函数可积准则
高等数学定积分可积条件
[ xk 1 , xk ] 上无界. 令
G
ik
f ( i )Δ xi ,
故必存在 k xk 1 , xk , 满足
M G f ( k ) . xk
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于是
i 1
f ( i )Δ xi
ik
f ( k )Δ xk
f ( i )Δ xi
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又任取 i [ xi 1 , xi ]\ Q, i 1, 2,
, n, 则
D(i )Δxi 0.
i 1
n
于是
n
D( i )Δxi D(i )Δxi
i 1 i 1 n i 1
n
n
1, 而这与
D( i )Δxi D(i )Δxi
S (T ) s(T ) ( M i mi )Δxi i Δxi .
i 1 i 1
n
n
此定理将在本章第六节定理 9.15 中证明. 在用它 证明可积性问题时,有多种方法可使
i x i . i 1
n
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常见的有三种方法,下面分别作出介绍. 第一种方法: 每个 i
M G Δ xk G M , xk
矛盾. 以下例子告诉我们, 有界性并不是可积的充分条件.
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例 1 试用反证法证明:狄利克雷函数 D( x ) 在任何
区间 [a , b] 上不可积.
证 若 D(x) 在 [a, b] 上可积 , 则 J R, 0,
i 1
1 1 D( i )Δxi J D(i )Δxi J 1 2 2 i 1 i 1
fx可积的条件
fx可积的条件摘要：一、fx可积的定义与意义二、fx可积的条件1.连续性2.单调性3.周期性4.无穷可微性三、fx可积的判定方法1.牛顿-莱布尼茨公式2.积分换元法3.积分分部法4.三角函数积分法四、fx可积的应用领域1.数学分析2.工程数学3.概率论与数理统计4.微分方程正文：fx可积是数学中一个重要的概念，它表示在某个区间[a, b]上，函数f(x)的有界性以及该区间长度有限，使得对f(x)在该区间上的任意一点进行无穷小增量，其累加和收敛。
为了更好地理解和应用fx可积，下面我们来探讨fx可积的条件、判定方法及其应用领域。
一、fx可积的定义与意义fx可积是指在区间[a, b]上，函数f(x)满足以下条件：1.f(x)在[a, b]上连续，即任意两点间的极限存在且有限。
2.f(x)在[a, b]上单调，即函数值随着自变量的增加而增加或减少。
3.f(x)在[a, b]上周期性，即存在正数T，使得f(x+T) = f(x)。
4.f(x)在[a, b]上无穷可微，即函数的导数在区间内任意一点都存在且有限。
二、fx可积的条件1.连续性：f(x)在[a, b]上连续是fx可积的必要条件。
如果f(x)在[a, b]上不连续，那么它在该区间上就不能保证无穷小增量累加和的收敛性。
2.单调性：f(x)在[a, b]上单调有助于判断fx可积。
如果f(x)在[a, b]上单调增加（或减少），那么根据积分基本定理，fx可积。
3.周期性：f(x)在[a, b]上具有周期性，有助于简化积分的计算。
例如，当f(x) = |sin x|时，由于sin(x + 2π) = sin x，我们可以将区间[0, 2π]划分为无穷多个周期，从而简化积分计算。
4.无穷可微性：f(x)在[a, b]上无穷可微是fx可积的充分条件。
如果f(x)在[a, b]上无穷可微，那么根据牛顿-莱布尼茨公式，fx可积。
三、fx可积的判定方法1.牛顿-莱布尼茨公式：如果f(x)在[a, b]上连续、可导，且F(x)是f(x)在[a,b]上的原函数，那么f(x)在[a, b]上fx可积，且积分值为F(b) - F(a)。
可积准则(一)
lim s(T ) I ,
由于 i [ xi 1 , xi ], s (T )
f ( )x
i 1 i
n
i
s(T )
0 , 0 , T : l (T ) , i ,
有
I s(T ) f (i )xi s(T ) I .
s(T ) s(T ).
同理可证s(T ) s(T ) 。
高州师范学院
§8.2 可积准则
T 性质4和。
即 s(T ) s(T ), s(T ) s(T ).
T 了 证： 将[a, b]的两个分法 和T 的分点放在一起，构成 [a, b]的一个
n
证： mi inf{ f ( x) | x [ xi 1, xi ]},
由定义，
0, i [ xi 1 , xi ],有 mi f (i ) mi
n n n
mi xi f (i )xi mi xi xi
mi xi f (i )xi mi xi xi
性质6、（达布定理）
l (T ) 0
lim s(T ) L,
l (T ) 0
lim s(T ) l.
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§8.2 可积准则
二、可积准则
定理1 ( 可积准则 ) 函数 f (x) 在 [a, b] 可积 在 [a, b] 的上下积分相等，即 L l .
设 证 (必要性)“” f 在 [a , b] 上可积, 设
§8.2 可积准则
一、大和与小和 （达布上和与达布下和）
设f x 在 a , b 有界，在 a , b 插入分点 a x0 x1 xn1 xn b
函数可积的充要条件
函数可积的充要条件
函数可积，也称可积函数，是指表达式中存在两个变量u和v，函数f(u,v)满足以下充要条件中任何一个即可：
1、函数f(u,v)在定义域上偏导数(dx/du, dy/dv)都存在及连续；
2、某偏微分方程存在当然的解；
3、当 u 和 v 的变化量都很小时，函数f(u,v)的值等于它的偏导数乘以各自的变化量；
4、函数f(u,v)满足交换律f(u,v) = f(v,u)。
可积函数在实际应用中非常重要，它是解决光滑面积问题的基础，因此非常重要。
可积函数在计算数学、物理学、工程学等多个领域都得到应用。
例如，假设某一蓝图上有两个坐标轴给出的区域，从中可以得到这个区域的总面积，这就是可积函数的应用。
此外，可积函数也可以用来计算物理定律中一些复杂的数学关系，如电容、磁感应等。
总之，可积函数对许多科学领域起着重要的作用，其充要条件是函数f(u,v)在定义域上偏导数(dx/du, dy/dv)都存在及连续；某偏微分方程存在当然的解；当 u 和 v 的变化量都很小时，函数f(u,v)的值等于它的偏导数乘以各自的变化量；函数f(u,v)满足交换律f(u,v) = f(v,u)。
因此，对可积函数的理解和研究对深入了解物理定律、解决问题以及用数学表达的问题都至关重要。
可积准则
从而积分和具有复杂性，因此讨论积分和的极限是 极其困难的.为此，我们需要简化积分和，用分法T的 “最大”与“最小”的两个积分和去逼近一般的积分 和,即用极限的两边夹定理考察积分和有极限.首先给 出对掌握积分和变化非常有用的大和与小和的概念， 并讨论其性质。于是，讨论复杂的积分和的极限问题， 就归结为讨论比较简单的小和与大和的极限问题.
显然，对于[a,b]的同一分法T的小和与大和，总有不等式
s(T ) S(T )
因为，分法T确定后，相应区间上的上下确界也确定,且
m M
k
k
s(T ) S(T ) n
m x
k
k
k 1
n
M x
k
k
k 1
达布简介
达布（1842～1917） Darboux，Jean-Gaston 法国数学家。
小和、大和，积分和，区别
n
n
n
s(T ) mkxk S(T )
M k xk
(T , )
i 1
f ( )x
i
i
k 1
k 1
与积分和相比，达布和只与分割 T 有关，而与点
i 的取法无关.
这是因为当分法 T 给定后， 函数 f(x)在每个小区间的下确界和上确界是唯一 的，从而小和与大和也就随分法 T 确定. 这是小和，大和与积分和的主要区别.
n
n
n
a b c 且lim a limc l
n
n
n
n
n
n
n
则limb l
n
n
定理7 (函数的两边夹定理)P107
若x
0
U
(a), 有f
(x)
g(x)
一可积的必要条件
1RxdxlimS0
0
0
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16
结束语
若有不当之处，请指正，谢谢！
a
f(x)dx
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其中： Mi sup{f(x):xi1xxi} mi inf{f(x):xi1xxi} 8
Riemann可积的第二充要条
件
其中：
Mi sup{f (x): xi1 x xi} mi inf{f (x): xi1 x xi}
i Mi mi
f(x)在[ax,i-b1 ]x上i Riemann可积
n
0,分 割 T ， 使 得 i xi i1
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Riemann可积的第三充要条件
n
ixi ixi ixi
i1
i
i
([a,b],f)xixi
xi-1 xi
i
i
注：连续函数、只
有有限个间断点的
( a , b [ ]f) , ( b a ) 有界函数和闭区间
其 中 ( [ a ,b ] ,f) 为 f在 [ a ,b ] 上 的 振 幅 上的单调函数
f(x)在[a,b]上Riemann可积
Riemann可积
， 0,分T 划 ，使得所 i有 振幅
的小 区 i的间 总长度 不超过
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三、可积函数类
1 . a , b 上 的 连 续 函 数 在 a , b 上 可 积 . 证 明 :设 fx 在 a ,b 上 连 续 ， fx 在 a ,b 上 一 致 连 续 ，
所 以 对 任 意 的 0 ， 0 , 使 对 于
a,b上 任 意 两 点 x',x'',只 要 x'x''， 就 有 fx'fx''
可积准则1
0
T
T
二、可积准则(可积的充要条件)
• 根据定积分的定义，函数f(x)在区间[a,b]是否可
积，就在于积分和 有限极限
n
i 1
f
( )x (
i
i
0)
是否存在
• 根据大小和性质，对于[a,b]的任意分法T，总有
s(T )
n
f (k )xk
S(T )
k 1
• 于是，讨论复杂的积分和的极限问题就归结为讨
即I 0 I ，设I I 0 I ,从而有
0
0
s(T ) I S(T ) (2)
又已知 s(T )
n
f (k )xk
S(T )
(3)
k 1
n
|
f
( )x
i
i
I
|
S (T
)
s(T
)
即f (x)在[a,b]可积
i 1
Riemann可积的充要条件
xi-1 xi
xi-1 xi
f(x)在[a,b]上Riemann可积
s(T )
n
f (k )xk S (T )
k 1
定义 设E是非空数集，若 R 且
1)x E,有 x;
2) 0,x E,有x .
0
0
( x ) 0
则称是数集E的 下确界，记为
inf E.
1)表明是数集E的下界； 2)表明大于的任意数 都不是E的下界. E的下确界是数集E的最大的下界.
s(T ) s(T '') 与 S(T '') S(T ')
[S (T ' ' ) S (T )与s(T ' ) s(T ")]
数学分析8.2 可积准则详解(二)
§8.2 可积准则
由 于 f ( x ) 在 [ a , b − δ ′] 上 连 续 , 由 定 理 2 知 ， f ( x )在 [ a , b − δ ′ ]
可 积 ， 即对 [a , b − δ ′]的 任 一 分法 T ′
T ′ : a = x0 < x1 < ... < xn−1 = b − δ ′, b −δ ′ ε ′) ∑ ω i ∆x i < 有 (T 2 a
设 f ( x ) 在 [ b − δ ′ , b ] 上 的 振 幅 为 ω ′ , 上 下 确 界 为 M ′, m ′ , 则
M ′ ≤ M , m′ ≥ m .
于是， 于是，
高州师范学院
ω ′δ ′ = ( M ′ − m′)δ ′ < ( M − m) ⋅
= . 2( M − m) 2
ε
ε
i =1 i =1 n i =1
∑ ωi ∆ xi ≤ l (T ) ⋅ ∑ ωi = [ f (b) − f (a )]l (T )
i =1
高州师范学院
l (T ) < 因此,
n n
ε
f (b) − f (a )
=δ , 则
∑ ωi ∆ xi ≤ l (T ) ⋅ ∑ ωi
i =1
n i =1
n
则 当 l (T ) <
n
ε
M
时,
∑ ω i ∆ x i ≤ l (T ) ∑ ω i <
i =1
ε
M
M =ε.
例 如 , f 在 [ a , b ] 上 单 调 时 ,便 属 于 这 种 情 形 。
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§8.2 可积准则
一、可积的必要条件
三
可积条件
一、可积的必要条件 二、可积的充要条件
三、可积函数类
一、 可积的必要条件
a
f ( x)dx lim
||T || 0
M x
i 1 i
n
i
lim
||T || 0
m x
i 1 i i
n
b
a
f ( x)dx
其中： M i sup{ f ( x) : xi 1 x xi }
mi inf{ f ( x) : xi 1 x xi }
记
M i sup f x x xi 1 , xi mi
i 1 i
inf f x x x
n i 1
, x x x x
i i
i 1
作和式 S M i xi
S m i x i
i 1
n
分别称为对于这一分法的达布上和及达布下和， 统称达布和。
Riemann可积的第二充要条 件 其中：
M i sup{ f ( x) : xi 1 x xi } mi inf{ f ( x) : xi 1 x xi }
i M i mi
f(x)在[a,b]上Riemann可积
0, 分割T，使得 i xi
任给 i xi i 1, 2 , n 显然有
S (T ) f ( i )xi S (T )
函数fx可积的条件
函数fx可积的条件函数$f(x)$可积的条件取决于所处的数学领域和具体的定义。
下面列出了几种常见的情况。
1. 在实分析中，一个函数$f(x)$在区间$[a, b]$上可积的条件是：对于任意给定的正数$\epsilon$，存在一个正数$\delta$，使得对于区间$[a, b]$上的任意分割$\{x_0, x_1, ..., x_n\}$，只要这个分割的每个子区间的长度都小于$\delta$，则这个分割下的上和下和的差值小于$\epsilon$，即$U(f, P) - L(f, P) < \epsilon$。
其中$U(f, P)$和$L(f, P)$分别表示上和下和。
2. 在复分析中，一般定义了可积函数的概念。
一个函数$f(z)$在复平面上可积的条件是：存在一个复数$I$，使得对于任意给定的正数$\epsilon$，存在一个正数$\delta$，使得对于复平面上的任意圆盘$D(z, r)$，只要这个圆盘的半径小于$\delta$，则这个圆盘上的积分与$I$的差值小于$\epsilon$，即$\left|\int_{D(z, r)} f(z) \, dz - I\right| < \epsilon$。
3. 在离散数学中，可以定义函数$f(x)$在整数集上的可积性。
一个函数$f(x)$在整数集上可积的条件是：对于任意给定的正数$\epsilon$，存在一个正整数$N$，使得对于整数集$\{x_1,x_2, ...\}$中的任意有限个元素$\{x_{n_1}, x_{n_2}, ...,x_{n_k}\}$，只要这些元素的最大值大于$N$，则这些元素上的函数值的和的差值小于$\epsilon$，即$\left|\sum_{i=1}^{k}f(x_{n_i}) - \sum_{i=1}^{k'} f(x'_{n_i})\right| < \epsilon$。
需要注意的是，不同的数学领域和定义可能会有不同的可积性条件。
数学分析9.3可积条件
第九章 定积分 3 可积条件一、可积的必要条件定理9.2：若函数f 在[a,b]上可积，则f 在[a,b]上必定有界. 证：若f 在[a,b]上无界，则对于[a,b]的任一分割T ， 必存在属于T 的某个小区间△k ，f 在△k 上无界. 在i ≠k 的各个小区间△i 上任取ξi ，并记G=|i ki i x △)ξ(f ∑≠|.对任意大的正数M ，存在ξk ∈△k ，使得|f(ξk )|>kx △GM +，于是有 |i ki i x △)ξ(f ∑≠|≥|f(ξk )△x k |-|i ki i x △)ξ(f ∑≠|>kx △GM +·△x k -G=M. 因此，对于无论多小的║T ║，按上述方法选取的点集{ξi }，总能使 积分和的绝对值大于任何预先给出的正数，与f 在[a,b]上可积矛盾. ∴原命题得证.注：任何可积函数有界，但有界函数不一定可积。
例1：证明狄利克雷函数D(x)=⎩⎨⎧.x 0，x 1为无理数为有理数，，在[0,1]上有界但不可积.证：∵|D(x)|≤1, x ∈[0,1]，∴D(x)在[0,1]上有界.又对于[0,1]的任一分割T ，由有理数和无理数在实数中的稠密可知， 在属于T 的任一小区间△i 上，当取ξi 全为有理数时，i n1i i x △)ξ(D ∑==1；当取ξi 全为无理数时，i n1i i x △)ξ(D ∑==0. 即不论║T ║多么小，只要点集{ξi }取法不同（全取有理数或全取无理数），积分和有不同极限， ∴D(x)在[0,1]上不可积.二、可积的充要条件设f 在[a,b]上有界，T 是[a,b]上的任一分割，则在每个△i 存在上、下确界：M i =ix sup ∆∈f(x)，m i =ix inf ∆∈f(x)，i=1,2,…,n.记S(T)=∑=∆n 1i i i x M , s(T)=∑=∆n1i i i x m ，分别称为f 关于分割T 的上和与下和(或称为达布上和与达布下和，统称为达布和)，则 任给ξi ∈△i , i=1,2,…,n ，有s(T)≤i n1i i x △)ξ(f ∑=≤S(T).注：达布和与点集{ξi }无关，只与分割T 有关.定理9.3：(可积准则)函数f 在[a,b]上可积的充要条件是： 任给ε>0，总存在相应的一个分割T ，使得S(T)-s(T)<ε.注：设ωi =M i -m i ，称为f 在△i 上的振幅，可记为ωi f ，则有 S(T)-s(T)=i n1i i x △ω∑=，可记作∑Ti i x △ω.定理9.3’：函数f 在[a,b]上可积的充要条件是： 任给ε>0，总存在相应的某一分割T ，使∑Ti i x △ω<ε.可积的充要条件的几何意义：若f 在[a,b]上可积，则如图，只要分割充分地细，包围曲线y=f(x)的一系列小矩形面积之和可以达到任意小；反之亦然.三、可积函数类定理9.4：若f 为[a,b]上的连续函数，则f 在[a,b]上可积. 证：f 在[a,b]上连续，从而一致连续. ∴任给ε>0，存在δ>0， 对[a,b]中任意两点x ’,x ”，只要|x ’-x ”|<δ，就有|f(x ’)-f(x ”)|<ab ε-. 对[a,b]作分割T 使║T ║<δ，则在T 所属的任一区间△i 上， 就能使f 的振幅满足ωi =ix ,x sup ∆∈'''|f(x ’)-f(x ”)|≤ab ε-，从而有 ∑Ti i x △ω≤ab ε-∑Tix△=ε，原命题得证.定理9.5：若f 为[a,b]上只有有限个间断点的有界函数，则f 在[a,b]上可积.证：设端点b 是f 在[a,b]上的间断点，任给ε>0，取δ’>0，满足 δ’<m)2(M ε-<b-a ，其中M 与m 分别为f 在[a,b]上的上确界与下确界.当m=M 时, f 为常量函数，可积.当m<M 时，记f 在小区间△’=[b-δ’,b]上的振幅为ω’，则 ω’δ’<(M-m)·m)2(M ε-=2ε. 又f 在[a,b-δ’]上连续，所以可积.∴对[a,b-δ’]存在某个分割T ’={△1,△2,…,△n-1}，使得∑'T i i x △ω<2ε.令△n =△’，则T={△1,△2,…,△n-1,△n }是对[a,b]的一个分割， 对于T ，有∑Ti i x △ω=∑'T i i x △ω+ω’δ’<2ε+2ε=ε. ∴f 在[a,b]上可积.同理可证f 在[a,b]上存在其它间断点时，原命题仍成立.定理9.6：若f 是[a,b]上的单调函数，则f 在[a,b]上可积.证：设f 为增函数，且f(a)<f(b). 对[a,b]的任一分割T ，由f 的增性， f 在T 所属的每个小区间△i 上的振幅为ωi =f(x i )-f(x i-1)，于是有∑Tii x△ω≤∑T1-i i T )]f(x -)[f(x =[f(b)-f(a)]║T ║. 可见，任给ε>0，只要║T ║<b)(f )b f(ε-，就有∑Ti i x △ω<ε. ∴f 在[a,b]上可积.注：单调函数有无限多个间断点仍可积.例2：试用两种方法证明函数f(x)= ⎪⎩⎪⎨⎧⋯=≤+=1,2,n n 1x <1n 1n1，0x 0，，，在区间[0,1]上可积.证法一：在[0,1]上任取两点x 1<x 2.若1n 1+<x 1<x 2≤n 1,n=1,2…，则f(x 1)=f(x 2)； 若2n 1+<x 1≤1n 1+<x 2≤n 1或1n 1+<x 1≤n 1<x 2≤1n 1-, n=1,2…，则 2n 1+=f(x 1)<f(x 2)=n 1或n 1=f(x 1)<f(x 2)=1n 1-. 同理可证，当x 1<x 2时，f(x 1)≤f(x 2)，∴f 在[0,1]上的单调增. ∴f 在[0,1]上可积.证法二：任给ε>0，∵n 1lim n ∞→=0，∴当n 充分大时，有n 1<2ε. 即f 在[2ε,1]上只有有限个间断点. ∴f 在[2ε,1]上可积，且 存在对[2ε,1]的某一分割T ’，使得∑'T i i x △ω<2ε.∴对[0,1]的一个分割T ，由f 在[0,2ε]的振幅ω0<0，可得∑Ti i x △ω=ω0+2ε∑'T i i x △ω<2ε+2ε=ε. ∴f 在[0,1]上可积.例3：证明黎曼函数f(x)= ⎪⎩⎪⎨⎧=>=.)1,0(0,1x 0 p.q ，q p, ，qp x q 1内的无理数以及互素，， 在区间[0,1]上可积，且⎰10f(x )dx=0.证：任给ε>0，在[0,1]内使得q1>2ε的有理点qp 只有有限个， 设它们为r 1,r 2…,r k . 现对[0,1]作分割T={△1,△2,…,△n }, 使║T ║<2kε， 将T 中所有小区间分为{△i ’|i=1,2,…,m}和{△i ”|i=1,2,…,n-m}两类， 其中{△i ’}为含有点{r i |i=1,2,…,k}的所有小区间，其个数m ≤2k. 而{△i ”}为T 中所有其父不含{r i }的小区间.∵f 在△i ’上的振幅ωi ’≤21，∴i m1i i x △ω''∑=≤21∑='m1i i x △≤21·2k ║T ║<2ε， 又f 在△i ”上的振幅ωi ”≤2ε，∴i m-n 1i i x △ω''''∑=≤2ε∑=''m -n 1i i x △<2ε. ∴i n1i i x △ω∑==i m1i i x △ω''∑=+i m -n 1i i x △ω''''∑=<2ε+2ε=ε，∴f 在区间[0,1]上可积.当取ξi 全为无理数时，使f(ξi )=0，∴⎰10f(x )dx=i n1i i 0T x △)f(ξlim ∑=→=0.习题1、证明：若T ’是T 增加若干个分点后所得的分割，则∑'''T iix △ω≤∑Tiix△ω.证：依题意s(T ’)≤s(T), S(T ’)≥S(T). ∴s(T ’)-S(T ’)≤s(T)-S(T)，得证.2、证明：若f 在[a,b]上可积，[α,β]⊂[a,b]，则f 在[α,β]上也可积. 证：∵f 在[a,b]上可积，∴任给ε>0，总存在相应的一个分割T ， 使得S(T)-s(T)<ε. 又[α,β]⊂[a,b]，∴在[α,β]上存在相应的一个分割T ’， T ’是T 减少若干个分点所点后所得的分割，即有 s(T ’)≥s(T), S(T ’)≤S(T). ∴S(T ’)-s(T ’)≤S(T)-s(T)<ε，得证.3、设f,g 均为定义在[a,b]上的有界函数. 证明：若仅在[a,b]中有限个点处f(x)≠g(x)，则当f 在[a,b]上可积时，g 在[a,b]上也可积，且⎰baf(x )dx=⎰bag(x )dx.证：记F=g-f ，则F 在[a,b]上只有有限个点不为零，∴F 是[a,b]上可积. 对[a,b]上任何分割T ，取每个△i 上的介点ξi ，使F(ξi )=0，就有iix △)f(ξ∑=0，∴⎰baF =in1i iT x △)F(ξlim∑=→=0.又对任意T ，和每个△i 上的任意一点ξi ’，有iix △)ξg(∑'=iiix △)]ξf(-)ξ[g(∑''+iix △)ξf(∑'=iix △)ξF(∑'+iix △)ξf(∑'.由F,f 在[a,b]上可积，令║T ║→0，等式右边两式极限都存在， ∴等式左边的极限也存在，即g 在[a,b]上可积，且⎰ba g =⎰ba F +⎰ba f =⎰ba f .4、设f 在[a,b]上有界，{a n }⊂[a,b]，∞→n lim a n =c. 证明：若f 在[a,b]上只有a n (n=1,2,…)为其间断点，则f 在[a,b]上可积. 证：设c ∈(a,b)，f 在[a,b]上的振幅为ω，任给ε>0(4ωε<min{c-a,b-c})， 由∞→n lim a n =c 知存在N ，使得n>N 时，a n ∈U(c,4ωε)，从而 在[a,c-4ωε]∪[c+4ωε,b]上至多只有有限个间断点，即 存在[a,c-4ωε],[c+4ωε,b]上的分割T ’, T ”使得∑'''T i i x △ω<4ε, ∑''''''T i i x △ω<4ε. 记T 为T ’, T ”的所有分点并添上点c-4ωε, c+4ωε作为[a,b]上的分割，则 ∑Ti i x △ω≤∑'''T i i x △ω+ω(c+4ωε-c+4ωε)+∑''''''T i i x △ω<4ε+2ε+4ε=ε. 得证。
数学分析可积准则与可积函数类
《数学分析》教案
线 y f (x) 的一系列小矩形面积之和可以达到任意小，只要分割充分的细；反之亦然。
三 分别证明一下三类函数可积 （可积函数类）
定理 9-4 若函数 f (x) 为[a,b] 上的连续函数，则 f (x) 在[a,b] 上可积。
证明：应用一致连续性给出振幅和估计：
定理 9-5 若 f (x) 是区间[a,b] 上只有有限个间断点的有界函数，则 f (x) 在[a,b] 上可积。
n
S(T ) s(T ) i xi . i 1 n
定理 9- 3 函数 f (x) 在[a,b] 上可积 对 0 ， T ，使得 i xi 。 i 1 n
不等式 S(T ) s(T ) 或 i xi 的几何意义：若函数 f (x) 在[a,b] 上可积，则下图中包围曲 i 1
n
上 存 在 上、 下 确 界 ： M i sup f (x) , mi inf f (x) , i 1,2,, n .作 和 S(T ) M i xi ，
xxi
xxi
i 1
n
s(T ) mi xi ，分别称为 f (x) 关于分割 T 的上和与下和（或称达布上和与达布下和，统称 i 1
《数学分析》教案
可积准则
一 可积的必要条件
定理 9-2 若函数 f (x) 在[a,b] 上可积，则 f (x) 在[a,b] 上必有界。
注：该定理指出任何可积函数一定是有界，但要注意的是：有界函数不一定可积。 证明狄利克雷函数 D(x) 01，,当当x为x为有无理理数数，在[0，1] 上有界但不可积。
证明：以仅仅有一个间断点为例，说明证明可积性的思想，好点处估计振幅，坏点处积分 区间任意小：
定理 9-6 若 f (x) 是区间[a,b] 上的单调函数，则 f (x) 在[a,b] 上可积。
fx可积的条件
fx可积的条件fx可积是数学中一个重要的概念，它在众多领域都有着广泛的应用。
fx可积的条件及判定方法是研究这一概念的关键。
本文将围绕fx可积的定义、条件、判定方法及应用展开讨论，以期为广大读者提供实用的理论指导。
一、fx可积的定义与意义fx可积，又称fx可积函数，是指在区间[a, b]上，对于任意划分Δx，有∫[a, b]fx(x)dx = lim(Δx→0) Σ[a, b] f(x)Δx其中，fx(x)表示函数f(x)在x处的取值，Δx表示划分间隔。
fx可积的意义在于，它表示了函数f(x)在区间[a, b]上的曲线下的有向面积，从而为研究函数的性质提供了有力的工具。
二、fx可积的条件1.连续性：fx在区间[a, b]上连续，即对于任意x∈[a, b]，存在极限lim(x→a-) f(x)和lim(x→b+) f(x)，且lim(x→a-) f(x) = lim(x→b+) f(x)2.单调性：fx在区间[a, b]上单调增加或单调减少。
根据单调性，可将fx 可积条件分为两种情况：（1）单调增加：对于任意x1, x2 ∈ [a, b]，若x1 < x2，则fx(x1) ≤ fx(x2)；（2）单调减少：对于任意x1, x2 ∈ [a, b]，若x1 < x2，则fx(x1) ≥ fx(x2)。
3.有界性：fx在区间[a, b]上有界，即存在实数m和M，使得m ≤ fx(x) ≤M，对于任意x∈[a, b]。
4.周期性：fx具有周期性，即对于任意x∈[a, b]，有fx(x+T) = fx(x)，其中T为函数的周期。
三、fx可积的判定方法1.极限法：根据极限的性质，若fx在区间[a, b]上连续，且存在极限lim(x→a-) f(x)和lim(x→b+) f(x)，则fx可积。
2.级数法：若fx在区间[a, b]上连续，且级数Σ[a, b] f(x)Δx收敛，则fx可积。
3.积分法：若已知fx在区间[a, b]上可积，且存在极限lim(Δx→0) Σ[a, b] f(x)Δx，则fx可积。
fx可积的条件
fx可积的条件摘要：一、fx可积的定义与意义二、fx可积的条件1.连续性2.单调性3.周期性4.无穷小量的影响三、fx可积的判定方法1.牛顿-莱布尼茨公式2.积分换元法3.积分分部法4.三角函数积分法四、fx可积的应用领域1.微积分2.数学分析3.工程计算4.物理应用正文：fx可积是数学中一个重要的概念，它在微积分、数学分析等领域有着广泛的应用。
所谓fx可积，指的是在某一区间上，函数f(x)的积分存在且唯一。
本文将探讨fx可积的条件、判定方法以及应用领域。
一、fx可积的定义与意义fx可积是指在区间[a, b]上，函数f(x)的积分存在且唯一。
它的数学表达式为：∫[a, b]f(x)dxfx可积的意义在于，它表示了函数f(x)在区间[a, b]上的曲线下的有向面积，这个面积可以用来表示物理量、几何量等。
此外，fx可积还与微积分中的导数、微分方程等概念密切相关。
二、fx可积的条件1.连续性：函数f(x)在区间[a, b]上需连续。
这意味着在区间内，函数的图像不会出现断点，保证了积分的可行性。
2.单调性：函数f(x)在区间[a, b]上具有单调性。
即函数在该区间内是增函数或减函数。
单调性保证了积分结果的唯一性。
3.周期性：若函数f(x)具有周期性，则在某一周期内，fx可积。
周期性有助于简化积分问题，将复杂函数分解为简单的周期函数进行积分。
4.无穷小量的影响：当x趋近于某个值时，函数f(x)的极限为0，则称f(x)在x处可积。
这种情况下，极限值为0的无穷小量对积分结果没有影响。
三、fx可积的判定方法1.牛顿-莱布尼茨公式：适用于可积函数f(x)为初等函数的情况，根据该公式，可得到fx可积的判定条件。
2.积分换元法：通过替换变量，将复杂函数转化为初等函数，从而判断其是否可积。
3.积分分部法：将可积函数f(x)分解为两个可积函数的乘积，利用分部积分公式进行积分。
4.三角函数积分法：针对含有三角函数的复杂函数，采用三角函数的性质和积分公式进行积分。
数学分析可积准则与可积函数类
数学分析可积准则与可积函数类一、可积准则可积准则是指当复变函数在定义域上满足一些特定条件时，它就具有可积性。
它提供了求函数积分的方法。
以下介绍其中几种性质。
1.连续可积准则若复变函数$f(x,y)$在矩形$R=\{(x,y):a\leq x\leq b,c\leq y\leq d\}$内同时连续，则它在$R$内可积，其积分为：$$\int A(x,y)dA=\int_{c}^{d}\int_{a}^{b}f(x,y)dxdy$$2.二次有界可积准则若复变函数$f(x,y)$在$R$内满足$，f(x,y)，\leq M$，M为有限实数，则$f(x,y)$在$R$内可积，其积分为：$$\int A(x,y)dA=\int_{c}^{d}\int_{a}^{b}f(x,y)dxdy$$3.交换可积性准则若复变函数$f(x,y)$在矩形$R=\{(x,y):a\leq x\leq b,c\leq y\leq d\}$内经过其中一点$(x_0,y_0)$，且$f_x(x_0,y_0)$、$f_y(x_0,y_0)$存在且有界，则其可积，其积分为：$$\int A(x,y)dA=\int_{c}^{d}\int_{a}^{b}f(x,y)dxdy$$4.Fubini可积准则若复变函数$f(x,y)$满足：$f(x,y)$为正定函数，且它在矩形$R$内的一阶连续偏导数$f_x(x,y),f_y(x,y)$在全域$D$中满足$f_x(x,y)f_y(x,y)\geq 0$，则，它在$R$内可积，其积分为：$$\int A(x,y)dA=\int_{c}^{d}\int_{a}^{b}f(x,y)dxdy$$可积函数属于复变函数的一类，是指在满足可积准则的情况下，能够求出确定的数值积分值的函数。
可积准则
n n
m x f ( )x M x
n k 1 k k k 1 k k k 1 k k
s(T ) m x f ( )x M x S (T ) 即s(T ) f ( )x S (T )
显然，对于[a,b]的同一分法T的小和与大和，总有不等式
s(T ) S (T )
因为，分法 T确定后，相应区间上的 上下确界也确定 , 且
m M
k
m x
k 1 k
n
k
s (T )
k
n
S (T ) M x
k 1 k
k
达布简介
达布（1842～1917）
Darboux，Jean-Gaston
令
分成了n 个小区间 [ x0 , x1 ],…[xn1, xn ]
[xk 1 , xk ]
a=x0,b xn
由 函 数 在 [a,b] 的长表为 xk xk xk 1
上有界知，它在每个 k 上存在上、下确界： 设 mk与 M k 分别是 f ( x) 在 [xk 1 , xk ] 的下确界和上确界.
2、小和与大和的性质
• 下面讨论：
• 小和，大和与积分和之间的关系. • 以及小和与大和之间的关系.
性质1
对 [a, b] 的一个分法 T
S (T ) 之间，即
n
,任意积分和都介于
小和 s(T ) 与大和
k 1
s(T ) f ( k )xk S (T )
证明：
m f ( ) M , [ x , x ]
s (T )
f ( )x S (T )
82可积准则(1)
性质5.对[a, b]各种可能的分法T ,小和的上确界 不超过大和的下确界，即
sup{s(T )} inf{S(T )}.
T
T
证明：对[a, b]任意两个分法T，T ',有
s(T ) S(T ').于是由上、下确界的知识得
...
二、可积准则
定理（ 1 可积准则）函数f ( x)在区间[a, b]上
性质4. 任一个小和总不超过任一个大和，即使 是对应于不同分法的大和及小和.即设[a, b] 有任意两个分法T和T '，则 s(T ) S(T '), s(T ') S(T )
证明：设[a, b]的两个分法T和T '的分点放在一起， 构成了[a, b]的新分法T "则
s(T ) s(T ''), s(T ') S(T ''). 又...
可积的充要条件是 lim [S(T ) s(T )] 0. l (T )0
n
证明必要性：已知 lim l (T )0 i1
f (i )xi
I，即
0, 0，当l(T ) , 有
I 1 2
n i 1
f (i )xi
I 1
2
要证 0, 0, 使得
| S(T ) s(T ) | .
由闭区间上连续函数的性质，xi1 , xi2 [ xi1 , xi ],
使得f ( xi1 ) Mi , f ( xi2 ) mi .注意|xi1 xi2 | ,
从而i
Mi
mi
f ( xi1 )
f ( xi2 )
, ....
ba
2. [a, b]上单调有界函数f ( x)必定可积.
8-2可积准则
S1 S3, S3 S2 .
而S3 S3 , 所以S1 S2.
记
l supS , L inf S
则l L .
定理4 对任何有界函数f x ,必有 达布定理
n
n
S Mixi mxi m b a
i 1
i 1
同理可证S M b a .
定理3 任一个下和S总不超过任一个上和S，即使是 对应于不同分法的上和及下和.
证 对于a, b设有两个独立的分法，对应的达布和分别记为
S1，S1及S 2，S 2 , 下证S1 S 2 .
0 i1
i
xi I .
此处xi xi xi1,亦即对任意的 0，存在 0，
使对任意的分法a x0 x1 L xn b及 xi1 , xi
上任意的点，只要 max i 1,2,L ,n
xi
，就有
n f
2
0 S'－L
2
固定了p及 xi' 以后, 可取
min x1'
x0' ,
x2'
x1' , L
,
x'p
x
' p1
,
2 p 1 M m
其中M及m分别为f x在a,b的上、下确界.
于是，为了得到所需的结论，只要证明，对任意的分法
于是
n
xi' i'xi' ixi
i'
可积条件
__
.
T1 是只在 T 中第 i 个区间 [xi−1 , xi ] 证 设 内加上一个新分点 x 所成的分法, 分别设
M1 = sup f (x) ,
[ xi−1,x ]
M2 = sup f (x) ,
[ x,xi ]
Mi = sup f (x) .
[ xi −1, xi ]
显然有
m ≤ M1 和 M 2 ≤ M i ≤ M
__
上界 ， S (T ) 有下界 .因此它们分别有上确 界和下确界.
定义
记 ∫a
b
f ( x)dx = inf S ( T ) T
,
∫
分别称
b a
f ( x)dx
和
= sup s (T )
T
.
∫
b a
ξ
已知
m k = inf
xk −1 ≤ x ≤ xk
{ f ( x )}
， 根据下确界定义，
∀ε > 0 ， ∃ ξ k ∈ [ x k −1 , x k ] ，使
mk ≤ f (ξ k ) ≤ m k +
ε
b−a
于是
) ∆ xk
mk ∆xk ≤ f (ξ k ) ∆xk ≤ ( mk +
ε
b−a
[ a, b] 的一个分法 ∆ 的 在区间
[ a , b ] 的一 基础上增加若干个新分点，得到
个新分法 ∆′ ，则达布下和不减少，达布上和 不增加，即 S (∆) ≤ S (∆′) S (∆′) ≤ S (∆) 【证】 我们只须讨论在分法 ∆ 的分点中再
x′ 的情况. 加进一个分点 xk −1 < x′ < x k x′ 加在 xk −1 与 xk 之间， 设 于是
可积的充分条件和必要条件
条件：函数f(x)在[a,b]可积的充分必要条件是：f(x)在[a,b]有界，且间断点全体构成的集合测度为零.若函数在[a, b] 上可积，则在[a, b] 上必有界。
函数f(x)在[a,b]可积的充分必要条件是：f(x)在[a,b]有界,且间断点全体构成的集合测度为零.
可积的第一充要条件
函数f在[a,b]上可积的充要条件是：f在[a,b]上的上积分与下积分相等，即S=s.
可积的第二充要条件
函数f在[a,b]上可积的充要条件是：任给正数，，总存在某一分割T，使得S(T)-s(T)<，即.
可积的第三充要条件
函数f在[a,b]上可积的充要条件是：任给正数，，总存在某一分割T，使得属于T的所有小区间中，对应于振幅的那些小区间的总长.
反证法，逆否命题，无界不可积；
若在[a, b] 上无界，则对于[a, b] 的任一分割T，比存在属于T 的某个小区间，在上无界，在的各个小区间上（区间内）任意取定，并记：
现对任意大（不是无穷大，但要足够大）的正数，由于在上无界（正无穷，负无穷），故存在，使得：
右边那一块是构造出来的，
于是有：
这与在[a, b] 上可积相矛盾，从而定理得证；
可积函数一定有界，有界函数不一定可积（比如狄利克雷函数，全取有理数，全取无理数，趋于不同的值，1和0）；
有界是可积的必要条件。
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利用上述结论，按照本节通常记号，当
Mi
mi
b
a
,
i=1,2, ,n
第二节 函数可积准则/可积函数类
那么
0 ST
sT
n
(Mi
i1
mi )xi
ba
n
xi
i1
因此lim0(STFra bibliotek sT ) 0
故由推论7.1知可积.
注记：由此定理知初等函数在其定义域内闭区间 上是可积分的； 特别的，多项式 f (x) xn 是可积的.
定理7.4 设函数 f (x) C[a, b] ，则 f (x) 在 [a,b]上可积.
f (x) C[a, b] f (x) [a,b]
0, 0,当x, x[a, b，] 且 | x x | 时
| f (x) f (x) |
ba
mi1axn {xi}
将 [a,b]分为 n个小区间 [xi1, xi ]，令
Mi sup f (x) | x [xi1, xi ]
mi inf f (x) | x [xi1, xi ]
n
Darboux大和 ST Mixi
i1
Darboux小和
n
sT mixi
i1
第二节 函数可积准则/判别定理
第二节 函数可积准则/可积函数类
类似于定理7.4的证明，可得
定理7.5 具有有限个间断点的有界函数是可积的.
注记. 改变连续函数有限个点的函数值后，函 数依然可积.
如图，改变函数的 有限个点的值，与 坐标轴围成面积不 变.
第二节 函数可积准则/可积函数类
定理7.6 区间 [a, b]上的单调有界函数在 [a, b]上 可积．
a
f (x)dx
第二节 函数可积准则/判别定理
可积分充要条件
定理 7.3 函数 f (x)在 [a,b]上可积当且仅当
b
b
a f (x)dx a f (x)dx
若 f (x)可积，则
b
b
b
a f (x)dx a f (x)dx a f (x)dx
第二节 函数可积准则/判别定理
时
b
b
a f (x)dx sT T ST a f (x)dx
由上、下积分相等有 lim0T 存在，故 f (x) 可积.
第二节 函数可积准则/判别定理
推论 7.1 函数 f (x)可积的充要条件为
lim0(ST sT ) 0.
令 i Mi mi (1 i n)，称i 为 f (x) 在 [xi1, xi ]
“必要性” , ,对任意分割T ,i [xi1, xi ],当 时
n
I f (i )xi i1
设 Mi sup f (x) | x [xi1, xi ],mi inf f (x) | x [xi1, xi ]
则存在 i, i[xi1, xi ] 使得
b
b
a f (x)dx a f (x)dx
第二节 函数可积准则/判别定理
上下积分与DARBOUX和进一步关系
定理7.2 设 f (x)为区间I上有界函数，区
间I分割为n个小区间, 令 mi1axn {xi}， 则
b
lim
0
sT
a
f (x)dx
b
lim
0
ST
注记：有界仅仅是可积的必要条件，不是 充分条件。例如Dirichlet函数有界，但是 不可积。
第二节 函数可积准则/判别定理
例子
例1 f (x) x2 在[0,2]上可积.
对 [0,2]作分割T，将其分为n个区间[xi1, xi ] i 为此
小区间上的振幅. 由于0 f '(x) 4， 故
|i|=sup | f (1) f (2) | 4 | xi | i=1,2, ,n
那么
n
lim(
0
ST
sT )
lim
0
i1
ixi
0
由推论7.1 知可积.
第二节 函数可积准则/可积函数类
可积函数类
分段连续函数 连续函数 单调有界函数
第二节 函数可积准则/可积函数类
b
f (x)dx
a
n
mixi
n
f (i)xi I
i1
i1
结合以上两式可得
b
b
I a f (x)dx 2 a f (x)dx 2 I 4
由
任意性，得
b
b
a f (x)dx a f (x)dx
“ 充分性“ 由定理7.2知 mi1axn {xi}
上的振幅.
显然 i sup | f (x) f (x) | x, x [xi1, xi ]
推论7.1的条件还等价于
n
lim
0
i1
ixi
0
第二节 函数可积准则/判别定理
一个必要条件
定理7.1 若 f (x) 在 [a,b]上可积，则 f (x) 有界. 证明 （略）。
第七章 定积分
第二节 函数可积准则
可积函数的判别定理 可积函数类
第二节 函数可积准则
可积函数的判别定理
Darboux和 充分必要条件 一个必要条件 例子
第二节 函数可积准则/判别定理
DARBOUX和
设函数 f (x) 在区间 [a,b上] 有界，分割 T
a x0 x1 xn b
DARBOUX和的性质
分划加细，大和 ，小和
总有 sT ST
第二节 函数可积准则/判别定理
上下积分
因 f (x)有界，因此 sT有上界， ST
有下界，令
L inf{ST } l sup{sT }
则
sT l L ST
下积分 b f (x)dx ：l a
上积分 b f (x)dx ：L a
证明. 若 f (x) 单调增加，即 f (a) f (x) f (b， ) x [a,b].
f
(i)
M
i
b
a
,
f
(i)
mi
b
a
(i 1,2,
, n)
取 i i ，可得
b
n
n
f (x)dx
a
Mixi
f (i)xi I
i1
i1
第二节 函数可积准则/判别定理
另一方面，若取 i i ，则