初中数学拔尖材料09 整数里的一些神奇数
几个神奇的数字
几个神奇的数字看似平凡的数字，我们把它从1乘到6看看142857 X 1 = 142857142857 X 2 = 285714142857 X 3 = 428571142857 X 4 = 571428142857 X 5 = 714285142857 X 6 = 857142同样的数字，只是调换了位置，反复的出现。
那么把它乘与7是多少呢？我们会惊奇的发现是999999关于其中神奇的解答“142857”它发现于埃及金字塔内，它是一组神奇数字，它证明一星期有7天，它自我累加一次，就由它的6个数字，依顺序轮值一次，到了第7天，它们就放假，由999999去代班，数字越加越大，每超过一星期轮回，每个数字需要分身一次，你不需要计算机，只要知道它的分身方法，就可以知道继续累加的答案，它还有更神奇的地方等待你去发掘！也许，它就是宇宙的密码┅┅142857×1＝142857（原数字）142857×2＝285714（轮值）142857×3＝428571（轮值）142857×4＝571428（轮值）142857×5＝714285（轮值）142857×6＝857142（轮值）142857×7＝999999（放假由9代班）142857×8＝1142856（7分身，即分为头一个数字1与尾数6，数列内少了7）142857×9＝1285713（4分身）142857×10＝1428570（1分身）142857×11＝1571427（8分身）142857×12＝1714284（5分身）142857×13＝1857141（2分身）142857×14＝1999998（9也需要分身变大）继续算下去……神奇的“缺8数”12345679，这个数里缺少8，我们把它称为“缺8数”。
一、清一色12345679×63=777777777。
神奇的9(优秀)
k 个9 k 个9
为 2007 9=18063 ． 【例 3】 如果 A 3 33 333 ... 33...3 ，那么 A 的各位数字之和是多少。
2010个3
【解析】 10 A 30 330 3330 ... 33...30
2010个3
,
所
以 ，
9 A 33...30 3 3 ... 3= 33...327300
2 个 0 次 2010 1 个 0 3
2
A 33...327300 9 370370...370369700 ，数字和为 668 10 25=6705
2006个3 6ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ8个370
【例 4】 检验下面的加法算式是否正确： 2638457＋3521983＋6745785＝12907225。 【解析】若干个加数的九余数相加，所得和的九余数应当等于这些加数的和的九余数。如果 不等，那么这个加法算式肯定不正确。上式中，三个加数的九余数依次为 8，4，6，8+4+6 的九余数为 0；和的九余数为 1。因为 0≠1，所以这个算式不正确
55...5 33...3 乘积的各位数字之和是多少？
2007 个5 2007 个3
55...5
【解析】 55...5 33...3=
2007 个5 2007 个3 2007 个5
3
则可知乘积的各位数字之和 99...9 =N 99...9 ,N 为整数，
【一知】让你无法解释的九个神秘数字
【一知】让你无法解释的九个神秘数字编者按据说在一次网络调查中有70%的人支持将数学移出高考。
网友神回复：“别傻了，高考不就是为了把70%的人区分开来的考试吗”。
数学并没有那么讨厌。
以下神秘数字或许可以帮助学渣们去逆袭学霸。
它们说出来如此简单，可迄今没有人能完全解释他们……495随便写一个三位数。
不能是111,222这种的，至少要有一个数字不同。
然后把数字从大到小排列，再从小到大排列，用前者减去后者，得到一个新的数。
重复以上操作，７步之内，必得到数字495比如，你写个300。
300-003=297972-279=693963-369=594954-459=495……6174跟上面的法则一样，如果你一开始写的是四位数，那么你经过７步以内的计算，最后一定能得到数字6174这个神奇的数字被称为“卡普雷卡尔”常数。
也是最著名的数字黑洞。
无论你怎么设值，只要按规定法则处理，最终都将得到一个固定值，跳也跳不出去。
153随便写个３的倍数。
然后把它每一个数位上的数字都立方，再求和，得到一个新数。
反复这样做，最后一定会得到153。
比如8208，8*8*8+2*2*2+0+8*8*8=10321*1*1+0+3*3*3+2*2*2=363*3*3+6*6*6=2432*2*2+4*4*4+3*3*3=999*9*9+9*9*9=14581*1*1+4*4*4+5*5*5+8*8*8=7027*7*7+0+2*2*2=3513*3*3+5*5*5+1*1*1=153这个数被称为水仙花数。
387654729有道经典数学谜题。
用1到9组成一个九位数，使得这个数的第一位能被1整除，前两位组成的两位数能被2整除，前三位组成的三位数能被3整除，以此类推，一直到整个九位数能被9整除。
没错，真的有这样猛的数：381654729。
其中3能被1整除，38能被2整除，381能被3整除，一直到整个数能被9整除。
另一个有趣的事实是，381654729是唯一一个满足要求的九位数！27你随便写个自然数，然后开始按小学生都会的计算步骤一步步算下去。
第六讲 神奇的9
2013-2014 学年·秋季五年级知识点总结 的形式：
品 升 2 ï ï þ 1 而 思}余？ 2 3、、、、 4 6 7 8、 9 备选数：、 品 格ü ï ï ï 兴 趣ï ý余？ ï ï +2 升 3 ï ï þ 2 而 思}余？ 1、 3、、、、 4 6 7 8、 9 备选数：
3 25 45
225 15 1
5 9 75
【第三单元 4】有写有 1~9 的九张牌，A 和 B 各抽 3 张，A 看了自己的三张牌后，对 B 说：你的 三个数之和不可能是 15. 请问 A 是如何知道的？他抽到的可能是哪三张牌？ 【答案】 （4,5,6）或（2,5,8） 【分析】从 1～9 的三阶幻方辅助分析：
【第一单元 2】将 1～2013 写成一排：1234……20122013，求这个数除以 9 的余数. 【答案】3 【分析】这个多位数与 1 + 2 + 3 + + 2013 对 9 同余（数码相同） ； 1 + 2 + 3 + + 2013 = 2013´1007 6 ´ 8 = 48 º 3(mod 9) 【点评】此题孩子容易把数拆成 1 + 2 + 3 + 4 + + 9 + 1 + 0 + 1 + 1 + 1 + 2 + + 2 + 0 + 1 + 3 ，确实是 拆成了各个数位数字和，但此式根本无法计算. 并不是全拆开一定最好，而是拆到容易计算最好. 反正无论怎么拆，数字从未变过，故除以 9 的余数不会变. 【第一单元 4】已知 2 的 29 次方由 9 个不同数字组成，那么缺少哪个数字？ 【答案】4 【分析】乘方数太大，不要死算，找余数的周期规律. 由于 26 = 64 º 1(mod 9) ，则 229 º 25 º 5(mod 9) ； 而 0 + 1 + 2 + 3 + + 9 = 45 是 9 的倍数；因此缺的数字是 9 - 5 = 4 . 学而思培优北京分校·小学理科教研组出品 2
数学中的神奇数字
数学中的神奇数字数学作为一门科学，涉及到各种形式的数和数的运算，其中有一些数字在数学中被称为“神奇数字”，因为它们具有特殊的性质和应用。
本文将介绍数学中的一些神奇数字及其相关应用。
黄金分割比例是一个非常重要和神奇的数字，表示为Φ（Phi），它的值约为 1.6180339887。
黄金分割比例在几何学和艺术中被广泛使用，因为它被认为是最美的比例之一。
事实上，黄金分割比例可以在自然界中找到，如骨架、蜂巢、植物花瓣等。
在数学中，黄金分割比例还与斐波那契数列相关，后者是一系列数字，每个数字都是前两个数字的总和。
这个数列的比率逐渐接近黄金分割比例，例如，1/1、2/1、3/2、5/3、8/5、13/8、21/13，依此类推。
圆周率π（pi）是数学中最著名和神奇的数字之一。
它是一个无理数，大约等于3.1415926535，它是圆的周长与直径之间的比值。
圆周率在几何学中有广泛的应用，可以计算圆的面积、体积和曲线长度等。
此外，圆周率还出现在许多数学公式和方程中，如正弦函数、正切函数和无穷级数等。
圆周率的小数点后面的数字是无限的，并且没有发现任何规律或重复出现的模式。
费马素数是一类非常特殊的素数，其形式为2^(2^n)+1，其中n是一个非负整数。
费马素数由法国数学家费马在17世纪提出，并引起了数学界的广泛关注。
尽管费马素数并不常见，但它们在计算机科学和密码学中具有重要的应用。
特别是当n等于0、1、2和3时，得到的费马素数分别为3、5、17和257，它们都是素数。
然而，费马素数的形式并不总是生成素数，例如，当n等于4时，得到的费马数为65537，它是一个合数。
自然对数e是一个常见且神奇的数。
这个数约等于2.718281828，它是一个无理数。
自然对数e在微积分和指数函数中广泛应用，可以描述指数增长和衰变的过程。
此外，自然对数e还与复利、连续复利和无限级数相关。
例如，当利率为100%时，用e作为底数的复利将会产生最大的收益。
奇妙而神秘的完全数
由此可见 ， 一位数中只有一个完全数 ６ 二位数 ， 中也只有一个完全数 ２ ， ８ 三位数 中只有一个完全数
４６ 四位数 中只有 一个 完全 数 ８ ２ ． ９， １８
奇妙 而 神秘 的 完 全 数
华 兴恒
（ 安徽省灵璧县黄湾中学 ， ３ ２３ ２４ １）
在 自然 数 中 ，６ 这 个 数是 非 常 普 通 的一 个 数 ， “”
位 数 １７ ３６ １２ ３４ ８９ ３ ８以及 十九 位数 ． 在此 后 的三个世
然而它却隐藏一个不被人们 注意的特性 ． 这就是 ６ 的因数有四个 ， １ ２ ３ ６ 除 了它本身 以外 ， 即 ， ， ，． 其 它三个因数的和恰好等于 ６这个 数本 身， 具有这样
４ ６＝ １ ２＋４＋８十 １ ９ ＋ ６＋ ３ １十６ ２＋ １ ４＋２ ８ ２ ４ ． ８２ １ ８： １ ＋２＋４＋８＋ １ ６＋ ３ ２＋ ６ ４＋ １ ７＋２ ４＋ ２ ５ ５ ８＋ １ １ ０ ０ ６＋３ ３ ０ ２＋４ ６ ０ ４．
现了许多令人感兴趣 的现象和规律 ： １ ．由欧几里得公式给出的完全数都是偶数 ， 而 且欧拉 已经 证 明： 一个 偶 完 全数 必 定 具 有 ２ 每
４ 完全数的全部 因数 的倒数之和为 ２ 例如 ： ． ．
三个完全数， 它们分别是 十位数 ８８ ８９ ５ ， ５９ ６０ ６ 十二
对 ６ ：＋ ＋ ＋ ＝ 于，Ｔ 号 号 吉２ 有１ ． 对 ２有Ｔ 十 十 十 ＋ ＝ 于８ ：＋ 号 １ ２ ， １１ １１ ．
６＝ １＋２十３．
２ ８＝ １十２＋４＋ ７＋ １ ４．
“9”的神奇魔力
“9”的神奇魔力9,它看起来是那么的普通,但是,我们可不要被它愚弄了。
因为在所有数字中,9可能是最神秘的,因为它有让人目瞪口呆的奇特本领。
前方高能预警！马上进入奇异的9世界,请各位托好自己的下巴！十位个位9×1=099×2=189×3=279×4=369×5=459×6=549×7=639×8=729×9=819×10=90奇怪的结果有人认为伟人之所以是伟人,早在他出生的那一天便确定了,因为伟人们出生的那一天都非常特殊。
如数学王子高斯出生于1777年4月30日,把他的生日组成一个八位数xxxx,将这8个数字的顺序任意打乱重新组成一个新的数,比如组成新的数为：xxxx,拿新的数与原来的八位数相减（大的减小的）,差为xxxx,然后把其各个数位上的数字相加,即3+4+6+2+6+6+0=27,再将27这个数各位上的数字相加,得2+7=9。
是这样的吗？出生日期经过上述计算后,结果是9的,都是伟人？不不不,其实每个人的生日,经过上述一系列的运算,最终的结果都是9。
将任意一个各位数字不全相同的数,重排得新数后,在这两个数中,用大数减小数,然后把所得的差的各个数位上的数字加起来,如果和是两位数,就再把它的两个数字相加,最后得到结果是9。
哎,空欢喜一场！可怕的预测丁零零……游戏时间到！接下来是我们的游戏环节,这是一个让人毛骨悚然的游戏！我会给你一件秘密武器――数字9,在游戏中它会助你一臂之力。
可是在游戏开始之前,你需要进行一些简单的计算练习。
请写下一个很大的数,如xxxx。
在它的下面,请你写出一个“补九数”,就像这样：xxxxxxxx如果你把这两个数相加,你会发现他们的和等于xxxx――这就是怎么求得“补九数”的秘籍：从个位数开始,依次用9去减。
接下来,紧张刺激的游戏马上开始！请你的朋友写出一个六位数。
当他写数的时候,你在纸条上写下你的预测,然后将纸条交给你的朋友。
有心灵感应的神奇数字9，魔术师常用，三公子教你，你有被忽悠吗
有心灵感应的神奇数字9，魔术师常用，三公子教你，你有被忽悠吗放暑假了，孩子们放纵了，天天不是看电视就是玩手机，气的我只有收起手机。
反正就一个字“玩”。
教育也没有多大用，左耳进右耳出，权当耳旁风了。
打骂不是办法，这是我的教育有问题，怪不得别人，但是我相信做父母的也会跟我一样深有体会，这个人群我相信也大有人在。
其实适当的玩乐并不是不可，但沉迷就不好了。
于是我就在想如何激发孩子学习的兴趣，至少别总是电视手机。
先天八卦九宫图于是我想起了之前有一次我在看《射雕英雄传》片断时，黄蓉曾破解九宫格，口诀：戴九履一，右三左七，二四为肩，六八为足。
还有口诀：“一居上行正中央，依次斜填切莫忘；上出框时向下放，右出框时向左放；排重便在下格填，右上排重一个样。
”当时我把儿子叫到身边，边看边电视边教会了他九宫算。
当时记得孩子对这种很好奇，觉得很牛逼，所以现在他记得牢牢的。
著名的教育家苏霍姆林斯基说：“在我们每个人的内心深处，都有一个根深蒂固的愿望，那就是希望自己是一个发现者、探究者，而在儿童的内心深处，这种愿望尤其强烈。
”至此我就想起来了我们大人们玩的一些数字魔术，什么猜电话号码猜骰子预测你心目中的数字等。
将数学和魔术结合起来，这样既满足了孩子的好奇心也让他们学习到了新的知识。
然后我准备了几个与数字9相关的魔术，一个个教他们，结果试了一下，两个孩子就自己玩的不亦乐乎了，女儿说到时上学去找同学玩，儿子说可以去骗我们班上的小女生……（一）预言数字1089⑴ 在纸上写下1089预言数字后摺起来请对方保存。
⑵ 请对方在0-9中选三个数字排列成一个三位数，数字要成递减方式，如 851、743 等。
⑶ 用该三位数，减去其反向的数字，如 851－158＝693。
⑷ 得出的值再加上其反向的数字，即得所预言的数值1089（693＋396＝1089）。
说明：这两个数的结果一定是1089，但是如果你选了像 546 这样的数，结果是 198，不是1089……！永远的1089546 的计算是这样： 645−546=99， 99+99=198。
神奇的数
E-mail文化传播网世界上最神奇的数字：142857142857 看似平凡的数字，为什么说他最神奇呢？我们把它从1乘到6看看142857 X 1 = 142857 142857 X 2 = 285714 142857 X 3 = 428571 142857 X 4 = 571428 142857 X 5 = 714285 142857 X 6 = 857142看！在以上的例子中，右边出现的还是同样的数字（142857），只是数字调换了位置而已。
这是神奇之一。
再看它们和“9”的关系142857×1＝142857（原数字）1+4+2+8+5+7=27 2+7=9 142857×2＝285714 2+8+5+7+1+4=27 2+7=9 142857×3＝428571 4+2+8+5+7+1=27 2+7=9 142857×4＝571428 5+7+1+4+2+8=27 2+7=9 142857×5＝714285 7+1+4+2+8+5=27 2+7=9 142857×6＝857142 8+5+7+1+4+2=27 2+7=9 142857×7＝999999（从乘1到乘6得到的是6个9)142857×8＝1142856 1+1+4+2+8+5+6=27 2+7=9 142857×9＝1285713 1+2+8+5+7+1+3=27 2+7=9 142857×10＝1428570 1+4+2+8+5+7+0=27 2+7=9 142857×11＝1571427 1+5+7+1+4+2+7=27 2+7=9 142857×12＝1714284 1+7+1+4+2+8+4=27 2+7=9 142857×13＝1857141 1+8+5+7+1+4+1=27 2+7=9 142857×14＝1999998（其中1＋8＝9 还是6个9）…………….等等，请您试一试！以上各数的单数和都是“9”。
初中数学竞赛有趣的数字及答案
初中数学竞赛有趣的数字及答案有趣的数字数字问题一直是中小学数学竞赛中的热门问题，解这类问题一般要用到整数的性质及解整数问题的常用方法，如数的整除性、剩余类、奇偶分析、尾数的性质等。
有时还得用解竞赛题的一些技巧，如筛选、排除、枚举、局部调整、从极端考虑等。
有一类特殊的数字问题，它们的条件与1到9这9个数字或0到9这10个数字有关，这就增加了题目的趣味性。
解这类题目，要注意利用题目条件中有9个或10个不同数字这一条件，另外这9个或10个数字之和是9的倍数这个特点，也很有用。
例1 在下式中的每两个相邻数之间都添上一个加号或减号，组成一个算式。
要求算式运算结果等于37，且这个算式中的所有减数（前面添了减号的数）的乘积尽可能的大。
10 9 8 7 6 5 4 3 2 1那么，这些减数的最大乘积是多少？解：把10个数都添上加号，它们的和是55，如果把其中1个数的前面的加号换成减号，使这个数成为减数，那么结果将要减少这个数的2倍。
因为55-37=18，所以我们变成减数的这些数之和是18÷2=9。
对于大于2的数来说，两数之和总比两数乘积小。
为了使这些数的乘积尽可能大，减数越多越好（不包括1）。
9最多可拆成三数之和2+3+4=9，因此这些减数的最大乘积是2×3×4=24。
添上加、减号的算式是：10+9+8+7+6+5-4-3-2+1=37。
例2 我的岁数的3次方是一个四位数，我的岁数的4次方是一个六位数，要组成这两个数，需要用遍0到9这10个数字。
我爷爷的岁数的平方是一个四位数，他的岁数的3次方是一个六位数，要组成这两个数字，也要用遍0到9这10个数字。
问：我和爷爷的年龄各是多少？解：设我的年龄x。
注意到223=10648和174=83521是五位数，故应有17＜x＜22。
取x等于18，19，21（x显然不应等于20），逐一计算他们的3次方与4次方，经验证，只有18合乎题意：183=5832，184=104976。
神奇的数
宁德师范学院毕业论文(设计) 专业数学教育指导教师林启法学生李华清学号 2008041113题目神奇的数2011年 5 月 31 日神奇的数李华清（宁德师范学院数学系 08数学教育福建宁德 352100）摘要：通过素数找出几个神奇的数,并利用MATLAB程序检测其正确性.并可提出猜想：当n是素数且1/n 出现循环现象,并且1/n的循环节长度为n-1,循环节就是这类神奇的数.关键词：循环节神奇素数一组神奇的数字发现于埃及金字塔内,它证明一星期有7天,它自我累加一次,就由它的6个数字,依顺序轮值一次, 到了第7天,它们就放假,由999999去代班.这个数被称为世上最神奇的数[1]：142857 看似平凡的数,为什么说他最神奇呢？我们把它从1乘到7看看：142857×1＝142857（原数）142857×2＝285714（轮值）142857×3＝428571（轮值）142857×4＝571428（轮值）142857×5＝714285（轮值）142857×6＝857142（轮值）142857×7＝999999（放假由9代班）同样的数字,只是调换了位置,但调换不是无序的,同一个数字的前后数字是不变的,按照1→4→2→8→5→7→1的顺序作有序循环,最后一位个数字的下一个数字就是第一个数字,构成了一个圆,如上图.比如首数字是5,看上图可知调换后的数一定是571428（142857 × 4 = 571428）将142857分成两半后相加也一连串的9 (注：142+857=999).再来看看这个数 0588235294117647 我们把它从1乘到17看看.0588235294117647 × 1 = 0588235294117647,0588235294117647 × 2 = 11764705882352940588235294117647 × 3 = 1764705882352941,0588235294117647 × 4 = 23529411764705880588235294117647 × 5 = 2941176470588235,0588235294117647 × 6 = 35294117647058820588235294117647 × 7 = 4117647058823529,0588235294117647 × 8 = 47058823529411760588235294117647 × 9 = 5294117647058823,0588235294117647 × 10= 58823529411764700588235294117647 × 11= 6470588235294117,0588235294117647 × 12= 70588235294117640588235294117647 × 13= 7647058823529411,0588235294117647 × 14= 82352941176470580588235294117647 × 15= 8823529411764705,0588235294117647 × 16= 94117647058823520588235294117647 × 17= 9999999999999999同样的数字,也只是调换了位置,同一个数字的前后数字也是不变的,按照0→5→8→8→2→3→5→2→9→4→1→1→7→6→4→7→0的顺序作有序循环,最后一位数的下一个数就是第一个数,构成了一个圆,如图.比如首数字是5,看上图可知调换后的数可能是5882352941176470也可能是52941176470588230588235294117647分成两半相加也是一连串的 9(注：05882352+94117647=99999999).142857,0588235294117647与数7,17有着不寻常的关系,到底不寻常在哪里？先看看下面的数据: [1]1/7=0.142857 142857 142857 142857……与142857 × 1 = 1428572/7=0.285714 285714 285714 285714……与142857 × 2 = 2857143/7=0.428571 428571 428571 428571……与142857 × 3 = 4285714/7=0.571428 571428 571428 571428……与142857 × 4 = 5714285/7=0.714285 714285 714285 714285……与142857 × 5 = 7142856/7=0.857142 857142 857142 857142……与142857 × 6 = 8571427/7=1=3/3=3×0.333333……=0.999999……与142857 × 7 = 999999小于等于7的数除以7后的循环节正好与乘的结果一一对应.这些是巧合吗？再看看下面的数据:1/17=0.0588235294117647 0588235294117647 ……与 0588235294117647 × 1 = 05882352941176472/17=0.1176470588235294 1176470588235294 ……与 0588235294117647 × 2 = 11764705882352943/17=0.1764705882352941 1764705882352941 ……与 0588235294117647 × 3 = 17647058823529414/17=0.2352941176470588 2352941176470588 ……与 0588235294117647 × 4 = 23529411764705885/17=0.2941176470588235 2941176470588235 ……与 0588235294117647 × 5 = 29411764705882356/17=0.3529411764705882 3529411764705882 ……与 0588235294117647 × 6 = 35294117647058827/17=0.4117647058823529 4117647058823529 ……与 0588235294117647 × 7 = 41176470588235298/17=0.4705882352941176 4705882352941176 ……与 0588235294117647 × 8 = 47058823529411769/17=0.5294117647058823 5294117647058823 ……与 0588235294117647 × 9 = 529411764705882310/17=0.5882352941176470 5882352941176470……与 0588235294117647 × 10= 588235294117647011/17=0.6470588235294117 6470588235294117……与 0588235294117647 × 11= 647058823529411712/17=0.7058823529411764 7058823529411764……与 0588235294117647 × 12= 705882352941176413/17=0.7647058823529411 7647058823529411……与 0588235294117647 × 13= 764705882352941114/17=0.8823529411764705 8823529411764705……与 0588235294117647 × 14= 823529411764705815/17=0.8823529411764705 8823529411764705……与 0588235294117647 × 15= 882352941176470516/17=0.9411764705882352 9411764705882352……与 0588235294117647 × 16= 941176470588235217/17=3/3=3×0.333……=0.9999999999999999……与 0588235294117647 × 17= 9999999999999999小于等于17的数除以17后的循环节也正好与乘的结果一一对应.由上可看出,神奇的数142857,0588235294117647分别是1/7,1/17的循环节,巧合之中是否有着什么规律？因此初步的猜想：当1/n出现循环现象,循环节就是这类神奇的数.利用计算器,分别算出1/n（其中n从6到50）,1/n出现循环现象的除了前人已发现的1/7,1/17外,还有以下几个：1/13=0.076923 076923……1/19=0.052631578947368421 ……1/21=0.047619 047619……1/23=0.0434782608695652173913 0434782608695652173913……1/29=0.0344827586206896551724137931 0344827586206896551724137931 ……1/31=0.032258064516129 032258064516129……1/39=0.025641 025641……1/41=0.02439 02439……1/43=0.023255813953488372093 023255813953488372093……1/47=0.02127659574468085106382978723404255319148936170212765957446808510638297872340425531914893617……在内存为2G的惠普HP ProBook 4326s笔记本电脑上,利用下面matlab7.1的M-file文件检测这些循环节是否为神奇的数：[3]function check(n)a=num2str(n);b=length(a);d=a;in=0;for j=1:bd1=d(1:b-j);d2=d(b-j+1:b);dn=strcat(d2,d1);if mod(str2num(dn),n)==0&& floor(str2num(dn)/n)~=1&&(str2num(dn)/n)<=bin=in+1;endendif in==b-1p=1delsep=2endd0=num2str(0);d=strcat(d0,a);b=b+1;in=0;for j=1:bd1=d(1:b-j);d2=d(b-j+1:b);dn=strcat(d2,d1);if mod(str2num(dn),n)==0&& floor(str2num(dn)/n)~=1&&(str2num(dn)/n)<=bin=in+1;endendif in==b-1q=1delseq=2end检测结果如下：1/13的循环节是076923,长度为6,不是神奇的数.1/19的循环节是052631578947368421,长度为18,是神奇的数1/21的循环节是047619,长度为6,不是神奇的数.1/23的循环节是0434782608695652173913,长度为22,是神奇的数.1/29的循环节是0344827586206896551724137931,长度为28,是神奇的数.1/31的循环节是032258064516129,长度为15,不是神奇的数.1/39的循环节是025641,长度为6,不是神奇的数.1/41的循环节是02439,长度为5,不是神奇的数.1/43的循环节是023255813953488372093,长度为21,不是神奇的数.1/47的循环节是0212765957446808510638297872340425531914893617,长度为46,是神奇的数.观察上面的数据,不难发现:（1）神奇的数所对应的n都是素数,且循环节长度是n-1.（2）这些神奇数的对折和都是9.[2]因此猜想：当n是素数且1/n出现循环现象,1/n的循环节长度为n-1,循环节就是这类神奇的数.参考文献：［1］芯芯等, 数学百科最神奇的数字:142857等[J], 数学金刊·初中版,2010,第10期．［2］刘江涛,刘育人,再论n阶同余数的性质与应用[J],青海师专学报,2008,第五期．［3］胡良剑,孙晓军,数学实验matlab[M],北京,高等教育出版社,2006.6．附表1：宁德师范学院毕业论文(设计)开题报告2、毕业论文（设计）完成后，相关成果按照毕业论文（设计）档案管理要求存档。
各类神奇数字
各类神奇数字一、神奇的“黄金分割率”15世纪末期，法兰图教会的传教士路卡·巴乔里(LUCAPACIOLI)发现金字塔之所以能屹立数千年不倒，且形状优美，原因在于其高度与基座每边的结构比例为“5：8”。
因为有感于这个神秘比值的奥妙与价值，而使用了黄金一词，将描述此比例法的书籍命名为“黄金分割”。
数百年来，一些学者专家陆续发现，包括建筑结构、力学工程、音乐艺术，甚至于很多大自然的事物，都与“5：8”比例近似的0．382和0．618这两个神秘数字有关：5／(5＋8)＝0．38468／(5＋8)＝0．6154而由于0．382与0．618这两个神秘数字相加正好等于1，所以，将“0．382”及“0．618”的比率称之为“黄金分割率”或“黄金切割率”。
许多专家学者指出，“黄金分割率”不但具有美学观点更具有达到机能的目的。
比如，建筑物、门窗、画框、十字架、扑克牌和书籍等，他们长和宽的比例都十分接近于“黄金分割率”。
再比如，一位正常成长的人，从肚脐到脚底的长度，大约占身躯总长度的0．618，而头顶到肚脐的长度，则大约占身躯总长度的 0．382。
如果某个人的身长比例恰巧是0．618及0．382，那么他(她)的身材必然非常匀称。
另外，细菌繁殖的速率、海浪的波动、飓风云层及外层空间星云的旋转，都与“黄金分割率”所延伸的“黄金螺旋”1．618倍的比率有关。
最近数十年来，一些美国学者将“黄金分割率”应用在股市行情分析方面，发现并当股指或股价的上涨速度达到前波段跌幅的0．382倍或是0．618 倍附近时，都会产生较大的反压，随时可能出现止涨下跌；当股指或股价出现下跌时，其下跌的幅度达到前波段涨幅的0．382或是0．618倍附近时，都会产生较大的支撑，随时可能出现止跌上涨。
为什么会这么巧合呢？究其根源，既然自然界都受到“黄金分割”这种神奇力量的规范，那么，人类无可避免地也会受到自然界的制约。
股市行情是集合众人力量的行为，它也属于一种自然的社会现象，因此其必然有规律可循，在一般情况下也不可能不受到自然界无形力量的制约。
数学教案：探索数学中的神奇数字
数学教案：探索数学中的神奇数字探索数学中的神奇数字作为一门抽象而又哲性强的学科，数学中常常存在着一些神奇的数字，它们或者具有特殊的性质，或者在不同的领域中起着重要的作用，比如，圆周率π、自然对数e、黄金分割比例φ等等。
在数学教学中，我们可以通过探究这些数字，让学生们更深入地理解数学的本质和魅力。
本篇文章将从圆周率、自然对数和黄金分割比例三个方面，详细探讨这些神奇数字的应用和意义。
一、圆周率π圆周率π是一个无理数，近似值是3.1415926……在几何学中，它是指任意一个圆的周长与直径之间的比值。
而在数学分析等领域中，它又有着更深刻的含义。
下面从几个方面分别介绍圆周率π的应用和意义。
1.计算圆的面积和体积在几何学中，圆周率π是计算圆的面积和体积的重要参数。
圆的面积公式为S=πr²，其中r为圆的半径。
圆的体积公式为V=4/3πr³，其中r为球的半径。
通过这两个公式，可以便捷地计算出圆的面积和球的体积，为实际工程项目的设计提供了重要的参考。
2.计算三角函数在数学分析领域中，圆周率π还被用来计算三角函数，如正弦、余弦、正切等等。
在三角函数中，圆的周长作为单位长度，三角函数刻画了不同角度下的圆的边长比例关系。
这也使得圆周率π在物理、天文等领域的工程计算中具有了重要的作用。
3.研究数学无理性和超越性圆周率π是一个无理数和超越数，这意味着它无法表示为有限小数或分数的形式，也不能是任何代数方程的根。
这就表明了其独特的数学性质。
在数学分析领域中，研究这些无理数和超越数的性质，可以深入探究数学的本质和逻辑，从而对于现代科学的研究和发展具有深远的启示。
二、自然对数e自然对数e是一个常数，近似值为2.718281828……它是数学常数中的一个重要代表，有着广泛的应用和重要的理论意义。
下面从几个方面分别介绍自然对数e的应用和意义。
1.计算连续复利自然对数e在计算连续复利的过程中非常重要。
连续复利是一种计算复利的方法，即资本连续不断地按照一定的利率复利。
神奇的数字——精选推荐
神奇的数字西西弗斯串在古希腊神话中，科林斯国王西西弗斯被罚将⼀块巨⽯推到⼀座⼭上，但是⽆论他怎么努⼒，这块巨⽯总是在到达⼭顶之前不可避免地滚下来，于是他只好重新再推，永⽆休⽌。
著名的西西弗斯串就是根据这个故事⽽得名的。
什么是西西弗斯串呢？也就是任取⼀个数，例如35962，数出这数中的偶数个数、奇数个数及所有数字的个数，就可得到2（2个偶数）、3（3个奇数）、5（总共五位数），⽤这3个数组成下⼀个数字串235。
对235重复上述程序，就会得到1、2、3，将数串123再重复进⾏，仍得123。
对这个程序和数的"宇宙"来说，123就是⼀个数字⿊洞。
是否每⼀个数最后都能得到123呢？⽤⼀个⼤数试试看。
例如：88883337777444992222，在这个数中偶数、奇数及全部数字个数分别为11、9、20，将这3个数合起来得到11920，对11920这个数串重复这个程序得到235，再重复这个程序得到123，于是便进⼊"⿊洞"了。
这就是数学⿊洞"西西弗斯串"。
孔雀开屏数：（20＋25）的平⽅=2025类似的数还有两个：（30＋25）的平⽅=3025（98＋01）的平⽅=9801 与此相类似的还有：（2+4+0+1）的4次⽅=2401（5+1+2）的⽴⽅=512（8+1）的平⽅=81回归数英国⼤数学家哈代（G.H.Hardy,1877-1947）曾经发现过⼀种有趣的现象:153=1^3+5^3+3^3371=3^3+7^3+1^3370=3^3+7^3+0^3407=4^3+0^3+7^3他们都是三位数且等于各位数字的三次幂之和,这种巧合不能不令⼈感到惊讶.更为称奇的是,⼀位读者看过哈代的有趣发现后,竟然构造出其值等于各位数字四（五,六）次幂之和的四（五,六）位数:1634=1^4+6^4+3^4+4^454748=5^5+4^5+7^5+4^5+8^5548834=5^6+4^6+8^6+8^6+3^6+4^6注:3位3次幂回归数⼜称位“⽔仙花数”像这种其值等于各位数字的n 次幂之和的n 位数,称为n 位n 次幂回归数.本⽂只讨论这种回归数,故简称为回归数,⼈们⾃然要问:对于什么样的⾃然数n 有回归数?这样的n 是有限个还是⽆穷多个?对于已经给定的n ,如果有回归数,那么有多少个回归数?1986年美国的⼀位数学教师安东尼.迪拉那（Anthony Diluna）巧妙地证明了使n 位数成为回归数的n 只有有限个.设An 是这样的回归数,即:An=a1a2a3...an=a1^n+a2^n+...+an^n （其中0<=a1,a2,...an<=9）从⽽10^n-1<=An<=n9^n 即n 必须满⾜n9^n>10^n-1 也就是（10/9）^n<10n （1）随着⾃然数n 的不断增⼤,（10/9）^n 值的增加越来越快,很快就会使得（1）式不成⽴,因此,满⾜（1）的n 不能⽆限增⼤,即n只能取有限多个.进⼀步的计算表明:（10/9）^60=556.4798...<10*60=600 （10/9）^61=618.3109...>10*61=610对于n>=61,便有（10/9）^n>10n由此可知,使（1）式成⽴的⾃然数n<=60.故这种回归数最多是60位数.迪拉那说,他的学⽣们早在1975年借助于哥伦⽐亚⼤学的计算机得到下列回归数:⼀位回归数:1,2,3,4,5,6,7,8,9⼆位回归数:不存在三位回归数:153,370,371,407四位回归数:1634,8208,9474五位回归数:54748,92727,93084六位回归数:548834七位回归数:1741725,4210818,9800817⼋位回归数:24678050,24678051但是此后对于哪⼀个⾃然数n （<=60）还有回归数?对于已经给定的n ,能有多少个回归数?最⼤的回归数是多少?3 153 370 371 4074 1634 8208 94745 54748 92727 930846 5488347 1741725 4210818 9800817 99263158 24678050 24678051 885934779 146511208 472335975 534494836 91298515310 467930777411 82693916578 44708635679 94204591914 32164049651 42678290603 40028394225 32164049650 4938855060612 ⽆解13 ⽆解0564240140138（只有⼴义解⼀组）14 2811644033596715 ⽆解16 4338281769391371 433828176939137017 35641594208964132 21897142587612075 35875699062250035 233411150132317（⼴义解）18 ⽆解19 4498128791164624869 4929273885928088826 3289582984443187032 151784154330750503920 14543398311484532713 6310542598859969391621 128468643043731391252 44917739914603869730722 ⽆解23 21887696841122916288858 28361281321319229463398、27879694893054074471405 35452590104031691935943 27907865009977052567814数学⿊洞6174数学⿊洞是古希腊的⼀个国王偶然发现的。
神奇的“9”_250字
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在一节数学课上，我们研究了“9”的乘法，发现里面藏着许多奥秘。
如果我们用“999”去乘1——9这几个数，那么接下来会发现这样一组规律：
999?1＝999
?2＝1998
?3＝2997
……
它们个位的数字在一个一个地减少，十位和百位不变，千位在一个一个地增加。
接下来，我们再看看答案：999、1998、2997、3996……。
然后再背背“9”的乘法口诀。
哦！我相信你一定已经知道了。
比如：999?＝1998这道算式应该是用二九十八来破解的。
看，这道题你只要把那个18拉开，再在中间摆上2个9，就可以得出答案了！有兴趣的你，可以去试试4个9，5个9，……，都是一样的哦！不过，答案中摆的“9”的个数必须比第一个乘数中“9”的个数少1个。
多么奇妙的“9”啊！太有意思了！。
神奇的数字（二）
神奇的数字（二）6的赞美你对我了解的不够多，我不仅仅是实数、有理数、整数、自然数、偶数，我还是一个完全的、无私的、神秘的数。
你开始学数数：1、2、3，你那会知道这1、2、3正是我的全部除数，你说我该不该自豪，最开头连续的三个自然数完全是我的因数，即1×2×3等于我，而且这三个数的和也是我，这一定使你惊讶吧！有人竟称我为最吉祥最神圣的数，在民间，常说三、六、九这些日子好，出门顺。
在中国，各民族掀起为十一届亚运会捐款的热潮，有人寓意深刻地捐赠“六元六角六分”，诚恳祝愿我国第一次亚运会一切顺利，获得成功。
实际上，最使我满意的称呼则是完全数，对！我是一个在一位数里唯一的完全数，其它一位数不是亏数，就是盈数，唯我既不盈余又不亏欠，我恰恰等于我的除数之和。
有的圣经解释家认为，我和我们第二个完全数的弟兄二十八是上帝创造世界时所用的基本数字，他们指出，创造世界花了六天，二十八天则是月亮绕地球一周的天数。
其实，我这个数本身就是完美的，并不是上帝创造世界用了六天，事实恰恰相反，因为，我这个数是完全数，所以上帝在六天之内，把一切都赶着造好了。
即使没有上帝六天创造世界这个事，我仍旧不失其完全数的美称。
常言道：“雪飞六出”，雪花和冰晶的形状大多数是六角形的，这是大自然的奥秘，还是由于我的完美？就连蜜蜂也喜欢我，将蜂房造成六边形。
我与对称的关系非常密切，在所有的正多边形中，正六边形画起来最为简单，在圆内，以圆半径来截同圆，正好得六个分点，依次连结就得到一个正六边形，正多面体只有五个，而最为常见的却是正方体，而正方体恰有六个面。
我是完美的、也是无私的，我的奉献精神是崇高的、伟大的，也许你不全承认，事实却不需要我有更多的分辨，在与偶数姐妹们做乘法时，其结果总是归于对方，从不表现自己，如：2×6=12，4×6=24，8×6=48，看；2与我相乘，其结果我们仍奉出一个2，4与我相乘，8与我相乘，我同样分别再现一个4、8，我与它们共同劳动，共同演算，我从不摘取果实，全部奉献给了对方，这种无私奉献精神难道还不够使你赞不绝口吗？另外我还有教育别人，影响别人的作用，使它们变自私为无私，如26，76，376，126，626，876……它们都由于我的存在，也变得风格高尚起来，也有再现别的数的能耐。
那些神奇的数字，蕴藏的奥秘让人大热天出冷汗
那些神奇的数字，蕴藏的奥秘让人大热天出冷汗自然界里有一些神奇的数字，蕴藏的奥秘简直让人怀疑人生。
先上一道凉菜。
看下图，整齐得让人窒息！网络图片一、神奇的数字：142857据说这个数字发现于金字塔，它有什么神奇的之处呢？我们给这个数字从1乘到6：142857 X 1 = 142857142857 X 2 = 285714142857 X 3 = 428571142857 X 4 = 571428142857 X 5 = 714285142857 X 6 = 857142发现了没有？结果还是由这六个数字组成，只是换了个位置！乘以7会是什么结果？142857 X 7 = 999999据说，这就是为什么一个星期设置为7天最合理的答案。
自身相乘会是什么情况？142857 X 142857 =20408122449这好象没什么稀奇的？NO！20408122449是一个11位数字。
先把正中间的数字1取出来，前五位与后五位相加：20408+22449=42857。
再把1放回去，又变成了142857！这个数字的奥秘远不止这些，再看：142+857=99914+28+57=991+4+2+8+5+7=27 ------2+7=9142857据说是宇宙密码，很多人都在研究这个数字，其蕴藏的规律不断被发现。
其实你也可以试试，没准会发现新的秘密！二、神奇的数字9网络图片为什么圆是360度，而不是300度，200度或其它？我们倒推一下，把360分成几个等份试一下：分成8等份：网络图片同理，继续：分成4等份：360/4=90 9+0=9分成2等份：360/2=180 1+8+0=9不分：3+6+0=9奇怪不奇怪？数字9就是这么奇怪！三、神奇的洛书及其数字规律洛书里面有个九宫图，就是下面这张图的样子：就是这个看似简单的九宫格，让历代后人为之发狂，有人终生研究洛书，也不能穷其奥秘。
规律1：先看最简单的横、竖、斜相加相等，都等于15.《射雕英雄传》里，黄蓉破解九宫格，口诀是：“戴九履一，右三左七，二四为肩，六八为足”，说的就是这个排列。
整数的奇妙世界
整数的奇妙世界整数，即自然数、零及其相反数，是数学中的基本概念之一。
它们构成了数轴上的均匀间隔的点，反映了现实世界中许多事物的属性与规律。
在整数的世界中，隐藏着许多奇妙的现象和规律，让我们一同来探索吧！1. 质数的魅力质数是指只能被1和自身整除的数，如2、3、5、7等。
质数在整数的世界中展现出了独特的魅力。
首先，质数的分布极其稀疏，它们并不像其他整数那样规律地排列在数轴上，而是随机地分布其中。
这种不规则性让质数显得神秘而不可捉摸。
此外，质数还有一个重要的特性，那就是任何一个整数都可以唯一地分解为若干个质数的乘积。
这就是著名的质因数分解定理。
通过质因数分解，我们不仅可以了解一个数的因数结构，还可以在密码学、数据加密等领域中发挥重要作用。
2. 完数的谜团完数，即所有真因数之和等于它本身的数。
例如，6是一个完数，它的真因数为1、2、3，它们的和刚好等于6。
完数在整数的世界中形成了一种神秘而独特的规律。
首先，完数十分稀有，从1到10000中，我们只能找到4个完数。
其次，完数和几何构造有着密切关系。
数学家欧几里得发现了完数与几何中的完全图之间的奇妙联系。
这种联系使得完数成为数学家们争相研究的对象，也引发了人们对完数背后奥秘的探索。
3. 斐波那契数列的奇幻世界斐波那契数列是由0和1开始，后面的每一项都是前面两项的和所构成的数列，如0、1、1、2、3、5、8等。
这个数列在整数世界中隐藏了很多奇幻的现象。
首先，斐波那契数列与黄金分割的关系密不可分。
当我们计算相邻两个斐波那契数的比值时，会发现它们逐渐趋近于黄金分割比例 1.618。
这种神秘的数学关系使斐波那契数列成为了美学和艺术领域中艺术家灵感的源泉。
其次，斐波那契数列还隐藏了许多自然现象和生命规律。
在植物的叶子排列、螺旋形状的贝壳、蜂窝的构造等自然界中，我们都可以找到斐波那契数列的身影。
这种奇妙的规律让我们对整数的世界更加充满了好奇和惊叹。
4. 素数的奥秘素数，也称质数，是指大于1且只能被1和自身整除的数。
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初中数学拔尖材料09 整数里的一些神奇数
数学是一切科学的皇后，整数理论是皇后头上的皇冠，皇冠里面有很多神奇的数．
本讲主要介绍常见的几个神奇数：质数、合数，最大公约数、最小公倍数；同时介绍几个与它们有关的定理：算术基本定理、正约数个数定理、辗转相除法、费马小定理．
这些内容小学生都能玩得起来，其中充满了“数的智慧”，还能检测你的“数．”思维能力． 一、质数与合数 基本知识
定义1：一个大于1的正整数a ，如果仅有1与a 这两个正约数，那么称a 叫做质数．．． 定义2：如果一个正整数a 除了1与a 这两个约数外还有其它的正约数，那么称a 叫做合数．．． 注意：1既不是质数，也不是合数．正整数分为三类：1，质数，合数． 如果一个正整数的约数是质数，那么称它为质约数．．．． 典型例题
例1．若三个质数p q r 、、满足p q r <<，且p q r +=，求质数p ．
例2．求不能用三个不相等的合数之和来表示的最大奇数．
例3．判断下列各数哪些是质数？哪些合数？
31，97，721，3223．
例4．若a 是正整数，问：4239a a -+是质数还是合数？
例5．若p 是不小于5的质数，且21p +也是质数，试证：41p +是合数．
例6．求这样的质数p ，当它加上10和14时，仍为质数．
二、最大公约数与最小公倍数 基本知识
定义3：设12, ,
, n a a a 是不全为0的整数，如果1d a ，2d a ，…，n d a ，那么称d 叫做1a ，
2,
, n a a 的公约数．其中最大的d 叫做最大公约数．．．．．
，记作：12(, , , )n a a a d =．
定义4：设12, ,
, n a a a 和m 是正整数，如果1a m ，2a m ，…，n a m ，那么称m 叫做1a ，
2,
, n a a 的公倍数．其中最小的m 叫做最．小．公．倍．数．
，记作：12[, , , ]n a a a d =．
特别地，对于两个正整数a 、b ，两者之间关系是：[, ](, )
ab
a b a b =
． 定义5：设12, ,
, n a a a 都是正整数，如果12(, ,
, )1n a a a =，那么称12, ,
, n a a a 是互质的
数，简称互质．．．特别地，12, , , n a a a 中任意两个数都互质，则称为两两互质．．．．
． 两两互质的整数一定互质；反之，互质的整数不一定两两互质，如：（8，9，14）．
典型例题
例7．求：①（221，325）； ②（5767，4453）．
例8．若n 为小于50的正整数，求使代数式45n +和76n +的值有大于1的公约数的所有n 的值．
例9．设m 是两个不相等的正整数x y 、的最小公倍数，且满足111
m x y m
-+=，求所有可能的x y 、．
例10．一个正整数能被5和7整除，被11除时余6，求适合条件的最小正整数，并写出具有这种
性质的整数的一般形式．
例11．用数码1、2、3、4、5、6随意排成一个六位数n ，求证：n 不是完全平方数．
三、有关的常用定理 基本知识
定理1（算术基本定理）：任意一个大于1的整数都能唯一地分解成质数的乘积．（不考虑顺序）
定理2（正约数个数定理）：12
12
k
k N p p p ααα=⋅⋅⋅的正约数共有：12(1)(1)
(1)k ααα+++个．
定理3（费马小定理）：对任意一个质数p 和整数a ，总有p p a a -成立；
特别地，当(, )1p a =，就有11p p a --成立．
例12．求最小的正整数，使它的12是平方数，它的13是立方数，它的1
5
是五次方数．
例13．设n 是满足下列两个条件的最小正整数：①n 是75的倍数；②n 恰好有75个正约数（包
括1和本身）；试求
75
n ．
例14．当质数5p >时，求证：(1)111p p -个
．
例15．求证：5
30a a -(a 为任一整数)．
巩固练习
1．求不能写成两个合数之和的最大正整数．
2．三个质数之积等于它们的和的5倍，求这三个质数．
3．有一个小于2000的四位数，它恰有14个正约数（包括1和本身），其中有一个质约数的末位数是1，求这个四位数．。