浅谈微积分中的反例
数学与应用数学专业毕业论文--浅谈微积分中的反例
浅谈微积分中的反例摘 要 以具体实例从不同层面深入分析说明反例在微积分中蕴含着重要的意义与作用, 强化概念、揭示概念的内涵,准确把握概念之间的关系,透切理解定理的条件,培养人的数学思维能力,驳斥谬论、判断真伪、检验并修正错误,从而对基本概念、基本理论能够深刻的理解。
关键词 反例、微积分、函数.1 引言在社会实践和学习过程中,人们往往对某一问题苦思冥想而不得其解时,而从反面去想一想,常能茅塞顿开,获得意外的收获。
同样的,在数学的学习过程中可以知道微积分中存在大量的反例,它不仅是区区的一个例子那么简单,其意义远远超过了它的具体内容,它不仅是解决问题的有力手段,而且推动了数学的发展,开辟了数学领域的新天地。
用命题的形式给出的一个数学问题,从一些迹象判断该命题不成立,然后寻求一个满足命题的条件,但使结论不成立的例证,从而否定这个命题,这即为通常所说的反例。
通过举出反例从而证明一个命题的虚假性的方法叫做反例法。
反例思想是微积分中的重要思想,用逆向思维方法从问题反面出发,可以解决用直接方法很难或无法解决的问题。
对于数学,面对微积分的各种问题,特别是在函数领域中,反例在概念、性质以及定理的理解,问题的研究和论证中都有不可替代的特殊作用。
2 微积分中反例的作用与意义2.1 微积分中的反例不仅是强化概念的有力工具,而且能更深地揭示概念的内涵在微积分的学习过程中,对概念的正确理解掌握是为了能更进一步学习的基本,它是知识构架的重要基石。
许多概念虽然仅有短短几个词句,但意义深刻,内涵丰富。
运用恰当的反例从另一个侧面抓住概念或是规则的本质,往往就会收到一种不一样的效果。
2.1.1连续问题定义 2.1 设f 为定义在[,)a +∞上的函数,A 为定数.若对任给的0ε>,存在正数M ()a ≥,使得当x M >时有()f x A ε-<,则称函数f 当x 趋向+∞时以A 为极限,记作 lim ()x f x A →+∞=或()()f x A x →→+∞.定义2.2 设函数f 在某0()U x 内有定义,若00lim ()()x x f x f x →=,则称f 在点0x 连续.情形1 定理：若函数()f x 在a 连续, 则函数()f x 在a 也连续. 但其逆命题不成立. 反例：函数1,0()1,0x f x x ≥⎧=⎨-<⎩, 虽然()1f x =在0x =处连续, 但()f x 在0x =处不连续.情形 2 对于(),()y f x x D =∈, 若()f x 在x D ∈处可导, 则()f x 在x 处连续. 但对于二元函数(,)z f x y =, 当00(,)x f x y '和00(,)y f x y '都存在时, 不一定能判定),(y x f 在（00,y x ）连续.反例： 函数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++==,0,0,0,),(222222y x y x yx xyy x f z 虽然0)0,0()0,0(='='y x f f ,但在直线y kx =附近000022222lim (,)lim 01x x y kx kx kf x y x k xk →→→→==≠++, 故),(y x f 在)0,0(不连续.上述归结,偏导数存在只能表明函数在坐标轴方向上变化的快慢,与函数在其他方向上取值无关,故可能不连续.2.2可导、可微问题定义 2.3 设函数()y f x =在点0x 的某邻域内有定义,若极限000()()limx x f x f x x x →--存在, 则称函数f 在点0x 处可导,并称该极限为函数f 在点0x 处的导数,记作0()f x '.定义 2.4 设函数()y f x =定义在点0x 的某邻域0()U x 内. 当给0x 一个增量x ∆,00()x x U x +∆∈时, 相应的得到函数的增量为()y A x x ο∆=∆+∆,则称函数f 在点0x 可微, 并称上式中的第一项A x ∆为f 在点0x 的微分,记作0|x x dy A x ==∆或0()|x x df x A x ==∆. 情形1 当0()0f x ≠时, 由()f x 在0x 可导不一定能推出()f x 在0x 可导. 例 2.2.1 函数 ,[0,1](),(1,2]x x f x x x ∈⎧=⎨-∈⎩ , 而()f x x =, [0,2]x ∈, 显然()f x 在0x =1处可导,但()f x 在0x =1处不可导.情形2 试判断函数()f x 与()g x 在下列的某一条件下能否推出[()]f g x 在0x 可导： (1)当()f x 在0()x g x =可导,()g x 在0x 不可导时； (2)当()f x 在0()x g x =不可导,()g x 在0x 可导时； (3)当()f x 在0()x g x =和()g x 均不可导时. 解：(1)不一定.反例：(),(),[()],f x x g x x f g x x === 显然()f x 在(0)0x g ==可导,()g x 在0x =不可导, 但 [()]f g x 在0x =不可导. (2)不一定.反例：(),(),[()],f x x g x x f g x x === 显然()f x 在(0)0x g ==不可导,()g x 在0x =可导, 但 [()]f g x 在0x =不可导. (3)不一定.反例：(),(),[()],f x x g x x x f g x x x ==+=+显然()f x 在(0)0x g ==,()g x 在0x =,[()]f g x 在0x =都不可导.上述归结,复合函数可导性定理可猜想为：当()f x 在0()x g x =,()g x 在0x 都可导时, 可推出[()]f g x 在0x 可导,并且不难给出证明.情形3[2]一元函数的可微与可导是等价的；但是, 若二元函数),(y x f 在其定义域D 的内点00(,)x y 可微, 则函数),(y x f 在该点的两个偏导数存在,但二元函数存在两个偏导数,却不一定可微.反例：函数(,)f x y =在原点()0,0存在两个偏函数,即0(,0)(0,0)0(0,0)limlim 0x x x f x f f x x∆→∆→∆-===∆∆, 00(0,)(0,0)0(0,0)limlim 0y y y f y f f yy ∆→∆→∆-===∆∆, 事实上,0.=→(0)ρ=,故函数),(y x f 在原点()0,0不可微.2.3可积问题定义2.5 设函数f 于F 在区间I 上都有定义. 若()()F x f x '=,x I ∈,则称F 为f 在 区间I 上的一个原函数.定义2.6 设f 是定义在[,]a b 上的一个函数,J 是一个确定的实数. 若对任给的正数ε,总存在某一正数δ,使得对[,]a b 的任何分割T ,以及在其上任意选取的点集{}i ε,只要T δ<,就有1()niii f x Jεε=∆-<∑,则称函数f 在区间[,]a b 上可积.情形1 若函数()f x 在区间[,]a b 上有原函数, 则函数()f x 在区间[,]a b 可积, 此命题不真,而其逆命题也不真.反例：①函数2212102cos sin ,()00,x x f x x x x x ⎧≠+⎪=⎨=⎪⎩, 显然2210cos ,()00,x x F x xx ⎧≠⎪=⎨=⎪⎩是()f x 在[-1,1]上的一个原函数,取0()n x n =→→∞,则()()n f x n =∞→∞, 故()f x 在[-1,1]上无界, 所以()f x 在[-1,1]上不可积.②函数 1,10()0,01,01x f x x x --≤<⎧⎪==⎨⎪<≤⎩, 因为()f x 在[-1,1]上有界, 且只有第一类间断点0x =,所以()f x 在[-1,1]上可积, 但()f x 在[-1,1]上不存在原函数.情形 2 若函数()f x 在区间[,]a b 可积,则函数()f x 在区间[,]a b 也可积,且()()bbaaf x dx f x dx ≤⎰⎰,但其逆命题不成立,即当函数()f x 在区间[,]a b 可积时,函数()f x 在区间[,]a b 不一定可积. 反例：函数1,()1,x f x x ⎧=⎨-⎩为有理数为无理数,函数在[0,1]不可积,而()f x ≡1,这是常量函数,显然在[0,1]可积.通过反例分别从不同的侧面或角度,对微积分中的连续、可导、可微以及可积等概念问题进行了不同层次的强化,从而更深入地揭示了概念的内涵。
浅谈数学分析中反例的作用
浅谈数学分析中反例的作用数学分析是一门基础的数学学科，研究实数集上函数的性质以及极限、连续性、收敛性等概念与定理。
在数学分析的学习过程中，反例是一种非常重要的工具和思维方式。
本文将从数学分析中反例的定义、作用以及展示的方式等方面进行探讨。
首先，反例是指用以证明或推翻一些命题的合理例子。
在数学分析中，经常会用到反例来证伪一个命题，即通过构造一个特殊的例子，使得命题不成立。
反例通常是通过对已知条件进行逻辑推理和推导，然后找出一个具体的实例来使得不等式、恒等式或者条件不成立。
其次，反例在数学分析中的作用是多方面的。
首先，反例可以用来验证是否存在其中一种性质或者条件。
例如，对于一些命题，我们可以通过构造一个反例来证明该命题不成立，从而说明该性质或条件不存在。
其次，反例还可以用来辅助理解和洞察数学概念和定理。
通过构造特殊的反例，可以帮助我们更加清晰地认识和理解一些概念或者定理的含义和适用范围。
最后，反例还可以用来研究数学问题的边界和极限情况。
通过找到一系列逼近一些反例的例子，可以帮助我们确定问题的解或者趋势。
在数学分析中，展示反例有多种方式。
一种常见的方式是通过构造具体的数字或者函数表达式来展示反例。
这种方式比较直观和具体，可以通过计算和观察来验证反例的有效性。
另一种方式是通过逻辑推理和证明来构造反例。
例如，可以通过反证法或者归谬法来推导出反例的存在。
另外，还可以通过反例的存在性和唯一性来讨论。
不同的方式展示反例都有各自的优势和适用范围，具体选择取决于问题的性质和结构。
实际上，反例不仅在数学分析中起着重要的作用，也在数学的其他分支中扮演着重要的角色。
例如，在代数学中的群论和环论中，经常会用到反例来验证或推翻一些命题。
在几何学中，反例也常常被用来证明一些定理不成立或者特殊情况下的解决方法。
总之，反例在数学分析中的作用是不可忽视的。
它不仅可以用来验证性质或条件的存在与否，还可以帮助我们更好地理解和掌握数学概念和定理。
微积分中反例的构造方法探究
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在微积分教学过程 中，深深的感受到微积分的内容是一套抽象而 又严谨 的理论体系，学生会遇到许多较难理解 的概念或者难 以利用概 念、 定理去解决的问题等。但是 ， 在教学中发现很 多问题在反例的帮助 下可以迎 刃而解 ， 然而 ， 由于数学本身 的抽象性 ， 反例的构造不是一件 轻 而易举 的事 ， 教材 由于篇幅的限制 ， 常常直接给 出反例 ， 以至学生在 学 习时会感到反例虽好 ，但不 知如何构造 。基于全面提高人才培养质 量 ， 了培养宽 口径 ， 基础 ， 为 厚 高素质 ， 知识型 与能力型并重 的数学人 才 ，各个高等学校在对数学 的教育 中，都在有意识的构造反例进行 教 学。 反例思想是微积分中的重要思想， 在概念 、 性质的理解 、 问题的研 究 和论证中都具有不可代替 的独特作用 ，因此反例的利用和构造在微积 分理论中具有重要价值 。 ２反 例 的概 述 ．
线 ｙ ｅｓｗ 构 造 提 出 的 ： ＝ｏｘ ｂｃｓ （ ，ｏ ｂ ｌａ为 正 的 奇 数 ，使 得 ＂ ｏ 以 （＜＜ ，
反例 ， 通常是指用来说明某个命 题不成立 的例子 ， 是教师在教育实 践中收集 的典型例题的典型误解 、 重要知识的典型错误认识。 数学 中的 命题一般可归纳为下述形式 ： Ａ具有性 质 Ｂ 。我们要 推翻这个命题 ， 只 需 找到一个元素 ａ ， ａ ∈Ａ 而 ｉ 有性质 Ｂ 则给予 了反驳 ， 不具 ， 使得命题 不
浅谈初中数学的反例教学
泰州教育ＴＡＩＺＨＯＵＪＩＡＯＹＵ反例是指符合命题条件而不符合该命题结论的例子。
简言之，反例就是能够说明一某命题不成立的例子（即假命题）。
数学中的反例的主要作用是证伪（即说明某一个命题不正确），当直接证明某个命题是假命题或说明某些猜想错误比较困难时，常常会趋向于寻找一个反例，以说明这个命题或猜想是错误的，在数学教学中，恰当地运用与建构反例进行数学教学，有助于学生深刻理解与掌握，有助于培养学生思维的灵活性与深刻性。
本文从反例的运用、引入、分析和建构等几个方面，谈谈初中数学中反例教学，以期得到同行的指正。
一、运用反例，深化理解数学概念在数学概念教学中，不少学生难以把握概念的内涵与外延，从而导致概念理解错误。
教学中，通过反例的恰当运用，引发学生思维冲突，促使学生积极思考，从而全面、正确认识概念。
例如，说明“一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形”这个结论是假命题，我们可以启发学生思考：能不能找到这样的四边形，满足“一组对边平行，另一组对边相等”，但却不是平行四边形，显然，等腰梯形的一组对边平行，另一组对边相等但不平行，故不是平行四边形，所以这个结论不成立，从而深化了学生对平行四边形概念的理解。
反例从哪里来？笔者以为：大多数反例应该基于学生的已有认知和数学活动经验，包括错误的经验。
如从学生课堂教学学习活动出现的问题中来，从学生练习中出现的错误中来，而不是教师先入为主地抛出。
只有这样，学生才会有切身的体验。
例如，上述问题中，如果学生没有接触过等腰梯形，就不可能举出这样的反例；再比如，在“三线八角”概念的教学中，学生对同位角的概念理解不清，笔者从学生作业中发现这样的问题：“若第一个角与第二个角是同位角，第二个角与第三个角是同位角，则第一个角与第三个角也是同位角”，这时可以引导学生通过画图来辨析：如图1，∠1与∠2是同位角，∠2与∠3也是同位角，那么∠1与∠3是同位角吗？这样，学生对上述判断是否正确就便会了然于心，从而使同位角概念真正内化。
微积分教学中反例的应用
微积分教学中反例的应用摘要：本文通过具体实例，来加强学生在微积分学习中对概念的理解，进而培养学生的创造精神、提高学生纵向思维的能力。
关键词：应用反例微积分高等数学微积分是高等数学的主要部分，它是我院高职一年级学生必修的一门重要基础课程。
它可以为学生学习后继课程和解决实际问题提供必要的数学基础。
通过各个教学环节，可以逐步培养学生比较熟练的运算能力，综合运用所学知识分析和解决实际问题的能力，初步抽象概括能力、自觉力图经及一定的逻辑推理能力，我院根据各专业的实际需要，对数学教学的基本要求是“以应用为目的，以必须够用”为原则，以“强化概念理解，注重应用计算为依据，对微积分中的重要性质、定理、公式只作介绍，侧重于应用计算，不做证明与推导，在数学教学中，常会遇到一些值得思考的问题，对它们不可能在教材中进行详细讨论，但要弄清楚这些问题，对提高学生的纵向思维却极其重要，这就要求思考者具有高超的分析思维能力。
通过应用反例直入主题，切重要害，它能起到事半功倍的作用，很受学生欢迎。
本文围绕高等数学中的重要分支微积分中的连续性、可微性和可积性进行具体探讨反例在微积分教学中的作用。
一、两个无穷小的商一定是无穷小吗？在无穷小性质的教学中，根据性质有一条推论：有限个无穷小量的乘积一定是无穷小量。
学生在学习这一问题时常会问：两个无穷小量的商一定是无穷小量吗？对于这一结论大部分同学认为是正确的。
不妨举一个反例：如： =0， =0都是无穷小量，而（第一个重要极限），显然，两个无穷小量的商不一定是无穷小量，也就得出了两个无穷小量的商不一定是无穷小量的结论。
二、最大值与最小值定理中条件改变一定还存在最大值与最小值吗？最大值与最小值定理的内容是闭区间[a，b]上连续函数一定存在最大值与最小值（据团区间上的连续函数的性质）。
1、在定理中，如果将闭区间[a，b]改为开区间（a，b），那么结论不一定成立。
如求f（x）=x在区间（2，4）上的最大值与最小值。
微积分中反例的作用和构造
高等数学研究
４ ０
Ｓ ＴＵＤＩ Ｓ Ｉ ＯＬＬＥ ＡＴＨＥＭ ｎＣＳ Ｅ Ｎ Ｃ ＧＥ Ｍ
Ｖｏ ． Ｏ， ． １ １ Ｎｏ １
Ｊｎ ａ ．，２ ０ ０７
微 积分 中反 例 的作 用和 构 造
马 守春 （ 藏大学 西 农牧学院基础部 西藏林芝 ８００） ６ ０ ０
中国分类号
Ｏ１ ２ ７
数学 教育 理论 认为 ： 概念 或规则 的 正例传 递 了最 有利 于概括 的信 息 ， 例则 传 递 了最有 利 于辨 反
别的信息． 因此， 构造反例是我们辨析命题真假的重要工具． 从数学的发展史来看， 反例和证明一样
占有重要 地位 ， 并起 到了其他 方法 不可 替代 的作 用． 这是 因为在 数 学 问题 的探 索 中， 想 某 个命 题 猜 是 否正确 ， 确则需 要严 格证 明 ， 正 而不正 确则靠 反例 来否 定． 数学 的发 现 也是 朝 着 提 出证 明 和构 而 造 反例这 两个 目标 发展 ． 了使学 生学 好微积 分这 一 门课程 ， 按 照变量 数 学处处 充 满辩 证逻 辑 的 为 应 特 征 ， 必须从 正 反两 方面来 考虑命 题 的真假 ， 就 这其 中构 造 、 举恰 当 的反 例就 是 一 个 极 为关 键 的 列
学 阶段跃 进 到 了变量数 学 的新 时期 ．
微 积分 刨立初 期 的一百 多年 中， 发展缓 慢 、 用局 限 ， 乎 到了停 滞难 进 的局 面 ， 因就 是微 其 应 几 原
积分的理论基础缺乏牢固的严密性． 直到十九世纪二三十年代， 柯西（ Ｌ Ｃ ｕｈ ） Ａ． ． ａｃｙ 率先编著了具 有严格逻辑推理的微积分讲义。 柯西对于微积分中历来保持的所谓“ 代数化 ” 的传统假说持不同意 见． 这些传 统 的假说 是 ： 题 若对 实数 情形正 确则 一定对 复数情 形 也 对 ； 题 若对 有 限情 形 时 成立 命 命
微积分教学中的反例
ｄ ｏ ｉ ：１ ０ ． ３ ９ ６ ９ ／ ｊ ． ｉ ｓ ｓ ｎ ． １ ６ ７ 卜８ ７ ９ ８ ． ２ ０ １ ４ ． ０ ３ ． ０ １ ５
微 积 分 教 学 中 的 反 例
殷 炜 栋
（ 浙江科技学院 理学 院， 杭州 ３ １ ０ ０ ２ ３ ）
摘
要： 对 多元 微 积 分 中 比较 容 易 混 淆 的地 方 ， 比如 极 值 和 最 值 、 可 微 性 和 方 向导 数 、 累 次 极 限 和极 限 的 相 关 方
记
ｒ Ｙ。 ＋
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Ｖｏ １ ． ２ ６ Ｎｏ 。源自３，Ｊ ｕ ｎ ．２ ０ １ ４
几个 新 的反例 ， 希 望有 助 于解决 这方 面 的一些 难点 。
１ 极 值 和 最 值
二元（ 多元） 函数 的极 值 问题 是 微积 分教 学 中偏导 数 的一个 很好 的应 用 。通 常来 说 ， 连续 函数 只有 在
有界 闭域 中才 能保 证有 最值 ， 见 文献 ［ ５ — ６ ］ 。但全 平 面上 的二 次多 项式 是 个 例外 ： 本 质 上这 是 由于 它总 可
容 。所 以 ， 反例 教 学是 微积 分教 学 中很有 效 的一种 方 式 。在 这 方 面 有不 少 书 籍 可 以参 考 ， 比如 文 献 ［ １ ］ ，
里面 收集 了很 多经 典 的反例 ； 此外 还 有很 多参 考 文献 ， 如文献Ｅ ２ － １ 、 文献 ［ ３ ］ 和文 献 ［ ４ ］ 。本 研究 又构 造 了
浅谈微积分中的反例
浅谈微积分中的反例微积分是数学中一门基础重要的学科，它将有关函数变化的基本原理抽象为几何图形和数学公式，构成数学上反映某种物理现象的范畴。
在微积分中，许多概念和定理具有普遍的有效性，但也有一些反例，即在特定情况下，它们并不适用。
本文将从几何角度、运动反例和定性推理的反例三个方面讨论微积分中的反例，进一步完善对微积分的理解。
首先，微积分中的反例，从几何角度来看，可以被归类为以下三种情况：正多边形、不规则多边形和椭圆形图形。
正多边形是指有n 个角，其中每个角度角度都相等的多边形。
由于它具有完整的对称性，因此无法应用求面积公式，例如圆的面积计算，只能使用三角形的面积计算公式。
而不规则多边形和椭圆形图形更复杂，无法应用求面积的公式，只能用复杂的数学运算来近似计算图形上某一处的面积。
其次，从运动反例角度来看，微积分中也存在一些反例。
贝索斯（Bos）动力学确定了物体运动的轨道，认为物体运动轨迹是一条曲线，结果却发现运动轨迹并不处处是曲线，而是具有突变的抛物线。
此外，还有许多物理现象，如霍金的黑洞理论，经受测量，其实不完全符合经典物理学定律，也就是微积分中的定理。
最后，从定性推理的角度来看，微积分论述的某些定理可能存在反例，即给定的定理对某类问题不适用。
例如，极限定理，它认为任何函数的极限都存在，但有时函数是间断的，例如抛物线，这类函数在某点处是不连续的，所以其实并不存在极限。
综上所述，微积分中的反例可以从几何角度、运动反例和定性推理的角度进行分析，证实它们不足以满足所有不同情况，并为我们深入理解微积分提供了参考。
微积分在现代科学研究中起着重要的作用，虽然它存在一些反例，但这并不影响它的实用性和重要性，应该以正确的观点学习和使用它，以达到理解和解释物理现象的目的。
微分中的反例
ｆ ，＞ １ｘ ０
有 界 ， 续 ， 导 等 概 念 ， 微 积分 中 基 本 概 念 ， 理 解 这 些 概 念 连 可 是 在
！
０ 所有 都 敛 ， 对 的 收
５ 偏 导数 存 在 但 不 连续 的可 微 函 数
我 们 知道 ， 果 多 元 函 数 的偏 导 数 连 续 ， 如 则该 函数 可 微 。 之不 成 反
。
符 号 函数 ｓｎ ） ０ Ｏ ， 际上 ， ｇ （ ＝ ，＝ 实 任何 具 有 跳 跃 １ 点 的 函数 立 ９断
Ｌ １． ＜ ｘ０
都 没 有 原 函数 ， 为 它 不 满足 连 续 函 数 ， 函数 具 备 的 介 值性 。 因 导
ｉ （ ） ｓ （ ）ｘ ＃Ｏ ｉ ， ｎ ｙ
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ｙ） １
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ｆｓ（ ）Ｏ ），ｏ ２ｉ －ＳＹ ， ； ｙｎＹ Ｃ（ ， ≠
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ｎ ｎ
都在原点 间断 ， （ ，） 而ｆｘ ｙ处处 可微 。
１ ｘ＝０ ０
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１ ｘ ０ ０ ＝
．
０， ＝ ＝ ｘｙ Ｏ
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』ｉ ）ｓ ） 。 ｎ 一（ ， ｓ｝ ｃ｝ （ 。 ≠
【 ｘ ０． ＝Ｏ
３ 数列 ｌ ｝ ａ 满足 ： ｐＥＮ・ｍ （ － ， 数 列 发 散 Ｖ ／ 口 Ⅱ ）但 ／
ｆｘｙ＝ （，）
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不可微函数的反例
不可微函数的反例一、引言在微积分中，我们学习了连续函数和可微函数的概念，它们是数学中非常重要的概念。
然而，在实际应用或者理论推导中，我们也会遇到一些不可微的函数。
本文将详细讨论不可微函数的反例，旨在帮助读者更好地理解微积分的基本概念。
二、不可微函数的定义在介绍反例之前，我们需要了解不可微函数的定义。
在数学中，一个函数在某一点不可微，意味着该点无法进行导数的运算。
常见的不可微函数包括绝对值函数和分段函数等，它们在某些特定点上出现“断裂”，导致无法计算导数。
三、绝对值函数的反例首先，让我们看一个最简单的不可微函数的反例，即绝对值函数。
绝对值函数的数学表示形式为：f(x) = |x|通过图像可以清晰地看到，当x等于0时，函数图像出现“折点”，即左右导数不相等。
因此，我们可以得出结论：绝对值函数在x=0的点不可微。
四、分段函数的反例除了绝对值函数，分段函数也是常见的不可微函数。
其中，最常见的分段函数为：f(x) =x^2 0 ≤ x < 1-x^2 1 ≤ x ≤ 2在x=1的点，函数图像出现“断裂”，左右导数不相等。
因此，这个分段函数在x=1的点不可微。
五、其他不可微函数的反例除了绝对值函数和分段函数，还存在许多其他的不可微函数反例。
在此简要介绍两个例子：1. Heaviside函数Heaviside函数是一个阶跃函数，表示了一个变量在另一个变量大于等于零时的值为1，小于零时的值为0。
该函数在x=0的点不可微，因为左右导数不相等。
2. Dirichlet函数Dirichlet函数是一个指示函数，表示有理数集上的函数值为1，无理数集上的函数值为0。
在整个实数轴上，该函数几乎处处不可微。
六、结论通过以上的讨论，我们看到了不可微函数的反例。
不可微函数在某些点上出现断裂或折点，导致无法计算导数。
这些反例帮助我们更好地理解微积分中的不可微概念，丰富了我们对函数性质的认识。
七、延伸阅读尽管本文只讨论了部分不可微函数的反例，实际上还存在着更多的不可微函数。
微积分教学中的反例
微积分教学中的反例殷炜栋【摘要】对多元微积分中比较容易混淆的地方，比如极值和最值、可微性和方向导数、累次极限和极限的相关方面进行了进一步澄清，给出了这些方面的反例，并进行了较详细的分析。
%Some topics ,w hich may easily cause confusion in calculus education ,are clarified ,for example local vs .global extreme values ,differentiability vs .directional derivatives ,and limits vs .iterated limits .Counter-examples are constructed and analyzed .【期刊名称】《浙江科技学院学报》【年(卷),期】2014(000)003【总页数】4页(P232-235)【关键词】极值;累次极限;可微【作者】殷炜栋【作者单位】浙江科技学院理学院，杭州310023【正文语种】中文【中图分类】G642.3;O172在微积分中，有不少地方是学生容易误解或较难理解的，比如多元函数中的可微与方向导数关系、累次极限与极限的区别等。
反例可以使学生比较直接地发现其中的区别与联系，进而更好地理解这些内容。
所以，反例教学是微积分教学中很有效的一种方式。
在这方面有不少书籍可以参考，比如文献[1]，里面收集了很多经典的反例；此外还有很多参考文献，如文献[2]、文献[3]和文献[4]。
本研究又构造了几个新的反例，希望有助于解决这方面的一些难点。
二元（多元）函数的极值问题是微积分教学中偏导数的一个很好的应用。
通常来说，连续函数只有在有界闭域中才能保证有最值，见文献[5-6]。
但全平面上的二次多项式是个例外：本质上这是由于它总可以（通过坐标变换）写成完全平方的和或差的形式（至多差个常数项），所以它总是只有一个驻点；一旦此驻点是局部极小（大）值，那它必然是整体最小（大）值。
数学分析判断题36个经典反例
数学分析判断题36个经典反例本文介绍了数学分析中的36个经典反例，这些反例可以帮助读者更好地理解和掌握分析性数学的相关概念和方法。
反例一：可导不连续函数在某点可导不一定在该点连续，例如函数$f(x)=|x|$在$x=0$处可导，但在该点不连续。
反例二：微积分基本公式不成立微积分基本公式$\int_a^bf(x)dx=F(b)-F(a)$在一些情况下不成立，例如函数$f(x)=x\sin\frac{1}{x}$在$[0,1]$上积分不满足基本公式。
反例三：连续不可导函数在某点连续不一定可导，例如函数$f(x)=|x|$在$x=0$处连续但在该点不可导。
反例四：一致连续性函数一致连续和点连续不等价，有些点连续的函数不一定一致连续，例如函数$f(x)=\sqrt{x}$在$[0,1]$上连续但不一致连续。
反例五：级数收敛性与函数可积性不等价级数收敛的函数不一定可积，例如函数$f(x)=\frac{\sinx}{x}$在$[0,\infty)$上级数收敛但不可积。
反例六：积分换序对于一些函数，交换积分次序会导致结果错误，例如函数$f(x,y)=\frac{xy}{(x^2+y^2)^2}$，交换积分次序后结果不同。
反例七：泰勒级数不收敛某些函数在某点的泰勒级数不收敛，例如函数$f(x)=e^{-\frac{1}{x^2}}$在$x=0$处泰勒级数不收敛。
反例八：函数可导与偏导数存在不等价当函数的偏导数存在且连续时，函数不一定可导，例如函数$f(x,y)=xy\sin\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}$在原点处偏导数存在但不可导。
反例九：连续与闭集不等价一个连续函数的原像不一定为闭集，例如函数$f(x)=\arctanx$在$(-\infty,\infty)$上连续但原像不是闭集。
反例十：一致收敛不保持函数类如果$f_n(x)$是$[0,1]$上的可积函数，$f_n(x)$在$[0,1]$上一致收敛于$f(x)$，则$f(x)$不一定可积。
微积分教学中反例的应用
的成立是显然的 ，关键 是证 明Ｆ ’ （ Ｏ ） ： ｆ （ ｏ ） ，这里 的， ’ （ ０ ） 要理解为单侧导
Ｆ（ ｊ ｍ ｘｓ ｉ ｎ— １ 数。因为 Ⅱ ｍ— Ｆ（ ｘ ） － Ｏ ） ｌ
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０，这表 明，・ （ ｏ ） 存在 ，并且
１ １ １ １ ８ ３ 。
微积分是高等数学的主要部分，它是我院高职一年级学生必修的一 门
重要基础课程 。它可以为学生学习后继课程和解决实际问题提供必要的数 学基础。通 过各个教学环节 ， 可 以逐步培养学生比较熟练的运算能力， 综合 运用所学知识分析和解决实际问题的能力， 初步抽象概括 能力 、 自觉力图经 及一定的逻辑推理能力， 我院根据各专业 的实际需要 ， 对数学教学的基本要 求是“ 以应用为 目的， 以 必须够用” 为原则 ， ‘ 强化概念理解， 注重应用计算 为依据 ， 对微积分中的重要性 质、 定理、 公式只作介绍 ， 侧重于应用计算， 不 做证 明与推导， 在数学教学中， 常会遇到一些值得思考的 问题 ， 对它们不 可
即！ ｉ ａ， ｒ （ ｘ ） 不 存 在 ， 即 在 闭 区 间 『 ０ ， ２ ］ 上 有 间 断 点 且 ｘ ＝ １ 是 第 一 类跳 跃
间断点， 所 以ｆ （ ｌ ｘ ） 在［ ０ ， ２ 】 上不能取得 最大值与最小值 。 三、 函数在闭 区间上有原函数一定可积吗？ 在积分学 中，微积分基本 公式即牛顿一 莱布尼兹公 式是个十分重要 的 公式， 它将不定积分与定积分巧妙 的结合起来 ， 它揭示 了定积分被积 函数 的 原函数 （ 不定积分） 之 间的联系。给定积分 的计算提供 了一个很好 的计算方 法， 简 化 了定 积 分 的计 算 。
浅谈对数学分析中反例的理解与体会文献综述
毕业论文文献综述数学与应用数学浅谈对数学分析中反例的理解与体会一、前言部分（说明写作的目的，介绍有关概念，综述范围，简要说明有关主题的或争论焦点）本论文的主要写作目的是通过对数学分析的学习，结合相关的文献资料，借助反例更加深入的认识某些概念和性质，加深理解教材内容，搞清楚命题成立的条件，克服对数学知识理解的偏差.根据自身对反例的理解和体会，总结一下在数学分析中经常用到的反例、反例构造和反例的作用.首先我们来介绍一些概念[]1：定义1: 设函数()f x 在某()0U x 内有定义.若()()00lim x x f x f x →=，则称()f x 在点0x 处连续.定义2: 若函数()f x 在区间I 上的每一点都连续，则称()f x 为I 上的连续函数. 定义3: 设()f x 为定义在区间I 上的函数.若对任给的0ε>，存在()0δδε=>，使得对任何',''x x I ∈，只要|'''|x x δ-<，就有()()|'''|f x f x ε-<则称函数()f x 在区间I 上一致连续定义4：设函数()y f x =定义在点0x 的某领域()0U x 内.当给0x 一个增量x ∆，()00x x U x +∆∈时，相应地得到函数的增量为()()00y f x x f x ∆=+∆-如果存在常数A ,使得y ∆能表示成()y A x x ο∆=∆+∆则称函数()f x 在点0x 处可微.定义5：罗尔定理：若函数()f x 满足如下条件，（1）()f x 在[],a b 上连续；（2）()f x 在(),a b 内可导；（3）()()f a f b =.则在开区间至少存在(),a b ξ∈，使得()'0f ξ=.定义6：比值判别法，设n u ∑为正项级数，且存在某正整数0N 及常数()01q q <<.（1）若对一切0n N >,成立不等式1n nu q u +≤ 则级数n u ∑收敛；（2）若对一切0n N >,成立不等式11n nu u +≥ 则级数n u ∑发散.定义7：设函数()(),,,z f x y x y D =∈.若()00,x y D ∈,且()0,f x y 在0x 的某领域内有定义，则当极限()()()00000000,,,limlim x x xf x y f x x y f x y x x ∆→∆→∆+∆-=∆∆ 存在时，称这个极限为函数(),f x y 在点()00,x y 关于x 的偏导数，记作()00x f x y 或()00,|x y f x ∂∂ 二、主题部分（阐明有关主题的历史背景，现状和发展方向，以及对这些问题的评述）《数学分析》课程是大学数学专业最重要的一门基础课程，是进一步学习复变函数论、微分方程、微分几何、实变函数与泛函分析等分析类课程的基础.对于刚进大学的大学生来说，在从用非极限方法研究常量数学到用极限方法研究变量数学的转变过程中，本课程的学习起着关键的作用.基本概念、基本理论、基本方法构成数学分析的“三基”.对于基本概念、基本理论模糊的学生，很难想象他能学好数学分析，所以使学生清楚基本概念、掌握基本理论，是一个重要而不易解决的问题.我们知道，判定一个命题的正确性必须经过严密的退证，而要否定一个命题，却只要举一个与结论矛盾的例子就可以了.美国数学家 B.R.盖尔鲍姆和J.M.H.奥姆斯特德指出：“冒着过于简单化的风险，我们可以说数学由证明与反例两大类组成，而数学发现也是朝着这两个主要的指标，给出证明与构造反例.一个数学问题，用一个反例予以解决，给人的刺激犹如一出好的戏剧.” [2]反例作为推翻错误命题的手段，在数学教学中，有意识的、恰当地构造、使用一个反例，对于说明一个命题不真，会收到很好的效果.下面我们介绍一下反例的作用.反例在概念教学中的作用[3].在讲纯理论的数学问题是学生容易把前后所学的相似概念相互之间弄混淆，这样导致的结果是在解题时出现答非所问的情况.在这里以连续、可微、有连续微商这三个概念为例来说明“举反例”的作用.在讲述这三个概念后，学生往往很难理解三个概念间的区别与联系.为此，可以提出如下四个问题：1. ()f x 在0x x =处可微，则()f x 在0x x =处是否连续？2．()f x 在0x x =处连续，则()f x 在0x x =处是否可微？３. ()f x 在0x x =处可微，则()f x 在0x x =处是否有连续微商？４. ()f x 在0x x =处可微，则()f x 在0x x =处领域内是否连续？上面例子不仅说明()f x 在一点可微推不出()f x 在该点领域内连续，而且使学生对“可微”这一概念有进一步理解；()f x 在0x x =处可微，知识对于当0x x →时，()f x 在总的趋势上的一种约束.通过上面分析可以概述为下面定理：设()f x 在0x x =的领域()0,U x δ内有定义，而且()012,n U x E E E δ=+++L ，其中i E 是以0x 为极限的互不相交的点集()1,2,,i n =L ，若：()()()00lim ,1,2,0i x x f x f L x E i n x →-=∈=-L 则：()0'f x L =可见，“举反例”不仅能帮学生搞清楚各个概念＼定理间的区别和联系，而且在考虑了较多的典型例子之后，还可以总结出一些一般性结论.初学数学分析的学生，容易犯这样的毛病：一提到“连续”，脑子中就出现“笔不离纸划出一条直线或曲线.”事实上，这仅是初步模型，它的好处是直观，对于一些定理可以一目了然地看出其几何意义.但这个初步模型往往使学生把“连续”、“可微”甚至“光滑”相混淆.因这种“笔不离纸划出的曲线”往往使学生觉得连续、可微、光滑的概念是同等的，一遇到“连续而不可微”、“可微而不光滑”的说法时，头脑中便无所反映，所以单有一个初步的直观模型还不够，还必须掌握一批典型例子来严格区别各个概念、定理，不发生混淆，这对于数学专业学生来说是非常重要的. “反例”在掌握基本定理中的作用[3].在数学分析中有些基本定理是非常难理解的，这时在教学或学习时尝试着举出一些反例来帮助理解，这样就达到事半功倍的效果.在命题学习中，用生动的反例驳斥错误的命题是非常简洁、有效、重要的.反例可以用来说明正确命题的使用范围，这对我们初学者非常有益，不仅能澄清一些错误的认识，对基本定理和基本性质作出正确的理解，也能促使学生们形成严密推理、重视条件的习惯，避免发生“失之毫厘谬以千里”的事情.罗尔定理：若函数()f x 满足如下条件，（1）()f x 在[],a b 上连续；（2）()f x 在(),a b 内可导；（3）()()f a f b =.则在开区间至少存在(),a b ξ∈，使得()'0f ξ=.该定理中的三个条件缺一不可.1）()f x 不满足条件（1）时，给出使结论不成立的反例；2）()f x 不满足条件（2）时，给出使结论不成立的反例；3）()f x 不满足条件（3）时，给出使结论不成立的反例；4）定理中的零点不唯一时，给出使结论不成立的反例.“反例”可以纠正错误[4]，完善数学理论中的作用.有些数学分析中的法则在解题时我们会发现条件都符合但做出来的结果是错误的，这时要求我们对一些法则做一些考证，来说明其正确的使用条件.学习洛比达法则时，我们有这样的问题：若符合洛比达法则的条件，则通过法则是否就一定能求得极限呢？举出反例说明即使不定式符合洛比达法则的条件，也未必用该法则就一定能够求得极限，从而更加完善了数学分析学习中有关洛比达法则的理论.利用“反例”说明数学方法的局限性[5].书本的编辑者不一定在编辑的时候做到百分之百的精准，他们可能会出现一些细小的瑕疵或遗漏一些节点上的具体说明.这时我们可以运用构造反例的方法来说明其局限性. 如正项级数的比值判别法：若()1lim 0n x na l l a +→∞=≤≤+∞，则 （1） 若01l ≤<，则n a ∑收敛；（2） 若1l <≤+∞，则na ∑发散. 对于比值判别法，有的书上直接说1l =时此判别法失效，但有的书上没有说1l =时此判别法失效.在此举出两个反例说明在1l =的情况下，有的正项级数收敛，但有的正项级数却发散. 利用“反例”来证明命题不真[5].当然在证明一个问题是否正确时，构造一个恰当的反例是解决问题最好的方法之一.在多元函数微分学中，若函数(),f x y 在点()00,P x y 的领域G 存在二阶混合偏导数''xy f 与''yx f ，而且它们在点()00,P x y 连续，则()()0000'','',xy yx f x y f x y =.有的学生就模糊地认为命题：“二阶混合偏导数不相等的二元函数是不可微函数”是真命题，但实际上却是个假命题.“反例”有助于激发求知欲[6]，教师在教学过程中适时的加入反例对学生的引导无非是非常好的方法.在学习过程中，当教师针对有些问题给出特例，说明其为一反例再交给我们思考，在此基础上的思索，往往更能引起同学们较大的学习探究兴趣.而通过教师有效地引导和学生间积极的讨论，在问题解决的同时，更激发了学生学习数学的强烈求知欲.“反例”诱发学习者的创造力，提升思维能力[6].反例的寻找与构造过程也是一项积极的、创造性的思维活动，更是一个探索、发现的过程.在数学分析的学习过程中，恰当开发和利用反例，特别是通过解题寻找反例来提升解题能力，不仅能帮助我们有效的提高学习质量，更能培养思维的严密性，从而更好地学习数学分析这么基础学科.反例构造是一种重要的数学技能，由于数学本身的抽象性，使得反例的构造不是一件轻而易举的事，教材由于篇幅的限制，常常直接给出反例，学生在学习时会感到反例虽好，但不知从何而来.在教学中注意反例的构造分析，向学生展示反例构造的思维过程，经常进行反例构造的思维训练，将有助于学生形成批判性和创造性的良好思维习惯，提高学生分析问题、解决问题的能力.构造方法1、利用特例构造法构造反例[7].构造反例的方法有很多这里给出的是特例构造法.特例构造法是利用一些典型的反例来科学的凑合，就可提出所需的反例.例：对于()y f x =在0x x =处连续，是否存在0x 的领域，使()f x 在该领域内连续？这个问题我们通过分析构造合适的反例来解决问题.构造方法2、利用性质构造法构造反例[8].性质构造法就是根据所需反例本身的性质和特征，用一定的技巧构造反例的方法.例：函数(),f x y 在点()00,P x y 处沿任意方向的导数都存在而且相等，不一定有(),f x y 在点()00,P x y 连续、可微，甚至连二重极限也不存在，如何构造这样一个函数呢？ 构造方法3、利用类比法构造反例[9].类比法是根据已知反例的特点与思维方法，在新的范围内造出类似的反例的方法.例：有限个连续函数的和是连续函数，有限个连续函数的积食连续函数；但是无穷个连续函数的和、无穷个连续函数的积就不一定是连续函数[10].通过上面的总结，了解了构造反例的一些方法.我们可以针对具体的题目进行构造反例的方法解题.题目：设(),f x y 在区域G 对x 连续，对y 满足利普希茨条件，即对任何()()12,,,x y G x y G ∈∈有()()1212|,,|||f x y f x y L y y -≤-，其中L 为常数，则函数(),f x y 在G 内连续[11].通过对上面问题的分析与总结，将原题目扩展成更多的类似题目[12]：（1）若将原题中的利普希茨条件改为(),f x y 关于x 对变量y 是一致连续的，原来题目的结论是否成立?(2) 若将原题中的利普希茨条件改为(),f x y 对变量y 连续而且单调，原来题目的结论是否成立?（3）原来题目中的条件不变，是否可以证明(),f x y 在G 内一致连续？（4）若将原题中的利普希茨条件改为()',y f x y 在G 内有界，原来题目的结论是否成立?（5）若将原题中的条件改为(),f x y 分别对x 和y 是一致连续的，是否可以推出(),f x y 在G 内一致连续？（6）若将原题中的条件改为(),f x y 在G 内满足利普希茨条件的连续函数，是否可以推出(),f x y 在G 一致连续？三、总结部分（将全文主题进行简要总结，提出自己的见解并对进一步发展方向作出预测）反例的引入、构造、对命题的再分析等，重视和体验这样的过程，不仅能增加知识、拓宽思路、活跃思维、提高自学能力，也能提高分析问题和解决问题的能力.数学分析的教学实践证明，通过反例可以使学生澄清对某些概念和性质的模糊认识，加深理解教材内容，搞清命题成立条件，克服对数学知识理解的偏差.合理使用反例还可以使教学更加丰富生动，可以使一些看似困难的问题意外地得到轻松解决，可以使学生对教学中出现的定义、概念、定理理解得更加透彻，并通过反例提高学生学习数学的兴趣.但是，在数学分析中应用反例，一要注意主次：学生的任务是学习概念、定理和方法，对于基本的命题和结论应予以严格的证明和推导.举反例中在说明结构、辨清是非，因此我们不可一味把太多的注意力放在构造或例举反例上，反例应该作为围绕主要内容而进行有效的辅助学习手段.二要注意适当：反例应是经过挑选的，既要简单又要能说明问题.学生自己构造的反例难度应适当，以免浪费很多时间和精力.四、参考资料（根据文中参阅和引用的先后次序按序编排）[1]华东师范大学数学系．数学分析[M]．北京:高等教育出版社，2001．[2] （美）B.R.盖尔鲍姆，（美）J.M.H.奥姆斯特德著.高枚译.分析中的反例[M].上海:上海科学技术出版社，1980.[3] 司清亮．“反例”在数学分析教学中的作用[J]．新乡师范高等专科学校学报，2001．[4] 李志林．数学分析中反例的重要应用[J]．北京电力高等专科学校学报，2008．[5] 段龙伟，解红霞．谈谈《数学分析》教学中应用反例的几点体会[J]．太原教育学院学报，2003．[6] 肖宏治．反例在数学分析教学中的作用及构造分析[J]．六盘水师范高等专科学校学报，2005，6．[7] 刘荣辉，王彦．浅析数学分析中的反例[J]．赤峰学院学报，2009．[8] 肖宏治．反例在数学分析教学中的作用及构造分析[J]．六盘水师范高等专科学校学报，2005，6．[9] 华东师范大学数学系．数学分析[M]．北京:高等教育出版社，1999．[10] 李伟平．数学分析教学中反例的构造[J]．北京电力高等专科学校学报，2010,01．[11] 刘玉链，傅沛仁．数学分析讲义[M]．北京：高等教育出版社，1985．[12] Coarant R，John F．Introduction to Calculus and analysis(2(1))[M]．北京：科学出版社，1979．。
浅谈反例在初中数学教学中的作用与实施
引言数学是研究空间形式和数量关系的科学。
数学中的反例数学中的反例是指说明某个数学命题不成立的例子，在我们学习数学时，正确的认识和错误的认识总是相伴出现。
我们往往集中精力寻找与解法，忽略了如何发现错误。
成功地举出反例，在初中数学教学中具有重要的作用，并且在帮助学生全面理解知识，掌握方法，纠正错误，提高解题速度方面都是不可或缺的。
在课堂教学时适当举反例来巩固知识。
会使教和学的效率都得到很大的提高，下面结合自己实习中的课堂实例，对反例的作用经行探讨。
一、反例的定义与实质数学中的反例，是指使某个数学命题不成立的例子。
具体地说它满足命题的题设但不具有命题的结论，从而成为推翻命题的例子。
反例的产生与命题的结构密切相关，因此，反例又可以分为3类：简单命题的反例，充分条件的反例和必要条件的反例。
在具体的课堂教学中，反例的使用揭示了数学上“失之毫厘差之千里”的特点，从而在反驳与肯定中是学生不断理清思维的脉络，从中掌握相应的数学思想方法。
二、反例的来源以及如何构造反例2.1 反例的来源证明一个命题是真实的，必须经过严格的推理论证；证明一个命题是假命题就只需找到一个反例。
在数学的学习中，为了向学生说明一个命题为假命题。
就要举出一个例子，它虽然满足命题的题设但却没有命题的结论。
反例的强大的说服力能使学生豁然开朗。
与获得证明的方法一样，反例来源于一系列深层次的思维活动包括观察、归纳、分析与综合。
2.2 如何构造反例在具体的课堂教学中，反例并不是可以信手拈来的，有的反例的寻找十分困难。
因此要善于引导学生去寻找反例。
同时，寻找反例的过程也是加深理解，发散思维，巩固知识的过程。
也能提高学生的思维能力，为后继知识的学习做好铺垫。
以下介绍构造反例常用的几种方法：（1）通过对一般命题特殊化，发现反例。
有时候，遇到一个一般命题，可以用其某一特使情况下不真来进行否定，以特殊情况为反例，是我们构造反例最先考虑的一种方法。
例 2.2.1命题：同位角相等。
浅谈数学分析中反例的作用
thecontinuous, infinite with an unbounded amount of difference; summarizes the counterexample can have theability of reverse thinking.
Key words: Mathematical analysis ;The counterexample ;Effect; For example
II
目 录
1 绪论.................................................................................................................................. 1 1.1 引言...................................................................................................................... 1 1.2 课题的背景及目的.............................................................................................. 1 1.3 国内外研究状况.................................................................................................. 2 1.4 课题研究方法...................................................................................................... 2 1.5 论文构成及研究内容.......................................................................................... 2 2 认识反例.......................................................................................................................... 2 2.1 反例的概念.......................................................................................................... 2 2.2 区别举反例与反证法.......................................................................................... 3 2.2.1 举反例及其运用反例的证明步骤............................................................ 3 2.2.2 反证法及其原理....................................................................................... 3 2.2.3 运用反证法的证明步骤............................................................................ 3 3 反例精确对概念的认识.................................................................................................. 4 3 .1 无界函数.............................................................................................................. 4 3.2 连续函数.............................................................................................................. 4 3.3 二元函数偏导数与可微...................................................................................... 5 4 反例加深对定理的理解.................................................................................................. 6 4.1 罗尔中值定理...................................................................................................... 6 4.2 拉格朗日中值定理.............................................................................................. 7 5 反例准确把握概念之间的关系...................................................................................... 8 5.1 可导与连续.......................................................................................................... 8 5.2 无穷大与无界量.................................................................................................. 9 5.3 函数极大（小）值与最大（小）值.................................................................. 9 5.4 可积函数............................................................................................................ 10 6 运用反例培养逆向思维能力........................................................................................ 10 7 总结................................................................................................................................ 12 参考文献........................................................................................................................... 14 致 谢................................................................................................................................. 15
浅谈反例在中学数学教学中的应用
编号毕业论文（届本科）论文题目：浅谈反例在中学数学教学中的应用学院：数学与统计学院专业：数学与应用数学班级：作者：指导教师：职称：完成日期：年月日目录诚信声明 0摘要 (1)Abstract (3)一引言 (3)二反例的来源 (3)三反例在数学发展史中的作用 (4)3.1 一个著名反例引发第一次数学危机 (4)3.2 一经典悖论引发第三次数学危机 (4)3.3 对猜想的绝妙否定和反例探索 (5)四构造反例的几种方法 (5)4.1应用特殊例子构造 (5)4.2用性质构造 (6)4.3逼近构造法 (7)4.4直接观查构造法 (7)4.5相互比较互较构造 (8)五反例在中学数学教学中的应用................................................................................ 错误!未定义书签。
5.1有利于数学概念的形成和理解............................................................................... 错误!未定义书签。
5.2有利于学生积极发现问题、纠止错误................................................................... 错误!未定义书签。
5.3反例用于强调条件................................................................................................... 错误!未定义书签。
5.4反例用于理清解题思路........................................................................................... 错误!未定义书签。
多元函数微分学中的反例
多元函数微分学中的反例
多元函数微分学的反例：
1、渐近法求偏导：更新函数类型并不一定能得到精确的偏导数，甚至
可能接近于0。
2、局部极值的概念：对于固定自变量情况下，偏导数上的值不一定存
在局部极值，有可能是平坦或者以缓慢变化为特点。
3、黎曼曲线：曲线不一定能可以由求偏导方程求得，有可能会遇到三
阶以上的方程，无法使用微积分中的公式去解决。
4、拉格朗日恒等式：在拉格朗日恒等式中，给定的自变量值并不一定
能使对应的偏导数为0，有可能只有结实上的极限才能使得偏导数为0。
5、隐函数：隐函数得到的解析解不一定能直接求得，有可能只能由有
理方程中只存在于极限处得到。
6、多变量函数的极大值：多变量函数中，求得极值点有可能只能单个
解析解存在，无法构成极值。
7、变分问题：存在解变分问题的变分方程有可能无解，或者只能取得
非解析解，无法具体化求解变分方程。
8、一阶偏微分方程：非常规的一阶偏微分方程常常无法直接求出显式解，但是可以采用角度等其他方法求解。
浅谈微积分中的反例 罗棨航
微积分中的一些反例环境与城市建设学院矿业5班罗棨航1301170511 摘要：本文列举了微积分中常见的典型反例，并论述了反例在微积分教学中的作用：可以强化概念、揭示概念的内涵，准确把握概念之间的关系，透彻理解定理的条件.关键词：反例；微积分；函数；微分；积分引言用命题形式给出的一个数学问题，要判断它是错误的，利用只满足命题的条件但是结论不成立的例证，就足以否定这个命题，这就是反例。
1连续、可导、可微问题微积分中对于无穷大与无界、极大(小)值与最大(小)值以及可导与连续等容易混淆的概念之间的关系，可以通过运用适当的反例进行准确理解把握。
同时也能培养与提高我们的辩证思维能力。
情形1 若函数f（x）在a连续，则函数f（x）在a也连续，但其逆命题不成立。
反例：函数f（x）=1，x?叟0-1，x<0，虽然f（x）=1在x=0处连续，但f（x）在x=0处不连续。
情形2 可导函数必定是连续函数。
那么“连续函数必定是可导函数？答：不一定。
反例：函数f（x）=x+1，在x=0连续，但在x=0不可导，事实上，f（x）=x+1=1=f（0），所以f（x）在x=0连续；但极限==1或-1不相等，所以f（x）在x=0不可导。
情形3 函数f（x）在x=x0处可导，则函数f（x）在x=x0的邻域内不一定连续。
反例：函数f（x）=x，x为有理数0，x为无理数，在x=0处可导，但在0点的任何邻域，除0点外都不连续。
情形4 f（x）在x=x0处可导，则f（x）在x=x0处是否有连续导数？反例：函数f（x）=xcosx≠0 0x=0 在x=0处可导，但导数不连续。
事实上，f′（0）===xcos=0，即f（x）在x=0处可导，但当x ≠0时，f′（x）=2xcos-xsin•-=2xcos+sin极限f′（x）=2xcos-xsin•-=2xcos+sin不存在，即f（x）的导数不连续。
综上归结，对一元函数f（x）在点x0可有：可微?圳可导连续有极限。
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浅谈微积分中的反例
侯小路
经管系会计电算化1302班，学号201311020209
摘要：本文列举了微积分中常见的典型反例，并论述了反例在微积分教学中的作用：一方面可以强化概念、揭示概念的内涵，准确把握概念之间的关系，透彻理解定理的条件；另一方面有助于培养学生的逆向思维能力，更有助于培养学生的数学技能。
关键词：反例；微积分；函数；微分；积分
0引言
用命题形式给出的一个数学问题，要判断它是错误的，利用只满足命题的条件但是结论不成立的例证，就足以否定这个命题，这就是反例。
通过举出反例从而证明一个命题的虚假性的方法叫做反例法。
反例思想是微积分中的重要思想，用逆向思维方法从问题反面出发，可以解决用直接方法很难或无法解决的问题。
在微积分中存在大量的反例，其意义远远超过了它的具体内容，除了它能帮助学生深入地理解有关数学对象性质之外，还促进了学生的辨证思维方式的形成。
1连续、可导、可微问题
微积分中对于无穷大与无界、极大(小)值与最大(小)值以及可导与连续等容易混淆的概念之间的关系，可以通过运用适当的反例进行准确理解把握。
同时也能培养与提高学生的辩证思维能力。
情形1 若函数f（x）在a连续，则函数f（x）在a也连续，但其逆命题不成立。
反例：函数
f（x）=1，x?叟0-1，x<0，
虽然f（x）=1在x=0处连续，但f（x）在x=0处不连续。
情形2 可导函数必定是连续函数。
那么“连续函数必定是可导函数？答：不一定。
反例：函数f（x）=x+1，在x=0连续，但在x=0不可导，事实上，f（x）=x+1=1=f（0），所以f（x）在x=0连续；但极限==1或-1不相等，所以f（x）在x=0不可导。
情形3 函数f（x）在x=x0处可导，则函数f（x）在x=x0的邻域内不一定连续。
反例：函数
f（x）=x，x为有理数0，x为无理数，
在x=0处可导，但在0点的任何邻域，除0点外都不连续。
情形4 f（x）在x=x0处可导，则f（x）在x=x0处是否有连续导数？
反例：函数f（x）=xcosx≠0 0x=0 在x=0处可导，但导数不连续。
事实上，f′（0）===xcos=0，即f（x）在x=0处可导，但当x≠0时，f′（x）=2xcos-xsin •-=2xcos+sin
极限f′（x）=2xcos-xsin•-=2xcos+sin不存在，即f（x）的导数不连续。
综上归结，对一元函数f（x）在点x0可有：可微?圳可导连续
有极限。
通过恰当的反例可以快捷而准确地把握它们之间所存在的关系。
情形5 当f（x0）≠0时，由f（x）在x0可导不一定能推出f（x）在x0可导。
反例：函数f（x）= x，x∈[0，1]-x，x∈[1，2]，而f（x）=x，x∈[0，2]，显然f（x）在x0=1处可导，但f（x）在x0=1处不可导。
情形6下面命题是否成立：若f（x）在（a，b）内可导，则在（a，b）内必定存在ξ，使得f′（ξ）=？
事实上，举出这样的反例：f（x）=x，0
2可积问题
情形7若函数f（x）在区间[a，b]上可积，则函数f（x）在区间[a，b]上也可积，且f （x）dx?燮f（x）dx，但其逆命题不成立，即当函数f（x）在区间[a，b]上可积时，函数f（x）在区间[a，b]上不一定可积。
反例：函数
f（x）= 1，x为有理数-1，x为无理数
函数在[0，1]上不可积，而f（x）≡1，这是常函数，显然在[0，1]上可积。
3无穷大量与无界量问题
情形8 无穷大量是无界量，但无界量不一定是无穷大量。
反例：f（x）=xcosx 当x→∞时f（x）为无界量。
事实上，对无论多大的G>0，总存在x=nπ，当n>时，有f（x）=nπcosnπ=nπ>G然而，当x→∞时，若取x=nπ+此时f（x）=nπ+cosnπ+=0。
即f（x）并不趋于∞。
4函数的极大(小)值与最大(小)值问题
情形9[4]可导函数的极值点一定是函数的驻点，但驻点不一定是函数的极值点。
反例：x=0是函数f（x）=x3的驻点，但不是其极值点。
情形10 函数f（x）的极大(小)值不一定就是最大(小)值。
反例：函数f（x）=x-4x+3x+1，x∈[-1，3]，由于f′（x）=4x-8x+3=4（x-1）-1，易见x=或x=为f（x）的稳定点，列表如下：
由上表可知：点为f（x）的极大值点，极大值为；点x=为f（x）的极小值点，极小值为1。
但函数f（x）在点x=3取得最大值为6，在点x=-1取得最小值为-。
上述归结，若函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，则f（x）在[a，b]上一定有最大、最小值。
若函数f（x）的最大(小)值点x0在区间内，则x0必定是f（x）的极大(小)值点。
但f（x）的最大(小)值也可能在区间端点处取得，则f（x）的极大(小)值不一定就是最大(小)值，要通过比较才能确定。
5结语
微积分中的反例有助于提高学生的数学逻辑思维能力,突出数学所表达的逆向思维以及体现了数学的严谨性.透彻理解命题、定理条件的充分性及必要性,为了分清条件的充分性与必要性使用恰当的反例是非常有好处的。
反例对巩固和加深对概念与定理的理解，以及对掌握相关概念的差异和层次方面有着正面说明或证明所无法取代的作用。
在微积分的教学中，反例的试举已成为提高教学质量的重要的一环。
另一方面：“反例教学”对培养学生的数学思维能力方面的作用也是显著的。
它不仅有助于培养学生纵向思维能力，而且有助于培养和发展学生的横向思维能力，更有助于培养学生的数学技能，并使学生养成严格推理、全面分析问题的能力。
参考文献：
[1]刘福保.反例教学法在数学分析中的作用和构造[J].科技创新导报，2009，NO.11.
[2]薛迎杰.浅谈反例在高等数学教学中的作用[J].中国校外教育，下旬刊.
[3]马建珍.反例在数学分析中的作用[J].宜宾学院学报，2006，6（12）.
[4]华东师范大学数学系.数学分析(第三版) [M].北京：高等教育出版社，2001.。