动生电动势和感生电动势

动生电动势和感生电动势

§6-2动生电动势和感生电动势

动生电动势：回路或其一部分在磁场中的相对运动所产生的感应电动势。感生电动势：仅由磁场的变化而产生的感应电动势。

一动生电动势

图6-5动生电动势

动生电动势的产生可以用洛伦兹力来解释。

长为l的导体棒与导轨构成矩形回路abcd平放在纸面内，均匀磁场b垂直纸面向里。当导体棒ab以速度v沿导轨向右滑动时，导体棒内自由电子也以速度v随之一起向右运动。每个自由电子受到的洛伦兹力为

f=（。e）v。b，

方向从b指向a，在其作用下自由电子向下运动。

如果导轨是导体，在回路中将形成沿着abcd逆时针方向的电流。如果导轨是绝缘体，则洛伦兹力将使自由电子在a端累积，从而使a端带负电，b端带正电，在ab棒上产生自上而下的静电场。当作用在自由电子上的静电力与洛伦兹力大小相等时达到平衡，ab间电压达到稳定值，b端电势比a端高。这一段运动导体相当于一个电源，它的非静电力就是洛伦兹力。

电动势定义为单位正电荷从负极通过电源内部移到正极的过程中，非静电力k所作的功，即

k。f。e。。v。b.

动生电动势为

。

。。。k。dl。。a（v。b）。dl.

b（6.4）

均匀磁场情况。若v。b，则有。=blv；若导体顺着磁场方向运动，v。。b，则有v。b=0，没有动生电动势产生。因此，可以形象地说，只有当导线切割磁感应线而运动时，才产生动生电动势。

普遍情况：在任意的恒定磁场中，一个任意形状的导线线圈l（闭合的或不闭合的）

1

在运动或发生形变时，各个线元dl的速度v的大小和方向都可能是不同的。这时，在整个线圈l中产生的动生电动势为。

。。（v。b）。dl.

（l）（6.5）

图6-6洛伦兹力不作功

洛伦兹力对电荷不作功。洛伦兹力总是垂直于电荷的运动速度，即fv。v，因此洛伦兹力对电荷不作功。然而，当导体棒与导轨构成回路时会有感应电流出现，这时感应电动势却是要作功的。

感应电动势作功能量的来源。在运动导体中的自由电子不但具有导体本身的运动速度v，而且还具有相对于导体的定向运动速度u，与此相应的洛伦兹力fu。u.自由电子所受到的总的洛伦兹力为

f=。e（u。v）。b

。fu+fv，

它与合成速度u。v垂直，总的洛伦兹力不对电子作功，即f。（u。v）。0.

利用fv

或

。v。0和fu。u。0，由上式可得

f。（u。v）。（fv。fu）。（u。v）。fv。u。fu。v。0，

。fu。v。fv。u.

实际上，为了使导体棒能够在磁场中以速度v匀速运动，必须施加外力f0，以克服洛伦兹力的一个分力fu。。eu。b.利用上式的结果可以看到，f0克服fu所作的功为

f0。v=。fu。v=fv。u.

外力克服洛伦兹力的一个分量fu所作的功f0。v，通过洛伦兹力的另一个分量fv对电子的定向运动作了正功fv。u，从而全部转化成了感应电流的能量。因此，洛伦兹力并不提供能量，而只是传递能量。洛伦兹力在这里起了能量转化作用，其前提是运动物体中必须有能够自由移动的电荷。

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二感生电动势

在磁场变化而产生感生电动势的情况下，导体回路不动，其非静电力不可能是洛伦兹力。人们发现，不论回路的形状以及导体的性质和温度如何，只要磁场变化导致穿过回路的磁通量发生了变化，就会有数值等于d。/dt的感生电动势在回路中产生，说明感生电动势的产生只是由变化的磁场本身引起的。

麦克斯韦在电磁感应现象分析的基础上提出。变化的磁场在其周围空间激发一种新的电场，称为感生电场或有旋电场，用er表示，以区别于库仑场ec，后者是电荷按库仑定律激发的电场。

有旋电场与库仑场都是一种客观存在的物质，它们对电荷都有作用力。

与库仑场不同的是，有旋电场不是由电荷激发的，而是由变化的磁场激发的；描述有旋电场的电场线是闭合的，从而有。er。dl。0，

d。dt因此有旋电场不是保守场或势场。实际上，产生感生电动势的非静电力k正是这一有旋电场er，即

。

。。er。dl=。.（6.6）

三电磁感应定律的普遍形式

在普遍情况下，电场e是库仑场ec和有旋电场er的叠加，

即

e。ec。er.

ec。dl=0，因此感生电动势为

（6.7）

（l）由于库仑场是势场，。。

。。（ec。er）。dl=。e。dl.

（l）另一方面，按照法拉第电磁感应定律，有

。

。。d。dt。。ddt。。b。ds，

（s）式中s是以环路l为周界的曲面。当环路l不动时，可将对时间的微商与对曲面的积分的顺序颠倒，得

。e。dl。。。。（l）（s）。b。t。ds.（6.8）

此即电磁感应定律的普遍（积分）形式，它是麦克斯韦方程组的一个方程。

根据矢量分析中的斯托克斯公式，利用导出安培环路定理的微分形式类似的方法，可以由式（6.8）得到

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。。e=。。b。t，（6.9）

这就是电磁感应定律的微分形式。上式表明，即使没有导体存在，变化的磁场也会在空间激发涡旋状的感生电场。

在式（6.9）中代入磁矢势a的定义式

可得

b。。。a，

。。（e+。a。t）。0.

对于任何标量函数。，总有

。。（。。）。0，

。。（e所以由上式

+。a。t）。0，

可得

e=。。a。t。。。，（6.10）

这就是用矢势a和标势。表示电场强度e的普遍表达式。

当电磁场与时间无关时，有

。。a。t。0，

e。。。。。。。v，

于是。还原为静电势v.

为了使矢势a有确定值，对于随时间变化的电磁场，可采用。。a+。0。0。。。t。0

（6.11）

作为附加条件来限制矢势a和标势。，该条件称为洛伦兹条件或洛伦兹规范。

矢势a和标势。的重要性。

①四维电磁矢势（ax，ay，az，i。/c）；

。。qa）2。q。]。（p，

②有心力场中运动粒子的薛定谔方程为i。。。t。或