中考数学蚂蚁爬行的最短路径试题(带解析)
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蚂蚁爬行的最短路径
1.一只蚂蚁从原点 0 出发来回爬行,爬行的各段路程依次为: +5,-3,+10,-8 ,-9,+12, -10.
回答下列问题:
(1)蚂蚁最后是否回到出发点 0;
(2)在爬行过程中,如果每爬一个单位长度奖励 2 粒芝麻,则蚂蚁一共得到多少粒芝麻. 解:( 1)否, 0+5-3+10-8-9+12-10=-3 ,故没有回到 0; (2)( |+5|+|-3|+|+10|+|-8|+|-9|+|+12|+|-10|
)×2=114 粒
2. 如图,边长为 1 的正方体中,一只蚂蚁从顶点 A 出发沿着正方体的外表面爬到顶点
B 的
最短距离是 .
3.(2006?茂名)如图,点 A 、B 分别是棱长为 2 的正方体左、右两侧面的中心,一蚂蚁从
点 A 沿其表面爬到点 B 的最短路程是 cm
解:如图将正方体展开,根据“两点之间,线段最短”知,线段 AB= 22 12 5 .
AB 即为最短路线.
B 的最短路程是两个棱长的长,即 2+2=4.
4.如图,一只蚂蚁从正方体的底面 A 点处沿着表面爬行到点上面的B点处,它爬行的最短
路线是()
A.A? P? B B .A? Q? B C .A? R? B D .A? S? B
解:根据两点之间线段最短可知选A.
故选A.
5.如图,点 A 的正方体左侧面的中心,点 B 是正方体的一个顶点,正方体的棱长为2,
蚂蚁从点A沿其表面爬到点 B 的最短路程是()
解:如图,AB= 1 2 2 12 10 .故选C.
6.正方体盒子的棱长为2,BC的中点为M,一只蚂蚁从 A 点爬行到M点的最短距离为()
解:展开正方体的点M所在的面,
∵BC的中点为M,
1
所以MC= BC=1,
2
在直角三角形中AM= = .
7.如图,点A和点B分别是棱长为20cm的正方体盒子上相邻面的两个中心,一只蚂蚁在盒子表面由A处向 B 处爬行,所走最短路程是cm 。
故选C.
8. 正方体盒子的棱长为2,BC 的中点为M,一只蚂蚁从A 点爬行到M 点的最短距离
解:将正方体展开,连接M、D1,
根据两点之间线段最短,
MD=MC+CD=1+2,=3
MD1= MD 2 DD1232 2213
9.如图所示一棱长为 3cm 的正方体, 把所有的面均分成 3×3个小正方形. 其边长都为 1cm ,
假设一只蚂蚁每秒爬行 2cm ,则它从下底面点 A 沿表面爬行至侧面的 B 点,最少要用 2.5 秒钟
解:因为爬行路径不唯一,故分情况分别计算,进行大、小比较,再从各个路线中确定最短 的路线.
( 1)展开前面右面由勾股定理得 AB= = cm ;
(2)展开底面右面由勾股定理得 AB=
=5cm ;
所以最短路径长为 5cm ,用时最少: 5÷2=2.5 秒.
10.(2009?恩施州)如图,长方体的长为 15,宽为 10,高为 20,点 B 离点 C 的距离为 5,
一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点 A 爬到点 B ,需要爬行的最短距离是 。
11. 如图,一只蚂蚁从实心长方体的顶点 A 出发,沿长方体的表面爬到对角顶点 C 1处(三
条棱长如图所示) ,问怎样走路线最短?最短路线长为 .
A 、
B ,
AB=
=25.
解:正面和上面沿A1B1 展开如图,连接AC1,△ABC1 是直角三角形,
∴AC1= AB2 BC1242 1 2 242 32 5
12.如图所示:有一个长、宽都是 2 米,高为 3 米的长方体纸盒,一只小蚂蚁从A点爬到B
路径一:AB= = ;
路径二:AB= =5;
路径三:AB= = ;
∵ >5,
∴5米为最短路径.
13.如图,直四棱柱侧棱长为4cm,底面是长为5cm宽为3cm的长方形.一只蚂蚁从顶点 A 出发沿棱柱的表面爬到顶点B.求:
(1)蚂蚁经过的最短路程;
(2)蚂蚁沿着棱爬行(不能重复爬行同一条棱)的最长路程.
解:(1)AB的长就为最短路线.
然后根据若蚂蚁沿侧面爬行,则经过的路程为(cm);
若蚂蚁沿侧面和底面爬行,则经过的路程为
2) 5cm+4cm+5cm+4cm+3cm+4cm+5cm=30,cm
最长路程是 30cm .
14.如图,在一个长为 50cm ,宽为 40cm ,高为 30cm 的长方体盒子的顶点 A 处有一只蚂蚁,
它要爬到顶点 B 处去觅食,最短的路程是多少?
解:图 1 中, cm . 图 2 中, cm . 图 3 中,
cm .
∴采用图 3 的爬法路程最短,为 cm
15.如图,长方体的长、宽、高分别为 6cm , 8cm , 4cm .一只蚂蚁沿着长方体的表面从点 A 爬到点 B .则蚂蚁爬行的最短路径的长是 。
解:第一种情况:把我们所看到的前面和上面组成一个平面, 则这个长方形的长和宽分别是 12cm 和 6cm ,
或
( cm )
所以蚂蚁经过的最短路程是 cm .
(cm ),
则所走的最短线段是 =6 cm ;
第二种情况:把我们看到的左面与上面组成一个长方形, 则这个长方形的长和宽分别是 10cm 和 8cm , 所以走的最短线段是 =
cm ;
第三种情况:把我们所看到的前面和右面组成一个长方形, 则这个长方形的长和宽分别是
14cm 和 4cm , 所以走的最短线段是 =2 cm ;
三种情况比较而言,第二种情况最短.
16.如图是一个三级台阶,它的每一级的长、宽、高分别为 20cm 、3cm 、2cm .A 和 B 是这
个
台阶上两个相对的端点, 点 A 处有一只蚂蚁, 想到点 B 处去吃可口的食物, 则蚂蚁沿着台阶 面爬行到点 B 的最短路程为 cm
解:三级台阶平面展开图为长方形,长为 20cm ,宽为( 2+3)× 3cm ,
则蚂蚁沿台阶面爬行到 B 点最短路程是此长方形的对角线长. 可设蚂蚁沿台阶面爬行到 B 点最短路程为 xcm , 由勾股定理得: x 2=202+[ ( 2+3)×3] 2=252, 解得 x=25. 故答案为 25.
17.如图,是一个三级台阶,它的每一级的长、宽和高分别等于
这只蚂蚁从 A 点出发,沿着台阶面爬到 B 点,最短线路是 cm
所以 AB=13( cm ), 所以蚂蚁爬行的最短线路为 13cm .
答:蚂蚁爬行的最短线路为 13cm .
18.(2011?荆州)如图,长方体的底面边长分别为 点开始经过 4 个侧面爬行一圈到达 Q 点,则蚂奴爬行的最短路径长为 cm
5cm , 3cm 和 1cm , A 和 B
是这个台阶的两个相对的端点, A 点上有一只蚂蚁,想到 B 点去吃可口的食物 . 请你想一想, 解:将台阶展开,如下图, 因为 AC=3×3+1×3=12, BC=5,
2cm 和 4cm ,高为 5cm .若一只蚂蚁从
所以
AB 2=AC 2+BC 2=169 ,