最小均方误差预测的证明过程(第四章ARMA模型预测)：

最小均方误差预测的证明过程（第四章ARMA 模型预测）：

设F 是基于H m 对Y m+s 所作的任一预测，)(ˆs Y m

= E((Y m+s H m )。则预测F 的误差方差为：

E 〔Y m+s –

F 〕2 =E 〔Y m+s –)(ˆs Y m +)(ˆs Y m

–F 〕2 = E 〔Y m+s –)(ˆs Y m 〕2 –2〔(Y m+s –)(ˆs Y m )（)(ˆs Y m –F ）〕+E 〔)(ˆs Y m

–F 〕2 E 〔(Y m+s –)(ˆs Y m )（)(ˆs Y m –F ）〕=E ｛E 〔(Y m+s –)(ˆs Y m )（)(ˆs Y m

–F ）〕H m ｝ = E ｛〔)(ˆs Y m –F 〕｝E 〔(Y m+s –)(ˆs Y m

) H m 〕｝ =0

故E 〔Y m+s –F 〕2 = E 〔Y m+s –)(ˆs Y m 〕2+ E 〔)(ˆs Y m

–F 〕2 ≥E 〔Y m+s –)(ˆs Y m

〕2 显然，当F=)(ˆs Y m

时，预测误差的方差达到最小，即Y m+s 的最优预测是条件期望值：)(ˆs Y m

= E((Y m+s H m )