3-1-1 应力状态分析
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σ1）2]/6 J3/ =σ1，σ2，σ3，
作用：根据应力偏张量判断变形类型
J3/ >0伸长， J3/ <0压缩， J3/=0平面应变 在三向静水压力下金属如何变形？
习题： 13章 4、8
4、应力偏张量和应力球张量的物理意义是什么？ 8、已知受力体内一点的应力张量分别为
MPa, MPa, MPa, （1）画出该点的应力单元体 （2）求出该点的主应力及主方向、主切应力、最大切应力、等效应 力。 （3）画出该点的应力莫尔圆。
满足条件：连续，均质，同性，平衡，无体积力，体积不变。 可列方程：平衡微分方程（平衡，3个）， 几何方程（连续均质，6个）， 物理方程（应力应变关系，6个） 屈服准则 （ 1个） （共16个）
：坐标x, y, z, 位移u, v, w, 应力6个，应变6个。
力的类型有 面力：作用力，反作用力，摩擦力 体积力：重力，磁力，惯性力——高速成形不能忽略
2）三应力同时增减同值时，主切应力值不变。
13．1．6 应力球张量与应力偏张量spherical tensor of
stress and deviator tensor of stress
13．1．6．1 应力张量的分解
σij= 应力偏张量 应力球张量 其中：σm=(σx+σy+σz)/3=J1/3
概念： 单向应力状态——两个主应力为0 平面应力状态——一个主应力为0
可以分别写出单向应力状态和平面应力状态的应力张量
13．1．4．3 解例
例题：Mpa，求主应力及主方向 解：方法1，可以求J1 J2 J3，然后求解。
方法2，用 即 行变换后 即 再列变换有
所以：σ1=20，σ2=0，σ3=-10 注意：σ1 σ2 σ3按大小顺序排列。
13．1．4．1 任意坐标系
设ABC为主平面，在主平面上有τ=0 由于τ2= S2-σ2 即可得S=σ 所以Sx=Sl=σl Sy=σm Sz=σn 因此有： (σx-σ)l+τyxm+τzxn =0
τxyl+(σy-σ)m+τzyn =0 τxzl+τyzm+(σz-σ)n=0 而：l2+m2+n2=1 此为隐含条件 所以有：
因此σij=是对称张量 当同一单元取不同坐标系时，各应力值会不一样，但是点 的应力状态未改变。 圆柱坐标 ——柱坐标应力张量 球坐标——球坐标应力张量
13．1．3 任意斜面上的应力stress on the oblique plane
已知应力状态σij=，求斜面ABC上的应力（全应力 S，正应力σ，切应力τ）,设斜面ABC的法线方向 余弦为l, m, n 即：
此式即 展开整理为：σ3-J1σ2-J2σ-J3=0 ***** 其中：J1=σx+σy+σz 可以求出三个实根σ1 σ2 σ3
分别代入前式可求出三个主方向： l1 m1 n1 l2 m2 n2 l3 m3 n3
注意：应力状态确定——主应力唯一， 即方程*****唯一,也即J1 J2 J3为不变值，分别为应力张量的第一不变量J1 第二不变量J2 第三不变量J3 应力不变量stress invariants
第13章 应力分析stress analysis
本章内容：应用塑性力学分析金属在外力作用下的变形行为 本章重点：点的应力状态分析
应力stress：单位面积上的内力。
材料力学方法：切面法，将物体切开, 利用内力外力平衡条件求切面上 的应力分布。
：把物体切成无数个微六面体（或其他形状），称微元体或单元体，根据 单元体静力平衡条件写出平衡微分方程，再考虑其他条件求解。
13．1．4．2 主轴坐标系
若以主应力（σ1 σ2 σ3方向即主轴方向）作坐标系，则坐标轴 为1，2，3方向轴。
此时， 在此坐标系下的任意斜面（l, m, n）上有：
S1=σ1l S2=σ2m S3=σ3n 以及：S2=σ12 l2+ σ22 m2 +σ32n2
σ=σ1 l2+ σ2 m2 +σ3n2 τ2= S2-σ2 而且：J1=σ1 + σ2 +σ3 J2=-(σ1σ2 + σ2σ3 +σ3σ1) J3=σ1σ2σ3 又由于：l2+m2+n2=1 所以有： 此方程为一椭球面方程，称应力椭球面。 其中S1 S2 S3分别表示全应力S在1，2，3轴向wk.baidu.com的投影。
此面上有σ=（σ1 +σ3）/2 l=± m=± n=0 此时τ12=±（σ1 –σ2）/2
此面上有σ=（σ1 +σ2）/2 若σ1>σ2 >σ3则τmax=（σ1 –σ3）/2
此切应力为最大值即最大切应力。 主切应力平面
特性：1）三向等拉等压状态σ1=σ2 =σ3=±σ，则 τ12=τ23=τ13=0
由于静力平衡 即有： 解得：
13．1．2 应力分析单元体法
变形体多向受力，用截面法不全面，需改进——单元体法！
设物体内任一单元体受力，将全应力均加以分解后，得 九个应力分量stress components，可写为矩阵：
作用面 作用
方向 注意：应力是张量tensor（标量，矢量，张量） 张量的定义：满足坐标系转换关系的分量集合 正负号：正面正向、负面负向取正号，正面负向、负面正向取负 号。 单元体平衡有：τxy=τyx τxz=τzx τyz=τzy
习题： 13章 1、7
1、什么叫张量？张量有什么性质？ 7、已知受力物体内一点的应力张量为Mpa，求外法线方向余弦为的斜 切面上的全应力、正应力和切应力。
13．1．4 主应力与应力不变量stress invariants
主平面principal plane——切应力为0的平面。 主应力principal stress——主平面上的正应力。 应力主轴（主方向）——主平面的法线方向。 也就是将 变换为，即将实对称阵变为对角阵。
13．1 应力状态分析
目标：任意一点的应力状态stress state —— 整个变形体的应 力状态
13．1．1 应力分析截面法
外力outside forces—— 产生内力 应力：正应力（stress）σ，切应力（shear stress）τ 要点：截开物体后，内力变外力。 13．1．1．1 单向拉伸uniaxial tensile应力分析
特点：应力偏张量使形状变化，应力球张量使体积变化 结论：材料的塑性变形由应力偏张量引起。
13．1．6．2 应力偏张量性质
应力偏张量有三个不变量J1/ J2/ J3/ 其中J1/=0 J2/ 和J3/ 的表达式与前述类似。
在主坐标系中有： J1/=0 J2/ =[（σ1 –σ2）2+（σ2 -σ3）2+（σ3 –
l=cos(N, x) m=cos(N, y) n=cos(N, z)
解：将全应力沿坐标方向分解为：Sx Sy Sz 由静力平衡force equilibrium SxdA-σxdAx-τyxdAy-τzxdAz=0 而dAx=ldA dAy=mdA dAz=ndA 所以 Sx=σxl+τyxm+τzxn 同理 Sy=τxyl+σym+τzyn Sz=τxzl+τyzm+σzn 因此S2=Sx2+Sy2+Sz2 σ= Sxl+Sym+Szn =σxl2+σym2+σxn2+2(τxylm+τyzmn+τxzln) τ2= S2-σ2
将σ1=20代入求 l1 m1 n1 有方程组： （10-σ1）l+0×m-10n=0 0×l+(-10-σ1)m+0×n=0
-10×l+0×m+（10-σ1）n=0 且有：l2+m2+n2=1
可求出：l1 = -n1= ± m1=0 同理代入σ2=0 可求出l2 = n2=± m2=0
σ3=-10可求出l3 = n3=0 m3=±1 实际上解本题：将对称阵经正交变换转变为对角阵，且求 正交变换，即：
C1面上全应力：S=F/A=F/(A0/cosθ)=σ0 cosθ 正应力：σ=Scosθ=σ0 cos2θ 切应力：τ=Ssinθ=σ0 cosθsinθ
结论：任意方向都可由σ0 和θ确定其全应力S，正应力σ，切应 力τ，即：单向拉伸只需σ0即可确定任意面的应力状 态。
13．1．1．2 两向应力状态 设任意斜面AB（夹角θ）上的全应力S， S可以分解为正应力σ，切应力τ
已知，求 使
练习：Mpa，求主应力及主方向。
13．1．5 主切应力和最大切应力maximum shear stress
cipal shear stress——当切应力为极大值时，注意：此时正应力不一定为0。 推导：取应力主轴作为坐标轴 τ2= S2-σ2 =σ12 l2+ σ22 m2 +σ32n2-（σ1 l2+ σ2 m2 +σ3n2） 求τ的极值 且条件为l2+m2+n2=1 解出三个极值为： l=0 m=± n=± 此时τ23=±（σ2 -σ3）/2 此面上有σ=（σ2 +σ3）/2 l=± m=0 n=± 此时τ31=±（σ3–σ1）/2
σ1）2]/6 J3/ =σ1，σ2，σ3，
作用：根据应力偏张量判断变形类型
J3/ >0伸长， J3/ <0压缩， J3/=0平面应变 在三向静水压力下金属如何变形？
习题： 13章 4、8
4、应力偏张量和应力球张量的物理意义是什么？ 8、已知受力体内一点的应力张量分别为
MPa, MPa, MPa, （1）画出该点的应力单元体 （2）求出该点的主应力及主方向、主切应力、最大切应力、等效应 力。 （3）画出该点的应力莫尔圆。
满足条件：连续，均质，同性，平衡，无体积力，体积不变。 可列方程：平衡微分方程（平衡，3个）， 几何方程（连续均质，6个）， 物理方程（应力应变关系，6个） 屈服准则 （ 1个） （共16个）
：坐标x, y, z, 位移u, v, w, 应力6个，应变6个。
力的类型有 面力：作用力，反作用力，摩擦力 体积力：重力，磁力，惯性力——高速成形不能忽略
2）三应力同时增减同值时，主切应力值不变。
13．1．6 应力球张量与应力偏张量spherical tensor of
stress and deviator tensor of stress
13．1．6．1 应力张量的分解
σij= 应力偏张量 应力球张量 其中：σm=(σx+σy+σz)/3=J1/3
概念： 单向应力状态——两个主应力为0 平面应力状态——一个主应力为0
可以分别写出单向应力状态和平面应力状态的应力张量
13．1．4．3 解例
例题：Mpa，求主应力及主方向 解：方法1，可以求J1 J2 J3，然后求解。
方法2，用 即 行变换后 即 再列变换有
所以：σ1=20，σ2=0，σ3=-10 注意：σ1 σ2 σ3按大小顺序排列。
13．1．4．1 任意坐标系
设ABC为主平面，在主平面上有τ=0 由于τ2= S2-σ2 即可得S=σ 所以Sx=Sl=σl Sy=σm Sz=σn 因此有： (σx-σ)l+τyxm+τzxn =0
τxyl+(σy-σ)m+τzyn =0 τxzl+τyzm+(σz-σ)n=0 而：l2+m2+n2=1 此为隐含条件 所以有：
因此σij=是对称张量 当同一单元取不同坐标系时，各应力值会不一样，但是点 的应力状态未改变。 圆柱坐标 ——柱坐标应力张量 球坐标——球坐标应力张量
13．1．3 任意斜面上的应力stress on the oblique plane
已知应力状态σij=，求斜面ABC上的应力（全应力 S，正应力σ，切应力τ）,设斜面ABC的法线方向 余弦为l, m, n 即：
此式即 展开整理为：σ3-J1σ2-J2σ-J3=0 ***** 其中：J1=σx+σy+σz 可以求出三个实根σ1 σ2 σ3
分别代入前式可求出三个主方向： l1 m1 n1 l2 m2 n2 l3 m3 n3
注意：应力状态确定——主应力唯一， 即方程*****唯一,也即J1 J2 J3为不变值，分别为应力张量的第一不变量J1 第二不变量J2 第三不变量J3 应力不变量stress invariants
第13章 应力分析stress analysis
本章内容：应用塑性力学分析金属在外力作用下的变形行为 本章重点：点的应力状态分析
应力stress：单位面积上的内力。
材料力学方法：切面法，将物体切开, 利用内力外力平衡条件求切面上 的应力分布。
：把物体切成无数个微六面体（或其他形状），称微元体或单元体，根据 单元体静力平衡条件写出平衡微分方程，再考虑其他条件求解。
13．1．4．2 主轴坐标系
若以主应力（σ1 σ2 σ3方向即主轴方向）作坐标系，则坐标轴 为1，2，3方向轴。
此时， 在此坐标系下的任意斜面（l, m, n）上有：
S1=σ1l S2=σ2m S3=σ3n 以及：S2=σ12 l2+ σ22 m2 +σ32n2
σ=σ1 l2+ σ2 m2 +σ3n2 τ2= S2-σ2 而且：J1=σ1 + σ2 +σ3 J2=-(σ1σ2 + σ2σ3 +σ3σ1) J3=σ1σ2σ3 又由于：l2+m2+n2=1 所以有： 此方程为一椭球面方程，称应力椭球面。 其中S1 S2 S3分别表示全应力S在1，2，3轴向wk.baidu.com的投影。
此面上有σ=（σ1 +σ3）/2 l=± m=± n=0 此时τ12=±（σ1 –σ2）/2
此面上有σ=（σ1 +σ2）/2 若σ1>σ2 >σ3则τmax=（σ1 –σ3）/2
此切应力为最大值即最大切应力。 主切应力平面
特性：1）三向等拉等压状态σ1=σ2 =σ3=±σ，则 τ12=τ23=τ13=0
由于静力平衡 即有： 解得：
13．1．2 应力分析单元体法
变形体多向受力，用截面法不全面，需改进——单元体法！
设物体内任一单元体受力，将全应力均加以分解后，得 九个应力分量stress components，可写为矩阵：
作用面 作用
方向 注意：应力是张量tensor（标量，矢量，张量） 张量的定义：满足坐标系转换关系的分量集合 正负号：正面正向、负面负向取正号，正面负向、负面正向取负 号。 单元体平衡有：τxy=τyx τxz=τzx τyz=τzy
习题： 13章 1、7
1、什么叫张量？张量有什么性质？ 7、已知受力物体内一点的应力张量为Mpa，求外法线方向余弦为的斜 切面上的全应力、正应力和切应力。
13．1．4 主应力与应力不变量stress invariants
主平面principal plane——切应力为0的平面。 主应力principal stress——主平面上的正应力。 应力主轴（主方向）——主平面的法线方向。 也就是将 变换为，即将实对称阵变为对角阵。
13．1 应力状态分析
目标：任意一点的应力状态stress state —— 整个变形体的应 力状态
13．1．1 应力分析截面法
外力outside forces—— 产生内力 应力：正应力（stress）σ，切应力（shear stress）τ 要点：截开物体后，内力变外力。 13．1．1．1 单向拉伸uniaxial tensile应力分析
特点：应力偏张量使形状变化，应力球张量使体积变化 结论：材料的塑性变形由应力偏张量引起。
13．1．6．2 应力偏张量性质
应力偏张量有三个不变量J1/ J2/ J3/ 其中J1/=0 J2/ 和J3/ 的表达式与前述类似。
在主坐标系中有： J1/=0 J2/ =[（σ1 –σ2）2+（σ2 -σ3）2+（σ3 –
l=cos(N, x) m=cos(N, y) n=cos(N, z)
解：将全应力沿坐标方向分解为：Sx Sy Sz 由静力平衡force equilibrium SxdA-σxdAx-τyxdAy-τzxdAz=0 而dAx=ldA dAy=mdA dAz=ndA 所以 Sx=σxl+τyxm+τzxn 同理 Sy=τxyl+σym+τzyn Sz=τxzl+τyzm+σzn 因此S2=Sx2+Sy2+Sz2 σ= Sxl+Sym+Szn =σxl2+σym2+σxn2+2(τxylm+τyzmn+τxzln) τ2= S2-σ2
将σ1=20代入求 l1 m1 n1 有方程组： （10-σ1）l+0×m-10n=0 0×l+(-10-σ1)m+0×n=0
-10×l+0×m+（10-σ1）n=0 且有：l2+m2+n2=1
可求出：l1 = -n1= ± m1=0 同理代入σ2=0 可求出l2 = n2=± m2=0
σ3=-10可求出l3 = n3=0 m3=±1 实际上解本题：将对称阵经正交变换转变为对角阵，且求 正交变换，即：
C1面上全应力：S=F/A=F/(A0/cosθ)=σ0 cosθ 正应力：σ=Scosθ=σ0 cos2θ 切应力：τ=Ssinθ=σ0 cosθsinθ
结论：任意方向都可由σ0 和θ确定其全应力S，正应力σ，切应 力τ，即：单向拉伸只需σ0即可确定任意面的应力状 态。
13．1．1．2 两向应力状态 设任意斜面AB（夹角θ）上的全应力S， S可以分解为正应力σ，切应力τ
已知，求 使
练习：Mpa，求主应力及主方向。
13．1．5 主切应力和最大切应力maximum shear stress
cipal shear stress——当切应力为极大值时，注意：此时正应力不一定为0。 推导：取应力主轴作为坐标轴 τ2= S2-σ2 =σ12 l2+ σ22 m2 +σ32n2-（σ1 l2+ σ2 m2 +σ3n2） 求τ的极值 且条件为l2+m2+n2=1 解出三个极值为： l=0 m=± n=± 此时τ23=±（σ2 -σ3）/2 此面上有σ=（σ2 +σ3）/2 l=± m=0 n=± 此时τ31=±（σ3–σ1）/2