高中数学 平面
§2.1.1平面(1)
一、设问导读(预习教材P 40~ P 43,找出疑惑之处)
问题1:观察长方体,你能发现构成空间几何体的基本要素有哪些?这些点、线、面有怎样的位置关系?本节我们将讨论这个问题.
2.平面的概念:
问题2:生活中哪些物体给人以平面形象?你觉得平面可以拉伸吗?平面有厚薄之分吗?
问题3:什么是平面呢? 如何画平面?平面如何表示呢?
问题4:点动成线、线动成面.联系集合的观点,点与直线、点与平面的位置关系怎么表示?直线与平面?
A
a
A
a
A
α
A
α
用符号语言表示:
3.平面的基本性质:
问题5:直线l 与平面α有一个公共点P ,直线l 是否在平面α内?有两个公共点呢? 问题6:公理1的文字语言如何叙述,符号语言如何符号语言如何表示?表示?
问题7:公理1有何作用?
问题8:两点确定一条直线,两点能确定一个平面吗?任意三点能确定一个平面吗? 问题9:公理2的文字语言如何叙述,符号语言如何表示?
问题10:你从公理2出发还能得出哪些推论?它们的作用是什么?
问题11:把三角板的一个角立在课桌面上,三角板所在平面与桌面所在平面是否只相交于点B ?为什么?
问题12:公理3的文字语言如何叙述,符号语言如何表示?
问题13:公理3有何作用?
二、自学检测
例1:如图,用符号表示下列图形中点、直线、平面之间的位置关系.
例2:如图在正方体ABCD A B C D ''''-中,判断下列命题是否正确,并说明理由: ⑴直线AC 在平面ABCD 内;
⑵设上下底面中心为,O O ',则平面AA C C ''与平面BB 'D D '
的交线为OO ';
⑶点,,A O C '可以确定一个平面; ⑷平面AB C ''与平面AC D '重合;
⑸由,,A C B ''确定的平面是ADC B '';
练 一练 :用符号表示下列语句,并画出相应的图形:
⑴点A 在平面α内,但点B 在平面α外; ⑵直线a 经过平面α外的一点M ; ⑶直线a 既在平面α内,又在平面β内.
4.课堂练习:43页 1,2,3,4.
5.课外作业:51页 习题2.1 A 组 1,2 三、巩固训练:
1. 下面说法正确的是( ).
①平面ABCD 的面积为210cm ②100个平面重合比50个平面重合厚③空间图形中虚线都是辅助线④平面不一定用平行四边形表示.
A.①
B.②
C.③
D.④ 2. 下列说法正确的是( ).
①空间任意三点可以确定一个平面; ②有三个公共点的两个平面必重合;
③空间两两相交的三条直线确定一个平面; ④三角形是平面图形
⑤平行四边形、梯形、四边形都是平面图形; ⑥垂直于同一条直线的两条直线平行;
⑦一条直线与两条平行线中的一条相交,也必和另一条相交; ⑧两组对边相等的四边形是平行四边形.
3.直线12,l l 相交于点P ,并且分别与平面γ相交于点,A B 两点,用符号表示为____________________.
4..平面α?平面l β=,点A α∈,B α∈,C β∈,且AB l R ?=,过A 、B 、C 三点确定平面γ,则βγ?= ( ) A . 直线AC B .直线BC C .直线CR D .以上都不对.
5. 两个平面不重合,在一个面内取4点,另一个面内取3点,这些点最多能够确定平面_______个 ※ 学习小结
1. 平面的特征、画法、表示;
2. 平面的基本性质(三个公理);
3. 用符号表示点、线、面的关系. ※ 知识拓展
平面的三个性质是公理(不需要证明,直接可以用),是用公理化方法证明命题的基础.其中公理1可以用来判断直线或者点是否在平面内;公理2用来确定一个平面,判断两平面重合,或者证明点、线共面;公理3用来判断两个平面相交,证明点共线或者线共点的问题. 四、拓展延伸
1.①两个平面α,β可将空间分成几部分?
② 已知a αβ?=,b βγ?=,c αγ?=,则平面α,β,γ可将空间分成几部分?
O '
O B '
C '
D 'A '
D C
B
A
G
H A B
C D E
P
F
§2.1.1平面(2)
年级:高一 主备人:李波 审核人:郭爱琴 编号:
一、温故互查
复习1:平面的特点是______、 _______ 、_______. 复习2:平面的基本性质(三个公理)
公理1___________________________________;公理2___________________________________; 推论1__________________________________;推论2__________________________________; 推论3__________________________________;公理3___________________________________. 练习:
①如图,直线,AB AC 在α内,判断AC 是否在α内;
②“线段AB 在平面α内,直线AB 不全在平面α内”这一说法是否正确,为什么?
③如果一条直线过平面内一点和平面外一点,那么它和这个平面有几个公共点?说明理由. 二、设问导读 (一)、共面问题
证明若干个点、直线在同一个平面内
方法一:平面纳入法------先确定一个平面,再证明其余的点、线在此平面内
方法二:同一法------------根据已知点、线确定几个平面,再证明这几个平面重合(有且只有一个) 方法三:反证法
例1、求证:三条两两相交但不共点直线共面.
例2、求证:如果两条平行线都和第三条直线相交,那么这三条直线共面。
(选 做):例3、直线a ∥b ∥c ,a l A ?=,b l B ?=,c l C ?=
求证:,,,a b c l 四条直线共面.
二、点共线问题------------三点共线
方法一:找出两个平面,证明这些点都是两个平面的公共点,根据公理3,这些点都在交线上,即证若干点共线 方法二:选择其中两点确定一条直线,证明另外一些点也都在这条直线上. 例4: 已知:ABC V 在平面α外,,,AB P AC R BC Q ααα===I I I 求证:,,P Q R 三点共线.
三、三线共点问题
方法:先证明两条直线交于一点,再证明第三条直线经过这点--------根据公理3,把第三条直线作为前两条直线所在平面的交线
例5:正方体1111ABCD A B C D -中,E,F 分别是AB,BC 的中点,M,N 分别为111,D C C C 的中点,求证:EF,DC,MN 三线交于一点
三、自学检测
1.如图正方体ABCD A B C D ''''-中, E ,F 分别为AB 、AA '的中点, ⑴求证:E ,F ,D ',C 四点共面;⑵求证:CE ,D F ',DA 三线交于一点.
(选 做)2 如图4-2,空间四边形ABCD 中,E ,F 分别是AB 和CB 上的点,G ,H 分别是CD 和AD 上的点,且EH FG 与相交于点K .求证:EH ,BD ,FG 三条直线相交于同一点.
(选 做)四、巩固训练
平面BCD ,,,,E F G H 分别是,,,AB BC CD DA 上的点,若EH 与FG 交于P
求证:P 在直线BD 上
(选 做)五、拓展延伸
1.求证:两两相交而不过同一点的四条直线必在同一平面内
2.三个平面两两相交,有三条交线,若其中有两条相交于一点,证明第三条直线也过这一点
3.正方体1111ABCD A B C D -中,①1AA 与1CC 是否在同一平面内?②点1,,B C D 是否在同一平面内?③画出平面1AC 与平面1BC D 的交线,平面1ACD 与平面1BDC 的交线
A 1D 1
C 1
C
D A
B B 1
高中数学专题讲义-直线与平面所成的角
【例1】 (全国2文7) 已知正三棱锥的侧棱长的底面边长的2倍,则侧棱与底面所成角的余弦值等于( ) A .3 B .3 C .22 D .3 【例2】 (全国2理7) 已知正三棱柱111ABC A B C -的侧棱长与底面边长相等,则AB 1与侧面11ACC A 所成角的正弦等于( ) A .6 B .10 C .2 D .3 【例3】 (福建卷6) 如图,在长方体ABCD 1111A B C D -中,2AB BC ==,11AA =,则1BC 与平面11BB D D 所成角的正弦值为( ) A . 63 B . 26 5 C . 155 D . 105 D C B A A 1 D 1 B 1 C 1 【例4】 (浙江) 在三棱柱111ABC A B C -中,各棱长相等,侧掕垂直于底面,点D 是侧面11BB C C 的中心,则AD 与平面11BB C C 所成角的大小是 ( ) A .30° B .45° C .60° D .90° 典例分析 板块二.直线与平面所成的角
E A 1 C 1 B 1 D C B A 【例5】 (四川卷理13)在三棱锥O ABC -中,三条棱OA 、OB 、OC 两两互相垂直,且 OA =OB =OC ,M 是AB 边的中点,则OM 与平面ABC 所成的角的大小是 ( 用反三角函数表示) 【例6】 (全国Ⅰ)已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面边长都相等,1A 在底面ABC 内 的射影为ABC △的中心,则1AB 与底面ABC 所成角的正弦值等于( ) A .13 B C D . 23 【例7】 正三棱柱侧面的一条对角线长为2,且与底面成45o 角,求此三棱柱的体积. 【例8】 (四川卷15) 且对角线与底面所成角的余弦值 ,则该正四棱柱的体积等于________________. 【例9】 如图,在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中, ⑴求1BC 与平面11ACC A 所成的角; ⑵求11A B 与平面11A C B 所成的角的余弦值. A B C D B 1 C 1 D 1 A 1
高中数学平面解析几何知识点总结
平面解析几何 一、直线与圆 1.斜率公式 2121 y y k x x -=-(111(,)P x y 、222(,)P x y ). 2.直线的五种方程 (1)点斜式 11()y y k x x -=- (直线l 过点111(,)P x y ,且斜率为k ). (2)斜截式 y kx b =+(b 为直线l 在y 轴上的截距). (3)两点式 112121 y y x x y y x x --=--(12y y ≠)(111(,)P x y 、222(,)P x y (12x x ≠)). < (4)截距式 1x y a b +=(a b 、分别为直线的横、纵截距,0a b ≠、). (5)一般式 0Ax By C ++=(其中A 、B 不同时为0). 3.两条直线的平行和垂直 (1)若111:l y k x b =+,222:l y k x b =+ ①121212||,l l k k b b ?=≠; ②12121l l k k ⊥?=-. (2)若1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,且A 1、A 2、B 1、B 2都不为零, ①11112222 ||A B C l l A B C ? =≠; < ②1212120l l A A B B ⊥?+=; 4.点到直线的距离 d =(点00(,)P x y ,直线l :0Ax By C ++=). 5.圆的四种方程 (1)圆的标准方程 222()()x a y b r -+-=. (2)圆的一般方程 220x y Dx Ey F ++++=(224D E F +->0).圆心??? ??--2,2E D ,半径r=2 422F E D -+. 6.点与圆的位置关系 点00(,)P x y 与圆2 22)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种: . 若d =d r >?点P 在圆外;d r =?点P 在圆上;d r 相离r d ; 0=???=相切r d ; 0>???<相交r d . 其中22B A C Bb Aa d +++=. 8.两圆位置关系的判定方法 # 设两圆圆心分别为O 1,O 2,半径分别为r 1,r 2,d O O =21 条公切线外离421??+>r r d ; 条公切线外切321??+=r r d ;
高中数学竞赛基础平面几何知识点总结
高中数学竞赛平面几何知识点基础 1、相似三角形的判定及性质 相似三角形的判定: (1)平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交,所构成的三角形与原三角形相似; (2)如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例,并且夹角相等,那么这两个三角形相似(简叙为:两边对应成比例且夹角相等,两个三角形相似.); (3)如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例,那么这两个三角形相似(简叙为:三边对应成比例,两个三角形相似.); (4)如果两个三角形的两个角分别对应相等(或三个角分别对应相等),则有两个三角形相似(简叙为两角对应相等,两个三角形相似.). 直角三角形相似的判定定理: (1)直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形和原三角形相似; (2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例,那么这两个直角三角形相似. 常见模型: 相似三角形的性质: (1)相似三角形对应角相等 (2)相似三角形对应边的比值相等,都等于相似比 (3)相似三角形对应边上的高、角平分线、中线的比值都等于相似比 (4)相似三角形的周长比等于相似比 (5)相似三角形的面积比等于相似比的平方 2、内、外角平分线定理及其逆定理 内角平分线定理及其逆定理: 三角形一个角的平分线与其对边所成的两条线段与这个角的两边对应成比例。如图所示,若AM平分∠BAC,则 该命题有逆定理: 如果三角形一边上的某个点与这条边所成的两条线段与这 条边的对角的两边对应成比例,那么该点与对角顶点的连
线是三角形的一条角平分线 外角平分线定理: 三角形任一外角平分线外分对边成两线段,这两条线段和夹相应的内角的两边成比例。 如图所示,AD平分△ABC的外角∠CAE,则 其逆定理也成立:若D是△ABC的BC边延长线上的一点, 且满足,则AD是∠A的外角的平分线 内外角平分线定理相结合: 如图所示,AD平分∠BAC,AE平分∠BAC的外角 ∠CAE,则 3、射影定理 在Rt△ABC中,∠ABC=90°,BD是斜边AC上的高,则有射 影定理如下: BD2=AD·CD AB2=AC·AD BC2=CD·AC 对于一般三角形: 在△ABC中,设∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c,则有 a=bcosC+ccosB b=ccosA+acosC c=acosB+bcosA 4、旋转相似 当一对相似三角形有公共定点且其边不重合时,则会产生另 一对相似三角形,寻找方法:连接对应点,找对应点连线和 一组对应边所成的三角形,可以得到一组角相等和一组对应 边成比例,如图中若△ABC∽△AED,则△ACD∽△ABE 5、张角定理 在△ABC中D为BC边上一点,则 sin∠BAD/AC+sin∠CAD/AB=sin∠BAC/AD 6、圆内有关角度的定理 圆周角定理及其推论: (1)圆周角定理指的是一条弧所对圆周角等于它所对圆心角的一半 (2)同弧所对的圆周角相等 (3)直径所对的圆周角是直角,直角所对的弦是直径
(整理)届高三数学总复习平面解析几何练习题目汇总
第8章 第1节 一、选择题 1.(2010·崇文区)“m =-2”是“直线(m +1)x +y -2=0与直线mx +(2m +2)y +1=0相互垂直”的( ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充要条件 D .既不充分也不必要条件 [答案] A [解析] m =-2时,两直线-x +y -2=0、-2x -2y +1=0相互垂直;两直线相互垂直时,m(m +1)+2m +2=0,∴m =-1或-2,故选A. 2.(文)(2010·安徽文)过点(1,0)且与直线x -2y -2=0平行的直线方程是( ) A .x -2y -1=0 B .x -2y +1=0 C .2x +y -2=0 D .x +2y -1=0 [答案] A [解析] 解法1:所求直线斜率为12,过点(1,0),由点斜式得,y =12(x -1),即x -2y -1=0. 解法2:设所求直线方程为x -2y +b =0, ∵过点(1,0),∴b =-1,故选A. (理)设曲线y =ax2在点(1,a)处的切线与直线2x -y -6=0平行,则a =( ) A .1 B.12 C .-12 D .-1 [答案] A [解析] y′=2ax ,在(1,a)处切线的斜率为k =2a , 因为与直线2x -y -6=0平行,所以2a =2,解得a =1. 3.点(-1,1)关于直线x -y -1=0的对称点是( ) A .(-1,1) B .(1,-1) C .(-2,2) D .(2,-2) [答案] D [解析] 一般解法:设对称点为(x ,y),则