直角坐标系中求三角形面积的方法
平面直角坐标系中的面积计算专题
平面直角坐标系中的面积计算知识点一：已知点的坐标求图形面积类型一：平面直角坐标系中三角形的面积①三角形有一边在坐标轴上例1：平面直角坐标系中，A(4，-4)， B(1，0)，C(6，0). 求△ABC 的面积. x yO A (4,-4)B (1,0)C (6,0)例2：平面直角坐标系中，A(0，3)， B(0，-3)，C(2，1). 求△ABC 的面积. x y123–1–2123–1–2–3OCB A②三角形有一边平行于坐标轴例3：平面直角坐标系中，A(-2，3)， B(-2，-3)，C(2，1). 求△ABC 的面积.xy –1–2–3123–1–2–3123OA （-2,3）B (-2,-3)C (2,1)③三角形没有一边平行于坐标轴变式1.保持A 、C 不动，改变点B 的位置：B (0，-3), 求△ABC 的面积. x y –1–2–3–4123–1–2–31234OA (-2,3）C (2,1）B x y –1–2–3–4123–1–2–31234O A (-2,3）C (2,1）B x y –1–2–3–4123–1–2–31234O A (-2,3）C (2,1）B练习：如图中，A 、B 两点的坐标分别为（2，3）、（4，1），求△ABO 的面积．类型二：平面直角坐标系中不规则多边形的面积例4：平面直角坐标系中，A(-3，-2)，B(3，-2)，C(1，3)，D(-2，1)，求四边形ABCD 的面积. xyO A (-3,-2)B (3,-2)C (1,3)D (-2,1)练习：如图，已知四边形ABCD 四个顶点的坐标分别是A （-5，2），B （1，5），C （5，-2），D （-4，-5）.求四边形ABCD 的面积.知识点二：已知图形面积求点的坐标例5：（1）▲ABC 的两个顶点分别为A （2，3），B （-2，0），且▲ABC 的面积为9，若点C 在x 轴上，求点C 的坐标.（2）已知A （1，0），B （0，3），点P 在x 轴上，且▲PAB 的面积为6，求点P 的坐标.（3）已知O （0，0），B （3，2），点A 在坐标轴上，且6=∆OAB S ，求A 点的坐标.练习1.如图A （﹣4，0），B （6，0），C （2，4），D （﹣3，2）．（1）求四边形ABCD 的面积；（2）在y 轴上找一点P ，使△APB 的面积等于四边形的一半．求P 点坐标．练习2.如图，已知A （﹣2，0），B （4，0），C （2，4），D （0，2）（1）求三角形ABC 的面积；（2）设P 为坐标轴上一点，若S △APC ＝S △ABC ，求P 点的坐标．练习3.如图，已知三点A （0，1），B （2，0），C （4，3）（1）求三角形ABC 的面积；（2）设点P 在坐标轴上，且三角形ABP 与三角形ABC 的面积相等，求点P 的坐标．。
人教版初一数学下册平面直角坐标系中求三角形的面积
在直角坐标系中求图形的面积图形的面积可以利用相应的面积公式求得，但是在平面直角坐标系内的求面积问题，往往不直接给出边或高之类的条件，而是给出一些点的坐标。
我们常常会遇到在平面直角坐标系中求三角形面积和一些不规则图形面积的问题，解题时我们要注意其中的解题方法和解题技巧。
现对这类题目的解法举例说明如下：一、有一边在坐标轴上例1 如图1，平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为（－3，0），（0，3），（0，－1），你能求出三角形ABC的面积吗？分析：根据三个顶点的坐标特征可以看出，△ABC的边BC在y轴上，由图形可得BC＝4，点A到BC边的距离就是A点到y轴的距离，也就是A点横坐标的绝对值3，然后根据三角形的面积公式求解.解：因为B(0,3),C(0,-1),所以BC=3-（-1）=4.因为A(-3,0),所以A点到y 轴的距离，即BC边上的高为3，二、有一边与坐标轴平行例2 如图2，三角形ABC三个顶点的坐标分别为A（4，1），B（4，5），C （-1，2），求三角形ABC的面积.分析：由A（4，1），B（4，5）两点的横坐标相同，可知边AB与y轴平行，因而AB的长度易求.作AB边上的高CD，则D点的横坐标与A点的横坐标相同，也是4，这样就可求得线段CD的长，进而可求得三角形ABC的面积.解：因为A，B两点的横坐标相同，所以边AB∥y轴，所以AB=5-1=4. 作AB边上的高CD，则D点的横坐标为4，所以CD=4-（-1）=5，所以=.三、三边均不与坐标轴平行例3 如图2,平面直角坐标系中，已知点A（-3，-1），B（1，3），C（2，-3），你能求出三角形ABC的面积吗？分析：由于三边均不平行于坐标轴，所以我们无法直接求边长，也无法求高，因此得另想办法.根据平面直角坐标系的特点，可以将三角形围在一个梯形或长方形中，这个梯形（长方形）的上下底（长）与其中一坐标轴平行，高（宽）与另一坐标轴平行.这样，梯形（长方形）的面积容易求出，再减去围在梯形（长方形）内边缘部分的直角三角形的面积，即可求得原三角形的面积.解：如图，过点A、C分别作平行于y轴的直线，与过点B平行于x轴的直线交于点D、E，则四边形ADEC为梯形.因为A（-3，-1），B（1，3），C（2，-3），所以AD＝4，CE=6，DB=4，BE=1，DE＝5.所以=（AD+CE）×DE-AD ×DB-CE×BE=×（4+6）×5－×4×4－×6×1＝14.。
平面直角坐标系中三角形面积的求法
平面直角坐标系中三角形面积的求法大家好，今天我们来聊聊一个看似复杂但其实挺简单的数学问题：如何在平面直角坐标系中求三角形的面积。
听起来有点儿抽象？没关系，我们一步步来，保证让你觉得简单又有趣。
1. 理解坐标系中的三角形1.1 三角形的基本概念首先，啥是三角形呢？说白了，三角形就是由三条线段围成的形状。
这个形状在平面直角坐标系中，大家都知道坐标系嘛，就是有一条横轴和一条纵轴交汇的那种图。
三角形的三个角，两个角在坐标轴上，一个角在坐标轴的另一边。
1.2 坐标系中的点我们得知道三角形的三个点在坐标系中的位置。
这些点通常是这样的格式：(x_1, y_1)，(x_2, y_2)，(x_3, y_3)。
每个点的坐标就像是它在地图上的位置，告诉你它在“横向”和“纵向”的位置。
2. 计算三角形面积的方法2.1 使用坐标公式那么，如何计算这些点围成的三角形的面积呢？其实有个特别简单的公式，你只需要记住。
假设三角形的三个顶点分别是(x_1, y_1)，(x_2, y_2)，和(x_3, y_3)。
面积的公式是：[ text{面积} = frac{1}{2} left| x_1(y_2 y_3) + x_2(y_3 y_1) + x_3(y_1 y_2) right| ]。
听起来有点绕，其实不难！这个公式就像是一个“秘密武器”，帮助你轻松找到三角形的面积。
2.2 公式的由来这公式的由来其实跟几何学的基础知识有关。
它通过计算三角形的三个顶点之间的距离，间接地得出三角形的实际面积。
想象一下，我们是在一个“棋盘”上，用这个公式去找出“三角形”占据的“格子”的数量。
明白了吧？3. 举个例子3.1 实际计算我们来做个实际的例子吧。
假设你有一个三角形，它的三个顶点坐标分别是(1, 1)，(4, 1)，和(2, 5)。
按照刚才的公式，你可以代入这些数值来计算：[text{面积} = frac{1}{2} left| 1(1 5) + 4(5 1) + 2(1 1) right|。
坐标三角形面积公式
坐标三角形面积公式坐标三角形面积公式是计算平面上任意三个点构成的三角形面积的公式。
在二维坐标系中，我们可以通过给定三个点的坐标，利用面积公式来计算三角形的面积。
在平面直角坐标系中，我们通常用两个坐标轴来表示一个点的位置。
坐标轴分为横轴和纵轴，分别表示x轴和y轴。
给定一个点的坐标，我们可以通过横坐标和纵坐标来确定点的位置。
假设我们有三个点A(x1, y1)、B(x2, y2)和C(x3, y3)，我们可以通过这三个点来构成一个三角形ABC。
为了计算三角形的面积，我们可以使用坐标三角形面积公式。
坐标三角形面积公式如下：S = 1/2 * |(x1(y2-y3) + x2(y3-y1) + x3(y1-y2))|其中，S表示三角形的面积，x1、y1、x2、y2、x3和y3分别表示三个点的坐标。
通过这个公式，我们可以很方便地计算出三角形的面积。
首先，我们需要计算出每个点的坐标，然后将这些坐标代入公式中进行计算。
举个例子来说明。
假设我们有三个点A(1, 2)、B(3, 4)和C(5, 6)，我们可以将这些坐标代入公式中计算三角形的面积。
我们计算每个点的坐标差值。
对于点A，x2-x3=1-5=-4，y3-y1=6-2=4；对于点B，x3-x1=5-1=4，y1-y2=2-4=-2；对于点C，x1-x2=1-3=-2，y2-y3=4-6=-2。
然后，将这些差值代入公式中进行计算。
公式为S = 1/2 * |(1(-2-(-2)) + 3(-2-4) + 5(4-(-2)))| = 1/2 * |(-4 + 14 + 28)| = 1/2 * |38| = 19。
所以，三个点A(1, 2)、B(3, 4)和C(5, 6)构成的三角形ABC的面积为19平方单位。
通过这个例子，我们可以看到坐标三角形面积公式的计算过程。
首先，我们需要计算出每个点的坐标差值，然后将这些差值代入公式中进行计算。
最后，我们得出了三角形的面积。
平面直角坐标系三角形面积万能公式
平面直角坐标系三角形面积万能公式在平面直角坐标系中，我们常常会遇到三角形这个家伙。
说实话，三角形就像个小明星，形状简单，却又能带来不少麻烦。
你知道吗？三角形的面积其实可以通过一个万能公式轻松搞定，那就是“面积等于底乘以高再除以二”。
简单吧？但是，咱们今天要聊的可不仅仅是公式本身，更是如何在实际生活中用好它。
想象一下，你和朋友在公园里画一个三角形，底边就是你们在草地上放的毯子，高度嘛，就是你们之间的距离。
想一想，这样一来，草地的面积就显现出来了，简直像打开了新世界的大门。
当你开始深入探讨这个公式时，哇，真是惊喜不断。
公式简单易懂，但实际运用却能让你刮目相看。
比如说，想象你在家里画画，画了个三角形的房子，底边是五米，高度是三米。
根据公式，面积就是五乘三再除以二，也就是七点五平方米。
嘿，这时候你可能会想，“这面积还不够我放一个沙发。
”没问题，咱们再想办法调整一下底和高。
人生就像调配三角形面积，灵活应对，总能找到满意的方案。
生活中，我们常常会遇到各种三角形的情况。
比如说，你在搭建一个花坛，想设计成一个三角形，这个时候就得考虑面积了。
用万能公式一算，哇，心中有数，做事也就心里有底。
这个时候，底和高就成了你设计的基石。
你可以随意发挥，改变底边的长度，调整高度，最终得到的面积总是让人满意的。
像是做饭，想做什么菜，得先知道材料够不够。
就这样，生活中的每一件事，都可以用这个简单的公式来解决，绝对是一剂良方。
碰到不规则的三角形也别慌。
可以把它拆分成几个规则的三角形，再分别计算它们的面积，最后加起来就是你想要的结果。
这就像解谜，分步进行，最后拼凑出完美的答案。
就像生活中遇到的困难，有时需要把问题拆解开，逐个击破，才能找到解决之道。
记得有次朋友说他家的阳台要改造，形状不规则，他一开始愁眉苦脸，后来我给他讲了拆分的方法，结果他兴奋得像小孩子一样，感觉找到了新大陆。
在学校里，老师也常常用这个公式来教学生。
三角形的面积是个基础知识，打好基础，才能后续学习更复杂的内容。
向量叉积求平面直角坐标系三角形面积
向量叉积求平面直角坐标系三角形面
积
在平面直角坐标系中，可以使用向量叉积来计算三角形的面积。
假设三角形的三个顶点分别是$(x_1,y_1)$、$(x_2,y_2)$、$(x_3,y_3)$，则可以将两个向量$\overrightarrow{AB}$和$\overrightarrow{AC}$表示为：
$\overrightarrow{AB}=(x_2-x_1,y_2-y_1)$，$\overrightarrow{AC}=(x_3-x_1,y_3-y_1)$
然后计算两个向量的叉积：
$\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}=|(x_2-x_1)(y_3-y_1)-(y_2-y_1) (x_3-x_1)|$
这个叉积的结果就是三角形的面积的两倍。
因此，三角形的面积可以表示为：
$S=\dfrac{1}{2}|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}|=\dfrac{1}{2}| (x_2-x_1)(y_3-y_1)-(y_2-y_1)(x_3-x_1)|$
这个公式可以用于计算任意平面上的三角形面积，不仅限于直角坐标系。
需要注意的是，如果三角形的三个顶点共线，那么它的面积为0。
直角坐标系中三角形面积的计算
直角坐标系中三角形面积的计算
直角坐标系中三角形面积的计算方法很简单，只需知道三角形的三个顶点的坐标，就可以通过向量叉积求出面积。
具体步骤如下：
1. 假设三角形的三个顶点分别为A(x1,y1)，B(x2,y2)，C(x3,y3)。
2. 计算向量AB和向量AC的坐标，即AB=(x2-x1,y2-y1)，
AC=(x3-x1,y3-y1)。
3. 求出向量AB和向量AC的叉积，即AB×
AC=(x2-x1)*(y3-y1)-(y2-y1)*(x3-x1)。
4. 取向量AB和向量AC的叉积的绝对值，再除以2，就是三角
形的面积。
公式为：S=|AB×AC|/2。
需要注意的是，如果向量AB和向量AC的叉积为负数，说明三角形是逆时针方向的，此时需要取绝对值。
以上就是直角坐标系中三角形面积的计算方法，简单易懂。
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已知三角形三顶点坐标求三角形面积
已知三角形三顶点坐标求三角形面积三角形是初中数学中最基础的图形之一，它由三条边和三个顶点组成。
在平面直角坐标系中，我们可以通过已知三角形三个顶点的坐标来求解三角形的面积。
我们需要确定三角形的三个顶点的坐标。
假设三角形的三个顶点分别为A(x1, y1)，B(x2, y2)，C(x3, y3)。
接下来，我们可以利用向量的方法来求解三角形的面积。
我们可以将向量AB和向量AC表示为：AB = (x2 - x1, y2 - y1)AC = (x3 - x1, y3 - y1)然后，我们可以通过向量的叉积来求解三角形的面积。
向量的叉积公式为：AB × AC = |AB| × |AC| × sinθ其中，|AB|和|AC|分别表示向量AB和向量AC的模长，θ表示向量AB和向量AC之间的夹角。
由于我们已知向量AB和向量AC的坐标，因此可以通过向量的叉积公式来求解三角形的面积。
具体计算过程如下：AB × AC = (x2 - x1, y2 - y1) × (x3 - x1, y3 - y1)= (x2 - x1) × (y3 - y1) - (y2 - y1) × (x3 - x1)因此，三角形的面积为：S = 1/2 × |AB × AC| = 1/2 × |(x2 - x1) × (y3 - y1) - (y2 - y1) × (x3 - x1)|通过这个公式，我们可以很方便地求解已知三角形三个顶点坐标的面积。
需要注意的是，如果三角形的面积为负数，则表示三个点不在同一条直线上，否则三个点在同一条直线上。
通过向量的叉积公式，我们可以很方便地求解已知三角形三个顶点坐标的面积。
这个方法不仅简单易懂，而且计算精度高，是求解三角形面积的常用方法之一。
如何求平面直角坐标系中三角形的面积
如何求平面直角坐标系中三角形的面积平面直角坐标系中的三角形，根据其位置的不同，我们可以将其分为两大类：第一类，三角形有边在坐标轴上或与一条坐标轴平行；第二类，三角形中没有边在坐标轴上或与一条坐标轴平行。
下面，我们就这两种情况来分析平面直角坐标系中三角形面积求法。
先看第一种情况：①三角形有边在坐标轴上如图，△ABC 三个顶点坐标分别为A(-2,0),B(4,0),C(3,4),求△ABC 的面积。
很明显，可以直接利用三角形面积公式求解：S △ABC =h AB ••21=4621⨯⨯=12②三角形的一边与一条坐标轴平行如图，△ABC 三个顶点坐标分别为A(-1,2),B(-1,-1),C(2,4),求△ABC 的面积。
这种情形，与①相比，只需利用顶点坐标求出底边AB 长及AB 边上的高h 的值，再代入三角形面积公式求解即可：S △ABC =h AB ••21=293321=⨯⨯以上①与②是坐标系中求三角形面积问题的基础。
位置无此特殊性的三角形可转化为该情况后再求解。
再看第二种情况：三角形中没有边在坐标轴上或与一条坐标轴平行。
例1：已知△ABC 三个顶点的坐标分别为：A(1,2)，B(4,6)，C(2,21)，求这个三角形的面积。
分析：如果用三角形面积公式进行求解，知道点的坐标，容易求得线段的长度，底的问题解决了，但底边上的高呢？有点麻烦。
我们不妨试试下面的方法。
分别过点A 、B 、C 作x 轴、y 轴的平行线，则所求三角形的面积S △ABC =S 矩形BDEF -S △ADB -S △AEC -S △BCF =4172112212312143212113=⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯过点C 作y 轴的平行线交AB 边于点M ，将原三角形化作有边与一条坐标轴平行的问题来解决。
易知所求三角形面积S △ABC =S △AMC +S △BMC =)(2121212121h h MC h MC h MC +••=••+••=PQ MC ••21 其中，线段PQ 的长度可由A 、B 两点的横坐标求得，线段MC 的长度需知道点M 与点C 的纵坐标，所以，接下来主要是求得点M 的坐标的问题。
平面直角坐标系中三角形面积的求法(例题及对应练习)
例析平面直角坐标系中面积的求法我们常常会遇到在平面直角坐标系中求三角形面积的问题.解题时我们要注意其中的解题方法和解题技巧.现举例说明如下.一、有一边在坐标轴上例1 如图1，平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为（－3，0），（0，3），（0，－1），你能求出三角形ABC的面积吗？分析：根据三个顶点的坐标特征可以看出，△ABC的边BC在y轴上，由图形可得BC＝4，点A到BC边的距离就是A点到y轴的距离，也就是A点横坐标的绝对值3，然后根据三角形的面积公式求解.解：因为B(0,3),C(0,-1),所以BC=3-（-1）=4.因为A(-3,0),所以A点到y轴的距离，即BC边上的高为3，二、有一边与坐标轴平行例2 如图2，三角形ABC三个顶点的坐标分别为A（4，1），B（4，5），C（-1，2），求三角形ABC的面积.分析：由A（4，1），B（4，5）两点的横坐标相同，可知边AB与y 轴平行，因而AB的长度易求.作AB边上的高CD，则D点的横坐标与A点的横坐标相同，也是4，这样就可求得线段CD的长，进而可求得三角形ABC的面积.解：因为A，B两点的横坐标相同，所以边AB∥y轴，所以AB=5-1=4. 作AB边上的高CD，则D点的横坐标为4，所以CD=4-（-1）=5，所以=.三、三边均不与坐标轴平行例3 如图2,平面直角坐标系中，已知点A（-3，-1），B（1，3），C（2，-3），你能求出三角形ABC的面积吗？分析：由于三边均不平行于坐标轴，所以我们无法直接求边长，也无法求高，因此得另想办法.根据平面直角坐标系的特点，可以将三角形围在一个梯形或长方形中，这个梯形（长方形）的上下底（长）与其中一坐标轴平行，高（宽）与另一坐标轴平行.这样，梯形（长方形）的面积容易求出，再减去围在梯形（长方形）内边缘部分的直角三角形的面积，即可求得原三角形的面积.解：如图，过点A、C分别作平行于y轴的直线，与过点B平行于x 轴的直线交于点D、E，则四边形ADEC为梯形.因为A（-3，-1），B（1，3），C（2，-3），所以AD＝4，CE=6，DB=4，BE=1，DE＝5.所以=（AD+CE）×DE-AD×DB-CE×BE=×（4+6）×5－×4×4－×6×1＝14.平面直角坐标系中的面积问题（提高篇）“割补法”的应用一、已知点的坐标，求图形的面积。
已知三点坐标,求三角形面积
已知三角形三顶点坐标，求三角形面积的表达式
已知直角坐标系3点p(a,b),m(c,d),n(e,f) 求三角形pmn面积的表达式！
解：无论三角形的顶点位置如何，△PMN总可以用一个直角梯形（或矩形）和两个直角三角形面积的和差来表示，而在直角坐标系中，已知直角梯形和直角三角形的顶点的坐标，其面积是比较好求的。
下面以一种情形来说明这个方法，其它情形方法一样，表达式也一样（表达式最好加上绝对值，确保是正值）
如图情形（P在上方，M在左下，N在右下），过P作X轴的平行线L，作MA⊥L，NB⊥L（设P在A、B 之间）
则A、B的坐标是A(c,b)，B(e,b)
所以PA＝a－c,PB＝e－a,AM＝b－d,BN＝b－f,AB＝e－c
所以S△PMN＝S梯形AMNB－S△PAM－S△PBN
＝(b－d＋b－f)(e－c)/2－(b－d)(a－c)/2－(b－f)(e－a)/2
＝(ad＋be＋cf－af－bc－de)/2=
1 1
1 2
1 a b c d e f。
三角形格点面积求法
三角形格点面积求法在平面直角坐标系中，我们可以用格点来表示点的位置。
一个格点就是一个整数坐标点，例如(1,2)、(3,4)等等。
而一个三角形可以由三个不同的格点组成，我们可以通过这些格点来计算三角形的面积。
我们需要知道如何计算两个格点之间的距离。
假设有两个格点A(x1,y1)和B(x2,y2)，它们之间的距离可以用勾股定理来计算：AB = √((x2-x1)² + (y2-y1)²)接下来，我们可以用海龙公式来计算三角形的面积。
假设三角形的三个顶点分别为A(x1,y1)、B(x2,y2)和C(x3,y3)，则三角形的半周长可以用以下公式计算：s = (AB + AC + BC) / 2其中，AB、AC和BC分别为三角形的三条边的长度。
接下来，我们可以用以下公式来计算三角形的面积：S = √(s(s-AB)(s-AC)(s-BC))这个公式被称为海龙公式，它可以用来计算任意三角形的面积，不论是由格点组成的三角形还是由实数坐标点组成的三角形。
举个例子，假设有一个三角形，它的三个顶点分别为A(1,1)、B(3,2)和C(2,4)。
我们可以先计算出三条边的长度：AB = √((3-1)² + (2-1)²) = √5AC = √((2-1)² + (4-1)²) = √10BC = √((3-2)² + (2-4)²) = √5然后，我们可以计算出半周长：s = (AB + AC + BC) / 2 = (√5 + √10 + √5) / 2我们可以用海龙公式来计算三角形的面积：S = √(s(s-AB)(s-AC)(s-BC)) = √(s(s-AB)(s-AC)(s-BC)) = √(5/2 * 3/2 * 1/2 * 3/2) = 3/4因此，这个三角形的面积为3/4平方单位。
总结一下，我们可以用格点来表示三角形的顶点，然后用勾股定理来计算三角形的边长，最后用海龙公式来计算三角形的面积。
三角形面积平面直角坐标系
三角形面积平面直角坐标系好嘞，今天咱们聊聊三角形的面积，顺便在这个平面直角坐标系里游玩一番。
哎呀，说到三角形，谁能不想起那种咱们小时候画的简单图形呢？就是那种三个角，三条边，像个小披萨一样，啧啧，想得我都饿了！不过，这三角形可不只是用来画画的，面积这个概念可真是让人又爱又恨。
先说说三角形的面积怎么算吧，简单得很，就像吃西瓜。
咱们用公式，面积等于底乘以高再除以二。
就这么简单，听起来是不是有点像在唱歌？要是你在坐标系里找三角形，那就更有意思了。
想象一下，你在平面上找到了三个点，咱们给它们起个名字，比如说A、B、C。
它们的坐标分别是A(x1, y1)，B(x2, y2)，C(x3, y3)。
这个时候，你就能用一些简单的数学运算，轻松搞定它的面积。
说到这里，你可能会问，哎，三角形到底有多重要呢？这不就是一些线条和点吗？可别小看它们。
三角形在建筑、工程、设计等各个领域可都是大明星。
要是没有三角形，咱们的房子能不能建得稳当？哈哈，估计得一阵摇摇晃晃。
试想一下，房顶上没有三角形，风一吹，整座楼都可能跟着摇摆，简直就是“东倒西歪”！所以，三角形这玩意儿在生活中无处不在，连你吃的汉堡，都是三角形的故事。
好啦，咱们继续说面积的计算。
说真的，坐标系里的三角形面积计算，可是个有趣的过程。
你得找出这三点的坐标，你就用公式算啦。
具体的公式是这样的：面积等于1/2乘以（x1(y2y3) + x2(y3y1) + x3(y1y2)）。
看着这些数字，有没有觉得自己像个数学家？当然了，别紧张，别怕搞错，偶尔来点“小失误”也是常有的事。
说到这里，我又想起了小时候的趣事。
有一次，老师教我们怎么计算三角形的面积，结果我心急火燎，居然把底和高搞反了。
最后出来的结果简直是让人捧腹大笑，旁边的小伙伴们都笑得前仰后合。
哎，虽然那时候有点丢脸，但现在想想，真的很可爱呀。
这种搞笑的事，正是生活的调味品。
三角形的美不止于此。
你想想，正三角形、直角三角形、等腰三角形，各有各的魅力。
例析平面直角坐标系中三角形面积的求法
例析平面直角坐标系中面积的求法我们常常会遇到在平面直角坐标系中求三角形面积的问题.解题时我们要注意其中的解题方法和解题技巧.现举例说明如下.一、有一边在坐标轴上例1 如图1，平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为（－3，0），（0，3），（0，－1），你能求出三角形ABC的面积吗？分析：根据三个顶点的坐标特征可以看出，△ABC的边BC在y轴上，由图形可得BC＝4，点A到BC边的距离就是A点到y轴的距离，也就是A点横坐标的绝对值3，然后根据三角形的面积公式求解.解：因为B(0,3),C(0,-1),所以BC=3-（-1）=4.因为A(-3,0),所以A点到y轴的距离，即BC边上的高为3，二、有一边与坐标轴平行例2 如图2，三角形ABC三个顶点的坐标分别为A（4，1），B（4，5），C（-1，2），求三角形ABC的面积.分析：由A（4，1），B（4，5）两点的横坐标相同，可知边AB与y轴平行，因而AB 的长度易求.作AB边上的高CD，则D点的横坐标与A点的横坐标相同，也是4，这样就可求得线段CD的长，进而可求得三角形ABC的面积.解：因为A，B两点的横坐标相同，所以边AB∥y轴，所以AB=5-1=4. 作AB边上的高CD，则D点的横坐标为4，所以CD=4-（-1）=5，所以=.三、三边均不与坐标轴平行例3 如图2,平面直角坐标系中，已知点A（-3，-1），B（1，3），C（2，-3），你能求出三角形ABC的面积吗？分析：由于三边均不平行于坐标轴，所以我们无法直接求边长，也无法求高，因此得另想办法.根据平面直角坐标系的特点，可以将三角形围在一个梯形或长方形中，这个梯形（长方形）的上下底（长）与其中一坐标轴平行，高（宽）与另一坐标轴平行.这样，梯形（长方形）的面积容易求出，再减去围在梯形（长方形）内边缘部分的直角三角形的面积，即可求得原三角形的面积.解：如图，过点A、C分别作平行于y轴的直线，与过点B平行于x轴的直线交于点D、E，则四边形ADEC为梯形.因为A（-3，-1），B（1，3），C（2，-3），所以AD＝4，CE=6，DB=4，BE=1，DE＝5.所以=（AD+CE）×DE-AD×DB-CE×BE=×（4+6）×5－×4×4－×6×1＝14.平面直角坐标系中的面积问题（提高篇）“割补法”的应用一、已知点的坐标，求图形的面积。
求解三角形面积最值问题的三种方法
知识导航三角形面积的最值问题在高考数学试题中屡屡出现.此类问题综合性较强，不仅考查了解三角形的知识、三角函数知识，还考查了求最值的方法.很多同学在遇到此类问题时，不知如何下手.下面介绍三种求解三角形面积最值问题的方法.一、坐标法坐标法是指建立直角坐标系，给各个点赋予坐标，通过坐标运算解答问题的方法.运用坐标法解题的关键是结合题意和图形建立合适的直角坐标系.在运用坐标法解题时，常需要用坐标表示三角形的顶点，利用两点之间的距离公式以及点到直线的距离公式求得三角形的边长和高，进而求得三角形面积的最值.例1.满足条件AB =2，AC =2BC 的△ABC 面积的最大值是_____.解：以AB 为x 轴，线段AB 的中垂线为y 轴建立直角坐标系，则A ()-1,0,B ()1,0,设点C ()x ,y ，由AC=2BC ，可得()x +12+y 2=2×()x -12+y 2，化简得()x -32+y 2=8(y ≠0)，即点C 的轨迹是以()3,0为圆心，以22为半径的圆，因此当点C 位于最高点时，△ABC 面积有最大值，此时点C 到AB 的距离为22，而AB =2，由三角形的面积公式可得△ABC 面积的最大值为22.这里通过建立直角坐标系，将问题转化为动点到定直线的最大距离问题，确定C 点的位置，便可求得三角形面积的最大值.二、导数法导数法是求最值问题的常用方法.在求三角形面积的最值时，我们可以先根据题意求出三角形面积的表达式，然后构造函数，将问题转化为求函数的最值问题来求解.例2.在△ABC 中，已知7a 2+b 2+c 2=43，且∠B =∠C ,则△ABC 面积的最大值为_____.解：由∠B =∠C 得b =c ，即7a 2+b 2+c 2=7a 2+2b 2=43，由余弦定理得cos A =2b 2-a22b 2，即b 2，则S △ABC =12bc sin A =12b 2，令S =，则S '=8-7cos A ，令S'=0，可得cos A 0=78.当A∈()0,A 0'＞0；当A ∈()A 0，π，S '＜0；所以当sin A =时，S 最大，S △ABC 最大值为.这里首先利用余弦定理将边化角，用三角函数解析式表示三角形的面积，根据问题的条件从边长或角度中选取一个作为函数的变量，通过求导讨论函数的单调性和最值，便能求出三角形面积的最值.在求解过程中，还应该注意变量的取值范围.三、基本不等式法所谓基本不等式法，是指利用基本不等式及其变形式求得三角形面积的最值的方法.采用该方法解题，通常需从三角形的边长入手，建立面积和三边边长之间的关系式，然后运用基本不等式法来求得三角形面积的最值.例3.已知△ABC 三边分别是a 、b 、c ，a 2+b 2+2c 2=8，则△ABC 面积的最大值为_____.解：由余弦定理c 2=a 2+b 2-2ab cos C 可得a 2+b 2+2()a 2+b 2-2ab cos C =8，∴cos C =3()a 2+b 2-84ab，∵S =12ab sin C ,∴sin C =2S ab ，∵sin 2C +cos 2C =1，∴æèöø2S ab 2+éëêêùûúú3()a 2+b 2-84ab 2=1，化简得64S 2=16a 2b 2-[]3()a 2+b 2-82，∴64S 2≤[]2()a 2+b 22-[]3()a 2+b 2-82∴S 2≤45，即S ≤(当a =b =c =时等号成立)，即S △ABC 最大值为.解答本题，首先需运用余弦定理和三角形的面积公式求得△ABC 的面积表达式，然后利用基本不等式ab ≤æèöøa +b 22求得三角形面积的最值.上述三种方法有其各自的优势和特点.坐标法常用于解答与动点有关的三角形面积问题；导数法适用于解答三角形面积表达式较为复杂的问题；基本不等式法适用于解答三角形面积表达式能配凑为两式之和或积的问题.（作者单位：山东省滨州市邹平市魏桥中学）乔丹=15[]40-5()a 2+b 2∙]5)a 2+b 2-8≤15æèöø40-822=1625,36。
【初一方法归纳专题】平面直角坐标系中图形面积的求法
1.面积公式：（1）三角形的面积：S三角形＝1/2×底×高（2）梯形的面积：S梯形＝1/2×（上底+下底）×高2.两点间的距离：（1）当两点横坐标相同时，两点间的距离为这两点纵坐标差的绝对值（2）当两点纵坐标相同时，两点间的距离为这两点横坐标差的绝对值基础篇——三角形面积的求法题型1 三角形有一边在坐标轴上【例1】如图，平面直角坐标系中，已知三角形ABC的三个顶点的坐标分别是A（2，3），B（-4，0），C（4，0），求三角形ABC的面积.温馨提示：【思路及解答】请观看视频【方法归纳】当三角边有一边在坐标轴上时，将此边作为底边，那么高便垂直于坐标轴，底和高就能通过两点间的距离很快求出.题型2 三角形有一边与坐标轴平行【例2】如图，平面直角坐标系中，已知三角形ABC的三个顶点的坐标分别是A（-1，-4），B（2，0），C（-4，-4），求三角形ABC 的面积.温馨提示：【思路及解答】请观看视频【方法归纳】当三角边有一边与坐标轴平行时，将此边作为底边，那么高便垂直于坐标轴，底和高就能通过两点间的距离很快求出.根据图形特殊，我们通常把平行于坐标轴的一边作为底边.题型3 三角形三边均不与坐标轴平行【例3】在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的单位长度均为1，三角形ABC的三个顶点恰好是正方形网格的格点.（1）写出图中所示各顶点的坐标；（2）求三角形ABC的面积.温馨提示：【思路及解答】请观看视频【方法归纳】当三角边的三边均不与坐标轴平行时：（1）将原三角形围在一个梯形或长方形中，用长方形或梯形的面积，减去长方形或梯形边缘的直角三角形的面积，即可求得原三角形的面积，这种方法叫做补形法；（2）若三角形内一割线长度已知，并且它平行于坐标轴，那么可将其作为底边，把原三角形拆分为两个三角形，则两高的长度可得，面积即可求得，这种方法叫做分割法.以上两种方法就是数学几何图形运算中常用的割补法.例题讲授视频三角形面积的求法同学们，例题看明白了吗？方法掌握了吧！快来试试下面的变式训练吧！变式训练【变式训练1】如图，在平面直角坐标系中，三角形ABC的顶点坐标分别为A(－3，0)，B(0，3)，C(0，－1)，则三角形ABC的面积为．。
平面直角坐标系中三角形面积的求法(例题及对应练习)
.；.例析平面直角坐标系中面积的求法我们常常会遇到在平面直角坐标系中求三角形面积的问题.解题时我们要注意其中的解题方法和解题技巧.现举例说明如下.一、有一边在坐标轴上例1 如图1，平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为（－3，0），（0，3），（0，－1），你能求出三角形ABC的面积吗？分析：根据三个顶点的坐标特征可以看出，△ABC的边BC在y轴上，由图形可得BC＝4，点A到BC边的距离就是A点到y轴的距离，也就是A点横坐标的绝对值3，然后根据三角形的面积公式求解.解：因为B(0,3),C(0,-1),所以BC=3-（-1）=4.因为A(-3,0),所以A点到y轴的距离，即BC边上的高为3，二、有一边与坐标轴平行例2 如图2，三角形ABC三个顶点的坐标分别为A（4，1），B（4，5），C（-1，2），求三角形ABC的面积.分析：由A（4，1），B（4，5）两点的横坐标相同，可知边AB与y 轴平行，因而AB的长度易求.作AB边上的高CD，则D点的横坐标与A点的横坐标相同，也是4，这样就可求得线段CD的长，进而可求得三角形ABC的面积.解：因为A，B两点的横坐标相同，所以边AB∥y轴，所以AB=5-1=4. 作AB边上的高CD，则D点的横坐标为4，所以CD=4-（-1）=5，所以=.三、三边均不与坐标轴平行例3 如图2,平面直角坐标系中，已知点A（-3，-1），B（1，3），C（2，-3），你能求出三角形ABC的面积吗？分析：由于三边均不平行于坐标轴，所以我们无法直接求边长，也无法求高，因此得另想办法.根据平面直角坐标系的特点，可以将三角形围在一个梯形或长方形中，这个梯形（长方形）的上下底（长）与其中一坐标轴平行，高（宽）与另一坐标轴平行.这样，梯形（长方形）的面积容易求出，再减去围在梯形（长方形）内边缘部分的直角三角形的面积，即可求得原三角形的面积.解：如图，过点A、C分别作平行于y轴的直线，与过点B平行于x 轴的直线交于点D、E，则四边形ADEC为梯形.因为A（-3，-1），B（1，3），C（2，-3），所以AD＝4，CE=6，DB=4，BE=1，DE＝5.所以=（AD+CE）×DE-AD×DB-CE×BE=×（4+6）×5－×4×4－×6×1＝14.平面直角坐标系中的面积问题（提高篇）“割补法”的应用一、已知点的坐标，求图形的面积。
平面直角坐标系三角形面积
平面直角坐标系三角形面积好嘞，今天咱们聊聊平面直角坐标系里的三角形面积。
说到三角形，嘿，大家都知道，它可不是个普通的形状。
三角形可是几何界的“小明星”，有时候它就像是那种即使不想出门也得被朋友拉着去派对的角色，光芒四射，让人无可抵挡。
想象一下，咱们在一个平面直角坐标系里，X轴和Y轴就像两位老朋友，默默无闻地相互扶持。
而这个三角形，它就是这场聚会里最耀眼的那位，闪闪发光，让人忍不住想要多看几眼。
你知道吗？三角形的面积其实很简单。
只要记住一个小公式，就可以让你在数学课上赢得不少喝彩。
面积等于底乘以高再除以二。
就像你在准备美味的蛋糕，底部的面饼加上浓郁的奶油，最后还得分给朋友们一份，才算完美。
不知道有没有听过“水到渠成”？这就是这个公式的真谛，底和高就像水流，一旦流淌到位，面积自然而然就来了。
想象一下，咱们的三角形顶点分别在坐标点A、B和C。
比如A（1，2），B（4，5），C（1，5）。
这可不是随便找的点，得有点讲究。
用公式计算的时候，你首先得找出底和高。
底边在X轴上，咱们简单算一下，A和C之间的距离。
记得小学学过吗？这可是绝对的小菜一碟，A的X坐标是1，C的X坐标也是1，那高度就是C的Y坐标减去A的Y坐标，结果是3。
高是5减2，这下是不是简单多了？再说说三角形的高，得从顶点B垂直掉到X轴上。
这个时候，咱们的高度可得认真对待。
B的Y坐标是5，A的Y坐标是2，B和A之间的高度就是5减去2，得出3。
别小看这一步，往往就是这些细节决定成败。
哈哈，真是应了那句“细节决定成败”啊。
咱们把底3和高3带入公式里，哇哦，结果就是4.5！简简单单，没什么难的吧。
这就是三角形的魅力，简单又富有变化。
无论在课堂上还是生活中，三角形都扮演着重要的角色。
比如建筑设计，很多房屋的结构都是基于三角形的，坚固又实用。
试想一下，那些高高的山峰，三角形的形状恰好代表了稳定与力量，给人一种仰望的感觉。
不仅如此，三角形的面积也可以用来解决很多实际问题。
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面积问题
直角坐标系中求三角形面积的方法：
1．如图：已知直线AB:y=-2x+6与x轴、y轴相较于A点、B点；
(1)求△AOB的面积；
(2)已知D点的横坐标为1、D点的纵坐标为为1，求△COD的面积；
(3)已知直线l:y=x-2与AB相交于点E,与y轴交于点F,求两直线与y轴围成的面积；
2．如图在平面直角坐标系xOy中，函数y= （x＞0）的图象与一次函数y=kx﹣k的图象的交点为A（m，2）．
（1）求一次函数的解析式；
（2）设一次函数y=kx﹣k的图象与y轴交于点B，
若点P是x轴上一点，且满足△PAB的面积是4，
直接写出P点的坐标．
3.如图，已知抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣3，0），B（1，0），C（0，3）三点，其顶点为D，对称轴是直线l，l与x轴交于点H．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若点P是该抛物线对称轴l上的一个动点，求△PBC周长的最小值；
（3）如图（2），若E是线段AD上的一个动点（E与A、D不重合），过E点作平行于y 轴的直线交抛物线于点F，交x轴于点G，设点E的横坐标为m，△ADF的面积为S．
①求S与m的函数关系式；
②S是否存在最大值？若存在，求出最大值及此时点E的坐标；若不存在，请说明理由．
4.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=3cm．动点M，N从点C同时出发，均以每秒1cm的速度分别沿CA、CB向终点A，B移动，同时动点P从点B出发，以每秒2cm 的速度沿BA向终点A移动，连接PM，PN，设移动时间为t（单位：秒，0＜t＜2.5）．（1）当t为何值时，以A，P，M为顶点的三角形与△ABC相似？
（2）是否存在某一时刻t，使四边形APNC的面积S有最小值？若存在，求S的最小值；若不存在，请说明理由．。