三角形中正切恒等式证明
三角函数中的三角恒等式详解
三角函数中的三角恒等式详解三角恒等式是三角函数中的重要概念，在数学中具有广泛的应用和意义。
它们描述了各种三角函数之间的关系和等式。
通过研究和掌握三角恒等式，可以解决各种与三角函数相关的问题，同时也可以更深入地理解三角函数的性质和特点。
1. 正、余、正切三角恒等式正弦、余弦和正切是最基本的三角函数之一，它们之间有许多重要的恒等式。
其中最基本的是正弦和余弦的平方和等于1，即sin^2θ + cos^2θ = 1。
这一恒等式被称为“三角恒等式之母”，它表明了正弦和余弦函数在单位圆上的关系。
同时，我们还可以通过这个恒等式推导出其他的三角恒等式。
2. 倍角和半角恒等式在三角函数的学习中，学习和掌握倍角和半角恒等式是非常重要的。
倍角恒等式描述了两个角的和或差与三角函数之间的关系，它们形式上的表示为：sin2θ = 2sinθcosθ，cos2θ = cos^2θ - sin^2θ，tan2θ =2tanθ/ (1 - tan^2θ)。
这些恒等式在解决实际问题时起到了关键的作用，可以简化计算，并提供了更多的数学工具。
半角恒等式则是倍角恒等式的逆过程，它描述了一个角的正弦、余弦、正切与另一个角的关系。
其中最为常用的是正弦半角恒等式：sin(θ/2) = ±√[(1 - cosθ) / 2]，其中的正负号根据θ所处的象限来确定。
3. 和差恒等式和差恒等式描述了两个角的和或差与三角函数之间的关系。
三角函数的和差恒等式分为正弦和余弦的和差恒等式，以及正切的和差恒等式。
最常用的是正弦和余弦的和差恒等式：sin(θ ±φ) = sinθcosφ ±cosθsinφ，cos(θ ±φ) = cosθcosφ ∓ sinθsinφ。
这些和差恒等式在解决三角函数的运算问题时，提供了简化计算的方法，并方便进一步化简表达式。
4. 导数和积分恒等式在微积分中，也存在一些与三角恒等式相关的导数和积分恒等式。
正切恒等式的应用
正切恒等式【证明】tan(A B +tan tan B ++】若A B +【证明】利用正切恒等式，令tan tan B A +】令0k =时，当【例1】tan()tan()tan()tan()_________θθθθ-++-+= )θ⎤⎥⎦.A .C-C【例4】________=.A B1.C-1.Dtan tanB A=，2tan B=，则______A=，由正切恒等式k，则实数t的取值范围是（)A+∞.(1,)B+∞.(1,C.(1,1)D-ABC∆是锐角三角形，，ABC ∆是锐角三角形，所对的边分别是tan A B =，则ABC ∆的面积的取值范围是（ ）)A +∞ B1.(C D【解析】tan tan A+1sin 2ab C =法一：正弦定理：sin sin sin a b A B ==sin sin sin sin(60A B A =3sin 24=，0A ︒<<302A ∴︒<4，33ab ≤，故选A .1C .3D 【解析】6018︒+︒+【例11】(1【解析】[](1tan12)(1tan147)(1tan12)1tan(147)(1tan12)(1tan33)2+︒-︒=+︒+-︒=+︒+︒=。
【例12】已知,αβ为锐角，且满足(tan 1)(tan 1)2αβ--=，则______αβ+=【解析】(tan 1)(tan α-【例13】在ABC ∆中，60C =︒，tan tan 122+=，则tan tan 22⋅= ．【解析】tan tan 2A +tan 2tan30B ++3tan =-⋅【例14】在ABC ∆中，已知三内角满足2B A C =+，则tan tan tan ______++=。
【解析】2B A =+，tan tan 2A +1tan 2tan302tan30C C -++⋅︒tan 22C C +=，tan 3tan 2C A ++-【例15】在ABC ∆中，tan tan 1+=，则tan 的取值范围为 ． tan tan 2A +31tan 4∴≤-法二：正切恒等式tan tan 2A +tan tan 2A ⋅【例16】在锐角【解析】sin ，tan C 依次成等差数列，则【解析】由题可知，2tan tan tan B A C =+，tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=，3tan tan tan tan B A B C ∴=，tan tan 3A C ∴⋅=。
三角恒等式的推导
三角恒等式的推导正文：三角恒等式是解决三角函数关系的基本工具之一，它们在数学、物理、工程等领域的应用非常广泛。
本文将从最基本的三角恒等式出发，逐步推导出一系列常用的三角恒等式，并给出相应的证明。
1. 基本三角恒等式：最基本的三角恒等式是正弦、余弦和正切的定义：在单位圆上，设角θ对应的弧长为s，那么正弦、余弦和正切分别定义为：sinθ = y，cosθ = x，tanθ = y/x其中x、y分别为弧上点的横纵坐标。
基于这些定义，我们可以推导出一些基本的三角恒等式：1.1 倍角公式：sin2θ = 2sinθcosθcos2θ = cos^2θ - sin^2θtan2θ = 2tanθ / (1 - tan^2θ)这些公式在计算中经常使用，可以通过将θ替换为2θ来证明。
1.2 和差公式：sin(α ± β) = sinαcosβ ± cosαsinβcos(α ± β) = cosαcosβ - sinαsinβ这些公式可以通过利用三角函数在单位圆上的几何性质来证明。
2. 三角平方和与差公式：通过平方和与差的公式，我们可以推导出另外一组常用的三角恒等式：2.1 平方和公式：sin^2θ + cos^2θ = 11 + tan^2θ = sec^2θ1 + cot^2θ = csc^2θ这些公式是三角函数最基本的性质，可以通过直接计算sinθ、cosθ和tanθ的平方来证明。
2.2 平方差公式：sin^2θ - cos^2θ = -cos2θtan^2θ - 1 = -sec^2θcot^2θ - 1 = -csc^2θ这些公式可以通过将平方和公式中的某个恒等式进行重排和化简得到。
3. 和积公式：sinαsinβ = (1/2)(cos(α - β) - cos(α + β))cosαcosβ = (1/2)(cos(α - β) + cos(α + β))这两个公式可以通过和差公式和倍角公式的组合来推导。
正切恒等式探究
正切恒等式探究正切恒等式：()++=,n n Z αβγπ∈⇔tan +tan +tan =tan tan tan αβγαβγ. 证明：由()++=,n n Z αβγπ∈得，+=n αβπγ-，两边取正切，得()tan +tan =tan =tan 1tan tan αβγγαβ---，所以tan +tan =tan tan tan tan αβγαβγ-+， 所以tan +tan +tan =tan tan tan αβγαβγ.反过来，由tan +tan +tan =tan tan tan αβγαβγ，也可以得到()++=,n n Z αβγπ∈. 由tan +tan +tan =tan tan tan αβγαβγ得到，()tan +tan =tan 1tan tan αβγαβ--， 所以tan +tan =tan 1tan tan αβγαβ--，所以()()tan +=tan αβγ-， 所以+=n αβπγ-，所以，()++=,n n Z αβγπ∈.故()++=,n n Z αβγπ∈⇔tan tan tan tan tan tan αβγαβγ++=.注释：在恒等式中要保证tan ,tan ,tan αβγ都有意义.正切恒等式是一个优美，奇妙的等式，在三角恒等变换中正切是一个比较活跃又比较陌生的元素，切化弦是常规思路，但很多时候， 直接用恒等式处理会有意想不到的惊喜.例1.求0000tan 20tan 4020tan 40+的值.分析：在恒等式中令1n =，即++=αβγπ，则tan tan tan tan tan tan αβγαβγ++=，再令0120γ=，则0+=60αβ，则tan tan tan αβαβ+-=，tan tan tan αβαβ+00=20=40αβ当， 时，0000tan 20tan 4020tan 40+由此可得很多等式0000tan 24tan 3624tan 36++0000tan12tan 48tan 48++等等.注释：当++=αβγπ时，可看作三角形的特例，在斜三角形ABC ∆中，tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=.例2.求()()()()00001+tan11+tan 21+tan 441+tan 45L L 的值.分析：在恒等式中令1n =，++=αβγπ即，则tan tan tan tan tan tan αβγαβγ++= 再令0135γ= ，+=45αβ则，则tan tan 1tan tan αβαβ+-=- 则()()1+tan 1+tan =2αβ ()()001+tan11+tan 44=2则 ，()()001+tan 21+tan 43=2 ，()()001+tan31+tan 42=2 ()()()()()()()()()000000000231+tan11+tan 21+tan 441+tan 45=1+tan11+tan 441+tan 21+tan 431+tan 45=2L L L L例3.求ABC ∆中，已知角,,A B C成等差数列，则()tan tan tan 2222A C A C +=.A.BCD分析：在ABC ∆中，因为角,,A B C 成等差数列，所以=3B π，+=223A C π，+=022A CB -，所以tan tan tan 2222A C A C +=,所以tan tan tan 2222A C A C += 所以答案选C.例4.已知βα，为锐角，且()()1+tan 1+tan 2αβ=，则+αβ= 解析.因为()()1+tan 1+tan 2αβ=，所以tan +tan +tan tan 12αβαβ+=， 所以tan +tan +tan tan tan tan 44ππαβαβ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以+4n παβπ-=， 因为βα，为锐角，所以+=4παβ. 例5.已知βα，为锐角，且()()tan 1tan 12αβ--=，则+αβ= 解析.因为()()tan 1tan 12αβ--=，所以tan tan tan tan 12αβαβ--+=， 所以tan +tan +tan tan tan tan 44ππαβαβ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以++4n παβπ=， 因为βα，为锐角，所以3+=4παβ.例6.求ABC ∆中，已知角,,A B C tan tan tan A B A B -=,求角C.tan tan tan A B A B -=tan =tan +tan A B A B 所以tan tan tan =tan +tan +tan 33A B A B ππ，所以3A B n ππ++=，因为,,A B C 是三角形的内角，所以2=3A B π+，所以3C π=.。
正切恒等式的证明
正切恒等式的证明正切恒等式的证明？别急，听我慢慢给你讲解，保证你听了以后恍若大梦初醒，瞬间明白了。
我们要证明的其实就是一条看似简单却又不容易捉摸的数学定理——正切函数的恒等式。
要知道，正切是三角学里的一员猛将，它既能计算角度，又能出现在各种复杂的公式里。
不过，要揭开这层神秘的面纱，还是得从基础入手，轻松一步步走过。
别着急，咱们从最简单的开始，理清楚了思路，一切都变得不那么复杂了。
你知道正切是干啥的吗？其实很简单，正切函数就是一个角的正弦和余弦之比。
想象一下，一块大饼，你从饼的中心画一条线到饼的边缘，再画一条垂直线跟着它走，这不就成了直角三角形吗？正弦就是这个三角形对着角的那一边（也就是垂直边），而余弦呢，就是邻着角的那一边（也就是底边）。
所以，正切就等于对边（正弦）除以底边（余弦）。
说得再通俗点，正切就是你爬得有多高（对边），走得有多远（底边），这俩比起来，就是正切。
好了，咱们现在聊聊最常见的正切恒等式。
你听过“正切的平方加一等于sec²θ 吗？”别急，跟我一起算。
这个式子看着简单，实际上要理解清楚也不容易。
我们要用到的其实就是三角函数的一个经典关系式。
我们知道一个三角恒等式——sin²θ + cos²θ = 1。
对吧？这是大家高中数学里都学过的，那不就成了我们搞正切的工具了吗？接下来咱们就大胆地把正切、正弦、余弦都串起来。
假设我们有一个角θ，它的正切是tan(θ)，那么正切就是sin(θ) 除以cos(θ)。
想象一下，当你把正切的平方代进去，咱们要做的就是把tan²(θ) 这个式子代进公式。
也就是说，tan²(θ) + 1 这个式子到底等于啥呢？我们来分析一下，ta n²(θ) 不就是sin²(θ) 除以cos²(θ) 吗？嗯，这么看，似乎要变成一个复杂的式子。
别急，咱们再想想，它是不是可以跟sin²(θ) + cos²(θ) = 1 这条公式产生某种联系呢？对！咱们这么一想就豁然开朗了。
三角函数恒等式
三角函数恒等式三角函数是数学中重要的概念之一，常用于解决与角度和三角形相关的问题。
而三角函数恒等式则是三角函数中的一类特殊等式，它们在数学推导和证明中起到重要的作用。
本文将详细介绍三角函数恒等式的概念和一些常见的恒等式，并给出一些有关恒等式的证明和应用的例子。
首先，让我们来了解一下三角函数恒等式的定义。
在三角函数中，我们通常会遇到诸如sin、cos、tan等函数，它们都与角度有关。
那么，三角函数恒等式就是对于任意给定的角度，恒成立的等式。
也就是说，对于所有的角度x，等式左侧和等式右侧的值始终相等。
接下来，我们将介绍一些常见的三角函数恒等式。
首先是最基础的三角函数恒等式之一，即平方恒等式。
对于任意角度x，有sin^2(x) + cos^2(x) = 1。
这个等式表明，一个角的正弦函数的平方加上它的余弦函数的平方始终等于1。
这个恒等式在解决三角形相关的问题时非常有用，可以帮助我们计算三角形的边长和角度等信息。
接下来是正切函数的倒数恒等式。
对于任意角度x，有tan(x) =1/cot(x)。
这个恒等式表明，一个角的正切函数等于它的余切函数的倒数。
这个恒等式在计算有关角度的问题时经常被使用。
此外，还有一些三角函数恒等式涉及到多个三角函数之间的关系。
例如，对于任意角度x，有cos(2x) = cos^2(x) - sin^2(x)。
这个恒等式将角的余弦函数与角的正弦函数进行了关联，通过它我们可以将一个角的余弦函数表达为两个角的正弦函数的差。
值得一提的是，三角函数恒等式的证明通常需要使用代数运算和三角函数的基本定义，以及一些角度的和差公式和倍角公式等等。
在证明某个三角函数恒等式时，我们需要利用已知的恒等式或者定义，将等式的一边转化为与之等价的形式，最终证明等式的两边相等。
三角函数恒等式在解决数学问题、物理问题和工程问题中起到重要的作用。
在求解三角函数的值和计算三角函数相关量时，我们可以通过利用已知的恒等式将问题转化为更简单的形式。
正切恒等式的应用
正切恒等式的应用陈万龙(湖南省华容县第二中学，湖南岳阳414215)我们知道，在斜A/IBC中有恒等式t an4 + tan6 + tanC = tan/4tan Stan C. ........ (^)方亚斌在文[1 ]中对（※）式进行了非常详 细的剖析以及介绍了它在高考试题中的应用. 灵活应用丨※）式还能便捷处理一大批不等式 问题.例1在锐角AAfiC中，求证：cos(B -C)cos(C -y4)cos(/4- B) ^ 8cos/4cosficosB.证明：cos(B - C)cosAxx —x2 In n;, - \nx2X\X2由对数均值不等式得1ln(x}x2)X2X2郁繁密的树叶，看似难以捉摸，实则息息相关，故而在研究问题时应拨开层层枝叶，寻其根源，以本见全.“题根”的这种由基础到综合、由简单到复杂的教学方式既夯实了基础，符合“回归题根”的学习理念，也满足了不同学生的认知需求，为学生的个性化发展提供了滋养的土壤.*[1]2参考文献Xy+X2 X X X2… 2(%j x2)艮P 2 < -----------< -¥2-•函数-■^在(0，+ 〇〇 )单调递Y^1^2v^4 9[^)1^, /i(2e2) =ln2e2- ~= = 2 + l n2 - ^ <v2e2e2 < ^(工内），所以，工而> 2e2.评注:本题解答关键是利用对数均值不等 式、不等式的性质和均值不等式，并利用“减 元”策略将“和元”U +巧）化为“积元”¥2,即化为单变量的函数，便可巧妙构造单调函数 轻松获证.总之，数学教学研究，离不开解题研究，常 常需要站在系统的高度教、学知识，注重对数 学中哲理的发现、汲取，注重一题多解、多解归 一、多题归一.本文研究“题根”，从“对数均值 不等式”这一解题利器走向多题归一，一线串 通，归一用一，研究“题根”对教学、命题和解题 都有深远的意义，变幻多端的数学题目犹如葱[1]张国治，程似锦，于雯青，李浩玉.探 源溯流一-走进数学“寻根”之旅[J].数学教学，2017(2):13- 17.[2]中国数学会普及工作委员会及数学 奥林匹克委员会.2018高中数学联赛备考手册(预赛试题集锦）[M].上海：华东师范大学出版社，2018.[3]中国数学会普及工作委员会及数学 奥林匹克委员会.2017高中数学联赛备考手册 (预赛试题集锦）[M].上海:华东师范大学出版社,2017.[4]中国数学会普及工作委员会及数学 奥林匹克委员会.2019高中数学联赛备考手册 (预赛试题集锦）[M].上海：华东师范大学出版社,2019.[5]新青年数学教师工作室.当代中国数 学教育名言解读[M].上海：上海教育出版社，2015.[6]张国治，耿梁燕•寻觅“题根”溯源一类 导数压轴题[J].数学通讯，2020(丨）:56 - 60.cos (B - C ) sinSsinC + cosBcosC -cos ( J 5 + C ) sinflsinC - cosBcosC _ tanBtanC + 1 _ tanAtanBtanC + tanA tanBtanC - 1 tan/ltanBtanC - tan^l(tanA + tanB ) (tan C + tarii 4)tan 6 + tan C同理可得cos ( C — A ) cos 6(x + y + x )2 ^ 3(%j +yz + zx ),可得y [ (x - y )2 +(y - z )2 +(z - x )2] 3： 0,故原不等式成立.注:本例首先想到的便是将左边的正弦转 化为正切，而万能公式恰好能实现这一目标. 通过换元后，便可将原不等式转化为常见的代 数不等式了.=32tan B + tan C ) (tan B + tan ^l )tanC + tanA例3在锐角AABC 中，求证:cos Acos (6 - C )+cos (A - B ) cosC2y(tanC + tan 4) (tanC + tanB )tanA + tanfi cosB cos C3cos ( C - A ) cos (A - B ) 2证明：由例1的证明过程可知原不等式可化为以上三式相乘，即有cos (B - C ) cos (C - A ) cos (A - B )---------------------^ 〇 ?cosAcosBcos C因此原不等式成立.注:本例的证明是将余弦化为正切，然后 将(:※）式右边的积式化为左边的和式,这便为 利用基本不等式创造了条件，即2tan 4 + tanB + tanCtanB + tanC tanC + tanA-------------------+--------------------h2tan4 + tan 6 + tanC 2ta n 6 + tanC + tanAtan 4 + tanB3----------------------------------------------------------------------------^—•2tanC + tanA + tanB2^ x = tan B + tan C , y = tan C + tanA , z -tan^l + tanB (%、y 、z > 0)，则不等式等价于i i i 这是一个熟知的结y + z z + x x + y2=(tan /1 + tanB ) + (tanA + tanC )^ 2y(tanA + tanB ) (tan/l + tanC )，依次类推，最后得出结论.例2 在锐角A 4S C 中，求证：+sinzA112 2 2~~^ H ----sin 2B sin 2C tanA tan 6 tanC 证明：令 * = tanA , y = tanjB，z = tanC ，则有:»: > 0, y > 0, z > 0,且+y +z 那么由万能公式可得原不等式等价于1 +x 2 1 + y 2 1 +z 2 2 2 2--------+-------— +-------- —+ ——+ —,2x 2y 2z x y z即论，在文[2]中可找到.例4在锐角三角形A 4S C 的外侧，以三 角形的三边为直径各作一个半圆.A /IS C 的三 条高线W )、C F 的延长线分别交半圆周于G 、//、/三点（图1) •求证：元.而.万> T T .3(11i \x + y + z + —+ —rz 1x + y + z3('xy + yz + zx\\[xyz /所以证明：在 与 RtAACF，RtAfiFC与R tA B m ，RtACft 4 与RtAC£B 中，即有BE CFtanA =M =^… CF ianB =—=BF A D^ ~B D'tanC =ADT cBE~~CE'所以tan2A*tan*fi *tan'CAD1■BE2•CF2~ AE ■AF - BF •BD •CD ■CE__________AD2■BE2• CF2________ ~ (BD ■CD)(AE•C E)(A F•BF) AD2• BE2•CF2~ DG2•EH2•FI2'因此，tanA •tanB •tanC =AD BE CF m'l H'T i-由（※彡式则有AD BE CFT G m'T i=tan4 +tanB + tanC注:本题通过直角三角形找到了边与角之 间的正切关系，将含正切的六个等式相乘得一 个等式，但分母却含有六个因式，不像分子，含 有平方关系.那么能否将分母化为分子那样的 平方关系之积呢？这由C D是RtA GBC斜边 fiC上的高，根据射影定理，即知CD2=BD •其余类似，这样就能得到新式，而tan x在 (〇,tt)时有tam > 1经过这样一系列的推理 过程，问题才完美解决.例5若AZ)£F是锐角ZU BC的垂足三角2) ,_g.fiC=a,C A=b,AB= C,AAEF^ ABDF、ACZ)£的内切圆半径分别为r,、r2、•、_ ^. C L b C r—厂3•求证：—+ — + — ^ 12v3.ri r2r3证明：因为f i E丄C F丄从，所以^BEC = /LCFB = 90°.又点五、尸在S C同侧，则S、C、£、F四点 共圆，所以乙从F = Z B,乙从£ = Z C.从而 AAEF ~ AABC.f f Af r,于是了（其中r为的内切圆半径).义五1厂在 Rt中，cos>!= ^，故一 =cos>4，艮Pr丨=rcosA.同理厂2 :厂⑶8^，r3 =rc〇sC.^ ^ 2/^从而一=-----=—tan4 彡4tan/l(其中 /?厂丨rcos/4r为的外接圆半径）•同理1 ^4tanB, — ^ 4tanC.r2r3由于tan A+ tan B+ tan C^3ytan/ltanfitan C = 3 y/ianA + tanB + tanC，因此得 tan/l + tanB + tanC > 3>/?.故有一+ — + — > 4( tan4 + tan B +r\r2r3tanC) ^ 12^/3.注:本题由题意即可得到三组相似三角形，由此恰好就可以得出边长《、6、c与内切圆 半径r,、r2、之间的比例关系，从而得到关系式i=^tanj等，于是可由欧拉不等式得出ri r4tan4,这恰恰是解决本题的关键点，最后ri由（※丨式不难得到本题的证明.例6设锐角A/IBC中，乙4、乙B、Z C的对边长分别为a、6、c.延长/1B到点(?，使= a，延长似到点P，使fM= 6,延长flC到点//,使 C//= 6,延长C B到点C，使S C= c，延长C/1到点财，使M/l= C,延长4C到点yv，使cyv= a.直 线 C<?、///V、A/P围成 A/T fiT'(图 3)•记A4BC与A f B'C'的面积分别为A与A:求证彡25.A解：如图3,显然△ABC g A///VC^ AGBQ^A A MP,且 A A fGH、A B’MN、ACT^为底边长为a +6 + c,底角分别为乙B、乙C的等腰三角形•易得S aa 'g h - ~(a +b + c )2tan /l ,S aba //v =-~(a + b + c )hanB ,1 2S AC,P (? = ~^~(a + 6 + c ) tanC .从而有又tan A + tanB + tanC = tan/ltanfitan C ,则^ ^ tanfi tan CtanBtanC = 1 +---- +----tanA tanA于是^^A 'B 'C ' = ^AA'GH + ^AB'M N + ^AC'PQ ~ ^A A B C=—（a + t + c ) 2( tan/i + tanB +4tanC ) — 2SA /4B C1 9=—(a + b + c ) tanAtanBtanC - 4^^ A BC-A ’ > —(a + 6 + c )2tan/ltanBtanC - 2A .4由上式及熟知的不等式（a +6+ c )2 > 12#A ,三角不等式tan /UanBtanC 彡3V ?，即得A ( ^• 12v^"A • 373 - 2A = 25A ,4故有^多25.A工 tanBtan C = 3 + ^tanB tan C ----+-----tan C tan J 5^ 9.进而有又 tan2A ^ ^ tan Stan C > 9.又tan /lv^l +tan 2y 4=ytan2A +tanM=---\J (tan2A +tan 4A ) (3 + 9)/12^ ---(^3tanA + 3tan 2.4)y n = T tanM +y tanA ,注:处理本题最为关键应是找到四个全等 三角形，进而得出底边长均为a + 6 + c ,且底角 分别为乙冬乙B 、乙C 的三个等腰三角形，这 样A '与A 也就不难表示了.例7已知锐角A 4S C 中，外接圆半径/?= 1,乙/I 、乙S 、Z C 的对边依次为a 、6、c .求证：5= 18 + 1273.1 一 sin 41 - sinB 1 - sinC证明：由正弦定理易知原不等式等价于sin/l多9 + 6在sin ( 1 + sinA )1 - sinA 1 - sin2Asin 2y 4 sirii 4+sin 4sin /11cosMcosyl cos^l则有It sinA-sinAtan 2y 4 + tan A \/l + tan2A ,又 tan 2 A + I tan A y /1 + tan 2 A .而X tan/l > 3A ，从而得▽sinA^ l - sin /1& X t a 〇2/4 + X (鲁一 + —tan /l |=—^ [ (2 + ) V a n A + tanA ]為去[9(2 + #) + 3万]=9 + 6在注:本题与上面6例均有所不同，不等式中 既含有边又含有角，从而要把边与角统一成角 的形式，然后将角的正弦形式化为正切形式， 这样便为后面使用不等式带来了便利.参考文献[1] 方亚斌.一题一课，高考数学命题探 秘[M ].杭州：浙江大学出版社,2017.[2]周沛耕，王博程•数学奥林匹克竞赛标准教材[M ].北京:北京教育出版社，文津出 版社，2004.。
正切恒等式的证明
正切恒等式的证明嘿，我最近在数学课上被一个叫“正切恒等式”的家伙给难住了。
你知道，就是那个tan(A + B) = (tanA + tanB) / (1 tanA*tanB)的公式。
这玩意儿听起来就像是一堆乱码，但老师非说这是数学界的一个神级公式，说它能解决很多问题。
好吧，我虽然不太懂，但好奇心驱使我决定来一探究竟。
那天下午，我坐在图书馆里，面前摊开了几本数学书，旁边是一杯热腾腾的咖啡。
我翻开了一本看起来最厚的那本，里面密密麻麻的都是公式和符号。
我瞪大了眼睛，试图从这些符号中找出点门道来。
突然，我看到了一个熟悉的身影，是我的室友小李。
他手里也拿着一本书，看起来和我一样困惑。
我赶紧招手让他过来：“小李，你也来研究这个啊？”小李点点头，苦笑着说：“是啊，我也被这个公式搞得头都大了。
你说，这公式到底是怎么来的？”我挠了挠头，说：“我也不知道，但我觉得它肯定有它的道理。
你看，tan(A + B)这部分，就像是两个人站在一起，我们要找出他们夹角正切的关系。
”小李听了我的解释，眼睛一亮：“对啊，就像两个人站在一个直角坐标系里，我们要找出他们之间的夹角。
那这个公式，是不是就是告诉我们，怎么从两个角的正切值，来计算他们夹角的正切值呢？”我点头赞同：“没错，这就是这个公式的精髓。
不过，要证明它，可不容易啊。
”小李瞪大了眼睛：“那我们试试看？”于是，我们俩开始埋头研究起来。
我们先是画出了A和B两个角的图形，然后又画出了它们的正切线。
接着，我们开始尝试用三角函数的性质来推导这个公式。
“你看，这个1 tanA*tanB，是不是可以理解为两个正切线的垂直距离？”我指着图说。
小李点头：“没错，这个距离，其实就是A和B两个角的夹角的正切值。
”我们俩一边讨论，一边在纸上画图，写着公式。
时间不知不觉地过去了，我们竟然真的推导出了tan(A + B) = (tanA + tanB) / (1 tanA*tanB)。
“哇，我们竟然做出来了！”小李兴奋地跳了起来。
三角恒等变换的证明
三角恒等变换的证明三角恒等变换是指通过对三角函数的基本关系进行代数运算，得到新的等价形式。
它在解决三角函数问题中起到了非常重要的作用。
本文将通过推导和证明，展示三角恒等变换的原理和应用。
下面将介绍一些常见的三角恒等变换。
一、正弦和余弦的平方和恒等式在三角恒等变换中，正弦和余弦的平方和恒等式是最基本的恒等式之一。
它的表达式如下所示：(sinθ)² + (cosθ)² = 1该恒等式可以通过勾股定理来证明。
假设一个直角三角形，其中一条直角边对应的角度为θ，斜边的长度为1。
根据三角函数的定义，正弦和余弦的值可以通过对应的边长比斜边长来表示。
由此可得sinθ = 对边/斜边 = a/1 = a，cosθ = 邻边/斜边 = b/1 = b。
代入三角函数的平方和恒等式中可以得到：(sinθ)² + (cosθ)² = a² + b² = 1由此可见，三角恒等变换的基本原理是建立在几何图形和三角函数的关系之上的。
二、正弦和余弦的和差恒等式正弦和余弦的和差恒等式在三角恒等变换中也是非常常见的。
它用来处理三角函数的相加或相减问题。
下面是正弦和余弦的和差恒等式的表达式：sin(α ± β) = sinαcosβ ± cosαsinβcos(α ± β) = cosαcosβ ∓ sinαsinβ这些恒等式可以通过将θ替换成α ± β，然后利用三角函数的和差公式进行证明。
三、正切和余切的和差恒等式正切和余切的和差恒等式和正弦和余弦的和差恒等式非常相似，只是公式中的三角函数变为正切和余切。
下面是正切和余切的和差恒等式的表达式：tan(α ± β) = (tanα ± tanβ)/(1 ∓ tanαtanβ)cot(α ± β) = (cotαcotβ ∓ 1)/(cotβ ± cotα)这些恒等式的证明方法与正弦和余弦的和差恒等式类似，通过将θ替换成α ± β，利用三角函数的和差公式来推导得到。
正切恒等式的证明过程
正切恒等式的证明过程正切恒等式，听起来是不是有点高大上？别担心，今天咱们就来聊聊这玩意儿，轻松幽默，不用担心太复杂的公式。
正切这个词，它可不是你在菜市场看到的那种腌制品。
它实际上是三角函数中的一种，和角度的关系密切得很。
简单说，正切就是直角三角形里，对边和邻边的比值。
这就像你在学校上体育课的时候，心里想着怎么才能不被老师点到名一样，总是想要找到个合适的角度，别让自己太显眼。
说到正切恒等式，可能你会觉得这就是一堆枯燥无味的公式在纸上跳舞，但实际上，这个恒等式可是个神奇的家伙。
它告诉我们，正切角度的值可以通过其它的三角函数来表示。
听起来是不是有点像魔术？没错，就是那种一瞬间让你眼前一亮的感觉。
比如，咱们常说的正切角α，可以用正弦和余弦来表示。
公式写出来是这样的：tan(α) = sin(α) / cos(α)。
简单吧？这就像你用两种不同的水果拼成一个色拉，虽然原材料不一样，但最终的味道却是美妙的。
为什么这个恒等式如此重要呢？想象一下，生活中遇到问题，总是需要找个靠谱的解决办法。
而在三角函数的世界里，正切恒等式就是你的好帮手。
无论你是要计算高楼大厦的高度，还是想知道斜坡的倾斜度，只要掌握了这个恒等式，基本上就可以应对自如。
就像你做饭时，如果有一份好的食谱，哪怕你是厨房小白，照样能做出一顿美味的晚餐。
让我们来一步一步地证明这个正切恒等式吧。
我们要画一个直角三角形，简单粗暴，画出来就能看懂。
设定一个角α，看看这个角的对边和邻边。
好啦，别害怕，虽然这时的三角形有点像你小时候画的房子，但这就是关键的第一步。
对边的长度我们叫做a，邻边的长度我们叫做b。
现在，别忘了正弦和余弦哦，sin(α)就是对边除以斜边，cos(α)就是邻边除以斜边。
这时候，咱们给斜边取个名字，假设它叫c。
经过这些步骤，我们可以得到sin(α) = a/c 和cos(α) = b/c。
现在，别眨眼，最精彩的时刻来了！要得到tan(α)，我们把sin(α)除以cos(α)。
三角形中正切恒等式证明
三角形中正切恒等式证明在三角形中，我们常常使用不同的三角函数来求解各类问题。
其中，正切函数（tangent）是我们经常会用到的。
它代表了一个角度的正切值，也就是三角形斜边与直角边的比值。
在学习三角函数的过程中，我们通常会学习到一系列的三角函数恒等式。
这些恒等式是极其常用的，对于我们理解和解决各类三角形问题非常有帮助。
其中，正切函数的恒等式尤为特殊，我们今天就来探讨一下，三角形中正切恒等式的证明方法。
一、正切函数的定义首先，我们需要了解正切函数的定义，以便更好地理解正切恒等式的证明过程。
正切函数的定义如下：设角A的角度为α，其余两边长度为b、c，斜边长度为a，则角A的正切值定义为：tanα = b / c即，正切值等于三角形斜边与直角边之间的比值。
二、正切恒等式的表述基于正切函数的定义，我们可以推导出正切恒等式：tan(α + β) = (tanα + tanβ) / (1 - tanα * tanβ)其中，α、β分别为三角形中两个角的角度。
这个恒等式在许多三角函数问题中都起到了非常重要的作用。
接下来，我们来探究一下，这个正切恒等式是如何被证明出来的。
三、证明正切恒等式我们将证明过程分为几个步骤：1. 证明一个中间式子我们从中间式子开始证明。
这个式子是：tan(α + β) = (sin(α + β) / cos(α + β))其中，两个角的正弦值和余弦值如下：sin(α + β) = sinα * cosβ + cosα * sinβcos(α + β) = cosα * cosβ - sinα * sinβ我们将正切值转换成它的定义式(斜边和直角边的比值)：sin(α + β) / cos(α + β) = (sinα * cosβ + cosα * sinβ) / (cosα * cosβ - sinα * sinβ)2. 化简将右侧的分数乘上(cosα * cosβ + sinα * sinβ)，得到sin(α + β) / cos(α + β) = (sinα * cosβ + cosα * sinβ) / (cosα * cosβ - sinα * sinβ) * (cosα * cosβ + sinα * sinβ) / (cosα * cosβ + sinα * sinβ)这样化简之后，我们可以得到：sin(α + β) / cos(α + β) = (sinα * cosβ + cosα * sinβ) * (cosα * cosβ + sinα * sinβ) / ((cosα * cosβ)^2 - (sinα * sinβ)^2)3. 使用三角函数恒等式我们接下来使用三角函数恒等式来化简右侧的式子，从而得到更简单的结果。
正切恒等式与射影定理(数学技巧点拨系列)讲义
正切恒等式与射影定理【知识点讲解】1、正切恒等式斜三角形ABC 中，tan +tan +tan =tan tan tan A B C A B C .2、推导过程()tan tan tan tan 1tan tan B CA B C B C +=-+=--，所以tan tan tan tan tan tan A B C A B C++=3、射影定理a ＝b cos ＋c cos ；b ＝a cos ＋c cos ；c ＝b cos ＋a cos ．由图可知：BC=BD+CD 又因为CD=b cos C ,BD=c cos B 所以：a＝b cos C ＋c cos B4、正弦平方差公式（补充知识点）sin 2α－sin 2β＝sin(α－β)sin(α＋β).5、推导过程sin（A +B）×sin（A -B）=（sinA cosB +cosA sinB ）x （sinAcosB -cosAsinB）=sin²Acos²B -cos²Asin²B=sin²A（1-sin²B）-sin²B（1-sin²A）=sin²A -sin²Asin²B -sin²B +sin²Asin²B =sin²A -sin²B6、解题导语使用正切恒等式与射影定理只是能够简化过程，但是在考试中不能直接使用，需要推导。
但在一些小题中能够快速得答案，所以学习是有必要的。
【例题讲解】【例1】已知a b c ，，分别为ABC 三个内角A B C ，，的对边，且cos cos b C a B a ⋅+⋅=，则ABC 是（）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰或直角三角形【跟踪训练1】在ABC 中，cos sin a b C c B =+，则角B 是（）A ．6πB ．4πC ．3πD ．23π【例2】已知△ABC 中，tanB ＋tanC，则角A 为()A ．3πB ．6πC ．23πD ．56π【跟踪训练2】（多选）已知ABC 为锐角三角形，且sin sin sin A B C =，则下列结论中正确的是（）A ．tan tan tan tanBC B C +=B ．tan tan tan tan tan tan A B C A B C =++C ．41tan 3A <≤D ．tan tan tan A B C 的最小值为4【对点训练】一、单选题1．在ABC 中，A ，B ，C 分别为ABC 三边a ，b ，c 所对的角，若cos 2B B =，且cos cos 2sin sin 3sin B C A Bb c C+=，则a c +的最大值是（）A ．1BC ．2D ．二、多选题2．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，则下列说法正确的是（）A ．cos cos c aB b A=+B ．若cos cos a A b B =，则ABC 为等腰或直角三角形C ．若22tan tan a B b A =，则a b=D ．若333a b c +=，则ABC 为锐角三角形3．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，下列说法正确的是（）A ．若cos cos a A bB =，则ABC 一定是等腰三角形B ．若AB =45B ∠=︒，3AC =，则满足条件的三角形有且只有一个C ．若ABC 不是直角三角形，则tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=D ．若0AB BC ⋅<，则ABC 为钝角三角形4．已知在非直角三角形△ABC 中，三个内角为A ，B ，C ，下列陈述正确的是A ．sin （A ＋B ）＝sin C B ．cos （A ＋B ）＝cos CC ．sin （2A ＋2B ）＝sin2CD ．tanA·tanB·tanC ＝tanA ＋tanB ＋tan C5．在ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，下列与ABC 有关的结论，正确的是（）A ．若ABC 为锐角三角形，则sin A ＞cosB B ．若A ＞B ，则sin A ＞sin BC ．若ABC 为非直角三角形，则tan A +tan B +tan C ＝tan A tan B tan CD ．若a cos A ＝b cos B ，则ABC 一定是等腰三角形三、填空题6．在ABC 中，内角A B C ､､的对边分别为,,a b c ，()cos cos 0C a B b A c ++=，则角C 的大小为___________.7．在锐角△ABC 中，C ＝4π，则tan A +tan B 的最小值为_____8．(1)已知函数()()22f x log x a =+，若()f 31=，则a =_____．(2)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2＝2，a 11－a 4＝7，则S 13＝________.(3)若命题“∃x ∈R ，使得x 2+（a ﹣1）x+1＜0”是真命题，则实数a 的取值范围是______．(4)在△ABC 中，tanA ＋tanB，且sinA·cosA ，则此三角形为_______．9．在锐角三角形ABC 中，若sinA=2sinBsinC ，则tanAtanBtanC 的最小值是______.四、解答题10．在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且2cos cos cos a C b C c B =+.(1)求角C 的大小；(2)设c =，从下面两个条件中选择一个，求ABC 的周长.①sin sin2A B -=；②ABC11．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，设向量(),m a c =，()cos ,cos n C A = .(1)若m n∥，c =，求A ；(2)若3sin m n b B ⋅=，4cos 5A =，B 为锐角，求cosC 的值.12．在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且cos cos cos 2b Cc Ba A +=.(1)求角A 的值；(2)若2BC AB ==，过C 作AC 的垂线与AB 的延长线交于点D ，求BCD △的面积.13．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，请从下面三个条件中任选一个作为已知，并解答后面的问题：①a c a bb a c--=+②2cos cos cos c C a B b A=+③△ABC 的面积()2221sin 2S C a b c =+-(1)求C ；(2)若D 为AB 中点，且2c CD =，a ，b .注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.14．在ABC 中，内角,,A B C的对边分别是,,a b c ，且6,b ABC = 的面积是①､条件②这两个条件中选择一个作为已知，回答下列问题.(1)求角A ；(2)求a .条件①sin sin 3a C c A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，条件②2cos cos cos c A a B b A=+注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.15．在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ．在①()()b c a b c a bc +-++=，②2cos cos cos 0a A b C c B ++=，③()2cos 2cos 2AB C +=这三个条件中选择一个做条件．(1)求角A 的大小；(2)若3a =，求ABC 面积的最大值．（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．）16．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知2cos 2cos 0c B b C ab +-=.(1)求b ；(2)若AD AB ⊥交BC 于点D ，6ACB π∠=，ABC S = ，求CD 边长.17．在ABC 中，,,a b c分别是角,,A B C 所对应的边，若c =ABC 2cos (cos cos )c C a B b A =+(1)求角C 的大小(2)求ABC 的周长18．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，有三个条件①cos sin 0a C C b c +--=；②22(sin sin )sin sin sin B C A B C -=-；③2cos (cos cos )A c B b C a +=，请在这三个条件中任选一个，并加以解答．(1)求A ；(2)若3a =，且2c b =，求ABC 的面积．19．在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，cos cos 2cos a B b A c C +=.(1)求角C 的大小；(2)若4CA CB ⋅=，6a b +=，求c .20．A ，B ，C 为三角形ABC 的内角，R 为三角形ABC 外接圆半径，r 为△ABC 内切圆半径.（1）求证：tan A +tan B +tan C ＝tan A tan B tan C (A ，B ，C π2≠)；（2）求证：2abcRr a b c=++．21．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知tan A ＋tan B ＋tan CB tanC ．(1)求A 的大小；(2)若a①sin B -sin C ＝2；②b ＋2c ＝③△ABC 的面积为4中选择一个作为已知，求△ABC 的周长．。
三角恒等式证明
《三角恒等式证明》同学们，今天咱们来聊聊三角恒等式证明。
啥是三角恒等式呢？简单说，就是那些在三角形里一直都成立的等式。
比如说，sin²α + cos²α = 1 ，这就是一个很常见的三角恒等式。
那怎么证明这些恒等式呢？咱们来举个例子。
就说证明tanα = sinα / cosα 吧。
咱们先想想，tanα 是啥？它是角α 的正切值，就是对边比邻边。
sinα 是啥？是角α 的正弦值，是对边比斜边。
cosα 呢？是角α 的余弦值，是邻边比斜边。
那sinα / cosα ，不就是（对边/斜边）÷（邻边/斜边）嘛，约分一下，不就变成了对边比邻边，也就是tanα 啦。
再给大家讲个小故事。
有个同学叫小明，他一开始特别怕三角恒等式证明，觉得太难了。
后来老师给他仔细讲了几个例子，他慢慢就明白了。
有一次考试，正好考到了一个三角恒等式证明的题，小明一下子就想起来老师讲的方法，顺利做出来了，可高兴啦。
证明三角恒等式的时候，要灵活运用咱们学过的三角函数的定义和性质。
比如说，有时候要用到两角和与差的公式，像sin（α + β）= sinαcosβ + cosαsinβ 。
还有倍角公式，像sin2α = 2sinαcosα 。
同学们，别觉得这些公式难，多做几道题，多练习练习，就会发现其实也没那么可怕。
比如说，证明（sinα + cosα）² = 1 + 2sinαcosα 。
左边展开就是sin²α + 2sinαcosα + cos²α ，因为sin²α + cos²α = 1 ，所以左边就等于1 + 2sinαcosα ，这不就证明出来了嘛。
三角恒等式证明就像一个解谜的过程，找到关键的线索，就能解开谜题。
好啦，关于三角恒等式证明咱们就先说到这儿，希望同学们以后遇到这类题都能轻松搞定！。
三角函数的恒等式及证明方法
三角函数的恒等式及证明方法在学习三角函数时，我们不可避免地涉及到三角函数的恒等式。
三角函数是解决角度相关问题的有力工具，而三角函数的恒等式是三角函数理论应用的必备内容。
一、常见的三角函数的恒等式1. 余弦函数的恒等式余弦函数在三角函数中应用广泛，下面是一些常见的余弦函数的恒等式：cos(-x)=cos(x) ——余弦函数是偶函数cos(x+π/2)=-sin(x) ——余弦函数与正弦函数是相位差为π/2的函数，且余弦函数的相邻两个极值点相差π/2cos(x+y)=cos(x)cos(y)-sin(x)sin(y) ——余弦函数的和角公式cos2(x)=(cos(x))^2-(sin(x))^2 ——余弦平方的二倍角公式cos(x)cos(y)=(1/2)[cos(x+y)+cos(x-y)] ——余弦函数的积角公式2. 正弦函数的恒等式正弦函数也是常用的三角函数之一，下面是一些常见的正弦函数的恒等式：sin(-x)=-sin(x) ——正弦函数是奇函数sin(x+π/2)=cos(x) ——正弦函数与余弦函数是相位差为π/2的函数，且正弦函数的极值出现在余弦函数的零点sin(x+y)=sin(x)cos(y)+cos(x)sin(y) ——正弦函数的和角公式sin2(x)=(sin(x))^2+(cos(x))^2 ——正弦平方的二倍角公式sin(x)cos(y)=(1/2)[sin(x+y)+sin(x-y)] ——正弦函数的积角公式3. 正切函数的恒等式正切函数是另一常用的三角函数，下面是一些常见的正切函数的恒等式：tan(-x)=-tan(x) ——正切函数是奇函数tan(x+π)=tan(x) ——正切函数是周期函数，其周期为π，而tan(x)的极限值在π/2和-π/2处取值tan(x+y)=(tan(x)+tan(y))/(1-tan(x)tan(y)) ——正切函数的和角公式tan2(x)=(1-cos(2x))/(1+cos(2x))=(sin(2x))/(1+cos(2x)) = ((1-cos(x))/sin(x))^2 ——正切平方的二倍角公式二、证明三角函数的恒等式的方法无论是什么类型的三角函数恒等式，其证明都是基于三角函数之间的关系以及三角函数的基本公式，原则上都可以通过代数推导、等式转化、几何图示等多种方式进行证明。
专题5 解三角形二级结论与推论
专题5 解三角形二级结论与推论知识点一 以正切为背景的二级结论体系1.正切恒等式：任意斜三角形中，tanC tan tan tanC tan tan ⋅⋅=++B A B A （正切恒等式）证明：B A BA B A C tan tan 1tan tan )tan(tan ⋅-+=+=-tanC tan tan tanC tan tan ⋅⋅=++⇔B A B A2.正切比值（射影比值）定理：tan λtan (λ1)cos A B c b A11222+=--λλc b a )0(≠λ． 证明：（充分性）因为B A tan λtan =，所以BBA A cos sin λcos sin =，所以AB B A cos sin λcos sin =， 即A B A B B A cos sin 1)λ(cos sin cos sin +=+，故A BC B A cos sin )1λ(sin )sin(+==+，A b c cos )1λ(+=．根据余弦定理，222(λ1)2b c a c b bc ，故222(λ1)()(λ1)0b a c ，即11222+=--λλc b a ，必要性反推即可，这里不详细说明． 几何背景如下左图：CD 为AB 边上的高，且DA BD λ=，则B BDhAD h A tan λtan λ===； 由于A b AD cos =，A b B a BD cos cos λ==，所以A b BD AD c cos )1(+=+=λ; 由于222222)1(AD AD BD b a -=-=-λ，且222)1(AD c λ+=，所以11222+=--λλc b a 所以，正切的比值定理也叫射影比值定理.建议大家画图记忆，以便考场中随时推导.注意： 当1=λ时，即我们上一讲介绍到的2cos sin 2sin cos c b A C B A ，就是等腰三角形;当0=λ时，cos sin sin cos cos 0c b AC B A B ，是直角三角形,由于直角无正切值，故0≠λ.3. 正切倒数和(底高比)定理： 公式一：222λ2λ⇔tan λtan 1tan 1c b a C B A +=+=+公式二：B A C c S B A sin sin sin 2tan 1tan 12λλλ=⇔=⇔=+，且42+≤+λbaa b ；【证明】公式一：（充分性）因为C B A tan λtan 1tan 1=+，所以CCB B A A sin cos λsin cos sin cos =+，所以C B A B C A A B C cos sin sin λcos sin sin cos sin sin =+，C ab B ac A bc cos λcos cos =+，所以222222222λ()222b c a a c b a b c ，所以222λ2λc b a +=+．必要性反向证明即可．公式二：B AC A B A B BBA AB A sin sin sin sin cos cos sin sin cos sin cos tan 1tan 1λλλ==+⇒=+⇒=+ λλ24sin 214sin sin sin 21sin 212222c R C R C B A C ab S =⋅=⋅==，4)sin(4sin cos 2sin sin sin cos 2cos 2222222+≤++=+=+=+=+=+λϕλλC C C BA C C ab c C ab ab b a b a a b （其中λϕ2tan =）几何背景C B A tan tan 1tan 1λ=+型 λ=+BA tan 1tan 1型公式一如左图：由于C h c h BD h AD B A tan λtan 1tan 1==+=+，且C c b a C c ch S tan )(412tan 22222-+===λ，故λ22222c c b a =-+，即2222c b a λλ+=+ 公式二如右图：λ==+=+h c h BD h AD B A tan 1tan 1，故λ222c ch S ==； λCC ch h CS h b h a h B A sin sin sin 2sin sin 22===⋅= 由于几何背景完全依附于底高比和等面积法，故此定理也叫底高比定理.建议画图理解，加深对模型的理解和记忆.【例1】（2023•新疆模拟）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若22a b kab +=，则ABC∆的面积为22c 时，k 的最大值是( )A ．2BC ．4D ．【例2】（2023•绍兴月考）在锐角三角形ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若ABC ∆的面积24a S =，给出以下两个结论；（1）sin 2sin sin A B C =；（2）tan tan tan A B C 有最小值为8．则( ) A ．（1）正确，（2）错误 B ．（1）错误，（2）正确 C ．（1）（2）都正确D ．（1）（2）都错误【例3】（2023•淄博期末）已知ABC ∆的三个内角A ，B ，C 满足sin 2sin cos 0B A C +=，则( )A ．ABC ∆是锐角三角形B ．角B 的最大值为3π C ．角C 的最大值为23πD ．202220222022sin sin sin A B C +< 【例4】（2023•多选•南京模拟）ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos 2cos Ca c B-=，1b =，11tan tan A C+=( ) A ．1ac = B ．3B π=C ．ABC ∆D ．ABC ∆1【例5】（2023•多选•金坛区月考）设ABC ∆边a ，b ，c 所对的角分别为A ，B ，C ，若ABC ∆2，则以下结论中正确的是( ) A ．b aa b+取不到最小值2 B ．b aa b+的最大值为4C ．角C 的最大值为23πD ．23b a c a b ab +-的最小值为-【例6】（2023•黄冈期中）在锐角ABC △中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若4cos a b C b a，则tan tan tan tan C CA B（ ）A ．1B ．12C ．4D ．2注意：本题就是22222c c b a λ=-+反推C B A tan λtan 1tan 1=+． 【例7】（2023•天津期中）已知ABC 为锐角三角形，设角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，R 为ABC 外接圆半径．（1）若1R ，且满足22sin sin (sin sin B C B C =+2sin )tan A A -，求22b c 的取值范围； （2）若2222cos b c aR A a ，求tan tan tan A B C 的最小值．同步训练1.（2022•多选•南岗区期末）在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，ABC ∆的面积为S ，若22a S =，则下列结论一定正确的有( )A ．bc a =B ．22222tan a A b c a =+-C ．c bb c+D ．2bca有最小值2.（2022•多选•天心区期末）若ABC ∆的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足224sin 02A Bb a a +-+=，则下列结论正确的是( ) A ．角C 可以为锐角 B ．22220a bc +-=C ．tan BD ．3tan tan 0A C += 3.（2023•武汉期中）在斜三角形ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若4cos c A b ，则tan 6tan tan tan A C BA的最小值为（ ）A B C D ．324.（2023•沈阳月考）在ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，若2222024a b c +=，则2tan tan tan (tan tan )A BC A B ⋅+的值为( ) A ．2023B ．2022C ．2021D ．20245.（2023•天宁区校级期末）在ABC ∆中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，且BC ，则c bb c+取得最大值时，角A 的值为( ) A ．2π B ．6π C ．23π D ．3π 6.（2023•多选•亳州月考）在ABC 中，若2324cos 02B C c b b ，则下列说法正确的是（ ）A ．A 为钝角B ．2222a b cC ．tan 1tan 3A B D ．3C7.（2021•安阳一模）已知ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos sin 0a C c A ，则tan tan A B 的取值范围为 ．8.（2023•德阳模拟）在斜三角形ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且22cos c ab C ．（1）若ABC △的面积为S ，且满足24S c ，求角C 的大小； （2）证明：211tan tan tan CA B．知识点二 以倍角为背景的二级结论体系2222()2()2()B A b a a c CB c b b a A Ca c cb ，这样的三角形称为“倍角三角形”． 2()a ac ，证B ()a a c ① ，b 2sinA sinC sinAcosB ()2sin A B sinAcosB ()sin B A 得B A A ，所以2B A ．，所以==A B 2sin sin A A cos sin 2，根据正弦定理可得：A a b cos 2=，利用余弦定22222b c a b a bc ，即2223b c ab ac a ，所以222()()b c a a c a ，即)(2c a a b +=．几何背景构造相似三角形（必要性），已知2()b a a c ，证A B 2，如图所示：延长.BD AB c 由()a a c 得ab ba c，因为CA CDCB CA所以ACB △以D CAB ，BD AB ，得22ABC D CAB ．（充分性）过A 作BAC BAD ∠∠=交CB 延长线于点D ，则CAD ABC ∠∠=,易知ACB DCA ∽△△，所以CA CDCB CA，2CA CB CD ，由于ACB DCA CAB BAD D ⇒∠=∠=∠△△∽，c AB BD ==，故)(2c a a b +=． 推论1：2sin 2sin sin3a b c A B B B B =⇔==⇔22cos 34sin a cb B B ==-证明：由于2A B ，ππ3C A B B ，sin3sin(2)sin cos2cos sin 2B B B B B B B 33sin 4sin B B ，根据正弦定理：sin sin sin a b c A B C 可得：sin 2sin sin3a b c B B B ，即32sin cos sin 3sin 4sin abcB B B B B，同时乘以B sin 得：22cos 34sin a cb BB，推论2： 212cos 2cos cA BA b c aB b证明：根据推论一，可知A B B b c cos 2122cos 143sin 432+=-⨯-=-=，也可以根据倍角定理来直接证明，如下：2222sin 2()1()1sin a cc A A Bab bc b bb B 21cos24cos 14112cos 2BB A2222sin 1()14cos 1sin a ccA B b b b B1cos24112cos 2BA ；2sin 2cos sin a a A b c a a a B b b B +===⋅=． 几何背景1.关于2A B =22cos 34sin a cb B B⇔==-如图，我们构造b AC CG ==，则B A CGA ∠=∠=∠2，故B BCG ∠=∠，所以2cos a B b BH ==； 关于234sin cb B=-，即证2cos c b b A -=，我们参考下一模型；2.关于22cos A B c b b A =⇔-=如左图，构造等腰梯形ABEC ，由于CBA BAD CAD ∠=∠=∠，故b FG BE CE AC ====，A b BG AF cos ==，所以A b b c AB cos 2+==；如右图，我们构造b AC CG ==，则B A CGA ∠=∠=∠2，故B BCG ∠=∠，所以b BG =，A b b c AG cos 2=-=；3.关于22cos A B b c a B =⇔+=如左图，由于B A 2=，作BAC ∠平分线AD 交BC 于D ，作AB DE ⊥于点E ，由于B DAB CAD ∠=∠=∠,故2c EB AE ==，BcDB cos 2=，根据内角平分线定理得：DB CD c b =，即DB a c c b =+，所以B a c b cos 2=+如中图，延长BC 至E ，使a CE CB ==，延长BA 至F ，使b AC AF ==，根据内角平分线定理，我们可知ABAF DBCD ABAC ==，所以CF AD //，所以B CFB ∠=∠，所以BE a CF 21==，所以c b B a +=cos 2 如右图，我们构造b AC CG ==，则B A CGA ∠=∠=∠2，故B BCG ∠=∠，所以b BG =，b c AG -=，作AB CH ⊥于H ，所以B a cb bc b BH cos 22=+=-+=； 综上，我们发现构造以b 为腰的等腰三角形CGB 是最佳方案.我们再对以倍角为背景的题进行题型分类，主要分为两类，第一类就是判断是否是倍角，二是求单个角或者边与边比值的取值范围.【例8】（2016•浙江）在ABC △中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知2cos b c a B ． （1）证明：2A B ； （2）若2cos 3B，求cos C 的值． 【例9】（2022•丰城期末）锐角ABC ∆中，若2()b a a c =+，则2sin sin()AB A -的取值范围是( )A ．B ．1(2C ．1(2D ． 【例10】（2022•丰台区校级期末）在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知85b c =，2C B =，则cos (C = ) A ．725B ．725-C ．725±D ．2425【例11】（2023•多选•襄阳月考）在锐角ABC ∆中，若2A B =，则ab 的值可能是( )A ．43B ．32C D ．53【例12】（2022•多选•重庆期末）在锐角三角形ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若cos cos b b A a B +=，则( )A ．2AB = B ．64B ππ<<C ．ab∈D ．22a b bc =+【例13】（2022•多选•秦淮区月考）在锐角ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且2cos c b b A -=，则下列结论正确的有( ) A ．2A B = B ．B 的取值范围为(0,)4πC ．a b 的取值范围为 D ．112sin tan tan A B A-+的取值范围为 【例14】（2022•多选•河北期中）记锐角ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，2cos 2cos cos sin sin a B b A B b A B =+，则( )A ．AB = B ．B 的取值范围为(,)64ππC ．ab的取值范围为 D ．cb的取值范围为(1,2)【例15】（2022•多选•北碚区月考）在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且23cos 3cos b C c B a +=，则下列说法正确的是( )A ．若2BC A +=，则ABC ∆的外接圆的面积为3πB ．若4A π=，且ABC ∆有两解，则b 的取值范围为[3，C ．若2C A =，且ABC ∆为锐角三角形，则c 的取值范围为D ．若2A C =，且sin 2sin B C =，O 为ABC ∆的内心，则AOB ∆同步训练9.（2022•福清市月考）在锐角ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若()(sin sin )sin b c B C c A -⋅+=⋅，则角C 的取值范围是( ) A ．(,)32ππB ．(,)63ππC ．(,)43ππD ．(,)64ππ10.（2022•安阳月考）已知在锐角三角形ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若2()b a a c =+，则角A 的取值范围是( )A ．(0,)4πB ．(0,)6πC ．(,)64ππD ．(,)43ππ11.（2022•南阳期末）在锐角ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2B A =，则ab的取值范围为( )A ．B ．1(2C ．1(2D ．1(,)2+∞12.（2022•武昌区期末）在锐角三角形中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 的对应边，设2A C =，则2c c b+的取值范围是( ) A ．2(,1)3B ．1(,1)2C ．(1,)+∞D ．1(,)2+∞13.（2022•多选•滨湖区期中）锐角ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2cos b c b A =-，则( ) A ．2A B =B ．B 的取值范围是(0,)4πC ．若3b =，4c =，则a =D ．ab的取值范围是 14.（2022•多选•万州区期中）锐角ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若2cos b a a C -=，则( )A ．2C A =B ．A 的取值范围是(,)64ππC ．2A C =D ．2ca的取值范围是 15.（2022•多选•如皋市月考）在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若2sin sin (sin sin )C B A B =+，则以下结论正确的是( ) A ．c b >B ．a c >C ．2cos c b B =D ．03B π<<16.（2022•多选•湖南月考）锐角ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若2cos a b b C -=，则()A ．2CB = B ．B 的取值范围是(,)64ππC ．2B C =D ．cb的取值范围是 17.（2022•多选•福州期末）在锐角ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知2cos a b B =，且b c ≠，则( ) A ．2A B =B ．角B 的取值范围是(0,)4πC ．cos A 的取值范围是D ．ab的取值范围是 18.（2022•多选•邯郸期末）设锐角ABC ∆的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且2cos b a a C -=，则下列结论正确的是( ) A ．2CA =B ．A 的取值范围为(0,)4πC ．sin C 的取值范围为(0,1)D ．ca的取值范围为知识点三 以等商线为背景的二级结论体系如图所示，若P 在边BC 上，且满足PC BP ，则AP 位于等商线上，我们也可以理解为定比分线，APm ，则延长AP 至D ,使PDAP ，连接CD ，易知AB ∥DC ，且DC c ，m AP AD )1()1(λλ+=+=．°=+180∠∠ACD BAC ．我们通过倍长等商线，可以构造两个新的三角形来解决问题.【例16】（2023•河北模拟）ABC △的内角A ，B ，C 的对边为a ，b ，c ，满足2cos cos c B b A cos()a A C ，2c ，4a ，D 为边AC 上一点满足2CD DA ，则||BD （ ）A B ．169 C ．43D ．23【例17】（2022春•滑县期末）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若222a b c ab +=-，且AB 边上的中线1CD =，则ABC ∆面积的最大值为( )A B C ．3D ．【例18】(2022·全国甲卷理) 已知 ΔABC 中, 点 D 在边 BC 上, ∠ADB =120∘,AD =2,CD =2BD . 当 ACAB 取得最小值时, BD = .【例19】（2021•浙江）在ABC △中，60B ，2AB ，M 是BC 的中点，23AM ，则AC ；cos MAC ．【例20】（2021•新高考①）记ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知2b ac ，点D 在边AC上，sin sin BD ABC a C ． （1）证明：BD b ；（2）若2AD DC ，求cos ABC ．同步训练19.（2022•景德镇模拟）在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且点D 满足2CD DA ，2BD ，若1cos 4ABC，则2c a 的最大值为（ ）A BC D ．20.（2021•晋中三模）在ABC △中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，sin sin b C a A += sin sin b B c C +，24c b ，点D 在线段BC 上，且2BD DC ，则AD 的最小值为 ．21.（2021•山东二模）在ABC △中，9AC ，60A ，D 点满足2CD DB ，37AD，则BC 的长为（ ）A ．B ．C ．D ．6 22.（2021•辽宁模拟）已知a ，b ，c 分别是ABC △内角A ，B ，C 所对的边，且满足1(sin sin )(sin sin )()2a AB C B c b ，若P 为边AB 上靠近B 的三等分点，13CP，求： （1）求cos C 的值； （2）求2b a 的最大值．知识点四 以万能辅助角为背景的二级结论体系已知三角形的一个内角 C , 求 sinA +sinB 或者 sinA +λsinB 公式一: a +b =4R cos C2sin (A +C2),a +λb =2R √λ2+2λcos C +1sin (B +φ)⩽2R √λ2+2λcos C +1(λ>0) 证明: sinA +sinB =sinA +sin (A +C )=sinA (1+cosC )+cosAsinC =2sinAcos 2C2+2cosAsin C 2cos C 2=2cos C 2(sinAcos C 2+cosAsin C 2)=2cos C 2sin (A +C 2) 故: a +b =4Rcos C 2sin (A +C2) sin A +λsin B =sin (B +C)+λsin B =sin B(λ+cos C)+cos Bsin C =√(λ+cos C)2+sin 2 Csin (B +φ), 其中tan φ=sin C cos C+λ, 故 sinA +λsinB ⩽√λ2+2λcosC +1注意: sinA +λsinB =sin (B +C )+λsinB =sinB (λ+cosC )+cosBsinC ,当 cosC +λ=0 时, a +λb =2R [sinB (cosC +λ)+cosBsinC ]=2R ⋅sinCcosB , 注意:求 cosA +cosB 的方法如法炮制.【例21】(2020・新课标 II)ΔABC 中, sin 2A −sin 2B −sin 2C =sinBsinC . (1) 求 A ;(2) 若 BC =3, 求 ΔABC 周长的最大值.【例22】(2020 • 浙江卷 ) 在锐角 ΔABC 中, 角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c . 已知 2bsinA −√3a =0.(I) 求角 B 的大小;(II) 求 cosA +cosB +cosC 的取值范围.【例23】（2022•多选•黑龙江期中）已知ABC ∆三个内角A ，B ，C 的对应边分别为a ，b ，c ，且3C π∠=，2c =，则( )A ．cos cos b A aB += B ．ABC ∆周长的最大值为6C ．cos cos BA 的取值范围为)+∞ D ．AB AC ⋅的最大值为2 【例24】（2023•多选•赫山区月考）已知ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，3B π=，2BP PC =，AP ( )A ．2133AP AB AC =+ B ．3a c +的最大值为C ．ABC ∆面积的最大值为D ．a c +的最大值为【例25】 (2019• 新课标 I 卷)ΔABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c . 设 (sinB −sinC )2=sin 2A −sinBsinC . (1) 求 A ;(2) 若 √2a +b =2c , 求 sinC .同步训练23.（2022•多选•深州市期中）在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos cos sin sin()()sin B C A A C b c C ++=，3B π=，则a c +的取值可以是( )A ．12B C ．1 D 24.（2022•多选•武昌区期中）在锐角ABC ∆中，角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，外接圆半径为R ，若a =3A π=，则( )A ．1R =B 2b <<C ．bc 的最大值为3D ．223b c bc ++的取值范围为(11，15]25.（2022•多选•尖山区月考）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且(2)cos cos 0b A C +=，2a =，则b +可能的值不是( )A ．3B ．12C ．2-D ．5226.(2020 • 新课标 II 卷)ΔABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c , 已知 cos 2(π2+A)+cosA =54. (1) 求 A ; (2) 若 b −c =√33a , 证明: ΔABC 是直角三角形.27.（2022•思明区校级月考）在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，b =2√3，(2c −a)sinC =(b 2+c 2−a 2)sinBb ． （1）求角B ；（2）求2a ﹣c 的范围．28．（2022•忻州月考）在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且a sin B cos A +√3b(cos 2A −1)=0． （1）求角A 的大小；（2）若a ＝2，求√3b ﹣c 的最大值．知识点五 以分角线为背景的二级结论体系1.张角定理如图，在ABC △中，D 为BC 边上的一点，连接AD ，设AD l ，BAD α∠=，CAD β∠=，则一定有sin+sin sin=l bc．证明：ABC ABD ACD S S S △△△，()111sin sin sin 222bc cl bl αβαβ∴+=+，同除以12bcl 得：sin +sinsin=l bc．【例26】（2013•福建）如图， 在ABC △中， 已知点D 在BC 边上，AD AC ⊥，sin BAC ∠，AB =3AD =，则CD 的长为 ．【例27】（2015•新课标①）ABC △中，D 是BC 上的点，AD 平分BAC ∠，ABD △面积是ADC △面积的2倍． （1）求sin sin BC；（2）若1AD =，DC ，求BD 和AC 的长．2.角平分线张角定理根据张角定理：①当时，1cos2AD ADb c（角平分线张角定理） ①21()sin tan 2ABCS AD b c AD △（角平分线面积问题）2sinsin=AD b c ，2sin cos sinsin=AD b c，1cos2AD AD bc2111112sin sin 2()sin =()sin sin222sin 2S bc bc AD AD b c AD bc ADb ctan AD S ，αtan 2AD S ≥∴，当仅当c b =时等号成立.【例28】（2022•多选•利辛县月考）已知ABC ∆中，sin sin cos B C A =，tan A =，点M 在线段BC 上，2AM =，BAM CAM ∠=∠，则下列说法正确的是( )A ．ABC ∆是直角三角形B ．sin AC ．6BM CM =D ．ABM ∆的面积为【例29】（2023•多选•海珠区期中）已知ABC ∆中，1AB =，4AC =，BC ，D 在BC 上，AD 为BAC ∠的角平分线，E 为AC 中点，下列结论正确的是( )A.BE = B ．ABC ∆C ．AD D ．P 在ABE ∆的外接圆上，则2PB PE +的最大值为【例30】（2022•沙坪坝区期末）在ABC ∆中，内角A 的平分线与边BC 交于点D 且sin 2sin B C =，1AB =，若ABC ∆的面积S ∈1]，则AD 的取值范围是( )A ．，2]3B ．2[3，4]3C ．[3 D ．2[33.角平分线之斯库顿定理如图，AD 是ABC △的角平分线，则2··.AD AB AC BD CD =-就其位置关系而言，可记忆：中方=上积一下积.已知：在ABC △中，2AD 的平分线，求证：2图E C ∠=∠注意：角平分线张角定理强调的是角度，斯库顿定理强调的是长度，斯库顿定理可以绕过求张角而直接求出三角形的各边长，通常和内角平分线定理合在一起出考题.【例31】（2022•多选•相城区月考）在ABC ∆中，已知2c =，3b =，AD 是A 的平分线，则AD 的长度可能为( ) A ．1B ．2C ．3D ．4【例32】（2022•鼓楼区月考）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，D 为边BC 上一点，若AB DBAC DC=． （1）证明：()i AD 平分BAC ∠；2()ii AD AB AC DB DC =⋅-⋅； （2）若(1sin )sin cos (1cos )B BAC B BAC +∠=+∠，求a bc+的最大值．同步训练29.（2022•东莞模拟）在中ABC △，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，120ABC ∠=︒，BD BC ⊥交AC 于点D ，且1BD =，则2a c +的最小值为 ．30.（2022•西安模拟）如图，在ABC △中， 角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，cos b C a =，点M 在线段AB 上， 且ACM BCM ∠=∠． 若66b CM ==，则cos BCM ∠=（ ）AB ．34CD31.（2022•江西月考）在ABC △中，5AB =，7AC =，6BC =，A ∠的平分线AD 交边BC 于点D ，则AD = ．32.如图，在ABC △中，2C B ∠=∠，3AC =，5BC =，求AB 之长.33.（2023•广西模拟）在ABC △中，内角A ，B ，C 对的边分别为a ，b ，c ，23ABC π∠=，BD 平分ABC ∠交AC 于点D ，2BD =，则ABC △的面积的最小值为（ ）A ．B ．C ．D ．34.（2022•多选•东港区期中）在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若cos b c A =，角A 的角平分线交BC 于点D ，1AD =，1cos 8A =，以下结论正确的是( ) A ．2C π= B ．6AB =C ．16CD BC = D ．ABD ∆35.（2021•多选•徐州期末）在ABC △中，23B ，角B 的平分线BD 交AC 于点D ，且3BD ，则下列说法正确的是（ ）A ．若6BC ，则ABC 的面积为B ．若4C ，92362ADC ．若3BC BD ，则2AD ACD ．AB BC 的最小值为36.（2022•多选•辽宁期中）在ABC ∆中，8AB =，6AC =，3A π∠=，O 是ABC ∆的外接圆的圆心，M 是角A 的平分线和BC 边的交点那么( )A ．:4:3BM MC =B ．AMC ．ABC ∆的外接圆的面积为208πD ．52AO AB AC =+。
三角恒等变换的总结与应用
三角恒等变换的总结与应用三角恒等变换是解决三角函数问题中常用的重要工具。
它们是一些基本的等式，它们可以将一个三角函数表达式转化为另一个等价的形式，从而使计算变得更简单、更方便。
在这篇文章中，我们将对三角恒等变换进行总结，并探讨一些它们在实际问题中的应用。
一、三角恒等变换总结1. 正弦、余弦和正切的平方和恒等式：sin²θ + cos²θ = 11 + tan²θ = sec²θ1 + cot²θ = cosec²θ这些恒等式表明，在平方和为1的限制下，正弦、余弦和正切之间存在着特殊的关系。
通过利用这些关系，我们可以大大简化三角函数的计算。
2. 互余恒等式：sin(π/2 - θ) = cosθcos(π/2 - θ) = sinθtan(π/2 - θ) = cotθcot(π/2 - θ) = tanθ这些恒等式表明，对于一个角度θ，其互余角度为π/2 - θ，而互余角度的正弦、余弦、正切和余切与原角度的三角函数有特殊的对应关系。
3. 余切和正切的倒数的恒等式：cotθ = 1/tanθtanθ = 1/cotθ这些恒等式表明，余切和正切是彼此的倒数关系。
我们可以通过这一关系，将一个三角函数的计算转化为另一个三角函数的计算，从而简化问题求解的过程。
二、三角恒等变换的应用1. 证明与简化：三角恒等变换常用于证明三角恒等式及简化复杂的三角函数表达式。
通过灵活应用三角恒等变换，并结合基本的三角函数性质，我们可以将复杂的三角函数等式逐步化简为更简明的形式，从而解决三角函数相关的证明问题。
2. 三角函数的恒等式证明：利用三角恒等变换，我们可以轻松证明各种三角恒等式。
例如，利用平方和恒等式sin²θ + cos²θ = 1，我们可以证明tan²θ + 1 = sec²θ；利用互余恒等式sin(π/2 - θ) = cosθ，我们可以证明sin²θ + cos²θ = 1等等。
三角恒等式与证明方法
三角恒等式是数学中常见的一类等式，它们涉及三角函数的关系。
三角恒等式不仅可以帮助我们简化复杂的三角函数表达式，还可以用于证明一些数学问题。
在本文中，我将介绍一些常见的三角恒等式及其证明方法。
首先，我们来看一个最基础的三角恒等式，即正弦函数与余弦函数的平方和等于1的恒等式，即sin^2(x) + cos^2(x) = 1。
这个等式可以通过勾股定理得到。
假设有一个半径为1的单位圆，以圆心为原点，一个角度为x的点A(x, y)位于圆上。
根据正弦函数和余弦函数的定义，我们可以得到sin(x) = y和cos(x) = x。
根据勾股定理，点A(x, y)到原点的距离就是1，即x^2 + y^2 = 1。
由于sin(x) = y和cos(x) = x，所以我们就得到了sin^2(x) + cos^2(x) = 1。
接下来，我们来看一个与上面的恒等式相关的三角恒等式，即正切函数的平方加1等于分母为正弦函数的平方的恒等式，即tan^2(x) + 1 = sec^2(x)。
我们可以通过正弦函数和余弦函数的关系来证明这个恒等式。
由于sin(x) =1/csc(x)，cos(x) = 1/sec(x)，tan(x) = sin(x)/cos(x)，我们可以得到tan(x)^2 + 1 = (sin(x)/cos(x))^2 + 1 = (1/csc(x))^2 + 1 =1/(sin(x))^2 + 1/ = (sin(x))^(-2) + (cos(x))^(-2) =(1/(sin(x))^2)(sin(x))^2 + (1/(cos(x))^2)(cos(x))^2 =(sin(x)/sin(x))^2 + (cos(x)/cos(x))^2 = 1 + 1 = 2。
除了上面这两个基础的三角恒等式，还有一些其他常见的恒等式。
例如，正弦函数与余弦函数的乘积等于正切函数的恒等式，即sin(x)*cos(x) = tan(x)。
1-3正切恒等式
55 3 tan( ( ) ; cos ) ) tan( ) tan( 2 22 2 = 0Þ tan A + tan B - tan p - C2 2 p - C 2 2 2 2 【证明】 A + B + C = p Þ A + B = p - C Þ A + B- 专 题 3 正 切 恒 等 式秒杀秘籍：第一讲 正切恒等式 tan A + tan B + tan C = tan A ⋅ tan B ⋅ tan C (当A + B + C = k π时)【证明】 tan A + B = tan A + tan B1 - tan A t an B, tan C = - tan (A + B )\ tan A + tan B = - tan C (1 - tan A t an B ) 故 tan A + tan B + tan C = tan A ⋅ tan B ⋅ tan C【推论】 tan A + tan B+ 2 2 -1 tan C= tan A ⋅ tan B ⋅ 2 2 -1 tan C（当 A + B + C = π时）2 2= - t an A 2 tan B 2 tan p 2 -C2tanA 2 tanB 2 - 1 tanC 2 = - t an A 2 tan B 2 1tan C2【例 1】 tan 70︒ - tan10︒ - 3 tan 70︒ tan10︒ = ．【例 2】已知1 - tan α = 4 + 1 + tan α 5 ，则 π-α) = （） 4 A ． 4 + B ． 4 - 5C ． -4 -D ． -4 + 【例 3】已知α+ β= 3π，则(1 - tan α)(1 - tan β) = （）4 A ． 2B ． -2C ．1D ． -1 【例 4】求 tan(π -θ) + π +θ) + π -θ π+θ) 的值．6 6 6 6 【例 5】计算(1 + tan1︒)(1 + tan 2︒)(1 + tan 3︒) (1 + tan 45︒) = ．【例 6】在锐角∆ABC 中， tan A = t + 1， tan B = t - 1 ，则实数t 的取值范围是（ ） A ． ( , + ∞)B ． (1 , + ∞)C ． (1 , 2 )D ． (-1 , 1)秒杀秘籍：第二讲 二倍角定理及模型sin 2α= 2sin αcos α. cos 2α= cos 2 α- sin 2 α= (cos α- sin α)(cos α+ sin α).降幂公式： sin 2 α= 1 - cos 2α 2 α=1 + cos 2α； sin αcos α= sin 2α.2 2 2模型一：令sin α+ cos α= t ，1 + sin 2α= (sin α+ cos α)2= t 2 = 2sin 2(α+ π4 ； cos 2α= ±t 令sin α- cos α= t ，1 - sin 2α= (sin α- cos α)2= t 2 = 2sin 2(α- π ； cos 2α= ±t 4模型二：形如cos 2α⋅ cos 4α⋅ cos 8α cos 2n α的化简，sin 2α⋅ cos 2α⋅ cos 4α⋅ cos8α cos 2 nα cos 2α⋅ cos 4α⋅ cos8α cos 2 n α= =1 sin2 n +1α 【例 7】若sin 2α= 24，则 25 sin 2α π +α) 的值为（） 42 n sin 2α52 2 - t 22 - t 22 sin( tan(33 33 3 35 4 4 ( , 3] A ． 15 B ． 75 C ． ± 15 D ． ± 75【例 8】已知sin α+ cos α= 1,α∈ (0 , π) ，求cos 2α． 3 【例 9】求值： cos 36︒cos 72︒ = ．【例 10】已知sin p + x = ，则sin 2x = ．451 ⎛π⎫【例 11】已知sin α- cos α= ， 0 a p ，则sin 2α= ， sin 2α- ⎪ = ．⎝⎭ ⎛ π ⎫【例 12】若a Î（0，π），且3cos 2α= sin -α⎪ ，则 sin2α的值为．⎝ ⎭达 标 训 练1．（2019•四川模拟）在 ∆ABC 中，若 tan A tan B = tan A + tan B + 1 ，则cos C = （） A ． - 2 B ． 2 C ． - 1D ． 12 2 2 22．（2019•重庆模拟）在锐角 ∆ABC 中，角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ．若 a = 2b sin C ，则tan A + tan B + tan C 的最小值是（ ）A ． 4B ． 3C ． 8D ． 6 3．（2018•云南期末） tan 36︒ + tan 84︒ - 3tan 36︒tan 84︒ = （ ） A ． - B ． C ． - 33 D ． 334．（2018•武汉期末） 3 tan12︒ + tan 60︒ tan18︒ + tan12︒ tan18︒ = （ ）A ．3B ． 3C ．1D ． 35．（2018•青羊期末） tan21︒ + tan24︒ + tan21︒ tan 24︒ = （ ） A ．1B ． -1C ．D ． - 6．（2018•贵阳期中） ∆ABC 的三个内角 A ， B ， C 所对的边分别是 a ， b ， c ，若c = 2 ， tan A + tan B= - 3 tan A tan B ，则 ∆ABC 的面积的取值范围是（ ）A ． [ , + ∞)B ． (0, 3]C ． 12D ． (0, 3]27．（2018•江西期中）在∆ABC 中，角 A ， B ，C 所对的边是 a ，b ，c ，GA + GB + GC = 0 ，且GA ⋅ GB = 0 ， 若 tan A + tan B = tan A tan B mtan C，则实数 m 的值是（ ）A ． 1B ． 1C ．1 D ． 12 3 458．（2018•武汉模拟）在 ∆ABC 中， C = 60︒ ， tan A + tan B = 1，则 tan A ⋅ tan B=．2 2 2 29．（2018•金安期末）在 ∆ABC 中，若 tan A + tan B +3 = 3 3 tan A tan B ，则角C = ． 310．（ 2018•金水期中）在 ∆ABC 中， 已知三内角满足 2B = A + C ，则 tan A + tan C + 3 tan A tan C的值2 2 2 23 3333为．11．（2018•上海期中）在锐角∆ABC中，若sin A=3sin B sin C，则tan A⋅tan B⋅tan C的最小值是．12．（2017•浙江月考）在∆ABC中，tan A+tanB=1，则tanC的取值范围为．2 2 213．（2018•江苏模拟）在锐角∆ABC中，若tan A，tan B，tan C依次成等差数列，则tan A⋅tan C的值为．14．（2017•江苏模拟）∆ABC中，角A，B满足tan(A+B)=3tan A，则tan B取到最大值时角C=．15．（2018•甘肃二模）在∆ABC中，若tan A:tan B:tan C=1:2:3，则∠A=．16．（2018•杭州月考）已知∆ABC中，tan A，tan B是方程x2+ax+4=0的两个实数根．（1）若 a =-8 ，求tan C 的值；（2）求tan C 的最小值，并指出此时对应的tan A ，tan B 的值．17．（2018•四川模拟）在锐角∆ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b=asin C．2（1）求1+tan A1tan C的值；（2）求tan B 的最大值．。
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三角形中正切恒等式证明
引言
三角函数是数学中的重要概念，它们在几何学、物理学、工程学等领域中有广泛的应用。
正切函数是三角函数中的一个重要分支，它可以帮助我们计算角度的斜率。
在本文中，我们将讨论三角形中正切恒等式的证明。
正切恒等式是一个基本的三角恒等式，可以帮助我们推导并解决各种三角函数方程。
正切函数的定义
在讨论正切恒等式之前，我们首先回顾一下正切函数的定义。
在一个直角三角形中，正切函数可以表示为对边与邻边之间的比值。
设角A为这个三角形的锐角，则正切函数的定义如下：
tan(A)=对边邻边
正切恒等式的表达形式
正切恒等式有很多不同的表达形式，其中最常见的两个为：
tan(A)=sin(A) cos(A)
或
sin(A) cos(A)=
1 cot(A)
这两个表达式是等价的，它们在不同的问题中可以互相转化使用。
正切恒等式的证明
第一种证明方法：使用三角函数定义
根据正切函数的定义，我们可以得到：
tan(A)=sin(A) cos(A)
接下来，我们将使用正弦函数和余弦函数的定义来证明这个恒等式。
根据正弦函数的定义，我们有：
sin(A)=对边斜边
根据余弦函数的定义，我们有：
cos(A)=邻边斜边
将这两个定义代入到正切函数的定义中，我们得到：
tan(A)=对边斜边邻边斜边
化简上述等式，我们得到：
tan(A)=对边邻边
根据正切函数的定义，这个等式成立。
所以我们证明了正切恒等式。
第二种证明方法：使用三角函数的性质
另一种证明正切恒等式的方法是利用三角函数的性质。
三角函数具有很多重要的性质，我们将使用其中两个性质来证明正切恒等式。
性质1：
sin2(A)+cos2(A)=1
性质2：
cot(A)=cos(A) sin(A)
接下来，我们将使用这两个性质来证明正切恒等式。
首先，我们从性质1出发。
将性质1改写为：
cos2(A)=1−sin2(A)然后，将上式代入到正切函数的定义中，我们得到：
sin(A) cos(A)=
sin(A)
√1−sin2(A)
接着，我们利用性质2将分母中的根号去除。
将性质2改写为：
cos(A)
sin(A)
=cot(A)
将上述等式代入到前一个等式中，我们得到：
sin(A)
√1−sin2(A)
=cot(A)
继续化简上述等式，我们得到：
sin(A)=cot(A)⋅√1−sin2(A)再次将性质2代入到等式中，我们得到：
sin(A)=cos(A)
sin(A)
⋅√1−sin2(A)
继续化简上述等式，我们得到：
sin(A)⋅sin(A)=cos(A)⋅√1−sin2(A)
继续化简上述等式，我们得到：
sin2(A)=cos2(A)⋅(1−sin2(A))
上述等式可以进一步化简为：
sin2(A)=cos2(A)−sin2(A)⋅cos2(A)
最后，我们将上述等式展开，得到：
sin2(A)=cos2(A)−sin2(A)⋅cos2(A)
sin2(A)+sin2(A)⋅cos2(A)=cos2(A)
sin2(A)⋅(1+cos2(A))=cos2(A)
sin2(A)=cos2(A)⋅(1−sin2(A))
根据性质1，我们可以得到上述等式左边的部分等于1。
所以我们最终得到：
1=cos2(A)⋅(1−sin2(A))
继续化简上述等式，我们得到：
1=cos2(A)−sin2(A)⋅cos2(A)
最后一步，我们将上式用正切函数的定义表示：
1=cos2(A)−sin2(A)⋅cos2(A)
1=cos2(A)−sin2(A)⋅(1−sin2(A))
再次化简上述等式，我们得到：
1=cos2(A)−sin2(A)+sin4(A)
继续化简上述等式，我们得到：
1=cos2(A)+sin2(A)⋅(1−sin2(A))
最后一步，我们将上式用正切函数的定义表示：
1=cos2(A)+sin2(A)⋅(1−sin2(A))
1=cos2(A)+sin2(A)⋅cos2(A)
根据性质1，上述等式左边的部分等于1。
所以我们最终得到：
1=cos2(A)+sin2(A)⋅cos2(A)
综上所述，我们使用三角函数的性质证明了正切恒等式。
结论
通过两种不同的证明方法，我们证明了三角形中的正切恒等式。
正切恒等式为我们在解决各种三角函数方程时提供了重要的工具。
我们可以将正切恒等式与其他三角恒等式和三角函数性质相结合，进一步推导和解决各种三角函数方程。
正切恒等式在几何学、物理学、工程学等领域中有广泛的应用，对于理解和解决相关问题具有重要意义。