北师版九上数学2 平行线分线段成比例
4.2平行线分线段成比例++课件+2024—2025学年北师大版数学九年级上册
探究新知
如果把直线 n 向左平移到 过A1的位置，并把图中的部分线擦去，
得到新的图形，那么基本事实中的对应线段是否仍然成比例？
A1 ( ) A2
B1
a
B2
b
A1(B1)
A2
B2
A3 m
B3 c n
A3
B3
推论
平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例。
用几何语言表述为：
A字型
∵DE∥BC， ∴ADDB＝AECE，AADB＝AACE，BADB＝AECC.
基本事实
两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。
A1 B1
A2
B2
A3
Hale Waihona Puke 三平两斜型a bB3 c
∵ a∥b∥c
∴
A1 A2 B1B2 A1 A3 B1B3
A2 A3 B2 B3 A1 A3 B1B3
例1
如图，AD∥BE ∥CF，直线m,n与这三条平行线分别交于A,B,C和 D,E,F, 已知AB=5，BC=10，DE=4，则EF的长为（ ） A.12.5 B.12 C.8 D.4
课堂小结 平
行 线 分 线 段 成 比 例
三
一个基本事实
个
一个推论
一
一个口诀
两个模型： 三平两斜型 A字型
数形结合 三
个
分类讨论
思
想
由特殊到一般再到特殊
感谢聆听
复习回顾
1.什么叫线段的比？ 2.什么叫成比例线段？ 3.比例的基本性质是什么？
探究新知
平行线分线段成比例
如图所示，小方格的边长都是1，直线 a∥b∥c，分别交
直线 m，n于A1，A2，A3，B1，B2，B3.
秋九年级北师大版数学上册课件：第4章 2.平行线线段成比例 (共11张PPT)
自我诊断 1. 如图，已知 AB∥CD∥EF，那么下列结论正确的是( A )
A.ADDF＝BCCE
B．CBEC＝DADF
C．CEDF＝BBCE
D．CEDF＝AADF
平行线分线段成比例定理的推论
平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的 对应线段成比例 .
证明：过点 D 作 DH∥BF 交 AC 于 H，则EADE＝FAHF，BDDC＝FCHH，又 D、E 分 别为 BC、AD 中点，∴AF＝FH＝CH，∴CF＝2AF.
解：∵DE∥BC，∴AADB＝AACE＝64＝23，∵DF∥AC，∴AADB＝CCBF，∴32＝C8F， 即 CF＝136，∴BF＝8－136＝83.
11．如图，AD 为△ABC 的中线，E 为 AD 的中点，连接 BE 并延长交 AC 于点 F.求证：CF＝2AF.(提示：过 D 点作 DH∥BF)
且 BP∶PC＝2∶3，作 PE⊥AB 于 E，PD⊥AC 于 D，则 PD＋PE 为 5 .
9．已知：如图，l1∥l2∥l3，AB＝3，DE＝2，EF＝4，求 AC 的长．
解：∵l1∥l2∥l3，∴BACB＝DEFE，即B3C＝24，∴BC＝6，∴AC＝AB＋BC＝3＋ 6＝9.
10．如图，△ABC 中，DF∥AC，DE∥BC，AE＝4，EC＝2，BC＝8.求 BF 和 CF 的长．
3 A.2
B．32
C．25
D．35
2．如图，在△ABC 中，DE∥BC，AD＝6，DB＝3，AE＝4，则 EC 的长为
(B) A．1
B．2
C．3
D．4
3．如图，在△ABC 中，MN∥BC，则 BM∶CN＝AM∶ AN ，AB∶AM ＝ AC ∶AN.
北师大版九年级数学教案-平行线分线段成比例
第三章圖形的相似2．平行線分線段成比例一、學生知識狀況分析學生在本章前兩課時的學習中，通過對相似圖形的直觀感知，體會到可以用對應線段長度的比來描述兩個形狀相同的平面圖形的大小關係。
從而認識了線段的比，成比例線段。
通過對方格紙中成比例線段的探究，瞭解了合比性質與等比性質，並在探究活動中積累了一定的合作交流的經驗，培養了提出問題與解決問題的能力。
同時學生通過對合比性質與等比性質的演繹證明，也進一步發展了邏輯推理能力。
二、教學任務分析本節課依舊採用前兩節在方格紙中探究的方式，引導學生得出平行線分線段成比例及其推論。
平行線分線段成比例定理是研究相似形的最重要和最基本的理論，是《課程標準》圖形的性質及其證明中列出的九個基本事實之一。
在知識技能方面，要求學生理解並掌握平行線分線段成比例定理及其推論，並會靈活應用。
學生經歷運用平行線分線段成比例及其推論解決問題的過程，在觀察、計算、討論、推理等活動獲取知識。
讓學生經歷“觀察—猜想—歸納—驗證”的數學思想，並體會數形結合和特殊到一般的思想方法。
進一步發展學生的說理和簡單推理的意識及能力；進一步體會數學與現實生活的緊密聯繫。
教學目標：（一）知識目標理解並掌握平行線分線段成比例的基本事實及其推論，並會靈活應用。
（二）能力目標通過應用，培養識圖能力和推理論證能力。
（三）情感與價值觀目標（1）、培養學生積極的思考、動手、觀察的能力，使學生感悟幾何知識在生活中的價值。
（2）、在進行探索的活動過程中發展學生的探索發現歸納意識並養成合作交流的習慣。
教學重點：平行線分線段成比例定理和推論及其應用。
教學難點：平行線分線段成比例定理及推論的靈活應用，平行線分線段成比例定理的變式。
三、教學過程分析本節課設計了五個教學環節：第一環節：複習設疑，引入新課；第二環節：探索發現平行線分線段成比例定理及其推論；第三環節：平行線分線段成比例定理及其推論的簡單應用；第四環節：課堂小結；第五環節：佈置作業．第一環節：複習設疑，引入新課內容：教師提問：（1）什麼是成比例線段？（2）你能不通過測量快速將一根繩子分成兩部分，使得這兩部分的比是2:3？目的：（1）複習成比例線段的內容，回顧上節課通過方格紙探究成比例線段性質的過程。
北师大版九年级数学2 平行线分线段成比例
∴AF = AE FC = 7 4 = 28 .
EB
55
(2)∵EF∥ BC,∴ AE = AF , AB AC
∵AB=10,AE=6,AF=5,
∴AC = AB AF = 10 5 = 25 .
AE
63
∴FC = AC - AF = 25 - 5 = 10 .
3
3
检测反馈
1.如图所示,已知直线 l1∥l2∥l3,AB=4,BC=6,DE=3,则EF为( B ) A.2 B.4.5 C.6 D.8
l4 l5
A
D
l1
B
E
l2
C
F
l3
l5l4 l1 l2 l3
l5 l4 l1 l2 l3
l5
l4
l1
l2
l3
l5
l4
l1
l2
l3
l5
l4
l1
l2
l3
L5
L4
E
D
L1
A
L2
B
C
L3
数学符号语言
DE // BC E D
A
AD AE
AB =AC B
C
L5 L4
L5 L4
A
L1
ED
L1
DE
L2
学习新知
在下图中，小方格的边长均为1，直线
l1∥l2∥l3，分别交直线m , n于格点
A1,A2,A3,B1,B2,B3
A A1
2
A
m 3
B
1
B2
ll12
B3
n
l3
问题1：计算线段A1A2,A2A3,B1B2,B2B3的长度.
在下图中，小方格的边长均为1，直线
4.2+平行线分线段成比例++课件++2024--2025学年北师大版九年级数学上册
第四章 图形的相似
目录页
课中学习
课堂小结
检测与作业
课前学习
反思
1.了解平行线分线段成比例的基本事实及其推论;（重点）2.会用平行线分线段成比例及其推论解决相关问题.（难点）
2
1. 什么是成比例线段？若，则________.2. 若四条线段a、b、c、d成比例，且a＝3，b＝4，c＝6，则d＝_____
D
D
任务二：归纳平行线分线段成比例定理推论（检测目标1）
2
【学法建议】仔细阅读课本相关内容并测量图中线段，小组合作动手实践，结归纳出定理推论。
2
1.自主学习课本83页的例题.如图，在△ABC中，E、F分别是AB和AC上的点，且 EF∥BC,(1)如果AE = 7,EB=5, FC = 4 ，那么AF的长是________.(2)如果AB = 10, AE=6，AF = 5 ，那么FC的长是______.2.如图，在中，点D、E分别为边AB、AC上的点，且DE∥BC，若AD=4，BD=8，AE=2，则CE的长为___________.
3．如图，AB∥CD∥EF，AD=4，BC=DF=3，则BE的长为（ ）A． B． C．4 D．6
A
任务三：定理及推论应用（指向目标2）
2
【学法建议】深入学习课本例题，分析题目条件，找准运用定理及推论的切入点，计算线段长度。
2
解：，， ，， ，，，.
平行于三角形一边的直线与其两边相交，截得的对应线段成比例
2
4
总结归纳
两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
◑推论
平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边延长线），所得的对应线段成比例
◑基本事实
《平行线分线段成比例定理》教案 2022年北师大版九年级数学上
4.2平行线分线段成比例定理【教学目标】知识与技能1．使学生在理解的基础上掌握平行线分线段成比例定理及其推论，并会灵活应用.使学生掌握三角形一边平行线的判定定理. 过程与方法通过应用，培养识图能力和推理论证能力. 情感、态度与价值观通过定理的教学，进一步培养学生类比的数学思想. 【教学重难点】教学重点：是平行线分线段成比例定理和推论及其应用．教学难点：是平行线分线段成比例定理的正确性的说明及推论应用． 【导学过程】【创设情景，引入新课】 1. 什么是平行线等分线段定理？2.如图（1）中，AD∥BE∥CF,且AB=BC,则的比值是多少？【自主探究】三条距离不相等的平行线截两条直线会有什么结果?？那么32若==EF DE ，,BC AB ？那么43若==EF DE ,，BC AB 你能否利用所学过的相关知识进行说明？【课堂探究】由上面例题我们可以得到： 1.平行线分线段成比例定理 ：两条直线被一组平行线所截,所得的对应线段成比例 说明：（1）画出定理的各种基本图形，对照图形写出相应的结论。
（2）写出其它的对应线段成比例的情况。
对应线段成比例可用下面的语言形象表示：右全左全右上左上全上全上下上下上===,,等等。
（3）由下面的定理的基本图形（1）和（2）得出推论2．推论：平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例 定理的基本图形和结论：3.例例：如图：在△ABC 中E,F 分别是AB 和CD 上的两点且EF//BC, （1）如果AE=7，EB=5，FC=4那么AF 的长是多少？ （2）如果AB=10,AE=6,AF=5那么BE 的长是多少？【当堂训练】（1）已知线段PQ ，在PQ 上求一点D ，使PD ：PQ=4：1； （2）已知线段PQ ，在PQ 上求一点D ，使PQ ：DQ=4：11.1 菱形的性质与判定 第1课时 菱形的性质【学习目标】A 型基本图形X 型基本图形（1） （4）（2） （3）1．理解菱形的概念，掌握菱形的性质．2．培养学生主动探究的习惯、严密的思维意识和审美意识．3．经历探索菱形的性质和基本概念的过程，在操作、观察、分析过程中发展学生思维意识，体会几何说理的基本方法．【学习重点】理解并掌握菱形的性质．【学习难点】形成推理的能力．情景导入生成问题1．平行四边形的一组对边平行且相等．2．平行四边形的对角相等．3．平行四边形的对角线互相平分．自学互研生成能力知识模块一探索菱形的性质先阅读教材P2－3页的内容，然后完成下面的问题：1．菱形的定义是什么？答：菱形定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．2．菱形具有平行四边形的所有性质吗？答：菱形是特殊的平行四边形，它具有一般平行四边形的所有性质．1．教师拿出平行四边形木框(可活动的)，操作给学生看，让学生体会到：平移平行四边形的一条边，使它与相邻的一条边相等，可以得到一个菱形，说明菱形也是特殊的平行四边形，因此，菱形也具有平行四边形的所有性质．2．如图：将一张矩形的纸对折再对折，然后沿着图中的虚线剪下，再打开．思考：(1)这是一个什么样的图形呢？(2)有几条对称轴？(3)对称轴之间有什么位置关系？(4)菱形中有哪些相等的线段？师生结论：(1)菱形；(2)菱形是轴对称图形，有两条对称轴，是菱形对角线所在的直线；(3)两条对称轴互相垂直；(4)菱形的四条边相等．3．归纳结论：菱形具有平行四边形的一切性质，另外，菱形的四条边相等、对角线互相垂直．知识模块二菱形性质的应用解答下列各题：1．已知菱形ABCD 的边长为3cm ，则该菱形的周长为__12__cm .2．如图，已知菱形ABCD 的周长为20cm ，∠A ＝60°，则对角线BD ＝__5__cm .典例讲解：如图，在菱形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，∠BAD ＝60°，BD ＝6，求菱形的边长AB 和对角线AC 的长．解：∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ＝AD(菱形的四条边都相等)，AC ⊥BD(菱形的对角线互相垂直)，OB ＝OD ＝12BD ＝12×6＝3(菱形的对角线互相平分)．在等腰三角形ABC 中，∵∠BAD ＝60°，∴△ABD 是等边三角形，∴AB ＝BD ＝6.在Rt △AOB 中，由勾股定理得OA 2＋OB 2＝AB 2，∴OA ＝AB 2－OB 2＝62－32＝33，∴AC ＝2OA ＝6 3.对应练习：如图，在菱形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O.已知AB ＝5cm ，AO ＝4cm .求BD 的长．解：∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD(菱形的对角线互相垂直)．在Rt △AOB 中，由勾股定理，得AO 2＋BO 2＝AB 2，∴BO ＝AB 2－AO 2＝52－42＝3.∵四边形ABCD 是菱形，∴BD ＝2BO ＝2×3＝6(菱形的对角线互相平分)．交流展示 生成新知1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自主探究、合作探究”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上．并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．知识模块一 探索菱形的性质 知识模块二 菱形性质的应用检测反馈 达成目标1．已知菱形ABCD的周长为8cm，则菱形的边长为__2__cm.2．已知菱形ABCD的两条对角线AC＝10cm，BD＝24cm，则菱形ABCD的周长为__52__cm.3．菱形具有而平行四边形不一定具有的性质是(B)A．内角和为360°B．对角线互相垂直C．对边平行D．对角线互相平行4．已知菱形的一条对角线与边长相等，则菱形的邻角度数分别为(B)A．45°，135°B．60°，120°C．90°，90°D．30°，150°课后反思查漏补缺1．收获：________________________________________________________________________ 2．存在困惑：________________________________________________________________________。
北师大版九年级数学上册平行线分线段成比例教学课件
问：
与 有什么关系？任意平移l5 ， 与
的关系是否产生变化？
l1
l2
l3
A
D
l4
B
E
l5
C
F
一 平行线分线段成比例（基本事实）
l1
l3
视察图象，得
（Ⅰ）
=
A
=
与 相等
点，DE∥BC，EF∥AB.
(2)若AD∶DB＝3∶5，求CF∶CB.
解：∵AD∶DB＝3∶5，
∴BD∶AB＝5∶8.
∵DE∥BC，∴CE∶AC＝BD∶AB＝5∶8.
∵EF∥AB，∴CF∶CB＝CE∶AC＝5∶8.
新知巩固
1.如图，已知AB∥CD∥EF，AF交BE于点H，下列结论中错误的是( C )
=
D
l4
B
E
l5ห้องสมุดไป่ตู้
（Ⅱ） 任意平移l5 ，如图
=
l2
C
F
与 相等
与 的关系没有产生变化.
同理，根据比例的基本性质，得
=
，
=
，
=
等.
一 平行线分线段成比例（基本事实）
平行线分线段成比例基本事实：
B
C
l5
D
E
l1
l2
F l
3
二 平行线分线段成比例定理的推论
4.2平行线分线段成比例 课件(共16张PPT) 北师大版数学九年级上册
AF交BC于点D，若BF=3EF，则 =
.
.
（ B）
.
.
点拨：过点E作 //交 BC 于点H,则
=
.
∵BE 是 △ 的中线， ∴ = , ∴ = .
∵ //, = , ∴
=
= , ∴
1 2 1 2
3 .计算
与
的值，你有什么发现？
2 3 2 3
如果不通过测量，我们要将一条长为5厘米的细线分成两部
分，使得这两部分之比为2：3.我们如何运用所学知识解决
这个问题呢？
知识讲解
自主探究
1.请同学们阅读课本82-83页内容.
2.思考并完成课本82页导入的内容中的问题可以得出什么结论？
例2：如图，已知AD为△ABC的角平分线，DE//AB交
AC于E，如果
= ，那么BD：BC等于（
D
）
A.3:5 B. 5:3 C.8:5 D. 3:8
点拨: ∵ //, ∴
=
=
,∴
=
.
【题型三】平行线分线段成比例与三角形中位线的综合应用
例3：如图，BE是△BC的中线，点F在BE上，延长
平行的直线，用它们截两条直线，然后测量被截
的每段线段的长度，观察并计算是否满足本节课
所学的基本事实.
清楚哪些线段是对应的，切勿写反.
注意：在应用基本事实和推论时，我们需要注意的是：对应线段成比例，一
4.2平行线分线段成比例(教案)2023-2024学年北师大版数学九年级上册
-比例线段的灵活应用：在实际问题中，如何将问题转化为比例线段的问题，并进行求解，是学生容易感到困惑的地线段的结构，并正确设置比例关系进行计算。
-解决问题的策略选择：学生在面对具体问题时，选择合适的方法和策略来解决比例线段问题，是学习的难点。
-举例：在有多种解法的情况下，如何选择最简捷、最高效的解题方法。
-空间观念的培养：对于几何图形在空间中的位置关系的理解和应用，对于部分学生来说是一个难点。
-举例：在三维空间中，如何将平行线分线段成比例的性质应用于不规则物体的切割和比例计算。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《4.2平行线分线段成比例》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过两条平行线之间的线段被分成比例的情况？”（如操场跑道的划分）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索平行线分线段成比例的奥秘。
其次，在新课讲授环节，我发现学生对理论知识的接受程度较高，但当我将问题具体化，进行案例分析时，部分学生开始显得有些吃力。这说明我们在教学中，除了讲解理论知识，还应加强实际案例的分析，让学生更好地理解和掌握。
在实践活动环节，分组讨论和实验操作使学生们对平行线分线段成比例有了更直观的认识。但我也注意到，有些小组在讨论过程中，对问题的分析不够深入，容易停留在表面。这可能是因为学生对几何直观能力的培养还不够，需要在今后的教学中加以强化。
-举例：已知平行线l1和l2之间的横截线段AB，且AC/BC = 2/3，若AC=4，求BC的长度。
-实际问题的应用：将比例线段知识应用于解决实际问题，提高学生学以致用的能力。
4.2平行线分线段成比例-2024-2025学年初中数学九年级上册(北师版)上课课件
的推论
平行于三角形一边的直线与其他两
边相交，截得的对应线段成比例.
符号语言：
若DE∥BC ，则
=
,
= ,
= .
熟悉该定理及推论的几种基本图形
例 如图，在△ABC 中，E,F 分别是AB 和AC上的点，且
EF∥BC .
（1）如果AE = 7,EB=5，FC = 4，那么 AF 的长是多少？
A
D
E
B
C
l1
l2
F l
3
（1）
A
D
B
E
C F
（2）
l1
l2
l3
解：（1）AB DE ，则DE AB EF 5 4 20 .
BC EF
BC
7
7
（2）DE AB ，则BC AB EF 5 7 35 .AC AB
EF BC
DE
6
6
BC 5 35 65 .
如上图中的 A1A2 与B1B2 是对应线段，A2A3与 B2B3
是对应线段，A1A3 与 B1B3 是对应线段.
2.对应线段成比例是指同一条直线上的两条线段的
比，等于另一条直线上与它们对应的线段的比，书
小心出
写时，要把对应线段写在对应的位置上.
错奥！
3.基本事实中的“所得的对应线段”是指被截直线
上的线段，与这组平行线上的线段无关.
2
3
（1）计算
A1 A2 B1 B2
，
A2 A3 B2 B3
你有什么发现？
1 2 1 2
=
2 3 2 3
北师大版数学九上 4.2 平行线分线段成比例
，你有什么发现？
（2）将b向下平移到如图2的位置，直线m，n与直线b的交点
A2 , B2
分别为
.你在问题（１）中发现的结论还成立吗？如果将
b平移到其他位置呢？
(图2）
猜想：在平面上任意作三条平行线，用它们截两条直线，
截得的对应线段成比例吗？
*证明猜想（特殊）
如果
AB 2 BC 3
AB
DE
，那么 BC 与 EF 相等吗？
则BD=3 ，BF= 2
二 平行线分线段成比例定理的推论
找一找：如图2、图3，l3∥ l4∥l5,请指出成比例的线段.
l1 l2
AA
l3
DD EE
l4
l1 l2
DD EE l3
AA
l4
BB
CC l5
图2
BB
CC l5
图3
猜想：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边 的延长线），所得的对应线段成比例.
M
l2
N F l3
由AB=BC得DM=EN
易证：△DME≌△ENF ∴ DE=EF.
*平行线等分线段
合作探究 平行线分线段的关系
如图（1），小方格的边长都是1，直线a ∥b∥c ,分别交直线
m,n于 A1, A2 , A3, B1, B2 , B3.
（1）计算 A1A2 , B1B2
A2 A3 B2 B3
D
l1
Q
E l2
N
G
F l3
*证明猜想（一般）
平行线分线段成比例
如果 BACB
n m
， 那么BACB
与
DE EF
相等吗？
A
解：相等.理由如下：我们分别找出AB 的n等分点和BC的m等分点，再过它们
数学九年级上北师大版4-2平行线分线段成比例课件(15张)
问题2：计算
A 1
A 2
与
BB 12
,
A 1
A 2
与
BB 12
,
A 2
A 3
与
BB 23
的值，
AA BB AA BB A13
你有什么发现？
探究新知
将 l 向下平移到如图的位置，直线m,n与l 的交点分别
2
2
为 A ，B ，问题2中的结论还成立吗？计算试一试。如
2
2
果将 l 平移到其他位置呢？
（2）.如果AB = 10, AE=6，AF = 5 ，那 么FC的长是多少？
B
C
巩固练习2 2、如图，在△ABC中，D、E分别是AB和AC上的点， 且 DE∥BC, （1）如果AD=3.2cm,DB=1.2cm ，AE=2.4cm,那么 EC的长是多少？ （2）如果AB=5cm, AD=3cm，AC=4cm ，那么EC的 长是多少？
23
23
13
13
13
13
明晰结论
推论：平行于三角形一边的直线与其他两
边相交，截得的对应线段成比例。
A
∵DE∥AB
D B
AD AE
上
E
BD CE
下
AD AE
上
AB AC
C
全
BD CE
下
AB AC
全
例题解析
例1、如图，在△ABC中，E、F分别是AB和AC 上的点，且 EF∥BC,
（1）.如果AE = 7, FC = 4 ，那么AF的 长是多少？
B
C
回顾与反思
通过本节课的学习你学会了什么？你是如何获取 这些知识的？
１．通过归纳与猜想，探索“两条直线被一组平行 线所截，所得的对应线段成比例”的基本事实．
平行线分线段成比例 (教案)数学九年级上册同步备课(北师大版)
北师大版九年级上册4.2平行线分线段成比例数学教学设计课题 4.2 平行线分线段成比例 单元 第四单元 学科数学年级九学习 目标1.理解并掌握平行线分线段成比例的基本事实及其推论,并会灵活应用。
2.通过应用,培养识图能力和推理论证能力。
3.培养学生积极的思考、动手、观察的能力,使学生感悟几何知识在生活中的价值。
重点 平行线分线段成比例定理和推论及其应用。
难点 平行线分线段成比例定理及推论的灵活应用,平行线分线段成比例定理的变式。
教学过程教学环节 教师活动学生活动 设计意图 导入新课教师提问：（1）什么叫比例线段？四条线段 a 、b 、c 、d 中，如果 a ：b=c ：d ，那么这四条线段a 、b 、c 、d 叫做成比例的线段，简称比例线段.（2）比例的基本性质？ 如果a cb d= ，那么ad=bc. 如果ad=bc (a, b, c, d 都不等于0)，那么a cb d= 学生思考回答问题。
复习成比例线段的内容，回顾上节课通过方格纸探究成比例线段性质的过程。
讲授新课如下图，小方格的边长均为1，直线l 1 ∥ l 2 ∥ l 3 , 分别交直线m ，n 于格点A 1，A 2, A 3, B 1，B 2, B 3.(1)计算121212122323232313131313A A B B A A B B A A B B 与,与,与A A B B A A B B A A B B的值，你有什么发现？(2)将l 2向下平移到如图的位置，直线m,n 与l 2的交点分别为A 2，B 2，你在问题(1)中发现的结论还成立吗？如果将l 2平移到其他位置呢？学生通过观察、度量、计算、猜测、验证、推理与交流等数学活动,得出结论。
让学生通过观察、度量、计算、猜测、验证、推理与交流等数学活动,达到对平行线分线段成比例定理的意会、感悟。
学生在以前的学习中,尤其是本章前两节的探究也是通过表格中的多边形来完成的。
所以学生有种熟悉(3)在平面上任意作三条平行线，用它们截两条直线，截得的线段成比例吗？试着在纸上画一画！想一想：你能得到什么结论？平行线分线段成比例的基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例．温馨提示：1. 一组平行线两两平行，被截直线不一定平行；2. 所有的成比例线段是指被截直线上的线段，与这组平行线上的线段无关；几何语言表示：如图，∵l3∥ l4∥ l5AB DE AB DE BC EF∴=,=,=BC EF AC DF AC DF【做一做】如左下图，直线a∥b ∥ c，分别交直线m，n于点A1，A2，A3，B1，B2，B3，过点A1作直线n的平行线，分别交直线b,c于点C2，C3（如右下图）. 右下图中有哪些成比例线段？让学生在探究得出结论的基础上,对平行线分线段成比例定理的有进一步的理解。
北师大版九年级数学上册教学课件《 平行线分线段成比例》
图2
图1
相等
探索新知
思考二： 如果把图1中l1 , l2两条直线相交，交点A刚落到l4上，如 图3所得的对应线段的比会相等吗？依据是什么？
图2
图1
相等
探索新知
推论
平行于三角形一边的直线与其他两边(或两边的延长线)相交，截得的 对应线段成比例。
探索新知 请你熟悉该定理及推论的几种基本图形。
学以致用
A1 A2 = B1B2 A2 A3 B2 B3
探索新知
②将ｂ向下平移到如下图2的位置，直线ｍ，ｎ与直线ｂ的交点 分别为A2，B2 。你在问题（１）中发现的结论还成立吗？如果 将ｂ平移到其他位置呢？
成立，A1A2 = B1B2 A2 A3 B2 B3
探索新知
③在平面上任意作三条平行线，用它们截两条直线，截得的线 段成比例吗？
归纳：平行线分线段成比例定理：两条直线被一组平行 线所截，所得的对应线段成比例。
符号语言： 若a ∥b∥ c ，则
A1 A2 = B1B2 A2 A3 B2 B3
被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。
探索新知
思考一： 如果把图1中l1 , l2两条直线相交，交点A刚落到l3上，如 图2所得的对应线段的比会相等吗？依据是什么？
2.要熟悉该定理的几种基本图形
北京师范大学出版社 九年级 | 上册
第四章·图形的相似
平行线分线段成比例
情景引入
1.比例线段的概念： 四条线段 a、b、c、d 中，如果 a：b=c：d，那么这四条线段 a、b、c、d 叫做成比例的线段，简称比例线段。
2.比例的基本性质 如果 a：b =c：d ，那么ad =bc。 如果 ad =bc，那么 a：b =c：d 。 如果 a：b =c：d，那么(a-b)：b =(c-d)：d; (a+b)：b =(c+d)：d。
初中数学北师大版九年级上册2 平行线分线段成比例
比例吗？
平行线分线段
基本事实：
成比例定理
两条直线被一组平行线所截，所得
的对应线段成比例.
符号语言：
若 l1
l2
l3 ，则
A1 A2 = B1B2 A2 A3 B2 B3
.
议一议：
1.如何理解“对应线段”？
2.“对应线段”成比例都 有哪些表达形式？
mn
A1
B1
a
A2
b B2
A3
c B3
探究活动二
D
E
即 AD AE 1.
DB EC 1
B
C
引入 (1)如图，在△ABC中，
D、E分别是AB和AC
上的中点。
A
AD 1 AB 2
AE 1 AC 2
D
E
即 AD AE 1 .
AB AC 2
B
C
引入 (2)如图，在△ABC中，点D、
E分别是AB和AC上的中点，
点F 、G分别是AD 、AE的
m,n于 A1，A2，A3，B1，B2，B3 。过点A1作直 线n的平行线，分别交直线b，c于点C2，C3。 如(图4)，图4中有哪些成比例线段？
mn
A1
B1
a
mn
A1
B1
a
A2
b B2
A2
C2
b B2
A3
c B3
A3
C3
c B3
（图3）
（图4）
探究活动二
mn
A1
B1
a
A2
A3
C2
C3
B2
b
c B3
零)，那么
.
复习旧知
(3)比例的性质
【北师大版】数学九(上)平行线分线段成比例同步练习本(课件版)
A.
C.
=
=
B.
D.
=
=
11. 如图，在△ABC 中，DE⫽BC，DE 分别与 AB，AC 相交
于点 D， E，若 AE = 4，EC = 2，则 AD∶AB 的值
为
2∶3
.
1
12. 如图，△ABC 中有菱形 AMPN，如果
= ，
AC 所在的直线于点 E，求 CE 的长.
解：如图 1，当点 D 在边 AB 上时，
∵AB = 6，AC = 9，AD = 2，
∴BD = AB - AD = 4. ∵DE⫽BC，
∴ =
4
，即6 =
9
. 解得 CE = 6.
如图 2，当点 D 在边 BA 的延长线上时，
∵AB = 6，AC = 9，AD = 2，
15. 如图，
E 为 AC 的中点，
点 F 在 AB 上，
且 AF∶AB = 2∶5，
EF 与 BC 的延长线交于点 D，求 EF∶ED 的值.
解：如图，作 EG⫽BC 交 AB 于点 G.
∵E 为 AC 中点，EG⫽BC，
∴AG = BG.
∵AF∶AB = 2∶5，即 AF∶FB = 2∶3，
AE
3
AC
4
DE⫽BC.若 = ，AD = 9，则 AB =
12
.
5. 如图，在▱ABCD 中，E 是边 AD 的中点，EC 交对角线 BD 于
点
F
1∶2
，
.
则
专题4_2 平行线分线段成比例【北师大版九上数学精品课件】
A
A1 a
B
B1 b
C
C1
l1
l2
c
讲授新课
知识点一 平行线分线段成比例的概念
如图，任意画两条直线l1，l2．再画三条与l1，l2相交
的平行线a,b,c分别度量l1，l2，被直线a,b,c截得的线
段是AB,BC，A1B1，B1C1，若AB=BC,
AB
A1B1
相等吗?
请问
与
BC
B1C 1
1
2
3
1
2
3
长为( )
A．4
18
B．5
C． 5
10
D． 3
【答案】C
AB
DE
【分析】根据平行线分线段成比例可得 BC EF ，代入数值即可求解．
【详解】解：∵ l ∥ l ∥ l ，
1
AB
DE
2
3
∴ BC EF ，而 AB=5，BC=6，DE=3，
∴ EF
BC DE 6 3 18
＝6， 求AD的值．
解： ∵EG∥BC
AG
∴
CG
＝
AE
＝ 3
EB
2
又∵GF∥DC
∴
AG
CG
AF
∴ FD
＝
AF
FD
＝
3
2
2
2
∴FD＝
AF＝ ×6＝4
3
3
∴AD＝AF＋FD＝6＋4＝10
当堂练习
1．如图，直线 l ∥ l ∥ l ，直线 AC 和 DF 被 l ， l ， l 所截，AB=5，BC=6，DE=3，则 EF 的
第四章 图形的相似
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EB
FC
解： AF AE • FC 7 4 28 .
EB
5
5
E
F
(2) EF∥BC
AE AF .
AB
AC
B
C
AB 10, AE 6, AF 5,
AC AB • AF 10 5 25 .
AE
6
3
FC AC AF 25 5 10 .
3
3
状元成才路
例 如图,△ABC中,DE//BC,EF//CD. 求证:AD是AB和AF的比例中项.
B C
获取新知
平行线等分线段定理的条件 相邻的两条平行线间的距离相等
状元成才路
三条距离不相等的平行线
Al
截两条直线会有什么结果?
B
猜 若 AB BC
2 ,那 么 ，DE
3
EF
？ 2 3
C
想 若 AB 3 ， 那么, DE ？ 3
： BC 4
EF
4
lD l1
E
l2
F
l3
你能否利用所学过的相关知识进行说明？
解： 由题：由题意
A B 900， EF AB
AD//EF//BC
AE DF , 即 a c EB CF b CF
CF bc (米)
状元成才路
a
用平行于三角形一边且和其他两边相交的直 线截三角形,所截得的三角形的三边与原三角 形的三边对应成比例.
已知:如图,DE//BC,DE分别交AB、AC于点D、E
分析: 分别在△ABC及△ADC中利用平行
线分线段成比例定理的推论.
A
证明 在ABC中,DE∥BC , AB AC
F
AD AE D
E
在ADC中,EF∥CD ,
AD AF
AC AE
B
C
AB AD AD AF
∴AD2=AB•AF,即AD是AB和AF的比例中项.
状元成才路
如图，有一块形状为直角梯形的草地，周围均为水泥 直道，两个拐角A、B处均为直角，草地中间另有一条 水泥直道EF垂直于AB，垂足为E.已知AE长a米，EB长 b米，DF长c米.求CF.
平行线等分线段成比例定理 三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例.
状元成才路
推论
平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的
延长线)所得的对应线段成比例.
l l
A
l1
El
l
D l1
D
E l2
A
l2
B
状元成才路
C l3
B
C l3
平行线分线段成比例定理与平行线等分线段 定理有何联系？
AD
B
E
当 AB 1
状元成才路
考察 AB 2 BC 3
设线段AB的中点为P1，线段 BC的三等分点为P2、P3. AP1=P1B=BP2= P2P3= P3C 分别过点P1,P2, P3作直线 a1,a2,a3平行于l,与l 的交点分 别为Q1,Q2,Q3.
Al
P1
B
P2 P3
C
lD QEQ1 QF2 3aalal12123
AC
F
当 AB 1 BC
C
F
结论：后者是前者的一种特殊情况！
状元成才路
例 如图,△ABC中,E,F分别是AB和AC上的点，且EF//BC.
(1)如图AE=7，EB=5，FC=4，那么AF的长是多少？
(2)如果AB=10，AE=6，AF=5，那么FC的长是多少？
(1) EF∥EF ,
A
AE AF , AE 7, EB 5, FC 4,
l3
这时你想到了什么？
DQ1=Q1E=EQ2=Q2Q3=Q3F 平行线等分线段定理
则： AB DE 2 .
状元成才路
BC EF 3
我们已经得到
若l1 //l2
//l3 ,
AB BC
2， 3
则 DE 2 EF 3
即： AB DE BC EF
Al B
C
lD l1
E
l2
F
l3
除此之外，还有其它对应线段成比例吗？
求证：AD AE DE AB AC BC
DE//BC
AD AE AB AC
EF//AB
AE BF AC BC
状元成才路
DE=BF
A
D
E
B
F
C
AD AE DE AB AC BC
课堂小结
一、平行线分线段成比例定理： 三条平行线截两条直线，所得的对应线段
成比例. （关键要能熟练地找出对应线段） 二、要熟悉该定理的几种基本图形
A
D
DA
B
E
BE
C
状元成才路
F
C
F
三、注意该定理在三角形中的应用
状元成才路
课后作业
1.从课后习题中选取； 2.完成练习册本课时的习题.
状元成才路
2 平行线分线段成比例
北师大版 九年级上册
状元成才路
复习旧知
平行线等分线段定理 推论1
推论2
平行线等分线段定理的应用 ➢把线段n等分 ➢证明同一直线上的线段相等
状元成才路
如何不通过测量，运用所学知识，快速将一条长5 厘米的细线分成两部分，使这两部分之比是2:3?
A
则 AB 2 BC 3
状元成才路
怎样用
AB BC
DE EF
得到其他比例式？
状元成才路
BACB
DE EF
反比
合比
BC EF AB DE
合比
AB BC DE EF
AC DF BC EF
反比
AC DF AB DE
? AB BC AC DE EF DF
状元成才路
BC EF AC DF
合比
BECF
AC DF
AB DE AC DF