初中数学拔尖材料09 整数里的一些神奇数

初中数学拔尖材料09 整数里的一些神奇数

数学是一切科学的皇后，整数理论是皇后头上的皇冠，皇冠里面有很多神奇的数．

本讲主要介绍常见的几个神奇数：质数、合数，最大公约数、最小公倍数；同时介绍几个与它们有关的定理：算术基本定理、正约数个数定理、辗转相除法、费马小定理．

这些内容小学生都能玩得起来，其中充满了“数的智慧”，还能检测你的“数．”思维能力． 一、质数与合数 基本知识

定义1：一个大于1的正整数a ，如果仅有1与a 这两个正约数，那么称a 叫做质数．．． 定义2：如果一个正整数a 除了1与a 这两个约数外还有其它的正约数，那么称a 叫做合数．．． 注意：1既不是质数，也不是合数．正整数分为三类：1，质数，合数． 如果一个正整数的约数是质数，那么称它为质约数．．．． 典型例题

例1．若三个质数p q r 、、满足p q r <<，且p q r +=，求质数p ．

例2．求不能用三个不相等的合数之和来表示的最大奇数．

例3．判断下列各数哪些是质数？哪些合数？

31，97，721，3223．

例4．若a 是正整数，问：4239a a -+是质数还是合数？

例5．若p 是不小于5的质数，且21p +也是质数，试证：41p +是合数．

例6．求这样的质数p ，当它加上10和14时，仍为质数．

二、最大公约数与最小公倍数 基本知识

定义3：设12, ,

, n a a a 是不全为0的整数，如果1d a ，2d a ，…，n d a ，那么称d 叫做1a ，

2,

, n a a 的公约数．其中最大的d 叫做最大公约数．．．．．

，记作：12(, , , )n a a a d =．

定义4：设12, ,

, n a a a 和m 是正整数，如果1a m ，2a m ，…，n a m ，那么称m 叫做1a ，

2,

, n a a 的公倍数．其中最小的m 叫做最．小．公．倍．数．

，记作：12[, , , ]n a a a d =．

特别地，对于两个正整数a 、b ，两者之间关系是：[, ](, )

ab

a b a b =

． 定义5：设12, ,

, n a a a 都是正整数，如果12(, ,

, )1n a a a =，那么称12, ,

, n a a a 是互质的

数，简称互质．．．特别地，12, , , n a a a 中任意两个数都互质，则称为两两互质．．．．

． 两两互质的整数一定互质；反之，互质的整数不一定两两互质，如：（8，9，14）．

典型例题

例7．求：①（221，325）； ②（5767，4453）．

例8．若n 为小于50的正整数，求使代数式45n +和76n +的值有大于1的公约数的所有n 的值．

例9．设m 是两个不相等的正整数x y 、的最小公倍数，且满足111

m x y m

-+=，求所有可能的x y 、．

例10．一个正整数能被5和7整除，被11除时余6，求适合条件的最小正整数，并写出具有这种

性质的整数的一般形式．

例11．用数码1、2、3、4、5、6随意排成一个六位数n ，求证：n 不是完全平方数．

三、有关的常用定理 基本知识

定理1（算术基本定理）：任意一个大于1的整数都能唯一地分解成质数的乘积．（不考虑顺序）

定理2（正约数个数定理）：12

12

k

k N p p p ααα=⋅⋅⋅的正约数共有：12(1)(1)

(1)k ααα+++个．

定理3（费马小定理）：对任意一个质数p 和整数a ，总有p p a a -成立；

特别地，当(, )1p a =，就有11p p a --成立．

例12．求最小的正整数，使它的12是平方数，它的13是立方数，它的1

5

是五次方数．

例13．设n 是满足下列两个条件的最小正整数：①n 是75的倍数；②n 恰好有75个正约数（包

括1和本身）；试求

75

n ．

例14．当质数5p >时，求证：(1)111p p -个

．

例15．求证：5

30a a -(a 为任一整数)．

巩固练习

1．求不能写成两个合数之和的最大正整数．

2．三个质数之积等于它们的和的5倍，求这三个质数．

3．有一个小于2000的四位数，它恰有14个正约数（包括1和本身），其中有一个质约数的末位数是1，求这个四位数．