行四边形，已知三角形面积如图所示(单位：平方厘米)，阴影部分的面积是 平方厘米．BB【分析】 连接AE ．由于AD 与BC 是平行的，所以AECD 也是梯形，那么OCD OAE S S ∆∆=．根据蝶形定理，4936OCD OAE OCE OAD S S S S ∆∆∆∆⨯=⨯=⨯=，故236OCD S ∆=， 所以6OCD S ∆=(平方厘米)．【巩固】右图中ABCD 是梯形，ABED 是平行四边形，已知三角形面积如图所示(单位：平方厘米)，阴影部分的面积是 平方厘米．BB【解析】 连接AE ．由于AD 与BC 是平行的，所以AECD 也是梯形，那么OCD OAE S S ∆∆=．根据蝶形定理，2816OCD OAE OCE OAD S S S S ∆∆∆∆⨯=⨯=⨯=，故216OCD S ∆=，所以4OCD S ∆=(平方厘米)．另解：在平行四边形ABED 中，()111681222ADE ABED S S ∆==⨯+=Y (平方厘米)， 所以1284AOE ADE AOD S S S ∆∆∆=-=-=(平方厘米)，根据蝶形定理，阴影部分的面积为8244⨯÷=(平方厘米)．【例 19】 如图，长方形ABCD 被CE 、DF 分成四块，已知其中3块的面积分别为2、5、8平方厘米，那么余下的四边形OFBC 的面积为___________平方厘米．?852O A BCDEF?852O A BC DEF【解析】 连接DE 、CF ．四边形EDCF 为梯形，所以EOD FOC S S ∆=V ，又根据蝶形定理，EOD FOC EOF COD S S S S ∆∆∆∆⋅=⋅，所以2816EOD FOC EOF COD S S S S ∆∆∆∆⋅=⋅=⨯=，所以4EOD S ∆=(平方厘米)，4812ECD S ∆=+=(平方厘米)．那么长方形ABCD 的面积为12224⨯=平方厘米，四边形OFBC 的面积为245289---=(平方厘米)．【例 20】 如图，ABC ∆是等腰直角三角形，DEFG 是正方形，线段AB 与CD 相交于K 点．已知正方形DEFG 的面积48，:1:3AK KB =，则BKD ∆的面积是多少BB【解析】 由于DEFG 是正方形，所以DA 与BC 平行，那么四边形ADBC 是梯形．在梯形ADBC 中，BDK ∆和ACK ∆的面积是相等的．而:1:3AK KB =，所以ACK ∆的面积是ABC ∆面积的11134=+，那么BDK ∆的面积也是ABC ∆面积的14．由于ABC ∆是等腰直角三角形，如果过A 作BC 的垂线，M 为垂足，那么M 是BC 的中点，而且AM DE =，可见ABM ∆和ACM ∆的面积都等于正方形DEFG 面积的一半，所以ABC ∆的面积与正方形DEFG 的面积相等，为48．那么BDK ∆的面积为148124⨯=．【例 21】 下图中，四边形ABCD 都是边长为1的正方形，E 、F 、G 、H 分别是AB ，BC ，CD ，DA 的中点，如果左图中阴影部分与右图中阴影部分的面积之比是最简分数m n，那么，()m n +的值等于 ．E【解析】 左、右两个图中的阴影部分都是不规则图形，不方便直接求面积，观察发现两个图中的空白部分面积都比较好求，所以可以先求出空白部分的面积，再求阴影部分的面积．如下图所示，在左图中连接EG ．设AG 与DE 的交点为M ．左图中AEGD 为长方形，可知AMD ∆的面积为长方形AEGD 面积的14，所以三角形AMD 的面积为21111248⨯⨯=．又左图中四个空白三角形的面积是相等的，所以左图中阴影部分的面积为111482-⨯=．BEE如上图所示，在右图中连接AC 、EF ．设AF 、EC 的交点为N ． 可知EF ∥AC 且2AC EF =．那么三角形BEF 的面积为三角形ABC 面积的14，所以三角形BEF 的面积为21111248⨯⨯=，梯形AEFC 的面积为113288-=．在梯形AEFC 中，由于:1:2EF AC =，根据梯形蝶形定理，其四部分的面积比为：221:12:12:21:2:2:4⨯⨯=，所以三角形EFN 的面积为3118122424⨯=+++，那么四边形BENF 的面积为1118246+=．而右图中四个空白四边形的面积是相等的，所以右图中阴影部分的面积为111463-⨯=．那么左图中阴影部分面积与右图中阴影部分面积之比为11:3:223=，即32m n =， 那么325m n +=+=．【例 22】 如图， ABC △中，DE ，FG ，BC 互相平行，AD DF FB ==，则::ADE DEGF FGCB S S S =△四边形四边形 ．EGF A D CB【解析】 设1ADE S =△份，根据面积比等于相似比的平方，所以22::1:4ADE AFG S S AD AF ==△△，22::1:9ADE ABC S S AD AB ==△△， 因此4AFG S =△份，9ABC S =△份，进而有3DEGF S =四边形份，5FGCB S =四边形份，所以::1:3:5ADE DEGF FGCB S S S =△四边形四边形【巩固】如图，DE 平行BC ，且2AD =，5AB =，4AE =，求AC 的长．A ED CB【解析】 由金字塔模型得:::2:5AD AB AE AC DE BC ===，所以42510AC =÷⨯=【巩固】如图， ABC △中，DE ，FG ，MN ，PQ ，BC 互相平行，AD DF FM MP PB ====，则::::ADE DEGF FGNM MNQP PQCB S S S S S =△四边形四边形四边形四边形． 【解析】 设1ADE S =△份，22::1:4ADE AFG S S AD AF ==△△，因此4AFG S =△份，进而有3DEGF S =四边形份，同理有5FGNM S =四边形份，7MNQP S =四边形份，9PQCB S =四边形份．所以有::::1:3:5:7:9ADE DEGF FGNM MNQP PQCB S S S S S =△四边形四边形四边形四边形【例 23】 如图，已知正方形ABCD 的边长为4，F是BC 边的中点，E 是DC 边上的点，且:1:3DE EC =，AF 与BE 相交于点G ，求ABG S △GFAEDC BM GFAEDCBGFAEDCB【解析】 方法一：连接AE ，延长AF ，DC 两条线交于点M ，构造出两个沙漏，所以有::1:1AB CM BF FC ==，因此4CM =，根据题意有3CE =，再根据另一个沙漏有::4:7GB GE AB EM ==，所以4432(442)471111ABG ABE S S ==⨯⨯÷=+△△．方法二：连接,AE EF，分别求4224ABF S =⨯÷=△，4441232247AEFS =⨯-⨯÷-⨯÷-=△，根据蝶形定理::4:7ABF AEF S S BG GE ==△△，所以4432(442)471111ABG ABE S S ==⨯⨯÷=+△△．【例 24】 如图所示，已知平行四边形ABCD 的面积是1，E 、F 是AB 、AD 的中点， BF 交EC 于M ，求BMG ∆的面积．Q E GNMFPA DCBMHGF E DCBAA【解析】 解法一：由题意可得，E 、F 是AB 、AD 的中点，得//EF BD ，而::1:2FD BC FH HC ==，::1:2EB CD BG GD ==所以::2:3CH CF GH EF ==，并得G 、H 是BD 的三等分点，所以BG GH =，所以::2:3BG EF BM MF ==，所以25BM BF =，11112224BFDABD ABCD S S S ∆∆==⨯=Y ； 又因为13BG BD =，所以1212113535430BMG BFD S S ∆∆=⨯⨯=⨯⨯=． 解法二：延长CE 交DA 于I ，如右图，可得，::1:1AI BC AE EB ==，从而可以确定M 的点的位置，::2:3BM MF BC IF ==，25BM BF =，13BG BD =(鸟头定理)，可得2121115353430BMG BDF ABCD S S S ∆∆=⨯=⨯⨯=Y【例 25】 如图，ABCD 为正方形，1cm AM NB DE FC ====且2cm MN =，请问四边形PQRS 的面积为多少CACA【解析】 (法1)由//AB CD ，有MP PC MNDC=，所以2PC PM =，又MQ MB QC EC =，所以12MQ QC MC ==，所以111236PQ MC MC MC =-=，所以SPQR S 占AMCF S 的16，所以121(112)63SPQR S =⨯⨯++=2(cm )．(法2)如图，连结AE ，则14482ABE S ∆=⨯⨯=(2cm )，而RB ER ABEF=，所以2RB AB EFEF ==，22168333ABR ABE S S ∆∆==⨯=(2cm )．而1134322MBQ ANS S S ∆∆==⨯⨯⨯=(2cm )，因为MN MP DC PC=，所以13MP MC =，则11424233MNP S ∆=⨯⨯⨯=(2cm )，阴影部分面积等于164233333ABR ANS MBQ MNP S S S S ∆∆∆∆--+=--+=(2cm )．【例 26】 如右图，三角形ABC 中，:4:9BD DC =，:4:3CE EA =，求:AF FB ．O F EDCBA【解析】 根据燕尾定理得::4:912:27AOB AOC S S BD CD ===△△::3:412:16AOB BOC S S AE CE ===△△（都有AOB △的面积要统一，所以找最小公倍数） 所以:27:16:AOC BOC S S AF FB ==△△【点评】本题关键是把AOB △的面积统一，这种找最小公倍数的方法，在我们用比例解题中屡见不鲜，如果能掌握它的转化本质，我们就能达到解奥数题四两拨千斤的巨大力量！【巩固】如右图，三角形ABC 中，:3:4BD DC =，:5:6AE CE =，求:AF FB .O F EDCBA【解析】 根据燕尾定理得::3:415:20AOB AOC S S BD CD ===△△::5:615:18AOB BOC S S AE CE ===△△（都有AOB △的面积要统一，所以找最小公倍数） 所以:20:1810:9:AOC BOC S S AF FB ===△△【巩固】如右图，三角形ABC 中，:2:3BD DC =，:5:4EA CE =，求:AF FB .O F EDCBA【解析】 根据燕尾定理得::2:310:15AOB AOC S S BD CD ===△△::5:410:8AOB BOC S S AE CE ===△△（都有AOB △的面积要统一，所以找最小公倍数） 所以:15:8:AOC BOC S S AF FB ==△△【点评】本题关键是把AOB △的面积统一，这种找最小公倍数的方法，在我们用比例解题中屡见不鲜，如果能掌握它的转化本质，我们就能达到解奥数题四两拨千斤的巨大力量！【例 27】 如右图，三角形ABC 中，:::3:2AF FB BD DC CE AE ===，且三角形ABC 的面积是1，则三角形ABE 的面积为______，三角形AGE 的面积为________，三角形GHI 的面积为______．I HGFEDCBAI H G FEDCBA【分析】 连接AH 、BI 、CG ．由于:3:2CE AE =，所以25AE AC =，故2255ABE ABC S S ∆∆==；根据燕尾定理，::2:3ACG ABG S S CD BD ∆∆==，::3:2BCG ABG S S CE EA ∆∆==，所以::4:6:9ACG ABG BCG S S S ∆∆∆=，则419ACG S ∆=，919BCG S ∆=； 那么2248551995AGE AGC S S ∆∆==⨯=； 同样分析可得919ACH S ∆=，则::4:9ACG ACH EG EH S S ∆∆==，::4:19ACG ACB EG EB S S ∆∆==，所以::4:5:10EG GH HB =，同样分析可得::10:5:4AG GI ID =，所以5521101055BIE BAE S S ∆∆==⨯=，55111919519GHI BIE S S ∆∆==⨯=．【巩固】 如右图，三角形ABC 中，:::3:2AF FB BD DC CE AE ===，且三角形GHI的面积是1，求三角形ABC 的面积．IH G FEDCBA IH G FEDCBA【解析】 连接BG ，AGC S △=6份根据燕尾定理，::3:26:4AGC BGC S S AF FB ===△△，::3:29:6ABG AGC S S BD DC ===△△得4BGC S =△(份)，9ABG S =△(份)，则19ABC S =△(份)，因此619AGCABCS S =△△, 同理连接AI 、CH 得619ABHABCS S =△△,619BIC ABC S S =△△,所以1966611919GHI ABC S S ---==△△三角形GHI 的面积是1，所以三角形ABC 的面积是19【巩固】如图，ABC ∆中2BD DA =，2CE EB =，2AF FC =，那么ABC ∆的面积是阴影三角形面积的 倍．BCCB【分析】 如图，连接AI．根据燕尾定理，::2:1BCI ACIS S BD AD ∆∆==，::1:2BCI ABI S S CF AF ∆∆==，所以，::1:2:4ACI BCI ABI S S S ∆∆∆=，那么，221247BCI ABC ABC S S S ∆∆∆==++．同理可知ACG ∆和ABH ∆的面积也都等于ABC ∆面积的27，所以阴影三角形的面积等于ABC ∆面积的211377-⨯=，所以ABC ∆的面积是阴影三角形面积的7倍．【巩固】如图在ABC △中，12DC EA FB DBECFA===,求GHI ABC △的面积△的面积的值．IHG FEDCBAIHG FEDCB A【解析】 连接BG ,设BGC S △=1份，根据燕尾定理::2:1AGC BGC S S AF FB ==△△,::2:1ABG AGC S S BD DC ==△△,得2AGC S =△(份)，4ABG S =△(份),则7ABC S =△(份)，因此27AGC ABC S S =△△,同理连接AI 、CH 得27ABH ABC S S =△△,27BIC ABC S S =△△,所以7222177GHI ABC S S ---==△△ 【点评】如果任意一个三角形各边被分成的比是相同的，那么在同样的位置上的图形，虽然形状千变万化，但面积是相等的，这在这讲里面很多题目都是用“同理得到”的，即再重复一次解题思路，因此我们有对称法作辅助线.【例 28】 如图，三角形ABC 的面积是1，BD DE EC ==，CF FG GA ==，三角形ABC被分成9部分，请写出这9部分的面积各是多少GFE D CBAN MQPGF EDCBA【解析】 设BG 与AD 交于点P ，BG 与AE 交于点Q ，BF 与AD 交于点M ，BF与AE 交于点N ．连接CP ，CQ ，CM ，CN ．根据燕尾定理，::1:2ABP CBP S S AG GC ==△△，::1:2ABP ACP S S BD CD ==△△，设1ABP S =△(份)，则1225ABC S =++=△(份)，所以15ABP S =△ 同理可得，27ABQ S =△,12ABNS =△,而13ABG S =△，所以2137535APQ S =-=△，1213721AQG S =-=△．同理，335BPMS =△121BDM S =△,所以1239273570PQMN S =--=四边形，13953357042MNEDS =--=四边形,1151321426NFCE S =--=四边形,1115321642GFNQ S =--=四边形【巩固】如图，ABC ∆的面积为1，点D 、E 是BC 边的三等分点，点F 、G 是AC边的三等分点，那么四边形JKIH 的面积是多少K J IHABC D EF GKJI HABCD EFG【解析】 连接CK 、CI 、CJ．根据燕尾定理，::1:2ACK ABK S S CD BD ∆∆==，::1:2ABK CBK S S AG CG ∆∆==， 所以::1:2:4ACK ABK CBK S S S ∆∆∆=，那么111247ACK S ∆==++，11321AGK ACK S S ∆∆==． 类似分析可得215AGI S ∆=． 又::2:1ABJ CBJ S S AF CF ∆∆==，::2:1ABJ ACJ S S BD CD ∆∆==，可得14ACJ S ∆=． 那么，111742184CGKJS =-=． 根据对称性，可知四边形CEHJ 的面积也为1784，那么四边形JKIH 周围的图形的面积之和为172161228415370CGKJ AGI ABE S S S ∆∆⨯++=⨯++=，所以四边形JKIH 的面积为61917070-=．【例 29】 右图，ABC △中，G 是AC 的中点，D 、E 、F 是BC 边上的四等分点，AD 与BG 交于M ，AF 与BG 交于N ，已知ABM △的面积比四边形FCGN 的面积大7.2平方厘米，则ABC △的面积是多少平方厘米N M GA BCD EFNMGA BC D EF【解析】 连接CM 、CN ．根据燕尾定理，::1:1ABM CBMS S AG GC ==△△，::1:3ABM ACM S S BD CD ==△△，所以15ABM ABC S S =△△；再根据燕尾定理，::1:1ABN CBNS S AG GC ==△△，所以::4:3ABN FBN CBN FBN S S S S ==△△△△，所以:4:3AN NF =，那么1422437ANG AFC S S =⨯=+△△，所以2515177428FCGNAFC ABC ABC S S S S ⎛⎫=-=⨯= ⎪⎝⎭△△△．根据题意，有157.2528ABC ABC S S -=△△，可得336ABC S =△(平方厘米)【例 30】 如图，面积为l 的三角形ABC 中，D 、E 、F 、G 、H 、I 分别是AB 、BC 、CA 的三等分点,求阴影部分面积.C BAGCB【解析】 三角形在开会，那么就好好利用三角形中最好用的比例和燕尾定理吧！令BI 与CD 的交点为M ，AF 与CD 的交点为N ，BI 与AF 的交点为P ,BI 与CE 的交点为Q ,连接AM 、BN 、CP⑴求ADMI S 四边形：在ABC △中，根据燕尾定理，::1:2ABM CBM S S AI CI ==△△::1:2ACM CBM S S AD BD ==△△设1ABM S =△(份)，则2CBM S =△(份),1ACM S =△(份),4ABC S =△(份),所以14ABMACM ABC S S S ==△△△，所以11312ADM ABM ABC S S S ==△△△,112AIM ABC S S =△△,所以111()12126ABC ABC ADMI S S S =+=△△四边形,同理可得另外两个顶点的四边形面积也分别是ABC △面积的16⑵求DNPQE S 五边形：在ABC △中，根据燕尾定理::1:2ABN ACN S S BF CF ==△△::1:2ACN BCN S S AD BD ==△△,所以111133721ADN ABN ABC ABC S S S S ==⨯=△△△△,同理121BEQ ABC S S =△△在ABC△中，根据燕尾定理::1:2ABP ACP S S BF CF ==△△,::1:2ABP CBP S S AI CI ==△△所以15ABP ABCS S =△△，所以1111152121105ABP ADN BEP ABC ABC DNPQE S S S S S S ⎛⎫=--=--= ⎪⎝⎭△△△△△五边形同理另外两个五边形面积是ABC△面积的11105，所以11113133610570S =-⨯-⨯=阴影【例 31】 如图，面积为l 的三角形ABC 中，D 、E 、F 、G 、H 、I 分别是AB 、BC 、CA 的三等分点,求中心六边形面积.GCBAGCBA【解析】 设深黑色六个三角形的顶点分别为N 、R 、P 、S 、M 、Q ，连接CR在ABC △中根据燕尾定理，::.2:1ABR ACR S S BG CG ==△△, ::1:2ABR CBR S S AI CI ==△△所以27ABR ABC S S =△△,同理27ACS ABC S S =△△,27CQB ABC S S =△△所以222117777RQS S =---=△，同理17MNP S =△根据容斥原理，和上题结果11131777010S =+-=六边形课后练习： 练习1. 已知DEF △的面积为7平方厘米，,2,3BE CE AD BD CF AF ===，求ABC △的面积．FED CBA【解析】:():()(11):(23)1:6BDE ABC S S BD BE BA BC =⨯⨯=⨯⨯=△△，:():()(13):(24)3:8CEF ABC S S CE CF CB CA =⨯⨯=⨯⨯=△△:():()(21):(34)1:6ADF ABC S S AD AF AB AC =⨯⨯=⨯⨯=△△设24ABC S =△份，则4BDE S =△份，4ADF S =△份，9CEF S =△份，244497DEF S =---=△份，恰好是7平方厘米，所以24ABC S =△平方厘米练习2. 如图，四边形EFGH 的面积是66平方米，EA AB =，CB BF =，DC CG =，HD DA =，求四边形ABCD 的面积．H GFED CB A A B CDEFGH【解析】 连接BD ．由共角定理得:():()1:2BCD CGF S S CD CB CG CF =⨯⨯=△△，即2CGF CDB S S =△△同理:1:2ABD AHE S S =△△，即2AHE ABD S S =△△ 所以2()2AHE CGF CBD ADB ABCD S S S S S +=+=△△△△四边形连接AC ，同理可以得到2DHG BEF ABCD S S S +=△△四边形 5AHE CGF HDG BEF EFGH ABCD ABCD S S S S S S S =++++=△△△△四边形四边形四边形 所以66513.2ABCD S =÷=四边形平方米练习3. 正方形ABCD 的面积是120平方厘米，E 是AB 的中点，F 是BC 的中点，四边形BGHF 的面积是 平方厘米．H GFEDCBAM H GFEDCBA【解析】 欲求四边形BGHF 的面积须求出EBG ∆和CHF ∆的面积．由题意可得到：::1:2EG GC EB CD ==，所以可得：13EBG BCE S S ∆∆=将AB 、DF 延长交于M 点，可得：:::1:1BM DC MF FD BF FC ===，而1::():3:22EH HC EM CD AB AB CD ==+=，得25CH CE =，而12CF BC =，所以121255CHF BCE BCE S S S ∆∆∆=⨯=11112030224BCE S AB BC ∆=⨯⨯=⨯=117730141515EBC EBC EBC EBC BGHF S S S S S ∆∆∆∆=--==⨯=四边形．EF ，确定H 的位置(也就是:FH HD )练习4. 如图，已知4cm AB AE ==，BC DC =，90BAE BCD ∠=∠=︒，10cm AC =，则S ABC ACE CDE S S ∆∆∆++= 2cm ．DCEBABCA'C'EDA【解析】 将三角形ABC 绕A 点和C 点分别顺时针和逆时针旋转90o，构成三角形'AEC 和'A DC ，再连接''A C ，显然'AC AC ⊥，'AC A C ⊥，''AC A C AC ==，所以''ACA C 是正方形．三角形'AEC 和三角形'A DC 关于正方形的中心O 中心对称，在中心对称图形''ACA C 中有如下等量关系： ''AEC A DC S S ∆∆=；''AEC A DC S S ∆∆=；'CED C DE S S ∆∆=．所以2'''11101050cm 22ABC ACE CDE AEC ACE CDE ACA C S S S S S S S ∆∆∆∆∆∆++=++==⨯⨯=W ．练习5. 如图，正方形ABCD 的面积是120平方厘米，E 是AB 的中点，F 是BC 的中点，四边形BGHF 的面积是_____平方厘米．EDED【解析】 连接BH,根据沙漏模型得:1:2BG GD =,设1BHC S =△份，根据燕尾定理2CHD S =△份，2BHD S =△份，因此122)210S =++⨯=正方形（份，127236BFHG S =+=，所以712010146BFHG S =÷⨯=(平方厘米).练习6. 如图，ABC ∆中，点D 是边AC 的中点，点E 、F 是边BC 的三等分点，若ABC ∆的面积为1，那么四边形CDMF 的面积是_________．。

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小学奥数平面几何五种模型（等积，鸟头，蝶形，相似，共边）目标：熟练掌握五大面积模型等积，鸟头，蝶形，相似（含金字塔模型和沙漏模型），共边（含燕尾模型和风筝模型），掌握五大面积模型的各种变形知识点拨一、等积模型①等底等高的两个三角形面积相等；②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比; 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比；如右图S i：S2 a:b③夹在一组平行线之间的等积变形，如右图S A CD &BCD ；反之，如果S A A CD S A B CD，则可知直线AB平行于CD .④等底等高的两个平行四边形面积相等（长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形）；⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的咼之比.二、鸟头定理两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形. 共角三角形的面积比等于对应角（相等角或互补角）两夹边的乘积之比.如图在△ABC中，D,E分别是AB,AC上的点如图⑴（或D在BA的延长线上，E在AC 上）,则S A ABC : S A ADE（AB AC）：（AD AE）图⑴图⑵三、蝶形定理任意四边形中的比例关系（“蝶形定理”）：① S1 :S2 S4 : S3或者MS S2 S4② AO:OC s S2 : S4 S3 蝶形定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径.通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系.梯形中比例关系（“梯形蝶形定理”）：①S1: S3a2: b2C②S i: S3: S? : S4 a2 : b2 : ab : ab ；③S的对应份数为a b2.四、相似模型（一）金字塔模型 (二）沙漏模型① AD AE DE AF ； ABAC BC AG '② ADE ：ABC AF ：AG .所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形 （只要其形状不改变, 不论大小怎样改变它们都相似），与相似三角形相关的常用的性质及定理如 下： ⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似 比； ⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方； ⑶连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.三角形中位线定理：三角形的中位线长等于它所对应的底边长的一半. 相似三角形模型，给我们提供了三角形之间的边与面积关系相互转化的工具. 在小学奥数里，出现最多的情况是因为两条平行线而出现的相似三角形.五、共边定理（燕尾模型和风筝模型） 在三角形 ABC 中，AD , BE , CF 相交于同一点 O ，那么SABO ： SACO BD ：DC . 上述定理给出了一个新的转化面积比与线段比的手段，因 为ABO 和ACO 的形状很象燕子的尾巴，所以这个定理被称 为燕尾定理.该定理在许多几何题目中都有着广泛的运用， 它的特殊性在于，它可以存在于任何一个三角形之中，为 三角形中的三角形面积对应底边之间提供互相联系的途径 典型例题【例1】 如图，正方形 ABC 啲边长为6, AE 1. 5, CF 积为【解析】连接DE DF 则长方形EFGH 勺面积是三角形DEF 面积的二倍.三角形DEF 的面积等于正方形的面积减去三个三角形的面积,S A DEF 6 6 1.5 6 2 2 6 24.5 4 216.5 ,所以长方形 EFGH面积为33.【巩固】如图所示，正方形ABCD 的边长为8厘米，长方形EBGF 的长BG 为10厘米, 那么长方形的宽为几厘米？A _ jD G2.长方形EFGH 勺面BC【解析】本题主要是让学生会运用等底等高的两个平行四边形面积相等（长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形）.三角形面积等于与它等底等 高的平行四边形面积的一半.证明：连接AG .（我们通过厶ABG 把这两个长方形和正方形联系在一起）.T 在正方形ABCD 中，SA ABG- AB AB 边上的高,21•I S A ABG-S WABCD （三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半）二正方形ABCD 与长方形EFGB 面积相等.长方形的宽8 8 10 6.4（厘【例2】 长方形ABCD 的面积为36cm 2 , E 、F 、G 为各边中点, 意一点，问阴影部分面积是多少？【解析】解法一：寻找可利用的条件，连接 BH 、HC ，如下图：所以阴影部分的面积是：S 阴影18 S EBF 18 4.5 13.5解法二：特殊点法.找H 的特殊点，把H 点与D 点重合， 那么图形就可变成右图：这样阴影部分的面积就是 DEF 的面积，根据鸟头定理，则有:1 1 1 1 1 1 1 S 阴影 S ABCD S AED S BEF S CFD 36 363636 13.5 .22 22 22 2【巩固】在边长为6厘米的正方形ABCD 内任取一点P ，将正方形的一组对边 二等分，另一组对边三等分，分别与 P 点连接,求阴影部分面积.【解析】（法1）特殊点法.由于P 是正方形内部任意一点，可采用特殊点法， 假设P 点与A 点重合，贝S 阴影部分变为如上中图所示，图中的两个阴影三角形的面积分别占正方形面积的1和丄，所以阴影部分的面积为4662 （丄1 15平方厘米.4 6同理,£ ABGS EFGB.H 为AD 边上任1—S DHC ,而 2可得S EHBI S2S ABCD S AHBS CHBS CHD36即S EHBSBHFSD HG而SEBF1 BE BF 1 G AB) (222 221 SAHB、S FHB—SCHB 2、 S D HG1二(SAHB S CHBS CHD )1 36 18 22SEHB S BHF S DHGS阴影SEBF1 BC) 36 4.58（法2）连接PA、PC .由于PAD 与PBC 的面积之和等于正方形 ABCD 面积的一半，所以上、 下两个阴影三角形的面积之和等于正方形ABCD 面积的［，同理可知4左、右两个阴影三角形的面积之和等于正方形 ABCD 面积的〕，所以阴6影部分的面积为62 (1 1) 15平方厘米.4 6【例3】如图所示，长方形ABCD 内的阴影部分的面积之和为 70, AB 8 , AD 15 , 四边形EFGO 的面积为 ____________ .【解析】利用图形中的包含关系可以先求出三角形 AOE 、DOG 和四边形EFGO 的面积之和，以及三角形AOE 和DOG 的面积之和，进而求出四边形EFGO 的 面积.由于长方形ABCD 的面积为15 8 120 ,所以三角形BOC 的面积为120 1 30，所以三角形AOE 和DOG 的面积之和为120 - 70 20 ；4 4又三角形AOE 、DOG 和四边形EFGO 的面积之和为1201-30，所以2 4四边形EFGO 的面积为30 20 10 .另解：从整体上来看，四边形 EFGO 的面积 三角形AFC 面积 三角形 BFD 面积 白色部分的面积，而三角形 AFC 面积 三角形BFD 面积为长 方形面积的一半，即60,白色部分的面积等于长方形面积减去阴影部 分的面积，即120 70 50，所以四边形的面积为60 50 10 .【巩固】如图，长方形ABCD 的面积是36, E 是AD 的三等分点，AE 2ED ，则S 1SOEN23 1 6 12.7 .25【例4】 已知ABC 为等边三角形，面积为400, D 、E 、F 分别为三边的中点， 已知甲、乙、丙面积和为143,求阴影五边形的面积.(丙是三角形HBC )【解析】因为D 、E 、F 分别为三边的中点，所以DE 、DF 、EF 是三角形ABC 的 中位线，也就与对应的边平行，根据面积比例模型，三角形ABN 和三角 形AMC 的面积都等于三角形ABC 的一半，即为200.根据图形的容斥关系，有S ABCS S ABN S AMCS AMHN,阴影部分的面积为 _________ .【解析】如图，连接OE .根据蝶形定理，ON : NDS COE : S CDE:SCAECDE21:1 ,所以OM : MAS BOE : S BAE1S :S_ S BDE : SBAE 21:4，所以 S OEM1SOEA.又 S OED1 13 4S 矩形 ABCD3, SOEA2S OED 6，所以阴影部分面积为:即400 S丙200 200 S AMHN，所以S W S AMHN .【例5】 【解析】 又S 阴影 S ADF S ? S ^ S AMHN, 所以1 S 阴影 S?足 SW S ADF 1434004女口图，已知 CD 5 , DE 7 , EF 15 , FG 左边部分面积是 38,右边部分面积是 是 __________ . 连接AF , BD .根据题意可知，CF 5 7 1515所以，SBEFSCBF, S BEC21 15 于疋： S ADG286 ,线段AB 将图形分成两部分，65,那么三角形ADG 的面积7 15 6 28 ；217， S AEGS ADG ， SAEDS ADG，' 28 28 '12 S CBF 65 ； s ADG S CBF 38 ； 27 28 27 可得S ADG 40 .故三角形ADG 的面积是40.女口图在 △ ABC 中，D,E 分别是 AB,AC 上的点，且 AD: AB 2:5 , AE : AC 4:7 , S AADE 16平方厘米，求△ ABC 的面积. 连接 BE , S ADE : S ABE AD : AB 2 :5 (2 4) :(5 4), S A ABE : S A ABC AE : AC 4:7 (4 5): (7 5), 所以 S A ADE : S A ABC (2 4):(7 5),设 S A ADE 8份，则S A ABC 35份，S A ADE 16平方厘米，所以1份是2平方厘米，35份就是70平方厘米，△ ABC 的面积是70平方厘米.由此我们得到一 个重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角 (相等角 或互补角)两夹边的乘积之比. 【巩固】如图，三角形ABC 中，AB 是AD 的5倍，AC 是AE 的3倍，如果三角 形ADE 的面积等于1,那么三角形ABC 的面积是多少？ 【解析】连接BE .27 ； DG12 S CBF27±S'28S A DG【例6】 【解析】 …S VABC 3S VABE又 T AB 5AD…S VADES V ABEEC 3AE 5 S VABC 15，…S VABC 15S VADE 15 .【巩固】如图，三角形 ABC 被分成了甲(阴影部分)、乙两部分，BD DC 4 , BE 3 , AE 6，乙部分面积是甲部分面积的几倍？ 连接AD . 【解析】 【例7】 【解析】-BE 3 , AE 6• • AB 3BE , S VABD 又 T BD DC 4, …S V ABC 2 S V ABD ，…S V ABC 6S V BDE , S 乙 5S ?.如图在A ABC 中，D 在BA 的延长线上，E 在AC 上，且AB: AD 5:2 , AE: EC 3:2 , S A ADE 12平方厘米，求 △ ABC 的面积. 连接 BE , S A ADE : S A ABE AD : AB 2:5 (2 3):(5 3)3S VBD ES^ABE : S ^ABC AE : AC 3: (3 2)(3 5) : (32) 5,所以 ADE : ABC (32) : 5 (32)6:25，设S^ ADE 6份，则S^ ABC 25份, $△ADE 12平方厘米，所以1份是2平方厘米，25份就是50平方厘米，△ ABC 的面积是50平方厘米.由此我们得到一个重要的定理，共角定理：共 角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比 女口图，平行四边形 ABCD , BE AB , CF 2CB , GD 3DC , HA 4AD ，平 行四边形ABCD 的面积是2 ,求平行四边形ABCD 与四边形EFGH 的面积 比.连接AC 、BD .根据共角定理•.•在 △ ABC 和厶BFE 中， ABC 与 FBE 互补，• ABC AB BC 11 1…S A FBE BE BF 口 3 •又S △ ABC 1 , 所以S A FBE 3 .冋理可彳得 S A GCF 8 , SA DHG 15 , SA AEH 8 . 所以 S EFGH S A AEH S A CFG S A DHG S A BEF S ABCD 8 815+3+2 36.所以注z 丄.SEFGH36 18如图所示的四边形的面积等于多少？ 题目中要求的四边形既不是正方形也不是长方形，难以运用公式直接 求面积.我们可以利用旋转的方法对图形实施变换： 把三角形OAB 绕顶点O 逆时针旋转，使长为13的两条边重合，此时三角 形OAB 将旋转到三角形OCD 的位置.这样，通过旋转后所得到的新图 形是一个边长为12的正方形，且这个正方形的面积就是原来四边形的 面积.因此，原来四边形的面积为12 12 144.(也可以用勾股定理) 【例10】如图所示，ABC 中，ABC 90 , 作正方形ACDE ，中心为O ,求OBC的面积. 【解析】如图，将OAB 沿着O 点顺时针旋转90，到达OCF 的位置.由于 ABC 90 , AOC 90，所以 OAB OCB 180 .而 OCF OAB , 所以 OCF OCB 180，那么B 、C 、F 三点在一条直线上.由于OB OF , BOF AOC 90，所以BOF 是等腰直角三角形，且斜边 BF 为5 38,所以它的面积为82 - 16 .4根据面积比例模型，OBC 的面积为16 5 10 .8【例11】如图，以正方形的边AB 为斜边在正方形内作直角三角形 ABE ,AEB 90 , AC 、BD 交于O .已知AE 、BE 的长分别为3cm 、5cm ，求三 角形OBE 的面积.【解析】如图，连接DE ，以A 点为中心，将 ADE 顺时针旋转90到ABF 的位置.【例8】 【解析】 【例AB 3 , BC 5 ,以AC 为一边向 ABC 夕卜那么 EAF EAB BAF EAB DAE 90，而 AEB 也是 90 , 形AFBE 是直角梯形，且 AF AE 3 ,所以梯形AFBE 的面积为： 【解析】如图，我们将BCD 平移使得CD 与AF 重合，将DEF 平移使得ED 与AB 重合，这样EF 、BC 都重合到图中的AG 了.这样就组成了一个长方形BGFD , 它的面积与原六边形的面积相等， 显然长方形BGFD 的面积为24 18 432 平方厘米，所以六边形ABCDEF 的面积为432平方厘米.【例13】如图，三角形 ABC 的面积是1 , E 是AC 的中点，点 D 在BC 上，且【巩固】如图，长方形ABCD 的面积是2平方厘米，EC 2DE , F 是DG 的中点. 影部分的面积是多少平方厘米？平方厘米.【例14】四边形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点0(如图所示).如果三角形ABDS A ADE 1S A 21 ADC—2 2S 38 ABC13，所以 BF FESA ABDSA ADE1-,11 11 1 11S A DEFS A DEBS A BEC——S A ABC22 323 212方法二：连接DE ，由题目条件可得到S A ABD2S A ABC2，而 S ACDE2 3 - 2& ABC所以四边3 5 3 - 12( cm 2).2又因为ABE 是直角三角形，根据勾股定理, 所以S ABD 那么S BDE1 2 -AB 2 17( cm 2).2AB2 2AE BE2 23 534 ,所以S OBE1—S BDE2・5( cm 2).BD:DC 1:2 , AD 与 BE 交于点 F . 【解析】方法一：连接CF ，根据燕尾定理, 设S A BDF 1份，则 如图所标所以S DCEF12S A DCF 2份， 则四边形DFEC 的面积等于 _______ .生1, EC ' S A EFC 3份， ABF S^ ACFSA ABF BD - DC 2 3份，& ABF S A CBF SA AEF5_123 .所以则四边形DFEC 的面积等于12 .【解析】设S A DEF 1份，则根据燕尾定理其他面积如图所示S阴影討BCD5 1212 5( cm 2)，S ABD S ABE S ADE S ABDS A FBE17【例12】如下图，六边形ABCDEF 中，AB ED , AF CD , BC EF ，且有AB 平行 于ED , AF 平行于CD , BC 平行于EF ,对角线FD 垂直于BD ,已知FD 24 厘米，BD 18厘米，请问六边形ABCDEF 的面积是多少平方厘米？的面积等于三角形BCD 的面积的1，且AO 2 , DO 3，那么CO 的长度3是DO 的长度的 _________ .【解析】在本题中，四边形ABCD 为任意四边形，对于这种”不良四边形”，无外乎两种处理方法：⑴利用已知条件，向已有模型靠拢，从而快速解决； ⑵通过画辅助线来改造不良四边形.看到题目中给出条件 S VABD : S/BCD 1：3，这可以向模型一蝶形定理靠拢，于是得出一种解法.又 观察题目中给出的已知条件是面积的关系，转化为边的关系，可以得 到第二种解法，但是第二种解法需要一个中介来改造这个”不良四边 形”，于是可以作AH 垂直BD 于H , CG 垂直BD 于G ,面积比转化为高之 比.再应用结论：三角形高相同，则面积之比等于底边之比，得出结 果.请老师注意比较两种解法，使学生体会到蝶形定理的优势，从而 主观上愿意掌握并使用蝶形定理解决问题.解法一：T AO ：OC S ABD ：S BDC 1：3，二 OC 2 3 6，二 OC:OD 6:3 2:1 .解法二：作 AH BD 于 H , CG BD 于G .• 1 • • …AO —CO ，…OC 2 3 6，…OC:OD 6:32:1 .3【巩固】如图，四边形被两条对角线分成 4个三角形，其中三个三角形的面 积已知，求：⑴三角形BGC 的面积；⑵AG:GC ?【解析】⑴根据蝶形定理 ,^/BGC 1 2 3 , 那么S V BGC 6； ⑵根据蝶形定理，AG:GC 12:361:3 .【例15】如图，平行四边形ABCD 的对角线交于O 点，A CEF 、△ OEF 、△ODF 、△BOE 的面积依次是2、4、4和6.求：⑴求A OCF 的面积；⑵求A GCE 的面积.【解析】 ⑴根据题意可知，△ BCD 的面积为2 4 4 6 16 ,那么△ BCO 和CDO 的面 积都是16 2 8，所以△ OCF 的面积为8 4 4 ；⑵由于△ BCO 的面积为8, △ BOE 的面积为6,所以A OCE 的面积为8 6 2 ,根 据蝶形 定理，EG:FG S COE :S COF 2:4 1:2, 所以S GCE : S GCF EG : FG 1: 2 ,1 1 2那么 S GCE- S CEF ；2 —.1 2 3 3【例16】 如图，长方形 ABCD 中，BE:EC 2:3 , DF :FC 1:2，三角形DFG 的面积 为2平方厘米，求长方形ABCD 的面积.【解析】连接AE , FE .•/ SABD—S BCD，…AH1CG ，二 SAOD 31S 3 DOC因为BE: EC 2:3 , DF:FC 1:2 , 所以s 阴影2 2 4份，所以s 阴影：S 正方形1: 3，所以s 阴影1平方厘米.【巩固】在下图的正方形ABCD 中，E 是BC 边的中点，AE 与BD 相交于F 点，三 角形BEF 的面积为1平方厘米，那么正方形ABCD 面积是 ____________________ 平方厘米.【解析】连接DE ,根据题意可知BE:AD 1:2 ,根据蝶形定理得s 梯形"2）9（平方厘米），S A ECD 3（平方厘米），那么S WABCD 12（平方厘米）.【例18】已知ABCD 是平行四边形，BC:CE 3:2，三角形ODE 的面积为6平方厘 米.则阴影部分的面积是 ______________ 平方厘米.【解析】连接AC .由于 ABCD 是平行四边形， BC:CE 3:2，所以CE: AD 2:3 , 根据梯形蝶形定理， S VCOE : S VAOC : S VDOE : S VAOD 2 : 2 3: 2 3： 34：6：6：9 , 所以S VAOC 6 （平方厘米），S VAOD 9 （平方厘米），又 S VABC S VACD 6 9 15（平方厘米），阴影部分面积为6 15 21（平方厘 米）.【巩固】右图中ABCD 是梯形，ABED 是平行四边形，已知三角形面积如图所示（单位：平方厘米），阴影部分的面积是 平方厘米.【分析】连接AE .由于AD 与BC 是平行的，所以AECD 也是梯形，那么S OCD S OAE.2根据蝶形疋理，SOCD SOAE SOCE SOAD 4 936，故 SOCD 36, 所以sOCD 6（平方厘米）.【巩固】右图中ABCD 是梯形，ABED 是平行四边形，已知三角形面积如图所示（单位：平方厘米），阴影部分的面积是 ______________平方厘米.【解析】连接AE .由于AD 与BC 是平行的，所以AECD 也是梯形，那么S OCD S OAE . 根据蝶形定理，SOCD SOAE SOCE SOAD2 816，故 SOCD 16,S /DEF(3 11但 1s(丿s 长方形ABCD s 长方形ABCD.5 3 210因为 SVAED S 长方形 ABCD, AG : GF —2 2 —5:1 10因为,所以 SVAGD5S V GDF 10平方S/AFD — S 长方形 ABCD， 所以长方形6【例17】【解析】 ABCD 的面积是72平方厘米.如图，正方形ABCD 面积为3平方厘米， 影部分的面积.因为M 是AD 边上的中点，所以AM : BC 道 SA AMG:S A ABG ： S A MCG ： S A BCG 12：（1 2）:（12）:22SA MCDM 是AD 边上的中点.求图中阴 1:2，根据梯形蝶形定理可以知1:224，设 S A AGM1 份，则1 2 3份，所以正方形的面积为1 2 2 4 3 12份，所以S°CD 4（平方厘米）.另解：在平行四边形ABED中，S ADE 1S YABED1 16 8 12 （平方厘米），2 2所以S AOD 12 8 4（平方厘米），根据蝶形定理，阴影部分的面积为8 2 4 4（平方厘米）.【例19】如图，长方形ABCD被CE、DF分成四块，已知其中3块的面积分别为2、5、8平方厘米，那么余下的四边形OFBC的面积为____________ 平方厘米.【解析】连接DE、CF .四边形EDCF为梯形，所以S EOD S VFOC，又根据蝶形定理，S EOD S FOC S EOF S COD , 所以S EOD S FOC S EOF S COD 2 8 16，所以S EOD 4（平方厘米），S ECD 4 8 12（平方厘米）.那么长方形ABCD的面积为12 2 24平方厘米，四边形OFBC的面积为24 5 2 8 9（平方厘米）.【例20】如图，ABC是等腰直角三角形，DEFG是正方形，线段AB与CD相交于K点.已知正方形DEFG的面积48, AK:KB 1:3，则BKD的面积是多少？【解析】由于DEFG是正方形，所以DA与BC平行，那么四边形ADBC是梯形.在梯形ADBC中，BDK和ACK的面积是相等的.而AK :KB 1:3，所以ACK的面积是ABC面积的丄1,那么BDK的面积也是ABC面积的-.1 3 4 4由于ABC是等腰直角三角形，如果过A作BC的垂线，M为垂足，那么M是BC的中点，而且AM DE，可见ABM和ACM的面积都等于正方形DEFG面积的一半，所以ABC的面积与正方形DEFG的面积相等，为48.那么BDK的面积为48 1 12 .4【例21】下图中，四边形ABCD都是边长为1的正方形，E、F、G、H分别是AB , BC , CD , DA的中点，如果左图中阴影部分与右图中阴影部分的面积之比是最简分数m，那么，（m n）的值等于__________ .n【解析】左、右两个图中的阴影部分都是不规则图形，不方便直接求面积，观察发现两个图中的空白部分面积都比较好求，所以可以先求出空白部分的面积，再求阴影部分的面积.如下图所示，在左图中连接EG .设AG与DE的交点为M .左图中AEGD为长方形，可知AMD的面积为长方形AEGD面积的［，所4 以三角形AMD的面积为12 1 1】.又左图中四个空白三角形的面积是2 4 8相等的，所以左图中阴影部分的面积为1 1 4丄.8 2如上图所示，在右图中连接AC、EF .设AF、EC的交点为N .可知EF // AC且AC 2EF .那么三角形BEF的面积为三角形ABC面积的丄，所以三角形BEF的面积为12 1 1 1，梯形AEFC的面积为 1 1 ?.4 2 4 8 2 8 8在梯形AEFC中，由于EF:AC 1:2，根据梯形蝶形定理，其四部分的面积比为：12:1 2:1 2: 22 1: 2: 2: 4 ,所以三角形EFN 的面积为 丄，那么四边形BENF的面积为-—1 .而右图中四个空2 4 248 246白四边形的面积是相等的，所以右图中阴影部分的面积为那么m n 3 2 5 .如图， △ ABC 中，DE , FG , BC 互相平行，AD DF FB , 则S A ADE :?四边形DEGF :5四边形FGCB.S四边形FGNM 5^^, S四边形 MNQP 7^份，S四边形PQCB 9份.所以有【例23】如图，已知正方形ABCD 的边长为4 , F 是BC 边的中点，E 是DC 边上的点，且DE: EC 1:3 , AF 与BE 相交于点G ，求S A ABG【解析】方法一：连接AE ，延长AF , DC 两条线交于点M ，构造出两个沙漏,已知平行四边形ABCD 的面积是1 , E 、F 是AB 、AD 的中点,BF 交EC 于M ，求 BMG 的面积.【解析】 解法一：由题意可得， E 、F 是AB 、AD 的中点，得 EF//BD ，而那么左图中阴影部分面积与右图中阴影部分面积之比为3: 2，即【例22】1份，根据面积比等于相似比的平方,【解析】设 S A ADE 所以 S A ADE : S A AFG AD 2 :AF 21:4 , 因此 S A AFG 4份， S A ABC 9份， 进而有 S 四边形DEGF 3份，S四边形FGCB 【巩固】如图，DE 平行BC ，且AD2 , 【解析】由金字塔模型得 AD: AB AE: AC【巩固】如图， A ABC 中，DE , FG , 相平行，2 2S A ADE : S A ABC AD : AB 1: 9 , 5份，所以S A ADE : S 四边形DEGF : S 四边形FGCBAB 5 , AE 4，求 AC 的长. DE:BC 2:5，所以 MN , PQ , BC 互 1: 3: 5AC 4 2 5 10AD DF FM MP PB ，贝卩S A ADE : S 四边形DEGF : S 四边形FGNM : S 四边形MNQP:S 四边形PQCB 【解析】设S ^ ADE1份， S A ADE : S A AFG AD 2 : AF 2 1: 4，因此匕S A AFG4份，进而有 S四边形DEGF 3份，同理有个沙漏有 GB: GE AB: EM4:7，所以 S A ABG44S 4 7S A ABE 11 方法二连接AE,EF ,分 别 求 S A ABF S A AEF44 4 12 3 2 2 4 7, 根 据蝶3,再根据另一32 (4 4 2)114 2 2 4 ,形定理S A ABF :S A AEFBG:GE 4:7，所以 S A ABGSA ABE— (4 4 2)1132 11【例24】如图所示,所以有AB:CM BF: FC 1:1 ,因此CM 4 ,根据题意有CE30 .【例26】 如右图，三角形 ABC 中，BD: DC 4:9 , CE: EA 4:3，求 AF : FB . 【解析】根据燕尾定理得S ^AOB S AOC BD : CD 4:912: 27(都有△ AOB 的面积要统一，所以找最小公倍数) 所以 AOC ： S 4 BOC 27:16 AF : FB【点评】本题关键是把△ AOB 的面积统一，这种找最小公倍数的方法，在我们 用比例解题中屡见不鲜，如果能掌握它的转化本质，我们就能达到 解奥数题四两拨千斤的巨大力量！ 【巩固】 如右图，三角形 ABC 中，BD:DC 3:4 , AE:CE 5:6，求 AF : FB .【解析】 根据燕尾定理得S A AOB S AOC BD:CD 3:4 15: 20FD : BC FH : HC 1:2 ,EB:CD BG:GD 1:2所以 CH :CF GH : EF 2:3 ,并得G 、H 是BD 的三等分点，所以BG GH ,BG:EF BM : MF 2:3，所以 BM 2BF , S BFD51 2又因为BG 〔BD ，所以 SBMG ；二 SBFD33 5解法二：延长CE 交DA 于I ，如右图，1:1，从而可以确定 BM -BF , I 5—S Y ABCD4NB DE可得，AI : BC AE:EBBM : MF BC:IF 2:3 , 可得 S BMGS BDF5 3【例25】 如图，ABCD 为正方形，PQRS 的面积为多少？ 【解析】（法1）由AB//CD ，有 世 MN MQ QC iMC ，所以 PQ2 所以 2 1 5 3AM 所以1S S ABD 22 51 1 12 尹BCD；；1M 的点的位置, （鸟头定1 BG - BD3 1 I30FC 1cm 且 MN2 cm ，请问四边形PC DC1 1 MC MC2 3,所以PC 2PM ，又 QC—MC ，所 S SPQR6些，所以EC占 S AMCF 的1,1 (1 1 2) (cm ).3 (法2)如图，连结AE ，则2、4 8 ( cm ),而些空，所以竺AB EFEF S MBQ S ANS3 42所以MP 1MC ，则S3AB c c 2 c 2 c 16 / -2 , S ABR — S ABE 一 8 —( 3 3 3 2 MN MP3( cm ),因为 ---- DC PC丄2 4 1彳(cm 2)，阴影部分面积等于2 3 3 164 22\3 3( cm ). 3 3 3 EF12 MNPS ABR S ANS S MBQ S MNPcm 2).【解析】 根据燕尾定理得S SOB S AOC BD：CD 2:3 10:15（都有△ AOB 的面积要统一，所以找最小公倍数） 所以 s ^AOC : s ^BOC 15:8 AF : FB【点评】本题关键是把△ AOB 的面积统一，这种找最小公倍数的方法，在我们用比例解题中屡见不鲜，如果能掌握它的转化本质，我们就能达到 解奥数题四两拨千斤的巨大力量！【例27】 如右图，三角形 ABC 中，AF : FB BD: DC CE: AE 3: 2 , 面积是1 ,则三角形ABE 的面积为 ___ 三角形GHI 的面积为 【分析】连接AH 、BI 、CG .由于CE: AE 3: 2，所以AE 根据燕尾定理，且三角形ABC 的 三角形AGE 的面积为S ACG : S ABG : S BCGSACG : S ABG4:6:9 ，贝y 2 £ _8 5 19 95 'S ACH那E 么 S AGE S AGC5同样分析可得EG : EB S ACG : S ACB 4:19AG:GI :ID 10:5: 4 ,所以S BIE -S BAE - 210 105 AC ,S ABE 5CD : BD4_19S ACG9 192ss ABC -5SBCG : S ABG9 . S BCG192:3,则,所以 EG:GH:HB2 ；5 ；；CE :EA 3: 2，所以EG : EH S ACG : S ACH 4 : 9,,同样分析可得4:5:101 5【巩固】如右图，三角形ABC 中， 面积是1，求三角形ABC 的面积.【解析】连接BG根据燕尾定理 ，S A AGC ：S A BGCS ^ ABG : S A AGC BD : DC 3: 2 9 : 6 得S A BGC 4（份）,SA ABG- 55S GHIS BIE 19 19 1 丄5 19AF : FB BD: DC CE: AE 3:2，且三角形 GHI 的AF : FB 3: 2 6:4，6 19 , 6 丄 19因此生型SA ABC卫，出5,所以 S A G HI 19 6 6 19 S A ABC 19 S A ABC19所以三角形ABC 的面积是19CE 2EB , AF 9（份），则S^ ABC 19（份）,同理连接AI 、CH 得也 S^ ABC三角形GHI 的面积是1, 【巩固】如图，ABC 中BD 2DA , 三角形面积的【分析】如图，连接AI .2FC ，那么ABC 的面积是阴影倍. 根据燕尾定理，S BCI : S ACI BD : AD 2:1 , 所以， S ACI : S BCI : S ABI 1:2:4 , 那么， s BCISBCI : S ABI CF: AF 1: 2,2c 2QS ABC— S ABC . 12 47 同理可知ACG 和ABH 的面积也都等于 ABC 面积的三，所以阴影三角 7形的面积等于 ABC 面积的1 ? 3丄，所以ABC 的面积是阴影三角形面积的7倍.【巩固】如图在A ABC 中，竺更更 丄，求A GHI 的面积的值. DB EC FA 2 A ABC 的面积【解析】连接BG 设S A BGC 1份，根据燕尾定理 S A AGC : S A BGC AF : FB 2 :1 , S A ABG : S A AGC BD : DC 2 :1 , ^得 S A AGC 2 （份）,7（份），因此 二 扌，同理连接AI 、CH 得△ AGCSA ABCS A ABH 2 S A BIC 2 以 GHI 7 22 21 SA ABC 7 S A ABC7SA ABC7 7【点评】如果任意一个三角形各边被分成的比是相同的，那么在同样的位置 上的图形，虽然形状千变万化，但面积是相等的，这在这讲里面很 多题目都是用“同理得到”的，即再重复一次解题思路，因此我们 有对称法作辅助线• 【例28】 如图，三角形ABC 的面积是1 , BD DE EC , CF FG GA ,三角形ABC 被 分成9部分，请写出这9部分的面积各是多少？ 【解析】设BG 与 AD 交于点P, BG 与 AE 交于点Q BF 与AD 交于点M 交于点N.连接CP CQ CM CN 根据燕尾定理， S A ABP : S A CBP S A ABP 1（份），则 S A ABC S A ABG4（份）,则 S A ABCBF 与 AE 同理可得,S A ABQAG : GC 1:2 , S 1 2 2 5（份），所以 S A ABP -,S A ABN 71,而 S A ABG△ ABP : S A ACP BD : CD 1 5所以S A APQ1： 2，设 1 _3 5 35g 12 1 S A AQG 3 721同理， 2 ,所以S四边形S 四边形MNEDS A BPM— S A BDM 3513 9 匚。

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