2021年中考数学阅读材料题专题(二)

2021年中考数学阅读材料题专题（二）
1．阅读材料：
对于一个三位自然数m ，将各个数位上的数字分别3倍后取个位数字，得到三个新的数字x ，y ，z ，我们对自然数m 规定一个运算：F （m ）＝x 2+y 2+z 2．例如：m ＝752，其各个数位上的数字分别3倍后再取个位数字分别是：1、5、6，则F （752）＝12+52+62＝62．
（1）根据材料内容，求F （234）﹣F （567）的值；
（2）已知两个三位数p ＝3a a ，q ＝33b （a ，b 为整数，且2≤a ≤7，2≤b ≤7），若p +q 能被17整除，求F （p +q ）的值．
2．若一个三位数m ＝xyz （其中x ，y ，z 不全相等且都不为0），现将各数位上的数字进行重排，将重排后得到的最大数与最小数之差称为原数的差数，记作M （m ）．例如435，重排后得到345，354，453，534，543，所以435的差数M （435）＝543﹣345＝198．
（1）若一个三位数t ＝2x y （其中x ＞y ＞2）的差数M （t ）＝594，且各数位上的数字之和能被5整除，求t 的值；
（2）若一个三位数m ，十位数字为2，个位数字比百位数字大2，且m 被4除余1，求所有符合条件的M （m ）的最小值．
3．若一个五位正整数满足：①各个数位上的数字都不为0，②它的万位数字、千位数字、十位数字、个位数字的和等于百位数字，我们称这样的五位正整数为“顶尖数”．
例如：31822，因为3+1+2+2＝8，所以31822是一个“顶尖数”．
（1）最小的“顶尖数”是 ，最大的“顶尖数”是 ；
（2）写出所有百位数字是6且个位数字是1的“顶尖数”．
4．对于任意一个自然数n，如果n的各个数位上的数字之和是一个整数的平方，那么称n为“方数”，例如，自然数32587各位数字之和是3+2+5+8+7＝25＝52，所以32587就是一个“方数”；对于任意一个自然数m，如果m是一个整数的立方，那么称m为“立方数”，例如，8＝23，所以8是一个立方数．
（1）判断9999是不是方数？729是不是立方数？
（2）若一个两位数各位数字之和是一个“立方数”，并且各位数字相差4，请求出这个两位数；
（3）若自然数n既是“方数”又是“立方数”，则称n为完美数，请直接写出小于1000的自然数中的所有完美数．
5．阅读下列材料，解答下列问题
材料一：一个三位以上的自然数，如果该自然数的末三位表示的数与末三位之前的数字表示的数之差是11的倍数，我们称满足此特征的数叫“网红数”，如：65362，362﹣65＝297＝11×27，称65362是“网红数”．
材料二：对任的自然数p均可分解为P＝100x+10y+z（x≥0，0≤y≤9，0≤z≤9且x、y，z均为整
数）如：5278＝52×100+10×7+8，规定：G（P）＝
2(1)1
x x z x
x z
+-++
-
．
（1）求证：任两个“网红数”之和一定能被11整除；
（2）已知：S＝300+10b+a，t＝1000b+100a+1142（1≤a≤7，0≤b≤5，其a、b均为整数），当s+t 为“网红数”时，求G（t）的最大值．
6. 定义：如果一个三位数，它的各个数位上的数字都不为0，且满足百位上的数字与各位上的数字的平均数等于十位上的数字，则称这个三位数为开合数，设A 为一个开合数，将A 的百位数字和个位数交换位置后得到新数再与A 相加的和为()A φ，例如852是开合数，则(852)=852+258=1110φ.
（1）已知开合数10310m x =+（09x <≤，且为x 整数），求()m φ的值;
（2） 三位数A 是一个整数，请求满足条件的所有A
值.
7（10 分）根据阅读材料，解决问题．
材料 1：若一个正整数，从左到右各位数上的数字与从右到左各位数上的数字对应相同，则称为
“对称数”．（例如：1、232、4554 是对称数）
材料 2：对于一个三位自然数 A ，将它各个数位上的数字分别 2 倍后取个位数字，得到三个新
的数字 x ， y ， z ，我们对自然数 A 规定一个运算； K ( A ) = x 2 + y 2 + z 2 ，
例如：A = 191是一个三位的“对称数”，其各个数位上的数字分别 2 倍后取个位数字分别是：2、
8、2．则 K (191) = 22 + 82 + 22 = 72 ． 请
解答：
（1）请你直接写出最大的两位对称数： ，最小的三位对称数： ；
（2）如果将所有对称数按照从小到大的顺序排列，请直接写出第 1100 个对称数
； （3）一个四位的“对称数” B ，若 K (B ) = 8 ，请求出 B 的所有值．
8.若一个三位数m xyz =（期中x,y,z 不全相等且都不为0），现将各个数位上的数字进行重排，将重排后得到的最大数与最小数之差称为原数的差数，记作()M m .例如537，重排后得到357,375,753,735,573，所以537的差数(537)=753-357=396M .
（1）若一个三位数t abc =（其中b a c >>，且0abc ≠），求证:()M t 能被99整除;
（2）若一个三位数m ，十位数字为2，个位数字比百位数字大2，且m 被4除余1，求所有符合条件的()M m 的最小值.
9.一个三位正数m ，其各位数字均不为零且互不相等，若将M 的十位数字与百位数字交换位置，得到一个新的三位数。

我们称这个三位数为M 的“友谊数”，如：168的“友谊数”为“618”；若从M 的百位数字、十位数字、个位数字中任选两个组成一个新的两位数，并将得到的所有两位数求和，我们称这个和为M 的“团结数”，如123的“团结数”为12+13+21+23+31+32=132.
（1）求证：M 与其友谊数的差能被15整除；
（2）若一个三位正整数N ，其百位数字为2，十位数字为a ，个位数字为b ，且各位数字互不相等（0,0a b ≠≠）,若N 的“团结数”与N 之差为24，求N 的值.
10.（重庆八中2021级第二次定时练习）若正整数p 是4的倍数，那么规定正整数p 为“四季数”，例如：64是4的倍数，所以64是“四季数”.
（1）已知正整数p 是任意两个连续偶数的平方差，求证：p 是“四季数”；
（2）已知一个两位数10k x y =+（19x y ≤<≤，其中x y ，为自然数），将其个位上的数与十位上的数交换，得到新数m ，若m 与k 的差是“四季数”，请求出所有符合条件的两位正整数k 。

11．（重庆西师附中2021级入学测试）对于一个三位自然数，如果首尾两项和等于中间项的 2 倍，则称其为等差数．如：123，1 + 3 = 2 ⨯ 2 ，
则 123 为等差数；125，1 + 5 ≠ 2 ⨯ 2 ，则 125 不是等差数．
（1）试判断 246，777 是否为等差数；
（2）求能被 15 整除的所有三位等差数的个数，并说明理由．
（
重
庆南开2021级入学
测
试
）
（10 分）我们知道，有顺序的两个数 x 和 y 组成的数对叫做有序数对，记作( x , y ) ，常用在平面直角坐标系中．定义：如果 x ， y 都为整数，那么有序数对( x , y ) 叫做有序整数对，如果 x ， y
都为正整数，那么有序数对( x , y ) 叫做有序正整数．比如满足 y = 2 的有序整数对有四个：(1, 2) ， x (2,1) ， (-1,- 2)， (-2,-1) ，其中(1, 2) ， (2,1) ，是有序正整数对．请根据上述材料完成下列问题： （1）满足 y = 15 -1的有序整数对有
x （2）求所有满足2133x y x +=-的有序数对
个，其中有序正整数对有 个；
13.（重庆巴蜀2021级入学测试）在平面直角坐标系中，我么不妨把横坐标和纵坐标相等的点叫“相等点”，例如点（1,1），（0.5,0.5），（-2，-2），都是“相等点”，显然“相等点”有无数个.
（1）若点P （3，m ）是反比例函数n y x =
（n 为常数，n ≠0）的图像上的“相等点”，求这个反比例函数的解析式.
（2）一次函数1y kx =-（k 为常数，k ≠0）的图像上存在“相等点”吗？多存在，请用含有k 的式子表示出“相等点”的坐标，若不存在，请说明理由;。