二次函数的图像和性质表格
九年级数学上册 22.1.3 二次函数y=a(xh)2+k的图象和性质课件 (新版)新人教版
3．抛物线的平移： （1）把二次函数y=3x 2的图像(tú xiànɡ)， 先沿x轴向左平移３个单位， 再沿y轴向下平移2个单位， 得到__y_=_3(_x_+_3_)2_-_2___的图像(tú xiànɡ)； （2）把二次函数____y_=_-3_(_x_+_6_)2__的图像(tú xiàn 先沿y轴向下平移2个单位， 再沿x轴向右平移3个单位， 得到y=-3(x+3) 2－2的图像(tú xiànɡ).
第十九页，共32页。
抛物线y=a(x－h)2+k有如下 (rúxià)特点:
(1)当a>0时, 开口(kāi kǒu)向
上; 当a<0时，开口(kāi kǒu) (2)对向称下轴; 是直线x=h;
(3)顶点是(h,k).
第二十页，共32页。
二次函数(hánshù)y=a(x-h)2+k的图象和性质
y＝ax2
a＞0
a＜0
图象
O
O
开口 对称性 顶点
增减性
开口(kāi kǒu) |向a|越上大，开口越小
开口(kāi kǒu) 向下
关于y轴对称
顶点坐标是原点（0，0）
顶点是最低点
在对称轴左侧递减 在对称轴右侧递增
第三页，共32页。
顶点是最高点
在对称轴左侧递增
在对称轴右侧递减
复习二次函数(hánshù)y=ax2+k的性质
1.填表
抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标
y 0.5x2
y 0.5x2 1
y 0.5x2 1
y 2x2
y 2(x 1)2 y 2(x 1)2
向下(xiànɡ xià) x=0
26.1.2二次函数的图像(1)(^__^) 嘻嘻……
当a>0时,抛物线的 开口向上,顶点是抛物线 的最低点, a越大,抛 物线的开口越小;
当a<0时,抛物线的开口 向上,顶点是抛物线的最高点 , a越大,抛物线的开口越大; 开口大小：|a|越大，开口 越小；|a|越小，开口越大
y 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 -5-4 -2-1 o1 2 3 4 5 x -3
二次函数y=ax2的性质
１.顶点坐标与对称轴
yx
2
２.位置与开口方向
３.增减性与最值 根据图形填表： 抛物线 y=x2 （0，0） y= -x2 （0，0） y轴 在x轴的下方( 除顶点外) 向下
在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小 .
y x
2
顶点坐标
4
(4)当x<0时,随着x的值增大,y 的值如何变化？当x>0呢？ (5)当x取什么值时,y的值最小?最小值是什么？你是如何 知道的？ -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 x
-2 2 1
y x
2
二次函数y=x2的 图象形如物体抛射 时所经过的路线,我 们把它叫做抛物线. 这条抛物线关于 y轴对称,y轴就 是它的对称轴. 对称轴与抛物 线的交点叫做 抛物线的顶点.
1
0
-8 -6 -4 -2 -1 2 4
共同点: 开口向上; 除顶点外,图像 都在x轴上方 不同点: 开口大小不同;
y=- 2
1
-2
-3
-4
-5
当a〈0时，图 x 象开口向下， 顶点是抛物线 的最高点，a 越大，抛物线 的开口越大。
6 8
-6
-7
x2
-8 -9
y=-x2
人教版九年级初中数学上册第二十二章二次函数-二次函数的图像和性质PPT课件全文
描点法画函数图像的一般步骤如下：
描点法
第一步，列表—表中给出一些自变量的值及其对应的函数值；
第二步，描点—在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，
描出表格中数值对应的各点；
第三步，连线—按照横坐标由小到大顺序，把所描出的各点用平滑的曲线连接起来。
抛物线y=ax2的图象性质:
（1）抛物线y=ax2的对称轴是y轴，顶点是原点.
（2）当a>0时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线的最低点;
当a<0时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线的最高点.
（3）|a|越大，抛物线的开口越小.
课堂练习
1.填表：
抛物线
y = ax2（a>0）
y = ax2（a＜0）
顶点坐标
你能通过这种方法画出二次函数的图像吗？
新知探究
二次函数=^2 的图像
通过描点法画出 = 的图像？
【列表】
在 = 中，自变量可以取任意实数，列表取几组对应值：
…
-2
-1
0
1
2
…
…
4
1
0
1
2
…
新知探究
二次函数=^2 的图像
y
通过描点法画出 = 的图像？
9
【描点】
事实上，二次函数的图象都是抛物线，它们的开口或者
3
向上或者向下．一般地，二次函数 y =ax2+bx +c（a≠0）
的图象叫做抛物线y=ax2+bx+c.
-3
O
3
x
新知探究
二次函数=^2 的性质
观察 = 2 的图像，它有对称轴在哪里？图像与y轴的交点在哪里？
数学北师大版高中一年级必修1 一元二次函数图像性质
教学设计二次函数的图像性质教学分析二次函数是作为全面介绍函数的第一个例子出现的．本节教材从三个递进的问题开始：1.解决二次函数的形状问题；2.解决其移动问题；3.解决配方问题．在教师引导和学生动手的基础上，围绕三个问题，每走一步都抽象概括，再明晰一次．这部分教材，信息技术大有用武之地．可以充分利用信息技术的动态特点，画出各种曲线族，把变化极其形象地表现出来，以便使学生掌握二次函数中各参数的变化对图像的影响．三维目标理解在二次函数的图像中a，b，c，h，k的作用，掌握研究二次函数移动的方法，能够熟练地对二次函数图像的上下左右移动，并能迁移到其他函数，培养学生变换作图的能力．重点难点教学重点：二次函数图像的变换．教学难点：将二次函数图像的上下左右移动迁移到其他函数．课时安排1课时教学过程导入新课思路1.在初中，我们已经学过了二次函数，知道其图像为抛物线，并了解其图像的开口方向、对称轴、顶点等特征，本节课进一步研究一般的二次函数的性质，引出课题．思路2.高考试题中，有关二次函数的题目经常出现，二次函数是高中数学最重要的函数，因此有必要对二次函数的图像和性质进行深入学习，教师引出课题．推进新课新知探究提出问题①请回顾二次函数的定义.②二次函数的解析式有几种形式？③二次函数的图像是什么形状？如何快速画出其草图？讨论结果①一般地，函数y＝ax2＋bx＋c( a，b，c为常数且a≠0)叫作二次函数．其中自变量的最高次数是2，自变量取值范围即函数的定义域是全体实数．②有三种形式：一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)；顶点式：y＝a(x－h)2＋k(a≠0)；零点式：y＝a (x－x1)(x－x2)(a≠0)．注意：任意二次函数的解析式均有一般式和顶点式，但是不一定有零点式．当且仅当二次函数的图像与x轴相交时，二次函数的解析式才有零点式．③二次函数的图像是抛物线．画抛物线的草图时，通常根据“三点一线一开口”来画．“三点”是指：顶点，抛物线与x轴的两个交点；“一线”是指对称轴这条直线，“一开口”是指抛物线的开口方向，根据抛物线的这些特征描出其草图．如果抛物线与x轴仅有一个交点或没有交点时，可以先在抛物线上任取一点(除顶点)，再作出此点关于抛物线对称轴的对称点，这两个点和顶点合起来组成“三点”．提出问题①画出y＝x2的图像．并填写表1.表1在图像上表现的？③如何由y＝x2的图像得到y＝2x2的图像？④如何由函数y＝f(x)的图像得到函数y＝Af(x)(A＞0，A≠1)的图像？讨论结果：①如图1是y＝x2的图像，图1如表2为所填表格：表22所示，就是把AB伸长为原来的2倍，即AC的长度，得到当x＝1时y＝2x2对应的值．图2 图3③将y＝x2的图像上所有点的横坐标不变，纵坐标都扩大为原来的2倍得到y＝2x2的图像．④将y＝Af(x)的图像上所有点的横坐标不变，纵坐标都扩大为原来的A(A＞1)倍或缩短为原来的A(0＜A＜1)倍得到y＝Af(x)的图像．提出问题①在同一坐标系中画出y＝2x2，y＝＋2，y＝＋2＋3的图像，观察图像，如何由y＝2x2的图像得到y＝＋2＋3的图像？②如何由y＝ax2的图像得到y＝＋2＋，的图像？③如何由y＝的图像得到y＝＋＋，的图像？④由y＝ax2的图像如何平移得到y＝ax2＋bx＋c的图像？讨论结果：①y＝2x2，y＝2(x＋1)2，y＝2(x＋1)2＋3的图像，如图4.图4观察图4，得把y＝2x2的图像向左平移一个单位长度得y＝2(x＋1)2的图像，再把y＝2(x ＋1)2的图像向上平移3个单位得y＝2(x＋1)2＋3的图像．②把y＝ax2的图像向左(h＞0)或向右(h＜0)平移|h|个单位长度得y＝a(x＋h)2的图像，再把y＝a(x＋h)2的图像向上(k＞0)或向下(k＜0)平移|k|个单位得y＝a(x＋h)2＋k的图像．③把y＝f(x)的图像向左(h＞0)或向右(h＜0)平移|h|个单位长度得y＝f(x＋h)的图像，再把y＝f(x＋h)的图像向上(k＞0)或向下(k＜0)平移|k|个单位得y＝f(x＋h)＋k的图像．④一般地，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)可通过配方得到它的恒等形式y＝a(x＋h)2＋k，从而就可以知道由y＝ax2的图像如何平移得到y＝ax2＋bx＋c的图像．提出问题①二次函数y＝＋2＋中，h，k对函数的图像有何影响？②二次函数y＝ax2＋bx＋中，确定函数图像开口大小及方向的参数是什么？确定函数图像位置的参数是什么？③写出一个开口向下，顶点为－3，的二次函数的解析式，并画出其图像.讨论结果：①h，k只改变函数图像的顶点位置，不改变图像形状．②确定函数图像开口大小及方向的参数是a，确定函数图像位置的参数是a，b，c.③例如y＝－(x＋3)2＋1.其图像如图5所示，图5应用示例例1 二次函数f(x)与g(x)的图像开口大小相同，开口方向也相同，已知函数g(x)的解析式和f(x)图像的顶点，写出函数f(x)的解析式；(1)函数g(x)＝x2，f(x)图像的顶点是(4，－7)；(2)函数g(x)＝－2(x＋1)2，f(x)图像的顶点是(－3,2)．活动：学生思考确定二次函数的开口大小和方向的参数，以及二次函数解析式的顶点式．解：如果二次函数的图像与y＝ax2的图像开口大小相同，开口方向也相同，顶点坐标是(－h，k)，则其解析式为y＝a(x＋h)2＋k，(1)因为f(x)与g(x)＝x2的图像开口大小相同，开口方向也相同，f(x)图像的顶点是(4，－7)，所以f(x)＝(x－4)2－7＝x2－8x＋9；(2)因为f(x)与g(x)＝－2(x＋1)2的图像开口大小相同，开口方向也相同，g(x)＝－2(x ＋1)2又与y＝－2x2的图像开口大小相同，开口方向也相同，所以f(x)与y＝－2x2的图像开口大小也相同，开口方向也相同．又因为f(x)图像的顶点是(－3,2)，所以f(x)＝－2(x＋3)2＋2＝－2x2－12x－16.点评：本题主要考查二次函数的解析式、其图像和性质，以及数形结合的能力．已知二次函数的顶点坐标求其解析式时，常设二次函数的顶点式．变式训练1．函数y＝2x2＋4x－1的对称轴和顶点分别是( )．A．x＝－2，(－2，－1) B．x＝2，(－2，－1)C．x＝－1，(－1，－3) D．x＝1，(－2,3)解析：由y＝2x2＋4x－1＝2(x＋1)2－3得对称轴是x＝－1，顶点是(－1，－3)．答案：C2．已知f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧ |2x ＋3|，x 2，x ，x ∈－6，－，x ∈[－1，1]，x ∈[1，6]，则f(2)等于( )．A ．2 2B ．2C ． 2D ．无法确定解析：∵2∈[1,6]，∴f(2)＝ 2. 答案：C3．将函数y ＝x 2－2x 的图像向右平移2个单位，再向下平移1个单位后所得函数解析式为( )．A ．y ＝x 2＋6x ＋7 B ．y ＝x 2－6x ＋7 C ．y ＝x 2＋2x －1D ．y ＝x 2－2x ＋1解析：所得解析式为y ＝(x －2)2－2(x －2)－1＝x 2－6x ＋7.答案：B例2 已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)与x 轴有两个不同的交点A(x 1,0)，B(x 2,0)且x 21＋x 22＝269，试问该抛物线由y ＝－3(x －1)2的图像向上平移几个单位得到？分析：利用题设条件，再根据根与系数的关系列方程并解出抛物线方程的系数，之后利用二次函数图像的平移规律得到答案．解：由题意可设所求抛物线的解析式为y ＝－3(x －1)2＋k ，展开，得y ＝－3x 2＋6x －3＋k ，由题意得x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝3－k2， 所以x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝269，得4－－3＝269. 解得k ＝43.所以该抛物线是由y ＝－3(x －1)2的图像向上平移43个单位得到的，它的解析式为y ＝－3(x －1)2＋43，即y ＝－3x 2＋6x －53.点评：本题考查利用二次函数的知识解决问题．函数图像的平移会对解析式产生影响，但函数图像中的某些特征不会产生变化．我们要抓住变化的关键，对函数解析式中变化的系数进行讨论． 变式训练如果把函数y ＝ f(x)的图像平移，可以使图像上的点P(1,0)变成Q(2,2)，则函数y ＝ f(x)的图像经过此种变换后所对应的函数为( )．A ．y ＝f(x －1)＋2B ．y ＝f(x －1)－2C ．y ＝f(x ＋1)＋2D ．y ＝f(x ＋1)－2解析：点P(1,0)变成Q(2,2)可以看成将点P(1,0)向右平移一个单位，再向上平移2个单位得到点Q(2,2)，则将函数y ＝ f(x)的图像向右平移一个单位，再向上平移2个单位得函数y ＝ f(x －1)＋2的图像．答案：A知能训练1．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图像的顶点坐标为(2，－1)，与y 轴交点坐标为(0,11)，则( )．A ．a ＝1，b ＝－4，c ＝－11B ．a ＝3，b ＝12，c ＝11C ．a ＝3，b ＝－6，c ＝11D ． a ＝3，b ＝－12，c ＝11解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧－b2a＝2，4ac －b24a ＝－1，11＝c ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝－12，c ＝11.答案：D2．设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2，x 2＋bx ＋c ，x>0，x≤0.若f(－4)＝f(0)，f(－2)＝－2，则f(x)的解析式为f(x)＝__________，关于x 的方程f(x)＝ x 的解的个数为__________．解析：∵f(－4)＝f(0)，f(－2)＝－2，∴⎩⎪⎨⎪⎧－2－4b ＋c ＝c ，－2－2b ＋c ＝－2.解得b ＝4，c ＝2，画出函数y ＝f(x)，y ＝x 的图像，它们的图像有3个交点，故关于x 的方程f(x)＝ x 有3个解．答案：f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2，x 2＋4x ＋2，x>0，x≤033．已知二次函数f(x)的顶点坐标为(1，－2)，且过点(2,4)，则f(x)＝__________. 解析：设f(x)＝a(x －1)2－2，因为过点(2,4)，所以有a(2－1)2－2＝4，得a ＝6. 所以f(x)＝6(x －1)2－2＝6x 2－12x ＋4. 答案：6x 2－12x ＋4拓展提升问题：两个二次函数f(x)＝ax 2＋bx ＋c 与g(x)＝bx 2＋ax ＋c 的图像只可能是图6中的( )．图6解析：这是一道考查二次函数解析式中a ，b ，c 的性质与函数图像特征的相关题目．由于f(x)，g(x)图像的对称轴方程分别是x ＝－b 2a ，x ＝－a 2b ，且－b 2a 与－a2b 同号，即它们的对称轴位于y 轴的同一侧，由此排除A ，B ；又由C ，D 中给出的图像可断定它们开口方向相反，故ab ＜0.于是－b 2a ＞0，－a2b＞0，即它们的对称轴都位于y 轴右侧，排除C.答案：D课堂小结本节学习了：(1)二次函数的解析式及其求法． (2)变换法画二次函数的图像．作业习题2—4A 组2、3、4.设计感想本节课的教学设计中，主要涉及图像的移动，“形”十分突出，因此教师一定要注意用好“形”，但是，又不能仅仅满足于对“形”的认识，教材还设置了“抽象概括”，意在从形出发，然后升华为对一般的数的认识．。
九年级数学第二章二次函数y=ax2(a≠0)的图象与性质
二次函数y=ax2(a≠0)的图象与性质【学习目标】1．经历探索二次函数y=ax2和y=ax2＋c的图象的作法和性质的过程，进一步获得将表格、表达式、图象三者联系起来的经验．2．会作出y=ax2和y=ax2＋c的图象，并能比较它们与y=x2的异同，理解a与c对二次函数图象的影响．3．能说出y=ax2＋c与y=ax2图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．4．体会二次函数是某些实际问题的数学模型．5.掌握二次函数y=ax2(a≠0)与y=ax2+c (a≠0)的图象之间的关系.【要点梳理】要点一、二次函数y=ax2（a≠0）的图象与性质1.二次函数y=ax2(a≠0)的图象二次函数y=ax2的图象（如图），是一条关于y轴对称的曲线，这样的曲线叫做抛物线.抛物线y=ax2（a≠0）的对称轴是y轴，它的顶点是坐标原点.当a＞ 0时，抛物线的开口向上，顶点是它的最低点；当a＜0时，抛物线的开口向下，顶点是它的最高点.2.二次函数y=ax2(a≠0)的图象的画法——描点法描点法画图的基本步骤：列表、描点、连线.（1）列表：选择自变量取值范围内的一些适当的x的值，求出相应的y值，填入表中.（自变量x 的值写在第一行，其值从左到右，从小到大.）（2）描点：以表中每对x和y的值为坐标，在坐标平面内准确描出相应的点.一般地，点取的越多，图象就越准确.（3）连线：按照自变量的值由小到大的顺序，把所描的点用平滑的曲线连结起来.要点进阶：（1）用描点法画二次函数y=ax2（a≠0）的图象时，应在顶点的左、右两侧对称地选取自变量x的值，然后计算出对应的y值.（2）二次函数y=ax 2(a≠0)的图象，是轴对称图形，对称轴是y 轴．y=ax 2(a≠0)是最简单的二次函数.（3）画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点. 3.二次函数y=ax 2(a ≠0)的图象的性质二次函数y=ax 2（a≠0）的图象的性质，见下表： 函数 图象 开口方向 顶点坐标 对称轴 函数变化 最大（小）值y=ax 2a ＞0向上 （0，0） y 轴 x ＞0时，y 随x 增大而增大； x ＜0时，y 随x 增大而减小.当x=0时，y 最小=0y=ax 2a ＜0向下 （0，0） y 轴 x ＞0时，y 随x 增大而减小； x ＜0时，y 随x 增大而增大.当x=0时，y 最大=0要点进阶：顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数a 相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同. │a │相同，抛物线的开口大小、形状相同.│a │越大，开口越小，图象两边越靠近y 轴，│a │越小，开口越大，图象两边越靠近x 轴. 要点二、二次函数y=ax 2+c(a ≠0)的图象与性质 1.二次函数y=ax 2+c(a ≠0)的图象 （1）0a >j xOy()20y ax c c =+>cjyxOc()20y ax c c =+<（2）0a <2.二次函数y=ax 2+c(a ≠0)的图象的性质关于二次函数2(0)y ax c a =+≠的性质，主要从抛物线的开口方向、顶点、对称轴、函数值的增减性以及函数的最大值或最小值等方面来研究．下面结合图象，将其性质列表归纳如下：函数2(0,0)y ax c a c =+>> 2(0,0)y ax c a c =+<>图象开口方向 向上 向下 顶点坐标 (0，c) (0，c) 对称轴y 轴y 轴函数变化当0x >时，y 随x 的增大而增大；当0x <时，y 随x 的增大而减小.当0x >时，y 随x 的增大而减小；当0x <时，y 随x 的增大而增大.最大（小）值当0x =时，y c =最小值当0x =时，y c =最大值3.二次函数()20y axa =≠与()20y ax c a =+≠之间的关系j yxOc()20y ax c c =+>j y xOc()20y ax c c =+<()20y ax a =≠的图象向上（c ＞0）【或向下（c ＜0）】平移│c │个单位得到()20y ax c a =+≠的图象. 要点进阶：抛物线2(0)y ax c a =+≠的对称轴是y 轴，顶点坐标是(0，c)，与抛物线2(0)y ax a =≠的形状相同．函数2(0)y ax c a =+≠的图象是由函数2(0)y ax a =≠的图象向上（或向下）平移||c 个单位得到的，顶点坐标为(0，c)．抛物线y ＝ax 2(a ≠0)的对称轴、最值与顶点密不可分，其对称轴即为过顶点且与x 轴垂直的一条直线，其顶点横坐标x ＝0，抛物线平移不改变抛物线的形状，即a 的值不变，只是位置发生变化而已．【典型例题】类型一、二次函数y=ax 2（a ≠0）的图象与性质例1．已知a≠0，在同一直角坐标系中，函数y=ax 与y=ax 2的图象有可能是（ ）A ．B ．C ．D ．举一反三：【变式】在同一平面直角坐标系中，一次函数y ax c =+与二次函数2y ax c =+的图象大致为（ ）．例2.根据下列条件求a 的取值范围：(1)函数y ＝(a-2)x 2，当x ＞0时，y 随x 的增大而减小，当x ＜0时，y 随x 的增大而增大； (2)函数y ＝(3a-2)x 2有最大值； (3)抛物线y ＝(a+2)x 2与抛物线212y x =-的形状相同； (4)函数2a ay ax +=的图象是开口向上的抛物线．举一反三：【变式】二次函数y ＝mx 22-m 有最高点，则m ＝___________．例3. 二次函数223y x =的图象如图所示，点A 0位于坐标原点，点A 1，A 2，A 3，…，A 2013在y 轴的正半轴上，点B 1，B 2，B 3，…，B 2013在二次函数223y x =位于第一象限的图象上，若△A 0B 1A 1，△A 1B 2A 2，△A 2B 3A 3，…，△A 2012B 2013A 2013都为等边三角形，求△A 2012B 2013A 2013的边长．类型二、二次函数y=ax 2+c(a ≠0)的图象与性质例4.关于二次函数y=2x 2+3，下列说法中正确的是（ ）A. 它的开口方向是向下；B. 当x ＜﹣1时，y 随x 的增大而减小；C. 它的对称轴是x=2；D. 当x=0时，y 有最大值是3.举一反三：【变式】如图所示，抛物线2(0)y ax c a =+<交x 轴于G 、F ，交y 轴于点D ，在x 轴上方的抛物线上有两点B 、E ，它们关于y 轴对称，点G 、B 在y 轴左侧，BA ⊥OG 于点A ，BC ⊥OD 于点C ．四边形OABC 与四边形ODEF 的面积分别为6和10，则△ABG 与△BCD 的面积之和为________．例5.有一个抛物线形的拱形隧道，隧道的最大高度为6m ，跨度为8m ，把它放在如图所示的平面直角坐标系中．（1）求这条抛物线所对应的函数关系式；（2）若要在隧道壁上点P （如图）安装一盏照明灯，灯离地面高4.5m ．求灯与点B 的距离．【巩固练习】一、选择题1.若抛物线210(2)m y m x-=+的开口向下，则m 的值为( )．A ．3B ．-3C ．23D ．23-2.抛物线24y x =--的顶点坐标，对称轴分别是( )． A ．(2，0)，直线x ＝-4 B ．(-2，0)，直线x ＝4 C ．(1，3)，直线x ＝0 D ．(0，-4)，直线x ＝03.两条抛物线2y x =与2y x =-在同一坐标系内，下列说法中不正确的是（ ）A ．顶点相同B ．对称轴相同C ．开口方向相反D ．都有最小值4.关于213y x =，2y x =，23y x =的图像，下列说法中不正确的是（ ） A ．顶点相同 B ．对称轴相同 C ．图像形状相同 D ．最低点相同5．在同一直角坐标系中，函数y=kx 2﹣k 和y=kx+k （k ≠0）的图象大致是（ ）.A. B. C. D.6.图中是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在l 处时，拱顶(拱桥洞的最高点)离水面2 m ， 水面宽4 m ．如图所示建立平面直角坐标系，则抛物线的解析式是( )．A ．22y x =- B ．22y x = C ．212y x =-D ．212y x =二、填空题7.抛物线23y x =-的开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ．8.将抛物线2y x =-向上平移5个单位后，得到的抛物线的解析式是____ ____．9.已知(x 1，y 1)，(x 2，y 2)是抛物线2y ax =(a ≠0)上的两点．当210x x <<时，21y y <，则a 的取值范围是________．10. 对于二次函数y=ax 2，已知当x 由1增加到2时，函数值减少4，则常数a 的值是 ．11.抛物线2y ax c =+与23y x =的形状相同，其顶点坐标为（0，1），则其解析式为 ．12．如图，⊙O 的半径为2，1C 是函数212y x =的图象，2C 是函数212y x =-的图象，则阴影部分的面积是 .三、解答题13．如图是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面宽4米时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2米，水面下降1米时，水面的宽度为多少米？14.已知直线1y x =+与x 轴交于点A ，抛物线22y x =-的顶点平移后与点A 重合．(1)求平移后的抛物线C 的解析式；(2)若点B(1x ，1y )，C(2x ，2y )在抛物线C 上，且1212x x -<<，试比较1y ，2y 的大小．15. 已知正方形周长为Ccm ，面积为S cm 2． （1）求S 和C 之间的函数关系式，并画出图象； （2）根据图象，求出S=1 cm 2时，正方形的周长； （3）根据图象，求出C 取何值时，S ≥4 cm 2．。
二次函数图像和性质
y
b c x1 x2 , x1 x2 a a
对称轴
AB=|x1-x2|= | a |
x x2 x 1 2
o
x
x1 x2 x 2
y
x1x2>0, 点A,点B在原点同侧
x1 x2 0, 原点右侧
x1 x2 0，原点左侧
x1x2<0,点A,点B在原点两侧 x1 x2 0, BO AO
2 4.当m= -1 时，y=(m+2)xm +3m+2是二次函数，
二.二次函数的图象及性质
a的符号 图象
开口方向 对称轴
a>0
a<0
x
开口向上
b 2a 4ac b 2 b ( ， ) 4a 2a b x 当 2a 时，y x
开口向下
b 2a 4ac b 2 b ( ， ) 4a 2a x
y=a(x-h)2 y=a(x-h)2+k
抛物线y=ax2向左 直线X=h (h,0) （h<0）、向右（h>0） 平移|h|个单位, 向上 （k>0）、向下（k<0） 直线X=h (h,k) 平移|k|个单位后,可以得 到抛物线y=a(x-h)2+k 。
a 越大,开口越小.
a 越小,开口越大.
做一做: 1 2 y 2 y x ， x 1. 已知函数 2 的图象如图所示。 抛物线①②③④ 分别对应哪个函数？
3.已知抛物线y＝ax2＋2x＋c 经过点(－1，0)、(0，3) （2）x取何值时，y 随 x 的增大而增大； x取何值时，抛物线在 x 轴的上方； x取何值时，y 随 x 的增大而减小且 y <０。 （3）利用图象求方程 ax2＋2x＋c＝－5 解。
二次函数yaxhk的图象和性质PPT课件
y = ax2 + k
y = a(x - h )2
上下平移 |k|个单位
左右平移
y = ax2 |h|个单位
结论: 一般地，抛物线 y = a(x-h)2+k 与y = ax2形状相同，位置不同。
抛物线y=a(x－h)2+k有如下 特点:
(1)当a>0时, 开口向上; 当a<0时，开口向下;
(2)对称轴是直线x=h;
2．抛物线的左右平移 （1）把二次函数y=(x+1) 2的图像， 沿x轴向左平移３个单位， 得到___y_=_(x_+_4_)_2____的图像； （2）把二次函数___y_=_(x_+_2_)_2+_1___的图像， 沿x轴向右平移2个单位，得到y=x 2+1的图像.
3．抛物线的平移： （1）把二次函数y=3x 2的图像， 先沿x轴向左平移３个单位， 再沿y轴向下平移2个单位， 得到_y_=_3_(_x_+_3_)2_-2____的图像； （2）把二次函数___y_=_-_3(_x_+_6_)2___的图像， 先沿y轴向下平移2个单位， 再沿x轴向右平移3个单位， 得到y=-3(x+3) 2－2的图像.
2
y 1 x2 2
y 1
有什么关系?
-5 -4 -3 -2 -1-1 o 1 2 3 4 5 x
平移方法1:
y 1 (x 1)2 1
-2
2
-3
y
1 2
x
2向下平移 1个单位
y
1 2
x
2
1
-4 -5 -6
向左平移 y 1 (x 1)2 1
1个单位
2
-7
22.1.3二次函数的图像与性质 初中初三九年级数学教学课件PPT 人教版
开口方向 对称轴 顶点坐标
向上 向下 向上
直线x=－3 直线x=1 直线x=3
(－3, 5 ) ( 1, －2 ) ( 3 , 7)
向下
直线x=2 ( 2 , －6 )
x=h 减小 h
x=h 增大 h
可以看作互相平移得到的.
平移规律
左 右 平 移 y = ax2 + k
பைடு நூலகம்
y = a( x - h )2 + k 上 下 平 移
简记为： 上下平移， 括号外上加下减；
y = a(x - h )2 左右平移，
上下平移 y = ax2 左右平移
括号内左加右减. 二次项系数a不变.
当堂练习
1.完成下列表格: 二次函数
左右平移：括号内 左加右减自变量； 上下平移：括号外 上加下减函数值.
一般地，抛物线 y = a(x-h)2+k与y = ax2形状相同，位置不同.
数学享有盛誉还有另一个原因： 正是数学给了各种精密自然科学一定程 度的可靠性，没有数学，它们不可能获 得这样的可靠性。
――艾伯特·爱因斯坦
这是函数 y=a(x-h)2+k 的性质
哦!
(h,k) 小
(h,k) 大
向上
增大 k
向下
减小 k
练一练
1.请回答抛物线y = 4(x－3)2＋7由抛物线y=4x2怎样平移得到? 由抛物线向上平移7个单位再向右平移3个单位得到的.
2.如果一条抛物线的形状与 y 1 x2 2形状相同，且 3
顶点坐标是（4，2），试求这个函数关系式.
二次函数图像性质表格
二次函数的图象1、二次函数的性质2、二次函数解析式的几种形式：①一般式：y = ax bx c( a、b、c为常数，a丰0)2y =a(x_h) k( a、h、k为常数，0),其中(h, k)为顶点坐标。
②顶点式：③交点式：y 二a(x _ xj(x _ X 2)，其中Xi , X 2是抛物线与x 轴交点的横坐标，即一2元二次方程axbx ・c=0的两个根，且a 丰0,(也叫两根式)。
3、求抛物线的顶点、对称轴和最值的方法2 2①配方法：将解析式 y 二ax bx c化为y 二a(x-h) k 的形式，顶点坐标为(h ,k ),对称轴为直线x=h ，若a > 0, y 有最小值，当x = h 时，y最小值=k；若a v 0, y 有最大值，当x = h 时，y最大值=k。
4、抛物线与x 轴交点情况：2对于抛物线y =ax bx c (a ^0)2③当F ： =b -4ac ：：： 0时，抛物线与x 轴无交点，反之也成立。
5、求根公式：-b 土 Jb 2 - 4acx =2a②公式法：直接利用顶点坐标公式(b2a4ac -b 24a ),求其顶点；对称轴是直线xa 0, y 有最小值，当2a ,若2a时，y最小值-4ac - b 24ax =时, 最大值，当2a4ac-b 2 y 最大值= ■4a2①当八=b -4ac 0时，抛物线与x 轴有两个交点，反之也成立。
②当厶二b 2 -4ac = 0时，抛物线与x 轴有一个交点，反之也成立，此交点即为顶点。
二次函数
二次函数1 二次函数1.1 二次函数的定义（1）二次函数的定义：一般地，形如c bx y ax ++=2（a 、b 、c 是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．其中x 、y 是变量，a 、b 、c 是常量，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项．c bx y ax ++=2（a 、b 、c 是常数，a≠0）也叫做二次函数的一般形式．判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0这个关键条件．（2）二次函数的取值范围：一般情况下，二次函数中自变量的取值范围是全体实数，对实际问题，自变量的取值范围还需使实际问题有意义． 1、下列函数，其中图象为抛物线的是（ ） A ．y ＝x1B ．y=2xC ．y=x 2D ．y=2x+32、已知方程02=++cy bx ax （a ≠0、b 、c 为常数），请你通过变形把它写成你所熟悉的一个函数表达式的形式．则函数表达式为 ，成立的条件是 ，是 函数．1.2 根据实际问题列二次函数关系式根据实际问题确定二次函数关系式关键是读懂题意，建立二次函数的数学模型来解决问题．需要注意的是实例中的函数图象要根据自变量的取值范围来确定．①描点猜想问题需要动手操作，这类问题需要真正的去描点，观察图象后再判断是二次函数还是其他函数，再利用待定系数法求解相关的问题．②函数与几何知识的综合问题，有些是以函数知识为背景考查几何相关知识，关键是掌握数与形的转化；有些题目是以几何知识为背景，从几何图形中建立函数关系，关键是运用几何知识建立量与量的等式．1、某厂今年一月份新产品的研发资金为a 元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x ，则该厂今年三月份新产品的研发资金y （元）关于x 的函数关系式为y= ．2、如图，半圆O 的直径AB=4，与半圆O 内切的动圆O1与AB 切于点M ，设⊙O1的半径为y ，AM 的长为x ，则y 关于x 的函数关系式是 （要求写出自变量x 的取值范围）．3、如图，四边形ABCD 中，∠BAD=∠ACB=90°，AB=AD ，AC=4BC ，设CD 的长为x ，四边形ABCD 的面积为y ，则y 与x 之间的函数关系式是（ ） A ．y=x 2252 B ．y=x 2254 C ．y=x 252 D ．y=x 2542 二次函数的图象与性质2.1 二次函数的图象2.2 二次函数的性质1、已知a ≠0，在同一直角坐标系中，函数y=ax 与y=ax 2的图象有可能是（ ）A ．B ．C ．D ．2、函数y=xk 与y=-kx 2+k （k ≠0）在同一直角坐标系中的图象可能是（ ） A ．B ．C ．D ．3、抛物线y=-x 2+bx+c 的部分图象如图所示，若y ＞0，则x 的取值范围是 ．4、如图，已知函数y=−x3与y=ax 2+bx （a ＞0，b ＞0）的图象交于点P ．点P的纵坐标为1．则关于x 的方程ax 2+bx+x3=0的解为 ．5、抛物线y=ax 2+bx+c 经过点A （-3，0），对称轴是直线x=-1，则a+b+c= ．6、如图，对称轴平行于y 轴的抛物线与x 轴交于（1，0），（3，0）两点，則它的对称轴为 ．7、对于二次函数y=）（12x +2的图象，下列说法正确的是（ ） A ．开口向下B ．对称轴是x=-1C ．顶点坐标是（1，2）D ．与x 轴有两个交点8、二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的大致图象如图，关于该二次函数，下列说法错误的是（ ） A ．函数有最小值B ．对称轴是直线x=21C ．当x ＜21，y 随x 的增大而减小D ．当-1＜x ＜2时，y ＞02.3 二次函数图象与系数的关系 二次函数c bx y ax ++=2（a≠0）①二次项系数a 决定抛物线的开口方向和大小．当a ＞0时，抛物线向上开口；当a ＜0时，抛物线向下开口；|a|还可以决定开口大小，|a|越大开口就越小．②一次项系数b 和二次项系数a 共同决定对称轴的位置．当a 与b 同号时（即ab ＞0），对称轴在y 轴左； 当a 与b 异号时（即ab ＜0），对称轴在y 轴右．（简称：左同右异）③常数项c 决定抛物线与y 轴交点． 抛物线与y 轴交于（0，c ）． ④抛物线与x 轴交点个数．△=ac b 42-＞0时，抛物线与x 轴有2个交点；△=ac b 42-=0时，抛物线与x 轴有1个交点；△=ac b 42-＜0时，抛物线与x 轴没有交点．1、二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象如图所示，对称轴是直线x=1，则下列四个结论错误的是（ ） A ．c ＞0B ．2a+b=0C ．ac b 42-＞0D ．a-b+c ＞02、二次函数y=x 2+bx+c ，若b+c=0，则它的图象一定过点（ ） A ．（-1，-1）B ．（1，-1）C ．（-1，1）D ．（1，1）3、二次函数y=-x 2+bx+c 的图象如图所示，则一次函数y=bx+c 的图象不经过第 象限．4、已知二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象如图所示，给出以下结论： ①b 2＞4ac ； ②abc ＞0； ③2a-b=0； ④8a+c ＜0； ⑤9a+3b+c ＜0．其中结论正确的是 ．（填正确结论的序号）2.4 二次函数图象上点的坐标特征二次函数c bx y ax ++=2（a≠0）的图象是抛物线，顶点坐标是（a b 2-，ab ac 442-）；．①抛物线是关于对称轴ab2-成轴对称，所以抛物线上的点关于对称轴对称，且都满足函数函数关系式．顶点是抛物线的最高点或最低点． ②抛物线与y 轴交点的纵坐标是函数解析中的c 值．③抛物线与x 轴的两个交点关于对称轴对称，设两个交点分别是（x 1，0），（x 2，0），则其对称轴为x=221x x +．1、设抛物线c bx y ax ++=2（a ≠0）过A （0，2），B （4，3），C 三点，其中点C 在直线x=2上，且点C 到抛物线的对称轴的距离等于1，则抛物线的函数解析式为 ．2、已知点（x 1，y 1），（x 2，y 2）均在抛物线y=x 2-1上，下列说法中正确的是（ ）A ．若y 1=y 2，则x 1=x 2B ．若x 1=-x 2，则y 1=-y 2C ．若0＜x 1＜x 2，则y 1＞y 2D ．若x 1＜x 2＜0，则y 1＞y 22.5 二次函数图象与几何变换1）、将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； 2）、 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位1、若将抛物线y=x 2向右平移2个单位，再向上平移3个单位，则所得抛物线的表达式为（ ）A ．y=）（22+x +3 B ．y=）（22-x +3 C ．y=）（22+x -3 D ．y=）（22-x -3 2、在平面直角坐标系中，把抛物线y=-x221+1向上平移3个单位，再向左平移1个单位，则所得抛物线的解析式是 ．2.6 二次函数的最值（1）当a ＞0时，抛物线在对称轴左侧，y 随x 的增大而减少；在对称轴右侧，y 随x 的增大而增大，因为图象有最低点，所以函数有最小值，当x=ab2-时，y=ab ac 442-．（2）当a ＜0时，抛物线在对称轴左侧，y 随x 的增大而增大；在对称轴右侧，y 随x 的增大而减少，因为图象有最高点，所以函数有最大值，当x=ab2-时，y=ab ac 442-．（3）确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标；当自变量取某个范围时，要分别求出顶点和函数端点处的函数值，比较这些函数值，从而获得最值．1、如图，P 是抛物线y=-x 2+x+2在第一象限上的点，过点P 分别向x 轴和y 轴引垂线，垂足分别为A ，B ，则四边形OAPB 周长的最大值为 ．2、当-2≤x ≤1时，二次函数y=-)(2m x -+m 2+1有最大值4，则实数m 的值为（ ） A ．-47B ．3或−3C ．2或−3D ．2或3或−472.7 待定系数法求二次函数解析式 用待定系数法求二次函数的解析式．在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x 轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．1、如图，二次函数y=x 2+bx+c 的图象过点B （0，-2）．它与反比例函数y=-x8的图象交于点A （m ，4），则这个二次函数的解析式为（ ） A ．y=x 2-x-2B ．y=x 2-x+2C ．y=x 2+x-2D ．y=x 2+x+22、抛物线y=ax 2+bx+c （a ≠0）经过点（1，2）和（-1，-6）两点，则a+c= ．2.8 二次函数的三种形式1）、一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）； 2）、顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；3）、两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）. 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.1、函数y=a ·sin x ·cosx+b ·sinx+b ·cosx+c 运用换元法可以化简为：将 设为t ，则化简为 ．友情提醒：x sin 2=1-x cos 22、把二次函数y=-41x2-x+3用配方法化成y=a )(2h x -+k 的形式（ ）A ．y=-41)2(2-x +2B ．y=41)2(2-x +4C ．y=-41)2(2-x +4D ．y=)2121(2-x +33 实践与探究3.1 抛物线于x 轴的交点求二次函数2y ax bx c =++（a ，b ，c 是常数，a≠0）与x 轴的交点坐标，令y=0，即c bx ax ++2=0，解关于x 的一元二次方程即可求得交点横坐标．（1）二次函数2y ax bx c =++（a ，b ，c 是常数，a≠0）的交点与一元二次方程c bx ax++2=0根之间的关系．ac 4b 2-=∆决定抛物线与x 轴的交点个数． ac 4b 2-=∆＞0时，抛物线与x 轴有2个交点； ac 4b 2-=∆=0时，抛物线与x 轴有1个交点； ac 4b 2-=∆＜0时，抛物线与x 轴没有交点．（2）二次函数的交点式：12()()y a x x x x =--（a ，b ，c 是常数，a≠0），可直接得到抛物线与x 轴的交点坐标（x 1，0），（x 2，0）．1、已知抛物线y=x 2-x-1与x 轴的一个交点为（m ，0），则代数式m 2-m+2014的值为（ ） A ．2012B ．2013C ．2014D ．20152、如图，抛物线y=a x2+bx+c（a＞0）的对称轴是过点（1，0）且平行于y轴的直线，若点P（4，0）在该抛物线上，则4a-2b+c的值为．3.2 图象法求一元二次方程的近似根利用二次函数图象求一元二次方程的近似根的步骤是：（1）作出函数的图象，并由图象确定方程的解的个数；（2）由图象与y=h的交点位置确定交点横坐标的范围；（3）观察图象求得方程的根（由于作图或观察存在误差，由图象求得的根一般是近似的）．1、已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标（-1，-3.2）及部分图象（如图），由图象可知关于x的方程ax2+bx+c=0的两个根分别是x1=1.3和x2= ．2、根据下列表格的对应值，判断方程ax2+bx+c=0（a≠0，a、b、c为常数）一个解的范围是（）A．3＜x＜3.23 B．3.23＜x＜3.24C．3.24＜x＜3.25 D．3.25＜x＜3.263.3 二次函数与不等式（组）二次函数2=++（a、b、c是常数，a≠0）与不等式的关系y ax bx c①函数值y与某个数值m之间的不等关系，一般要转化成关于x的不等式，解不等式求得自变量x的取值范围．②利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解，也可把两个函数解析式列成不等式求解．1、二次函数2=++（a≠0）的图象如图所示，则函数值y＞0时，x的取y ax bx c值范围是（）A．x＜-1 B．x＞3 C．-1＜x＜3 D．x＜-1或x＞32、如图是抛物线2=++的一部分，其对称轴为直线x=1，若其与x轴一y ax bx c交点为B（3，0），则由图象可知，不等式ax2+bx+c＞0的解集是．3.4 二次函数的应用（1）利用二次函数解决利润问题在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题．解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围．（2）几何图形中的最值问题几何图形中的二次函数问题常见的有：几何图形中面积的最值，用料的最佳方案以及动态几何中的最值的讨论．（3）构建二次函数模型解决实际问题利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题．1、如图是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面宽4米时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2米，水面下降1米时，水面的宽度为米．2、如图，已知：正方形ABCD边长为1，E、F、G、H分别为各边上的点，且AE=BF=CG=DH，设小正方形EFGH的面积为s，AE为x，则s关于x的函数图象大致是（）A．B．C．D．3.5 二次函数综合题（1）二次函数图象与其他函数图象相结合问题解决此类问题时，先根据给定的函数或函数图象判断出系数的符号，然后判断新的函数关系式中系数的符号，再根据系数与图象的位置关系判断出图象特征，则符合所有特征的图象即为正确选项．（2）二次函数与方程、几何知识的综合应用将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起．这类试题一般难度较大．解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件．（3）二次函数在实际生活中的应用题从实际问题中分析变量之间的关系，建立二次函数模型．关键在于观察、分析、创建，建立直角坐标系下的二次函数图象，然后数形结合解决问题，需要我们注意的是自变量及函数的取值范围要使实际问题有意义．1、如图，已知抛物线y 1=-x 2+1，直线y 2=-x+1，当x 任取一值时，x 对应的函数值分别为y 1，y 2．若y 1≠y 2，取y 1，y 2中的较小值记为M ；若y 1=y 2，记M=y 1=y 2．例如：当x=2时，y 1=-3，y 2=-1，y 1＜y 2，此时M=-3．下列判断中：①当x ＜0时，M=y 1；②当x ＞0时，M 随x 的增大而增大； ③使得M 大于1的x 值不存在；④使得M=21的值是-22或21，其中正确的个数有（ ） A ．1B ．2C ．3D ．42、已知抛物线y ＝21x2+bx 经过点A （4，0）．设点C （1，-3），请在抛物线的对称轴上确定一点D ，使得|AD-CD|的值最大，则D 点的坐标为 ．。
30.2 次函数y=ax2的图像和性质 【一等奖教案】 表格版
30.2 二次函数的图像和性质第1课时 二次函数y=ax 2的图像和性质1．会用描点法画出y ＝ax 2的图像，理解抛物线的概念．2．掌握形如y ＝ax 2的二次函数图像和性质，并会应用．一、情境导入自由落体公式h ＝12gt 2(g 为常量)，h 与t 之间是什么关系呢？它是什么函数？它的图像是什么形状呢？二、合作探究探究点一：二次函数y ＝ax 2的图像 【类型一】图像的识别已知a ≠0，在同一直角坐标系中，函数y ＝ax 与y ＝ax 2的图像有可能是( )解析：本题进行分类讨论：(1)当a ＞0时，函数y ＝ax 2的图像开口向上，函数y ＝ax图像经过一、三象限，故排除选项B ；(2)当a ＜0时，函数y ＝ax 2的图像开口向下，函数y ＝ax 图像经过二、四象限，故排除选项D ；又因为在同一直角坐标系中，函数y ＝ax 与y ＝ax 2的图像必有除原点(0，0)以外的交点，故选择C.方法总结：分a ＞0与a ＜0两种情况加以讨论，并且结合一些特殊点，采取“排除法”． 【类型二】实际问题中图像的识别已知h 关于t 的函数关系式为h ＝12gt 2(g 为正常数，t 为时间)，则函数图像为( )解析：根据h 关于t 的函数关系式为h ＝12gt 2，其中g 为正常数，t 为时间，因此函数h＝12gt 2图像是受一定实际范围限制的，图像应该在第一象限，是抛物线的一部分，故选A. 方法总结：在识别二次函数图像时，应该注意考虑函数的实际意义．探究点二：二次函数y ＝ax 2的性质【类型一】利用图像判断二次函数的增减性作出函数y ＝－x 的图像，观察图像，并利用图像回答下列问题：(1)在y 轴左侧图像上任取两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，使x 2<x 1<0，试比较y 1与y 2的大小；(2)在y 轴右侧图像上任取两点C (x 3，y 3)，D (x 4，y 4)，使x 3＞x 4＞0，试比较y 3与y 4的大小；(3)由(1)、(2)你能得出什么结论？解析：根据画出的函数图像来确定有关数值的大小，是一种比较常用的方法．解：(1)图像如图所示，由图像可知y 1＞y 2，(2)由图像可知y 3<y 4；(3)在y 轴左侧，y 随x 的增大而增大，在y 轴右侧，y 随x 的增大而减小．方法总结：解有关二次函数的性质问题，最好利用数形结合思想，在草稿纸上画出抛物线的草图进行观察和分析以免解题时产生错误．【类型二】二次函数的图像与性质的综合题已知函数y ＝(m ＋3)xm ＋3m －2是关于x 的二次函数．(1)求m 的值；(2)当m 为何值时，该函数图像的开口向下？ (3)当m 为何值时，该函数有最小值？ (4)试说明函数的增减性．解析：(1)由二次函数的定义可得⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋3m －2＝2，m ＋3≠0，故可求m 的值．(2)图像的开口向下，则m ＋3＜0；(3)函数有最小值，则m ＋3＞0；(4)函数的增减性由函数的开口方向及对称轴来确定．解：(1)根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋3m －2＝2，m ＋3≠0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m 1＝－4，m 2＝1，m ≠－3.∴当m ＝－4或m ＝1时，原函数为二次函数．(2)∵图像开口向下，∴m ＋3＜0，∴m ＜－3，∴m ＝－4.∴当m ＝－4时，该函数图像的开口向下．(3)∵函数有最小值，∴m ＋3＞0，m ＞－3，∴m ＝1，∴当m ＝1时，原函数有最小值．(4)当m ＝－4时，此函数为y ＝－x 2，开口向下，对称轴为y 轴，当x ＜0时，y 随x 的增大而增大；当x ＞0时，y 随x 的增大而减小．当m ＝1时，此函数为y ＝4x 2，开口向上，对称轴为y 轴，当x ＜0时，y 随x 的增大而减小；当x ＞0时，y 随x 的增大而增大．方法总结：二次函数的最值是顶点的纵坐标，当a ＞0时，开口向上，顶点最低，此时纵坐标为最小值；当a ＜0时，开口向下，顶点最高，此时纵坐标为最大值．考虑二次函数的增减性要考虑开口方向和对称轴两方面的因素，因此最好画图观察．探究点三：确定二次函数y ＝ax 2的表达式【类型一】利用图像确定y ＝ax 2的解析式一个二次函数y ＝ax (a ≠0)的图像经过点A (2，－2)关于坐标轴的对称点B ，求其关系式．解析：坐标轴包含x 轴和y 轴，故点A (2，－2)关于坐标轴的对称点不是一个点，而是两个点．点A (2，－2)关于x 轴的对称点B 1(2，2)，点A (2，－2)关于y 轴的对称点B 2(－2，－2)．解：∵点B 与点A (2，－2)关于坐标轴对称，∴B 1(2，2)，B 2(－2，－2)．当y ＝ax 2的图像经过点B 1(2，2)时，2＝a ×22，∴a ＝12，∴y ＝12x 2；当y ＝ax 2的图像经过点B 1(－2，－2)时，－2＝a ×(－2)2，∴a ＝－12，∴y ＝－12x 2.∴二次函数的关系式为y ＝12x 2或y ＝－12x 2.方法总结：当题目给出的条件不止一个答案时，应运用分类讨论的方法逐一进行讨论，从而求得多个答案．【类型二】二次函数y ＝ax 2的图像与几何图形的综合应用已知二次函数y ＝ax (a ≠0)与直线y ＝2x －3相交于点A (1，b )，求：(1)a ，b 的值；(2)函数y ＝ax 2的图像的顶点M 的坐标及直线与抛物线的另一个交点B 的坐标．解析：直线与函数y ＝ax 2的图像交点坐标可利用方程求解．解：(1)∵点A (1，b )是直线与函数y ＝ax 2图像的交点，∴点A 的坐标满足二次函数和直线的关系式，∴⎩⎪⎨⎪⎧b ＝a ×12，b ＝2×1－3，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－1. (2)由(1)知二次函数为y ＝－x 2，顶点M (即坐标原点)的坐标为(0，0)，由－x 2＝2x －3，解得x 1＝1，x 2＝－3，∴y 1＝－1，y 2＝－9，∴直线与抛物线的另一个交点B 的坐标为(－3，－9)．【类型三】二次函数y ＝ax 2的实际应用如图所示，有一抛物线形状的桥洞．桥洞离水面最大距离OM 为3m ，跨度AB ＝6m.(1)请你建立适当的直角坐标系，并求出在此坐标系下的抛物线的关系式；(2)一艘小船上平放着一些长3m ，宽2m 且厚度均匀的矩形木板，要使小船能通过此桥洞，则这些木板最高可堆放多少米？解析：可令O 为坐标原点，平行于AB 的直线为x 轴，建立平面直角坐标系，则可设此抛物线函数关系式为y ＝ax 2.由题意可得B 点的坐标为(3，－3)，由此可求出抛物线的函数关系式，然后利用此抛物线的函数关系式去探究其他问题．解：(1)以O 点为坐标原点，平行于线段AB 的直线为x 轴，建立如图所示的平面直角坐。
12.17二次函数y=ax2+bx+c的图像与性质1
A 7.在同一直角坐标系中,二次函数 y=ax2+bx+c 与 一次函数y=ax+c的大致图象可能是 （ C）
y o x o y x o y x o y x
-3
x
o B -3
x
o C -3
x
o D -3
x
A
B
C
D
8．如图 3－4－1 为坐标平面上二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的 图象，且此图象通过(－1,1)，(2，－1)两点．下列关于此二次函 数的叙述，其中正确的是(D )
11．(2011 年江苏无锡)如图 3－4－3，抛物线 y＝x2＋1 与双
k k 2 曲线 y＝x的交点 A 的横坐标是 1， 则关于 x 的不等式x＋x ＋1<0 的解集是( D )
A．x>1 C．0<x<1 B．x<－1 D．－1<x<0
图 3－4－3
12．(2011 年江苏宿迁)已知二次函数 y＝ax2 ＋bx＋c(a≠0)
3.顶点坐标是 (h,k) 。
二次函数 y=2(x+3)2+5 y = -3(x-1)2 2 y = 4(x-3)2 +7 y = -5(2-x)2 6
开口方向
对称轴
顶点坐标
向上 直线x=–3
（－3，5）
向下 直线x=1 （1，－2）
向上 直线x=3 （3，7 ）
向下 直线x=2 （2，－6）
函数y=ax²+bx+c的图象
2+bx+c 二次函数y=ax
图象和性质
y
Байду номын сангаас
o
x
一般地，抛物线y=a(x-h) +k与 y=ax2的 形状 相同， 位置 不同
《二次函数》知识点梳理
《二次函数》知识点梳理一、二次函数的定义、图像和性质1. 定义：一般地，如果y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0），那么y叫做x的二次函数.这里，当a=0时就不是二次函数了，但b、c可分别为零，也可以同时都为零.a的绝对值越大，抛物线的开口越小.2. 几种特殊的二次函数的图像特征如下：【典型例题】当k分别取-1，1，2时，函数y=（k-1）x2-4x+5-k都有最大值吗？请写出你的判断，并说明理由；若有，请求出最大值.解析：先求出当k分别取-1，1，2时对应的函数，再根据函数的性质讨论最大值.（1）当k=1时，函数y=-4x+4为一次函数，无最值.（2）当k=2时，函数y=x2-4x+3为二次函数且图象开口向上，无最大值.（3）当k=-1时，函数y=-2x2-4x+6=-2（x+1）2+8为二次函数且图象开口向下，对称轴为直线x=-1，顶点坐标为（-1，8），所以当x=-1时，y最大值=8.点评：本题考查一次函数和二次函数的基本性质，熟知函数的性质是求最值的关键.二、二次函数与一元二次方程的关系函数y=ax2+bx+c（a≠0），当y=0时，得到一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），那么一元二次方程的解就是二次函数的图象与x轴交点的横坐标，因此二次函数图象与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况.通过下面表格可以直观地观察到二次函数图象和一元二次方程的关系：注意点：二次函数图象与x轴的交点的个数由△=b2-4ac 的值来确定.（1）当二次函数的图象与x轴有两个交点，这时△=b2-4ac>0（a≠0），则方程有两个不相等实根x1，2=■.（2）当二次函数的图象与x轴有且只有一个交点，这时△=b2-4ac=0，则方程有两个相等实根x1=x2=-■（3）当二次函数的图象与x轴没有交点，这时△=b2-4ac<0，则方程没有实根.【典型例题】已知：二次函数y=（2m-1）x2-（5m+3）x+3m+5（1）m为何值时，此抛物线必与x轴相交于两个不同的点；（2）m为何值时，这两个交点在原点的左右两边；（3）m为何值时，抛物线的对称轴是y轴；（4）m为何值时，二次函数有最大值-■.解析：（1）∵△=[-（5m+3）]2-4（2m-1）（3m+5）=m2+2m+29>0，∴当m≠■时，此抛物线必与x轴相交于两个不同的点；（2）据题意，得■<0，则-■<m<■；（3）据题意，得-（5m+3）=0；则m=-■；（4）据题意，得■=-■，化简，得m2-8m+34=0，此方程无实数根，则不存在.三、二次函数解析式的求法与一次函数和反比例函数类似，我们也是用待定系数法来求二次函数的关系式，不过我们要注意根据已知条件选择合适的关系式的设法，可分三种情况：（1）设一般式y=ax2+bx+c（a≠0）：如果已知抛物线上三点的坐标或三组x，y的对应值，可设所求二次函数为y=ax2+bx+c（a≠0），将已知条件带入关系式，得到关于a，b，c的三元一次方程组，解方程组的值，求出a，b，c的值，关系式便可得出.（2）设顶点式y=a（x-h）2+k（a≠0）：如果已知对称轴和最大值（或最小值）或顶点坐标，可设所求二次函数y=a （x-h）2+k（a≠0），将已知条件代入，求出待定系数a，从而求得函数关系式，最后要注意，把关系式化成一般形式.（3）设交点式y=a（x-x1）（x-x2）（a≠0）：如果已知或较容易求得抛物线与x轴的交点坐标（x1，0）和（x2，0）及另一点的坐标或一组x，y的对应值，可设所求函数为y=a （x-x1）（x-x2），将另一点的坐标或一组的x，y对应值代入，求出待定系数a，进而得到函数关系式，最后也要注意将其化为一般形式.【典型例题】已知二次函数y=（t+1）x2+2（t+2）x+■在x=0和x=2时的函数值相等.（1）求二次函数的解析式；（2）若一次函数y=kx+6的图象与二次函数的图象都经过点A（-3，m），求m和k的值.解析：（1）由题意可知二次函数图象的对称轴为直线x=1，则-■=1，∴t=-■.∴y=-■x2+x+■.（2）∵二次函数图象必经过A点，∴m=-■×（-3）2+（-3）+■=-6.又∵一次函数y=kx+6的图象经过A点，∴-3k+6=-6，∴k=4.四、利用二次函数解决实际问题利用二次函数解决实际问题，要建立数学模型，即把实际问题转化为二次函数问题，利用题中存在的公式、内含的规律等相等关系，建立函数关系式，再利用函数的图象及性质去研究问题.在研究实际问题时要注意自变量的取值范围应具有实际意义.利用二次函数解决实际问题的一般步骤是：第一步，设自变量；第二步，建立函数解析式；第三步，确定自变量取值范围；第四步，根据顶点坐标公式或配方法求出最值（在自变量的取值范围内）.【典型例题】铜仁市某电解金属锰厂从今年1月起安装使用回收净化设备（安装时间不计），这样既改善了环境，又降低了原料成本，根据统计，在使用回收净化设备后的1至x月的利润的月平均值w（万元）满足w=10x+90.（1）设使用回收净化设备后的1至x月的利润和为y，请写出y与x的函数关系式.（2）请问前多少个月的利润和等于1620万元？解析：（1）y=w?x=（10x+90）x=10x2+90x（x为正整数）（2）设前x个月的利润和等于1620万元，10x2+90x=1620即：x2+9x-162=0得x=■x1=9，x2=-18（舍去），所以前9个月的利润和等于1620万元.。
y=a(x-h)2+k图象 与性质
步骤2.观察所画函数 图象，同学之间展开 讨论：图象具有哪些 性质？
提示：我们在前面探究二次函数 图象的性质时，常常从那几个方 面考虑图象的性质？
解: 先列表
x … -4 -3 -2 -1 0 1 2 …
1 y ( x 1) 2 1 … 2
-5.5 -3 -1.5 -1 -1.5 -3 -5.5 …
一般地,抛物线y=a(x－h)2 ＋k与y=ax2形状相同,位置不同.把抛物 线y=ax2向上(下)向右(左)平移,可以得 到抛物线y=a(x－h)2＋k.平移的方向、 距离要根据h、k的值来决定.
平移方法: 向左(右)平移 y=ax2 y=a(x－h)2向上(下)平y=a(x－h)2+k |h|个单位 移|k|个单 位 y=ax2 向上(下)平 y=ax2+k 向左(右)平 y=a(x－h)2+k 移|h|个单 移|k|个单 位 位
平移方法2:
x=－1
1 1 2向左平移1个 1 2 向下平移1个 y ( x 1) 2 1 y x y ( x 1) 2 单位 单位 2 2
：举一反三，完成表格，归纳性质，知识升华。
二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质
抛物线
开口方向
y=a(x-h)2+k(a>0)
1、会用描点法画出二次函数y=a(x-h)² +k的图像 2、了解抛物线y=a(x-h)² +k的开口方向、顶点
坐标、对称轴
3、掌握把抛物线y=ax² 平移至y=a(x-h)² +k的规律 4.体会用二次函数y=a(x-h)² +k解决实际问题
小组学习 步骤1.画函数 的图象.
1 y ( x 1) 2 1 2
二次函数的图像与性质
函数 y 1 x2, y 2x2 2
的图象与函数 y=x2
象相比，有什么共同点和不同点？
的图
相同点：开口都向上，顶点是
原点而且是抛物线的最低点，对 称轴是 y 轴,在对称轴的左侧，y 随着x的增大而减小。在对称轴 的右侧，y随着x的增大而增大.
不同点：开口大小不同;
y x2
8 6
4 2
a 越大，抛物线的开口越小．－4 －2
…
… -８ -4. 5
-２ -０.５ ０ -０.５ y
1
-２ -4. 5 -８ …
-3 -2 -1 0 1 2 3 x
y 1 x2
-1
2
-2
(2) 描点-3(3) 连 Nhomakorabea y x2
-4
-5
y 2 x2
函数y=－ x221,y=－2x2的图象与函数y=－x2 (图中蓝线图形)的图象相比,有什么共同点和不同点?
x
... -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 ...
y=x2 ... 4 2.25 1 0.25 0 0.25 1 2.25 4
...
y= - x2 ...
...
函数图像画法
描点法
y x2
列表 描点 连线
注意：列表时自变量 取值要均匀和对称。
用光滑曲线连结时要 自左向右顺次连结
二次函数 y = x2的图象是一条曲线，它的形状类似 于投篮球时球在空中所经过的路线，只是这条曲线 开口向上，这条曲线叫做抛物线 y = x2 ，
9 6 3
－3
3
二次函数的图象都是抛物线， 它们的开口或者向上或 者向下． 一般地，二次函数 y = ax2 + bx + c（a≠0）的 图象叫做抛物线y = ax2 + bx + c
人教版九年级数学上册《二次函数y=a(x-h)2+k 的图象和性质》二次函数PPT精品教学课件
2
2
轴和顶点坐标、顶点高低、函数最值、函数增减性.
根据图象回答下列问题:
(1)图象的形状都是 抛物线 ；
(2)三条抛物线的开口方向__向__下___;
(3)对称轴分别是__x=_-_1_,_x_=_1__；
(4) 从左到右顶点坐标分别是(_-_1_,_0_)___(_1_,_0_)_;
y 1 x+12
y y = 2x2+1 y = 2x2 -1
把抛物线y=2x2 向上 平移 1 个单位就得到
8 y = 2x2
抛物线y=2x2+1;把抛物线y=2x2向下平移 1 个单
6
位就得到抛物线y=2x2-1.
4
2
所以，y = 2x2 -1的图象还可以由抛物线
y = 2x2+1 向下 平移 2 个单位得到.
-4 -2 O 2 4 x -1
2
y 1 (x 1)2 2
画出二次函数 y 1 x 12 , y 1 x 12 的图象，并考虑它们的开口方向、对称
2
2
轴和顶点坐标、顶点高低、函数最值、函数增减性.
(5)顶点都是最__高__点，函数都有最__大__值，最 _大___值均为__y_=_0_； (6)函数的增减性都相同： 对称轴左边时_y_随__x_增__大__而__增__大_， 对称轴右边时_y_随__x_增__大__而__减__小__.
y 3x2
顶点 (0,0)
y 3x2 2
y 3x2 3
向下平移
向上平移
两个单位长度
5个单位长度
(0, -2)
(0, 3)
巩固练习
1.下列抛物线的顶点坐标为(0,1)的是( A )